A. Matematičke osnove
|
|
- Ἀγάπιος Παπανικολάου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 I A. Matematičke osnove U fiici se ralikuju skalarne, vektorske i tenorske veličine. kalarne veličine definirane su jednim brojem (skalarom), a takve su veličine npr. masa m, volumen, gustoća ρ, specifična unutarnja energija u itd. ektorske veličine su određene smjerom, intenitetom i orijentacijom, odnosno s pomoću tri komponente (npr. tri projekcije na osi koordinatnog sustava), a takve su veličine brina v, ubranje a, sila F, vektor površinske gustoće snage toplinskog toka q itd. ektorske veličine se u literaturi još onačavaju i masno otisnutim slovima (v, a, F, q). Tenorske veličine mogu biti drugog, trećeg ili višeg reda. Tenori drugog reda definirani su s devet komponenti, tenori trećeg reda s 27 komponenti, odnosno općenito broj komponenti tenora n-tog reda je 3 n. Tako bi se i skalari mogli smatrati tenorima nultog reda, a vektori su tenori prvog reda. Tipični tenori drugog reda u mehanici fluida su: tenor napreanja T, tenor brine deformacije D, tenor vrtložnosti itd. A.1 GIBBO ILI imbolički apis vektora Gore navedeni primjeri onačavanja vektorskih i tenorskih veličina se naiva simboličkim ili Gibbsovim, a takav apis ne avisi od ibora koordinatnog sustava. Tako bi drugi Newtonov akon primijenjen na tijelo mase m, na kojeg djeluje reultantna sila F, glasio: ma = F I navedenog apisa se može aključiti da su vektor a, ubranja tijela, i vektor sile F kolinearni vektori i da je vektor sile ramjeran umnošku mase i ubranja. Također se može aključiti da ako na isto tijelo djeluje dva puta veća sila, da će i ubranje biti dva puta veće. U fiici se, međutim, ne adovoljava s ovakvim relativnim odnosima među veličinama, nego se sadržaj svake veličine želi brojčano definirati. Brojčano iskaivanje sadržaje vektorske fiikalne veličine podraumijeva ibor koordinatnog sustava, te prika vektora s pomoću komponenti, koje su projekcije tog vektora na osi iabranog koordinatnog sustava. Tada je svaka komponenta jedna skalarna veličina čiji se sadržaj iskauje mjernim brojem i mjernom jedinicom. lika 1. prikauje desni karteijski koordinatni sustav O u kojem su i, j i k jedinični vektori (ortovi) u smjeru osi, i a i k a O j a a lika 1. Koordinatni sustav. kup triju jediničnih vektora u smjerovima koordinatnih osi se naiva baom vektorskog prostora, a svi vektori u prostoru se mogu prikaati kao linearna kombinacija tih banih vektora. Koeficijenti te linearne kombinacije su komponente vektora, odnosno projekcije vektora na smjer triju osi. Projekcije vektora a na smjer pojedinih osi dobivaju se njegovim skalarnim množenjem (vidjeti poglavlje A.2.3) s ortovima i, j i k. Tako bi se vektor a prikaao brojem: a = a i + a j a k +
2 ila F MEHANIKA FLUIDA MATEMATIČKE ONOE se također može prikaati s pomoću komponenti: F = F i + F j F k + II Uvrštavanjem ira prelai u oblik: m a i + a j + a k = F ( ) i + F j F k + ektorska jednadžba se može raložiti na tri skalarne jednadžbe. Ijednačavajući koeficijente u jedinične vektore i, j i k, na lijevoj i desnoj strani gornjeg iraa slijede te tri skalarne jednadžbe: m a = F m a = F m a = F A.2 Operacije s vektorima A.2.1 Zbrajanje vektora Zbroj dvaju vektora je vektor. Ako je broj vektora a i b jednak vektoru apisu glasilo: c = a + b c, to bi u Gibbsovom vektorska jednadžba se može raspisati u tri skalarne jednadžbe: c a b = + c = a + b c = a + b Ira iražava ponato pravilo a analitičko brajanje vektora, po kojemu se vektori brajaju tako da im se broje pripadajuće komponente. A.2.2 Množenje vektora skalarom Umnožak skalara i vektora je vektor. Ako je vektor c jednak umnošku skalara λ s vektorom a tada se može pisati: c = λ a Jednadžba se može raložiti na tri skalarne jednadžbe c c c = λ a = λ a = λ a
3 III Ira iskauje ponato pravilo koje kaže da se vektor množi skalarom tako da mu se skalarom pomnoži svaka komponenta. A.2.3 kalarni produkt dvaju vektora kalarni ili unutarnji produkt dvaju vektora je skalar koji je po veličini jednak umnošku inteniteta obaju vektora i kosinusa kuta među njima. kalarni produkt onačuje se točkicom. lika 2. prikauje c vektore a i c, koji međusobno čine kut α. Ako se sa λ onači njihov skalarni produkt, može se pisati: a c λ = a c = ac cos α = aca = acc α a U gornjem su irau a i c inteniteti vektora a i c, a c a i a c c projekcije vektora c na vektor a a, odnosno projekcije vektora a na vektor c. kalarni produkt dvaju vektora lika 2. kalarni produkt jednak je umnošku prvog vektora s projekcijom drugog dvaju vektora vektora na smjer prvog, ili obrnuto. I gornjeg iraa je jasno da je skalarni produkt dvaju ortova jednak kosinusu kuta imeđu njih, te da je skalarni produkt okomitih vektora jednak nuli. kalarni produkt vektora samog sa sobom daje kvadrat njegova inteniteta. kalarni produkt iražen preko komponenti vektora definiran je iraom λ = ac + ac + ac A.2.4 ektorski produkt dvaju vektora ektorski ili vanjski produkt dvaju vektora je vektor, koji je okomit na oba vektora koja čine produkt, a po veličini je jednak umnošku inteniteta tih vektora i sinusa kuta među vektorima. Orijentacija vektora koji je reultat vektorskog v = a c produkta dvaju vektora određuje se pravilom desne ruke. Ako se prstima desne ruke ide od prvog vektora u produktu prema drugom vektoru, palac će c pokaivati orijentaciju vektorskog produkta. ektorski produkt vektora onačuje se nakom. α lika 4. prikauje vektorski produkt vektora a i c. a ektorski produkt je onačen sa v. ektor v je okomit i na vektor a i na vektor c, a orijentacija mu je određena pravilom desne ruke. Jasno je da ako se vektorima u vektorskom produktu amjene v = c a mjesta da će prema pravilu desne ruke i vektorski produkt promijeniti prednak, kao što je nanačeno na slici 3. lika 3. ektorski produkt Intenitet vektora v je prema rečenom pravilu: dvaju vektora v = ac sinα
4 I I gornjeg iraa je jasno da će vektorski produkt dvaju kolinearnih vektora biti jednak nuli (vektorski produkt vektora samog sa sobom je također jednak nuli), a da će intenitet vektorskog produkta okomitih vektora biti jednak umnošku njihovih inteniteta. ektorski produkt dvaju ortova jednak je sinusu kuta među njima. Geometrijski gledano intenitet vektorskog produkta ima načenje površine paralelograma čije su stranice vektori a i c. Ako se vektori u vektorskom produktu v = a c prikažu s pomoću komponenti, slijedi: v = a c = ( a c a c ) i + ( a c a c ) j + ( a c a c ) k A.2.5 loženi produkt vektora ektorski produkt dvaju vektora je vektor kojeg možemo također skalarno ili vektorski množiti s drugim vektorima tako da se dobivaju vektorsko-vektorski ili vektorsko-skalarni produkti vektora. kalarno-vektorski produkt vektora a, b i c je skalar λ = a ( b c ), jer je vektorski produkt u agradi također vektor. Geometrijski gledano skalarno-vektorski produkt je volumen paralelopipeda kojemu su bridovi vektori a, b i c. ektorski produkt vektora b i c, po intenitetu odgovara površini bae paralelopipeda, a skalarni produkt odgovara projekciji trećeg brida na smjer okomice na tu bau, odnosno umnošku visine paralelopipeda i rečene površine bae. Ovaj produkt se može prikaati preko determinante trećeg reda u kojoj su redci komponente vektora koji čine produkt i to u redoslijedu u kojem se pojavljuju u produktu, kako slijedi: a a a λ = a b c = b b b = abc + abc + abc abc abc abc vrijedi: ( ) a a c c c ( b c ) = c ( a b ) = b ( c a) ( b c) = a ( c b ) A.2.6 Tenorski produkt dvaju vektora Tenorski produkt dvaju vektora je tenor drugog reda. Ako među vektorima nema onake niti a skalarni niti a vektorski produkt, podraumijeva se tenorski produkt 1. Ako je tenor T reultat množenja vektora a i c, može se pisati: T = a c Tenori se kao i vektori prikauju s pomoću komponenti. Prikaom vektora u gornjem irau s pomoću komponenti slijedi: 1 Poneki autori tenorski produkt onačavaju posebnim simbolom, npr..
5 ac ac ac Tij = ac i j = ac ac ac ac ac ac Tenor drugog reda ima dva slobodna indeksa i 3 2 =9 komponenti. Dijagonala koje se proteže od lijevog gornjeg do desnog donjeg člana u gornjoj tablici se naiva glavnom dijagonalom tenora. A.2.6 Unutarnji produkt vektora i tenora Kao što je rečeno vektori, kao tenori prvog reda, se mogu množiti skalarno, vektorski ili tenorski, a reultat množenja je skalar vektor ili tenor. Također je pokaano da se od tenorskog produkta vektora dolai do njihova skalarnog produkta jednostavnom kontrakcijom (ijednačavanjem) indeksa u tenorskom produktu. Kod tenora višeg reda definiraju se samo unutarnji produkt, i tenorski produkt. Pri unutarnjem produktu red tenora umnoška se smanjuje, a pri tenorskom produktu se povećava. Tako je unutarnji produkt vektora i tenora drugog reda vektor, produkt se onačuje točkicom pa se može simbolički apisati u obliku a = b T. Prikaom sadržaja vektora i tenora preko komponenti slijedi: a= b T = ( bt + bt + bt ) i+ ( bt + bt + bt ) j( bt + bt + bt ) k Tipičan primjer primjene skalarnog produkta u mehanici kontinuuma je određivanje vektora napreanja na elementarnoj površini orijentiranoj vektorom jedinične normale n. Kao što je prije spomenuto tenor napreanja definira stanje napreanja u točki prostora, a svaki redak tog tenora sadrži tri komponente vektora napreanja na površinama orijentiranim vektorima normale u smjeru osi, i, kao što pokauje slika 4. ektor napreanja na površini orijentiranoj vektorom jedinične normale n (onačen sa σ, odnosno u indeksnom apisu sa σ i ) je definiran iraom: σ = n T A.2.7 Tenor napreanja T T T T T T T T lika 4. Komponente tenora napreanja T Tipični tenor drugog reda koji je pojavljuje u mehanici kontinuuma je tenor napreanja. U tenoru napreanja komponente na glavnoj dijagonali onačavaju normalna napreanja, a komponente ivan glavne dijagonale tangencijalna napreanja. lika 4. ilustrira sadržaj komponenti tenora napreanja na primjeru elementarnog paralelopipeda dimenija d, d i d. Na tom su paralelopipedu tri karakteristične površine, čiji vektori vanjske normale (vektori okomiti na površinu i gledaju od paralelopipeda) gledaju u poitivnim smjerovima osi. Na svakoj toj površini djeluje vektor napreanja koji se može raložiti u tri komponente, jednu okomitu (normalnu) na površinu i dvije tangencijalne.
6 I tanje napreanja u točki prostora jednonačno je definirano tenorom napreanja. Komponente tenora napreanja definirane su komponentama triju vektora napreanja koji djeluju na površinama orijentiranim normalama u smjeru osi koordinatnog sustava, kao na slici. vaki vektor napreanja ima jednu normalnu komponentu (okomitu na σ površinu) i dvije tangencijalne (smične) komponente. σ Tablični apis komponenti tenora napreanja σ σ σ σ σ σ σ σ σ lika u definiciju komponenti tenora napreanja σ σji = σ σ σ σ σ σ Prvi indeks onačuje redak, tj. smjer normale na površinu, a drugi stupac odnosno pravac djelovanja komponente tenora napreanja. Tenor napreanja je simetričan postoje maseni i površinski momenti). ea imeđu vektora i tenora napreanja: (vektor napreanja je projekcija tenora napreanja na smjer normale) σ( n) = n T = ( nσ + nσ+ nσ) i + + ( n σ + n σ + n σ ) j+ ( n σ + n σ + n σ )k σ = σ ij ji (osim ako Dogovor o prednacima napreanja: Poitivna napreanja na površinama orijentiranim normalama u poitivnom smjeru koordinatnih osi također gledaju u poitivne smjerove tih osi i obrnuto, poitivna napreanja na površinama orijentiranim normalama koje gledaju u negativnom smjeru koordinatnih osi, također gledaju u negativne smjerove tih osi. A.3 Diferencijalni operatori A.3.1 Diferencijalni operatori Nabla Operator nabla: grad = = i + j + k A.3.2 Derivacija u smjeru jediničnog vektora n Φ = n gradφ (projekcija vektora gradijenta na smjer normale) n
7 II A.3.3 Totalni prirast polja na putu dr = d i + d j + d k Φ Φ Φ dφ = dr gradφ = d+ d+ d Prirast polja je najveći pri pomaku u smjeru gradijenta (gradijent pokauje smjer najbržeg porasta polja). manjenje polja je najveće pri pomaku u smjeru suprotnom od smjera gradijenta. Pri pomaku u smjeru okomitom na smjer gradijenta nema prirasta polja (vektor grad Φ je okomit na plohu Φ =konst.) A.3.4 Geometrijska interpretacija gradijenta na primjeru funkcije dviju varijabli Prostorni prika polja Φ= Φ (, ) Crte onačuju presjeke sa Φ =konst. Polje gradijenta je vektorsko polje. ektorsko polje se viualiira vektorskim krivuljama koje svojim tangentama pokauju smjer vektora vektorskog polja. Desna slika prikauje vektorske krivulje koje viualiiraju polje gradijenta Φ gornjeg primjera. Dvodimenijski prika polja iolinijama ektori onačuju smjer gradijenta
8 III A.4 Gaussova formula n d d Poveuje volumenski integral s površinskim integralom po atvorenoj površini koja opasuje volumen : nd = d gdje umjesto točkice može stajati skalarno, vektorsko ili tenorsko polje. Primjeri: O lika u Gaussovu formulu pnd= p d ili pnd = grad d v nd = vd p ili v nd = div d v
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Διαβάστε περισσότεραAlgebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske
Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραVektori. 28. studenoga 2017.
Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42 Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina
Διαβάστε περισσότερα1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ
Deformaije . Duljinska (normalna) deformaija. Kutna (posmina) deformaija γ 3. Obujamska deformaija Θ 3 Tenor deformaija tenor drugog reda ij γ γ γ γ γ γ 3 9 podataka+mjerna jedinia 4 Simetrinost tenora
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραLEKCIJE IZ MATEMATIKE 1
LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 5 Skalarni, vektorski i mješoviti produkt vektora Lekcije iz Matematike 1. 5. Skalarni, vektorski i mje²oviti produkt vektora I. Naslov i obja²njenje naslova
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA HIDROSTATIKA 5. Osnovna jednadžba gibanja (II. Newtonov zakon) čestice idealnog fluida i realnog fluida u relativnom mirovanju
MENIK LUID IDTTIK 5. IDTTIK snovna jednadžba ibanja (II. Newtonov akon) čestice idealno fluida i realno fluida u relativnom mirovanju σ d av d fdv+ σd n V V t av d fdv+ ( pn+ σ ) V V d U anemarenje viskoni
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραDeformacije. Tenzor deformacija tenzor drugog reda. Simetrinost tenzora deformacija. 1. Duljinska deformacija ε. 1. Duljinska (normalna) deformacija ε
Deformae. Duljinska (normalna) deformaa. Kutna (posmina) deformaa. Obujamska deformaa Θ Tenor deformaa tenor drugog reda 9 podatakamjerna jedinia Simetrinost tenora deformaa 6 podataka 4. Duljinska deformaa
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραTemeljni pojmovi trigonometrije i vektorskog računa
1 Temeljni pojmovi trigonometrije i vektorskog računa 1. Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije su omjeri stranica u pravokutnom trokutu. Mjerenjem je utvrdeno - da medusobni - omjeri stranica
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραSkalarni umnozak vektora je skalar: a b = a b cos ϕ ; ϕ kut izmedju vektor a i b.
5. VEKTORI U PROSTORU 5. Opcenito o vektorima a Jedinicni vektor (ort) je vektor sa intenzitetom. a a a Zbroj dva vektora je vektor: a+ b c. Graficki, zbroj se dobije ulancavanjem dva vektora. Na kraj
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραDrugi deo (uvoda) Vektori
Drugi deo (uvoda) Vektori Vektori i skalari Skalar je običan broj. Vektor je lista (uređena n-torka) skalara (komponente vektora). Pomeranje (recimo, 10 koraka prema zapadu) izražavamo vektorom. Rastojanje
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραMatematika Zbirka zadataka
Matematika Zbirka zadataka Kristina Devčić Božidar Ivanković Veleučilište Nikola Tesla u Gospiću Uvod Unaprijed se zahvaljujemo na svakom komentaru o propustima i nedosljednostima, a svaka primjedba glede
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραVektorska analiza doc. dr. Edin Berberović.
Vektorska analiza doc. dr. Edin Berberović eberberovic@mf.unze.ba Vektorska analiza Vektorska algebra (ponavljanje) Vektorske funkcije (funkcije sa vektorima) Jednostavna analiza (diferenciranje) Učenje
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Opera u Sidneju, Australija
VEKTORI Ciljevi poglavlja Sabiranje i razlaganje vektora na komponente, množenje i deljenje vektora skalarom Predstavljanje vektora u Dekartovom koordinatnom sistemu i operacije sa vektorima koji su izraženi
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραSustav dvaju qubitova Teorem o nemogućnosti kloniranja. Spregnuta stanja. Kvantna računala (SI) 17. prosinca 2016.
17. prosinca 2016. Stanje qubita A prikazujemo vektorom φ A u Hilbertovom prostoru H A koristeći ortonormiranu bazu { 0 A, 1 A }. Stanje qubita B prikazujemo vektorom φ B u H B... Ako se qubitovi A i B
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραAB rab xi y j. Formule. rt OT xi y j. xi y j. a x1 i y1 j i b x2 i y 2 j. Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y)
Formule Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y) r xi y j r T0 T rt x y 1 x y xi y j Radijvektor u koordinatnoj ravnini koji pripada točki T(x,y) rt OT xi y j Vektor AB ako su: AB rab ( x x1 )i ( y y1
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραMatrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler
Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραVrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.
Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραGeometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru
Geometrija ravnine i prostora I. Vektori u ravnini i prostoru Rudolf Scitovski, Darija Brajković 2. prosinca 2013. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Operacije s vektorima 4 2.1 Zbrajanje vektora...............................
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα1. Vektorske i skalarne funkcije
VEKTORSKE I SKALARNE FUNKCIJE 1 1. Vektorske i skalarne funkcije 1.1. Što su to skalarne i vektorske funkcije? Ako svakoj točki u nekom dijelu prostora pridružimo broj, ili drugim riječima skalar zadali
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραPrikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Διαβάστε περισσότεραMehanika je znanost koja proučava zakonitosti i uzroke gibanja. Mehaniku dijelimo na tri osnovna područja:
1. Uvod 1 1. Uvod 1.1. Osnovna podjela mehanike Mehanika je znanost koja proučava zakonitosti i uzroke gibanja. Mehaniku dijelimo na tri osnovna područja: statiku, koja proučava zakonitosti ravnoteže sila,
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραZnačenje indeksa. Konvencija o predznaku napona
* Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac
Διαβάστε περισσότεραV(x,y,z) razmatrane povrsi S
1. Napisati izraz koji omogucuje izracunavanje skalarne funkcije elektricnog potencijala V(x,y,z) u elektrostaskom polju, ako nema prostornoo rasporedjenih elekricnih naboja. Laplaceova diferencijalna
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Διαβάστε περισσότεραLEKCIJE IZ MATEMATIKE 1
LEKCIJE IZ MATEMATIKE Ivica Gusić Lekcija 2 Dvodimenzionalni, trodimenzionalni i n-dimenzionalni realni vektorski prostor Lekcije iz Matematike. 2. Dvodimenzionalni, trodimenzionalni i n-dimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραPRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραVektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije
Διαβάστε περισσότεραPrincipi kvantne mehanike
4. studenog 2016. Princip 1: stanje sustava Fizikalno stanje u kojem se nalazi neki kvantni sustav prikazujemo normiranim vektorom Φ u N-dimenzionalnom Hilbertovom prostoru H (N). Vektor Φ zovemo vektorom
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1
Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke
Διαβάστε περισσότεραLEKCIJE IZ MATEMATIKE 1
LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 3 Zapis nekih transformacija ravnine i prostora - pojam matrice i linearnog operatora Lekcije i Matematike 1. 3. Zapis nekih transformacija ravnine i prostora
Διαβάστε περισσότερα