Laplaceova transformacija

Transcript

1 Laplaceova transformacija Laplaceova transformacija je integralna transformacija s brojnim primjenama u matematici, fizici, elektrotehnici, teoriji vjerojatnosti i drugdje. Koristi se za rješavanje diferencijalnih i integralnih jednadžbi te analizu električkih krugova, oscilatora, optičkih naprava ili mehaničkih sustava. S pomoću Laplaceove transformacije veličine koje su funkcije vremena t preslikavaju se u nove veličine koje su funkcije kompleksne varijable p, čime se se polaznoj funkciji f(t) pridružuje odgovarajuća funkcija F (p) kao njena slika. Zadatak se iz realnog područja (t-domena) prenosi u matematički izvedeno Laplaceovo područje (p-domena). Pri tome, operacijama deriviranja i integriranja izvršenim nad originalnim funkcijama odgovaraju neke jednostavnije, algebarske operacije nad transformiranim funkcijama. Na taj način Laplaceova transformacija znatno pojednostavljuje analizu sustava. Mi ćemo Laplaceovu transformaciju koristiti kao alat za rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi sa zadanim početnim uvjetima, pa ćemo upoznati samo njezinu definiciju i neka najosnovnija svojstva. Definicija Laplaceove transformacije Neka je f neprekidna funkcija realnog argumenta t, definirana za t >, i s vrijednostima u skupu realnih ili kompleksnih brojeva. Neka je p realni ili kompleksni parametar. Laplaceov transformat funkcije f je funkcija F definirana s ako ovaj integral konvergira. F (p) = e pt f(t)dt, Funkciju f nazivamo originalom ili gornjom funkcijom, a funkciju F slikom ili donjom funkcijom. Da bismo olakšali zapisivanje i razumijevanje veza izmedu funkcija i njihovih slika, originale ćemo označavati malim slovima, a njihove slike velikim slovima. Takoder, argument originala ćemo sustavno označavati s t, a argument njihovih slika s p. Pridruživanje f F nazivamo Laplaceovom transformacijom i označavamo ga s L.

2 Dakle, ili jednostavnije L {f(t)} = F (p), f(t) F (p). Obratnu vezu, koja slici pridružuje original, nazivamo inverznom Laplaceovom transformacijom i označavamo s L : L {F (p)} = f(t), ili jednostavnije F (p) f(t). Cilj transformacije je transformirati funkciju f(t) u funkciju F (p) realne ili kompleksne varijable na način da iz transformata možemo kasnije ponovo dobiti original. Laplaceov integral je nepravi integral, e pt f(t)dt = M lim M e pt f(t)dt. Čak i za jednostavnije originale, računanje Laplaceovih transformata je neugodan posao. Srećom, imamo tablicu Laplaceovih transformata koju ćemo koristiti zajedno s pravilima preslikavanja za rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi drugog reda s konstantnim koeficijentima. 2

3 f(t) - original t n, t n N t F(p) - slika p p 2 n! p n+, n N π p e at p + a te at (p + a) 2 sin at cos at t sin at t cos at e at sin bt e at cos bt a p 2 + a p 2 p 2 + a 2 2ap (p 2 + a 2 ) 2 p 2 a 2 (p 2 + a 2 ) 2 b (p + a) 2 + b 2 p + a (p + a) 2 + b 2 Tablica : Tablica osnovnih Laplaceovih transformata 2 Osnovna svojstva Laplaceove transformacije. Linearnost L {C f (t) + C 2 f 2 (t)} = C L {f (t)} + C 2 L {f 2 (t)}, C, C 2 R Kažemo da je Laplaceova transformacija linearno preslikavanje. 2. Pomak u slici ili p-pomak Ovo svojstvo Laplaceove transformacije nazivamo još i teoremom o prigušenju. Funkciju e at f(t) nazivamo prigušenjem funkcije f, za bilo kakav realan broj a (naziv prigušenje sugerira da je a pozitivan broj, jer samo tada se radi o pravom prigušenju, ali svojstvo vrijedi za svaki broj a, realan ili kompleksan). Laplaceova transformacija djeluje na prigušenje funkcije na sljedeći način: L { e at f(t) } = F (p + a), a R, gdje je F Laplaceov transformat funkcije f. Drugim riječima, prigušenju originala odgovara pomak slike ulijevo. e at f(t) F (p + a) 3

4 3. Pomak u originalu ili t-pomak Ovo svojstvo Laplaceove transformacije nazivamo još i teoremom o pomaku. Original je funkcija f sa svojstvom f(t) = za t <. To svojstvo kod funkcija zadanih konkretnim formulama postižemo množenjem s Heavisideovom step funkcijom S(t). To je funkcija S : R R zadana s {, t, S(t) =, t <. Laplaceov transformat step funkcije je L {S(t)} = Slika : Graf step funkcije e pt dt = e pt p = p. p > Ako želimo pomaknuti step funkciju za neku realnu vrijednost a, zapisujemo je u obliku {, t a S(t a) =, t < a Slika 2: Graf pomaknute Step funkcije Izraz f(t a)s(t a) predstavlja funkciju f(t) pomaknutu udesno za vrijednost a. f(t a)s(t a) = { f(t a), t a, t < a Laplaceova transformacija djeluje na pomaknutu funkciju na sljedeći način: L {f(t a)s(t a)} = e ap F (p), a >, 4

5 Slika 3: Graf funkcije cos(t a)s(t a) gdje je F Laplaceov transformat funkcije f. Drugim riječima, pomaku originala udesno odgovara prigušenje slike. f(t a)s(t a) e ap F (p) 4. Deriviranje originala Neka je funkcija f(t) dva puta derivabilna. Laplaceova transformacija djeluje na prve dvije derivacije funkcije f na sljedeći način: L { f (t) } = pf (p) f(), L { f (t) } = p 2 F (p) pf() f (). 3 Inverzna Laplaceova transformacija S pomoću inverzne Laplaceove transformacije računat ćemo original funkcije ako je poznata njezina slika (transformat), tj. f(t) = L {F (p)}. U jednostavnijom slučajevima za to će nam trebati samo tablica Laplaceovih transformata i poznavanje svojstava Laplaceove transformacije. U složenijim slučajevima trebat će nam i poznavanje rastava racionalnih funkcija na parcijalne razlomke, te nadopuna izraza do potpunog kvadrata. Napomena. Ne postoje dvije različite funkcije (originala) koje imaju jednaku sliku. 4 Gate funkcija i Diracova delta funkcija Gate funkcija g [a,b] je definirana s g [a,b] (t) = {, a t b,, inače. To je funkcija koja se poništava izvan intervala [a, b], a na njemu ima konstantnu vrijednost. 5

6 Slika 4: Gate funkcija Gate funkcija se može zapisati u obliku g [a,b] = S(t a) S(t b), < a < b. Zato je njezin transformat g [a,b] e pa p e pb p. Množenjem funkcije f s gate funkcijom dobiva se funkcija koja se podudara s funkcijom f na intervalu [a, b], a van tog intervala jednaka je nuli. Diracova delta funkcija je objekt koji se definira na sljedeći način δ(x) = {, t, t =, δ(t)dt =. Ovakva funkcija u stvarnosti ne postoji, ali je možemo promatrati kao impuls kratkog trajanja i velikog (beskonačnog) intenziteta. Za ovu funkciju vrijedi da je S (t) = δ(t) odnosno t δ(t)dt = S(t), što znači da je Diracova delta funkcija zapravo derivacija step funkcije. Ako promatramo ovu funkciju u Laplaceovoj domeni, vrijedi L {δ(t)} =, L {δ(t a)} = e ap. 6