Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije

Transcript

1 Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo

2 Derivacije višeg reda Derivacija funkcije f je opet funkcija, i može biti derivabilna. U tom slučaju derivacija funkcije f' se označava kao f" i zove druga derivacija funkcije f. Derivacija funkcije f"se zove treća derivacija funkcije f, itd. Ove derivacije: druga, treća,... se zovu derivacije višeg reda. Obično se v označavaju s f", f'", f, ali i ovako: f (4), f (5), f (6), Dakle, općenito, k-ta derivacija f (k) je prva derivacija od f (k-). Primjer: Dokazati da za funkciju konstante, vrijedi y y. y Acos + B sin, gdje su A i B bilo koje Rješenje: y Asin + Bcos, y Acos Bcos y. Primjer: Naći f (5), ako je 4 f ( ). Rješenje: ) 4 3, f ( ), f ( ) 4, f (4) 4, f (5).

3 Primjer: Naći brzinu i akceleraciju materijalne točke koja se giba po pravcu ( 3t ) prema zakonu gibanja s( t) e. Rješenje: Brzina v(t) je derivacija puta po vremenu, a akceleracija a(t) je derivacija brzine po vremenu. Dakle, ( ( 3t ) ( 3t 3t v( t) s ( t) e e )( 3) 3e, 3t 3t 3t a( t) v ( t) 3e 3 e 3 9e ( ) ( )( ).

4 Diferencijal funkcije Pojam diferencijala je izrazito važan u diferencijalnom računu funkcija više varijabli, dok kod funkcija jedne varijable ima nešto manju važnost. Pojam derivacije funkcije vezan je za pojam promjene funkcije. U dokazu teorema o deriviranju složene funkcije primjenili smo formulu: f ( + ) f ( ) ) + ε ( ), gdje je ε ( ), koja slijedi odmah iz definicije derivacije: ) f ( + ) f ( ). Neka je točka učvršćena, a vrijednost varijabilna. Prirast funkcije može se predočiti kao zbroj dvaju članova, ) i ε ( ), pri čemu je drugi član mali u odnosu na prvi član za mali prirast argumenta (jer ε ( ) ). Prvi član ) zove se diferencijal funkcije f u točki i označava se s df()( ). Prema tome, diferencijal u čvrstoj točki je linearna funkcija u varijabli, definirana s df ( )( ) )

5 što često pišemo skračeno df ( ) ) odnosno, ako to uskladimo s oznakom df ( ) ), d df ( ) ) d Obično kažemo da je diferencijal linearni dio promjene funkcije, što je jasno iz f ( + ) f ( ) ) + ε ( ) ali ćemo to objasniti i geometrijski. U SS trokutu TS S je tg α ). Dakle, TS SS ), tj. diferencijal računa promjenu vrijednosti ordinate po tangentina krivulju u točki.

6 Primjer: Naći diferencijal funkcije f ( ) lnsin. Rješenje sin cos Prema tome: df ( ) d. sin cos sin ešenje: f ( ) ( lnsin ) cos. Budući da je u formuli za diferencijal bitan dio derivacija, svojstva diferencijala su analogna svojstvima derivacija. Tako imamo:. d(u ± v) du ± dv,. d(u v) v du + u dv, 3. u d v v du u dv, v 4. d(u(v)) (u(v)) dv.

7 Približno računanje pomoću diferencijala Diferencijal možemo koristiti za približno računanje. Ako je d mali, onda se prirast po tangenti malo razlikuje od prirasta funkcije (vidi sliku). Tako imamo: Odavde slijedi formula f ( ) ), tj. f + ) f ( ) ) f (. + ) f ( ) + ), ( kojase zove formula konačnog prirasta. 3 Primjer: Neka je f ( ) Izračunaj približno f(.). Rješenje: Stavimo,.. Imamo: f (.) f ( +.) f ( + ) f ( ) + ) f () , ) Dakle, f (.) f () + ).; ( 3 ) ( ) Pogledajmo koliko smo pogriješili ovim približnim računom. Stvarna vrijednost

8 funkcije iznosi , pa je pogreška.3. Računanje potencije: Ako je f() n, onda imamo: n n ( + ) + n. Primjer: Izračunaj približno.. Rješenje: Stavimo f(),,.. Imamo f (), pa je:. ( +.) Stvarna vrijednost je., pa je pogreška.. n Računanje korijena: Ako je f() n, onda imamo: n ( + ) n + n n n. Primjer: Izračunaj približno 6.

9 Rješenje: Stavimo f(), 5,. Imamo ), pa je: Stvarna vrijednost je približno , pa je pogreška..

10 Osnovni teoremi diferencijalnog računa U prethodnom poglavlju smo naučili derivirati. Sada nas zanima primjena diferencijalnog računa za funkcije jedne varijable. Jedna od primjena je ispitivanje toka zadane funkcije. Da bismo mogli nacrtati graf funkcije potrebne su nam neke tvrdnje koje vežu pojam derivacije zadane funkcije i ponašanje njezinog grafa. Upravo su osnovni teoremi diferencijalnog računa ta poveznica iz koje iščitavamo, izravno ili neizravno, kako se ponaša zadana funkcija. Najprije ćemo definirati pojam lokalnog ekstrema. Ekstremi funkcije. Neka je f : S R funkcija definirana na bilo kojem zadanom nepraznom skupu S R. Za točku a S kažemo da je a točka maksimuma od f ako za sve S vrijedi f() f(a).

11 Ako za sve S vrijedi f() f(a), onda kažemo da je a točka minimuma od f. U prvom slučju pišemo da je f a) ma{ f ( ) : S} (, ili kraće f ( a) ma f ( ). Taj broj je maksimum funkcije na skupu S. U drugom slučaju pišemo f ( a) minf ( ). Taj broj je minimum funkcije na skupu S. S Sve točke maksimuma i minimuma funkcije f zovemo ekstremima funkcije f. S Ako u gornjoj funkciji vrijedi stroga nejednakost uz dodatni uvjet a, onda govorimo o točki strogog maksimuma ili minimuma, ili o strogom ekstremu.

12 Lokalni ekstremi. Neka je I otvoreni interval u R i f : I R bilo koja funkcija. Za točku a I kažemo da je točka lokalnog maksimuma od f ako postoji otvoreni interval O(a) koji sadrži a, takav da restrikcija f O(a) ima maksimum u točki a. Slično se definira i točka lokalnog minimuma od f. Točke lokalnog maksimuma i minimuma funkcije f : I R zovemo točkama lokalnih ekstremima funkcije f. Odgovarajuće točke na grafu funkcije zovemo takoñer lokalnim ekstremima. Sljedeći teorem kaže da je u svakoj točki lokalnog ekstrema funkcije tangenta na njen graf vodoravna, tj. paralelna s -osi. Ta je tvrdnja geometrijski skoro očevidna.

13 Teorem. (Fermatov teorem) Neka je I otvoreni interval u R i neka je f : I R diferencijabilna funkcija. Ako je a I točka lokalnog ekstrema od f, onda je f'(a). Dokaz: Neka je a I točka lokalnog ekstrema, npr. točka lokalnog maksimuma. Onda je f() f(a) za sve O(a). Dakle, za sve O(a) takve da je <a vrijedi f ( ) f ( a) a, jer su brojnik i nazivnik negativni (brojnik može biti i ). Za O(a) takve da je >a vrijedi f ( ) f ( a) a, jer je nazivnik pozitivan. Zbog diferencijabilnosti od f u točki a, u obje gornje nejednakosti možemo računati es kada a (s lijeva u prvoj nejednakosti, s desna u drugoj). Dobivamo f'(a) i f'(a), dakle f'(a). Q.E.D.

14 Stacionarne točke. Za diferencijabilnu funkciju f : I R točke koje su rješenja jednadžbe zovu se stacionarne točke od f. f'() Naziv "stacionarna (tj. nepokretna) točka" je vrlo zoran: ako zamiso graf funkcije kao čvrstu podlogu, onda će mala kuglica položena na graf mirovati jedino u onim točkama gdje je tangenta vodoravna, tj. u točkama na grafu koje odgovaraju stacionarnim točkama. U svim osta točkama kuglica će se otkotrljati. Drugim riječima, Fermatov teorem kaže da su sve točke lokalnih ekstrema stacionarne točke. Ovaj jednostavan, ali vrlo važan teorem, povezuje geometriju grafa funkcije s algebrom (nalaženje nul-točaka derivacije).

15 Kritične točke. Nešto širi pojam od stacionarne točke (to su točke u kojima je derivacija jednaka nuli, tj. tangenta na graf je vodoravna) je pojam kritične točke funkcije. To su one točke u kojima je derivacija jednaka nuli ili ne postoji. Za diferencijabilne funkcije su kritične točke isto što i stacionarne. Teorem. (Rolleov teorem) Neka je f :[a,b] R neprekinuta funkcija, diferencijabilna na (a,b). Ako je f(a) f(b), onda postoji točka c (a,b) takva da je f'(c).

16 Dokaz: Ako je f konstantna funkcija, onda je f'() za sve (a,b), pa tvrdnja vrijedi. Ako f nije konstantna funkcija, onda u barem jednoj točki c (a,b) funkcija ima lokalni ekstrem (minimum ili maksimum) različit od f(a) (u suprotnom bi f bila konstantna). Kako je f diferencijabilna, prema Fermatovom teoremu dobivamo f'(c). Q.E.D. Teorem 3. (Lagrangeov teorem o srednjoj vrijednosti) Neka je f :[a,b] R neprekinuta funkcija, diferencijabilna na (a,b). Onda postoji točka c (a,b) takva da je f(b) f(a) f'(c) (b a). Slika: Postoji tangenta koja je paralelna sa sekantom

17 Dokaz: Definirajmo pomoćnu funkciju F() f() - λ. Odaberimo konstantu λ tako da bude F(a) F(b). Dakle: f(a) - λa f(b) - λb, pa slijedi da je f ( b) f ( a) λ. Ovako definirana funkcija F() ispunjava sve uvjete Rolleovog b a teorema, pa slijedi da postoji c (a,b) takav da vrijedi F'(c). Kako je F' () f ( b) f ( a) f'() - λ, slijedi da je f'(c) - λ, tj. c) λ. Tvrdnja je dokazana. b a Q.E.D. Teorem je geometrijski skoro očevidan. Naime, ako povučemo sekantu kroz točke na grafu funkcije f koje odgovaraju a i b, onda postoji tangenta na f u nekoj točki c (a,b) koja je paralelna sekanti, tj. f ( b) f ( a) c). b a

18 Korolar. Neka je I otvoreni interval u R. (a) Neka je funkcija f : I R diferencijabilna. Ako je f'() za sve I, onda je funkcija f konstantna. (b) Neka su f i g : I R dvije diferencijabilne funkcije. Ako je f'() g'() za sve I, onda se funkcije razlikuju za konstantu, tj. f() g() + C. Dokaz: (a) Neka su a, b I proizvoljno odabrani. Prema Lagrangeovu teoremu postoji c (a,b) tako da je f ( b) f ( a) c)( b a) ( b a). Dakle je f(a) f(b). Dakle, f je konstantna funkcija. (b) Definirajmo pomoćnu funkciju F() f() g(). Imamo F'() f'() g'() za sve I. Funkcija F zadovoljava pretpostavke tvrdnje (a), pa slijedi da je F() C za sve I, tj. f() g() + C. Q.E.D.

19 Derivacija i monotonost. Sljedeći korolar je važan za nalaženje intervala monotonosti zadane funkcije, tj. intervala u kojima je funkcija rastuća ili padajuća. Ako je derivacija u nekom intervalu pozitivna, onda je na njemu funkcija strogo rastuća. Ako je derivacija u nekom intervalu negativna, onda je na njemu funkcija strogo padajuća. Sa slike (geometrijski) je tvrdnja skoro očevidna. Korolar. Neka je I otvoreni interval u R. (a) Ako je f'() > na I, onda je funkcija strogo rastuća. (b) Ako je f'() < na I, onda je funkcija strogo padajuća.

20 Dokaz: (a) Neka je f'() > na I. Odaberimo bilo koje i I tako da je <. Prema Lagrangeovu teoremu postoji c (, ) tako da je f ) f ( ) c)( ), ( > Dakle je f( ) < f( ). Tvrdnja (b) se dokazuje na isti način. Q.E.D. Obrat tvrdnji iz Korolara ne vrijedi. Primjerice, funkcija raste na cijelom R, ali nije ) >. Naime ). 3 f ( ) strogo Sljedeći teorem će nam omogućiti dokaz L Hospitalova pravila, koje predstavlja važno sredstvo u računanju raznih esa.

21 Teorem 4. (Cauchyjev teorem o srednjoj vrijednosti) Neka su zadane dvije funkcije f,g :[a,b] R koje su neprekinute na a,b] i diferencijabilne na (a,b). Predpostavimo da je g'() za sve (a,b). Onda postoji c (a,b) tako da vrijedi f ( b) g( b) f ( a) g( a) c). g ( c) Dokaz: Dokaz je vrlo sličan dokazu Lagrangeova teorema. Definirajmo pomoćnu funkciju F() f() - λg(). Odaberimo konstantu λ tako da bude F(a) f ( b) f ( a) F(b). Dakle: f(a) - λg(a) f(b) - λ g(b), pa slijedi da je λ (ne može g( b) g( a) biti g(a) g(b), jer bi inače po Rolleovom teoremu primijenjenom na funkciju g postojao c (a,b) takav da je g'(c), što je nemoguće). Ovako definirana funkcija F() ispunjava sve uvjete Rolleovog teorema, pa slijedi da postoji c (a,b) takav da vrijedi F'(c). Kako je F' () f'() - λ g'(), slijedi da je f'(c) - λ c) g'(c), tj. λ. Tvrdnja je dokazana. Q.E.D. g'( c)

22 L Hospitalovo pravilo L Hospitalovo pravilo služi za računanje esa kvocijenta dviju funkcija u slučaju kada kvocijent ima neodreñeni oblik ili. Ostali neodreñeni oblici (,,,, ) izračunavaju se svoñenjem na neki od ova dva oblika. U teoremima ćemo koristiti oznaku R {- } «R «{ }. Teorem 5. (L Hospitalovo pravilo ) Neka su f i g diferencijabilne funkcije na S (a, ) «(,b) i g'() na S. Ako vrijedi f ( ) g( ) i postoji ) g ( ) R, onda je f ( ) g( ) ). g ( )

23 Dokaz: Dokaz ćemo prvo provesti za es sdesna. Promatrajmo funkcije f i g na intervalu (, +h) za neki mali h>. Ako definiramo f( ) g( ), tada funkcije postaju neprekinute na [, +h]. Sada primijenimo Cauchyjev teorem na intervalu [, ] za neki (, +h). Prema ovom teoremu postoji točka c f ( ) c) (,) takva da je. U ovoj jednakosti pustimo da, tada i g( ) g ( c) c. Iz pretpostavke teorema postoji es desne strane, pa tada postoji i f ( ) ) es lijeve strane i oni su jednaki. Dakle,. g( ) g ( ) + + Analogno razmatranje možemo provesti za es slijeva (na intervalu ( -h, )). f ( ) ) ) Dakle, vrijedi i. Kako postoji to su es g( ) g ( ) g ( ) slijeva i sdesna jednaki, pa slijedi tvrdnja teorema. Q.E.D. Prethodnim teoremom nije obuhvaćen slučaj kada ili -. Pokazuje se da teorem vrijedi i u tom slučaju:

24 Korolar 3. Neka su f i g diferencijabilne funkcije na intervalu I (a, ) i g'() ) na I. Ako vrijedi f ( ) g( ) i postoji R, onda je g ( f ( ) g( ) ). g ( ) ) Dokaz: Uvedimo supstituciju i vidimo da funkcije f ( ) i g ( ) u u u zadovoljavaju pretpostavke Teorema 5 na nekom intervalu < u < u slučaju c kada u +. Prema tome vrijedi: f ( ) g( ) f ( ) u g( ) u u u + u + u + u ) u g ( ) u ) u g ( ) u ). Q.E.D. g ( )

25 Primjeri: ) Izračunajmo već poznati es sin sin pomoću L Hospitalovog pravila: (sin ) ( ) cos. ) Izračunajmo es tg : sin tg sin cos cos (+ cos ). cos ( cos )(+ cos ) cos 3) Izračunajmo es cos sin :

26 cos sin sin cos. Limes smo izračunali koristeći, te sin sin ( ) cos ( ) cos cos. U ovom slučaju ne možemo koristiti L Hospitalovo pravilo. Zaista, ako je f ( ) cos, g( ) sin, onda je ) g ( ) cos + sin, cos a taj es ne postoji jer ne postoji es sin. Prema tome za

27 cos ne možemo koristiti L Hospitalovo pravilo, jer nisu zadovoljeni sin uvjeti Teorema 5. L Hospitalovo pravilo možemo primijeniti i nekoliko puta uzastopno računajući neki es. Jedino je važno da kod svake primjene imamo zadovoljene uvjete pod kojima smijemo koristiti to pravilo. Primjer: Izračunajmo sin 3 : sin 3 cos 3 sin 6 cos 6. 6

28 Teorem 6. (L Hospitalovo pravilo ) Neka su f i g diferencijabilne funkcije na S (a, ) «(,b) i g'() na S. Ako vrijedi f ( ) g( ) i postoji ) g ( ) R, onda je f ( ) g( ) ). g ( ) Dokaz se opet provodi primijenom Cauchyjevog teorema. Izostavit ćemo ga. Napomena: Teorem 6 vrijedi kada jedna ili obje funkcije teže u, atakoñer vrijedi kada ili. Primjeri: ) Izračunajmo + e 3 i e : 3

29 3 e e e 3 e e, e, pa ga računamo direktno e. 3 3 ln ). Neodreñeni oblici,,,, mogu se izračunavati takoñer koristiti L Hospitalovo pravilo, ali se prije toga moraju svesti na oblik ili. Pokazat ćemo to na primjerima. Neodreñeni oblik. imamo u slučaju kada računamo es umnoška funkcija, pri čemu jedna funkcija teži u beskonačno (± ), a druga u nulu. Tada jedan faktor umnoška zapišemo kao razlomak s nazivnikom recipročno.

30 Primjeri: ln ) ln ( ) Uočimo da smo mogli ln bismo imali nešto kompliciraniji račun. + ln + svesti na oblik pisati ) ln ( ). + ln, ali ln. Neodreñeni oblik. imamo u slučaju kada računamo es razlike funkcija, pri čemu svaka funkcija teži u beskonačno. Tada razliku funkcija pišemo tako da u obliku

31 f ( ) g( ) f ( ) g( ) kada es svodimo na oblik. Slično f ( ) g( ) f ( ) g( ) ga možemo svesti na oblik ili prvo na oblik oblika., pa zatim na prethodna dva Primjeri: ) arctg π ( ) +. sin arctg π ) ( ) + sin + sin + sin + cos + cos

32 sin. cos sin + Neodreñene oblike,, svodimo na već spomenute oblike pišući g( ) g( )lnf ( ) g( )lnf ( ) f ( ) e e kada ili ili. Primjeri: ln ln ( ) ) e e e e ) Koristeći ranije odreñen es ln + imamo ( ) e e +. ln +.

33 3) ( ) ln sin ln sin sin e e e, jer imamo. cos sin sin cos sin sin cos sin ln ln sin