HY118-Διακριτά Μαθηματικά

Transcript

1 HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 16/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 17-Feb

2 Κατηγορηματικός Λογισμός 17-Feb

3 Έχουμε δει Ανάγκη/σημασία Κατηγόρημα, μεταβλητές, προτασιακή μορφή, πεδίο ορισμού, μοντέλο Ποσοδείκτες Καθολικός Υπαρξιακός Ελεύθερες / δεσμευμένες μεταβλητές Ο συμβολισμός (x:=a) 17-Feb

4 Ένα παράδειγμα... P= Πέρασα όλα τα μαθήματα που έδωσα το προηγούμενο εξάμηνο Έστω M το σύνολο των μαθημάτων που έδωσα το προηγούμενο εξάμηνο. Έστω Π(x) = Πέρασα το μάθημα x Τότε η πρόταση P γράφεται ως: x Π(x) Είναι η παραπάνω πρόταση αληθής; Εάν έδωσες κάποια μαθήματα και τα πέρασες όλα τότε, ναι, είναι αληθής... αλλά και εάν ΔΕΝ έδωσες κανένα μάθημα, τότε πάλι η πρόταση είναι αληθής! 17-Feb

5 Πως μπορούμε να χειριστούμε την ίδια περίπτωση χωρίς να εμπλέξουμε κενό πεδίo ορισμού; P= Πέρασα όλα τα μαθήματα που έδωσα το προηγούμενο εξάμηνο Έστω Σ το σύνολο όλων των μαθημάτων (μη κενό) Έστω Π(x) = Πέρασα το μάθημα x Έστω Ε(x) = Έδωσα το μάθημα x Τότε η πρόταση P γράφεται: x (Ε(x) Π(x)) Είναι η παραπάνω πρόταση αληθής; Εάν έδωσες κάποια μαθήματα και τα πέρασες όλα τότε, ναι, είναι αληθής... αλλά και εάν ΔΕΝ έδωσες κανένα μάθημα, τότε πάλι η πρόταση είναι αληθής! 17-Feb

6 Συντακτικό του κατηγορηματικού xp(x) πρόταση λογισμού yq(x) προτασιακή μορφή x( y R(x,y)) - πρόταση xp(b) - πρόταση η xp(b) είναι αληθής αν και μόνο αν η P(b) είναι αληθής Κανόνας: ένας ποσοδείκτης που δεν δεσμεύει κάποια μεταβλητή μπορεί να αγνοηθεί 17-Feb

7 Εμβέλεια ποσοδεικτών Ποιο είναι το νόημα της έκφρασης x xp(x) ; η x δεν είναι ελεύθερη μεταβλητή στην x P(x), επομένως η δέσμευση του x δεν χρησιμοποιείται. Ποιο είναι το νόημα της έκφρασης ( xp(x)) Q(x); Η μεταβλητή x είναι εκτός της εμβέλειας του ποσοδείκτη x, και επομένως είναι ελεύθερη. Άρα δεν έχουμε πρόταση! Ποιο είναι το νόημα της έκφρασης ( x P(x)) ( xq(x)); Πρόταση, χωρίς πλεονασματικούς ποσοδείκτες. Η μεταβλητή x εμφανίζεται με το ίδιο όνομα, αλλά δεν αφορά στο ίδιο στοιχείο! Θα ήταν ισοδύναμο εάν γράφαμε ( x P(x)) ( yq(y)) 17-Feb

8 Παραδείγματα Πως θα πούμε στον Κατηγορηματικό Λογισμό ότι Όλοι θαυμάζουν κάποιον 17-Feb

9 Παραδείγματα Πως θα πούμε στον Κατηγορηματικό Λογισμό ότι Όλοι θαυμάζουν κάποιον (όχι συγκεκριμένο) Έστω Θαυμάζει(x,y)= O x θαυμάζει τον y x y Θαυμάζει(x,y) «Για κάθε άνθρωπο x, υπάρχει κάποιος άνθρωπος y έτσι ώστε ο x να θαυμάζει τον y» «Κάθε άνθρωπος έχει κάποιον να θαυμάζει» 17-Feb

10 Παραδείγματα Πως θα πούμε στον Κατηγορηματικό Λογισμό ότι Υπάρχει κάποιος τον οποίο όλοι θαυμάζουν Έστω Θαυμάζει(x, y)= O x θαυμάζει τον y y x Θαυμάζει(x,y) «Υπάρχει κάποιος άνθρωπος y τον οποίο κάθε άνθρωπος x θαυμάζει» 17-Feb

11 Άσκηση με ποσοδείκτες Εάν B(x,y)= ο x βασίζεται στον y, εκφράστε τα παρακάτω σε φυσική γλώσσα: 17-Feb

12 Άσκηση με ποσοδείκτες x( y Β(x,y))= y( x Β(x,y))= x( y Β(x,y))= y( x Β(x,y))= x( y Β(x,y))= y( x Β(x,y))= x( y Β(x,y))= y( x Β(x,y))= 17-Feb

13 Άσκηση με ποσοδείκτες x( y Β(x,y))= Για όλους, υπάρχει κάποιος στον οποίον βασίζονται y( x Β(x,y))= x( y Β(x,y))= y( x Β(x,y))= x( y Β(x,y))= y( x Β(x,y))= x( y Β(x,y))= y( x Β(x,y))= 17-Feb

14 Άσκηση με ποσοδείκτες x( y Β(x,y))= Για όλους, υπάρχει κάποιος στον οποίον βασίζονται y( x Β(x,y))= Για όλους υπάρχει κάποιος που να βασίζεται πάνω τους x( y Β(x,y))= y( x Β(x,y))= x( y Β(x,y))= y( x Β(x,y))= x( y Β(x,y))= y( x Β(x,y))= 17-Feb

15 Άσκηση με ποσοδείκτες x( y Β(x,y))= Για όλους, υπάρχει κάποιος στον οποίον βασίζονται y( x Β(x,y))= Για όλους υπάρχει κάποιος που να βασίζεται πάνω τους x( y Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος που βασίζεται σε όλους y( x Β(x,y))= x( y Β(x,y))= y( x Β(x,y))= x( y Β(x,y))= y( x Β(x,y))= 17-Feb

16 Άσκηση με ποσοδείκτες x( y Β(x,y))= Για όλους, υπάρχει κάποιος στον οποίον βασίζονται y( x Β(x,y))= Για όλους υπάρχει κάποιος που να βασίζεται πάνω τους x( y Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος που βασίζεται σε όλους y( x Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος στον οποίο όλοι βασίζονται x( y Β(x,y))= y( x Β(x,y))= x( y Β(x,y))= y( x Β(x,y))= 17-Feb

17 Άσκηση με ποσοδείκτες x( y Β(x,y))= Για όλους, υπάρχει κάποιος στον οποίον βασίζονται y( x Β(x,y))= Για όλους υπάρχει κάποιος που να βασίζεται πάνω τους x( y Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος που βασίζεται σε όλους y( x Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος στον οποίο όλοι βασίζονται x( y Β(x,y))= Όλοι βασίζονται σε όλους y( x Β(x,y))= x( y Β(x,y))= y( x Β(x,y))= 17-Feb

18 Άσκηση με ποσοδείκτες x( y Β(x,y))= Για όλους, υπάρχει κάποιος στον οποίον βασίζονται y( x Β(x,y))= Για όλους υπάρχει κάποιος που να βασίζεται πάνω τους x( y Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος που βασίζεται σε όλους y( x Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος στον οποίο όλοι βασίζονται x( y Β(x,y))= Όλοι βασίζονται σε όλους y( x Β(x,y))= Για όλους ισχύει ότι όλοι βασίζονται σε αυτόν x( y Β(x,y))= y( x Β(x,y))= 17-Feb

19 Άσκηση με ποσοδείκτες x( y Β(x,y))= Για όλους, υπάρχει κάποιος στον οποίον βασίζονται y( x Β(x,y))= Για όλους υπάρχει κάποιος που να βασίζεται πάνω τους x( y Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος που βασίζεται σε όλους y( x Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος στον οποίο όλοι βασίζονται x( y Β(x,y))= Όλοι βασίζονται σε όλους y( x Β(x,y))= Για όλους ισχύει ότι όλοι βασίζονται σε αυτόν x( y Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος που βασίζεται σε κάποιον y( x Β(x,y))= 17-Feb

20 Άσκηση με ποσοδείκτες x( y Β(x,y))= Για όλους, υπάρχει κάποιος στον οποίον βασίζονται y( x Β(x,y))= Για όλους υπάρχει κάποιος που να βασίζεται πάνω τους x( y Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος που βασίζεται σε όλους y( x Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος στον οποίο όλοι βασίζονται x( y Β(x,y))= Όλοι βασίζονται σε όλους y( x Β(x,y))= Για όλους ισχύει ότι όλοι βασίζονται σε αυτόν x( y Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος που βασίζεται σε κάποιον y( x Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος στον οποίο κάποιος βασίζεται 17-Feb

21 Άσκηση με ποσοδείκτες x( y Β(x,y))= Για όλους, υπάρχει κάποιος στον οποίον βασίζονται y( x Β(x,y))= Για όλους υπάρχει κάποιος που να βασίζεται πάνω τους x( y Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος που βασίζεται σε όλους y( x Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος στον οποίο όλοι βασίζονται x( y Β(x,y))= Όλοι βασίζονται σε όλους y( x Β(x,y))= Για όλους ισχύει ότι όλοι βασίζονται σε αυτούς x( y Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος που βασίζεται σε κάποιον y( x Β(x,y))= Υπάρχει κάποιος στον οποίο κάποιος βασίζεται 17-Feb

22 Άλλο ένα παράδειγμα Έστω P(x,y)= y<x 2 Να προσδιοριστεί η αλήθεια των εξής προτάσεων όταν οι x, y είναι πραγματικοί αριθμοί: x y P(x,y) x y P(x,y) y x P(x,y) x y P(x,y) x y P(x,y) y x P(x,y) 17-Feb

23 Άλλο ένα παράδειγμα Έστω P(x,y)= y<x 2 Να προσδιοριστεί η αλήθεια των εξής προτάσεων όταν οι x, y είναι πραγματικοί αριθμοί: x y P(x,y) T x y P(x,y) y x P(x,y) x y P(x,y) x y P(x,y) y x P(x,y) 17-Feb

24 Άλλο ένα παράδειγμα Έστω P(x,y)= y<x 2 Να προσδιοριστεί η αλήθεια των εξής προτάσεων όταν οι x, y είναι πραγματικοί αριθμοί: x y P(x,y) T x y P(x,y) F y x P(x,y) x y P(x,y) x y P(x,y) y x P(x,y) 17-Feb

25 Άλλο ένα παράδειγμα Έστω P(x,y)= y<x 2 Να προσδιοριστεί η αλήθεια των εξής προτάσεων όταν οι x, y είναι πραγματικοί αριθμοί: x y P(x,y) T x y P(x,y) F y x P(x,y) Τ x y P(x,y) x y P(x,y) y x P(x,y) 17-Feb

26 Άλλο ένα παράδειγμα Έστω P(x,y)= y<x 2 Να προσδιοριστεί η αλήθεια των εξής προτάσεων όταν οι x, y είναι πραγματικοί αριθμοί: x y P(x,y) T x y P(x,y) F y x P(x,y) Τ x y P(x,y) F x y P(x,y) y x P(x,y) 17-Feb

27 Άλλο ένα παράδειγμα Έστω P(x,y)= y<x 2 Να προσδιοριστεί η αλήθεια των εξής προτάσεων όταν οι x, y είναι πραγματικοί αριθμοί: x y P(x,y) T x y P(x,y) F y x P(x,y) Τ x y P(x,y) F x y P(x,y) T y x P(x,y) 17-Feb

28 Άλλο ένα παράδειγμα Έστω P(x,y)= y<x 2 Να προσδιοριστεί η αλήθεια των εξής προτάσεων όταν οι x, y είναι πραγματικοί αριθμοί: x y P(x,y) T x y P(x,y) F y x P(x,y) Τ x y P(x,y) F x y P(x,y) T y x P(x,y) T 17-Feb

29 Topic #3 Predicate Logic Ισχυρότερες / ασθενέστερες προτάσεις 1. x( y R(x,y)) 2. y( x R(x,y)) 3. x( y R(x,y)) Αν η 3 είναι αληθής τότε και η 2 είναι αληθής. Αν η 2 είναι αληθής, τότε και η 1 είναι αληθής Λέμε ότι: Η 3 είναι λογικά ισχυρότερη από τη 2 Η 2 είναι λογικά ισχυρότερη από τη 1 17-Feb (c) , Michael

30 Μερικές συντομεύσεις Μερικές φορές, το π.ο. περιορίζεται κατά την ποσοτικοποίηση, π.χ., Το x>0 P(x) είναι συντομογραφία του Για κάθε x μεγαλύτερο του μηδενός, P(x). Πως θα το γράφατε αυτό χωρίς συντομογραφία; 17-Feb

31 Μερικές συντομεύσεις Μερικές φορές, το π.ο. περιορίζεται κατά την ποσοτικοποίηση, π.χ., Το x>0 P(x) είναι συντομογραφία του Για κάθε x μεγαλύτερο του μηδενός, P(x). Πως θα το γράφατε αυτό χωρίς συντομογραφία; x (x>0 P(x)) 17-Feb

32 Μερικές συντομεύσεις Το x>0 P(x) είναι συντομογραφία του: Υπάρχει x μεγαλύτερο του μηδενός, τέτοιο ώστε P(x). Πως θα το γράφατε με βάση τον τυπικό ορισμό το x>0 P(x) ; =??? 17-Feb

33 Μερικές συντομεύσεις Το x>0 P(x) είναι συντομογραφία του: Υπάρχει x μεγαλύτερο του μηδενός, τέτοιο ώστε P(x). Πως θα το γράφατε με βάση τον τυπικό ορισμό το x>0 P(x) ; = x (x>0 P(x)) 17-Feb

34 Για να το ξαναδούμε Το x>0 P(x) είναι συντομογραφία του Για κάθε x μεγαλύτερο του μηδενός, P(x). = x (x>0 P(x)) Το x>0 P(x) είναι συντομογραφία του Υπάρχει x μεγαλύτερο του μηδενός, τέτοιο ώστε P(x). = x (x>0 P(x)) 17-Feb

35 Μερικές συντομεύσεις Τι θα σήμαινε το x (x>0 P(x)) ; ; ; Ολα τα x είναι μεγαλύτερα του μηδενός, και για όλα ισχύει P(x). Τι θα σήμαινε το x (x>0 P(x)) ; ; ; Υπάρχει κάποιο x για το οποίο η x>0 P(x) είναι αληθής...αλλά αυτό είναι αληθές και για τα αρνητικά x 17-Feb

36 Αλληλεπιδράσεις μεταξύ ποσοδεικτών και τελεστών Έστω ότι το π.ο (D) είναι οι φοιτητές του ΗΥ118. Έστω Ψ(x) Ο x είναι ψηλός Έστω Ο(x) Ο x είναι όμορφος Ας δούμε τι σημαίνουν στα Ελληνικά οι παρακάτω προτάσεις 1. x (Ψ(x) Ο(x)) 2. x (Ψ(x) Ο(x)) 3. x (Ψ(x) Ο(x)) 4. x (Ψ(x) Ο(x)) 17-Feb

37 Ελληνικές εκφράσεις 1. x (Ψ(x) Ο(x)) Υπάρχει τουλάχιστον ένας φοιτητής που είναι και ψηλός και όμορφος 2. x (Ψ(x) Ο(x)) Όλοι οι φοιτητές είναι ψηλοί και όμορφοι 3. x (Ψ(x) Ο(x)) Όλοι οι ψηλοί φοιτητές είναι όμορφοι 4. x (Ψ(x) Ο(x)) Για τουλάχιστον ένα φοιτητή, ισχύει πως εάν είναι ψηλός τότε είναι και όμορφος 17-Feb

38 Σχετικά με την τελευταία 4. x (Ψ(x) Ο(x)) Για τουλάχιστον ένα φοιτητή, ισχύει πως εάν είναι ψηλός, τότε είναι και όμορφος Η x (Ψ(x) Ο(x)) είναι αληθής εάν και μόνο αν, για κάποιο φοιτητή a, η Ψ(a) Ο(a) είναι αληθής. Όμως, Ψ(a) Ο(a) Ψ(a) Ο(a) Οπότε, η (4) σημαίνει επίσης ότι Υπάρχει τουλάχιστον ένας φοιτητής που είναι κοντός ή όμορφος 17-Feb

39 Θεωρείστε την πρόταση r: x (Q(x) P(x)) σε σχέση με ένα μη κενό π.ο. της μεταβλητής x. Υποθέστε, ωστόσο, ότι yq(y) Μπορείτε να σκεφτείτε κατά πόσον η r είναι αληθής; 17-Feb

40 Θεωρείστε την x (Q(x) P(x)) σε ένα μη κενό π.ο. D Εφόσον yq(y), η Q(y) είναι ψευδής για κάθε y Επομένως, η Q(a) P(a) είναι αληθής για κάθε a στο D Επομένως, η x (Q(x) P(x)) είναι αληθής 17-Feb

41 Νόμοι ισοδυναμίας «Ξεδίπλωμα» ποσοδεικτών: Εάν π.ο.={a, b, c, } x P(x) P(a) P(b) P(c) x P(x) P(a) P(b) P(c) Από αυτές, μπορούμε να αποδείξουμε τις ισοδυναμίες: x P(x) ( x P(x)) x P(x) x P(x) ( x P(x)) x P(x) Ποιοί νόμοι ισοδυναμίας του προτασιακού λογισμού μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να το αποδείξουμε αυτό; 17-Feb

42 Νόμοι ισοδυναμίας x P(x) P(a) P(b) P(c) (P(a) P(b) P(c) ) ( P(a) P(b) P(c) ) ( x P(x)) x P(x) x P(x) P(a) P(b) P(c) ( P(a) P(b) P(c) ) ( P(a) P(b) P(c) ) ( x P(x)) x P(x) 17-Feb

43 Νόμοι ισοδυναμίας Μόλις είδαμε ότι Τι σημαίνει αυτό; x P(x) x P(x) σημαίνει πως το να αποδείξω ότι η P(x) ισχύει γενικά, είναι ισοδύναμο με το να μην μπορώ να βρω αντιπαράδειγμα 17-Feb

44 Νόμοι ισοδυναμίας Επίσης, από την ισοδυναμία x P(x) x P(x) προκύπτει ότι x P(x) x P(x) Τι σημαίνει αυτό; σημαίνει πως για να αποδείξω ότι μία πρόταση δεν ισχύει γενικά, αρκεί να βρω αντιπαράδειγμα 17-Feb

45 Ισοδυναμίες Δύο λογικές ισοδυναμίες στον κατηγορηματικό λογισμό: x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) Επομένως, ένας από τους δύο ποσοδείκτες αρκεί για να μας δώσει όλη την εκφραστικότητα! κατ αναλογία με την ικανότητα της άρνησης και της σύζευξης να εκφράσουν όλους τους υπόλοιπους τελεστές στον προτασιακό λογισμό 17-Feb

46 Κι άλλοι νόμοι ισοδυναμίας x y P(x,y) y x P(x,y) x y P(x,y) y x P(x,y) 17-Feb

47 Μερικές συντομεύσεις Διαδοχικοί ποσοδείκτες του ίδιου τύπου μπορούν να συνδυαστούν: xyz P(x,y,z) ορ. xyz P(x,y,z) ορ. x y z P(x,y,z) x y z P(x,y,z) 17-Feb

48 Κι άλλοι νόμοι ισοδυναμίας x (P(x) Q(x)) ( x P(x)) ( x Q(x)) x (P(x) Q(x)) ( x P(x)) ( x Q(x)) 17-Feb

49 Κι άλλοι νόμοι ισοδυναμίας x (P(x) Q(x)) ( x P(x)) ( x Q(x)) x (P(x) Q(x)) ( x P(x)) ( x Q(x)) Τι λέτε για την παρακάτω ισοδυναμία ;? x (P(x) Q(x)) (( x P(x)) ( x Q(x)); 17-Feb

50 Κι άλλοι νόμοι ισοδυναμίας Τι λέτε για την παρακάτω ισοδυναμία ; x (P(x) Q(x)) ( x P(x)) ( x Q(x)) Δεν ισχύει! Αντιπαράδειγμα (δηλ. Ένα μοντέλο που την κάνει να μην ισχύει) P(x): Τα γενέθλια του x είναι στις 24 Απριλίου Q(x): Τα γενέθλια του x είναι στις 2 Μαρτίου 17-Feb

51 Κι άλλοι νόμοι ισοδυναμίας x (P(x) Q(x)) ( x P(x)) ( x Q(x)) ; P(x): Τα γενέθλια του x είναι στις 24 Απριλίου Q(x): Τα γενέθλια του x είναι στις 2 Μαρτίου x (P(x) Q(x)) = Υπάρχει κάποιος που έχει γενέθλια και στις 24/4 και στις 2/3 [FALSE] ( x P(x)) ( x Q(x)) = Υπάρχει κάποιος που έχει γενέθλια στις 24/4 και υπάρχει κάποιος που έχει γενέθλια στις 2/3 [TRUE] 17-Feb