М 3 =MAJ MEСЕЦ МАТЕМАТИКЕ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "М 3 =MAJ MEСЕЦ МАТЕМАТИКЕ"

Transcript

1

2 М 3 =MAJ MEСЕЦ МАТЕМАТИКЕ Манифестација Мај месец математике одржана је ове године од 4. до 28. маја у више од 20 градова Србије. Пројекат су подржали Центар за промоцију науке и Математички институт САНУ-а. Изложбу у срцу Београда, у Кнез Михајловој улици, са великим интересовањем посетило је око грађана. Програм је садржао за сваког по нешто, од дечијих играоница у којима смо могли да научимо како се праве октаедри и додекаедри, па све до шифровања које је изумео и користио Јулије Цезар. Позитивна енергија је ширила на све стране задивљујући свет математике. Експонат који је привлачио највише пажње био је доказ Питагорине теореме. Занимљиво је било посматрати рам са живим пчелама док праве савршене шестоуглове од воска. Био је ту и експонат који објашњава како се декадни систем претвара у бинарни, а програм Imaginary је наше цртеже претварао у једначине. Млађи посетиоци су се окупљали око балансирајућег пиратског брода и једначинама одржавали брод у равнотежи. Још једна атракција, постављена на самом улазу, привлачила је радознале погледе, а они храбрији могли су и да виде какав је осећај возити коцкоцикл. Па, не виђа се сваки дан бицикл са точковима у облику квадрата! Права крива збуњивала је децу, мада су они старији ипак успевали да схвате како једна права шипка може проћи кроз хиперболичан отвор. Оглед са куглицама је потврдио да ће куглице, како год да их проспемо, увек образовати распоред који представља Гаусову криву. Ову криву можемо препознати у распореду птица у јату или крду животиња. Биле су ту и осцилације у простору, које су за нас цртали волонтери помоћу осцилографа и потом нам поклањали цртеже. Ако бисмо пак, желели да предахнемо, чекала нас је Ешерова столица, већа за старије и мања за децу. За оне жељне забаве организована је игра потапања бродова. Осим експоната, програм су чиниле и разне необичне слике и анимације. А сваког дана одржавана су занимљива предавања. Пролетео је мај. Лепо смо се забавили, стекли нове пријатеље, препознали математику у свету који нас окружује и открили да Математика није баук! Бранкица Аврамовска и Кристина Радић III6

3 ВОЛОНТЕРСКА ИСКУСТВА Некада је најлепши осећај да својим присуством помажеш организацију нечега, да својом енергијом, добрим расположењем и осмехом можеш некоме да улепшаш дан и да некога можеш да оплемениш новим знањима. Прилика за то била је манифестација Мај месец математике (М 3 ), коју је подржала Армија волонтера, а било нас је сто једанаест. Сваког дана могли сте нас видети поред експоната, како предано објашњавамо њихов принцип рада. А када нас није било тамо, били смо на паузи, једући укусне сендвиче, и причајући приче којима смо се у недоглед смејали. Посетилаца је било много. Било је међу њима милих људи, жељних знања, али и нажалост и оних којима је једини циљ био саботажа. Али, и са њима се излазило на крај. Много деце је трчкарало око нас, запиткујући како то да права шипка може да прође кроз криви отвор, како се прави додекаедар, како се смишљају шифре. Неки од њих су сваки дан посећивали изложбу, а и даље, са истим жаром, радили у разним радионицама и са истом пажњом обилазили експонате. Најлепша страна волонтирања је то што је међу нама, волонтерима, владала нека задивљујућа енергија. Пријатељства су се склапала брзином светлости, а осмеси упућивани и онима чија имена нисмо знали. Зато смо са тужним изразима лица дочекали свечано затварање. Дипломе су додељене онима који су значајно допринели популаризацији науке, а и самој манифестацији, и заиста, без њих не би било исто. Посетиоци су се разилазили, а ми смо остали последњи, опраштајући се, са осмесима на лицима, и даље лепо расположени јер је иза нас остало тако лепо искуство. Бранкица Аврамовски и Кристина Радић III6

4 KРОЗ ВАСИОНУ И ВЕКОВЕ Са плаве новчанице од сто динара гледа нас велики научник Никола Тесла, смеши се наш први гувернер чика Ђорђе Вајферт са новчанице од хиљаду динара. Знате ли можда чији се лик налази на новчаници од две хиљаде? Који светски познат Србин је баш ту пронашао своје место? Наша атмосфера, о томе нема сумње, женске је природе, она трепери под жарким пољупцем Сунца, често се наоблачи и намргоди, а кадгод хуче, бесни и зипара!, каже наш славни научник Милутин Миланковић. Овај геније природних наука поред математике, у својој богатој каријери, бавио се и пројектовањем мостова и брана, изучавањем соларне климе, астрономијом и доказивањем својих теорија везаних за климатске промене и сунчева зрачења. Милутин Миланковић ( ) рођен је у Даљу, малом месту близу Осјека. Похађао је Бечки технолошки институт, где је и дипломирао грађевину Након завршених студија радио је у тада чувеној фирми Betonbau - Unternehmung у Бечу. Ту се истакао градивши бране, мостове, вијадукте и аквадукте. Међутим, године, на кратко је своју заинтересованост за примену ојачаног бетона оставио по страни и концентрисао се на фундаментална истраживања. По доласку у Београд оженио се, а затим учествовао у актуелним историјским тренуцима балканским ратовима и Првом светском рату. По избијању рата, аустроугарска војска шаље Миланковића у Будимпешту, где му је дозвољено да ради у библиотеци Мађарске академије наука. Године изабран је за дописног члана Српске академије наука и уметности, а и за редовног члана. Миланковић је као истакнути научник позван да сарађује у две важне публикације: прва је била приручник из климатологије, а друга приручник из геофизике. Његови радови поводом ове публикације објављени су и на немачком и руском језику. Наредних година, Миланковић се посветио развијању и формулисању својих теорија. Биле су то теорије секуларних покрета земљиних полова и теорија глацијалних периода, познатија у свету науке и као Миланковићеви циклуси. Пред сам почетак рата у Југославији године, завршено је штампање најзначајнијег Миланковићевог дела Канон осунчавања земље и његова примена на проблем леденог доба. Ово веома обимно дело на 626 страна, објављено је у издањима Српске краљевске академије, а је

5 преведено на енглески под називом Canon of Insolation of the Ice-Age Problem. Међутим, Миланковићеве теорије, иако тачне и исправне што се касније показало, нису у почетку прихватане у научним круговима. Тако су 50-их година почеле критике углавном метеоролога који су настојали да оповргну Миланковићеву теорију. Ипак 60-их и почетком 70-их година прошлог века, истраживања седимената дубоко у морима су довела до широке потврде његових ставова. Неоспорно и несумњиво признање Миланковићев научни рад и опсежне теорије, добили су 10. децембра године када су у часопису Наука (Science) објављени коначни резултати петогодишњег пројекта чији је циљ био утврђивање тачности Миланковићевих прорачуна. Милутин Миланковић је у свом богатом стваралачком животу, између осталог предложио и реформу грегоријанског и јулијанског календара. Иако би било исправније рећи Трпковић Миланковићев календар, ова реформа је остала упамћена по београдском астроному. Миланковићев календар је до сада најпрецизније урађен календар. Грегоријански календар је садржавао два крупна недостатка: за годину је узимано да има 365 и 1/4 дана као и да 235 лунарних месеци представља тачно 19 соларних година. Миланковић је свој календар базирао на анулирању тадашње разлике јулијанског и грегоријанског календара од 13 дана, чиме је календар доведен на исти датум као грегоријански. Проблем преступних година решио је тако, што преступне године могу бити оне које су дељиве са 4 без остатка, а секуларне године биће само онда преступне ако њихов број векова, када се подели са 9 даје остатак 2 или 6. Све остале секуларне године су просте, што даје потпуну прецизност календара до године, односно до тада не може бити никаквог размимоилажења са садашњим грегоријанским календаром. Иако би такав систем који је он осмислио био неупоредиво бољи и прецизнији, на крају није прихваћен. Миланковић је такође објавио и аутобиографска дела: Успомене, доживљаји и сазнања. Једном приликом, овај славни српски научник је рекао: Сада седим, можда последњи пут, у павиљону свога врта и пишем ове редове... Иметак може имати различите облике, па не мора бити увек материјалан, него сме да буде и духовни. Ако дозволите и тај његов облик, онда и као бескућник нећу бити сиротиња! Александра Богдановић и Лука Угрица III6

6 ЗЛАТНИ ПРЕСЕК Математика, више од других наука, захтева моћну машту како би се освојила нова царства знања. Никада јасноћа мисли није сама довела до открића. Математички и уметнички генији се додирују што би требало да објасни зашто се та два облика генијалности ретко развијају у истом човеку. У нашем свакодневном животу непрестано се сусрећемо са математиком и геометријом. Свет који обликује човек препун је правих углова, линија и предмета правилних геомтеријских облика. Истражујући односе међу облицима, математичари су дошли до неких чудесних бројева, један од таквих бројева је и Ф(phi) златни број. Размера је однос две мере, величине и количине или два својства и изражава се формулом а:b Размера представља меру различитости и то различитости коју може препознати бар једно од наших чула. Пропорција значи једнакост између две размере и изражава се формулом а:b = c:d. Златни пресек је пропорција : (а+б):а=а:б. Резултат ове пропорције је број Ф(phi) златни број. Уз златни број Ф везане су многе математичке занимљивости. Једна од њих је Фибоначијев низ бројева, назван по италијанском метематичару Леонарду Фибоначију из XII века. Прва два члана Фибоначијевог низа су 1 и 1, а сваки следећи члан добије се тако сто се саберу претходна два: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, Иако Фибоначијев низ почиње са 1,1, низ је могуће започети са било која два броја. Ако поделимо сваки члан Фибоначијевог низа са његовим претходником, добићемо низ бројева који конвергира броју Ф (1, ). Златни правоугаоник је онај правоугаоник код којег је промер дуже и краће странице једнак Ф. У геометрији се Ф појављује и код неких правилних геометријских ликова, на пример као однос полупречника круга и странице правилног десетоугла око којег је круг описан или код пентаграма где је свака дужина подељена према златном пресеку. Златни пресек и Фибоначијеви бројеви појављују се на много места у природи. Кућица пужа из рода Nautilus расте у облику спирале која се у сваком кругу повећава сразмерно броју Ф.

7 Логаритамска спирала: распоред семенки код цвета сунцокрета следи логаритамску спиралу на бази златног пресека. Сунцокрет има 55 спирала у смеру казаљке на сату које се налазе преко 34 или 89 спирала положених супротно од смера казаљке на сату. Ови бројеви су део Фибоначијевог низа. Канон људског тела био је предмет човековог интересовања још од најстаријих времена. Људско тело је посматрано као сложен систем односа који се изједначавају у златном пресеку. Према египатским, грчким и јапанским канонима, пупак дели човеково тело према златном пресеку, док се полни органи налазе тачно на половини човекове пуне висине. Најславнији пример примене златног пресека у уметности је Партенон, грчки храм посвећен богињи Атини. Код Партенона присутан је златни правоугаоник. Промери величина појединих делова храма, све до најситнијих, представљају размере златног пресека. Грчки уметници су овај принцип разумевали не само као однос дужина, него као и однос површина. Ивана Брашњић III6

8 ПРИНЦ БРОЈЕВА Водимо вас у Индију, град Ерод и дом, иако слабо познатог, једног од највећих математичких умова свих времена. Сриниваса Рамануџан је рођен године, у сиромашној породици, као прво дете својих родитеља. По индијској традицији, по рођењу детета, тражи се астролог који ће му предвидети будућност. За њега је речено да је предодређен за велика дела. Са непуних пет година, Сринивасу су уписали у школу, а завршио ју је као најбољи ученик у региону. По завршетку основне школе, уписао је средњу у граду Кумбаконаму, где се званично први пут сусрео са математиком. Већ са дванаест година је проучавао аритметичке редове и сложеније теореме, а у своје свеске је бележио своја открића. Рамануџан, заљубљеник у чудесни свет математике, дуго је слао писма признатим математичарима, у нади да ће добити стипендију за даље школовање и тражећи начин да објави неки од својих запањујућих радова. Свој први рад је објавио у Часопису Индијског математичког друштва. Прекретница у његовом тешком животу, али и каријери била је сарадња са професором Хардијем, угледним математичаром из Лондона. Он је Сринивасу довео у Кембриџ, како би наставио рад на својим истраживањима. Иако је добио много диплома и награда, највеће признање за њега било је то што је изабран за члана Краљевског друштва у Лондону. Рамануџан је од малена био болешљив, и његова болест је узела маха године, а умро је године, када је имао свега тридесет две године. Иза себе је оставио мноштво издатих радова, теорема, константи, али су његове три свеске најзначајније. Оне сада представљају инспирацију младим математичарима, јер неке од његових теорема још увек нису доказане, а његов живот представљен је у позоришном комаду Човек прве класе. Чувена је анегдота два чувена математичка ума. Кажу да је професор Харди посетио једанпут нашег индијца у болници. Напоменуо је да је дошао таксијем број Рамануџан је одмах приметио да је то најмањи цео број који се може изразити збиром кубова на само два начина: = = Бранкица Аврамовска III6

9 СУДОКУ Назив Судоку потиче из Јапана као скраћеница фразе Suuji wa dokushin ni kagiru ( бројеви морају остати јединствени ). Корене ове игре налазимо у Европи у 18. веку. Швајцарски математичар Леонард Ојлер је направио латински квадрат. Овај квадрат се састојао од НxН поља у која је уписивано Н симбола тако да се сваки симбол појављује само једном у једном реду и у једној колони. Користећи овај концепт амерички часопис Dell Math Puzzles & Logic Problems је објавио квадратну слагалицу димензија 9x9 која се састојала од 9 мањих квадрата димензија 3x3. То је данашњи Судоку. Ова игра доживљава прави продор у Јапану осамдесетих година прошлог века. Новозеланђанин Wayne Gould се на свом путовању по Јапану одушевио новом игром и развио компјутерски програм за генерисање слагалица. Крајем године лондонске новине The Times почињу да штампају дневне Судоку слагалице, користећи његов програм. Игра постаје популарна и шири се по свету. Правила: Добијете матрицу димензија 9x9, која је додатно издељена на 9 мањих матрица (3x3). У нека поља су уписани бројеви од 1 до 9 и ви треба да попуните целу матрицу тако да се у сваком реду и колони, али и у унутрашњој матрици од 3x3 поља, нађу бројеви од 1 до 9, при чему се они не смеју понављати. Поиграјте се и ви! Милица Бонџић III6

10 УМЕТНОСТ И МАТЕМАТИКА М.Ц. Ешер, холандски графичар, познат је по својим, често математички инспирисаним, дуборезима и литографији. Стварао је немогуће конструкције, истраживао је архитектуру и бесконачност. Ешер је рођен године у Холандији, као најмлађе дете у породици. Основну и средњу школу завршио је у Арнхему. Није имао велике успехе у школи, а најбоље му је ишло цртање. Са тринаест година узимао је часове из тесарства и клавира. Кратко је студирао архитектуру, али није успевао да положи предмете па је прешао на декоративне уметности године Ешер напушта школу, пошто је стекао искуство у цртању и изради дубореза. Та година била је прекретница у његовом животу. Отишао је на путовања у Италију и Шпанију. Био је инпресиониран италијанским селима и маварским дворцем Ахамбри, из XIV века, у Шпанији. Замршени декор дворца, заснован на математичким формулама и функцијама сигурносних понављајућих вајарских шара у каменим зидовима и плафонима, били су снажан утицај на Ешерова дела. Вратио се у Италију, где је упознао своју будућу супругу. Венчали су се године и преселили су се у Рим, где се родио њихов син године, политичка клима у Италији постаје неприхватљива за Ешера и они се селе у Швајцарску, где ће остати у наредне две године. У Швајцарској, Ешер није могао да пронађе инспирацију као у Италији, па се поново селе у Белгију године. Други светски рат натерао их је да се поново преселе, овога пута у Холандију, где су живели све до године. Већина његових познатих слика датира из овог периода. Хладно, облачно и мокро време у Холандији, дозвољавало је Ешеру да се фокусира на своје радове. Ешер је прешао године у Ларен, у дом за уметнике где је имао свој студио. Умро је године у породичној кући. Дела: Ешеров први отисак немогућој стварности била је Мртва природа и улица, године. Занимљиво је да је овај уметнички израз настао потпуно из његових мисли, а не директно из посматрања. Његово такође познато дело је Цртање рукама, Године, цртеж у коме су приказане две руке, како једна другу цртају.

11 Небо и вода је дело познато по игри светла и сенке, из морске позадине фигуре риба се претварају у фигуре птица. Радио је углавном лиографију и дуборез, по којима је познат. У својој графичкој уметности, он је описао математичке односе између облика, фигура и простора. Он је повезивао црну и белу боју како би унапредио и боље приказао различите димензије. Ешер се у Италији окренуо скицирању предела из неправилне перспективе које су немогуће у природним облицима, Релативост, године.

12 Иако Ешер није изучавао математику, његово разумевање математике било је углавном визуелно и интуитивно, његови радови су имали јаку математичку компоненту и неколико светова које је он нацртао били су изграђени око немогућих објеката као што су Нецкер коцке и Пенросе троугао. Ешер је покушао да побољша своја уметничка дела користећи геометријске решетке као основу за своје скице. Тако је цртао углавном животиње као што су лавови и птице. Окренуо се ка математици и желео је да је у потпуности повеже са својом уметношћу. Ешер је нацртао 43 обојених цртежа различитих типова симетрије. Он је учио о боји на бази поделе и развио је систем категоризације комбинација облика, боја и симетричних особина. Године Ешер је истраживао концепт представљања бесконачности на дводимензалној равни. Проучавао је такође математичке концепте топологије. Из тих сазнања он је створио водопад и горе и доле, гледан из нестварне перспективе.

13 Ешерове мисли: Да ли сте заиста сигурни да под не може да буде и плафон? Мој рад је књига, веома озбиљна књига. Само они који покушавају апсурдно постићиће немогуће. Ми обожавамо хаос, јер ми производимо ред. Још неке Ешерове фотографије... Тамара Стојановић III6

14 НАШИ МЛАДИ ТАЛЕНТИ Математика је у XXI веку пронашла своје место међу младима. Она је данас интересантнија и распрострањенија него што је била раније. Све је више наших талентованих ученика који показују изврсне резултате на регионалним, међународним такмичењима и на олимпијадама. Један од наших многобројних младих талената је Александар Миладиновић, ученик Математичке гимназије у Београду. Рођен је у Београду, завршио Основну школу Бранко Радичевић. До сада је освојио 2 бронзе на Међународној астрономској олимпијади, похвалу на Румунском мастеру, 3 бронзе и 2 сребра на Републичком такмичењу из математике, 1 бронзу и 3 сребра на Републичком такмичењу из физике, бронзу на Републичком такмичењу из астрономије. Омиљени филм овог младог и успешног човека је Кад порастем бићу кенгур, а каже да навија за Црвену звезду и да ужива слушајући рок музику. К: Александре, пре свега, хтела бих да ти честитам на многобројним медаљама и да ти се захвалим што си пристао да одговориш на неколико питања за наш школски часопис. Реци нам, молим те, како и када је откривена твоја љубав према математици? А: Бројке су ме одувек привлачиле од малена сам волео да сабирам цене у продавници. Први пут сам учествовао на такмичењу у 4. разреду и добро сам се показао. Мислим да ме је то покренуло, вероватно је то моја почетна тачка и мотивација. К: Ко је био пресудан за твој напредак? А: Највећа подршка су ми родитељи. Они су препознали мој таленат, препоручили су ми да одем на такмичење да видим како је, а после сам сам наставио. К: Ко је твој узор из света математике? А: Ојлер. Зато што је био свестран математичар који је показао знање у више области. К: Када и где си освојио прву медаљу? Да ли имаш неки посебан ритуал пред такмичење? А: Моја прва освојена медаља је била бронза на Републичком такмичењу у 6.разреду. Немам никакав ритуал пред такмичење. К: Како проводиш своје слободно време? Која су твоја интересовања осим математике? А: Бавим се спортом. Тренирам веслање 6 година на Ади у веслачком клубу Црвена звезда. Са својим тимом сам до сада освојио једно сребро и 4 бронзе. Волим да играм и фудбал и кошарку. У слободно време цртам стрипове. Омиљени стрип ми је Шкорпија. К: Како видиш себе у будућности? А: Надам се да ћу бити успешан научник, да ћу наћи запослење у неком институту и пре свега добар посао од кога ћу моћи лепо да живим. Волео бих да се бавим научним радом из астрономије и астрофизике. Видим себе и као професионалног веслача. К: Шта би поручио својим вршњацима који сматрају да је математика баук? А: Поручио бих им да је све ствар интересовања, и да када би се мало више посветили математици, схвалтили би да у принципу она није тешка, открили би и многе занимљиве ствари. Једноставно је, све што треба да урадите је да пронађете себе у ономе што радите!

15 На слици, слева на десно, Игор Стричевић, Александар Миладиновић и новинарка Катарина Боровић III6 ОПТИЧKЕ ИЛУЗИЈЕ Која линија је дужа? Маша Правда III6

16 МУЗИКА И МАТЕМАТИКА Наука и уметност, два појма која за неке представљају тоталну супротност, антипод. Ми верујемо да су науке као што су математика, физика и хемија егзактне дисциплине у којима нема простора за емоције, креативност и енергију стваралаштва. То су просто алати којима се мери и рачуна, док је уметност осећајна, интимна, апстрaктно и креативно испољавање разних људских осећања. Стварана без икаквих правила, верујемо да је уметност у супротности са науком. Знајући све ово питамо се какве везе бисмо могли да видимо, на пример, измећу музике и математике? Једино што можемо да уочимо је да деле прво слово и то је све. Ипак, редовни професор математике Милош Чанак тврди да су ове дисциплине као две стране истог новчића и да једна не би могла да постоји без друге. Звучи фасцинантно а некима можда као гомила будалаштина и апстрактног блебетања и филозофирања. Међутим, слушајући једно од његових предавања, видео сам да је и тек како имао озбиљну и конкретну научну потпору за своје тврдње. Већина када чује реч математика вероватно помисли на гомилу бројева, формула функција, једначина, геометријских тела или се сети стреса доживљеног претходне недеље на контролном задатку. Чешће је ово друго. Какве везе сад то има са нашим омиљеним бендовима или певачима? Гледајући кроз очи данашњости ми никад не бисмо могли да видимо тај однос. Можда овај начин размишљања звучи футуристички и авангардан, али професор Чанак тврди скроз обрнуто. Он нас враћа у античка времена између године п.н.е. у доба Питагорe, за кога се сматра да је поред осталих великих достигнућа и отац математичке теорије музике. У то време свест и доживљај живота и природе уопште био много другачији, много духовнији и интимнији за разлику од данашње тежње ка опипљивом, материјалном. Чак су се науке доживљавале на веома духован и емоционалан ниачин. Како је време пролазило и вредности мењале, наукa и уметност су се све више одмицале једна од друге у људским умовима све до свести данашњице. Када би Питагора говорио о пропорцијама људској души би 3:2 звучала као квинта, а 4:2 као кварта, каже Чанак (за оне који нису музички образовани квинте и кварте су врсте интервала у музици). Овакво схватање музике и математике је тотално страно чак и људима који се баве наведеним професијама, вероватно зато што смо од малена учени да скроз другачије размишљамо. Чанак објашњава да је математика заступљена свуда око нас у природи, на пример када бисмо нумерисали љуске ананаса према њиховој висини видели бисмо да се појављују Фибоначијеви бројеви. Затим иде корак даље и повезује музичке појмове као што су квинтни круг, који чини основу данашње музичке праксе, са начином на који се распоређују листови цвета у тежњи да што више сунчеве светлости приме. Затим како када на цртежу шишарке која се посмтра одозго нумеришемо љуске на одређен начин и повежемо их кривом, линијом која која евентулалну формира спиралу, можемо видети да је то уствари идентично кретању по квинтном и квартном кругу у музици. Застаћу сада са примерима јер као што сте можда приметили да би уопште разумели о чему је реч у његовом предавању неопходно је стручније знање из обе дисциплине, што ми је и била једина замерка у његовом предавању. Сматрам да је требао да нађе начин да приближи своју теорију свима, а не само стручњацима. Тонски систем, према којем се компонује сва музика данашњости, математичари су тек у 18. и 19. веку математички доказали да су тонови у њему правилно распоређени, систем који постоји давно пре него што су се они родили, значи нешто што су људи створили на основу онога што су осећали, а не што су знали. Када тако сагледамо ствари можемо претпоставити да као и код код примера цвећа, шишарки и сл. да су и наша тела и умови саздани од неких уверзалних математичких закона који су основни део нашег бића и света око нас и да без њих не би ништа могло на свету да постоји. Значи да ми те законе већ на неки начин знамо јер их већ носимо у себи, само нисмо још увек у стању да их објективно разумемо кроз призму науке као што су математика, физика већ они сами од себе се излазе на површину на много апстрактнији, осећајнији начин који је ближи и природнији нама као живим

17 бићима. То је то на шта је професор Чанак желео да скрене пажњу да постоји нешто и да се до тога нечега може доћи путем математике или путем музике тј. да се може разумети на објективан или на осећајан начин, али и да би то евентуално да постане један пут. Сазнавши све ово сада сматрам да ћемо у будућности, веровали или не, мислити као што су мислили антички мислиоци и да морамо науку и уметност спојити опет у једну целину, која није нека бесмислена, наказна мешавина, већ једна савршена синтеза конкретног и прецизног знања и апстрактних осећања која ће нам омогућити спознају природе коју до сада нисмо могли због ове поделе коју смо направили. Све формуле, једначине и низови се већ налазе у нама и око нас. Значи, ако икада пожелите да побегнете са мате, знајте да се никада се од ње не можете сакрити. Андреј Лукман III6 МИСЛИ ВЕЛИКИХ Математика је језик којим је Бог написао Универзуим. (Галилео Галилеј) Метематика је кључ за цело људско знање. (Леонард Ојлер) Најбољи начин да се нешто научи јесте да се самостално открије. (Д. Поља) Суштина математике је у њеној вечној младости. (Е. Бел) Из математике се много ствари не задржи у памети, али ако си је једном савладао, онда ћеш се по потреби увек лако присетити заборављеног. (Б. Остроградски) Међу људима једнаких умних способности, који раде под истим условима, у предности су они који знају математику. (Б. Паскал) Учи се решавањем проблема, а не читањем уџбеника. (Е. Ким Неубетс) Машина може да реши готово све проблеме који јој се поставе, али не може да састави, да смисли ниједан. То чини математика. (Алберт Анштајн) Мозак не прихвата ништа тако лако као геометријске фигуре. (Рене Декарт) Суштина математике није у формулама, него у процесу размишљања, пут којим се долази до формула. (В. Ле) Математика је краљица наука, а аритметика је краљица математике. (К. Ф. Гаус)

18 У ПОСЕТИ МАТЕМАТИЧКОМ ФАКУЛТЕТУ У оквиру манифестације Мај месец математике посетили смо Математички факултет и били део акције Студенти за будуће студенте. Поделићемо с вама шта смо сазнали. Факултет има основне, мастер и докторске студије математике, информатике, астрономије и астрофизике. Што се тиче основних студија студијског програма Математике, постоје смерови: 1. Професор математике и рачунарства 2. Теоријска математика и примене 3. Рачунарство и информатика 4. Примењена математика 5. Статистика, актуарска и финансијска математика 6. Астрономија У студијском програму Информатике постоји само информатички смер, док у програму Астрономије и астрофизике имамо три смера: 1. Рачунарска механика и астродинамика 2. Астрофизика 3. Астроинформатика Математички факултет на основне студије у школској 2012/2013. години уписује 304 буџетска и 91 самофинансирајућег студента. Највише места на буџету даје студентски програм Математике (205 места), затим Информатике (79 места), а најмање буџетских места има на Астрономији и астрофизици (20). Највећа заинтресованост је за Информатички програм, као и за студије Рачунарства и информатике у оквиру Математичког програма. Последњих година порасло је и интресовање за финансијску математику, што је један од новијих смерова. Оне који се одлуче за примењену математику или астрономију и астрофизику очекују и најзанимљивији послови проучавање ефекта стаклене баште, предвиђање торнада и земљотреса, проучавање животног циклуса галаксија итд. Могућности које нам пружа Математички факултет су велике. За математичаре има посла у разним делатностима: од просвете, авио индустрије, грађевинске индустрије, економије, медицине, генетике, метеорологије, осигуравајућих друштава, инвестиционих фондова, обраде сигнала, банака, научно-истраживачких организација и опсерваторија. Ипак, неопходна је љубав према математици, да би нам пружила упорност и вољу да се упустимо у изазов откривања света математике. Својим будућим студентима, Математички факултет поручује: Неки ће можда помислити да сте Ви одабрали математику, али ми знамо да је математика одабрала Вас. Математика нас учи да будемо стрпљиви, дисциплиновани, мудри и да решавамо проблеме корак по корак! Кристина Радић и Бранкица Аврамовски III6

19 БРОЈЕВИ... Бројеви, које исписујемо произлазе из арапских ознака за број (1, 2, 3, 4... ), који су другачији од романских ознака (I, II, III, IV ). Арапи су своје алгоритме ширили по свету, а применили су их феничански трговци за бројање и трговачке прорачуне... Да ли сте се икада упитали зашто је 1 један, 2 два, 3 три итд. Римске бројеве лако је схватити, али која се логика крије иза феничанских бројева? Какву логику имају арапски логаритми...? Једноставно, врло једноставно...! Важни су углови...! Број 1 има један угао. Број 2 има два угла. Број 3 има три угла. Погледајте алгоритме, записане у основном облику и проверите сами...! Теодора Косанић III6

20 ЗАНИМЉИВОСТИ О МНОЖЕЊУ 1 x 1 = 1 11 x 11 = x 111 = x 1111 = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x 9 +10= x = x = x = x = x = x = x = x = x 9 = 9 = = 9 2 x 9 = 18 = = 9 3 x 9 = 27 = = 9 4 x 9 = 36 = = 9 5 x 9 = 45 = = 9 6 x 9 = 54 = = 9 7 x 9 = 63 = = 9 8 x 9 = 72 = = 9 9 x 9 = 81 = = 9 Маша Правда III6

21 КЊИГЕ Радознали и интелигентни ум је у потрази за новим знањима која можете открити читајући књиге. Уколико желите да проширите своје сазнање о математици прочитајте следеће књиге и уживајте у њиховом очаравајућем свету. 1. Папагајева теорема, Денија Геђа, прича о мафији, крадљивцима животиња, киднаповању и пријатељству. Чита се у једном даху, и без обзира да ли сте љубитељ математике или не, тешко да ће вас оставити равнодушнима! 2. Еуклидов прозор, Леонарда Млодинова, пружа нам прилику да одемо на узбудљиво путовање кроз историју геометрије, од древних времена па све до најновијих настојања да се постави теорија струна. 3. Математички ген, Кит Девлин, поручује нам да сваки човек у себи чува гене који утичу на нашу способност бављења математиком, али да не постоји неки чудотворни ген који би нас по самом рођењу учинио генијима за математику. Свако добија исте шансе, на нама је да одлучимо да ли ћемо развијати своје математичке способности. 4. Усамљеност простих бројева, Паола Ђордана, иако није директно повезана са математиком, дирљива прича говори о одрастању, пријатељству, неиспуњеним жељама, и како страх од супротстављања може живот да учини јако тешким. 5. Ноћ мртвих снова, Владислава Радака, је напети трилер који држи пажњу све до последње странице. Случајни сусрети, необјашњиве поруке на телефону који не ради већ две године, као и теорија хаоса која само што није решена, нераскидиво су повезани и чак и најмања промена појединца утицаће на читав универзум! 6. {СМЕМ +ЛИ-ДА/БРОЈИМ?}, Гинтера Циглера, књига у којој можете без бројања да пронађете духовите и стручне одговоре на питања да ли је 42 одговор за све, да ли је π леп као Мона Лиза, да ли знаш математику боље него што мислиш да знаш. Кристина Радић и Бранкица Аврамовска III6

22 МОЗГАЛИЦЕ 1. Два часовника навијена су 4. априла године у 9 сати. Један од њих ради тачно, а други сваког сата жури 3 минута. Ког дана и у колико сати ће оба часовника поново показивати исто време? 2. Играч учествује у квизу. У студију се налазе троја врата, иза једних је награда, а иза осталих по коза. Играч именује врата иза коjих сматра да је награда. Водитељ му отвори једна од неименованих врата и покаже му козу (пошто има 2 козе, увек преостаје бар једна за показивање). Онда пита играча да ли жели да промени врата (нпр. играч је тражио врата број 1, видео да је иза врата број 2 коза, и сада питање је хоће ли да остане при вратима број 1 или хоће да промени одлуку на врата број 3). Да ли играч треба да промени првобитну одлуку или не? 3. Иде таксиста једносмерном улицом, али у супротном правцу и пролази поред полицајца. Полицајац му није написао казну, зашто? 4. Жарко има 4 године и живи на 18. спрату. Када се сам вози лифтом иде до 16.спрата, а онда наставља пешака. Зашто? 5. На табли су написани бројеви 1, 2, 3,..., 99, 100. Избришимо било која два броја и уместо њих упишемо њихов збир или разлику. Може ли, спроводећи претходни поступак довољан број пута, на крају на табли остати број нула? 6. Отац, мајка, син и ћерка имају укупно 73 године. Отац је старији од мајке 3 године, а сестра од брата 2 године. Укупан збир година свих чланова породице пре 4 године био је 58. Колико година има сада сваки од чланова породице? 7. У априлу године три уторка су била парног датума. Који дан је у седмици био 13. априла? 8. Да ли је тежи празан кавез или кавез са папагајем који лети унутар кавеза? 9. Да ли се може 12 поделити на два једнака дела тако да сваки део износи 7? 10. Упекло сунце, мачка иде по том сунцу и угледа чинију са млеком. Приђе, омирише мало, окрене се и оде. Зашто? Теодора Стојковић III6 ОПТИЧКЕ ИЛУЗИЈЕ На којем цртежу је круг у средини већи? Маша Правда III6

23 10 МАТЕМАТИЧКИХ ЗАПОВЕСТИ 1. Ја сам адициона формула твоја, немој имати других формула осим мене. 2. Не изговарај узалуд. 3. Слави Питагорину теорему. 4. Поштуј скраћивање бројиоца и имениоца. 5. Не квадрирај неједначину. 6. Не коренуј негативан број. 7. Не говори да квадратна једначина нема решења. 8. Не кради константу из интеграла. 9. Не пожели туђе теореме за себе. 10. Не пожели доктора физике за брачног партнера. Тамара Стојановић III6 ЛЕКЦИЈА О ЖИВОТУ Сабери дивна јутра и дане. Помножи лепе речи и пријатељства. Одузми тугу, бес и неуспех. Подели срећу, осмех и љубав. Maша Правда III6

24 МАТЕМАТИЧКИ КВИЗ I4 или I5? У оквиру манифестације Мај=месец математике, у нашој школи, организован је КВИЗ. Такмичиле су се трочлане екипе одељења I4 и I5. Одмеравали су снаге у знању математике и рачунарства и информатике. Публика је ватрено навијала, али и учествовала у неким играма. Поред питања из градива првог разреда, такмичари су успешно решавали и задатке са ПИСА тестирања, добро се сналазили у детективском задатку, показали да брзо мисле и вешто решавају логичке задатке. Реализацију квиза су помогли ученици трећег разреда. У жирију су биле Милица Бонџић и Катарина Боровић, а загонетну личност је одглумио Андреј Лукман. Победила је екипа I5. Било је забавно, па се надамо да ће екипа I4 добити шансу за реванш у неком будућем квизу. Сара Стрелић III6

25

26

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

6.5 Површина круга и његових делова

6.5 Површина круга и његових делова 7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2010/2011. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23 6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити.

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити. IV разред 1. Колико ће година проћи од 1. јануара 2015. године пре него што се први пут догоди да производ цифара у ознаци године буде већи од збира ових цифара? 2. Свако слово замени цифром (различита

Διαβάστε περισσότερα

ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО

ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ Сабирање, одузимање, множење. Сад је ред на дељење. Ево једног задатка с дељењем: израчунајте колико је. Наравно да постоји застрашујући начин да то урадите: Нацртајте

Διαβάστε περισσότερα

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе:

Динамика. Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: Њутнови закони 1 Динамика Описује везу између кретања објекта и сила које делују на њега. Закони класичне динамике важе: када су објекти довољно велики (>димензија атома) када се крећу брзином много мањом

Διαβάστε περισσότερα

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ: Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине

Διαβάστε περισσότερα

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x) ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити

Διαβάστε περισσότερα

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични

Διαβάστε περισσότερα

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике

Διαβάστε περισσότερα

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 1 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВАЉЕВО, 006 1 1. УВОД 1.1. ПОЈАМ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У једној земљи Далеког истока живео је некад један краљ, који је сваке ноћи узимао нову жену и следећег

Διαβάστε περισσότερα

ЗАВОД ЗА УЏБЕНИКЕ БЕОГРАД

ЗАВОД ЗА УЏБЕНИКЕ БЕОГРАД ОЛИВЕРА ТОДОРОВИЋ СРЂАН ОГЊАНОВИЋ MATEMATИKA УЏБЕНИК за први разред основне школе1 ЗАВОД ЗА УЏБЕНИКЕ БЕОГРАД 1 ПРЕДМЕТИ У ПРОСТОРУ И ОДНОСИ МЕЂУ ЊИМА... 7 1. Горе, доле, изнад, испод... 8 2. Лево, десно...

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим.

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. IV разред 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = 2016. Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. 2. Производ два броја је 2016. Ако се један од њих повећа за 7, производ ће бити 2457.

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије ГРАЂЕВИНСКА ШКОЛА Светог Николе 9 Београд ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА са додатком теорије - за II разред IV степен - Драгана Радовановић проф математике Београд СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом). СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која

Διαβάστε περισσότερα

(од 4. до 155. стране) (од 4. до 73. стране) ДРУГИ, ТРЕЋИ И ЧЕТВРТИ РАЗРЕД - Европа и свет у другој половини 19. и почетком 20.

(од 4. до 155. стране) (од 4. до 73. стране) ДРУГИ, ТРЕЋИ И ЧЕТВРТИ РАЗРЕД - Европа и свет у другој половини 19. и почетком 20. Драгољуб М. Кочић, Историја за први разред средњих стручних школа, Завод за уџбенике Београд, 2007. година * Напомена: Ученици треба да се припремају за из уџбеника обајвљених од 2007 (треће, прерађено

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван 2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.

Διαβάστε περισσότερα

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА 4. Закон великих бројева 4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА Аксиоматска дефиниција вероватноће не одређује начин на који ће вероватноће случајних догађаја бити одређене у неком реалном експерименту. Зато треба наћи

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1 6. Четвороугао 6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова А Сл. 1 А На приложеним сликама сигурно уочаваш геометријске фигуре које су ти познате (троугао,

Διαβάστε περισσότερα

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао ЗАДАЦИ ЗА САМОСТАЛНИ РАД Задаци за самостлни рад намењени су првенствено ученицима који се припремају за полагање завршног испита из математике на крају обавезног основног образовања. Задаци су одабрани

Διαβάστε περισσότερα

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница.

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница. 91.*Конструиши трапез у размери 1:200, ако је дато: = 14 m, = 6 m, = 8 m и β = 60. 92.*Ливада има облик трапеза. Нацртај је у размери 1:2000, ако су јој основице 140 m и 95 m, један крак 80 m, и висина

Διαβάστε περισσότερα

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5 05.03.011 - III РАЗРЕД 1. Нацртај 4 праве a, b, c и d, ако знаш да је права а нормална на праву b, права c нормалана на b, а d паралелнa са а. Затим попуни табелу стављајући знак (ако су праве нормалне)

Διαβάστε περισσότερα

TEMA V ЉУДИ (НАЈЧЕШЋЕ) ЛАЖУ КАКО БИ ЗАШТИТИЛИ СОПСТВЕНУ РЕПУТАЦИЈУ

TEMA V ЉУДИ (НАЈЧЕШЋЕ) ЛАЖУ КАКО БИ ЗАШТИТИЛИ СОПСТВЕНУ РЕПУТАЦИЈУ TEMA V ЉУДИ (НАЈЧЕШЋЕ) ЛАЖУ КАКО БИ ЗАШТИТИЛИ СОПСТВЕНУ РЕПУТАЦИЈУ Станко Абаџић, Праг (2000) 75 76 ПРАВО НА ЛАГАЊЕ Ј е ли овај свет видео икада грану дебљу и тежу од стабла на коме лежи? Покушавате да

Διαβάστε περισσότερα

ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5. школска 2016/2017. ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА

ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5. школска 2016/2017. ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА ЗАВРШНИ РАД КЛИНИЧКА МЕДИЦИНА 5 ШЕСТА ГОДИНА СТУДИЈА школска 2016/2017. Предмет: ЗАВРШНИ РАД Предмет се вреднује са 6 ЕСПБ. НАСТАВНИЦИ И САРАДНИЦИ: РБ Име и презиме Email адреса звање 1. Јасмина Кнежевић

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из линеарне алгебре

Семинарски рад из линеарне алгебре Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити

Διαβάστε περισσότερα

ЛИСТ УЧЕНИКА РАЧУНАРСКЕ ГИМНАЗИЈЕ СМАРТ БРОЈ 2. * Сајам образовања * Светосавска академија * Хакери * Велики прасак * Сто година једне песме

ЛИСТ УЧЕНИКА РАЧУНАРСКЕ ГИМНАЗИЈЕ СМАРТ БРОЈ 2. * Сајам образовања * Светосавска академија * Хакери * Велики прасак * Сто година једне песме ЛИСТ УЧЕНИКА РАЧУНАРСКЕ ГИМНАЗИЈЕ СМАРТ БРОЈ 2 * Сајам образовања * Светосавска академија * Хакери * Велики прасак * Сто година једне песме Добри људи су срећа на овом свијету! Меша Селимовић РЕДАКЦИЈА:

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 014/15. бр. XLIX-5 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред 1. а) 70 - седамсто три; б) двесто осамдесет два 8.. а) 4, 54, 54, 45, 504, 54. б)

Διαβάστε περισσότερα

Показано је у претходној беседи да се

Показано је у претходној беседи да се ДРУГА БЕСЕДА КАКАВ ДОПРИНОС ЖИВОТУ У ХРИСТУ ПРУЖА БОЖАНСКО КРШТЕЊЕ Показано је у претходној беседи да се свештени живот у Христу садржи у светим Тајнама. Испитајмо сада како нас свака од Тајни уводи у

Διαβάστε περισσότερα

ЈЕДАН НЕМОГУЋИ ОСВРТ НА УРБОФИЛИЈУ, ДВАДЕСЕТ ПРОПАЛИХ ГОДИНА КАСНИЈЕ

ЈЕДАН НЕМОГУЋИ ОСВРТ НА УРБОФИЛИЈУ, ДВАДЕСЕТ ПРОПАЛИХ ГОДИНА КАСНИЈЕ АЛЕКСАНДАР ЈЕРКОВ ЈЕДАН НЕМОГУЋИ ОСВРТ НА УРБОФИЛИЈУ, ДВАДЕСЕТ ПРОПАЛИХ ГОДИНА КАСНИЈЕ Mожда је дошло време да се запише понека успомена, иако би се рекло да је прерано за сећања. Има нечег гротескног

Διαβάστε περισσότερα

Дух полемике у филозофији Јован Бабић

Дух полемике у филозофији Јован Бабић Дух полемике у филозофији Јован Бабић У свом истинском смислу филозофија претпостаља једну посебну слободу мишљења, исконску слободу која подразумева да се ништа не подразумева нешто што истовремено изгледа

Διαβάστε περισσότερα

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ МЕНТОР: КАНДИДАТ: Проф. др Драгољуб Кечкић Милинко Миловић

Διαβάστε περισσότερα

Министарство просвете, науке и технолошког развоја ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ

Министарство просвете, науке и технолошког развоја ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ 28.02.2015 - III разред 1. Запиши све троцифрене бројеве мање од 888 чији је збир цифара 23. 2. У свако празно поље треба уписати по једну од цифара 0, 1, 2, 2, 4. Како треба уписати цифре да би се након

Διαβάστε περισσότερα

Метод таблоа у настави математичке логике у средњој школи

Метод таблоа у настави математичке логике у средњој школи Универзитет у Београду Математички факултет Метод таблоа у настави математичке логике у средњој школи - Мастер рад - Студент: Весна Петровић Ментор: др Зоран Петровић Београд, март 2011.године САДРЖАЈ

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла 50. 1) Нацртај правоугли троугао и конструиши његову уписану кружницу. ) Конструиши једнакокраки троугао чија је основица = 6 m и крак = 9 m, а затим конструиши уписану и описану кружницу. Да ли се уочава

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И

УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМСАДУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Зорана Томић ГРАНИЧНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА Мастер рад Нови Сад, 2012. Предговор... 3 1. Увод... 4 Појам функције...

Διαβάστε περισσότερα

ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике

ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике XII БЕОГРАДСКА ГИМНАЗИЈА ТЕОРИЈА ИГАРА-ЈАМБ Матурски рад из математике Ученица Исидора Ивановић Професорка Марина Радовановић Београд јун 2016. Садржај Резиме 1 Увод 1 Пермутације 2 Варијације 3 Вероватноће

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла

Διαβάστε περισσότερα

МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ

МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Соња Вученов МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ -мастер рад- Нови Сад, 2012.

Διαβάστε περισσότερα

У к у п н о :

У к у п н о : ГОДИШЊИ (ГЛОБАЛНИ) ПЛАН РАДА НАСТАВНИКА Наставни предмет: ФИЗИКА Разред: Седми Ред.број Н А С Т А В Н А Т Е М А / О Б Л А С Т Број часова по теми Број часова за остале обраду типове часова 1. КРЕТАЊЕ И

Διαβάστε περισσότερα

Испитвање тока функције

Испитвање тока функције Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Испитвање тока функције Испитивање тока функције y f подразумева да се аналитичким путем дође до сазнања о понашању функције, као и њеним значајним тачкама у координантном

Διαβάστε περισσότερα

Описивати виртуелни свет дигиталних игара као симулакрум данас је

Описивати виртуелни свет дигиталних игара као симулакрум данас је Саборнос 4 (2010) Α Ω 225 230 УДК 271.2-42 Ирина Радосављевић Београд Дигиталне игре и хришћанска свест Abstract: Дигиталне игре су још увек недовољно истражен феномен нашег доба. Иако се изграђивање виртуелних

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

Енергетски трансформатори рачунске вежбе

Енергетски трансформатори рачунске вежбе 16. Трофазни трансформатор снаге S n = 400 kva има временску константу загревања T = 4 h, средњи пораст температуре после једночасовног рада са номиналним оптерећењем Â " =14 и максимални степен искоришћења

Διαβάστε περισσότερα

Математичко образовање кроз векове

Математичко образовање кроз векове Универзитет у Београду Математички факултет Математичко образовање кроз векове мастер рад Ментор: Студент: проф. др Милан Божић Бланка Унковић 1054/2010 Београд, 2012. Садржај УВОД... 3 МАТЕМАТИКА МЕСОПОТАМИЈЕ...

Διαβάστε περισσότερα

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА

ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА ПОГЛАВЉЕ 3: РАСПОДЕЛА РЕЗУЛТАТА МЕРЕЊА Стандардна девијација показује расподелу резултата мерења око средње вредности, али не указује на облик расподеле. У табели 1 су дате вредности за 50 поновљених одређивања

Διαβάστε περισσότερα

Тест за 7. разред. Шифра ученика

Тест за 7. разред. Шифра ученика Министарство просвете Републике Србије Српско хемијско друштво Окружно/градско/међуокружно такмичење из хемије 28. март 2009. године Тест за 7. разред Шифра ученика Пажљиво прочитај текстове задатака.

Διαβάστε περισσότερα

Александра Михајловић Владимир Ристић Факултет педагошких наука Универзитета у Крагујевцу

Александра Михајловић Владимир Ристић Факултет педагошких наука Универзитета у Крагујевцу МATМ2014 Зборник радова са трећег међународног научног скупа Методички основи наставе математике III, 293 302 Александра Михајловић Владимир Ристић Факултет педагошких наука Универзитета у Крагујевцу aleksandra.mihajlovic@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Теорија одлучивања. Циљеви предавања

Теорија одлучивања. Циљеви предавања Теорија одлучивања Бајесово одлучивање 1 Циљеви предавања Увод у Бајесово одлучивање. Максимална а постериори класификација. Наивна Бајесова класификација. Бајесове мреже за класификацију. 2 1 Примене

Διαβάστε περισσότερα

СОЦИЈАЛНО УЧЕЊЕ У ПРАВОСЛАВНОЈ ТЕОЛОГИЈИ

СОЦИЈАЛНО УЧЕЊЕ У ПРАВОСЛАВНОЈ ТЕОЛОГИЈИ СОЦИЈАЛНО УЧЕЊЕ У ПРАВОСЛАВНОЈ ТЕОЛОГИЈИ Захваљујем се организатору на љубазном позиву да узмем учешћа у данашњем скупу а поводом врло значајног догађаја и врло значајне теме. Када се у јесен прошле године,

Διαβάστε περισσότερα

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља Универзитет у Машински факултет Београду Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља -семинарски рад- ментор: Александар Томић Милош Живановић 65/

Διαβάστε περισσότερα

Годишњак 104. генерације бањалучке гимназије

Годишњак 104. генерације бањалучке гимназије Годишњак 104. генерације бањалучке гимназије A Г 1895 Ω Бања лука, 2008. Издавач: графид, бања лука за издавача: Бранислав Иванковић Уреднички колегијум: ЗОран пејашиновић Жељко грбић иван јевђовић лектура

Διαβάστε περισσότερα

Са орнос 9 (2015) УДК Јован, пергамски митрополит(049.2) Ларше Ж.-К.(049.2) DOI: /sabornost Оригинални научни рад

Са орнос 9 (2015) УДК Јован, пергамски митрополит(049.2) Ларше Ж.-К.(049.2) DOI: /sabornost Оригинални научни рад Са орнос 9 (2015) Α Ω 57 81 УДК 271.2-1 Јован, пергамски митрополит(049.2) 271.2-1 Ларше Ж.-К.(049.2) DOI: 10.5937/sabornost9-9771 Оригинални научни рад Александар Ђаковац * Универзитет у Београду, Православни

Διαβάστε περισσότερα

МИЋО М. МИТРОВИЋ ФИЗИКА 6. уџбеник за шести разред основне школе

МИЋО М. МИТРОВИЋ ФИЗИКА 6. уџбеник за шести разред основне школе МИЋО М. МИТРОВИЋ ФИЗИКА 6 уџбеник за шести разред основне школе САЗНАЊЕ БЕОГРАД, 01 ФИЗИКА 6 уџбеник за шести разред основне школе Аутор Проф. др Мићо Митровић Редовни професор Физичког факултета Универзитета

Διαβάστε περισσότερα

УЧЕЊЕ О КРЕТАЊУ СВЕТОГ МАКСИМА ИСПОВЕДНИКА

УЧЕЊЕ О КРЕТАЊУ СВЕТОГ МАКСИМА ИСПОВЕДНИКА UDC 116:27.1 DOI: 10.2298/ZMSDN1342039C Оригинални научни рад УЧЕЊЕ О КРЕТАЊУ СВЕТОГ МАКСИМА ИСПОВЕДНИКА Владимир Цветковић Теолошки факултет, Архус универзитет, Архус, Данска vlad.cvetkovic@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

1. Функција интензитета отказа и век трајања система

1. Функција интензитета отказа и век трајања система f(t). Функција интензитета отказа и век трајања система На почетку коришћења неког система јављају се откази који као узрок имају почетне слабости или пропуштене дефекте у току производње и то су рани

Διαβάστε περισσότερα

, број 37 - Листић "Доминисиана" Драга браћо и сестре,

, број 37 - Листић Доминисиана Драга браћо и сестре, 26.06.2016, број 37 - Листић "Доминисиана" какав би морао бити духовни учитељ? Какве би морале бити његове особине? У његовој личности не сме бити ничега сличног духом одсутном слабоумном визионару. Са

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: МЕХАНИКА 1 студијски програми: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 3. 1 Садржај предавања: Статичка одређеност задатака

Διαβάστε περισσότερα

Рачунање времена и координатни системи у метеорској астрономији

Рачунање времена и координатни системи у метеорској астрономији Рачунање времена и координатни системи у метеорској астрономији Време у астрономији За размишљање 1. Нека сви часовници на Земљи показују тачно време. Колико пута ће бар 1 часовник показати 13.01 5. августа

Διαβάστε περισσότερα

Кратак осврт на неке аспекте есхатолошког начин постојања према Св. Максиму Исповеднику. мр Александар Ђаковац

Кратак осврт на неке аспекте есхатолошког начин постојања према Св. Максиму Исповеднику. мр Александар Ђаковац Кратак осврт на неке аспекте есхатолошког начин постојања према Св. Максиму Исповеднику мр Александар Ђаковац У богословским круговима је одавно јасно да се есхатологија не може и не сме сагледавати само

Διαβάστε περισσότερα

ОСНОВНА ЛОГИКА. Коста Дошен

ОСНОВНА ЛОГИКА. Коста Дошен ОСНОВНА ЛОГИКА Коста Дошен 2 Овa књигa je учињена слободно доступном преданошћу издавача Арона Сворца. Београд, 2013 This book is made freely available by the good offices of the publisher Aaron Swartz.

Διαβάστε περισσότερα

ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ РАЗРЕДА

ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ РАЗРЕДА МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ЗАЈЕДНИЦА ЕЛЕКТРОТЕХНИЧКИХ ШКОЛА РЕПУБЛИКЕ СРБИЈЕ ДВАДЕСЕТ ДРУГО РЕГИОНАЛНО ТАКМИЧЕЊЕ ОДГОВОРИ И РЕШЕЊА ИЗ ЕЛЕКТРОНИКЕ ЗА УЧЕНИКЕ ТРЕЋЕГ

Διαβάστε περισσότερα

Фибоначи и златни пресек у интердисциплинарној настави 2

Фибоначи и златни пресек у интердисциплинарној настави 2 UDC 511.176:371.3 Иновације у настави, XXVII, 2014/4, стр. 86 91 Рад примљен: 8. 9. 2014. Рад прихваћен: 7. 10. 2014. Стручни рад др Драгана Миличић Универзитет у Београду, Биолошки факултет Марина Дрндарски

Διαβάστε περισσότερα

МЕТОДИЧКИ АСПЕКТИ НАСТАВЕ МАТЕМАТИКЕ

МЕТОДИЧКИ АСПЕКТИ НАСТАВЕ МАТЕМАТИКЕ УНИВЕРЗИТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ ПЕДАГОШКИ ФАКУЛТЕТ У ЈАГОДИНИ Посебна издања Научни скупови, књ. 5 МЕТОДИЧКИ АСПЕКТИ НАСТАВЕ МАТЕМАТИКЕ ПЕДАГОШКИ ФАКУЛТЕТ У ЈАГОДИНИ Јагодина, 2008. 1 МЕТОДИЧКИ АСПЕКТИ НАСТАВЕ

Διαβάστε περισσότερα

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1

КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 КАТЕДРА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ И ПОГОНЕ ЛАБОРАТОРИЈА ЗА ЕНЕРГЕТСКЕ ПРЕТВАРАЧЕ ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 Лабораторијска вежба број 1 МОНОФАЗНИ ФАЗНИ РЕГУЛАТОР СА ОТПОРНИМ И ОТПОРНО-ИНДУКТИВНИМ ОПТЕРЕЋЕЊЕМ

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА И ПОСЛЕДИЦЕ Мастер рад Кандидат: Рајка Милетић Ментор: проф др Неда Бокан Београд, 00 САДРЖАЈ Увод 3 I ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА 4 I Доказ Чевијеве теореме

Διαβάστε περισσότερα