3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R"

Transcript

1 3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3 = {(x, y, z: x, y, zr} Mulţimea R oate fi înzestrată cu o structură algebrică de saţiu vectorial real, definind adunarea şi înmulţirea cu scalari rin: (x, x,, x + (y, y,, y = (x + y, x + y,, x + y α (x, x,, x = (αx, αx,, αx entru orice (x, x,, x, (y, y,, y R şi αr. În tim ce mulţimea numerelor reale este total ordonată, între elementele mulţimii R nu oate fi definită o relaţie de ordine totală comatibilă cu structura algebrică, de aceea unele rorietăţi ale funcţiilor reale de o variabilă reală (legate de monotonie, sre exemlu nu se ot enunţa în cazul funcţiilor reale de mai multe variabile reale (funcţii definite e o arte A R cu valori în R. Structura de bază însă cu care trebuie să fie dotate mulţimile entru studiul caracteristic analizei matematice, bazat e noţiunea de limită, este cea de saţiu toologic, în care se oate exrima fatul că două elemente sunt sau nu aroiate, cu ajutorul noţiunii de vecinătate, în cazul general, sau cu ajutorul noţiunii de metrică (sau distanţă în cazurile uzuale. Definiţia 3... Dacă X este o mulţime nevidă astfel încât, entru fiecare xx, să oată fi evidenţiată o familie V(x de submulţimi ale lui X cu rorietăţile: [V ] oricare ar fi V V(x, xv; [V ] dacă U, V V(x atunci U V V(x; [V 3 ] dacă V V(x şi V A atunci A V(x; [V 4 ] oricare ar fi V V(x există W V(x încât V V(y entru orice yw, atunci se sune că e X este definită o structură toologică (sau o toologie. Mulţimea X se numeşte în acest caz saţiu toologic, iar familia V(x se numeşte sistem de vecinătăţi ale unctului x. Definiţia 3... Fie X o mulţime nevidă, arbitrară. Funcţia d : X x X R satisfăcând rorietăţile: [D ] d(x, y 0 entru orice x, yx; d(x, y = 0 dacă şi numai dacă x = y [D ] d(x, y = d(y, x entru orice x, yx [D 3 ] d(x, z d(x, y + d(y, z entru orice x, y, zx se numeşte metrică (distanţă e X, iar erechea (X, d se numeşte saţiu metric. Dacă (X, d este un saţiu metric, xx, rr, r>0, atunci mulţimea: S(x, r = {yx: d(y, x < r} se numeşte sferă deschisă cu centrul în x şi raza r. Teorema 3... Dacă (X, d este un saţiu metric, entru fiecare xx, familia V(x = {V X: r>0, S(x, r V} formează un sistem de vecinătăţi ale unctului x; deci orice saţiu metric este în mod natural un saţiu toologic. În lus, entru orice xx, V(x are două rorietăţi remarcabile: Dacă x, yx, x y atunci există U V(x, V V(y astfel încât U V = Ø (rorietatea de searare Există (V n n N* V(x astfel încât: - oricare ar fi V V(x există n 0 N * încât V V - dacă n, mn *, n m atunci V n V m (această rorietate este cunoscută sun numele de rima axiomă a numărabilităţii Aceste rorietăţi ermit rezolvarea unor robleme mari (unicitatea limitei, caracterizarea limitei şi continuităţii unei funcţii cu ajutorul şirurilor, etc la nivelul saţiilor metrice, la fel ca în cazul axei reale. n 0

2 Observaţia 3... Structura de saţiu metric e X nu resuune existenţa unei structuri algebrice e X. Revenind la R care este înzestrat cu o structură algebrică e saţiu vectorial real, utem defini în mod natural o structură de saţiu metric (deci o structură toologică utilizând două noţiuni articulare imortante, rodusul scalar şi norma, care se definesc numai în saţii vectoriale. Definiţia Produsul scalar euclidian între elementele lui R este definit rin: <x, y> = x y + x y + + x y entru orice x = (x, x,, x, y = (y, y,, y R. Norma euclidiană e R este generată de rodusul euclidian: x = x, x = entru orice x = (x, x,,x R. Distanţa euclidiană este generată de norma euclidiană: d(x, y = x - y = x x... x y (x y... (x y entru orice x = (x, x,, x, y = (y, y,, y R. Se demonstrează uşor că d satisface rorietăţile [D ], [D ], [D 3 ] din definiţia 3..., deci (R, d este saţiu metric şi, rin urmare, saţiu toologic; sistemul de vecinătăţi ale fiecărui unct din R se defineşte ca în teorema 3... Observaţia 3... a Pentru = avem x = x, distanţa euclidiană este d(x, y = x y, iar entru ε > 0 şi x 0 R, S(x 0, r = {xr, x x 0 <ε} = (x 0 ε, x 0 + ε. b Pentru =, dacă (x, y R, avem (x, y = uneşte unctele O(0, 0 şi A(x, y; distanţa euclidiană este: d((x, y, (x, y = x y care rerezintă lungimea segmentului ce x (y y iar entru ε > 0 şi (x 0, y 0 R fixat, S((x 0, y 0, ε = {(x, y R, (x x 0 + (y y 0 <ε } este interiorul cercului cu centrul în (x 0, y 0 şi raza ε, adică discul cu centrul în (x 0, y 0 şi raza ε. c Pentru = 3, avem (x, y, z = x y d((x, y, z, (x, y, z = z, iar distanţa euclidiană este: x (y y (z z entru ε > 0 şi (x 0, y 0, z 0 R 3 fixat, S((x 0, y 0, z 0, ε = {(x, y, z R 3, (x x 0 + (y y 0 + (z z 0 <ε } este interiorul sferei geometrice cu centrul în (x 0, y 0, z 0 şi raza ε Şiruri în R. Definiţia 3... Se numeşte şir de elemente din R orice funcţie f : N R ; entru orice nn, termenul de rang n, x n = f(n R, deci este de forma x n = (x n, x n, x n unde x n, x n, x n R. Pentru fiecare k =,,.. fie f k : N R, f k (n = x n k. Şirurile f, f,, f de numere reale se numesc şiruri comonente ale şirului f. Considerând R înzestrat cu metrica euclidiană, se ot defini, la fel ca entru şirurile de numere reale, noţiunile de unct limită, unct de acumulare, şir convergent, şir fundamental. Definiţia 3... Fie f : N R ; f(n = x n un şir de elemente din R. Şirul f se numeşte convergent dacă există x R astfel încât entru orice ε > 0 există n 0 N încât, oricare ar fi n n 0, d(x n, x < ε. Elementul x se numeşte unct limită entru şirul f. În caz contrar, şirul f se numeşte divergent. Şirul f se numeşte şir fundamental (sau şir Cauchy dacă entru orice ε > 0 există n 0 N încât, dacă n, m N n n 0, m n 0 atunci d(x n, x m < ε sau, echivalent, d(x n, x n+ < ε entru orice n n 0 şi orice N. Teorema următoare stabileşte fatul că studiul şirurilor din R, > se reduce la studiul şirurilor din R şi că R înzestrat cu distanţa euclidiană este un saţiu metric comlet. Teorema 3... Fie f : N R, f(n = x n = (x n, x n,, x n un şir de elemente din R. Pentru fiecare k =,,, fie f k : N R, f k (n = x n k.

3 a Şirul f este convergent şi are limita x = (x, x,, x R dacă şi numai dacă şirurile comonente f, f, f sunt convergente şi x k = lim x k n, k =,,, b Şirul f este şir fundamental dacă şi numai dacă toate şirurile comonente sunt şiruri fundamentale. c Şirul f este convergent dacă şi numai dacă el este şir fundamental, deci R în raort cu distanţa euclidiană este saţiu metric comlet. Observaţia 3... a Din această teoremă deducem că limita unui şir convergent din R se calculează e comonente. n De exemlu, şirul f : N * R, f(n =, converge către (0,. n n b În R, nu se ot defini convenabil şiruri monotone, ca în cazul şirurilor de numere reale, deoarece în R, nu se oate introduce o relaţie de ordine totală comatibilă cu structura algebrică Limita unei funcţii de mai multe variabile Este cunoscută, din liceu, noţiunea de limită a unei funcţii reale de o variabilă reală într-un unct de acumulare al domeniului său de definiţie. Prezentăm acum această noţiune entru funcţii definite e o arte A R cu valori în R. Este necesar să recizăm, mai întâi, noţiunea de unct de acumulare al unei mulţimi A R. Acest lucru este osibil la fel ca în A R deoarece cunoaştem sistemul de vecinătăţi ale fiecărui unct din R. Definiţia Considerăm R înzestrat cu metrica euclidiană. Fie A R, x R arbitrare. Elementul x se numeşte unct de acumulare entru mulţimea A, dacă oricare ar fi UV(x avem (U\{x} A Ø. Mulţimea tuturor unctelor de acumulare ale mulţimii A se notează A. Definiţia Fie A R, f : A R o funcţie arbitrară, l R, aa. Elementul l se numeşte limita funcţiei f în unctul a dacă entru orice vecinătate VV(l există o vecinătate UV(a astfel încât oricare ar fi x(u\{a} A avem f(x V. Se notează l = lim f(x. Observaţia a Deoarece aa, (U\{a} A Ø oricare ar fi UV(a. Deoarece există elemente ale mulţimii A oricât de aroae de a, iar funcţia f ia în acestea valori oricât de aroae de l. De aceea, sunem că l este limita funcţiei f când x tinde la a, se aroie oricât de mult de a. Este evident că nu are sens să ne unem roblema limitei unei funcţii într-un unct care nu este unct de acumulare entru domeniul său de definiţie. b Definiţia unctului de acumulare al unei mulţimi, recum şi definiţia limitei unei funcţii într-un unct ot fi extinse, cu aceeaşi formulare, la cazul saţiilor toologice oarecare deoarece utilizează doar noţiunea de vecinătate. Considerarea saţiilor metrice concrete (care sunt saţii toologice articulare rezintă unele avantaje cum ar fi unicitatea limitei, caracterizarea ei cu şiruri, care nu se regăsesc în cazul general. Teorema Fie f : A R R o funcţie arbitrară, aa. Dacă funcţia f are limită în unctul a, atunci aceasta este unică. Teorema Fie f : A R R, aa, lr. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a l = lim f(x; b entru orice ε > 0 există δ > 0 astfel încât, entru orice xa cu 0 < d(x, a < δ să avem f(x - l < ε; c oricare ar fi şirul (x n n N de elemente din mulţimea A\{a} cu lim x n = a avem lim f(x n = l. Observaţia a Dacă f, g :A R R, aa, lr dacă există UV(a astfel încât entru orice x(u\{a} A avem f(x - l g(x şi dacă lim g(x = 0 atunci, evident lim f(x = l. b Dacă x = (x, x,, x, a = (a, a,, a atunci d(x, a= k k a k

4 ţinând cont de dubla inegalitate evidentă: x i - a i k k a k k k x a, i =,,, k rezultă imediat că l = lim f(x dacă şi numai dacă entru orice ε > 0 există δ > 0 încât entru orice x = (x, x,, x A cu 0 < x i - a i < δ, i=,,, să avem f(x - l < ε. c Dacă există două şiruri (a n n N şi (b n nn de elemente din A\{a} cu lim a n = lim b n = a astfel încât lim f(a n lim f(b n atunci, evident, funcţia f nu are limită în unctul a. Pentru o funcţie reală de variabile reale utem defini o noţiune articulară de limită, şi anume, limita duă o direcţie. Definiţia Dacă f : A R R, aa, atunci entru orice vector v 0 din R, se numeşte limita funcţiei f în unctul a duă direcţia lui v (atunci când există numărul lim f(a + tv t0 Observaţia a Evident, unctele x = a + tv au rorietatea că vectorul x a este coliniar cu v ceea ce justifică terminologia. b Dacă există l = lim f(x atunci există şi limita funcţiei f în unctul a, duă direcţia lui v şi este egală cu l. Reciroca acestei afirmaţii este falsă. Funcţia f(x, y = direcţie dar arametru real. lim (x,y (0,0 y y f(x, y nu există, aşa cum se constată considerând şiruri x, y + x 0 are limita - în (0, 0 e orice x Funcţii reale de mai multe variabile continue într-un unct. n, n Definiţia Fie f : A R R, aa A. Funcţia f se numeşte continuă în unctul a dacă există lim f(x şi lim f(x = f(a. Dacă funcţia f nu este continuă în unctul a, sunem că f este discontinuă în acest unct. Folosind definiţia a limitei unei funcţii într-un unct, recum şi teorema entru l = f(a rezultă imediat: Teorema Fie f : A R R, aa A. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a f este continuă în unctul a; b entru orice vecinătate VV (f(a există o vecinătate UV (a astfel încât oricare ar fi xu A avem f(x V ; c entru orice ε > 0 există δ > 0 astfel încât entru orice xa cu d(x, a < δ avem f(x f(a < ε d entru orice şir (x n n N de elemente din mulţimea A cu lim x n = a avem lim f(x n = f(a Ţinând seama de observaţia obţinem: Observaţia a Dacă f, g:a R R, a A A dacă există UV (a astfel încât entru orice xu A avem f(x f(a g(x şi dacă lim g(x= 0 atunci, evident, f este continuă în unctul a. b Dacă f :A R R, a = (a, a,, a A A, f este continuă în unctul a dacă şi numai dacă entru orice ε > 0 există δ > 0 încât entru orice x = (x, x,, x A cu x i - a i < δ, i =,,, avem f(x f(a < ε. c Dacă există un şir (a n n N de elemente din A cu * nn cu λ lim a n = a astfel încât lim f(a n f(a atunci, evident, funcţia f nu este continuă în unctul a. Folosind noţiunea de limită duă o direcţie introdusă în definiţia obţinem:

5 Definiţia Funcţia f:a R R este continuă în unctul aa A duă direcţia vectorului v 0 dacă lim f(a + tv = f(a. t0 În articular, dacă vectorul v are toate comonentele nule, cu exceţia comonentei a i-a şi funcţia f este continuă duă direcţia lui v în unctul a, sunem că f este continuă arţial în raort cu variabila x i în unctul a. Evident, i oate lua oricare dintre valorile,,,. Având în vedere observaţia b rezultă că dacă f este continuă în unctul a atunci ea este continuă duă orice direcţie în acest unct; în articular, ea este continuă arţial în raort cu fiecare variabilă x, x,, x searat în unctul a, reciroca nefiind, în general, adevărată Funcţii vectoriale de variabilă vectorială continue într-un unct. Fie A R şi f : A R m,, m. O asemenea funcţie se numeşte funcţie vectorială de variabilă vectorială sau funcţie vectorială de variabile reale, deoarece entru orice xa, x = (x, x,, x cu x i R, i =,,,, f(x = f(x, x,, x = y = (y, y,, y m R m. Funcţiile f k :A R, f k (x = y k, k=,,, m sunt, evident, funcţii reale de variabile reale şi se numesc comonentele funcţiei f. Considerând e R şi R m metrica euclidiană, dacă a A şi l = (l, l,, l m R m, rin analogie cu definiţia utem enunţa: Definiţia Elementul l se numeşte limita funcţiei f în unctul a dacă entru orice VV (l există UV (a astfel încât oricare ar fi x(u {a} A avem f(x V. Se oate demonstra: Teorema Elementul l este limita funcţiei f în unctul a dacă şi numai dacă oricare ar fi şirul de elemente din A {a} cu lim x n = a avem lim f(x n = l. Ţinând seama de teorema 3... referitoare la limita unui şir convergent din R m, deducem imediat: Teorema Funcţia vectorială f : A R R m are limită în unctul aa dacă şi numai dacă toate comonentele sale au limită în acest unct. Trecerea la limită se face e comonente, adică lim f(x =( lim f (x, lim f (x,, lim f m (x. Studiul funcţiei f se reduce la studiul celor m comonente ale sale care sunt funcţii reale de variabile reale. Prin analogie cu definiţia utem enunţa: Definiţia Fie f : A R R m, m, aa A. Funcţia f se numeşte continuă în unctul a dacă există lim f(x şi lim f(x = f(a. Ţinând seama de teorema rezultă imediat: Teorema Funcţia vectorială f : A R R m este continuă în unctul aa A dacă şi numai dacă toate comonentele sale sunt continue în acest unct.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL DIFERENŢIAL IAŞI 2011 Cuprins 1 Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Numere reale 1.Multimea numerelor reale R, impreuna cu doua operatii notate + si precum si cu o relatie notata

Numere reale 1.Multimea numerelor reale R, impreuna cu doua operatii notate + si precum si cu o relatie notata Numere reale 1.Multimea numerelor reale R, impreuna cu doua operatii notate + si precum si cu o relatie notata are urmatoarele proprietati, oricare ar fi x,y,z din R: 1) R este corp comutativ : a) (x+y)+z=x+(y+z)

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Capitolul II Grupuri II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Definiţia 1. Fie G o mulţime nevidă şi " " operaţie algebrică pe G. Cuplul (G, ) se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y). Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic. Puterea mecanică.

Lucrul mecanic. Puterea mecanică. 1 Lucrul mecanic. Puterea mecanică. In acestă prezentare sunt discutate următoarele subiecte: Definitia lucrului mecanic al unei forţe constante Definiţia lucrului mecanic al unei forţe variabile Intepretarea

Διαβάστε περισσότερα

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE 1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile

Διαβάστε περισσότερα

Numere Fibonacci. f n+1 = f n + f n 1. (1) In plus, f 0 = 0 si f 1 = 1. (2)

Numere Fibonacci. f n+1 = f n + f n 1. (1) In plus, f 0 = 0 si f 1 = 1. (2) Numere Fibonacci Problema iepurilor Fie data o pereche de iepuri. Se stie ca fiecare pereche de iepuri produce in fiecare luna o noua pereche de iepuri, care la randul sau devine productiva la varsta de

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA

MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA CÂMPURILOR Cuprins 15 MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 5 15.1 Câmpuri scalare. Curbe şi suprafeţe de nivel............................. 5 15.2 Derivata după o direcţie şi

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Drepte concurente în conexiune cu punctele I, Γ, N Temistocle Bîrsan 1

Drepte concurente în conexiune cu punctele I, Γ, N Temistocle Bîrsan 1 rete concurente în conexiune cu unctele I, Γ, Temistocle îrsan 1 1 otaţii şi teoreme utilizate ie un triunghi oarecare otăm cu,, unctele de tangenţă a cercului înscris (I, r) la dretele, şi resectiv u

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }. ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Capitolul 1 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Definiţia 1.0.1 O ecuaţie diferenţialǎ de ordinul întâi este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma g(t, x, ẋ)

Διαβάστε περισσότερα

TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1. Bucureşti, 2006

TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1. Bucureşti, 2006 1 TIBERIU DUMITRESCU ALGEBRA 1 Bucureşti, 2006 2 Profesorului meu NICOLAE RADU 3 PREFAŢĂ Lucrarea se adresează studenţilor din anul I de la facultăţile de matematică şi informatică din universităţi. În

Διαβάστε περισσότερα

Soluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilor propuse în nr. 2/2011

Soluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilor propuse în nr. 2/2011 Soluţiile roblemelor entru regătirea concursurilor rouse în nr. /0. Nivel gimnazial G06. Câte submulţimi ale mulţimii = {,, 3,..., 00} au 50 de elemente şi nu conţin nicio ereche de numere consecutive?

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI APLICATE ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ-

MATEMATICI APLICATE ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ- UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU Dumitru Acu Petrică Dicu Mugur Acu Ana Maria Acu MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ- Cuprins Introducere 6. Necesitatea

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

II. Analiză matematică 0. 7 Şiruri şi serii numerice 1. 8 Calcul diferenţial pentru funcţii de o variabilă reală 43

II. Analiză matematică 0. 7 Şiruri şi serii numerice 1. 8 Calcul diferenţial pentru funcţii de o variabilă reală 43 Cuprins II. Analiză matematică 7 Şiruri şi serii numerice 8 Calcul diferenţial pentru funcţii de o variabilă reală 43 9 Calcul integral pentru funcţii de o variabilă reală 6 Funcţii de mai multe variabile

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x

Διαβάστε περισσότερα

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC .Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB

Διαβάστε περισσότερα

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs

I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs I3: PROBABILITǍŢI - notiţe de curs Ştefan Balint, Eva Kaslik, Simina Mariş Cuprins Experienţǎ şi evenimente aleatoare 3 2 Eveniment sigur. Eveniment imposibil 3 3 Evenimente contrare 4 4 Evenimente compatibile.

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi-seminar 1

Vectori liberi-seminar 1 Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j

Διαβάστε περισσότερα