Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi

Transcript

1 Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru. Za početak, jedna propozicija općenito o ortogonalnim skupovima: Propozicija Neka je V unitaran prostor. Svaki ortogonalan skup u V koji ne sadrži nulvektor je linearno nezavisan. Posebno, svaki ortonormiran skup je linearno nezavisan. Dokaz. Neka je k α i v i 0, gdje je {v 1,..., v k } ortogonalan skup koji ne sadrži nulvektor. Pomnožimo ovu jednadžbu skalarno sa v j za neki j {1,..., k}. Zbog linearnosti skalarnog produkta u prvoj varijabli imamo k α i v i, v j 0, odnosno α 1 v 1, v j + + α k v k, v j 0. 1

2 Pretpostavili smo da je skup ortogonalan pa je v j ortogonalan na sve v i, i j. To znači da od cijele sume ostane samo jedan član pa imamo α j v j, v j 0. Sada koristimo da početni skup nije sadržavao nulvektor pa je v j 0, onda je i v j, v j 0 zbog definicije skalarnog produkta. To znači da je nužno α j 0. Ovdje je j bio proizvoljan pa slijedi da mora vrijediti α 1,..., α k 0, odnosno skup je linearno nezavisan. Dakle prvo korisno svojstvo koje smo dobili je linearna nezavisnost, ali od ortonormiranih skupova možemo dobiti puno više. Pretpostavimo sada da unitarni prostor V ima ortonormiranu bazu {e 1,..., e n } (zasad još ne znamo da takva postoji za općeniti unitarni prostor V ). Otprije znamo da se svaki x V može zapisati na jedinstven način u toj bazi, dakle x α i e i, gdje su koeficijenti α 1,..., α n jedinstveno odredeni skalari. Kada radimo općenito s bazom pronalazak tih skalara nije jednostavan posao, svodi se na n n linearni sustav. Medutim, ako imamo posla sa ortonormiranom bazom dovoljno je izračunati n skalarnih produkata. Naime, imamo x α i e i /, e j x, e j α j e j, e j x, e j α j, što znači da je svaki od koeficijenata upravo skalarni produkt danog vektora s odgovarajućim članom ortonormirane baze, odnosno x x, e i e i Isto tako, skalarni produkt dva vektora možemo lijepo izraziti u ortonormiranoj bazi

3 koristeći gornji prikaz. Neka su x, y V, imamo x, y x, e i e i, y, e j e j j1 x, e i y, e j e i, e j j1 x, e i e j, y δ ij j1 x, e i e i, y Primijetimo da je ovo zapravo formula kojom smo računali standardni skalarni produkt na R n, pri čemu je pripadna ortonormirana baza bila upravo ona kanonska, {e 1,..., e n }. 1.2 Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije Sada smo konačno spremni za glavni teorem čiji dokaz daje algoritam za traženje adekvatnih ortonormiranih skupova. Uočite da teorem kaže da za svaki linearno nezavisan skup možemo naći ortonormiran skup koji ne samo da razapinje isti potprostor, nego redom svaki podskup razapinje odgovarajući potprostor (ovo je prvi put da nam je važan uredaj u skupu, pa će onda biti važno i da je baza uredena). Teorem Neka je dan linearno nezavisan skup {x 1,..., x k }, k N, u unitarnom prostoru V. Tada postoji ortonormiran skup {e 1,..., e k } u V takav da je [{e 1,..., e j }] [{x 1,..., x j }], j {1,..., n}. Dokaz(Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije). Konstrukciju skupa {e 1,..., e k } provodimo induktivno. Za bazu indukcije dovoljno je normirati vektor x 1 : definiramo e 1 1 x 1 x 1. Ovo je dobro definirano jer je x 1 0 kao element linearno nezavisnog skupa. Isto tako, x 1 i e 1 sigurno razapinju isti potprostor jer su kolinearni.

4 Pretpostavimo sada da smo definirali ortonormiran skup {e 1,..., e j } takav da je [{e 1,..., e j }] [{x 1,..., x j }]; tražimo e j+1. Prvo se trebamo pobrinuti za uvjet ortogonalnosti pa uvodimo pomoćni vektor f j+1 x j+1 x j+1, e i e i. Vektor f j+1 smo zapravo dobili tako da smo od x j+1 oduzeli njegovu ortogonalnu projekciju na potprostor iz prethodnog koraka, na taj način postižemo okomitost. Raspisom skalarnog produkta odmah se vidi da je f j okomit na sve e 1,..., e j. Da bismo vidjeli da skupovi {e 1,..., e j, f j+1 } i {x 1,..., x j, x j+1 } razapinju iste potprostore, dovoljno je pokazati da se e 1,..., e j, f j+1 nalaze u prostoru razapetom sa {x 1,..., x j+1 } i obratno. Pokažimo tu tvrdnju: Po pretpostavci indukcije vrijedi e 1,..., e j [x 1,..., x j, x j+1 ] (e 1,..., e j i x 1,..., x j razapinju isti potprostor), a za f j+1 dovoljno je pogledati njegovu definiciju: on je linearna kombinacija vektora e 1,..., e j, x j+1, pa je onda i linearna kombinacija vektora x 1,..., x j, x j+1. Obratna inkluzija se pokazuje analogno. Jedino što je još preostalo je pobrinuti se za normu novog vektora, za f j+1 nemamo nikakvu garanciju da je normiran, ali taj dio je lako popraviti. Ako normiramo f j+1 nećemo pokvariti ni okomitost ni razapinjanje istih potprostora. Dakle mogli bismo definirati 1 e j+1 f j+1 f j+1. Jedino što bi mogao biti problem je što ne znamo da f j+1 nije nulvektor, kada bi bio onda ova definicija ne bi bila dobra. Pretpostavimo onda da je f j+1 0. Imamo x j+1 f j+1 0 x j+1, e i e i 0 x j+1 x j+1, e i e i pa slijedi da se x j+1 nalazi u potprostoru razapetom sa {e 1,..., e j } pa se nalazi i u potprostoru razapetom sa {x 1,..., x j } jer su isti. Slijedi da je {x 1,..., x j, x j+1 } linearno zavisan skup što je kontradikcija jer smo krenuli od linearno nezavisnog skupa.

5 Jedna važna posljedica ovog teorema je činjenica da nismo bez razloga pretpostavljali da unitarni prostor V ima ortonormiranu bazu; ta pretpostavka će zapravo uvijek biti ispunjena. Korolar Svaki konačnodimenzionalan unitarni prostor ima ortonormiranu bazu. Dokaz. Neka je V konačnodimenzionalan unitaran prostor. Tada on ima neku bazu {b 1,..., b n }. Na tu bazu primijenimo Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije i dobijemo ortonormiran skup {e 1,..., e n }. Prethodni teorem garantira da ta dva skupa razapinju isti prostor, posebno imamo da je {e 1,..., e n } baza za V i to je tražena ortonormirana baza.