Metodele numerice de integrare se clasifică după tipul funcţiei de integrat şi valoarea limitelor de integrare.
|
|
- Πανόπτης Γαλάνης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 INTEGRAREA NUMERICĂ 1. SCOPUL LUCRĂRII Prezentarea principiului integrării numerice precum şi a unor algoritmi consacraţi de integrare numerică, implementarea acestora în limbaje de nivel înalt (în particular ANSI C şi aplicarea lor în rezolvarea diferitelor probleme din electronică. 2. PREZENTARE TEORETICĂ Metodele numerice de integrare se clasifică după tipul funcţiei de integrat şi valoarea limitelor de integrare. I. Prima grupă de metode se referă la funcţiile continue şi cu limite finite de integrare. Aceste metode se împart la rândul lor în două subgrupe în funcţie de modul de divizare a intervalului de integrare: a Metode ce împart intervalul de integrare în subintervale de aceeaşi lungime, numărul subintervalelor fiind impus de operator. Dintre aceste metode amintim: metoda dreptunghiului, metoda trapezului, metoda lui Simpson şi metoda lui Richardson; b Metode ce împart intervalul de integrare în aşa fel încât eroarea de calcul să fie minimă. Dintre aceste metode amintim şi studiem metoda cuadraturii a lui Gauss. II. A doua grupă de metode se referă la integralele improprii, adică la integrarea funcţiilor cu discontinuităţi de speţa întâi şi a doua pe intervale de integrare finite sau integrarea funcţiilor continue pe intervale de integrare infinite. III. A treia grupă de metode numerice de integrare se ocupă cu integrarea dublă a funcţiilor de două variabile. Amintim în acest sens formulele de cubatură a trapezului şi a lui Simpson.
2 86 Îndrumar de laborator pentru Metode Numerice 2.1. INTEGRAREA FUNCŢIILOR DE O SINGURĂ VARIABILĂ. METODE CU DIVIZARE CONSTANTĂ METODA DREPTUNGHIULUI Fie integrala: b I= f ( x dx (6.1 a unde f ( x este o funcţie continuă pe [ a,b], iar a şi b sunt finite. Calculul numeric al acestei integrale se realizează prin divizarea intervalului [ a,b ] în n subintervale de lungime egală cu: Dx i = b a n =x i+1 x i =h, cu i = 0,1,...,n-1 (6.2 Se calculează aproximativ aria fiecărui dreptunghi: s i = b a n f ( x i (6.3 şi se însumează aceste arii: n 1 i=0 n 1 s i =h i=0 f ( x i (6.4 unde x i =a+h i Formula (6.4 reprezintă formula de integrare a dreptunghiului. Precizia metodei este limitată. Această variantă de calcul este de obicei didactică, având ca scop înţelegerea principiului numeric de calcul al integralelor. Eroarea sa de trunchiere este zero doar pentru funcţii constante, adică polinoame de grad Algoritmul 5.1. Metoda dreptunghiului real I_Dreptunghi ( Adr_functie, // Adresa unei funcţii reale de // variabilă reală (pointer la funcţie real ls, // limita stângă a intervalului de integrare real ld, // limita dreaptă a intervalului de integrare întreg n // numărul de subintervale { // corpul de instrucţiuni al funcţiei // declararea şi definirea variabilelor locale real h; // valoarea lungimii unui subinterval real sum; // variabilă care ţine valoarea integralei întreg i; // indice pentru ciclul for(
3 87 } // operaţiile efective sum = 0; // iniţializarea variabilei în care ţinem // valoarea integralei. ld ls h = n ; pentru i= 1 n sum = sum + h* (*Adr_functie(ls+i*h; returnează sum; Obs.: Notaţiile Adr_functie şi (*Adr_functie(... sunt simbolice. Ele reprezintă, respectiv, adresa unei funcţii (numele pointerului la funcţie şi apelul indirect al unei funcţii, prin intermediul pointerului către acea funcţie. Vedeţi Anexa B - Noţiuni de C necesare desfăşurării lucrărilor de laborator pentru lămuriri METODA TRAPEZULUI Fie integrala: b I = a f ( xdx, unde f ( x este continuă pe [a, b] şi a, b sunt finite. Intervalul [a, b] se împarte în n subintervale de lungime egală, Δx i : Dx i = x i+1 x i = b a =h, i=0,1,...,n-1, n Aria I i este aproximată prin aria trapezului având coordonatele vârfurilor ( x i, f ( x i respectiv( x i+1, f ( x i+1, adică: I i» f ( x i + f ( x i+1 2 h (6.5 Sumându-se apoi relaţia (6.5 după i, acoperindu-se astfel toate fâşiile de arie posibile, rezultă: I» h 2 i=0 n 1 [ f ( x i + f ( x i+1 ]= h 2 [ f ( x 0 +2f ( x ( x n 1 + f ( x n ] (6.6 În această relaţie se ţine cont că limitele de integrare sunt de fapt x 0 =a, şi x n =b. Această expresie reprezintă formula de integrare numerică prin metoda trapezului şi are eroare de trunchiere nulă pentru funcţii polinomiale până la gradul întâi inclusiv. Această exprimare se traduce prin aceea că, dacă dorim să comparăm metodele între ele trebuie să facem apel la dezvoltarea în serie de puteri (sau Taylor a
4 88 Îndrumar de laborator pentru Metode Numerice funcţiei de integrat. În raport de câţi termeni preluăm din această dezvoltare, putem să clasificăm metodele din punctul de vedere al preciziei de calcul Algoritmul 5.2. Metoda trapezului real I_Trapez ( Adr_functie, // Adresa unei funcţii reale de // variabilă reală (pointer la funcţie real ls, // limita stângă a intervalului de integrare real ld, // limita dreaptă a intervalului de integrare { întreg n // numărul de subintervale // declararea şi definirea variabilelor locale real h; // valoarea lungimii unui subinterval real sum; // se reţine valoarea integralei întreg i; // indice pentru ciclul for( } // corpul de instrucţiuni al funcţiei ld ls h = n ; (* Adr( f ( ls + (* Adr( f ( ld sum = 2 * h; pentru i= 1 n-1 sum = sum + h*(*adr_functie(ls + i*h; returnează sum; Obs.: Notaţiile Adr_functie şi (*Adr_functie(... sunt simbolice. Ele reprezintă, respectiv, adresa unei funcţii (numele pointerului la funcţie şi apelul indirect al unei funcţii, prin intermediul pointerului către acea funcţie. Vedeţi Anexa B - Noţiuni de C necesare desfăşurării lucrărilor de laborator pentru lămuriri METODA LUI RICHARDSON Această metodă dă o precizie mai bună de calcul a integralei numerice decât metoda trapezului şi s-a obţinut prin modificarea metodei trapezului. Este o metodă în care apare dubla-divizare a intervalului de integrare. Se pleacă de la eroarea de trunchiere a metodei trapezului, care pentru o diviziune de lăţime h = (b-a/n este: e T, h = Ch 2 (6.7 Pentru cealaltă diviziune, k = (b-a/m, se obţine eroarea de trunchiere: e T, k =Ck 2 (6.7'
5 89 Pentru fiecare diviziune se poate scrie: I = I h + e T,h respectiv (6.8 I = I k + e T,k Eliminând constanta C între relaţiile (6.8 se obţine expresia: I =I h + I h I k ( k h 2 1 expresie ce poartă denumirea de formula lui Richardson. (6.8' Precizia acestei metode este mai bună decât metoda trapezului, oferind rezultate comparabile sau mai bune decât ale metodei trapezului, dar folosind un număr de diviziuni mai mic. Însă gradul maxim al unei evaluări polinomiale a funcţiei de integrat rămâne acelaşi cu cel din metoda trapezului. Astfel, această metodă oferă erori de trunchiere minime sau nule pentru funcţii polinom de până în grad 1, inclusiv Algoritmul 5.3. Metoda lui Richardson real I_Richardson ( Adr_functie, // Adresa unei funcţii reale de // variabilă reală (pointer la funcţie real ls, // limita stângă a intervalului de integrare real ld, // limita dreaptă a intervalului de integrare întreg n, // numărul de subintervale_1 întreg m // numărul de subintervale_2 { // declararea şi definirea variabilelor locale real h; // valoarea lungimii unui subinterval divizat // in n sub-diviziuni real k; // valoarea lungimii unui subinterval divizat // im m sub-diviziuni real sumh; // valoarea integralei cu diviziunea h real sumk; // valoarea integralei cu diviziunea k real sum; // valoarea integralei întreg i; // indice întreg pentru ciclul for( // instrucţiunile de calcul ld ls ld ls h = k = n ; m ; (* Adr( f ( ls + (* Adr( f ( ld sumh = 2 * h;
6 90 Îndrumar de laborator pentru Metode Numerice (* Adr( f ( ls + (* Adr( f ( ld sumk = 2 * k; pentru i= 1 n-1 sumh = sumh + h*(*adr_functie(ls + i*h; pentru i= 1 m-1 sumk = sumk + k*(*adr_functie(ls + i*k; sum=sumh + (sumh-sumk/( (k/h*(k/h-1 ; } returnează sum; Obs.: Notaţiile Adr_functie şi (*Adr_functie(... sunt simbolice. Ele reprezintă, respectiv, adresa unei funcţii (deci un pointer la o funcţie şi apelul indirect al unei funcţii, prin intermediul pointerului către acea funcţie. Vedeţi Anexa B - Noţiuni de C necesare desfăşurării lucrărilor de laborator pentru lămuriri METODA LUI SIMPSON Formula de calcul a metodei lui Simpson se poate deduce uşor utilizând formula lui Richardson. Şi această metodă utilizează două diviziuni (dublă-divizare, ca în metoda Richardson, între care avem dependenţa: k=2h (6.9 Dacă cele două diviziuni sunt k= b a b a, şi h=, şi scriem formula m n metodei trapezului pentru fiecare diviziune în parte: I h h 2 i=0 n 1 [ f ( x i + f ( x i+1 ]= h 2 [ f ( x 0 +2f ( x ( x n 1 + f ( x n ], respectiv: m 1 [ f ( x i + f ( x i+1 ]= k 2 [ f ( x 0 +2f ( x ( x n 1 + f ( x n ] I k k 2 i=0 atunci folosind formula (6.8', în care înlocuim relaţiile (6.10 deducem relaţia metodei Simpson: I = h 3 [ f ( x 0 +4f ( x 1 +2f ( x 2 +4f ( x f ( x n 1 + f ( x n ] (6.10 Expresia (6.10 reprezintă formula de calcul numeric al integralei pentru metoda lui Simpson. Atragem atenţia că n este un număr par.
7 91 Precizia de calcul a acestei metode este mai bună decât ale metodelor precedente. Se arată (v. [Dorn, McCracken] că eroarea de trunchiere este nulă pentru polinoame cu grad cel mult 3. Nu trebuie interpretat că este o metodă dedicată funcţiilor tip polinom. Ci doar că, pentru erori minime sau nule, funcţia de integrat trebuie ori să fie un polinom de grad cel mult 3, ori o funcţie nepolinomială, care de fapt se trunchiază la primii 4 termeni ai dezvoltării în serie de puteri, sau Taylor, asociată Algoritmul 5.4. Metoda lui Simpson real I_Simpson ( Adr_functie, // Adresa unei funcţii reale de // variabilă reală (pointer la o funcţie real ls, // limita stângă a intervalului de integrare real ld, // limita dreaptă a intervalului de integrare { întreg n // numărul de subintervale (par // declararea şi definirea variabilelor locale real h; // valoarea lungimii unui subinterval real suma; // în această variabila se reţine valoarea // integralei întreg i; // contor al ciclului for( // instrucţiunile efective de calcul ld ls h = n ; (* Adr( f ( ls + (* Adr( f ( l sum = h * d 3 ; pentru i= 1 n-1 dacă (i este par sum = sum + 2*h*(*Adr_functie(ls+i*h/3; altfel sum = sum + 4*h*(*Adr_functie(ls+i*h/3; } returnează sum; Obs.: 1 Vedeţi Anexa B - Noţiuni de C necesare desfăşurării lucrărilor de laborator, secţiunea Operatori, pentru testul de paritate (folosirea operatorului % modulus. O altă variantă (de asemenea discutată în Anexa B este folosirea în tandem a unei structuri de tipul div_t şi a funcţiei div(. 2 Notaţiile Adr_functie şi (*Adr_functie(... sunt simbolice. Ele reprezintă, respectiv, adresa unei funcţii (numele pointerului la funcţie şi apelul indirect al unei
8 92 Îndrumar de laborator pentru Metode Numerice funcţii, prin intermediul pointerului către acea funcţie. Vedeţi Anexa 2 - Noţiuni de C necesare desfăşurării lucrărilor de laborator pentru lămuriri INTEGRAREA FUNCŢIILOR DE O SINGURĂ VARIABILĂ PRIN METODE CU DIVIZARE VARIABILĂ Dintre aceste metode se prezintă metoda cuadraturii lui Gauss. Această metodă determină punctele de divizare ale intervalului de integrare astfel ca eroarea de calcul a integralei să fie minimă METODA CUADRATURII GAUSSIENE CU DOUĂ PUNCTE Această metodă reduce orice interval de integrare [a,b] la intervalul [-1,1] cu ajutorul formulei de substituţie: y= 2x (b+a (6.11 b a Pentru x=1 rezultă y=-1, iar pentru x=b rezultă y=1. Din relaţia (5.11 se poate scrie: şi de aici: x= 1 2 ( b a y + 1 (b+a ( dx = 1 ( b a dy ( Ca urmare, integrala iniţială în forma I = +1 I = 1 f [ 1 2 (b a y+ 1 2 ( b+a ] 1 2 (b a dy= 1 b a f ( x dx se transformă în integrala: +1 ϕ( y dy (6.14 în care noua variabilă este y. S-au folosit în determinarea relaţiei (6.14 formulele (6.12 şi (6.13. Integrala din (6.14 este în final aproximată printr-o sumă, aşa cum s-a făcut de fiecare dată (din punct de vedere matematic integrala devine o sumă. Mai exact: +1 1 n ϕ( y dy = i=1 A i ϕ(u i (6.14' Precizia metodei este cea mai bună între metodele de integrare de tip cuadratură (pentru funcţii de o variabilă. Această putere de calcul este de fapt justificată, din moment ce metoda foloseşte în rezolvare polinoamele Legendre. Echivalentul matematic este acela de aproximare a funcţiei concrete de integrat printr-un polinom
9 93 Legendre echivalent, pentru un anumit grad dorit de către utilizator. Cu cât gradul preluat în calcule este mai mare, cu atât precizia metodei evident creşte. Polinoamele Legendre sunt definite pe intervalul [-1, 1]. De aceea se impune schimbarea limitelor de integrare iniţiale. Pe acest interval polinoamele prezintă un număr de rădăcini reale, distincte (gradul de multiplicitate al fiecărei soluţii este 1. Din cauză că aceste rădăcini nu sunt egal depărtate între ele, şi nici faţă de capetele intervalului de integrat, această metodă este clasificată drept metodă cu divizare variabilă. Această precizie de calcul se poate impune în mod direct, prin stabilirea gradului polinomului Legendre dorit în calcul. Există valori tabelate ale rădăcinilor acestor polinoame (notate aici cu U i, ca şi a ponderilor (A i, valori ce intervin în relaţia (6.14'. S-au dat aceste valori pentru toate gradele polinomului Legendre până la Algoritmul 5.5. Metoda cuadraturii lui Gauss real I_Gauss ( Adr_functie, // Adresa unei funcţii reale de o // variabilă reală (pointer la o funcţie real ls, // limita stângă a intervalului de integrare real ld, // limita dreaptă a intervalului de integrare întreg n // gradul polinomului lui Legendre { // declararea şi definirea variabilelor locale real A[N][N]; // matricea ponderilor real U[N][N]; // matricea soluţiilor polinoamelor lui // Legendre real sum; // valoarea integralei întreg i; // contor într-un ciclu for( // instrucţiunile de calcul ale metodei Construieşte vectorul/matricea A[N][N]; Construieşte vectorul/matricea U[N][N]; // v. mai jos // v. mai jos suma = 0; pentru i= 0 n-1 sum = sum * A[n][i]*(ld-ls* (*Adr_functie(0.5*(ld- ls*u[n][i] + 0.5*( ls+ld; } returnează sum;
10 94 Îndrumar de laborator pentru Metode Numerice Obs.: Notaţiile Adr_functie şi (*Adr_functie(... sunt simbolice. Ele reprezintă, respectiv, adresa unei funcţii (numele pointerului la funcţie şi apelul indirect al unei funcţii, prin intermediul pointerului către acea funcţie. Vedeţi Anexa B - Noţiuni de C necesare desfăşurării lucrărilor de laborator pentru lămuriri. // Valorile coeficienţilor A[n][i] n=0 {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}, n=1 {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}, n=2 {1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}, n=3 {5.0/9.0,8.0/9.0,5.0/9.0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}, n=4 n=5 n=6 n=7 { , } { , , , , 0, 0, 0} { , , , , , , 0. 0, 0, 0} { , , , , , , , 0, 0, 0}
11 95 n=8 n=9 n=10 n=11 n=12 n=13 { , , , , , , , , { , , , , , , 0, { , , , , , , , , , { , , , , , , , , , , , 0, { , , , , , , , , , , , , { , , , , , , , , , , 0, 0,
12 96 Îndrumar de laborator pentru Metode Numerice n=14 n=15 n=16 { , , , , , , , , , , , , , , { , , , , , , , , , , , , , , , 0}, { , , , , , , , , , , , , , , , }; // Soluţiile polinoamelor lui Legendre, U[n][i] n=0 {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}, n=1 {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}, n=2 { , , n=3 { , 0, , n=4 { , , , ,
13 97 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 0, 0} { , , 0, , , 0, { , , , , , , { , , , 0, , , , 0, { , , , , , , , , { , , , , 0, , , , , 0, { , , , , , , , , , ,
14 98 Îndrumar de laborator pentru Metode Numerice n=11 n=12 n=13 n=14 n=15 n=16 { , , , , , 0, , , , , , 0, { , , , , , , , , , , , , { , , , , , , 0, , , , , , , 0, { , , , , , , , , , , , , , , { , , , , , , , 0, , , , , , , , 0}, { , , , , , , , , , , , , , , , } };
15 CALCULUL NUMERIC AL INTEGRALELOR DUBLE Pentru simplitate vom considera domeniul de integrare al funcţiei de două variabile un dreptunghi b d f ( x,ydxdy= f ( x,y dxdy (6.15 D a c reprezintă integrala dublă dintr-o funcţie de două variabile. Pentru calculul valorii acestei integrale vom utiliza formula de cubatură a trapezului şi formula de cubatură a lui Simpson, prezentate în continuare FORMULA DE CUBATURĂ A TRAPEZULUI Intervalele de integrat [a,b] şi [c,d] se împart în subintervale de lungimi egale h= b a şi, respectiv k= d c n m (6.16 şi se consideră dreptunghiul cu vârfurile [ x i, y i ], [ x i+1, y i ], [ x i+1, y i+1 ], [ x i, y i+1 ] Pentru dreptunghiul dat se calculează integrala I i,j aplicând formula trapezului. Integrala pe întreg domeniul cu două dimensiuni din plan este: n 1 j=0 I = i=0 m 1 I ij = kh 4 i=0 n 1 j=0 m 1 [ f ( x i,y j + f ( x i,y j+1 + f ( x i+1,y j + f ( x i+1,y j+1 ] expresie cunoscută sub numele de formula de cubatură a trapezului. ( Algoritmul 5.6. Metoda cubaturii trapezului real I_Cubatura_Trapez ( Adr_functie, // Adresa unei funcţii reale de două // variabile reale (pointer la funcţie(x,y real a, // limita stângă a intervalului de integrare // pe axa Ox real b // limita dreaptă a intervalului de integrare // pe axa Ox real c, // limita stângă a intervalului de integrare // pe axa Oy real d, // limita dreaptă a intervalului de integrare // pe axa Oy
16 100 Îndrumar de laborator pentru Metode Numerice întreg n, întreg m // numărul de subintervale pe axa Ox // numărul de subintervale pe axa Oy { // declararea şi definirea variabilelor locale întreg i, j; // indici pentru buclele for( real h; // valoarea lungimii unui subinterval diviziunea n real k; // valoarea lungimii unui subinterval diviziunea m real sum; // valoarea integralei // instrucţiunile de calcul ale metodei h= b a ; k= d c ; // calculul valorii fiecărei diviziuni n m sum = 0; pentru i= 0 n-1 pentru j= 0 m-1 sum = sum + ((h*k/4 * ( (*Adr_functie(a+i*h, c+j*k + (*Adr_functie(a+i*h, c+(j+1*k + (*Adr_functie(a+(i+1h, c+j*k + (*Adr_functie(a+(i+1h, c+(j+1*k ; returnează } sum; Obs.: Notaţiile Adr_functie şi (*Adr_functie(... sunt simbolice. Ele reprezintă, respectiv, adresa unei funcţii (numele pointerului la funcţie şi apelul indirect al unei funcţii, prin intermediul pointerului către acea funcţie. Vedeţi Anexa B - Noţiuni de C necesare desfăşurării lucrărilor de laborator pentru lămuriri FORMULA LUI SIMPSON DE CUBATURĂ Pentru acelaşi dreptunghi [a,b,c,d ] vom aplica formula lui Simpson de integrare. Vom considera dreptunghiul de integrare cu vârfurile [ x i, y j ], [ x i+1, y j ], [ x i+1, y j+1 ], [ x i, y j+1 ] şi cu punctul central [ x i, y j ]. Integrala pe dreptunghiul [a,b,c,d ] este dată de formula de cubatură a lui Simpson:
17 101 n 1 m 1 I = I ij = kh n 1 m 1 i=0 j=0 9 { f ( x i 1,y j 1 + f ( x i+1,y j 1 + f ( x i 1,y j +1 + f ( x i+1,y j+1 + i=0 j=0 +4 [ f ( x i,y j+1 + f ( x i,y j 1 + f ( x i 1,y j + f ( x i+1,y j ]+16 f ( x i,y j } ( Algoritmul 5.7. Metoda lui Simpson de cubatură real I_Cubatura_Simpson ( Adr_functie, // Adresa unei funcţii reale de două // variabile reale (pointer la funcţie(x,y real a, // limita stângă a intervalului de integrare // pe axa Ox real b, // limita dreaptă a intervalului de integrare // pe axa Ox real c, // limita stângă a intervalului de integrare // pe axa Oy real d, // limita dreaptă a intervalului de integrare // pe axa Oy întreg n, // numărul de subintervale pe axa Ox întreg m // numărul de subintervale pe axa Oy { // declararea şi definirea variabilelor locale real h; // valoarea lungimii unui subinterval divizat in n real k; // valoarea lungimii unui subinterval divizat in m real sum; // valoarea integralei întreg i, j; // indici pentru buclele for( // instrucţiunile de calcul ale funcţiei h= b a ; k= d c ; //calculul valorilor fiecărei diviziuni n m sum = 0; i = 1; execută { j = 1; execută { sum = sum + ((h*k/9* ( (*Adr_functie(sx+(i-1*h, sy+(j-1*k + + (*Adr_functie(sx+(i+1*h, sy+(j-1*k + + (*Adr_functie(sx+(i-1*h, sy+(j+1*k + + (*Adr_functie(sx+(i+1*h, sy+(j+1*k + + 4*(*Adr_functie(sx+i*h, sy+(j+1*k + + 4*(*Adr_functie(sx+i*h, sy+(j-1*k + + 4*(*Adr_functie(sx+(i-1*h, sy+j*k + + 4*(*Adr_functie(sx+(i+1*h, sy+j*k *(*Adr_functie(sx+i*h, sy+j*k ; /* vedeţi formula (6.18 */
18 102 } j = j+2; // sau: j+=2; } cât timp(j<= m-1; i = i+2; // sau: i+=2; } cât timp(i<= n-1; returnează sum; Îndrumar de laborator pentru Metode Numerice Obs.: Notaţiile Adr_functie şi (*Adr_functie(... sunt simbolice. Ele reprezintă, respectiv, adresa unei funcţii (numele pointerului la funcţie şi apelul indirect al unei funcţii, prin intermediul pointerului către acea funcţie. Vedeţi Anexa B - Noţiuni de C necesare desfăşurării lucrărilor de laborator pentru lămuriri. 3. DESFĂŞURAREA LUCRĂRII 3.1. ÎNTREBĂRI 1. Enumeraţi în ordinea crescătoare a preciziei metodele de integrare. 2. Cum se justifică eroarea de calcul a metodei SIMPSON, în situaţia în care numărul de diviziuni este impar? 3. Ce ordonate au valoarea dublată în calculul sumei pentru metoda trapezului? 4. Care este gradul maxim al unei funcţii în exprimare polinomială pentru care metoda RICHARDSON oferă erori minime de calcul? 5. Cine impune schimbarea limitelor de integrare în metoda cuadraturii Gauss? 6. Se pot compara metodele de integrare din punctul de vedere al numărului de diviziuni? 3.2. PROBLEME LABORATOR 1. Să se implementeze toţi algoritmii prezentaţi sub formă de pseudo-cod, în limbaj ANSI C. x Se dă funcţia f ( x= 1+cos(1+x.ex.(1+sin x 2 pentru care se cere integrala de la 0 la Se consideră funcţia de două variabile: f ( x,y= x 2 + y 2.exp(1+ x.sin ( x+ y x. y Se cere valoarea integralei din funcţia dată pe domeniul: x [0,2]; y [0,2].
19 TEME DE CASĂ 1. În cazul determinării valorii integralei: 3.5 I = x 2 exp( x 2 dx 2 prin metoda Simpson, în ce situaţie rezultatul obţinut este mai precis: când N=202 sau când N=2021? 2. Să se calculeze valoarea medie a tensiunii in cazul unui redresor comandat prin tiristor, ştiind unghiul de comandă α=70 0 iar amplitudinea maximă a tensiunii de intrare, U m =5V. Folosiţi o metoda numerica luând N=10. Calcul manual. U Indicaţie: 0 = 1 T f (t dt;f (t =U T m sin(ω t 0 BIBLIOGRAFIE 1. I. Rusu Metode numerice în electronică. Aplicaţii în limbaj C, Editura Tehnică, Bucureşti, W.S. Dorn, D.D. McCracken - "Metode numerice cu programe Fortran IV", Editura Tehnică, Bucureşti, 1976.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραIntegrarea numerică. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică
Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 017-018 1/35 Cuprins Introducere 1 Introducere Importanţa evaluării
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραAparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1
Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραprin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραMetode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραINTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0
INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă
Διαβάστε περισσότεραTransformări de frecvenţă
Lucrarea 22 Tranformări de frecvenţă Scopul lucrării: prezentarea metodei de inteză bazate pe utilizarea tranformărilor de frecvenţă şi exemplificarea aceteia cu ajutorul unui filtru trece-jo de tip Sallen-Key.
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραIntegrarea numerică. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică
Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Algoritmi Numerici, 016-017 1/40 Cuprins Introducere 1 Introducere Importanţa evaluării
Διαβάστε περισσότεραI. Noţiuni introductive
Metode Numerice Curs 1 I. Noţiuni introductive Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate astfel încât să fie rezolvate numai prin operaţii aritmetice. Prin trecerea
Διαβάστε περισσότερα4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
Διαβάστε περισσότεραavem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +
Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria:
Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Analiza Matematică II, Semestrul II Conf. dr. Lucian MATICIUC Teoria: SEMINAR 3 Capitolul I. Integrala
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραErori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Διαβάστε περισσότεραRezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare. Cuprins. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice,
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραUniversitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Algebră (1)
Universitatea din ucureşti.7.4 Facultatea de Matematică şi Informatică oncursul de admitere iulie 4 omeniul de licenţă alculatoare şi Tehnologia Informaţiei lgebră (). Fie x,y astfel încât x+y = şi x +
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραExemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni
Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραOvidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Διαβάστε περισσότεραVARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007
VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea
Διαβάστε περισσότερα1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <
Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a V-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραTimp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.
Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραTEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE. Obiective:
TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE 61 TEMA 7: INTEGRALE NEDEFINITE Obiective: Definirea principalelor proprietăţi matematice ale integralelor nedefinite Analiza principalelor proprietăţi matematice ale ecuaţiilor
Διαβάστε περισσότεραValori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Διαβάστε περισσότερα