CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a

Transcript

1 CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a 1. Aflați cel mai mare număr de cinci cifre astfel încât cea de-a patra cifră să fie mai mare decât cea de-a cincea, a treia să fie mai mare decât suma ultimelor două, a doua să fie mai mare decât suma ultimelor trei, iar prima cifră să fie mai mare decât suma celorlalte. 2. Câți ani poate avea o persoană care în 2014 are vârsta egală cu suma cifrelor anului în care s-a născut? 3. Fred Flintstone și Barney Rubble joacă Pietricele : începând cu Fred, ei scot alternativ una sau două pietricele dintr-un sac care conține 50 de pietricele, fiind declarat învingător cel care reușește să golească sacul. Cum trebuie să joace Fred pentru a fi sigur că iese învingător? 4. Un număr se numește norocos dacă se divide cu 13. a) Aflați cel mai mic număr norocos cu suma cifrelor 27. b) Există numere norocoase cu suma cifrelor egală cu 2014? 1

2 Clasa a VI-a 1. Câte numere abc au proprietatea că a + b + c divide 2014? 2. Spunem că un triunghi este aproape dreptunghic dacă măsura cel puțin unuia dintre unghiurile sale diferă de 90 cu cel mult 15. Spunem despre un triunghi că este aproape isoscel dacă are două unghiuri ale căror măsuri diferă prin cel mult 15. a) Este adevărat că orice triunghi ascuțitunghic este aproape dreptunghic sau aproape isoscel? b) Desenați un triunghi care să nu fie nici aproape dreptunghic, nici aproape isoscel. 3. Pe laturile (AB) și (AC) ale triunghiului ABC se consideră respectiv punctele P, Q și R, S astfel încât m( BCP) = m( PCQ) = m( QCA) și m( CBR) = m( RBS) = m( SBA). Notăm cu U intersecția dreptelor BS și CQ, iar cu V intersecția dreptelor BR și CP. Demonstrați că dacă UV BC, atunci: a) UV este mediatoarea segmentului [BC]; b) [AU este bisectoarea unghiului BAC. 4. Stabiliți dacă există numere de 10 cifre, diferite două câte două, care au proprietatea că oricum am șterge 6 dintre cifrele numărului, numărul de 4 cifre care rămâne este compus. 2

3 Clasa a VII-a 1. a) Aflați numerele naturale n pentru care numărul n 4 +n 2 +1 este prim. b) Demonstrați că numărul este natural. A = ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) 2. Se consideră mulțimea A a tuturor tripletelor de numere naturale (x; y; z) cu proprietatea că x, y, z, x+y z, z +x y, y +z x, x+y +z sunt 7 numere prime distincte, iar x + y = 800 (un exemplu de astfel de triplet este (13; 787; 797) ). Pentru fiecare (x;y;z) A se face diferența dintre cel mai mare și cel mai mic dintre cele 7 numere prime. Care este cea mai mare valoare pe care o poate avea această diferență? 3. Demonstrați că diagonalele unui trapez sunt perpendiculare dacă și numai dacă segmentul care unește mijloacele bazelor are lungimea egală cu semisuma lungimilor bazelor. 4. Se știe că M și N sunt respectiv mijloacele laturilor [DC] și [BC] ale rombului ABCD, iar m( MAN) = 1 2 m( BAD). a) Aflați m( ABC). b) Demonstrați că pentru orice puncte U [DC], V [BC] astfel încât BV = CU are loc egalitatea: m( UAV) = 1 2 m( BAD). 3

4 Clasa a VIII-a 1. Numerele reale pozitive a și b verifică egalitatea a 22 +b 22 = a 3 +b 3. Arătați că: a b 2014 a b a) Fie ABCD un tetraedru și M, N mijloacele muchiilor(bc), respectiv(ad). Verificați că are loc identitatea lui Euler: AB 2 +CD 2 +AC 2 +BD 2 = BC 2 +AD 2 +4MN 2. b) Tetraedrul ABCD are muchiile opuse congruente (AB = CD, AC = BD, AD = BC). Arătați că fețele tetraedrului sunt triunghiuri ascuțitunghice. 3. a) Arătați că pentru orice numere reale a, b, c, t are loc egalitatea: (t a)(t b)(t c) = t 3 (a+b+c)t 2 +(ab+bc+ca)t abc. b) Numerele reale distincte m, n, p > 0 verifică egalitatea mn+np+pm = 1. Rezolvați în mulțimea numerelor reale sistemul: m+ yz x = n+ zx xy = p+ y z xyz +mnp = m+n+p. 4. Fie ABCD un tetraedru în care BAC ACD și ABD BDC. Arătați că AB = CD. 4

5 Clasa a IX-a 1. Fie (a n ) n 1 un șir de numere reale. Știind că a 1 = 0, a 2 = 1 și că orice 3 termeni consecutivi a n, a n+1, a n+2 ai șirului sunt în progresie aritmetică pentru n impar, respectiv în progresie geometrică pentru n par, demonstrați că: a 2n = n 2, ( )n N. 2. Se consideră numerele reale x, y, z care satisfac relațiile: a) Demonstrați că x+z 0. b) Dacă x+z = 0, determinați x, y, z. x {y} z. 3. Demonstrați că pentru orice numere reale x, y, z are loc inegalitatea: și precizați în ca caz are loc egalitatea. x y2 +z 2 x(y +z) 4. Fie ABCD un patrulater, M mijlocul laturii [BC], N mijlocul laturii [CD] și {P} = AM BN. Notăm: m = PM AM, n = BP BN. Demonstrați că patrulaterul ABCD este un paralelogram dacă și numai dacă n = 2m =

6 Clasa a X-a 1. Fie r > 0 un număr real, a, b, c trei numere complexe distincte cu proprietatea că a = b = c = r, iar α, β, γ trei numere reale cu proprietatea că α+β+γ = 1. Arătați că: αa+βb+γc = r αβ a b 2 +αγ a c 2 +βγ b c 2 = Fie ε o rădăcină primitivă de ordinul 2014 a unității, iar u, v C numerele complexe date de a) Arătați că u 0 și v 0. u = 1+2ε+3ε ε 2013, v = ε+3 2 ε ε b) Stabiliți valorile minime și valorile maxime pe care le pot avea modulele numerelor u, respectiv v. 3. Fie f : R R o funcție care verifică relația: x+y 3 x f(x)+3 y f(y) (x+y)3 x+y, ( )x, y R. a) Arătați că funcția f este unică și determinați această funcție. b) Determinați min(f(n)) și max(f(n)). c) Arătați că max(f(r)) = max(f([0;2])). 4. Determinați numărul soluțiilor reale ale ecuației 3 x22 = (1 x)2. 6

7 Clasa a XI-a 1. Fie funcția F : M n (R) M n (R) M n (R) dată prin relația a) Studiați injectivitatea funcției F. F(X,Y) = XY YX, ( )X, Y M n (R). b) Fie M Im(F) o matrice fixată. Arătați că există A, B M n (R), inversabile, astfel încât M = F(A,B). 2. Studiați dacă există funcții continue f : (0, ) R care verifică echivalența f(x) = 0 f(2014x) Fie A M n (R) inversabilă și B, C M n 1 (R) astfel încât C T A 1 B 0. Arătați că ecuația det(a xbc T ) = 0, are o singură soluție x = ( C T A 1 B ) Fie a, b două numere reale oarecare, iar șirurile (a n ) n 1, (b n ) n 1 definite prin a 1 = a, b 1 = b și a n+1 = 1 ( ) a 2 n b2 n, ( )n 1, 2 n ( 2 b n+1 = 1+ 1 ) a n b n, ( )n 1. n Studiați convergența șirului (x n ) n 1, x n = a n b n, ( ) n 1 și calculați lim n x n. n 7

8 Clasa a XII-a 1. Fie (G, ) un grup multiplicativ cu elementul unitate u, cu proprietatea că pentru orice elemente a, b G au loc egalitățile: a) Arătați că grupul G este comutativ. (aba 1 ) 22 = b 22 și (aba 1 ) 3 = b 3. b) Dacă există elementele x, y, z G\{u} care verifică egalitățile x 22 = x 3, y 28 = y 81, respectiv z 21 = z 23, atunci arătați că există t G\{u} cu proprietatea că t 2014 = u și t k u, ( ) k = 1, Fie f : [0, 1] R o funcție continuă cu proprietatea că a) Demonstrați că 1 0 xf(y)+yf(x) 1, ( )x, y [0,1]. f(x)dx π 4. b) Construiți o funcție cu proprietatea din enunț, astfel încât 1 0 f(x)dx = π Funcția f : R R este indefinit derivabilă și are proprietatea că există C > 0 astfel încât expresia E(x,n) = f(n) (x) nu depinde de n, oricare ar fi n N și x R, pentru care n+x+c n+x+c 0. Dacă f (0) = 1 și 1 0 f(x)dx = C +e 2, determinați valoarea lui C. 4. Fie (R, +, ) un inel, iar f : R R o funcție care îndeplinește condițiile: (i) f este surjectivă; (ii) f(x+y) = f(x)+f(y), ( ) x, y R; (iii) x 2 f(x) Z(R), unde Z(R) = {a R ax = xa, ( )x R} este centrul inelului R. Arătați că: a) xy +yx Z(R), ( ) x, y R. b) Inelul R este comutativ. 8