1 Şiruri şi serii numerice Proprietăţi ale şirurilorconvergente... 10

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 Şiruri şi serii numerice Proprietăţi ale şirurilorconvergente... 10"

Transcript

1 Cuprins 1 Şiruri şi serii numerice Şiruri numerice în R şi C Proprietăţi ale şirurilorconvergente Şiruri numerice în R 2 şi R Serii numerice în R şi C Criterii de convergenţă pentruseriinumerice Calculul numeric al sumei seriilor Şiruri şi serii de funcţii Scurtă introducere însubiect Şiruri de funcţiireale Proprietăţi ale şirurilor de funcţiiuniformconvergente Serii de funcţii Seriideputeri Operatiicuseriideputeri Seriile de puteri şi funcţiile elementare Funcţia exponenţială Funcţiile trigonometrice Funcţia logaritm natural Funcţiile a x şi x a Funcţiile hiperbolice Serii de puteri centrate în origine cu coeficienţi reali Convergenţa înmedie Funcţii vectoriale de varibilă vectorială Funcţii în R 2 şi R Limite pentru funcţiidemaimultevariabile Funcţii continue în R 2 si R Proprietăti ale functiilor continue ntr-un punct Prelungireaprincontinuitate Discontinuităţile funcţiilor cu mai multe variabile

2 6 CUPRINS 3.4 Derivate parţiale Aplicaţii diferenţiale Scurtă prezentare Definiţia generală a diferenţiabilităţii Diferenţiala şi derivata unor aplicaţii concrete Proprietăţi ale diferenţialei si derivatei aplicaţiilor concrete Derivate parţialedeordinsuperior Diferenţialele de ordin superior ale câmpurilor scalare Dezvoltarea lui Taylor pentru funcţii reale de mai multe variabile Probleme de optim pentru funcţii de mai multe variabile Funcţii definite implicit Noţiunea de funcţie implicită Teorema funcţiilor implicite Cazul funcţiilor cu douăvariabilereale Cazul funcţiilor cu trei variabile reale Cazul funcţiilor cu n+1 variabile (m=n+1) Sisteme de funcţiiimplicite Cazul a două funcţiicucincivariabile Cazul sistemelor de m funcţiicum+nvariabile Extreme cu legături TeoremaluiLagrange Problema funcţiilor inverse Cazul funcţiilor reale cu o variabilă reală Cazul funcţiilor cu două componenteşi două variabile Integrala Riemann pe dreaptă Integrala Riemann pe dreaptă(recapitulare pe scurt) Proprietăţt ale lui R([a, b]) Integralecuparametrii Integrareauneiintegralecuparametrii Integrale improprii Integrale pe intervale nemărginite Integrale definite pentru funcţii nemărginite Valoarea principală aintegralelordivergente Funcţia lui Euler γ(x) (funcţia gama ) Funcţia β(p, q) (funcţia beta )

3 CUPRINS 7 7 Integrale curbilinii Integrale curbilinii înraportcucoordonatele Proprietăţi ale integralelor curbilinii în raport cu coordonatele Curbă orientată. Câmpconservativ Calculul ariilor figurilor plane Integrale curbilinii înraportculungimeaarcului Rectificarea curbelor. Calculul lungimii arcelor Abscisa curbilinie pe o curbă Integrala curbilinie în raport cu abscisa curbilinie Aria unei suprafeţe de rotaţie Centredegreutate Interpretarea geometrică Integrala dublă Scurtă inroducere însubiect DefiniţiasumelorintegralealeluiDarboux ProprietatialesumelorluiDarboux Definiţia integralei duble Un mod particular de împărţireadomeniului Noua definiţie şi notaţie a integralei duble Proprietăţile integralelor duble Calculul integralelor duble Formula lui Green Schimbarea de variabile în integrala dublă Integrala dublăîncoordonatepolare Integrale duble improprii Integrale de suprafaţă Noţiuni din teoria suprafeţelor Reprezentarea parametrică a unei suprafeţe Coordonate curbilinii pe suprafaţă Planul tangent şi normala într-un punct pe suprafaţă Elementul liniar(metrica) al suprafeţei Elementul de arie pe suprafaţă Aria unei porţiuni de suprafaţă Integrala de suprafaţă.definiţie Reprezentare particulară a unei integrale de suprafaţă Calculculul volumelor cu integrale de suprafaţă Integrale de suprafaţă înraportcucoordonatele FormulaluiStokes

4 8 CUPRINS 10 Integrala triplă Scurtă introducere însubiect Definitiaintegraleitriple Împărţirea particulară a domeniului X Noua definiţie şi notaţieaintegraleitriple Proprietăţileintegraleitriple Calcululintegralelortriple O altă formulăpentrucalcululintegralelortriple Formula lui Gauss şiostrogradski Schimbarea de variabilăîn integrala triplă Restabilirea ariei unei suprafeţe Integrale triple generalizate, exemple Ecuaţii diferenţiale Noţiunigenerale Metodeelementaredeintegrare Ecuaţiicuvariabileseparate Ecuaţiiomogene Ecuaţii diferenţialeliniaredeordini Ecuaţii diferenţialeliniaredeordinii MetodaluiFrobenius Metoda seriilor Taylor Metoda polinoamelor diferenţiale Sisteme de ecuaţii diferenţiale Sisteme liniare cu coeficienţi constanţi Determinarea soluţiilor sinstemului liniar omogen Determinarea soluţiilor sinstemului liniar neomogen Sisteme şi ecuaţii liniare

5 Capitolul 1 Şiruri şi serii numerice 1.1 Şiruri numerice în R şi C. Prin şir numeric vom înţelege orice aplicaţie a mulţimii numerelor naturale în multimea numerelor reale sau, mai generel, a numerelor complexe. Notăd cu f această funcţie, vom considera f:n R (C),f(1),f(2),..., f(n),... care se numesc termenii şirului dat. Vom nota, în cazul şirului complex, f(n) =z n = x n + iy n, prescurtat cu (z n ) n N sau prin (z 1,z 2,..., z n,...). Evident termenii şirului pot fi toţi numere reale în care caz avem z n = x n,y n = 0, pentru orice n N. Şirul real fiind cunoscut din liceu. Vom face observaţia că nu trebuie să identificăm termenii unui şir numeric cu mulţimea de numere corespunzătoare şirului sau asfel scris: (z 1,z 2,..., z n,...) {z 1,z 2,..., z n,...}, unde am notat prin {z 1,z 2,..., z n,...} mulţimea şir. Aceasta înseamnă căîn cazul unui şir z j z k, dacă j k în timp pentru mulţimea şir se poate întâmpla ca z j = z k pentru j k. Exemplu: Şirul complex definit prin z n = i n 1 este: (1,i, 1, i, 1,i, 1, i, 1,...) Sevedecă z 1 = z 5 = z 9 şi z 2 = z 4.Mulţimea în acest caz este {1,i, 1, i}. Vom conveni să notăm şir staţionar şirul (z n ) n N în care z n = c=constant oricare ar fi n N. Prin urmare şirul staţionar este acela pentru care mulţimea sa este formată dintr-un singur element. Şirul staţionar se mai numeşte şir consant. Vom spune, de asemeni că termenul z n = x n + y n este termenul general al şirului dat şi el este considerat diferit de termenul z n+1 = x n+1 +y n+1 sau de orice alt termen al şirului. Pentru şirurile numerice reale se defineşte noţiunea de şir monoton. Asfel dacă x n x n+1 oricare ar fi n N şirul se numeşte monoton crescător şi dacă x n+1 x n oricare ar fi n N şirul se numeşte monoton descrescător. Dacă semnul inegalităţilor este strict vom avea şiruri monotone stricte. 9

6 10 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE Noţiunea de bază, fundamentală, din teoria şirurilor este noţiunea de şir convergent. Astfel, un şir (z n ) n N din C se spune că este convergent către un număr z C dacă pentru orice număr real pozitiv (ε >0) se poate determina un număr real dependent de ε (N = N(ε)), astfel încât z n z <εpentru orice indice natural n astfel încăt n N. Fără a constitui o restricţie putem presupune N N deoarece se poate considera partea întreagă [N] aluin şi dacă n N atunci n [N] Din punct de vedere geometric putem interpreta un şir convergent către un număr z în felul următor. În iteriorul oricărui cerc cu centrul în punctul de afix z se află o infinitate de punte ale şirului adică: z N+1,z N+2,...z n,..., iar în exteriorul acestui cerc se pot afla doar z 1,z 2,..., z N 1. Dacă şirul (z n ) n N coverge către z vom scrie z n z sau lim z n = z sau n mai comod lim z n = z, iarnumărul z se numeşte limita şirului (z n ) n N. 1.2 Proprietăţi ale şirurilor convergente. Principalele proprietati ale sirurilor convergente vor fi prezentate sub forma de teoreme. Teorema 1: Dacă (z n ) n N,(w n ) n N sunt şiruri din C atunci: a) limita unui şir este unic determinată. b) orice şir convergent este mărginit. c) z n z w n = z n z 0 d) dacă z n z, z n z, reciproca nu este adevarată ntodeauna (numai dacă z=0) e) dacă z n = x n + iy n,z= x + iy atunci z n z x n x şi y n y. f) z n z, w n w z n + w n z + w şi z n w n zw. g) dacă z n z 0şi dacă există k N astfel inct z n 0 pentru orice n>katunci 1 z n 1 z. a) dacă z n a, z n b şi dacă a b atunci z n a < ε 2, z n b < ε 2, ε>0arbitrar si n N iar dacă se consideră modulul diferenţei a b = z n b + a z n = z n a + z n b < ε 2 + ε 2 = ε. Cum inegalitatea a b <ε nu poate avea loc pentru orice ε>0; de exemplu se poate lua ε = a b 2 > 0şi atunci vom avea: a b < a b 2 adica 1 < 1 2, fals. Falsul provine din ipoteza a b. b) dacă z n z, vomavea z n z < 1, pentru orice n>n(1) si deci z n = z+z n z z +1, prin urmare dacă notăm cu A = max{ z1, z2,..., z N 1, z + 1} va rezulta z n A pentru orice n N deci şirul (z n ) n N este mărginit. c) Dacă z n z, z n z <εpentru orice n>n(ε) adică w n <εşi deci w n 0. d) În baza inegalităţii z n z < z n z. Din z n z <ε,pentru orice n N(ε) rezultă z n z <εpentru orice n N(ε) adică z n z ;

7 1.2. PROPRIETĂŢI ALE ŞIRURILOR CONVERGENTE. 11 invers dacă luăm de exemplu z n = i n, atunci z n = 1 care este un şir staţionar convergent în timp ce şirul (z n ) n N este divergent, după cumamvăzut. e) Dacă z n = x n + iy n x + iy = z, deoarece Re(z n z) z n z si Im(z n z) z n z rezultă: x n x = Re(z n z) ε şi y n y = Im(z n z) ε ceea ce înseamnă că x n x si y n y. Reciproc dacă z n z = (x n x) +i(y n y) x n x + y n y şi z n z <εdacă x n x < ε 2 şi y n y < ε 2 şi deci z n z. f) Din inegalitatea (z n + w n ) (z + w) = (z n z)+(w n w) z n z + w n w rezultă z n + w n z + w; apoi deoarece z n w n zw = z n (w n w) +w(z n z) z n w n w + w z n z. Cum (z n ) n N este convergent rezultă (z n ) n N mărginit şi deci există A>0astfel încât z n <Aşi dacă luăm B = max{a, w } rezultă: z n w n zw = Bε + Bε = ε. g) Deoarece z = (z z n )+z n ε + z n luând ε = z 2 > 0 rezultă 0 < z ) 2 z n pentru orice n>n(ε) şi atunci: 1 z n 1 z = z zn z nz 2 z 2 z z n < 2ε) = ε. z 2 Din aceasta teorema rezulta reguli de calcul posibile pentru operatia de trecere la limita. Astfel din f) rezulta: lim (z n + w n )=z + w = lim z n + lim w n, (1.1) n n n lim (z nw n )=zw = lim z n lim w n., (1.2) n n n În particular dacă presupunem sirul (w n ) n N stationar, w n = a R avem: lim (a.z n)=az = a lim z n, (1.3) n n iar pentru a = 1 obtinem: w n şi în plus, pentru lim n z n lim ( z n)= lim z n, (1.4) n n avem în baza lui f) şi g): w n lim n z n = lim n 1 z n lim w n = n lim n w n lim n z n (1.5) Pentru şirurile reale avem următoarele teoreme: Teorema 2: a) Dacă şirurile (x n ) n N,(x n) n N din R sunt astfel încât x n < x n pentru n > N,N N, atunci dacă lim n n = x, lim n x n = x avem x<x (deci lim n < lim n n x n).

8 12 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE b) Orice şir monoton şi mărginit este convergent şi anume dacă x n <x n+1 pentru orice n N, aunci lim x n = α = sup{x1,x2,..., x n,...} iar dacă n x n+1 >x n pentru orice n N, atunci lim x n = β = inf{x1,x2,..., x n,...}. n a) Fie d n = x n x n,avemd n 0şi dacă lim d n = dd= x x şi d<0 n atunci d n d <εşi deci d ε<d n <d+ ε şi pentru ε = ( d 2 ) > 0vomavea d n < d 2 < 0 ceea ce contrazice ipoteza d n 0şi deci d =0. b) Dacă x n x n+1 şi x n <Aatunci multimea M = {x1,x2,..., x n,...} are o margine superioară strictă, fie α = supm. În baza definiţiei marginii superioare stricte avem oricare ar fi (ε >0 există n N astfel încât α ε <x n1 α aşadar α ε <x n1 <x n1 +1 <... < x n <...<α<α+ε ceea ce inseamnă că α ε<x n <α+ ε pentru orice n>n 1 = N(ε) ceea ce înseamnă lim x n = α. n Rationament asemănător poate fi făcut şi în cazul şirului descrescător. Astfel, dacă x n+1 x n şi x n <Aatunci multimea M = {x1,x2,..., x n,...} are o margine inferioară strictă, fie β = infm. În baza definiţiei marginii inferioare stricte avem pentru orice ε>0 există n 1 N astfel încât β<x n1 β + ε aşadar β ε < β <... < x n <... < x n1 +1 <x n1 <β+ ε ceea ce înseamn ăcă β ε<x n <β+ ε pentru orice n>n 1 = N(ε) ceea ce înseamnă lim x n = β. n Observaţie. Dacă şirul în cauză este crescător si nemărginit vom avea, lim x n =, dacă este descrescator şi nemărginit vom avea lim x n =. n n O consecintă importantă a teoremei 2 este următorul rezultat, cunoscut sub numele: Teorema 3: (Teorema intervalelor incluse). Fie a 1,b 1 două numere reale diferite si a 1 <b 1. Considerăm intervalele [a n,b n ], a n <b n, n N astfel încât: [a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ]... [a n,b n ]..., (1.6) unde a 2 coincide fie cu a 1,când b 2 =((a1+b1)/2), fie cu ((a1+b1)/2), când b 2 = b 1, a 3 coincide fie cu a 2,cndb 3 =((a 2 + b 2 )/2), fie cu ((a 2 + b 2 )/2), cnd b 3 = b 2 şi aşa mai departe. În acest caz va exista un numar α [a1,b1] comun tuturor intervalelor [a n,b n ]. Din constructia intervalelor incluse avem ca sirurile (a n ) n N si (b n ) n N sunt monotone si marginite. Astfel: a 1 a 2... a n... b n... b 2 b 1, (1.7) iar a 1 a n <b n b 1, pentru orice n N. Utiliznd teorema 2, punctul b), avem lim a n = α = sup{a n }, lim b n = β = inf{b n } si α = β( daca am avea n n α>βatunci în baza teoremei 2, punctul a), am avea de la un rang n suficient de mare b n a n ). Deoarece b n a n = b 1 a pentru orice n vom n avea lim a n = lim b n si deci α = β. n n O consecintă importantă a acestei teoreme este rezultatul următor:

9 1.2. PROPRIETĂŢI ALE ŞIRURILOR CONVERGENTE. 13 Teorema 4: (Bolzano-Weierstrass) Orice şir mărginit din R, conţine un subşir convergent în R. Fie şirul (x n ) n N astfel încât a 1 x n b 1 pentru orice n N. Vom nota cu x n2 un termen al şirului considerat, aflat în intervalul [a 2,b 2 ], construit la teorema3; se notează cux n3 un termen al şirului considerat, aflat în intervalul [a 3,b 3 ], construit la teorema 3 cu x n2 x n3 (lucru posibil de realizat deoarece un şir are o infinitate de termeni distincţi) şi se alege acea jumatate [a 3,b 3 ]a intervalului [a 2,b 2 ] care contine o infinitate de termeni ai şirului. Continunnd acest procedeu, se obţine subşirul (x nk ) k N al şirului (x n ) n N iar a k x nk b k si, 1 <n 2 <n 3 <... < n k <... În baza teoremei 3 avem lim k x n k = α [a 1,b 1 ]. Astfel un şir dat poate avea mai multe subşiruri convergente. Numărul real α se va numi limita parţială aşirului (x n ) n N din R dacă există unsubşir (x nk ) k N al şirului (x n ) n N convergent către α, adică dacă lim x n k = a. Dacă k şirul (x n ) n N este mărginit, adică există a, b astfel încât a x n b, pentru orice n N, atunci toate limitele parţiale ale acestui şir se vor afla în intervalul [a, b]. Cea mai mică limită parţială, care se aflăîn intervalul [a, b]şi existăîn baza axiomei marginii inferioare se va numi limita inferioara aşirului (x n ) n N şi se va nota cu limx n = x (sau lim inf x n = x ), iar cea mai mare limită parţială care se aflăîn intervalul [a, b] şi existăîn baza axiomei marginii superioare, se va numi limita superioară aşirului (x n ) n N şi se va utiliza notaţia limx n = x (sau lim sup x n = x ). Rezultă inegalităţile: a inf{x 1,x 2,..., x n,...} limx n limx n sup{x1,x2,..., x n,...} b, (1.8) şi în baza teoremei 1, punctul a) va rezulta că unsir(x n ) n N marginit din R va fi convergent dacă şi numai dacă limx n = limx n. Un sir (z n ) n N din C se numeşte şir Cauchy sau şir fundamental dacă: Pentru orice ε>0 există unnumăr N = N(ε) N astfel încât inegalitatea z n z m <εsă fie verificată pentru orice numere naturale n si m care verifică inegalităţile n N,m N. Teorema 5: a) Orice şir convergent este fundamental. b) Orice şir fundamental este mărginit. a) Rezultă din inegalitatea z n z m = z n z + z z m = z n z + z m z = ε 2 + ε 2 = ε pentru n N şi m N, dacă (z n) n N converge la z adică dacă z n z < ε 2 şi z m z < ε 2. b) Din definiţia şirului fundamental, pentru ε = 1 (alegerea este pur ntmplatoare ) vom avea : z n z m =1dacă n N(1),m N(1) deci în particular z n z N < 1pentrun N; apoi deoarece z n = z n z N + z N 1+ z N pentru orice n N, rezultă că

10 14 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE termenii: z N,z N+1,... sunt mărginiti, adică z n <Apentru orice n N, unde am notat cu A = max{ z1, z2,..., z N 1, z N +1}. Teorema 6 (Criteriul lui Cauchy): Un şir din C este convergent dacă şi numai dacă este fundamental. Teorema 5, punctul a, ne spune că unşir convergent este fundamental deci ne mai rămâne de demonstrat că unşir fundamental din C este convergent. Vom arăta că unşir fundamental din R este convergent. Teorema 5, punctul b, ne spune că unşir fundamental este mărginit, iar în baza teoremei 4 ştiim că şirul în cauză conţine un subşir convergent, fie acesta (x nk ) k N şi lim x n n k R; ori atunci: x n x x n x nk + x nk x 0,n ( x n x nk 0,n,k, şirul (x n ) n N fiind un şir fundamental, iar x nk x 0,k ). Mai rămâne de arătat că orice şir fundamental complex este convergent. Aceasta rezultă din inegalităţile evidente pentru z n = x n + iy n,z m = x m + iy m,n,m N z n z m < x n x m + y n y m <εşi deci dacă şirurile (x n ) n N, (y n ) n N sunt fundamentale ele sunt convergente şi deci lim z n = z = x + iy. n Diferenţa dintre un şir fundamental şi un şir convergent este următoarea: În cazul unui şr convergent trebuie să cunoaştem atât termenii şirului cât şi limita sa pe când în cazul unui şir fundamental nu este necesar decât cunoaşterea termenilor şirului şi atât. Teorema 6 este importanta pentru că permite să se punăîn evidenţă convergenţa unui şir fără cunoaşterea prealabilă a limitei acelui şir. Ca aplicaţie, fie şirul (x n ) n N din R unde x m = r, r 1 r 2...r m = r + r r r rm , cu r Z, r m j {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, j N. Presupund n>m atunci: x n x m = 1 [r 10 m+1 m+1 + r m+2 r n ], deoarece 0 r 10 n m 1 j 9 vom avea: x n x m 1 [ m ] < 9 ( n m 1 10 m+1 10 =...) = 1 10 ε, m pentru m suficient de mare şirul cu termenul general x n este deci fundamental deci va exista un x real şi x = limx n. În acest caz s-a justificat faptul că prin reprezentarea zecimală: x = r, r 1 r 2...r n... se definesc de fapt numerele reale. Oaltă teoremă utilă în calculul limitelor este: Teorema 7 (Teorema lui Stoltz): Dacă şirul (y n ) n N este un şir crescător şi nemărginit (deci lim y n = ) n şi dacă şirul ( xn x n 1 y n y n 1 ) n N este convergent către un număr l R pentru orice şir real (x n ) n N atunci şirul ( xn y n ) n N este convergent de asemeni către l. Dacă pentru orice ε>0, găsim N = N(ε) N astfel fracţiile x N x N 1 y N y N 1, x N+1 x N y N+1 y N,..., xn x n 1 y n y n 1,... sunt cuprinse între l ε 2 şi l+ ε 2. Conform proprieţătii fracţiilor, dacă mai multe fracţii sunt cuprinse între două numere atunci adunând numărătorii fracţiilor între ei şi numitorii aceloraşi fracţii între ei vom obţine o fracţiecesegăseşte de asemeni între cele două numere. În cazul fracţiilor :

11 1.3. ŞIRURI NUMERICE ÎN R2 ŞI R x N x N 1 x y N y N 1, N+1 x N y N+1 y N,..., xn x n 1 y n y n 1, cu n > N, vom obţine fracţia xn x N y n y N, care este cuprinsă între l ε 2 şi l + ε 2 şi deci xn x N y n y N < ε 2. Dacă n > N, şi deoarece: x n yn l = 1 y n (x N ly N )+(1 y N yn )( xn x N y n y N l), pentru că: x n ly n y n = x N ly N +x n x N +ly N ly n y n = x N ly N y n + yn y N x n x N l(y n y N ) y n y n y N = 1 y n (x N ly N )+(1 y N yn )( xn x N y n y N l). În baza faptului că y n se obţine xn y n l Şiruri numerice în R 2 şi R 3. Un şir din R 2 este o funcţie(o aplicaţie ) s : N R 2 notată prins(n) = x n R 2 unde x n este o pereche ordonată de numere reale, adică x n =(a n,b n ) (perechea (a n,b n ) este diferita de perechea (b n,a n )). Un şir din R 2 se va scrie deci sub forma: ((a n,b n )) n N sau ((a 1,b 1 ), (a 2,b 2 ),..., (a n,b n ),...). Se observă căunşir din R 2 este format cu ajutorul a două şiruri din R: şirul primelor componente (a n ) n N,şi şirul componentelor secunde (b n ) n N.Şi reciproc, cu ajutorul a douăşiruri din R, fieele(a n ) n N,şi (b n ) n N se formează un şir, numit şir dublu, ((a n,b n )) n N din R 2 cu păstrarea ordinii, adică termenii primului şirseaflăpeprimullocîn perechea (a n,b n ), iar termenii celui de-al doilea şir se afla toti pe locul al doilea al perechi (a n,b n ). Se poate remarca, că aceeaşi situatie apare şi în cazul şirurilor din C,iar între şirurile din C şi cele din R 2 se poate stabili un izomorfism natural. Se va face totuşi distinctia între şirurile din C şi cele din R 2 datorită structurii algebrice diferite a celor două mulţimi. În C se poate defini produsul a două elemente, deci şi câtul pe când în R 2 nu există operatiadeîmpărţire a elementelor. Şirul ((a n,b n )) n N din R este convergent catre (a, b) dinr 2 dacă: Pentru orice ε>0există unnumăr N = N(ε) astfel încât oricare ar fi n N, (a n a) 2 +(b n b) 2 <ε. De reţinut că N se schimbă odatăcuε(n = N(ε)). Elementul (a, b) din R se va numi în acest caz limita şirului ((a n,b n )) n N şi vom folosi notaţiile: lim (a n,b n )=(a, b) sau, mai comod lim(a n,b n )=(a, b), sau încă (a n,b n ) n (a, b). Convergenţa şirurilor din R 2 se rezolvă imediat cu ajutorul următoarei teoreme: Teorema 8: Unşir ((a n,b n )) n N din R 2 este convergent şi are limita (a, b) dacă şi numai dacă lim a n = a şi lim b n = b, ceeace se poate scrie: lim (a n,b n ) = ( lim a n, lim b n) (1.9) n n n Dacă (a n,b n ) (a, b) atunci conform definitiei limitei din R 2 vom avea (an a) 2 +(b n b) 2 <εori care ar fi n N, ori atunci:

12 16 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE a n a = (a n a) 2 +(b n b) 2 <εşi deci a n a şi b n b = (a n a) 2 +(b n b) 2 <εşi deci b n b. Reciproc, din a n a rezultă a n a < ε 2, pentru orice n N(ε) iar din b n b rezultă b n b < ε 2, pentru orice n N(ε) şi deoarece (an a) 2 +(b n b) 2 < ε 2 + ε 2 = ε, pentru orice n N(ε) va rezulta: (a n,b n ) (a, b). Se poate arăta uşor că orice şir convergent din R 2 este mărginit, adică va exista un patrat centrat în (0, 0) şi de latura 2A >0în interiorul căruia se vor afla toate elementele sirului din R 2. De asemenea, se poate arăta că unşir din R 2 este convergent dacăşi numai dacă esteşir fundamental în R 2 adică: Pentru orice ε>0 există N = N(ε) N astfel încât pentru orice numere naturale n, m şi n>m= N(ε) săavem: (a n a m ) 2 +(b n b m ) 2 <ε. Într-adevăr, a n a m = (a n a m ) 2 (a n a m ) 2 +(a n a m ) 2 <ε şi deci şirul (a n ) n N este fundamental în R, deci va exista un a R, unic, şi lim a n = a. Similar b n b m = (b n b m ) 2 (a n a m ) 2 +(a n a m ) 2 <ε şi deci şirul (b n ) n N este fundamental în R, deci va exista un b R, unic, si lim b n = b. Aşadar (a n,b n ) (a, b). În R 3 problemele legate de convergenţa şirurilor se rezolvă n mod similar. Un şir din R 3 fiind o funcţie (o aplicaţie) s : N R 3 notată prins(n) = x n R 3, unde x n este un triplet ordonat de numere reale, adică x n = (a n,b n,c n ) (tripletul (a n,b n,c n ) este diferit de orice alt triplet format cu a n, b n, c n în alt ă ordine). Un şir din R 3 se va scrie deci sub forma: ((a n,b n,c n )) n N sau ((a 1,b 1,c 1 ), (a 2,b 2,c 2 ),..., (a n,b n,c n ),...). Se observă căunşir din R 3 este format cu ajutorul a trei şiruri din R: şirul primelor componente (a n ) n N,şirul componentelor secunde (b n ) n N şi şirul componentelor de pe locul trei (c n ) n N. Acest şir va fi convergent şi va avea limita (a, b, c) dinr 3 dacă: Pentru orice ε > 0 există N = N(ε) N astfel încât dacă n N (an a) 2 +(b n b) 2 (c n c) 2 <ε,iar o condiţie necesară şi suficientă de convergenţa va fi convergenţa sirurilor (a n ) n N,(b n ) n N,(c n ) n N,dinR către a, b, c, având loc relaţia: lim (a n,b n,c n ) = ( lim a n, lim b n, lim c n) (1.10) n n n n Un şir din R 3 este convergent daca şi numai daca este şir fundamental în R 3 adică: Pentru orice ε > 0 există unnumăr N = N(ε) N astfel ca pentru m, n N,n>m N(ε) săavem: (an a m ) 2 +(b n b m ) 2 +(c n c m ) 2 <ε (1.11)

13 1.4. SERII NUMERICE ÎN R ŞI C. 17 La fel ca n R 2,sepoatearăta uşor c ă orice şir convergent din R 3 este mărginit, adică va exista un cub cu centru n (0, 0, 0) şi de latură A>0în interiorul căruia se vor afla toate elementele şirului din R 3. Extinderea la spaţiul R m,m>3 se poate face fară probleme. 1.4 Serii numerice în R şi C. Daca (z n ) n N este un şir din C sau R, cu ajutorul termenilor acestui şir se poate construi un alt şir (s n ) n N cu termenul general dat de relaţia: n s n = z 1 + z z n = z k (1.12) Dacă şirul nou construit este convergent este natural să se presupună că limita sa s = lim s n, este suma expresiei z 1 + z z n +..., numităsuma n infinită sau serie infinită sau mai simplu serie asociata sirului (z n ) n N şi vom scrie prin definiţie: s = z 1 + z z n +... = z k = k=1 n N subînţelegând faptul că suma(însumarea) se face după toti indicii n N şi operatia de însumare se realizează în ordinea scrisă a termenilor. Vom extinde însă noţiunea de serie la orice sumă z 1 + z z n +... cu un număr infinit de termeni, fară a pretinde că şirul construit (s n ) n N să fie convergent. Şirul (s n ) n N construit din (z n ) n N se numeşte şirul sumelor parţiale. Pentru seria z n putem spune: n N k=1 z n (1.13) a) seria n N z n este convergentă si are suma s dacă şirul sumelor parţiale (s n ) n N este convergent şi are limita s. b) seria n N z n este divergentă dacă şirul sumelor parţiale (s n ) n N este divergent. Termenul z n al seriei n N z n se numeşte termenul general al seriei. Exemple: 1.) Fie termenul general z n = 1 n(n+1) ; s n = n(n+1) Putem n 1 n scrie s n = k(k +1) = ( 1 k 1 k +1 )=( )+( ( n 1 k=1 k=1 1 n )+(1 n 1 n+1 )) = 1 1 n+1 1. Putem scrie 1 n(n +1) =1. n=1

14 18 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE 2.) Dacă termenul general este z n = i n ;şirul sumelor patţiale (s n ) n N conţine partu subşiruri staţionare (s 4n ) = 0, ( )n N (s 4n+1 )=i, ( )n N (s 4n+2 )=i 1, ( )n N (s 4n+3 )= 1, ( )n N. prin urmare seria i n este divergentă, nu are sens. 3.) Dacă termenul general este z n =1+in; şirul sumelor parţiale (s n )= n + i n(n+1) 2, prin urmare seria (1 + in) =. Seria este divergentă n=1 şi are limita. 4.) Dacă termenul general este z n = q n 1 ;şirul sumelor patţiale (s n ) n N = 1+q + q q n 1 = 1 qn 1 q şi pentru q < 1(s n ) 1 1 q iar pentru q > 1 (s n ). Mai rămân cazurile q = 1 şi q = 1. Pentru q = 1 avem (s n )=n, ( )n N prin urmare, în acest caz, n =. Pentruq = 1 şirul sumelor patţiale (s n ) n N conţine două subşiruri staţionare (s 2n ) = 0, ( )n N (s 2n+1 ) = 1, ( )n N prin urmare lim s n nu există. n Seria q n 1 se numeşte sera geometrică. n=1 Să considerăm două serii z n, z n, Dacă există unn 0 N astfel n N n N încât z n z n,pentrun n 0 şi z n = z n pentru n>n 0 aceste serii sunt în acelaşi timp convergente sau divergente şi vom spune că au aceeaşi natură, n 0 deoarece presupunnd n>n 0, dacă se notează cuc = (z k z k ), s n = s n + c, unde s n = n z k, s n = k=1 n=1 k=1 n=1 n z k şi dacă şirul (s n) n N converge atunci (s n) n N k=1 converge, dacă şirul (s n ) n N este divergent atunci şi (s n) n N este divergent. Stabilim următorul rezultat: Dacă seria c = n N z n este convergentă, atunci seria: k=n+1 z k (1.14) se numeşte restul de ordin n al seriei date şi au loc relaţiile: r n = s s n, lim n r n = 0 (1.15) Aceste relaţii se justifică astfel: Dacă se consideră şirul: (z n) n N =(0,..., 0,z n+1,...) şi seria n N z n core-

15 1.5. CRITERII DE CONVERGENŢĂ PENTRU SERII NUMERICE. 19 spunzatoare, care diferă de seria n N z n doar prin înlocuirea primilor n termeni cu 0 seria z n este convergentă la fel ca seria z n în baza celor stabilite n N n N mai sus: c = n z k = z k, s n = c, s = z n = r n, s = k=1 n N k=n+1 n N s = s + c şi deci r n = s s n şi cum (s s n ) 0 atunci r n 0. Diferenţa s s n se numeşte eroare de triunchere şi ea măsoara eroarea care apare atunci când se înlocuiesc s prin s n. Seriei z n isepoateataşa întotdeauna o serie cu termeni pozitivi şi n N anume seria: z n şi cum z n = x 2 n + yn 2 (1.16) n N n N unde z n = x n + iy n, n N Dacă seria z n este convergentă, vom spune că seria z n este ab- n N n N solut convergent ă. 1.5 Criterii de convergenţă pentru serii numerice. Vom pune în evidenţă criterii de stabilire a convergenţei seriilor prin următoarele teoreme: Teorema 1 (Criteriul general de convergenţă pentru serii numerice) Seria n N z n, z n C, este convergentădacă şi numai dacă pentru orice ε>0 există unnumăr N = N(ε) astfel ca m k=n+1 pentru orice n, m N, m>n N(ε). n m Fie s n = z k,s m = z k atunci k=1 k=1 z k <ε (1.17) m k=n+1 z k = z n+1 +z n z m = s m s n şi deci putem aplica teorema 3, de la şiruri, pentru şirul sumelor parţiale (s n ) n N. Teorema 2 (Criteriul necesar dar nu suficient de convergenţă pentru serii numerice) a) Pentru ca seria n N z n, z n C, să fie convergentă este necesar (dar nu suficient) ca termenul general al său să tinda la zero (z n 0).

16 20 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE b) Dacă termenul general al seriei z n, z n C, nu tinde la zero ( lim z n n n N 0) seria este sigur divergentă. Pentru punctul a), dacăîn (1.17) se ia n 1în loc de n şi n în loc de m, se obţine z n <ε, pentru orice n suficient de mare, deci dacă seria z n este n N convergentă atunci lim z n =0,în mod obligatoriu. Pentru a arăta că nueste n suficient ca z n să tindă la zero considerând de exemplu seria 1 n,numită n N seria armonică, deoarece trei temeni consecutivi ai săi z n 1, z n, z n+1, satisfac relaţia armonică, adică: = 2. (1.18) z n 1 z n+1 z n Calculnd, de exemplu, s 2n s n = 1 n n n, deoarece 1 n+j > 1 2n pentru j =1, 2,..., n, vom obţine s 2n s n >n 1 2n = 1 2,caredovedeşte că şirul sumelor parţiale nu este şir convergent, prin urmare seria este divergentă, deşi lim z n =0. n Punctul b) rezultă evident din a). Teorema 3 Orice serie absolut convergentă este convergentă.(reciproca nu este în general adevarată.) Daca seria (1.16) este convergentă, din (1.17) rezultă: z n+1 + z n z m = z n+1 + z n z m <ε, dacă m>n= N(ε) si deci: s m s n = z n+1 + z n z m z n+1 + z n z m <ε Reciproca nu este în general adevarată. De exemplu seria ( 1) n 1 1 n n N este convergentă (aceasta se arată considernd şirul cu termen general c n = n ln n care este convergent şi are limita c (0, 1), s 2n = c 2n c n +ln2n ln n iar lim s 2n = ln 2, si deci ( 1) n 1 1 = ln2, în timp n n n N ce seria 1 este divergentă după cumamvăzut la demonstraţia teoremei n n N anterioare. Teorema 4 O serie cu termeni reali pozitivi este convergentă dacă şi numai dacă şirul sumelor partiale este mărginit. Fie x n, x n R, s n+1 = s n + x n+1 şi deci s n+1 s n, prin urmare şirul n N sumelor parţiale (s n ) n N este crescător şi mărginit, deci convergent. Teorema 5(Criteriul comparaţiei)

17 1.5. CRITERII DE CONVERGENŢĂ PENTRU SERII NUMERICE. 21 Fie seriile de studiat n N şi n N b n atunci: z n, n N x n şi seriile reale cu termeni pozitivi n N a n a) Dacă z n Ma n, pentru orice n n 0, n 0 N, M>0, atunci: Dacă seria a n este convergentă, seria z n este absolut convergentă n N n N (M nu depinde de n 0,iara n > 0) b) Dacă 0<Ab n <x n, pentru orice n n 0, n 0 N, A>0şi dacă seria x n este divergentă. b n este divergentă atunci seria n N n N a) Din convergenţa seriei cu termeni pozitivi, în baza teoremei 1, pentru orice ε>0sepoategăsi un N = N(ε) N astfel încât a n+1 +a n a m < ε M ceeace antrnează: s m s n = z n+1 + z n z m < z n+1 + z n z m <M(a n+1 + a n a m ) <ε, daca m n=n(e). b) Dacă x n ar fi convergentă, atunci acelaşi lucru ar fi valabil şi pentru n N n n, conform cu punctul a), dacă luăm 1 A, ceea ce nu se poate. n N Seria a n se numeşte serie majorantă pentru z n. Seria b n se n N n N n N numeşte serie minorantă pentru x n. n N Teorema 6 (Criteriul raportului la limită). Fie, două serii cu termeni pozitivi x n, y n este convergent şi dacă n N n N x n lim = a>0, atunci: n y n a) Dacă y n este convergentă, atunci x n convergentă. n N n N b) Dacă y n este divergentă atunci z n este divergentă. n N n N x n Din lim = 0 rezultă: n y n Pentru orice ε>0există N = N(ε) N aetfel încât pentru orice n N(ε) să avem: (a ε)y n <x n < (a + ε)y n şi din teorema 5, punctul a), rezultă că dacă y n convege atunci x n converge, luând de exemplu M = a + ε. Iardacă n N n N a ε>0(se poate alege ε corespunzător astfel încât a ε>0) şi din teorema 5, punctul b), rezultă punctul b) al teoremei 6. Exemplu: Seria 2 n sin 1 3 n, are aceeaşi natură ca seria ( 2 3 )n. n N n N

18 22 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE Vom face observaţia căîn cazul a = 0, teorema 6, punctul a) nu mai este valabil. De exemplu, dacă luăm x n = 1, y n 2 n = 1 x n n avem lim =0,şi x n n y n n N este convergentăîn timp ce n N y n este divergentă. Teorema 7(Criteriul rapoartelor inegale): Fie x n, y n două serii cu termeni strict pozitivi şi dacăavem: x n+1 x n n N n N y n+1 y n, pentru orice n N, atunci: a) Dacă n N y n este convergentă atunci n N x n este convergentă b) Dacă x n este divergentă atunci y n este divergentă. n N n N x Dând lui n valorile 1, 2,..., n 1, vom avea: 2 x 1 y 2 x y 1, 3 x 2 y 3 y 2,..., x n x n 1 yn y n 1. Înmulţind termen cu termen (lucru posibil seriile fiind strict pozitive), vom obtine: x 2 x 3...x n x 1 x 2...x n 1 y 2y 3...y n y 1 y 2...y n 1 sau xn x 1 yn y 1. Ultima relaţie poate fi scrisă în douîmoduri: x n x 1 y 1 y n şi y 1 x 1 x n y n Aplicnd acestor relatii teorema 5 punctul a), respectiv punctul b), vom obtine punctele a), b) ale teoremei n cauza. Teorema 8 (Criteriul lui Cauchy al condensării sau criteriul lui 2 n ) Daca termenii reali pozitivi ai seriei n N z n îndeplinesc condiţia: x 1 > x 2 >... > x n >... > 0, atunci seria respectivă va avea aceeaşi natură (este convergentă sau divergentă), după cum seria n N 2 n z 2 n, este convergentă sau divergentă. Fie s m = x 1 + x x m şi aleg n N astfel ca m<2 n+1. În baza ipotezei făcute în teoremă cu referire la monotonie vom putea scrie grupat: s m <x 1 +(x 2 + x 3 )+(x 4 + x 5 + x 6 + x 7 )+(x 8 + x x 15 )+... +(x 2 n + n x 2 n x 2 n+1 1 ) <x 1 +2x x x n x 2 n = 2 k x 2 k = s şi n din convergenţa lui s n va rezulta convergenţa lui s n. Pentru divergenţă vom alege n N astfel ca m>2 n şi vom avea, n baza monotoniei s m >s 2 n = x 1 +x x 2 n > 1 2 x 1+x 2 +(x 3 +x 4 )+(x 5 +x 6 +x 7 + n x 8 )+...+(x 2 n x 2 n ) > 1 2 (x 1+2x 2 +4x 4 +8x n x 2 n )= k x 2 k şi divergenţa seriei n N k=0 2 n x 2 n implică divergenţa seriei n N x n. k=0

19 1.5. CRITERII DE CONVERGENŢĂ PENTRU SERII NUMERICE. 23 Ca aplicaţie vom considera seria generalizatăaluiriemann 1 n α. Această n N serie va avea aceeaşi natură caseria 2 n ( 1 2 n )α = 1 ( 2 α 1 )n, iar aceasta n N n N din urmă este seria geometrică care este convergentă pentruα>1şi este divergentă pentruα 1. Teorema 9 (Criteriul logaritmic): Fie n N x n o serie cu termeni strict pozitivi. Dacă lim n a) Dacă l>1 seria n N x n este convergentă b) Dacă l 1 seria n N x n este divergentă. ln 1 x n lnn = l, atunci: În baza definiţiei limitei date rezultă că pentru orice ε>0există N = N(ε) N astfel ca pentru orice n N,n N vom avea: l ε< ln 1 xn lnn <l+ ε,saulnnl ε < ln 1 x n <lnn l+ε,saun l ε < 1 x n <n l+ε, sau încă 1 n ε <x n l n < 1 n ε 1 şi cum seria cu termenul general este seria lui n l n l Riemann studiata ca aplicatie la teorema 8 va rezulta cu aceasta convergenţa respectiv divergenţa seriei după numărul real l. Teorema 10(Criteriul lui Abel): Dacă z n este o serie cu şirul sumelor parţiale (s n ) n N mărginit ( există n N M > 0 astfel ca s n <Mpentru orice n N) şi dacă (a n ) n N este un şir de numere reale pozitive descrescător convergent la zero, atunci seria n N z n a n este convergentă. Conform criteriului general, teorema 1, va trebui sa evaluăm suma: a n+1 z n+1 + a n+2 z n a m z m = a n+1 (s n+1 s n )+a n+2 (s n+2 s n+1 ) a m (s m s m 1 ) = a n+1 s n + s n+1 (a n+1 a n+2 )+s n+2 (a n+2 a n+3 )+...+s m 1 (a m 1 a m )+s m a m a n+1 s n +(a n+1 a n+2 ) s n (a m 1 a m ) s m 1 + a m s m M(a n+1 + a n+1 a n+2 + a n+2 a n a m 1 a m + a m )=2Ma n+1 <ε(pentru lim a n =0). n Exemplu: Seria ( 1) k 1 1 numită seria lui Leibnitz este convergentă, k k=1 conform teoremei lui Abel, z n =( 1) n, a n = 1 n îndeplinind condiţiile respectivei teoreme. Teorema 13 (Criteriul radacinii al lui Cauchy): Fie sirul (z n ) n N din C, atunci: a) Dacă lim sup z n+1 z n < 1, seria z n este absolut convergentă. n N

20 24 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE b) Dacă lim inf z n+1 z n > 1, seria n N z n este divergentă. a) Dacă lim sup z n+1 z n = r 1 < 1, atunci pentru un ε>0 exista un N = N(ε) N astfel ca z n+1 z n <r 1 + ε, pentru orice n>n. Daca alegem ε>0 astfel ca r = r 1 + ε<1vomavea z n+1 z n <rsau z n+1 <r z n <r 2 z n 1 <... < r n N z N = Mr n si cu teorema 5, punctul a) rezultă z n absolut n N convergentă. b) Dacă lim inf z n+1 z n = r 2 > 1, atunci pentru un ε>0 există unn = N(ε) N astfel ca z n+1 z n >r 2 ε pentru orice n>n. Dacă alegem ε>0 astfel ca r = r 2 ε>1vomavea z n+1 z n > 1sau z n > 1şi deci z n nu converge la zero. Observatia 1: Dacă şirul (z n ) n N din C, este astfel încât z n 0, pentru orice n N, şi dacă există lim z n+1 = r, atunci seria z n este absolut convergentă, dacă n z n n N 0 <r<1. Într-adevăr, în acest caz lim sup z n+1 z n = lim z n+1 = r<1. n z n Observatia 2: Dacă şirul (z n ) n N din C, este astfel încât z n 0, pentru orice n N, şi dacă există lim = r, atunci seria este divergentă, dacă r>1. z n+1 n z n Într-adevăr, în acest caz lim inf z n+1 z n = lim z n = r>1. Observatia 3: Dacă şirul (z n ) n N din C, este astfel încât z n 0, pentru orice n N, şi dacă există lim = 1, atunci criteriul raportului nu dă niciunrăspuns z n+1 n z n asupra convergenţei sau divergenţei seriei n N z n. lim n lim n n z n+1 De exemplu dacă z n = 1 n, atunci z n este divergentă, iar lim z n+1 = n z n n N n n +1 = 1, iar în cazul z n = 1 n(n+1), z n este convergentă, iar lim z n+1 = n z n n N n(n +1) (n +1)(n +2) =1. Teorema 12(Criteriul Raabe-Duhamel): Fie n N x n o serie cu termeni strict pozitivi. Seria aceasta converge (diverge), daca pentru n>n N, avem:n(1 x n+1 x n )=r>1(n(1 x n+1 x n ) 1). În cazul convergenţei avem, conform ipotezei x n+1 x n 1 r n,r > 0.

21 1.5. CRITERII DE CONVERGENŢĂ PENTRU SERII NUMERICE. 25 Cum sirul ( (1 1 n )r 1 ) 1 n N este crescător iar lim ((1 1 n )r 1 n n 1 )=r, rezultă: n (1 1 n )r 1 r. Vom avea (1 1 1 n )r 1 r n şi deci (1 1 n )r 1 r n. Prin n urmare: x n+1 x n (1 1 n )r = 1 n r 1 = y n+1 (n 1) r y n. Cum seria y n = 1 este convergentă pentrur>1, conform cu teorema 7 vom avea x n convergentă. rn n N n N n N Pentru afirmaţia din paranteză(divergenţa) avem x n+1 x n 1 1 n = 1 n 1 n 1 = y n+1 y n, şi deoarece 1 y n = n 1 este divergentă rezultă x n divergentă. n N n=2 n N De exemplu seria (2n)! 4 n, nu poate fi caracterizată cu criteriul raportului deoarece limita raportului este 1, în timp ce cu criteriul Raabe-Duhamel, (n!) 2 n N pentru căavem: n(1 (2n+2)(2n=1) = 2n2 +2n = n 4(n+1) 2 4(n+1) 2 2(n+1) < 1 2,cenedădivergenţa. Teorema 13(Criteriul radacinii al lui Cauchy): Fie şirul (z n ) n N din C, atunci: a) Dacă lim sup n z n < 1, seria n N z n este absolut convergentă. b) Dacă lim inf n z n > 1, seria n N z n este divergentă. a) Dacă lim sup n z n = r 1 < 1, atunci pentru un ε>0 exista un N = N(ε) N astfel ca n z n <r 1 + ε, pentru orice n>n. Dacă alegem ε>0 astfel ca r = r 1 + ε<1vomavea n z n <rsau z n <r n şi cu teorema 4, punctul a) luând M = 1, rezulta z n absolut convergentă. b) Dacă n N lim inf n z n = r 2 > 1, atunci pentru un ε>0există unn = N(ε) N astfel ca n z n >r 2 ε pentru orice n>n. Dacă alegem ε>0 astfel ca r = r 2 ε>1vomavea n z n > 1sau z n > 1şi deci z n nu converge la zero. De exemplu seria , are lim sup z n = 1 2 şi lim inf z n = 1 3 şi este convergentă. Observatia 1: Dacăşirul (z n ) n N din C, este astfel încât, pentru orice n N,şi dacă există lim n n zn = r, atunci seria z n este absolut convergentă, dacă 0<r<1. n N Într-adevăr, în acest caz lim sup n z n = lim n n zn = r<1. Observatia 2: Dacă şirul (z n ) n N din C, este astfel încât, pentru orice n N, şi dacă

22 26 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE există lim n n zn = r, atunci seria este divergentă, dacă r>1. Într-adevăr, în acest caz lim sup n n z n = lim zn = r>1. n Observatia 3: Dacă şirul (z n ) n N din C, este astfel încât z n 0, pentru orice n N, şi n zn = 1, atunci criteriul rădăcinii nu dă niciunrăspuns dacă există lim n asupra convergenţei sau divergenţei seriei z n. n N Analizând criteriile de convergenţă date de teoremele: 6, 7, 10, 11, 12. se observă că aceste criterii sunt de fapt consecinţe ale criteriului comparaţiei (teorema 5), seria majoranta fiind, în cazul teoremei 12 seria geometrică, r n n N de exemlu; înlocuind seria geometrică cu o alta serie vom obţine alte criterii de convergentă şi în mod natural se justifica întrbarea: nu exista un criteriu generel de convergenţă, bazat pe o serie standart, care să rezolve problema convergenţei(sau a divergenţei) a oricarei serii numerice din C(R)?. Răspunsul este negativ, ceeace înseamnă că se pot găsi serii care nu pot fi analizate cu ajutorul criteriilor stabilite anterior. Vom arăta în continuare că nu există o serie universală de comparaţie. Fie seriile z n şi z n pentru care r n,r n vor fi resturile lor de or- n N n N din n. Vom spune că seria z n converge mai lent ca seria z n dacă n N n N r n lim n r n =0şi vom arăta că oricărei serii, convergentă i se poate pune în evidentă(corespondentă) o altă serie care converge mai lent decât seria data. Astfel, luând de exemplu z n = r n 1 ) r n si deoarece r n = z n+1 +z n = r n r n r n, rezulta lim n r n = lim = lim rn = 0. Dacă am considera n rn n seria x n, drept serie universală, luând seria x n cu x n = r n 1 r n n N n N atunci: lim n x n x n orice ε>0 xn x n r n 1 r n rn 1 = lim rn 1 + r n =0,adicăpentru r n n = lim n <εdacă n = N(ε) şi deci x n <εx n iar convergenta seriei x n nu poate fi dedusă din convergenta seriei n N n N Oaltăîntrebare care se pune în legatură cu criteriile date de teorema 11 si teorema 13 si anume: Care dintre acestea este mai puternic, sau care dintre acestea îl implică pe celalalt. Dacă de exemplu, vom lua seria a +( 1) n 2 n+1 cu a 2,z n = a+( 1)n şi 2 n+1 n N calculând z n+1 z n obţinem 1 a+( 1) n+1 2 a+( 1) care ia valoarea 1 a+1 n 2 a 1, dacă n este im- x n.

23 1.5. CRITERII DE CONVERGENŢĂ PENTRU SERII NUMERICE. 27 par şi 1 2 a 1 a+1, dacă nestenumăr par şi deci nu avem limită. Dacă aplicăm cri- n z n = 1 n, deoarece lim a 1 =1şi lim n a +1 = 2 n n teriul rădăcinii, lim n x n+1 1şi deci criteriul radăcinii este mai puternic. Invers, dacă lim = r n x n atunci n xn = r, care se poate justifica cu ajutorul unei probleme cunos- n N cută din liceu, anume: Dacă lim a n = a, atunci lim n a1 a 2...a n = a, şi luând n n a n = xn x n 1,cux 0 =1, n a 1 a 2...a n = n x1 x 2 x 0 x 1... xn x n 1 = n x n. O serie cu termeni reali se numeşte serie alternată dacă orice doi termeni consecutivi ai ei sunt cu semne contre; putem preciza: pentru x n, x n R: n N x 2n 1 > 0, iar x 2n < 0saux 2n > 0, iar x 2n 1 < 0. Pentru seriile alternate vom avea: Teorema 14(Leibniz): Dacăîn seria alternată n N x n avem: x 1 x 2... x n... 0 iar lim n x n = 0, atunci: Seria n N x n este convergentă şi n N x n x 1 (1.19) Presupunem că ne aflăm în cazul x 2n 1 > 0, iar x 2n < 0. Notând cu: a 1 = x 1,a 2 = x 2,a 3 = x 3,a 4 = x 4,..., obtinem şirul (a n ) n N, a n > 0şi a 1 >a 2 >... > a n >... > 0 iar lim a n =0. n Seria x n se va scrie acum sub forma: n N x n = a 1 a 2 + a 3 a = ( 1) n 1 a n Lu ând n consideraţie n N n N sumele parţiale vom avea: s 1 = x 1 = a 1 s 3 = x 1 + x 2 + x 3 = a 1 a 2 + a 3 = a 1 (a 2 a 3 ) <a 1 = s 1 s 5 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = a 1 a 2 + a 3 a 4 + a 5 = s 3 (a 4 a 5 ) <s 3... Vomaveadeci:s 1 >s 3 >... > a 2n 1 >... > 0ţi deci ţirul (s 2n 1 ) n N este monoton crescător şi mărginit, deci convergent. Fie lim s 2n 1 = a>0. Cum n s 2n = s 2n 1 + x 2n şi lim x 2n = 0 vom avea lim s 2n = a şi deci lim s n = a n n n pentru orice n N. Iar,cums 2n 1 s 1 = a 1 = x 1 prin trecere la limită vom avea x n x 1. n N

24 28 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE Dacă ne situam n cazul x 2n > 0, iar x 2n 1 < 0,vomnotacu: a 1 = x 1,a 2 = x 2,a 3 = x 3,a 4 = x 4,..., obţinem şirul: (a n ) n N, a n < 0 şi a 1 a 2... a n... 0 iar lim a n =0. În acest caz avem: n s 2 = x 1 + x 2 = a 1 a 2 < 0, s 4 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = s 2 +(a 3 a 4 ) >s 2, s 6 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = s 4 +(a 5 a 6 ) >s 4,... Prin urmare vom avea: s 2 s 4... s 2n... 0, şi deci şirul (s 2n ) n N este monoton descrescător si mărginit, deci convergent, fie lim s 2n = b<0 n Cum s 2n+1 = s 2n + x 2n+1 şi lim x 2n+1 = 0 vom avea lim s 2n+1 = b şi n n deci lim s n = b pentru orice n N. Iar,cums 2n s 2 = x 1 +x 2 = a 1 +a 2 > n a 1 = x 1 vom avea prin trecere la limită x n x 1 sau x n x 1. n N n N Condensat cele două rezultate ne vor conduce la Ţinând seama de această teoremă vom putea evalua eroarea ce apare când se aproximează suma unei serii alternate convergente printr-o suna parţială s n. Astfel, deoarece, x k este tot o serie alternată vomavea x k k=n+1 k=n+1 x n+1 ceeeace face ca să avem evaluarea erorii s s n < x n+1 şi deci: Eroarea ce se face înlocuind s prin s n este inferioară primului termen în valoare absolută din restul seriei. Ca exemplu important de aplicare a teoremei lui Leibnitz vom lua seria armonică alternata, adică seria: ( 1) k 1 1 k = k=1 care verifică ipotezele teoremei 14 deci este convergentă. Se arată că seria are suma ln 2. Se poate constata că seria armonică alternată nu este absolut convergentă, deoarece seria modulelor coincide cu seria armonica despre care ştim că este divergentă. Se poate constata că seria armonică alternată nu este absolut convergentă, deoarece seria modulelor coincide cu seria armonică desprecareştim că este divergentă. Vom introduce astfel notiunea de serie semi-convergentă, întelegând prin aceasta o serie care este convergentă şi nu este absolut convergentă. Seriile semi-convergente au unele proprietăţi deosebite astfel, proprietatea de însumare în orice ordine a termenilor unnei sume infinite de numere reale nu mai este valabilă. De exemplu în cazul seriei armonice alternate, prin permutarea unor

25 1.5. CRITERII DE CONVERGENŢĂ PENTRU SERII NUMERICE. 29 termeni ai seriei ( 1) n 1 1 se poate obţine de exemplu seria: n n=1 ( )+( )+( )+... +( 1 2n 1 1 4n 2 1 4n )+... Evident această ultimă serie are aceeaşi termeni altfel ordonaţi. Însumând primii doi termeni din parantezele seriei armonice alternate vom avea notând cu s suma seriei armonice alternate: s =( )+( )+( )+... +( 1 4n 2 1 4n )+... = 1 2 ( ) = 1 2 s, deci s = 1 2s, ceeace este absurd. Aceasta înseamnă că cel puţin în cazul seriei armonice alternate modificarea ordinii termenilor este interzisă. Acest rezultat se poate extinde la orice serie semi-convergenta, fiind valabila urmatoărea teoremă: Teorema 15(Riemann): Dacă seria cu termeni reali x n este semi-convergentă, atunci pentru n N orice r R, se poate considera o astfel de permutare a termenilor seriei astfel încât noua serie obţinută să fie convergentă si să aibe suma r. În primul rând seria n N x n semi-convergentă dată conţine o infinitate de termeni pozitivi şi o infinitate de termeni negativi, deoare dacă aravea de exemplu numai un număr finit de termeni negativi prin eliminarea lor se obţine o serie care va avea termeni pozitivi şi care va fi convergentă ca şi seria iniţiala, or o serie cu termeni pozitivi dacă este convergentă eaeste absolut convergentă, ceeace contrazice ipoteza de serie semi-convergentă. Să notăm prin a 1,a 2,..., a n,..., termenii pozitivi şi prin b 1,b 2,..., b n,..., modulul termenilor negativi. Suntem conduşi la seriile a n şi b n cu termeni n N n N pozitivi care vor fi divergente(au sumele egale cu + ). Într-adevăr dacă (s n) n N şi (s n) n N sunt sumele parţiale ale acestor serii, atunci s 2n = s n s n 2n dacă s 2n = x k şi deci s = lim s 2n = lim n n s n lim n s n,iardacă x n k=1 n N este semi-convergentă lim n s n + lim n s n =+ Din divergenţa în cauză rezultă căînsumnd un număr convenabil de termeni atât din seria a n cât şi din seria b n se poate depăşi orice număr n N n N r real pozitiv dorim. Fie a 1 + a a n1 > r (presupunem r 0). Să scădem acum suma b 1 + b b n2 astfel ca să avema 1 + a a n1 b 1 b 2... b n2 <r. Vom aduna acum în primul termen al ultimei inegalităţi termenii pozitivi a n a n a n3 astfel să avem: a 1 + a a n1 b 1 b 2... b n2 + a n1 +1 +a n a n3 >r, iar apoi vom scădea b n2 +1 +b n b n4 astfel ca să avem:a 1 + a a n1 b 1 b 2... b n2 + a n a n a n3

26 30 CAPITOLUL 1. ŞIRURI ŞI SERII NUMERICE b n2 +1 b n b n4 <rşi se continua acest procedeu. Evident se obţine o nouă serie în care intervin absolut toţi termenii seriei iniţiale şi mai rămâne de arătat că suma seriei nou construită este r. Pentru aceasta vom nota cu: α 1 = a 1 + a a n1 α 2 = b 1 + b b n2 α 3 = a n a n a n3 α 4 = b n b n b n4... Seria nouă construită va fi de fapt seria alternată: α1 α2+α3 aα +... = n N( 1) n 1 α n, iar dacă vom nota cu σ n termenul general al sirului sumelor sale partiale avem conform celor prezentate: σ 2n 1 <r<σ 2n (1.20) În baza teoremei lui Leibnitz, deoarece din convergenta seriei n N x n rezultă lim a n = 0 si lim b n = 0 putem presupune α 1 >α 2 >α 3 >...>α n > n n... > 0şi deci σ = lim σ n; trcând la limita în dubla inegalitate (1.20) avem: n lim σ 2n 1 lim σ 2n şi deci lim σ n = r. n n n Dacă seria este absolut convergentă modificarea de însumare a termenilor în această serie nu modifică suma seriei; cu alte cuvinte proprietatea de comutativitate a termenilor valabilă în cazul sumelor finite de numere se extinde şi la serii, însă nu la serii oarecare ci numai la serii absolut convergente. Vom mai da următorul rezultat: Teorema 16(Cauchy): Dacă seria z n din C, este absolut convergentă atunci orice altă serie n N w n,în care termenii provin dintr-o permutare oarecare a termenilor primei n N serii, este de asemeni absolut convergenta şi z n = w n. n N n N Fie p o permutare a numerelor {1, 2, 3,..., N} = B, unde N = N(ε) N pentru ε>0 cel care asigura absolut convergenţa seriei z n (deci pentru n N ε>0 există N = N(ε) N astfel încât k=n+1 z k <ε). Fie n 0 N astfel ca multimea {p(1),p(2),p(3),..., p(n 0 )} = A să conţină mulţimea B, deci B A (posibil pentru ca p : N N este bijectivă) si să notăm cu w k = z p(k),k N. În această situaţie în seria w k intră termeni din seria cu termenii k=n+1

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45

1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45 Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI. pentru studenţi

ANALIZĂ MATEMATICĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI. pentru studenţi ANALIZĂ MATEMATICĂ, ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ pentru studenţi în învăţământul superior tehnic Ciprian Deliu 2014 If it sits down, I teach it; if it stands up, I will continue

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier

Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

există n0 N astfel ca pentru orice 1.Teoremă. Orice şir (xn)n din Q convergent la un, x Q are loc xn+p-xn ε (propritatea lui Cauchy).

există n0 N astfel ca pentru orice 1.Teoremă. Orice şir (xn)n din Q convergent la un, x Q are loc xn+p-xn ε (propritatea lui Cauchy). TEOREME CAUCHY În 1810, Cauchy merge la Cherbourg pentru a lucra la fortificaţiile pentru invazia lui Napoleon în Anglia. In această perioadă produce câteva rezultate, inclsiv soluţia unei probleme puse

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

II. Analiză matematică 0. 7 Şiruri şi serii numerice 1. 8 Calcul diferenţial pentru funcţii de o variabilă reală 43

II. Analiză matematică 0. 7 Şiruri şi serii numerice 1. 8 Calcul diferenţial pentru funcţii de o variabilă reală 43 Cuprins II. Analiză matematică 7 Şiruri şi serii numerice 8 Calcul diferenţial pentru funcţii de o variabilă reală 43 9 Calcul integral pentru funcţii de o variabilă reală 6 Funcţii de mai multe variabile

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE APLICATE ÎN ECONOMIE

MATEMATICI SPECIALE APLICATE ÎN ECONOMIE MIHAI TURINICI MATEMATICI SPECIALE APLICATE ÎN ECONOMIE Partea II: Programare neliniară şi dinamică Casa de Editură VENUS Iaşi 1999 Cuprins 4 Complemente de analiză 1 4.1 Structuri de convergenţă pe spaţii

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Integrale cu parametru

Integrale cu parametru 1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R 3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3

Διαβάστε περισσότερα

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă

Διαβάστε περισσότερα

Siruri de numere reale

Siruri de numere reale Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

1Reziduuri şi aplicaţii

1Reziduuri şi aplicaţii Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM

Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM IAŞI 2007 2 Cuprins 1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior 7 1.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi variabili 7 1.2

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VII.2. PROBLEME REZOLVATE Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul

Διαβάστε περισσότερα

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα