qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq
|
|
- Ανδρόνικα Λούλης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗΣ wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg Απρίλιος 2016 v_02_ hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg hjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwert yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas
2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ-ΑΛΓΕΒΡΑ Α 1.3 Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Αριθμητικές Παραστάσεις 1. Τι ονομάζεται αριθμητική παράσταση; 2. Με ποια σειρά πρέπει να κάνουμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση; 3. Να γράψετε σε μορφή γινομένου και να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα: α) β) γ) δ) 5+5 ε) Να γράψετε σε μορφή γινομένου τα παρακάτω αθροίσματα: α) x+x+x β) α+α+α+α γ) y+y+y+y+y 5. Να γράψετε σε μορφή δύναμης και να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόμενα: α) β) γ) δ) 5 5 ε) Να γράψετε σε μορφή δύναμης τα παρακάτω γινόμενα: α) x x β) y y y y γ) α α α δ) β β β β β β β ε) β β 7. Να γράψετε το δεκαδικό ανάπτυγμα των αριθμών: α) 52 β) 752 γ) 3752 δ) ε) Υπολογίστε τις τιμές των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων: α) β) γ) 2 (3+4) δ) ε) Υπολογίστε τις τιμές των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων: α) β) (3+5) 2 γ) δ) (2 3) 3 ε) Υπολογίστε τις τιμές των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων: α) (4+2) 2 β) γ) (13-2) A 1.4 Ευκλείδεια Διαίρεση Διαιρετότητα 11. Να εξετάσετε αν 168 μαθητές ενός σχολείου είναι δυνατόν να παραταχθούν σε πλήρεις (α) τετράδες (β) πεντάδες (γ) εξάδες (δ) επτάδες. Αν ναι, πόσες είναι; 12. Να εκτελέσετε τη διαίρεση 124:5 και να γράψετε το διαιρετέο, το διαιρέτη, το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης. 13. Να γράψετε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης. 14. Το υπόλοιπο μιας διαίρεσης είναι πάντοτε μικρότερο του 15. Ποια διαίρεση ονομάζεται τέλεια; 2
3 16. Πότε λέμε ότι ένας φυσικός αριθμός β διαιρεί τον φυσικό αριθμό α; 17. Στις παρακάτω σχέσεις να διακρίνετε ποιες εκφράζουν ευκλείδεια διαίρεση και ποιες όχι. Σε περίπτωση ευκλείδειας διαίρεσης, να γράψετε το διαιρέτη και το πηλίκο. Διαιρέτης Πηλίκο Διαιρέτης Πηλίκο 15= = = = Αν σήμερα είναι Σάββατο, τι μέρα θα έχουμε μετά από 365 μέρες; 19. Ποια είναι τα πιθανά υπόλοιπα μιας διαίρεσης ενός φυσικού αριθμού με το 3; 20. Αν μια διαίρεση με το 15 έχει πηλίκο 12 και υπόλοιπο 1, ποιος είναι ο διαιρετέος; A 1.5 Χαρακτήρες Κριτήρια Διαιρετότητας 21. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι ; 22. Γράψτε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του 1 και μικρότεροι του Γράψτε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του 30 και μικρότεροι του Γράψτε όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του 40 και μικρότεροι του Τι ονομάζουμε ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δυο ή περισσότερων αριθμών; 26. Τι ονομάζουμε μέγιστο κοινό διαιρέτη δυο ή περισσότερων αριθμών; 27. Γράψτε στο τετράδιό σας τα κριτήρια διαιρετότητας με 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25 σύμφωνα με την παρακάτω διατύπωση: «Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το αν..» 28. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τους διαιρέτες των αριθμών 12, 18 και 36. Βρείτε τους κοινούς διαιρέτες τους και το μέγιστο κοινό διαιρέτη τους. Διαιρέτες του 12 Διαιρέτες του 18 Διαιρέτες του Να αναλύσετε τους αριθμούς 3150 και 3780 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Κατόπιν να βρείτε (σε μορφή γινομένου δυνάμεων) το ΕΚΠ και τον ΜΚΔ τους. 30. Να υπολογίσετε το ΜΚΔ και το ΕΚΠ των αριθμών γινομένου πρώτων παραγόντων a= και β= σε μορφή 31. Δυο πλοία αναχωρούν σήμερα Κυριακή από ένα νησί. Αν το πρώτο επιστρέφει στο νησί κάθε 3 ημέρες και το δεύτερο κάθε 4 ημέρες, μετά πόσες μέρες θα ξαναβρεθούν στο λιμάνι του νησιού για πρώτη φορά; Ποια μέρα θα είναι; Πότε θα ξαναβρεθούν στο λιμάνι για τρίτη φορά; Ποια μέρα θα είναι; 32. Τρία λεωφορεία ξεκινάνε από την ίδια αφετηρία στις 08:00 για διαφορετικά δρομολόγια στην πόλη. Το πρώτο λεωφορείο επιστρέφει στην αφετηρία κάθε 18 λεπτά, το δεύτερο κάθε 24 λεπτά και το τρίτο κάθε 36 λεπτά. Μετά πόση ώρα θα βρεθούν ταυτόχρονα στην αφετηρία; Πόσα δρομολόγια θα έχει εκτελέσει το καθένα τους μέχρι τότε; 3
4 ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ Προσαρμοσμένες σημειώσεις Ίσα Κλάσματα Το ενός ποσού αλλά και τα του ίδιου ποσού εκφράζουν το ίδιο μέρος του ποσού: 10 Τα κλάσματα 1 2, Παραδείγματα ίσων κλασμάτων 1 50 είναι ίσα. ή ισοδύναμα. Γράφουμε: = (α) = = = (β) = = = Πώς αναγνωρίζουμε τα ίσα κλάσματα; 6 9 = Πολλαπλασιάζουμε χιαστί: 6 12= 9 8 Προκύπτει το ίδιο αποτέλεσμα: Πώς δημιουργούμε ίσα κλάσματα; Αν πολλαπλασιάσουμε τους όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό, προκύπτει κλάσμα ίσο με το αρχικό Παράδειγμα: = = Άσκηση: Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να προκύψουν ίσα κλάσματα: (α) 3 = (β) = Αν διαιρέσουμε τους όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό, προκύπτει κλάσμα ίσο με το αρχικό. Αυτή η διαδικασία ονομάζεται απλοποίηση :5 2 = =, 15 15: :8 2 = =, 24 24: :6 3 = = 24 24:6 4 Αν ένα κλάσμα δεν απλοποιείται ονομάζεται ανάγωγο. Παράδειγμα: Το 1 είναι ανάγωγο, διότι δεν απλοποιείται. 3 4
5 Το :4 1 δεν είναι ανάγωγο, διότι απλοποιείται: = = :4 3 Συνηθίζουμε τα γράφουμε τα κλάσματα σε ανάγωγη μορφή, για λόγους απλότητας Τα ποσοστά μπορούν να γραφτούν σε μορφή κλάσματος % = = Τα κλάσματα μπορούν να γραφτούν σε μορφή ποσοστού: = = = 25%, ή 1 0,25 25% = =. 1 0, ,3% 3 = ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να απλοποιήσετε πλήρως τα κλάσματα 2 4, 14 21, , 6 9, 12 16, , 25 30, 2 10, 18 27, 3 3, Να εξετάσετε αν τα παρακάτω ζευγάρια κλασμάτων είναι ίσα i) 2 4, 3 6 ii) 6 9, 4 6 iii) 2 4, iv) 3 9, 1 3 v) 2 3, 3 4 vi) 4 16, 16 4 vii) 11 22, viii) 6 7, Να συμπληρώσετε τις κενές θέσεις ώστε τα κλάσματα που προκύπτουν να είναι ίσα i) 1 =... ii) 2 =... iii) 25 = 5 iv) = v) = Να γράψετε σαν ποσοστά τα κλάσματα ,,,,,,,,,,,, Να γράψετε σε μορφή (ανάγωγου) κλάσματος τα ποσοστά: 1%,2%,4%,5%, 10%, 15%, 20%, 25%, 30%, 50%, 60%, 80%,100%, 120% 5
6 Ομώνυμα Ετερώνυμα Κλάσματα Πρόσθεση Αφαίρεση Κλασμάτων Τα κλάσματα 2 4, 5 5 είναι εύκολο να τα συγκρίνουμε: Το 2 5 είναι μικρότερο από το 4 5. Γιατί; Στο πρώτο κλάσμα θεωρούμε τα 2 από 5 ίσα μέρη ενός ποσού, ενώ στο δεύτερο, 4 από 5 μέρη του ίδιου ποσού. Η σύγκριση εδώ είναι απλή γιατί τα κλάσματα είναι έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Τέτοια κλάσματα που έχουν κοινό παρονομαστή ονομάζονται ομώνυμα. Δυο κλάσματα λέγονται ομώνυμα όταν έχουν κοινό παρονομαστή. Αν, οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί, τα κλάσματα λέγονται ετερώνυμα Παράδειγμα: Ομώνυμα κλάσματα: ,,, Ετερώνυμα κλάσματα 1 2 3,, κ.λπ. Για να συγκρίνουμε, να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δυο κλάσματα είναι απαραίτητο να τα τρέψουμε πρώτα σε ομώνυμα. Παραδείγματα: 1. Να συγκρίνουμε τους αριθμούς 1, Λύση: Τρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα: ΕΚΠ(2,3)=6. Ο κοινός παρονομαστής θα είναι ο 6. Το πρώτο κλάσμα γράφεται 1 1 = 3 = 3. Το δεύτερο 2 2 = 2 = Τώρα έχουμε να συγκρίνουμε τα 3, Είναι φανερό ότι < Όπως παραπάνω για τους αριθμούς 7 2, 3 Γράφουμε τον αριθμό 2 σε μορφή κλάσματος με παρονομαστή το 3: = = = Τώρα είναι φανερό ότι 6 < Για να προσθέσουμε τα κλάσματα βρίσκουμε το ΕΚΠ(2,3)=6 και τρέπουμε τα κλάσματα σε 2 3 ομώνυμα με κοινό παρονομαστή το 6 : = + = =
7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να συγκρίνετε τους παρακάτω αριθμούς. Βάλτε ανάμεσά τους τα σύμβολα < (μικρότερο), = (ίσο) > (μεγαλύτερο) i) 3 4, ii) 3, iii) 1, iv) 41 40, v) 4 5, vi) 3,1 2 vii) 10 20, 2 4 viii) 1, ix) 7, x) 2, Να γράψετε σε μορφή δεκαδικού αριθμού τα κλάσματα Να γράψετε σε μορφή ανάγωγου κλάσματος τους δεκαδικούς 0,1 0,42 0,25 0,60 0,75 0,80 1,20 20,1 1,2 4. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις ή τις αφαιρέσεις = = = = = = Να εκφράσετε με κλάσμα: i) Τα 15min της ώρας ii) Τα 200g του κιλού 6. Αν 1/4 του κιλού τυρί κοστίζει 4,20, πόσο κοστίζουν i) τα 3/4 του κιλού; ii) τα 1.200g; 7. Σε ένα ποδηλατοδρόμιο ένας ποδηλάτης Α κάνει 17 γύρους σε 5 λεπτά, ενώ ένας άλλος ποδηλάτης Β κάνει 7 γύρους σε 2 λεπτά. Να βρείτε ποιος ποδηλάτης έχει τη μεγαλύτερη ταχύτητα. 8. Μια βρύση γεμίζει σε 1 ώρα το 1/8 μιας δεξαμενής ενώ μια άλλη βρύση σε 1 ώρα γεμίζει το 1/4 της ίδιας δεξαμενής. Αν ανοίξουν συγχρόνως, ποιο μέρος (κλάσμα) της δεξαμενής θα γεμίσουν σε 1 ώρα; Σε πόση ώρα θα γεμίσει η δεξαμενή; 7
8 Πολλαπλασιασμός Κλασμάτων Πόσο είναι το 1 3 του 15; Απάντηση: = = = Πόσο είναι το 1 2 του 1 3 ; Απάντηση: = = α γ α γ = β δ β δ Οι αριθμοί 2 3 και 3 2 έχουν μια ξεχωριστή ιδιότητα: το γινόμενό τους είναι ίσο με 1. Πράγματι: = = 1. Τέτοιο αριθμοί ονομάζονται αντίστροφοι x y = 1 y x Χρήση του αντιστρόφου στην επίλυση προβλημάτων Ένα αυτοκίνητο που κινείται με σταθερή ταχύτητα, διάνυσε τα 2 9 μιας διαδρομής σε 48 λεπτά. Σε πόσο χρόνο θα διανύσει ολόκληρη τη διαδρομή; Λύση: Αν ονομάσουμε x το χρόνο της διαδρομής, τότε x=. Πολλαπλασιάζουμε τα δυο μέλη της εξίσωσης με τον αντίστροφο του 2 9, που είναι ο 9, και γράφουμε x= 48 Άρα x= 48 = 9 24 = 216 λεπτά. (Πόσες ώρες;) 2 Λύστε με τον παραπάνω τρόπο τα παρακάτω προβλήματα: 1. Ο πλανήτης Αφροδίτη διανύει το 40% της τροχιάς της γύρω από τον Ήλιο σε 90 ημέρες. Σε πόσο χρόνο κάνει μια περιφορά γύρω από τον Ήλιο; 8
9 2. Εργάτης τελειώνει τα 5 8 ενός έργου σε 10 ώρες. Πόσες ώρες χρειάζεται ακόμα με αυτό το ρυθμό να τελειώσει το έργο; 3. Μια δεξαμενή νερού έχει χωρητικότητα 2000lt. Αν η δεξαμενή είναι κατά τα 3/4 γεμάτη, πόσα lt νερού περιέχει; 4. Ένα ορθογώνιο οικόπεδο έχει μήκος 40 3 μέτρα και εμβαδόν 152 τ.μ. Πόσα μέτρα είναι το πλάτος του; 5. Ένα πολιτικό κόμμα συγκέντρωσε το 4,5% του συνόλου των ψηφοφόρων. Αν οι ψήφοι που συγκέντρωσε ήταν , πόσοι ήταν το σύνολο των ψηφοφόρων; ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ 1. Μέγεθος Το μήκος, το πλάτος, το ύψος, η ηλικία, η θερμοκρασία, το εμβαδόν κ.λπ. είναι παραδείγματα μεγεθών: προσδιορίζονται από την τιμή τους. 2. Σύγκριση Μεγεθών Πώς συγκρίνουμε μεγέθη: α) Υπολογίζουμε τη διαφορά τους: Η τιμή της βενζίνης χθες ήταν 1,70 ανά λίτρο ενώ σήμερα είναι 1,72. Συγκρίνουμε: Η σημερινή τιμή είναι κατά 1,72 1,70= 0,02 ακριβότερη. β) Υπολογίζουμε το λόγο τους: Το βάρος του Νίκου είναι 80kg ενώ του σκύλου του είναι 8kg. Συγκρίνουμε: ά ί = =10 ά ύ δηλαδή, το βάρος του Νίκου είναι 10πλάσιο του βάρους του σκύλου του. Λόγος δυο μεγεθών είναι το πηλίκο των μέτρων τους. Σχόλιο: Η σύγκριση είναι δυνατή μόνο αν τα μεγέθη είναι ομοειδή και εκφρασμένα με κοινή μονάδα μέτρησης. 9
10 Αναλογία Αναλογία ονομάζουμε την ισότητα δυο λόγων 1) =, =, άρα = Σχήμα 1 2) AB 2 1 BC = 4 = 2!"#$%ά!#%ί&#'%() = 2 12 = 1 12 Σχήμα 2 Η αναλογία α γ = είναι ισοδύναμη με τη σχέση α δ= β γ β δ Ανάλογα Ποσά Έστω ότι 1kg αλεύρι κοστίζει 0,25. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τη σχέση Βάρους-Κόστους σε διάφορες περιπτώσεις. Παρατηρούμε: Κόστος ( ) y 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 Βάρος (kg) x Όταν οι τιμές του Βάρους διπλασιάζονται, τριπλασιάζονται κ.λπ., τότε οι αντίστοιχες τιμές του Κόστους διπλασιάζονται, τριπλασιάζονται κ.λπ. 0,25 0,50 0,75 1,00 Οι αντίστοιχες τιμές είναι ανάλογες: = = = =... = 0, Ο λόγος +ό = - ά. παραμένει σταθερός, εδώ ίσος με 0,25 /kg. Δυο ποσά x και y λέγονται ανάλογα, όταν ο λόγος των αντίστοιχων τιμών τους είναι σταθερός. y a x = ή y= a x 10
11 Ο σταθερός λόγος a λέγεται συντελεστής αναλογίας. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εξετάσετε αν τα ποσά x, y που εμφανίζονται στους παρακάτω πίνακες είναι ανάλογα. Αν ναι, να υπολογίσετε τον συντελεστή αναλογίας a και να γράψετε την αντίστοιχη σχέση y= α x. (α) y (β) y x x (γ) y (δ) y x x Να γίνει η γραφική απεικόνιση των ζευγών (x,y) στις παραπάνω περιπτώσεις (α), (β), (γ), (δ). Αν τα ποσά είναι ανάλογα, σχεδιάστε τις αντίστοιχες ημιευθείες. Σχήμα 3 11
12 3. Τα ποσά y, x στους παρακάτω πίνακες είναι ανάλογα, να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες: (α) y=3x (β) y=2x x x (γ) y=(2/3)x (δ) y=5x 1 4 x x Να γίνει η γραφική απεικόνιση των ζευγών (x,y) στις παραπάνω περιπτώσεις (α), (β), (γ), (δ) και να σχεδιάσετε τις αντίστοιχες ημιευθείες. Σχήμα 4 Με τη βοήθεια των ανάλογων ποσών να λύσετε τα παρακάτω προβλήματα 5 έως Αν 5 λίτρα γάλα στοιχίζουν 4,50, πόσο στοιχίζουν τα 6 λίτρα γάλα; 6. Αν 4kg ελιές δίνουν 1kg λάδι, να υπολογίσετε (α) Πόσα κιλά ελιές χρειαζόμαστε για να πάρουμε 100kg λάδι; 12
13 (β) Πόσο λάδι δίνουν 350kg ελιές; 7. Αν ένας Η/Υ στοιχίζει 350, ποια θα είναι η νέα τιμή του αν (α) σημειωθεί αύξηση 2% (β) σημειωθεί μείωση 5%; 8. Τρεις εργάτες εργάστηκαν σε ένα έργο και έλαβαν συνολική αμοιβή Αν ο πρώτος εργάστηκε 3 ημέρες, ο δεύτερος 4 ημέρες και ο τρίτος 5 ημέρες, πώς θα μοιραστούν ανάλογα την συνολική αμοιβή; Ποιος είναι ο συντελεστής της αναλογίας; 9. Σε περίοδο εκπτώσεων, ένα κατάστημα προσφέρει έκπτωση 25% σε όλα τα είδη. (α) Να γράψετε τη σχέση που συνδέει την αρχική τιμή x με την τελική τιμή y. (β) Ποιος είναι ο συντελεστής της αναλογίας; (γ) Πόσο είναι η έκπτωση σε προϊόν που αρχικά στοίχιζε 35 ; (δ) Να σχεδιάσετε την ημιευθεία των ανάλογων ποσών x, y. Σχήμα 5 13
14 10. Στην παρακάτω γραφική παράσταση ανάλογων ποσών ( Σχήμα 6) να υπολογίσετε: Το συντελεστή της αναλογίας Την τεταγμένη του σημείου Κ αν η τετμημένη του είναι Την τετμημένη του σημείου Λ αν η τεταγμένη του είναι 5 8. Σχήμα 6 14
15 ΠΟΣΟΣΤΑ Προσαρμοσμένες Σημειώσεις 1 ο Πρόβλημα Η αρχική τιμή ενός προϊόντος είναι 12. Αν σημειωθεί αύξηση 5%, ποια θα είναι η καινούργια τιμή του; Η σκέψη: Για κάθε 100 θα χρειαστεί να πληρώσουμε 105. Άρα, για κάθε 1 θα χρειαστεί να πληρώσουμε 1,05. Έτσι για τα 12, θα χρειαστεί να πληρώσουμε 12 επί 1,05. Η Λύση: 1,05 12= 12,60. Αλλιώς: Αρχικά υπολογίζουμε την αύξηση: 12+0,60=12,60 5 5% 12 = 12= 0, 60. Η καινούργια τελική τιμή τα είναι 100 Σχέση αρχικής (x) τελικής τιμής (y) : y= 1,05 x a Γενικά, αν ένα ποσό x αυξηθεί κατά a %, τότε η αύξηση θα είναι ίση με x 100 a a και η τελική αυξημένη τιμή είναι ίση με y= x+ x= 1+ x Η αρχική τιμή ενός προϊόντος είναι 12. Αν σημειωθεί έκπτωση 5%, ποια θα είναι η νέα τιμή του; Η σκέψη: Για κάθε 100 θα χρειαστεί να πληρώσουμε 95. Άρα, για κάθε 1 θα χρειαστεί να πληρώσουμε 0,95. Έτσι για τα 12, θα χρειαστεί να πληρώσουμε 12 επί 0,95. Η Λύση: 0,95 12= 11,40. Αλλιώς: Αρχικά υπολογίζουμε την έκπτωση: 5 5% 12 = 12= 0, 60. Η καινούργια τελική τιμή τα είναι ,60=11,40 Σχέση της αρχικής τιμής (x) με την τελική τιμή (y) : y= 0,95 x a Γενικά, αν ένα ποσό x μειωθεί κατά a %, τότε η μείωση θα είναι ίση με x 100 a a και τελική μειωμένη τιμή θα είναι ίση με y= x x= 1 x Παρατήρηση: Τα ποσά Αρχική Τιμή Τελική Τιμή σε περιπτώσεις ποσοστιαίας μεταβολής, είναι ανάλογα. 15
16 2 ο Πρόβλημα (αντίστροφο του 1 ου ) Η τελική τιμή ενός προϊόντος μετά από αύξηση 5% είναι 12,60. Ποια ήταν η αρχική τιμή του πριν την αύξηση; Η σκέψη: Η τελική τιμή προέκυψε πολλαπλασιάζοντας την (άγνωστη) αρχική τιμή επί 1,05. Άρα η αρχική τιμή θα προκύψει με διαίρεση της τελικής τιμής δια 1,05. Με τη γλώσσα των εξισώσεων: Αν ονομάσουμε την αρχική 12,60 τιμή «x», τότε 1, 05 x= 12, 60, άρα x=. 1,05 Η Λύση: Η αρχική τιμή είναι ίση με 12, ,05 =. Η τελική τιμή ενός προϊόντος μετά από έκπτωση 5% είναι 11,40. Ποια ήταν η αρχική τιμή του πριν την έκπτωση; Η σκέψη: Η τελική τιμή προέκυψε πολλαπλασιάζοντας την (άγνωστη) αρχική τιμή επί 0,95. Άρα η αρχική τιμή θα προκύψει με διαίρεση της τελικής τιμής δια 0,95. Με τη γλώσσα των εξισώσεων: Αν ονομάσουμε την αρχική 11,40 τιμή «x», τότε 0, 95 x= 11, 40, άρα x=. 0,95 Η Λύση: Η αρχική τιμή είναι ίση με 11, ,95 =. Το 3 ο Πρόβλημα 1. Η τιμή ενός προϊόντος αυξήθηκε από 12 στα 12,60. Ποιο είναι το ποσοστό αύξησης; Η σκέψη: Η αύξηση είναι 12,60 12=0,60. Είναι αύξηση η οποία αντιστοιχεί στα 12. Αυτή η αύξηση αντιπροσωπεύει τα 0,60 = 0,05 της τιμής, δηλαδή το 5% της αρχικής τιμής. 12 Η Λύση: 12,60 12 = 0,60 = 0,05 οπότε το ποσοστό είναι 5% Γενικά, αν είναι γνωστή η αρχική τιμή και η τελική τιμή ενός ποσού, το ποσοστό μεταβολής υπολογίζεται από τη σχέση: /01ή /13ή451ή /13ή 51ή /13ή 100% 16
17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα ΑΡΧΙΚΗ ΤΙΜΗ ΤΕΛΙΚΗ ΤΙΜΗ ΠΟΣΟΣΤΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 18 +8% 25 10% 48,60 +8% 47,60 15% Εισπράκτορας ασφαλίστρων εισέπραξε από ασφάλιστρα πελατών Αν η προμήθειά του είναι 2%, πόσα χρήματα θα κρατήσει και πόσα θα αποδώσει; 3. Ένας έμπορος αγοράζει μια συσκευή 125 και την πουλά 200. Πόσο είναι το ποσοστό κέρδους του; 4. Μια επιχείρηση είχε έσοδα από πώληση προϊόντων Πόσα χρήματα πρέπει να αποδώσει στο κράτος, αν ο ΦΠΑ που παρακρατεί η επιχείρηση από τους πελάτες είναι 19%; 5. Μια ορθογώνια λαμαρίνα διαστάσεων 40cm επί 80cm θερμαίνεται με αποτέλεσμα να διασταλεί η κάθε της διάσταση κατά 2%. Πόσο είναι η νέα τιμή της περιμέτρου και πόσο το ποσοστό αύξησης της περιμέτρου; Πόσο είναι η νέα τιμή του εμβαδού και πόσο το ποσοστό αύξησής του; 6. Η τιμή ενός προϊόντος αυξάνεται αρχικά κατά 10% και στη συνέχεια μειώνεται κατά 10%. Πότε είναι πιο συμφέρουσα η αγορά του, τη στιγμή μετά την αύξηση ή μετά τη μείωση; 7. Στο κατάστημα Α, ένας Η/Υ αρχικής τιμής 650 πωλείται με έκπτωση 20%. Στο κατάστημα Β ο ίδιος Η/Υ πωλείται με αρχική τιμή 590 και έκπτωση 12,5%. Ποια προσφορά είναι πιο συμφέρουσα για τον καταναλωτή; 17
18 ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Τοποθετείστε στην ευθεία των αριθμών από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο τους αριθμούς: , 3, + 3, 2, + 1, 1,0,, +, Ποιος από τους παραπάνω αριθμούς έχει (α) τη μικρότερη (β) τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή; 3. Πώς προσθέτουμε ομόσημους και πώς ετερόσημους ρητούς αριθμούς; 4. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίθετοι; Δώστε παραδείγματα 5. Πόσο είναι το άθροισμα δυο αντίθετων αριθμών; 6. Υπολογίστε τα παρακάτω αθροίσματα: (i) A= ( + 1 ) + ( + 2) + ( + 3) + ( + 4) (ii) B= ( 1) + ( 2) + ( 3) + ( 4) (iii) C= ( + 1) + ( 2) + ( + 3) + ( 4) (iv) D= ( ) + ( 2014) + ( ) + ( 2013) (v) E= ( 1) 7. Μαθαίνουμε: α β= α+ ( β) 8. Παραδείγματα (i) 5 8= 5+ ( 8) = 3 (ii) 8 5= 8+ ( 5) =+ 3 (iii) = ( 2) + ( 3) + ( 4) + ( 5) = 15 (iv) = 3+ ( 4) + 5+ ( 6) = 8+ ( 10) = 2 9. Υπολογίστε τα παρακάτω αθροίσματα (i) A= B= C= (ii) D= E= F= Με βάση ποιους κανόνες απαλείφουμε παρενθέσεις; 11. Χρησιμοποιώντας την έννοια του αντίθετου αριθμού, να λύσετε τις εξισώσεις: (i) x+ 3= 1 (ii) x 3= 1 (iii) x= 3 (iv) x= 7 (v) 3+ x= 0 (vi) 3+ x= 5 (vii) 3+ x= 10 (viii) x+ 0, 5= 2, 5 18
19 12. Με απαλοιφή παρενθέσεων υπολογίστε τις τιμές των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων: (i) A= 1 ( 2) + ( 3) ( 4) (ii) B= 1+ ( + 2) ( + 3) ( + 4) (iii) Γ= ( ) ( 5 7 1) 13. Πώς πολλαπλασιάζουμε ομόσημους και πώς ετερόσημους ρητούς αριθμούς; 14. Υπολογίστε τα παρακάτω γινόμενα: (i) A= 1 ( 2) ( 3) ( 4) (ii) B= 1 ( + 2) ( 3) ( 4) (iii) B= 1 ( + 2) ( + 3) ( 4) (iv) B= 1 ( + 2) ( + 3) ( + 4) 15. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίστροφοι; 16. Υπολογίστε τα παρακάτω γινόμενα: (i) A= (ii) (iii) B C 1 1 = = Μαθαίνουμε: α β 1 = α β 18. Υπάρχει ο αντίστροφος του 0; 19. Οι αντίστροφοι αριθμοί είναι ομόσημοι ή ετερόσημοι; 20. Υπολογίστε τα εξαγόμενα: (i) A= (ii) B= (iii) C 3 2 = (iv) D= ( 1+ 1) Να γράψετε τους αντίστροφους των παρακάτω αριθμών
20 Χρησιμοποιώντας την έννοια του αντίστροφου, να λύσετε τις εξισώσεις: i) 3 x= 1 ii) x= iii) 3 2 x= 2 3 iv) 3 x 3 x= v) = vi) 1 x= Να λύσετε τις εξισώσεις: (i) ( ) x ( ) 7 9 = (ii) ( 7 9) + x= 3 ( 1) ( 5) (iii) x 2 3 = 6 (iv) x= Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω αριθμητικών παραστάσεων: (i) (ii) (iii) 1+ ( 2) ( 3) (iv) 1 ( 2) ( 3) (v) 2 ( 2) + 3 (vi) ( 2) + ( + 2) ( 3) (vii) ( 5+ 1) ( 3 8) 1 (viii) 2 ( 3) ( 2) (ix) 1 ( 7 10) + 5 ( 1 2) (x) 1 ( 7 10) + 5 ( 1 2) (xi) 2+ ( 3) ( + 2) ( 3 4) (xii) 2 ( 3) + ( + 2) ( 3 4) 2 3 (xiii) 1+ 2 ( 3) + 2 ( 2) 3 2 (xiv) (xv) 5 5 ( 2) 3 ( 2) 25. Αν a= 2, b= 3 και c= 1, να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: (i) A= 3a 2b+ 5c (ii) B= a b+ b c+ c a (iii) C = ( a b) ( b c) 20
21 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1. Σχεδιάστε ένα σημείο Α και τρεις ευθείες (ε), (ζ) και (η) που διέρχονται από το Α. 2. Πόσες ευθείες διέρχονται από ένα δεδομένο σημείο; 3. Σχεδιάστε δυο διαφορετικά σημεία Α και Β και την ευθεία (ε) που διέρχεται από αυτά. 4. Πόσες ευθείες διέρχονται από δυο διαφορετικά σημεία; 5. Πόσες ευθείες διέρχονται από τρία διαφορετικά σημεία; 6. Πόσες ευθείες διέρχονται από τέσσερα διαφορετικά σημεία; 7. Σχεδιάστε μια ευθεία (ε) και ένα σημείο Α αυτής. Πόσες ημιευθείες ορίζονται στην ευθεία (ε) με αρχή το σημείο Α; 8. Σχεδιάστε μια ευθεία (ε) και δυο σημεία Α και Β αυτής. Πόσες ημιευθείες ορίζονται στην ευθεία (ε) με αρχή το Α ή το Β; 9. Σχεδιάστε μια ευθεία (ε) και δυο σημεία Α και Β αυτής. Πόσες αντικείμενες ημιευθείες ορίζονται στην ευθεία (ε); 10. Σχεδιάστε τρία σημεία Α, Β, Γ μη συνευθειακά και τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ. 11. Σχεδιάστε ένα τυχαίο τρίγωνο. Ονομάστε τις κορυφές του, τις πλευρές του και τις γωνίες του. 12. Σχεδιάστε ένα σημείο Ο και δυο τυχαίες ημιευθείες Οχ και Οψ με αρχή το Ο. 13. Σχεδιάστε ένα σημείο Ο και δυο αντικείμενες ημιευθείες Οχ και Οψ. 14. Σχεδιάστε τέσσερα σημεία, ανά τρία μη συνευθειακά, και όλα τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από αυτά. 15. Τι ονομάζεται απόσταση δυο σημείων Α, Β; 16. Σχεδιάστε ένα σημείο Κ και δυο σημεία Α, Β που απέχουν απόσταση 2cm από το Κ. 17. Τι ονομάζεται μέσον ενός ευθυγράμμου τμήματος; 18. Σχεδιάστε ένα ευθ.τμήμα ΑΒ=3cm και το μέσον του Μ. Πόσο είναι η απόσταση ΑΜ; 19. Σχεδιάστε μια γωνία χοψ μέτρου Σχεδιάστε μια γωνία χοψ μέτρου 60 0 και τη διχοτόμο της Οα. 21. Σχεδιάστε μια ορθή γωνία αοβ. Πόσο είναι το μέτρο της; 22. Ποια γωνία ονομάζεται ορθή; 23. Σχεδιάστε μια ορθή γωνία χοψ και τη διχοτόμο της Οδ. Πόσο είναι το μέτρο της χοδ; 24. Ποια γωνία ονομάζεται οξεία και ποια αμβλεία; Σχήμα Στο παρακάτω τρίγωνο γράψτε ποιες γωνίες είναι οξείες και ποιες αμβλείες. 21
22 Σχήμα Ποια γωνία ονομάζεται ευθεία και ποια πλήρης; 27. Στο παρακάτω σχήμα (Σχήμα 9) Οξεία είναι η γωνία.. Αμβλεία είναι η γωνία Ευθεία είναι η γωνία.. Σχήμα Σχεδιάστε μια ευθεία γωνία χοψ και τη διχοτόμο της Οδ. Πόσο είναι το μέτρο της χοδ; 29. Ποιες ευθείες ονομάζονται κάθετες; 30. Σχεδιάστε δυο ευθείες ε 1, ε 2 με ε 1 ε 2 (Σχήμα 10) και τις διχοτόμους των ορθών γωνιών που σχηματίζονται. Πόσες μοίρες είναι η γωνία που σχηματίζουν οι διχοτόμοι; 22
23 Σχήμα Στο παρακάτω τρίγωνο ΑΒΓ (Σχήμα 11): Μεταξύ των πλευρών (ΑΒ, ΑΓ) περιέχεται η γωνία. Μεταξύ των πλευρών (ΒΑ, ΒΓ) περιέχεται η γωνία. Μεταξύ των πλευρών (ΓΑ, ΓΒ) περιέχεται η γωνία. Σχήμα Στο τρίγωνο ΑΒΓ (Σχήμα 11): Προσκείμενες γωνίες της ΑΒ είναι οι.. Προσκείμενες γωνίες της ΒΓ είναι οι.. Προσκείμενες γωνίες της ΓΑ είναι οι Σχεδιάστε μια ημιευθεία Οχ και την κάθετή της Οψ. 34. Σχεδιάστε ένα ευθ. τμήμα ΑΒ και δυο κάθετες σε αυτό ημιευθείες Αχ, Βψ. 35. Σχεδιάστε ένα ευθ. τμήμα ΑΒ και δυο κάθετες σε αυτό ευθείες (ε) και (ζ) που διέρχονται από τα σημεία Α και Β αντίστοιχα. 36. Ποιες γωνίες ονομάζονται εφεξής και ποιες διαδοχικές; 37. Σχεδιάστε δυο εφεξής γωνίες ΑΟΒ και ΒΟΓ μέτρου 40 0 και 60 0 αντίστοιχα. Πόσες μοίρες είναι η γωνία ΑΟΓ (Σχήμα 12) 23
24 Σχήμα Σχεδιάστε δυο εφεξής γωνίες ΑΟΒ και ΒΟΓ μέτρου 40 0 και 60 0 αντίστοιχα (Σχήμα 12) και τις διχοτόμους τους Οα και Οβ αντίστοιχα. Πόσες μοίρες είναι η γωνία αοβ; 39. Ποιες γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές; 40. Αν ω= ˆ 30 ο, πόσες μοίρες είναι η παραπληρωματική της; 41. Σχεδιάστε δυο τυχαίες εφεξής παραπληρωματικές γωνίες χοψ και ψοζ. 42. Ποιες γωνίες ονομάζονται συμπληρωματικές; 43. Αν ω= ˆ 30 ο, πόσες μοίρες είναι η συμπληρωματική της; 44. Σχεδιάστε δυο τυχαίες εφεξής συμπληρωματικές γωνίες χοψ και ψοζ. 45. Σχεδιάστε μια γωνία χοψ μέτρου 60 0, την εφεξής παραπληρωματική της ψοζ και τις διχοτόμους τους Οα και Οβ αντίστοιχα. Πόσες μοίρες είναι η ψοζ και πόσες η αοβ; 46. Σχεδιάστε μια γωνία χοψ μέτρου 60 0, την εφεξής συμπληρωματική της ψοζ και τις διχοτόμους τους Οα και Οβ αντίστοιχα. Πόσες μοίρες είναι η ψοζ και πόσες η αοβ; 47. Ποιες γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν και ποια είναι η σχέση μεταξύ τους; 48. Σχεδιάστε δυο κατακορυφήν γωνίες. 49. Σχεδιάστε μια γωνία χοψ μέτρου 40 0 και την κατακορυφήν της χ Οψ. Υπολογίστε τις αμβλείες γωνίες του σχήματος. 50. Σχεδιάστε μια γωνία χοψ μέτρου 60 0, την κατακορυφήν της χ Οψ και τις διχοτόμους τους Οα και Οα αντίστοιχα. Υπολογίστε τη γωνία αοα. (Συμπληρώστε το Σχήμα 13). 24
25 Σχήμα Ποιες ευθείες ενός επιπέδου ονομάζονται παράλληλες; 52. Ποιες ευθείες ονομάζονται τεμνόμενες; 53. Σχεδιάστε παράλληλες της (ε) που διέρχονται από τα σημεία Ζ και Η (Σχήμα 14). Πόσες ευθείες παράλληλες της (ε) διέρχονται από το σημείο Ζ; Σχήμα Τι ονομάζεται απόσταση ενός σημείου Α από μια ευθεία (ε); 55. Μετρήστε τη απόσταση των σημείων Ζ και Η από την ευθεία (ε) στο Σχήμα Σχεδιάστε ευθεία (ε) και σημείο Α που απέχει 3cm από την (ε). 57. Σχεδιάστε ευθεία (ε), μια κάθετη σε αυτήν ευθεία (η) και δυο σημεία Α, Β της (η) που απέχουν απόσταση 2cm από την (ε). 58. Τι ονομάζεται απόσταση δυο παραλλήλων ευθειών; 59. Σχεδιάστε δυο παράλληλες ευθείες που απέχουν απόσταση EZ=3cm (Σχήμα 15). 25
26 Σχήμα Στο Σχήμα 15 να σχεδιάσετε με χρήση του διαβήτη σημεία Α, Β της ε 2 που απέχουν από το Ε απόσταση 5cm. Πόσο είναι οι αποστάσεις ΑΖ και ΒΖ; 61. Σχεδιάστε δυο παράλληλες ευθείες που απέχουν απόσταση EZ=3cm. Να σχεδιάσετε σημείο Κ του ΕΖ που απέχει 2cm από την ε 1 και 1cm από την ε 2. Να φέρετε την παράλληλη (ζ) από το Κ προς τις ε 1, ε 2. Πόσο είναι η αποστάσεις της (ζ) από τις ε 1 και ε 2 αντίστοιχα; 62. Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα ρ; 63. Τι ονομάζεται χορδή και τι τόξο ΑΒ ενός κύκλου (Κ,ρ); 64. Τι ονομάζεται διάμετρος ενός κύκλου; 65. Τι ονομάζεται κυκλικός δίσκος; 66. Σχεδιάστε ένα κύκλο (Κ,ρ) με ρ=2cm και μια διάμετρό του ΑΒ. Πόσο είναι η απόσταση ΑΒ; 67. Σχεδιάστε σημείο Κ και τέσσερα σημεία Α, Β, Γ, Δ που απέχουν απόσταση 3cm από το Κ. 68. Σχεδιάστε ένα ευθύγραμμο τμήμα AB=4cm και τον κύκλο με διάμετρο ΑΒ. 69. Σχεδιάστε ένα ευθύγραμμο τμήμα AB=4cm και τον κύκλο με διάμετρο ΑΒ. Βρείτε δυο σημεία Γ, Δ του κύκλου που απέχουν από το Α απόσταση 2cm. Να σχεδιάσετε τη χορδή ΓΔ. Τι γωνία σχηματίζει η ΓΔ με την ΑΒ; 70. Σχεδιάστε ένα ευθύγραμμο τμήμα AB=4cm, όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν από το Α 3cm και όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν από το Β 5cm. Βρείτε εκείνα τα σημεία που απέχουν ταυτόχρονα 3cm από το Α και 5cm από το Β (Συμβουλευτείτε το Σχήμα 16) 26
27 Σχήμα Με τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη, κατασκευάστε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές μήκους ΑΒ=3cm, AΓ=4cm και ΒΓ=5cm. Μετρήστε τη γωνία ΒΑΓ και γράψτε το αποτέλεσμα. (Συμβουλευτείτε το Σχήμα 17) Σχήμα Με τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη, κατασκευάστε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές μήκους 3cm. Μετρήστε τις γωνίες του ΑΒΓ (βλ. Σχήμα 18) 27
28 Σχήμα Με τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη, κατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση BΓ=4cm και πλευρές ΑΒ=ΑΓ=3cm. 74. Με τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη, κατασκευάστε τρίγωνο ΑΒΓ με βάση BΓ=4cm και τις προσκείμενες στη βάση γωνίες ίσες με B= 30, ɵ Γ= Σχεδιάστε ένα ευθ. τμήμα ΑΒ=4cm και τα σημεία του Γ, Δ ώστε ΑΓ=3cm και ΒΔ=2cm. Κατόπιν σχεδιάστε τους κύκλους (Α,ΑΓ) και (Β,ΒΔ). Ονομάστε Ε, Ζ τα σημεία τομής των δύο κύκλων (βλ. Σχήμα 19) Σχήμα 19 i) Πόσο είναι το μήκος ΑΕ και πόσο το ΑΖ; ii) Πόσο είναι το μήκος ΒΕ και πόσο το ΒΖ; iii) Πόσο είναι τα μήκη ΑΔ, ΒΓ και ΔΓ; iv) Με το γνώμονα διαπιστώστε ότι ΕΖ ΑΒ. 76. Αν ΟΜ είναι η απόσταση του κέντρου Κ ενός κύκλου (Κ,ρ) από μια ευθεία (ε), συμπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 28
29 i) Αν ΟΜ>ρ, τότε η ευθεία είναι. του κύκλου. ii) Αν ΟΜ<ρ, τότε η ευθεία είναι. του κύκλου. iii) Αν ΟΜ=ρ, τότε η ευθεία είναι. του κύκλου. 77. Σχεδιάστε έναν κύκλο (Κ,3cm) και ένα σημείο του Μ. Να φέρετε με χρήση του γνώμονα την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Μ. 78. Σχεδιάστε ευθεία (ε), σημείο Κ σε απόσταση 4cm από την (ε) και τον κύκλο (Κ,3cm). Ποια είναι η θέση της ευθείας ως προς τον κύκλο; 79. Σχεδιάστε ευθεία (ε), σημείο Κ σε απόσταση 3cm από την (ε) και τον κύκλο (Κ,4cm). Ποια είναι η θέση της ευθείας ως προς τον κύκλο; 80. Σχεδιάστε ευθεία (ε), σημείο Κ σε απόσταση 4cm από την (ε) και τον κύκλο (Κ,4cm). Ποια είναι η θέση της ευθείας ως προς τον κύκλο; 81. Σχεδιάστε έναν κύκλο (Α,3cm) και μια χορδή του ΓΔ. Να φέρετε τις εφαπτόμενες (ε) και (ζ) του κύκλου στα σημεία Γ και Δ. Αν οι (ε), (ζ) τέμνονται σε σημείο Ε, να συγκρίνετε με το διαβήτη τα ευθ. τμήματα ΕΓ και ΕΔ. Τι παρατηρείτε; (Σχήμα 20) i) Στο Σχήμα 20 να συγκρίνετε τις γωνίες ΓΕΑ και ΔΕΑ. ii) Στο Σχήμα 20 να συγκρίνετε τις γωνίες ΓΑΕ και ΔΑΕ. iii) Στο Σχήμα 20 να διαπιστώσετε με τη βοήθεια του γνώμονα ότι ΓΔ ΑΕ. Σχήμα 20 29
30 82. Σχεδιάστε έναν κύκλο (Κ,3cm) και μια επίκεντρη γωνία ακβ = (Σχήμα 21). Αν οι πλευρές Οα και Οβ τέμνουν τον κύκλο στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα, να φέρετε τις εφαπτόμενες (ε) και (ζ) του κύκλου στα σημεία Γ και Δ. Αν οι (ε), (ζ) τέμνονται στο σημείο Ε, i) Να μετρήσετε τις γωνίες ΓΚΕ και ΔΚΕ και να συμπεράνετε ότι η ΚΕ είναι διχοτόμος της γωνίας ΓΚΔ. ii) Με το διαβήτη να συγκρίνετε τα τμήματα ΕΓ και ΕΔ. Τι παρατηρείτε; iii) Να μετρήσετε τη γωνία ΓΕΔ και να συμπεράνετε ότι είναι παραπληρωματική της ΓΚΔ. iv) Να μετρήσετε τη γωνία ΓΖΕ και να συμπεράνετε ότι ΓΖ ΚΕ. v) Με το διαβήτη να συγκρίνετε τις αποστάσεις ΓΖ και ΔΖ. Σχήμα 21 30
31 Αξονική Συμμετρία 83. Να αντιγράψετε στο τετράδιό σας τα παρακάτω σχήματα (Σχήμα 22) και να σχεδιάσετε το συμμετρικό τους ως προς άξονα την ευθεία (ε). Σχήμα Να αντιγράψετε στο τετράδιό σας τα παρακάτω σχήματα (Σχήμα 23) και να σχεδιάσετε το συμμετρικό τους ως προς την ευθεία (ε). 31
32 Σχήμα Να σχεδιάσετε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές 3cm και το συμμετρικό του ως προς άξονα ε ΑΒ (Σχήμα 24) Σχήμα Να σχεδιάσετε κύκλο (Α, 3cm) και την εφαπτομένη του (ε) σε σημείο του Β. Κατόπιν να σχεδιάσετε τον συμμετρικό κύκλο ως προς την (ε) (Σχήμα 25) 32
33 Σχήμα 25 33
34 87. Να σχεδιάσετε κύκλο (Α, 3cm), μια ακτίνα του ΑΒ και την ευθεία (ε) κάθετη στην ΑΒ σε απόσταση 2cm από το κέντρο Α. Σχεδιάστε τον συμμετρικό κύκλο ως προς την (ε) (Σχήμα 26). i) Ποιο είναι το συμμετρικό του ΑΔ; ii) Ποιο είναι το συμμετρικό του ΑΕ; iii) Ποιο είναι το συμμετρικό του Β; Σχήμα 26 34
35 88. Σχεδιάστε δυο κάθετες μεταξύ τους ευθείες (ε) και (ζ) και τρίγωνο ΟΔΖ όπως στο Σχήμα 27. Βρείτε διαδοχικά το συμμετρικό: i) του ΟΔΖ ως προς (ε) ii) του ΟΔ Ζ ως προς (ζ) iii) του ΟΔ Ζ ως προς (ε) Ποιο είναι το συμμετρικό του ΟΔ Ζ ως προς (ζ); 89. Τι ονομάζουμε άξονα συμμετρίας ενός σχήματος; Σχήμα Άξονας συμμετρίας ενός κύκλου είναι οποιαδήποτε. του. ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 91. Τι ονομάζεται μεσοκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος; 92. Ποια ιδιότητα χαρακτηρίζει τα σημεία της μεσοκαθέτου; 93. Αν ένα σημείο Μ ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, δηλαδή αν ΜΑ=ΜΒ τότε το Μ ανήκει στην...του ΑΒ. 94. Να σχεδιάσετε ένα ευθύγραμμο τμήμα και τη μεσοκάθετό του (με κανόνα και διαβήτη). 95. Άξονας συμμετρίας ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι η.. του. 96. Άξονας συμμετρίας ενός ισοπλεύρου τριγώνου είναι η. κάθε πλευράς του. 97. Να χωρίσετε ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους 7cm σε τέσσερα ίσα μέρη. 98. Να κατασκευάσετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς 4cm και τους άξονες συμμετρίας του. 35
36 99. Να κατασκευάσετε τις μεσοκαθέτους των τριών πλευρών ενός οξυγωνίου τριγώνου ΑΒΓ (όπως στο Σχήμα 28). Σχήμα 28 Αν Ο είναι το σημείο τομής των τριών μεσοκαθέτων, σχεδιάστε τον κύκλο (Ο,ΟΑ). Τι παρατηρείτε; Μπορείτε να δικαιολογήσετε την παρατήρησή σας; 100. Να σχεδιάσετε τις μεσοκαθέτους των τριών πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ. (Το σχήμα που θα προκύψει θα είναι όπως το Σχήμα 29). Σχήμα 29 Αν Ο είναι το σημείο τομής των τριών μεσοκαθέτων, σχεδιάστε τον κύκλο (Ο,ΟΑ). Τι παρατηρείτε; Μπορείτε να δικαιολογήσετε την παρατήρησή σας; 36
37 101. Να σχεδιάσετε τις μεσοκαθέτους των τριών πλευρών ενός αμβλυγωνίου τριγώνου ΑΒΓ (Σχήμα 30). Αν Ο είναι το σημείο τομής των τριών μεσοκαθέτων, σχεδιάστε τον κύκλο (Ο,ΟΑ). Τι παρατηρείτε; Μπορείτε να δικαιολογήσετε την παρατήρησή σας; Σχήμα Να σχεδιάσετε έναν κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ΟΑ. Κατόπιν να σχεδιάσετε τη μεσοκάθετο της ακτίνας ΟΑ. Αν αυτή τέμνει τον κύκλο στα σημεία Μ και Ν, να συγκρίνετε τα τμήματα ΜΟ, ΜΑ και ΝΟ, ΝΑ (Σχήμα 31). Αιτιολογήστε. Σχήμα Σχεδιάστε έναν κύκλο και δυο τυχαίες χορδές του ΕΖ, ΓΔ. Να φέρετε τις μεσοκαθέτους των ΕΖ και ΓΔ. Διαπιστώστε ότι οι μεσοκάθετοι διέρχονται από το κέντρο του κύκλου (Σχήμα 32) Μπορείτε να το δικαιολογήσετε; 37
38 Σχήμα Να βρείτε το κέντρο του παρακάτω κύκλου (Σχήμα 33). Σχήμα Να βρείτε το σημείο της ευθείας (ε) (Σχήμα 34) που ισαπέχει από τα Α και Β. 38
39 Σχήμα Να βρείτε το σημείο της καμπύλης (Σχήμα 35) που ισαπέχει από τα Α και Β. Σχήμα 35 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΚΕΝΤΡΟ 107. Τι ονομάζεται κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος; 108. Πότε τα δυο σημεία Α, Α ονομάζονται συμμετρικά ως προς κέντρο Ο; 109. Αν τα σημεία Α και Α είναι συμμετρικά ως προς κέντρο Ο, τότε το σημείο Ο είναι του ευθυγράμμου τμήματος ΑΑ Κατασκευάστε τα συμμετρικά των παρακάτω σχημάτων ως προς κέντρο Ο: 39
40 Σχήμα 36 Σχήμα 37 40
41 Σχήμα 38 Σχήμα 39 41
42 Σχήμα 40 Σχόλιο: Η συμμετρία ως προς κέντρο «περιστρέφει» το αντικείμενο κατά 180 ο. ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΤΡΙΤΗ ΕΥΘΕΙΑ 111. Ονομάστε τα ζεύγη γωνιών (β, γ), (β, α), (δ, γ), (δ, α) σύμφωνα με την παρακάτω διατύπωση: «Οι γωνίες (β, γ) ονομάζονται εντός εναλλάξ» (Σχήμα 41) Σχήμα Ονομάστε τα ζεύγη γωνιών (ζ, θ), (ζ, ε), (η, θ), (η, ε) ( Σχήμα 42) 42
43 Σχήμα Ονομάστε τα ζεύγη γωνιών (α, β), (γ, δ), (α, δ), (γ, β) (Σχήμα 43) Σχήμα Στο παρακάτω σχήμα (Σχήμα 44) με ε1// ε 2, να βρείτε: i) Τις κατακορυφήν γωνίες ii) iii) iv) Τις εφεξής παραπληρωματικές γωνίες Τις εντός εναλλάξ γωνίες Τις εντός και επί τα αυτά γωνίες v) Τις ίσες γωνίες vi) Τις παραπληρωματικές γωνίες 43
44 Σχήμα Να σχεδιάσετε τα κατάλληλα σχήματα σε καθεμιά από τις Ασκήσεις 1, 4 και 5 της σελίδας 216 του σχολικού σας βιβλίου και να τις λύσετε. ΤΡΙΓΩΝΑ Σχήμα Στο παραπάνω τρίγωνο ( Σχήμα 45 ), να ονομάσετε τις κορυφές του, τις γωνίες του και τις πλευρές του Πώς ταξινομούνται τα τρίγωνα βάσει των γωνιών τους; 118. Πώς ταξινομούνται τα τρίγωνα βάσει των πλευρών τους; 119. Ποια ονομάζονται «δευτερεύοντα στοιχεία» ενός τριγώνου; 44
45 120. Σχεδιάστε τα ύψη στα παρακάτω τρίγωνα: 121. Σχεδιάστε τα ύψη στα παρακάτω τρίγωνα: Σχήμα 46 Σχήμα 47 Παρατηρείστε ότι τα ύψη του τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο (: ορθόκεντρο του τριγώνου) 45
46 122. Να σχεδιάσετε τις διαμέσους στα παρακάτω τρίγωνα: Σχήμα 48 Παρατηρήστε ότι οι διάμεσοι διέρχονται από το ίδιο σημείο (: κέντρο βάρους του τριγώνου) Να σχεδιάσετε τις διαμέσους στα παρακάτω τρίγωνα: Σχήμα 49 46
47 124. ***Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά ΒΓ=8cm, γωνία Β=110 ο και γωνία Γ=25 ο ( Σχήμα 50). Στη συνέχεια να κατασκευάσετε τις διχοτόμους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ των γωνιών Α, Β και Γ αντίστοιχα. Παρατηρείστε ότι διέρχονται από το ίδιο σημείο. Ονομάστε αυτό το σημείο Ι. Να φέρετε τις αποστάσεις ΙΗ, ΙΘ και ΙΚ του Ι από τις πλευρές ΒΓ, ΓΑ και ΑΒ αντίστοιχα. Να συγκρίνετε αυτές τις αποστάσεις και να παρατηρήσετε ότι είναι ίσες μεταξύ τους. Χαράξτε τον κύκλο (Ι, ΙΗ). Διέρχεται από τα σημεία Θ και Κ; Γιατί; Σχήμα 50 Σχόλιο: Ο παραπάνω κύκλος ονομάζεται εγγεγραμμένος στο τρίγωνο ΑΒΓ Μελετήστε τα Παραδείγματα Εφαρμογές στις σελ.222, 223 του σχολικού βιβλίου Να λύσετε τις Ασκήσεις 1 έως 9 της σελ Να υπολογίσετε τη γωνία Γ λύνοντας την κατάλληλη εξίσωση κάθε φορά. Ποιο είναι το είδος του αντίστοιχου τριγώνου ( ορθογώνιο, οξυγώνιο ή αμβλυγώνιο); 128. Α= ˆ 45, Β= ˆ Α= ˆ 24, Β= ˆ ˆ Α= 58, Β= ˆ Α= ˆ 16, Β= ˆ Α= ˆ 35, Β= ˆ ˆ Α= 75, Β= ˆ 40 Να λύσετε τις παρακάτω ασκήσεις γράφοντας την κατάλληλη εξίσωση κάθε φορά: 134. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Α= ˆ 90, Β= ˆ 35, να υπολογίσετε τη γωνία Γ Σε ισοσκελές τρίγωνο ισοσκελές ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και Α= ˆ 38, να υπολογίσετε τις Β ˆ, Γ ˆ Σε ισοσκελές τρίγωνο ισοσκελές ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και Β= ˆ 38, να υπολογίσετε τις Α ˆ, Γ ˆ. 47
48 137. Στα παρακάτω σχήματα να υπολογίσετε τις γωνίες που σημειώνονται (εξίσωση!) Σχήμα 51 Σχήμα 52 Σχήμα 53 48
49 Σχήμα 54 Σχήμα 55 49
50 ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 Α. Να γράψετε τα κριτήρια διαιρετότητας ενός φυσικού αριθμού με τον 2, τον 3 και τον 5. Β. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι ; Γ. Nα χαρακτηρίσετε με τις λέξεις «Σωστό» ή «Λάθος» τις παρακάτω προτάσεις: (i). Ο αριθμός διαιρείται με τον 2 (iii). Ο αριθμός διαιρείται με τον 3 (ii). Ο αριθμός διαιρείται με τον 5 (iv). Ο αριθμός είναι πρώτος ΘΕΩΡΙΑ 2 Α. Nα συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες a 0 (i) =... (ii) 1 a a a λ =... (iii) =... (iv) =... a β λ B. Nα συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις (i) Αν x 1 = 1, 2013 τότε x - 1 = άρα x = (ii) Αν x 1 = 0, 2003 τότε x - 1 = άρα x = ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας τεχνίτης έλαβε από μια εργασία Από αυτά τα χρήματα έδωσε το 25% για υλικά, κράτησε ο ίδιος ως αμοιβή τα 2 5 του αρχικού ποσού και τα υπόλοιπα τα μοίρασε στους δυο βοηθούς του ανάλογα με τις μέρες εργασίας τους. Αν ο πρώτος βοηθός εργάστηκε 4 μέρες και ο δεύτερος 3, να υπολογίσετε: (i) (ii) (iii) Πόσο στοίχισαν τα υλικά. Πόσο ήταν η αμοιβή του τεχνίτη. Πόσο ήταν η αμοιβή του κάθε βοηθού. 50
51 ΑΣΚΗΣΗ 2 Να υπολογίσετε τις τιμές των αριθμητικών παραστάσεων: 2 (i) Α= (ii) B= (iii) Γ= ( ) : ΑΣΚΗΣΗ 3 Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες ε, ζ είναι παράλληλες, η γωνία. Να υπολογίσετε τις γωνίες OAB ˆ = aˆ = 25 o και η γωνία BOˆ = ϕˆ = 70 ο (i) ˆω (ii) ˆx (iii) ˆβ (iv) ˆγ Γ γ δ Δ ε χ O ϕ = 70 ο ω Α a = 25 o β B ζ 51
52 ΘΕΩΡΙΑ 1 Α. (i) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται αντίστροφοι; (ii) Γράψτε τους αντίστροφους των αριθμών (α) 3 5 (β) 10. Β. (i) Να συμπληρώσετε τα κενά της παρακάτω πρότασης: «Για να βρούμε το πηλίκο της διαίρεσης δυο κλασμάτων, πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον α γ. του διαιρέτη, δηλαδή : β δ =» (ii) Να υπολογίσετε τα πηλίκα των διαιρέσεων: (α) 6 3 : 5 5 (β) 2 :2 3 Γ. Nα χαρακτηρίσετε με τις λέξεις «Σωστό» ή «Λάθος» τις παρακάτω σχέσεις: (i) = (ii) = 3 5 (iii). 1 2= 1 (iv) < ΘΕΩΡΙΑ 2 52
53 Α. Nα συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις (1) Απόσταση δύο σημείων ονομάζεται το του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τα σημεία. (2) Διάμεσος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια. τού τριγώνου με το.. της απέναντι πλευράς. B. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της αριστερής στήλης με το σωστό αντίστοιχό του της δεξιάς στήλης Α. Α Β Ε Γ Β. Α 1. Διάμεσος Β Δ Γ Γ. 53
54 2. Ύψος Α Γ Δ 3. Διχοτόμος Β Δ. Α Ζ 4. Μεσοκάθετος Β Γ Ε. Γ Δ Α Β Γ. Nα χαρακτηρίσετε με τις λέξεις «Σωστό» ή «Λάθος» τις παρακάτω προτάσεις 1. Σκαληνό ονομάζουμε ένα τρίγωνο όταν έχει τις τρεις πλευρές του άνισες. 2. Δυο εφεξής γωνίες έχουν άθροισμα 180 o 3. Οι γωνίες 0 60 και είναι παραπληρωματικές 54
55 ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας τεχνίτης πήρε από μια εργασία Το 12,5% του ποσού το δαπάνησε στα υλικά. Τα 3 5 του αρχικού ποσού το κράτησε ως αμοιβή του. Τα υπόλοιπα τα μοίρασε στους δυο βοηθούς του ανάλογα με τις μέρες εργασίας τους. Αν ο πρώτος βοηθός εργάστηκε 4 μέρες και ο δεύτερος 5, να υπολογίσετε: (i) (ii) (iii) Πόσο στοίχισαν τα υλικά. Πόσο ήταν η αμοιβή του τεχνίτη. Πόσο ήταν η αμοιβή του κάθε βοηθού. ΘΕΩΡΙΑ 1 Α. Να γράψετε τα κριτήρια διαιρετότητας ενός φυσικού αριθμού με τους 3, 4 και 10. (Κριτήρια Διαιρετότητας με τους αριθμούς 3, 4, ή 10 λέγονται οι κανόνες με τους οποίους μπορούμε να συμπεραίνουμε, χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση, αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με αυτούς τους αριθμούς.) Β. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι ; Δώστε ένα παράδειγμα πρώτου αριθμού μεγαλύτερου του 13. Γ. Nα αντιγράψετε τις παρακάτω προτάσεις και να τις χαρακτηρίσετε με τις λέξεις «Σωστό» ή «Λάθος». Δικαιολογήστε την επιλογή σας. (α). Ο αριθμός διαιρείται με τον 3 (β). Ο αριθμός διαιρείται με τον 4 (γ). Ο αριθμός 3745 διαιρείται με τον 10 (δ). Ο αριθμός 123 είναι πρώτος 55
56 ΘΕΩΡΙΑ 2 Α. Nα γράψετε πότε δυο γωνίες ονομάζονται (α) (β) (γ) Παραπληρωματικές Συμπληρωματικές Κατακορυφήν Β. (α) Να σχεδιάσετε μια γωνία 30 ο και την παραπληρωματική της. (β) Να σχεδιάσετε μια γωνία 70 ο και τη συμπληρωματική της. (γ) Να σχεδιάσετε δυο κατακορυφήν γωνίες 40 ο. ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας τεχνίτης έλαβε από μια εργασία Από αυτά τα χρήματα έδωσε το 25% για υλικά, κράτησε ο ίδιος ως αμοιβή τα 2 5 του αρχικού ποσού και τα υπόλοιπα τα μοίρασε στους δυο βοηθούς του ανάλογα με τις μέρες εργασίας τους. Ο πρώτος βοηθός εργάστηκε 4 μέρες και ο δεύτερος 3 μέρες. (i) Υπολογίστε το 25% των και γράψτε πόσο στοίχισαν τα υλικά. (ii) Υπολογίστε τα 2 5 των και γράψτε πόσο ήταν η αμοιβή του τεχνίτη. (iii) Υπολογίστε πόσο ήταν η αμοιβή του κάθε βοηθού. ΑΣΚΗΣΗ 2 Να υπολογίσετε τις τιμές των αριθμητικών παραστάσεων: 56
57 2 (α). Α= (β). B= (γ). Γ= ( ) (Υπόδειξη: Για το (γ), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα αποτελέσματα των ερωτημάτων (α) και (β)). ΑΣΚΗΣΗ 3 Με τη βοήθεια των γεωμετρικών οργάνων, (α) να σχεδιάσετε τρία ευθύγραμμα τμήματα τα οποία να έχουν μήκη 3cm, 5cm και 4cm αντίστοιχα. (β) (γ) να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο με πλευρές τα παραπάνω ευθύγραμμα τμήματα (διαβήτης). να μετρήσετε τη μεγαλύτερη γωνία και να γράψετε πόσο είναι το μέτρο της. ΑΣΚΗΣΗ 2 Να υπολογίσετε τις τιμές των αριθμητικών παραστάσεων: 2 (iv) A= (v) B= (vi) A: B Γ= 2 A + 8 B 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 57
58 0 Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες BΓ και ΑΕ είναι παράλληλες, η γωνία ΒΑΓ= ˆ 60 και η γωνία ω= ˆ 74 ο. Να υπολογίσετε τις γωνίες (αιτιολόγηση) (i) ˆφ (ii) ˆx (iii) ŷ (iv) â Α α 60 o ω φ Ε Β y x Γ Β. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι ; Δώστε ένα παράδειγμα πρώτου αριθμού μεγαλύτερου του 14. Γ. Nα αντιγράψετε τις παρακάτω προτάσεις και να τις χαρακτηρίσετε με τις λέξεις «Σωστό» ή «Λάθος». Δικαιολογήστε την επιλογή σας. (α). Ο αριθμός διαιρείται με τον 2 (β). Ο αριθμός διαιρείται με τον 3 58
59 (γ). Ο αριθμός 3740 διαιρείται με τον 5 (δ). Ο αριθμός είναι πρώτος ΘΕΩΡΙΑ 2 Α. Nα γράψετε πότε δυο γωνίες ονομάζονται (α) (β) (γ) Παραπληρωματικές Συμπληρωματικές Κατακορυφήν Β. (α) Να σχεδιάσετε μια γωνία 60 ο και την παραπληρωματική της. (β) Να σχεδιάσετε μια γωνία 60 ο και τη συμπληρωματική της. (γ) Να σχεδιάσετε δυο κατακορυφήν γωνίες 40 ο. ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας τεχνίτης έλαβε από μια εργασία Από αυτά τα χρήματα έδωσε το 25% για υλικά, κράτησε ο ίδιος ως αμοιβή τα 2 5 του αρχικού ποσού και τα υπόλοιπα τα μοίρασε στους δυο βοηθούς του ανάλογα με τις μέρες εργασίας τους. Ο πρώτος βοηθός εργάστηκε 4 μέρες και ο δεύτερος 3 μέρες. (i) Υπολογίστε το 25% των 6000 και γράψτε πόσο στοίχισαν τα υλικά. (ii) Υπολογίστε τα 2 5 των 6000 και γράψτε πόσο ήταν η αμοιβή του τεχνίτη. (iii) Υπολογίστε πόσο ήταν η αμοιβή του κάθε βοηθού. 59
60 ΑΣΚΗΣΗ 2 Να υπολογίσετε τις τιμές των αριθμητικών παραστάσεων: 2 (α). Α= (β). B= (γ). Γ= ( ) (Υπόδειξη: Για το (γ), μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα αποτελέσματα των ερωτημάτων (α) και (β)). ΑΣΚΗΣΗ 3 Με τη βοήθεια των γεωμετρικών οργάνων, (α) να σχεδιάσετε τρία ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τα οποία να έχουν μήκη 3cm, 5cm και 4cm αντίστοιχα. (β) (γ) να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο με πλευρές τα παραπάνω ευθύγραμμα τμήματα (διαβήτης). να μετρήσετε τη γωνία ΒΑΓ και να γράψετε πόσο είναι το μέτρο της. ΘΕΩΡΙΑ 1 Α. (i) Ποια κλάσματα ονομάζονται ομώνυμα ; Γράψτε δυο ομώνυμα κλάσματα (ii) Πώς συγκρίνουμε δυο ομώνυμα κλάσματα; Να συγκρίνετε τα ομώνυμα που γράψατε στο προηγούμενο ερώτημα. Β. (i) Να συμπληρώσετε τα κενά της παρακάτω πρότασης: 60
61 «Το άθροισμα δυο ομώνυμων κλασμάτων είναι το κλάσμα που έχει αριθμητή το... των αριθμητών και παρονομαστή τον... (ii) Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: (α) (β) ΘΕΩΡΙΑ 2 Α. Nα συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις (1) Απόσταση δύο σημείων ονομάζεται το... του ευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τα σημεία. (2) Διάμεσος ενός τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια... τού τριγώνου με το... της απέναντι πλευράς. B. (i) Nα σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και τη διάμεσό του ΑΜ. (ii) Nα σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του ΑΔ. ΑΣΚΗΣΗ 1 Η αμόλυβδη βενζίνη στοιχίζει 1 το λίτρο και η τιμή της αυξάνεται 2%. Ποια είναι η νέα της τιμή; ΑΣΚΗΣΗ 2 Να υπολογίσετε τις τιμές των αριθμητικών παραστάσεων: 2 A= B= ( ) Γ= : ΑΣΚΗΣΗ 3 0 Στο παρακάτω σχήμα οι ευθείες BΓ και ΑΕ είναι παράλληλες, η γωνία ΒΑΓ= ˆ 60 και η γωνία ω= ˆ 74 ο. Να υπολογίσετε τις γωνίες (αιτιολόγηση) (i) ˆφ (ii) ˆx (iii) ŷ (iv) â 61
62 Α α 60 o ω φ Ε Β y x Γ ΘΕΩΡΙΑ 1 Α. Να γράψετε τα κριτήρια διαιρετότητας ενός φυσικού αριθμού με τους 2, 3 και 5. (Κριτήρια Διαιρετότητας με τους αριθμούς 2, 3, ή 5 λέγονται οι κανόνες με τους οποίους μπορούμε να συμπεραίνουμε, χωρίς να κάνουμε τη διαίρεση, αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με αυτούς τους αριθμούς.) B. Nα χαρακτηρίσετε με τις λέξεις «Σωστό» ή «Λάθος» τις παρακάτω προτάσεις. (α) Ο αριθμός 5421 διαιρείται με τον 2 (β) Ο αριθμός 5421 διαιρείται με τον 3 (γ) Ο αριθμός 3740 διαιρείται με τον 5 (δ) Ο αριθμός 40 είναι πρώτος 62
63 ΘΕΩΡΙΑ 2 Α. Nα γράψετε πότε δυο γωνίες ονομάζονται (α) (β) (γ) Παραπληρωματικές Συμπληρωματικές Κατακορυφήν Β. (α) Να σχεδιάσετε μια γωνία 60 ο και την παραπληρωματική της. (β) Να σχεδιάσετε μια γωνία 60 ο και τη συμπληρωματική της. (γ) Να σχεδιάσετε δυο κατακορυφήν γωνίες 40 ο. 63
3, ( 4), ( 3),( 2), 2017
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας
Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
Διαβάστε περισσότεραΣυνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου
Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά A Γυμνασίου
Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)
ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΧΧ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ
Δ/ΝΣΗ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ Α ΤΑΞΗ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2016-2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΧΧ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ Ένα «ανοικτό» αρχείο, δηλαδή επεξεργάσιμο που όλοι μπορούν να συμμετέχουν είτε προσθέτοντας είτε διορθώνοντας υλικό. Μετά
Διαβάστε περισσότεραΒ.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες
Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ & ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΘΕΜΤ & ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΘΕΜ 1. α) Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες. α+0=.. α 1=. α-α=.. α:α=. 0 α=. 0:α=. Το α είναι ένας αριθµός διαφορετικός του 0. β) Στις παρακάτω προτάσεις να
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ
ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Α ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο : Α. Τι ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α και πως συμβολίζεται; Β. Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι; Γ. Να χαρακτηρίσετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2013 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΩΝ ΑΝΑΡΓΥΡΩΝ ΤΑΞΗ Α ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ B Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Βασικές Γεωμετρικές ένοιες Τάξη : A Γυμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α Γυμνασίου
Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις Στέλιος Μιχαήλογλου Ασκήσεις. Δίνεται η παράσταση 7 : α) Να αποδείξετε ότι Α=8. β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος; γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.
01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η
Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα
Διαβάστε περισσότεραΣωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα
Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ με Απαντήσεις
ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ με Απαντήσεις (το υλικό ανανεώνεται συνεχώς) ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ:2010-2011 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ I. ΘΕΩΡΙΑ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου;
ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; 2. Τι ξέρετε για το υπόλοιπο που προκύπτει από μια Ευκλείδεια διαίρεση; 3. Τι ονομάζουμε τέλεια
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1 η ΕΚΑ Α
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ η ΕΚΑ Α. Πότε δύο γωνίες λέγονται εφεξής; Ποιο σχήµα ονοµάζουµε κύκλο µε κέντρο Ο και ακτίνα ρ ; Στον παρακάτω πίνακα να αντιστοιχίσετε κάθε αριθµό της πρώτης στήλης µε ένα γράµµα της
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α
ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,
Διαβάστε περισσότεραΑ ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;
Διαβάστε περισσότερα2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ
1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις
Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις.: Δυνάμεις φυσικών αριθμών.4: Ευκλείδεια διαίρεση - διαιρετότητα.: Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν () Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 8.987. στις πλησιέστερες: (α) δ ε- κάδες, (β) εκατοντάδες, (γ) χιλιάδες,
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί
ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα
Διαβάστε περισσότεραΣειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ
Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..
Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικα A Γυμνασιου
Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
Διαβάστε περισσότερα1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Διαβάστε περισσότερα11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΓεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις
Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο
1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι ονομάζουμε μονώνυμο;. Τι ονομάζουμε ρητή αλγεβρική παράσταση; 3. Ποιες τιμές δεν μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α
1 2 Α. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος και πότε σύνθετος; Β. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2; Γ. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3; Α. Να αναφέρετε ποια είναι τα είδη των
Διαβάστε περισσότεραΤο εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.
Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ Εν. 1: Διανύσματα
Ασκήσεις Επανάληψης Τάξη Δ 016-017 Εν. 1: Διανύσματα 1. Να ονομάσετε τα στοιχεία ενός διανύσματος.. Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α
1 2 α. Πως προσθέτουμε δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς ; β. Πως προσθέτουμε δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς ; α. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται εφεξής ; β. Πότε δύο γωνίες ονομάζονται κατακορυφήν ; Να βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή
Διαβάστε περισσότεραΤάξη A Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.
Διαβάστε περισσότεραΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Να γραφεί ο τύπος της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πότε ένας αριθμός διαιρείται με το, πότε με το, το, και πότε με το 9. ( Δώστε παράδειγμα) Ποιοι αριθμοί καλούνται πρώτοι
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Άλγεβρα 1. Τι ονομάζεται ακέραια αλγεβρική παράσταση και τι είναι μονώνυμο; Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι μονώνυμα; 3xa,, 5, x 3, 5 x a (σελ.
Διαβάστε περισσότεραMAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης. Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κωνσταντίνος Ηλιόπουλος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Γεωμετρικές έννοιες
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ. Μια πόλη του Μεξικού με κατοίκους πρέπει να εκκενωθεί προληπτικά, γιατί απειλείται
ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΑΞΗ Α 1 Α. Να δώσετε τον ορισμό της Ευκλείδειας Διαίρεσης και της Τέλειας Διαίρεσης δύο Φυσικών Αριθμών. Β. Πότε ένας φυσικός αριθμός διαιρείται: α: με το 5; β: με το 3; γ: με
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότεραΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. πότε ίσο με το 1. Δώστε από ένα παράδειγμα
49 0 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2011-2012 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 22 ΜΑΪΟΥ 2012 ΘΕΩΡΙΑ 1 η : Να γράψετε πότε ένα κλάσμα είναι μικρότερο,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.
Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ
Προαγωγικές εξετάσεις στα Μαθηματικά της Α Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 214-215 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑ 1 ο Α. ΘΕΩΡΙΑ Α. Να γράψετε με πιο σύντομο τρόπο τις επόμενες
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ : ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Σχ.έτος:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ : ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Σχ.έτος: 2018-2019 Α ΜΕΡΟΣ : ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ - ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Δίνονται οι παραστάσεις 2 2 2 A = 3 4 + 2 10 (2 10 ) :5 και Β = 2 6 + : 3 2 5 1 1 3 2 α) Να κάνεις τις
Διαβάστε περισσότεραδίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.
3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)
ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις :
ΓΥΜΝΑΣ Ο ΕΞΑΠ ΑΤΑΝΟΥ ΣχολK Έτος: OMNM-OMNN Τάξη: Α Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙ Α Ημερομηνία : 30/0/2011 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ OMNN Θέμα 1 ο (ΘΕΩΡ Α) Επιλέξτε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω
Διαβάστε περισσότεραΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Ασκήσεις
Α' Γυμ. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα-Γεωμετρία Άσκηση 1 Σημείωσε με Χ ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι Φυσικοί, Ακέραιοι ή/και Ρητοί: Αριθμοί Φυσικοί Ακέραιοι Ρητοί 0
Διαβάστε περισσότεραΓενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α
ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Άλγεβρα 1. Τι ονομάζεται ακέραια αλγεβρική παράσταση και τι είναι μονώνυμο; Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι μονώνυμα; xa,, 5, x, 5 x a (σελ. 6)
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες:
ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: Γ. Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α
1 ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚ 1. ίνονται οι παραστάσεις = 5 2 4 2 + και Β = 4 (2 5) + 24: Να υπολογιστούν οι τιµές των και Β Να αναλυθούν οι αριθµοί και Β σε γινόµενα πρώτων παραγόντων γ) Να απλοποιηθεί το
Διαβάστε περισσότεραΚύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.
ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
Διαβάστε περισσότεραΠ.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ
Η θεωρία της Γ Γυμνασίου 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες
Διαβάστε περισσότερα