جلسه 16 نظریه اطلاعات کوانتمی 1 ترم پاییز

Transcript

1 نظریه اطلاعات کوانتمی ترم پاییز مدرسین: ابوالفتح بیگی و امین زاده گوهري نویسنده: محم دحسن آرام جلسه 6 تا اینجا با دو دیدگاه مختلف و دو عامل اصلی براي تعریف و استفاده از ماتریس چگالی جهت معرفی حالت یک سیستم کوانتومی آشنا شدیم. دیدگاه و عامل اول نداشتن اطلاعات کافی از وضعیتی است که سیستم در آن قرار دارد. در این دیدگاه ما تنها احتمال حضور سیستم در یک حالت مشخص را در اختیار داریم و حالت سیستم را به طور قطعی نمی توانیم تعیین کنیم. یعنی مثلا می دانیم سیستم کوانتومی مورد نظر با احتمال p در حالت ψ با احتمال p در حالت ψ و... و با احتمال p k در حالت k ψ قرار دارد. وضعیت سیستم را ابتدا به طور خلاصه به صورت { i p} i, ψ نشان دادیم. اما براي آنکه هر بار مجبور به بیان حالت هاي مختلفی که سیستم با احتمال هاي متفاوت در آن قرار دارد نشویم از ماتریس چگالی که به صورت زیر تعریف می شود براي بیان حالت سیستم استفاده کردیم. ρ = k p i ψ i ψ i عامل دوم وجود سیستم هاي ترکیبی در هم تنیده است. دیدیم در این وضعیت نمی توان به هرکدام از زیرسیستمها یک بردار حالت مجزا نسبت داد. به عنوان مثال اگر حالت یک سیستم ترکیبی (دو کیوبیت) A و B به صورت یک حالت بل ψ AB = ( + ) باشد هیچ برداري براي بیان حالت کیوبیت A و یا B به تنهایی وجود ندارد. بررسی عدم وجود بردار حالت براي بیان وضعیت هر کدام از کیوبیت ها کار دشواري نیست. کافیست قرار دهیم α +β φ A = و β+ φ B = α در این صورت طبق اصل چهارم مکانیک کوانتومی حالت سیستم مرکب از هر دو کیوبیت از ضرب تانسوري φ A و φ B بدست می آید. در نتیجه باید داشته باشیم ψ AB = φ A φ B ( + ) = (α + β ) ( α + β ) Entangled Bell state

2 براي برقراري تساوي دوم باید روابط زیر بین β α α و β برقرار باشد. αα = / () αβ = () βα = (3) ββ = / (4) از معادلات () و (4) نتیجه می شود که α و β مخالف صفر هستند. در این صورت معادله () هیچ وقت نمی تواند برقرار شود. پس فرض این که حالت کیوبیت A و B به صورت φ A و φ B است از ابتدا غلط بوده است. به همین سبب در این مواقع مجبور به استفاده از ماتریس چگالی براي بیان حالت هر یک از زیر سیستم ها (کیوبیت ها) شدیم. ماتریس چگالی زیر سیستم A و B را بر حسب ماتریس چگالی کل سیستم (و یا بردار حالت کل سیستم) به صورت زیر بدست آوردیم. ρ A = tr B (ρ AB ) = tr B ( ψ ψ AB ) ρ B = tr A (ρ AB ) = tr A ( ψ ψ AB ) سوالی که در این جا پیش می آید این است که اگر ماتریس چگالی یک سیستم کوانتومی مثلا کیوبیت A را داشته باشیم آیا می توان یک سیستم دیگر مانند B و حالت محضی روي AB یافت به طوري که ماتریس چگالی داده شده روي A از اثر جزي ی بردار محض حالت AB بدست آید در بخش بعد سعی می کنیم پاسخی جامع به این سوال بدهیم. محض سازي قضیه به ازاي هر سیستم کوانتومی A با ماتریس چگالی دلخواه ρ A سیستم کوانتومی B وجود دارد به طوري که ρ A = tr B ( ψ ψ AB ). اثبات: این قضیه معروف به قضیه محض سازي 3 است. براي اثبات آن کافی است ψ AB را براي هر سیستم A درست کنیم. از آنجاکه ماتریس چگالی ρ A مثبت نیمه معین است می توان آن را در یک پایه متعامد یکه قطري کرد. بنابراین می توان ρ A را به صورت d ρ A = λ i v i v i نوشت. در این رابطه λ i ها مقادیر ویژه ρ A و نامنفی هستند و { d v },..., v یک پایه ي متعامد یکه است. همچنین d بعد فضاي هیلبرت H A است. حال سیستم B را با فضاي هیلبرت d -بعدي H B و با پایه متعامد یکه } B { B, B,..., d در نظر گرفته و تعریف می کنیم ψ AB = 3 Purification d λi v i A i B.

3 tr B ( ψ ψ AB ) = i,j حال اگر ماتریس چگالی کاهش یافته ي حالت ψ AB را براي سیستم A محاسبه کنیم خواهیم داشت λi λ j v i v j tr ( i j ) = λi λ j v i v j δ ij = λ i v i v i = ρ A در اینجا می توان گفت که پیدایش ρ A در واقع در اثر بوجود آمدن ابهام به خاطر دور انداختن سیستم B بوده است. ρ = i,j ( ) i مثال ماتریس چگالی ρ را به صورت در فضاي C در نظر بگیرید. می خواهیم یک محض سازي از این سیستم در C C بدست آوریم. یعنی می خواهیم یک حالت محض Ψ C C را به گونه اي بیابیم که ماتریس چگالی کاهش یافته آن با گرفتن اثر جزي ی روي سیستم دوم برابر ρ شود. براي این منظور ابتدا بسط ρ را در پایه بردارهاي ویژه آن یعنی ( ) ( ) =, = ρ = ( ) ( ) + ( ) ( ) به صورت زیر می نویسیم. با توجه به قضیه می توان حالت Ψ را به صورت Ψ = ( ) ϕ + ( ) ϕ نوشت که در آن } { ϕ, ϕ یک پایه ي متعامد یکه تشکیل است. اگر قرار دهیم = ϕ و = Ψ ϕ Ψ + = ( + ) = برابر یکی از حالت هاي بل می شود. یعنی داریم Ψ = ( + ) = = Φ + Φ = ( ) = می توان به راحتی نشان داد که سایر حالات بل یعنی, Ψ = ( ) = 3 نیز محض سازي هایی از سیستم مورد نظر هستند.

4 ارتباط میان محض سازي هاي متفاوت یک سیستم در قضیه نشان دادیم براي هر سیستم A می توان سیستم دیگري یافت که ) AB ρ A = tr B ( ψ ψ باشد. اما همان طور که در مثال بالا دیدیم این محض سازي یکتا نیست. سوال این است که چگونه می توان همه ي این محض سازي ها رو مشخص کرد. اگر محض سازي ψ AB (مثلا با استفاده از قضیه ي ) داده شده باشد آن گاه می توان محض سازي هاي دیگري با دو روش زیر ساخت: بزرگ کردن فضاي هیلبرت : H B در این روش سیستم B را معرفی کرده که بعد فضاي B H به جاي d + n d باشد. در اینصورت پایه متعامد یکه فضا به صورت } B { B, B,..., d B,..., d + n خواهد بود. بدیهی است سیستم B متفاوت با سیستم B است و بردار ψ را می توان به عنوان عضوي از فضاي B H A H نیز در نظر گرفت. همچنین به راحتی قابل بررسی است که.tr B ψ ψ AB = ρ A چرخاندن سیستم : B فرض کنید U B عملگر یکانی روي فضاي H B باشد. تعریف کنید ψ AB = (I A U B ) ψ AB. در این صورت ψ AB نیز یک محض سازي از ρ A است زیرا ( tr B ψ ψ ) (( ) )) = tr B I A U B ψ ψ AB (I A U B ) ) = tr B ((I A U B (I A U B ) ψ ψ AB (5) ) ) = tr B ((I A U B U B ψ ψ AB = tr B ((I A I B ) ψ ψ AB ) = tr B ( ψ ψ AB ) = ρ A که در نوشتن رابطه (5) از خاصیت دوري اثر جزي ی استفاده شده است (جلسه 5 را ببینید). قضیه ي زیر نشان می دهد که همه ي محض سازي هاي ρ A از دو روش فوق (و ترکیب آن ها) بدست می آید. قضیه فرض کنید rank (ρ A ) = r و ψ AB یک محض سازي از ρ A باشد که در آن.dim H B = r در این صورت AB φ یک محض سازي دیگر براي سیستم A است اگر و تنها اگر ایزومتري 4 B V : H B H وجود داشته باشد به 4 Isometry φ AB = (I A V ) ψ AB. طوري که 4

5 منظور از ایزومتري عملگري است که.V V = I B 5 AB φ باشد به طوري که ψ AB یک محض سازي از سیستم اثبات: ابتدا نشان می دهیم اگر (I V ) ψ AB = است. A و V یک ایزومتري است آن گاه AB φ نیز یک محض سازي دیگر براي سیستم A است. براي این منظور کافیست درستی تساوي ( AB ρ A = tr B ( φ φ را نشان دهیم که اثبات آن مشابه آنچه در بالا در مورد عملگرهاي یکانی آوردیم اما براي کامل شدن اثبات لازم است نشان دهیم براي هر محض سازي دلخواه AB φ می توان عملگر ایزومتري V ψ AB = یافت به طوري که φ AB = (I V ) ψ AB. براي این منظور ابتدا تجزیه اشمیت ψ AB 6 را به صورت s λ i v i A w i B می نویسیم که در آن > i λ و } s { v,..., v و } s { w,..., w بردار هایی یکه و دو به دو عمود بر هم باشند. توجه کنید که در این رابطه s عدد اشمیت (و نه لزوما بعد فضا) است. حال طبق فرض داریم ρ A = tr B ( ψ ψ AB ) s s = tr B λ i λ j ( v i A w i B ) ( v j A w j B ) = = s j= j= s λ i λ j v i v j A δ ij s λ i v i v i A. (6) از آن جا که λ -ها i ناصفر هستند rankρ A = s پس طبق فرض باید داشته باشیم s. = r همچنین چون dim H B = r بردار هاي } r { w,..., w باید یک پایه ي متعامد یکه براي فضاي H B تشکیل دهند. φ AB = t µ j u j A z j B j= حال تجزیه اشمیت AB φ را به صورت در نظر می گیریم. در اینجا نیز فرض می کنیم > j µ و } t { z, z,..., z و } t { u,..., u بردار هایی یکه 5 عملگرهاي ایزومتري همانند عملگرهاي یکانی ضرب داخلی را حفظ می کنند. اما فضاي برد آن ها لزوما با فضاي دامنه یکسان نیست و ممکن است بعد بزرگتري داشته باشد. این عملگرها در واقع یک فضا را در یک فضاي بزرگتر با حفظ طول ها (ضرب داخلی) می نشانند. به راحتی قابل بررسی است که یک عملگر ایزومتري است اگر و فقط اگر یک پایه ي متعامد یکه از فضاي دامنه را بردار هایی به طول واحد و دو به دو عمود بر هم تصویر کند. 6 Schmidt decomposition 5

6 و دو به دو عمود بر هم هستند. از آن جا که AB φ نیز یک محض سازي ρ A است داریم ρ A = tr B ( φ φ AB ) l = tr B µ i µ j ( u i A z i B ) ( u j A z j B ) i,j= l = µ i µ j u i u j A δ ij i,j= l = µ i u i u i A. (7) در این جا هم با استفاده از rankρ A = r بدست می آوریم t. = r دو رابطه ي (6) و (7) در واقع دو قطري سازي عملگر ρ A هستند و λ -ها i و همچنین µ -ها j مقادیر ویژه ي آن هستند. در واقع باید داشته باشیم } r. {λ,..., λ r } = {µ,..., µ براي سادگی فرض می کنیم λ i = µ i براي هر.i =,..., r حال اگر فرض کنیم که مقادیر ویژه ي ρ A تکرر دارند آن گاه بردار ویژه ي متناظر با هر مقدار ویژه یکتاست. با این فرض چون i v و i u هر دو بردار ویژه متناظر با مقدار ویژه ي λ i = µ i هستند پس باید در یک راستا باشند. یعنی α i C وجود دارد به طوري که i. u i = α i v چون i v و i u هر دو بردار به طول واحد هستند = i. α توجه کنید که r r φ AB = µ i u i z i = λ i v i A (α i z i ). حال عملگر B V : H B H را روي پایه ي } r { w,..., w از H B به صورت V w i = α i z i تعریف می کنیم. بدیهی است که رابطه ي (I V ) ψ AB = φ AB برقرار است. تنها کافی است نشان دهیم V یک ایزومتري است. این مطلب نیز از تعریف V واضح است چرا که V یک پایه ي متعامد یکه از فضاي H B را به بردارهایی متعامد و یکه در فضاي B H تصویر می کند (در اینجا از = i α استفاده می کنیم). حال فرض کنید که مقادیر ویژه ي ρ A تکرار داشته باشند. مثلا فرض کنید که مقدار ویژه ي λ = λ تکرر داشته باشد. یعنی فضاي ویژه ي متناظر با این مقدار ویژه بعدي است و توسط دو بردار { v }, v پوشیده می شود. به همین ترتیب این فضا توسط دو بردار { u }, u نیز پوشیده می شود. بنابراین ضرایب c ij C وجود دارند به طوري که u = c v + c v و u = c v + c v. 6

7 از آنجا که } { v, v و همچنین } { u, u متعامد یکه هستند ماتریس ) ij C = (c یکانی است. حال توجه کنید که µ u z + µ u z = λ (c v + c v ) z + λ (c v + c v ) z = λ v (c z + c z ) + λ v (c z + c z ) اگر قرار دهیم z = c z + c z و z = c z + c z آنگاه با توجه به این که C یکانی است { z }, z متعامد یکه است و همچنین این دو بردار بر بقیه ي i z -ها (, i) عمود هستند و داریم r r φ = µ i u i z i = λ v z + λ v z + µ i u i z i. i=3 ادامه ي این روند براي همه فضاهاي ویژه 7 به رابطه اي به صورت i φ = i λ i v i z می رسیم که در آن r } { z,..., z متعامد یکه است. لذا می توانیم تعریف کنیم i V w i = z که در آن V باز ایزومتري می شود. مثال فرض کنید که آلیس و باب در آزمایشگاهی در دانشکده مهندسی برق دانشگاه صنعتی شریف دو سیستم A و B را به صورت در هم تنیده در حالت ψ AB تولید کرده باشند. آلیس قرار است که به کره مریخ سفر کند و در آنجا با کمک باب (که در دانشکده است) یک پروتکل کوانتمی (مانند فرابرد) را با کمک این سیستم هاي در هم تنیده به اجرا بگذارند. آلیس سیستم A و باب سیستم B را بر می دارند و سپس آلیس عازم سفر به مریخ می شود. پس از ترك آلیس مشکلی جدي براي باب پیش می آید و تصمیم می گیرد که اجراي پروتکل را به دوستش چارلی (که در شهرستان زندگی می کند) واگذار کند. چارلی براي اجراي این پروتکل نیازمند سیستم B که در اختیار باب است می باشد (زیرا امکان باز گرداندن آلیس و تولید سیستم در هم تنیده مشترك جدید وجود ندارد). پس یک راه این است که باب تمامی سیستم B را براي چارلی بفرستد. اما بدلیل زیاد شدن نرخ ارز این ارسال پر هزینه است. سو الی که پیش می آید این است که آیا امکان دارد که باب با ارسال تنها بخشی از سیستم خود بتواند امکان انجام پروتکل را به چارلی بدهد جواب این است که در صورتی که B را بتوان به دو زیرسیستم B B تقسیم کرد به طوري که حالت AB محض باشد این کار امکان پذیر است. به طور دقیق تر فرض کنید که باب یک عملگر ایزومتري V روي فضاي H B اعمال کند و آن را به فضاي H B H B بنگارد به طوري که I V ψ AB که حالتی از سیستم AB B است به صورت φ AB v B قابل نوشتن باشد.در این صورت باب کافی است که زیرسیستم B را براي چارلی بفرستد. چارلی با داشتن B یک حالت محض با آلیس تقسیم کرده اند. حال توجه کنید که ψ AB و φ AB هر دو محض سازي هایی از حالت آلیس یعنی ) AB tr B ( ψ ψ AB ) = tr B ( φ φ هستند. همچنین طبق قضیه ي فوق هر دو محض سازي تحت یک ایزومتري از یکدیگر بدست می آیند. لذا چارلی با اعمال یک ایزومتري مناسب می تواند حالت اولیه ي ψ AB را با داشتن φ AB بدست بیاورد. نکته 3 در این مثال فرض شده است که باب و چارلی می توانند هر ایزومتري اي و نه فقط عملگرهاي یکانی را روي سیستم خود اعمال کنند. این فرض برقرار است چون همان طور که قبلا هم دیدیم هر ایزومتري در واقع ترکیبی از بزرگ کردن 7 این روش را براي یک فضاي ویژه ي با بعد توضیح دادیم. تعمیم آن به ابعاد بالاتر مشابه است. 7

8 فضاي هیلبرت و یک عملگر یکانی است. براي بزرگ کردن فضاي هیلبرت یک سیستم کافی است سیستمی دیگر در حالتی کاملا مستقل به آن اضافه کنیم. نتیجه این که در فیزیک کوانتمی نه فقط عملگر هاي یکانی بلکه ایزومتر ها نیز عملگرهایی مجاز شناخته شده و متناظر با تحول هایی زمانی هستند. 8 تمرین فرض کنید ρ یک ماتریس چگالی است که قطري سازي آن در یک پایه ي متعامد یکه به فرم زیر است ρ = r p i v i v i, که در آن > i p براي هر i r. نشان دهید j ρ = j q j w j w براي بردارهاي یکه ي j w اگر و تنها اگر ایزومتري ) ji M = m) وجود داشته باشد به طوري که براي هر j داشته باشیم qj w j = r m ji pi v i به طوریکه m ij ها درایه هاي ماتریس ایزومتري ) ij M = m) هستند. j هر دو محض سازي هایی از ρ هستند. qj w j j و i راهنمایی: i pi v i تمرین سیستم A را که در حالت ρ A = +x x 4 x 4 x 4 x +x 4, x قرار گرفته در نظر بگیرید. با در نظر گرفتن سیستم B با بعد 4 یک محض سازي از این حالت را بیابید. ماتریس چگالی ρ B را محاسبه کنید. تمرین 3 سیستم A را با ماتریس چگالی i ρ A = i p i ψ i ψ در نظر بگیرید. فرض کنید φ AB یک محض سازي دلخواه از ρ A باشد. نشان دهید یک پایه متعامد یکه { i w } براي سیستم B وجود دارد به طوري که اگر سیستم B در آن اندازه گیري شود سیستم A بعد از اندازه گیري با احتمال p i در حالت i ψ قرار گیرد. تمرین 4 فرض کنید { d,..., } یک پایه ي متعامد یکه براي سیستم A و ρ A ماتریس چگالی دلخواهی باشند. نشان دهید ψ AA = ρ / A I A ( d ) i A i A i= یک محض سازي از ρ A است. ( AA tr A ( ψ ψ را نیز محاسبه کنید. 8 تحول هاي زمانی سیستم هاي باز در حالت کلی در ادامه بررسی خواهند شد. 8

9 3 کانال هاي کوانتومی تا کنون با دو نوع تحول سیستم هاي کوانتومی آشنا شده ایم. تحول ناشی از اندازه گیري. تحول زمانی ناشی از اثر یک عملگر یکانی. ( ) tr M i ρ A M i دیدیم اگر اندازه گیري } i M} را روي سیستم A با ماتریس چگالی ρ A انجام دهیم سیستم با احتمال سقوط می کند. لذا حالت سیستم پس از اندازه گیري متناظر با هنگرد { tr ( ) M i ρ A M i ; M i ρ A M ( i ) tr M i ρ A M i } M i ρ A M ( i به حالت ) tr M i ρ A M i است. ماتریس چگالی متناظر با این هنگرد برابر است با Ψ (ρ A ) = i ( ) tr M i ρ A M i M iρ A M ( i ) = tr M i ρ A M i i M i ρ A M i. تاکید می کنیم که Ψ(ρ) نیز یک ماتریس چگالی است که حالت سیستم پس از اندازه گیري را توصیف می کند. در واقع نگاشت Ψ نگاشتی «خطی» است که روي فضاي ) A L(H به صورت Ψ(X) = i M i XM i (8) عمل می کند و تحول ناشی از اندازه گیري } i M} روي سیستم A را توصیف می کند. همچنین دیدیم اگر سیستم A بسته بوده و با محیط اطراف هیچ گونه بر هم کنشی نداشته باشد تحول زمانی آن با یک ماتریس یکانی U بیان می شود. اگر حالت اولیه ي سیستم ρ A باشد پس از تحول زمانی به U A ρ A U A تغییر پیدا می کند. چنانچه سیستم A با محیط اطراف (E) که در حالت σ E قرار گرفته برهم کنشی داشته باشد آنگاه حالت اولیه سیستم ترکیبی ρ A σ E و بعد از تحول زمانی U AE (ρ A σ E )U AB خواهد بود. لذا حالت سیستم A بعد از تحول Φ (ρ A ) = tr E (U AE (ρ A σ E ) U AE ). زمانی برابر است با در اینجا هم Φ یک نگاشت خطی روي فضاي ) A L(H است و به صورت Φ(X) = tr E (U AE (X A σ E ) U AE ) (9) عمل می کند. 9

10 سوالی که در اینجا مطرح می شود این است که آیا دینامیک یک سیستم کوانتومی تنها ناشی از تحول زمانی و اندازه گیري است و یا فرآیند و مکانیزم دیگري نیز براي ایجاد تغییر در یک سیستم کوانتومی وجود دارد مثلا آیا می توان با ترکیب اندازه گیري و تحول زمانی دینامیک جدیدي متفاوت با Ψ و Φ بدست آورد جلسه بعد نشان می دهیم که هر دینامیک کوانتومی معادل با Ψ و Φ است و همچنین این دو نیز با یکدیگر معادلند. به این معنا که هر دینامیک کوانتمی را می توان به صورت (8) و (9) نوشت و همچنین با انتخاب M -هاي i مناسب Φ را می توان به صورت (8) نوشت و بالعکس. توجه کنید که هر یک از Ψ و Φ را می توان به عنوان یک کانال کوانتومی در نظر گرفت.