ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ"

Λυσάνδρα Αλαφούζος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 3 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ () A. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [ α, β ]. Αν G είναι μια αράγουσα της f στο [ α, β ], τότε να αοδείξετε ότι: β () = α f t dt G β G α Μονάδες 7 A. Να διατυώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Τ.) Μονάδες A3. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ ] α, β του εδίου ορισμού της; Μονάδες A. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίλα στο γράμμα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση τη λέξη Σωστό, αν η ρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η ρόταση είναι λανθασμένη. α) Η εξίσωση z z = ρ, ρ> αριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο K( z ) και ακτίνα β) Αν lim f ( ) <, τότε ρ, όου z, z μιγαδικοί αριθμοί. f < κοντά στο γ) Ισχύει ότι: ημ για κάθε δ) Ισχύει ότι: συν lim = ε) Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί ρόσημο σε καθένα αό τα διαστήματα στα οοία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το εδίο ορισμού της. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οοίους ισχύει: ( z )( z ) + z = B. Να αοδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόος των εικόνων των μιγαδικών z, K, και ακτίνα ρ = (μονάδες ) είναι κύκλος με κέντρο Στη συνέχεια, για κάθε μιγαδικό z ου ανήκει στον αραάνω γεωμετρικό τόο, να αοδείξετε ότι z 3 (μονάδες 3) Μονάδες 8 B. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z, z ου ανήκουν στον αραάνω γεωμετρικό τόο είναι ρίζες της εξίσωσης w + βw + γ =, με w μιγαδικό αριθμό, β,γ, και τότε να αοδείξετε ότι: Im z Im z = β = και γ = Μονάδες 9 B3. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς α, α, α οι οοίοι ανήκουν στον γεωμετρικό τόο του ερωτήματος Β. Αν ο μιγαδικός αριθμός v ικανοοιεί τη σχέση: ΘΕΜΑ Γ τότε να αοδείξετε ότι: v + α v + α v + α = 3 v < Θεωρούμε τις συναρτήσεις f,g: ώστε: ( ) f = και f + f + =, για κάθε 3 3 g = + Μονάδες 8, με f αραγωγίσιμη τέτοιες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

3 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ. Να αοδείξετε ότι: f( ) = +, Γ. Να βρείτε το λήθος των ραγματικών ριζών της εξίσωσης ( ) f g = Μονάδες 9 Μονάδες 8 Γ3. Να αοδείξετε ότι υάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο, ώστε: f() t dt = f εφ Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Δ Έστω f: (, + ) μια αραγωγίσιμη συνάρτηση για την οοία ισχύουν: Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) f() = f + h f h lim = h h Θεωρούμε είσης τη συνάρτηση f() t g( ) = dt t α Να αοδείξετε ότι:, (, ) + και α > Δ. f () = (μονάδες ), καθώς είσης ότι η f αρουσιάζει ελάχιστο στο = (μονάδες ). Μονάδες 6 Δ. η g είναι γνησίως αύξουσα (μονάδες 3), και στη συνέχεια, να λύσετε την ανίσωση στο g(u)du > 8+ + g(u)du (μονάδες 6) Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

4 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δ3. η g είναι κυρτή, καθώς είσης ότι η εξίσωση f() t α dt = ( f( α) ) ( α ), > t α έχει ακριβώς μια λύση. Μονάδες ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο άνω-άνω να συμληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των ααντήσεών σας να γράψετε άνω-άνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μην γράψετε ουθενά στις ααντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεώνυμό σας στο άνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας αραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας άνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία ερίτωση. Κατά την αοχώρησή σας να αραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να ααντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι ου δεν σβήνει. Μολύβι ειτρέεται, και μόνο για ίνακες, διαγράμματα κλ.. Κάθε αάντηση ειστημονικά τεκμηριωμένη είναι αοδεκτή.. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αοχώρησης:..μ. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 3 ΘΕΜΑ Α Α. Αόδειξη Σχολικού Βιβλίου σελ. 33-33 Α. Θεωρία Σχολικού Βιβλίου σελ. 6-7 Α3. Θεωρία Σχολικού Βιβλίου σελ Α.

5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 3 ΘΕΜΑ Α Α. Αόδειξη Σχολικού Βιβλίου σελ Α. Θεωρία Σχολικού Βιβλίου σελ. 6-7 Α3. Θεωρία Σχολικού Βιβλίου σελ Α. α) Λάθος, β) Σωστό, γ) Σωστό, δ) Λάθος, ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β Β. z z + z = z + z = z + z = Θέτω z = λ λ + λ = Δ= 9 ± 3 λ = = Άρα z = }, αορ.,, δεκτή Συνεώς ο γεωμετρικός τόος των εικόνων των μιγαδικών Κ (,) και ακτίνα R =. z είναι κύκλος με κέντρο

6 ος τρόος y Μ ( z ). Α( 3, ) Κ, 3. y Ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του z κινείται στον κύκλο με Κ (,), και ρ = άρα το z ( OA) Άρα z 3. ος τρόος = =. ma 3 αφού z = z z z < z z 3 Β. Οι z, z είναι ρίζες της εξίσωσης z = + yi y, z = yi Ιm z Ι m z = + yi + yi = yi = y = y =±. Αό τους τύους Vieta S = z+ z = β = β w + βw+ γ =

7 + y = γ. Ρ= z z = + yi yi = γ z = αφού κινούνται στον γεωμετρικό τόο του ( Β ) + y = y + = αφού g =± άρα ( ) = = άρα = β β = και γ = + y = + = εναλλακτική λύση Αφού z, z ρίζες της w Έχω z = + yi και z = yi Αφού γεωμετρικό τόος και αφού m( z ) m( z ) + βw+ γ =, Ι Ι = δηλ. z ο κύκλος + y =, έχω y αφού y =, αναγκαστικά z = + i και z = i ( + i) + β( + i) + γ = Για w= z = + i, έχω + i+ β + βi+ γ = 3+ β + γ + + β i = 3+ β + γ = + β = γ = β = Β3. v = α v α v α 3 άρα 3 v = α v α v α α v + α v + α = α v + α v + α 3v + 3v + 3 άρα 3 v 3v + 3v +3 έστω v = ω 3 τότε ω 3ω + 3ω+ 3 () ος 3 τρόος ω 3ω 3ω ( ω 3ω 3: ) αν ω τότε ω 3ω 3> 3 3+

8 άρα ( ω 3ω 3) 3, ω έτσι: ωω 3ω 3 ω 3ω 3 ω ω ω, ω 3 ω ω, ω Δ= + = 38, ± 38 ± 9,... = 8 = , , Άρα ω < ος τρόος 3 Αό () ω 3ω 3ω 3 Θεωρώ 3 f = f = ( ) = 3 ± Δ= 8,, = = { Έστω Για τότε f > άρα f γνησίως αύξουσα η f f = άρα f ( ) > < f ( ) άρα ώστε η 3 ος τρόος

9 3 Έχω την () ω 3ω 3ω 3 ω 3ω 3ω 3 < δηλ. ω 3ω 3ω < κάνω σχήμα Horner για το Οότε ( ω )( ω + ω+ ) < Αλλά Δ= 3< οότε ω + ω+ > ω < ω < άρα v < ΘΕΜΑ Γ ( f ( ) ) ( f ( ) ) f = g( ) + + = = + h = f Γ. Έστω h ( ) = f ( ) + Άρα h( ) h = h h = ( h ( )) = ( ) h ( ) = + c Για = h = f + = Άρα h = + c c= h ( ) = + + άρα h ( ) ή h( ) Εομένως διατηρεί ρόσημο και h = > Άρα h( ) > για κάθε εομένως h = + f + = + f = +

10 Γ. + f ( ) = = =... Είναι και > για κάθε + > = + = > < + < άρα f για κάθε και f 6/ στο εομένως f γνησίως αύξουσα άρα f -. ( ) f f g = = f g =. Θέλουμε το λήθος ριζών της g( ) = g ( ) = g ( ) = = ή = g ( ) > < ή > ( α > ) 3. + g γν. αύξουσα Α = (, ] g + + g γν. φθίνουσα Α = [, ] g γν. αύξουσα γν. φθίνουσα γν. αύξουσα g γν. αύξουσα Α [ ) 3 =, + ( g A lim g,g = 3 g( ), lim g( ) lim 3 = = + = lim 3 = g A =, και g g δεν έχει ρίζα στο Άρα ( A ) άρα η = (, ] g( Α ) = g( ),g( ) g = g =, και g( Α ) g δεν έχει ρίζα στο, Άρα ( Α ) Άρα η = [ ] g ( Α 3 ) = g( ), lim g( )) lim g( ) = lim + = lim =

11 ( 3) [ ) ( 3) Άρα η g( ) = έχει ακριβώς μια ρίζα στο A3 = [, + ) Εομένως η g( ) = έχει ακριβώς μια ρίζα στο. g Α =, + g Α και g γνησίως αύξουσα Α3 Γ3. f() t dt f εϕ = Είναι f() t dt f εϕ = Έστω η H = f( t) dt f εϕ με, f συνεχής και συνεχής αραγωγίσιμη άρα () f t dt αραγωγίσιμη άρα και f συνεχής, φ ( ) = συνεχής άρα f συνεχής και εϕ συνεχή ς. Εομένως H( ) συνεχής ως ράξεις συνεχών. H = f( tdt ) f εϕ = () f t dt = t + t dt Είναι t + > t = t t t + t > άρα ( t t) dt H + > > = () εϕ = < H f t dt f Η Η < αό Θ.Β. υάρχει, ώστε ως σύνθεση συνεχών H > =.

12 ος τρόος Θεωρώ g = f t dt ημ Rolle για την g στο, g συνεχής στο, g αραγωγίσιμη στο, g = f( tdt ) = Αιτιολόγηση στον α τρόο g = f() t dt ημ = Αό το θεώρημα Rolle υάρχει ένα τουλάχιστον f ημ +συν f () t dt = f ημ συν f () t dt= f ημ =συν f() t dt f εϕ = f() t dt, g = τέτοιο ώστε

13 ΘΕΜΑ Δ Δ. ( + ) ( ) f h f h lim = h h f( + h) f() f( h) + f() lim = h h f( + h) f f( h) f lim + = h h h Υολογίζουμε χωριστά: ( + ) ( + ) f h f f u f lim = lim u = h h h u u f( + u) f = lim = f () u u () f h f f + u f lim = lim = f h h u u ( u = h) ) ( + ) ( ) Αό ( έχουμε: f n f f n f lim = n n n f( + n) f f( n) f lim + lim = n n n n f + f = 6f = f = () () () () f γνησίως αύξουσα > άρα () > f > f = < < f < f = f + f γν.φθινουσα γν. αθξουσα η f έχει ελάχιστο το f() = (δηλαδή f( ) )

14 Δ. f t g( ) = dt > α t f( t) η n() t = συνεχής > t ως ηλίκο συνεχών έτσι ορίζεται η ου είναι αρ/μη g > f με g ( ) = > (αφού f( ) > > ή > ) Έτσι η g συνεχής και αρ/μη με g > άρα g γνησίως αύξουσα >. Θεωρούμε τη > + 6 Φ = g u du (ρέει: + + 6> + > > η Φ άρα ) γράφεται: c + 6 Φ = g u du + g u du c > + c c c Φ = g u du g u du η g u συνεχής u>, άρα ορίζεται η R( ) = g( u) du ου είναι αρ/μη c έ τσι αρ / μες είναι και οι R( + 6 ),R( + ως έκθεση αρ/μων συναρτήσεων. Φ = g + 6 g + > g γν.αύξουσα όμως ( άρα Φ ( ) > έτσι η Φ γν. αύξουσα η ανίσωση: γράφεται: + 6> + g + 6 > g + > g u du g u du Φ 8 >Φ Φ γν.αύξουσα > > < 8 < < + > > και ) )

15 Δ3. f( ) g ( ) = > η g αρ/μη ως ηλίκο αρ/μων ( ) [ ] ( ) f ( ) f ( ) f f + g ( ) = = ΘΜΤ στο, για την f( ) f f υάρχει ξ (, ): f ( ξ ) = f ( ) f ( ξ) Έτσι η g ( ) = > Όμως ξ< f ( ξ ) < f ( ) f ( ) f ( ξ ) > f γν.αύξουσα άρα g κυρτή > η εξίσωση f( t) ( α ) dt = ( f( α) )( α ) > α t γράφεται: ( α g ) ( ) = ( f( α) )( α ) f( α) g( ) = ( α ) α g = g α α g g η κυρτή έτσι η είναι άνω αό οοιαδήοτε εφ/νη της. Η εφ/νη της g στο ( α,g( α) ) είναι y g( α ) = g ( α)( α ) y= g ( α)( α ) αφού Έτσι g( ) g ( α)( α ) Η ισότητα ισχύει μόνο για =α g = g α α έχει μία μόνο ρίζα = α. g α = δηλαδή για το σημείο εαφής. Έτσι η εξίσωση Ειμέλεια Καθηγητών Φροντιστηρίων Βακάλη

Σχετικά έγγραφα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ Α Α. Αόδειξη Σχολικού Βιβλίου σελ. - Α. Θεωρία Σχολικού Βιβλίου σελ. 6-7 Α. Θεωρία Σχολικού Βιβλίου σελ Α. α Λάθος, β