Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel"

Transcript

1 Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face utilizându-se o relaţie de echivalenţă pe mulţimea numerelor reale, şi clasele de echivalenţă în care această relaţie împarte mulţimea R. Propoziţia 1. Relaţia definită pe R prin x y x y Q, este o relaţie de echivalenţă. Demonstraţie: Faptul că relaţia dată este reflexivă, simetrică şi tranzitvă este imediat, dupa cum urmează: Reflexivitatea: x x = 0 Q x x, x R. Simetria: x y x y Q y x Q y x. Tranzitivitatea: x y şi y z x y Q şi y z Q x z = (x y) + (y z) Q x z. Prin urmare, relaţia dată este o relaţie de echivalenţă. Vom nota prin [x] = {y R : y x} clasa de echivalenţă care îl conţine pe x. Este cunoscut faptul că o relaţie de echivalenţă determină prin clasele sale o partiţie a mulţimii pe care este definită relaţia. Astfel avem R = x R[x] şi y / [x] [x] [y] =. În continuare vom nota cu A = {[x] : x R} mulţimea claselor de echivalenţă şi vom determina cardinalul mulţimii A. În primul rând, aplicaţia µ : R A, µ(x) = [x], x R este surjectivă şi astfel card A card R = ℵ. Lemă: Dimensiunea lui R ca spaţiu vectorial peste Q este ℵ, unde ℵ = card R. Demonstraţie: În [1], pagina 245 se găseşte următoarea lemă: Dacă V este un spaţiu vectorial peste corpul K, şi dimv = b este infinită, atunci card V = b card K. Folosind această lemă pentru cazul în care V = R, K = Q, şi b este cardinalul unei baze a lui R peste Q, obţinem ℵ = ℵ 0 b = b. Ultima egalitate are loc deoarece b b ℵ 0 b 2 = b, b fiind un număr cardinal infinit. Am demonstrat astfel că b = ℵ, adică dimensiunea lui R ca spaţiu vectorial peste Q este ℵ = card R. Teorema 1. card A = card R. Demonstraţie: Alegem o bază B a lui R peste Q care îl conţine pe 1, ceea ce este posibil deoarece orice mulţime de elemente liniar independente poate fi prelungită la o bază, iar mulţimea cu un element, {1}, verifică în mod evident acest lucru. Dacă două elemente diferite, să zicem x şi y din B s-ar afla în aceeaşi clasă de echivalenţă, 1

2 atunci am avea x y = q 1, q Q, şi astfel 1, x şi y ar fi liniar dependente. Contradicţie. Prin urmare oricare două elemente diferite din B se află în clase de echivalenţă diferite, şi se poate defini astfel o aplicaţie φ : B A, φ(b) = [b], b B. Această aplicaţie este injectivă şi astfel card B card A. Din lema precedentă ştim că card B = ℵ şi deasemenea card A ℵ dintr-o remarcă anterioară. Astfel ℵ card A ℵ, ceea ce implică card A = ℵ. Din definiţia numerelor cardinale, două mulţimi au acelaşi număr cardinal dacă şi numai dacă există o bijecţie între elementele lor. Următoarea propoziţie arată legătura dintre cardinalul lui R şi cardinalul oricărui interval. Propoziţia 2. Pentru a, b R, a < b au loc egalităţile: card (a, b) = card [a, b) = card (a, b] = card [a, b] = card R = card (, a] = card (, a] = card [b, ) = card (b, ) = card R. Demonstraţia acestei propoziţii constă în găsirea unor funcţii bijective între oricare două dintre intervalele de mai sus şi este lăsată ca exerciţiu. Construcţia unor funcţii ciudate cu proprietatea Darboux Teorema 2.1. Există funcţii neconstante f : R R care duc orice interval deschis într-un interval închis. Demonstraţie: Vom demonstra mai mult, şi anume că există funcţii ca în enunţ care duc orice interval deschis în acelaşi interval închis [a, b]. Luăm a, b R, a < b. Atunci card [a, b] = ℵ = card A, şi astfel există o funcţie bijectivă g : A [a, b]. Definim funcţia f : R [a, b], f(x) = g([x]). Această funcţie este bine definită pentru orice x R. Vom demonstra acum că imaginea oricărui interval (s, t), s, t R, s < t este chiar intervalul [a, b]. Pentru acest lucru, observăm că [x] = x + Q = {x + q : q Q}. Deoarece Q este densă în R, orice translatată a sa este densă în R, ceea ce înseamnă că oricare clasă din A are reprezentanţi în orice interval deschis, deci şi în (s, t). Astfel f((s, t)) = g(a) = [a, b]. Propoziţia 3. Funcţia construită în demonstraţia Teoremei 2 are proprietatea lui Darboux şi nu este continuă în nici un punct din R. Demonstraţie: Este cunoscut faptul că o funcţie f : R R are proprietatea lui Darboux dacă şi numai dacă f(i) este interval pentru orice interval I R. Este evident, din definiţia lui f că f(i) [a, b], I R, I interval. Mai departe, I fiind interval, alegem s, t I, s < t. Atunci (s, t) I, adică f((s, t)) f(i), şi din demonstraţia teoremei precedente [a, b] f(i). Deci f(i) = [a, b] este interval. Cum I este un interval arbitrar, rezultă că f are proprietatea lui Darboux. 2

3 Fie x 0 R. Deoarece oricare ar fi ε > 0, f((x 0 ε, x 0 + ε)) = [a, b], f nu poate fi continuă în x 0. Astfel am demonstrat ca f nu e continuă în nici un punct din R. După cum se poate vedea, alegerea unui interval de forma [a, b] nu e necesară. Teorema rămâne adevărată şi dacă în locul lui [a, b] punem oricare alt tip de interval (care nu e redus la un punct). Cazul în care luăm mulţimea numerelor reale merită tratat separat, datorită rezultatului surprinzător care se obţine. Teorema 2.2. Există funcţii f : R R care au proprietatea lui Darboux şi iau orice valoare reală în orice vecinătate a unui punct din R. Demonstraţie: Se procedează analog ca în demonstraţia Teoremei 2.1, definind bijecţia h : A R, şi funcţia f : R R, f(x) = h([x]). În continuare se arată că f((s, t)) = R, oricare ar fi intervalul (s, t), folosind acelaşi argument, şi anume, faptul că intervalul (s, t) conţine elemente din oricare clasă de echivalenţă din A. Faptul că f are şi proprietatea lui Darboux, se demonstrează analog cu Propoziţia 3, obţinându-se faptul că f(i) = R pentru orice interval real I. Prin urmare, funcţia f ia fiecare valoare reală în orice vecinătate a oricărui punct real şi are proprietatea Darboux. Cele două rezultate de mai sus sunt cazuri particulare ale următoarei teoreme: Teorema 2.3. Fiind dată o mulţime T R, există o funcţie f : R R astfel încât imaginea oricărui interval prin această funcţie este chiar mulţimea T. Demonstraţie: Deoarece card T card A, există o surjecţie φ : A T. Considerăm funcţia f : R R, f(x) = φ([x]). Această funcţie verifică enunţul teoremei. Într-adevăr, dacă I este un interval şi t T, atunci există x 0 R cu φ([x 0 ]) = t. Deoarece [x 0 ] este densă în R, există z I cu x [x 0 ]. Prin urmare f(z) = φ([z]) = φ([x 0 ]) = t. Evident are loc şi f(i) T, prin urmare imaginea lui I prin f este T. Un rezultat şi mai surprinzător este dat de următoarea teoremă atribuită matematicianului Waclaw Sierpinski: Teorema 3. (Sierpinski) Pentru orice funcţie f : R R există două funcţii f 1, f 2 : R R cu proprietatea Darboux şi discontinue în orice punct din R, astfel încât f = f 1 + f 2. Demonstraţie: Ideea principală a demonstraţiei este luată din [2], pagina 46. Fie f : R R o funcţie oarecare. Considerăm o bijecţie g : R A şi notăm cu A 1 = g((, 0)), A 2 = g([0, )). Astfel card A 1 = card A 2 = ℵ, şi astfel există două bijecţii m : R A 1 şi n : R A 2. A 1 < g m R R =(, 0) [0, ) g A 2 < n R 3

4 Definim acum funcţiile: { r, t m(r) f 1 (t) = f(t) r, t n(r) f 2 (t) = { f(t) r r, t m(r), t n(r) Este evident din definirea funcţiilor f 1 şi f 2 că f = f 1 +f 2. Să demonstrăm acum că f 1 şi f 2 au proprietatea lui Darboux. Pentru aceasta, considerăm un interval I R. Deoarece fiecare clasă de echivalenţă din A este densă în R, rezultă că I m(r), I n(r), r R. Prin urmare, dacă ţinem cont de definirea funcţiilor f 1 şi f 2 obţinem că r f 1 (I m(r)) f(i) şi r f 2 (I n(r)) f(i), pentru orice r R. Astfel am obţinut că f 1 (I) = f 2 (I) = R. Intervalul I a fost considerat arbitrar, deci f 1 (I) = f 2 (I) = R, I R, I interval. Rezultă astfel că f 1 şi f 2 au proprietatea Darboux. Deasemenea, tot din relaţiile f 1 (I) = f 2 (I) = R pentru orice I interval, rezultă şi că funcţiile f 1 şi f 2 nu sunt continue în nici un punct x 0 din R, pentru că f((x 0 δ, x 0 + δ)) = R (f(x 0 ) ε, f(x 0 ) + ε), ε > 0, δ > 0, x 0 R. Prin urmare funcţia f, care a fost aleasă în mod arbitrar, se poate scrie ca sumă de două funcţii care au proprietatea Darboux şi sunt discontinue în orice punct din R. La concursul Traian Lalescu pentru studenţi, ediţia 2003, s-a propus spre rezolvare următoarea problemă: Fie F mulţimea funcţiilor f : [0, 1] [0, 1] cu proprietatea că există două mulţimi disjuncte şi nevide A şi B cu A B = [0, 1] astfel încât f(a) B şi f(b) A. Să se studieze dacă F conţine funcţii continue, funcţii primitivabile şi funcţii cu proprietatea Darboux. Răspunsul la primele două cerinţe este evident. Dacă o funcţie f F este continuă sau are primitive, atunci funcţia respectivă are cel puţin un punct fix, ceea ce contrazice ipotezele satisfăcute de f. La cea de-a treia cerinţă, răspunsul este dat de teorema următoare. Teorema 4. Există funcţii f F cu proprietatea Darboux. Demonstraţie: Fie φ : A R o bijecţie şi Y = φ 1 ((, 0]), Z = φ 1 ((0, )). Fie A = {x [0, 1] : [x] Y }, B = {x [0, 1] : [x] Z}. A şi B sunt disjuncte şi nevide pentru că Y şi Z sunt disjuncte şi nevide. Deasemenea, deoarece Y Z = A, rezultă că A B = {x [0, 1] : [x] A} = [0, 1]. Deoarece atât A cât şi B conţin toate elementele din [0, 1] care aparţin unei aceeaşi clase de echivalenţă, A şi B sunt dense în [0, 1]. Din definiţia lor, card Y = card Z = card A = card B = ℵ. Prin urmare există bijecţiile µ : Y B şi ν : Z A. Definim în continuare funcţia f : [0, 1] [0, 1] prin { µ([x]), x A f(x) = ν([x]), x B 4

5 A x B x > [x] > [x] µ > B Este evident din definiţia funcţiei f şi a mulţimilor A, B, Y, Z că f(a) B şi f(b) A. Să demonstrăm acum că f are proprietatea Darboux. Fie I un interval (care nu e redus la un punct) inclus în [0, 1]. Atunci I intersectează toate clasele din A (pentru că oricare dintre acestea este densă în R), adică I intersectează toate clasele din Y şi Z. Astfel f(i) = µ(y ) ν(z) = B A = [0, 1]. Deoarece I a fost ales arbitrar, rezultă că f(i) = [0, 1] pentru orice interval I (netrivial) inclus în [0, 1]. Astfel am demonstrat că f are proprietatea lui Darboux. Prin urmare există funcţii în mulţimea F care au proprietatea Darboux. Din teorema de mai sus rezultă uşor următoarea Consecinţă. Dacă a, b R, a < b atunci există funcţii f : [a, b] [a, b] care au proprietatea Darboux şi nu au puncte fixe. Demonstraţie: Se efectuează aceeaşi construcţie de la Teorema 5 (nu are importanţă dacă intervalul e [0, 1] sau [a, b]). Dacă această funcţie ar avea un punct fix, aceasta ar contrazice construcţia mulţimilor A şi B. Ecuaţia funcţională a lui Cauchy şi proprietatea Darboux Voi demonstra în continuare că ecuaţia funcţională a lui Cauchy are soluţii netriviale care au proprietatea lui Darboux. Pentru aceasta avem nevoie de câteva rezultate preliminare: 0) O funcţie f : R R verifică ecuaţia funcţională a lui Cauchy dacă f(x + y) = f(x) + f(y), x, y R (C). i) O funcţie care satisface (C) are proprietatea că f(qx) = qf(x), q Q, x R ii) Orice funcţie de forma f(x) = ax, a R, satisface ecuaţia (C). Aceste soluţii se vor numi soluţii triviale ale ecuaţiei (C). Este cunoscut faptul că orice soluţie continuă a ecuaţiei (C) este trivială. iii) Fie R considerat ca spaţiu vectorial peste Q. Atunci, conform 0), i), aplicaţia f este o aplicaţie liniară. Aceasta implică faptul că f este unic determinată de valorile sale pe o bază a lui R peste Q. Teorema 5. Există soluţii netriviale ale ecuaţiei (C). Demonstraţie: Conform iii), o soluţie a ecuaţiei (C) este unic determinată de valorile ei pe o bază a lui R peste Q. Luăm o bază B care îl conţine pe 1 şi considerăm f(1) = 1, f(b) = 0, b B \ {1}. Astfel f(x) va fi exact coordonata lui 1 în scrierea lui x în baza B. Evident că această funcţie nu este de forma f(x) = ax, pentru că ar rezulta că a = 1 şi coordonata lui 1 în scrierea lui 2 ar fi 2 / Q. Odată ce am stabilit existenţa unor astfel de soluţii netriviale, se poate da următoarea teoremă: Teorema 6. Dacă f este o soluţie netrivială a ecuaţiei (C), atunci graficul G f = {(x, y) R 2 : y = f(x)} al funcţiei f este dens în R 2. 5 ν > A

6 Demonstraţie: Presupunem că f este o soluţie netrivială a ecuaţiei (C), pentru care G f nu este densă în R 2. Atunci există a, b, c, d R astfel încât D = (a, b) (c, d) şi D G f =. În continuare vom demonstra că cel puţin una dintre următoarele afirmaţii este adevărată: i) f(x) c, x (a, b); ii) f(x) d, x (a, b). Să presupunem că există x, y (a, b) astfel încât f(x) c şi f(y) d. Atunci vor exista două numere q, r Q cu q + r = 1 astfel încât f(qx + ry) = qf(x) + rf(y) (c, d) deoarece prin t (1 t)f(x) + tf(y), t [0, 1] se parcurge intervalul [f(x), f(y)] (c, d) si punctele pentru care t Q formează o mulţime densă în acest interval. Astfel se contrazice presupunerea făcută la inceput. Făra a pierde generalitatea, presupunem că ii) este adevărată. Se vede uşor că există un număr real δ > 0 şi un alt număr real h astfel încât ( δ, δ) + h (a, b). Folosind aditivitatea funcţiei f şi relaţia 2 obţinem că f este mărginită superior pe intervalul ( δ, δ). Deoarece avem relaţia f(x) = f( x), pentru orice x R rezultă că f este mărginită pe intervalul ( δ, δ). Presupunem că f nu ar fi continuă în 0. Atunci există un şir (y n ) care tinde la 0 cu f(y n ) l > 0. (cazul l 0 se tratează analog, eventual pentru şirul ( y n )) Deoarece toţi termenii şirului de la un rang încolo sunt în intervalul ( δ, δ) şirul (f(y n )) este mărginit şi există un rang n 0 de unde avem f(y n ) > l/2. Fie m N. Atunci există k m n 0 N astfel încât my km < δ. Atunci f(my km ) = mf(y km ) > ml 2, m N. Astfel am găsit un subşir al lui (y n) care are limita, ceea ce reprezintă o contradicţie. Prin urmare l = 0 este singura posibilitate şi astfel f este continuă în 0. Fiind continuă în 0, folosind aditivitatea, obţinem că f este continuă în orice punct din R, şi astfel este o soluţie trivială. Acest fapt contrazice ipoteza. Rezultă astfel că G f este densă în R 2. O definiţie echivalentă a conceptului de proprietate Darboux în sens slab pentru o funcţie f : R R este următoarea: Definiţie: f are proprietatea Darboux în sens slab dacă pentru orice interval I R, f(i) este interval. Conform celor demonstrate mai sus, putem deduce următoarea propoziţie: Propoziţia 4 Dacă f este o soluţie a ecuaţiei (C) atunci f are proprietatea Darboux în sens slab. Demonstraţie: Dacă f este o soluţie trivială, aceasta este continuă, şi astfel are proprietatea Darboux, deci şi Darboux în sens slab. Să presupunem acum că f este o soluţie netrivială a ecuaţiei (C). Atunci am demonstrat că G f este densă în R 2. Fie I R un interval. Atunci oricare ar fi a < b numere reale, G f I (a, b). Prin urmare există t I astfel încât f(t) (a, b). Deducem că orice interval deschis din R conţine elemente din f(i), ceea ce implică f(i) = R, care este interval. Astfel f are proprietatea Darboux în sens slab. Ne punem acum întrebarea dacă o funcţie care are proprietatea Darboux şi este soluţie a ecuaţiei (C) este neapărat trivială. Vom răspunde la această întrebare 6

7 în cele ce urmează. Mai întâi, să observăm că există soluţii netriviale care nu au proprietatea Darboux. Un exemplu de astfel de soluţie este dat în demonstraţia Teoremei 5, în care f(r) = Q, şi o astfel de funcţie nu poate avea proprietatea Darboux. Teorema 7. Există soluţii netriviale ale ecuaţiei (C) care au proprietatea Darboux. Demonstraţie: Am remarcat faptul că o soluţie a ecuaţiei (C) este unic determinată de valorile sale pe o bază a lui R peste Q. Alegem o astfel de bază B, care îl conţine pe 1. Considerăm f(1) = 0 şi stabilim o bijecţie φ : B \ {1} R. Definim în continuare f(b) = φ(b), b B \ {1}. Imediat deducem că f(q) = 0, q Q. Astfel, considerând relaţia de echivalenţă definită la început, avem x [y] f(x) = f(y) + f(x y) = f(y). Fie b B şi I R, un interval netrivial. Atunci, deoarece [b] este densă în R, deducem că [b] I. Fie y R. Atunci există b B astfel încât f(b) = y. Fie b 0 [b] I. Din cele discutate mai sus, un astfel de b 0 există, şi f(b 0 ) = f(b) = y. Prin urmare y f(i). Deoarece y a fost ales arbitrar, rezultă că f(i) = R. Prin urmare f are proprietatea Darboux. 7

8 Bibliografie [1] Nathan Jacobson, Lectures in Abstract Algebra, vol II, Linear Algebra, D. Van Nostrand Company, Inc., 1953 [2] Mihail Megan, Bazele Analizei Matematice, vol 2, Ed. Eurobit, 1997 [3] A. B. Kharazishvili, Strange Functions in Real Analysis, Chapman & Hall/CRC 2006 student Facultatea de Matematică-Informatică, Universitatea de Vest Timişoara, 8

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a

Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, 17-22 august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a Problema 1. Câte numere naturale de cinci cifre trebuie să scriem pentru

Διαβάστε περισσότερα

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu

Lecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică

Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Daniel BREAZ Nicolae SUCIU Păstorel GAŞPAR Nicoleta BREAZ Monica PÎRVAN Valeriu PREPELIŢĂ Gheorghe BARBU Transformări integrale şi funcţii complexe cu aplicaţii în tehnică Volumul 1 Funcţii complexe cu

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

2 Probleme propuse Clasele V-VI Clasele VII-VIIII Clasele IX-X... 18

2 Probleme propuse Clasele V-VI Clasele VII-VIIII Clasele IX-X... 18 Cuprins 1 O privire de ansamblu asupra metodei 1 1.1 Un joc cu jetoane colorate...................... 2 1.2 O problemă amuzantă........................ 3 1.3 Şcoala lui Pitagora şi numerele iraţionale.............

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare

Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Capitolul 1 Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi rezolvabile prin metode elementare Definiţia 1.0.1 O ecuaţie diferenţialǎ de ordinul întâi este o relaţie de dependenţǎ funcţionalǎ de forma g(t, x, ẋ)

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

1Reziduuri şi aplicaţii

1Reziduuri şi aplicaţii Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Asist. Dr. Oana Captarencu. otto/pn.html.

Asist. Dr. Oana Captarencu.  otto/pn.html. Reţele Petri şi Aplicaţii p. 1/45 Reţele Petri şi Aplicaţii Asist. Dr. Oana Captarencu http://www.infoiasi.ro/ otto/pn.html otto@infoiasi.ro Reţele Petri şi Aplicaţii p. 2/45 Evaluare Nota finala: 40%

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Dorel Lucanu Faculty of Computer Science Alexandru Ioan Cuza University, Iaşi, Romania dlucanu@info.uaic.ro PA 2014/2015 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare

Διαβάστε περισσότερα

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară

Curs 7. Definiţia II Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară Curs 7 II.3 Grupuri II.3.1 Definiţie. Exemple Definiţia II.3.1.1. Un grup G este o mulţime, împreună cu o operaţie binară pe G, notată : G G G, (x, y) x y, astfel încât: (G1) (Asociativitate) (x y) z =

Διαβάστε περισσότερα

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n 1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi-seminar 1

Vectori liberi-seminar 1 Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x

Διαβάστε περισσότερα

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y). Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este.

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este. Copyright c 007 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului atematician 1 inisterul Educatiei si Tineretului Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 14 iunie 007 Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu

Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu Forme normale pentru schemele de relaţie prof. dr. ing. Mircea Petrescu Folosirea formelor normale conduce la eliminarea multora din problemele de redondanţe şi anomalii enunţate anterior. Fie o schemă

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

Demonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X

Demonstraţie: Să considerăm polinomul {f(x)} asociat cuvântului - cod: f(x) = h(1) + h(α)x h(α n 1 )X n 1 = a 0 (1 + X + X Prelegerea 13 Coduri Reed - Solomon 13.1 Definirea codurilor RS O clasă foarte interesantă de coduri ciclice a fost definită în 1960 de Reed şi Solomon. Numite în articolul iniţial coduri polinomiale,

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a

EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a 12-a EUGEN RADU OVIDIU ŞONTEA MATEMATICĂ M Manual pentru clasa a 1-a Cuprins ALGEBRÃ 1. Grupuri... 6 1.1. Legi de compoziþie... 6 1.. Proprietãþi ale legilor de compoziþie... 9 1.3. Grupuri... 1.4. Exemple

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de logicǎ matematicǎ

Elemente de logicǎ matematicǎ Elemente de logicǎ matematicǎ 9 noiembrie 2004 - Calcul propoziţional - Calculul predicatelor - Proceduri de decizie pt. realizabilitate - Demonstrare de teoreme prin rezoluţie Elemente de logicǎ matematicǎ

Διαβάστε περισσότερα

1. GRUPOIZI. MORFISME. ACŢIUNI. (noţiuni algebrice)

1. GRUPOIZI. MORFISME. ACŢIUNI. (noţiuni algebrice) . RUPOIZI. MORFISME. ACŢIUNI. (noţini algebrice) Un grpoid poate fi gândit ca n grp c mai mlte elemente nitate. Dacă n grpoid are n singr element nitate, atnci de fapt, este grp. Astfel noţinea de grpoid

Διαβάστε περισσότερα

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία - Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,

Διαβάστε περισσότερα

Coduri detectoare şi corectoare de erori

Coduri detectoare şi corectoare de erori Coduri detectoare şi corectoare de erori Adrian Atanasiu Editura Universităţii BUCUREŞTI Prefaţă Vă uitaţi la televizor care transmite imagini prin satelit? Vorbiţi la telefon (celular)? Folosiţi Internetul?

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Calculul valorilor şi vectorilor proprii

Calculul valorilor şi vectorilor proprii Capitolul 4 Calculul valorilor şi vectorilor proprii Valorile şi vectorii proprii joacă un rol fundamental în descrierea matematică a unor categorii foarte largi de procese tehnice, economice, biologice

Διαβάστε περισσότερα

DOUĂ DEMONSTRAŢII ALE TEOREMEI DE REPREZENTARE A LUI STONE. Andra Jugănaru

DOUĂ DEMONSTRAŢII ALE TEOREMEI DE REPREZENTARE A LUI STONE. Andra Jugănaru DOUĂ DEMONSTRAŢII ALE TEOREMEI DE REPREZENTARE A LUI STONE I Introucere Anra Jugănaru Scopul acestei lucrări este e a prezenta ouă emonstraţii ale teoremei următoare: orice algebră Boole este izomorfă

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL AL DOILEA

Capitolul 2 ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL AL DOILEA Capitolul 2 ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL AL DOILEA Studiul ecuaţiilor cu derivate parţiale îşi are originea în secolul al XVIII-lea şi a fost inspirat de modele concrete din mecanică (elasticitate,

Διαβάστε περισσότερα

LOGICA PENTRU INFORMATICĂ

LOGICA PENTRU INFORMATICĂ LOGICA PENTRU INFORMATICĂ (cu mai multe detalii) Facultatea de Informatică Universitatea Al.I.Cuza Iaşi (http://www.info.uaic.ro) Realitate Realitate: obiecte şi fenomene aflate în relaţii de interdependenţă

Διαβάστε περισσότερα

Geometria curbelor şi suprafeţelor 27 Mai 2014

Geometria curbelor şi suprafeţelor 27 Mai 2014 Geometria curbelor şi suprafeţelor 7 Mai 04 Mircea Crâşmăreanu ii Cuprins Introducere v Noţiunea de curbă. Geometria unei curbe Reperul Frenet şi curburi 9 3 Teorema fundamentală a curbelor 7 4 Ecuaţiile

Διαβάστε περισσότερα

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii Felix Klein (1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de grup pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului. In discursul inaugural de

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI APLICATE ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ-

MATEMATICI APLICATE ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ- UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU Dumitru Acu Petrică Dicu Mugur Acu Ana Maria Acu MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ- Cuprins Introducere 6. Necesitatea

Διαβάστε περισσότερα

P A + P C + P E = P B + P D + P F.

P A + P C + P E = P B + P D + P F. Fie P un punct situat în interiorul cercului C. Prin punctul P se duc trei coarde care determină în jurul punctului P şase unghiuri de 60. Notăm A, B, C, D, E, F (în ordine) capetele acestor coarde. Arătaţi

Διαβάστε περισσότερα

Prelegerea 11. Securitatea sistemului RSA Informaţii despre p şi q

Prelegerea 11. Securitatea sistemului RSA Informaţii despre p şi q Prelegerea 11 Securitatea sistemului RSA Vom trece în revistă câteva modalităţi de atac ale sistemelor de criptare RSA. Ca o primă observaţie, RSA nu rezistă la un atac de tipul meet-in-the middle, strategia

Διαβάστε περισσότερα

Acesta este capitolul 2 Noţiuni de teoria informaţiei al ediţiei electronică

Acesta este capitolul 2 Noţiuni de teoria informaţiei al ediţiei electronică Acesta este capitolul 2 Noţiuni de teoria informaţiei al ediţiei electronică a cărţii Reţele de calculatoare, publicată la Casa Cărţii de Ştiinţă, în 2008, ISBN: 978-973-133-377-9. Drepturile de autor

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

A1. Valori standardizate de rezistenţe

A1. Valori standardizate de rezistenţe 30 Anexa A. Valori standardizate de rezistenţe Intr-o decadă (valori de la la 0) numărul de valori standardizate de rezistenţe depinde de clasa de toleranţă din care fac parte rezistoarele. Prin adăugarea

Διαβάστε περισσότερα

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z. Numere complexe Numere complexe Forma algebrcă a numărulu complex este a b unde a ş b sunt numere reale Numărul a se numeşte partea reală a numărulu complex ş se scre a Re ar numărul b se numeşte partea

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE. Culegeredeprobleme. Emil STOICA şi Mircea NEAGU

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE. Culegeredeprobleme. Emil STOICA şi Mircea NEAGU ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Culegeredeprobleme Emil STOICA şi Mircea NEAGU Cuprins 1 Spaţii vectoriale. Spaţii euclidiene 1 1.1 Elementeteoreticefundamentale................ 1

Διαβάστε περισσότερα

页面

页面 订单 - 配售 Εξετάζουμε την αγορά...luăm în considerare posibi 正式, 试探性 Είμαστε στην ευχάριστη Suntem θέση να încântați δώσουμε την să plasăm παραγγελία μας στην εταιρεία comandă σας pentru... για... Θα θέλαμε

Διαβάστε περισσότερα

Circuite electrice in regim permanent

Circuite electrice in regim permanent Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este

Διαβάστε περισσότερα

Μπορώ να κάνω ανάληψη στην [χώρα] χωρίς να πληρώσω προμήθεια; Informează dacă există comisioane bancare la retragere numerar într-o anumită țară

Μπορώ να κάνω ανάληψη στην [χώρα] χωρίς να πληρώσω προμήθεια; Informează dacă există comisioane bancare la retragere numerar într-o anumită țară - General Μπορώ να κάνω ανάληψη στην [χώρα] χωρίς να πληρώσω προμήθεια; Μπορώ να κάνω ανάληψη στην [χώρα] χωρίς να πληρώσω προμήθεια; Informează dacă există comisioane bancare la retragere numerar într-o

Διαβάστε περισσότερα

MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA

MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA CÂMPURILOR Cuprins 15 MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 5 15.1 Câmpuri scalare. Curbe şi suprafeţe de nivel............................. 5 15.2 Derivata după o direcţie şi

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea

ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Valeriu Zevedei, Ionela Oancea April 9, 005 CUPRINS 1 CALCUL VECTORIAL 7 1.1 Vectori legaţi,vectori liberi... 7 1. Operaţiilinearecuvectori... 9 1..1

Διαβάστε περισσότερα

Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic

Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic Platformă de e learning și curriculă e content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Logică 24. Echivalenta starilor STARILE ECHIVALENTE DIN CIRCUITELE SECVENTIALE Realizarea unui circuit secvenţial

Διαβάστε περισσότερα

Al V-lea Congres internaţional. ale matematicienilor români.

Al V-lea Congres internaţional. ale matematicienilor români. Al V-lea Congres internaţional al matematicienilor români Piteşti, - 8 iunie, 00 Incepând cu anul 199, s-au organizat, până în prezent, cinci congrese internaţional ale matematicienilor români. Primul

Διαβάστε περισσότερα

Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011

Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 5 16 martie 2 011 1.0.011 STATISTICA Masurarea variabilitatii Indicatorii variaţiei(împrăştierii) lectia 16 martie 011 al.isaic-maniu www.amaniu.ase.ro http://www.ase.ro/ase/studenti/inde.asp?itemfisiere&id Observati doua

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα