6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII"

Transcript

1 7

2 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de mai multe variabile reale 4 Formula lui Taylor petru fucţii de mai multe variabile reale 5 Extreme petru fucţii de mai multe variabile reale Extreme cu legături Evaluare : Răspusuri la problemele fiale Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală respectiv petru fucţii reale de mai multe variabile 3 Formula lui Taylor petru fucţii reale de ua sau mai multe variabile reale 4 Extreme petru fucţii reale de mai multe variabile reale Extreme cu legături(prezetarea oţiuilor şi de exemple corespuzătoare) 6 DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ APLICAŢII Fie f : I R R ude I = (a b) a < b şi x I Defiiţia Se spue că fucţia f este derivabilă î puctul x dacă fucţia r : I f( x) f( x) - { x } R defiită pri rx = are limită fiită î puctul x x Valoarea acestei limite se umeşte derivata fucţiei f î puctul x şi se otează cu f ( x ) deci f x f x () f ( x ) = lim ( ) x x x

3 7 Petru aceeaşi derivată se mai folosesc otaţiile lim rx =± spuem x x că fucţia f are derivata ± î x dar cosiderăm că fucţia f u este derivabilă î acest puct Să otăm cu G f R graficul fucţiei f adică {( ); ( )} f( b) f( x) f( x ) f( a) y df( x ) Df( x ) dx Dacă Gf = x f x x a b O a x x b x Atuci f ( x ) = tg α Fig (fig ) deci f ( x ) reprezită coeficietul ughiular al tagetei la graficul fucţiei f î puctul x Ditre alte iterpretări ale derivatei uei fucţii de o variabilă reală amitim: viteza uui mobil la u momet t desitatea uei bare liiare î puctul x dobâda istataee îtr-u plasamet cu dobâdă variabilă etc Teorema a) O fucţie f : I R R derivabilă îtr-u puct x I este cotiuă î puctul x ; b) Dacă fucţia f : I R J este derivabilă î x I şi fucţia g : J R este derivabilă î y = f( x) J = ( c d) atuci fucţia compusă h = g f hx = gfx ( ) este derivabilă î x şi () h ( x) = g ( f ( x )); c) Dacă fucţia f este bijectivă (iversabilă) şi f este iversa sa atuci dacă fucţia f este derivabilă î x şi fucţia f este derivabilă î y = f( x ) şi (3) ( f ) ( y) = f ( x) Observaţia Dacă fucţia f : I = (a b) R R este derivabilă î fiecare puct x I spuem că fucţia f este derivabilă pe mulţimea I Afirmaţiile di Teorema rămâ valabile dacă e referim la derivabilitatea pe u iterval I Cum orice submulţime deschisă a dreptei reale R se poate scrie ca o reuiue de itervale deschise cele stabilite mai sus rămâ valabile dacă cosiderăm fucţia f defiită pe o submulţime deschisă a lui R Luâd î cosiderare î Defiiţia limite laterale î puctul x se obţi derivatele laterale î x : α

4 73 4) f ( x ) = lim r( x) f ( x + ) = lim r( x) x x x x Astfel petru o fucţie f : [a b] R dacă e referim la derivabilitatea pe [a b] î puctul a avem î vedere f ( a+ ) iar î puctul b derivata f ( b ) Defiiţia Să presupuem că fucţia f este derivabilă pe o veciătate a puctului x fie f derivata sa Dacă fucţia f este derivabilă î puctul x spuem că fucţia f este de două ori derivabilă î x f ( x ) este dată pri: f x f x (5) f ( x ) = lim ( ) x x x Pri recureţă se defieşte derivabilitatea şi derivata de u ordi oarecare al fucţiei f îtr-u puct x respectiv pe o submulţime deschisă a dreptei reale Derivata de ordi a fucţiei f se otează pri f sau pri d f Cu această dx ( ) f = f otaţie avem Exemplul Fie fucţia f (x) = si x x R şi x fixat î R x x+ x f ( x ) x x = lim si si si cos = = x x x x lim cos x x x Cum x π a fost ales arbitrar î R rezultă că f ( x) = cosx = si x+ La fel se arată că ( cosx) = si x Deci: = π f ( x) cosx = six = si x + Pri iducţie se arată că π f ( x ) = si x + Cosiderăm cuoscute derivatele fucţiilor elemetare şi regulile de derivare Legat de acestea vom prezeta umai formula lui Leibiz de derivare de ori a uui produs de două fucţii Dacă u şi v sut două fucţii derivabile de ori pe mulţimea deschisă D R atuci fucţia u v este derivabilă de ori pe D şi are loc formula: (6) ( ) ( ) ( u v u v C u ) k v C u ( k ) v ( k ) u ( = + + K+ + K + ) v Această formulă se demostrează pri iducţie după Fie f o fucţie defiită pe u iterval I R şi x I

5 74 Defiiţia 3 Se spue că fucţia f este difereţiabilă î x dacă există u umăr A R şi o fucţie α : I R cotiuă î x şi ulă î x astfel îcât petru orice x I să avem: (7) f( x) f( x) = A( x) + α ( x) ( x) Dacă fucţia f este difereţiabilă î fiecare puct di I spuem că este difereţiabilă pe itervalul I Observaţia Eseţial î Defiiţia 3 este ca relaţia (7) să fie satisfăcută petru x ditr-o veciătate a lui x şi lim α ( x) = x x Teorema O fucţie f : I R este difereţiabilă îtr-u puct x I dacă şi umai dacă este derivabilă î x Demostraţie: Presupuem că f este difereţiabilă î x Petru x x di (7) se obţie: f( x) f( x) (8) = A+ α ( x) x Făcâd pe x să tidă la x şi ţiâd seama că lim α ( x) = rezultă că f este x x derivabilă î x şi f ( x ) = A Dacă f este derivabilă î x cosiderâd A = f ( x ) şi f( x) f( x) f ( x ) petru x x (9) α( x) = x petru x = x codiţiile di Defiiţia 3 sut satisfăcute Să otăm cu h = x creşterea de la x la x a variabilei idepedete a fucţiei f atuci relaţia (7) se mai poate scrie sub forma: () f( x + h) f( x) = [ f ( x) + α ( x + h) ] h Cum lim α ( x + h) = rezultă că petru h suficiet de mic putem scrie relaţia: h () f( x + h) f( x) f ( x) h ce aproximează creşterea fucţiei cu produsul f ( x ) h care este o fucţie liiară Observăm că produsul f ( x ) h are ses petru orice h R dar umai petru h suficiet de mic realizează o aproximare a creşterii fucţiei f corespuzătoare creşterii h a argumetului Defiiţia 4 Fucţia liiară df( x): R R defiită pri: () df( x)( h) = f ( x) h se umeşte difereţiala fucţiei f î x şi se otează cu df( x )

6 75 Observăm că î timp ce f ( x ) este u umăr real df ( x ) este o fucţie liiară Dacă cosiderăm fucţia idetică ϕ(x) = x atuci ϕ ( x) = şi deci dϕ( x )( h) = h Fie acum x = x variabil atuci obţiem dx(h) = h deci putem scrie dx = h Îlocuid pe h cu dx î () şi cosiderâd x = x variabil î I obţiem că difereţiala fucţiei f îtr-u puct arbitrar x este dată pri: (3) df( x)( dx) = f ( x) dx sau omiţâd pe x şi dx ca argumete obţiem că difereţiala fucţiei f se poate scrie sub forma df = f dx Exemplul Petru fucţiile elemetare si x e x arctg x avem: x x d si x = cos x dx de = e dx darctgx ( ) = + x dx Observaţia 3 Regulile de difereţiere se deduc ţiâd seama de relaţia (3) di regulile de derivare Astfel dacă două fucţii u v : I R sut difereţiabile pe I şi α R atuci şi fucţiile u + v u - v α u u v sut difereţiabile pe I şi au loc relaţiile: d( u + v) = du + dv; d( u v) = du dv; (4) d( α u) = α du; d( u v) = v du + u dv Deasemeea u v este difereţiabilă pe I - Z g ude Zg = { x I: g( x) = } şi (5) d u vdu udv = v v Teorema 3 Fie u: I J şi f: J R două fucţii derivabile (difereţiabile) î x I u = u x J atuci fucţia compusă h: I R h = f o u este derivabilă (difereţiabilă) î puctul x şi mai mult avem: (6) h ( x) = f ( u ( x) ) dh( x) = f ( u) du( x) = f ( u) u ( x) dx Dacă cosiderăm x = x arbitrar î I şi u = u puctul corespuzător di J lui x pri fucţia u atuci (6) devie: (6 ) h ( x) = f ( u) u ( x) ; dh( x) = f ( u) u ( x) dx respectiv î Defiiţia 5 Fie fucţia f: I R I = (a b) a < b şi x I Spuem că fucţia f este difereţiabilă de două ori î x dacă este derivabilă îtr-o veciătate V a lui x şi dacă derivata f este difereţiabilă î x Difereţiala de ordiul doi a fucţiei f î x se oteză cu d f( x ) şi se defieşte pri: (7) d f( x) = f ( x) dx

7 76 Î mod aalog pri recureţă se defieşte difereţiabilitatea şi difereţiala de ordiul a fucţiei f î x Avem: ( (8) ) d f x = f ( x) dx adică d f( x ) este u poliom de gradul î dx Aplicaţiile derivatei şi difereţialei sut umeroase acestea poresc de la faptul că diferite mărimi fizice ecoomice etc se exprimă ca derivate sau difreţiale ale uor fucţii Ditre acestea amitim: viteza şi acceleraţia î mişcarea rectiliie sau ughiulară debitul uui lichid itesitatea curetului electric desitatea uei repartiţii liiare de masă etc Care este legătura ditre fucţii derivabile şi fucţii difereţiale? Scrieţi care sut regulile de difereţiere petru fucţiile u + v u vuv v u 6 FORMULELE LUI TAYLOR ŞI MAC-LAURIN PENTRU FUNCŢII DE O VARIABILĂ REALĂ SERII TAYLOR Fie f : I R R o fucţie de ori derivabilă îtr-u puct a I Aceasta îseamă că primele - derivate ale fucţiei f există pe o veciătate V a puctului a şi că derivata de ordiul - este derivabilă î puctul a Petru simplificarea scrierii presupuem că V coicide cu itervalul deschis I Atuci petru fiecare x I putem să defiim poliomul: x a x a () ( T x f a f a ) = + + K + f ( a)!! care se umeşte poliomul lui Taylor de gradul asociat fucţiei f î puctul a Să cosiderăm fucţia: () R( x) = f( x) T( x) atuci avem formula: (3) fx = T( x) + R( x) care dezvoltat se scrie sub forma: x a x a (4) ( fx fa f a = + + K + f ) ( a) + R ( x)!! Relaţia (3) ude T ( x) este defiit de relaţia () sau relaţia (4) poartă umele de formula lui Taylor de ordiul asociată fucţiei f î puctul a Fucţia R ( x) defiită de relaţia () se umeşte restul de ordiul al formulei lui Taylor (3) sau (4)

8 77 Deoarece fucţiile f şi T ( x) au derivate pâă la ordiul î puctul a rezultă că şi fucţia rest R ( x) este derivabilă şi deci cotiuă î puctul a Mai mult R( a) = f( a) T( a) = deci lim R( x) = R( a) = De aici deducem x a că petru x suficiet de aproape de a restul R ( x) poate fi făcut oricât de mic adică petru x suficiet de aproape de a fucţia f(x) poate fi aproximată pri poliomul lui Taylor T ( x) Petru o evaluare a erorii făcute î această aproximare este util să găsim exprimări adecvate petru restul R ( x) Vom presupue î cele ce urmează că fucţia f este derivabilă de ( + ) ori pe itervalul I care se poate reduce la o veciătate a puctului a şi vom determia o costată k astfel îcât: (5) R ( x) k( x a) p = ude p N Î acest caz formula lui Taylor (4) ia forma: x a x a (6) ( fx fa f a f ) ( a) k( x a) p = + + K + +!! Să cosiderăm fucţia ϕ: I R defiită pri: x t x t (7) ϕ ( t f t f t f ) ( t) k( x t) p = + + K + +!! Observăm că fucţia ϕ(t) este derivabilă cotiuă şi ϕ(x) = f(x) ϕ(a) = f(x) deci ϕ(x) = ϕ(a) Fiid îdepliite codiţiile teoremei lui Rolle rezultă că există ξ cupris ître a şi x astfel că f ( ξ) = Calculâd f ( ξ ) obţiem relaţia: ( x ξ) ( ) f ( ξ) kp( x ξ) (8) + p =! de ude rezultă: p+ ( x ξ) ( + ) (9) k = f ( ξ) p! Aşadar restul R ( x) se poate exprima sub forma: p+ ( x ξ) () p ( + ) R x = a f ( ξ) p! cu ξ situat ître x şi a Luâd p = se obţie forma lui Cauchy a restului formulei lui Taylor: ( ξ) ( a) () ( + ) R x = f ( ξ)! Petru p = + se obţie forma cuoscută sub umele de restul lui Lagrage: Commet:

9 78 + ( a) () ( + ) R x = f ( ξ ) ( +! ) care este des utilizată î aplicaţii Deoarece ξ este cupris ître a şi x există u umăr θ care depide de a x şi p θ [ ] astfel că ξ = a + θ(x-a) Să otăm h = x - a atuci ξ = a + θh iar formula lui Taylor de ordiul devie: (3) + h h fa h fa f a f a h + + = + + K + + f (a + θh)!! ( + )! Remarcăm că deoarece ξ depide de a x şi p cel di restul lui Lagrage este diferit de cel di restul lui Cauchy Dacă a = I atuci di formula lui Taylor se obţie formula cuoscută sub umele Mac-Lauri: + x x ( (4) ) x ( + f x = f + f + K + f ( ) + f ) ( ξ )!! ( + )! cu ξ cupris ître şi x Petru = folosid formula de mai sus sub forma lui Lagrage se obţie cuoscuta formulă a creşterilor fiite a lui Lagrage: ( a) (5) fx = fa + f ( ξ )! Ca o aplicaţie a formulei lui Taylor să determiăm puctele de extrem ale uei fucţii de o variabilă utilizâd derivatele de ordi superior Fie f: I R astfel îcât ( f a = f a = K= f ) ( a) ( ) = şi f ( a ) ude a IAplicâd formula lui Taylor de ordiul - obţiem relaţia: (6) ( x a f x f a f ) = ξ! ude ξ este cupris ître x şi a Puctul a este u puct de extrem al fucţiei f dacă f(x) - f(a) păstreză sem costat pe o veciătate a lui a Deoarece f este cotiuă î puctul a fiid derivabilă î acest puct rezultă că există o veciătate a lui a V a pe care f păstrează sem costat şi ( ) aume semul lui f ( a ) Să cosiderăm cazurile: ( ) ) este u umăr par şi f ( a ) > atuci f(x) - f(a) > petru orice x Va deci a este u puct de miim local al fucţiei f; ) este u umăr par şi f ( a ) < atuci f(x) - f(a) < petru orice x Va ceea ce arată că a este u puct de maxim local al fucţiei f;

10 79 3) este u umăr impar atuci ( ) şi deci şi f(x) - f(a) schimbă semul după cum x se află la stâga sau la dreapta lui a ceea ce arată că a u poate fi u puct de extrem local al fucţiei f a Exemplul Fie fucţia f: ( π) R f(x) = si x ( + cos x) Observăm că f este derivabilă de ori şi f ( x) = cos x+ cos f ( x) = implică π 5π x = x = x3 = π f ( x) = 4si xcossi x; di f ( x) < rezultă că 3 3 x este u puct maxim local al fucţiei f f ( x ) > implică x este puct de miim local al fucţiei f; cum f ( x3) = şi f ( x3) rezultă că x = π este u puct de iflexiue al fucţiei f Formula lui Taylor are aplicaţii multiple sub forma: (7) f( x) T ( x) ca formulă de aproximare a valorilor fucţiei f pri cele ale poliomului Taylor asociat O evaluare a restului R ( x) permite evaluarea erorii făcute pri aproximare Exemplul Să calculăm aproximativ si 46 Cosiderăm a = 45 şi = Avem: si 46 si 45 + π π o o cos45 si Obţiem si O aproximare mai buă se obţie cosiderâd > Fie I u iterval deschis al dreptei reale a I şi f: I R o fuctie idefiit derivabilă î puctul a Atuci putem cosidera seria de puteri: x a x a (8) fa f a + + K+ f ( a) + K!! care se umeşte seria Taylor asociată fucţiei f î puctul a Să otăm cu R raza de covergeţă a seriei (8) R [ ] Deasemeea seriei (8) îi corespude o mulţime de covergeţă C care coţie itervalul de covergeţă (a - R a + R) şi deci iclusiv puctul a Să otăm cu T suma acestei serii şi cu T sumele ei parţiale Observăm că suma seriei (8) fucţia T este determiată de valorile f ( ) ( a ) deci de valorile fucţiei f îtr-o veciătate a puctului a î acelaşi timp mulţimea de covergeţă C a seriei (8) u este î mod obligatoriu iclusă î I Ţiâd seama că sumele parţiale ale seriei (8) sut polioamele lui Taylor asociate fucţiei f î puctul a putem să scriem relaţiile: (9) T(x) = T( x) + ρ ( x) x C ;

11 8 () f( x) = T( x) + R( x) x Va ude ρ ( x) reprezită resturile seriei lui Taylor (8) iar R ( x) reprezită resturile formulei lui Taylor (3) Î exprimarea lui Lagrage R ( x) sut date de () Ţiâd seama de exprimările lui T(x) şi f(x) di (9) respectiv () se pue îtrebarea dacă petru valori x I C f(x) = T(x) Vom arăta pritr-u exemplu că acest fapt u se îtâmplă îtotdeaua Exemplul 3 Fie fucţia f: R R f( x) = e x pt x pt x = Fucţia f este cotiuă î origie are derivate de orice ordi î origie şi acestea sut ule petru orice ( f ( ) ( ) = ) Seria Taylor asociată lui f este seria ulă avâd toţi coeficieţii uli şi deci are şi suma care este diferită de valorile fucţiei petru orice x Răspusul la îtrebarea pusă este dat de teorema următoare Teorema Seria Taylor a fucţiei f: I R R î puctul a este covergetă îtr-u puct x C I către valoarea f(x) dacă şi umai dacă valorile î x ale resturilor { R ( x) } ale formulei lui Taylor formează u şir coverget către lim T ( x) = lim f( x) R ( x) = f( x) Î codiţiile Teoremei putem scrie: a a a () f x f a f a = + + f ( a) + K+ f ( a) + K!!! Egalitatea de mai sus se umeşte formula de dezvoltare a fucţiei f î serie Taylor î veciătatea puctului a Dacă a = I atuci seria di () ia forma: x x x () f x f f f f = ( ) + ( ) + ( ) + K+ ( ) + K!!! şi spuem că fucţia f(x) se dezvoltă î serie Mac-Lauri î veciătatea origiii (x V ) Exemplul 4 Fie fucţia f( x) = e x f: R R f C x (R) şi f ( x ) = e deci f ( ) = oricare ar fi N Formula lui Mac-Lauri petru fucţia expoeţială cu restul sub forma lui Lagrage are forma: Îtr-adevăr î acest caz

12 8 + x x x x x (3) e = c K + + e x!!! ( + )! ude c x se găseşte ître şi x şi evidet depide de x Mai mult oricare ar fi x real fixat are loc: + c x (4) lim R ( x) = lim e x = ( + )! Raza de covergeţă a seriei Mac-Lauri a fucţiei expoeţiale: x (5) =! este R = lim +! =! Di cele de mai sus rezultă că petru orice x C R = R R = R fucţia expoeţială f( x) = e x admite următoarea dezvoltare ca serie de puteri (Mac-Lauri): x x x x (6) e = K+ + K!!! Relaţia (6) poate fi cosiderată ca relaţie de defiiţie a fucţiei expoeţiale Mai mult î aaliza complexă se demostrează că relaţia rămâe adevărată petru orice umăr complex z di C Dacă defiim fucţia expoeţială pri relaţia (6) se regăsesc toate proprietăţile cuoscute ale fucţiei expoeţiale Cosiderâd dezvoltările Mac-Lauri ale fucţiilor si x cos x şi scriid ix ix după (6) dezvoltările corespuzătoare fucţiilor e e x R vom obţie: x x x (7) si x = + + K+ ( ) + K; 3! 5! ( + )! 4 x x (8) cosx x = + + K+ + K;! 4!! 3 4 ix ix x ix x (9) e = + + K;!! 3! 4! 3 4 ix ix x ix x (3) e = + + K!! 3! 4! de ude rezultă relaţiile: ix ix ix ix e + e e e (3) cosx = si x = i ce se pot costitui î relaţii de defiiţie ale fucţiilor cos x şi si x De asemeea rezultă relaţia: ix (3) e = cos x + i si x

13 8 care poartă umele de formula lui Euler şi are o importaţă deosebită î diferite calcule Di dezvoltarea î serie a fucţiei expoeţiale (6) se obţi următoarele dezvoltări î serie petru fucţiile x x shx = ( e e ) (sius hiperbolic) respectiv chx ( e x = + e ) (cosius hiperbolic): (33) x x x shx = x K+ + K; 3! 5! ( + )! (34) 4 x x x chx = K+ + K! 4!! ce pot fi cosiderate şi ca relaţii de defiiţie a acestor fucţii Pe baza acestor relaţii de defiiţie se pot demostra proprietăţile acestor fucţii ditre care amitim: (35) ch x sh x = Exemplul 5 Fie fucţia f(x) = l( + x) f: (- + ) R Atuci avem: f ( x) = f ( ) = ; + x f ( x) = f ( ) = ; ( + ) x LLLLLLLLLLLL ( ) ( )! ( = ) = ( ) f x f ( )! ( + x) Astfel seria Mac-Lauri asociată fucţiei f este: 3 4 x x x (36) x K x + K 3 4 Raza de covergeţă a acestei serii este: a + (37) R = lim = lim = a+ Petru x = - seria (36) este divergetă iar petru x = seria este covergetă deci mulţimea de covergeţă a seriei este C = (- ] Restul de ordiul al formulei lui Mac-Lauri sub forma lui Lagrage este: + + x ( + ) x R ( x) = f ( c ( ) x ) = +! + + cx (38) şi:

14 83 + x lim R ( x) = lim = + + cx petru orice x (- ) Aceasta arată că suma seriei (36) este fucţia f(x) = l( + x) deci seria (36) reprezită dezvoltarea î serie de puteri a fucţiei f(x) = l( + x) adică avem ( ) l( + x) = x x < = Exemplul 6 Să se dezvolte î serie Mac-Lauri fucţia f: (- + ) R f( x) = ( + x) α α R α Fucţia admite derivate de orice ordi î origie (x = ) şi: (39) f ( x ) = ( ) ( + )( + x) α αα K α ( ) (4) f ( ) = αα ( ) K ( α + ) Seria Mac-Lauri corespuzătoare este: x x αα ( ) K( α + ) (4) + α + α( α ) + K+ x + K!!! Raza de covergeţă a seriei de puteri (4) este iar itervalul de covergeţă este (- ) Utilizâd restul formulei lui Taylor R ( x) sub forma lui Cauchy () se arată că acesta tide la petru orice x (- ) şi deci seria (4) coverge către fucţia f( x) = ( + x) α Seria (4) se umeşte seria biomială Petru α N se obţie dezvoltarea biomului lui Newto Scrieţi poliomul lui Taylor de ordiul patru ataşat fucţiei f î puctul x = ude f : I R f este derivabilă de patru ori pe I şi x it I Scrieţi formula lui Mac Lauri de ordiul cici petru fucţiile si cos sh ch (+x) m cu m R respectiv de ordiul cici 63 DERIVATE PARŢIALE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE MAI MULTE VARIABILE REALE Vom cosidera mai îtâi cazul fucţiilor de două variabile reale Fie fx : R R şi ( x y) ItX Petru simplificarea scrierii vom cosidera î cele ce urmează fucţii defiite pe mulţimi deschise formate umai di pucte iterioare

15 84 Defiiţia a) Spuem că fucţia f este derivabilă parţial î raport cu variabila x î puctul ( x y ) dacă: fxy ( ) fx ( y) () lim x x x există şi este fiită Limita îsăşi se umeşte derivata parţială î raport cu f variabila x a fucţiei f î puctul ( x y) şi se otează cu x x y sau fx x y ; b) Spuem că fucţia f este derivabilă parţial î raport î raport cu variabila y î puctul ( x y) dacă: fx ( y) fx ( y) () lim y y y y există şi este fiită Limita îsăşi se umeşte derivata parţială a fucţiei f î f raport cu variabila y î puctul ( x y) şi se otează pri y x y sau fy x y Dacă f este derivabilă parţial î fiecare puct al uei mulţimi spuem că fucţia f este derivabilă parţial pe mulţimea respectivă Di defiiţia derivabilităţii parţiale rezultă că atuci câd se derivează parţial î raport cu o variabilă celelalte variabile se cosideră costate Cu această observaţie regulile de la derivarea fucţiilor de o variabilă se traspu la derivarea parţială a fucţiilor de mai multe variabile Exemplul Să se calculeze derivatele parţiale ale fucţiei: f: R { ( )} R f( x y) = l( x + y ) Avem: f x f y = ; = x x + y y x + y Propoziţia a) Dacă fucţia fx : R R este derivabilă parţial îtr-u puct sau pe o mulţime atuci fucţia f este cotiuă parţial î acel puct respectiv este cotiuă parţial pe acea mulţime

16 85 b) Dacă fucţia f este derivabilă parţial pe o veciătate a uui puct ( x y ) şi derivatele parţiale f f sut mărgiite pe acea veciătate atuci fucţia f x y este cotiuă (global) î puctul ( x y ) Demostraţia afirmaţiei a) rezultă imediat di defiiţie iar petru a arăta afirmaţia b) se aplică cuoscuta teoremă a lui Lagrage pe u iterval ( x x) ( y y) < dacă x < x respectiv y y şi Observaţia Cele spuse despre derivabilitatea parţială a fucţiilor de două variabile rămâ valabile petru fucţii de variabile Astfel dacă cosiderăm fucţia fx : R R X fiid o mulţime deschisă di R şi ( K ) a = a a a X atuci petru fucţia f pot fi defiite derivate parţiale de ordiul îtâi î raport cu variabilele xk k = î puctul a: f fa ( ak xk ak+ ak) fa (3) ( a) = lim xk x a xk ak k k Observaţia Operaţiile algebrice (cu ses) asupra fucţiilor derivabile parţial au ca rezultat fucţii derivabile parţial Exemplul Derivatele parţiale ale fucţiei: f xk f: R { } R f( x) = l xi sut i x = = k xi i= Să cosiderăm o fucţie fx : R R despre care presupuem că este derivabilă parţial î raport cu variabilele x şi y pe mulţimea deschisă X Atuci derivatele parţiale f x şi f sut la râdul lor fucţii de două variabile defiite y pe X şi pot fi derivabile parţial la râdul lor Defiiţia 3 Dacă derivatele parţiale ale fucţiei f pe mulţimea X sut la râdul lor derivabile parţial pe X î raport cu x şi y atuci derivatele lor parţiale se umesc derivate parţiale de ordiul doi ale fucţiei f şi se otează astfel:

17 86 f f = ( f xx ) = x x x f f = ( fxy ) = y x y x (4) f f = ( fyx ) = x y x y f f = ( fyy ) = y y y Derivatele parţiale f xy şi f yx umite şi derivate parţiale mixte î geeral u sut egale Următoarea teoremă stabileşte codiţii suficiete ca derivatele parţiale mixte să fie egale Teorema (Criteriul lui Schwartz) Dacă fucţia f(x y) are derivate parţiale mixte de ordiul doi f xy f yx îtr-o veciătate a uui puct (a b) şi dacă acestea sut cotiue î puctul (a b) atuci ele sut egale î puctul (a b) adică: (5) f xy (a b) = f yx (a b) Demostraţie: Fie ( xy ) V( ab ) şi x y ( ay ) ( xy ) a y b Cosiderăm fucţia: y (6) η fxy ( ) fxb ( ) fay ( ) + fab ( ) α( ξ η) Rxy ( ) = ( a)( y b) b ( x b) ( a b) defiită pe veciătatea lui (a b) V ( ab ) mai puţi puctul (a b) şi fucţia: O a ξ x x (7) fty ( ) ftb ( ) ϕ( t) = y b defiită pe itervalul [a x] respectiv [x a] după cum a < x sau x < a Observăm că: (8) fxy ( ) fxb ( ) fay ( ) fab ( ) ϕ( x) = ϕ( a) = y b y b de ude rezultă: (9) ϕ( x) ϕ( a) Rxy ( ) = a Aplicâd teorema creşterilor fiite a lui Lagrage rezultă că există ξ situat ître a şi x astfel îcât:

18 87 ϕ( x) ϕ( a) () = ϕ ( ξ) a de ude rezultă: fx( y) fx( b) () Rxy ( ) = ξ ξ y b u = f x u este derivabilă pe [b y] dacă b < y respectiv pe [y b] dacă y < b deoarece f xy există pe V Aplicâd di ou teorema creşterilor fiite pe acest iterval rezultă că există η cupris ître b şi y astfel îcât: ϕ( y) ϕ( b) () = ϕ ( η) y b de ude rezultă: fx ( ξ y) fx ( ξ b) (3) = fxy ( ξη ) y b Am obţiut astfel că: (4) R(x y) = f xy (ξ η) Fucţia ϕ ( ξ ) Pritr-u raţioamet aalog folosid fucţia: fxt ( ) fat ( ) (5) Ψ( t) = a se deduce că: (6) R(x y) = f yx (ξ η ) cu ξ cupris ître a şi x şi η cupris ître b şi y Fie acum u şir { x y } V( ab ) coverget către (a b) cu x a şi y b Di cele de mai sus rezultă că există ξ ξ cuprişi ître a şi x şi η η cuprişi ître b şi y astfel îcât: (7) Rxy ( ) = fxy ( ξ η ) = fyx ( ξ η ) Di covergeţa ( x y) ( a b) ( ξ η) ( ξ ) η rezultă că deasemeea şirurile coverg la (a b) cum derivatele parţiale f xy şi f yx sut cotiue rezultă că f xy ( a b) = f yx ( a b) şi teorema este complet demostrată Corolarul Dacă derivatele mixte f xy şi f yx există şi sut cotiue pe o mulţime atuci ele sut egale pe mulţimea respectivă Observaţia 3 Afirmaţia Teoremei rămâe adevărată î codiţii mai largi şi aume este suficiet ca cel puţi ua di derivatele parţiale de ordiul doi să fie cotiuă î puctul (a b)

19 88 Observaţia 4 Afirmaţia Teoremei rămâe adevărată î codiţii similare petru derivate parţiale mixte de u ordi oarecare şi petru fucţii de mai multe variabile decât doi k De exemplu petru o fucţie fx : R R f = f( x x x k ) derivabilă de două ori pe X avem k f derivate parţiale de ordiul doi ij = kditre xi xj acestea k k = k( k ) sut mixte dacă acestea sut cotiue doar kk sut disticte Observaţia 5 Teorema furizează o codiţie suficietă ca derivatele mixte îtru puct să fie egale Ea u este şi ecesară Se poate arăta că petru fucţia: x y l + petru y x fxy ( ) = R y petru y = x R fxy ( ) = fyx ( ) şi u sut satisfăcute codiţiile di Criteriul lui Schwartz Exemplul 3 Vom prezeta u exemplu ecoomic î care itervi derivate parţiale Să presupuem că pe o piaţă de desfacere la cocureţă apar mărfuri de cosum m m m care se vâd la preţurile x x x Pe această piaţă cumpără la u momet dat u aumit umăr de cosumatori cu gusturi preferiţe şi veituri date Î acest caz catitatea Y i di marfa m i cerută pe piaţă este fucţie de preţurile tuturor mărfurilor de pe piaţă adică: Yi = fi( x x x) Fucţiile f i le presupuem derivabile parţial î raport cu toate variabilele x i Variaţia cererii uui produs câd u aumit preţ variază iar celelalte rămâ costate este dată de derivatele parţiale fi ij = x j Să presupuem i = j fixat şi că preţul x i al produsului p i creşte atuci derivata parţială fi va fi egativă şi va idica viteza cu care scade cererea di xi f k produsul p i corespuzătoare creşterii preţului x i Derivata mixtă cu k i xi xj şi j fixaţi pe care o presupuem cotiuă va idica viteza de variaţie a cererii di produsul p k atuci câd preţurile produselor p i şi p j variază cu o aumită viteză îtr-u ses sau altul (creştere scădere) O iformaţie mai completă o furizează elasticitatea parţială a cererii petru produsul p i î raport cu preţul său x i dată pri:

20 89 xi fi x x x F( fi xi ) = f x Fie fx : R R fixat î X i i ude X este o mulţime deschisă şi ( x y ) u puct dacă există două umere reale λ şi µ şi o fucţie ω: X R cotiuă î puctul Defiiţia Se spue că fucţia f este difereţiabilă î puctul ( x y ) ( x y ) şi ulă î acest puct astfel îcât petru orice (x y) ditr-o veciătate V( x y ) x y să fie satisfăcută egalitatea: fxy ( ) fx ( y) = (8) = λ ( x) + µ ( y y) + ω( x y) ( x) + ( y y) Dacă fucţia f este difereţiabilă î fiecare puct al uei mulţimi deschise spuem că fucţia f este o difereţiabilă pe mulţimea respectivă f( x y) = fxy ( ) fx ( y) se umeşte creşterea fucţiei î puctul a puctului ( x y) corespuzătoare creşterii variabilelor x = x x şi y y y d = ( x ) + ( y y ) reprezită distaţa ditre puctele (x y) şi ( x y ) = Cu aceste otaţii (8) devie: (9) f( x y) = λ x+ µ y+ ω d Observaţia 6 Eseţial î defiiţia de mai sus este faptul că: () lim ω ( xy ) = deoarece dacă ω(x y) verifică egalitatea (8) petru i x y y ( xy ) V \ ( x y ) ea poate fi prelugită î ( x y ) x y î afara veciătăţii pri relaţia de defiiţie (8) pri cotiuitate iar Lema Dacă fucţia ω: X R are limita î puctul ( x y) două fucţii ω ω :X R avâd limita î puctul ( x y ) verificată egalitatea: () ω( x y) d = ω( x y)( y) + ω( x y)( y y ) petru orice (x y) X Reciproc dacă fucţiile ω ω :X R au limitele ule î ( x y) o fucţie ω: X R avâd limita ulă î ( x y ) atuci există şi astfel este atuci există şi care verifică egalitatea ()

21 9

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală

Διαβάστε περισσότερα

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011 Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila

Διαβάστε περισσότερα

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017 Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.

Διαβάστε περισσότερα

Inegalitati. I. Monotonia functiilor

Inegalitati. I. Monotonia functiilor Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite

Διαβάστε περισσότερα

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se

Διαβάστε περισσότερα

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii. Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode

Διαβάστε περισσότερα

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii. 5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI 122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme

Διαβάστε περισσότερα

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.

Διαβάστε περισσότερα

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie

Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior 4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...

1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii... Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,

Διαβάστε περισσότερα

2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE

2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn. 86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE

ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8. ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8.. Şiruri de variabile aleatoare Î teoria probabilităţilor şi î aplicaţiile ei o problemă importată o costituie studiul şirurilor de variabile aleatoare,

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs

Διαβάστε περισσότερα

Analiza bivariata a datelor

Analiza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi

Διαβάστε περισσότερα

Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial

Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul difereţial MATHEMATICAL ANALYSIS Differetial calculus The preset book is the first part of the cours of Mathematical Aalysis give by the author for may years

Διαβάστε περισσότερα

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +

Διαβάστε περισσότερα

Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ

Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie

CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =

Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n = Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre

Διαβάστε περισσότερα

5. PROBABILITĂŢI Evenimente

5. PROBABILITĂŢI Evenimente 5 PROBABILITĂŢI Teoria probabilităţilor este u domeiu importat al matematicii, apărut di activităţi şi ecesităţi practice ale oameilor sau di observaţii directe asupra aturii Î viaţa de zi cu zi se îtâlesc

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1 - rezolvari mate MT1

Varianta 1 - rezolvari mate MT1 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert

Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert 3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert Spaţiile etrice au fost itroduse la îceputul secolului XX de ateaticiaul fracez M Fréchet şi costituie cadrul atural de prezetare a pricipiului cotracţiei, care

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008 Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Cap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D

Cap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate. Mircea Olteanu

ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate. Mircea Olteanu @ ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiui teoretice şi probleme rezolvate Mircea Olteau Cupris Serii de umere 7. Noţiui teoretice......................... 7. Serii cu termei pozitivi..................... 5.3 Serii

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 7 PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICAŢII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE George-Flori Şerba 1) Î această lecţie vom prezeta rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

J F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis

J F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis 3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert

Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii ormate. Spaţii Hilbert Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile

Διαβάστε περισσότερα

4. Integrale improprii cu parametru real

4. Integrale improprii cu parametru real 4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

EXAMENE ŞI CONCURSURI

EXAMENE ŞI CONCURSURI 8 Examee şi Cocursuri EXAMENE ŞI CONCURSURI A IV-A EDIŢIE A CONCURSULUI FACULTĂŢII DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ A UNIVERSITĂŢII,,OVIDIUS DIN CONSTANŢA prezetare de Laureţiu Hometcovshi ) şi Diaa Savi )

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.

CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora. Cap PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METODE GENERALE DE CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î aces paragraf vom reamii oţiuea de primiivă, proprieăţile primiivelor şi meodele geerale de calcul ale acesora Defiiţia

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a IV-a SUBIECTUL Aflaţi difereţa ditre umerele aturale [( 4 a : ) :1 5] 4 6 = 4 [( b 7 ): 5 8] 8 5 = 7 a şi b ştiid că ele verifică egalităţile: Gheorghe Loboţ Suma a două

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV

CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV Prezetarea uor elemete de bază di teoria mulţimilor, teoria relaţiilor biare, fucţii, sisteme de umere ş. a. presupue cuoscute elemete de logică matematică la ivelul maualelor

Διαβάστε περισσότερα

Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].

Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ]. Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1

Varianta 1 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 1: FUNCȚII LINIARE. Obiective:

TEMA 1: FUNCȚII LINIARE. Obiective: TEMA : FUNCȚII LINIARE TEMA : FUNCȚII LINIARE Obiective: Defiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale fucţiei, ecuaţiei şi iecuaţiei de gradul Cuoaşterea uor elemete de geometrie aalitică a dreptei

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR

DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR IOANA MONICA MAŞCA Prezetăm mai multe procedee de calcul al puterilor matricelor ilustrate pri probleme cu soluţii cometate. Putem realiza selecţii de metode şi/sau exemple

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A

Clasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A 1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)

Διαβάστε περισσότερα

Curs 12. Intervale de încredere Intervale de încredere pentru medie în cazul σ cunoscut

Curs 12. Intervale de încredere Intervale de încredere pentru medie în cazul σ cunoscut Curs Itervale de îcredere Am văzut cum poate fi estimat u parametru folosid datele furizate de u eşatio Parametrul di populaţie u este, î geeral, egal cu statistica calculată cu ajutorul eşatioului Ne

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p

Varianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări

Διαβάστε περισσότερα

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce

Διαβάστε περισσότερα

sistemelor de algebrice liniarel

sistemelor de algebrice liniarel Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Siruri de numere reale

Siruri de numere reale Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

CAP VII ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ

CAP VII ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ CAP VII ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ.Eveimet aleator. Frecveţa relativă a uui eveimet aleator. Probabilitatea uui eveimet. Obiectivul teoriei probabilităţilor. Noţiuea fudametală

Διαβάστε περισσότερα

CULEGERE DE PROBLEME

CULEGERE DE PROBLEME Colecţia "LICEU CULEGERE DE PROBLEME petru eameul de admitere la Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii, Facultatea de Arhitectură Descrierea CIP a Bibliotecii

Διαβάστε περισσότερα

Algebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen.

Algebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen. Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL

Διαβάστε περισσότερα

METODE NUMERICE. Note de curs

METODE NUMERICE. Note de curs MARILENA POPA ROMULUS MILITARU METODE NUMERICE Note de curs . REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE Itroducere. Rezolvarea sistemelor algebrice liiare şi operaţiile de calcul matriceal (evaluarea

Διαβάστε περισσότερα