Mate+K. Koadernoak. Ikasplay, S.L.

Transcript

1 Mate+K Koadernoak Ikasplay, S.L.

2 AURKIBIDEA Aurkibidea 1. ZENBAKI ARRUNTAK ZENBAKI OSOAK ZATIGARRITASUNA ZENBAKI HAMARTARRAK ZATIKIAK PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK NEURKETAK HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK IRUDIEN ANTZEKOTASUNA: TALESEN TEOREMA PERIMETROAK ETA AZALERA FUNTZIOAK ETA GRAFIKOAK ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA... 18

3

4 1. ZENBAKI ARRUNTAK 1. ZENBAKI ARRUNTAK Zenbaki arrunten arteko eragiketak Zenbakien esanahiak txikitatik erakutsi dizkigute, eta guztiok dakigu batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa errazak egiten. Baina ikus dezagun eragiketa horiek eguneroko bizitzan nola erabil ditzakegun. Zenbaki arrunten multzoa honela adierazten da: N = { 1,, 3, 4, 5, } Adibidez, eman dezagun Donejakue Bidea egin nahi dugula eta kostaldetik doan bideko distantzia batzuk kalkulatu nahi ditugula. Donostiatik Portugaleterako ibilbidea dugu hemen. Jo dezagun Gernika dela abiapuntua eta handik beste lau udalerritara zer distantzia dagoen kalkulatu nahi dugula. Hauek dira distantziak: D O N E J A K U E B I D E A Gernika - abiapuntua. Gernika - Portugalete: Gernika - Bilbo: Gernika - Zarautz: Gernika - Donostia: 45 Km 34 Km 77 Km 93 Km 3

5 1. ZENBAKI ARRUNTAK 45km 34Km 77Km 93Km Portugalete Bilbo Gernika Zarautz Donostia 1.1 Batuketa Distantziei buruz adierazitako datuekin, Donostiatik Bilborako distantzia kalkulatuko dugu. Horretarako, Donostiatik Gernikara eta Gernikatik Bilbora zer distantzia dagoen kalkulatu behar dugu. Gernikatik Bilbora, 34 km. Eta Gernikatik Donostiara, 93 km. Bilbo 34km Gernika 93 km Donostia Beraz, Donostiatik Bilborako distantzia: = 17 km Animatu Donejakue Bidea egitera! Ez kezkatu, ez dituzue egunean 17 km egin beharko; egunean 35 km-ko etapak egin ohi dira, gutxi gorabehera! Jolas gaitezen pixka bat batuketarekin. Zer gertatuko litzateke batugaiak beste ordena batean batuko bagenitu? Ikus dezagun; = 17 4

6 1. ZENBAKI ARRUNTAK Ez da ezer aldatzen, emaitza berdin-berdina da. Jar diezaiogun izena batuketaren propietate horri, eta eman dezagun horri buruzko azalpen txiki bat. Zer iruditzen zaizue trukatze-propietatea jartzen badiogu? Eta azalpen hauxe emango dugu: batugaien ordena aldatu arren, emaitza ez da aldatzen. Eta, beraz; a + b = b + a Zenbakiak taldekatu egin daitezkeela jabetzen ari naiz. Zer gertatuko da zenbakiak taldekatzen baditugu? Ikus dezagun zer gertatzen den zenbakien batuketarekin, batuketako zenbakiak modu desberdinetan taldekatzen baditugu. (5 + 4) + = 9 + = (4 + ) = = 11 Propietate horri ere izena jarriko diogu, eta dagokion azalpena emango dugu. Zer iruditzen elkartze-propietatea deitzen badiogu? Azalpen egokia ere etorri zait burura: batugaiak era batera nahiz bestera taldekatu, emaitza ez da aldatzen. 1. Kenketa Kenketak zertxobait korapilatsuagoak dira, baina oso erabilgarriak, nolanahi ere. Jarrai dezagun Donejakue Bidearen adibidea aztertzen. Kalkula dezagun Bilbotik Portugaleterako distantzia, goiko paneletan ageri diren datuen bidez: Gernikatik Portugaletera, 45 km. Eta Gernikatik Bilbora, 34 km. 5

7 1. ZENBAKI ARRUNTAK?Km Gernika 34km Bilbo Portugalete 45 km Beraz, Bilbotik Portugaleterako distantzia: = 11 Km Batuketarekin aritu garenean, propietate batzuk ondorioztatu ditugu, baina kenketari buruzko hausnarketarik ez dugu egingo, oraingoz; aurrerago, sakon landuko dugu. Agian, kenketari buruzko hausnarketarik zergatik ez dugun egingo galdetuko diozue zeuen buruari. Tira, pista bat emango dizuet. Batuketan, bi batugai trukatuta ere, emaitza ez da aldatzen. Kenketan, ordea, ez da gauza bera gertatzen: Ez da gauza bera 4-3 egitea edo 3-4 egitea. Emaitza aldatu egiten da; eta, gainera, bigarren eragiketan 4 zenbakiaren zeinua negatiboa izateak erabat aldatzen du eragiketaren esanahia. Horregatik, zeinuak menderatuta ditugunerako utziko dugu kenketaren propietateen lanketa. Ondo iruditzen al zaizue? Seguru baietz. (has gaitezen parentesiak lantzen) Parentesiaren erabilera, batuketetan eta kenketetan Parentesiak dituzten eragiketak egiterakoan, arreta berezia jarri behar dugu, parentesiaren arabera emaitzak erabat alda daitezkeelako. Froga dezagun! ADIBIDEZ, 6

8 1. ZENBAKI ARRUNTAK Zenbat diru dauka Naroak? Iñakik 5 bueltatu Erosketa 3 Naroak 10 ditu Naroak 10 ditu, baina 3 gastatu ditu belarritako batzuk erosten. Iñakik zor zizkion 5 itzuli dizkio. Zenbat diru dauka Naroak? 3, gastuak (belarritakoak). 5, diru-sarrera (lagunak itzulitakoa). Egin ditzagun bi proba, parentesiak leku desberdinetan jarrita: (10 3) + 5 = = 1 eta 10 (3 + 5) = 10 8 = Bistan denez, eragiketa baten eta bestearen emaitzek ez dute zerikusirik. Horregatik, oso garrantzizkoa da Naroak hasieran duen egoerari erreparatzea, eta egoera horretan zer aldaketa gertatu diren parentesien bidez zuzen adieraztea. Kasu honetan, lehen adierazpena da zuzena, Naroak 3 bakarrik gastatu dituelako (-3), eta 5 eman dizkiotelako (+5). Bigarren adierazpenean, 8 gastatu izan balitu bezala azaltzen da. Hona hemen beste adibide bat, 7

9 1. ZENBAKI ARRUNTAK Naroak 10 ditu Bi ordainketa: 3 -ko (-3) eta bestea 4 -koa (-4) Naroak 10 zituen eta bi ordainketa egin ditu: bata, 3 -koa; eta bestea, 4 -koa. 7, gastuak. Adieraz dezagun eragiketa, parentesiak leku desberdinetan jarrita. 10 ( ) = 10 7 = 3 (10-3) + 4 = = 10 eta = 3 Zentzua duten adierazpenak lehenengoa eta hirugarrena dira, baina komeni da bestea ere aldamenean jartzea, zer desberdintasun dagoen argi ikusteko. Laburbilduz eragiketa konbinatuak dituzten adierazpenetan Parentesiek emaitza partzialak taldekatzen dituzte. Parentesiek aldatu egiten dute eragiketa egiteko ordena. Eta emaitza ere bai. Parentesiak jartzeko garaian, arreta jarri behar da, adierazi nahi duguna zuzen adierazteko. 8

10 1. ZENBAKI ARRUNTAK (has gaitezen biderketa lantzen) 1.3 Biderketa Aspaldi ikasi genuen biderketak egiten, baina, orain, biderketaren propietateak zein diren jakiteko garaia dugu. Hasi aurretik, adibide bat. Jo dezagun Mirenek kontzertu baterako 5 sarrera erosi dituela, bakoitza 6 -an. Zenbateko hau gastatu du: = 30 Edo 6 5 = 30 BIDERKETAREN PROPIETATEAK 1. Trukatze-propietatea Zer gertatuko litzake biderkagaiak beste ordena batean biderkatuko bagenitu? Ikus dezagun; 6 5 = 30 = 5 6 = 30 9

11 1. ZENBAKI ARRUNTAK Ez da emaitza aldatzen. Jarriko diogu izena biderketaren berezitasun horri? Biderkagaiak trukatu egiten dira, ezta? Trukatze-propietatea deituko diogu, orduan; eta propietatea zertan datzan azaltzeko, biderkagaien ordena aldatzeak emaitzan eraginik ez duela esango dugu. a b = b a dela esan dezakegu.. Banatze-propietatea Bat-batean, Mirenek azken orduko deia jaso du eta kontzerturako bi sarrera gehiago eskatu dizkiote. Zenbat ordaindu du Mirenek, 5 sarrerak gehi hurrengo sarrerak 6- tan erosi baditu? ( 5 + ) 6 = 4 ordaindu du Mirenek. Eta parentesia kendu eta batugai bakoitza 6 zenbakiaz biderkatzen badugu, aldatuko da emaitza? Ikus dezagun; = 4 = (5 + ) 6 = 4 Bada, ez: emaitza ez da aldatzen. Gauza bera da parentesi barruko batuketa egin eta batura 6 zenbakiaz biderkatzea, eta batugai bakoitza 6 zenbakiaz biderkatu eta biderkaduren arteko batuketa egitea. Badakit! Propietate horri banatzepropietatea izena jarriko diogu. a ( b + c) = a b + a c a ( b c ) = a b a c dela esan dezakegu. 10

12 1. ZENBAKI ARRUNTAK 3. Elkartze-propietatea Mirenek, sarrerak erosi eta etxera zihoala, kontzertu horren egun berean berak oso gustukoa zuen beste talde batek jotzen duela ikusi du, autobus-geltoki batean iragarrita. Prezioa berdina da, edaria barne. Birritan pentsatu gabe, sarrerak erostea joan da korrika. Zenbat diru gastatu du Mirenek jende kopuru berarentzat bi kontzertuetako sarrerak erosten? (7 6) = 84 gastatu ditu Mirenek. Parentesia lekuz aldatuko bagenu, aldatu egingo litzateke emaitza? Zer uste duzu? Ikus dezagun; 7 (6 ) = 84 = (7 6) = 84 Berdina da: emaitza ez da aldatzen, nahiz eta parentesiak lekuz aldatu. Gauza bera da lehenik 7 eta 6 zenbakien arteko biderketa egitea, edo 6 eta zenbakien arteko biderketa egitea. Elkartze-propietatea deituko diogu horri, biderkagaiak era batera nahiz bestera taldekatuta ere emaitzak aldatzen ez direlako. (a b) c = a (b c) dela esan dezakegu. Laburbilduz, esan daiteke biderketa batugai berdinak dituen batuketa bat era laburtuan egitea dela. Biderketaren propietateak, labur-labur 11

13 1. ZENBAKI ARRUNTAK 1) Trukatze-propietatea: a b = b a ) Banatze-propietatea: a ( b + c) = a b + a c a ( b c ) = a b a c 3) Elkartze-propietatea: (a b) c = a (b c) Garrantzitsua, edo saihets ezina!! Bider 10, 100, egitea Zenbaki bat zeroz jarraituriko unitate ( 10, 100, ), batez biderkatzeko, unitateak eskuinean unitateak dituen adina zero (bat, bi, hiru ) jarri behar zaizkio zenbakiari. ADIBIDEAK = = = = Zatiketa Jakin badakigu zatitzea zati berdinak egitea edo tamaina jakin bateko zatiak egitea dela. Eta zatiketak egiten ere ikasi dugu. Horregatik, atal honetan ez dugu zatiketarik egingo; bi zatiketa mota bereiziko ditugu, behar den lekuan arreta jarrita. Lau lagunen artean 1 gozoki banatu behar dituzte. Zenbat dagozkio bakoitzari? Lagun bakoitzari 3 gozoki dagozkio. Zatiketa horren hondarra zero denez, zatiketa zehatza dela esango dugu. Lagun guztiei gozoki kopuru bera dagokie eta ez da gozokirik sobera geratzen. 1

14 1. ZENBAKI ARRUNTAK 13 gozoki 4 lagunen artean banatu beharko bagenitu, lagun bakoitzak zenbat gozoki jasoko lituzke? Lagun bakoitzak 3 gozoki jasoko lituzke. Baina, hondarra gelditzen zaigu. Gozoki bat geratzen zaigu sobera. Zer egingo dugu sobera geratzen den gozoki horrekin? Gozoki bateko hondarra gelditzen denez, zatiketa zehaztugabea dela esango dugu. Zatiketaren atalen adierazpena: Zatikizuna Hondarra Zatitzailea Zatidura Oso-oso garrantzitsua, lagunak! Eragiketa konbinatuetan, hau da, adierazpen matematikoetan batuketak, kenketak, biderketak eta zatiketak nahasian agertzen direnean, ezinbestekoa da ordena jakin bati jarraitzea. Ordena beti berdina da! Eragiketak egiteko ordena Eragiketak konbinatuta ageri diren adierazpenetan, argi eduki behar duzu eragiketak zer ordenatan egin behar diren. Lehenik, parentesi barnekoa (eragiketan parentesirik ez badago, jo hurrengora). Gero, biderketa eta zatiketak (eragiketan biderkadurarik eta zatiketarik ez badago, jo hurrengora) Eta, azkenik, batuketa eta kenketak = + 1 = 14 ( + 3 ) 4 = 5 4 = =

15 1. ZENBAKI ARRUNTAK Parentesirik ez dagoen eragiketetan: 1. Biderketak eta zatiketak nahasten badira, lehentasuna ezkerrean dauden eragiketei eman behar zaie. 8 : 5 = 4 5 = 0. Batuketak eta kenketak nahasten badira, lehentasuna ezkerrean dauden eragiketei eman behar zaie = 4 + 9= Berreketak Enarak kezka bat du: zenbat birraitona-birramona eta herenaitona-herenamona dituen jakin nahi du. Eta kezka hori argitzeko, bere genealogia-zuhaitza marraztu du: Herenaitona-herenamonak Birraitona-birramonak Aitona-amonak Gurasoak Enara Enarak bi guraso ditu. Bere gurasoetako bakoitzak bi guraso ditu. Beraz, Enarak = 4 aitona-amona ditu. 14

16 1. ZENBAKI ARRUNTAK Aitona eta amona bakoitzak, era berean, bi guraso ditu. Beraz, = 8 birraitona-birramona ditu Enarak. Birraitona eta birramona bakoitzak, era berean, guraso ditu. Beraz, = 16 herenaitona-herenamona ditu Enarak. Gurasoak Aitona-amonak Birraitona-birramonak Herenaitona-herenamonak Eragiketa = 1 = = 3 = 4 Emaitza Askotan zenbaki batek behin baino gehiagotan biderkatu behar du bere burua. Laburtzeko, idatzi ordez 4 idatziko dugu eta adierazpen matematiko horri berreketa deituko diogu. 4 adierazpena bi ber lau irakurtzen da. zenbakia berrekizuna da. 4 zenbakia berretzailea da. Beraz, = 3 4 = Eragiketak, berreketekin Azter dezagun berreketa nola adieraz daitekeen eta berreketak dituzten adierazpenekin ariketak nola egiten diren. i) (3 3) = 9 = 9 9 = 81 15

17 1. ZENBAKI ARRUNTAK Lehenik, parentesi barruko biderketa egin behar dugu, eta, ondoren, biderkadura bere buruaz biderkatu behar dugu, berretzaileak adierazten duen adina aldiz. Hau da, - Biderketaren emaitza, 9. - Berretzailea denez, biderkadura aldiz biderkatu behar da bere buruaz: 9 9. Eragiketa hori biderketa baten berreketa da. Oro har, adierazpen matematiko honen bidez adierazten da: ( a b ) ⁿ = a ⁿ b ⁿ ii) 1 3 = 4 = = 16 Berrekizunen artean biderketa badago eta zifra bera badute, berretzaileak batu eta berrekizun berari eutsiko diogu. Adierazpena laburtutakoan, goiko adibidean bezala, berretzaileak dioen adina aldiz biderkatuko dugu berrekizuna. Hau da, - Baieztatu biderkagaiek berrekizun bera dutela;. - Berrekizun berari eutsi;. - Berretzaileen arteko batuketa egin, berrekizuna aldatu gabe; Berrekizuna bere buruaz biderkatu, berretzaileak adierazten duen adina aldiz;. Eragiketa hori berrekizun bera duten berreketen biderketa da. Arau orokor hauxe dagokio: a b a c = a b + c iii) (9 : 3) = 3 = 3 3 = 9 Berrekizuna zatiketa batek osatua denean, lehenik parentesi artean dagoen eragiketa egingo dugu, zatiketa hain zuzen ere, berretzailea bere horretan utzita. Ondoren, beste adibideetan bezala, berretzaileak dioen adina aldiz biderkatuko dugu berrekizuna bere buruaz. Hau da, 16

18 1. ZENBAKI ARRUNTAK - Parentesi arteko eragiketa egin, zatiketa; 3. - Berretzailea bere horretan utzi; 3. - Berrekizuna berretzaileak dioen adina aldiz biderkatu bere buruaz; 3*3. Eragiketa hori zatiketa baten berreketa da, eta haren arau orokorrak hauxe dio: (a : b ) ⁿ = a ⁿ : b ⁿ iv) 8 10 : 8 8 = 8 = 8 8 = 64 Berrekizunen artean zatiketa ageri bada eta berrekizunek zifra bera badute, berretzaileen arteko kenketa egingo dugu lehenik, berrekizuna bere horretan utzita. Ondoren, aurreko adibide guztietan bezala, berrekizuna berretzaileak dioen adina aldiz biderkatuko dugu bere buruaz. Hau da, - Baieztatu zatikizunak eta zatitzaileak berrekizun bera dutela; 8 : 8. - Berrekizuna bere horretan utzi; 8. - Berretzaileen arteko kenketa egin; Berrekizuna berretzaileak dioen adina aldiz bere buruaz biderkatu; 8 8. Eragiketa hori berrekizun bera duten berreketen zatiketa da, eta haren arau orokorrak hauxe dio: a b : b c = a b-c. Ireki ondo begiak!!!!! ( + 4 ) = 6 = 6 6 = = = = 0 Beraz, ( + 4 ) eta + 4 ez dira berdinak!!! Zenbaki baten zero berretura 1 da 17

19 1. ZENBAKI ARRUNTAK : = 4 : 4 : = 0 = 1 v) (5 ) 3 = = 5 ++ = 5.3 = 5 6 Adierazpen matematiko horrek berreketa baten berreketa adierazten du. Eragiketa hori egiteko zenbait bide har daitezke: - Lehenengoa, errazena, berrekizuna dagoen bezala utzi eta berretzaileak biderkatzea da; Beste bide bat da parentesi barruan dagoen berreketa parentesitik kanpoko berretzaileak dioen adina aldiz biderkatzea bere buruaz; Hirugarren bidea da berrekizuna berdin utzi eta parentesi barruko berretzailea kanpokoak dioen adina aldiz bere buruaz batzea; Saia zaitez berreketa baten berreketa egiteko 3 bideek emaitza berera eramaten zaituztela baieztatzen, zure koadernoan! Eta zuretzat bide errazena aukeratzen! Berreketa baten berreketaren arau orokorrak hauxe dio: (a n ) m = a n.m. 1.6 Erro koadroa 36 adierazpenak erro koadro bat adierazten du. Ezagutzen al duzu zenbakiren bat, ber bi eginda 36 ematen duena? 6, ezta? 36 6 da. Eta ber bi eginda 5 ematen duenik? 5, ezta? 5 5 da. Zer esan daiteke erro koadroei buruz? 18

20 1. ZENBAKI ARRUNTAK Zenbaki baten erro koadroa beste zenbaki bat dela. Eta ateratzen den zenbaki hori ber bi eginda, erro koadroaren barruan ageri den zenbakia izango dela emaitza, goiko adibideetan ikusi dugun moduan. Araua orokorrak a = b a = b dela dio. PROPIETATEAK a. b = a b a = b a b 8 = 4. = 4 = ADIBIDEZ, Kalkulatu = 3 5 = 3 5 = 3 5 = 6 5 Kalkulatu = 3 7 = 1 7 = 7 = 14 Kalkulatu 4 0,0004 = = =

21

22 . ZENBAKI OSOAK. ZENBAKI OSOAK.1 Sarrera Aurreko gaian ikusi dugunez, egoera eta eragiketa batzuk ezin dira modu matematikoan adierazi zenbaki arruntak bakarrik erabilita. Hala, hemendik aurrera zenbaki multzo zabalagoa erabiliko dugu, gure ikusmira aberasteko eta aurreko gaian argitu gabe utzitako problema ebazteko. Horretarako, zenbaki osoak landuko ditugu. Zenbaki osoen multzoa honela adierazten da: Z = {, -6, -5, -4, -3, -, -1, 0, 1,, 3, 4, 5, 6, } Gogoratzen al zara, zenbaki arruntei buruzko gaian kenketak aztertu genituenean, kenketaren gaineko hausnarketak geroagorako utzi genituela? Bada, iritsi zaigu horiei heltzeko ordua! Ekin diezaiogun. Ikus ditzagun adibideak: Berdina dela uste duzu? 54 C-ko, tenperatura ZERO AZIPITIK 54 C-ko, tenperatura Adierazpena: +54 (edo 54) Adierazpena: -54 C 0

23 . ZENBAKI OSOAK 5 IZATEA 5 -ko ZORRA Adierazpena: +5 (edo 5 ) Adierazpena: -5 Mendiak 817 m-ko altuera dauka. Urpekoa itsas mailatik 817 m behera dago Adierazpena: +817 m (edo 817 m) Adierazpena: -817 m 1

24 . ZENBAKI OSOAK 6. SOLAIRURA IGO DIRA. Adierazpena: +6 (edo 6) 6. SOTORA JAITSI DIRA. Adierazpena: -6 Bistan denez, eguneroko bizitzan hainbat gauzari erreferentzia egiteko ez da nahikoa zeinu positiboa duten zenbakiak erabiltzea. Zenbaki osoek badute abantaila bat, bi zeinu desberdinetako zenbakiak biltzen dituztela, eta, beraz, aukera gehiago eskaintzen dizkigutela eguneroko bizitzarako, baita matematika problemak ebazteko ere. Eta matematika bera eraikitzeko. - Zenbaki osoak, positiboak: +1, +, +3, +4, +5, +6, - Zero zenbakia: 0. - Zenbaki osoak, negatiboak: -1, -, -3, -4, -5, -6,

25 . ZENBAKI OSOAK. Zenbaki osoak, grafikoki Zenbaki osoen ordenaz eta hierarkiaz ondo jabetzeko, igogailua eta termometroa erabiliko ditugu, adibide gisa. Lehenik, 0 zenbakiaren posizioa marraztuko dugu, eta, gero, unitatearen distantzia egokitu (azaldu nahi diren zenbakien arabera). Zenbaki positiboak zeroaren eskuinean kokatzen dira, eta negatiboak, ezkerrean. Edo zenbaki positiboak goian, eta negatiboak, beheran. IGOGAILUA 3 Logelak Egongela 1 Sukaldea 0 Sarrera -1 Garajea zer esan nahi du grafiko horrek? Zero azpitik dauden zenbakiak zeinu negatiboarekin adierazten direla. Eta zero gainetik daudenek, aldiz, zeinu positiboa dutela. Edo, beste era batera esanda, sukaldea egongelaren azpian dagoela eta garajearen gainean etxeko sarrera dagoela. Etxearen berezko posizioari jarraituz, irudia bertikalean egin dugu, baina grafikoa horizontalean ere egin liteke, bertikalean marraztu ordez. Esanahia bera izango da:

26 . ZENBAKI OSOAK TERMOMETROA Ikus dezagun termometroarekin zer gertatzen den. Zenbakiak goitik behera jarriko ditugu kasu honetan ere, termometroaren berezko posizioa bertikala baita. Beraz, zero gaineko zenbakiak positiboak dira, eta zerotik azpikoak, negatiboak. Zer adierazten dute irudiko zenbakiek? Eskuineko termometroak 5 graduko tenperatura adierazten du. Bero handia egiten duela esan nahi du. Ezkerreko termometro digitalak tenperatura 5,5 C z ero azpitik dela adierazten du. Zero azpiko tenperatura adierazten duenez, hotz handia egiten duela esan nahi du. Zenbakiak marra bat du, ezkerrean, zeinu negatiboa adierazteko. Argitu beharrekoa dugu, matematikoki, -3 adierazpena +3 adierazpenaren aurkakoa dela. Baina eguneroko bizitzan, termometroaren adibidean esaterako, -3 zenbakiak ez du esan nahi +3 zenbakiaren kontrakoa, bi tenperatura desberdin baizik. Beraz, zeinu negatiboak bi esanahi ditu: Adierazpen matematikoaren zentzua adierazten du. Adibidez, 4 + (-4). Zenbakiaren ezaugarria adierazten du. Adibidez, kalean -4 egiten dituela diogunean, ikurra egoera jakin bat azaltzeko erabiltzen da, eta ez eragiketa bat adierazteko. 4

27 . ZENBAKI OSOAK Hori argituta, ikus ditzagun zenbaki osoen aurkako zenbakiak nola adierazten diren, eguneroko bizitzan..3 Zenbaki oso baten aurkako zenbakia Lerro batzuk gorago esan dugunez, zenbaki oso baten aurkako zenbakia lortzeko nahikoa da dagokion zenbakiari zeinua aldatzea. Hau da, a ren aurkakoa, - a da, ezkerrean minus ikurra jarrita: Azter dezagun eguneroko bizitzan zer gertatzen den. Adibidez, Dirua edukitzearen aurkakoa dirua zor izatea da. Ezkerrera joatearen aurkakoa eskuinera joatea da. Igotzearen aurkakoa jaistea da. Hortaz, logikoa da aurkakotasun horiek islatzeko adierazpen matematikoen beharra izatea, ezta? Ikus dezagun, bada, aurkakotasunak nola adierazten diren. Zeinuen esanahia argitzen ari al gara? Seguru baietz, eta lehen ez genekien zerbait ikasi dugula. Aurreko adibideei helduta: - zenbakiaren aurkakoa Aur (-) = + edo - (-) =. pauso ezkerrera egitea pauso eskuinera egitearen aurkakoa dela azal dezakegu. -4 zenbakiaren aurkakoa 4 Aur (-4) = +4 edo - (-4) = 4. Eta 4 eskailera jaistea 4 eskailera igotzearen kontrakoa dela..4 Zenbaki osoen ordena Zenbaki osoen ordena zertan datzan ikusteko, jo dezagun, beti egiten dugun moduan, eguneroko bizitzako egoera batera. Begiratu irudiei, eta pentsatu nork daukan diru gehien, eta nork, gutxien. 5

28 . ZENBAKI OSOAK NAROAK HAIZEAK EKAITZEK YEISONEK IÑAKIK Ez du dirurik 100 ditu. 00 -ko zorra 100 -ko zorra. 300 ditu Zorrik ez. Adierazpena: 0 Adierazpena:+100 Adierazpena:-00 Adierazpena:-100 Adrzpn:+300 Gehien duenak 300 ditu. Ezer ez duenak zorra dutenek baino gehiago dauka ko zorra duenak 00 -ko zorra duenak baino gehiago dauka. Beraz, honako hau da ordena: -00<-100<0<100< >100>0>-100>-00 6

29 . ZENBAKI OSOAK.5 Zenbaki osoen arteko batuketak eta kenketak Ikas dezagun zenbaki osoen batuketak eta kenketak nola egiten diren. Horretarako, orain arte egin dugun bezala, eguneroko bizitzako egoera bat hartuko dugu oinarri, eta zeinu desberdina duten zenbakien arteko batuketak eta kenketak nola egiten diren aztertuko dugu. Adibideari dagokionez, garrantzizkoa da honako azalpen hau kontuan hartzea: - 3 baditugu, honela idatziko dugu: zor baditugu, honela idatziko dugu: -4. Garrantzitsua da DIRUA EDUKITZEA zeinu positiboarekin erlazionatzea eta ZORRA EDUKITZEA zeinu negatiboekin erlazionatzea. Dirua daukazu ala dirua zor duzu? Ikus dezagun zer gertatzen den norbaitek zorrak dituenean edo dirua duenean. Adibide berean oinarrituta, zeinu desberdina duten zenbakien arteko batuketak eta kenketak egiten ikasiko dugu. Anek -ko zorra eta 4 ditu. Zenbat diru dauka, guztira? Goian esan dugunez: 7

30 . ZENBAKI OSOAK -ko zorra edukitzea honela adieraziko dugu: -. 4 edukitzea, aldiz: +4. Beraz, (-) + (+4) = edo = Anek dituen 4 horiekin badu -ko zorra ordaintzeko lain, eta, gainera, ditu sobera. Joanesek bi zor ditu: bat 7 -koa, eta bestea, -koa. Zenbat diru dauka guztira? 7 -ko zorra: -7. -ko zorra: -. Beraz, (-7) + (-) = -9 edo -7 - = -9 Joanes zenbaki gorritan dago; alegia, zorrak ditu eta ez dauka horiek ordaintzeko dirurik. 9 -ko zorra dauka, guztira. Iñakik dirua besterik ez du: amonak, lehengo egunean, 15 eman zizkion, eta, lehendik, 100 zeuzkan aurreztuta. Zenbat diru dauka Iñakik? Amonak eman diona: +15. Aurreztuta zuena: (+15) + (+100) = 115 edo = 115. Azkenean, Iñakiren ametsa egia bihurtuko da: gitarra erosiko du! Denbora asko darama gitarra erosteko dirua aurrezten. Zorionak! Paulek itsulapikoa ireki du, eta 1 zeuzkan. Oso ondo etorri zaio diru hori, Oihanarekin zuen zorra ordaintzeko. Itsulapikoan, 1 : +1. Oihanarekin duen zorra, : -. (+1) + (- ) = +10 edo 1 + (-) = 10 edo 1 = 10. Pauli ezin hobeto etorri zaio itsulapikoa ireki izana. Oso ondo Paul! Horretarakoxe da itsulapikoa, premiaren bat duzunerako. Oihanarekin -ko zorra zuen, eta itsulapikoan 1 zeuzkan; beraz, 10 gelditzen zaizkio, zorra kitatuta. 8

31 . ZENBAKI OSOAK Bikain! Hasieran baino zerbait gehiago badakit! Badakit zeinu negatiboak existitzen direla, zenbaki bakoitzak aurkako zenbaki bat duela eta zeinu bakoitzak esanahi jakin bat duela. Iuju! Beraz, ikasi dugu garrantzitsuena; baina, bide batez, jarrai dezagun zenbaki osoen arteko batuketak egiteko arau praktikoak lantzen: Nola egin bi zenbaki positibo edo negatibo baino gehiagoren arteko batuketa edo kenketa? Irakasleak ikasleen notak jartzen ari dira, bilera-mintegian; hasieran, 1 irakasle sartu dira; gero, 6 atera dira, eta beste 4 sartu dira. Bukaeran, zuzendaria sartu da, eta, une horretan bertan, ikasketaburua atera da, gure tutorearekin batera. Zenbat irakasle ari dira, une honetan, gure kalifikazioak erabakitzen? Hasieran, 1 irakasle, - 6 atera direnak, +4 sartu direnak, +1 zuzendaria, - ikasketaburua eta tutorea. Beraz, Eragiketa hori egiteko bide errazena; Lehenik, zenbaki positiboak positiboekin eta negatiboak negatiboekin taldekatu; alde batean , eta bestean, 6. Batu zenbaki positiboak, alde batetik, eta negatiboak, bestetik; positiboak, 17, negatiboak 8. Egin kenketa, eta jarri handienaren zeinua; 17 8 = 9. Beraz, = 17 8 = 9 irakasle ari dira une honetan gure kalifikazioak erabakitzen! Eragiketa hori egiteko beste aukera batzuk ere badaude. Guk beste bat landuko dugu, eta norberak aukera dezala zer bide erabili! Nork daki, agian zuk beste bideren bat ere izango duzu! Erabili errazena eta azkarrena iruditzen zaizuna! Adibide honetan, zenbakiak dauden ordenan egin daiteke eragiketa = = = 11 - = 9 9

32 . ZENBAKI OSOAK Eragiketan azaltzen diren zifren arabera, metodo bat edo bestea aukeratzea da egokiena. Aukeratu! Nola egiten dira parentesi barruko batuketak/kenketak? Gaian zehar ikusten ari garenez, zeinu desberdineko zenbakiak izatea ez da kasualitatea, batik bat, zeinuek zenbakien zentzua erabat aldatzen dutelako. Ikas dezagun, bada, parentesiak dituzten eragiketak erraz egiten. +(-7) = -7 Parentesi aurrean + zeinua dagoenean; Parentesia kendu, eta parentesi barruko zeinuak ez dira aldatzen. - (+3) = -3 Parentesi aurrean - zeinua dagoenean; Parentesia kendu, eta parentesi barruko zeinuak aldatu egiten dira. Parentesi aurrean ikur negatiboa dagoenean, parentesi barruko batugaien zeinuak aldatu egiten dira. Parentesi aurrean ikur positiboa dagoenean, aldiz, egongo ez balitz bezala jokatuko dugu, ikurrak ez baitira aldatzen. 30

33 . ZENBAKI OSOAK Ikus dezagun adierazpen matematiko luzeagoetan nola egin: Ikur negatiboa, parentesi aurrean: - (+14-7) = = -7 edo -(+14-7) = -7 edo zuzenean!!! Ikur positiboa, parentesi aurrean: + ( ) = = 4 Hartu koadernoa, eta bete dezagun eskuineko taula. Minutu batzuk utziko dizkizuet, eta, ondoren, elkarrekin zuzenduko dugu. 31

34 . ZENBAKI OSOAK.6 Zenbaki osoen biderketak Bai ondo, berriz ere biderketak! Zenbaki arrunten gaia landu genuenean, asko gustatu zitzaizkidan, eta gauza gehiago jakiteko gogoz gelditu nintzen. Esan zigutenez, batugai berdinen batuketa da biderketa, eta gainera, batugai berek osatutako batuketak errazago adierazten laguntzen digu. Gogoratzeko, ikus dezagun adibide gisa batugaitzat zenbaki berak dituen batuketa bat biderketa moduan nola adierazi: +(+5) + (+5) + (+5) = = +15 Batugaia hiru aldiz errepikatzen da; beraz, honela adieraz daiteke, biderketa moduan: (+5). (+3) = 15 Ondo, ondo, aurreko gaian landutakoa gogoan gordeta daukagu! Ikus dezagun, bada, zeinu desberdineko zenbakien arteko biderketak nola egiten diren. Dirudienez ez dago alde handirik. Garrantzizko gauza bakarra biderketa-arauak kontuan izatea da! Biderketa-arauak: + + = + 3 = = - 7 (-5) = = - (-4) 6 = = + (-4) (-5) = 0 3

35 . ZENBAKI OSOAK Ez dago besterik! Arauak ikasi, eta kito. Hartu koadernoa, eta bete eskuineko taulako hutsuneak. Minutu batzuk utziko dizkizuet, eta, ondoren, elkarrekin zuzenduko dugu. Gaia bukatzeko, mota guztietako ariketak biltzen dituen eragiketa bat egingo dugu. 5 3 (1+) + 7 (-3) 4 (-6) = (-1) 4 (-4) = = = 5 33

36

37 3. ZATIGARRITASUNA 3. ZATIGARRITASUNA 3.1 Sarrera Gizakiok antzinatik izan dugu eguneroko bizitzan gauzak banatzeko beharra, gaur egun bezala. Eragozpena banaketa zati berdinetan egin nahi dugunean gertatu ohi da, ez delako beti posible izaten eta pertsona batzuei besteei baino gutxiago edo gehiago egokitzen baitzaie. Duela urte asko, gai honi buruzko hausnarketak egin zituzten adituek. Hala, atal honetan gauzak zehaztasunez banatzeko edo zatitzeko erabilgarriak izango ditugun irizpide batzuk aztertuko ditugu. Has gaitezen, lehenik, zatiketaren atalak aztertzen: Adibidez, amak 4 laranja ekarri ditu, baserrian duen laranjondo batetik, lagunek zein onak diren dasta dezaten. 6 lagunen artean egin nahi du banaketa. lagun , 6ren multiploa da. 6, 4ren zatitzailea da. 4 zenbakia 6ren multiploa dela esango dugu. 6 zenbakia 4ren zatitzailea dela esango dugu. 4 zenbakia 4 eta 6ren arteko zatidura dela esango dugu. 0 hondarra da. Zatiketa zehatza dela esango dugu, hondarra zero delako. 4 zenbakia zatiketaren zatikizuna da. 6 zenbakia zatiketaren zatitzailea da. 34

38 3. ZATIGARRITASUNA Jo dezagun, orain, banaketa 5 lagunen artean egin nahi dugula sobera zenbakia ez da 5 zenbakiaren multiploa. 5 zenbakia ez da 4 zenbakiaren zatitzailea. 4 zenbakia ez da 5 zenbakiaren multiploa. 5 zenbakia ez da 4 zenbakiaren zatitzailea. 4 zenbakia 4 eta 5en arteko zatidura da. Hondarra 4 da. Zatiketa zehaztugabea da. 4 zenbakia zatiketaren zatikizuna da. 5 zenbakia ez da 4ren zatitzailea. Aurreko gaietan, zatiketa zehatzen eta zehaztugabeen arteko desberdintasuna aztertu dugu. Gai honetan, berriz, zenbakien multiploak eta zatitzaileak zer diren azaltzen saiatuko gara, bi zatiketa moten arteko desberdintasuna kontuan hartuta. Multiploen lagunak egingo gara, lehenik, eta, ondoren, zatitzaileekin arituko gara. 35

39 3. ZATIGARRITASUNA 3. Zenbaki baten multiploak Begiratu erregelari: Jo dezagun zenbakiaren multiploak aurkitu nahi ditugula. Erregelan ikusten denez, zenbakiaren multiploak kolore gorriko zenbakiak dira. Hain zuzen, zerotik hasi eta gehi bi eginez ateratzen diren zenbakiak dira zenbakiaren multiploak. Hau da, 0+=, +=4, 4+=6, 6+=8,... Eta zuzenean zenbaki bat ematen badigute eta zenbaki jakin baten multiploa den hala ez jakin nahi badugu? Halakoetan, zatiketa egitea komeni da. Hau da, adibidez, 18 zenbakia ematen badigute, 18 : egingo dugu. Emandako zenbakia, 18, bi zenbakiaz zatitzen dugu, ren multiploa den jakin nahi dugulako. Hondarra zero bada, hau da, zatiketa zehatza bada, 18 zenbakia ren multiploa da. Egin dezagun froga Hondarra 0, beraz, 18 zenbakia ren multiploa da. Baina kontuz! 18 zenbakia ren multiploa da, baina zenbakia ez da 18ren multiploa. Beraz, zenbaki bat beste baten multiploa da, baldin eta: - beren arteko zatiketa zehatza bada, - hau da, zatiketaren hondarra zero bada. 36

40 3. ZATIGARRITASUNA Hortaz, Zenbaki baten multiploa zenbaki hori beste edozein zenbaki arruntez biderkatuz lortzen da. a k k zenbaki arrunta izanik, beti da a-ren multiploa. Zenbaki baten multiploak dira, beti, zenbakia bera eta zero. a 1 = a a 1 = a a 0 = Zenbaki baten zatitzaileak Hitzak berak dioen bezala, zatitzaileak zatidura osoa ematen duten zenbakiak dira! Aurreko adibideari jarraituz, zenbakia 18ren zatitzailea da. Zergatik? Zatiketa horren zatidura zenbaki osoa delako. 6 zenbakia 18ren zatitzailea izango da? Bai! 6 zenbakia 18ren zatitzailea da, zatidura zenbaki osoa delako, hau da, zatiketa zehatza delako. Eta 5 zenbakia 18ren zatitzailea izango da?

41 3. ZATIGARRITASUNA Ez! 5 zenbakia ez da 18ren zatitzailea, zatidura ez delako zenbaki osoa, eta beraz, zatiketa zehaztugabea delako. Zer esan nahi du 6 zenbakia 18ren zatitzailea izateak eta zatidura 3 izateak? Esan nahi du 18 zenbakiaren barruan 6 zenbakia hiru aldiz sartzen dela. Hau da, 6. 3 = 18 Gauza bera gertatzen da zatitzailea denean, eta emaitza, 9. Argi dugu zenbakia 18ren zatitzailea dela. Eta bederatzi zenbakiak, zer esan nahi? 9 zenbakia bi aldiz sartzen dela 18 zenbakiaren barruan. 9 = 18. Zer gehiago ondoriozta daiteke? Zenbaki baten zatitzailea aurkitzeko, zatidura osoak bilatu behar dira. Zatitzailea zatikizunaren barruan sartzen den zatitzaile kopurua osoa da. 1 edozein zenbakiren zatitzailea da. a : 1 = a 3.4 Zatigarritasun-irizpideak Zenbaki txikiekin (1 zenbakiarekin, adibidez), erraza da dagozkien zatitzaileak aurkitzea {1,, 3, 4, 6, 1}, oso erraz egiten baitugu zatiketa, eta beraz banaketak egitea errazagoa baita. Lehen ikusi dugunez, 1 laranja 4 lagunen artean banatzea erraza da. Baina zenbakia handia denean (498, esaterako), banaketa egitea ez da hain erraza. 498 laranja 4 lagunen artean banatzeko kalkulua konplexua da. Elkar ezagutzen dugunez, zenbakien zatitzaileak aurkitzeko trikimailuak azalduko dizkizuet, eta gustuko gauzak egiteko erabili ahal izango dugu trikimailuak erabiliz aurreztutako denbora. Zatigarritasun-irizpideak hainbat zenbakiri dagozkie, baina guk erabilgarrienak aztertuko ditugu:, 3, 4, 5, 6, 9, 10 eta 11 zenbakienak, hain zuzen ere. 38

42 3. ZATIGARRITASUNA zenbakiaren zatigarritasun-irizpidea Zenbakiaren azkeneko zifra 0,, 4, 6, edo 8 denean betetzen da. Edo beste modu batera esanda, zenbaki bikoiti guztietan zenbakiaren zatigarritasun-irizpidea Zenbaki baten zifren batura 3ren multiploa bada, zenbaki hori 3 zenbakiaz zatituta hondarra zero da, beraz, 3ren multiploa da = 15, 3ren multiploa da. (15:3=5 5 zatidura zehatza da, beraz 3ren multiploa) = 6, 3ren multiploa da. (6:3= zatidura zehatza) = 6, 3ren multiploa da. (6:3= zatidura zehatza) = 13, ez da 3ren multiploa. (13:3=4,333 ) 4 zenbakiaren zatigarritasun-irizpidea Zenbaki baten azken bi zifrek osatzen duten zenbakia 4ren multiploa bada; beste modu batean esanda, zenbaki hori 4 zenbakiaz zatituta zatidura zehatza bada, zenbakia 4ren multiploa izango da. 39

43 3. ZATIGARRITASUNA , 4ren multiploa da. (3:4=8) , ez da 4ren multiploa. (54:4=13,5) TRIKIMAILUA: azken bi zifrek osatzen duten zenbakia 4ren multiploa den jakitea erraza da, zenbakia 40 baino txikiagoa bada, 4 zenbakiaren taularen laguntzaz atera dezakegulako. Kontua aldatu egiten da, aldiz, azken bi zifrek osatzen duten zenbakia handia denean, 94 adibidez. Nola jakin 94 zenbakia 4ren multiploa den? Jarraitu honako urrats hauei, eta ikusi nola erraztu daitekeen. - Azken bi zifrek osatzen duten zenbakia 40 eta 80 artean badago, kendu Azken bi zifrek osatzen duten zenbakia 80 eta 100 artean badago, kendu Aurreko pausoa egin ondoren, aski da 4 zenbakiaren taula erabiltzea! - Adibidez, zenbakia 4ren multiploa den jakiteko, - Lehenik, = zenbakia 4ren multiploa da? (14:4=3,5) 14 zenbakia ez da 4ren multiploa; beraz, zenbakia ez da 4ren multiploa. 5 zenbakiaren zatigarritasun-irizpidea Zenbaki baten azken zifra zero edo 5 bada, zenbaki hori 5 zenbakiaz zatituta zatidura zehatza da; beraz, 5en multiploa da

44 3. ZATIGARRITASUNA zenbakiaren zatigarritasun-irizpidea Zenbakia eta 3 zenbakiez zatigarria bada, 6ren multiploa da. Hau da, zenbakia bikoitia eta zenbakiaren zifren batura 3ren multiploa bada, 6ren multiploa da =15 (15:3=5) Zenbakia bikoitia da, eta bere zifren batura, 3ren multiploa. Beraz, 6ren multiploa da =14 (14:3=4,666 ) Zenbakia bikoitia da, baina zifren batura ez da 3ren multiploa. Beraz, ez da 6ren multiploa. 9 zenbakiaren zatigarritasun-irizpidea Zenbakia 9 zenbakiaz zatigarria izango da, bere zifren batura 9ren multiploa bada =6 (6:9=0,666 ) Zifren batura ez da 9ren multiploa; beraz, ez da 9ren multiploa. 41

45 3. ZATIGARRITASUNA 10 zenbakiaren zatigarritasun-irizpidea Zenbaki baten azken zifra zero bada, zenbaki hori 10 zenbakiaz zatitzean zatidura zenbaki zehatza da; beraz, 10en multiploa da zenbakiaren zatigarritasun-irizpidea Zenbaki batean kokaleku bakoitia duten zifren batura ken kokaleku bikoitia duten zifren batura zero edo 11ren multiploa bada, 11ren multiploa izango da. 11 (1 + 1) = 0 44 (4 + ) (4 + ) = 0 67 (6 + 7) = (5 + 8) = (+3+0) (4-5) = = 6 (11:6=1,833 ) Batuketen kendura ez da zero, ezta 11ren multiploa ere. Beraz, ez da 11ren multiploa. 3.5 Zenbaki lehenak eta konposatuak Zenbaki arruntak bi azpimultzo handitan bereiz daitezke: zenbaki lehenak eta zenbaki konposatuak. Zenbaki lehenak zatitzailetzat bakarrik beren burua eta 1 zenbakia duten zenbakiak dira, eta zenbaki konposatuak, aldiz, zenbaki horiez ez ezik, beste zenbaki batzuez zatigarriak direnak. Ikus ditzagun adibide batzuk: Zenbaki konposatuak 4

46 3. ZATIGARRITASUNA 4 = = 1 4 = = 8 3 Faktoretan deskonposa daitekeenez, zenbaki konposatua dela esango dugu. Zenbaki lehenak 7 = 7 1 Bi zatitzaile besterik ez ditu, 1 eta 7, hau da, adierazpen bakarreko biderketa dagokio. Beraz, faktoretan deskonposatu ezin denez, zenbaki lehena dela esango dugu. Esan dugunez, zenbaki lehenak bi zatitzaile baino ez ditu, zenbaki hori bera eta 1 zenbakia. Baina kontuz! 1 zenbakia ez da zenbaki lehentzat hartzen, zatitzaile bat besterik ez baitu! 1 = Zenbaki bat bere faktore lehenetan deskonposatzea Zenbaki konposatuen eta lehenen arteko desberdintasuna aztertu ondoren, azal dezagun zenbaki baten deskonposizioa zer den, kontzeptu horiek erabilita. Zenbaki baten deskonposizioa zenbaki bat zenbaki txikiago eta lehenen arteko biderketa moduan adieraztea da. Hau da, hitzak dioen bezala, zenbaki konposatu bat zenbaki txikiagotan deskonposatzea, edo zenbaki konposatuen zenbaki lehenak aurkitzea. Zergatik deskonposatu zenbaki konposatuak soilik? Zenbaki konposatuen kontzeptua landu dugunean ikusi dugunez, zenbaki horiek zenbaki txikiagoen arteko biderketa moduan adieraz daitezke, eta zenbaki lehenak, aldiz, ez. 43

47 3. ZATIGARRITASUNA Batzuetan, deskonposizioa erraz egin daiteke dagoeneko badakigunarekin. ADIBIDEAK 1. 1 zenbakia deskonposatzeko hainbat bide har ditzakegu. edo 1 = 3 4 = 3 = 3 1 = 6 = 3 = 3 Hala ere, zenbakiak handiak direnean, metodo jakin bat erabil daiteke, eta zatigarritasun-irizpideak aintzat hartu.. Deskonposatu 300 zenbakia, bere faktore lehenetan. Bi metodo: 1 ZATIDURA FAKTORE PARTZIALAK LEHENAK 300 zenbakia z zatigarria da : = zenbakia z zatigarria da : = zenbakia 5ez zatigarria da : 5 = zenbakia 5ez zatigarria da : 5 = 3 3 zenbaki lehena da : 3 = 1 1 Zatidura partziala 1 denez, deskonposizioa bukatutzat ematen da. Beraz, 300 = = = = 3 10 = 3 ( 5) = 3 5 Gaineko lerroa, deskonposaketa faktoriala egitean, eskuineko zutabean adierazten den moduan laburtzen da. 3 zenbakia lehena dela esango dugu, bere burua eta bat zenbakia beste zatitzailerik ez duelako. 44

48 3. ZATIGARRITASUNA 3.7 Zenbait zenbakiren multiplo komunak Gai guztietan egiten dugun moduan, zenbakien multiplo komuna zertan datzan azaltzeko, adibide batean oinarrituko gara. Nora eta Ibon medikuak dira, bikotekideak. Norak egunean behin egiten du guardia ospitalean, eta Ibonek, 3 egunean behin. Zenbat egunean behin egiten dute guardia elkarrekin? Ikus dezagun taula: NORA IBON Taulak dioenez, 6 egunean behin egingo dute guardia biek batera. Topo egiten duten egun horiek eta 3 zenbakien multiploak dira. Begiratu eskemari, eta baiezta dezagun 6 egunean behin egokituko zaiela guardia elkarrekin egitea: ren MULTIPLOAK ren MULTIPLOAK Koloreztatuta dauden zenbakiek guardia elkarrekin egingo duten eguna adierazten dute. Beraz, 6. egunean, 1. egunean eta 18. egunean. Esan dugunez, 6 egunean behin. Topo egingo duten egun horiek eta 3 zenbakien multiploak dira (hau da, 6ren multiploak). Horregatik esaten dugu 6, 1 eta 18 multiplo komunak direla. MULTIPLO KOMUNAK: 6, 1, 18, Multiplo komun horietatik txikiena 6 da, eta, horregatik, multiplo komunetako txikiena deritzo. Oro har: 45

49 3. ZATIGARRITASUNA Bi zenbakiren edo gehiagoren (a, b, d) multiplo komunen arteko txikienari multiplo komunetako txikiena deritzogu, eta honelaxe adierazten da: m.k.t. (a, b, d, ) m.k.t. (, 3) = 6 Aurreko adibidean, zenbaki txikien multiplo komunetako txikiena kalkulatu dugu. Baina irudien metodo hori ez da gomendagarria zenbakiak handiak izanez gero. Orain ikasiko dugun metodoa, aldiz, zenbaki handietarako ere baliagarria da. Azter dezagun mantso-mantso adibidea, pauso guztiak ondo ulertu arte. MULTIPLO KOMUNETAKO TXIKIENA KALKULATZEKO METODOA ADIBIDEA Kalkulatu: m.k.t. (36, 54) LEHEN PAUSOA: Zenbakiak faktore lehenetan deskonposatu behar dira = = BIGARREN PAUSOA: Faktore lehen egokiak aukeratzea. Kontuan hartu multiplo komunetako txikienak honako zenbaki lehen hauek eduki behar dituela: 46

50 3. ZATIGARRITASUNA 36ren faktore lehen guztiak. 36 = ren faktore lehen guztiak. m.k.t. (36, 54) = = Ikusten duzuenez, bi zenbakiren arteko multiplo komunetako txikiena zehazteko, zenbaki horietako bakoitza osatzen duten biderkagai guztiak atera behar dira. Hau da, 3 3 = 36 m.k.t. (36, 54) = = = 54 Hau da, kontuan hartu zenbakiak faktore lehenetan deskonposatzen ditugula, faktore lehen guztiak behar ditugulako. Goian ateratako multiplo komunetako txikiena, labur adierazita: m.k.t. (36, 54) = 3 3 = 108 Oro har; Zenbait zenbakiren multiplo komunetako txikiena kalkulatzeko: 1. Zenbakiak faktore lehenetan deskonposatu behar dira.. Faktore lehen guztiak hartu behar dira (komunak eta ez-komunak), eta horietatik berretzailerik handienekoak. Zenbait zenbakiren multiplo komunetako txikiena ateratzen ikasi ondoren, zenbakien zatitzaile komunak ateratzea errazagoa egingo zaigu. Eutsi goiari! 47

51 3. ZATIGARRITASUNA 3.8 Zenbait zenbakiren zatitzaile komunak Multiplo komunetako txikiekin egin dugun moduan, adibide batean oinarrituko gara hainbat zenbakiren zatitzaile komunak nola ateratzen diren aztertzeko. Batik bat, zenbait zenbakiren zatitzaile komunak ateratzea eskatzen duten problemak ere aurkituko baititugu. Ikus dezagun adibide bat. ADIBIDEA Iosuk 8 katu eta 1 txakur aurkitu ditu kalean. Abereen babes-elkartera eramateko, kaioletan sartu ditu katuak eta txakurrak, nahastu gabe: kaiola bakoitzean txakur edo katu kopuru bera eramaten saiatu da, animalia bakoitzeko ahalik eta kopuru handiena kaiola bakoitzean. Zenbat animalia zeuden kaiola bakoitzean? Problemak hainbat soluzio ditu; azter dezagun zenbanaka sar ditzakegun animaliak kaioletan, guztietan kopuru bera egon dadin. LEHEN SOLUZIOA

52 3. ZATIGARRITASUNA 1 1 BIGARREN SOLUZIOA

53 3. ZATIGARRITASUNA HIRUGARREN SOLUZIOA Gorriz dauden zenbakiak dira 8 eta 1 zenbakien zatitzaile komunak. 8ren ZATITZAILEAK ren ZATITZAILEAK

54 3. ZATIGARRITASUNA Ikus daitekeenez, zatitzaile komunez gain, zenbaki bakoitzak beste zatitzaile batzuk ere baditu. Baina ZATITZAILE KOMUNAK: 1,, 4 dira. 8 eta 1 zenbakien zatitzaile komunik handiena, grafikoetan ikusi dugunez, 4 da. Oro har: Bi zenbakiren edo gehiagoren (a, b, d) zatitzaile komunik handienari zatitzaile komunetako handiena deritzogu, eta honelaxe adierazten da: z.k.h. (a, b, d, ) z.k.h. (8, 1) = 4 Zatitzaile komunetako handiena aurkitzea ez da oso neketsua izan, adibideko zenbakiak txikiak zirelako. Baina zenbaki handi baten zatitzaileak aurkitu behar izanez gero? Ikas dezagun, orain, edozein zenbakietarako balioko duen metodo bat. Azter dezagun mantso-mantso adibidea, pauso guztiak ondo ulertu arte. ZATITZAILE KOMUNETAKO HANDIENA KALKULATZEKO METODOA ADIBIDEA Kalkulatu: z.k.h. (45, 60) LEHENENGO PAUSOA: Zenbakia faktore lehenetan deskonposatu. 51

55 3. ZATIGARRITASUNA = = BIGARREN PAUSOA: Faktore lehen egokiak aukeratu. Beraz, kontuan hartu: 45 eta 60 zenbakien faktore komunak; 3, 5 Berretzailerik txikiena hartuta; 3 1, 5 1 Zenbakiak faktore lehenetan deskonposatu ondoren, bi zatitzaile komun dituztela ikusi dugu. Zatitzaile komunetako handiena kalkulatzeko, faktore komunen artean berretzailerik txikiena duena aukeratu behar da. Beraz, 45 = = = 3 5 = 3 5 z.k.h. (45, 60) = 3 5 = 15 ADIBIDEA Kalkulatu: z.k.h. (60,7) 60 = = 3 3 z.k.h. (60,7) = 3 = 4 3 = 1 5

56

57 4. ZENBAKI HAMARTARRAK 4. ZENBAKI HAMARTARRAK 4.1 Sarrera Zenbaki hamartarren bidez, zehatzago eman daitezke adierazpen matematikoak. Adibidez, Mikelen altuera adierazteko, nahi adinako zehaztasuna eman diezaiokegu, adibidez; - Mikelek ia metroko altuera duela esan dezakegu. - Mikelek 1,8 metroko altuera duela esan dezakegu. - Eta Mikelek 1,83 metroko altuera duela esan dezakegu. Mikelen altuerari dagokionez, hiru adierazpenak dira egia, nolabait; baina hirugarrena dago errealitatetik hurbilen, horrek ematen duelako daturik zehatzena. Zenbaki hamartarrak zenbakiengan lupaefektua egiten dutela esan daiteke. Izan ere, lupa letren gainean jarrita, letrak askoz ere hurbilago ikusten dira, eta gauza bera gertatzen da zenbaki hamartarrekin: neurri jakin bati zenbaki hamartarrak gehitzen dizkiogunean, neurria zehatzagoa da. Zenbaki hamartarrek bi atal dituzte, koma batez bereiziak. Zati osoa, komaren ezkerrean, unitate osoak adierazten dituena. Zati hamartarra, komaren eskuinean, unitate osatugabeen balioa adierazten duena. 38, , unitate osoa. - 0,1105 unitate osatugabea, edo zati hamartarra. 53

58 4. ZENBAKI HAMARTARRAK 4.. Zenbaki hamartarren balioa Zenbaki hamartarren arteko konparazioa egiteko, zenbakiaren zati osoan jarri behar dugu arreta. Bi zenbaki edo gehiagoren zati osoa berdina bada, zenbaki hamartarren lehenengo zifrari begiratuko dio konparazioa egiteko. Zifra hori ere berdina badute, hurrengo zifra hamartarrari erreparatuko diogu, eta horrela jarraituko dugu, bat ez datorren hamartarren bat topatu arte. Zenbaki hamartar handiena duena izango da zifra handiena daukana. Hartu koadernoa, eta saiatu hemen beheko taula hau osatzen, oraintxe eman ditugun irizpideak aintzat hartuta. Ondoren, elkarrekin zuzenduko dugu. Jarri > edo < ikurrak, bi zifren arteko biribilean, zenbaki bat bestea baino txikiagoa edo handiagoa dela adierazteko. Esan bezala, lehenengo zenbaki osoan jarriko dugu arreta. zenbakia 3 baina txikiagoa denez, < ikurra dagokio. Ordenatu zenbaki hamartarrak, txikienetik handienera. Hartu koadernoa, eta saiatu egiten! 54

59 4. ZENBAKI HAMARTARRAK 4.3. Eragiketak, zenbaki hamartarrekin Batuketak eta kenketak Haizea arropa erostera atera da. 44,6 eraman ditu. Jaka 19,9 kostatu zaio, eta gona, 15,35. Zenbat diru gastatu du? Eta zenbat dirurekin itzuli da etxera? Haizeak 19,9 gehi 15,35 gastatu ditu. Nola egingo dugu hamartarren arteko batuketa? Lehenik, komak lerrokatuko ditugu, bi batugaien zenbaki osoak eta zenbaki hamartarrak bat etortzeko moduan. Hau da, 19,9 + 15,35 Bi batugaiek ez dute zenbaki hamartarren kopuru bera; beraz, hamartar gutxiago duen batugaiari (19,9) zero bat erantsiko diogu, bi batugaiek zenbaki hamartarren kopuru bera izan dezaten. Hau da, 19, ,35 Hala, Haizeak zenbat gastatu duen jakiteko, aski izango dugu batuketa dakigun bezala egitea. Beraz, 55

60 4. ZENBAKI HAMARTARRAK 19, ,35 35,5 gastatu ditu Haizeak. Haizeak erosketak egin ondoren zenbat diru gelditzen zaion jakin nahi du. Kenketa egiteko, zeroa erantsi behar diogu 44,6 zenbaki hamartarri, kenkizunaren eta kentzailearen zenbaki hamartarren kopurua berdintzeko. Beraz, 44,60-35,5 09,35 gelditzen zaizkio Larraitzi. Batuketa edo kenketa egiteko, jarraitu honako urrats hauei: Komak zutabe berean geratzeko moduan lerrokatu. 6 7, , Zenbakiek zifra hamartarren kopuru bera izan dezaten, zeroak erantsi, behar izanez gero bakarrik. 6 7, 8 5 3, , 0 Eragiketak zenbaki osoak izango balira bezalaxe egin behar dira, koma zutabe berean utzita. 56

61 4. ZENBAKI HAMARTARRAK 6 7, 8 5 3, , 0 8 1, 0 5 Zenbaki hamartarren biderketa Mirenek didgeridu bat erosi du, Australian, australiar dolar ordainduta. Zenbat euro ordaindu zituen, australiar dolar bat 0,515 badira? Batuketarekin egin dugun moduan, komak lerrokatuko ditugu. Eta biderketa egiten hasiko gara, besterik gabe: TRIKIMAILUA: biderkagaiek 0 zifra badute zenbakiaren bukaeran, zeroak kenduko ditugu, biderketa azkarrago egiteko. Gero, biderkadurari biderkagaiei kendutakoak adina 0 gehitu, eta kito! 3 5 X 0, ,0 5 Esan dugunez, biderkagaiari kendu dizkiogun adina 0 gehituko dizkiogu emaitzari. Koma ere kendu egingo dugu. Beraz, Emaitzari koma dagokion tokian jarri. 57

62 4. ZENBAKI HAMARTARRAK Didgeridu australiar instrumentuak 1.80,500 balio ditu. Kontuan izan: Komak lerrokatutakoan, zenbaki hamartarrak zenbaki osoak izango balira bezalaxe biderkatu behar dira. Emaitzak edo biderkadurak bi biderkagaien artean duten zenbaki hamartarren kopuru bera izango du. Zenbaki hamartarren zatiketa Zenbaki hamartarren zatiketa zenbaki osoenaren antzera egiten da. Kontuan hartu beharreko gauza bakarra koma da. Ikus dezagun. Jo dezagun 34, gramoko harea-poltsa bat 6 zatitan banatu nahi dugula. Zatiketa modu arruntean egiten hasiko gara, eta lehen zifra hamartarra jaistean, zatidurari koma jarriko diogu. Eta koma jarri ondoren, 7 zenbakia jarriko dugu haren eskuinean, 4 eta 6ren arteko zatidura, hain zuzen ere. 34, , 7 0 Eta zatitzailea zenbaki hamartarra bada? Hau da, 34 : 0,15 egin nahi badugu? Nola egiten da? Ikus dezagun; 34 0,15 zatiketa egiten hasi aurretik, aldaketa batzuk egingo ditugu: 34 zenbakiari zatitzaileak dituen hamartarren kopurua adina zero jarriko dizkiogu atzetik, zatitzaileari koma kentzeko. Hau da: 58

63 4. ZENBAKI HAMARTARRAK horrela, betiko moduan egin dezakegu zatiketa Zatiketa hori zatiki moduan ere adieraz daiteke, hain zuzen ere. Baina 15 zatikiak hurrengo gaian landuko ditugunez, ez dugu orain horretan sakonduko. Erro koadroa Zenbaki arrunt batzuen erro koadroak zenbaki hamartarrak dira. Nahiko eragiketa konplexua denez, horiek zehatz kalkulatzeko kalkulagailua erabiltzea komeni da. Hala eta guztiz ere, erro koadroen estimazioa buruz egiten ikasiko dugu. Zenbaki hamartarrekiko erro koadroak estimatzeko, oso baliagarria da hemen beheko taula hau jakitea

64 4. ZENBAKI HAMARTARRAK ADIBIDEA 30 Taulari begiratuta ondoriozta daitekeenez, 30 zenbakiaren erro koadroa 5 eta 6 zenbakien artean dago. Beraz, 5 < 30 < 6 Adierazpen matematiko horrek esan nahi du 5 zenbakia 30 zenbakiaren erro koadroa baino txikiagoa dela, eta 6 zenbakia, 30en erro koadroa baino handiagoa. 50 Taulari begiratuta ondoriozta daitekeenez, 50 zenbakiaren erro koadroa 7 eta 8 zenbakien artean dago. Beraz, 7 < 50 < 8. ERRO KOADROA 5 BAINO HANDIAGOA DENEAN ADIBIDEZ, 900 Honelako erro koadroak kalkulatzeko, zenbaki arruntei buruzko gaian ikasitako erro koadroen propietateak erabiliko ditugu. 900 = = 3 10 = 30 Beste ADIBIDE bat: 656 Oso zenbaki handia denez, zenbaki lehenetan deskonposatuko dugu, lehenik (zatigarritasunari buruzko gaian ikasi dugu nola egiten den): =

65 4. ZENBAKI HAMARTARRAK 656 = = = = = oso zenbaki handia da eta seguru asko erro koadroa kalkulagailuaz ateratzeko aukera izango duzu. Baina garrantzitsua da nola egiten den jakitea. Horrelako erro koadroak kalkulatzeko bide azkarrena zenbakia faktore lehenetan deskonposatzea da. Hortik abiatuta, errazagoa da zenbakiak erro koadroaren barnean sartzea! ZENBAKI HAMARTARREN ERRO KOADROA Aurreko atalean zenbaki arrunt batzuen erro koadroak kalkulatzen ikasi dugu. Ikas dezagun, orain, zenbaki hamartarren erro koadroa kalkulatzen. 4 Kalkulatu 0,0004 = = = = 0' Kalkulatu 0 1 1,00 = = = = 0' Ezin da gehiago deskonposatu. Beraz, ikusi dugunez, erro koadroak zehaztasun osoz kalkulatzeko kalkulagailua erabiltzea da egokiena. Baina kalkulagailurik ez badugu, badakigu zer egin! 4.4 Zenbaki hamartarrak biribiltzen Zenbakiaren hamartarren kopurua handia denean, hamartarren biribilketa egitea komeni izaten da. Batik bat horiekin eragiketak egin behar izanez gero. Kalkula dezagun, adibidez, zenbat pisatzen duen Junek superretik ekarritako poltsak. Lehenik, hamartarrak biribildu gabe egingo ditugu kalkuluak, eta, ondoren, biribilduta. Junek honako hauek ekarri ditu superretik: 61

66 4. ZENBAKI HAMARTARRAK - 5 poltsa 0,6 kg-koak - 0,84 kg laranja-poltsa - 0,39 kg ahuakate-poltsa Zenbaki hamartarrak biribiltzen Junek ekarri duen pisua kalkulatzeko, bide erraz eta azkarrena zenbakiak biribiltzea da. Guk hamartar batera biribilduko ditugu zifrak. 1. 0,6 biribiltzea 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 kg 0, 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,3 kg 0,6 zenbakia 0,3 zenbakitik gertuago dagoenez 0,tik baino, 0,3 zenbakira biribilduko dugu.. 0,84 biribiltzea 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 kg 0,8 0,81 0,8 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,9 6

67 4. ZENBAKI HAMARTARRAK 0,84 zenbakia 0,8 zenbakitik gertuago dago 0,9 zenbakitik baino. Beraz, 0,8 zenbakira biribilduko dugu. 3. 0,39 biribiltzea 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 kg 0,3 0,31 0,3 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,4 kg 0,39 zenbakia 0,4 zenbakitik gertuago dagoenez 0,3 zenbakitik baino, 0,39, 0,4 zenbakira biribilduko dugu. Oro har, Biribildu nahi dugun zenbakia 0 eta 10 zenbakien artean adieraziko dugu. 5 zenbakia tarte horren erdia dela jakinda; - 5 zenbakia baino handiagoa den hamartar bat biribildu nahi dugunean, ezkerrean dagoen hamartarra unitate bat handituko dugu. - 5 zenbakia baino txikiagoa den hamartar bat biribildu nahi dugunean, ezkerrean dagoen hamartarra unitate bat txikituko dugu. Zenbat eta zenbaki hamartar gehiago eduki, orduan eta luzeagoa izango da eragiketa; horregatik da hain garrantzizkoa biribilketak ondo egiten jakitea. 63

68 4. ZENBAKI HAMARTARRAK Hamarrenetara hurbilduta 0,3 5 = 1,5 kg 1,5 + 0,8 + 0,4 =,7 kg Saiatu Junek ekarri duen pisua biribilketarik gabe kalkulatzen, zure koadernoan. Biribilketarik gabe 0,6 5 = 1,3 kg 1,3 + 0,84 + 0,39 =,53 kg Nola egin dituzu errazago eragiketak? Biribilketa erabilita ala erabili gabe? Ziur nago errazago egin dituzula zenbaki hamartarrak biribilduta. Aldea argia da: zenbakiek zenbat eta hamartar gutxiago, orduan eta errazago egingo ditugu eragiketak. Bestela oso luzea gertatzen da, eta niri, behintzat, oso zaila egiten zait. 64

69

70 5. ZATIKIAK 5. ZATIKIAK Zatikiak edozer gauzaren zatiak adierazteko erabiltzen dira. Zatikien bidez, zatitan banatutako zerbaiten zatiak adierazi, eta zati horiekin kalkuluak egin ditzakegu. Zatiki bat bi zenbakiren arteko zatiketa da. Zenbakiak bata bestearen gainean adierazten dira, erdian marra bat dutela, bi zenbakiak bereizteko. Izendatzailea 1 Zenbakitzailea Zenbakitzailea: Tartatik hartu dugun zatien kopurua da. 1 zatikiak zati bat hartu dugula adierazten du. Izendatzailea: Neurtu nahi duguna, bere osotasunean, zenbat zatitan zatitu den adierazten du. 1 zatikiak tarta bi zatitan zatitu dugula adierazten du. Tarta 1 adierazteko. 65

71 5. ZATIKIAK ADIBIDEZ Tarta horren zenbakitzailea da, eta izendatzailea 8. Zatikia, beraz; 8 Izendatzailea 8 da, tarta 8 zatitan banatuta dagoelako. Eta zenbakitzailea da, 8 zati horietatik hartu ditugulako. 5.1 Zatiki baliokideak Zatiki baliokideak deritze balio bera duten zatikiei. Hainbat zatiketak zatidura (emaitza) bera ematen duten bezala, zatiki baliokideek ere emaitza bera ematen dute, izendatzaile eta zenbakitzaile desberdinak izan arren. Zatiki baliokideak sortzeko, nahikoa da izendatzailea eta zenbakitzailea zenbaki beraz biderkatzea edo zatitzea. ADIBIDEA 4 = Zatiki baliokideak dira, lehenengo zatikiaren zenbakitzailea eta 8 16 izendatzailea zenbakiaz biderkatuz gero, aldameneko zatikia ateratzen delako. Bigarren zatikiaren zenbakitzailea eta izendatzailea bi zenbakiaz zatitzen baditugu, berriz, emaitza ezkerreko zatikia izango da. Ikus dezagun nola adierazten diren, grafikoki, bi zatikiak: 66

72 5. ZATIKIAK Zati bera adierazten dute, ezta? Beraz, zatiki baliokideak direla esan dezakegu. Adibide horrek aditzera ematen digu zatikiaren gaiak (hau da, zenbakitzailea eta izendatzailea) zenbaki beraz biderkatuz gero zatiki baliokideak lor daitezkeela. Bide berari jarraituz, zatiki baliokideak lortuko ditugu, halaber, biderketa egin ordez zatiketa eginda. ADIBIDEA 9 9 : 3 3 = = : 3 5 Beraz, zatiki jakin batetik abiatuta haren zatiki baliokideak lortzeko beste bide bat ikasi dugu. Ikus dezagun, grafikoki, bi zatiki horien arteko baliokidetasuna zertan den

73 5. ZATIKIAK Nahiz eta zatikiak berdinak ez izan, lehenago esan dugunaren arabera, zatiki baliokideek beti adierazten dute gauza bera. Oro har, Zatikiaren bi gaiak zenbaki beraz biderkatuz edo zatituz gero, hasierako zatikiaren baliokide den beste zatiki bat lortuko dugu. Hau da, zatikiaren balioa ez da aldatuko. BI ZATIKI BALIOKIDEREN ARTEKO LOTURA Bi zatiki baliokideren artean, beti dago gaien arteko lotura. Ikus dezagun: 4 16 = = 45 = = = = 45 Bi zatiki baliokidek beti emango dute emaitza bera. Baten izendatzailea bestearen zenbakitzaileaz biderkatzen denean, eta alderantziz. Oro har, Bi zati baliokidek honako berdintza hau egiaztatzen dute: a c = a d = b. c b d ZATIKIEN ADIERAZPEN HAMARTARRA Zenbaki hamartarrei buruzko gaian esan dugunez, zatiki eta zenbaki hamartarren arteko erlazioa gai honetan landuko dugu. Eta hementxe gaude, hori guztia azaltzeko gogoz! 68

74 5. ZATIKIAK Aurreko gaian esan dugu badagoela hemen beheko zatiketa hau adierazteko beste modu bat ,5 0 Eta halaxe da, zatiki bidez ere adieraz baitaiteke; eta baita zenbaki hamartarren bidez ere! 9 =,5 4 Adierazpen matematiko horrek esan nahi du zenbaki hamartarra zatikiaren adierazpena dela. Edo zenbakitzailearen eta izendatzailearen arteko zatidura zenbaki hamartarra izan daitekeela. Oro har, Zenbakitzailea izendatzailearen multiploa bada, zatikiaren zatidura zenbaki osoa da. 10 ADIBIDEZ, = 5 Hala ez denean, zatidura zenbaki hamartarra da. ADIBIDEZ, 10 5 = 0,5 ZATIKIAK SINPLIFIKATZEA ETA ANPLIFIKATZEA Zatikiak sinplifikatzea edo anplifikatzea gaiak txikiagotzea eta handiagotzea da. ADIBIDEA 69

75 5. ZATIKIAK Sinplifikatu 16 8 zatikia. Zatiki baliokideak aurkitzeko egin dugun bezala, zenbakitzailea eta izendatzailea zenbakiaz zatituko ditugu, zatikia sinplifikatzeko. 8 8 : 4 = = : 8 Horrela lortutako zatikiaren zenbakitzailea eta izendatzailea 4 zenbakiaz zatituko dugu. 4 4 : 4 1 = = 8 8 : zatikia ezin dugu gehiago sinplifikatu, 1 eta 4 zenbakien arteko zatitzaile 4 komunetako handiena 1 delako. Hortaz, gehiago sinplifikatu. 1 zatikia laburtezina da. Ezin da 4 Oro har, Zatikia sinplifikatzeko, zenbakitzailea eta izendatzailea zatitzaile komun batez zatitzen dira. Sinplifikatu (laburtu) ezin den zatikia laburtezina da. ADIBIDEA Anplifikatu 5 3 zatikia Sinplifikatzeko, zatitu egin ditugu gaiak. Anplifikatzeko, berriz, biderkatu egiten dira = = 5 70

76 5. ZATIKIAK Oro har, Zatikia anplifikatzea zenbakitzailea eta izendatzailea zenbaki beraz biderkatu eta zatikiaren baliokide bat lortzea da. ZATIKIAK IZENDATZAILE KOMUNERA LABURTZEA Zatikiak izendatzaile komunera laburtzea deritzo izendatzaile bera duten zatiki baliokideak lortzeari. Prozesu hori zatikiak ordenatzeko edo zatikien arteko batuketa eta kenketa egiteko erabiltzen da. ADIBIDEA Izendatzaile berera laburtu 4, 6 4, 8 3 eta 1 4 Jar dezagun arreta, garrantzi handikoa baita prozesu hau ongi ulertzea. LEHEN PAUSOA: izendatzaile guztien multiplo komunetako txikiena aurkitzea (nola egiten den gogoratzen ez baduzu, begiratu zatigarritasunari buruzko gaian). m.k.t. (4, 6, 8, 1) = 4 BIGARREN PAUSOA: lehen urratsean lortu dugun multiplo komunetako txikiena zatiki bakoitzaren izendatzaileaz zatitu behar dugu. Horrela, zatidura bakoitza zatiki bakoitzaren izendatzaileaz biderkatzean, zenbaki bera emango dute izendatzaile guztiek. Zertarako? Gauzak neurtu ahal izateko, neurtu nahi dugun horrek zati berdinetan banatuta egon behar duelako. Bestela, ezinezkoa da gauzak neurtzea. Zer zenbakiz biderkatu dugu 4 zenbakia, 4 lortzeko? 4:4= 6, 6 zenbakiaz: orduan zenbakitzailea ere 6 zenbakiaz biderkatuko dugu. 71

77 5. ZATIKIAK :6=4 4:8=3 4:1= HIRUGARREN PAUSOA: zatikiaren bi gaiak zatiduraz biderkatu = = = = ,,, Eta, azkenean, zatikiak konparatzeko, ordenatzeko eta horien arteko eragiketak egiteko prest ditugu zatikiak. 5. Zatikien konparazioa eta ordena Zatikiak konparatzeko eta ordenatzeko, hiru metodo erabil ditzakegu: zenbaki hamartarren metodoa, izendatzaile komunera laburtzearen metodoa edo irudi bidezko metodoa. Ikus dezagun nola aplikatu hiru metodo horiek, 4 1, 10 8 eta 8 6 zatikiak ordenatzeko. LEHENENGO METODOA: ZENBAKI HAMARTAR MODURA IDAZTEA. Zatikiak zenbaki hamartar bihurtzen baditugu, erraz egin ahal izango dugu horien arteko konparazioa. 1 = 0,5 0,5 < 0,75 < 0, = 0,8 < < = 0,75 8 7

78 5. ZATIKIAK BIGARREN METODOA: IZENDATZAILE KOMUNERA LABURTZEA. Zatiki bakoitzaren ordez izendatzaile bera duten zatiki baliokideen modura jartzen badugu, errazagoa da konparazioa egitea. 1. Lehenengo pausoa: izendatzaileen multiplo komunetako txikiena bilatzea. m.k.t.(4, 8, 10) = 40. Bigarren pausoa: multiplo komunetako txikiena (MKT) izendatzaileez zatitzea. 40 : 4 = : 10 = 4 40 : 8 = 5 3. Hirugarren pausoa: zatikiaren bi gaiak (zenbakitzailea eta izendatzailea), zatiketan atera den zatiduraz biderkatzea = = < < = = < < = = 40 Orain, handienetik txikienera edo alderantziz ordena ditzakegu, bai zatiki moduan baita zenbaki hamartar moduan ere. Nahi izanez gero, grafikoki ere adieraz ditzakegu. HIRUGARREN METODOA: IRUDIAK

79 5. ZATIKIAK Zatikiek izendatzaile bera izan ez arren, tamaina bereko irudiak marraztea komeni da, konparazioak egiteko. Zatikiak konparatu eta ordenatzeko metodoak aztertu ondoren (izendatzaile komuna, zenbaki hamartarrak, irudiak), aukeratu zuretzat egokiena eta erabilgarriena zein den! Kontuan izan kasuaren arabera metodo bat besteak baino aproposagoa izango dela! 5.3 Zatikien batuketa eta kenketa Zatikien arteko batuketa eta kenketa egiteko, ezinbestekoa da zatikiek izendatzaile bera izatea. Bestela ezin dira egin eragiketak. ZATIKIEK IZENDATZAILE BERA DUTENEAN Zatikiek izendatzaile bera dutenean, zenbakitzaileen arteko batuketa edo kenketa egin eta izendatzailea berdin utzi behar da. ADIBIDEA = = Sinplifikazioa = 1 4 = 4 ZATIKIEK IZENDATZAILE DESBERDINAK DITUZTENEAN Esan dugun bezala, zatikiek izendatzaile desberdinak dituztenean, horien arteko batuketak eta kenketak egiteko, izendatzaile komunera laburtu behar ditugu zatikiak. ADIBIDEZ,

80 5. ZATIKIAK Lehenengo pausoa: izendatzaileen multiplo komunetako txikiena (MKT) aurkitzea. m.k.t.(, 4) = 4 Bigarren pausoa: lehen pausoan atera dugun multiplo komunetako txikiena zatiki bakoitzaren izendatzaileaz zatitzea. 4 : = 4 : 4 = 1 Hirugarren pausoa: izendatzaileak eta zenbakitzaileak dagokien zatiduraz biderkatzea. Hau da, zatikiak izendatzaile komunera laburtzea = = = = Laugarren pausoa: eragiketa egitea = 5 4 *ZENBAKI OSOAK, ZATIKIEN ARTEKO ERAGIKETETAN Zenbaki osoak zatikiekin batzeko edo kentzeko, izendatzailetzat bat duten zatiki modura hartu behar dira. ADIBIDEZ, = Lehenengo pausoa: zatikiak izendatzaile komunera bihurtzea. 75

81 5. ZATIKIAK 1,, eta 3 zenbakiak zenbaki lehenak direnez, izendatzaile komuna hiru zenbakien arteko biderketa da. 1 3 = 6, 6 zenbakia izango da izendatzaile komuna. Bigarren pausoa: izendatzaile komuna izendatzaile bakoitzaz zatitzea. 6 : 1 = 6 6 : = 3 6 : 3 = Hirugarren pausoa: zatikien bi gaiak bigarren pausoko zatiketaren zatiduraz biderkatzea delako) = + - = = (laburtezina da, 17 zenbaki lehena 6 Adieraz dezagun eragiketa grafikoki; = 17 4 Orokorrean, 76

82 5. ZATIKIAK Zatikiak batzeko eta kentzeko: Lehenik, izendatzaile komunera laburtu behar dira. Batugaia osorik badago, izendatzailea 1 balu bezala jokatuko dugu. Zenbakitzaileen arteko batuketa edo kenketa egin behar da. Zatikia sinplifikatu, nahi izanez gero. 5.4 Zatikien biderketa Biderketa zatikien arteko eragiketarik errazena da. Zenbakitzaileen (goikoa) arteko biderketa eta izendatzaileen (behekoa) arteko biderketa egin behar da. ADIBIDEZ, = = = = 18 9 Oro har, Zatikien arteko biderketa egiteko: Zenbakitzaileak zenbakitzaileez biderkatzen dira. Eta izendatzaileak, izendatzaileez. a c a c = b d b d ALDERANTZIZKO ZATIKIAK Edozein zatiki hartuta, 6 5 adibidez, badago beste bat, 5 6, alderantzizkoa hain zuzen, hasierako zatikiaz biderkatuta unitatea ematen duena. 77

83 5. ZATIKIAK = = eta zatikiak alderantzizkoak direla esango dugu. 6 5 Oro har, a b eta b a zatikiak alderantzizkoak dira eta zatiki horien biderkadura unitatea da. a b a b = b a b a = Zatikien zatiketa Bi zenbaki zatitzea lehenengo zatikia bigarrenaren alderantzizkoarekin biderkatzea da. Ikus dezagun hurrengo adibideotan. ZATIKIA ZENBAKI OSO BATEZ ZATITZEA Zatikia zenbaki oso batez zatitzeko, zenbaki osoa zatikiaren izendatzaileaz biderkatuko dugu. ADIBIDEZ, 1 1 : = = =

84 79 5. ZATIKIAK Bi zatikiren arteko zatiketa egiteko: c b d a d c b a = : c b d a d c b a = c b d a d c b a = : = 4 1 BI ZATIKIREN ARTEKO ZATIKETA Bi zatikiren arteko zatiketa egiteko, lehenengo zatikia bigarrenaren alderantzizkoaz biderkatuko dugu. ADIBIDEA 4 3 : 7 5 = = Oro har,

85

86 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK 6.1 Proportzionaltasuna Proportzionaltasunak bizitza errealeko arazoak eta problemak ebaztea ahalbidetzen digu, informazio-iturria handituz, arazoen arteko erlazioak finkatuz, eta oro har erabilgarriak diren ondorioak lortuz. Magnitudea edozein gauza neurtzeko erabiltzen den ezaugarria da. Horrenbestez, pisua, luzera, prezioa eta denbora magnitudeak dira. 833 daude 1 kilo pisatzen du Magnitudea: dirua Unitatea: euroak Magnitudea: pisua Unitatea: kiloak Bi magnitude horien artean erlazioa dagoela esan daiteke. Izan ere, erosten dugun goxoki kopuruaren arabera, euro gehiago edo gutxiago ordaindu beharko ditugu. Erlazio mota horri proportzionaltasuna deritzo. Bi magnitudeek batak besteari eragin egiten baitiote. Bi motatako proportzionaltasun-erlazioak ikasiko ditugu: zuzenekoa eta alderantzizkoa. 80

87 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK 6. Magnitude zuzenki proportzionalak Begiratu irudiei, 6 4 Irudi horietan, bi magnituderen (txokolatina kopuruaren eta prezioaren) arteko erlazioa ikusten dugu. Txokolatina kopurua handitu ahala, prezioak ere gora egiten duelako. Eta ez hori bakarrik: hemen beheko taula honetan ikusten denez, txokolatina kopurua bikoizten denean, prezioa ere bikoiztu egiten da; eta txokolatina kopurua hirukoizten denean, prezioa ere hirukoiztu egiten da; eta horrela, etengabe. : 10 3 TXOKOLATINA KOPURUA PREZIOA ( ) 4 6? 0 3 :10 81

88 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK Taulan ikusten den proportzioari, hau da, proportzio berean handitzen eta txikitzen diren magnitude arteko erlazioari, proportzionaltasun zuzeneko erlazioa deritzo. Oro har, Bi magnitude zuzenki proportzionalak dira: Bata handiagotzen denean (bikoiztu, hirukoiztu ) bestea hein berean handiagotzen bada (bikoiztu, hirukoiztu ). Bata txikiagotzen denean (erdia, laurdena ) bestea hein berean handiagotzen bada (bikoiztu, laukoiztu ). 6.3 Zuzeneko proportzionaltasunari loturiko problemak Txokolatinen adibideari helduko diogu, berriro, proportzionaltasunari loturiko problemak nola ebazten diren ikasteko. : 10 3 TXOKOLATINA KOPURUA PREZIOA ( ) 4 6? 0 3 :10 Bete dezagun, orain, taulako hutsunea. Zenbat balio dute 5 txokolatinak? 8

89 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK 5 txokolatinak balio dutena kalkulatzeko, taulako datuak erabiliko ditugu. Taulak dioenez, 3 txokolatinak 6 balio dute; beraz, zenbat balio dute 5 txokolatinek? Bi metodo erabiliko ditugu: UNITATERA LABURTZEA ETA HIRUKO ERREGELA. Bi metodo horiek erabiltzeko, aldagaien arteko proportzioa baieztatu behar dugu, lehenik eta behin. UNITATERA LABURTZEKO METODOA Taulan, aldagaien artean proportzionaltasun zuzena dagoela frogatu dugu; beraz, unitatera laburtzeko metodoa erabilgarria zaigu. LEHENENGO PAUSOA: ZATIKIA ERAIKITZEA. Taulako bi aldagaien arteko proportzioaz baliaturik, unitatearekin lotutako balio-bikotea osatuko dugu ,, eta zatikiek txokolatina batek zenbat balio duen adierazten dute *Adibidean 3 6 erabiliko dugu, enuntziatuak horixe aipatzen duelako. BIGARREN PAUSOA: ZATIKIA EZEZAGUNA EZ DEN ALDAGAIAZ BIDERKATZEA, ezezaguna den aldagaia ateratzeko. TXOKOLATINAK PREZIOA ( ) 3 6 5? (aldagai ezezaguna) Beraz, 1 TXOKOLATINA TXOKOLATINA 5= = = balio dute 5 txokolatinak Oro har, 83

90 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK Unitatera laburtzeko, Lehenik, unitatearekin lotutako balioa kalkulatu behar da. Balio hori jakinda, erraza da edozein balio-bikote osatzea. HIRUKO ERREGELA Magnitudeen arteko proportzioa taularen bidez baieztatu dugu; beraz, hiruko erregela erabilgarria da, 5 txokolatinak zenbat balio duten jakiteko. Hiruko erregela 3 ezagunen arteko erlaziotik laugarren zenbakia aurkitzeko baliagarria da. LEHENENGO PAUSOA: HIRUKO ERREGELA IRUDIKATZEA. Oso garrantzitsua da ondo irudikatzea, kalkuluak behar bezala egiteko. Taulan oinarrituta, dagokion txokolatina kopurua dagokion prezioaren ondoan kokatzen da. 3 txokolatinak 6 balio dute; beraz, elkarren parean jarriko ditugu. 5 txokolatinak zenbat balio duten ez dakigu, horregatik galdera ikurra jarriko dugu balio horri dagokion kokalekuan. TXOKOLATINAK PREZIOA ( ) 3 6 5? BIGARREN PAUSOA: ZATIKI BALIOKIDEAK OSATZEA. Marratu geziak, horizontalean, eta osatu zatiki baliokideak. TXOKOLATINAK PREZIOA ( ) 3 6 5? 84

91 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK Hau da, = 3 X = 5 6 X = 5 x = = balio dute 5 txokolatinak Begiratu arretaz: bi metodoek problema ebazteko zatiki berera eraman gaituzte! 5 6 Bi kasuetan, emaitza zatiki beraren bidez lortu dugu:, hain zuzen ere. Hori 3 dela-eta, bi metodoen prozedura desberdina izan arren, biek zentzu bera dutela ondoriozta daiteke. Norberak aukera dezala baliagarriena! Oro har, Proportzionaltasun zuzeneko hiruko erregela Hiru daturekin eta ezezagun batekin zatiki baliokideen bikote bat egitea da. 1. MAGNITUDEA. MAGNITUDEA a d b x a b = d x b d a x = b d x = a 85

92 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK 6.4 Magnitude alderantziz proportzionalak Alderantzizko proportzionaltasuna azaltzeko, honako adibide hau hartuko dugu oinarri. ADIBIDEA Igerileku bat betetzeko behar ditugun baliabideen kudeaketa egiten ari gara; lortzen ditugun iturri kopuruaren arabera, denbora gehiago edo gutxiago beharko dugu zeregin horretarako. Denbora askorik ez dugunez, ikus dezagun nola antola dezakegun igerilekua betetzeko prozesua. Begiratu taulari: 86

93 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK :3 ITURRI KOPURUA DENBORA (orduak) ? : 3 Taulak igerilekua hainbat iturriz baliatuta betetzeko behar den denbora ematen du aditzera. Ez da harritzekoa zenbat eta iturri kopuru handiagoa eduki igerilekua betetzeko, orduan eta denbora gutxiago behar izatea, ezta? Hain zuzen ere, horixe da taulak azaltzen duena. Iturri kopurua bikoiztuz gero, denbora erdira murrizten da. Iturri kopurua heren bat murrizten bada, igerilekua betetzeko denbora hirukoiztu egiten da. Iturri kopuruaren eta denboraren artean proportzioa dagoela esango dugu, iturri kopuruaren arabera denbora gutxiago edo gehiago behar baita igerilekua betetzeko. Magnitude bat handiagotzen denean, beste magnitudea hein berean txikiagotzen da. Proportzionaltasun erlazio horri alderantzizkoa deritzo. Hitzak dioenez, erlazioa alderantzizkoa da, magnitude bat handitzen denean bestea txikitu egiten delako, hein berean. Oro har, Bi magnitude alderantziz proportzionalak dira: Bata handiagotu ahala (bikoiztu, hirukoiztu ) bestea, hein berean txikiagotzen (erdia, herena ) bada. Bata txikiagotu ahala (erdia, herena ) bestea, hein berean handiagotzen bada (bikoiztu, hirukoiztu ). 87

94 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK 6.5 Alderantzizko proportzionaltasunari loturiko problemak ebaztea X ordu Alderantzizko proportzionaltasunari buruzko problemak ebazteko ere bi metodo erabiliko ditugu: unitatera laburtzea eta hiruko erregela. Igerilekuaren adibideari helduta, ikas dezagun problemak ebazten. Igerilekua betetzeko 8 iturri baditugu, zenbat denbora beharko da igerilekua betetzeko? Erantzun zehatza nahi dugunez, kalkuluak egitea beharrezkoa da, baina gainetik begiratuta, argi dago 8 ordu baino gutxiago beharko direla. Zergatik? Alderantzizko proportzioaren arabera, 6 iturrirekin 8 ordu behar izan badira, iturri kopurua handitzen badugu, igerilekua betetzeko behar den denbora txikitu egingo da. :3 ITURRI KOPURUA DENBORA (orduak) : 3 88

95 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK UNITATERA LABURTZEKO METODOA Taulan, magnitudeen artean alderantzizko proportzionaltasuna dagoela frogatu dugu; beraz, unitatera laburtzeko metodoa erabilgarria zaigu. LEHENENGO PAUSOA: unitatearekin lotutako balio-bikotea osatzea. Taulan: ITURRIAK DENBORA (orduak) 6 8 1? 6 8 = 48 Iturri batekin igerilekua betetzeko 48 ordu beharko genituzke. BIGARREN PAUSOA: 8 iturriei dagokien ordu kopurua kalkulatzea. ITURRIAK DENBORA (orduak) 6 8 1? (neurri ezezaguna) Beraz, 1 ITURRIREKIN 6 8 = 48 ordu 1 ITURRIREKIN = 8 48 = 4 ordu 4 ordu beharko ditugu igerilekua 1 iturrirekin betetzeko. Oro har, 89

96 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK Unitatera laburtzeko, Lehenik, unitatearekin lotutako balioa kalkulatu behar da. Balio hori jakinda, erraza da edozein balio-bikote osatzea. HIRUKO ERREGELA Magnitudeen arteko proportzioa taularen bidez baieztatu dugu; beraz, hiruko erregela erabilgarria da, igerilekua 8 iturrirekin betetzen zenbat denbora beharko dugun kalkulatzeko. Hiruko erregela, 3 ezagunen arteko erlaziotik laugarren zenbakia aurkitzeko baliagarria da. LEHENENGO PAUSOA: HIRUKO ERREGELA IRUDIKATZEA. Oso garrantzitsua da ondo irudikatzea, kalkuluak behar bezala egiteko. ITURRIAK DENBORA (orduak) X BIGARREN PAUSOA: ZATIKI BALIOKIDEAK OSATZEA. Marratu geziak, horizontalean, eta osatu zatiki baliokideak. ITURRIAK DENBORA (orduak) X zatiki baliokidea alderantzikatu! Hau da, 6 x 6 x 6 8 = = = X ordu beharko ditugu igerilekua 1 iturrirekin betetzeko. 90

97 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK Begiratu arretaz: bi metodoek problema ebazteko zatiki berera eraman gaituzte! 6 8 Bi kasuetan, emaitza zatiki beraren bidez lortu dugu:, hain zuzen ere. Hori 1 dela eta, bi metodoen prozedura desberdina izan arren, biek esanahi bera dutela ondoriozta daiteke. Norberak aukera dezala baliagarriena! Oro har, Alderantzizko proportzionaltasuneko hiruko erregela. Zatiki baliokideak osatzeko geziaz loturik dauden magnitudeak biderkatzea da. Kontuz! Begiratu ondo hurrengo adierazpena: 1. MAGNITUDEA. MAGNITUDEA a d b x a b = x d x = a d b 6.6 Ehunekoak Ehunekoak eguneroko bizitzan oso erabilgarriak eta lagungarriak dira. Askotan, ondorioak ateratzeko erabiltzen dira; adibidez, eskola bateko ikasleen % 40k betaurrekoak erabiltzen dituela esateko, edo prezioen jaitsierak eta igoerak azaltzeko, merkataritza sektorean, batik bat. Baina zer esan nahi du ikasleen % 40k betaurrekoak erabiltzeak? 100 laguneko 40 lagunek betaurrekoak dituztela, hain zuzen ere. Hitzak dioenez, adierazten den ezaugarri jakin bat (betaurrekodunak erabiltzea, adibidez) ehun laguneko multzo batean zenbatek duten azaltzen du. Hau da, 100 ikasleko multzoan zenbatek dituzte betaurrekoak? Esan dugunez, 40 ikaslek. 91

98 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK % sinboloaz azaltzen diren zenbaki guztiek 100eko multzoa dute oinarria. ADIBIDEA Eta 00 ikasleko eskola batean, zenbat ikasle dira % 40? Begiratu grafikoari: 100 ikasle 100 ikasle 60% 40% 60% 40% 9

99 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK Esan dugunez, % 40k 100 ikasleko multzo bakoitzeko 40 ikasle betaurrekodun daudela esan nahi du. Orain 00 ikasleen % 40 zenbat ikasle diren jakin nahi dugunez, ehuneko bi multzo egin ditugu, eta 100eko multzo bakoitzetik % 40 hartu dugu, hau da 40 ikasle. Orduan: 00 Lehenik, ikasleak 100 ikasleko multzotan banatu ditugu: =. 100 Beraz, 00 ikasleko multzo batean, 100eko multzo ditugu. Bigarrenik, multzo bakoitzetik 40 hartu ditugu, hau da, % 40. Beraz, 100 ikasleko multzo bakoitzean 40 betaurrekodun daude. Eta, azkenik, nahi dugun datua kalkulatzeko, multzoen kopurua multzo bakoitzean dagoen ikasle betaurrekodunen kopuruaz biderkatuko dugu: 40 = 80. Hauxe da ondorioa: 00 ikasleko eskola batean 80 ikaslek dituzte betaurrekoak. Edo beste era batera esanda: eskolan, ikasleen % 40 betaurrekodunak dira. Oro har, Kopuru baten ehuneko bat hartzea kopuru hori 100eko multzotan zatitu eta multzo bakoitzetik adierazitako kantitatea hartzea da. % sinboloa ehuneko irakurtzen da. % 40: ehuneko berrogei. Dagoeneko badakigu ehunekoa zertan datzan. Orain, beste ikuspuntu batzuetatik aztertuko dugu ehunekoei loturiko problemak nola ebatzi, kontzeptua ondo finkatzeko eta kalkulurako baliabideak ugaritzeko. 93

100 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK 6.7 Ehunekoei buruzko problemak ebazten EHUNEKOAK ULERTZEKO BESTE MODU BAT: EHUNEKOA ZATIKI BAT DA 100 ikasle 100 ikasle Betaurrekodunen adibidearekin jarraituko dugu. Gogoan izan, ikasleen % 40 zenbat ikasle diren kalkulatzeko, 100 ikasleko talde 40 bakoitzetik 40 ikasle hartu ditugula; hau da, hartu dugu. Bestela esanda: 100 ikasleak 100 zatitan banatuta, zati horietako bakoitzeko 40 betaurrekodunak dira, alegia: 40 = 100 %40 Baina guk 00 ikasleren % 40 kalkulatu nahi dugu! Horretarako, bi multzoak hartu behar ditugu kontuan, eta ez bakarra. Beraz, zatikia 00 zenbakiaz biderkatuko dugu. 94

101 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK 40 Beraz, en %40 = 00en Horrela ikusita, ehunekoa kalkulatzea zenbaki baten zatikia kalkulatzea bezalakoxea da. Oro har, Kopuru baten ehuneko jakin bat kalkulatzeko: Kopurua 100 zenbakiaz zatitu eta ehunekoarekin biderkatu behar da. Baina esan dugun bezala, ehunekoak kalkulatzeko bide desberdinak ditugu. Ikus ditzagun aukera gehiago, eta ondoren aukeratuko duzu zuretzat aproposena!! EHUNEKOAK ULERTZEKO BESTE MODU BAT: HIRUKO ERREGELA Proportzionaltasunaren atalean ikusi dugunaren arabera, hiruko erregela 3 zenbaki ezagunen arteko erlaziotik laugarren zenbakia aurkitzeko erabiltzen da. Hara, betaurrekodunen adibidean bezala! 3 zenbaki ezagun ditugu, eta laugarrena aurkitu nahi dugu! IKASLEAK BETAURREKODUNAK (% 40) 00 X = X = 100 X = X = X Zer iruditu zaizue? Hiruko erregelaren bidez lortu dugun emaitza aurreko metodoen bidez lortutako berbera da! Jabetuko zinenez, emaitza lortzeko bide desberdinak egin arren, bide guztietatik zatiki bera atera da. Gogoan ez baduzu, egin gora, eta ikusi. 95

102 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK Garrantzitsuena zatikia ondo osatzea da; metodoa edo kalkuluak egiteko bidea norberak aukera dezala! Bi magnituderen arteko erlazio hau zuzenean proportzionala da. Begiratu: 3 4 IKASLEAK BETAURREKODUNAK (%) Taula: 100 ikasleko multzo bakoitzean 40 betaurrekodun daudenez, ikasle multzoa bikoizten, hirukoizten edo laukoizten denean, betaurrekodunen kopurua ere bikoiztu, hirukoiztu eta laukoiztu egiten da. Oro har, magnitudeak proportzio berean handiagotzen direnez, zuzenean proportzionalak direla esaten dugu. EHUNEKOAK BIZKOR KALKULATZEA Ehuneko batzuk kalkulatzeko truku bat ikasiko dugu. Imajinazio apur batekin, oso erraza izan daiteke. Ikus ditzagun adibide batzuk: % 50 AURKITZEA a) Eskolako betaurrekodunen kopurua % 50ekoa balitz, zenbat ikasle lirateke betaurrekodunak? 96

103 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK 100 ikasle 100 ikasle 50% 50% 50% 50% Ikasi dugunez, 100 ikasleko multzo bakoitzean 50 izango dira betaurrekodunak; eta eskolan 00 direnez, ehuneko bi multzo osatzen dituztenez: 50 betaurrekodun ehuneko multzo bakoitzeko bider ehun ikasleko multzo = 100 ikasle betaurrekodun izango lirateke. Hau da; 00en % en 00 en = = Baina kalkulua errazago egin daiteke. 00en % 50 zenbat den kalkulatzeko, aski izango da kopurua zati bi egitea, edo bider 0,5 egitea. Hau da, 00 : = 100 Errazagoa ezta? Eta bizkorragoa, gainera! 97

104 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK Oro har, % 50 zenbat den aurkitzeko zenbakiaz zatitu % 0 AURKITZEA b) Eta betaurrekodunak % 0 badira? % 0 ehunekoarekin antzeko zerbait gertatzen da. 100 ikasle 100 ikasle 80% 0% 80% 0% 00en %0 00en en = 0,

105 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK Beraz, 0 1 % 0 = = denez, 100 ikasleko multzoa 5 zatitan banatuko dugu % 0 kalkulatzeko, dagokion zenbakia 5 zenbakiaz zatitzea aski da. Sinplea ezta? Oro har, % 0 zenbat den aurkitzeko 5 zenbakiaz zatitu Horrelako baliabideak erabiltzea oso aberasgarria da kalkuluak egiteko garaian, sinpleak eta azkarrak direlako. Trikimailua erabilgarria iruditu bazaizu, hasi praktikatzen, % 5, % 75, % 40, % 80 eta abar, kalkulatzeko. Zure esku duzu matematikak sinplifikatzeko bidea! Ehunekoei buruzko gaia amaitzeko, problema mota azaltzea falta zaigu. Orain arte, ehunekoen bidez zenbaki osoak ateratzeko bideak ikasi ditugu: hiruko erregela, zatikia pentsatuz ateratzea eta trikimailu batzuk. 99

106 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK Orain, ehunekoa kalkulatzea eta beherapenak eta igoerak ikastea tokatzen zaigu. EHUNEKOAK KALKULATZEA Orain arte erabili ditugun adibideetan, ehunekoa zenbaki ezaguna zen, baina oso interesgarria da alderantzizko eragiketak egitea jakiten ere. ADIBIDEA Jo dezagun Sasha Hotelean 00 ohe daudela, eta 5 dituztela hartuta. Zer ehunekotan dago hotela beteta? Aurreko adibideetan ikusi dugun bezala, ehunekoei loturiko problemak ebazteko bide egokia dagokion zenbakia 100eko multzotan banatzea da. HIRU METODO Lehenengo metodoa: zer zatiki dagokion pentsatzea. 100eko multzoak osatu. OHEAK, GUZTIRA HARTUTAKO OHEAK : 5 :

107 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK 100 oheko 6 ohe hartuta daudela ikusi dugu. Beraz, Sasha Hotela % 6n beteta dago = 0,6 %6 Bigarren metodoa: hiruko erregela. OHEAK, GUZTIRA HARTUTAKO OHEAK X = X = = X 00 Horrelako problemak ebazteko, egokiagoa da hiruko erregela erabiltzea, batzuetan ezinezkoa izaten baita ehuneko multzoak egitea. Adibidez, jo dezagun 50 ohe daudela Sasha Hotelean, eta 5 dituztela hartuta. Zer ehunekotan dago beteta hotela? Ohe kopurua ezin da 100eko multzotan banatu. Horregatik da egokiagoa hiruko erregela erabiltzea. Hirugarren metodoa: zatia zati kopuru osoa kalkulatzea. 5 = 0'6 0,6k % 6 adierazten du. 00 Aukeratu, orain, zuretzat zein den erabilgarriena! 101

108 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK BEHERAPENAK ETA IGOERAK Aldakuntza-indizeek eragiketa baten bidez beherapenak eta igoerak kalkulatzea ahalbidetzen digute! Ikas dezagun beste trikimailu bat! ADIBIDEA Amaiak surf-ohola erosi nahi du. Surf-oholak 500 balio zituen, baina dendan esan diote % 15eko beherapena egingo diotela. Zenbat ordaindu beharko du? Beherapenak kalkulatzeko bide errazena hauxe da: % % 15 = % 85 Surf-oholaren prezioa, beherapena barne 10

109 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK Beraz: 85 % = 500 =0, = 45 ordainduko ditu Amaiak surfoholarengatik. 100 Kopuru bera adierazten dute! ADIBIDEZ Naroak bizikleta erosi nahi du. Etxe azpiko dendan begiratu du, eta bizikletak 00 balio zituen iaz, baina, orain, prezioa % 30 igo da. Zein da gaurko prezioa? Igoera kalkulatzeko bide errazena: % % 30 = % 130 Bizikletaren prezioa, igoera barne. Beraz, 103

110 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK 130 % = 00 = 1,3 00 = 60 -koa da bizikletaren gaurko prezioa. 100 Kopuru bera adierazten dute! Beherapenak eta igoerak, beste metodoa erabiliz: Beherapenak eta igoerak bide motza eta bizkorra eginez kalkula daitezke ikusi dugun metodoarekin. Baina ikus dezagun beste metodoa, alegia: Lehenengo pausoa: beherapena edo igoera kalkulatzea. Surf-oholaren adibidean: 500 % 15 = 75 -koa da beherapena. Bizikletaren adibidean: 00 % 30 = 60 -koa da igoera. Bigarren pausoa: prezioa kalkulatzea. Surf-oholaren adibidean: = 45 balioko ditu surf-oholak, beherapena kontuan izanik. Bizikletaren adibidean: = 30 balio ditu, bizikletak igoera eta guzti. 104

111

112 7. NEURKETAK 7. NEURKETAK 7.1 Magnitudeak eta neurriak XVIII. mendearen amaiera aldera, munduko estatu guztietan objektuei buruzko informazioa biltzeko eta emateko sistema bateratua erabiltzeko proposamena egin zen. Neurri-unitateen ugaritasunak zaildu egiten baitzuen herrien arteko hurbilketa, komunikazioa, merkataritza, garapen zientifikoa eta abar. Adibidez, Telefono bidezko elkarrizketa: Zenbat olio bota behar diot bizkotxoa egiteko nahasturari? Koilarakada bat. Zer tamainatako koilara? 105

113 7. NEURKETAK Neurriaren informazioa adierazgarria izan dadin, erabilitako unitateak guztiontzat berdina izan behar du, bestela ezinezkoa da hitzarmena finkatzea. Hau da, unitate estandarizatu bat behar da. Telefonozko elkarrizketan, Haizeak Yeinsoni bizkotxoa egiteko olio koilarakada bat behar zuela esan beharrean, 10 ml olio behar zituela esan balio, askoz errazago ulertuko lirateke. XVIII. mendearen amaiera aldera (179), sistema metriko hamartarra proposatu zuen Pariseko Zientzien Akademiak, neurrien sistema normalizatzeko. Sistema metriko hamartarrak magnitude funtsezkoenei dagokien neurriunitateak biltzen ditu: MAGNITUDEA LUZERA EDUKIERA PISUA UNITATEA METROA (M) LITROA (L) GRAMOA (G) Magnitudea edozein objekturen ezaugarriak neurtzeko erabiltzen den elementu deskribatzaile bat da. Adibidez pertsona baten altuera neurtzeko erabiltzen den magnitudea edo deskribatzailea luzera da. Magnitude jakin baten kantitatea neurtzeko, neurri-unitate deritzon kantitate estandarizatuarekin konparatzen da. Ikus dezagun zertan datzan magnitude eta unitateei buruzko irizpideak. 7. Luzera neurtzea Objektuen altuera, zabalera, tamaina eta abar neurtzeko, luzera-neurriak erabiltzen ditugu; horietan garrantzitsuena metroa da. Ikus ditzagun beste luzera-neurri batzuk: km hm dam m dm cm mm kilometroak hektometroak dekametroak metroak dezimetroak zentrimetroak milimetroak 106

114 7. NEURKETAK Hala eta guztiz ere, luzera neurtzeko neurri gehiago ere badira, luzera oso txikiak eta luzera oso handiak neurtu behar direnerako, hain zuzen ere: Badira milimetroa baino luzera-unitate txikiagoak: - 1 mikra = 0,001 mm (mikra, milimetroaren milarena da). Mikroorganismoak (mikrobioak, bakterioak eta abar) neurtzeko erabiltzen da. - 1 nanometro = 0, mm (nanometroa, milimetroaren milioirena). - 1 angstrom = 0, mm. Distantzia atomikoak eta zelulak neurtzeko erabiltzen da. Badira kilometroa baino handiagoak diren luzera-unitateak ere: - Unitate astronomikoa (UA) planeten arteko distantzia neurtzeko erabiltzen da. Unitatetzat Lurretik Eguzkira dagoen distantzia hartzen da. 1 UA = 150 milioi kilometro. - Argi-urtea izarretarako eta galaxietarako distantziak neurtzeko erabiltzen da. Argi-urtea argiak urtebetean egiten duen distantzia da. 1 argi-urte = 9,5 bilioi kilometro. Luzera neurtzeko tresnak: Luzera neurtzeko tresnak neurketa zehatzak egiteko erabiltzen dira. Oro har, tresna fidagarriak direlako eta hurbiltze zehatzagoak egiteko aukera ematen dutelako erabiltzen dira. KALIBREAK milimetroaren hamarrenak neur ditzake. 107

115 7. NEURKETAK LASERRAK distantziak zehatz kalkulatzea ahalbidetzen du. 7.3 Edukiera neurtzea Edukiera neurtzeko unitaterik garrantzitsuena litroa da. Litroa likidoen neurriunitatea da, batik bat. Kubo, botila, kutxa, edalontzi eta abarren edukiera neurtzeko aukera ematen digu. Edukiera-neurriak kl hl dal l dl cl ml (kilolitroak) (hektolitroak) (dekalitroak) (litroak) (dezilitroak) (zentilitroak) (mililitroak) Edukiera neurtzeko tresnak: Sukaldaritzan asko erabiltzen da, errezetak adierazten duen likido kantitatea kalkulatzeko. 108

116 7. NEURKETAK 7.4 Pisua neurtzea Pisuari dagozkion neurrietan, unitaterik garrantzitsuena gramoa da. Edozein objekturen pisua neurtzeko erabiltzen da; eguneroko bizitzan, janaria pisatzeko erabiltzen dugu, batik bat. Pisu-neurriak eta unitate-aldaketak: kg hg dag g dg cg mg (kilogramoak) (hektogramoak) (dekagramoak) (gramoak) (dezigramoak) (zentigramoak) (miligramoak) Pisua neurtzeko tresnak: PISUAK gizakion magnitudea kilogramotan zehaztea ahalbidetzen digu. 7.5 Luzera, edukiera eta pisuen UNITATE-ALDAKETAK Hiru magnitude horien unitate-aldaketa egiteko prozedura bera erabiltzen da; beraz, atal honetan neurri bati buruz azaltzen dena beste guztientzat baliagarria da. Neurtu nahi dugunaren arabera, neurri bat edo bestea aukeratuko dugu. Adibidez, boligrafo baten luzera neurtzeko, ez dugu kilometroa erabiliko, eta, seguru asko, ezta metroa ere. Egokiena cm-ak erabiltzea izango da. Era berean, xiringa batean sartzen den odol kantitatea neurtzeko, ez dugu litroa oinarri 109

117 7. NEURKETAK hartuko, mililitroak baizik. Beraz, hainbat neurri-unitate egotea ez da halabeharra! Guztiz logikoa eta erabilgarria baizik. Begiratu taulari: km hm dam m dm cm mm 0, , 4 1 6, ,01 km Taulan, kilometroei dagokien unitate-neurriaren zutabearen azpian dago kokatuta koma. Zenbakiaren unitate-neurria kilometroa delako, hain zuzen ere. 31, 4 m Zenbakiaren unitate-neurria metrotan dago adierazita, eta taulan, metroaren zutabean dago kokatuta koma. 16,00 dm Zenbakia dezimetrotan dago adierazita, eta koma dezimetroen zutabean kokaturik dago. 16,00 dm = 16 dm Komarik ezartzen ez zaien neurrietan, koma unitate txikiena adierazten duen zenbakiaren eskuinean dagoela pentsatu behar dugu. Hau da, azkeneko zenbakiaren eskuinean. Horregatik gauza bera adierazten dute komarik gabeko neurri batek eta neurri horrek berak, eskuinean koma jarri eta nahi adina zero erantsita. Oro har, Koma unitatea adierazten duen neurriaren zutabean kokatua dago, beti. Hau da, zenbaki baten neurri-unitatea metroa bada, metroari dagokion unitate-neurriaren zutabearen azpian kokatu behar da koma. 110

118 7. NEURKETAK Unitate-aldaketak: Unitate-aldaketak arrazoitzeko eta unitate batetik besterako aldaketa egiteko prozedura ikasteko, hemen beheko taula hauxe hartuko dugu oinarri. km hm dam m dm cm mm m 100 m 10 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m Taula horrek zera dio: 1 km = m 1 hm = 100 m 1 dam = 1 m 1 dm = 0,1 m 1 cm = 0,01 m 1 mm = 0,001 m Oro har, Metroak, litroak eta gramoak hamarnaka egiten dute gorantz eta beherantz. 10 l 100 dl Litro eta dezilitroen artean unitate maila bateko aldaketa dago, eta hamar unitate egin du behera. ADIBIDEA i) Adierazi metrotan 86 dm. ii) Adierazi kilometrotan 8,6 m. iii) iv) Adierazi dekametrotan 0,0086 km. Adierazi hektometrotan 8 dam 6 m dm = 86 dm. 111

119 7. NEURKETAK Bihurtu ditzagun taula gainean. Gogoratu koma unitate-neurriaren zutabean kokatu behar dela beti! km hm dam m dm cm mm 8, 6 0, , 8 6 0, 8 6 Lehenik, baieztatu, koma neurri-unitatearen zutabearen azpian dagoela. Bigarrenik, ohartu unitate-neurriak gorantz egiten duenean koma ezkerrerantz mugitzen dela, eta beherantz egiten duenean koma eskuinerantz mugitzen dela. Hirugarrenik, erreparatu koma mugitzean zenbakiak zifra gutxi baditu eta unitate-neurriaren aldaketak koma alde batera edo bestera asko mugitzea badakar, zeroak gehitu behar direla. Laugarrenik, jabetu gorantz egitean zeroak ezkerrean jartzen direla, eta beherantz egitean, eskuinean. Azken batean, Unitate-neurrien aldaketa egitea zatitzea eta biderkatzea da. Kontuan hartu: Neurri handi batek (1 kilometro) beti edukiko ditu neurri txikiagoko unitate pila bat (1 000 metro). BIDERKATZEA. Neurri txiki batek (1 metro) beti edukiko ditu neurri handiagoko oso unitate gutxi (0,001kilometro). ZATITZEA. 11

120 7. NEURKETAK 7.6 Luzera, edukiera eta pisuen arteko ERAGIKETAK EGITEA Hiru neurri horiekin eragiketak egiteko prozesua bera da. Ez da ezertan aldatzen. Beraz, kontuan hartu eragiketak egiteko emango ditugun azalpenak hiru neurriekin eragiketak egiteko baliagarriak direla. BATUKETA ETA KENKETA ADIBIDEA Kalkulatu 50 cl + 15,7 ml. Lehenengo pausoa, unitateak neurri bereko batugai bihurtzea. Hau da, cl-ak mltara aldatzea, edo alderantziz. Adibide honetan, ml-ak cl-tara pasatuko ditugu. Aurreko ataletan ikusi dugunez, unitateak hamarnaka handiagotzen eta txikiagotzen dira, beraz, 15,7 ml 1,57 cl. Bigarren pausoa, bi batugaien koma bata bestearen gainean jartzea eta eragiketa egitea. Beraz, 50 cl + 15,7 cl 65,7 cl Kenketa egin beharko bagenu, prozedura berari jarrai beharko genioke. BIDERKETA ADIBIDEA Kalkulatu 3,75 m,5 m Lehenengo pausoa, batuketan bezala, unitateak neurri bereko biderkagai bihurtzea. Adibide honetan, unitate-neurri bera dute; beraz, lehenengo pausoa egin beharrik ez dugu. Bigarren pausoa, eragiketa egitea. 113

121 7. NEURKETAK 3, 75 zifra hamartar x,5 1 zifra hamartar , = 3 zifra hamartar Hirugarren pausoa, emaitzari koma jartzea, biderkagaietan dauden adina zifra hamartar adierazteko. Beraz, 9,375 m Azken batean, zenbaki hamartarrei buruzko gaian biderketak egiteko ikasi genuen prozedura bera da. ZATIKETA Aurreko eragiketetan bezala, garrantzitsua da izendatzailea eta zenbakitzailea unitate-neurri berera aldatzea. Ondoren, ohiko zatiketen modura egingo dugu zatiketa. Zenbaki hamartarren arteko zatiketa nola egiten den gogoratzen ez baduzu, jo zenbaki hamartarrei buruzko gaira. 7.7 Azalera neurtzea Etxeen neurria edo salgai dagoen lursail baten magnitudea kalkulatzeko unitate giza azalera erabiltzen da. Atal honetan, azalerak nola neurtzen diren eta horiek neurtzeko unitate koadratikoak zein diren ikasiko dugu. Azalerak neurtzeko, koadro formako azalera kantitate jakin bat erabiliko dugu unitatetzat: unitate koadroa. Hala, azalera neurtzea azalera horrek zenbat unitate karratu dituen kalkulatzea izango da. 114

122 7. NEURKETAK UNITATE KOADROA ( 1 u.k.) A S A = 9 u.k. B S B = 6 u.k. Azalera-neurriak: Azalera-neurri unitaterik garrantzitsuena metro koadroa da. km hm dam m dm cm mm m m 100 m 0,01 m 0,0001 m 0, m Taula ulertzeko, begiratu hemen azpian duzun irudi honi. Irudiak metro karratua edo metro koadroa adierazten du. Metro koadroa dezimetro koadrotan deskonposatua dago. 115

123 7. NEURKETAK 1 dm 1 dm 1 dm 1 m 1 m Metro koadro bat 1 dm -ko 100 karratuk osatzen dute. Hau da; 1 m = 100 dm Azalera-unitateak, ehunaka handiagotzen edo txikiagotzen dira. Lursailen azalerak neurtzeko, beste neurri batzuk erabiltzen dira (laborantzaneurriak). Erabilienak area, hektarea eta zentiarea dira: area 1 a = 1 dam = 100 m hektarea 1 ha = 1 hm = m zentiarea 1 ca = 1m 116

124 7. NEURKETAK Unitate-aldaketak eta eragiketak: Azaleraren unitate-aldaketak luzera, pisu eta edukieraren unitate-aldaketekin alderatzen baditugu, ezberdintasun nagusi hauxe topatuko dugu: unitateak hamarnaka handiagotu edo txikiagotu ordez, ehunaka handiagotzen eta txikiagotzen direla. Beraz, koma bina zifraka mugitzen da, bai ezkerrera bai eskuinera. 50 km = hm m = dam Eragiketak luzera, pisu eta edukierarekin ikasi dugun bezala egiten dira. Ez da ezer ere aldatzen. 7.8 Bolumena neurtzea Bolumena objektu edo gorputz batek hartzen duen espazioari deritzo. Zenbat ur sartzen da botilan? Zenbat oxigeno dugu gizakiok gorputzean? Bolumena neurtzeko, kubo erako espazioa bat (unitate kubikoa) hartzen da unitatetzat. UNITATE KUBIKOA Unitate-aldaketak eta eragiketak orain arte ikusi ditugun unitate-neurri guztiekin bezala egiten dira, baina honako ezberdintasun honekin: bolumen-unitateak milaka handiagotzen eta txikiagotzen dira, eta ez hamarnaka edo ehunaka, aurreko unitateak bezala. 117

125 7. NEURKETAK ADIBIDEA kg 3 hg 3 dag 3 g 3 dg 3 cg 3 mg kg 3 = hg 3 Unitate batetik besterako aldaketa egitean, milaka handiagotzen edo txikiagotzen da. i) Adierazi dm 3 -tan 459 dam 3 ii) Adierazi hm 3 -tan m 3 iii) Adierazi cm 3 -tan 1 mm 3 km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm , , 1 Bolumena eta edukiera magnitude bera neurtzeko erabiltzen ditugu. Nahiz eta edukiera likidoekin lotutako magnitudea dela pentsatu eta bolumena solidoek betetzen duten espazioa neurtzeko magnitudea izan, biak magnitude bera neurtzeko erabiltzen dira. LITROA DEZIMETRO BATEKO ERTZA DUEN KUBOAREN EDUKIERA DA. 1L = 1DM 3 118

126 7. NEURKETAK 1 L = 1 DM 3 Ikus dezagun: 1 l = 1 dm 3 dela kontuan hartuta, eta litroak hamarnaka eta metro kubikoak, aldiz, milaka handiagotzen eta txikiagotzen direla gogoan izanik: m3 m 3 dm3 dm 3 cm3 cm Kl hl dal l dl cl ml 1 kl = l = 1 m 3 1 l = 1 dm 3 1 ml = 0,001 l = 1cm 3 119

127 7. NEURKETAK Bolumena eguneroko bizitzan asko erabiltzen ez dugunez, ez dugu horretan gehiago sakonduko. Aski izango da unitateak handiagotzean eta txikiagotzean milaka aldatzen direla jakitea. Hala eta guztiz ere, aipa ditzagun eguneroko bizitzan erabiltzen diren eta neurketa bolumenetan egiten duten tresna batzuk: Errezeten neurriak zehatz-mehatz kalkulatzeko edalontzi modukoak. Esperimentuak egiteko euskarria eta neurketak egiteko tresna. Xiringa asko erabiltzen da osasun alorrean. 10

128 7. NEURKETAK 7.9 Sistema hirurogeitarra Sistema hirurogeitarra angeluak eta denborak neurtzeko erabiltzen da. Hirurogeitarra esaten zaio, maila bateko 60 unitatek hurrengo maila handiagoko unitate bat osatzen dutelako. Unitate bakoitza aurreko unitatea baino hirurogei aldiz handiagoa eta hurrengo unitatea baino hirurogei aldiz txikiagoa da, alegia. Sistema hamartarrean unitate bakoitza aurreko unitatea baino 10 aldiz handiagoa da. Sistema hirurogeitarrean, aldiz, unitate bakoitza aurreko unitatea baino 60 aldiz handiagoa da. ANGELUEN NEURRI-UNITATEAK Sistema hirurogeitarrean, gradua da angeluen neurri-unitatea. Angeluak doitasun eta zehaztasun handiagoz neurtzeko, gradua baino unitate txikiagoak erabiltzen dira: minutua eta segundoa. Begiratu honako taula honi: UNITATEA IKURRA BALIOKIDETASUNA Gradua 1 = 60' Minutua ' 1' = 60" Segundoa " 1 = 3.600" Beraz, gradu bati 60 minutu dagozkio minutu bati, 60 segundo eta gradu bati, segundo Unitate batetik bestera pasatzeko, zera egin behar da: 11

129 7. NEURKETAK : 60 : 60 Gradua Minutua Segundoa Gradua Minutua Segundoa : DENBORAREN NEURRI-UNITATEAK Denboraren neurri-unitateak mendea, urtea, hilabetea, eguna dira. Eguna baino denbora-tarte laburragoak neurtzeko, ordua, minutua eta segundoa erabiltzen dira. Angeluen neurri-unitate diren aldetik, orduak, minutuak eta segundoak ere sistema hirurogeitarrekoak dira: izan ere, maila bateko 60 unitatek hurrengo maila handiagoko unitate bat osatzen dute. UNITATEA IKURRA BALIOKIDETASUNA Ordua h 1 h = 60 min Minutua min 1 min = 60 s Segundoa s 1 h = s : 60 : 60 Ordua Minutua Segundoa Ordua Minutua Segundoa :

130 7. NEURKETAK ERAGIKETAK, SISTEMA HIRUROGEITARREAN: BATUKETAK Angelu- edo denbora-neurrien batuketak egiteko, batugaiak multzotan bildu behar dira: graduak graduekin, orduak orduekin, minutuak minutuekin eta segundoak segundoekin. Emaitza lortu ondoren, kontuan izan: - Segundoak 60 baino gehiago badira, minututan adieraziko ditugula. - Minutuak 60 baino gehiago badira, berriz, ordutan eta gradutan adieraziko ditugula. ADIBIDEA Ordenagailua goizean 3 h 5 min 48 s piztuta egon da, eta arratsaldean, berriz, 5 h 48 min 9 s. Zenbat denbora egon da piztuta ordenagailua? Goian azaldutako irizpideak kontuan izanik, minutuak eta segundoak ezin dira 60 baino gehiago izan: 3 h 5 min 48 s + 5 h 48 min 9 s 8 h 73 min 77 s + 1 min 17 s 8 h 74 min 17 s + 1 h 14 min 9 h 14 min 17 s Angeluak edo denborak kalkulatzea gauza bera da; eragiketa ez da ezertan aldatzen, beraz, jarraitu beharreko bidea ere ez. ERAGIKETAK, SISTEMA HIRUROGEITARREAN: KENKETAK Kontuan izan beharreko irizpideak berdinak dira eragiketa guztiei dagokienez, baina ikus dezagun kenketaren adibide bat. 13

131 7. NEURKETAK ADIBIDEA Egin kenketa hau: 15 13' 5" - 1 6' 50" ' 5" 15 1' 65" 14 7' 65" - 1 6' 50" - 1 6' 50" - 1 6' 50" 46' 15" ERAGIKETAK, SISTEMA HIRUROGETIARREAN: BIDERKETAK Denbora- edo angelu-neurriak zenbaki arrunt batez biderkatzeko: Biderketa beti bezala egin. Unitateren bat, minutuak edo segundoak, 60 baino handiagoa bada, 60-ko multzoak egin eta ateratzen den multzo kopurua ezkerreko unitateari gehitu. 60-ko multzoa osatu gabe gelditzen diren minutuak edo segundoak jatorrizko unitatean utziko ditugu. Ordu eta graduen unitateak, berriz, 60 baino handiagoak izan daitezke, eta, beraz, horiekin ez da unitate-aldaketarik egin behar. ADIBIDEA Egin biderketa hau: 1 3' 10" ' 10" x ' 150" 150" = (60" ) + 30" = ' + 30" ' 30" 15 48' 30" 48' = (60' 8) + 30' = ' 8 ' 3 ' 30" 14

132 7. NEURKETAK ERAGIKETAK, SISTEMA HIRUROGEITARREAN: ZATIKETAK Denbora edo angelu-neurriak zenbaki arrunt batez zatitzeko, jarri arreta honako azalpen honetan: Zatiketa beti bezala egin. Gradu edo orduen zatidura atera, sobera gelditzen dena minututara pasatu (bider 60 eginda). Sobera geratu den hori, minututara aldatutakoa, zatikizuneko minutuei batu eta atera zatidura. Sobera gelditzen dena segundotara pasatu (bider 60 eginda). Sobera gelditutako segundoak zatikizuneko segundoei gehitu eta atera zatidura. Sobera gelditzen dena zatiketaren hondarra da. ADIBIDEA Egin zatiketa hau: ( 8 14' 3") : ' 3" = 60' 9 4' " Zatidura 74' ' ' 60 = 10" 15" " Hondarra Begiratu adibidearen gaineko azalpenari, eta jarraitu pauso horiei, zatiketa nola egiten den ikasteko. 15

133

134 8. HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK 8. HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK 8.1 Hizkuntza aljebraikoa Askotan, gauza bat kontatzen dugunean, lagunek ez digute ulertzen, oso esaldi luzeak erabiltzen ditugulako. Matematikan, maiz gertatzen da hori: esan nahi duguna oso erraza da, baina hori adierazteko modua oso zaila! Adibidez: Manuk daukan dirua Edurnek daukanaren bikoitza da. Bestalde, euskaraz ari bagara, errusieraz besterik ez dakien batek ez digu ezertxo ere ulertuko! Horregatik, matematikan, hizkuntza internazional bat sortu da, denboraren poderioz: hizkuntza aljebraikoa, alegia. Nola idatziko genuke aljebraikeraz Xabierrek daukan dirua Edurnek daukanaren bikoitza da? Ez dakigu zenbat diru daukan Xabierrek, baina badakigu zenbaki bat dela! Orduan, zenbaki hori, letra baten bidez adieraziko dugu. Oro har, x letra erabili ohi da. Bi zenbaki baino gehiago adierazi nahi baditugu, berriz,... x, y eta z letrak erabiliko ditugu. Hala, honela idatziko dugu aurreko esaldia: x = y Non x-k Xabierrek duen dirua adierazten duen, eta y-k, berriz, Edurnek duen dirua. Amaiak 7 puxtarri ditu, baina ez dakigu zenbat puxtarri dituen Peruk! Hauxe da dakiguna: bien artean 1 puxtarri dituzte. 16

135 8. HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK Non x-k Peruk daukan puxtarri kopurua adierazten duen. Adierazi nahi ditugun zenbakiak arruntak badira, ohituraz n letra erabiltzen da. ADIBIDEAK Ondoz ondoko bi zenbaki arrunten arteko biderkadura: n ( n +1). Ondoz ondoko hiru zenbaki arrunten arteko batura: + ( n + 1 ) + ( n + ) Zenbaki arrunt baten koadroa: n. n. Hizkuntza honetan oinarrituta, asmakizun asko ebatz ditzakegu! Ba al zenekike zenbat puxtarri dituen Peruk? Ji, ji, ji. BERDINKETAK: Berdinketa = ikurra duen adierazpen aljebraikoa da. = ikurra oso garrantzitsua da matematikan, eta ez dugu edonola erabili behar! = ikurrak berdintasuna adierazten du. Adibidez, 1 + = 3 egia den berdinketa bat da, eta 1 + = 7, berriz, gezurra den berdinketa bat! 17

136 8. HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK ADIBIDEAK + x = 5 ez da beti egia, x = 3 denean bakarrik betetzen da. x = x +1 beti gezurra den berdinketa bat da. ( a b) = a + ab + b + beti egia den berdinketa bat da (a-ren eta b-ren edozein baliotarako) a + b = b + a beti egia den berdinketa bat da (a-ren eta b-ren edozein baliotarako) a b a+ b 4 4 = 4 beti al da egia? 8. Ekuazioak eta identitateak EKUAZIOAK beti egia ez diren berdinketak dira, eta IDENTITATEAK, aldiz, beti egia diren berdinketak. ADIBIDEZ, x 3 = adierazpena ekuazioa da, x = 6 denean bakarrik delako egia; gainerako kasu guztietan gezurra da! x 3 3x = adierazpena identitatea da, x -ren balio guztietarako egia 5 10 delako. Zer da honako adierazpen hau? Ekuazioa ala identitatea? 9 + a = 3 + a 18

137 8. HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK = a = 0 denean egia da: = 3 hartzen baitute = Baina a = 4 denean gezurra da! = 7 9 = bi adierazpenek balio bera = 5 = 5 Ez dira berdinak! Ondorioz, 9 + a = 3 + a adierazpena ekuazioa da, adierazpen matematikoa betetzen duen a-ren balio bat bakarrik dagokiolako; ez da identitatea. Oro har, EKUAZIOA ezaguna ez den zenbakiari zenbait balio dagokionean. IDENTITATEA ezaguna ez den zenbakiari balio guztiak dagozkio. 8.3 Ekuazio baten soluzioak Ekuazio baten soluzioak ekuazio hori BETETZEN duten (egia bihurtzen duten) balioak dira. ADIBIDEAK 3 + x = 8 ekuazioak soluzio bakarra du, x = 5 alegia, x -ren beste balio guztietarako gezurra baita. (adibidez, x = 1 eginda, = 8 4 = 8 gezurra ateratzen da). 1 + x = 4 ekuazioak soluzio bakarra du, x = 6 alegia, x -ren beste balio guztietarako gezurra baita. (adibidez, x = 10 eginda, = = 4 6 = 4 gezurra ateratzen da). Zein da, zure ustez, 4 x = 1 ekuazioaren soluzioa? x 3x + = 0 ekuazioaren soluzioa da x = 1? Eta x = 3? 19

138 8. HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK x = 1 denean, ekuazioan x-ren partez 1 ordezkatuta, hauxe lortzen da: = = 0 0 = 0, hau da, egia da, eta, ondorioz, x = 1 ekuazioaren soluzioa da. x = 3 denean, ekuazioan x-ren partez 3 ordezkatuta, hauxe lortzen da: = = 0 = 0, hau da, gezurra da, eta, ondorioz, x = 3 ez da ekuazioaren soluzioa! Baina nola aurkitu ekuazio baten soluzioak? Ekuazio baten soluzioak bilatzeari ekuazioa ebaztea deritzo, eta zeregin horretarako truku eta trikimailu batzuk ikasiko ditugu. 8.4 Ekuazioen ebazpena, x-ren bila: EKUAZIOAN x BAKARRA DAGOENEAN Gogoan dituzu Amaia eta Peruren puxtarriak? Hau zen egoera: Amaiak 7 puxtarri ditu, baina ez dakigu zenbat puxtarri dituen Peruk! Dakiguna hauxe da: bien artean 1 puxtarri dituzte. Egoera horren adierazpen aljebraikoa hau zen: 7 + x = 1, ekuazio bat, hain zuzen ere. Zein izango da ekuazio honen soluzioa? Hau da, zenbat puxtarri ditu Peruk? Dagoeneko, seguru badakizula zenbat kanika dituen Peruk, ezta? Hausnartu dezagun nola iritsi garen ondorio horretara. 5, noski! Amaiak 7 baditu, 1ra iristeko 5 falta dira; orduan, Peruk 5 izan behar ditu, ez? Hau da, x = 5 izango da. Ekuazio batzuen ebazpena ez da hain erraza, ordea; horrexegatik, ekuazio hori ebazteko beste modu bat erabiliko dugu, kasu zailagoetan zer egin jakiteko. 7 = 1 + x ekuazioak, = ikurraren ezkerraldean 7 + x dauka, eta eskuinaldean, 1. Bi gauza horiek berdinak badira, biei 7 kentzen badiegu, gelditzen diren bi gauzek berdinak izaten jarraituko dute, ez? Beste modu batean esanda: 130

139 8. HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK 7 + x = x 7 = 1 7 Ikur hau, beraz edo orduan irakurriko dugu. Zer gertatzen da lortu dugun ekuazioaren ezkerraldean? x bakarrik gelditu dela! Begira: 7 + x = x 7 = 1 7 x = 5 Eta soluzioa lortu dugu! Helburua beti bera da: x bakarrik uztea = ikurraren alde batean. Horrela, konturatu gabe soluzioa lortuko dugu! Lana aurrezteko, horrela idatziko dugu ebazpena: 7 + x = 1 x = 1 7 x = 5 Eta esango dugu ezkerraldean batugai gisa ageri den 7 hori, eskuinaldera aldatzean, kentzailea izango dela; baina ez ahaztu hori egin dugunaren laburpena dela! Zenbakiak ez dira alde batetik bestera pasatzen; benetan egin duguna zera da: bi aldeei 7 kentzea! Eta zer egingo dugu kentzen ari diren zenbakiekin? Adibidez, nola ebatziko dugu x 3 = 8ekuazioa? Ekuazio hori egoera erreal bati dagokio; adibidez, 3 ordaindu ondoren, 8 geratu zaizkit. Zenbat euro nituen ordaindu baino lehen? Ekuazio honen ebazpen osoa hauxe da: 131

140 8. HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK Ebazpen osoa: x 3 = 8 x = x = 11 Eta ebazpen laburtua: x 3 = 8 x = x = 11 Eta esango dugu ezkerraldean kentzaile modura ageri zen 3 hori eskuinaldera aldatu dugula, batugai gisa; baina ez ahaztu hori egin dugunaren laburpena dela! Hau da, ekuazioaren bi aldeei 3 gehitu diegu. Oro har, Kentzen ari diren zenbakiak, ekuazioaren beste aldera gehitzen pasatzen dira. Gehitzen ari diren zenbakiak, ekuazioaren beste aldera kentzen pasatzen dira. ETA ZER GERTATUKO DA x ZATITZEN BADU? ZENBAKI BATEK BIDERKATZEN EDO ADIBIDEA 3 x = 1, hau da, zenbaki bati 3 zenbakiaz biderkatzen badugu, 1 ematen du. Zein da zenbaki hori? 13

141 8. HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK 3 x = 1 ekuazioa ebazteko, bi aldeak 3 zenbakiaz zatituko ditut (ezkerraldeko 3 hori sinplifikatzeko!) Ebazpen osoa: 3x 1 3 x = 1 = x = Ebazpen laburtua: 1 3 x = 1 x = x = 7 3 Eta esango dugu ezkerraldean biderketan ageri den 3 hori, eskuinaldean zatitzaile modura pasatu dugula; baina ez ahaztu hori egin dugunaren laburpena dela! Hau da, ekuazioaren bi aldeak 3 zenbakiaz zatitu ditugu. Eta x zenbaki batek zatitzen badu? x Adibidez: 4 5 =. Beharbada, dagoeneko bururatuko zitzaizun zer egingo dugun! Ekuazioaren bi aldeak 5 zenbakiaz biderkatuko ditugu, ezkerraldean zatitzaile modura ageri den 5 hori sinplifikatzeko: Ebazpen osoa: x x = 4 5 = 5 4 x =

142 8. HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK Ebazpen laburtua ondokoa da: x 5 = 4 x = 5 4 x = 0 Eta esango dugu ezkerraldean zatitzaile gisa ageri zen 5 hori, eskuinaldera aldatuta, biderkatzaile bihurtu dela; baina ez ahaztu hori egin dugunaren laburpena dela! Hau da, ekuazioaren bi aldeak 5 zenbakiaz biderkatu ditugu. Baina, eragiketa gehiago daudenean... zer egin dezakegu ekuazio bat ebazteko? Ikus dezagun, pixkanaka-pixkanaka: trukua beti berdina izango da, ekuazioaren bi aldeetan beti eragiketa bera egin, x bakarrik uzteko! Adibidez: 3 x + 7 = 13 ekuazioa ebazteko, honako pauso hauei jarraituko diegu: 3x 6 3 x + 7 = 13 3x = x = 6 = x = 3 3 Bi aldeetan 7 kendu Bi aldeak 3z zatitu Modu laburtuan, honela idatziko dugu: 6 3 x + 7 = 13 3x = x = 6 x = x = 3 134

143 8. HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK ADI! Kontuan hartu ezin gula 3 zenbakia beste aldera zatitzaile modura pasatu, baldin eta aurretik 7 zenbakia eskuinera aldatzen ez badugu, kentzaile modura! Begira zer gertatuko litzatekeen, bestela: 3x x x + 7 = 13 = + = x + = x = Bi aldeak 3z zatitu Bi aldeetan 3 7 kendu 13 7 x = 3 x = 6 3 x = Ebazpena zuzena da, baina askoz ere konplikatuagoa eta... nola idatziko zenuke modu laburtuan? Aholku bat: biderkatzen edo zatitzen ari den zenbaki bat, beste aldera zatitzen edo biderkatzen pasatu baino lehen... ziurta zaitez gai guztiak biderkatzen edo zatitzen ari dela, eta ez gai bakar bat! Horretarako, irizpide bezala, lehenengo urratsean, batugai edo kentzaile modura ari diren zenbakiei erreparatuko diegu, lehen-lehenik. Beste adibide bat: x 1 = 4 3 Ebazpen osoa x 1 = 4 3 x 1+ 1 = x 3 = 5 x 3 3 = 3 5 x = 15 Bi aldeetan 1 gehitu Bi aldeak 3z biderkatu 135

144 8. HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK Ebazpen laburtua x 1 = 4 3 x 3 = x 3 = 5 x = 3 5 x = 15 Normala denez, modu laburtua lehenetsiko dugu, askoz erosoagoa delako. Hemendik aurrera, ebazpen laburtuak bakarrik idatziko ditugu, ados? Oro har, Bidertzen ari diren zenbakiak, ekuazioaren beste aldera zatitzen pasatzen dira. Zatitzen ari diren zenbakiak, ekuazioaren beste aldera bidertzen pasatzen dira. EKUAZIOAN x BAT BAINO GEHIAGO DAGOENEAN Eta zer gertatzen da x ekuazioaren bi aldeetan azaltzen bada? Hau da hau! ADIBIDEA Nola ebatziko dugu 5 x 3 = 3x + 11 ekuazioa? Irizpidea hauxe da: lehenengo urratsean, x duten gaiak = ikurraren alde batean eta x ez dutenak beste aldean jartzea lortu! Hau da: 14 5 x 3 = 3x x 3x = x = 14 x = x = 7 136

145 8. HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK 3x 1 x Beste adibide bat: = Ene! Ea moldatzen garen! 3x 1 x = + Lehenengo pausoa x duten gaiak = ikurraren alde batera eta x ez dutenak beste aldera eramatea izango da; ea lortzen dugun! 3x 1 x 3x x = + = zatikiak jada landuta dauzkat, ji, ji. 1 3 Orain, laburtu egin beharko! Zorionez, 3x x 1 15x 8x x 8x x 7 = + = + = = x = x = x = Tira, kostata, baina lortu dut! Ekuazio horren ebazpena Amaia eta Perurena baino askoz konplikatuagoa zen, ezin izango nukeen buruz ebatzi! Noski, ekuazio guztien soluzioek ez dute zertan zenbaki arruntak izan behar! Zatikiak ere izan daitezke! Badago ekuazio bera ebazteko beste modu bat, ea zein modu gustatzen zaizun gehiago: Beste modu bat: Izendatzaile guztiak sinplifikatzeko, ekuazioaren bi aldeak izendatzaileen multiplo komunetako txikienaz biderkatuko ditut! 137

146 8. HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK 3x 1 x 3x 1 x 3x 1 x = + 60 = = x 0 = 1 x x 0 = 4x x 4x = x = 140 Lortu dut izendatzailerik gabeko ekuazio bat! Eta badakit horiek nola ebazten diren! x = x = 0 3 Ji, ji, ji, bi modu desberdinetan ebatzi dut ekuazioa, eta soluzio bera lortu dut! Hau da hau, zein gauza kuriosoak dituen matematikak! Ea hurrengoarekin ausartzen naizen! Nire ustez, aurkituko dugu ezkutatuta dagoen altxorra (x-ren balioa alegia). x 7x + 4 = Tira, banoaaaaaaaaaaaaa! x 7x 9 x 7x 9 8x 1x 9 8 8x = + = 4 = x = x 1 = 1 13x = 1 13x = 6 x = 6 13 x = 6 13 Eta bi aldeak izendatzaileen multiplo komunetako txikienaz biderkatuz nola egingo nuke? 138

147 8. HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK x 7x 9 x 7x 9 x = = = 1 x x + 48 = 1x x 1x = x = 6 x = x = x Oro zenbaki har, ezezaguna duten zifrak ekuazioaren alde batera eta x-rik ez dutenak beste aldera eraman. ADIBIDEZ, 8 x + 3x 0x = Bigarren mailako ekuazioak: Orain arte, ez dugu aztertu x ber bi agertzen zen ekuaziorik. Zer gertatzen da azaltzen denean? x Hori gertatzen bada, gai guztiak alde batera pasatzen eta = ikurraren beste aldean 0 jartzen saiatu behar dugu, adibidez: 6x + 4x 16 = 4x 10 ekuazioa ebazteko, lehenengo pausoa hau izango da: 6x + 4x 16 = 4x 10 6x + 4x 16 4x + 10 = 0 6x 4x + 4x = 0 x + 4x 6 = 0 Eta lortu dugu ax + bx + c = 0 motako ekuazio bat. a, x biderkatzen duen zenbakia da, b, berriz, x biderkatzen duena, eta c, x-rik gabeko gaia. 139

148 HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK Orain, honako formula hau erabiliko dut: a ac b b x 4 ± = eta ekuazioak dituen soluzio guztiak lortuko ditut. Adibide honetan: = = = 6 4 c b a dira Orduan: ( ) = = = = + = ± = ± = + ± = ± = x Ekuazioak bi soluzio ditu! Hau da, x-ren bi baliorentzako betetzen da, x = 1 eta x = -3 balioetarako, hain zuzen. Formula miresgarri hori nondik ateratzen den jakin nahi baduzu... pixka bat itxaron beharko duzu! Ez baita bat ere erraza formula horren zergatia azaltzea! Bigarren mailako ekuazio batek soluzio eduki ditzake, edo bakarra, edo batere ez! Ikus ditzagun hiru kasu horiek, adibide batzuen bidez: Bi soluzio: ( ) ( ) = = = = + = ± = ± = ± = ± = = + x x x Soluzio bakarra:

149 8. HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK x 6x + 9 = 0 x = ( 6) ± ( 6) ± = ± 0 = = 6 = 3 Soluziorik ez: 3 ± ± ± 15 x + 3x + 6 = 0 x = = = eta 15 ez da 1 zenbaki erreala 15 ez da orain arte landu ditugunen moduko zenbaki bat! Kalkulagailuan 15 kalkulatzen saiatzen bazara, ez duzu emaitzarik lortuko. Kalkulagailuak errorea dela esango dizu! BIGARREN MAILAKO EKUAZIO BATZUEN EBAZPENA, FORMULA ERABILI GABE Ebatzi behar dugun bigarren mailako ekuazioan b = 0 bada edo c = 0 bada, ekuazioa formula erabili gabe ebatz daiteke. Ikus dezagun nola: b = 0 kasua: 3x 48 = 0 3x = 48 x = 48 3 x = 16 x = ± 16 x = ± 4 Ekuazio horrek bi soluzio ditu, x = 4 eta x = -4, hain zuzen ere. c = 0 kasua: 141

150 8. HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK x + 7x = 0 x ( x + 7) = 0 x = 0 x + 7 = 0 x = 7 Bi zenbakiren biderkadura 0 izan dadin, bi zenbaki horietako batek 0 izan behar du! Ekuazio horrek bi soluzio ditu, x = 0 eta x = -7 alegia Oro har, Bigarren mailako ekuazioak: ax + bx + c = 0 Formula orokorra: x = b ± b 4ac a b = 0 kasua: ax + c = 0 koadroa kalkulatu x askatu, eta, gero, lortu duzunaren ± erro c = 0 kasua: ax + bx = 0 atera biderkagai komuna, x, eta banatu ekuazioa lehenengo mailako bi ekuaziotan (ez ahaztu zergatik egin daiteken!) c = 0 kasua: ax + bx = 0 atera biderkagai komuna x eta banatu ekuazioa lehenengo mailako bi ekuaziotan (ez ahaztu zergatik egin daiteken!!!!) 8.6 BI EZEZAGUNEKO EKUAZIO-SISTEMA LINEALAK: Orain arte ezezagun bakar bat zuten ekuazioak landu ditugu. Bi ezezagun baditugu, bi ekuazio osatu beharko ditugu, halako ekuazioek infinitu soluzio baitituzte! 14

151 HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK Adibidez: 5 3 = + y x ekuazioak infinitu soluzio ditu, besteak beste: = = 1 1 y eta x eta = = 1 4 y eta x eta = = 3 y eta x Eta horrela, infinitu bikote aurki ditzakegu, Soluzio bakarra izateko, bi ekuazio beharko ditugu. Adibidez: = + = y x y x Bi ekuazio horietako lehenengoak infinitu soluzio ditu, eta bigarrenak ere infinitu soluzio izango ditu, baina bi ekuazioak elkartzen baditugu, ekuazio-sistema lineala osatu eta soluzio bakarra izango da posible! Nola bilatu soluzio hori? Hiru metodo daude: berdinketa-metodoa, ordezkapen-metodoa eta laburpen-metodoa. = + = y x y x Trikimailua: ezezagun bera (x edo y) askatu, bi ekuazioetan, eta lortutako adierazpenak berdindu. Adibidez, x askatuko dut bi ekuazioetan: = = = = = + = y x y x y x y x y x y x BERDINKETA-METODOA

152 8. HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK Orduan: 5 3y 7 5y = 4 4 ( 5 3y) = ( 7 5y) 0 1y = 14 10y 1y + 10y = y = 6 y = y = 3 Eta x-ren balioa jakiteko, komeni zaigun tokian ordezkatuko dugu y-ren balioa; 5 3y adibidez, hemen: x =. 5 3y x = x = = = 4 = Soluzioa hau izango da: x = y = 3 Nahi baduzu, hasierako sisteman ordezkatu x = - eta y = 3, eta baieztatu bi ekuazioak betetzen direla! ORDEZKAPEN-METODOA x + 3y = 5 4x + 5y = 7 Trikimailua: ekuazio batean ezezagun bat askatu (x edo y) eta lortutako adierazpena beste ekuazioan ordezkatu. Adibidez, bigarren ekuazioan y askatuko dut, eta, gero, lortu dudan adierazpena lehenengo ekuazioan y-ren partez ordezkatuko dut. 144

153 HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK = + = + = = + = = + = + = x x x x x y y x x y y x y x y x = = + = + = + = x x x x x x 4 4 = = = x x x Eta y-ren balioa jakiteko, x-ren balioa ordezkatu, komeni zaigun tokian: ( ) = = + = = = y x y Soluzioa = = 3 y eta x da. = + = y x y x Trikimailua: biderkatu lehenengo ekuazioa komeni zaizun zenbakiaz, eta bigarren ekuazioa komeni zaizun beste zenbaki batez, honako helburu hau lortzeko moduan: nahi duzun ezezagunaren koefizienteak (x edo y) elkarren kontrakoak izatea bi ekuazioetan! LABURPEN-METODOA

154 HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK ( ) 1 AUKERA: lehenengo ekuazioa bider (-5) egiten badut eta bigarren ekuazioa bider (3) egiten badut, lehenengo ekuazioan 15y geldituko da, eta bigarrenean, +15y. AUKERA: lehenengo ekuazioa bider (-) egin, eta bigarren ekuazioa dagoen bezala utzi. Hori eginda, lehenengo ekuazioan 4x geldituko da, eta bigarren ekuazioan, 4x. Bigarren aukera errazagoa iruditzen zait. = + = = + = y x y x y x y x Orain bi ekuazioak gehitu egingo ditut = = + = y y x y x Orduan, 3 = y da, eta x-ren balioa jakiteko, hasieran genituen ekuazioetako edozeinetan ordezkatuko dut y-ren balioa, adibidez, lehenengoan: = = = = = + = + = + x x x x x x y x Eta, orain, badakit soluzioa = = 3 y eta x dela!

155 8. HIZKUNTZA ALJEBRAIKOA ETA EKUAZIOAK Bi ezezaguneko ekuazio linealen ebazpena: Berdinketa-metodoa: Ezezagun bera askatu, bi ekuazioetan, eta lortutako adierazpenak berdindu. Ordezkapen-metodoa: Ekuazio batean ezezagun bat askatu, eta lortutako adierazpena beste ekuazioan ordezkatu. Laburpen-metodoa: Biderkatu ekuazio bakoitza komeni zaizkizun zenbakiekin (ekuazio bakoitza komeni den zenbakiarekin) ezezagun baten koefizienteak bi ekuazioetan elkarren kontrakoak izateko moduan; gero batu bi ekuazioak, eta horrela ezezaguna desagertu egingo da! 147

156

157 9- IRUDIEN ANTZEKOTASUNA: TALESEN TEOREMA 9. IRUDIEN ANTZEKOTASUNA: TALESEN TEOREMA Talesek zioenez, bi triangelu elkarren antzekoak direnean, euren aldeen arteko proportzioak mantendu egiten dira. Asmakuntza hori eguzki-izpiek eguneroko bizitzan sortzen dituzten itzaletan oinarritua zen, eta Talesen teorema du izena. Talesen teoremarekin aurrera egin aurretik, garrantzizkoa da jakitea triangelu baten 3 angeluen batura 180 dela. Hau da, Garrantzitsua da hori jakitea, triangeluen antzekotasuna lantzeko. Noiz dira bi triangelu elkarren antzekoak? Hiru angeluak berdinak dituztenean, hau da, forma berekoak direnean, nahiz eta, beharbada neurri desberdinetakoak izan. Bi triangelu hauek antzekoak dira: Bi triangelu hauek ez dira antzekoak: 148

158 9- IRUDIEN ANTZEKOTASUNA: TALESEN TEOREMA Ez dago beti hiru angeluak aztertu beharrik bi triangelu antzekoak direla baieztatzeko. Hona hemen irizpide batzuk: 1. Bi triangelu antzekoak dira, baldin eta bi angelu berdin badituzte. Â = A ˆ eta Bˆ = B ˆ Triangeluaren hiru angeluen batura 180 dela jakini k, bi angelu ezagutzen baditugu erraza da hirugarren hori nolakoa den jakitea. Eta beraz, bi triangeluek bi angelu berdin badituzte, falta den angelua ere berdina izango dute bi triangeluek.. Bi triangelu antzekoak dira, baldin eta bi alde proportzionalak badira eta alde horiek osatzen dituzten angeluak berdinak badira. b a b' a' d d' 149

159 9- IRUDIEN ANTZEKOTASUNA: TALESEN TEOREMA edo edo Oro har, Bi triangelu antzekoak dira: Bi angelu berdin badituzte. Bi alde proportzionalak badira eta haien arteko angeluak berdina badira. Bi puntu horietako bat betetzen denean, bestea ere betetzen da. ADIBIDEA Antzekoak al dira bi triangelu hauek? = 60 Falta den angeluak 60 -ko neurria dauka = 0 Falta den angeluak 0 neurtzen du. Beraz, triangeluak antzekoak direla baiezta dezakegu. 150

160 9- IRUDIEN ANTZEKOTASUNA: TALESEN TEOREMA Bi triangeluen angeluak berdinak direla ikusteko, ez dugu hiru angeluak zertan egiaztatu. Nahikoa da bi egiaztatzea.talesen teorema: Bi triangelu antzekoak badira (hau da, lehen aipatutako irizpideak betetzen badituzte), orduan euren aldeen proportzioak ez dira aldatzen. Hau da: a d a d b b TALESEN TEOREMAREN APLIKAZIOA Zenbat metroko luzera du zuhaitz handiak, txikia 1 m luze bada? x 151

161 9- IRUDIEN ANTZEKOTASUNA: TALESEN TEOREMA Irudian bi triangelu daude, bata bestearen barruan. Zuhaitz txikia zuhaitz handiak osatzen duen triangeluaren barruan dago. Ondo begiratzen badiegu, triangeluek angelu berdin dituztela ikusiko dugu. Aipatutako irizpideen arabera, badakigu angelu berdin badituzte triangeluak antzekoak direla. Triangeluak antzekoak direnean beren aldeak proportzionalak direla ere esaten digu Talesen teoremak. Beraz, honako kalkulu hau egin dezakegu zuhaitzaren altuera zenbatekoa den jakiteko. 4, = x 1,5 18 = x 1,5 1 = 18x 70 = 18x = x 15 = x Beraz, zuhaitzak 15 metroko altuera du. ADIBIDEA Zenbat luze da Iñakik? 15

162 9- IRUDIEN ANTZEKOTASUNA: TALESEN TEOREMA Irudiari ongi begiratzen badiogu, konturatuko gara triangelu handiaren barruan triangelu txikiago bat dagoela. Arreta jartzen jarraitzen badugu, bi triangeluek angelu berdin dituztela ohartuko gara. Beraz, triangeluak antzekoak direla esan dezakegu. Antzekoak direnez, badakigu beren aldeen artean proportzioa dagoela, halaxe baitio Talesen teoremak. Beraz, kalkula dezagun zenbat neurtzen duen Iñakik: x, 3,4 = 1,7 =, x 3,4 =,x = x 1, 54 = x 1,7, Iñakik 1,54 metro luze da. ADIBIDEA Metro bateko neurria duen erregela baten itzalak 1 7 metro baditu... zer neurrri du dorreak, haren itzalak une horretan 3 m badu? 1m  1 7m 153

163 9- IRUDIEN ANTZEKOTASUNA: TALESEN TEOREMA Une horretan eguzki-izpiek angelu bera eratzen dute lurrarekin, eta erregelak eta dorreak lurrarekin 90º-ko angelua osatzen dutenez, bi triangeluek bi angelu berdinak dituzte; beraz, bi triangeluak antzekoak dira, eta Talesen teorema aplika dezakegu: x 1 3 = x = 13'53 1'7 Orduan, dorreak m neurtzen du. Azken batean, gai honetan landutakoari esker, problemak ebazteko hainbat bide erabiltzeko aukera izango dugu. Irizpide garrantzitsuena triangeluak osatzen jakitea da, nahi dugun datua behar bezala kalkulatzeko 154

164

165 10. PERIMETROAK ETA AZALERA 10. PERIMETROAK ETA AZALERA 10.1 Pitagorasen teorema Triangelu angeluzuzenak angelu zuzen bat du; beste era batera esanda, 90 -ko angelu bat du. b 90 d a Katetoak: angelu zuzena gauzatzen duten aldeak (b, d). Hipotenusa: angelu zuzena ukitzen ez duen aldea (a). Pitagorasen teoremari esker, triangelu angeluzuzenen alde baten luzera kalkula daiteke, beste aldeen luzerak jakinik. Pitagorasen teoremaren formula: a = b + d ADIBIDEA Eraikin batek 85 m-ko garaiera du. Zaborrontzia 55 m-ra dago. Zenbatekoa da etxeko teilatutik zaborrontzira doan hodia? Hipotenusaren formula erabiliz:? a = b + d a = = 4.00 Zaborra zaborrontzira iristeko 4.00 m-ko hodi bat behar da. 155

166 10. PERIMETROAK ETA AZALERA 10. Paralelogramoa Paralelogramoa aldeak binaka paraleloak dituen laukia da. Begiratu irudiari: d b Beste paralelogramo batzuk: Bai, ezta? Binaka paraleloak dira aldeak! LAUKIZUZENA ERRONBOA KOADROA Oro har, a altuera eta b eta c aldeak dituen paralelogramoaren AZALERA PERIMETROA S = a b Irudiaren alde guztien batura. d a b 156

167 10. PERIMETROAK ETA AZALERA 10.3 Laukizuzena Laukizuzen honetan, 1cm -ko 4 koadro daude. Beraz, laukizuzenaren azalera 4 = 8 cm da. a = cm 1cm b = 4 cm Perimetroa alde guztien artean osatzen duten luzera da. Laukizuzen honen perimetroa, = 1 da. b a Azalera S = a b Perimetroa Irudia osatzen duten aldeen batura Erronboa Erronboaren azalera kalkulatzeko, laukizuzena hartuko dugu oinarri. d D Diagonal ezagunez baliatuta (d, D) kalkulatuko dugu azalera. Ikusi dugunez, laukizuzen gorriaren azalera hauxe da: S LAUKIZUZEN = D d 157

168 10. PERIMETROAK ETA AZALERA Beraz, erronboaren azalera S ERRONBO = S LAUKIZUZEN dela esango dugu. PITAGORASEN TEOREMAREN PRAKTIKOTASUNA Azalera kalkulatzen ikasi ondoren, azter dezagun nola erlazionatzen diren erronboaren diagonalak eta aldea. Kontuan izan erronboan sortzen diren triangeluak zuzenak direla. D / l d / Aurreko irudian erronboaren D eta d diagonalak zirenak, triangelu horiaren alde bihur daitezke, biz zatituta (triangeluaren aldeak erronboaren diagonalen erdia baitira). Pitagoras a = b + c da, baina hiruki horian ditugun adierazpenak erabiliz gero, honela eralda dezakegu Pitagorasen adierazpen nagusia D l = d + Eta formula erabiliz, l aldearen neurria lortzen da, edo triangeluaren beste d D ezezaguna:,. ADIBIDEA Kalkulatu erronbo baten azalera eta perimetroa, D = 8 cm eta l = 5 cm izanik. 5 cm 8 cm X 158

169 10. PERIMETROAK ETA AZALERA Lehenik, beste diagonala kalkulatuko dugu, triangelu zuzen horiaren X katetoa, hain zuzen ere: a + = b c (Pitagorasen formula orokorra) 5 = 4 + x 5 x + 4 = 5 16 = 9 x = 9 = 3 cm Bigarrenik, diagonalaren luzera kalkulatuko dugu: 3 = 6 Hirugarrenik, erronboaren azalera: d D 8 6 S = = = 4 cm Azkenik, erronboaren perimetroa kalkulatuko dugu: Erronboaren perimetroa, beste perimetro guztiak bezalaxe, aldeen batura da. Erronboaren hiruki horiaren kanpoko aldeak 5 cmkoa denez, perimetroa hauxe izango da: 5 4 = 0 cm Bistan denez, Pitagorasen teorema oso erabilgarria da triangelu zuzenez osatuta dagoen edozein irudiren azalera eta perimetroa kalkulatzeko. Oro har, l aldea eta D eta d diagonalak dituen erronboa. AZALERA S = PERIMETROA D d Alde guztien batura. D d l Pitagorasen Teorema, oso erabilgarria da triangelu zuzenez osatuta dagoen edozein irudiren azalera eta perimetroa kalkulatzeko. 159

170 10. PERIMETROAK ETA AZALERA 10.5 Triangelua Begiratu inguru gorria duen irudiari: b oinarriko eta a altuerako triangelu bat da. a b Triangelu gorriari triangelu berdin bat itsatsita, paralelogramoa eratzen da. Beraz, triangeluaren azalera kalkulatzeko, aski da paralelogramoaren formula biz zatitzea. S TRIANGELUA : b a Oro har, TRIANGELUAREN AZALERA (beste altuera bat) a b AZALERA S b a = PERIMETROA Alde guztien batura. TRIANGELU ZUZENA Triangelu zuzenean, katetoak perpendikularrak dira; bat oinarria da, eta bestea, altuera. Bi era daude azalera kalkulatzeko: d a d' S = h a d' h h d 160

171 10. PERIMETROAK ETA AZALERA 10.6 Trapezioa Trapezioaren alde paraleloak oinarriak dira (b, oinarri handia, eta b', oinarri txikia), eta oinarrien arteko distantzia altuera da, a. Trapezioa bi alde bakarrik paraleloak dituen laukia da. Zenbait mota daude, adibidez: b' b' a b (trapezio zuzena) b' (trapezio isoszelea) Trapezio zuzenari aldamenean beste trapezio berdin bat itsatsiz gero, paralelogramoa eratzen da; hala, oinarria b edo b' izan ordez, b+b' izango da, eta altuera, a. b' a b b+b' Beraz, trapezioaren azalera: S PARALELOGR AMOA ( b + b ) S = TRAPEZIOA = a Oro har, 161

172 10. PERIMETROAK ETA AZALERA TRAPEZIOAREN AZALERA b' a b b+b' AZALERA S = ( b + ) b a PERIMETROA Alde guztien batura Poligonoa Poligonoa gutxienez hiru alde zuzen dituen irudi itxi eta laua da. Edozein poligonoren azalera kalkulatzeko, poligonoa triangelutan deskonposatu eta triangelu bakoitzaren azalera kalkulatzen da. Hona hemen poligonoen adibide batzuk: 16

173 10. PERIMETROAK ETA AZALERA Oro har, POLIGONOAREN AZALERA AZALERA S POLIGONOA = Triangeluen azaleren batura. PERIMETROA Alde guztien batura. Hala ere, POLIGONO ERREGULARREKIN, errazago kalkula daitezke azalera eta perimetroa. POLIGONO ERREGULARRA Poligono erregularra deritzo triangeluak adina alde dituen irudiari. Irudiaren barruko triangeluek berdinak izan behar dute. a a a a a a a l l l l l l l Beraz, poligono erregularren azalera bizkorrago kalkula daiteke, honako formula hau kontuan hartzen badugu: S l a = n = Perimetroa a a-ri apotema deitzen zaio Alde kopurua, horregatik; n l = perimetroa. 163

174 10. PERIMETROAK ETA AZALERA 10.8 Zirkulua AZALERA PERIMETROA S = π r π r 164

175

176 11. FUNTZIOAK ETA GRAFIKOAK 11. FUNTZIOAK ETA GRAFIKOAK 11.1 Zer da funtzio bat? Funtzioak bi aldagairen arteko erlazioa aditzera emateko erabiltzen dira. Adibidez, funtzio bat da hilabetean zehar telefono mugikorretik bidaltzen ditudan mezuen kopurua eta ordaintzen dudan zenbatekoa erlazionatzen dituena, bidaltzen dudan mezu kopuruaren arabera, gehiago edo gutxiago ordainduko dudalako. Funtzio bat adierazteko hainbat modu erabil ditzakegu: - Ahozko adierazpena - Adierazpen grafikoa - Taula bidezko adierazpena - Adierazpen analitikoa Azter dezagun funtzio baten adierazpen grafikoa: (ABIADURA - km/h) y x (DISTANTZIA kilometroak) Grafiko horrek 80 kilometroko distantzian auto batek hartu duen abiadura adierazten du. Grafikoko puntu bakoitzak ardatz horizontaleko (distantzia) balio bat ardatz bertikaleko (abiadura) beste balio batekin erlazionatzen du. Ikus dezagun, orain, funtzio horren ahozko adierazpena zein den: 165

177 11. FUNTZIOAK ETA GRAFIKOAK 15. kilometroan, abiadura 15 km/h-koa da. 45. kilometroan, aldiz, autoa gelditu egin da, bidesaria ordaintzeko, eta, beraz, 0 km/h-ko abiadura dauka puntu horretan. 75. kilometroan, abiadura 70 km/h-koa da. Funtzio horrek abiadura jakin bat egokitzen dio distantzia bakoitzari. Oro har, Funtzioen ezaugarriak: 1. Funtzio batek bi aldagai erlazionatzen ditu. Oro har, x (horizontala) eta y (bertikala) deritze: x aldagaia askea izaten da. y mendeko aldagaia izaten da ( y aldagaia x -ren mende dago).. x -ren balio bakoitzari y -ren balio bakarra dagokio. 3. OX eta OY ardatz kartesiarrak dira eta O = ( 0,0) puntua, jatorria da. ADIBIDEA Azaldu zergatik den ezkerreko grafikoa funtzio bat, eta eskuinekoa, ez. FUNTZIOA DA EZ DA FUNTZIOA 166

178 11. FUNTZIOAK ETA GRAFIKOAK Lehenengo grafikoa funtzio bat da, x bakoitzari y bakarra dagokiolako. Bigarrena ez da funtzioa, x -ren balio bakarrari y -ren balio bat baino gehiago dagozkiolako. 11. Funtzioaren gorakortasuna eta beherakortasuna y C A B x BEHERAKORRA GORAKORRA Funtzioak ezkerretik eskuinera irakurtzen dira, eta deskribapena OX ardatzean egiten da (0-tik x ardatzaren amaieraraino). Goiko adibidean, A -tik B -rainoko tartea, funtzio beherakorra da, eta B -tik C - rainoko zatia, gorakorra. Funtzioak honelakoak izan daitezke, gorakortasunari eta beherakortasunari dagokienez: - gorakorra eta beherakorra, - gorakorra ala beherakorra, - konstantea. 167

179 11. FUNTZIOAK ETA GRAFIKOAK Funtzioaren maximo erlatibo deritzo funtzio gorakorra beherakor bihurtzen den puntuari, eta minimo erlatibo, berriz, funtzio beherakorra funtzio gorakor bihurtzen den puntuari. ADIBIDEA Urtaro guztietan tenperatura ez da berdina; oro har, neguan hotza egiten du, eta udan, beroa. Beheko grafikoan hilabetearen arabera egiten duen tenperatura azalduko dugu, eta bi aldagaiak erlazionatzen dituen funtzioa dela ikusiko dugu. Begiratu grafikoa: (TENPERATURA C) y x (DENBORA - hilabeteak) Bi interpretazio: Urte hasieran (urtarrila, otsaila, martxoa) tenperatura nahiko egonkorra da. Apiriletik aurrera, tenperaturak gora egiten du, uztail eta abuztura arte, eta bi hilabete horietan, iraunkor eusten dio tenperaturak. Iraila aldera, tenperatura jaisten hasten da, poliki-poliki, abendura arte. Abenduan, nabaria da tenperaturaren jaitsiera. 168

180 11. FUNTZIOAK ETA GRAFIKOAK Urtarril, otsail eta martxoan, funtzioa konstantea da; apiril, maiatz, ekain eta uztailean, gorakorra; eta abuztu, irail eta urrian, beherakorra. Urteko azken bi hilabeteetan gorakorra den zati bat dago, eta abenduan, berriz, oso nabarmena da tenperatura jaitsiera. Oro har, Funtzio bat beherakorra da, x -ren balioa handitzen denean y -ren balioa txikiagotzen bada. Hau da, funtzioa beherantz badoa. Funtzio bat gorakorra da, x -ren balioa handitzean y -ren balioa ere handitu egiten bada. Hau da, funtzioa gora egiten badu Funtzio jarraitua eta funtzio etena Funtzio bat jarraitua da, baldin eta grafikoa trazu edo marra bakar baten bidez marraz badaiteke. Hau da, funtzioa arkatza paperetik altxatu gabe marraz badaiteke. Funtzioa etena da, baldin eta grafikoa trazu edo marra bakar baten bidez marraztu ezin bada. Hau da, grafikoa marrazteko arkatza paperetik altxatu beharra badago. ADIBIDEA Nekanek zenbat arrain erosi behar duen kalkulatu nahi du, eta, horretarako, afaltzera doazen lagunen kopurua zein den jakin nahi du. Ikus dezagun: Taula bidezko interpretazioa: 169

181 11. FUNTZIOAK ETA GRAFIKOAK Kiloak ( y ) 1 3 Pertsona kopurua ( x ) Goiko taulak pertsona kopurua eta arrain kiloak erlazionatzen ditu. 4 mahaikiderentzat nahikoa da kilo bat arrain; 8 lagun badatoz, berriz, kilo beharko ditu, eta 1 badatoz, 3 kilo. (KILOAK) y x (PERTSONA KOPURUA) Funtzioa etena da, puntu beltzak ezin direlako lotu. Zergatik ezin dira lotu? x ardatzeko aldagaiaren balioa (pertsona kopurua) ezin daitekeelako izan zenbaki hamartarra; alegia, ez dugu inoiz esaten 4,5 pertsona etorriko dira afaltzera. ADIBIDEA Afarian 8 mahaikide izango dira, beraz zenbat balioko du kilo arrainek? 170

182 11. FUNTZIOAK ETA GRAFIKOAK Kiloak ( x ) 1 3 Prezioa ( ) ( y ) kilo arrainek 4 balio dutela dio. (KILOAK) y x (PREZIOA - ) Arrainaren prezioaren eta kiloen balioa edonolakoa izan daitekeenez, funtzio jarraitua dela esango dugu; hau da, goiko taulan oinarritua lortzen diren puntuak elkartu egin daitezke. Funtzio jarraitua da, bai kiloen balioa bai prezioarena zenbaki hamartarrak izan daitezkeelako. 171

183 11. FUNTZIOAK ETA GRAFIKOAK 11.4 Lehen graduko funtzioak PROPORTZIONALTASUN-FUNTZIOAK y = mx Proportzionaltasunari buruzko gaian, proportzionaltasuna bi aldagai kopuru berdinean txikiagotzen eta handiagotzen direnean gertatzen dela ikasi genuen. Atal honetan, proportzionaltasunezko erlazio horiek grafikoki adierazten ikasiko dugu. Har dezagun proportzionaltasunari buruzko gaian erabilitako adibidea. Taula bidezko adierazpena: TXOKOLATINA KOPURUA ( x ) PREZIOA ( ) ( y ) ? 0 Taulan ikusten denez, txokolatinen kopurua bikoizten denean, prezioa ere bikoiztu egiten da; horregatik esaten dugu aldagaien artean proportzionaltasun zuzena dagoela. Proportzionaltasunezko erlazio hori honako ekuazio honen bidez adierazten da: y = x Kontuan izanik x = txokolatina kopurua y = prezioa Ekuazioak dio prezioa ( y ) kalkulatzeko, txokolatina kopurua ( x ) bider bi egin behar dela. Taulako datuak eta ekuazioa erabilita, 17

184 11. FUNTZIOAK ETA GRAFIKOAK y = x = 1 denean, = 1 y = 4 x = denean, 4 = Eta x = 5 denean, y =? y = 5 = 10 Ekuazio horren bidez, y -ren edo x -ren edozein baliori dagokion ezezaguna aurki daiteke. Azter dezagun ekuazioari dagokion grafikoa. (PREZIOA - ) y y = x (5,10) (3,6) (,4) (1,) x (TXOKOLATINA KOPURUA) m funtzioaren malda da, eta positiboa denean, gorakorra da. Negatiboa denean, berriz, beherakorra da. 173

185 11. FUNTZIOAK ETA GRAFIKOAK Hemen beheko irudi honek m negatiboa denean ateratzen den grafikoa adierazten du. Ikusten denez, m negatiboa denean, zuzena beherakorra da. x (TXOKOLATINA KOPURUA) y = x y (PREZIOA - ) Oro har, Proportzionaltasun zuzeneko funtzioa, edo funtzio lineala, bi magnitude edo aldagai zuzenki proportzional erlazionatzen dituen funtzioa da. Adierazpen aljebraikoa konstantea den. y = mx da, non m proportzionaltasun zuzeneko Grafikoa (0,0) puntutik igarotzen den lerro zuzen bat da. m -ri zuzenaren malda deritzo. Zenbaki positiboa bada, zuzena gorakorra izango da, eta zenbaki negatiboa bada, beherakorra. 174

186 11. FUNTZIOAK ETA GRAFIKOAK FUNTZIO ZUZEN BATEN MALDA Oraintxe ikusi dugunez, m adierazpena funtzioen maldari dagokio. Azter dezagun sakonago, grafikoetan oinarrituta. ADIBIDEAK Zuzenaren ekuazioa y = x da. 5 ADIBIDEA y y = 5 x Malda 5 da. x -k 5 unitate aurrera egitean, y unitate igotzen da gora. x 5 Zuzenaren ekuazioa y = x da. 175

187 11. FUNTZIOAK ETA GRAFIKOAK y y = x Malda da. x -k unitate 1 aurrera egitean, y 1 x unitate igotzen da gora. Beraz, = dela esan daiteke. 1 Malda zatikia baita, proportzioak bezala. 3 Zuzenaren ekuazioa y = x da. 4 y 3 3 y = x Malda da. 4 4 x -k 4 unitate aurrera egitean, y 3 4 eskuinera (+) x unitate jaisten da behera. 3 behera (-) 176

188 11. FUNTZIOAK ETA GRAFIKOAK ADIBIDEA 9 Aldaparen malda, hau da % Trafikoko seinaleak zera dio: datozen 100 metroetan 9 metroko goranzko malda dagoela. Edo horizontalean 100 metro egindakoan, bertikalean 9 metro gora egin izango dugula. Oro har, y = mxzuzenean, mfuntzioaren malda da. mpositiboa bada, zuzena gorakorra da, eta negatiboa bada, beherakorra. a y = x eta b dira: a y = zuzenak, aeta bzenbaki arruntak izanik, honela adierazten b b y a y = b x a y = a b x -a x b x y Maldaren adierazpen matematikoa bertikalean hartzen duen puntua zati horizontaleko ardatzak hartzen duen puntua da. 177

189 11. FUNTZIOAK ETA GRAFIKOAK FUNTZIO AFINA y = mx + n Balear Uharteetako Menorca ikusteko piragua bat alokatzea pentsatu du Eñautek. Piragua alokatzeko 3 ordaindu behar ditu, gehi 1 orduko. Denbora (orduak) ( x ) Prezioa ( ) ( y ) x x ordu 3 1 ordu 3 + 1= 5 ordu 3 + = 7 3 ordu = 9 x ordu 3 + x = y y = x + 3 Beraz, piraguaren prezioa denboraren arabera zenbatekoa izango den ekuazio honen bidez jakin daiteke: y = x + 3. Grafikoa: y (PREZIOA) y = x + 3 x (DENBORA) 178

190 11. FUNTZIOAK ETA GRAFIKOAK Oro har, y = mx + n ekuazio zuzen batez adierazten da, zeinetan m malda den eta zeinak yardatza (0,n) puntuan ebakitzen duen (begiratu irudiari). n-ri jatorriko ordenatua deitzen zaio (begiratu irudiari). Malda bereko bi ekuazio zuzen paraleloen bidez adierazten dira (begiratu irudiari). y y = x + 3 y = x +1 y = x 4 x n = 0denean, y = mx + n proportzionaltasun-funtzioa da: y = mx FUNTZIO KONSTANTEAK y = k Hitzak dioen bezala y = k funtzioa, y aldagaia beti berdina izatean datza. FUNTZIO KONSTANTEA y = k edo y = 0 X + k Bartzelonako erakunde publiko batek hiritarrei eskaintzen dien bizikleta-zerbitzua erabiltzeagatik eguneko 3 ordaindu behar da, bizikleta erabiltzen den denbora edozein dela ere. Beraz, berdin dio bizikleta ordubetez, 5 orduz nahiz 5 minutuz erabili: beti 3 ordaindu behar dira. 179

191 11. FUNTZIOAK ETA GRAFIKOAK Ikus dezagun taula: Denbora (Orduak) ( x ) Prezioa ( ) ( y ) X Funtzioa: y = 3 Grafikoa y PREZIOA y = 3 x DENBORA Oro har, 180

192

193 11. FUNTZIOAK ETA GRAFIKOAK y-ren balioa x -ren mende ez dagoenean, funtzio konstante deritzogu funtzioari: y = k edo y = 0 x + k eta x ardatzarekiko paraleloa den zuzen baten bidez adierazten da. m = 0 duen zuzena, zuzen horizontala da. Zergatik zuzen bertikal bat ez da funtzio baten adierazpen grafikoa? 181

194 1. ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA 1. ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA 1.1 Estatistika Estatistika hainbat fenomenori buruzko datuak biltzen, laburtzen, irudikatzen eta ordenatzen eta, ondoren, datu horiek aztertzen eta interpretatzen dituen zientzia matematikoa da. Estatistikako neurriak eta grafikoak aztertzen hasi baino lehen, oso garrantzitsua da azterketa estatistikoetan erabiltzen diren zenbait hitzen esanahia argitzea. Populazioa deritzo azterketa estatistikoa egiteko erabiltzen den elementu guztien taldeari. Adibidez, Euskal Herriko betaurrekodunen populazioa da. Lagina edo azpipopulazioa, aztergai hartzen den populazioaren zati bat da, eta populazioaren ezaugarriak ondorioztatzeko baliagarria du. Adibidez, Euskal Herriko 500 betaurrekodun. Banakoa populazio edo lagineko elementuetako bakoitza da. Adibidez, Euskal Herriko betaurrekodun bakoitza. Aldagai estatistikoa laginaren edo populazioaren banakoetan azter daitekeen edozein ezaugarri da. Adibidez, adina. 1. Aldagai motak Aldagai estatistikoak era honetakoak izan daitezke: Motak Propietateak Adibideak Kualitatiboak Kuantitatiboak Aldagaiaren balioak ez dira zenbakiak, ezaugarriak baizik. Aldagaiaren balioak zenbakiak dira. - Sexua - Begien kolorea - Lanbidea - Nortasuna - Adina - Altuera - Tenperatura - Partida bateko golen kopurua 18

195 1. ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA 1.3 Maiztasunak Maiztasun-taulek datu estatistikoak antolatu eta sailkatzeko aukera ematen dute. Taula horien bitartez, berez itxurarik ez duten datu multzoak erraz ulertzeko moduko bilduma sailkatu eta antolatu bihurtzen dira. ADIBIDEA Auzo jakin bateko 3 senar-emazteri inkesta egin diegu. Egin zizkieten galderetako bat seme-alaba kopuruari zegokion. Honako hauek izan dira erantzunak:,, 3, 1,, 4, 3, 1, 3, 3, 3,,, 4, 3,, 3, 3,,,,, 1, 1,,,,, 4, 4,, eta. Seme-alaba kopurua Zenbaketa x i f i * f i aldagaiak maiztasuna adierazten du eta ingelesezko hitz batetik eratorria du izena. Ingelesez maiztasuna esan nahi duen FREQUENCY hitzetik, hain zuzen. Horregatik adierazten da f i. Datu-zenbaketa egin ondoren, bildutako informazioa adierazgarriago azaltzen da. Taularen bidez, argi ikusten da seme-alaba kopuru ohikoena eta 3 dela. Taularik eduki ezean, ez litzateke hain erraza izango ondorio horretara iristea. Seme-alaba kopurua aldagai kuantitatiboa da, aldagaiaren balioak zenbakiak direlako. Taulako xi -k aldagaia adierazten du, hau da, seme-alaba kopurua. Taulako fi -k maiztasuna adierazten du, hau da, seme-alaba kopuru hori duten senar-emazteen kopurua. 183

196 1. ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA ADIBIDEA Inkesta egiten ari ginela, emakumezkoen lanbidea kontuan hartu genuen. E = Erizaina I = Irakaslea A = Abokatua S = Soziologoa ING = Ingeniaria Lanbidea S E E E E I A I I E E E S I A E E A E E A E I E I I I E ING ING ING ING Zenbaketa x i f i E 14 I 8 A 4 S ING 4 Emakumezkoen lanbidea aldagai kualitatiboa da, aldagaiaren balioak ezaugarriak direlako, eta ez zenbakiak. Oro har, Azterketa estatistiko batean, datuak bildu ondoren, zenbatu eta multzokatu egin behar dira. Aldagaia kuantitatiboa bada, balioak txikienetatik handienera ordenatu eta bakoitza zenbat aldiz ageri den idatzi behar da (goiko adibidean bezala). Aldagaia kualitatiboa bada, balio edo modalitate bakoitza zenbat aldiz ageri den idatzi behar da. MAIZTASUN ABSOLUTUA ETA MAIZTASUN ERLATIBOA Maiztasun absolutua aurreko adibideetan ikusi dugun f i adierazpena da. Hau da, aldagaia zenbat alditan ageri den adierazten duen terminoa. Maiztasun erlatiboa ( h i ), berriz, maiztasun absolutuak adierazten duen gauza bera adierazten du, baina proportzio moduan. 184

197 1. ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA Ikus dezagun, aurreko adibideari jarraituz. x i Maiztasun absolutua f i Maiztasun erlatiboa h i Ehunekoak % = 0, 5 3 % = 0, 15 3 % 1, = 0, 5 3 % = 0, 15 3 % 1,5 3 1 % Grafiko estatistikoak Datuak neurtzeko beste aukera bat grafiko bidezko adierazpenak erabiltzea da. Grafikoei esker berehala antzematen dira ikerketa estatistiko baten ezaugarri nagusi edo garrantzitsuenak. BARRA-DIAGRAMA Barra-diagrama barra bertikalean batzuetan oinarrituriko adierazpen grafikoa bat da. Eta, grafiko estatistikoei buruz esan dugunez, ikerketa-datuak modu erabilgarri eta argian azaltzeko baliagarria da. ADIBIDEA Adierazi taulan bildutako balioak barra-diagrama batean. 185

198 1. ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA Lanbidea Maiztasuna f i Erizaina 14 Irakaslea 8 Abokatua 4 Soziologoa Ingeniaria 4 Maiztasunak f i Aldagaien balioak eta ezaugarriak Grafikoak azterketa estatistikoen ezaugarri nagusiak bereiztea ahalbidetzen digu. Irudian argi ikusten denez, erizaina da lanbide ugariena. SEKTORE-DIAGRAMA Gainerako grafikoek bezala, ikerketa-datuak modu argi, garbi eta erabilgarrian azaltzeko xedea du. Sektore-diagramak barra-diagramarekiko duen aldea hauxe da: ezaugarri bakoitzak zer ehuneko hartzen duen adierazten du. 186

199 1. ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA ADIBIDEA Egin sektore-diagrama bat hemen beheko taula honetako datuekin: Lanbidea Maiztasuna f i Maiztasun erlatiboa h i % Erizaina = 0' ,75% Irakaslea 8 8 = 0' 5 3 5% Abokatua 4 4 = 0' ,5% Soziologoa = 0' ,5% Ingeniaria 4 4 = 0' ,5% 187

200 1. ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA Zirkuluak lagina bere osotasunean adierazten duenez, ezaugarri edo balio bakoitzari ehuneko bat egokitzea ahalbidetzen du. 1.5 Zentralizazio-neurriak Orain arte, ikerketa estatistikoetan lortzen diren datuak antolatzen ikasi dugu. Atal honetan, datuak interpretatzen lagunduko diguten zenbait balio kalkulatzen ikasiko dugu; zentralizazio neurriak deritzenak kalkulatzen, hain zuzen. BATEZ BESTEKO ARITMETIKOA Batez besteko aritmetikoa aldagai kuantitatiboen erreferentzia orokor bat edukitzeko kalkulatzen da. ADIBIDEA Belar-hockeyko emakumezko taldeko kideen adinak hauek dira: 18, 16, 17, 17, 17, 0,, 6, 9, 18, 4, 17, 7, 16, 30, 16, 5, 4,,, 19, 6, 16 eta 0. Kalkulatu adinen batez bestekoa = 1 4 Beraz, x =1 Batez bestekoa kalkulatzeko, adin guztien batura egin eta batura batugaien kopuruaz zatitu dugu. Emaitzak zera esan nahi du: kide guztiek adin berdina edukiko balute, 0 urte izango lituzketela. 188

201 1. ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA Grafikoari begiratuz ere atera daiteke batez bestekoa; agian, kontzeptuaren esanahia hobetu ulertuko duzu horrela. Irudi honetan, marra gorriak batez bestekoa adierazten du. Puntu hori grabitatezentroa edo oreka-puntua da. Oro har, 189

202 1. ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA Datu multzo baten batez besteko aritmetikoa, x, datuen batura zati datuen kopuru osoa da. Aldagai kuantitatiboekin soilik erabiltzen da. Formula: (goiko adibidean ez dugu adierazi, baina datu asko dagoen kasuetarako erabilgarria izaten da). Ikusi: ( f x ) N i i Datuak x i Maiztasunak f i x f i i Goiko taulako datuekin formula erabilita: x = =

203 1. ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA MEDIANA Mediana datuen balio zentrala da; hau da, datuak txikienetik handienera ordenatuz gero erdian gelditzen den zenbakia. ADIBIDEA 5 lagun sarrerak erosteko ilaran daude, eta horien adinak 0, 7, 5, 31, eta 1 urte dira. Zein da mediana? Txikienetik handienera ordenatuko ditugu: 0, 1, 5, 7, 31 Datuen mediana (Me) 5 da, ordenatuta egonik erdiko lekua kopuru horrek hartzen duelako. ADIBIDEA Jo dezagun, orain, 14 urteko mutil bat ere jarri dela ilaran. Ordena ditzagun adinak: 14, 0, 1, 5, 7, 31 Datuen kopurua bikoitia denean, erdiko bi balioen batez bestekoa da mediana. Me = 1+ 5 = 3 Oro har, Datu multzo baten mediana, Me, datuen balio zentrala da. Mediana kalkulatzeko: Datuak txikienetik handienera ordenatu. Datu kopurua bakoitia bada, erdiko lekuan dagoen balioa da. Datu kopuru bikoitia bada, erdiko bi balioen batez bestekoa da. 191

204 1. ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA MODA Moda maiztasun absoluturik handiena duen balioa da. Hau da, gehien errepikatzen den balioa. ADIBIDEA DBH. mailako eskola bateko ikasleek honako maiztasunaz egiten dute kirola: xi kirola egiten duten egunen kopurua (astean zehar). fi egun kopuru horretan kirola egiten duten ikasleen kopurua. ( f i =3). Aldagaia ( i ) Mo = 4 egun astean x Maiztasuna ( f ) i Gehien errepikatzen dena 4 da Oro har, Gehien ageri den datuari esaten zaio moda. Aldagai baten moda, kuantitatiboa nahiz kualitatiboa izan daiteke. 1.6 Probabilitatea (Laplaceren erregela) ADIBIDEA Dadoa botatzean, zer probabilitate dago 5 zenbakia ateratzeko? Gertaera posibleak: 1,, 3, 4, 5, 6. Beraz, 6 gertaera posible daude, eta 5 da horietako bakarra. Beraz P(5) = 1/6. Eta zebaki bikoitia ateratzeko probabilitatea?, 4, 6. 19

205 1. ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA Eta hiruren multiploa ateratzekoa? Probabilitatea kalkulatzeko kalkulu eta prozedura asko daudenez, sinpleenetik abiatuko gara: Laplaceren erregela. LAPLACEREN ERREGELA ADIBIDEA Kutxatilan kolore desberdineko 10 bola daude. Zer probabilitate dago bola urdina ateratzeko? Eta berdea ez ateratzeko? Eta berdea edo gorria ateratzeko? Bola gorria ateratzeko aukerari A deituko diogu. Laplaceren formulak zera dio: P(A)= A betetzen duten kasuen kopurua Kasu posibleen kopurua 193

206 1. ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA A betetzen duten kasuen kopurua: kutxatilan dauden bola urdinen kopurua. Kasu posibleen kopurua: kutxatilan dauden bolen kopurua. Laplaceren formula erabiliz: P(A) = 10 = 5 1 = 0, Bola urdina ateratzeko probabilitatea % 0 (=0,) da. Bola berdea ez ateratzeko aukerari B deituko diogu. B betetzen duten kasuen kopurua: kutxatilan dauden eta kolore berdea ez duten bolen kopurua. Kasu posibleen kopurua: kutxatilan dagoen bola kopurua. Laplaceren formula erabiliz: 8 4 P(B) = = = 0, Bola urdina ez ateratzeko probabilitatea % 80 (=0,8) da. Kalkulu hori beste era batera ere egin daiteke: kolore berdea ez duten bolak ateratzeko probabilitatea kalkulatu ordez, 1 ken kolore berdeko bola ateratzeko probabilitatea kalkulatu. Beraz; Goian, bola berdea ateratzeko probabilitatea 0, dela kalkulatu dugu. Orduan, 1 ken 0, bola berdea ez ateratzeko probabilitatea izango da, hau da, 0,8 edo % 80. Bola berdea edo gorria ateratzeko aukerari D deituko diogu. D betetzen duten kasuen kopurua: kutxatilan dauden kolore berde eta gorriko bolen kopurua. Kasu posibleen kopurua: kutxatilan dagoen bola kopurua. Laplaceren formula erabiliz: 194

207 1. ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA 4 P(D) = = = 0, Beraz, bola berdea edo gorria ateratzeko probabilitatea % 40 (=0,4) da. Jarraitu dezagun probabilitatea kalkulatzen. ADIBIDEA Zer probabilitate dago dadoa botatzean zenbaki bakoitia ateratzeko? 1,, 3, 4, 5, eta 6. Bakoitiak : 1, 3, eta 5. Bakoitia ateratzeko kasuen kopurua 3 1 Laplaceren formula: P(bakoitia)= = = = 0,5 6 Kasu posibleen kopurua Zenbaki bakoitia ateratzeko probabilitatea % 50 (=0,5) da. Oro har, 195