4. Απλά κεκλιµένα στρώµατα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4. Απλά κεκλιµένα στρώµατα"

Transcript

1 4. Απλά κεκλιµένα στρώµατα 1. Γενικά Μορφές εµφανίσεων γεωλογικών σχηµατισµών - Ο κανόνας του «V» Χάρτης απλών κεκλιµένων στρωµάτων Γεωλογική τοµή Γεωλογική εξέλιξη της περιοχής του χάρτη... 46

2 34 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 1. Γενικά Με τον όρο απλά κεκλιµένα στρώµατα εννοούµε µια ακολουθία ιζηµατογενών σχηµατισµών τα οποία εµφανίζονται µε κάποια κλίση ως προς το οριζόντιο επίπεδο, χωρίς να έχουν υποστεί άλλου είδους διατάραξη ή παραµόρφωση. Πρόκειται για µια αρκετά συνηθισµένη περίπτωση, για τη µελέτη της οποίας χρειάζεται να αναφέρουµε µερικές βασικές αρχές και τεχνικές, οι οποίες στην πορεία θα µας φανούν χρήσιµες και σε πολλές άλλες περιπτώσεις. Γνωρίζουµε ήδη την έννοια της παράταξης, της διεύθυνσης, Μ.Κ. και της Φ.Μ.Κ. ενός επιπέδου (βλ. Βασικές Έννοιες). Στη συνέχεια θα δούµε πώς αυτές οι παράµετροι εξάγονται από ένα γεωλογικό χάρτη και πώς τις αξιοποιούµε. Βασική µας παραδοχή, είναι ότι θα θεωρήσουµε ότι τα στρώµατα που εµφανίζονται στο χάρτη της εικόνας 4-1 (και στους υπόλοιπους χάρτες του εγχειριδίου) διατηρούν τη διεύθυνση, την κλίση και το πάχος τους. Έτσι µας επιτρέπεται να τα αντιµετωπίσουµε «γεωλογικά σώµατα» µε επίπεδα και παράλληλα µεταξύ τους όρια. Με άλλα λόγια δεχόµαστε ότι οι επαφές των στρωµάτων είναι κεκλιµένα επίπεδα., παράλληλα µεταξύ τους. Ας ξεκινήσουµε εξετάζοντας την περίπτωση ενός κεκλιµένου στρώµατος αµελητέου πάχους για την κλίµακα του χάρτη (π.χ. ένα λιγνιτικό ορίζοντα), το οποίο θα αντιµετωπίσουµε ως ένα κεκλιµένο επίπεδο. EΙΚΟΝΑ 4-1. (Α) Απλός γεωλογικός χάρτης που απεικονίζει έναν κεκλιµένο λιγνιτικό ορίζοντα, που αποτελεί πρακτικά και την επαφή των υποκείµενων στρωµάτων (Ms) µε τα υπερκείµενα (Pli). Οι παρατάξεις των 100, 200 και 300 έχουν χαραχτεί µε βάση ένα ζεύγος σηµείων η καθεµία. Είναι παράλληλες µεταξύ τους και ισαπέχουν κατά d. Έτσι, έχουµε φέρει και την παράταξη των 400, ακόµη και αν δεν υπάρχει σηµείο ή ζεύγος σηµείων για αυτήν. (Β) Γεωλογική τοµή Α-Α, εγκάρσια στη διεύθυνση του λιγνιτικού ορίζοντα. Με στικτή γραµµή φαίνεται το ανάγλυφο που αντιστοιχεί σε µια παράλληλη τοµή, τη Β-Β. Είναι προφανές ότι το τµήµα του λιγνιτικού ορίζοντα που φαίνεται διαβρωµένο στην Α-Α βρίσκεται εξολοκλήρου κάτω από την τοπογραφική επιφάνεια της Β-Β. (Γ) Συνοπτική απεικόνιση απλών γεωµετρικών κατασκευών που διευκολύνουν την εύρεση των στοιχείων. Στο πλαίσιο κάτω δεξιά φαίνονται οι τρόποι αναγραφής των στοιχείων του λιγνιτικού ορίζοντα.

3 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 35 A N A B o d Pl i παράταξη d Pl i λιγνιτικός ορίζοντας Ms 100 d 100 A' m. B' B B A NNW προβολές παρατάξεων λιγνιτικού ορ.? 12 o d d d SSE διαβρωµένο τµήµα λιγνιτικού ορ B' A' Γ Β Ν 75 o 165 o ιεύθυνση Α Φορά Μέγιστης Κλίσης Παράταξη ηµφ = y/d d φ φ: Μέγιστη κλίση ο ο B75 A, 12 NNA ή y

4 36 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ Υπάρχει συγκεκριµένη σχέση µεταξύ του ίχνους του επιπέδου αυτού στην τοπογραφική επιφάνεια, των παρατάξεών του και των ισοϋψών καµπυλών. Η σχέση αυτή φαίνεται καθαρά στο χάρτη της εικόνας 4-1. Παρατηρώντας το χάρτη βλέπουµε τρία είδη γραµ- µών: τις ισοϋψείς, το ίχνος του λιγνιτικού ορίζοντα και τις παρατάξεις του. Ο λιγνιτικός ορίζοντας συναντά την τοπογραφική επιφάνεια εκεί όπου µια ισοϋψής µε τιµή (α) τέµνει µια παράταξη της ίδιας τιµής. ηλαδή, το ίχνος ελέγχεται ορίζεται από την τοµή γεωλογικού επιπέδου τοπογραφίας. Ουσιαστικά έχουµε µια τρι- µερή σχέση: ισοϋψούς παράταξης επαφής. Εάν γνωρίζουµε δύο από τα τρία µέλη της σχέσης τότε µπορούµε να βρούµε και το τρίτο. Συνήθως δύο περιπτώσεις αντιµετωπίζουµε: Να βρούµε τις παρατάξεις ενός γεωλογικού επιπέδου αν είναι γνωστή η τοπογραφία και το ίχνος του και Να βρούµε το ίχνος ενός γεωλογικού επιπέδου αν είναι γνωστή η τοπογραφία και οι παρατάξεις του. Αυτό θα το ε- ξετάσουµε σε επόµενο κεφάλαιο. Για να φέρουµε µια παράταξη αρχικά χρησιµοποιούµε την ισοϋψή που τέµνει τις περισσότερες φορές το ίχνος της επαφής (χρειαζόµαστε τουλάχιστον 2 σηµεία). Αν υ- πάρχουν περισσότερα από δύο σηµεία τοµής, επιλέγου- µε τα πιο αποµακρυσµένα. Όπως είπαµε, το ίχνος ενός γεωλογικού επιπέδου διέρχεται από την τοµή ισοϋψούς και παράταξης. Σε απλά κεκλιµένα στρώµατα, µε σταθερή διεύθυνση και κλίση, οι παρατάξεις τους είναι ευθείες ισαπέχουσες γραµµές (Εικ. 4-1). Είναι επίσης γνωστό, ότι για να προσδιορίσουµε µια ευθεία στο χώρο αρκεί να γνωρίζουµε δύο ση- µεία της. Έτσι, στο χάρτη της εικόνας 4-1Α µπορούµε να φέρουµε την παράταξη 1 του λιγνιτικού ορίζοντα µε τιµή 100 ενώνοντας τα δύο σηµεία στα οποία το ίχνος τέµνει την ισοϋψή των 100m. Αυτή η παράταξη ονοµάζεται «παράταξη των 100». Η φυσική της σηµασία; Πρόκειται για µια γραµµή η οποία περιέχει όλα τα σηµεία του λιγνιτικού ορίζοντα που βρίσκονται σε Α.Υ.=100. Έτσι, για ένα θεωρητικά επ άπειρον εκτεινόµενο επίπεδο (όπως έχουµε θεωρήσει), αυτή η γραµµή µας δίνει τις θέσεις στο χάρτη στις οποίες ο λιγνιτικός ορίζοντας βρίσκεται σε Α.Υ.=100m. Αυτή είναι η πρώτη βασική πληροφορία που µας δίνει η παράταξη. Η δεύτερη είναι η διεύθυνση του γεωλογικού επιπέδου και η οποία ορίζεται ως η οριζόντια γωνία που σχηµατίζει η παράταξη µε το Βορρά (βλ. Βασικές Έννοιες). Άµεσα λοιπόν είµαστε σε θέση να πούµε ότι ο λιγνιτικός ορίζοντας του χάρτη έχει διεύθυνση Β75 ο Α. 1 Η γραµµή που φέρνουµε στο χάρτη είναι η προβολή της παράταξης (strike line) του λιγνιτικού ορ. στο επίπεδο του χάρτη και ονοµάζεται «γραµµή παράταξης» (strike contour). Καθιστούµε σαφές λοιπόν ότι, όταν στη συνέχεια µιλάµε για τις «παρατάξεις» που χαράζουµε σε ένα χάρτη για µια επαφή, αναφερόµαστε ουσιαστικά στις προβολές και όχι τις παρατάξεις αυτές καθ αυτές.

5 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 37 Ωστόσο, για να προσδιορίσουµε πλήρως ένα γεωλογικό επίπεδο χρειαζόµαστε, εκτός από τη διεύθυνσή του και τη Μ.Κ. και Φ.Μ.Κ. του. Αυτό γίνεται εφικτό όταν φέρουµε και µια δεύτερη παράταξη για το επίπεδο αυτό. Όπως λοιπόν φέραµε την παράταξη των 100 για τον λιγνιτικό ορίζοντα της εικόνας 4-1Α, έτσι φέρνουµε και την παράταξη των 200. Η ισοδιάσταση παρατάξεων (d) (βλ. Βασικές έννοιες), θα έχει τιµή σταθερή για επίπεδο σταθερής κλίσης (Εικ. 4-1Α,Β). Χρησιµοποιούµε δε αυτήν την τιµή για να υπολογίσουµε την κλίση του επιπέδου (Εικ. 4-1Γ). Το σκεπτικό είναι απλό: «Για να µεταβώ από την παράταξη των 100 σε αυτή των 200 χρειάζεται να διανύσω οριζόντια απόσταση d. ηλαδή, διανύοντας απόσταση d έχω ανέβει υψοµετρικά κατά 100m. Άρα η κλίση του επιπέδου δίνεται από τη σχέση: Όσο µεγαλύτερη είναι η ισοδιάσταση των παρατάξεων, τόσο µικρότερη η κλίση του επιπέδου και αντίστροφα. φ=εφ( π/d) όπου π: η υψοµετρική διαφορά των παρατάξεων d: η απόσταση των δύο παρατάξεων στο χάρτη µε βάση την κλίµακά του Η τελευταία παράµετρος που ψάχνουµε είναι η φορά µεγίστης κλίσης (Φ.Μ.Κ.). Αυτή δεν είναι τίποτα άλλο από ένα άνυσµα κάθετο στις παρατάξεις του επιπέδου, το οποίο κατευθύνεται προς τα εκεί όπου µειώνεται το υψόµετρο του επιπέδου (άρα και οι τιµές των παρατάξεων της συγκεκριµένης επαφής) (Εικ. 4-1Α,Γ). Η τιµή της Φ.Μ.Κ. δίνεται σε µοίρες (0-360 ο ), όπως είδαµε και στο κεφάλαιο των «Βασικών Εννοιών». Με αυτή τη διαδικασία καταφέραµε να προσδιορίσουµε πλήρως τα γεωµετρικά στοιχεία του λιγνιτικού ορίζοντα και τα οποία θα τα γράψουµε ως εξής: 12 ο /165 ο ή Β75 ο Α, 12 ο ΝΝΑ 2. Μορφές εµφανίσεων γεωλογικών σχηµατισµών - Ο κανόνας του «V» Η αποσαφήνιση και η κατανόηση της στρωµατογραφικής διάρθρωσης των σχηµατισµών ενός γεωλογικού χάρτη είναι, όπως είδαµε και στην περίπτωση των οριζόντιων στρωµάτων, ένα πολύ βασικό (ίσως το βασικότερο) σηµείο. Στα οριζόντια στρώµατα τα πράγµατα ήταν απλά, αφού τα νεώτερα στρώµατα βρίσκονται σε σταθερά µεγαλύτερα Α.Υ. από τα αρχαιότερα. Ωστόσο σε όλες τις άλλες περιπτώσεις θα πρέπει να κινηθούµε διαφορετικά. Ας δούµε πως: 1. Σηµαντικό συστατικό είναι η κατανόηση της µορφής των εµφανίσεων (outcrop pattern) των γεωλογικών σχηµατισµών.

6 38 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 4.1. Α. Κατασκευάστε γεωλογικές τοµές κατά µήκος της ΒΑ-Ν διαγωνίου των χαρτών στην Εικόνα Β. Ποιο το φαινόµενο κατακόρυφο πάχος του ψαµµίτη? Γ. Ποια η φαινόµενη κλίση των στρωµάτων σε αυτή τη διεύθυνση? ΑΣΚΗΣΗ 4.2. Σχεδιάστε ένα τετράγωνο διαστάσεων 10*10 cm που να αντιστοιχεί σε έναν τοπογραφικό χάρτη κλίµακας 1:10000 και ισοδιάστασης 50 m, ο οποίος να απεικονίζει µια κοιλάδα µε ροή προς Β µε σταθερή τοπογραφική κλίση 80%. Στη συνέχεια τοποθετήστε ένα λιγνιτικό ορίζοντα, αµελητέου πάχους, διεύθυνσης Β45Α και κλίσης 40 Β. ΕΙΚΟΝΑ 4-2. Ίχνος επαφής µεταξύ ασβεστολίθων (νεότερο στρώµα) και ιλυολίθων (αρχαιότερο), όπως διαγράφεται σε µια κοιλάδα που κλίνει προς Βορρά. Τα «V» ισοϋψών και ίχνους επαφής είναι α- ντίρροπα, κάτι που σηµαίνει ότι η κλίση της επαφής είναι οµόρροπη µε τη µορφολογική (δηλαδή προς Βορρά). Οι απλούστερες γεωµετρικά γεωλογικές ακολουθίες συνίστανται σε απτύχωτα και πλευρικά συνεχή ιζηµατογενή πετρώµατα τα οποία µπορεί είτε να είναι οριζόντια, είτε να κλίνουν προς µια κατεύθυνση. Στην απλούστερη µάλιστα των περιπτώσεων, η τιµή της κλίσης των στρωµάτων παραµένει σταθερή, όπως και το πάχος τους. Ωστόσο, ακόµα και σε αυτήν την περίπτωση τα ίχνη των στρωµατογραφικών επαφών στη γήινη επιφάνεια σπάνια είναι ευθείες γραµµές. Και τούτο διότι το γήινο ανάγλυφο εκτός συγκεκριµένων περιπτώσεων- είναι µια ανώµαλη επιφάνεια. Είναι λοιπόν η τοµή της στρωµατογραφικής επαφής µε την ανώµαλη γήινη επιφάνεια που δίνει το αποκαλούµενο ίχνος της επαφής. Αυτό ισχύει για οποιαδήποτε γεωλογική ή τεκτονική επιφάνεια, η οποία τέµνει τη γήινη, όπως π.χ. ένα ρήγµα. Η µορφή του ίχνους επηρεάζεται τόσο από τη γεωµετρία αυτή καθ αυτή της επαφής (δ/νση, κλίση), όσο και από το γήινο ανάγλυφο. Έτσι, στην ακραία περίπτωση κατακόρυφης επαφής το ίχνος της στη γήινη επιφάνεια θα είναι ευθεία γραµµή (Εικ. 4-3α). Από την άλλη πλευρά, το ίχνος µιας οριζόντιας ε- παφής θα ταυτίζεται ή θα είναι παράλληλο µε τις ισοϋψείς του χάρτη (Εικ. 4-3β). Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, και υπό κατάλληλες προϋποθέσεις µπορούµε να αντιληφθούµε τη γεωµετρία της επαφής από τη µορφή του ίχνους της. Συγκεκριµένα: Σε µια κοιλάδα οι ισοϋψείς έχουν µορφή «V» ή «U», µε την κορυφή του «V» να δείχνει προς τα ανάντη της κοιλάδας. Το ίχνος µιας επαφής µε διεύθυνση περίπου εγκάρσια ως προς τον άξονα της κοιλάδας θα έχει και αυτό τη µορφή «V», το οποίο θα «δείχνει» προς τα ανάντη, αν η κλίση του είναι προς τα κατάντη και το αντίθετο (Εικ. 4.2, 2.12β). Ισχύει ο ακόλουθος εµπειρικός κανόνας: Οµόρροπα V Αντίρροπες κλίσεις Αντίρροπα V Οµόρροπες κλίσεις Αντίστοιχα, σε ένα επίµηκες ύψωµα, αντέρεισµα, ράχη, κλπ. (Εικ. 4-3) οι ισοϋψείς καµπύλες έχουν πάλι τη µορφή «V» ή «U», αλλά το «V» τώρα δείχνει προς την κατεύθυνση που µειώνεται το υψόµετρο. Και σε αυτή την περίπτωση το ίχνος µιας επαφής µε διεύθυνση περίπου εγκάρσια στον άξονα του υψώµατος θα έχει τη µορφή «V» (στην εικόνα 4-3 βλέπουµε ότι ισχύει πάλι ο εµπειρικός κανόνας του «V»), η οποία θα δείχνει (θα είναι οµόρροπη) προς την κατεύθυνση που δείχνει το «V» ή «U» των ισοϋψών, αν η κλίση της είναι αντίρροπη από την τοπογραφική και αντίθετα. 2. Οδεύοντας κατά τη φορά µεγίστης κλίσης περνάµε από αρχαιότερα σε νεώτερα στρώµατα (Εικ. 4-3γ). ΕΞΑΙΡΕΣΗ αποτελεί η περίπτωση, όταν η µορφολογική κλίση είναι οµόρροπη και µεγαλύτερη αυτής των στρωµάτων (Εικ. 4-3ε). 3. Όσο µεγαλύτερη είναι η κλίση µιας επαφής, τόσο πιο ευθύγραµ- µο είναι το ίχνος της (Εικ. 4-3στ). Υπάρχουν δύο οριακές κα-

7 κλίση επαφής - µορφολογική κλίση: Αντίρροπες ("V": οµόρροπα) ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 39 ταστάσεις, φ=0 ο και φ=90 ο. Η πρώτη είναι γνωστή ήδη, αφού πρόκειται για οριζόντια στρώµατα. Στην περίπτωση αυτή οι ε- παφές των στρωµάτων είναι παράλληλες ή ταυτίζονται µε τις ισοϋψείς (Εικ. 4-3β). Η δεύτερη αφορά τις κατακόρυφες επαφές: τότε το ίχνος της επαφής είναι ευθεία γραµµή (Εικ. 4-3α). 4. Πλάτος εµφάνισης. Όπως είδαµε στις «Βασικές Έννοιες» (Εικ. 2-12), αυτό εξαρτάται από (α) την κλίση του στρώµατος και (β) από τη µορφολογία. Έτσι είναι φυσιολογικό, ακόµα και σε στρώ- µατα µε σταθερή κλίση, το πλάτος εµφάνισής τους να αλλάζει, εφόσον η µορφολογία είναι ανώµαλη. Σαν γενικό κανόνα µπορούµε να πούµε ότι µε σταθερή κλίση το πλάτος εµφάνισης µειώνεται, όσο αυξάνεται η µορφολογική κλίση. κλίση επαφής - µορφολογική κλίση: οµόρροπες ("V": αντίρροπα) (α) (γ) (δ) (ε) κατακόρυφη 24 o 65 o µεγάλη κλίση Ν 33 o µέτρια κλίση προς Β µικρή κλίση προς Ν (β) 30 o 700 οριζόντια 66 o (στ) µεγάλη κλίση προς Β (ζ) µέτρια κλίση προς Β 22 o (η) µικρή κλίση προς Β 200 m. ΕΙΚΟΝΑ 4-2. ιαφοροποίηση στο ίχνος µιας επαφής ανάλογα µε την κλίση της. Η τοπογραφία σε κάθε περίπτωση είναι η ίδια και αντιστοιχεί σε αντέρεισµα µε σταθερή και οµαλή κλίση προς Νότο. Με στικτό µοτίβο απεικονίζεται το υπερκείµενο στρώµα.

8 40 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 3. Γεωλογικός Χάρτης απλών κεκλιµένων στρωµάτων Ας εξετάσουµε τώρα την περίπτωση µιας περιοχής στην οποία απαντά µια ακολουθία απλών κεκλιµένων στρωµάτων (Εικ. 4-4, 4-5). Η πρώτη βασική παρατήρηση που κάνουµε έχει να κάνει µε τη µορφή των εµφανίσεων. Τα (διαδοχικά) στρώµατα εµφανίζονται σε λωρίδες µε τα όρια τους να είναι περίπου παράλληλα το ένα µε το άλλο. εύτερον, και αντίθετα µε το χάρτη της εικόνας 3-2, όπου είχαµε οριζόντια στρώµατα, τα ίχνη των επαφών τέµνουν τις ισοϋψείς. Τρίτον, τα ίχνη σχηµατίζουν χαρακτηριστικά «V», τα οποία είναι µάλιστα αντίρροπα µε τα «V» των ισοϋψών. Πρώτα συµπεράσµατα: τα στρώµατα του χάρτη ανήκουν σε µια ιζηµατογενή ακολουθία (οι επαφές τους δεν αλληλοτέµνονται, ούτε διακόπτονται, όπως θα δούµε σε επόµενο κεφάλαιο). Επίσης, τα στρώµατα είναι κεκλιµένα, µε φορά κλίσης προς τα δυτικά (κανόνας «V»). Άρα, αναµένουµε το αρχαιότερο στρώµα να είναι το λατυποπαγές, ακολουθούµενο από τον ιλυόλιθο, κ.ο.κ. και το νεώτερο να είναι η µάργα. Παρατήρηση: βλέπουµε ότι τα πλάτη εµφάνισης των στρωµάτων δε διατηρούνται σταθερά. Τούτο οφείλεται στις µικρές διακυµάνσεις στη µορφολογία (εφόσον έχουµε δεχτεί ότι η κλίση των στρωµάτων παραµένει σταθερή). ΕΙΚΟΝΑ 4-4. Τρισδιάστατη απεικόνιση περιοχής που καλύπτει ο χάρτης της εικόνας 4-5 και στην οποία απαντούν απλά κεκλιµένα στρώµατα. Στη συνέχεια προχωράµε να φέρουµε τις παρατάξεις των επαφών. Στο χάρτη της εικόνας 4-5 φαίνονται όλες οι «ακέραιες» παρατάξεις κάθε επαφής, καθώς και η τιµή της καθεµιάς.

9 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 41 Αφού φέρουµε παρατάξεις προσδιορίζουµε τα στοιχεία των στρω- µάτων κατά τα γνωστά. Στην περίπτωσή µας είναι: Β00 ο Α, 19 ο ή 19 ο /270 ο. Πρόκειται δηλαδή, όπως υποθέσαµε και από τον κανόνα του «V», για απλά κεκλιµένα στρώµατα που κλίνουν µε 19 ο προς τα δυτικά ( ). Άρα πηγαίνοντας από τα Α προς τα περνάµε σε νεώτερα στρώµατα. Ακολούθως, υπολογίζουµε τα πάχη των στρωµάτων (Εικ. 2-10) του χάρτη. Αρχικά, θα βρούµε το ΤΑV κάθε στρώµατος και µετά το Τt (είναι γνωστό ότι ΤΑV=Ttσυνφ). Αυτό βέβαια είναι εφικτό µόνο για τα στρώµατα των οποίων είναι γνωστά και η οροφή και το δάπεδό τους, άρα αποκλείονται από τη διαδικασία το νεώτερο και το αρχαιότερο στρώµα (στην περίπτωσή µας η µάργα και το λατυποπαγές, αντίστοιχα). Η διαδικασία έχει ως εξής: Για ένα συγκεκριµένο σηµείο, εντοπίζουµε µια παράταξη του δαπέδου του, η οποία να προβάλλεται στην ίδια θέση µε µια παράταξη της οροφής του. Η διαφορά των τιµών τους ισούται µε το κατακόρυφο πάχος (ΤΑV) του στρώµατος. Από χάρτη της εικόνας 4-5 επιλέγουµε, για παράδειγµα, να υπολογίσουµε το πάχος του αργιλικού σχίστη. Η παράταξη των 800 της οροφής του (επαφή αργιλικού σχίστη / µάργας) ταυτίζεται προβαλλόµενη µε την του δαπέδου του (επαφή κροκαλοπαγούς / αργιλικού σχίστη). Άρα για τον αργιλικό σχίστη: ΤΑV =200m και Τt=200συν19 ο =189m. Μνηµονικός Κανόνας: Μια παράταξη οροφής ενός στρώµατος θα ταυτίζεται µε µία δαπέδου του ίδιου στρώ- µατος, όταν το κατακόρυφο πάχος του είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της ισοδιάστασης του χάρτη. Αν δεν υπάρχει άµεσα διαθέσιµη παράταξη οροφής που να προβάλλεται στην ίδια θέση µε µια παράταξη δαπέδου (ή αντίστροφα); Τότε, αφού γνωρίζουµε την ισοδιάσταση d και τη Φ.Μ.Κ. φέρνουµε µια παράταξη οροφής που να ταυτίζεται µε αυτή του δαπέδου και υπολογίζουµε, χρησιµοποιώντας την απλή µέθοδο των τριών ποια τιµή θα έπαιρνε στη θέση αυτή. Ένας απλός τρόπος για τον υπολογισµό της τιµής της «τυχαίας παράταξης» δίνεται στον «Υπολογισµό Α.Υ. επαφής σε τυχαία θέση: το πρόβληµα της γεώτρησης». 4. Γεωλογική τοµή Η επιλογή της κατάλληλης γεωλογικής τοµής είναι το επόµενο ση- µαντικό βήµα στην ανάλυση του γεωλογικού χάρτη. Κατά κανόνα, επιλέγεται διεύθυνση τοµής τέτοια που να είναι εγκάρσια στη διεύθυνση των στρωµάτων. Τότε θα έχουµε και πληρέστερη εικόνα της διάταξης και της γεωµετρίας των γεωλογικών σχηµατισµών σε βάθος.

10 42 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ ΕΙΚΟΝΑ 4-5. Απλουστευµένος γεωλογικός χάρτης µε κεκλιµένα στρώµατα που αντιστοιχεί στην περιοχή της εικόνας 4-3. Υ Π Ο Μ Ν Η Μ Α ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Μάργα Αργιλικός σχίστης Κροκαλοπαγές Ασβεστόλιθος Ψαµµίτης Ιλυόλιθος Λατυποπαγές Ισοδιάσταση: 100 m. Κλίµακα: 1: m. N 400 Μ/Α.Σ. 200 Α.Σ./ΚΡ. Μ/Α.Σ. 300 Α.Σ./ΚΡ. 200 ΚΡ./ΑΣ. Μ/Α.Σ. 400 Α.Σ./ΚΡ. 300 ΚΡ./ΑΣ. 700 Μ/Α.Σ. Α.Σ./ΚΡ. 400 ΚΡ./ΑΣ. 800 Μ/Α.Σ. Α.Σ./ΚΡ. ΚΡ./ΑΣ. 300 ΑΣ./Ψ. 900 Μ/Α.Σ. 700 Α.Σ./ΚΡ. ΚΡ./ΑΣ. 400 ΑΣ./Ψ. 800 Α.Σ./ΚΡ. 700 ΚΡ./ΑΣ. ΑΣ./Ψ. 400 Ψ./ΙΛ. 900 Α.Σ./ΚΡ. 800 ΚΡ./ΑΣ. ΑΣ./Ψ. Ψ./ΙΛ Α.Σ./ΚΡ. 900 ΚΡ./ΑΣ. 700 ΑΣ./Ψ. Ψ./ΙΛ Α.Σ./ΚΡ ΚΡ./ΑΣ. 800 ΑΣ./Ψ. 700 Ψ./ΙΛ ΚΡ./ΑΣ. 900 ΑΣ./Ψ. 800 Ψ./ΙΛ. ΙΛ./ΛΑΤ ΑΣ./Ψ. 900 Ψ./ΙΛ. 700 ΙΛ./ΛΑΤ ΑΣ./Ψ Ψ./ΙΛ. 800 ΙΛ./ΛΑΤ.

11 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 43 Υ Π Ο Μ Ν Η Μ Α ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Μάργα Αργιλικός σχίστης Κροκαλοπαγές Ασβεστόλιθος Ψαµµίτης Ιλυόλιθος Λατυποπαγές m. m A' E Γ Ε Ω Λ Ο Γ Ι Κ Η Τ Ο Μ Η Α - Α ' Κλίµακα: 1:20000? ΕΙΚΟΝΑ 4-6. Γεωλογική τοµή Α-Α. A m W

12 44 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ Κάποιος µπορεί να ρωτήσει: αν το ένα (ή και τα δύο) ση- µεία προβάλλονται «στον αέρα» και εµείς φέρνουµε το τµήµα της ευθείας που τα περιέχει και που βρίσκεται κάτω από την τοπογραφική επιφάνεια, τι συµβαίνει µε το υπόλοιπο; Απλά, πρόκειται για το µέρος της επαφής που θεωρούµε ότι έχει διαβρωθεί. Επίσης, σε πολύπλοκες δο- µές, συνηθίζεται να φέρνουµε µε διακεκοµµένη γραµµή το διαβρωµένο τµήµα της επαφής, ώστε να δίνεται στον αναγνώστη πληρέστερη εικόνα της δοµής. Σε κάθε γεωλογική τοµή ακολουθούµε τον «κανόνα» ότι «στη σχεδίαση τα νεώτερα γεγονότα προηγούνται». Έτσι, αρχικά φέρνουµε τη µορφολογία, κατά τα γνωστά (Εικ. 4-6) που ουσιαστικά αποτελεί και το νεώτερο στοιχείο του χάρτη. Στη συνέχεια αποτυπώνουµε τις επαφές των στρωµάτων ως εξής: ξεκινώντας από το νεώτερο στρώµα, αν κάτι τέτοιο είναι εφικτό 2. Σηµειώνουµε τα σηµεία της τοµής στα οποία δύο παρατάξεις µιας συγκεκριµένης επαφής τέµνουν την τοµή, π.χ. σηµειώνουµε τα ση- µεία Τ 1 και Τ 2 (Εικ. 4-5), δηλαδή εκεί που η τοµή τέµνει τις παρατάξεις των 400 και αντίστοιχα της επαφής µάργας και αργιλικού σχίστη. Μετά, προβάλλουµε τα δύο σηµεία αυτά στα υψόµετρα που αντιστοιχούν στις παρατάξεις «τους», και τα ενώνουµε µε ευθεία γραµµή. Τέλος, σηµειώνουµε ποιος σχηµατισµός βρίσκεται πάνω και ποιος κάτω από την επαφή που µόλις φέραµε (το νεώτερο βρίσκεται προς τη φορά της κλίσης, δηλαδή προς την κατεύθυνση που µειώνεται το απόλυτο υψόµετρο της επαφής, άρα προς τα δυτικά). Την ίδια διαδικασία ακολουθούµε για όλες τις επαφές. Συνεχίζουµε τη διαδικασία έως ότου φέρουµε όλες τις επαφές. ΥΠΕΝΘΥΜΙΖΕΤΑΙ: θα φέρουµε και τις επαφές που δεν συναντά η τοµή στην επιφάνεια, αρκεί να είναι αρχαιότερες από τα στρώµατα που έχουµε συναντήσει επιφανειακά. Με άλλα λόγια, καµία τοµή δεν είναι πλήρης, αν δεν εµφανίζει µέχρι και τον αρχαιότερο γνωστό σχηµατισµό του χάρτη, το δάπεδο του οποίου δεν το γνωρίζουµε, οπότε το φέρνουµε µε διακεκοµµένη γραµµή τοποθετώντας ένα ερωτηµατικό (?) κάτω από αυτόν. Συµπληρώνουµε την τοµή χρησιµοποιώντας τον κατάλληλο χρωµατισµό ή συµβολισµό για κάθε σχηµατισµό. ΠΡΟΣΟΧΗ: Ο συµβολισµός πρέπει να τοποθετείται παράλληλα στη στρώση (Εικ. 4-7). Τέλος, ολοκληρώνουµε τοποθετώντας τον προσανατολισµό, τη βαθµονόµηση των αξόνων, την κλίµακα, το υπόµνηµα (ή/και τη στρωµατογραφική στήλη) και τα στοιχεία του συντάξαντα. Έλεγχοι ακρίβειας - Ορθότητας ΕΙΚΟΝΑ 4-7. Σωστός (επάνω) και λανθασµένος (κάτω) τρόπος συµβολισµού κεκλιµένων στρωµάτων. 1. Η ευθεία που περιέχει τις δύο προβολές των παρατάξεων τέ- µνει την τοπογραφική επιφάνεια τουλάχιστον σε ένα σηµείο, έ- στω το σηµείο Τ 3. Ας δούµε τώρα και το χάρτη, στον οποίο έ- 2 Πολλές φορές δεν είναι εφικτό να ξεκινήσουµε τη χάραξη παρατάξεων βασιζόµενοι στο ίχνος της νεότερης επαφής. Για το λόγο αυτό, συνήθως ξεκινάµε µε την επαφή που µας παρέχει τα περισσότερα στοιχεία, δηλ. τέµνει τις ισοϋψείς τις περισσότερες φορές.

13 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 45 χουµε χαράξει το ίχνος της Γ.Τ. (Εικ. 4-5, 4-5). Το σηµείο Τ 3 αντιστοιχεί στο σηµείο που το ίχνος της Γ.Τ. τέµνει την επαφή ασβεστόλιθου / ψαµµίτη. Οπότε, και τα δύο πρέπει να βρίσκονται στην ίδια θέση, δηλαδή να απέχουν εξίσου από το ένα ή το άλλο άκρο της Γ.Τ. Αν κάτι τέτοιο δεν συµβαίνει, τρεις είναι οι πιθανές περιπτώσεις λάθους: Έχουµε προβάλλει σε λάθος θέση ή Α.Υ. τις δύο παρατάξεις Οι παρατάξεις που έχουµε χαράξει δεν είναι παράλληλες µεταξύ τους ή δεν έχουν τη σωστή ισοδιάσταση (d). Έχουµε κάνει λάθος στην αποτύπωση του αναγλύφου. (Υπάρχει και 4 η περίπτωση? Ναι, να έχει περαστεί λανθασµένα η επαφή στο χάρτη, αλλά αυτό, τουλάχιστον για την ώρα, θα πρέπει να αποκλειστεί!). 2. Στην τοµή µας κατά κανόνα οι κλίσεις των επαφών που θα φέρουµε θα είναι φαινόµενες κλίσεις. Γνωρίζουµε ήδη ότι 0 Φ.Κ. Μ.Κ. και ότι Φ.Κ.=Μ.Κ. µόνο όταν η διεύθυνση της τοµής είναι κάθετη στις παρατάξεις. Αφού λοιπόν φέρουµε µια επαφή, µετράµε µε το µοιρογνωµόνιο την κλίση της: η τιµή που θα µετρήσουµε πρέπει να είναι ίδια µε αυτή που θα παίρναµε κάνοντας τη χρήση του νοµογράµµατος ή του πίνακα του Παραρτή- µατος IV. Αν είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη συνήθως: Έχουµε προβάλλει τις παρατάξεις σε λάθος υψόµετρο. Οι παρατάξεις δεν έχουν χαραχτεί σωστά (παράλληλες, ι- σαπέχουσες, µε σταθερή ισοδιάσταση). Λάθος κλίµακα υψών. Λάθος τιµές παρατάξεων (δηλ. προηγούµενη περίπτωση). ΑΣΚΗΣΗ 4.3. Α. Κατασκευάστε τη γεωλογική τοµή κατά µήκος της ΒΑ-Ν διαγωνίου του χάρτη της Εικόνας 4-5. Β. Ποιά τα φαινόµενα κατακόρυφα πάχη των στρωµάτων? Γ. Ποια η φαινόµενη κλίση των στρωµάτων σε αυτή τη διεύθυνση? ΑΣΚΗΣΗ 4.4. Α. Κατασκευάστε τη γεωλογική τοµή κατά µήκος της δυτικής ά- κρης του χάρτη της Εικόνας 4-5. Β. Ποια εικόνα για τα στρώµατα παίρνουµε µε µια τοµή τέτοιας διεύθυνσης και γιατί? 3. Το κατακόρυφο πάχος ενός στρώµατος σε αυτό το επίπεδο ασκήσεων- είναι σταθερό. Λάθη σε αυτήν την περίπτωση προκύπτουν αν έχουµε φέρει µε διαφορετική κλίση την οροφή και το δάπεδο του στρώµατος, εποµένως το πρόβληµα ανάγεται στο προηγούµενο. Τώρα, για το αρχαιότερο στρώµα δε γνωρίζουµε το δάπεδό του. Οφείλουµε ωστόσο να δώσουµε την καλύτερη προσέγγιση για το ελάχιστο δυνατό πάχος του. Για να το κάνουµε αυτό, εργαζόµαστε ως εξής: εντοπίζουµε το αρχαιότερο στρώµα, που στην περίπτωση των απλών κεκλιµένων στρωµάτων, αυτό θα βρίσκεται κοντά σε µια άκρη του χάρτη. Βρίσκουµε τη θέση όπου το πλάτος εµφάνισης του είναι το µέγιστο, π.χ. στο χάρτη της εικόνας 4-4 το αρχαιότερο στρώµα είναι το λατυποπαγές µε µέγιστο πλάτος W 1. Βρίσκουµε ποια παράταξη οροφής (εδώ λατυποπαγούς / ιλυόλιθου) που θα περνούσε από το άκρο του χάρτη και µε αναγωγή βρίσκουµε ότι η παράταξη αυτή έχει τιµή 820. Προχωρούµε τώρα στην εξής υπόθεση: αν στο άκρο αυτό του χάρτη εµφανιζόταν ένα στρώµα αρχαιότερο του λατυποπαγούς, σε ποιο υψόµετρο θα βρισκόταν; Σύµφωνα µε το ανάγλυφο του

14 46 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ χάρτη, εκτιµούµε ότι θα βρισκόταν στα 680m (βρισκόµαστε µεταξύ της ισοϋψούς των και των 700 και αρκετά κοντά στη δεύτερη). Αφαιρώντας την τιµή του 680 από τα 820 βρίσκουµε ότι το ελάχιστο δυνατό πάχος του αρχαιότερου στρώµατος είναι 140m και αυτό θα εµφανίσουµε στην Γ.Τ. 5. Γεωλογική εξέλιξη της περιοχής του χάρτη Όπως έχουµε ήδη αναφέρει στα «Οριζόντια στρώµατα» αρχίζουµε να περιγράφουµε τη γεωλογική εξέλιξη από το παλαιότερο γεγονός που έχουµε εντοπίσει: 1. Στο παράδειγµά του χάρτη (Εικ. 4-5) το παλαιότερο γεγονός είναι η απόθεση του αρχαιότερου στρώµατος (λατυποπαγές) η οποία έλαβε χώρα σε µία λεκάνη ιζηµατογένεσης. 2. Σε κάποια χρονική περίοδο άλλαξαν οι συνθήκες ιζηµατογένεσης και άρχισε να αποτίθεται το αµέσως νεώτερο στρώµα. 3. ιαδοχικές αλλαγές στις συνθήκες ιζηµατογένεσης προκάλεσαν την απόθεση διακριτών στρωµάτων µε συγκεκριµένη στρωµατογραφική σειρά και στο παράδειγµα του χάρτη: ιλυόλιθος, ψαµµίτης, ασβεστόλιθος, κροκαλοπαγές, αργιλικός σχίστης και τέλος η µάργα. 4. Στη συνέχεια, το σύνολο της περιοχής χέρσευσε και 5. τα στρώµατα πήραν κλίση, δηλαδή έγιναν από οριζόντια κεκλι- µένα. Η διατάραξη αυτή της οριζοντιότητας των σχηµατισµών οφείλεται στη επίδραση των τεκτονικών (ενδογενών) δυνάµεων. Όµως, δεν είµαστε σε θέση να προσδιορίσουµε πότε ακριβώς έλαβε χώρα αυτό το γεγονός: κατά την ανάδυση της περιοχής ή µετά? Με τα διαθέσιµα δεδοµένα από το χάρτη και οι δύο εναλλακτικές υποθέσεις είναι πιθανές.. 6. Από τη στιγµή που η περιοχή αναδύθηκε, εκτέθηκε στη δράση των εξωγενών δυνάµεων, οι οποίες διαµόρφωσαν και εξακολουθούν να διαµορφώνουν το ανάγλυφο της περιοχής.

3. Οριζόντια στρώµατα

3. Οριζόντια στρώµατα 3. Οριζόντια στρώµατα 1. Γενικά... 26 2. Στρωµατογραφική διάρθρωση Στρωµατογραφική στήλη... 27 3. Γεωλογική τοµή... 27 4. Γεωλογική εξέλιξη της περιοχής του χάρτη... 31 26 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 1. Γενικά

Διαβάστε περισσότερα

8. Υπολογισµός Α.Υ. επαφής σε τυχαία θέση: Το «πρόβληµα» της γεώτρησης

8. Υπολογισµός Α.Υ. επαφής σε τυχαία θέση: Το «πρόβληµα» της γεώτρησης 8. Υπολογισµός Α.Υ. επαφής σε τυχαία θέση: Το «πρόβληµα» της γεώτρησης 1. Γενικά... 78 2. Γεώτρηση σε απλά κεκλιµένα στρώµατα... 78 3. Γεώτρηση σε διερρηγµένα στρώµατα... 81 4. Γεώτρηση σε ασύµφωνα στρώµατα...

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά 56 ΡΗΓΜΑΤΑ. ρήγµατος διαπιστώνεται από την επανάληψη

1. Γενικά 56 ΡΗΓΜΑΤΑ. ρήγµατος διαπιστώνεται από την επανάληψη 6. Ρήγµατα 1. Γενικές έννοιες βασική ορολογία... 56 2. Ταξινοµήσεις ρηγµάτων... 59 3. Μελέτη και ανάλυση γεωλογικών χαρτών µε ρήγµατα... 63 4. Περίπτωση Α: κατακόρυφο ρήγµα... 63 5. Περίπτωση Β: κεκλιµένο

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΑΣΚΗΣΗ ΚΟΙΤΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ

1 η ΑΣΚΗΣΗ ΚΟΙΤΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ 1 η ΑΣΚΗΣΗ ΚΟΙΤΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΗ 1: Ο λιγνίτης είναι παλαιότερος της μάργας ΣΗΜΕΙΩΣΗ 2: Το ΑΒΓΔ ξεκινά από επάνω αριστερά του χάρτη και δεξιόστροφα (φορά δεικτών ρολογιού). ΣΗΜΕΙΩΣΗ 3: εφ(φαινόμενης)

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ. Άσκηση 2: Βυθοµετρικός χάρτης Βυθοµετρική τοµή

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ. Άσκηση 2: Βυθοµετρικός χάρτης Βυθοµετρική τοµή ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΩΚΕΑΝΩΝ Άσκηση 2: Βυθοµετρικός χάρτης Βυθοµετρική τοµή ιδάσκοντες Καθ. Γ. Φερεντίνος Λέκτορας Μ. Γεραγά Μεταπτυχιακοί φοιτητές: Μαργαρίτα Ιατρού ηµήτρης Χριστοδούλου Βυθοµέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Κατεύθυνση:«Τεχνικής Γεωλογία και Περιβαλλοντική Υδρογεωλογία»

Κατεύθυνση:«Τεχνικής Γεωλογία και Περιβαλλοντική Υδρογεωλογία» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ» Κατεύθυνση:«Τεχνικής Γεωλογία και Περιβαλλοντική Υδρογεωλογία» Βασικά εργαλεία Τεχνικής Γεωλογίας και Υδρογεωλογίας Επικ. Καθηγ. Μαρίνος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΣ ΧΑΡΤΗΣ. Στοιχεία τοπογραφικών χαρτών

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΣ ΧΑΡΤΗΣ. Στοιχεία τοπογραφικών χαρτών ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΣ ΧΑΡΤΗΣ Στοιχεία τοπογραφικών χαρτών ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Τοπογραφικοί χάρτες Βασικό στοιχείο του χάρτη αποτελεί : το τοπογραφικό υπόβαθρο, που αναπαριστά µε τη βοήθεια γραµµών (ισοϋψών)

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικός χάρτης : Είναι η οριζόντια και υπό σµίκρυνση προβολή µιας εδαφικής επιφάνειας µε όλα τα φυσικά και τεχνικά χαρακτηριστικά της.

Τοπογραφικός χάρτης : Είναι η οριζόντια και υπό σµίκρυνση προβολή µιας εδαφικής επιφάνειας µε όλα τα φυσικά και τεχνικά χαρακτηριστικά της. 1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ-Ε ΑΦΟΛΟΓΙΑΣ Υπεύθυνη :Ευαγγελία Αλεξανδρή, Γεωλόγος. Σηµαντικό µέρος της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 Τοπογραφικοί Χάρτες Περίγραμμα - Ορισμοί - Χαρακτηριστικά Στοιχεία - Ισοϋψείς Καμπύλες - Κατασκευή τοπογραφικής τομής

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs. Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός hp://www.perifysikhs.com Αναζητώντας την αιτία των κινήσεων Η µελέτη των κινήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΒΑΛΛΩΝ ΧΩΡΟΣ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ. Ν. Σαμπατακάκης Καθηγητής Εργαστήριο Τεχνικής Γεωλογίας Παν/μιο Πατρών

ΠΕΡΙΒΑΛΛΩΝ ΧΩΡΟΣ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ. Ν. Σαμπατακάκης Καθηγητής Εργαστήριο Τεχνικής Γεωλογίας Παν/μιο Πατρών ΠΕΡΙΒΑΛΛΩΝ ΧΩΡΟΣ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ II ΠΕΡΙΒΑΛΛΩΝ ΧΩΡΟΣ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ βασική απαίτηση η επαρκής γνώση των επιμέρους στοιχείων - πληροφοριών σχετικά με: Φύση τεχνικά χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο Εργασίας. Θέμα : Περπατώντας στο Πήλιο Θέλετε να οργανώσετε έναν ορειβατικό περίπατο από την Αγριά στην Δράκεια Πηλίου.

Φύλλο Εργασίας. Θέμα : Περπατώντας στο Πήλιο Θέλετε να οργανώσετε έναν ορειβατικό περίπατο από την Αγριά στην Δράκεια Πηλίου. Ενότητα Χάρτες Φύλλο Εργασίας Μελέτη χαρτών Τάξη Α Γυμνασίου Ονοματεπώνυμο.Τμήμα..Ημερομηνία. Σκοποί του φύλλου εργασίας Η εξοικείωση 1. Με την χρήση των χαρτών 2. Με την χρήση της πυξίδας 3. Με την εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κυκλική κίνηση µίας σηµειακής µάζας και ιδιαίτερα την εξάρτηση της κεντροµόλου δύναµης από τη µάζα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο.

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο. ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ Η ιστιοπλοΐα ανοιχτής θαλάσσης δεν διαφέρει στα βασικά από την ιστιοπλοΐα τριγώνου η οποία γίνεται με μικρά σκάφη καi σε προκαθορισμένο στίβο. Όταν όμως αφήνουμε την ακτή και ανοιγόμαστε στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ ΣΥΝΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ -.Μ.Κ. 10.98 1 ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΣ Ε1 Μ 2γ Ε2 2β 1. ΡΙΣΜΙ ΡΙΣΜΙ - ΚΤΣΚΕΥΕΣ Η έλλειψη είναι επίπεδη καµπύλη 2 ου βαθµού, είναι δε ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων, των οποίων το άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΩΛΗΝΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΗΧΟΥ ΣΤΟΝ ΑΕΡΑ ΣΚΟΠΟΙ Η αισθητοποίηση του φαινοµένου του ηχητικού συντονισµού Η κατανόηση της αρχής λειτουργίας των πνευστών οργάνων ΥΛΙΚΑ-ΟΡΓΑΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ»

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ 26 ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Σχήµα 1 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ Η κυλινδρική επιφάνεια ή κύλινδρος, προκύπτει από τις διαδοχικές θέσεις µιας ευθείας α, (γενέτειρα) η

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Με το σχεδιασµό επιφάνειας (Custom επιφάνεια) µπορούµε να σχεδιάσουµε επιφάνειες και αντικείµενα που δεν υπάρχουν στους καταλόγους του 1992. Τι µπορούµε να κάνουµε µε το σχεδιασµό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Οι γνωστές άγνωστες κωνικές τοµές

Οι γνωστές άγνωστες κωνικές τοµές Οι γνωστές άγνωστες κωνικές τοµές Μιχαήλ Τζούµας Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικών Ιωσήφ Ρωγών και Βεΐκου 302 00 Μεσολόγγι mtzoumas@sch.gr Περίληψη Οι κωνικές τοµές (κ.τ.) και ειδικότερα η Παραβολή, η Έλλειψη

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η στερεογραφική απεικόνιση του επιπέδου του ρήγματος, καθώς και του βοηθητικού επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο 6. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤ ΕΠΙΠΕ ΘΕΩΡΙΑ. Σύστηµα καθέτων ηµιαξόνων: Είναι δύο κάθετες µεταξύ τους ηµιευθείες µία οριζόντια και µία κατακόρυφη. Την οριζόντια την ονοµάζουµε και την λέµε ηµιάξονα των ή ηµιάξονα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Αντικείµενο της παρούσας µεταπτυχιακής εργασίας είναι η διερεύνηση της επίδρασης των σηράγγων του Μετρό επί του υδρογεωλογικού καθεστώτος πριν και µετά την κατασκευή τους. Στα πλαίσια της, παρουσιάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Δυναμιική.. Θέμα 1 ο 1. Συμπληρώστε την παρακάτω πρόταση. H αρχή της αδράνειας λέει ότι όλα ανεξαιρέτως τα σώματα εκδηλώνουν μια τάση να διατηρούν την... 2. Ένα αυτοκίνητο

Διαβάστε περισσότερα

2. ΓΕΩΛΟΓΙΑ - ΝΕΟΤΕΚΤΟΝΙΚΗ

2. ΓΕΩΛΟΓΙΑ - ΝΕΟΤΕΚΤΟΝΙΚΗ 2. 2.1 ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΕΥΡΥΤΕΡΗΣ ΠΕΡΙΟΧΗΣ Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται συνοπτικά το Γεωλογικό-Σεισμοτεκτονικό περιβάλλον της ευρύτερης περιοχής του Π.Σ. Βόλου - Ν.Ιωνίας. Η ευρύτερη περιοχή της πόλης του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΞΑΜΗΝΟ: 7 ο Β. ΜΑΡΙΝΟΣ, Επ. ΚΑΘ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Β. ΧΡΗΣΤΑΡΑΣ, ΚΑΘ. Φεβρουάριος 2015 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0

ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0 ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Dcad 1.0 20130510 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εγκατάσταση προγράμματος DCAD 2 2. Ενεργοποίηση Registration 2 3. DCAD 3 3.1 Εισαγωγή σημείων 3 3.2 Εξαγωγή σημείων 5 3.3 Στοιχεία ιδιοκτησίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑΣ. Βασίλης Γιαννακόπουλος, Δρ. Δασολόγος

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑΣ. Βασίλης Γιαννακόπουλος, Δρ. Δασολόγος ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΩΤΟΓΡΑΜΜΕΤΡΙΑΣ Βασίλης Γιαννακόπουλος, Δρ. Δασολόγος Φωτογραμμετρία Εισαγωγή Ορισμοί Πλεονεκτήματα Μειονεκτήματα Εφαρμογές Εισαγωγή Προσδιορισμός θέσεων Με τοπογραφικά όργανα Σχήμα Μέγεθος Συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2

Ροπή αδράνειας. q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: I = m(2r) 2 = 4mr 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.22 1 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r 2r 2 2 I =! m i r i = 2mr 2 1 I = m(2r) 2 = 4mr 2 Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ & ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΗΣ Σύνταξη κειμένου: Μαρία Ν. Δανιήλ, Αρχιτέκτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας - Οριζόντια Βολή Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, M Sc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Εισαγωγικές Εννοιες - Α Λυκείου Στην Φυσική της Α Λυκείου κυριάρχησαν

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ

Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ ΟΜΑΔΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΑ ΜΑΘΗΤΩΝ 1)... 2)... 3)... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : Υπολογισμός της εστιακής απόστασης f λεπτού συμμετρικού συγκλίνοντος φακού απο τη γραμμική μεγέθυνση Μ Με το πείραµα αυτό θα προσδιορίσουµε: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 014 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις από Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και το γράµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου

ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε. σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας. Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου ΗΈνταξητουλογισµικού SalsaJσε σεµιαδιαθεµατική προσέγγισητης Αστρονοµίας Γρηγόρης Ζυγούρας Φυσικός Τεχνολόγος 2 ο Γυµνάσιο Χαλανδρίου ΧΡΗΣΗΤΟΥ ΤΟΥΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ SALSAJ ΓΙΑΤΟΝ ΤΟΝΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΤΗΣΜΑΖΑΣ ΜΑΖΑΣΤΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΛΟΓΙΚΗΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΛΟΓΙΚΗΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ Τμήμα Διαχείρισης Περιβάλλοντος και Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Οικολογίας & Διαχείρισης της Βιοποικιλότητας ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΛΟΓΙΚΗΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΗΣ Διδάσκων: Καθηγητής Παναγιώτης Δ. Δημόπουλος Επιμέλεια

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στις δυνάμεις

Ασκήσεις στις δυνάμεις 0 Ασκήσεις στις δυνάμεις Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 1 1) «Κατά τη σύγκρουση ενός φορτηγού με ένα αυτοκίνητο, το αυτοκίνητο δέχεται δύναμη μεγαλύτερου μέτρου

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ «ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΥΤΤΑΡΟΥ» Ονοµατεπώνυµο...ΑΜ...

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ «ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΥΤΤΑΡΟΥ» Ονοµατεπώνυµο...ΑΜ... ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ «ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΥΤΤΑΡΟΥ» ΑΣΚΗΣΗ 2 η Μετρήσεις µε το µικροσκόπιο Κ. Φασσέας. Ονοµατεπώνυµο...ΑΜ... Σκοπός της άσκησης είναι: Να µάθουµε πώς γίνεται η

Διαβάστε περισσότερα

Γεωλογικοί Χάρτες ΜΕΡΟΣ Α: Βασικές Έννοιες & Στοιχειώδεις Δομές. Χ.Δ. Κράνης. Β.Ε. Αντωνίου. Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Γεωλογικοί Χάρτες ΜΕΡΟΣ Α: Βασικές Έννοιες & Στοιχειώδεις Δομές. Χ.Δ. Κράνης. Β.Ε. Αντωνίου. Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Γεωλογίας Γεωλογικοί Χάρτες ΜΕΡΟΣ Α: Βασικές Έννοιες & Τομέας ΔυναμικήςΤεκτονικής & Εφαρμοσμένης Γεωλογίας Στοιχειώδεις Δομές Χ.Δ. Κράνης Β.Ε. Αντωνίου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΕΞΟΧΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΚΑΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΛΥΠΤΗ»

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Τοπογραφικό... 9 Σκάλα... 33 Φωτορεαλισμός... 57 Αντικείμενα... 91 Ανοίγματα... 95 Γραμμές... 99 Επεξεργασία... 103 Περιβάλλον...

Περιεχόμενα. Τοπογραφικό... 9 Σκάλα... 33 Φωτορεαλισμός... 57 Αντικείμενα... 91 Ανοίγματα... 95 Γραμμές... 99 Επεξεργασία... 103 Περιβάλλον... Περιεχόμενα Τοπογραφικό... 9 Σκάλα... 33 Φωτορεαλισμός... 57 Αντικείμενα... 91 Ανοίγματα... 95 Γραμμές... 99 Επεξεργασία... 103 Περιβάλλον... 111 Πρόλογος Στο κείμενο αυτό παρουσιάζονται οι νέες δυνατότητες

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 8575 Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνονται τα σηµία Α(,) και Β(5,6). α) Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από τα σηµία Α και B.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ.

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ. ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους 28/9/2008 12:48 καθ. Τεχνολογίας 28/9/2008 12:57 Προοπτικό σχέδιο με 2 Σημεία Φυγής Σημείο φυγής 1 Σημείο φυγής 2 Γωνία κτιρίου

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός της ισχύος συστήµατος λεπτών φακών σε επαφή

Υπολογισµός της ισχύος συστήµατος λεπτών φακών σε επαφή Ο6 Υπογισµός της ισχύος συστήµατος λεπτών φακών σε επαφή. Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα προσδιορίσουµε την εστιακή απόσταση που διαµορφώνει ένα σύστηµα λεπτών φακών που βρίσκονται σε επαφή µεταξύ τους και

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΩΝ

7.1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΩΝ 7.1 ΑΣΚΗΣΗ 7 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Όταν φωτεινή παράλληλη δέσμη διαδιδόμενη από οπτικό μέσο α με δείκτη διάθλασης n 1 προσπίπτει σε άλλο οπτικό μέσο β με δείκτη διάθλασης n 2 και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα