4. Απλά κεκλιµένα στρώµατα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4. Απλά κεκλιµένα στρώµατα"

Transcript

1 4. Απλά κεκλιµένα στρώµατα 1. Γενικά Μορφές εµφανίσεων γεωλογικών σχηµατισµών - Ο κανόνας του «V» Χάρτης απλών κεκλιµένων στρωµάτων Γεωλογική τοµή Γεωλογική εξέλιξη της περιοχής του χάρτη... 46

2 34 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 1. Γενικά Με τον όρο απλά κεκλιµένα στρώµατα εννοούµε µια ακολουθία ιζηµατογενών σχηµατισµών τα οποία εµφανίζονται µε κάποια κλίση ως προς το οριζόντιο επίπεδο, χωρίς να έχουν υποστεί άλλου είδους διατάραξη ή παραµόρφωση. Πρόκειται για µια αρκετά συνηθισµένη περίπτωση, για τη µελέτη της οποίας χρειάζεται να αναφέρουµε µερικές βασικές αρχές και τεχνικές, οι οποίες στην πορεία θα µας φανούν χρήσιµες και σε πολλές άλλες περιπτώσεις. Γνωρίζουµε ήδη την έννοια της παράταξης, της διεύθυνσης, Μ.Κ. και της Φ.Μ.Κ. ενός επιπέδου (βλ. Βασικές Έννοιες). Στη συνέχεια θα δούµε πώς αυτές οι παράµετροι εξάγονται από ένα γεωλογικό χάρτη και πώς τις αξιοποιούµε. Βασική µας παραδοχή, είναι ότι θα θεωρήσουµε ότι τα στρώµατα που εµφανίζονται στο χάρτη της εικόνας 4-1 (και στους υπόλοιπους χάρτες του εγχειριδίου) διατηρούν τη διεύθυνση, την κλίση και το πάχος τους. Έτσι µας επιτρέπεται να τα αντιµετωπίσουµε «γεωλογικά σώµατα» µε επίπεδα και παράλληλα µεταξύ τους όρια. Με άλλα λόγια δεχόµαστε ότι οι επαφές των στρωµάτων είναι κεκλιµένα επίπεδα., παράλληλα µεταξύ τους. Ας ξεκινήσουµε εξετάζοντας την περίπτωση ενός κεκλιµένου στρώµατος αµελητέου πάχους για την κλίµακα του χάρτη (π.χ. ένα λιγνιτικό ορίζοντα), το οποίο θα αντιµετωπίσουµε ως ένα κεκλιµένο επίπεδο. EΙΚΟΝΑ 4-1. (Α) Απλός γεωλογικός χάρτης που απεικονίζει έναν κεκλιµένο λιγνιτικό ορίζοντα, που αποτελεί πρακτικά και την επαφή των υποκείµενων στρωµάτων (Ms) µε τα υπερκείµενα (Pli). Οι παρατάξεις των 100, 200 και 300 έχουν χαραχτεί µε βάση ένα ζεύγος σηµείων η καθεµία. Είναι παράλληλες µεταξύ τους και ισαπέχουν κατά d. Έτσι, έχουµε φέρει και την παράταξη των 400, ακόµη και αν δεν υπάρχει σηµείο ή ζεύγος σηµείων για αυτήν. (Β) Γεωλογική τοµή Α-Α, εγκάρσια στη διεύθυνση του λιγνιτικού ορίζοντα. Με στικτή γραµµή φαίνεται το ανάγλυφο που αντιστοιχεί σε µια παράλληλη τοµή, τη Β-Β. Είναι προφανές ότι το τµήµα του λιγνιτικού ορίζοντα που φαίνεται διαβρωµένο στην Α-Α βρίσκεται εξολοκλήρου κάτω από την τοπογραφική επιφάνεια της Β-Β. (Γ) Συνοπτική απεικόνιση απλών γεωµετρικών κατασκευών που διευκολύνουν την εύρεση των στοιχείων. Στο πλαίσιο κάτω δεξιά φαίνονται οι τρόποι αναγραφής των στοιχείων του λιγνιτικού ορίζοντα.

3 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 35 A N A B o d Pl i παράταξη d Pl i λιγνιτικός ορίζοντας Ms 100 d 100 A' m. B' B B A NNW προβολές παρατάξεων λιγνιτικού ορ.? 12 o d d d SSE διαβρωµένο τµήµα λιγνιτικού ορ B' A' Γ Β Ν 75 o 165 o ιεύθυνση Α Φορά Μέγιστης Κλίσης Παράταξη ηµφ = y/d d φ φ: Μέγιστη κλίση ο ο B75 A, 12 NNA ή y

4 36 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ Υπάρχει συγκεκριµένη σχέση µεταξύ του ίχνους του επιπέδου αυτού στην τοπογραφική επιφάνεια, των παρατάξεών του και των ισοϋψών καµπυλών. Η σχέση αυτή φαίνεται καθαρά στο χάρτη της εικόνας 4-1. Παρατηρώντας το χάρτη βλέπουµε τρία είδη γραµ- µών: τις ισοϋψείς, το ίχνος του λιγνιτικού ορίζοντα και τις παρατάξεις του. Ο λιγνιτικός ορίζοντας συναντά την τοπογραφική επιφάνεια εκεί όπου µια ισοϋψής µε τιµή (α) τέµνει µια παράταξη της ίδιας τιµής. ηλαδή, το ίχνος ελέγχεται ορίζεται από την τοµή γεωλογικού επιπέδου τοπογραφίας. Ουσιαστικά έχουµε µια τρι- µερή σχέση: ισοϋψούς παράταξης επαφής. Εάν γνωρίζουµε δύο από τα τρία µέλη της σχέσης τότε µπορούµε να βρούµε και το τρίτο. Συνήθως δύο περιπτώσεις αντιµετωπίζουµε: Να βρούµε τις παρατάξεις ενός γεωλογικού επιπέδου αν είναι γνωστή η τοπογραφία και το ίχνος του και Να βρούµε το ίχνος ενός γεωλογικού επιπέδου αν είναι γνωστή η τοπογραφία και οι παρατάξεις του. Αυτό θα το ε- ξετάσουµε σε επόµενο κεφάλαιο. Για να φέρουµε µια παράταξη αρχικά χρησιµοποιούµε την ισοϋψή που τέµνει τις περισσότερες φορές το ίχνος της επαφής (χρειαζόµαστε τουλάχιστον 2 σηµεία). Αν υ- πάρχουν περισσότερα από δύο σηµεία τοµής, επιλέγου- µε τα πιο αποµακρυσµένα. Όπως είπαµε, το ίχνος ενός γεωλογικού επιπέδου διέρχεται από την τοµή ισοϋψούς και παράταξης. Σε απλά κεκλιµένα στρώµατα, µε σταθερή διεύθυνση και κλίση, οι παρατάξεις τους είναι ευθείες ισαπέχουσες γραµµές (Εικ. 4-1). Είναι επίσης γνωστό, ότι για να προσδιορίσουµε µια ευθεία στο χώρο αρκεί να γνωρίζουµε δύο ση- µεία της. Έτσι, στο χάρτη της εικόνας 4-1Α µπορούµε να φέρουµε την παράταξη 1 του λιγνιτικού ορίζοντα µε τιµή 100 ενώνοντας τα δύο σηµεία στα οποία το ίχνος τέµνει την ισοϋψή των 100m. Αυτή η παράταξη ονοµάζεται «παράταξη των 100». Η φυσική της σηµασία; Πρόκειται για µια γραµµή η οποία περιέχει όλα τα σηµεία του λιγνιτικού ορίζοντα που βρίσκονται σε Α.Υ.=100. Έτσι, για ένα θεωρητικά επ άπειρον εκτεινόµενο επίπεδο (όπως έχουµε θεωρήσει), αυτή η γραµµή µας δίνει τις θέσεις στο χάρτη στις οποίες ο λιγνιτικός ορίζοντας βρίσκεται σε Α.Υ.=100m. Αυτή είναι η πρώτη βασική πληροφορία που µας δίνει η παράταξη. Η δεύτερη είναι η διεύθυνση του γεωλογικού επιπέδου και η οποία ορίζεται ως η οριζόντια γωνία που σχηµατίζει η παράταξη µε το Βορρά (βλ. Βασικές Έννοιες). Άµεσα λοιπόν είµαστε σε θέση να πούµε ότι ο λιγνιτικός ορίζοντας του χάρτη έχει διεύθυνση Β75 ο Α. 1 Η γραµµή που φέρνουµε στο χάρτη είναι η προβολή της παράταξης (strike line) του λιγνιτικού ορ. στο επίπεδο του χάρτη και ονοµάζεται «γραµµή παράταξης» (strike contour). Καθιστούµε σαφές λοιπόν ότι, όταν στη συνέχεια µιλάµε για τις «παρατάξεις» που χαράζουµε σε ένα χάρτη για µια επαφή, αναφερόµαστε ουσιαστικά στις προβολές και όχι τις παρατάξεις αυτές καθ αυτές.

5 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 37 Ωστόσο, για να προσδιορίσουµε πλήρως ένα γεωλογικό επίπεδο χρειαζόµαστε, εκτός από τη διεύθυνσή του και τη Μ.Κ. και Φ.Μ.Κ. του. Αυτό γίνεται εφικτό όταν φέρουµε και µια δεύτερη παράταξη για το επίπεδο αυτό. Όπως λοιπόν φέραµε την παράταξη των 100 για τον λιγνιτικό ορίζοντα της εικόνας 4-1Α, έτσι φέρνουµε και την παράταξη των 200. Η ισοδιάσταση παρατάξεων (d) (βλ. Βασικές έννοιες), θα έχει τιµή σταθερή για επίπεδο σταθερής κλίσης (Εικ. 4-1Α,Β). Χρησιµοποιούµε δε αυτήν την τιµή για να υπολογίσουµε την κλίση του επιπέδου (Εικ. 4-1Γ). Το σκεπτικό είναι απλό: «Για να µεταβώ από την παράταξη των 100 σε αυτή των 200 χρειάζεται να διανύσω οριζόντια απόσταση d. ηλαδή, διανύοντας απόσταση d έχω ανέβει υψοµετρικά κατά 100m. Άρα η κλίση του επιπέδου δίνεται από τη σχέση: Όσο µεγαλύτερη είναι η ισοδιάσταση των παρατάξεων, τόσο µικρότερη η κλίση του επιπέδου και αντίστροφα. φ=εφ( π/d) όπου π: η υψοµετρική διαφορά των παρατάξεων d: η απόσταση των δύο παρατάξεων στο χάρτη µε βάση την κλίµακά του Η τελευταία παράµετρος που ψάχνουµε είναι η φορά µεγίστης κλίσης (Φ.Μ.Κ.). Αυτή δεν είναι τίποτα άλλο από ένα άνυσµα κάθετο στις παρατάξεις του επιπέδου, το οποίο κατευθύνεται προς τα εκεί όπου µειώνεται το υψόµετρο του επιπέδου (άρα και οι τιµές των παρατάξεων της συγκεκριµένης επαφής) (Εικ. 4-1Α,Γ). Η τιµή της Φ.Μ.Κ. δίνεται σε µοίρες (0-360 ο ), όπως είδαµε και στο κεφάλαιο των «Βασικών Εννοιών». Με αυτή τη διαδικασία καταφέραµε να προσδιορίσουµε πλήρως τα γεωµετρικά στοιχεία του λιγνιτικού ορίζοντα και τα οποία θα τα γράψουµε ως εξής: 12 ο /165 ο ή Β75 ο Α, 12 ο ΝΝΑ 2. Μορφές εµφανίσεων γεωλογικών σχηµατισµών - Ο κανόνας του «V» Η αποσαφήνιση και η κατανόηση της στρωµατογραφικής διάρθρωσης των σχηµατισµών ενός γεωλογικού χάρτη είναι, όπως είδαµε και στην περίπτωση των οριζόντιων στρωµάτων, ένα πολύ βασικό (ίσως το βασικότερο) σηµείο. Στα οριζόντια στρώµατα τα πράγµατα ήταν απλά, αφού τα νεώτερα στρώµατα βρίσκονται σε σταθερά µεγαλύτερα Α.Υ. από τα αρχαιότερα. Ωστόσο σε όλες τις άλλες περιπτώσεις θα πρέπει να κινηθούµε διαφορετικά. Ας δούµε πως: 1. Σηµαντικό συστατικό είναι η κατανόηση της µορφής των εµφανίσεων (outcrop pattern) των γεωλογικών σχηµατισµών.

6 38 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 4.1. Α. Κατασκευάστε γεωλογικές τοµές κατά µήκος της ΒΑ-Ν διαγωνίου των χαρτών στην Εικόνα Β. Ποιο το φαινόµενο κατακόρυφο πάχος του ψαµµίτη? Γ. Ποια η φαινόµενη κλίση των στρωµάτων σε αυτή τη διεύθυνση? ΑΣΚΗΣΗ 4.2. Σχεδιάστε ένα τετράγωνο διαστάσεων 10*10 cm που να αντιστοιχεί σε έναν τοπογραφικό χάρτη κλίµακας 1:10000 και ισοδιάστασης 50 m, ο οποίος να απεικονίζει µια κοιλάδα µε ροή προς Β µε σταθερή τοπογραφική κλίση 80%. Στη συνέχεια τοποθετήστε ένα λιγνιτικό ορίζοντα, αµελητέου πάχους, διεύθυνσης Β45Α και κλίσης 40 Β. ΕΙΚΟΝΑ 4-2. Ίχνος επαφής µεταξύ ασβεστολίθων (νεότερο στρώµα) και ιλυολίθων (αρχαιότερο), όπως διαγράφεται σε µια κοιλάδα που κλίνει προς Βορρά. Τα «V» ισοϋψών και ίχνους επαφής είναι α- ντίρροπα, κάτι που σηµαίνει ότι η κλίση της επαφής είναι οµόρροπη µε τη µορφολογική (δηλαδή προς Βορρά). Οι απλούστερες γεωµετρικά γεωλογικές ακολουθίες συνίστανται σε απτύχωτα και πλευρικά συνεχή ιζηµατογενή πετρώµατα τα οποία µπορεί είτε να είναι οριζόντια, είτε να κλίνουν προς µια κατεύθυνση. Στην απλούστερη µάλιστα των περιπτώσεων, η τιµή της κλίσης των στρωµάτων παραµένει σταθερή, όπως και το πάχος τους. Ωστόσο, ακόµα και σε αυτήν την περίπτωση τα ίχνη των στρωµατογραφικών επαφών στη γήινη επιφάνεια σπάνια είναι ευθείες γραµµές. Και τούτο διότι το γήινο ανάγλυφο εκτός συγκεκριµένων περιπτώσεων- είναι µια ανώµαλη επιφάνεια. Είναι λοιπόν η τοµή της στρωµατογραφικής επαφής µε την ανώµαλη γήινη επιφάνεια που δίνει το αποκαλούµενο ίχνος της επαφής. Αυτό ισχύει για οποιαδήποτε γεωλογική ή τεκτονική επιφάνεια, η οποία τέµνει τη γήινη, όπως π.χ. ένα ρήγµα. Η µορφή του ίχνους επηρεάζεται τόσο από τη γεωµετρία αυτή καθ αυτή της επαφής (δ/νση, κλίση), όσο και από το γήινο ανάγλυφο. Έτσι, στην ακραία περίπτωση κατακόρυφης επαφής το ίχνος της στη γήινη επιφάνεια θα είναι ευθεία γραµµή (Εικ. 4-3α). Από την άλλη πλευρά, το ίχνος µιας οριζόντιας ε- παφής θα ταυτίζεται ή θα είναι παράλληλο µε τις ισοϋψείς του χάρτη (Εικ. 4-3β). Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, και υπό κατάλληλες προϋποθέσεις µπορούµε να αντιληφθούµε τη γεωµετρία της επαφής από τη µορφή του ίχνους της. Συγκεκριµένα: Σε µια κοιλάδα οι ισοϋψείς έχουν µορφή «V» ή «U», µε την κορυφή του «V» να δείχνει προς τα ανάντη της κοιλάδας. Το ίχνος µιας επαφής µε διεύθυνση περίπου εγκάρσια ως προς τον άξονα της κοιλάδας θα έχει και αυτό τη µορφή «V», το οποίο θα «δείχνει» προς τα ανάντη, αν η κλίση του είναι προς τα κατάντη και το αντίθετο (Εικ. 4.2, 2.12β). Ισχύει ο ακόλουθος εµπειρικός κανόνας: Οµόρροπα V Αντίρροπες κλίσεις Αντίρροπα V Οµόρροπες κλίσεις Αντίστοιχα, σε ένα επίµηκες ύψωµα, αντέρεισµα, ράχη, κλπ. (Εικ. 4-3) οι ισοϋψείς καµπύλες έχουν πάλι τη µορφή «V» ή «U», αλλά το «V» τώρα δείχνει προς την κατεύθυνση που µειώνεται το υψόµετρο. Και σε αυτή την περίπτωση το ίχνος µιας επαφής µε διεύθυνση περίπου εγκάρσια στον άξονα του υψώµατος θα έχει τη µορφή «V» (στην εικόνα 4-3 βλέπουµε ότι ισχύει πάλι ο εµπειρικός κανόνας του «V»), η οποία θα δείχνει (θα είναι οµόρροπη) προς την κατεύθυνση που δείχνει το «V» ή «U» των ισοϋψών, αν η κλίση της είναι αντίρροπη από την τοπογραφική και αντίθετα. 2. Οδεύοντας κατά τη φορά µεγίστης κλίσης περνάµε από αρχαιότερα σε νεώτερα στρώµατα (Εικ. 4-3γ). ΕΞΑΙΡΕΣΗ αποτελεί η περίπτωση, όταν η µορφολογική κλίση είναι οµόρροπη και µεγαλύτερη αυτής των στρωµάτων (Εικ. 4-3ε). 3. Όσο µεγαλύτερη είναι η κλίση µιας επαφής, τόσο πιο ευθύγραµ- µο είναι το ίχνος της (Εικ. 4-3στ). Υπάρχουν δύο οριακές κα-

7 κλίση επαφής - µορφολογική κλίση: Αντίρροπες ("V": οµόρροπα) ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 39 ταστάσεις, φ=0 ο και φ=90 ο. Η πρώτη είναι γνωστή ήδη, αφού πρόκειται για οριζόντια στρώµατα. Στην περίπτωση αυτή οι ε- παφές των στρωµάτων είναι παράλληλες ή ταυτίζονται µε τις ισοϋψείς (Εικ. 4-3β). Η δεύτερη αφορά τις κατακόρυφες επαφές: τότε το ίχνος της επαφής είναι ευθεία γραµµή (Εικ. 4-3α). 4. Πλάτος εµφάνισης. Όπως είδαµε στις «Βασικές Έννοιες» (Εικ. 2-12), αυτό εξαρτάται από (α) την κλίση του στρώµατος και (β) από τη µορφολογία. Έτσι είναι φυσιολογικό, ακόµα και σε στρώ- µατα µε σταθερή κλίση, το πλάτος εµφάνισής τους να αλλάζει, εφόσον η µορφολογία είναι ανώµαλη. Σαν γενικό κανόνα µπορούµε να πούµε ότι µε σταθερή κλίση το πλάτος εµφάνισης µειώνεται, όσο αυξάνεται η µορφολογική κλίση. κλίση επαφής - µορφολογική κλίση: οµόρροπες ("V": αντίρροπα) (α) (γ) (δ) (ε) κατακόρυφη 24 o 65 o µεγάλη κλίση Ν 33 o µέτρια κλίση προς Β µικρή κλίση προς Ν (β) 30 o 700 οριζόντια 66 o (στ) µεγάλη κλίση προς Β (ζ) µέτρια κλίση προς Β 22 o (η) µικρή κλίση προς Β 200 m. ΕΙΚΟΝΑ 4-2. ιαφοροποίηση στο ίχνος µιας επαφής ανάλογα µε την κλίση της. Η τοπογραφία σε κάθε περίπτωση είναι η ίδια και αντιστοιχεί σε αντέρεισµα µε σταθερή και οµαλή κλίση προς Νότο. Με στικτό µοτίβο απεικονίζεται το υπερκείµενο στρώµα.

8 40 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 3. Γεωλογικός Χάρτης απλών κεκλιµένων στρωµάτων Ας εξετάσουµε τώρα την περίπτωση µιας περιοχής στην οποία απαντά µια ακολουθία απλών κεκλιµένων στρωµάτων (Εικ. 4-4, 4-5). Η πρώτη βασική παρατήρηση που κάνουµε έχει να κάνει µε τη µορφή των εµφανίσεων. Τα (διαδοχικά) στρώµατα εµφανίζονται σε λωρίδες µε τα όρια τους να είναι περίπου παράλληλα το ένα µε το άλλο. εύτερον, και αντίθετα µε το χάρτη της εικόνας 3-2, όπου είχαµε οριζόντια στρώµατα, τα ίχνη των επαφών τέµνουν τις ισοϋψείς. Τρίτον, τα ίχνη σχηµατίζουν χαρακτηριστικά «V», τα οποία είναι µάλιστα αντίρροπα µε τα «V» των ισοϋψών. Πρώτα συµπεράσµατα: τα στρώµατα του χάρτη ανήκουν σε µια ιζηµατογενή ακολουθία (οι επαφές τους δεν αλληλοτέµνονται, ούτε διακόπτονται, όπως θα δούµε σε επόµενο κεφάλαιο). Επίσης, τα στρώµατα είναι κεκλιµένα, µε φορά κλίσης προς τα δυτικά (κανόνας «V»). Άρα, αναµένουµε το αρχαιότερο στρώµα να είναι το λατυποπαγές, ακολουθούµενο από τον ιλυόλιθο, κ.ο.κ. και το νεώτερο να είναι η µάργα. Παρατήρηση: βλέπουµε ότι τα πλάτη εµφάνισης των στρωµάτων δε διατηρούνται σταθερά. Τούτο οφείλεται στις µικρές διακυµάνσεις στη µορφολογία (εφόσον έχουµε δεχτεί ότι η κλίση των στρωµάτων παραµένει σταθερή). ΕΙΚΟΝΑ 4-4. Τρισδιάστατη απεικόνιση περιοχής που καλύπτει ο χάρτης της εικόνας 4-5 και στην οποία απαντούν απλά κεκλιµένα στρώµατα. Στη συνέχεια προχωράµε να φέρουµε τις παρατάξεις των επαφών. Στο χάρτη της εικόνας 4-5 φαίνονται όλες οι «ακέραιες» παρατάξεις κάθε επαφής, καθώς και η τιµή της καθεµιάς.

9 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 41 Αφού φέρουµε παρατάξεις προσδιορίζουµε τα στοιχεία των στρω- µάτων κατά τα γνωστά. Στην περίπτωσή µας είναι: Β00 ο Α, 19 ο ή 19 ο /270 ο. Πρόκειται δηλαδή, όπως υποθέσαµε και από τον κανόνα του «V», για απλά κεκλιµένα στρώµατα που κλίνουν µε 19 ο προς τα δυτικά ( ). Άρα πηγαίνοντας από τα Α προς τα περνάµε σε νεώτερα στρώµατα. Ακολούθως, υπολογίζουµε τα πάχη των στρωµάτων (Εικ. 2-10) του χάρτη. Αρχικά, θα βρούµε το ΤΑV κάθε στρώµατος και µετά το Τt (είναι γνωστό ότι ΤΑV=Ttσυνφ). Αυτό βέβαια είναι εφικτό µόνο για τα στρώµατα των οποίων είναι γνωστά και η οροφή και το δάπεδό τους, άρα αποκλείονται από τη διαδικασία το νεώτερο και το αρχαιότερο στρώµα (στην περίπτωσή µας η µάργα και το λατυποπαγές, αντίστοιχα). Η διαδικασία έχει ως εξής: Για ένα συγκεκριµένο σηµείο, εντοπίζουµε µια παράταξη του δαπέδου του, η οποία να προβάλλεται στην ίδια θέση µε µια παράταξη της οροφής του. Η διαφορά των τιµών τους ισούται µε το κατακόρυφο πάχος (ΤΑV) του στρώµατος. Από χάρτη της εικόνας 4-5 επιλέγουµε, για παράδειγµα, να υπολογίσουµε το πάχος του αργιλικού σχίστη. Η παράταξη των 800 της οροφής του (επαφή αργιλικού σχίστη / µάργας) ταυτίζεται προβαλλόµενη µε την του δαπέδου του (επαφή κροκαλοπαγούς / αργιλικού σχίστη). Άρα για τον αργιλικό σχίστη: ΤΑV =200m και Τt=200συν19 ο =189m. Μνηµονικός Κανόνας: Μια παράταξη οροφής ενός στρώµατος θα ταυτίζεται µε µία δαπέδου του ίδιου στρώ- µατος, όταν το κατακόρυφο πάχος του είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της ισοδιάστασης του χάρτη. Αν δεν υπάρχει άµεσα διαθέσιµη παράταξη οροφής που να προβάλλεται στην ίδια θέση µε µια παράταξη δαπέδου (ή αντίστροφα); Τότε, αφού γνωρίζουµε την ισοδιάσταση d και τη Φ.Μ.Κ. φέρνουµε µια παράταξη οροφής που να ταυτίζεται µε αυτή του δαπέδου και υπολογίζουµε, χρησιµοποιώντας την απλή µέθοδο των τριών ποια τιµή θα έπαιρνε στη θέση αυτή. Ένας απλός τρόπος για τον υπολογισµό της τιµής της «τυχαίας παράταξης» δίνεται στον «Υπολογισµό Α.Υ. επαφής σε τυχαία θέση: το πρόβληµα της γεώτρησης». 4. Γεωλογική τοµή Η επιλογή της κατάλληλης γεωλογικής τοµής είναι το επόµενο ση- µαντικό βήµα στην ανάλυση του γεωλογικού χάρτη. Κατά κανόνα, επιλέγεται διεύθυνση τοµής τέτοια που να είναι εγκάρσια στη διεύθυνση των στρωµάτων. Τότε θα έχουµε και πληρέστερη εικόνα της διάταξης και της γεωµετρίας των γεωλογικών σχηµατισµών σε βάθος.

10 42 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ ΕΙΚΟΝΑ 4-5. Απλουστευµένος γεωλογικός χάρτης µε κεκλιµένα στρώµατα που αντιστοιχεί στην περιοχή της εικόνας 4-3. Υ Π Ο Μ Ν Η Μ Α ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Μάργα Αργιλικός σχίστης Κροκαλοπαγές Ασβεστόλιθος Ψαµµίτης Ιλυόλιθος Λατυποπαγές Ισοδιάσταση: 100 m. Κλίµακα: 1: m. N 400 Μ/Α.Σ. 200 Α.Σ./ΚΡ. Μ/Α.Σ. 300 Α.Σ./ΚΡ. 200 ΚΡ./ΑΣ. Μ/Α.Σ. 400 Α.Σ./ΚΡ. 300 ΚΡ./ΑΣ. 700 Μ/Α.Σ. Α.Σ./ΚΡ. 400 ΚΡ./ΑΣ. 800 Μ/Α.Σ. Α.Σ./ΚΡ. ΚΡ./ΑΣ. 300 ΑΣ./Ψ. 900 Μ/Α.Σ. 700 Α.Σ./ΚΡ. ΚΡ./ΑΣ. 400 ΑΣ./Ψ. 800 Α.Σ./ΚΡ. 700 ΚΡ./ΑΣ. ΑΣ./Ψ. 400 Ψ./ΙΛ. 900 Α.Σ./ΚΡ. 800 ΚΡ./ΑΣ. ΑΣ./Ψ. Ψ./ΙΛ Α.Σ./ΚΡ. 900 ΚΡ./ΑΣ. 700 ΑΣ./Ψ. Ψ./ΙΛ Α.Σ./ΚΡ ΚΡ./ΑΣ. 800 ΑΣ./Ψ. 700 Ψ./ΙΛ ΚΡ./ΑΣ. 900 ΑΣ./Ψ. 800 Ψ./ΙΛ. ΙΛ./ΛΑΤ ΑΣ./Ψ. 900 Ψ./ΙΛ. 700 ΙΛ./ΛΑΤ ΑΣ./Ψ Ψ./ΙΛ. 800 ΙΛ./ΛΑΤ.

11 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 43 Υ Π Ο Μ Ν Η Μ Α ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Μάργα Αργιλικός σχίστης Κροκαλοπαγές Ασβεστόλιθος Ψαµµίτης Ιλυόλιθος Λατυποπαγές m. m A' E Γ Ε Ω Λ Ο Γ Ι Κ Η Τ Ο Μ Η Α - Α ' Κλίµακα: 1:20000? ΕΙΚΟΝΑ 4-6. Γεωλογική τοµή Α-Α. A m W

12 44 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ Κάποιος µπορεί να ρωτήσει: αν το ένα (ή και τα δύο) ση- µεία προβάλλονται «στον αέρα» και εµείς φέρνουµε το τµήµα της ευθείας που τα περιέχει και που βρίσκεται κάτω από την τοπογραφική επιφάνεια, τι συµβαίνει µε το υπόλοιπο; Απλά, πρόκειται για το µέρος της επαφής που θεωρούµε ότι έχει διαβρωθεί. Επίσης, σε πολύπλοκες δο- µές, συνηθίζεται να φέρνουµε µε διακεκοµµένη γραµµή το διαβρωµένο τµήµα της επαφής, ώστε να δίνεται στον αναγνώστη πληρέστερη εικόνα της δοµής. Σε κάθε γεωλογική τοµή ακολουθούµε τον «κανόνα» ότι «στη σχεδίαση τα νεώτερα γεγονότα προηγούνται». Έτσι, αρχικά φέρνουµε τη µορφολογία, κατά τα γνωστά (Εικ. 4-6) που ουσιαστικά αποτελεί και το νεώτερο στοιχείο του χάρτη. Στη συνέχεια αποτυπώνουµε τις επαφές των στρωµάτων ως εξής: ξεκινώντας από το νεώτερο στρώµα, αν κάτι τέτοιο είναι εφικτό 2. Σηµειώνουµε τα σηµεία της τοµής στα οποία δύο παρατάξεις µιας συγκεκριµένης επαφής τέµνουν την τοµή, π.χ. σηµειώνουµε τα ση- µεία Τ 1 και Τ 2 (Εικ. 4-5), δηλαδή εκεί που η τοµή τέµνει τις παρατάξεις των 400 και αντίστοιχα της επαφής µάργας και αργιλικού σχίστη. Μετά, προβάλλουµε τα δύο σηµεία αυτά στα υψόµετρα που αντιστοιχούν στις παρατάξεις «τους», και τα ενώνουµε µε ευθεία γραµµή. Τέλος, σηµειώνουµε ποιος σχηµατισµός βρίσκεται πάνω και ποιος κάτω από την επαφή που µόλις φέραµε (το νεώτερο βρίσκεται προς τη φορά της κλίσης, δηλαδή προς την κατεύθυνση που µειώνεται το απόλυτο υψόµετρο της επαφής, άρα προς τα δυτικά). Την ίδια διαδικασία ακολουθούµε για όλες τις επαφές. Συνεχίζουµε τη διαδικασία έως ότου φέρουµε όλες τις επαφές. ΥΠΕΝΘΥΜΙΖΕΤΑΙ: θα φέρουµε και τις επαφές που δεν συναντά η τοµή στην επιφάνεια, αρκεί να είναι αρχαιότερες από τα στρώµατα που έχουµε συναντήσει επιφανειακά. Με άλλα λόγια, καµία τοµή δεν είναι πλήρης, αν δεν εµφανίζει µέχρι και τον αρχαιότερο γνωστό σχηµατισµό του χάρτη, το δάπεδο του οποίου δεν το γνωρίζουµε, οπότε το φέρνουµε µε διακεκοµµένη γραµµή τοποθετώντας ένα ερωτηµατικό (?) κάτω από αυτόν. Συµπληρώνουµε την τοµή χρησιµοποιώντας τον κατάλληλο χρωµατισµό ή συµβολισµό για κάθε σχηµατισµό. ΠΡΟΣΟΧΗ: Ο συµβολισµός πρέπει να τοποθετείται παράλληλα στη στρώση (Εικ. 4-7). Τέλος, ολοκληρώνουµε τοποθετώντας τον προσανατολισµό, τη βαθµονόµηση των αξόνων, την κλίµακα, το υπόµνηµα (ή/και τη στρωµατογραφική στήλη) και τα στοιχεία του συντάξαντα. Έλεγχοι ακρίβειας - Ορθότητας ΕΙΚΟΝΑ 4-7. Σωστός (επάνω) και λανθασµένος (κάτω) τρόπος συµβολισµού κεκλιµένων στρωµάτων. 1. Η ευθεία που περιέχει τις δύο προβολές των παρατάξεων τέ- µνει την τοπογραφική επιφάνεια τουλάχιστον σε ένα σηµείο, έ- στω το σηµείο Τ 3. Ας δούµε τώρα και το χάρτη, στον οποίο έ- 2 Πολλές φορές δεν είναι εφικτό να ξεκινήσουµε τη χάραξη παρατάξεων βασιζόµενοι στο ίχνος της νεότερης επαφής. Για το λόγο αυτό, συνήθως ξεκινάµε µε την επαφή που µας παρέχει τα περισσότερα στοιχεία, δηλ. τέµνει τις ισοϋψείς τις περισσότερες φορές.

13 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 45 χουµε χαράξει το ίχνος της Γ.Τ. (Εικ. 4-5, 4-5). Το σηµείο Τ 3 αντιστοιχεί στο σηµείο που το ίχνος της Γ.Τ. τέµνει την επαφή ασβεστόλιθου / ψαµµίτη. Οπότε, και τα δύο πρέπει να βρίσκονται στην ίδια θέση, δηλαδή να απέχουν εξίσου από το ένα ή το άλλο άκρο της Γ.Τ. Αν κάτι τέτοιο δεν συµβαίνει, τρεις είναι οι πιθανές περιπτώσεις λάθους: Έχουµε προβάλλει σε λάθος θέση ή Α.Υ. τις δύο παρατάξεις Οι παρατάξεις που έχουµε χαράξει δεν είναι παράλληλες µεταξύ τους ή δεν έχουν τη σωστή ισοδιάσταση (d). Έχουµε κάνει λάθος στην αποτύπωση του αναγλύφου. (Υπάρχει και 4 η περίπτωση? Ναι, να έχει περαστεί λανθασµένα η επαφή στο χάρτη, αλλά αυτό, τουλάχιστον για την ώρα, θα πρέπει να αποκλειστεί!). 2. Στην τοµή µας κατά κανόνα οι κλίσεις των επαφών που θα φέρουµε θα είναι φαινόµενες κλίσεις. Γνωρίζουµε ήδη ότι 0 Φ.Κ. Μ.Κ. και ότι Φ.Κ.=Μ.Κ. µόνο όταν η διεύθυνση της τοµής είναι κάθετη στις παρατάξεις. Αφού λοιπόν φέρουµε µια επαφή, µετράµε µε το µοιρογνωµόνιο την κλίση της: η τιµή που θα µετρήσουµε πρέπει να είναι ίδια µε αυτή που θα παίρναµε κάνοντας τη χρήση του νοµογράµµατος ή του πίνακα του Παραρτή- µατος IV. Αν είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη συνήθως: Έχουµε προβάλλει τις παρατάξεις σε λάθος υψόµετρο. Οι παρατάξεις δεν έχουν χαραχτεί σωστά (παράλληλες, ι- σαπέχουσες, µε σταθερή ισοδιάσταση). Λάθος κλίµακα υψών. Λάθος τιµές παρατάξεων (δηλ. προηγούµενη περίπτωση). ΑΣΚΗΣΗ 4.3. Α. Κατασκευάστε τη γεωλογική τοµή κατά µήκος της ΒΑ-Ν διαγωνίου του χάρτη της Εικόνας 4-5. Β. Ποιά τα φαινόµενα κατακόρυφα πάχη των στρωµάτων? Γ. Ποια η φαινόµενη κλίση των στρωµάτων σε αυτή τη διεύθυνση? ΑΣΚΗΣΗ 4.4. Α. Κατασκευάστε τη γεωλογική τοµή κατά µήκος της δυτικής ά- κρης του χάρτη της Εικόνας 4-5. Β. Ποια εικόνα για τα στρώµατα παίρνουµε µε µια τοµή τέτοιας διεύθυνσης και γιατί? 3. Το κατακόρυφο πάχος ενός στρώµατος σε αυτό το επίπεδο ασκήσεων- είναι σταθερό. Λάθη σε αυτήν την περίπτωση προκύπτουν αν έχουµε φέρει µε διαφορετική κλίση την οροφή και το δάπεδο του στρώµατος, εποµένως το πρόβληµα ανάγεται στο προηγούµενο. Τώρα, για το αρχαιότερο στρώµα δε γνωρίζουµε το δάπεδό του. Οφείλουµε ωστόσο να δώσουµε την καλύτερη προσέγγιση για το ελάχιστο δυνατό πάχος του. Για να το κάνουµε αυτό, εργαζόµαστε ως εξής: εντοπίζουµε το αρχαιότερο στρώµα, που στην περίπτωση των απλών κεκλιµένων στρωµάτων, αυτό θα βρίσκεται κοντά σε µια άκρη του χάρτη. Βρίσκουµε τη θέση όπου το πλάτος εµφάνισης του είναι το µέγιστο, π.χ. στο χάρτη της εικόνας 4-4 το αρχαιότερο στρώµα είναι το λατυποπαγές µε µέγιστο πλάτος W 1. Βρίσκουµε ποια παράταξη οροφής (εδώ λατυποπαγούς / ιλυόλιθου) που θα περνούσε από το άκρο του χάρτη και µε αναγωγή βρίσκουµε ότι η παράταξη αυτή έχει τιµή 820. Προχωρούµε τώρα στην εξής υπόθεση: αν στο άκρο αυτό του χάρτη εµφανιζόταν ένα στρώµα αρχαιότερο του λατυποπαγούς, σε ποιο υψόµετρο θα βρισκόταν; Σύµφωνα µε το ανάγλυφο του

14 46 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ χάρτη, εκτιµούµε ότι θα βρισκόταν στα 680m (βρισκόµαστε µεταξύ της ισοϋψούς των και των 700 και αρκετά κοντά στη δεύτερη). Αφαιρώντας την τιµή του 680 από τα 820 βρίσκουµε ότι το ελάχιστο δυνατό πάχος του αρχαιότερου στρώµατος είναι 140m και αυτό θα εµφανίσουµε στην Γ.Τ. 5. Γεωλογική εξέλιξη της περιοχής του χάρτη Όπως έχουµε ήδη αναφέρει στα «Οριζόντια στρώµατα» αρχίζουµε να περιγράφουµε τη γεωλογική εξέλιξη από το παλαιότερο γεγονός που έχουµε εντοπίσει: 1. Στο παράδειγµά του χάρτη (Εικ. 4-5) το παλαιότερο γεγονός είναι η απόθεση του αρχαιότερου στρώµατος (λατυποπαγές) η οποία έλαβε χώρα σε µία λεκάνη ιζηµατογένεσης. 2. Σε κάποια χρονική περίοδο άλλαξαν οι συνθήκες ιζηµατογένεσης και άρχισε να αποτίθεται το αµέσως νεώτερο στρώµα. 3. ιαδοχικές αλλαγές στις συνθήκες ιζηµατογένεσης προκάλεσαν την απόθεση διακριτών στρωµάτων µε συγκεκριµένη στρωµατογραφική σειρά και στο παράδειγµα του χάρτη: ιλυόλιθος, ψαµµίτης, ασβεστόλιθος, κροκαλοπαγές, αργιλικός σχίστης και τέλος η µάργα. 4. Στη συνέχεια, το σύνολο της περιοχής χέρσευσε και 5. τα στρώµατα πήραν κλίση, δηλαδή έγιναν από οριζόντια κεκλι- µένα. Η διατάραξη αυτή της οριζοντιότητας των σχηµατισµών οφείλεται στη επίδραση των τεκτονικών (ενδογενών) δυνάµεων. Όµως, δεν είµαστε σε θέση να προσδιορίσουµε πότε ακριβώς έλαβε χώρα αυτό το γεγονός: κατά την ανάδυση της περιοχής ή µετά? Με τα διαθέσιµα δεδοµένα από το χάρτη και οι δύο εναλλακτικές υποθέσεις είναι πιθανές.. 6. Από τη στιγµή που η περιοχή αναδύθηκε, εκτέθηκε στη δράση των εξωγενών δυνάµεων, οι οποίες διαµόρφωσαν και εξακολουθούν να διαµορφώνουν το ανάγλυφο της περιοχής.

3. Οριζόντια στρώµατα

3. Οριζόντια στρώµατα 3. Οριζόντια στρώµατα 1. Γενικά... 26 2. Στρωµατογραφική διάρθρωση Στρωµατογραφική στήλη... 27 3. Γεωλογική τοµή... 27 4. Γεωλογική εξέλιξη της περιοχής του χάρτη... 31 26 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 1. Γενικά

Διαβάστε περισσότερα

8. Υπολογισµός Α.Υ. επαφής σε τυχαία θέση: Το «πρόβληµα» της γεώτρησης

8. Υπολογισµός Α.Υ. επαφής σε τυχαία θέση: Το «πρόβληµα» της γεώτρησης 8. Υπολογισµός Α.Υ. επαφής σε τυχαία θέση: Το «πρόβληµα» της γεώτρησης 1. Γενικά... 78 2. Γεώτρηση σε απλά κεκλιµένα στρώµατα... 78 3. Γεώτρηση σε διερρηγµένα στρώµατα... 81 4. Γεώτρηση σε ασύµφωνα στρώµατα...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3: ΓΕΩΛΟΓΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3: ΓΕΩΛΟΓΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3: ΓΕΩΛΟΓΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2016 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3:

Διαβάστε περισσότερα

Ερµηνεία Τοπογραφικού Υποβάθρου στη Σύνταξη και Χρήση Γεωλoγικών Χαρτών

Ερµηνεία Τοπογραφικού Υποβάθρου στη Σύνταξη και Χρήση Γεωλoγικών Χαρτών ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ Επιµέλεια: ηµάδη Αγόρω Ερµηνεία Τοπογραφικού Υποβάθρου στη Σύνταξη και Χρήση Γεωλoγικών Χαρτών ΙΣΟΫΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ: είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΤΟΜΗ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΜΑΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Δίνεται ο παρακάτω γεωλογικός χάρτης και ζητείται να κατασκευαστεί η γεωλογική τομή Α-Β.

ΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΤΟΜΗ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΜΑΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Δίνεται ο παρακάτω γεωλογικός χάρτης και ζητείται να κατασκευαστεί η γεωλογική τομή Α-Β. ΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΤΟΜΗ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΜΑΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται ο παρακάτω γεωλογικός χάρτης και ζητείται να κατασκευαστεί η γεωλογική τομή Α-Β. Προσοχή! Ο παραπάνω χάρτης για εκπαιδευτικούς λόγους έχει από πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ 6.1. από. την τομή. την. τομή δύο είναι καμπύλη. γραμμή. υψόμετρο. γεωλογία. Στη. επιπέδου (Σχ παράταξη.

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ 6.1. από. την τομή. την. τομή δύο είναι καμπύλη. γραμμή. υψόμετρο. γεωλογία. Στη. επιπέδου (Σχ παράταξη. ΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΤΟΜΗ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΜΑΤΑ 6.1 ΠΑΡΑΤΑΞΗ Παράταξη μιας επιφάνειας (strike line) καλούμε τη γραμμή που προκύπτει από την τομή της επιφάνειας αυτής, με τυχαίο οριζόντιο επίπεδο. Όταν η επιφάνεια είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά 56 ΡΗΓΜΑΤΑ. ρήγµατος διαπιστώνεται από την επανάληψη

1. Γενικά 56 ΡΗΓΜΑΤΑ. ρήγµατος διαπιστώνεται από την επανάληψη 6. Ρήγµατα 1. Γενικές έννοιες βασική ορολογία... 56 2. Ταξινοµήσεις ρηγµάτων... 59 3. Μελέτη και ανάλυση γεωλογικών χαρτών µε ρήγµατα... 63 4. Περίπτωση Α: κατακόρυφο ρήγµα... 63 5. Περίπτωση Β: κεκλιµένο

Διαβάστε περισσότερα

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο.

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. ΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΤΟΜΗ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΜΑΤΑ 6.1 ΚΛΙΣΗ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. Πραγματική κλίση στρώματος Η διεύθυνση μέγιστης κλίσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 16_10_2012 ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 2.1 Απεικόνιση του ανάγλυφου Μια εδαφική περιοχή αποτελείται από εξέχουσες και εισέχουσες εδαφικές μορφές. Τα εξέχοντα εδαφικά τμήματα βρίσκονται μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Γεωλογικές γραμμές: τομές γεωλογικής επιφάνειας με τον τοπογραφικό ανάγλυφο Χρήσιμες στον υπολογισμό της διεύθυνσης, κλίσης κτλ.

Γεωλογικές γραμμές: τομές γεωλογικής επιφάνειας με τον τοπογραφικό ανάγλυφο Χρήσιμες στον υπολογισμό της διεύθυνσης, κλίσης κτλ. Γεωλογικός χάρτης Γεωλογικές επιφάνειες: επιφάνειες στρωμάτων ή επαφής στρωμάτων, ρηγμάτων, πλευρών πτυχής, ασυμφωνίας στρωμάτων Γεωλογικές γραμμές: τομές γεωλογικής επιφάνειας με τον τοπογραφικό ανάγλυφο

Διαβάστε περισσότερα

Προσανατολισµός ονοµάζεται ο καθορισµός της θέσης των σηµείων του ορίζοντα. Το να γνωρίζουµε να προσανατολιζόµαστε σωστά, είναι χρήσιµο για όλους

Προσανατολισµός ονοµάζεται ο καθορισµός της θέσης των σηµείων του ορίζοντα. Το να γνωρίζουµε να προσανατολιζόµαστε σωστά, είναι χρήσιµο για όλους Προσανατολισµός ονοµάζεται ο καθορισµός της θέσης των σηµείων του ορίζοντα. Το να γνωρίζουµε να προσανατολιζόµαστε σωστά, είναι χρήσιµο για όλους µας. Ένας µεγάλος αριθµός ατυχηµάτων οφείλεται, άµεσα ή

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΑΣΚΗΣΗ ΚΟΙΤΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ

1 η ΑΣΚΗΣΗ ΚΟΙΤΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ 1 η ΑΣΚΗΣΗ ΚΟΙΤΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΗ 1: Ο λιγνίτης είναι παλαιότερος της μάργας ΣΗΜΕΙΩΣΗ 2: Το ΑΒΓΔ ξεκινά από επάνω αριστερά του χάρτη και δεξιόστροφα (φορά δεικτών ρολογιού). ΣΗΜΕΙΩΣΗ 3: εφ(φαινόμενης)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΟΤΕΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2917

ΠΑΡΑΔΟΤΕΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2917 ΠΑΡΑΔΟΤΕΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2917 Στο αρχείο περιλαμβάνονται οι παραδοτέες εργασίες καθώς και τα συμπληρωματικά βοηθήματαοι φοιτητές να προσέξουν ιδιαίτερα την παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Φωτογεωλογίας (Dra)

Εργαστηριακή Άσκηση Φωτογεωλογίας (Dra) Εργαστηριακή Άσκηση Φωτογεωλογίας (Dra) Δίνονται αεροφωτογραφίες για στερεοσκοπική παρατήρηση. Ο βορράς είναι προσανατολισμένος προς τα πάνω κατά την ανάγνωση των γραμμάτων και των αριθμών. Ερωτήσεις:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ. Άσκηση 2: Βυθοµετρικός χάρτης Βυθοµετρική τοµή

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ. Άσκηση 2: Βυθοµετρικός χάρτης Βυθοµετρική τοµή ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΩΚΕΑΝΩΝ Άσκηση 2: Βυθοµετρικός χάρτης Βυθοµετρική τοµή ιδάσκοντες Καθ. Γ. Φερεντίνος Λέκτορας Μ. Γεραγά Μεταπτυχιακοί φοιτητές: Μαργαρίτα Ιατρού ηµήτρης Χριστοδούλου Βυθοµέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Τοπογραφικό Σχέδιο

Τεχνικό Τοπογραφικό Σχέδιο Τεχνικό Τοπογραφικό Σχέδιο Γ. Καριώτου ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

T (K) m 2 /m

T (K) m 2 /m Ορθοί και λανθασµένοι τρόποι απεικονίσεως δεδοµένων σε διάγραµµα Από µετρήσεις σηµείου ζέσεως σειράς διαλυµάτων προκύπτουν τα εξής δεδοµένα: m /m.5..5..5.55.. Σύµφωνα µε την θεωρία τα δεδοµένα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΣ ΧΑΡΤΗΣ. Στοιχεία τοπογραφικών χαρτών

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΣ ΧΑΡΤΗΣ. Στοιχεία τοπογραφικών χαρτών ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΣ ΧΑΡΤΗΣ Στοιχεία τοπογραφικών χαρτών ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Τοπογραφικοί χάρτες Βασικό στοιχείο του χάρτη αποτελεί : το τοπογραφικό υπόβαθρο, που αναπαριστά µε τη βοήθεια γραµµών (ισοϋψών)

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 5 η ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ Ι ΤΕΧΝΙΚΟΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΣΗΡΑΓΓΑΣ

ΑΣΚΗΣΗ 5 η ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ Ι ΤΕΧΝΙΚΟΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΠΕΡΙΟΧΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΣΗΡΑΓΓΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ MΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝ. ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ & ΥΔΡΟΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ `9, 157 80 ΖΩΓΡΑΦΟΥ, ΑΘΗΝΑ NATIONAL TECHNICAL

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικός χάρτης : Είναι η οριζόντια και υπό σµίκρυνση προβολή µιας εδαφικής επιφάνειας µε όλα τα φυσικά και τεχνικά χαρακτηριστικά της.

Τοπογραφικός χάρτης : Είναι η οριζόντια και υπό σµίκρυνση προβολή µιας εδαφικής επιφάνειας µε όλα τα φυσικά και τεχνικά χαρακτηριστικά της. 1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ-Ε ΑΦΟΛΟΓΙΑΣ Υπεύθυνη :Ευαγγελία Αλεξανδρή, Γεωλόγος. Σηµαντικό µέρος της

Διαβάστε περισσότερα

2o ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

2o ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 2o ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Πως αποτυπώνεται το ανάγλυφο από ένα χάρτη Δημιουργία μια τομής χρησιμοποιώντας ένα χάρτη Έννοιες της ισομετρικής κλίμακας και της κατακόρυφης παραμόρφωσης σε μια τομή Κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Για την άρτια εκτέλεση του θέματος θα πρέπει να γίνουν οι παρακάτω εργασίες:

Για την άρτια εκτέλεση του θέματος θα πρέπει να γίνουν οι παρακάτω εργασίες: Το αντικείμενο του θέματος είναι η ταχυμετρική αποτύπωση σε κλίμακα 1:200 της περιοχής που ορίζεται από τo Σκαρίφημα Λιμνίου με Συντεταγμένες Σημείων το οποίο παραδόθηκε στο μάθημα και βρίσκεται στο eclass.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κατεύθυνση:«Τεχνικής Γεωλογία και Περιβαλλοντική Υδρογεωλογία»

Κατεύθυνση:«Τεχνικής Γεωλογία και Περιβαλλοντική Υδρογεωλογία» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ» Κατεύθυνση:«Τεχνικής Γεωλογία και Περιβαλλοντική Υδρογεωλογία» Βασικά εργαλεία Τεχνικής Γεωλογίας και Υδρογεωλογίας Επικ. Καθηγ. Μαρίνος

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 Τοπογραφικοί Χάρτες Περίγραμμα - Ορισμοί - Χαρακτηριστικά Στοιχεία - Ισοϋψείς Καμπύλες - Κατασκευή τοπογραφικής τομής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

Άλλοι χάρτες λαμβάνουν υπόψη και το υψόμετρο του αντικειμένου σε σχέση με ένα επίπεδο αναφοράς

Άλλοι χάρτες λαμβάνουν υπόψη και το υψόμετρο του αντικειμένου σε σχέση με ένα επίπεδο αναφοράς ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Ένας χάρτης είναι ένας τρόπος αναπαράστασης της πραγματικής θέσης ενός αντικειμένου ή αντικειμένων σε μια τεχνητά δημιουργουμένη επιφάνεια δύο διαστάσεων Πολλοί χάρτες (π.χ. χάρτες

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs.

Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός. http://www.perifysikhs. Φυσική Α Ενιαίου Λυκείου Νόµοι του Νεύτωνα - Κινηµατική Υλικού Σηµείου Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου, MSc Φυσικός hp://www.perifysikhs.com Αναζητώντας την αιτία των κινήσεων Η µελέτη των κινήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΣΦΑΕΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΣΦΑΕΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Κατασκευή µαθηµατικών fractals ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΣΦΑΕΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ 1. Η καµπύλη του Koch H καµπύλη του Κoch ή Νησί του Koch ή χιονονιφάδα του Koch περιγράφηκε για πρώτη φορά από το Σουηδό µαθηµατικό Helge

Διαβάστε περισσότερα

Γυµ.Ν.Λαµψάκου Α Γυµνασίου Γεωµ.Β2.6 γωνίες από 2 παράλληλες + τέµνουσα 19/3/10 Φύλλο εργασίας

Γυµ.Ν.Λαµψάκου Α Γυµνασίου Γεωµ.Β2.6 γωνίες από 2 παράλληλες + τέµνουσα 19/3/10 Φύλλο εργασίας Φύλλο εργασίας Mπορείτε να βρείτε τη γωνία κάβων; ραστηριότητα Ένα δεξαµενόπλοιο που στο σχήµα είναι στο σηµείο Β, πλέει προς την είσοδο µιας διώρυγας µε την βοήθεια δύο ρυµουλκών που απεικονίζονται µε

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) = αx 2

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f(x) = αx 2 1 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f() = α ΘΕΩΡΙΑ 1. Μορφή της συνάρτησης g() = (Παραβολή) O g( ) = Ιδιότητες Πεδίο ορισµού = R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα Είναι γν.φθίνουσα στο διάστηµα (,

Διαβάστε περισσότερα

Στην στερεογραφική προβολή δεν μπορούν να μετρηθούν αποστάσεις αλλά μόνο γωνιώδεις σχέσεις.

Στην στερεογραφική προβολή δεν μπορούν να μετρηθούν αποστάσεις αλλά μόνο γωνιώδεις σχέσεις. ΔΙΚΤΥΑ SCHMIDT Στερεογραφική προβολή Η στερεογραφική προβολή είναι μια μέθοδος που προσφέρει το πλεονέκτημα της ταχύτατης λύσης προβλημάτων που λύνονται πολύπλοκα με άλλες μεθόδους. Με την στερεογραφική

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΤΗΣ ΓΗΪΝΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ. 22/5/2006 Λύσανδρος Τσούλος Χαρτογραφία Ι 1

ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΤΗΣ ΓΗΪΝΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ. 22/5/2006 Λύσανδρος Τσούλος Χαρτογραφία Ι 1 ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΤΗΣ ΓΗΪΝΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ 22/5/2006 Λύσανδρος Τσούλος Χαρτογραφία Ι 1 Τοποθέτηση του προβλήµατος Η γήϊνη επιφάνεια [ανάγλυφο] αποτελεί ένα ορατό, φυσικό, συνεχές φαινόµενο, το οποίο εµπίπτει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΧΥ Ο ΟΙΠΟΡΙΚΟ. 3. Αζιµούθιο: Είναι η δεξιόστροφη γωνία που σχηµατίζεται µεταξύ του µαγνητικού βορρά, του σηµείου στάσεως και του σηµείου σκοπεύσεως.

ΤΑΧΥ Ο ΟΙΠΟΡΙΚΟ. 3. Αζιµούθιο: Είναι η δεξιόστροφη γωνία που σχηµατίζεται µεταξύ του µαγνητικού βορρά, του σηµείου στάσεως και του σηµείου σκοπεύσεως. ΤΑΧΥ Ο ΟΙΠΟΡΙΚΟ Α. Όροι και Ορισµοί 1. Θ7: Είναι συνώνυµο µε το ταχύ οδοιπορικό. 2. Κλίµακα: Είναι η µαθηµατική αναλογία του γραφικού µήκους που απεικονίζεται στο χάρτη µε το φυσικό µήκος στο οποίο αναφέρεται.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ

ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ Έχουµε 2 ευθείες ε 1,ε 2 και τουλάχιστον µία ευθεία που τέµνει αυτές τις 2 ευθείες, εδώ τη (δ). Ονοµάζουµε τις γωνίες µε βάση το: 1. Πού βρίσκονται σε σχέση µε

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ

Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Εκτός της Ευκλείδειας γεωµετρίας υπάρχουν και άλλες γεωµετρίες µη Ευκλείδιες.Οι γεω- µετρίες αυτές διαφοροποιούνται σε ένα ή περισσότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ Ι-β Μελέτη Φυσικού Εκκρεµούς

ΠΕΙΡΑΜΑ Ι-β Μελέτη Φυσικού Εκκρεµούς ΠΕΙΡΑΜΑ Ι-β Μελέτη Φυσικού Εκκρεµούς Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε το φυσικό εκκρεµές και θα µετρήσουµε την επιτάχυνση της βαρύτητας. Θα εξετάσουµε λοιπόν πειραµατικά τα εξής: Την ταλάντωση

Διαβάστε περισσότερα

Tοπογραφικά Σύμβολα. Περιγραφή Χάρτη. Συνήθως στους χάρτες υπάρχει υπόμνημα με τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται. Τα πιο συνηθισμένα είναι τα εξής:

Tοπογραφικά Σύμβολα. Περιγραφή Χάρτη. Συνήθως στους χάρτες υπάρχει υπόμνημα με τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται. Τα πιο συνηθισμένα είναι τα εξής: Tοπογραφικά Σύμβολα Συνήθως στους χάρτες υπάρχει υπόμνημα με τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται. Τα πιο συνηθισμένα είναι τα εξής: Κεντρική Αρτηρία Ρέμα Δευτερεύουσα Αρτηρία Πηγάδι Χωματόδρομος Πηγή Μονοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΒΑΛΛΩΝ ΧΩΡΟΣ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ. Ν. Σαμπατακάκης Καθηγητής Εργαστήριο Τεχνικής Γεωλογίας Παν/μιο Πατρών

ΠΕΡΙΒΑΛΛΩΝ ΧΩΡΟΣ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ. Ν. Σαμπατακάκης Καθηγητής Εργαστήριο Τεχνικής Γεωλογίας Παν/μιο Πατρών ΠΕΡΙΒΑΛΛΩΝ ΧΩΡΟΣ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ II ΠΕΡΙΒΑΛΛΩΝ ΧΩΡΟΣ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ βασική απαίτηση η επαρκής γνώση των επιμέρους στοιχείων - πληροφοριών σχετικά με: Φύση τεχνικά χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 15780 ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΑΘΗΝΑ Αντικείμενο της Άσκησης ης Η ανάδειξη της σημασίας που έχει η απεικόνιση

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

7. ειγµατοληψία και κατασκευή Λεπτών Τοµών

7. ειγµατοληψία και κατασκευή Λεπτών Τοµών σελ. 129 7. ειγµατοληψία και κατασκευή Λεπτών Τοµών 7.1 Γενικά Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούν ορισµένα "µυστικά" που αφορούν στην επιλογή της θέσης και τον τρόπο δειγµατοληψίας στην ύπαιθρο, στην προετοιµασία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ Ι ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΛΕΞΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ Ι ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΛΕΞΕΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ Υ ΡΟΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ Ι ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΛΕΞΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ . Η ΕΝΝΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση πρώτου βαθµού µε αγνώστους και νοµάζεται κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ. Άγνωστοι είναι το και το. Τα α, β και γ λέγοντα συντελεστές. Ειδικότερα το γ

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ

ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ηχανική στερεού ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ I) Ράβδος µήκους βρίσκεται σε λεία οριζόντια επιφάνεια. Κάποια στιγµή που θεωρούµε t=0, γνωρίζουµε τις ταχύτητες του µέσου και του άκρου οι οποίες έχουν ίσα µέτρα

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 2/2000 Μηχανική ΙI Λογισµός των µεταβολών Προκειµένου να αντιµετωπίσουµε προβλήµατα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) όπως τα παραπάνω, όπου η ποσότητα που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη

ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη ΠΕΙΡΑΜΑ IV Απλή κυκλική κίνηση. Κεντροµόλος Δύναµη Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε την κυκλική κίνηση µίας σηµειακής µάζας και ιδιαίτερα την εξάρτηση της κεντροµόλου δύναµης από τη µάζα,

Διαβάστε περισσότερα

Εισηγητής: Καραγιώργος Θωμάς, MSc, PhD candidate in Sport Management & Recreation ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΙΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤOΤΕΛΕΙΟ

Εισηγητής: Καραγιώργος Θωμάς, MSc, PhD candidate in Sport Management & Recreation ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΙΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤOΤΕΛΕΙΟ Εισηγητής: Καραγιώργος Θωμάς, MSc, PhD candidate in Sport Management & Recreation ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΙΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤOΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Γεωδαιτικό σύστημα Χάρτης Πυξίδα Χάραξη

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ποια είναι η χρήση των παραγώγων στην Φυσική και τι ακριβώς είναι; Ένα παράδειγµα θα µας διαφωτίσει. Έστω ότι ένα αυτοκίνητο βρίσκεται την χρονική στιγµή t = 0 s στο σηµείο x = 0 m και κινείται

Διαβάστε περισσότερα

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λάθος (Λ).

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λάθος (Λ). 1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ). Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές (Σ) και ποιες είναι λάθος (Λ). *1. Μια κίνηση είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός αρχιτεκτονικών σχεδίων

Σχεδιασμός αρχιτεκτονικών σχεδίων 4. Σχεδιασμός αρχιτεκτονικών σχεδίων ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ Σαμίρ Μπαγιούκ Για να κάνουμε αντιληπτό ένα αντικείμενο στον χώρο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη φωτογράφιση με πολλαπλές λήψεις από διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου.

Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις, Απαντήσεις-Παρατηρήσεις στην Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου. Ανδρέας Ζούπας 22 Ιανουαρίου 203 Οι λύσεις απλώς προτείνονται και σαφώς οποιαδήποτε σωστή λύση είναι αποδεκτή! Θέµα-

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο Εργασίας. Θέμα : Περπατώντας στο Πήλιο Θέλετε να οργανώσετε έναν ορειβατικό περίπατο από την Αγριά στην Δράκεια Πηλίου.

Φύλλο Εργασίας. Θέμα : Περπατώντας στο Πήλιο Θέλετε να οργανώσετε έναν ορειβατικό περίπατο από την Αγριά στην Δράκεια Πηλίου. Ενότητα Χάρτες Φύλλο Εργασίας Μελέτη χαρτών Τάξη Α Γυμνασίου Ονοματεπώνυμο.Τμήμα..Ημερομηνία. Σκοποί του φύλλου εργασίας Η εξοικείωση 1. Με την χρήση των χαρτών 2. Με την χρήση της πυξίδας 3. Με την εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ ΣΥΝΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ -.Μ.Κ. 10.98 1 ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΣ Ε1 Μ 2γ Ε2 2β 1. ΡΙΣΜΙ ΡΙΣΜΙ - ΚΤΣΚΕΥΕΣ Η έλλειψη είναι επίπεδη καµπύλη 2 ου βαθµού, είναι δε ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων, των οποίων το άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 07 Ε_3.Φλ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη Απριλίου 07 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α - Α4 να γράψετε να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΚΤΥΟ SCHMIDT ΚΑΙ ΟΙ ΧΡΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΤΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Ε. ΡΟΖΟΣ ΕΠ. ΚΑΘ. ΕΜΠ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΚΤΥΟ SCHMIDT ΚΑΙ ΟΙ ΧΡΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΤΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Ε. ΡΟΖΟΣ ΕΠ. ΚΑΘ. ΕΜΠ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΚΤΥΟ SCHMIDT ΚΑΙ ΟΙ ΧΡΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΤΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Ε. ΡΟΖΟΣ ΕΠ. ΚΑΘ. ΕΜΠ 0 Απεικόνιση των γεωμετρικών στοιχείων προσανατολισμού ασυνεχειών. Η γεωλογική πυξίδα. Στη μικρή εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή.

Στροφορµή. υο παρατηρήσεις: 1) Η στροφορµή ενός υλικού σηµείου, που υπολογίζουµε µε βάση τα προηγούµενα, αναφέρεται. σε µια ορισµένη χρονική στιγµή. Στροφορµή Έστω ένα υλικό σηµείο που κινείται µε ταχύτητα υ και έστω ένα σηµείο Ο. Ορίζουµε στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς το Ο, το εξωτερικό γινόµενο: L= r p= m r υ Όπου r η απόσταση του υλικού σηµείου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Αντικείµενο της παρούσας µεταπτυχιακής εργασίας είναι η διερεύνηση της επίδρασης των σηράγγων του Μετρό επί του υδρογεωλογικού καθεστώτος πριν και µετά την κατασκευή τους. Στα πλαίσια της, παρουσιάζονται

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας

3.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας 3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 A Οµάδας. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συµµετρίας τον άξονα σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : (i) Όταν

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM. Μάθηµα : Αλγοριθµικές Βάσεις στη Γεωπληροφορική ιδάσκων : Συµεών Κατσουγιαννόπουλος Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.. Μέθοδοι παρεµβολής. Η παρεµβολή σε ψηφιακό µοντέλο εδάφους (DTM) είναι η διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο 6. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤ ΕΠΙΠΕ ΘΕΩΡΙΑ. Σύστηµα καθέτων ηµιαξόνων: Είναι δύο κάθετες µεταξύ τους ηµιευθείες µία οριζόντια και µία κατακόρυφη. Την οριζόντια την ονοµάζουµε και την λέµε ηµιάξονα των ή ηµιάξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 1. Τι είναι το υλικό σηµείο και σε τι διαφέρει από το στερεό σώµα; Γνωρίζουµε ότι αν σε υλικό σηµείο ασκηθούν δυνάµεις, τότε θα µεταβληθεί η κινητική του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Προσδιορισµός Εισοδήµατος και Επιτοκίου Το Υπόδειγµα IS LM

Κεφάλαιο 4 Προσδιορισµός Εισοδήµατος και Επιτοκίου Το Υπόδειγµα IS LM Κεφάλαιο 4 Προσδιορισµός Εισοδήµατος και Επιτοκίου Το Υπόδειγµα LM Σύνοψη Όταν η επενδυτική δαπάνη εξαρτάται από το επιτόκιο, η συνθήκη ισορροπίας στην αγορά αγαθών θα περιλαµβάνει δύο µεταβλητές το εισόδηµα

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα