4. Απλά κεκλιµένα στρώµατα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4. Απλά κεκλιµένα στρώµατα"

Transcript

1 4. Απλά κεκλιµένα στρώµατα 1. Γενικά Μορφές εµφανίσεων γεωλογικών σχηµατισµών - Ο κανόνας του «V» Χάρτης απλών κεκλιµένων στρωµάτων Γεωλογική τοµή Γεωλογική εξέλιξη της περιοχής του χάρτη... 46

2 34 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 1. Γενικά Με τον όρο απλά κεκλιµένα στρώµατα εννοούµε µια ακολουθία ιζηµατογενών σχηµατισµών τα οποία εµφανίζονται µε κάποια κλίση ως προς το οριζόντιο επίπεδο, χωρίς να έχουν υποστεί άλλου είδους διατάραξη ή παραµόρφωση. Πρόκειται για µια αρκετά συνηθισµένη περίπτωση, για τη µελέτη της οποίας χρειάζεται να αναφέρουµε µερικές βασικές αρχές και τεχνικές, οι οποίες στην πορεία θα µας φανούν χρήσιµες και σε πολλές άλλες περιπτώσεις. Γνωρίζουµε ήδη την έννοια της παράταξης, της διεύθυνσης, Μ.Κ. και της Φ.Μ.Κ. ενός επιπέδου (βλ. Βασικές Έννοιες). Στη συνέχεια θα δούµε πώς αυτές οι παράµετροι εξάγονται από ένα γεωλογικό χάρτη και πώς τις αξιοποιούµε. Βασική µας παραδοχή, είναι ότι θα θεωρήσουµε ότι τα στρώµατα που εµφανίζονται στο χάρτη της εικόνας 4-1 (και στους υπόλοιπους χάρτες του εγχειριδίου) διατηρούν τη διεύθυνση, την κλίση και το πάχος τους. Έτσι µας επιτρέπεται να τα αντιµετωπίσουµε «γεωλογικά σώµατα» µε επίπεδα και παράλληλα µεταξύ τους όρια. Με άλλα λόγια δεχόµαστε ότι οι επαφές των στρωµάτων είναι κεκλιµένα επίπεδα., παράλληλα µεταξύ τους. Ας ξεκινήσουµε εξετάζοντας την περίπτωση ενός κεκλιµένου στρώµατος αµελητέου πάχους για την κλίµακα του χάρτη (π.χ. ένα λιγνιτικό ορίζοντα), το οποίο θα αντιµετωπίσουµε ως ένα κεκλιµένο επίπεδο. EΙΚΟΝΑ 4-1. (Α) Απλός γεωλογικός χάρτης που απεικονίζει έναν κεκλιµένο λιγνιτικό ορίζοντα, που αποτελεί πρακτικά και την επαφή των υποκείµενων στρωµάτων (Ms) µε τα υπερκείµενα (Pli). Οι παρατάξεις των 100, 200 και 300 έχουν χαραχτεί µε βάση ένα ζεύγος σηµείων η καθεµία. Είναι παράλληλες µεταξύ τους και ισαπέχουν κατά d. Έτσι, έχουµε φέρει και την παράταξη των 400, ακόµη και αν δεν υπάρχει σηµείο ή ζεύγος σηµείων για αυτήν. (Β) Γεωλογική τοµή Α-Α, εγκάρσια στη διεύθυνση του λιγνιτικού ορίζοντα. Με στικτή γραµµή φαίνεται το ανάγλυφο που αντιστοιχεί σε µια παράλληλη τοµή, τη Β-Β. Είναι προφανές ότι το τµήµα του λιγνιτικού ορίζοντα που φαίνεται διαβρωµένο στην Α-Α βρίσκεται εξολοκλήρου κάτω από την τοπογραφική επιφάνεια της Β-Β. (Γ) Συνοπτική απεικόνιση απλών γεωµετρικών κατασκευών που διευκολύνουν την εύρεση των στοιχείων. Στο πλαίσιο κάτω δεξιά φαίνονται οι τρόποι αναγραφής των στοιχείων του λιγνιτικού ορίζοντα.

3 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 35 A N A B o d Pl i παράταξη d Pl i λιγνιτικός ορίζοντας Ms 100 d 100 A' m. B' B B A NNW προβολές παρατάξεων λιγνιτικού ορ.? 12 o d d d SSE διαβρωµένο τµήµα λιγνιτικού ορ B' A' Γ Β Ν 75 o 165 o ιεύθυνση Α Φορά Μέγιστης Κλίσης Παράταξη ηµφ = y/d d φ φ: Μέγιστη κλίση ο ο B75 A, 12 NNA ή y

4 36 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ Υπάρχει συγκεκριµένη σχέση µεταξύ του ίχνους του επιπέδου αυτού στην τοπογραφική επιφάνεια, των παρατάξεών του και των ισοϋψών καµπυλών. Η σχέση αυτή φαίνεται καθαρά στο χάρτη της εικόνας 4-1. Παρατηρώντας το χάρτη βλέπουµε τρία είδη γραµ- µών: τις ισοϋψείς, το ίχνος του λιγνιτικού ορίζοντα και τις παρατάξεις του. Ο λιγνιτικός ορίζοντας συναντά την τοπογραφική επιφάνεια εκεί όπου µια ισοϋψής µε τιµή (α) τέµνει µια παράταξη της ίδιας τιµής. ηλαδή, το ίχνος ελέγχεται ορίζεται από την τοµή γεωλογικού επιπέδου τοπογραφίας. Ουσιαστικά έχουµε µια τρι- µερή σχέση: ισοϋψούς παράταξης επαφής. Εάν γνωρίζουµε δύο από τα τρία µέλη της σχέσης τότε µπορούµε να βρούµε και το τρίτο. Συνήθως δύο περιπτώσεις αντιµετωπίζουµε: Να βρούµε τις παρατάξεις ενός γεωλογικού επιπέδου αν είναι γνωστή η τοπογραφία και το ίχνος του και Να βρούµε το ίχνος ενός γεωλογικού επιπέδου αν είναι γνωστή η τοπογραφία και οι παρατάξεις του. Αυτό θα το ε- ξετάσουµε σε επόµενο κεφάλαιο. Για να φέρουµε µια παράταξη αρχικά χρησιµοποιούµε την ισοϋψή που τέµνει τις περισσότερες φορές το ίχνος της επαφής (χρειαζόµαστε τουλάχιστον 2 σηµεία). Αν υ- πάρχουν περισσότερα από δύο σηµεία τοµής, επιλέγου- µε τα πιο αποµακρυσµένα. Όπως είπαµε, το ίχνος ενός γεωλογικού επιπέδου διέρχεται από την τοµή ισοϋψούς και παράταξης. Σε απλά κεκλιµένα στρώµατα, µε σταθερή διεύθυνση και κλίση, οι παρατάξεις τους είναι ευθείες ισαπέχουσες γραµµές (Εικ. 4-1). Είναι επίσης γνωστό, ότι για να προσδιορίσουµε µια ευθεία στο χώρο αρκεί να γνωρίζουµε δύο ση- µεία της. Έτσι, στο χάρτη της εικόνας 4-1Α µπορούµε να φέρουµε την παράταξη 1 του λιγνιτικού ορίζοντα µε τιµή 100 ενώνοντας τα δύο σηµεία στα οποία το ίχνος τέµνει την ισοϋψή των 100m. Αυτή η παράταξη ονοµάζεται «παράταξη των 100». Η φυσική της σηµασία; Πρόκειται για µια γραµµή η οποία περιέχει όλα τα σηµεία του λιγνιτικού ορίζοντα που βρίσκονται σε Α.Υ.=100. Έτσι, για ένα θεωρητικά επ άπειρον εκτεινόµενο επίπεδο (όπως έχουµε θεωρήσει), αυτή η γραµµή µας δίνει τις θέσεις στο χάρτη στις οποίες ο λιγνιτικός ορίζοντας βρίσκεται σε Α.Υ.=100m. Αυτή είναι η πρώτη βασική πληροφορία που µας δίνει η παράταξη. Η δεύτερη είναι η διεύθυνση του γεωλογικού επιπέδου και η οποία ορίζεται ως η οριζόντια γωνία που σχηµατίζει η παράταξη µε το Βορρά (βλ. Βασικές Έννοιες). Άµεσα λοιπόν είµαστε σε θέση να πούµε ότι ο λιγνιτικός ορίζοντας του χάρτη έχει διεύθυνση Β75 ο Α. 1 Η γραµµή που φέρνουµε στο χάρτη είναι η προβολή της παράταξης (strike line) του λιγνιτικού ορ. στο επίπεδο του χάρτη και ονοµάζεται «γραµµή παράταξης» (strike contour). Καθιστούµε σαφές λοιπόν ότι, όταν στη συνέχεια µιλάµε για τις «παρατάξεις» που χαράζουµε σε ένα χάρτη για µια επαφή, αναφερόµαστε ουσιαστικά στις προβολές και όχι τις παρατάξεις αυτές καθ αυτές.

5 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 37 Ωστόσο, για να προσδιορίσουµε πλήρως ένα γεωλογικό επίπεδο χρειαζόµαστε, εκτός από τη διεύθυνσή του και τη Μ.Κ. και Φ.Μ.Κ. του. Αυτό γίνεται εφικτό όταν φέρουµε και µια δεύτερη παράταξη για το επίπεδο αυτό. Όπως λοιπόν φέραµε την παράταξη των 100 για τον λιγνιτικό ορίζοντα της εικόνας 4-1Α, έτσι φέρνουµε και την παράταξη των 200. Η ισοδιάσταση παρατάξεων (d) (βλ. Βασικές έννοιες), θα έχει τιµή σταθερή για επίπεδο σταθερής κλίσης (Εικ. 4-1Α,Β). Χρησιµοποιούµε δε αυτήν την τιµή για να υπολογίσουµε την κλίση του επιπέδου (Εικ. 4-1Γ). Το σκεπτικό είναι απλό: «Για να µεταβώ από την παράταξη των 100 σε αυτή των 200 χρειάζεται να διανύσω οριζόντια απόσταση d. ηλαδή, διανύοντας απόσταση d έχω ανέβει υψοµετρικά κατά 100m. Άρα η κλίση του επιπέδου δίνεται από τη σχέση: Όσο µεγαλύτερη είναι η ισοδιάσταση των παρατάξεων, τόσο µικρότερη η κλίση του επιπέδου και αντίστροφα. φ=εφ( π/d) όπου π: η υψοµετρική διαφορά των παρατάξεων d: η απόσταση των δύο παρατάξεων στο χάρτη µε βάση την κλίµακά του Η τελευταία παράµετρος που ψάχνουµε είναι η φορά µεγίστης κλίσης (Φ.Μ.Κ.). Αυτή δεν είναι τίποτα άλλο από ένα άνυσµα κάθετο στις παρατάξεις του επιπέδου, το οποίο κατευθύνεται προς τα εκεί όπου µειώνεται το υψόµετρο του επιπέδου (άρα και οι τιµές των παρατάξεων της συγκεκριµένης επαφής) (Εικ. 4-1Α,Γ). Η τιµή της Φ.Μ.Κ. δίνεται σε µοίρες (0-360 ο ), όπως είδαµε και στο κεφάλαιο των «Βασικών Εννοιών». Με αυτή τη διαδικασία καταφέραµε να προσδιορίσουµε πλήρως τα γεωµετρικά στοιχεία του λιγνιτικού ορίζοντα και τα οποία θα τα γράψουµε ως εξής: 12 ο /165 ο ή Β75 ο Α, 12 ο ΝΝΑ 2. Μορφές εµφανίσεων γεωλογικών σχηµατισµών - Ο κανόνας του «V» Η αποσαφήνιση και η κατανόηση της στρωµατογραφικής διάρθρωσης των σχηµατισµών ενός γεωλογικού χάρτη είναι, όπως είδαµε και στην περίπτωση των οριζόντιων στρωµάτων, ένα πολύ βασικό (ίσως το βασικότερο) σηµείο. Στα οριζόντια στρώµατα τα πράγµατα ήταν απλά, αφού τα νεώτερα στρώµατα βρίσκονται σε σταθερά µεγαλύτερα Α.Υ. από τα αρχαιότερα. Ωστόσο σε όλες τις άλλες περιπτώσεις θα πρέπει να κινηθούµε διαφορετικά. Ας δούµε πως: 1. Σηµαντικό συστατικό είναι η κατανόηση της µορφής των εµφανίσεων (outcrop pattern) των γεωλογικών σχηµατισµών.

6 38 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 4.1. Α. Κατασκευάστε γεωλογικές τοµές κατά µήκος της ΒΑ-Ν διαγωνίου των χαρτών στην Εικόνα Β. Ποιο το φαινόµενο κατακόρυφο πάχος του ψαµµίτη? Γ. Ποια η φαινόµενη κλίση των στρωµάτων σε αυτή τη διεύθυνση? ΑΣΚΗΣΗ 4.2. Σχεδιάστε ένα τετράγωνο διαστάσεων 10*10 cm που να αντιστοιχεί σε έναν τοπογραφικό χάρτη κλίµακας 1:10000 και ισοδιάστασης 50 m, ο οποίος να απεικονίζει µια κοιλάδα µε ροή προς Β µε σταθερή τοπογραφική κλίση 80%. Στη συνέχεια τοποθετήστε ένα λιγνιτικό ορίζοντα, αµελητέου πάχους, διεύθυνσης Β45Α και κλίσης 40 Β. ΕΙΚΟΝΑ 4-2. Ίχνος επαφής µεταξύ ασβεστολίθων (νεότερο στρώµα) και ιλυολίθων (αρχαιότερο), όπως διαγράφεται σε µια κοιλάδα που κλίνει προς Βορρά. Τα «V» ισοϋψών και ίχνους επαφής είναι α- ντίρροπα, κάτι που σηµαίνει ότι η κλίση της επαφής είναι οµόρροπη µε τη µορφολογική (δηλαδή προς Βορρά). Οι απλούστερες γεωµετρικά γεωλογικές ακολουθίες συνίστανται σε απτύχωτα και πλευρικά συνεχή ιζηµατογενή πετρώµατα τα οποία µπορεί είτε να είναι οριζόντια, είτε να κλίνουν προς µια κατεύθυνση. Στην απλούστερη µάλιστα των περιπτώσεων, η τιµή της κλίσης των στρωµάτων παραµένει σταθερή, όπως και το πάχος τους. Ωστόσο, ακόµα και σε αυτήν την περίπτωση τα ίχνη των στρωµατογραφικών επαφών στη γήινη επιφάνεια σπάνια είναι ευθείες γραµµές. Και τούτο διότι το γήινο ανάγλυφο εκτός συγκεκριµένων περιπτώσεων- είναι µια ανώµαλη επιφάνεια. Είναι λοιπόν η τοµή της στρωµατογραφικής επαφής µε την ανώµαλη γήινη επιφάνεια που δίνει το αποκαλούµενο ίχνος της επαφής. Αυτό ισχύει για οποιαδήποτε γεωλογική ή τεκτονική επιφάνεια, η οποία τέµνει τη γήινη, όπως π.χ. ένα ρήγµα. Η µορφή του ίχνους επηρεάζεται τόσο από τη γεωµετρία αυτή καθ αυτή της επαφής (δ/νση, κλίση), όσο και από το γήινο ανάγλυφο. Έτσι, στην ακραία περίπτωση κατακόρυφης επαφής το ίχνος της στη γήινη επιφάνεια θα είναι ευθεία γραµµή (Εικ. 4-3α). Από την άλλη πλευρά, το ίχνος µιας οριζόντιας ε- παφής θα ταυτίζεται ή θα είναι παράλληλο µε τις ισοϋψείς του χάρτη (Εικ. 4-3β). Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, και υπό κατάλληλες προϋποθέσεις µπορούµε να αντιληφθούµε τη γεωµετρία της επαφής από τη µορφή του ίχνους της. Συγκεκριµένα: Σε µια κοιλάδα οι ισοϋψείς έχουν µορφή «V» ή «U», µε την κορυφή του «V» να δείχνει προς τα ανάντη της κοιλάδας. Το ίχνος µιας επαφής µε διεύθυνση περίπου εγκάρσια ως προς τον άξονα της κοιλάδας θα έχει και αυτό τη µορφή «V», το οποίο θα «δείχνει» προς τα ανάντη, αν η κλίση του είναι προς τα κατάντη και το αντίθετο (Εικ. 4.2, 2.12β). Ισχύει ο ακόλουθος εµπειρικός κανόνας: Οµόρροπα V Αντίρροπες κλίσεις Αντίρροπα V Οµόρροπες κλίσεις Αντίστοιχα, σε ένα επίµηκες ύψωµα, αντέρεισµα, ράχη, κλπ. (Εικ. 4-3) οι ισοϋψείς καµπύλες έχουν πάλι τη µορφή «V» ή «U», αλλά το «V» τώρα δείχνει προς την κατεύθυνση που µειώνεται το υψόµετρο. Και σε αυτή την περίπτωση το ίχνος µιας επαφής µε διεύθυνση περίπου εγκάρσια στον άξονα του υψώµατος θα έχει τη µορφή «V» (στην εικόνα 4-3 βλέπουµε ότι ισχύει πάλι ο εµπειρικός κανόνας του «V»), η οποία θα δείχνει (θα είναι οµόρροπη) προς την κατεύθυνση που δείχνει το «V» ή «U» των ισοϋψών, αν η κλίση της είναι αντίρροπη από την τοπογραφική και αντίθετα. 2. Οδεύοντας κατά τη φορά µεγίστης κλίσης περνάµε από αρχαιότερα σε νεώτερα στρώµατα (Εικ. 4-3γ). ΕΞΑΙΡΕΣΗ αποτελεί η περίπτωση, όταν η µορφολογική κλίση είναι οµόρροπη και µεγαλύτερη αυτής των στρωµάτων (Εικ. 4-3ε). 3. Όσο µεγαλύτερη είναι η κλίση µιας επαφής, τόσο πιο ευθύγραµ- µο είναι το ίχνος της (Εικ. 4-3στ). Υπάρχουν δύο οριακές κα-

7 κλίση επαφής - µορφολογική κλίση: Αντίρροπες ("V": οµόρροπα) ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 39 ταστάσεις, φ=0 ο και φ=90 ο. Η πρώτη είναι γνωστή ήδη, αφού πρόκειται για οριζόντια στρώµατα. Στην περίπτωση αυτή οι ε- παφές των στρωµάτων είναι παράλληλες ή ταυτίζονται µε τις ισοϋψείς (Εικ. 4-3β). Η δεύτερη αφορά τις κατακόρυφες επαφές: τότε το ίχνος της επαφής είναι ευθεία γραµµή (Εικ. 4-3α). 4. Πλάτος εµφάνισης. Όπως είδαµε στις «Βασικές Έννοιες» (Εικ. 2-12), αυτό εξαρτάται από (α) την κλίση του στρώµατος και (β) από τη µορφολογία. Έτσι είναι φυσιολογικό, ακόµα και σε στρώ- µατα µε σταθερή κλίση, το πλάτος εµφάνισής τους να αλλάζει, εφόσον η µορφολογία είναι ανώµαλη. Σαν γενικό κανόνα µπορούµε να πούµε ότι µε σταθερή κλίση το πλάτος εµφάνισης µειώνεται, όσο αυξάνεται η µορφολογική κλίση. κλίση επαφής - µορφολογική κλίση: οµόρροπες ("V": αντίρροπα) (α) (γ) (δ) (ε) κατακόρυφη 24 o 65 o µεγάλη κλίση Ν 33 o µέτρια κλίση προς Β µικρή κλίση προς Ν (β) 30 o 700 οριζόντια 66 o (στ) µεγάλη κλίση προς Β (ζ) µέτρια κλίση προς Β 22 o (η) µικρή κλίση προς Β 200 m. ΕΙΚΟΝΑ 4-2. ιαφοροποίηση στο ίχνος µιας επαφής ανάλογα µε την κλίση της. Η τοπογραφία σε κάθε περίπτωση είναι η ίδια και αντιστοιχεί σε αντέρεισµα µε σταθερή και οµαλή κλίση προς Νότο. Με στικτό µοτίβο απεικονίζεται το υπερκείµενο στρώµα.

8 40 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 3. Γεωλογικός Χάρτης απλών κεκλιµένων στρωµάτων Ας εξετάσουµε τώρα την περίπτωση µιας περιοχής στην οποία απαντά µια ακολουθία απλών κεκλιµένων στρωµάτων (Εικ. 4-4, 4-5). Η πρώτη βασική παρατήρηση που κάνουµε έχει να κάνει µε τη µορφή των εµφανίσεων. Τα (διαδοχικά) στρώµατα εµφανίζονται σε λωρίδες µε τα όρια τους να είναι περίπου παράλληλα το ένα µε το άλλο. εύτερον, και αντίθετα µε το χάρτη της εικόνας 3-2, όπου είχαµε οριζόντια στρώµατα, τα ίχνη των επαφών τέµνουν τις ισοϋψείς. Τρίτον, τα ίχνη σχηµατίζουν χαρακτηριστικά «V», τα οποία είναι µάλιστα αντίρροπα µε τα «V» των ισοϋψών. Πρώτα συµπεράσµατα: τα στρώµατα του χάρτη ανήκουν σε µια ιζηµατογενή ακολουθία (οι επαφές τους δεν αλληλοτέµνονται, ούτε διακόπτονται, όπως θα δούµε σε επόµενο κεφάλαιο). Επίσης, τα στρώµατα είναι κεκλιµένα, µε φορά κλίσης προς τα δυτικά (κανόνας «V»). Άρα, αναµένουµε το αρχαιότερο στρώµα να είναι το λατυποπαγές, ακολουθούµενο από τον ιλυόλιθο, κ.ο.κ. και το νεώτερο να είναι η µάργα. Παρατήρηση: βλέπουµε ότι τα πλάτη εµφάνισης των στρωµάτων δε διατηρούνται σταθερά. Τούτο οφείλεται στις µικρές διακυµάνσεις στη µορφολογία (εφόσον έχουµε δεχτεί ότι η κλίση των στρωµάτων παραµένει σταθερή). ΕΙΚΟΝΑ 4-4. Τρισδιάστατη απεικόνιση περιοχής που καλύπτει ο χάρτης της εικόνας 4-5 και στην οποία απαντούν απλά κεκλιµένα στρώµατα. Στη συνέχεια προχωράµε να φέρουµε τις παρατάξεις των επαφών. Στο χάρτη της εικόνας 4-5 φαίνονται όλες οι «ακέραιες» παρατάξεις κάθε επαφής, καθώς και η τιµή της καθεµιάς.

9 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 41 Αφού φέρουµε παρατάξεις προσδιορίζουµε τα στοιχεία των στρω- µάτων κατά τα γνωστά. Στην περίπτωσή µας είναι: Β00 ο Α, 19 ο ή 19 ο /270 ο. Πρόκειται δηλαδή, όπως υποθέσαµε και από τον κανόνα του «V», για απλά κεκλιµένα στρώµατα που κλίνουν µε 19 ο προς τα δυτικά ( ). Άρα πηγαίνοντας από τα Α προς τα περνάµε σε νεώτερα στρώµατα. Ακολούθως, υπολογίζουµε τα πάχη των στρωµάτων (Εικ. 2-10) του χάρτη. Αρχικά, θα βρούµε το ΤΑV κάθε στρώµατος και µετά το Τt (είναι γνωστό ότι ΤΑV=Ttσυνφ). Αυτό βέβαια είναι εφικτό µόνο για τα στρώµατα των οποίων είναι γνωστά και η οροφή και το δάπεδό τους, άρα αποκλείονται από τη διαδικασία το νεώτερο και το αρχαιότερο στρώµα (στην περίπτωσή µας η µάργα και το λατυποπαγές, αντίστοιχα). Η διαδικασία έχει ως εξής: Για ένα συγκεκριµένο σηµείο, εντοπίζουµε µια παράταξη του δαπέδου του, η οποία να προβάλλεται στην ίδια θέση µε µια παράταξη της οροφής του. Η διαφορά των τιµών τους ισούται µε το κατακόρυφο πάχος (ΤΑV) του στρώµατος. Από χάρτη της εικόνας 4-5 επιλέγουµε, για παράδειγµα, να υπολογίσουµε το πάχος του αργιλικού σχίστη. Η παράταξη των 800 της οροφής του (επαφή αργιλικού σχίστη / µάργας) ταυτίζεται προβαλλόµενη µε την του δαπέδου του (επαφή κροκαλοπαγούς / αργιλικού σχίστη). Άρα για τον αργιλικό σχίστη: ΤΑV =200m και Τt=200συν19 ο =189m. Μνηµονικός Κανόνας: Μια παράταξη οροφής ενός στρώµατος θα ταυτίζεται µε µία δαπέδου του ίδιου στρώ- µατος, όταν το κατακόρυφο πάχος του είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της ισοδιάστασης του χάρτη. Αν δεν υπάρχει άµεσα διαθέσιµη παράταξη οροφής που να προβάλλεται στην ίδια θέση µε µια παράταξη δαπέδου (ή αντίστροφα); Τότε, αφού γνωρίζουµε την ισοδιάσταση d και τη Φ.Μ.Κ. φέρνουµε µια παράταξη οροφής που να ταυτίζεται µε αυτή του δαπέδου και υπολογίζουµε, χρησιµοποιώντας την απλή µέθοδο των τριών ποια τιµή θα έπαιρνε στη θέση αυτή. Ένας απλός τρόπος για τον υπολογισµό της τιµής της «τυχαίας παράταξης» δίνεται στον «Υπολογισµό Α.Υ. επαφής σε τυχαία θέση: το πρόβληµα της γεώτρησης». 4. Γεωλογική τοµή Η επιλογή της κατάλληλης γεωλογικής τοµής είναι το επόµενο ση- µαντικό βήµα στην ανάλυση του γεωλογικού χάρτη. Κατά κανόνα, επιλέγεται διεύθυνση τοµής τέτοια που να είναι εγκάρσια στη διεύθυνση των στρωµάτων. Τότε θα έχουµε και πληρέστερη εικόνα της διάταξης και της γεωµετρίας των γεωλογικών σχηµατισµών σε βάθος.

10 42 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ ΕΙΚΟΝΑ 4-5. Απλουστευµένος γεωλογικός χάρτης µε κεκλιµένα στρώµατα που αντιστοιχεί στην περιοχή της εικόνας 4-3. Υ Π Ο Μ Ν Η Μ Α ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Μάργα Αργιλικός σχίστης Κροκαλοπαγές Ασβεστόλιθος Ψαµµίτης Ιλυόλιθος Λατυποπαγές Ισοδιάσταση: 100 m. Κλίµακα: 1: m. N 400 Μ/Α.Σ. 200 Α.Σ./ΚΡ. Μ/Α.Σ. 300 Α.Σ./ΚΡ. 200 ΚΡ./ΑΣ. Μ/Α.Σ. 400 Α.Σ./ΚΡ. 300 ΚΡ./ΑΣ. 700 Μ/Α.Σ. Α.Σ./ΚΡ. 400 ΚΡ./ΑΣ. 800 Μ/Α.Σ. Α.Σ./ΚΡ. ΚΡ./ΑΣ. 300 ΑΣ./Ψ. 900 Μ/Α.Σ. 700 Α.Σ./ΚΡ. ΚΡ./ΑΣ. 400 ΑΣ./Ψ. 800 Α.Σ./ΚΡ. 700 ΚΡ./ΑΣ. ΑΣ./Ψ. 400 Ψ./ΙΛ. 900 Α.Σ./ΚΡ. 800 ΚΡ./ΑΣ. ΑΣ./Ψ. Ψ./ΙΛ Α.Σ./ΚΡ. 900 ΚΡ./ΑΣ. 700 ΑΣ./Ψ. Ψ./ΙΛ Α.Σ./ΚΡ ΚΡ./ΑΣ. 800 ΑΣ./Ψ. 700 Ψ./ΙΛ ΚΡ./ΑΣ. 900 ΑΣ./Ψ. 800 Ψ./ΙΛ. ΙΛ./ΛΑΤ ΑΣ./Ψ. 900 Ψ./ΙΛ. 700 ΙΛ./ΛΑΤ ΑΣ./Ψ Ψ./ΙΛ. 800 ΙΛ./ΛΑΤ.

11 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 43 Υ Π Ο Μ Ν Η Μ Α ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Μάργα Αργιλικός σχίστης Κροκαλοπαγές Ασβεστόλιθος Ψαµµίτης Ιλυόλιθος Λατυποπαγές m. m A' E Γ Ε Ω Λ Ο Γ Ι Κ Η Τ Ο Μ Η Α - Α ' Κλίµακα: 1:20000? ΕΙΚΟΝΑ 4-6. Γεωλογική τοµή Α-Α. A m W

12 44 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ Κάποιος µπορεί να ρωτήσει: αν το ένα (ή και τα δύο) ση- µεία προβάλλονται «στον αέρα» και εµείς φέρνουµε το τµήµα της ευθείας που τα περιέχει και που βρίσκεται κάτω από την τοπογραφική επιφάνεια, τι συµβαίνει µε το υπόλοιπο; Απλά, πρόκειται για το µέρος της επαφής που θεωρούµε ότι έχει διαβρωθεί. Επίσης, σε πολύπλοκες δο- µές, συνηθίζεται να φέρνουµε µε διακεκοµµένη γραµµή το διαβρωµένο τµήµα της επαφής, ώστε να δίνεται στον αναγνώστη πληρέστερη εικόνα της δοµής. Σε κάθε γεωλογική τοµή ακολουθούµε τον «κανόνα» ότι «στη σχεδίαση τα νεώτερα γεγονότα προηγούνται». Έτσι, αρχικά φέρνουµε τη µορφολογία, κατά τα γνωστά (Εικ. 4-6) που ουσιαστικά αποτελεί και το νεώτερο στοιχείο του χάρτη. Στη συνέχεια αποτυπώνουµε τις επαφές των στρωµάτων ως εξής: ξεκινώντας από το νεώτερο στρώµα, αν κάτι τέτοιο είναι εφικτό 2. Σηµειώνουµε τα σηµεία της τοµής στα οποία δύο παρατάξεις µιας συγκεκριµένης επαφής τέµνουν την τοµή, π.χ. σηµειώνουµε τα ση- µεία Τ 1 και Τ 2 (Εικ. 4-5), δηλαδή εκεί που η τοµή τέµνει τις παρατάξεις των 400 και αντίστοιχα της επαφής µάργας και αργιλικού σχίστη. Μετά, προβάλλουµε τα δύο σηµεία αυτά στα υψόµετρα που αντιστοιχούν στις παρατάξεις «τους», και τα ενώνουµε µε ευθεία γραµµή. Τέλος, σηµειώνουµε ποιος σχηµατισµός βρίσκεται πάνω και ποιος κάτω από την επαφή που µόλις φέραµε (το νεώτερο βρίσκεται προς τη φορά της κλίσης, δηλαδή προς την κατεύθυνση που µειώνεται το απόλυτο υψόµετρο της επαφής, άρα προς τα δυτικά). Την ίδια διαδικασία ακολουθούµε για όλες τις επαφές. Συνεχίζουµε τη διαδικασία έως ότου φέρουµε όλες τις επαφές. ΥΠΕΝΘΥΜΙΖΕΤΑΙ: θα φέρουµε και τις επαφές που δεν συναντά η τοµή στην επιφάνεια, αρκεί να είναι αρχαιότερες από τα στρώµατα που έχουµε συναντήσει επιφανειακά. Με άλλα λόγια, καµία τοµή δεν είναι πλήρης, αν δεν εµφανίζει µέχρι και τον αρχαιότερο γνωστό σχηµατισµό του χάρτη, το δάπεδο του οποίου δεν το γνωρίζουµε, οπότε το φέρνουµε µε διακεκοµµένη γραµµή τοποθετώντας ένα ερωτηµατικό (?) κάτω από αυτόν. Συµπληρώνουµε την τοµή χρησιµοποιώντας τον κατάλληλο χρωµατισµό ή συµβολισµό για κάθε σχηµατισµό. ΠΡΟΣΟΧΗ: Ο συµβολισµός πρέπει να τοποθετείται παράλληλα στη στρώση (Εικ. 4-7). Τέλος, ολοκληρώνουµε τοποθετώντας τον προσανατολισµό, τη βαθµονόµηση των αξόνων, την κλίµακα, το υπόµνηµα (ή/και τη στρωµατογραφική στήλη) και τα στοιχεία του συντάξαντα. Έλεγχοι ακρίβειας - Ορθότητας ΕΙΚΟΝΑ 4-7. Σωστός (επάνω) και λανθασµένος (κάτω) τρόπος συµβολισµού κεκλιµένων στρωµάτων. 1. Η ευθεία που περιέχει τις δύο προβολές των παρατάξεων τέ- µνει την τοπογραφική επιφάνεια τουλάχιστον σε ένα σηµείο, έ- στω το σηµείο Τ 3. Ας δούµε τώρα και το χάρτη, στον οποίο έ- 2 Πολλές φορές δεν είναι εφικτό να ξεκινήσουµε τη χάραξη παρατάξεων βασιζόµενοι στο ίχνος της νεότερης επαφής. Για το λόγο αυτό, συνήθως ξεκινάµε µε την επαφή που µας παρέχει τα περισσότερα στοιχεία, δηλ. τέµνει τις ισοϋψείς τις περισσότερες φορές.

13 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ 45 χουµε χαράξει το ίχνος της Γ.Τ. (Εικ. 4-5, 4-5). Το σηµείο Τ 3 αντιστοιχεί στο σηµείο που το ίχνος της Γ.Τ. τέµνει την επαφή ασβεστόλιθου / ψαµµίτη. Οπότε, και τα δύο πρέπει να βρίσκονται στην ίδια θέση, δηλαδή να απέχουν εξίσου από το ένα ή το άλλο άκρο της Γ.Τ. Αν κάτι τέτοιο δεν συµβαίνει, τρεις είναι οι πιθανές περιπτώσεις λάθους: Έχουµε προβάλλει σε λάθος θέση ή Α.Υ. τις δύο παρατάξεις Οι παρατάξεις που έχουµε χαράξει δεν είναι παράλληλες µεταξύ τους ή δεν έχουν τη σωστή ισοδιάσταση (d). Έχουµε κάνει λάθος στην αποτύπωση του αναγλύφου. (Υπάρχει και 4 η περίπτωση? Ναι, να έχει περαστεί λανθασµένα η επαφή στο χάρτη, αλλά αυτό, τουλάχιστον για την ώρα, θα πρέπει να αποκλειστεί!). 2. Στην τοµή µας κατά κανόνα οι κλίσεις των επαφών που θα φέρουµε θα είναι φαινόµενες κλίσεις. Γνωρίζουµε ήδη ότι 0 Φ.Κ. Μ.Κ. και ότι Φ.Κ.=Μ.Κ. µόνο όταν η διεύθυνση της τοµής είναι κάθετη στις παρατάξεις. Αφού λοιπόν φέρουµε µια επαφή, µετράµε µε το µοιρογνωµόνιο την κλίση της: η τιµή που θα µετρήσουµε πρέπει να είναι ίδια µε αυτή που θα παίρναµε κάνοντας τη χρήση του νοµογράµµατος ή του πίνακα του Παραρτή- µατος IV. Αν είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη συνήθως: Έχουµε προβάλλει τις παρατάξεις σε λάθος υψόµετρο. Οι παρατάξεις δεν έχουν χαραχτεί σωστά (παράλληλες, ι- σαπέχουσες, µε σταθερή ισοδιάσταση). Λάθος κλίµακα υψών. Λάθος τιµές παρατάξεων (δηλ. προηγούµενη περίπτωση). ΑΣΚΗΣΗ 4.3. Α. Κατασκευάστε τη γεωλογική τοµή κατά µήκος της ΒΑ-Ν διαγωνίου του χάρτη της Εικόνας 4-5. Β. Ποιά τα φαινόµενα κατακόρυφα πάχη των στρωµάτων? Γ. Ποια η φαινόµενη κλίση των στρωµάτων σε αυτή τη διεύθυνση? ΑΣΚΗΣΗ 4.4. Α. Κατασκευάστε τη γεωλογική τοµή κατά µήκος της δυτικής ά- κρης του χάρτη της Εικόνας 4-5. Β. Ποια εικόνα για τα στρώµατα παίρνουµε µε µια τοµή τέτοιας διεύθυνσης και γιατί? 3. Το κατακόρυφο πάχος ενός στρώµατος σε αυτό το επίπεδο ασκήσεων- είναι σταθερό. Λάθη σε αυτήν την περίπτωση προκύπτουν αν έχουµε φέρει µε διαφορετική κλίση την οροφή και το δάπεδο του στρώµατος, εποµένως το πρόβληµα ανάγεται στο προηγούµενο. Τώρα, για το αρχαιότερο στρώµα δε γνωρίζουµε το δάπεδό του. Οφείλουµε ωστόσο να δώσουµε την καλύτερη προσέγγιση για το ελάχιστο δυνατό πάχος του. Για να το κάνουµε αυτό, εργαζόµαστε ως εξής: εντοπίζουµε το αρχαιότερο στρώµα, που στην περίπτωση των απλών κεκλιµένων στρωµάτων, αυτό θα βρίσκεται κοντά σε µια άκρη του χάρτη. Βρίσκουµε τη θέση όπου το πλάτος εµφάνισης του είναι το µέγιστο, π.χ. στο χάρτη της εικόνας 4-4 το αρχαιότερο στρώµα είναι το λατυποπαγές µε µέγιστο πλάτος W 1. Βρίσκουµε ποια παράταξη οροφής (εδώ λατυποπαγούς / ιλυόλιθου) που θα περνούσε από το άκρο του χάρτη και µε αναγωγή βρίσκουµε ότι η παράταξη αυτή έχει τιµή 820. Προχωρούµε τώρα στην εξής υπόθεση: αν στο άκρο αυτό του χάρτη εµφανιζόταν ένα στρώµα αρχαιότερο του λατυποπαγούς, σε ποιο υψόµετρο θα βρισκόταν; Σύµφωνα µε το ανάγλυφο του

14 46 ΑΠΛΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ χάρτη, εκτιµούµε ότι θα βρισκόταν στα 680m (βρισκόµαστε µεταξύ της ισοϋψούς των και των 700 και αρκετά κοντά στη δεύτερη). Αφαιρώντας την τιµή του 680 από τα 820 βρίσκουµε ότι το ελάχιστο δυνατό πάχος του αρχαιότερου στρώµατος είναι 140m και αυτό θα εµφανίσουµε στην Γ.Τ. 5. Γεωλογική εξέλιξη της περιοχής του χάρτη Όπως έχουµε ήδη αναφέρει στα «Οριζόντια στρώµατα» αρχίζουµε να περιγράφουµε τη γεωλογική εξέλιξη από το παλαιότερο γεγονός που έχουµε εντοπίσει: 1. Στο παράδειγµά του χάρτη (Εικ. 4-5) το παλαιότερο γεγονός είναι η απόθεση του αρχαιότερου στρώµατος (λατυποπαγές) η οποία έλαβε χώρα σε µία λεκάνη ιζηµατογένεσης. 2. Σε κάποια χρονική περίοδο άλλαξαν οι συνθήκες ιζηµατογένεσης και άρχισε να αποτίθεται το αµέσως νεώτερο στρώµα. 3. ιαδοχικές αλλαγές στις συνθήκες ιζηµατογένεσης προκάλεσαν την απόθεση διακριτών στρωµάτων µε συγκεκριµένη στρωµατογραφική σειρά και στο παράδειγµα του χάρτη: ιλυόλιθος, ψαµµίτης, ασβεστόλιθος, κροκαλοπαγές, αργιλικός σχίστης και τέλος η µάργα. 4. Στη συνέχεια, το σύνολο της περιοχής χέρσευσε και 5. τα στρώµατα πήραν κλίση, δηλαδή έγιναν από οριζόντια κεκλι- µένα. Η διατάραξη αυτή της οριζοντιότητας των σχηµατισµών οφείλεται στη επίδραση των τεκτονικών (ενδογενών) δυνάµεων. Όµως, δεν είµαστε σε θέση να προσδιορίσουµε πότε ακριβώς έλαβε χώρα αυτό το γεγονός: κατά την ανάδυση της περιοχής ή µετά? Με τα διαθέσιµα δεδοµένα από το χάρτη και οι δύο εναλλακτικές υποθέσεις είναι πιθανές.. 6. Από τη στιγµή που η περιοχή αναδύθηκε, εκτέθηκε στη δράση των εξωγενών δυνάµεων, οι οποίες διαµόρφωσαν και εξακολουθούν να διαµορφώνουν το ανάγλυφο της περιοχής.

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

9. Τοπογραφική σχεδίαση

9. Τοπογραφική σχεδίαση 9. Τοπογραφική σχεδίαση 9.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό εξετάζει τις παραμέτρους, μεθόδους και τεχνικές της τοπογραφικής σχεδίασης. Η προσέγγιση του κεφαλαίου γίνεται τόσο για την περίπτωση της συμβατικής

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικός χάρτης : Είναι η οριζόντια και υπό σµίκρυνση προβολή µιας εδαφικής επιφάνειας µε όλα τα φυσικά και τεχνικά χαρακτηριστικά της.

Τοπογραφικός χάρτης : Είναι η οριζόντια και υπό σµίκρυνση προβολή µιας εδαφικής επιφάνειας µε όλα τα φυσικά και τεχνικά χαρακτηριστικά της. 1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ-Ε ΑΦΟΛΟΓΙΑΣ Υπεύθυνη :Ευαγγελία Αλεξανδρή, Γεωλόγος. Σηµαντικό µέρος της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Κατεύθυνση:«Τεχνικής Γεωλογία και Περιβαλλοντική Υδρογεωλογία»

Κατεύθυνση:«Τεχνικής Γεωλογία και Περιβαλλοντική Υδρογεωλογία» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ» Κατεύθυνση:«Τεχνικής Γεωλογία και Περιβαλλοντική Υδρογεωλογία» Βασικά εργαλεία Τεχνικής Γεωλογίας και Υδρογεωλογίας Επικ. Καθηγ. Μαρίνος

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 Τοπογραφικοί Χάρτες Περίγραμμα - Ορισμοί - Χαρακτηριστικά Στοιχεία - Ισοϋψείς Καμπύλες - Κατασκευή τοπογραφικής τομής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Αντικείµενο της παρούσας µεταπτυχιακής εργασίας είναι η διερεύνηση της επίδρασης των σηράγγων του Μετρό επί του υδρογεωλογικού καθεστώτος πριν και µετά την κατασκευή τους. Στα πλαίσια της, παρουσιάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ & ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΗΣ Σύνταξη κειμένου: Μαρία Ν. Δανιήλ, Αρχιτέκτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Με το σχεδιασµό επιφάνειας (Custom επιφάνεια) µπορούµε να σχεδιάσουµε επιφάνειες και αντικείµενα που δεν υπάρχουν στους καταλόγους του 1992. Τι µπορούµε να κάνουµε µε το σχεδιασµό

Διαβάστε περισσότερα

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο 6. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤ ΕΠΙΠΕ ΘΕΩΡΙΑ. Σύστηµα καθέτων ηµιαξόνων: Είναι δύο κάθετες µεταξύ τους ηµιευθείες µία οριζόντια και µία κατακόρυφη. Την οριζόντια την ονοµάζουµε και την λέµε ηµιάξονα των ή ηµιάξονα

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ»

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ 26 ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 10 Περιστροφική Κίνηση Περιεχόµενα Κεφαλαίου 10 Γωνιακές Ποσότητες Διανυσµατικός Χαρακτήρας των Γωνιακών Ποσοτήτων Σταθερή γωνιακή Επιτάχυνση Ροπή Δυναµική της Περιστροφικής Κίνησης, Ροπή και

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές μέθοδοι στρωματογραφίας

Βασικές μέθοδοι στρωματογραφίας Βασικές μέθοδοι στρωματογραφίας ΛΙΘΟΣΤΡΩΜΑΤΟΓΡΑΦΙΑ ΒΙΟΣΤΡΩΜΑΤΟΓΡΑΦΙΑ ΧΡΟΝΟΣΤΡΩΜΑΤΟΓΡΑΦΙΑ Μαγνητοστρωματογραφία Σεισμική στρωματογραφία ΣΥΣΧΕΤΙΣΜΟΣ Παραλληλισμός στρωμάτων από περιοχή σε περιοχή με στόχο

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή

Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας 1ο Φυλλάδιο - Οριζόντια Βολή Φυσική Β Λυκειου, Γενικής Παιδείας - Οριζόντια Βολή Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, M Sc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Εισαγωγικές Εννοιες - Α Λυκείου Στην Φυσική της Α Λυκείου κυριάρχησαν

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΞΑΜΗΝΟ: 7 ο Β. ΜΑΡΙΝΟΣ, Λέκτορας ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Β. ΧΡΗΣΤΑΡΑΣ, ΚΑΘ. Ενδεικτικό παράδειγµα θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΕΞΟΧΙΚΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΚΑΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΛΥΠΤΗ»

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΤΑΘΜΗ ΤΗΣ ΘΑΛΑΣΣΑΣ ΧΘΕΣ, ΣΗΜΕΡΑ, ΑΥΡΙΟ

Η ΣΤΑΘΜΗ ΤΗΣ ΘΑΛΑΣΣΑΣ ΧΘΕΣ, ΣΗΜΕΡΑ, ΑΥΡΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΣΠΗΛΑΙΟΛΟΠΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Σίνα 32, Αθήνα 106 72, τηλ.210-3617824, φαξ 210-3643476, e- mails: ellspe@otenet.gr & info@speleologicalsociety.gr website: www.speleologicalsociety.gr ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

προγραµµατίζοντας τον υπολογιστή

προγραµµατίζοντας τον υπολογιστή προγραµµατίζοντας τον υπολογιστή Οι εφαρµογές λογισµικού που µέχρι τώρα γνωρίσαµε, µας δίνουν τη δυνατότητα να εκτελέσουµε ένα συγκεκριµένο είδος εργασιών. Έτσι η Ζωγραφική µας προσφέρει τα κατάλληλα εργαλεία

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΠΛΗΜΜΥΡΙΚΗ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΔΥΤΙΚΟΥ ΛΕΚΑΝΟΠΕΔΙΟΥ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΠΛΗΜΜΥΡΙΚΗ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΔΥΤΙΚΟΥ ΛΕΚΑΝΟΠΕΔΙΟΥ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΑΝΤΙΠΛΗΜΜΥΡΙΚΗ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΔΥΤΙΚΟΥ ΛΕΚΑΝΟΠΕΔΙΟΥ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ Εισηγητής: Μ. Λιονής, Γεωλόγος Περιβαλλοντολόγος Μελετητής Με την συνεργασία της Κατερίνας Λιονή Γεωλόγου Μελετητή

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός της ισχύος συστήµατος λεπτών φακών σε επαφή

Υπολογισµός της ισχύος συστήµατος λεπτών φακών σε επαφή Ο6 Υπογισµός της ισχύος συστήµατος λεπτών φακών σε επαφή. Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα προσδιορίσουµε την εστιακή απόσταση που διαµορφώνει ένα σύστηµα λεπτών φακών που βρίσκονται σε επαφή µεταξύ τους και

Διαβάστε περισσότερα

της ΓΕΩΛΟΓΙΚΗΣ ΠΥΞΙΔΑΣ

της ΓΕΩΛΟΓΙΚΗΣ ΠΥΞΙΔΑΣ Οδηγίες Χρήσης της ΓΕΩΛΟΓΙΚΗΣ ΠΥΞΙΔΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ και ΓΕΩΛΟΓΙΚΩΝ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΗΣΕΩΝ Αθήνα 2010-1- Με τη γεωλογική πυξίδα μπορούμε να μετρήσουμε τα στοιχεία των επιπέδων των γεωλογικών επιφανειών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα

ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα ΠΕΙΡΑΜΑ I Απλές Μετρήσεις και Σφάλµατα Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα χρησιµοποιήσουµε βασικά όργανα του εργαστηρίου (διαστηµόµετρο, µικρόµετρο, χρονόµετρο) προκειµένου να: Να µετρήσουµε την πυκνότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER

ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ2 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Γ. Μήτσου Οκτώβριος 2007 Α. Θεωρία Εισαγωγή Η ταχύτητα του φωτός

Διαβάστε περισσότερα

Προοπτικές CCS στην Ελλάδα

Προοπτικές CCS στην Ελλάδα ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ «ΑΝΘΡΩΠΙΝΑ ΙΚΤΥΑ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗΣ-Β ΚΥΚΛΟΣ» ΕΡΓΟ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΙΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΟΜΠΩΝ ΙΟΞΕΙ ΙΟΥ ΤΟΥ ΑΝΘΡΑΚΑ ΥΝΑΤΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ»

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις Η Φύση της Επιστήµης Ενότητες Κεφαλαίου 1 Μοντέλα Θεωρίες και Νόµοι Μετρήσεις και αβεβαιότητα (σφάλµατα); Σηµαντικά ψηφία Μονάδες, Πρότυπα, και το Διεθνές Σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια 8 Κρούσεις Στην µηχανική µε τον όρο κρούση εννοούµε τη σύγκρουση δύο σωµάτων που κινούνται το ένα σχετικά µε το άλλο.το ϕαινόµενο της κρούσης έχει δύο χαρακτηριστικά : ˆ Εχει πολύ µικρή χρονική διάρκεια.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε κίνηση ενός κινητού; 2. Τι ονομάζουμε τροχιά ενός κινητού; 3. Τι ονομάζουμε υλικό σημείο; 4. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access

Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access Μάθηµα 1 Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access Τι είναι οι βάσεις δεδοµένων Μία βάση δεδοµένων (Β..) είναι µία οργανωµένη συλλογή πληροφοριών, οι οποίες είναι αποθηκευµένες σε κάποιο αποθηκευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένας ποδηλάτης διαγράφει την περιφέρεια ενός κύκλου (OR). Το διάστηµα που έχει διανύσει είναι ίσο µε : α) 2πR β) πr. γ) πr 2.

1. Ένας ποδηλάτης διαγράφει την περιφέρεια ενός κύκλου (OR). Το διάστηµα που έχει διανύσει είναι ίσο µε : α) 2πR β) πr. γ) πr 2. 1. Ένας ποδηλάτης διαγράφει την περιφέρεια ενός κύκλου (OR). Το διάστηµα που έχει διανύσει είναι ίσο µε : α) 2πR β) πr γ) πr 2 δ) καµία από τις παραπάνω τιµές Το µέτρο της µετατόπισης που έχει υποστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ- Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ- ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 0 Μαΐου 05 Ώρα : 0:0 - :00 ΘΕΜΑ 0 (µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα

Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Prost S: Οδοποιΐα Σιδηροδρομική Υδραυλικά έργα Χαρακτηριστικά Οριζοντιογραφία Στο γραφικό περιβάλλον της εφαρμογής είναι δυνατή η σχεδίαση οριζοντιογραφιών δρόμων, σιδηροδρομικών γραμμών, ανοικτών και

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας

Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας Κεφάλαιο 8 Διατήρηση της Ενέργειας ΔΥΝΑΜΗ ΕΡΓΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑ µηχανική, χηµική, θερµότητα, βαρυτική, ηλεκτρική, µαγνητική, πυρηνική, ραδιοενέργεια, τριβής, κινητική, δυναµική Περιεχόµενα Κεφαλαίου 8 Συντηρητικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

2. ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΤΗΣ Υ ΡΟΣΦΑΙΡΑΣ

2. ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΤΗΣ Υ ΡΟΣΦΑΙΡΑΣ 2. ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ ΤΗΣ Υ ΡΟΣΦΑΙΡΑΣ 2.1 Ωκεανοί και Θάλασσες. Σύµφωνα µε τη ιεθνή Υδρογραφική Υπηρεσία (International Hydrographic Bureau, 1953) ως το 1999 θεωρούντο µόνο τρεις ωκεανοί: Ο Ατλαντικός, ο Ειρηνικός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ - ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ ύο επιφάνειες βαθµών µ και ν αντιστοίχως, τέµνονται κατά καµπύλη βαθµού (µ. ν). Η αλληλοτοµία, εποµένως, δύο επιφανειών 2 ου βαθµού,

Διαβάστε περισσότερα

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ασκήσεις με δοκό που ισορροπεί, και το ένα άκρο της συνδέεται με άρθρωση Έστω ότι έχουμε ομογενή δοκό η οποία συνδέεται στο ένα άκρο της με άρθρωση.

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. Α/Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΦΩΤ. ΠΕΡΙΟΧΗ 1 Π1 Γενική άποψη του ΝΑ/κού τμήματος της περιοχής Φ1

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. Α/Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΦΩΤ. ΠΕΡΙΟΧΗ 1 Π1 Γενική άποψη του ΝΑ/κού τμήματος της περιοχής Φ1 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ α) Παρατηρήσεις ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α/Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΦΩΤ. ΠΕΡΙΟΧΗ 1 Π1 Γενική άποψη του ΝΑ/κού τμήματος της περιοχής Φ1 Π2 ρόμος που συμπίπτει με γραμμή απορροής ρέματος Φ2 Π3 Μπάζα από οικοδομικά υλικά,

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων &

η αποδοτική κατανοµή των πόρων αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα Οικονοµία των µεταφορών Η ανεπάρκεια των πόρων & 5 η αποδοτική κατανοµή των πόρων Οικονοµική αποδοτικότητα: Η αποτελεί θεµελιώδες πρόβληµα σε κάθε σύγχρονη οικονοµία. Το πρόβληµα της αποδοτικής κατανοµής των πόρων µπορεί να εκφρασθεί µε 4 βασικά ερωτήµατα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Θεωρητική εισαγωγή

1.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ NOT, AND, NAND Σκοπός: Να εξοικειωθούν οι φοιτητές µε τα ολοκληρωµένα κυκλώµατα της σειράς 7400 για τη σχεδίαση και υλοποίηση απλών λογικών συναρτήσεων.

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. 1. Τι είναι ο ηλεκτρισµός, τι ονοµάζουµε ηλέκτριση των σωµάτων, ποια σώµατα ονοµάζονται ηλεκτρισµένα;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. 1. Τι είναι ο ηλεκτρισµός, τι ονοµάζουµε ηλέκτριση των σωµάτων, ποια σώµατα ονοµάζονται ηλεκτρισµένα; ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ. Τι είναι ο ηλεκτρισµός, τι ονοµάζουµε ηλέκτριση των σωµάτων, ποια σώµατα ονοµάζονται ηλεκτρισµένα; Ηλεκτρισµός ονοµάζεται η ιδιότητα που εµφανίζουν ορισµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟ ΙΑΓΡΑΦΩΝ ΣΗΡΑΓΓΩΝ Α

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟ ΙΑΓΡΑΦΩΝ ΣΗΡΑΓΓΩΝ Α ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟ ΙΑΓΡΑΦΩΝ ΣΗΡΑΓΓΩΝ Α «Κάθετος Άξονας Εγνατίας Οδού Σιάτιστα Κρυσταλλοπηγή: Τμήμα Κορομηλιά Κρυσταλλοπηγή από Χ.Θ. 0+000 έως Χ.Θ. 16+200 (45.4 45.5)» 120.540.000 ευρώ Ιούλιος 2011 K:\A45404550\cons\tefxi\MAPS.doc

Διαβάστε περισσότερα

f = c p + 2 (1) f = 3 1 + 2 = 4 (2) x A + x B + x C = 1 (3) x A + x B + x Γ = 1 3-1

f = c p + 2 (1) f = 3 1 + 2 = 4 (2) x A + x B + x C = 1 (3) x A + x B + x Γ = 1 3-1 ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΦΑΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΛΩΝ ΣΥΣΤΑΤΙΚΩΝ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΙΑΛΥΤΟΤΗΤΑ Θέµα ασκήσεως Προσδιορισµός καµπύλης διαλυτότητας σε διάγραµµα φάσεων συστήµατος τριών υγρών συστατικών που το ένα ζεύγος παρουσιάζει περιορισµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ TΡΙΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ: «ΧΩΡΟΣ ΕΚΘΕΣΗΣ ΚΕΡΑΜΙΚΩΝ ΕΙΔΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Στι ερωτήσει - 4 να γράψετε στο τετράδιό σα τον αριθµό των ερώτηση και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Τροχό κυλίεται πάνω σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα δυνάµεων

Παραδείγµατα δυνάµεων ΥΝΑΜΕΙΣ Παραδείγµατα Ορισµός της δύναµης Χαρακτηριστικά της δύναµης Μάζα - Βάρος Μέτρηση δύναµης ράση - αντίδραση Μέτρηση δύναµης Σύνθεση - ανάλυση δυνάµεων Ισορροπία δυνάµεων 1 Ανύψωση βαρών Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ.

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ. 2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ. 2.2.21. σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Δύο σύγχρονες πηγές Ο 1 και Ο 2 παράγουν αρμονικά κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=2m/s κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα