И Н Ж Е Н Е Р Л І К Г Р А Ф И К А

Transcript

1 Ə.К. БƏЙДІБЕКОВ И Н Ж Е Н Е Р Л І К Г Р А Ф И К А сандық белгілері бар проекцияда (Оқу құралы) Алматы "Білім" 2012

2 УДК 744 ББК Б 32 Баспаға Қазақ мемлекеттік сəулет-құрылыс академиясының құрылыс жəне сəулет мамандықтары бойынша оқу-əдістемелік Кеңесі ( 4 хаттама, ж.) жəне Л.Н.Гумилев атын дағы Еуразия ұлттық университетінің ғылыми-əдістемелік Кеңесі ұсынған Пікір жазғандар: - техника ғылымдарының докторы, профессор Баймахан Нұрмаханұлы Нұрмаханов - техника ғылымдарының кандидаты, доцент Қамидолла Рафикұлы Фазылов Б 32 Бəйдібеков Ə.К. Инженерлік графика (сандық белгілері бар проекцияда), (Оқу құралы) - Алматы: "Білім", бет. Б ISBN Қазақстан Республикасының мемлекеттік жалпыға білім беру стандартына сай жазылған бұл оқу құралының негізгі мақсаты студенттерге (білімгерлерге) сызбаны оңай əрі түсінікті салу жəне оқу жолдарын, сызбаны сызудың қандай əдістері бар екенін, сызба əдістерін пайдалана отырып, қандай есептер шығаруға болатынын, сонымен қатар сызбалардың көмегімен инженерлік есептерді шешу теориясын оқыту. Оқу құралы құрылыс, жер өңдеу, жол құрылысы жəне басқа да техникалық мамандықтарда оқитын жоғарғы оқу орындарының студенттері мен оқытушыларына арналған (05)-12 УДК 744 ББК SBN Бəйдібеков Ə.К., 2012 "Білім" баспасы, 2012

3 Мазмұны Кіріспе...8 І-тарау ПРОЕКЦИЯЛАУ ƏДІСТЕРІ 1.1 Орталықтан (центрлік) проекциялау əдісі Параллель проекциялау əдісі Ширектер жəне октанттар Бақылау сұрақтары...16 Жаттығу есептері...17 ІІ-тарау АКСОНОМЕТРИЯЛЫҚ ПРОЕКЦИЯЛАР 2.1 Аксонометриялық проекциялардың қысқаша түсініктемесі Аксонометриялық проекциялардың стандартты түрлері Тікбұрышты изометрия Шеңбердің тікбұрышты изометриясы Тікбұрышты диметрия Шеңбердің тікбұрышты диметриясы Қиғашбұрышты фронталь изометрия мен диметрия Қиғашбұрышты горизонталь изометрия Шеңбердің изометриялық проекциясын салу Шеңбердің диметриялық проекциясын салу...29 Бақылау сұрақтары...31 Жаттығу есептері

4 III-тарау НҮКТЕНІҢ, ТҮЗУ СЫЗЫҚТЫҢ ЖƏНЕ ЖАЗЫҚТЫҚТЫҢ САНДЫҚ БЕЛГІЛЕРІ БАР ПРОЕКЦИЯЛАРЫ 3.1 Нүктенің проекциясы Түзу сызықтың проекциясы Жалпы жағдайда орналасқан түзулер Дербес жағдайда орналасқан түзулер Түзу сызықтың ізі Жазықтықтың проекциясы Жалпы жағдайда орналасқан жазықтықтар Дербес жағдайда орналасқан жазықтықтар Жазықтықтың деңгей сызығы Жазықтықтың ізі...45 Бақылау сұрақтары...47 Жаттығу есептері...48 IV-тарау ПОЗИЦИЯЛЫҚ ЖƏНЕ МЕТРИКАЛЫҚ ЕСЕПТЕР 4.1 Позициялық есептер Нүкте мен түзу сызықтың өзара орналасулары Түзу сызықтардың өзара орналасулары Екі жазықтықтың өзара орналасуы Түзу мен жазықтықтың өзара орналасулары Метрикалық есептер Түзу сызықтың нақты шамасы мен жазықтыққа жасайтын бұрышы Нүкте мен жазықтықтың арақашықтығы...55 Бақылау сұрақтары...57 Жаттығу есептері...58 V-тарау СЫЗБАНЫ ТҮРЛЕНДІРУ ТƏСІЛДЕРІ 5.1 Проекция жазықтығын алмастыру тəсілі Түзу сызықтың нақты шамасы мен проекция жазықтығына жасаған бұрышын анықтау Нүкте мен жазықтықтың арақашықтығын анықтау

5 5.1.3 Екі жазықтықтың арасындағы бұрыштық шаманы анықтау Айқасып жатқан екі түзудің арақашықтығын анықтау Айналдыру тəсілі Жазықтықтың нақты шамасын деңгей түзуінің бойында айналдыру тəсілімен анықтау Жазықтықтың нақты шамасын беттестіру тəсілімен анықтау...67 Бақылау сұрақтары...69 Жаттығу есептері...70 VІ-тарау КӨПЖАҚТЫ БЕТТЕР 6.1 Жай көпжақты беттер Призма бетіндегі нүктенің орналасуы Призма мен түзу сызықтың қиылысуы Пирамида бетіндегі нүктенің орналасуы Пирамида мен түзу сызықтың қиылысуы Призма мен пирамида беттерінің жазықтықпен қиылысуы Көпжақты беттердің өзара қиылысуы...81 Бақылау сұрақтары...84 Жаттығу есептері...84 VІІ-тарау ҚИСЫҚ СЫЗЫҚТАР 7.1 Жазықтық қисық сызықтар Екінші ретті қисық сызықтар Трансценденттік қисық сызықтар Кеңістік қисық сызықтары...92 Бақылау сұрақтары...94 Жаттығу есептері...94 VІІІ-тарау БЕТТЕРДІҢ ПРОЕКЦИЯЛАРЫ 8.1 Айналмалы беттер Айналмалы конус беті Айналмалы цилиндр беті Құлама бет

6 8.3 Топографиялық беттер Топографиялық беттің жазықтықпен қиылысуы Бақылау сұрақтары Жаттығу есептері ІХ-тарау САНДЫҚ БЕЛГІЛЕРІ БАР ПРОЕКЦИЯДАҒЫ КӨЛЕҢКЕЛЕР 9.1 Түзу сызықтың көлеңкесі Дөңгелек конус көлеңкесі Бақылау сұрақтары Жаттығу есептері Х-тарау СЫЗБАЛАРДЫ БЕЗЕНДІРУ 10.1 Пішімдер Масштабтар Сызба сызықтары Сызба қаріптері Сызба өлшемдерді түсіру Сызбаның негізгі жазуы Бақылау сұрақтары ХІ- тарау ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ САЛУЛАР 11.1 Шеңберді тең бөліктерге бөлу Шеңберді тең үш бөлікке бөлу Шеңберді тең төрт бөлікке бөлу Шеңберді тең бес бөлікке бөлу Шеңберді тең алты бөлікке бөлу Шеңберді тең сегіз бөлікке бөлу Шеңберді тең он бөлікке бөлу Шеңберді тең он екі бөлікке бөлу Түйіндесу Параллель сызықтардың түйіндесуі Өзара перпендикуляр сызықтардың түйіндесуі Өзара қиылысатын сызықтардың түйіндесуі...133

7 Шеңберлердің түйіндесуі Екі шеңбердің ішкі түйіндесуі Екі шеңбердің сыртқы түйіндесуі Екі шеңбердің аралас түйіндесуі Шеңбер мен түзу сызықтың түйіндесуі Шеңбердің сыртқы түзумен түйіндесуі Шеңбердің ішкі түзумен түйіндесуі Овал сызығын салу Бақылау сұрақтары Жаттығу есептері Қолданылған əдебиеттер

8 Кіріспе Қазіргі кезде егеменді еліміздің аяғынан тік тұрып кетуі жəне дүние жүзіндегі дамыған алдыңғы қатарлы елдер санатына қосылуы үшін техникалық мамандар даярлаудың маңызы зор жəне басты орында тұрған мақсаттардың бірі болып табылады. Сол сияқты ата-бабаларымыз аманат еткен ұлан-байтақ жеріміздегі қазба байлықтарды игеру, еліміздегі халықаралық жəне қала аралық автомобиль жолдарын салу, жаңа қалалар салу мен ауыл шаруашылығын дамыту мақсатымен инженер мамандарын дайындауда инженерлік графика пəнінің алатын орны ерекше. Мектеп қабырғасында жүргізілетін сызу пəнін халықаралық ортақ, интернационалдық техника тілі деп есептесе болады. Себебі, сызбаны сызу жолдары дүние жүзіндегі барлық елдер үшін бірдей. Сызбаны орындау кезінде барлық елдер үшін белгілі стандарт бойынша тоғыз сызық түрі сол техника тілінің əріптері ретінде қолданылады. Ал, орта мектептегі геометрия пəнін көптеген əдебиеттерде барлық ғылымның анасы деп айтып жүр. Себебі, геометрия пəнінен барлық ғылымдар бөлініп шыққан. Геометрия ежелгі гректің (гео жер, метрия - өлшем) жер-өлшем деген сөзінен шыққан. Əл- Машанидың сөзімен айтқанда: «Жер өлшем деген сөзді кеңірек мағынада алатын болсақ, "Ғаламның өлшеуіші жер" деген мағынаға келеді. Осы мағынаның дұрыс екенін қазіргі ғылым дəлелдеп отыр. Ол ғана емес, Жер Адамның мекені, Ғаламның өлшеуіші Адам деген...». Белгілі Құран Кəрімді аударушы Халифа Алтай өз аудармасында осы 40- шы сүренің 64-ші аятын былай деп аударады: Ол Алла сендерге жерді тұрақ, көкті күмбез қылды. Осы аталып кеткен екі пəнді француздың атақты ғалымы жəне мемлекет қайраткері Гаспар Монж ( ) өзара байланыстыра отырып, өзіне дейінгі кескіндерді салу туралы мағлұматтарды жинақтап, белгілі бір жүйеге келтіріп, алғаш рет «Сызба геометрия» атты еңбегін 1795 жылы жазып, баспадан шығарды. Міне, осы мезеттен бастап сызба геометрия жеке ғылым ретінде қалыптасты. Сызба геометрия пəні сызбаны оңай жəне түсінікті салу жолын, сызбаны сызудың əртүрлі əдістерін, сызбаны оқу жолын жəне сызба əдістерін пайдалана отырып, есептер шығару жолын үйрететін ғылым. 8

9 Сонымен қатар, сызба геометрия сызбалардың көмегімен инженерлік есептерді шешу теориясын оқытатын пəн болып саналады. Сызба геометрия төмендегідей бөлімдерден тұрады: проекциялау əдістері; аксонометриялық проекциялар; нүкте мен түзу сызық проекциялары; қисық сызық пен жазықтық проекциялары; беттер проекциялары; тұрғылықты (позициялық) жəне өлшем (метрикалық) есептері; сызбаны түрлендіру тəсілдері; көлеңкелер. Осы жоғарыдағы бөлімдерді жете түсінген студент кеңістікте ойлау қабілетін өрістете отырып, онда орналасқан нəрсенің кескіндерін салу, сызбадағы кескіндері арқылы жаңа бір нəрсені құрастыру жəне сызбада түрлі есептерді шығару мəселелерін толық меңгереді. Кен орнының құрылымын, темір жəне автомобиль жолдарының құрылыстары мен суландыру жұмыстарының геодезиялық барлауларының сызбаларын салуда жер бетінің құрылысын кескіндеу үшін, екі проекцияны пайдалану қолайсыз. Себебі, ғимараттың көрнекілігі сызбаларға қойылатын кейбір талаптарды қанағаттандыра алмайды. Сондықтан тік бұрышты проекция əдісінің дербес түрі сандық белгілері бар проекцияларды қолдану өте қолайлы болады. Бұл əдісті оқып үйрену үшін жалпы сызба геометрия заңдарын білу қажет, өйткені бұл əдіспен есептерді шығару жолдары тікбұрышты (ортоганаль) проекция əдісіндегі жолдармен шешіледі. Қазіргі кезде инженерлік графика пəні осы жоғарыда аталып кеткен сызба геометрия пəні мен машина жасау жəне құрылыс сызбаларының теорияларын зерттейтін ғылым. Инженерлік графика теорияларының жетістіктері техника мен ғылымның əртүрлі салаларында кеңінен қолданылуда. Сондықтан жер жұмыстарының сызбаларын сауатты орындау, инженерлік ғимараттарды жобалау жəне тұрғызу үшін, жер бетінде салынатын ғимараттарды сызбада кескіндеу теориясының негіздерін инженер осы инженерлік графика теориясы арқылы біліп, үйренеді. Ұсынылып отырған оқу құралында сызба геометрия тақырыптарынан басқа, инженерлік графика саласынан сызбаны безендіру мен геометриялық салу тақырыптары қамтылған. Бұл сызбаны орындауға арналған мемлекеттік стандарттар туралы кітаптың жоқтығы мен мектепте сызу пəнінің өз дəрежесінде өтпеуіне байланысты енгізіліп отыр. Сонымен қатар, бұл еңбек сызба геометрия пəнінде сандық белгілері бар проекциялар қолданылып жазылған қазақ тіліндегі алғашқы оқу құралы. 9

10 Бірінші тарау ПРОЕКЦИЯЛАУ ӘДІСТЕРІ Сызба геомерияның негізін проекциялау əдістері құрайды. Өйткені, кеңістіктегі кез келген нəрсенің кескінін салу үшін проекциялау əдістерін білу қажет. Бұл проекциялау əдістері кескінделу жолдарына байланысты екі түрге бөлінеді: орталықтан (центрлік) жəне параллель проекциялау əдістері. Төменде осы проекциялау əдістерінің пайда болу жолдарын қарастырамыз. 1.1 Орталықтан (центрлік) проекциялау əдісі Орталықтан проекциялау əдісін салу үшін, кеңістікте орналасқан кескіндеу жазықтығы мен кескіндеу орталығы S нүктесін жəне кеңістікте орналасқан геометриялық фигураны (денені) аламыз (1-сурет). Мысал ретінде кеңістікте орналасқан АВ кесіндісі мен кескінделуші жазықтығын жəне кескіндеу S нүктесін алайық. Осы S кескіндеу нүктесінен кеңістік те орналасқан АВ кесіндісінің А жəне В төбелері арқылы өтетін кескінделуші сəулелер жібереміз. 1-суретте көрсетілгендей, бұл сəу лелер (s) кескінделуші жазықтығын екі А 0 жəне В 0 нүк телерінде қиып өтеді. Осы А 0 жəне В 0 нүктелерін өзара қоссақ, кеңістіктегі АВ кесіндісінің кескінделуші жазықтығындағы бір нүктеден (орталықтан) тараған проекциясы шығады. Кескінделуші сəулелер бір нүк те ден шыққан немесе тараған болса, онда мұндай проекция тəсілін бір нүктеден немесе орталықтан (центрлік) проекциялау əдісі дейді. A 0 A s S П 1 0 s B B 0 10

11 1.2 Параллель проекциялау əдісі Параллель проекциялау əді сін салу үшін келесі мысалды қарас тырайық. Кеңістікте орналасқан АВ кесіндісі мен кескінделуші жазықтығы берілсін. Осы кеңіс тік те орналасқан АВ кесіндісінің А жəне В төбелері арқылы өзара параллель өтетін кескінделуші сəу лелер жүргізейік. Бұл сəулелер кескінделуші жазықтығын екі (А 0 жəне В 0 ) нүктеде қиып өтеді. Осы А 0 жəне В 0 нүктелерін өзара қоссақ, онда біз кеңістікте орналасқан АВ кесіндісінің кескін делуші s жазықтығындағы проек циясын табамыз. Егер кескінделуші сəулелер (s) өзара параллель болса, онда мұндай проекция əдісін параллель проекциялау əдісі дейді (2-сурет). Параллель проекциялау əдісі кескінделуші жазықтығында сəуле лердің кескінделулеріне бай ланысты екі түрге бөлінеді. Егер кескінделуші сəулелер жазықтығына сүйір немесе доғал бұрышпен кескінделсе, онда пара л - лель проекциялау əдісін қиғашбұрышты параллель проекциялау əдісі дейді (2-сурет). Ал егер кескінделуші сəулелер жазықтығына тік бұрышпен кес кінделсе, онда параллель прое к циялау əдісін тікбұрышты пара ллель проекциялау əдісі дейді (3-сурет). Тікбұрышты параллель проек циялау əдісінің дербес түрі сан дық белгілері бар проекциялар əдісі (4-сурет). Егер кеңістікте орналасқан нəрсенің (заттың) горизонталь (көлденең) не месе нөлдік деңгейлі жазықтығына ( ) тікбұрышты проекциялау əдісімен кескінделген кескіні сан арқылы белгіленген болса, онда кескінделу əдісі сандық белгілері бар проекциялар деп аталады. Бұл проекциялау əдісінде горизонталь (көлденең) немесе нөлдік деңгейлі жазықтығында орналасқан геометриялық элементтің кескінінің жанына оның осы жазықтық пен A 0 A s A A 0 B 0 П 1 0 П 1 0 B B s B 0 s 11

12 кеңістікте орналасқан элементтің арақашықтығын, яғни оның биіктігін көрсететін санды жазып қояды. Мысал ретінде, 4-суретте s B s көрсетілгендей кеңістікте орналасқан АВ кесіндісін аламыз. A Кесіндінің А жəне В төбелерінен көлденең проекция жазықтығына перпендикуляр сəулелер B 5 түсіреміз. Осы сəулелер көлденең A 3 П 0 проекция жазықтығын қиып өтеді. Табылған нүктелерді латын ның бас əрпімен белгілеп, əріптердің астыңғы жағына санмен осы қиылысқан нүктелер мен түзу төбелерінің арақашықтығын жазып қояды. Егер табылған қиылысу нүктелерін өзара қоссақ, онда кеңістікте орналасқан АВ түзу сызығының көлденең проекция жазықтығындағы сандық белгілері бар проекциясы болып табылады. 1.3 Ширектер жəне октанттар Тікбұрышты параллель проекциялау əдісін пайдалана отырып, кеңістікте орналасқан үш нүктенің проекциясын салып көрсетелік. Ол үшін проекция жазықтықтарын анықтайық. Жер бетіне параллель орналасқан жазықтықты алайық (5-сурет). Бұл жазықтықты П 1 əрпімен белгілеп, оны көлденең (горизонталь) проекция жазықтығы деп атаймыз. 5-суретте бұл проекция жазықтығы сары түспен боялған. Осы проекция жазықтығына тікше (перпендикуляр) орналасқан екінші проекция жазықтығын алайық. Бұл проекция жазықтығын қарсы алды (фронталь) проекция жазықтығы деп, оны П 2 əрпімен белгілейміз. Суретте бұл проекция жазықтығы көк түспен боялған. Осы өзара тікше (перпендикуляр) орналасқан екі проекция жазықтықтары бір түзудің бойында қиылысады. Бұл қиылысу сызығын абсцисса осі деп, латынның х əрпімен белгілейміз. Осьтің оң жағы абсцисса осінің басы болып саналады, оны латынның О əрпімен белгілейміз. 5-cуретте көрсетілгендей П 1 жазықтығының алдыңғы жағы оң таңбалы ордината осі деп, оны латынның у əрпімен белгілейміз. Ал қарама-қарсы П 2 жазықтығының жоғарғы жағы оң таңбалы аппликата осі болады. Оны латынның z əрпімен белгілейміз. 12

13 II П 2 A z А 2 О A I C x C 2 A В x х А 1 A y В у Cy III В z C В 1 B 2 C 1 B П 1 IV Сонымен осы өзара тікше орналасқан проекция жазықтықтары біздің үш өлшемді кеңістігімізді төрт бөлікке бөледі. Бұл бөліктерді ширектер деп атайды. Сондықтан 5-суретте бұл ширектер рим сандарымен белгіленген. Осы ширектерде нүктелердің бірнеше проекциялары көрсетілген. Мұндағы А нүктесі бірінші ширекте, ал В нүктесі төртінші ширекте орналасқан. С нүктесі П 1 проекция жазықтығының бойында жатады. Егер осы өзара тікше (перпендикуляр) орналасқан екі проекция жазықтықтарына үшінші проекция жазықтығын перпендикуляр орналастырсақ, онда бұл үш проекция жазықтығы үшөлшемді кеңістікті сегіз бөлікке бөледі. Бұл бөлінген бөліктерді октанттар деп атап, рим сандарымен белгілейді (6-сурет). Октант ежелгі гректің сегіз деген сөзі. Үшінші проекция жазықтығын қаптал (профиль) жазықтығы дейді. Қаптал жазықтығын П 3 əрпімен белгілейміз. 6-суретте бұл жазықтық жасыл түспен боялған. Бұл жазықтық алғашқы екі жазықтықпен екі қиылысу сызығымен қиылысады. П 1 жəне П 3 проекция жазықтықтарында бұл қиылысу түзуі ордината осі болады. Ал, П 2 жəне П 3 проекция жазықтықтары өзара қиылысып, аппликата осін береді. 13

14 VI II y П 2 I А 2 A z А 3 П 3 x V VII О C x C 2 В х A x А 1 A y В у C y В 1 В z III В 2 C 1 П 1 В 3 VIII z B IV Егер қаптал жəне қарама-қарсы проекция жазықтарын 6-суретте көрсетілгендей етіп бұрып, өзара беттестірсек, онда беттескен бір ғана проекция жазықтығын аламыз (7-сурет). Енді кеңістікте орналасқан нəрсенің жазық кескінін алу үшін, осы беттескен бір ғана жазықтық сызбасын саламыз. Бұл жазық кескінді эпюр немесе сызба деп атайды. Эпюрде кеңістікте орналасқан А мен В нүктелерінің эпюрлері мен П 1 проекция жазықтығының бойында жатқан С нүктесінің эпюрі көрсетілген. Мысалы, 7-суретте горизонталь проекция жазықтығы қоңыр түспен, фронталь проекция жазықтығы сары түспен жəне профиль проекция жазықтығы жасыл түспен берілген. Егер нүктенің горизонталь проекциясы А 1 қоңыр түсті жазықтықта, фронталь проекциясы А 2 сары түсті жазықтықта, ал профиль проекциясы А 3 жасыл түсті жазықтықта орналасса, онда бұл нүкте бірінші ширекте 14

15 2 x у z П 2 П 3 A 2 A 3 х O у у C 2 B 2 A C 3 х 6 B 3 C 1 B 1 8 П 1 z 10 y немесе бірінші октантта орналасқан нүкте болғаны (себебі бұл нүктенің координаталардағы таңбалары оң болғаны) (7-сурет). Егер осы заңдылық бұзылса, онда ол нүктенің таңбаларының біреуі немесе екеуі теріс таңбалы болғаны. Төменде 1-кестеде октанттардағы орналасқан нүктелердің координаталық таңбалары көрсетілген. Осы таңбаларға қарап, нүктенің қай октантта орналасқанын жеңіл анықтай аламыз. Октанттар таңбалары 1-кесте Кординаталар Октанттар I I III IV V VI VII VIII 2 p q + + y х у z

16 Бақылау сұрақтары 1. Сызбаны проекциялау əдістері дегеніміз не? 2. Орталықтан (центрлік) проекциялау əдісі дегеніміз не? 3. Орталық нүктесі дегеніміз не? 4. Кескінделуші жазықтық дегеніміз не? 5. Кескінделуші сəулелер дегеніміз не? 6. Параллель проекциялау əдісі дегеніміз не? 7. Қиғашбұрышты параллель проекциялау əдісі дегеніміз не? 8. Тікбұрышты параллель проекциялау əдісі дегеніміз не? 9. Сандық белгілері бар проекциялау əдісі дегеніміз не? 10. Ширек дегеніміз не? 11. Ширектер нешеу болады? 12. Көлденең (горизонталь) проекция жазықтығы дегеніміз не? 13. Қарсы алды (фронталь) проекция жазықтығы дегеніміз не? 14. Октант дегеніміз не? 15. Октанттар нешеу болады? 16. Қаптал (профиль) проекция жазықтығы дегеніміз не? 17. Эпюр дегеніміз не? 18. Нүктенің эпюрі дегеніміз не? 19. Октанттарды қандай сандармен белгілейді? 16

17 Жаттығу есептері 1. Кеңістікте орналасқан АВС үшбұрышын орталықтан проекциялау əдісі арқылы салып көрсетіңіз. 2. Кеңістікте орналасқан АВС үшбұрышын параллель проекциялау əдісі арқылы салып көрсетіңіз. 3. Кеңістікте орналасқан АВС үшбұрышын сандық белгілері бар проекциялау əдісі арқылы салып көрсетіңіз. 4. А(10;20;40) жəне В(50;-10;5) нүктелері қай ширектерде орналасқанын анықтаңыз. 5. А(20;-20;30) жəне В(50;20;25) нүктелері қай октанттарда орналасқанын анықтаңыз. 6. А(10;20;40) жəне В(50;-10;5) нүктелерін салып көрсетіңіз. 7. А(20;20;40) жəне В(50;-10;15) нүктелерін сандық белгілері бар проекцияда салып көрсетіңіз. 8. А(10;20;40) жəне В(50;-10;5) нүктелерінің проекцияларын қаптал (профиль) проекция жазықтығында салып көрсетіңіз. 17

18 Екінші тарау АКСОНОМЕТРИЯЛЫҚ ПРОЕКЦИЯЛАР 2.1 Аксонометриялық проекциялардың қысқаша түсініктемесі Аксонометриялық проекциялар көрнекі кескіндер қатарына жатады. Бұл көрнекі кескін параллель проекциялау əдісінің көмегімен тұрғызылады. Аксонометриялық проекциялардың тамаша қасиеті - үшөлшемді кескінді екі өлшемге, яғни сызбаға айналдырады. Аксонометрия ежелгі гректің «оське өлшеу» деген сөзінен шыққан. Сонымен, кез келген кеңістікте орналасқан нəрсенің аксонометриялық проекциясын салу үшін, бірінші қосымша бір (П 1 ) жазықтығына тікбұрышты декарттық осьтер жүйесімен кескіндеп, екінші осы кескінді параллель проекциялау əдісінің көмегімен аксонометриялық проекция (П / ) жазықтығына кескіндейді. Аксонометриялық проекция жазықтығындағы бір нүктеден өтетін кез келген үш түзу сызық тікбұрышты координаталар жүйесінің проекциясы болады. Мысал ретінде кеңістікте орналасқан кез келген бір А нүктеcін алайық (8-сурет). Бұл нүкте тікбұрышты координаталар жүйесінде орналасқан. Параллель проекциялау əдісі бойынша s бағытымен А нүктесі мен тікбұрышты декарттық координаталар жүйесі аксонометриялық проекция (П / ) жазықтығына кескінделеді. Осы (П / ) проекция жазықтығындағы А / нүктесі кеңістікте орналасқан А нүктесінің аксонометриялық проекциясы болады. Аксонометрия проекциясының масштабын анықтау үшін, кеңістікте орналасқан тікбұрышты координаталар жүйесіне (Охуz) координаталар жүйесінің бас нүктесінен үш е х, е у, жəне е z кесінділерін өлшеп саламыз. Осы кесінділердің аксонометриялық проекциялары ( e, e, e ) / x аксонометрия масштабы деп аталады. Бұл кесінділердің айырмашылығы аксономерия проекцияларының бұрмалану көрсеткіштері болады. Бұрмалану көрсеткіштері əр координата осінде əртүрлі болуы мүмкін. Аксонометрия проекциясындағы абсцисса осі бойындағы бұрмалану көрсеткішін латынның p əрпімен белгілейміз / y / z 18

19 / A x / x A / e x / z / e z / A 1 П / O / e y / y x s A x s A A 1 e x O z e z e y y / ex ( p = ). ex Ал ордината осі бойындағы бұрмалану көрсеткішін латынның q əрпімен белгілейміз / e y ( q = ). e y Аксонометриядағы аппликатта осінің бұрмалану көрсеткішін латынның r əрпімен белгілейміз / ez ( r = ). ez Бұрмалану көрсеткіштеріне байланысты аксонометриялық проекциялар үш түрге бөлінеді. Егер бұрмалану көрсеткіштері барлық осьтерде өзара тең ( p = q = r ) болса, онда мұндай аксонометриялық проекция изометрия деп аталады. Изометрия ежелгі грек тілінен аударғанда «тең өлшем» деген мағынаны береді. Егер бұрмалау көрсеткіштері екі осьте ғана өзара тең ( p = r q ) болса, онда мұндай аксонометриялық проекцияны диметрия дейді. Аудармасы «екі өлшем тең» деген мағынада. Егер бұрмалау көрсеткіштері барлық осьтерде əртүрлі ( p q r ) болса, онда мұндай аксонометриялық проекцияны триметрия деп атайды. 19

20 Аксонометрия проекциялары проекциялау бағыттарына байланысты екі топқа бөлінеді. Егер проекция жазықтығына проекциялау бағыты тік бұрышпен (s=90 0 ) бағытталса, онда аксонометриялық проекция тікбұрышты аксонометрия деп аталады. Ал егер проекция жазықтығына проекциялау бағыты сүйір немесе доғал бұрышпен (s 90 0 ) бағытталса, онда аксонометриялық проекция қиғашбұрышты аксонометрия деп аталады. Проекциялау бағыттары мен бұрмалану көрсеткіштері өзара байланысты, бұл тұжырымды төмендегі формуламен дəлелдеуге болады: px + q y + rz = 2 + ctgϕ. (1) Егер проекциялау бағыты тікбұрышты болса, яғни осы формуладағы ϕ мəні 90 0 бұрыш болса, онда формула p x + qy + rz = 2 (2) осындай түрге өзгереді. Жалпы бұрмалану көрсеткіштерінің мəнін жуық шамамен бүтін сан ретінде береді. Əр аксонометриялық проекциялар үшін бұл сандар əртүрлі болады. Олардың мəндерін төменгі бөліктерде қарастырамыз. 2.2 Аксонометриялық проекциялардың стандартты түрлері Аксонометриялық проекцияларға қойылатын негізгі талаптардың бірі - нəрсенің кескінін салу оңай жəне мейлінше аз бұрмалануы қажет. Осы талаптарды қанағаттандыру мақсатында халықаралық стандарттар ұйымы бес түрлі аксонометриялық проекция түрін тағайындаған. Бұл стандартты аксонометриялардың атаулары: тікбұрышты изометрия; тікбұрышты диметрия; қиғашбұрышты фронталь изометрия; қиғашбұрышты фронталь диметрия жəне қиғашбұрышты горизонталь изометрия Тікбұрышты изометрия Аксонометриялық проекциялау əдісінің ішіндегі ең оңай жəне қарапайым түрі тікбұрышты изометрия болып табылады. Тікбұрышты изометрияда барлық координата осьтерінің аксонометриялық проекциялау жазықтығына құлау бұрыштары бірдей жəне барлық осьтердегі бұрмалану көрсеткіштері өзара тең болады. Осы бұрмалану көрсеткішінің сандық мəнін қарастырайық. Жоғарыда қарастырылған тікбұрышты изометрияның бұрмалану көрсеткіштерінің 2-формуласын аламыз. Барлық координата осьтерінде мəндер өзара тең болғандықтан, 2-формуланың оң жағы былайша өзгереді: 20

21 3p 2 = 2. (3) Егер бұл 3-формуланы əрі қарай шешсек, онда координаталардағы осьтердің мəндері төмендегідей болады: 2 p = q = r = (4) 3 Бұл бұрмалану көрсеткіштерін тікбұрышты изометрияда қол дануға оңай болу үшін жуық шамамен 1-ге тең деп аламыз. Енді тікбұрышты изометрия проекциясының координаталар ось терінің арасындағы бұрыштық шамаларын 9-суретте көрсетілгендей жазықтықтың үшбұрышты іздері арқылы қарастырайық. Егер кеңістіктегі координаталар осінің бойындағы кесінді мен аксонометриялық коор динаталар осінің бойындағы кесінділердің қатынастары өзара тең болса, онда бұрмалану көрсеткіштері де өзара тең болады (9-сурет). Бұл дегеніміз Х / О / Y /, X / O / Z / жəне Z / O / Y / үшбұрыштары тең бүйірлі, яғни [Х / Y / ], [X / Z / ] жəне [Z / Y / ] табандары да тең. Осы тең бүйірлі үшбұрыштың бүйірлерінің ұзындықтары изометрия осі болады, яғни бұрыштық шамалары да өзара тең. Бұл бұрыш гра дус болады. 10-суретте гра дустың үш түрлі салу жолы көрсетілген. Бірінші жолы - z осіне перпендикуляр болатын сəулені 5 бөлікке бөліп, сол бөлінген жерден z осіне параллель түскен сəулені үш бөлікке бөлу; ал екінші жолы - екі тікбұрышты (60 0 пен 30 0 жəне 45 0 пен 45 0 ) үшбұрышты сызғыштар арқылы бөлу. Үшінші жолы циркульдің көмегімен шеңберді тең үшке бөлу арқылы жүзеге асырылады. Жоғарыда қарастырылған бұрx X / / x 3 / O 5 / Z O z / z O / Y / y 0 30 y 21

22 ма лану көрсеткіші тек осьтер бо йын дағы шамалар мен осьтерге параллель болатын сызықтар үшін ғана қолданылады Шеңбердің тікбұрышты изометриясы Шеңбердің аксонометриялық проекциясы тікбұрышты изометриясы ның салу жолын көрсетелік. Шеңбердің аксонометриялық проекциясы эллипс болғандықтан, оның үлкен жəне кіші осьтері болады (11-сурет). 11-суретте эллипстің үлкен осьтері аксонометриялық осьтерге перпендикуляр болады. Ал кіші осьтері сол осьтерге бағытталып немесе беттесіп жатады. Эллипстің үлкен осінің бұрмалану көрсеткішін табу үшін, 1 санын осьтердің бұрмалану көр сет кішіне бөлеміз (1/082 = 1.22). Сонда эллипстің үлкен осінің бұр малану көрсеткіші 1.22-ге тең болады. Ал кіші осінің бұр малану көрсеткіші 0.7-ге тең. 11-суреттегі қоңыр жазықтықтағы эллипс шеңбердің үс ті нен қарағандағы горизонталь проекция жазықтығындағы кө рінісі. Ал сары жазықтықтағы эллипс шеңбердің алдынан қараған фронталь проекция жазықтығындағы көрінісі. Жасыл жазықтықтағы эллипс шеңбердің оң жағынан қара ғандағы көрінісі болып табылады. Бір айтып кететін жайт, сфераның тікбұрышты изометриясы сфераның диаметрінен 1.22 есе үлкен болады, себебі эллипстің үлкен осінің ұзындығын анықтау үшін бұрмалану көрсеткішіне көбейтеміз ( 1.2 D ). / x 0.71 R R / z 1.22 R R / y 22

23 2.2.2 Тікбұрышты диметрия Аксонометриялық проекциялау əдісінің тағы бір түрі тікбұрышты диметрия. Тікбұрышты диметрия көбінде табаны дөңгелек конусты беттер мен тең табанды алты немесе бес жақты призманы жəне пирамиданың аксонометриялық проекциясын салғанда өте ыңғайлы. Оның себебі, тікбұрышты изометрияда жоғарыда айтылған беттердің айналу осьтері аксонометрия осімен беттесіп, беттердің көріктігі бұрмаланып кетеді. Екі аксонометриялық осьтердегі бұрмалану көрсеткіштері өзара тең, ал үшінші осьтегі бұрмалану көрсеткіші екі есе кіші. Енді осы айтылған бұрмалану көрсеткіштерінің сандық мəндерін қарастырайық. Жоғарыда қарастырған тікбұрышты бұрмалану көрсеткіштерінің (2) формуласын алып, у осінің бойындағы бұрмалану көрсеткішін r орнына қойып, формуланы қайта жазамыз: 1 2 p 2 = 2. (5) 4 Егер бұл формуланы əрі қарай шешетін болсақ, онда х жəне z координаталардағы осьтердің мəндері төмендегідей болады: 8 2 p = q = = (6) 9 3 Егер х жəне z осьтерінің бұрмалану көрсеткіштері жуық шамамен 0,94- ке тең болса, онда у осіндегі көрсеткіш екі есеге кем болғанда, шамамен 0,47-ге тең болады. Тікбұрышты диметрияның коорди наталар осьтері арасындағы бұрыштық шамаларын 12-суретте көрсетілгендей жазықтықтың үш - бұрышты іздері арқылы қарастырайық. Егер екі X / жəне Z / аксонометриялық осьтерінде бұрмалану көрсеткіштері өзара тең болса, онда кеңістіктегі координаталар осінің бойындағы кесінді мен аксонометриялық координаталар осінің бойындағы кесінділердің қатынастары да өзара тең болады (12-сурет). Олай x X / 2 2 / Z / O O z / Y y 23

24 болса кеңістікте орналасқан [ОХ / ] жəне [ОZ / ] кесіндінің ұзындығы 1-ге тең болады. Ал аксонометрия жазықтықта орналасқан [О / Х / ] жəне [О / Z / ] кесінділерінің ұзындығы 2 2 / 3 тең болады. Тікбұрышты үшбұрыш ОХ / Z / гипотенузасының ұзындығы 2 -ге тең. Суреттегі О / Х / Z / үшбұрышы тең бүйірлі болғандықтан, үшбұрышты теңдей екіге бөліп, екі сүйір бұрыштың үлкен бұрышының (α ) шамасын анықтаймыз. Екіге бөлінген тікбұрышты үшбұрыштың ОХ / Z / гипотенузасының ұзындығы ( 2 / 2) мен [О / Z / ] кесіндісінің ұзындығын ( 2 2 / 3) бөлеміз: sin α = : (7) 2 3 онда α = /. О / Х / жəне О / Z / аксонометрия осьтерінің арасындағы бұрыштық шама / градусқа тең болады. Ал О / Y / жəне О / Z / аксонометрия осьтерінің арасындағы бұрыштық шама төмендегі формуламен табылады: 0 0 / β = 0 10 / = / (8) 2 13-суретте тікбұрышты диметрияда аксонометриялық осьтерді салу жолы көрсетілген. Бірінші жолы, x / осінің бұрыштық шамасын табу үшін 1/8 / бөлікке, ал y осінің бұрыштық шамасын 7/8 бөлікке бөлу арқылы болса, екінші жолы транспортирдің көмегімен жоғарыда табылған бұрыштық шамаларды қою арқылы жүзеге асырылады. / z / x 1 8 O 7 8 / y 24

25 Шеңбердің тікбұрышты диметриясы Шеңбердің тікбұрышты ди метрия дағы аксонометриялық про е кция сының салу жолын қа рас тыра йық (14-сурет). Сурет тегі қоңыр жазықтықтағы эллипс шеңбердің үстінен қараған дағы горизонталь проекция жазық тығындағы көрінісі, ал сары жазықтықтағы эллипс шеңбердің алдынан қара ғандағы фронталь проекция жазық тығындағы көрінісі. Жасыл жазықтықтағы эллипс - шеңбердің оң жағынан қарағандағы профиль проекция жазықтығындағы көрі нісі. Шеңбердің аксонометриясы эллипс болғандықтан, оның үлкен жəне кіші осьтері болады. Егер 14-суретке зейін қойып қарасаңыздар, эллипстің үлкен осьтері аксонометриялық осьтерге перпендикуляр, ал кіші осьтері аксонометриялық осьтерге параллель орналасқан. Эллипстің үлкен осінің бұрмалану көрсеткіші барлық жазықтықтарда немесе эллипстің үш көрінісінде 1.06-ға тең болады. Ал кіші осінің бұрмалану көрсеткіші горизонталь жəне профиль (қаптал) жазықтықтарында ке тең болса, ал фронталь жазықтығында ол көрсеткіш 0.94-ке тең. Сфераның тікбұрышты изо метриясы сфераның диаметрінен 1.06 есе үлкен болады, себебі эллипстің үлкен осінің бұрмалану көрсеткіші 1.06-ға тең. R / z 0.35 R / x 1.06 R 0.94 R R / y Қиғашбұрышты фронталь изометрия мен диметрия Егер сызбада фронталь проекция жазықтығында қисық сызықтар мен шеңберлер көбейіп кеткен болса, онда нəрсенің аксонометриясын салу үшін, 25

26 R / z 1.3 R / x / O 0.54 R / y қиғашбұрышты фронтальды изометрия мен диметрия пайдаланылады (15 жəне 16-суреттер). Бұл жағдайда аксонометриялық проекциялар кеңістікте орналасқан Ох жəне Oz координаталар жазықтығына параллель орналасады. Ох 1 жəне Oz 1 аксонометриялық осьтердегі бұрмалану көрсеткіштері 1-ге тең болып, араларындағы бұрыштары 90 0 градус болады, яғни нəрсенің фронталь проекция жазықтығындағы проекциясы бұрмаланбай, сол күйінде кескінделеді. Ал Oz 1 жəне Oу 1 аксонометриялық осьтерінің арасындағы бұрыштық шама қиғашбұрышты фронталь изометрия мен диметрия үшін 45 0 градус болады. Фронталь изометрия үшін бұрмалану көрсеткіші 1-ге тең (15-сурет), ал фронталь диметрия үшін 0.5-ке тең болады (16-сурет). Қи ғашбұрышты фронталь изо метрия мен диметрия проек цияларында шең бердің проекциясы фронталь жазықтығында шеңбер болып, ал горизонталь жəне профиль жазық тықтарында ол эллипс болып кескінделеді. Қиғашбұрыш ты фронталь изометрияда эллипстің үлкен жəне кіші ось тері ромбиктердің диагональдарына беттесіп келе ді. Эллипстің үлкен осінің бұрмалану көрсеткіші изометрия үшін 0.33 R / x R / O / z 1.07 R / y 26

27 1.22-ге тең болса, диметрия үшін ол 1.06-ға тең. Ал кіші осінің бұрмалану көр сеткіші изометрия үшін 0.54-ке, ал диметрия үшін 0.33-ке тең болады. 15 жəне 16-суреттердегі қоңыр жазықтықтағы эллипс шеңбердің үстінен қарағандағы горизонталь проекция жазықтығындағы көрінісі. Жасыл жазықтықтағы эллипс шеңбердің оң жағынан қарағандағы көрінісі. Ал сары жазықтықтағы эллипс шеңбердің алдынан қарағандағы фронталь проекция жазықтығындағы көрінісі Қиғашбұрышты горизонталь изометрия Егер сызбада горизонталь проекция жазықтығында қисық сызықтар мен шең берлер шамадан тыс көбейіп кетсе, онда нəрсенің аксонометриясын салу үшін қиғашбұрышты горизонталь изометрия проекциясын пайдаланады (17-сурет). Бұл жағдайда аксонометриялық проекциялар кеңістікте орналасқан Ох жəне Оу координаталар жазықтығына параллель орналасады. Ох 1 жəне Oz 1 аксонометриялық осьтеріндегі бұрмалану көрсеткіштері 1-ге тең, ал араларындағы бұрыштары 90 0 градус болады, яғни нəрсенің горизонталь проекция жазықтығындағы проекциясы бұрмаланбай, сол күйінде кескінделеді. Ал Oz 1 жəне Oу 1 аксонометриялық осьтерінің арасындағы бұрыш тық шама градус болады. Кей жағдайда бұл бұрыш немесе градус шамасында беріледі. R / z 1.22 R 0.71 R / O 1.37 R / y / x 0.37 R 27

28 Қиғашбұрышты гори зонталь изометрия проек цияларында шеңбердің про ек циясы горизонталь жазық тығында шеңбер болып, ал фронталь жəне профиль жазықтықтарында эллипс болып кескінделеді. Қиғашбұрышты горизонталь изометрияда эллипстің үлкен жəне кіші осьтері ромбтардың диагональдарына беттесіп келеді. Эллипстің үлкен осінің бұрмалану көрсеткіші 1.37-ге жəне 1.22-ге тең болса, ал кіші осінің бұрмалану көрсеткіші 0.37-ге жəне 0.71-ге тең болады. 17-суреттегі сары жазықтықтағы эллипс шеңбердің алдынан қарағандағы, ал жасыл жазықтықтағы эллипс - шеңбердің оң жағынан қарағандағы көрінісі. Ал қоңыр жазықтықтағы көрінісі шеңбердің горизонталь проекция жазықтығындағы көрінісі Шеңбердің изометриялық проекциясын салу Изометриялық жəне диметриялық осьтер бойында шеңбердің аксонометриялық проекциясы эллипстің əртүрлі жағдайында болатынын жоғарыда көрсеттік. Енді төмендегі 18-суретте шеңбердің изометриялық проекциясын циркульдің көмегімен салу жолын көрсетеміз. Эллипсті салу үшін, алдымен х жəне у осьтерін жүргізіп, О нүктесін анықтап аламыз. Осы О нүктесі арқылы радиусы R болатын шеңберді сызамыз. Бұл шеңбер х жəне у осьтерін төрт нүктеде қиып өтеді. Осы қиып өткен нүктелер арқылы х жəне у осьтеріне параллель сəулелер жүргізіп, 18-суретте көрсетілгендей ромб жүргіземіз. Ромбтың қысыңқы жағы мен шеңбердің R O 5 6 x y R 3 R 2 R 1 28

29 қиылысқан 1 жəне 2 нүктелері арқылы радиусы R 1 болатын шеңбер доғаларын сызамыз. Осы доғалар мен шеңбер осьтері 3 жəне 4 нүктелерінде қиылысады. Қиылысқан нүктелер арқылы радиу сы R 2 болатын шеңберді сызамыз. Бұл шеңбер шеңбердің осьтерін 5 жəне 6 нүктелерінде қиып өтеді. Осы нүктелер арқылы радиусы R 3 болатын шеңбер жүргі земіз. Екі шеңбердің тү йін десу нүктесін табу үшін, радиусы R 1 бола тын шеңберлерді 1 жəне 2 орталары арқылы, ал радиусы R 3 болатын шеңберлерді 5 жəне 6 орталары арқылы өзара қоссақ, онда шеңбер доғалары 7, 8, 9 жəне 10 нүктелерінде түйіндеседі. Егер табылған 7, 8, 9 жəне 10 нүктелерін өзара түйіндестіріп қоссақ, онда шеңбердің изометриясы эллипс болып табылады Шеңбердің диметриялық проекциясын салу Шеңбердің диметриялық проек циясын циркульдің көмегімен салу жолын қарастырайық (19-сурет). х жəне у осьтерін жүргізіп, О нүктесін анық тап аламыз. Бұл О нүктесі арқылы радиусы R болатын шеңберді сызамыз. 1 Шеңбер х жəне у осьтерін төрт нүктеде қиып өтеді. R Осы қиып өткен нүктелер 1 арқылы х жəне у осьтеріне параллель сəулелер жүргі зіп, ромб саламыз. О нүк тесінен вертикаль түзу жүр гізіп, оның бойына эл липстің үлкен осіне R тең болатын кесіндіні өл шеп 4 салып, 1 жəне 2 нүк те лерін O 3 7 x 6 анық таймыз. Бұл табылған нүктелер радиу сы R 1 болатын шеңбер доға ларының ортасы бо лып саналады. Ромб тың R y қиылысқан 6 жəне 8-нүктелері арқылы радиу сы R 1 шеңбер доғаларын сызамыз. Осы доғалар мен шеңбер осьтері 3 жəне 4 нүктелерінде қиылысады. Қиылысқан нүкте лер 2 арқы лы радиусы R 2 болатын 29

30 шеңбер жүр гіземіз. Бұл шеңбер радиусы R 1 болатын шеңберді 5, 6, 7 жəне 8-нүктелерінде қиып өтеді. Eгер табылған шеңберлер доғаларын өзара қоссақ, онда шеңбердің диметриялық кескіні эллипсті табамыз. Ескерту, бұл табылған эллипс шеңбердің жанынан жəне үстінен қарағандағы көрінісі болады. Диметриядағы шеңбердің алдынан қарағандағы көрсетілген кескінін салып көрсетеміз. Ол үшін х жəне z осьтерін жүргізіп, О нүктесін анықтап аламыз. Осьтер бойына шеңбердің радиустарын өлшеп алып, 5, 6, 7 жəне 8 нүктелерін салып, z ромбыны тұрғызамыз. Осы 6 табыл ған нүктелерден ромбтың қырларына тік бұрыш түзулерін жүргіземіз (20-сурет). Бұл түзулер ромбтың кіші диагоналін 1 жəне R O 2 нүктесінде қиып өтсе, үлкен 3 1 диагоналін 3 жəне 4 нүктелерінде x 7 қияды. 1 жəне 2 нүктелері арқылы 5 радиусы R 1 болатын шеңбер доғасын сызамыз. Осы сияқты 3 жəне 4 нүктелері арқылы радиусы R 2 болатын шеңбер доғасын сызамыз. Егер табылған шеңберлер доғаларын өзара қоссақ, онда шеңбердің алдынан қарағандағы диметриялық кескінін эллипсті тұрғызамыз R 2 R 1 30

31 Бақылау сұрақтары 1. Аксонометриялық проекция дегеніміз не? 2. Аксонометрия масштабы дегеніміз не? 3. Аксонометриялық проекциялардың бұрмалану көрсеткіштері дегеніміз не? 4. Изометрия дегеніміз не? 5. Диметрия дегеніміз не? 6. Триметрия дегеніміз не? 7. Аксонометриялық проекциялардың стандартты түрлері дегеніміз не? 8. Аксонометриялық проекцияда шеңбердің проекциясы қалай салынады? 9. Тікбұрышты изометрия дегеніміз не? 10. Қиғашбұрышты фронталь изометрия дегеніміз не? 11. Қиғашбұрышты фронталь диметрия дегеніміз не? 12. Қиғашбұрышты горизонталь изометрия дегеніміз не? Жаттығу есептері 1. А(30;20;10) нүктесінің тікбұрышты изометриясын салып көрсетіңіз. 2. А(20;10;30) нүктесінің тікбұрышты диметриясын салып көрсетіңіз. 3. А(10;15;25) жəне В(25;10;10) төбелерінен тұратын түзу сызықтың тікбұрышты изометриясы мен диметриясын салып көрсетіңіз. 4. R30 болатын шеңбердің тікбұрышты изометриясын салып көрсетіңіз. 5. R25 болатын шеңбердің қиғашбұрышты изометриясын салып көрсетіңіз. 6. А(10;15;25) В(25;10;10) С(15;20;5) үшбұрышының тікбұрышты изометриясын салып көрсетіңіз. 31

32 Үшінші тарау НҮКТЕНІҢ, ТҮЗУ СЫЗЫҚТЫҢ ЖӘНЕ ЖАЗЫҚТЫҚТЫҢ САНДЫҚ БЕЛГІЛЕРІ Нүктенің проекциясы Геометрия пəнінде нүктенің анықтамасы мен түсініктемесі жоқ. Сондықтан нүктенің алу жолын мысалмен көрсетейік. Мысал, егер екі түзу өзара х x C C 0 12 C 0 10 B B B 5 б) a) 6 8 y 6 A 6 4 A 6 8 A O y z 0 2 қиылысса, онда қиылысқан жері қиылысу нүктесі болады. Немесе, кеңістікте орналасқан жазықтықты кеңіс тікте орналасқан сəуле қиып өтсе, онда ол қиылысу нүктесін береді. Бұл мысалдар арқылы сызба геометриядағы нүктені алу жолын көрсетіп отырмыз. Осы нүктенің проекция жазық тығына орналасуы мен олардың сандық белгілері бар проекциядағы проекцияларын анықтау жолдарын қарастырайық. 21-суреттің жоғарғы жағындағы a) суретінде горизонталь проекция жазықтығына кеңістікте орналасқан А жəне В нүктелерімен бірге, осы жазықтық бетінде жатқан С нүктесінің тік бұрышпен прое кцияланған көрнекі кеңістіктегі кескіні көрсетілген. Ал 21-суреттің төменгі жағындағы (б) осы кеңістікте орналасқан нүктелердің көрнекі кескіні нің жазықтағы

33 кескіні сан дық белгілермен көрсетілген. Əр нүктенің проекциясының жанына оның проекция жазықтығы мен кеңістікте орналас қан нүктенің арақашықтығын көрсете тін биіктік өлшемі, яғни сандық белгісі жазылады. Сонымен қатар жазықтығында өлшем мəндерін анықтау үшін масштаб сызғышы беріледі. Бұл масштаб сызғышының көпшілігінде бір бөлігі бір метрге тең деп алынады. Себебі, сандық белгілері бар проекциялар құрылыс жəне топографиялық сызбаларда қолданғанда қолайлы болады. Сандық белгілері бар проек ция ларда, нүктенің проекциясы көлбеу жазықтығында x, y коор динаталар осімен анықталса, ал оның биіктігі z координата осімен анықталып, бірақ нүктенің биіктігін сандық белгімен көлбеу жазық тығындағы проекциясына жазып қояды. Егер кеңістікте орналасқан нүк телер жазықтығынан жоғары орналасқан болса, онда нүктелердің биіктігін оң (плюс) таңбалы сандармен белгілейді. Мысал ретінде 21- суреттегі кеңістікте орналасқан А нүктесін алайық. А нүктесінің х осі бойындағы ұзындығы 2,8-ге тең (А х =2,8), ал у осіндегі ені 3-ке тең (А у =3). Бұл өлшемдер А нүктесінің жазықтығындағы орнын анықтайды. Ал кеңістікте орналасқан А нүктесінің биіктігі z осі бойын дағы биіктік өлшемі 6-ға тең (А z =6), сондықтан жазықтығындағы нүктенің кескіні əріппен де, санмен де (А 6 ) белгіленеді. Мұнда 6 саны оң таңбалы сан, өйткені кеңістіктегі нүкте жазықтығының жоғарғы жағында орналасқан. Егер кеңістікте нүктелер жазықтығының төмен жағында орналасқан болса, онда нүктелердің жазықтыққа дейінгі арақашықтығын теріс (минус) таңбалы сандармен белгілейді. Мысал ретінде 21-суреттегі кеңістікте орналасқан В нүктесін алайық. Бұл В нүктесінің х осі бойындағы мəні 6,5-ке тең (В х =6,5), ал у осіндегі ені 6,3-ке тең (В у =6,3). Алдыңғы мысалдағыдай, бұл өлшемдер В нүктесінің жазықтығындағы орналасу жағдайын анықтайды. Ал кеңістіктегі В нүктесі мен жазықтығының арақашықтығы 5-ке (В z =5) тең, яғни нүктенің z осі бойындағы биіктігі 5-ке тең, сондықтан жазықтығындағы нүктенің кесіндісі (В -5 ) əріп пен сан арқылы белгіленеді. Мұнда 5 саны теріс таңбалы сан, өйткені кеңістіктегі нүкте жазықтығының төменгі жағында орналасқандықтан, сан таңбасының алдына минус белгісі қойылады. Егер кеңістікте орналасқан нүктелер жазықтығының бойында орналасқан болса, онда нүктелердің жазықтыққа дейінгі биіктігі нөлге тең болып, көлбеу жазықтығындағы проекциясына нөл таңбасын жазып қояды. Үшінші мысал ретінде 21-суреттегі көрсетілген С нүктесінің орналасуын алайық. Жазықтықта жатқан С нүктесінің х осі бойындағы ұзындығы 10,2-ге тең (С х =10,2), ал у координата осіндегі ені 8-ге тең (С у =8). Бұл өлшемдер С нүктесінің жазықтығындағы орналасу орнын анықтайды. Ал С нүктесі жазықтығының бойында орналасқандықтан, биіктік таңбасы нөлге (С z =0) тең болады, яғни нүктенің z осі бойындағы биіктігі 0-ге тең. жазықтығындағы 33

34 нүктенің кескіні (проекциясы) С 0 арқылы белгіленеді. Енді осы үш жағдайда орналасқан кеңістіктегі нүктелердің Гаспар Монж эпюріндегі кескіндерін (проек цияларын) салыстырмалы түрде қарастырып көрелік. Өзара тік бұрыш жасап орналасқан көлденең (горизонталь) жəне қарама-қарсы (фронталь) жазықтықтарды х осі арқылы бұрып, бір жазықтыққа беттестіреміз (22-сурет). Эпюрде х, у жəне z осьтері берілген. Осы осьтердің бойына əр нүктенің өз мəндерін қойып, алты бірдей нүкте кескінін саламыз. 22-суретте көрсетілгендей, х осінің жоғарғы жағындағы нүктелер кескіні кеңістікте орналасқан нүктелердің көлбеу П 2 жазықтығынан орналасқан қашық тықты білдірсе, ал х осінің төмен жағындағы нүктелер кескіні кеңістікте орналасқан нүктелердің қарама-қарсы (фронталь) П 1 жазықтығынан орналасқан қашықтықты көрсетеді. Өздеріңіз байқағандай, егер 21 жəне 22-суреттерді салыстыратын болсақ, онда 21-суреттің сызба жолы 22-суретке қарағанда екі есеге қысқарады. Сандық белгілері бар проекцияларды кескіндеу əдісін қолдана отырып, кеңістікте орналасқан нүктелердің көлденең жазықтығына кескінделуінің үш жағдайын қарастырдық. Жоғарыда көрсетілгендей, олар: жазықтығынан жоғарғы орналасқан нүктелер; жазықтығынан төмен орналасқан нүктелер жəне жазықтығында орналасқан (тиісті) нүктелер. х П 2 П 1 12 C 2 C B 2 B 1 6 A 2 4 A 1 2 O z y 3.2 Түзу сызықтың проекциясы Түзу сызық дегеніміз - бір түзу бойындағы нүктелер жиынтығы. Мектеп бағдарламасында геометрия пəнінен өткендей, бір нүктеден басталып сызылған түзуді сəуле дейміз. Ал екі нүктеден өткен түзуді кесінді дейміз. Сызба геометрияда түзу сызықтар нүктелер жиынтығы болғандықтан, түзу 34

35 сызық кескіндерін кесінді ретінде ала береміз, өйткені түзу сызықтың кескіндерін екі нүкте арқылы берген қолайлы. Сызба геометрияда түзу сызықтардың маңызы өте зор, өйткені сызықтардың көмегімен кеңістіктегі жəне мүлдем өмірде кездеспейтін нəрсенің кескінін проекция жазықтықтарында көрсете аламыз жəне жазықтықтағы кескіндері арқылы көрнекі кескіндерін салуға болады. Түзу сызықтың кескінін салу үшін, екі нүктесінің кескінін салып, осы табылған екі нүктені өзара қоссақ, табылған кесінді түзу сызықтың проекциясы болады. Мысал карастырайық, 23-суреттің жоғарғы жағында көрсетілгендей кеңістікте б) y орналасқан АВ түзу сызығын аламыз. Бұл түзу сызықтың бастапқы жəне соңғы нүктелері көлбеу жазықтығының жоғарғы жағында орналасқан, яғни түзу сызықтың нүктелері оң таңбалы. Ал 23-суреттің төменгі жағында осы АВ түзу сызығының кескіні сандық белгілері бар проекцияларды кескіндеу əдісімен көрсетілген. Келесі 24-суретте А нүктесі В нүктесінен екі еседей биік. Бұл дегеніміз - АВ түзу сызығының көлбеу жазықтығына жасаған көлбеулігі. АВ түзу сызығының көлбеу жазықтығындағы [АВ] кескінінің ұзындығын кесінді табаны деп, латынның бас əрпі L мен белгілейді. Кеңістіктегі А нүктеcі мен көлбеу жазықтығының арақашықтығын немесе А нүктеcінің биіктігін, латынның h A əрпімен белгілейміз. Ал В нүктеcі мен жазықтығының арақашықтығын латынның h В əрпі арқылы белгілейміз. Бұл нүктелердің биіктіктерінің айырмашылығы (h A, - h B ) Δ h болады. АВ түзуінің проекция жазықтығымен жасайтын бұрышының тангенсін осы түзудің көлбеулігі (уклоны) деп, латынның і деген кіші əрпімен белгілейміз. Төменде осы түзудің көлбеулігін анықтауды формула арқылы берейік: х h В x B B 3 B 3 a) L l A A 6 l l h y A 6 h А z O 0 35

36 h tga α = h L Δh = L A B = i tga мұнда l - кесінді табанының шамасын көрсететін түзудің ен аралығы. Бұл формула түзу сызықтың көлбеулігі мен ен аралығының өзара кері шамалар екенін көрсетіп тұр. Сызбада түзудің бойындағы əрбір бүтін санмен берілетін нүктелерді табу түзуді бөліктеу (градуирование) деп аталады. Ал АВ түзуін бөліктеу үшін оның ен аралығын табу керек. Ол үшін түзудің жазықтықтағы кескінін түзудің кескінделу жазықтығына жасаған бұрыш шамасымен бөлеміз: p q r, мұнда L түзудің кескінделу жазықтығындағы кескіні; l - түзудің ен аралығы. Енді түзу сызықтың проекция жазықтығына орналасуына байланысты түзу сызықтар жалпы жəне дербес жағдайда орналасқан болып екі түрге бөлінеді. Дербес жағдайда орналасқан түзу проекция жазық тығына параллель орналасқан дең гейлік жəне көлденең проекция жазықтығына перпендикуляр орна ласқан проекциялаушы түзу болып бөлінеді. Төменде осы ата лып кеткен жағдайдағы түзулерді қарас тырамыз Жалпы жағдайда орналасқан түзулер Егер кеңістікте орналасқан түзу дің кесінді табанының бас нүкте сінің сандық белгісі мен соңғы нүктесінің сандық белгілері əр түрлі болса, онда мұндай түзулерді жалпы жағдайда орналасқан түзулер дейді (24-сурет). Түзу сызық деп көлбеу орна ласқан проекция жазықтығына параллель немесе перпендикуляр бол майтын сызықты айтады. Жалпы жағдайда орналасқан түзу сызық кескіні проекция жазықтығына шын ұзындығымен (нақты шамасы мен) кескінделмейтінін анықтадық. Жалпы жағдайда орналасқан түзу дің нақты шамасын жалпы əдіспен табу үшін, түзудің бастапқы нүктесі мен соңғы нүктесінің кескіндеріне перпендикуляр сəулелер түсіріп, сол сəулелер бойына көрсетілген сандық белгілерді өлшеп саламыз. Егер табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы түзудің нақты шамасын табамыз (24, б)-суретінде бұл түзу қызыл түспен көрсетілген). Түзу сызықтың нақты шамасын орта мектеп 36

37 х B B 2 B B 2 A A 5 a) A A O б) y бағдарламасынан белгілі тікбұрышты үшбұрыштар əдісін пайдаланып та табуға болады. Бұл мысалдан жалпы жағдайдағы орналасқан түзу сызықтың нақты шамасынан басқа түзудің көлденең проекция жазықтығына жасайтын бұрыштық шамасын анықтауға бола ды. 24-суретте көрсетілген α бұрышы осы жоғарыда айтып кеткен бұрыш шамасын көрсетеді. Жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықтың нақты шамасын жалпы əдіспен табу үшін тағы бір мысал қарастырайық. Түзудің бастапқы нүктесі мен соңғы нүктесінің кескіндеріне перпендикуляр сəулелер түсіріп, сол сəулелер бойына көрсетілген сандық белгілерді өлшеп A саламыз. Табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда кеңістікте орналасқан түзудің нақты шамасын табамыз (25 б)-суретінде бұл түзу қызыл түспен көрсетілген). Түзу сызықтың нақты шамасын белгілі тікбұрышты үшбұрыштар əдісін пайдаланып та табуға болады. Осы мысалдан жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықтың көлденең проекция жазықтығына жасайтын бұрыштық шамасын бұрышымен көрсетеміз (25 б)-сурет). х B 5 B a) C 0 A C 0 A 5 A 5 O B 5 B б) y 37

38 Дербес жағдайда орналасқан түзулер Егер кеңістікте орналасқан түзудің кесінді табанының бастапқы нүк тесінің сандық белгісі мен соңғы нүктесінің сандық белгілері бірдей өзара тең немесе əртүрлі болып, бірақ бір нүктеде беттессе, онда мұндай түзулерді дербес жағдайда орналасқан түзулер дейміз. Кеңістікте орналасқан дербес жағдайдағы түзу сызықтар өздерінің көлбеу проекция жазықтығына орна ласуларына байланысты екі түрге бөлінеді: деңгейлік жəне проекциялаушы түзулер. Егер дербес жағдайда орналасқан түзу проекция жазықтығына парал лель орналасқан болса, яғни түзудің кесінді табанының бастапқы нүктесінің сандық белгісі мен соңғы нүктесінің сандық белгісі бірдей болса, онда мұндай түзулерді деңгейлік түзулер дейді (26-сурет). Мысал қарастыратын болсақ, онда 26-суреттің жоғарғы жағында деңгей түзуінің кеңістікте орналасқан кескіні көрсетілген, ал төменгі жағында кеңістікте орналасқан деңгей түзуінің проекция жазықтығындағы сандық белгісі бар проекциясы көрсетілген. Дербес жағдайда орналасқан деңгей түзу сызықтар проекция жазықтығына параллель орналасқандықтан, түзудің жазықтықтағы кескіні нақты шамасымен кескінделеді. Яғни түзу сызықтың проекция жазықтығындағы кескіні түзудің шын ұзындығы (нақты шамасы) болады. Дербес жағдайда орналасқан проекциялаушы түзуді қарастырайық (27-сурет). Егер дербес жағдайда орналасқан түзу проекция жазықтығына перпендикуляр (тікше) орналасса, яғни түзудің бастапқы нүктесінің сандық белгісі мен соңғы нүктесінің сандық белгісі əртүрлі, бірақ бір нүктеде беттескен болса, онда мұндай түзулерді проекциялаушы түзулер дейді. Мысалы, 27-суреттің жоғарғы жағында а) суретінде проекциялаушы түзуінің кеңістікте орналасқан кескіні көрсетілген болса, осы суреттің төмен жағында б) суретінде сол түзудің көлбеу проекция жазықтығындағы сандық белгісі бар проекциясы көрсетілген. х B B 6 B 6 a) б) A 6 A A O y 38

39 A B A11 B 3 A11 B 3 П Дербес жағдайда орналасқан проекциялаушы түзу сызықтар проекция жазықтығына перпен дикуляр орналасқандықтан, түзу дің жазықтықтағы кескіні шын ұзындығымен кескінделеді. Яғни түзу сызықтың көлденең проекция жазықтығындағы кескіні түзудің нақты шамасы болады. Өйткені түзудің бастапқы нүктесінің сандық белгісінен соңғы нүктесінің сандық белгісін алып тастасақ, онда сандардың айырмасы түзудің шын ұзындығы болады. Бұл мысалдардан түзу сызықтың көлденең проекция жазықтығына жасайтын бұрыштық шамасын анықтауға болады. 26-суретте көрсетілген түзу кескінінің бұрыштық шамасы нөлге тең ( α = 0 ), ал 27-суретте көрсетілген түзу кескінінің бұрыштық шамасы 90 0 ( 90 ) болады Түзу сызықтың ізі Түзу сызықтың іздері деп жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықтың көлденең проекция жазықтығымен қиылысу нүктелерін айтады. Түзу сызықтың проекция жазықтығындағы ізін латынның үлкен М əрпімен белгілейміз. Кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы түзу сызық пен дербес жағдайдағы түзу сызықтардың (соның ішіндегі проекциялаушы түзулердің) көлденең проекция жазықтығында іздері болады. Егер жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықты бастапқы нүктесінен соңғы нүктесіне қарай өз бағытымен көлденең жазықтығына дейін созып қиылыстырсақ, онда осы көлденең проекция жазықтығындағы түзудің қиылысу нүктесі түзу сызықтың ізі болып табылады (28-сурет). Мысал ретінде 28-суретті алатын болсақ, суреттің жоғарғы жағында кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы АВ түзу сызығы берілген. Түзу сызықтың А нүктесінен В нүктесіне қарай s бағытымен көлденең жазықтығына дейін созамыз. Бұл созылған түзу көлденең жазықтығын М АВ нүктесінде қиып өтеді. Осы қиылысу нүктесі түзудің жазықтығындағы ізі болып табылады. Түзу сызықтың ізін М АВ деп белгілейміз. Көлденең жазықтығындағы М АВ түзу 39

40 ізінің дұрыс табыл ға - нын дəлелдеу үшін АВ түзуі нің көлденең жазықтығындағы кескінін де s бағытымен соза мыз. Бұл со зыл ған түзу М АВ нүктесінде қиылы сады. Түзу сызықтың ізін сан дық белгілері бар проек цияда қарастырып көр ейік. 28-сурет тің төменгі жағын да көрсетілген жалпы жағдайда орна ласқан А 5 В 2 түзуін аламыз. Алдымен А 5 В 2 түзуінің ен аралығын анықтаймыз (біздің түзу сызығымыз үшін үш бөлікке тең), содан соң А 5 В 2 түзуін созып, түзудің созынды жағына ен аралықтың екі бөлігін өлшеп салып, М АВ нүктесін табамыз. Табылған М АВ нүктесі түзу сызықтың сандық белгілері бар проекциядағы түзуінің ізі болады. Түзу ізінің дұрыс табылғанын дəлелдеу үшін А 5 нүктесінен түзу табанына перпендикуляр сəуле жүргізіп, сəуле бойынан масштаб сызғышы бойынша бес бөлікті өлшеп, А нүктесін саламыз. Осы жолмен В нүктесін салып, s бағыты бойымен созсақ, түзу М АВ нүктесінде қиылысады. Бұл дегеніміз АВ түзу ізінің дұрыс табылғанын дəлелдейді. Ал сандық белгілері бар проекцияда дербес жағдайдағы орналасқан түзу сызықтардың да іздері болады. Олар проекциялаушы түзу сызықтар. Бұл сызықтар көлденең проекция жазықтығына перпендикуляр орналасады, яғни көлбеу жазықтығындағы кескіні бір нүкте болады. Ал шын ұзындығы бастапқы нүктесінің сандық белгісінен соңғы нүктесінің сандық белгісінің айырмасы болады. M AB М АВ B B B 2 B 2 s s s A A A A Жазықтықтың проекциясы Барлық геометриялық элементтердің ішіндегі ең маңызды түрі - жазықтықтар. Жазықтықтар ғылым мен техникада, сəулет жəне бейнелеу өнерінде, тағы да сол сияқты басқа да əртүрлі салаларда кеңінен қолданылады. Əрине сызба геометрия инженерлердің негізгі пəні болғандықтан, жазықтықтардың теориялық зерттеулеріне үлкен көңіл бөлінеді. Жазықтық дегеніміз - 40

41 нүктелер мен түзулердің жазық бір беттегі жиынтығы. Бұл математика саласынан алғандағы тұжырым, ал геомерия жағынан алғанда жазықтықтың бірнеше анықтамалары бар. Жазықтықтар бірнеше жағдайларда беріледі. Егер бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте берілсе, онда осы нүктелер арқылы бір жазықтық жүргізуге болады, яғни жазықтық үш нүкте арқылы беріледі. Егер өзара қиылысқан немесе өзара параллель екі түзу сызықтар берілсе, онда осы түзулер арқылы бір жазықтық жүргізуге болады, яғни жазықтық өзара қиылысқан немесе өзара параллель екі түзу сызықтар арқылы беріледі. Егер түзу сызық пен сол түзу бойында жатпайтын нүкте берілсе, онда осы түзу мен нүкте арқылы бір жазықтық жүргізуге болады, яғни жазықтық түзу сызық пен осы түзу бойында жатпайтын нүкте арқылы беріледі. Сызбада жазықтықтар əртүрлі геометриялық фигуралар арқылы да беріледі (көбінесе үшбұрыш, төртбұрыш, бесбұрыш, алтыбұрыш, трапеция, параллелограмм, т.с.с. ). Сонымен қатар жазықтықтар проекция жазықтығындағы ізі арқылы да беріледі. Жазықтықты сандық белгілері бар проекцияларда екі əдіспен көлбеулік масштабпен жəне геометриялық элементтермен (үшбұрышпен, төртбұрышпен, жəне т.б. с.с.). анықтауға болады. Бөліктерге бөлінген (градуироваланған) көлбеу сы - l зық тың проекциясын көл - P P h 0 P i / Р i беулік масштабы деп айтады. Енді жазықтықтың көлбеу лік мас штабпен берілуіне мысал қарастырайық (29-сурет). Сызба нұсқада көлбеулік масштабы екі қосақталған (параллель) жіңішке жəне қалың сызықтар арқылы белгіленеді. Сандық белгі лері бар проекцияларда жа зықтық көлбеулік масштабы арқылы беріліп, жазықтық белгіленген əріптің төмен гі жағына латын ның кіші i əрпімен белгілеп қояды. Мысал ретінде 29-суретті қарастырайық. Сурет тің жоғарғы жағында Р жазық- 41

42 тығының кеңістіктегі кескіні көрсетілген. Көлденең жазықтығында кеңістіктегі Р i жазықтығы мен осы жазықтықтың жазықтықтағы ізі (Р h ) көрсетілген. Ал 29-суреттің төменгі жағында Р жазықтығының сандық белгілері бар проекциядағы кескіні көрсетілген. Кеңістікте орналасқан жазық тықтың көлденең жазықты ғын жасаған бұрышын анықтау үшін, көлбеулік масштабындағы 3-нүктеден перпендикуляр сəуле жүргізіп, сол сəуле бойына масштаб сызғышынан үш өлшем бірлігін өлшеп саламыз. Табылған нүктемен көлбеулік масштабының бас нүктесін қосамыз. Осы салынған түзу мен көлбеулік масштабының арасындағы бұрыш шамасы іздеп отырған α бұрышын береді (29-сурет). Жазықтықтың геометриялық элементтермен берілуін мысал ретінде 30-суреттен қарастырайық. Берілген кез келген геометриялық элементерді де жоғарғы мысалдағыдай бөліктерге бөліп, ен аралықтарын анықтап аламыз. Осы бөліктелінген жазықтықтың көлбеулік масштабын саламыз. Жазықтық бұл жағдайда АВС үшбұрышы арқылы берілген (А 5 С 4 В 8 ). Бөлінген бөліктердің арақашықтығын l əрпімен белгілейміз. Осы бөліктерге перпендикуляр болатын жазықтықтың B 8 көлбеулік масштабын саламыз. Көлбеулік масштабта көршілес 7 сандық белгілердің айырмасы 6 бір бірлікке тең, олардың l аралығы жазықтың ең үлкен 5 C4 A5 көлбеу сызығының ен аралығы l-ге тең болады. P i P Жоғарыда айтып кеткендей П жазықтық ізі арқылы да 0 беріледі. Бұл туралы төменде қарастырылады Жалпы жағдайда орналасқан жазықтықтар Сандық белгілері бар проекцияда жазықтықтар əртүрлі геометриялық фигуралар арқылы берілетіні жоғарыда айтылған. Егер жазықтық төбелерінің сандық белгілері əр түрлі немесе екеуі тең болып, қалған төбелері осы екеуіне тең болмаса, онда мұндай жазықтық жалпы жағдайда орналасқан жазықтық деп аталады, яғни кеңістікте орналасқан жазықтық көлденең проекция жазықтығына параллель немесе перпендикуляр орналаспайды. 42

43 Мысал ретінде алдымызда көрсетілген 29 жəне 30-суреттерді алатын болсақ, 29-суретте жазықтық төртбұрыш арқылы берілген. Бұл төртбұрыштың екі төбелерінің сандық белгілері өзара тең, ал екі төбесі проекция жазықтығының бойында жатыр, яғни бұл жазықтық көлденең проекция жазықтығына көлбеу орналасқан жалпы жағдайдағы жазықтық. 30-суретті алатын болсақ, онда жазықтық үшбұрыш арқылы берілген. Бұл жазықтық төбелерінің сандық белгілері əртүрлі, яғни жазықтық проекция жазықтығына жалпы жағдайда орналасқан Дербес жағдайда орналасқан жазықтықтар Дербес жағдайда орналасқан жазықтық көлденең проекция жазықтығына орналасуына байланысты параллель немесе перпендикуляр болып екіге бөлінеді. Егер жазықтық төбелерінің сандық белгілері бірдей тең болса, онда жазықтық көлденең проекция жазықтығына параллель дербес жағдайда орналасқан жазықтық болады, яғни кеңістіктегі жазықтық проекция жазықтығына параллель орналасқан. Жазықтық көлденең проекция жазықтығына параллель орналасқандықтан, оның проекция жазықтығындағы кескіні нақты шамасымен кескінделеді. Мысал қарастырайық, 31-суреттің жоғарғы жағында Р жазықтығының кеңістіктегі кескіні көр сетілген. Бұл жазықтық көлденең проекция жазық тығына параллель орналасқан, өйткені проекция жазықтығындағы жа зықтық Р i кескінінде төрт бұрыш төбелерінің сандық белгілері өзара тең. 31-суреттің төменгі жағында Р жазықтығының сандық белгілері бар проекциядағы кескіні көрсетілген. Енді, жазықтықтың дербес жағдайда орналасқан перпендикуляр жазықтық екенін анықтау үшін екінші мысалды қарастырайық. 32-суреттің жоғарғы жағында Р жазықтығының кеңіс тіктегі кескіні көрсетілген. 43

44 Бұл жазықтық көлденең проекция жазықтығына перпендикуляр орналасқан жазықтық, өйткені проекция жазықтығындағы жазық тық Р i кескінінде төртбұрыштың екі төбесінің сандық белгілері өзара тең жəне бұл төртбұрыштың көлденең проекция жазық тығындағы проекциясы бір ғана түзу сызығын береді. 32-суреттің төменгі жағында Р жазық тығының көлденең про екция жазықтығындағы сандық белгілері бар проекциядағы кескіні көрсетілген. Бұл төртбұрыш арқылы берілген жазықтықтың АВ төбелері бір нүктеде, ал СD төбелері бір нүктеде беттескен. Осы беттескен екі нүктелер өзара қосылып, кеңістікте орналасқан Р жазықтығының сандық белгілері бар проекциядағы кескінін көрсетеді. Яғни кеңістікте орналасқан Р жазықтығы көлденең проекция жазықтығына перпендикуляр ор на ласқан жазықтықтың сандық белгілері бар проекциясы. B A2 6 A B 2 6 B P A Р i D 2 P i C D 32 - сурет C 6 D2 C 6 a) б) Жазықтықтың деңгей сызығы Жазықтықтың деңгей сызығы деп проекция жазықтығына параллель сызықтарды айтады. Тікбұрышты жазықтықтар жүйесінде үш проекция жазықтығы болғандықтан, кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы жазықтықтың үш негізгі сызықтары горизонталь, фронталь жəне профиль деңгей сызықтары болады. Ал сандық белгілері бар проекцияларда бір ғана көлденең проекция жазықтығы болғандықтан, жалпы жағдайда жазықтықтың бір ғана горизонталь деңгей түзуі болады. Горизонталь деңгей түзуін латынның кіші h əрпімен белгілейді. Егер кеңістікте орналасқан жазықтық үшбұрыш арқылы берілсе, онда олардың деңгей түзулері деп үшбұрыштың жақтарын бөлгендегі бөліктерін қосатын сызықтарды айтады. Мысал ретінде 33-суреттегі үшбұрыш арқылы берілген жазықтықтың деңгей түзулерін көрсетелік. Үшбұрыштың А 5 төбесінен үшбұрыштың В 7 С 4 жағын бөліктегендегі 5-бөлікке қарай сəуле жүргіземіз, табылған түзу 44

45 C 4 горизонталь деңгей түзуі болады. Егер кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы жазықтық көлбеулік масштабы арқылы берілсе, онда олардың деңгей түзулері деп жазықтықтың ен ара лық бөліктерінен жазықтыққа жүргізілген перпендикуляр сызықтарды айтады. Бұл жағдайға мысал ретінде 34-суретті қарастырайық. 34-суретте жа зық - тық көлбеулік масштабы арқылы берілген. Бұл көлбеулік масштабы арқылы берілген жазықтықты ен аралық бөліктерге бөлеміз. Осы бөлген бөліктер арқылы көлбеулік масштабының екі қосақталған (параллель) жіңішке жəне қалың сызықтарына тікше (перпендикуляр) түзулер жүргіземіз. Бұл жүргізілген түзулер жазықтықтың горизонталь деңгей түзулері болады. Сандық белгілері бар проекцияларда горизонталь деңгей сызығын латынның кіші h əрпімен белгілеп, осы əріптің астыңғы жағына деңгей түзу сызығының өтетін бөлігінің санын жазып, h 3 деп белгілеп қояды. Айтып кету керек, кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы жазықтықтың үш негізгі сызықтарынан басқа жазықтықтың құлама түзу сызығы болады. Егер кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы жазықтықтың деңгей түзу сызықтарына перпендикуляр түзу жүргізсек, онда бұл түзу h 5 h 6 h 3 h 6 6 P i B P A жазықтықтың құлама түзу сызығы болады Жазықтықтың ізі Жазықтықтың ізі деп жазықтықтың көлденең проекция жазықтығымен қиылысу сызығын айтады. Көлденең жазықтығы мен жазықтық жалпы жағдайда немесе дербес (ерекше) жағдайда (оның ішінде перпендикуляр) 45

46 орналаса ғана қиылысады. Жалпы жағдайда орналасқан жазықтың ізін жазықтығына саламыз (35-cурет). Үшбұрыштың АВ жəне ВС қырларын бөліктерге бөліп, оларды жазықтығына дейін созамыз. Үш бұрыштың А 5 В 1 қыры жазықтығын М АВ нүктесінде қияды. Ал, үшбұрышты А 5 С 2 қыры М АС нүктесінде қиып өтеді. Егер осы табылған қиылысу нүктелерін өзара қоссақ, онда табылған түзу жазықтықтың ізі болады. Жазықтықтың ізін екі қалың сызықтармен сызып, латынның Р М үлкен əрпімен белгілейміз (35-сурет). 35 а)-суретте кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы Р жазықтықтың көрінісі. Ал, 35 б)-суретте Р жазықтығының сандық белгілері бар проекциялар арқылы берілген кескіні мен осы жазықтықтың жазықтығындағы ізі көрсетілген. P A C B M AB P M M AC a) A 5 M AC B C 1 2 P M P M AB б) 46

47 Бақылау сұрақтары 1. Нүктелердің сандық белгілері бар проекциясы дегеніміз не? 2. Масштаб сызғышы дегеніміз не? 3. Монж эпюрі дегеніміз не? 4. Түзу сызықтың сандық белгілері бар проекциясы дегеніміз не? 5. Кесінді табаны дегеніміз не? 6. Түзу сызықтың көлбеулігі дегеніміз не? 7. Жалпы жағдайда орналасқан түзу сызық дегеніміз не? 8. Түзу сызықтың нақты шамасы дегеніміз не? 9. Дербес жағдайда орналасқан түзу сызықтар дегеніміз не? 10. Деңгейлік түзу сызықтар дегеніміз не? 11. Түзу сызықтың көлбеулігі дегеніміз не? 12. Проекцияланушы түзу сызықтар дегеніміз не? 13. Түзу сызықтың ізі дегеніміз не? 14. Жазықтық проекциясы дегеніміз не? 15. Жазықтықтың көлбеулік масштабы дегеніміз не? 16. Жалпы жағдайда орналасқан жазықтық проекциясы дегеніміз не? 17. Дербес жағдайда орналасқан жазықтық проекциясы дегеніміз не? 18. Жазықтықтың ізі дегеніміз не? 19. Жазықтықтың басты сызығы дегеніміз не? 47

48 Жаттығу есептері 1. А(30;20;10) нүктесінің Монж эпюрасы мен сандық белгілері бар проекциясын салып көрсетіңіз. 2. В(10;20;-50) нүктесінің эпюрасын салып көрсетіңіз. 3. В(20;20;10) жəне С(15;5;35) түзу сызығының сандық белгілері бар проекциясын салып көрсетіңіз. 4. Жалпы жағдайдағы А(10;20;20) жəне В(25;15;35) төбелерінен тұратын түзу сызықтың нақты шамасын салып көрсетіңіз. 5. Жалпы жағдайдағы А(10;20;20) жəне В(25;15;35) төбелерінен тұратын түзу сызықтың П о проекция жазықтығына жасаған бұрыштық шамасын салып көрсетіңіз. 6. А(40;20;20) жəне В(25;15;20) төбелерінен тұратын түзу сызықтың кеңістіктегі жағдайын анықтаңыз. 7. D(25;15;40) жəне C(25;15;20) төбелерінен тұратын түзу сызықтың кеңістіктегі жағдайын анықтаңыз. 8. Жалпы жағдайда орналасқан А(10;20;20) жəне В(25;15;35) төбелерінен тұратын түзу сызықтың П о проекция жазықтығындағы ізін салып көрсетіңіз. 9. Жалпы жағдайда орналасқан А(10;20;20), В(25;15;35) жəне С(5;10;30) төбелерінен тұратын жазықтықтың П о проекция жазықтығындағы проекциясын салып көрсетіңіз. 10. Жалпы жағдайда орналасқан А(10;20;20), В(25;15;35) жəне С(5;10;30) төбелерінен тұратын жазықтықтың деңгейлік сызығын салып көрсетіңіз. 11. А(10;20;15), В(25;15;35) жəне С(15;10;30) төбелерінен тұратын жазықтықтың П о проекция жазықтығындағы ізін салып көрсетіңіз. 12. Дербес жағдайда орналасқан А(10;20;40), В(10;20;20) жəне С(15;20;30) төбелерінен тұратын жазықтықтың проекциясын салып көрсетіңіз. 13. Дербес жағдайда орналасқан А(10;20;20), В(25;15;20) жəне С(5;10;20) төбелерінен тұратын жазықтықтың проекциясын салып көрсетіңіз. 48

49 Төртінші тарау ПОЗИЦИЯЛЫҚ ЖӘНЕ МЕТРИКАЛЫҚ ЕСЕПТЕР Позициялық (тұрғылықты) жəне метрикалық (өлшем) есептер жалпы сызба геометрияның негізгі есептері болып табылады. Позициялық (тұрғылықты) есептер дегеніміз - геометриялық фигуралардың сызбалары арқылы олардың кеңістіктегі өзара орналасуын анықтайтын есептер. Позициялық есептерге: нүкте мен түзудің, түзу мен түзудің, нүкте мен жазықтықтың, түзу мен жазықтықтың, жазықтық пен жазықтықтықтың, жазықтық пен беттің, екі беттің өзара орналасу есептері жатады. Метрикалық (өлшем) есептер дегеніміз - геометриялық фигуралардың сызбалары арқылы олардың кеңістіктегі өзара қашықтықтарын, олардың арасындағы бұрышын жəне олардың ауданын, нақты шамасын т.с.с. жағдайын анықтайтын есептер. 4.1 Позициялық есептер Күрделі емес позициялық есептерді шешуде көбінесе жалпы əдістер пайдаланылады. Бұл параграфта кеңістіктегі нүкте мен түзу сызықтың өзара орналасуы, кеңістіктегі түзу сызықтардың өзара орналасуы, кеңістіктегі екі жазықтықтың өзара орналасуы жəне кеңістіктегі түзу мен жазықтықтың өзара орналасулары сияқты позициялық есептерді қарастырамыз Нүкте мен түзу сызықтың өзара орналасулары Кеңістікте нүкте мен түзу сызық əртүрлі жағдайда кездесуі мүмкін. Кеңістікте нүкте түзу сызық бойында немесе түзу сызықтан тыс орналасуы мүмкін. Осы тақырыпқа мысал ретінде 36-суреттегі нүктелер мен түзудің өзара орналасуларын қарастырайық. 36-суреттегі С 5 нүктесі А 5 В 2 түзу сызығынан тыс жатқан нүкте. Ал, D 3 нүктесі А 5 В 2 түзу сызығының бойында жатқан нүкте, өйткені бұл нүкте түзу сызықтың ен аралыққа бөлгендегі үшінші бөлігіне тең. 49

50 Үшінші Е 7 нүктесін алсақ, бұл нүкте проекциясы түзу сызық бойында жатқанымен, түзу сызықтан тыс орналасқан, түзу бойында жатпайтын нүкте. Себебі, Е 7 нүктесі түзу сызық бойында жатпайды, 4-енаралық үстінде орналасқанымен, бұл нүктенің сандық белгісі 7-ге тең. B 2 D 3 C 5 E 7 A Түзу сызықтардың өзара орналасулары 36- сурет Түзу сызықтар кеңістікте өзара орналасуларына байланысты: параллель, қиылысқан, айқасқан жəне перпендикуляр (тікше) болып келеді. Егер кеңістіктегі екі түзу сызықтың көл денең проекция жазықтығындағы C 5 B 2 37-сурет D 8 A кескіндерінің кескін табандары өзара параллель, ен аралықтары тең жəне сандық белгілері бір бағытта өсетін болса, онда мұндай түзу сызықтарды өзара парал лель түзулер дейді. Мысал ретінде 37-cуретте орна ласқан А 5 В 2 жəне С 5 D 8 түзу сызық тарын қарастырайық. Көлденең жазықтығында кескінделген А 5 В 2 түзуіне С 5 D 8 түзу сызығы параллель орналасқан, өйткені екі түзу сызықтың кескіндері өзара параллель, ен аралықтары тең жəне өсу бағыттары сəйкес келген түзулер. Егер екі түзудің кескін табандары бір нүктеде қиылысса жəне осы нүктедегі сандық белгілері бірдей болса, ондай түзулер өзара қиылысқан түзулер деп аталады (38-сурет). Мысал қарастырайық. Көлденең жазықтығында өзара қиылысқан А 9 В 4 түзу сызығы мен С 5 D 8 түзу сызығының кескіні берілген жəне екі түзу К 6 нүктесінде қиылысады. Берілген екі түзу сызықты ен аралықтарға бөлеміз. Бөлінген ен аралықтар алтыншы санында қиылысып жатыр. Демек, бұл екі түзу сызық - өзара қиылысып жатқан түзу сызықтар. B 4 C 5 K 6 D 8 A

51 C 5 A 9 A A 7 C 5 C B 2 D B 5 D B 5 D Егер кеңістіктегі екі түзу кескін табандары қиылысқан болса, бірақ ортақ қиылысу нүктесі болмаса жəне түзулердің ен аралықтары əртүрлі болса, онда мұндай түзулер өзара айқас түзулер деп аталады. Мысал ретінде 39-cуретте орналасқан түзу сызықтарды қарастырайық. Көлденең жазықтығында кескінделген өзара қиылысып жатқан А 7 В 2 түзуі мен С 5 D 8 түзу сызықтары берілген. Бұл қиылысып жатқан түзулердің ортақ нүктесі жоқ. Түзулердің ен аралықтары өзара тең емес, яғни бұл түзулер айқасып жатыр. Өзара айқас түзулердің кейде кеңістіктегі кескін табандары өзара параллель болып та келеді, бірақ өсу бағыттары қарама-қайшы болады. Өзара айқасып жатқан түзулерге тағы бір мысал ретінде 40-cуретті қарастырайық. жазықтығында кескінделген А 9 В 5 түзуі мен С 5 D 8 түзу сызықтары берілген. Бұл қиылысып жатқан түзулердің ортақ нүктесі жоқ. Түзулердің ен аралықтары өзара тең емес, яғни бұл түзулер айқасып жатыр. Егер кеңістіктегі орналасқан түзу сызықтардың кескін табандары қиылысқан, бірақ түзу сызықтың біреуінің кесінді табаны горизонталь (деңгейлік) түзу болса, ал екінші түзу сызық осы түзу сызыққа (кескін табаны) перпендикуляр орналасса, онда мұндай түзулер өзара перпендикуляр түзулер деп аталады (41-сурет). Өзара перпендикуляр түзулерге мысал ретінде 41-cуретті қарастырайық. 41-cуретте көлденең жазықтығына параллель орналасқан А 5 В 5 түзуі берілген. Осы түзу сызықтың бойында жатқан С 5 нүктесін белгілеп алып, С 5 нүктесі арқылы перпендикуляр С 5 D 8 түзу сызығын жүргізсек, онда бұл түзулер өзара перпендикуляр түзулер болады. 51

52 4.1.3 Екі жазықтықтың өзара орналасуы Жазықтықтар да түзу сызықтар сияқты өзара параллель жəне қиылысқан болып келеді. Егер кеңістікте орналасқан екі жазықтықтардың көлбеу масштабы арқылы берілген проекциялары өзара параллель, ен аралықтары тең жəне сандық белгілері бір бағытта өссе (немесе төмендесе), онда мұндай жазықтықтарды өзара параллель жазықтықтар деп атайды. 42-суретте Р жəне Q жазықтықтарының көлбеу масштабы арқылы берілген кескіндері көрсетілген. Суретте көрсетілгендей екі жазықтықтардың ен аралықтары мен өсу бағыттары өзара тең. Көлбеу масштабы арқылы берілген жазықтықтардың кескіндері де өзара параллель орналасқан. Егер жоғарыдағы айтылған қағидалар орындалмаса, яғни ен аралықтары мен өсу бағыттары өзара параллель орналаспаған болса, онда мұндай жазықтықтарды өзара қиылысқан жазықтықтар деп атайды (43-сурет). Жоғарыдағы мысалдағыдай, 43-суретте Р жəне Q жазықтықтарының көлбеу масштабы арқылы берілген кескіні көрсетілген. Жазықтықтардың ен аралықтары əртүрлі жəне жазықтықтардың кескіндері өзара параллель емес, яғни кеңістікте орналасқан екі жазықтық ортақ қиылысу сызығында қиылысады. Енді осы қиылысу сызығын анықтау үшін, жазықтықтардың ен аралықтарынан жазықтық кескініне перпендикуляр болатындай сəулелер жүргіземіз. Екі жазықтықтан жүргізген өзара аттас сəулелерді өзара қиылысқанға дейін созамыз. Егер осы табылған қиылысу нүктелерін өзара қоссақ, онда табылған сызық екі жазықтықтың қиылысу сызығы болады (43-сурет) P i 4 P i Q i KC 11 Q i

53 4.1.4 Түзу мен жазықтықтың өзара орналасулары B 6 A 3 P i P i P i B 6 K 7 A 3 D 12 C B 6 A 3 Q i Кеңістікте түзу сызықтар жазықтыққа параллель, меншікті (жазықтық бойында жатады) жəне перпендикуляр (тікше) қиылысады. Енді осы жағдайларға мысал қарастырамыз. Егер түзудің екі нүктесі жазықтық бойында жатса, онда мұндай түзу сызық жазықтыққа меншікті болады. Мысал қарастырайық. 44-суретте Р жазықтығының көлбеу масштабы арқылы берілген кескіні көрсетілген. Түзудің А жəне В нүктелері осы жазықтықтың аттас горизонтальдарының бойында жатыр, яғни АВ түзу сызығы Р жазықтығына меншікті болады. Егер жазықтыққа меншікті түзу сызыққа екінші бір түзу параллель болса, онда бұл түзу сызық жазықтыққа параллель болады. Мысал ретінде 45-cуретті қарастырайық. Суретте көлбеу масштабы арқылы берілген Р жазықтығы мен осы жазықтыққа меншікті АВ түзуі берілген. АВ түзуінің А жəне В нүктелері Р жазықтығының аттас горизонтальдар бойында жатыр. АВ түзу сызығына параллель болатын СD түзуін жүргіземіз. Егер СD түзу сызығы АВ түзуіне параллель болса, онда СD түзу сызығы Р жазықтығына да параллель болғаны. Егер түзу сызық жазықтыққа меншіксіз немесе жазықтыққа параллель болмаса, онда мұндай түзу сызықтар жазықтықпен қиылысады (46-сурет). Жазықтықпен түзу сызықтың қиылысу нүктесін табу үшін, 46-суретте көрсетілгендей, А 3 В 6 түзу сызығы арқылы кез келген проекцияланушы Q жазықтығын жүргіземіз. Бұл Q жазықтығын жүргізіп отырған себебіміз екі жазықтықтың қиылысу сызығын анықтау. Ол үшін жазықтықтарды ен 53

54 аралықтарға бөліп, осы ен аралықтардан горизонталь түзулерін жүргіземіз. Аттас горизонтальдар өзара қиылысып, екі жазықтықтың қиылысу сызығын анықтаймыз. Енді осы табылған қиылысу сызығын берілген А 3 В 6 түзу сызығына дейін созып, К 7 қиылысу нүктесін табамыз (46-cурет). Егер түзу сызықтың проекциясы көлбеулік масштабы арқылы берілген жазық тыққа параллель (немесе жазықтықтың горизонталына перпендикуляр), ен ара лықтары кері пропорционал болса жəне ен аралықтарының сандық белгілері кері қарай өссе, онда мұндай түзу сызықтарды жазықтыққа перпендикуляр орналасқан түзу сызықтар дейді (47-cурет). Жазықтыққа перпендикуляр түзу жүргізу үшін, алдымен көлбеулік масштабы арқылы берілген Р жазықтығы мен осы жазықтыққа меншікті А 4 нүктесі берілсін. Осы берілген меншікті нүкте арқылы перпендикуляр түзу сызық жүргізу үшін түзудің ен аралығын анықтау қажет. Ол үшін тікбұрышты үшбұрыштар əдісін пайдаланамыз. Түзу сызық бойына жазықтықтың ен аралығын l ж өлшеп салып, 47-суретте көрсетілгендей, масштаб сызғышынан бір бірлікті өлшеп алып, жазықтықтың ен аралығы l ж сызылған сызыққа перпендикуляр түсіріп, К нүктесін табамыз. Осы нүкте арқылы тікбұрышты үшбұрышты саламыз. Табылған үшбұрыштың гипотенузасын К нүктесінен жүргізілген сызық (қызыл сызық) L нүктесінде қиып өтеді. Осы нүкте мен жазықтық (l ж ) ен аралығының арақашықтығы түзу сызықтың ен аралығы l т болады. Енді А 4 нүктесінен көлбеулік масштабы арқылы берілген Р жазықтығына параллель түзу жүргізіп, осы түзу бойына түзу сызықтың ен аралығын l т өлшеп саламыз. Бұл табылған түзу сызық жазықтыққа перпендикуляр түзу болып табылады. l m B 9 A 4 P i lж K l m L Метрикалық есептер Сандық белгісі бар проекциялар горизонталь жазықтығында орындалса да, сызбада тікбұрышты (ортогональ) проекциялар қағидаларымен құрылатын болғандықтан, тікбұрышты проекцияларда қолданылатын əдістердің көбін сандық белгісі бар проекцияларда да пайдалануға болатынын айта кету керек. Сондықтан метрикалық (өлшем) есептерді шешуде жалпы əдістерді пайдаланамыз. 54

55 B B 6 HШ Түзу сызықтың нақты шамасы мен жазықтыққа жасайтын бұрышы A 4 A Егер түзу сызық кеңістікте жалпы жағ дайда орналасқан болса, онда оның көлденең жазық тығындағы проекциясы бұрмаланып, түзу сызық ұзын немесе қысқа болып кескінделеді. Сандық белгісі бар проекцияларда жалпы жағдайда берілген түзу сызықтың нақты шама сын (ұзындығын) табу үшін, берілген А 4 В 6 түзуінің А 4 жəне В 6 нүктелерінен түзуге перпендикуляр сызық жүргіземіз. Осы сызық бойына сан өлшемдерін өлшеп саламыз. Егер табылған А жəне В нүктелерін өзара қоссақ, онда жүргізілген түзу сызық ұзындығы түзудің нақты шамасы болады (48-сурет). Енді түзудің жазықтыққа жасайтын бұры шын анықтау үшін, А нүктесінен А 4 В 6 түзуінің сандық белгісі бар проекциясына параллель түзу жүргіземіз. Осы түзу мен түзудің нақты шамасының арасындағы бұрышы А 4 В 6 түзу сызығы мен көлденең жазықтықтың арасындағы бұрышы болып табылады Нүкте мен жазықтықтың арақашықтығы Жоғарыда айтып кеткендей, метрикалық есептер деп гео метриялық фигуралардың сыз балары арқылы олардың кеңістіктегі өзара қашықтықтарын аны қтайтын есептерді айтады. Н үкте мен жазықтықтың ара қашықтығын анықтауға мы сал ретінде 49-суретті қа рас тырайық. Суретте кеңіс тік те орналасқан S 2 нүктесі мен көлбеулік масштабы ар қылы Р жазықтығы берілген. Жазықтыққа S 2 нүктесі ар қылы перпендикуляр түзу сызық жүргіземіз. Бұл түзу сызықтың ен аралығын анықтау үшін, тікбұрышты үшбұрыш əдісін пай даланамыз. Сызық бойына жазықтықтың ен аралығын l ж өлшеп, О нүктесін анықтаймыз. Осы сызыққа перпендикуляр масштаб сызғышынан бір бірлікті өлшеп салып, L нүктесін табамыз. Табылған көлбеу сызыққа (жасыл сызық) перпендикуляр (қызыл) сызық жүргіземіз. Бұл қызыл сызық бастапқы жүргізілген сызықты М нүктесінде қиып өтеді. М жəне О нүктелерінің арақашықтық перпендикуляр түзу сызығының ен аралығы l т болады. Осы табылған ен аралықты S 2 нүктесінен көлбеулік масштабы арқылы берілген Р жазықтығына жүргізілген параллель түзу сызық бойына өлшеп саламыз. 55

56 Енді осы түзу сызықтың жазықтықпен қиылысу сызы ғын анықтау керек. L l ж O Ол үшін түзу арқылы 5 проекцияланушы Q жазықтығын жүргіземіз. Осы 7 6 M l т N KC Q жазықтығы мен көлбеулік масштабы арқылы 6 K берілген Р жазықтығының 5 қиылысу сызығын анықтаймыз. Осы қиылысу үшін, 3 4 P i екі жазықтықтың аттас горизонтальдарын өзара қосамыз. S 2 Барлық өзара қосқан аттас Q i П горизонтальдар тек қана бір түзуде қиылысады. Біздің мысалымызда жазық тықтың 5-горизонталі мен түзу сызықтың 5-горизонталі жəне 6 мен 6-горизонтальдарын өзара қосқанда бұл сызықтар N нүктесінде қиылысады. Осы нүкте арқылы горизонталь сызыққа параллель түзу жүргіземіз. Бұл түзу сызық екі жазықтықтың қиылысу сызығы болатынын жоғарыда айтқанбыз. Табылған қиылысу сызығы перпендикуляр түзуді B бөлігінде қиып өтеді. Қиы- S 12 лысу нүктесін К əрпімен белгілейміз. K 3,3 P Табылған К 5.5 нүктесімен S 2 A нүктесінен Р жазықтығына де- C 1 5 йінгі арақашықтық кеңістіктегі нүкте мен жазықтықтың арақашықтығы болып табылады. ж l m l M 1 м O Нүкте мен жазықтықтың ара қашықтығын анықтауға П L екінші мысал қарастырайық (50-сурет). Суретте кеңістікте орналасқан S 12 нүктесі мен үшбұрыш арқылы Р жазықтығы берілген. Есепті шешу үшін, алдымен жазықтыққа S 12 нүктесі арқылы перпендикуляр түзу сызық жүргіземіз. Бұл перпендикуляр сызық жазықтықтың горизонталь сызығына перпендикуляр болып түсуі шарт. Тікбұрышты үшбұрыш əдісін пайдаланып, түзу сызықтың ен аралығын анықтаймыз. Ол үшін бір сызық бойына жазықтықтың ен 1 M 56

57 аралығын l ж өлшеп салып, О нүктесін табамыз. Осы нүктеден масштаб сызғышынан бір бірлікті өлшеп алып, L нүктесін саламыз. Сызыққа (жасыл сызық) перпендикуляр (қызыл) сызық жүргіземіз. Бұл сызық бастапқы жүргізілген сызықты М нүктесінде қиып өтеді. Табылған М мен О нүктелерінің арақашықтығы перпендикуляр түзу сызықтың ен аралығы l т болады. Табылған ен аралықты S 12 нүктесінен жүргізілген сызық бойына өлшеп саламыз. Енді осы түзу сызықтың жазықтықпен қиылысу сызығын анықтау керек. Егер жазықтық пен түзу сызықтың аттас горизонтальдарын өзара қоссақ, онда өзара аттас горизонтальдар тек қана бір нүктеде қиылысады. Біздің мысалымызда бұл сызықтар К 3.3 нүктесінде қиылысады. Табылған К 3.3 нүктесі кеңістікте орналасқан S 12 нүктесі мен үшбұрыш арқылы берілген Р жазықтығының арақашықтығы болып табылады. Метрикалық есептердің бірнеше түрлерінің жалпы əдіспен шешу жолдарын көрсеттік. Қалған есептердің шешу жолдарын келесі тарауда көрсетеміз. Бақылау сұрақтары 1. Позициялық есептер дегеніміз не? 2. Түзу сызықтар өзара қалай орналасады? 3. Жазықтықтар өзара қалай орналасады? 4. Жазықтық пен түзу сызық өзара қалай орналасады? 5. Метрикалық есептер дегеніміз не? 6. Түзу сызықтың нақты шамасын қалай анықтайды? 7. Жазықтық пен нүктенің арақашықтығын қалай анықтайды? 57

58 Жаттығу есептері 1. Жалпы жағдайда орналасқан А(10;20;20); В(25;15;30) төбелерінен тұратын түзу сызық пен С(15;10;20) нүктесінің өзара орналасуларын салып көрсетіңіз. 2. Кеңістікте орналасқан А(20;20;20); В(25;15;30) жəне С(10;20;25); D(25;25;10) төбелерінен тұратын түзу сызықтардың өзара орналасуларын салып көрсетіңіз. 3. Кеңістікте орналасқан өзара параллель түзу сызықтарды салып көрсетіңіз. 4. Кеңістікте орналасқан өзара перпендикуляр түзу сызықтарды салып көрсетіңіз. 5. Жалпы жағдайда орналасқан кеңістіктегі АВС жəне DEF жазықтықтарының өзара орналасуларын салып көрсетіңіз. 6. Жалпы жағдайда орналасқан кеңістіктегі А(20;20;20); В(25;15;30); С(10;20;25) төбелерінен тұратын жазықтық пен Е(10;20;25); D(5;25;10) төбелерінен тұратын түзу сызықтың өзара орналасуларын салып көрсетіңіз. 7. Кеңістікте орналасқан А(20;20;20); В(25;15;30); С(10;20;25) жазықтығының бойында жатқан D нүктесінен перпендикуляр түзу сызығын салып көрсетіңіз. 8. Кеңістікте орналасқан А(10;20;10); В(15;15;30); С(20;10;25) жазықтығы Е(10;20;25); D(5;25;10) түзу сызықтың қиылысу сызығын салып көрсетіңіз. 58

59 Бесінші тарау СЫЗБАНЫ ТҮРЛЕНДІРУ ТӘСІЛДЕРІ Егер кеңістіктегі геометриялық фигуралардың жазықтық бетіндегі проекциясы (кескіні) жеке жағдайда орналасқан болса, онда есеп шешімі оңай жəне жеңіл болады. Сондықтан жалпы жағдайда орналасқан есептерді жеке жағдайға келтіріп шешу əдісін сызбаны түрлендіру тəсілдері дейді. Түрлендіру тəсілдерінің негізгі міндеті жалпы жағдайда кескінделген геометриялық фигураларды жеке жағдайға түрлендіру. Осы түрлендіру тəсілдерін пайдалана отырып, сызба геометрия курсындағы көптеген қиын да күрделі позициялық (тұрғылықты) жəне метрикалық (өлшем) есептерді шешу жолдарын жеңілдетеді. Түрлендіру тəсілдерінің түрлері өте көп, олардың ішінде көп тараған түрлері проекция жазықтығын бір немесе бірнеше жазықтықпен алмастыру жəне айналдыру (деңгей сызығы мен беттестіру) тəсілдері болып табылады. 5.1 Проекция жазықтығын алмастыру тəсілі Проекция жазықтығын алмастыру тəсілінің маңызы күрделі есептерді шешу үшін, көлденең проекция жазықтығын бір жазықтықпен немесе екі жазықтықпен алмастыру арқылы есептің шешуін табуға болады. Егер геометриялық фигуралардың кескініне бірінші проекция жазықтығын параллель алсақ, онда екінші проекция жазықтығын сол кескінге перпендикуляр етіп орналастырамыз. Осы тəсілді пайдаланып, түзудің жəне жазықтықтың нақты шамасын, түзу мен жазықтықтың немесе екі жазықтықтың бұрыштық шамасын, нүкте мен жазықтықтың арақашықтығын жəне тағы басқа сол сияқты есептерді шешуге болады. 59

60 5.1.1 Түзу сызықтың нақты шамасы мен проекция жазықтығына жасаған бұрышын анықтау Түрлендіру тəсілдерінің проекция жазықтығын жаңа бір проекция жазықтығымен алмастыру тəсілін пайдаланып, түзу сызықтың нақты шамасын анықтауды қарастырайық. Мысал ретінде АВ түзу сызығының нақты шамасын жəне осы түзу сызықтың жазықтығымен жасаған бұрышын анықтау есебі (51-сурет). П 4 B 4 B НШ A 4 B 6 A a) A 4 x 1 B HШ х 1 A B 6 П 4 A 4 б) Көлденең жазықтығында АВ түзу сызығы берілген. Осы түзу сызыққа параллель орналасқан жаңа бір П 4 проекция жазықтығын аламыз (51, а) 60

61 сурет). Жаңа жазықтық көлденең жазықтығымен қиылысып, х 1 осін береді. Берілген түзу сызықтың А жəне В төбелерінен жаңа П 4 проекция жазықтығына перпендикуляр сəулелер жүргіземіз. Перпендикуляр сəулелер жаңа проекция жазықтығын А 4 жəне В 4 нүктелерінде қиып өтеді. Егер осы табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда АВ түзуінің нақты шамасын табамыз. Түзу сызықтың А 4 төбесінен көлденең жазықтығына параллель сəуле жүргіземіз. Осы түзу мен түзудің нақты шамасының арасындағы бұрыш шамасы кеңістіктегі АВ түзуі мен көлденең жазықтығының арасындағы α бұрышын көрсетеді. Егер жаңа П 4 проекция жазықтығын х 1 осі арқылы бұрып, көлденең проекция жазықтығымен беттестірсек, онда есептің шешуі жазықтықты алмастыру тəсілі арқылы орындалады. Түзу сызықтың нақты шамасы мен жазықтыққа бұрыштық шамасын сандық белгілері бар проекцияда көрсетейік (51, б)-сурет). Көлденең жазықтығында А 4 В 6 түзу сызығының кескіні берілген. Осы түзу сызыққа кез келген жерден параллель орналасқан жаңа бір П 4 проекция жазықтығын аламыз. Бұл жаңа жазықтық көлденең жазықтығымен қиылысып, х 1 осін береді. Берілген түзу сызықтың А 4 жəне В 6 төбелерінен осы х 1 осіне перпендикуляр сəулелер жүргіземіз. Перпендикуляр сəулелер бойына жаңа жазықтықта нүктелердің өлшемдерін өлшеп саламыз. Табылған нүктелерді өзара қосып, АВ түзуінің нақты шамасын табамыз. Түзудің А 4 төбесінен х 1 осіне параллель сəуле жүргіземіз. Табылған бұрыш көлденең жазықтығы мен А 4 В 6 түзу сызығының арасындағы α бұрыш болады Нүкте мен жазықтықтың арақашықтығын анықтау Көлденең проекция жазықтығындағы геометриялық фигуралардың кескіндерін жаңа проекция жазықтығымен алмастыру тəсілін пайдаланып, нүкте мен жазықтықтың арақашықтығын анықтауды қарастырайық. Мысал ретінде кеңістікте орналасқан нүкте мен жалпы жағдайда орналасқан жазықтықтың арақашықтығын анықтау есебін қарастырамыз (52 жəне 53-суреттер). Кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы А 1 В 3 С 5 үшбұрышы арқылы берілген жазықтық пен кеңістікте орналасқан S 12 нүктесінің кескіні берілген (52-сурет). Нүкте мен жазықтықтықтың арақашықтығын табу үшін, В 3 төбесінен h 3 горизонталь негізгі сызығын жүргіземіз. Осы сызықтың кез келген жерінен перпендикуляр болатын жаңа бір П 4 проекция жазықтығын саламыз. Бұл жазықтық көлденең жазықтығымен қиылысып, х 1 осін береді. Жаңа П 4 проекция жазықтығында өлшемдері арқылы жазықтық пен нүктенің кескінін саламыз. S 4 нүктесінен А 4 В 4 С 4 үшбұрышы арқылы берілген жазықтыққа (біздің мысалымызда жазықтық түрленіп бір түзу болады) 61

62 B 3 P S 12 K 2 A 1 x 1 C 5 h 3 А 4 К 4 В 4 П 4 P 4 C S 4 перпендикуляр сəуле жүргіземіз. Сəуле жазықтықты К 4 нүктесінде қиып өтеді. Табылған К 4 нүктесі мен S 4 нүктесінің арасы іздеп отырған жазықтық пен нүктенің арақашықтығы болып табылады. x 1 P 4 P i 7 K S K 4.8 П S 12 62

63 Кеңістікте орналасқан К нүктесін, көлденең проекция жазықтығын анықтайық. Ол үшін керісінше, К 4 нүктесінен х 1 осіне перпендикуляр болатын сəуле жүргіземіз. S 12 нүктесінен х 1 осіне параллель болатын сəулені К 4 нүктесінен жүргізген сəулемен қиылысқанға дейін созамыз. Табылған К 2 нүктесі мен S 12 нүктесінің арақашықтығы жазықтық пен нүктенің арақашықтығы болады. 53-суретте кеңістіктегі нүкте мен жалпы жағдайда орналасқан жазықтықтың арақашықтығын анықтаймыз. Ол үшін жазықтықтың кескініне кез келген жерден параллель жаңа П 4 проекция жазықтығын саламыз. Жазықтықтың горизонтальдарын жүргізіп, П 4 проекция жазықтығында Р жазықтығы мен S 4 нүктесін анықтаймыз. Қалған жазықтық пен кеңістікте орналасқан нүктенің арақашықтығы жоғарыда көрсетілген мысалдағы шығару жолымен шешіледі Екі жазықтық арасындағы бұрыштық шаманы анықтау Енді жазықтықты алмастыру тəсілін пайдаланып, кеңістікте орналасқан екі жазықтық арасындағы бұрыштық шаманы анықтауды қарастырайық. Бұл есептер күрделі есептер қатарына жататын болғандықтан, көлденең проекция жазықтығын екі жаңа проекция жазықтығымен алмастырамыз (54-сурет). Көлденең жазықтығында кеңістікте түйіндесіп орналасқан А 1 В 4 C 5 жəне А 1 В 4 S 2 үшбұрыштарының кескіндері берілген. Үшбұрыштардың А 1 В 4 қырларының екі жазықтыққа ортақ екені көрініп тұр. Осы ортақ жазықтықтар қырына кез келген жерден параллель жаңа бір П 4 проекция жазықтығын саламыз. Бұл жаңа П 4 жазықтығы көлденең проекция жазықтығына перпендикуляр орналасып, жазықтығын х 1 осінде қиып өтеді. Үшбұрыштардың барлық төбелерінен х 1 осіне перпендикуляр болатын сəулелер жүргіземіз. Осы сəулелер бойына өз сандық өлшемдерін өлшеп саламыз. Егер табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда кеңістікте берілген екі жазықтықтың жаңа П 4 проекция жазықтығындағы кескінін табамыз. Үшбұрыштардың А 1 В 4 қырлары х 1 осіне параллель болғандықтан, жаңа П 4 проекция жазықтығындағы кескіні нақты шамасымен кескінделеді. Сондықтан осы үшбұрыштардың А 4 В 4 қырына келесі екінші П 5 проекция жазықтығын перпендикуляр етіп аламыз. Жаңа П 5 жазықтығы да проекция жазықтығына перпендикуляр орналасқан жазықтық. проекция жазықтығын бұл жазықтық х 2 осінде қиып өтеді. Үшбұрыштардың төбелерінен х 2 осіне перпендикуляр болатын сəулелер жүргіземіз. Осы сəулелер бойына өз сандық 63

64 өлшемдерін өлшеп, үшбұрыштардың екінші П 5 проекция жазықтығындағы кескінін саламыз. Бұл табылған кескін екі түзу сызықты береді. Екі түзу сызықтың арасындағы α бұрышы екі үшбұрыштың арасындағы бұрыштық шамасы болады Айқасып жатқан екі түзудің арақашықтығын анықтау Проекция жазықтығын алмастыру тəсілін пайдалана отырып, екі айқасып жатқан түзудің ең жақын арақашықтығын анықтауды қарастырайық. Мұндай есептер күрделі есептер қатарына жатады. Сондықтан көлденең проекция жазықтығын екі жаңа проекция жазықтығымен алмастырамыз. 64

65 C 5 K 3.5 D 3 A1 B6 N 5 x 1 П 4 А 4 К 4 D 4 х 2 С 4 N 4 В 4 D 5 K 5 A 5 B5 N 5 HШ П 4 П 5 C 5 Екі айқасып жатқан түзу сызықтың арасындағы ең жақын арақашықтықты анықтау есебін қарастырайық (55-сурет). Көлденең проекция жазықтығында А 1 В 6 жəне C 5 D 3 түзу сызықтарының кескіндері берілген. Осы сызықтардың біреуіне кез келген жерден параллель жаңа бір П 4 проекция жазықтығын аламыз. Біздің мысалымызда кеңістікте орналасқан А 1 В 6 түзу сызығына параллель жаңа П 4 проекция жазықтығы берілген. Жаңа П 4 жазықтығы көлденең проекция жазықтығына перпендикуляр орналасқандықтан, жазықтығын х 1 осінде қиып өтеді. Түзулердің төбелерінен х 1 осіне перпендикуляр болатын сəулелер жүргізіп, сол сəулелер бойына өзіміз сандық өлшемдерін өлшеп саламыз. Егер табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда табылған түзулер жаңа П 4 проекция жазықтығындағы кескіндері болады. проекция жазықтығындағы А 1 В 6 түзуі П 4 проекция жазықтығына параллель болғандықтан, ол П 4 проекция жазықтығында нақты шамасымен кескінделеді. Келесі екінші П 5 проекция жазықтығын А 4 В 4 түзу сызығына перпендикуляр етіп аламыз. Бұл П 5 жазықтығы проекция жазықтығына перпендикуляр орналасқан проекция жазықтығын х 2 осінде қиып өтеді. Түзу сызықтың төбелерінен х 2 осіне перпендикуляр болатын сəулелер жүргіземіз. Осы 65

66 сəулелер бойына өз сандық өлшемдерін өлшеп, түзулердің екінші П 5 проекция жазықтығындағы кескінін саламыз. Бұл табылған кескін түзу мен нүктені береді. Түзулердің арақашықтығын табу үшін, табылған нүктеден түзу сызыққа перпендикуляр жүргізіп, К 5 нүктесін анықтаймыз. Осы нүктеден х 2 осіне перпендикуляр түсіріп, C 4 D 4 түзу сызық бойынан К 4 нүктесін анықтап, осы нүктеден А 4 В 4 түзуіне перпендикуляр түсіріп, N 4 нүктесін табамыз. Табылған нүктелерді проекция жазықтығына перпендикуляр жүргізіп, N 5 жəне К 3.5 нүктелерін анықтаймыз. Табылған нүктелердің арасы екі түзу сызықтың арақашықтығы болады. 5.2 Айналдыру тəсілі Сызба геометрия пəніндегі көптеген қиын да күрделі позициялық (тұрғылықты) жəне метрикалық (өлшем) есептерді түрлендіру тəсілдерімен шешкен өте ыңғайлы əрі жеңіл болады. Жоғарыда айтып кеткендей, түрлендіру тəсілдерінің негізгі міндеті жалпы жағдайда орналасқан геометриялық фигураларды жеке жағдайға түрлендіру. Сызбаны түрлендіру тəсілдерінің көп тараған бір түрі геометриялық фигуралардың кескіндерін айналдырып, есептің шешуін табу болып табылады. Есептің шешуін жеңілдету үшін, айналдыру тəсілінде айналдыру осьтерін проекция жазықтығына перпендикуляр немесе параллель етіп алады. Айналдыру тəсілі айналу осьтеріне байланысты бірнеше түрге бөлінеді. Егер айналдыру осі көлденең проекция жазықтығына перпендикуляр болып орналасса, онда оны тікше (перпендикуляр) ось бойында айналдыру тəсілі деп атайды. Егер айналдыру осі көлденең проекция жазықтығына параллель болып орналасса, онда оны деңгей түзуі бойында айналдыру тəсілі деп атайды. Егер айналдыру осі көлденең проекция жазықтығының бойында жатса (меншікті болса), онда мұндай айналдыру əдісін беттестіру тəсілі деп атайды. Сандық белгілері бар проекцияларда позициялық жəне метрикалық есептерді шешу айналдыру тəсілдерінің ішіндегі деңгей түзуі бойындағы айналдыру мен беттестіру тəсілдері болып табылады. Осы тəсілдер арқылы бірнеше мысалдардың шешу жолын төменде қарастырайық Жазықтықтың нақты шамасын деңгей түзуінің бойында айналдыру тəсілімен анықтау Сызбаны айналдыру тəсілінің деңгей түзуінің бойында айналдыру түрін пайдалана отырып, кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы жа зықтықтың нақты шамасын анықтау есебіне мысал қарастырамыз (56-сурет). 66

67 h 5 h 5 B 4 B 5 B 5 E 5 C 5 C 5 C 6 C 6 D 5 5 l / C/ 5 C 5 A 5 A Көлденең проекция жазықтығында А 5 В 4 C 6 үшбұрышы арқылы жалпы жағ дайдағы жазықтық кескіні беріл ген. Жазықтықтың А 5 төбесінен горизон таль h 5 деңгейлік түзуін жүр гіземіз. Бұл деңгей сызығы үшбұрыштың В 4 C 6 қырын Е 5 нүктесінде қиып өтеді. Енді үшбұрыштың C 6 төбесінен осы деңгей түзуіне перпендикуляр сəуле түсіреміз. Қиылысқан нүктені D 5 нүктесі деп белгілейміз. Осы табылған C 6 D 5 кесіндісіне C 6 төбесінен перпендикуляр сəуле жүргізіп, сəуле бойына бір бірлікті өлшеп саламыз. / Табылған нүктені C 5 деп белгілейміз. / Енді D 5 нүктесі арқылы C 5 нүктесін айналдырып, C 5 нүктесін табамыз. Бұл созылған Е 5 C 5 кесінді В 4 төбесінен түсірген перпендикуляр сəулемен қиылысып, В 5 нүктесін береді. Егер табылған В 5 жəне D 5 нүктелерін А 5 нүктесімен қоссақ, онда кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы А 5 В 4 C 6 үшбұрышы арқылы берілген жазықтықтың кескіні проекция жазықтығына параллель болады, яғни жазықтық түрленіп,нақты шамасымен кескінделеді. Айналдыру тəсілінің деңгей түзуінің бойында айналдыру əдісін пайдаланып, кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы жазықтықтың нақты шамасын (56-суретте қызыл сызықпен берілген) анықтадық Жазықтықтың нақты шамасын беттестіру тəсілімен анықтау Түрлендіру тəсілдерінің беттестіру тəсілін пайдалана отырып, кеңістікте жалпы жағдайда орналасқан жазықтықтың нақты шамасын анықтауды қарастырамыз. Беттестіру тəсілінің маңызы кеңістікте жалпы жағдайда орналасқан үшбұрышы арқылы берілген жазықтық кескінінің проекция жазықтығындағы ізін анықтап, осы жазықтық ізі арқылы жазықтықты айналдырып, проекция жазықтығымен беттестіру болады. Енді кеңістікте жалпы жағдайда орналасқан үшбұрышы арқылы берілген жазықтықтың нақты шамасын анықтау есебін қарастырайық (57-сурет). Суретте жалпы жағдайда орналасқан А 2 В 1 C 3 үшбұрышы арқылы жазықтық берілген. Жазықтықтың ізін табу үшін А 2 В 1 жəне C 3 В 1 қырларын ен аралыққа бөліп, проекция жазықтығына дейін созамыз. Егер табылған М АВ мен М СВ нүктелерін өзара қоссақ, онда табылған түзу 67

68 C P A P i h 2 C 3 P A 2 B B 1 O 0 M CB M AB / B 0 B 0 / A 0 / C 0 НШ A 0 C кеңістіктегі жазықтықтың ізі болады. Кеңістіктегі жазықтықты ізі арқылы бұру үшін, А 2 В 1 C 3 үшбұрышы арқылы берілген жазықтықты көлбеулік масштабы Р і түрінде келтіреміз. А 2 В 1 C 3 үшбұрышының деңгей сызығын h 2 анықтап, осы деңгей сызығына перпендикуляр болатын жазықтықтың көлбеулік масштабын сызамыз. Табылған көлбеулік масштабы арқылы берілген Р і жазықтықтығына масштаб сызғышынан А 2 В 1 C 3 үшбұрышының сандық бірліктерін өлшеп алып, АВС үшбұрышын саламыз. Енді көлбеулік масштабы арқылы берілген Р і жазықтық пен М Р жазықтық ізі О 0 нүктесінде қиылысады. Осы О 0 қиылысу нүктесінен көлбеулік масштабы арқылы берілген жазықтықты жазықтық М Р ізіне перпендикуляр болатындай етіп айналдырып, А 0/ В 0/ C 0/ түзуін (жазықтығын) саламыз. Осы А 0 / В 0/ C 0 / үш нүкте арқылы М Р жазықтық ізіне параллель сəулелер жүргіземіз. Ал көлденең проекция жазықтығындағы А 2 В 1 C 3 үшбұрыштың төбелерінен М Р жазықтық ізіне перпендикуляр сəулелер түсіреміз. Егер осы сəулелерді 68

69 өзара қоссақ, онда беттескен А 0 В 0 C 0 үшбұрышын табамыз. Табылған А 0 В 0 C 0 үшбұрышы кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы жазықтықтың нақты шамасын беттестіру тəсілін пайдаланып анықтауымызға болады. Бақылау сұрақтары 1. Сызбаны түрлендіру тəсілі дегеніміз не? 2. Проекция жазықтығын алмастыру тəсілі дегеніміз не? 3. Айналдыру тəсілі дегеніміз не? 4. Сызбада түзу сызықтың нақты шамасы мен жазықтыққа бұрыштық шамасын проекция жазықтығын алмастыру тəсілімен қалай анықтайды? 5. Түзу сызықтың нақты шамасы мен жазықтыққа бұрыштық шамасын айналдыру тəсілімен қалай анықтайды? 6. Сызбада нүкте мен жазықтықтың арақашықтығын проекция жазықтығын алмастыру тəсілімен қалай анықтайды? 7. Сызбада екі жазықтықтың бұрыштық шамасын проекция жазықтығын алмастыру тəсілімен қалай анықтайды? 8. Сызбада айқас екі түзу сызықтың арақашықтығын проекция жазықтығын алмастыру тəсілімен қалай анықтайды? 9. Жазықтыққа бұрыштық шамасын проекция жазықтығын алмастыру тəсілімен қалай анықтайды? 10. Жазықтықтың нақты шамасын деңгей түзуінің бойында айналдыру тəсілімен қалай анықтайды? 11. Жазықтықтың нақты шамасын беттестіру тəсілімен қалай анықтайды? 69

70 Жаттығу есептері 1. Жалпы жағдайда орналасқан А(20;10;20) жəне В(35;15;30) төбелері арқылы берілген түзу сызықтың нақты шамасын проекция жазықтығын алмастыру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз. 2. Кеңістікте орналасқан А(10;20;25); В(25;15;30); С(30;20;20) жазықтығы пен D(20;10;30) нүктесінің арақашықтығын проекция жазықтығын алмастыру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз. 3. Жалпы жағдайда орналасқан А(10;10;25); В(25;15;25) жəне С(20;20;25); Е(30;25;20) айқас түзу сызықтарының арақашықтығын проекция жазықтығын алмастыру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз. 4. А(10;10;25); В(25;15;25); С(30;20;20) жəне А(10;10;25); В(25;15;25); Е(30;20;20) жазықтықтарының арасындағы бұрыштық проекция жазықтығын алмастыру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз. 5. Кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы А(10;20;25); В(25;15;30); С(30;25;20) жазықтығының нақты шамасын деңгей түзуінің бойында айналдыру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз. 6. Жалпы жағдайда орналасқан А(10;20;25); В(25;15;30); С(30;25;20) жазықтығының нақты шамасын беттестіру тəсілінің көмегімен салып көрсетіңіз. 70

71 Алтыншы тарау КӨПЖАҚТЫ БЕТТЕР Кеңістікте орналасқан, жазықтықтардың жиынтығынан құрылған, кеңістікті шектейтін бітеу біртұтас геометриялық денені көпжақты беттер дейді. Көпжақты бет дегеніміз табандары үш немесе одан да көп көпбұрыштардың жиынтығынан құралған геометриялық фигура. Көпжақты беттердің жақтары мен қырлары жəне төбелері болады. Көпжақты беттердің жақтары дегеніміз - беттердің жазықтық болып келетін жағы. Ал көпжақты беттердің қырлары деп беттердің жақтарымен қиылысқан сызығын айтады. Көпжақты беттердің қырлары өзара қиылысып, беттердің төбелерін береді. Көпжақты беттер жақтарының, қырлары мен төбелерінің өзара орналасуларына байланысты жай жəне дұрыс болып екі түрге бөлінеді. Дұрыс көпжақты бет деп жақтарының бұрыштары мен аудандары өзара тең болатын беттерді айтады. (58-сурет). Кей жағдайда бұл беттерді Платон денелері деп атайды, себебі Платон бұл көпжақтарды зерттеп, олардың атын a) c) b) d ) e) 71

72 қойған. Беттердің жақтарының сандарына байланысты көпжақты беттер төмендегі түрлерге бөлінеді: тетраэдр (жақтары өзара тең үшбұрыш болатын төрт жақты көпжақты бет) (58, а-сурет), октаэдр (жақтары өзара тең үшбұрыш болатын сегіз жақты көпжақты бет) (58, c-сурет), икосаэдр (жақтары өзара тең үшбұрыш болатын жирма жақты көпжақты бет) (58, e-сурет), гексаэдр (жақтары өзара тең төртбұрыш болатын алты жақты көпжақты бет) (58, b-сурет) жəне додекаэдр (жақтары өзара тең бесбұрыш болатын он екі жақты көпжақты бет) (58, d-сурет). Жай көпжақты беттер жақтарына байланысты призма (жақтары өзара перпендикуляр орналасқан), пирамида (жақтары бір ғана нүктеге ұмтылатын) жəне призматоид (табаны мен үсті өзара параллель орналасқан, жақтары үшбұрыш немесе трапеция болатын) болып бөлінеді. 6.1 Жай көпжақты беттер Призма бетіндегі нүктенің орналасуы A A 0 0 A 5 C M C0 C 5 M 5 N C 0 N 5 K B 0 A B0 B5 K 2 B L L Екі параллель табаны болатын, жақтары осы табандарына өзара пер пендикуляр көпжақты бетті тікбұрышты призма деп айтады. Табандарына байланысты призмалар үшжақты, төртжақты, бесжақты жəне т.б. түр лерге бөлінеді. Егер табандары жақтарына пер пендикуляр болмай, жалпы жағдайда орналасса, ондай көпжақты бетті жалпы жағдай дағы призма деп айтады. Бұл призмалар да табандарына байланысты үшжақты, төртжақты, бесжақты жəне т.б.с. түрлерге бөлінеді. Енді осы аталған призмаларда нүктелердің орналасуларын сандық белгілері бар проекцияда қарас тырайық (59 жəне 60- суреттер). Сандық белгілері бар проекция ларда тікбұрышты приз маларды қолданған өте қолайлы, себебі екі табандары беттесіп, бір ғана көпбұрышты береді. 72

73 60-суретте А 0 В 0 С 0 жəне А 5 В 5 С 5 табандары үшбұрышты тік бұрышты призманың кеңістіктегі кес кіні мен көлденең проекция жазықтығындағы сандық белгілері бар проекциялардағы кескіні көрсетілген. Сандық белгілері бар проекцияларда тікбұрышты призмалардың қырлары көлденең проекция жазықтығына перпендикуляр болғандықтан табандары беттесіп, тек бір ғана үшбұрышты береді. Осы призманың А 0 В 0 жəне А 5 В 5 жағында К нүктесі орналасқан. Оның сандық белгілері бар проекциясы призманың А 0 =А 5 жəне В 0 =В 5 қырының бойында жатады. Егер L нүктесі В 0 мен В 5 қырында орналасса, онда L нүктесінің сандық белгілері бар проекциядағы кескіні призманың В 0 В 5 қырының бойында жатады. Егер М нүктесі А 5 В 5 қырында орналасса, онда М нүктесінің сандық белгілері бар проекциядағы кескіні призманың А 0 =А 5 жəне В 0 =В 5 қырының бойында жатады. Егер N нүктесі призманың жоғарғы табаны АВС үшбұрышында орналасса, онда N нүктесінің сандық белгілері бар проекциядағы кескіні призманың А 0 =А 5 ; В 0 =В 5 ; С 0 =С 5 үшбұрыш бойында жатады. B 5 N 5 C 5 A 5 M 5 K 2 L 2.5 A 0 B 0 K 0 C 0 B 5 B 0 A 5 M 5 C 5 N 5 A 0 K 0 K 2 C 0 L сурет 73

74 Жалпы жағдайда орналасқан призманы қарастырайық (60-сурет). Суретте А 0 В 0 С 0 жəне А 5 В 5 С 5 табандары үшбұрышты жалпы жағдайда орналасқан призманың кеңістіктегі кескіні мен көлденең проекция жазықтығындағы кескіні көрсетілген. Сандық белгілері бар проекцияларда жалпы жағдайда орналасқан призмалардың қырлары көлденең проекция жазықтығына перпендикуляр болмағандықтан, табандары беттеспейді. Жоғарыда көрсетілген мысалдағыдай, жалпы жағдайда орналасқан призма бойында K, L, M жəне N нүктелері берілген. Бұл нүктелердің кескіндерін призманың қырларын ен аралықтарға бөлу арқылы анықтайды Призма мен түзу сызықтың қиылысуы Тікбұрышты призма мен жалпы жағдайдағы түзу сызықтың қиылысу жолын қарастырамыз. Сандық белгілері бар проекцияларда тікбұрышты А 0 В 0 С 0 жəне А 6 В 6 С 6 табандары үшбұрышты призма мен жалпы жағдайда орналасқан D 2 E 5 түзу сызығының көлденең проекция жазықтығындағы кескіні берілген (61-сурет). Призма қырлары проекция жазықтығына перпендикуляр болғандықтан, олардың табандары беттесіп, тек бір ғана үшбұрышты береді. D 2 E 5 түзу сызығы В 0 С 0 В 6 С 6 жəне А 0 С 0 А 6 С 6 жақтарын K жəне L нүктелерінде B 4 C 4 A 4 D 4 K 4 L 4 E 4 x 1 B 4 C 4 C0 C 6 A 4 П 4 D 2 B0 B 6 K 2.8 L 4 E 5 A0 A

75 қиып өтеді. Бұл қиылысу нүктелерінің сандық белгілерін анықтау үшін, сызбаны түрлендіру тəсілдерінің проекция жазықтықтарын алмастыру əдісін пайдаланамыз. D 2 E 5 түзу сызығына параллель жаңа П 4 проекция жазықтығын алып, призма мен түзудің кескінін саламыз (61-сурет). Табылған K 4 жəне L 4 нүктелерінен х 1 осіне дейінгі арақашықтық іздеп отырған K жəне L нүктелерінің сандық белгілері болады. Енді жалпы жағдайда орналасқан призма мен жалпы жағдайдағы түзу сызықтың қиылысу нүктелерін анықтау жолын сызбаны түрлендіру тəсілдерінің көмекші кескіндеу əдісін пайдалана отырып қарастырайық. Көлденең проекция жазықтығында орналасқан жалпы жағдайдағы А 0 В 0 С 0 жəне А 5 В 5 С 5 табандары үшбұрышты призма мен D 2 E 5 түзу сызығының кескіні берілген (62-сурет). Оқырманға түсінікті болуы үшін, 62-суреттің жоғарғы жағында призма мен түзу сызықтың кеңістікте орналасқан көрнекі кескіні мен суреттің төменгі жағында олардың сандық белгілері бар проекциялары көрсетілген. B 5 C 5 A 5 E L D K D 0 B 0 K 0 A 0 L 0 E 0 C 0 D 0 K 0 B 0 D 2 K 3 B 5 A 5 L 4.3 C 5 A 0 E 0 L 0 E 5 C

76 Жалпы жағдайдағы призма мен түзудің қиылысу нүктелерін табу үшін, түзу сызықтың төбелерінен (D 2 E 5 ) призманың қырларына параллель етіп, сəуле жүргіземіз. Осы сəулелер бойына ен аралықтары бойынша сандарын өлшеп салып, D 0 E 0 түзуін саламыз. Бұл табылған түзу сызықты призманың төменгі табанына түсіп, А 0 В 0 С 0 үшбұрышының қырларынан K 0 жəне L 0 нүктелерінде табамыз. Осы нүктелер арқылы призма қырларына параллель болатын сəулелер жүргізіп, D 2 E 5 түзу бойынан K 3 жəне L 4.3 нүктелерін табамыз. Осы табылған нүктелер мен K 0 жəне L 0 нүктелерінің арақашықтықтары кеңістікте орналасқан нүктелердің сандық белгілерін береді. Бұл K 3 жəне L 4.3 нүктелерінің арасы призма ішінде қалып, көрінбейтін сызық болғандықтан, бұл арақашықтықты штрих сызығымен көрсетіп қоямыз. Кеңістікте орналасқан жалпы жағдайдағы призма мен жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықтың қиылысу нүктелерін сызбаны түрлендіру тəсілдерінің көмекші кескіндеу əдісінің көмегімен анықтадық Пирамида бетіндегі нүктенің орналасуы Бір ғана табаны болатын жəне табаны көлденең жазықтыққа параллель болатын, қырлары бір нүктеден (төбеден) тарайтын жəне төбесінен түскен перпендикуляр табанының ішінде болатын көпжақты беттің бұл түрін дербес жағдайда орналасқан пирамида деп айтады (63-сурет). Табандарына байланысты пирамидалар үш жақты, төрт жақты, бес жақты жəне т.б. түрлерге бөлінеді. Төбесінен түскен перпендикуляр табанының ішінде болмайтын көпжақты бет түрін жалпы жағдайда орналасқан пирамида деп айтады (64-сурет). Мұндай пирамидалар да табандарына байланысты үш жақты, төрт жақты, бес жақты жəне т.б. түрлерге бөлінеді. Нүктенің жоғарыда аталған пира мидалар бетіндегі орналасуларын сандық белгілері бар проекцияда қарастырайық (63 жəне 64-суреттер). 63-суретте А 0 В 0 С 0 үшбұрышты табаны жəне S 6 төбесі бар дербес жағдайда орналасқан пирамиданың кеңістіктегі кескіні мен көлденең проекция жазықтығындағы сандық белгілері бар проекциялардағы кескіні көрсетілген. Сандық белгілері бар проекцияларда дербес жағдайда орналасқан пирамиданың қырлары табаны көлденең проекция жазықтығымен беттесіп, тек бір ғана үшбұрышты береді. Осы үшбұрышты пирамиданың S 6 төбесі тағы да үш үшбұрышқа бөледі. Осы дербес жағдайда пирамида бойында орналасқан нүктелерді қарастырайық. 63-суретте дербес жағдайда орналасқан пирамида бойындағы əртүрлі жағдайда орналасқан K, L жəне M нүктелерін алайық. Бұл мысалда M нүктесі SA қырында орналасқан нүкте. Оның сандық белгісін анықтау 76

77 үшін, S 6 A 0 қырының ен аралығын бөлу арқылы M 2.8 нүктесін табамыз. Ал L нүктесі пирамиданың АВС таба нының AC қырында орналасқан. Оның сандық белгісі L 0 нөлге тең болады, өйткені L нүктесі көлденең проекция жазықтығында орналасқан. Ал, енді К нүктесі пирамиданың ASC жағында (бетінде) орналасқан нүкте. Оның сандық белгісін анықтау үшін пирамиданың S 6 төбесінен ASC жағында орналасқан К нүктесі арқылы пирамида табанын қиятын сəуле жүргіземіз. Табылған К 0 нүктесі мен пирамиданың S 6 төбесінің ен аралығын бөлу арқылы К 3.2 нүктесінің сандық белгісін табамыз (63-сурет). Жалпы жағдайда пирамида бойында орналасқан нүктелерді қарастырайық. 64-суреттегі пирамида бойында A A 0 M M 2.8 B L B 0 L 0 S K S 6 K 3.2 C K 0 C П0 S 6 S M M 3 K A K 4.2 A 0 B K 0 B 0 K 0 L 0 L 0 C C əртүрлі жағдайда орналасқан K, L жəне M нүктелерін алайық. Суреттегі мысалда M нүктесі SA қырында орналасқан. Бұл нүктенің сандық белгісін анықтау үшін көлденең проекция жазықтығында орналасқан S 6 A 0 қырының ен аралығын бөліп, бөлінген бөліктен М 3 нүктесін анықтап аламыз. L нүктесін қарастыратын болсақ, онда бұл нүкте пирамиданың АВС табанындағы AC қырында орналасқан нүкте. Оның сандық белгісі нөлге тең болады, өйткені пирамиданың табаны көлденең проекция жазықтығында орналасқан. Келесі қарастыратын нүкте ол К нүктесі. Бұл нүкте 64-суретте көрсетілгендей, пирамиданың ASC 77

78 жағында (бетінде) орналасқан. Оның сандық белгісін анықтау үшін, пирамиданың S 6 төбесінен К нүктесі арқылы A 0 S 6 C 0 үшбұрышының (жағының) A 0 C 0 табанына сəуле жүргіземіз. Бұл сəуле A 0 C 0 қырын К 0 нүктесінде қиып өтеді. Табылған К 0 нүктесі мен пирамиданың S 6 төбесінің ен аралығын бөліп, пирамиданың ASC жағында орналасқан К нүктесінің кескінін табамыз (64-сурет). Осы табылған нүктенің сандық белгісін анықтау үшін, пирамиданың A 0 S 6 C 0 жағында орналасқан К 0 жəне S 6 түзу сызығының сызба масштабы арқылы ен аралыққа бөліп, К нүктесінің сандық белгісін анықтаймыз. Бұл нүктенің сандық белгісі К 4.2 санына тең болады Пирамида мен түзу сызықтың қиылысуы Тікбұрышты пирамида мен жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықтың қиылысу нүктелерін қарастырайық. Сандық белгілері бар проекцияларда тікбұрышты А 0 В 0 С 0 табаны мен S 8 төбесі бар пирамида мен жалпы жағдайда орналасқан D 4 E 2 түзу сызығының көлденең проекция жазықтығындағы кескіні берілген (65-сурет). Тікбұрышты пирамида мен жалпы жағдайдағы түзу сызықтың қиылысу нүктелерін табу үшін, пирамиданың S 8 төбесінен жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықтың D 4 жəне E 2 төбелерінен өтетін сəуле жүргіземіз. Сəуле бойындағы S 8 D 4 жəне S 8 Е 2 кесінділерін ен аралықтарына бөліп, жазықтығы қиып өткен D 0 мен Е 0 нүктелерін анықтаймыз. Осы нүктелерді өзара қосып, Е 0 D 0 түзу сызығын саламыз. Бұл түзу сызық тікбұрышты пирамиданың А 0 В 0 С 0 табанын А 0 В 0 жəне А 0 С 0 қырларында K 0 жəне L 0 нүктелерінде қиып өтеді. Табылған нүктелерді пирамиданың S 8 төбесімен қоса мыз. Бұл түзулер жалпы жағдайда орналасқан D 4 E 2 түзу сызығын K 6.7 жəне L 5.5 (қызыл) нүктелерінде қиып өтеді. Бұл жерде K 6.7 D 4 жəне L 5.5 E 2 кесінділері түзу сызықтың, пирамиданың көрінетін жағы болып табылады. Енді жалпы жағдайдағы пира - мида мен жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықтың қиылысу нүктелерін қарастырайық (66-сурет). Сандық белгілері бар 78

79 проек цияларда А 0 В 0 С 0 табаны мен S 8 төбесі бар пирамида жəне жалпы жағдайда орналасқан D 4 E 2 түзу сызығының көлденең проекция жазықтығындағы кес кіні берілген. Жалпы жағдайдағы пирамида мен жалпы жағдайда орналасқан түзу сызықтың қиылысу нүктелерін табу үшін, пирамиданың S 8 төбе сінен жалпы жағдайда орна ласқан түзу сызықтың D 4 жəне E 2 төбелерінен өтетін сəуле жүргіземіз. Бұл сəуле бойындағы S 8 D 4 жəне S 8 Е 2 кесінділерін ен аралықтарына бөліп, жазықтығы қиып өткен D 0 мен Е 0 нүктелерін анықтаймыз. Осы нүктелерді өзара қосып, Е 0 D 0 түзу сызығын саламыз. Табылған түзу сызық пирамиданың А 0 В 0 С 0 табанын А 0 В 0 жəне В 0 С 0 қырларында K 0 жəне L 0 нүктелерінде қиып өтеді. Осы табылған нүктелер арқылы пирамиданың S 8 төбесін қосатын сəулелер жүргіземіз. Бұл сəулелер жалпы жағдайда орналасқан D 4 E 2 түзу сызығын K 3.5 жəне L 3 нүктелерінде қиып өтеді. Егер K 3.5 нүктесі түзу сызықтың пирамидаға кіретін нүктесі болса, онда L 3 нүктесі түзу сызықтың пирамидадан шығатын нүктесі болады. Ал түзу сызықтың K 3.5 пен D 4 жəне L 3 пен E 2 кесінділері пирамиданың көрінетін жағы болады. E 2 E 0 A 0 S 8 L 3 L 0 K 3.5 D 4 B 0 K 0 C D Призма мен пирамида беттерінің жазықтықпен қиылысуы Жалпы жағдайда орналасқан пирамида мен призма беттерінің жазықтықпен қиылысу сызығын, яғни қимасын анықтау есептерін қарастырайық (67 жəне 68-суреттер). Көлбеу пирамида мен призма беттерінің жазықтықпен қиылысу сызықтарын қарастыру үшін призманы алайық. Алдымен көлбеу призма мен жалпы жағдайда орналасқан жазықтықты аламыз (67-сурет). Мысалда жалпы жағдайда орналасқан жазықтық көлбеулік масштабы арқылы берілген. Ең бірінші жалпы жағдайда орналасқан 79

80 1 2 P i A 7 A 0 K 2 N 6 H 5 жазықтықтың ен аралығын анықтап, бөлінген бөліктерден сəулелер жүргіземіз. Осы жолмен призманың да ен аралықтарын анықтап, призма ның табандарына параллель бола тын жеті бірдей үшбұрыштар саламыз. Жазықтық бөліктерінен жүргізген сəулелер призманың бөлінген аттас үшбұрыштарын D 0, E 1, K 2, L 3, F 4, H 5, N 6 жəне M 7 нүктелерінде қиып өтеді. Егер осы табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда табылған қима жалпы жағдайда орналасқан жаз ық тық пен призманың қиылысу сызығы болып табылады. Табыл ған қиманы штрихтап (торлап) қоямыз. Жалпы жағдайда орналасқан пирамида мен жазықтықтың қиы лысу сызығын анықтау есебіне мысал қарастырамыз (68-сурет). Бұл мысалда кеңістікте жалпы жағдайда орналасқан жазықтық көлбеулік масштабы арқылы берілген. Есепті шешу үшін, жалпы жағдайда орналасқан жазықтықтың ен аралығын анықтап, бөлінген бөліктерден сəулелер жүргіземіз. Енді осындай жолмен пирамиданың да ен аралықтарын анықтап, пирамиданың табандарына параллель болатын жеті бірдей үшбұрыштар саламыз, себебі пирамида төбесі S 7 -ге тең. Жазықтық бөліктерінен жүргізген сəулелер пирамиданың бөлінген аттас үшбұрыштарын D 0, E 1, K 2, L 3, N 4 жəне M 5 нүктелерінде қиып өтеді. L 3 E 1 M 7 F 4 D 0 B 7 B 0 C C 0 B 0 L 3 K 2 E 1 N 4 D 0 M 5 L 3 K 2 E 1 A 0 N 4 S P i

81 Егер осы табылған нүктелерді өзара қоссақ, онда табылған қима жалпы жағдайда орналасқан жазықтық пен пирамиданың қиы лысу сызығы болып табылады. Соңында табылған қиманы штрих тап (торлап) қоямыз Көпжақты беттердің өзара қиылысуы Көпжақты беттердің өзара қиылысу сызығын анықтау үшін көптеген əдістерді пайдалануға болады. Осындай əдістердің ішінде көп тараған түрі көмекші кескіндеу əдісі болып табылады. Бұл əдісті сандық белгілері бар проекцияларда қолданған қолайлы. Төменде осы əдісті пайдаланып мысал қарастырайық. Мысал ретінде жалпы жағдайда орналасқан екі пирамиданың қиылысу сызығын қарастырайық (69-сурет). 69-суретте S 7 жəне S 10 төбелерімен берілген жалпы жағдайда орналасқан табандары көлденең проекция жазықтығында жататын екі пирамида берілген. Екі пирамиданың қиылысу сызығын табу үшін, S 7 жəне S 10 төбелерін өзара қосып, ен аралықтарын анықтап, жазықтығына дейін созамыз. Проекция жазықтығында S 0 төбесін анықтап, осы нүктеден пирамидалардың К 0 Е 0 D 0 жəне А 0 В 0 С 0 табандарын қиып өтетін Р 1, Р 2, Р 3 жəне Р 4 кеңістікте орналасқан қиюшы жазықтықтарын (біздің мысалымызда түзу сызықтар S 10 S 7 K 0 N M S 0 P 4 A 0 B 0 P 3 E 0 P 2 L D P 1 C 0 81

82 болады) жүргіземіз. Бұл қиюшы жазықтықтар (түзулер) пирамидалардың К 0 Е 0 D 0 жəне А 0 В 0 С 0 табандарын бірнеше нүктеде қиып өтеді. Осы қиып өткен қима нүктелерінен пирамидалардың S 7 жəне S 10 төбелеріне түзу сызықтар жүргіземіз. Аттас сызықтардың қиылысқан нүктелерінің жиынтығы екі пирамиданың қиылысу сызығы болады. Келесі мысалда, жалпы жағдайда орналасқан пирамида мен призманың қиылысу сызығын қарастырайық (70-сурет). K 6 E 6 S 6 P 5 B 0 D 6 P 4 E 0 P 3 P 2 K 0 S 0 C 0 P 1 A 0 D Суретте S 6 төбесі мен А 0 В 0 С 0 табанымен берілген жалпы жағдайда орналасқан пирамида мен табандары К 0 Е 0 D 0 жəне К 6 Е 6 D 6 болатын жалпы жағдайда орналасқан призма берілген. Пирамида мен призманың қиылысу сызығын табу үшін, S 6 төбесінен призма қырларына параллель болатын түзу жүргіземіз. Бұл түзу бойына призма қырын өлшеп салып, жазықтығында S 0 нүктесін анықтаймыз. Осы нүктеден пирамиданың А 0 В 0 С 0 табаны мен К 0 Е 0 D 0 призма табандарын қиып өтетін Р 1, Р 2, Р 3, Р 4 жəне Р 5 кеңістікте орналасқан қиюшы жазықтықтарын (біздің мысалымызда түзу сызықтар) жүргіземіз. Бұл қиюшы жазықтықтар (түзулер) пирамида мен призманың табандарын бірнеше нүктелерде қиып өтеді. Бұл нүктелерден пирамиданың S 6 төбесінен призманың қырларына параллель түзу сызықтар жүргіземіз. Осы аттас сызықтардың өзара қиылысқан нүктелерінің жиынтығы жалпы жағдайда орналасқан пирамида мен призманың қиылысу сызығы болады. Енді жалпы жағдайда орналасқан екі призманың қиылысу сызығын қарастырайық (71-сурет). 82

83 B 6 K A 8 6 D 8 C 6 E 8 K 0 D 0 B 0 P 1 E 0 A 0 C 0 П P 0 4 P 3 P суретте А 6 В 6 С 6 төбесі мен А 0 В 0 С 0 табанымен берілген жалпы жағдайда орналасқан бірінші призма мен табаны К 0 Е 0 D 0 жəне К 8 Е 8 D 8 болатын жалпы жағдайда орналасқан екінші призма берілген. Екі призманың қиылысу сызығын табу үшін, призма қырларына параллель болатын түзу сызықтар жүргізіп, призмалардың А 0 В 0 С 0 жəне К 0 Е 0 D 0 табандарын қиып өтетін Р 1, Р 2, Р 3 жəне Р 4 кеңістікте орналасқан қиюшы жазықтықтарын (біздің мысалымызда түзу сызықтар болады) жүргіземіз. Осы қиюшы жазықтықтар (түзулер) екі призманың табандарын бірнеше нүктелерде қиып өтеді. Бұл мысалдағы қиып өткен нүктелерден призмалардың қырларына параллель түзу сызықтар жүргіземіз. Осы аттас сызықтардың қиылысқан нүктелерінің жиынтығы жалпы жағдайда орналасқан екі призманың қиылысу сызығы болады. 83

84 Бақылау сұрақтары 1. Көпжақты бет дегеніміз не? 2. Дұрыс көпжақты бет дегеніміз не жəне олардың түрлері? 3. Жай көпжақты бет дегеніміз не? 4. Жалпы жағдайдағы көпжақты бет дегеніміз не? 5. Көпжақты бет пен түзу сызықтың қиылысу нүктелері қалай анықталады? 6. Көпжақты бет пен жазықтықтың қиылысу сызығы қалай анықталады? 7. Көпжақты беттердің өзара қиылысу сызығы қалай анықталады? Жаттығу есептері 1. Тікбұрышты төртжақты призма мен пирамиданың сандық белгілері бар проекциясын салып көрсетіңіз. 2. Қиғашбұрышты төртжақты призма мен пирамиданың сандық белгілері бар проекциясын салып көрсетіңіз. 3. Тікбұрышты төртжақты призма мен пирамиданың сандық белгілері бар проекциясын салып көрсетіңіз. 4. Тікбұрышты үшжақты призма мен түзу сызықтың қиылысу нүктелерін сандық белгілері бар проекцияда салып көрсетіңіз (1-сурет). 5. Тікбұрышты үшжақты пирамида мен түзу сызықтың қиылысу нүктелерін сандық белгілері бар проекцияда салып көрсетіңіз. 6. Қиғашбұрышты үшжақты призма мен түзу сызықтың қиылысу нүктелерін сандық белгілері бар проекцияда салып көрсетіңіз (2-сурет). 7. Қиғашбұрышты үшжақты призма мен жалпы жағдайда орналасқан жазықтықтың қиылысу сызығын сандық белгілері бар проекцияда салып көрсетіңіз (3-сурет). 84

85 8. Қиғашбұрышты үшжақты пирамида мен түзу сызықтың қиылысу нүктелерін сандық белгілері бар проекцияда салып көрсетіңіз (4-сурет). 9. Қиғашбұрышты үшжақты пирамида мен түзу сызықтың қиылысу нүктелерін сандық белгілері бар проекцияда салып көрсетіңіз (5-сурет). B 5 D 2 B 0 S 7 D 6 A 5 C 5 A 0 E 5 C B 0 C0 C 6 E 2 C 0 E 5 A B0 B 6 A0 A 6 S 7 D P i B 0 B 7 3 P i 2 A 7 С 7 B 0 6 C 0 A A 0 2 C

86 Жетінші тарау ҚИСЫҚ СЫЗЫҚТАР Сызба геометрияда қисық сызықтар нүкте мен түзу сызықтан кейінгі қарапайым геометриялық элемент болып саналады. Қисық сызықтар күнделікті өмірде əртүрлі жағдайда кездесіп отырады. Қисық сызықтар əртүрлі жағдайларда беріледі: 1) белгілі бір заңдылықпен үздіксіз қозғалатын нүктелер жиынтығынан; 2) екі қиылысып жатқан беттердің қиылысу сызығынан; 3) математикалық теңдеулер арқылы; 4) нүктелер жиынтығының қасиеттері арқылы беріледі. Қисық сызықтар жазықтық жəне кеңістік сызықтары болып екі топқа бөлінеді. Егер қисық сызықтың барлық нүктелері жазықтық бойында орналасқан болса, онда бұл сызықты жазықтық қисық сызығы дейді. Егер қисық сызықтың бір немесе бірнеше нүктесі ғана жазықтық бойында орналасса, қалған нүктелері кеңістікте болса, онда бұл сызықты кеңістік қисық сызығы дейді. Бұл топтан басқа қисық сызықтар заңды жəне заңсыз сызықтар болып та бөлінеді. Ешқандай заңға бағынбайтын жəне кездейсоқ сызылатын қисық сызықтың түрін заңсыз сызылған қисықтар дейді. Бұл қисық сызыққа топографиялық беттегі горизонталь деңгейлік сызықтары мысал бола алады. Заңды қисық сызықтар бір белгілі заңдылық арқылы пайда болады. Заңды қисық сызықтар аналитикалық теңдеулеріне қарай трансцендентті жəне алгебралы болып бөлінеді. Трансцендентті қисық сызықтар теңдеулері рационалды функциялар болмайды. Бұл сызықтарға мысал шеңбердің эволютасы (латынның жаймаланған деген сөзі) мен эвольвентасы (латынның жаймаланатын деген сөзі), синусоид жəне с.т.б. Егер қисық сызық теңдеуі рационалдық (көпмүшелік) функциялар (декарттық координаталар түрінде берілсе) түрінде берілсе, онда сызық алгебралық қисық сызық деп аталады. Алгебралық қисық сызық теңдеуінің дəрежесіне қарай екі дəрежелі, үш дəрежелі, төрт дəрежелі жəне т.б.с.с. болады. 86

87 Сызба геометрияда жазықтық қисық сызықтарының дəрежелері қисық сызықтың түзу сызықпен қиылысу нүктелері арқылы анықтайды. 7.1 Жазықтық қисық сызықтар Екінші ретті қисық сызықтар Жалпы күнделікті адам өмірінде, оның ішінде механикада, оптикада, кеме, көліктер мен ұшақтар жасауда, сəулет-құрылыс ғимараттарын салғанда, көптеген техникалық есептерді шешкенде жəне сызба геометрияда алгебралық қисық сызықтардың ішінде көп қолданылатын түрі екінші ретті қисықтар. Екінші ретті қисық сызықтардың қарапайым түрі шеңбер. Себебі, шеңбердің алгебралық теңдеуі екінші дəрежелі теңдеумен сипатталады. Бұл шеңберге геометриялық қасиеттері жағынан эллипс, парабола жəне гипербола ұқсас болады. Бұл аталған екінші ретті қисық сызықтар ерте заманда белгілі болған. Біздің эрамыздан бұрынғы IV ғасырда өмір сүрген ежелгі грек ғалымы Менехм осы екінші ретті қисық сызықтарды зерттеумен айналысқан. Евклид пен Архимедтің бұл қисықтарды зерттеуде еңбектері өте үлкен. Ежелгі грек ғалымдары еңбектерінде екінші ретті қисық сызықтарды конус пен жазықтықтың қималары арқылы алып, оларды конустық қималар деп атаған (72-сурет). 72-суреттен көріп отырғандай, егер кесуші (сары) жазықтық тік дөңгелек конустың осіне параллель болып кесілетін болса, онда конустың қимасы гипербола болады. Егер кесуші (қара) жазықтық тік дөңгелек конустың жасалушысына параллель болып кесілетін болса, онда конустың қимасы парабола болып шығады (72-сурет). Егер дөңгелек конусты (қоңыр) кесуші жазықтық жалпы жағдайда орналасқан болып кесілсе, онда конустың қимасы эллипс болады (72-сурет). Айта кету керек, егер қоңыр кесуші жазықтық дербес жағдайда болып (тік дөңгелек конустың табанына 87

88 S i O параллель болса) кесілсе, онда конустың қимасы шеңбер болады (72-суретте бұл шеңбер көрсетілмеген). Ежелгі гректің ұлы геометрі Аполлоний ( жылдарда өмір сүрген) екінші ретті қисық сызықтар туралы сегіз кітаптан тұратын құнды еңбек жазып, қисықтарды бір жүйеге келтіріп, оның теориясын жасаған. Аполлоний екінші ретті қисық сызықтардың фокустарын (латынның ошақ деген сөзі), хордаларын, түйіндес диаметрлерін жəне асимптоталарын анықтаған. Өкінішке орай, Аполлоний өмір сүрген кезде декартты координаталар əдісі болмағандықтан, кесінділер мен аудандар тілінде баяндаған. Екінші ретті қисық сызықтардың негізгі теңдеулерін алғаш рет Пьер Ферма қорытып шығарған. Ол теңдеу: 2 y = px рх + 2 тх mx 2 түрінде жазылады. Егер дербес жағдайда m = k болса, онда эллипстің (ежелгі гректің «эллейпсис» кем түсіру деген сөзі) теңдеуі шығады (73-сурет). Эллипс деп берілген екі нүктеге дейінгі қашықтықтарының қосындысы тұрақты болатын нүктелердің геометриялық орнын айтады. Егер екінші ретті қисық сызықтардың негізгі теңдеуіндегі m = 0 тең болса, онда параболаның (ежелгі гректің «параболе» дəл түсіру деген сөзі) теңдеуі шығады (74-сурет). Парабола деп берілген нүкте (параболаның фокусынан) берілген түзуден (директрисадан) бірдей қашықтықтағы нүктелердің геометриялық орнын айтады. 88

89 E y C A O F1 F2 2c B x D Сонымен екінші ретті қисық сызықтардың үшінші түрін қарастырайық (75-сурет). Егер қисықтың негізгі теңдеуіндегі m = k -ға тең болса, онда гиперболаның (ежелгі грек тілінде «гиперболе» деген асырып түсіру деп аударылады) теңдеуі шығады. Гипербола деп берілген екі нүктеге дейінгі қашықтықтарының айырымы тұрақты болатын нүктелердің геометриялық орнын айтады. y A O P 2 P F 1 R 1 x P R 1 Осы аталған екінші ретті қисық сызықтардың алғаш рет атын қойған Аполлоний болатын. Екінші ретті қисық сызықтарды поляр теңдеулерімен де көрсетуге болады. Бұл поляр теңдеуі 89

90 p r = 1 ecosϕ Леонард Эйлер ( ) дəлелдеп енгізген. Бұл теңдеуден эллипсті теңдеу алу үшін е<1 кіші болуы қажет. Ал, е=1 болса парабола, е> 1-ден үлкен болса, гипербола болады. y R 1 F A O x 1 / R 1 A F Трансценденттік қисық сызықтар Қисық сызықтардың жанамасы мен осы жанама сызықтың санына байланысты класы болады. Қисық сызықтың жанамасы деп кез келген қисықтың бір нүктесі арқылы түскен нормаль сызығына перпендикуляр сызылған сызықты айтады. Ал егер қисық сызықтан тысқары жатқан бір нүкте арқылы қисық сызыққа жанама жүргізсек, онда бұл жанама сызықтары қисық сызықтың класын анықтайды. Мысал ретінде кез келген екінші ретті қисықтарды алсақ, олардың кластары екі болады, өйткені біз тысқары орналасқан бір нүктеден бұл сызықтарға екі жанама жүргізе аламыз. Жоғарыда айтып кеткендей, трансцендентті қисық сызықтар теңдеулері тригонометриялық функциялар болады. Шеңбердің эвольвентасын мысал ретінде қарастырайық (76-сурет). Шеңберді бірдей тең бөліктерге бөлеміз. Осы бөлінген шеңбердің барлық нүктелерінен шеңберге жанама түзулер сызамыз. Енді шеңбердің ұзындығын l = 2πR теңдеуімен анықтап алып, осы l түзуін де шеңберді бөлген санға бөлеміз. 90

91 Бұл анықталған бөліктерді аттас бөліктерінен жүргізілген жанама сызығына өлшеп саламыз. Табылған нүктелерді қисық сызғыштың (лекала) көмегімен қосып, шеңбердің эвольвентасын саламыз. C B A D R 7 E F O G R 7 l 2 R Келесі мысалда трансцендентті синусоида қисық сызығын қарастырайық (77-сурет). Синусоида деп шеңбер нүктелерінің екі еселі бірқалыпты іргелі қозғалысы мен қайтымды қозғалыстарының шеңбер ұзындығына перпендикуляр болып келетін нүктелер жиынтығынан құралған қисық сызықты айтады. Синусоиданы салу үшін шеңберді тең бөлшектерге бөлеміз. Содан кейін шеңбердің ұзындығын анықтап, осы түзуді де тең бөліктерге бөлеміз. Шеңбер осінен осы бөліктерге перпендикуляр түзулер түсіріп, шеңбердің бөлінген бөліктерінен осы сызыққа параллель сызықтар жүргіземіз. Табылған нүктелерді қисық сызғышпен қоссақ, синусоида қисығы шығады. e f d O c g b a k A B C D E l 2 R F G K A 91

92 7.2 Кеңістік қисық сызықтар Кеңістік қисық сызықтардың жазық қисықтардан айырмашылығы сызықтардың бір немесе бірнеше нүктелері ғана жазықтық бойында жатуы мүмкін (78-сурет). Бұл кеңістік қисық сызықтарына мысал ретінде цилиндрлік жəне конустық бұрама сызықтарын қарастырайық. Бұрама қисық сызық нүктенің бірқалыпты айналуы мен түзу сызықты қозғалысынан пайда болады. K 2 G 2 E 2 A 2 C B 2 A 2 2 A K G F E D C B A h F 1 E 1 D 1 l 2 R G 1 O 1 C 1 K 1 A 1 B 1 Цилиндрлік бұрама қисық сызық деп бірқалыпты айналатын түзудің бойымен қозғалатын нүктенің жүру жолын айтады (78-сурет). Кей жағдайда цилиндрлік бұрама қисық сызықты гелиса деп те атайды. 78-суреттен көріп отырғандай шеңберді тең бөлікке бөліп, шеңбердің ұзындығын анықтап, оны тең бөліктерге бөліп алып, осы нүктелерден өзара перпендикуляр сызықтармен қосып, бұрама сызықты саламыз. Нүктенің цилиндр бойымен толық бір бұрама айналғанда көтерілген биіктігін (h) бұрама сызықтың адымы дейді. Егер цилиндрлік бұрама қисық сызықтың нүктесі шеңбер осінен сағат тіліне бағыттас айналса, онда бұрама сызық оңқай сызық болады. Егер сызықтың нүктесі шеңбер осінен сағат тіліне қарама-қарсы айналса, онда цилиндрлік бұрама сызық солақай болады (78-сурет). Конустық бұрама қисық сызық деп өзімен қиылысатын түзуден 92

93 бірқалыпты айналатын түзудің бойымен қозғалатын нүктенің жүру жолын айтады (79-сурет). Конустық бұрама сызық пен цилиндр лік бұрама қисық сызықтың айырмашылығы оның шеңбердегі үстінен қараған түрі Архимедтің спиралі түрінде берілсе, конустың алдынан қарағандағы көрінісі кеміген (өшкен) синусоида түрінде беріледі (79-сурет). B 2 C 2 A 2 D 2 E 2 F 2 h L 2 K 2 G 2 L 1 B C1 D1 A 1 1 K 1 G 1 E 1 F 1 93

94 Бақылау сұрақтары 1. Қисық сызық дегеніміз не? 2. Жазықтық қисық сызығы дегеніміз не? 3. Кеңістік қисық сызығы дегеніміз не? 4. Трансцендентті қисық сызық дегеніміз не? 5. Алгебралық қисық сызық дегеніміз не? 6. Екінші ретті қисық сызықтар дегеніміз не? 7. Шеңбердің эвольвентасы дегеніміз не? 8. Қисық сызықтың жанамасы дегеніміз не? 9. Қисық сызық класы дегеніміз не? 10. Қисық сызық нормалі дегеніміз не? 11. Гелиса дегеніміз не? 12. Конустық бұрама қисық сызық дегеніміз не? Жаттығу есептері 1. Диаметрі 30 мм болатын шеңбердің эвольвентасын салып көрсетіңіз. 2. Диаметрі 40 мм болатын шеңбердің синусоидасын салып көрсетіңіз. 3. Табанының диаметрі 30 мм, биіктігі 60 мм болатын дөңгелек тік цилиндрдің гелисасын салып көрсетіңіз. 4. Биіктігі 70 мм, ал табанының диаметрі 30 мм болатын дөңгелек тік конустың конустық бұрама қисық сызығын салып көрсетіңіз. 94

95 Сегізінші тарау БЕТТЕРДІҢ ПРОЕКЦИЯЛАРЫ Сызба геометрияда беттер деп көбінесе бір заңдылық арқылы кеңістіктегі сызықтардың қозғалуы мен жиынтықтарынан құралған геометриялық фигураны айтады. Бұдан басқа беттер біркелкі екі параметрлі нүктелер жиынтығы мен беттің қаңқасы арқылы беріледі. Геометрияда кез келген фигураның қозғалысы кинематикалық əдіске жатады. Сонымен беттің құралуы оның жасалушы сызығы мен осы сызықтың кеңістіктегі қозғалу заңына байланысты. Осы жасалушысына байланысты беттердің түрлері көп. Төменде беттердің өмірде көп кездесетін жəне сандық белгілері бар проекцияда қолдануға ыңғайлы айналмалы, бұрама, құлама жəне топографиялық беттер түрін қарастырамыз. Беттердің сандық белгілері бар проекциядағы берілуінің жалпы принципі: беттер горизонтальдармен (көлденең, көкжиек) кескінделеді. Егер осы бетті бір-бірімен тең қашықтықта орналасқан бірнеше горизонталь жазықтықтар арқылы ойша кесіп, пайда болған қисықтарды көлденең проекция жазықтығына кескіндесе, онда осы беттің сызба жобасы (планы) пайда болады. Көршілес горизонтальдардың арақашықтықтары биіктігі деп аталады. Көбіне осы биіктікті бір метрге тең етіп алады. 8.1 Айналмалы беттер Айналмалы беттер деп кез келген сызықтың тұрақты бір ось бойымен айналуынан құралған бетті айтады. Айналмалы бет болғандықтан, оның параллелі (сызықтың кез келген нүктесі шеңбердің бойымен айналғандағы сызық) жəне меридианы (бетті айналу осінен қиып өтетін жазықтық пен беттің қимасы) болады. Сызықтардың айналу осіне орналасуларына байланысты айналмалы беттер: конус, цилиндр, сфера (шар), гиперболоид, параболоид, эллепсоид жəне т.с. болып бөлінеді. Енді осы беттердің ішіндегі көп тараған түрі дөңгелекті конус пен цилиндрді қарастырамыз. 95

96 8.1.1 Айналмалы конус беті Конус деп тұрақты бір ось бойымен жəне осы оське сүйір немесе доғал бұрышпен орналасқан түзу сызықтың айналуынан құралған бетті айтады. Конус беті көлденең проекция жазықтығына орналасуына байланысты қиғаш жəне тік болып екіге бөлінеді. Егер конус бетінің тұрақты осі көл денең проекция жазықтығына тік A S i бұрышпен орналасса, онда жазықтығына тік орналасқан конус болып табылады (80-сурет). Тік конус беті гори зонтальдарымен жəне жасаушы көл беулігімен беріледі. Бұндай жағдай да берілген тік конустың кон цен трлік (шоғырлас) шеңберлерінің (горизонтальдарының) O арақашықтығы B 0 B S 4 4 A i l = 1/ i ен аралығына (интервалына) тең болады. 80-суреттің жоғарғы жағында тік дөң гелекті конустың кеңістіктегі кескіні көрсетілген. Мұндағы АВ түзуі тік конустың жасалушысы болса, конустың айналу осі i сызығы болады. Айтып кету керек, табанына байланысты конус тар: эллипсті, параболалы, дөңгелек т.б.с.с. болып бөлінеді. Ал суреттің төменгі жағында тік дөңгелекті конустың сандық белгілері бар проекциядағы кескіні көрсетілген. Мұндағы А 4 В 0 түзуі тік конустың жасалушысы болса, S 4 конустың төбесі. Ал айналу i ось сызығы А 4 немесе S 4 нүктелерімен беттесіп кетеді. Егер конус бетінің айналу осі көлденең проекция жазықтығына сүйір немесе доғал бұрышпен орналасса, онда мұндай конус жазықтығына қиғаш орналасқан конус болады (81-сурет). Қиғаш конус бетінің сандық белгілері бар проекциядағы кескіні, конустың төбесі мен конустың табаны «шеңбер» арқылы беріледі. Суреттегі А 5 В 0 түзу сызығы қиғаш конустың жасаушысы болса, i сызығы конустың айналу осі болады. А 5 В 0 немесе i түзу сызығын бес B 0 O 0 i A5 S

97 бөлікке бөліп, түзулердің ен аралықтарын анықтап, эксцентрлік шеңберлерді жүргіземіз. Осы шеңберлер арқылы көлбеу орналасқан конустардың өсу жолы көрініп тұрады Айналмалы цилиндр беті Цилиндр деп тұрақты бір ось бойымен жəне осы оське тік бұрышпен орналасқан түзу сызықтың айналуынан құралған бетті айтады. Цилиндр беті де көлденең проекция жазықтығына орналасуына байланысты қиғаш жəне тік орналасқан болып екіге бөлінеді. Табанына байланысты цилиндрлер: эллипсті, параболалы, дөңгелек жəне тағы басқа сол сияқты болып көптеген түрлерге бөлінеді. Егер цилиндр бетінің тұрақты айналу осі көлденең проекция жазықтығына тік бұрышпен орналасса, онда цилиндр жазықтығына тік орналасқан болып табылады (82-сурет). 82-суреттің жоғарғы жағында тік дөңгелекті цилиндрдің кеңістікте орналасқан кескіні көрсетілген. Мұндағы АВ түзу сызығы тік цилиндрдің жасалушысы, ал i түзу сызығы цилиндрдің айналу осі болады. O Ал, 82-суреттің төменгі жағында тік дөңгелекті цилиндрдің сандық белгілері бар проекциядағы кескіні көрсетілген. Бұл жерде А 4 В 0 түзу сызығы тік цилиндрдің жасалушысы. Цилиндрдің төменгі жəне жоғарғы табандары өзара беттесіп, бір ғана шеңберді береді. Тік бұрышты орналасқан цилин дрдің сан дық белгілері бар проекциядағы кескіні көрнекі болмайды. Сондықтан сандық бел гі лері бар проекцияда қиғаш орналасқан цилиндрді қолданған қолайлы. Егер цилиндр бетінің айналу осі көлденең проекция жазықтығына сүйір немесе доғал бұрышпен орналасса, онда мұндай цилиндр жазықтығына қиғаш орналасқан цилиндр болады (83-сурет). Қиғаш цилиндр бетінің сандық белгілері AA B B 0 A 4 i i O0 O 4 П

98 B 0 B Oi 0 O A A 4 i i O 4 O бар проекциядағы кескіні, цилиндрдің төбесі мен табаны «шеңбер» арқылы беріледі. 83-суреттегі А 4 В 0 түзу сызы ғы қиғаш цилиндрдің жасалушысы болса, i сызығы цилиндрдің айналу осі болады. А 5 В 0 немесе i түзу сызығын төрт бөлікке бөліп, түзулердің ен аралықтарын анықтап, эксцентрлік шеңбер лерді жүргіземіз. Бұл эксцентрлік шеңберлер қиғаш цилиндр бетінің қаңқасының жасалу жолы болғандықтан, əртүрлі метрикалық (өлшем) жəне позициялық есептерді шешкенде қолайлы болады. Сызбада осы шеңберлер арқылы көлбеу орналасқан қиғаш цилиндрдің салыну жолы көрініп тұрады. Жоғарыда айтып кеткендей, қиғаш цилиндрдің кес кінінде нүктенің, түзу сызықтың жəне жазықтықтың қиылысулары, яғни позициялық (тұрғылықты) есептерді шешу оңайға түседі. Жоғарыда көрсетілген мысалда цилиндрдің табаны мен төбесі көлденең проекция жазықтығына параллель орналасқан. Енді цилиндр бетінің айналу осі көлденең проекция жазықтығына параллель орналасқан жағдайын қарастырамыз. Егер цилиндр бетінің айналу осі көлденең проекция жазықтығына параллель орналасса, онда мұндай цилиндр жазықтығына қиғаш орналасқан цилиндр болады (84-сурет). 84-суретте цилиндр бетінің табандары проекция жазықтығына перпендикуляр орналасқан. Бұл суретте А 10 В 10 түзу сызығы көлденең орналасқан цилиндрдің жасалушысы болып табылады. Цилиндрдің айналу осі i 6 -ға тең. Жоғарыда айтылған мысалдарда беттердің қаңқалары шеңберлер арқылы берілсе, бұл мысалда параллель түзу сызықтар арқылы берілген. Бұл сызықтарды табу үшін, цилиндр бетінің табандарынан өтетін қосымша жаңа бір проекция жазықтығын жүргіземіз. Осы жаңа жазықтықта шеңбер проекциясын сызып алып, шеңбердің радиусын тең бес бөлікке бөліп, бөлшектейміз. Осы бөлінген бөліктен х 1 осіне параллель болатын түзу сызықтар жүргіземіз. Бұл сызықтар шеңберді бірнеше нүктелерге 98

99 бөледі. Шеңбердің бөлінген нүктелерінен цилиндрдің айналу осіне параллель болатын түзулер жүргізіп, көлденең орналасқан цилиндр бетінің жасалушысын анықтаймыз. A 10 i O Құлама бет Құлама беттер көбінде шойын немесе тас жолдардың топырақ қазбалары мен үйінділерінің шекара ларын анықтау есебін шешуде қолданылады Құлама бетін анықтау үшін, алдымен жолдың ені мен көлбеулігі беріледі. Осы екі өлшемдер өзара қиылысып, нүктелер тізбегін құрайды. Табылған A A 2 A 0 A 0 B B 3 B 0 B 0 B 10 C 0 C 4 O 6 C C 0 П П 4 0 x 1 нүктелерді, дөңгелекті тік орналасқан конустардың төбесі ретінде қарастырып, ен аралықтары өзара тең концентрлі (шоғырланған) шеңберлерді жүргіземіз. Егер осы жүргізілген концентрлі шеңберлердің аттас шеңберлеріне жанама сызық жүргізсек, онда табылған бет құлама бетті береді (85-сурет). Көлденең проекция жазықтығымен бір бұрышты сақтап, түзу жасалушы өзара жылжуы мен қисық бағытталушы барлық нүктелерінен өтетін бетті біркелкі құлама бет деп атайды. 99

100 8.3 Топографиялық беттер Топографиялық бет деп жер бетінің тау қыртыстарының (төбелер мен жоталардың ең үлкен биік нүктелері, шұңқырлар мен ойықтардың ең төмен нүктелерінің) шекарасын, кейбір су өтетін немесе өткізетін жер қыртыстарының көлденең проекция жазықтығындағы проекциясын (кескінін) айтады (86-сурет). Кейде топографиялық бетті жер беті деп те атайды, себебі топография деген ежелгі гректің жергілікті жерді жазу деген сөзінен шыққан. Топографиялық бет горизонталі қисық сызықтарымен беріледі. Топографиялық беттің

101 горизонталі деп сол беттің сандық белгілері бірдей болатын нүктелердің жиынтығын айтамыз (86-сурет). Бұл деген сөз топографиялық бетті жер бетіне параллель жазықтықпен қиып тастаған деген мағынаны береді. Қиюшы жазықтардың арақашықтығын бір, бес немесе он метр сайын алады. Горизонталь сызығы жіңішке тұтас сызықпен сызылады. Айта кету керек, əр бес горизонталь сызық сайын тұтас жуандатылған горизонталь сызықпен көрсетіп қояды Топографиялық беттің жазықтықпен қиылысуы Жазықтық пен топогра фиялық беттің қиылысу сызығын анықтау есептері құрылыс сызбаларында, құрылыста ғимараттар салу кезінде құрылыс алаңдарын дайындау жəне қазынды мен үйінді жер жұмыстарында қолданылады. Мұндай есептерді 27 шешу үшін, алдымен F мысал ретінде жалпы E жағдайда орналасқан 26 D көлбеулік масштабы 25 C арқылы берілген жазықтық пен топография лық бетті аламыз (87-сурет). Бірінші жалпы жағдайда орналасқан жазықтықтың ен аралығын анықтап, бөлінген бөліктерден жазықтық сызықтарға пер пен дикуляр i 17 П сəулелер жүр гіземіз. Жазықтық бөліктерінен жүргізілген сəулелер топографиялық беттің аттас горизонталь сызық тарын А 0, В 1, С 2, D 3, E жəне F 7 нүктелерінде қиып өтеді. Табылған нүктелерді өзара қосатын болсақ, жазықтық пен беттің қиылысу сызығын табамыз. Осы тақырыпқа мысал ретінде тереңдігі 14 метр болатын құрылыс алаңының топографиялық бетпен қиылысу сызығын анықтайық (88-сурет). Құрылыс алаңы сызбада АВСD төртбұрышы арқылы берілген. Осы төртбұрыштың төрт жағына перпендикуляр Q i, P i, R i жəне T i жазықтарын сызып қоямыз. Шұңқырдың көлбеулігін ағылшынның i қ кіші əрпімен белгілейміз. Бұл көлбеулік i қ =1-ге тең болады. Сондықтан жазықтықтардың ен аралықтары да бірге тең болады B 23 A

102 K Q i J A B R i E 15 I 16 F 16 D 14 G C P i H АВСD төртбұрышы арқылы берілген құрылыс алаңының бұрыштарынан биссектриса (қоңыр сызық) сызып қоямыз. Перпендикуляр Q i, P i, R i жəне T i жазықтықтарынан бөлінген ен аралықтар арқылы горизонтальдар жүргіземіз. Бұл жүргізілген горизонталь мен топографиялық беттің аттас горизонтальдары қиылысып, шұқыр мен қиылысу сызығын (қызыл сызық) береді. 102

103 Бақылау сұрақтары 1. Беттер дегеніміз не? 2. Айналмалы беттер дегеніміз не? 3. Айналмалы конус беті дегеніміз не? 4. Айналмалы тік конус беті дегеніміз не? 5. Айналмалы қиғаш конус беті дегеніміз не? 6. Айналмалы цилиндр беті дегеніміз не? 7. Айналмалы тік цилиндр беті дегеніміз не? 8. Айналмалы қиғаш цилиндр беті дегеніміз не? 9. Бұрама беттер дегеніміз не? 10. Топографиялық беттер дегеніміз не? 11. Топографиялық беттердің горизонтальдары дегеніміз не? Жаттығу есептері 12. Топографиялық беттің жазықтықпен қиылысуын қалай анықтайды? 1. Биіктігі 10 м болатын тікбұрышты дөңгелек конустың сандық белгілері бар проекциясын салып көрсетіңіз. 2. Биіктігі 12 м болатын тікбұрышты дөңгелек цилиндрдің сандық белгілері бар проекциясын салып көрсетіңіз. 3. Биіктігі 10 м болатын қиғашбұрышты дөңгелек конустың сандық белгілері бар проекциясын салып көрсетіңіз. 4. Биіктігі 14 м болатын қиғашбұрышты дөңгелек цилиндрдің сандық белгілері бар проекциясын салып көрсетіңіз. 103

104 5. Биіктігі 12 м болатын қиғашбұрышты дөңгелек цилиндрдің бетіндегі А 5 нүктесінің сандық белгілері бар проекциясын салып көрсетіңіз. 6. Биіктігі 12 м болатын қиғашбұрышты дөңгелек конустың бетіндегі А 5 нүктесінің сандық белгілері бар проекциясын салып көрсетіңіз. 7. Биіктігі 12 м болатын тікбұрышты дөңгелек конустың бетіндегі В 5 нүктесінің сандық белгілері бар проекциясын салып көрсетіңіз. 8. Топографиялық бет пен көлбеу масштабы арқылы берілген жазықтықтың қиылысу сызығын салып көрсетіңіз (1-сурет). 9. Топографиялық бет пен үшбұрыш арқылы берілген жазықтықтың қиылысу сызығын 27 салып көрсетіңіз (2-сурет) i А 18 В 23 С

105 Тоғызыншы тарау САНДЫҚ БЕЛГІЛЕРІ БАР ПРОЕКЦИЯДАҒЫ КӨЛЕҢКЕЛЕР Сандық белгілері бар проекцияларда сызбаның көрнекілігін арттыру үшін, геометриялық элементтердің көлеңкелерін салған өте қолайлы болады. Көлеңке сəулет-құрылыс сызбаларында кеңінен тараған. Көлеңке деп - нəр седен жарық сəулелері арқылы проекция жазықтығына немесе топографиялық бетке түскен проекцияларды айтады. Көлеңкелер өздерінің түсуіне байланысты құлама жəне өз көлеңкесі болып екіге бөлінеді. Өз көлеңкесі деп геометриялық фигураның немесе нəрсенің жарық түспейтін бетін айтады. Құлама көлеңке деп геометриялық фигурадан немесе нəрседен проекция жазықтығына немесе топография бетіне түскен проекциясын айтады. Жарық сəулелерін өзара параллель болатындай етіп аламыз, себебі жарық сəулелерінің шығатын ортасы шексіздікте болады. Тікбұрышты проекцияларда (Монж эпюрінде) фронталь жəне горизонталь проекция жазықтықтарына жарық сəулелері 45 0 градус болатындай бұрышпен түсіреміз. Көптеген еңбектердегі сандық белгілері бар проекцияларда көлденең проекция жазықтығына жарық сəулелері 35 0 градус болатындай бұрышпен түсірілген B 5 * B Түзу сызықтың көлеңкесі A 0 Көлденең проекция жазықтығына перпендикуляр орналасқан А 0 В 5 түзу сызы ғының көлеңкесін салудың мысалын қарастырайық (89-сурет). Сандық бел гілері бар проекцияда көлденең проекция жазықтығында перпендикуляр түзу сызық тек қана бір ғана нүктені береді. 89-суреттің жоғарғы жағында пер пендикуляр түзу сызықтың кеңістікте орна П B 0 A 0 B 5 * B 0 105

106 ласқан кескіні көрсетілген. Жарықтан түскен сəуленің бағыты мен проекция жазықтығына түскен түзудің құлама көлеңкесінің бағыты көрсетілген. Осы бағыттардың арасындағы бұрыш шамасы қа тең. Бұл сəулелер қиылысып, түзудің көлеңкесі А 0 В 0 * түзу сызығын береді (қызыл сызық). Oсы түзу сызық А 0 В 5 түзуінің көлеңкесі болады. Суреттің төменгі жағында көлденең жазықтығында сандық белгілері бар проекциядағы перпендикуляр түзу сызықтың кескіні көрсетілген. Бұл кескін (проекция) беттескен бір ғана нүкте (А 0 В 5 ) болады. Осы нүктеден ен аралығы арқылы В 0 нүктесін анықтап аламыз. Табылған В 0 нүктесі арқылы жарық сəулесі мен А 0 В 5 нүктесінен түскен құлама көлеңкенің бағыты қиылысып, В 0 * нүктесін береді. Tабылған түзу сызық (А 0 В 5 ) В 0 * перпендикуляр түзудің көлеңкесі болады. 9.2 Дөңгелек конус көлеңкесі Mысал ретінде тік орналасқан дөңгелек конустың көлеңкесін қарастырайық (90-сурет). Конустың биіктігі S 7 -ге тең болғандықтан, алдыңғы мысалдағы жолмен S 0 * көлеңкесін анықтап аламыз. Осы нүктеден дөңгелек конустың табанына жанама түзулер жүргізіп, А 0 жəне В 0 нүктелерін анықтап аламыз. Табылған А 0 S 0 * жəне S 0* В 0 түзу сызықтарының аралары тік орналасқан дөңгелек конустың құлама көлеңкесі болады. Ал, А 0 S 7 жəне S 7 В 0 дөңгелек конустың бетіндегі көлеңке конустың өз көлеңкесі болады. Ендігі осы тақырыпқа келтіретін мысал ретінде дөңгелек конус тəріздес шұңқырдың көлеңкесін қарастырайық (91-сурет). Конустық шұңқырдың көлеңкесін табу үшін, конус төбесінің биіктігін S 7 бөліктеп, суреттің сол жағына қарай саламыз. Алдыңғы мысалда көрсетілген жолмен дөңгелек конус төбесінің көлеңкесін S 0 * анықтап аламыз. Осы нүктеден конустың табанына А 0 жəне В 0 нүктелері арқылы жанама түзулер жүргіземіз. Бұл табылған нүктелер шұңқырдың жоғарғы көлеңке нүктелері. Шұңқыр табанындағы көлеңке нүк - телерін анықтайық. Ол үшін дөңгелек конустың биіктігіне қарамақарсы жағынан екі бөліктен тұратын шеңбер доғасын сызамыз. Бұл шеңбер доғасы конус табанын D -2 жəне С -2 нүктелерінде қиып өтеді. S 0 П B 0 O 7 0 S O 0 S 7 A 0 * S 0 106

107 Егер В 0 мен D -2 жəне А 0 мен С -2 нүктелерін өзара, 91-суретте көрсе тілгендей етіп қоссақ, онда конус тəріздес шұңқырдың құлама жəне өз көлеңкелерін табамыз. Құлама көлеңке қара түспен көрсетілсе, ал өз көлеңкесі қою көгілдір түспен көрсетілген B 0 D 2 R 2 O 2 O 0 S 4 C 2 * S 0 A

108 Бақылау сұрақтары 1. Көлеңке дегеніміз не? 2. Өз көлеңкесі дегеніміз не? 3. Құлама көлеңке дегеніміз не? 4. Түзу сызықтың көлеңкесін қалай түсіреді? 5. Дөңгелек конустың көлеңкесін қалай түсіреді? 6. Шұңқырдың көлеңкесі дегеніміз не? 7. Конустың өз көлеңкесі дегеніміз не? 8. Конустың құлама көлеңкесі дегеніміз не? Жаттығу есептері 1. Төбелері А 2 жəне В 6 нүктелерінен тұратын П о проекция жазықтығына перпендикуляр орналасқан түзу сызықтың көлденең П о проекция жазықтығындағы көлеңкесін салып көрсетіңіз. 2. Жалпы жағдайда орналасқан А 2 В 6 түзу сызығының көлденең П о проекция жазықтығындағы көлеңкесін салып көрсетіңіз. 3. Биіктігі 10 м болатын тікбұрышты дөңгелек конустың көлденең П о проекция жазықтығындағы көлеңкесін салып көрсетіңіз. 4. Биіктігі 12 м болатын қиғашбұрышты дөңгелек конустың көлденең П о проекция жазықтығындағы көлеңкесін салып көрсетіңіз. 5. Биіктігі 8 м болатын тікбұрышты дөңгелек цилиндрдің көлденең П о проекция жазықтығындағы көлеңкесін салып көрсетіңіз. 6. Биіктігі 12 м болатын тікбұрышты дөңгелек конустың көлденең П о проекция жазықтығындағы көлеңкесін салып көрсетіңіз. 7. Биіктігі 10 м болатын қиғашбұрышты дөңгелек конустың көлденең П о проекция жазықтығындағы көлеңкесін салып көрсетіңіз. 108

109 Оныншы тарау СЫЗБАЛАРДЫ БЕЗЕНДІРУ Сызбаны орындау жəне безендіру кезінде міндетті түрде мемлекеттік стандарттар тағайындаған ережелер бойынша жасау керек. Себебі сіздің орындаған сызбаңызды сізден басқа кісі оқу үшін жəне сол сызбаңыз арқылы бұйым немесе құрылыс тұрғызу үшін сызба бірқалыпты стандарттармен орындалуы керек. Стандарт деген ағылшынның үлгі, өлшем деген сөзінен шыққан. Біздің елімізде жəне басқа да мемлекеттерде кез келген бұйымды жасау үшін, стандартта тағайындалған ережелер бойынша жасалуы тиіс. Сондықтан барлық елдер үшін, бірыңғай конструкторлы құжаттар жүйесі құрылған. Бұл құжаттар жүйесі мынадай топтарға бөлінеді: - жалпы жəне негізгі жағдайы; - бұйымдар мен конструкторлық құжаттардың белгіленуі; - сызбаларды орындаудың жалпы ережелері; - машина жасау бұйымдары мен аспап жасау ережелері; - конструкторлық құжаттарды тіркеу, сақтау жəне пайдалану ережелері; - бұйымдарды пайдалану жəне жөндеу құжаттарының ережелері; - сұлбаларды орындау ережелері; - құрылыс жəне кеме жасау құжаттарын орындау ережелері. Осы аталған мемлекеттік стандарттар тобынан сызбаларды орындаудың жалпы ережелерін қарастырамыз. Бұл топ жиырма бір түрге бөлінеді. Біз осы стандарттардың кейбір түрлеріне тоқталамыз Пішімдер Кез келген сызбаны орындау үшін, стандарт арқылы өлшемдері шектелген сызба қағазы керек, оны «пішім» деп атайды. Стандарттағы сызбаларды орындаудың жалпы ережелері тобының бірінші түрі «Пішімдер» болып табылады. Бұл пішімдер стандарт бойынша негізгі жəне қосымша болып екіге бөлінеді. Негізгі пішімдер бес түрге бөлінеді: А0 - мемлекеттік стандарт бойынша пішімнің ені 841 мен ұзындығы 1189 мм-ге тең болады; А1 ( ); А2 ( ); А3 ( ); А4 ( ). 109

110 5 20 А3 5 Айтып өту керек, қажет кезінде А5 ( ) пішімді сызба қағазы қолданылады. Өндірістер мен жобалау институттарында кей жағдайларда қосымша пішімдері қолдануға тура келеді. Олар 19 түрге бөлінеді. Егер пішім А0 2 деп берілсе, онда А0 пішімнің ені екі есе үлкен болғаны. Төменде қосымша пішімдердің түрлері көрсетілген: А0 2; А0 3; А1 3; А1 4; А2 3; А2 4; А2 5; А3 3; А3 4; А3 5; А3 6; А3 7; А4 3; А4 4; А4 5; А4 6; А4 7 А4 8; А4 9. Сызбаны сызба қағазына орындау алдында пішімге шекаралық сызықтарды тұтас жуан сызықтың көмегімен, сол жағынан 20 мм, оң жағынан 5 мм, төмен жəне жоғарғы жағынан 5 мм арақашықтықта сызып қоямыз (92 сурет). Ескерту, А0 жəне А1 пішімінде шекаралық сызықтар сол жағынан 25 мм, оң жағынан 10 мм, төмен жəне жоғарғы жақтарынан 10 мм арақашықтықта сызылады Масштабтар Сызатын сызбаның мөлшеріне жəне сызбаның орындайтын пішіміне байланысты, үлкейтіп немесе кішірейтіп сызу үшін, стандарттағы сызбаларды орындаудың жалпы ережелері тобының екінші түрі «Масштабтар». Нəрсенің сызбада сызылған өлшемі мен оның нақты (шын) өлшеміне қатынасын масштаб дейді. Масштабтар стандарттардың тағайындалуына жəне қолданылуларына байланысты үлкейтілген, кішірейтілген жəне нақты болып үшке бөлінеді. Сызбада масштаб сөзі жазылмайды, оның орнына масштаб сөзінің бас əрпі М ғана жазылады. Стандарт бойынша тағайындалған масштаб түрлері: - кішірейту масштабтары: 110

111 М 1:2; 1:2,5; 1:4; 1:5; 1:10; 1:15; 1:20; 1:25; 1:40; 1:50; 1:75; 1:100; 1:200; 1:400; 1:500; 1:800; 1:1000; -үлкейту масштабтары: М 2:1; 2,5:1; 4:1; 5:1; 10:1; 20:1; 40:1; 50:1; 100:1; - нақты масштаб: М 1:1 қолданылады. Бұл масштабтар барлық өндірістер мен құрылыс сызбаларын орындағанда міндетті түрде қолданылады. Кей жағдайларда ірі өндірістерді жобалау кезінде мынандай масштабтар қолдануға болады: М 1:2000; 1:5000; 1:10000; 1:25000; 1: Айтып кету керек, егер сызба пішім бірдей масштабпен сызылған болса, онда масштаб белгісі негізгі жазу ішіндегі масштаб графасына жазылады. Егер сызба пішім əртүрлі масштабпен сызылған болса, онда əр сызбаның үстіне масштабын жазып қояды. Сызба əртүрлі масштабта болса да, өзінің өлшемін миллиметр арқылы көрсетіп қояды. Құрылыс сызбаларын орындағанда кейбір жағдайда метрмен белгілеуге рұқсат етіледі Сызба сызықтары Сызбаны оқу жəне сызу үшін сызбаны сызатын жəне безендіретін сызықтар түрін білуіңіз керек. Сызбадағы сызылатын сызықтар түрі мен олардың өлшемдерін (ұзындықтары мен қалыңдықтар), мемлекеттік стандартты оқытып, үйретеді. Стандарт бойынша тоғыз сызық түрі тағайындалған: - тұтас жуан негізгі сызық; - тұтас жіңішке сызық; - тұтас ирек сызық; - тұтас жіңішке сынық сызық; - үзілме сызық; - нүктелі үзілме сызық; - қос нүктелі үзілме сызық; - жуан нүктелі үзілме сызық; - үзік сызық. Сызбадағы сызықтардың жуандығы сызбаның пішімі мен сызбаның күрделілігіне байланысты 0,5 миллиметрден 1,4 миллиметр арасында болады. Бұл жуандықты латынның s кіші əрпімен белгілеп қояды. Егер сызба бірдей масштабта сызылса, онда сызықтардың жуандықтары да бірдей болады. Сонымен қатар үзік, нүктелі үзік сызықтардың сызықшалары да бірдей ұзындықта болып, сызбаның күрделілігіне байланысты сызықшалар қысқа жəне ұзын болады. 111

112 Мемлекеттік стандарт бойынша А1 пішімінде сызылатын сызбадағы тұтас жуан негізгі сызықтың жуандығы қаламмен сызғанда 1,0 мм қалыңдықта болуы қажет. Ал бұдан кіші пішімдер үшін 0,8 мм болады. Төмендегі 1-кестеде сызықтардың түрлері мен олардың өлшемдері көрсетілген. 1-кесте N/N СЫЗЫҚТЫҢ АТАУЫ СЫЗЫҚТЫҢ ТҮРІ СЫЗЫҚ- ТЫҢ ЖУАН- ДЫҒЫ СЫЗЫҚТЫҢ ҚОЛДАНЫЛУЫ 1 Тұтас жуан негізгі сызық s 2 s Тұтас жіңішке сызық Тұтас жіңішке ирек сызық 4 Тұтас жіңішке сынық сызық 5 Үзілме сызық 6 Нүктелі үзілме сызық 7 Қос нүктелі үзілме сызық 8 Жуан үзілме сызық 9 Үзік сызық 1,5s Сызбаның көрінетін сызығын (контурын) жəне қималарды көрсететін сызық s Сызбадағы шығарма жəне өлшем сызығы. s s Сызбаны үзу мен көріністі 3 2 жəне тілікті шектеу сызығы s s Ұзын сызбаны үзу жəне 3 2 көрініс пен тілікті шектеу сызығы s s Сызбаның көрінбейтін сызығын көрсететін 3 2 сызық s 3 s көрсететін сызық. Шығарылған жəне беттескен қиманың 2 симметрия осі ныкөрсететін Нəрсенің осі мен ортасын сызық s 3 s іністегі беттесетін жайманы 2 көрсететін сызық. Жылжитын нəрсенің шегін көрсететін Жазбадағы бүгу мен көрінs сызық 2 2s қапталатын беттерді көрсететін сызық. Жазықтықпен 3 қияр алдындағы элементті Сызбадағы өңделетін немесе көрсететін сызық Сызбаны кесу сызығы 112

113 Үзілме жəне нүктелі үзілме сызықтардағы сызықшалар мен осы сызықшалардың арақашықтықтары бірдей ұзындықта сызылады. Сызбада үзілме сызықтар міндетті түрде тұтас жуан негізгі сызықпен түйіседі. Нүктелі үзілме сызықтардағы сызықшалар шеңберден немесе айналу денесінен міндетті түрде екі, үш миллиметр шығып, өзара қиылысуы қажет. Егер шеңбер немесе айналу денесінің диаметрі 12 миллиметрден кем болса, онда нүктелі үзілме сызық жіңішке тұтас сызықпен ауыстырылады. Күрделі тіліктер мен қималарды көрсеткенде үзік сызықтардың шеттерін нүктелі үзілме сызықтармен қосып қояды A A 5 7 Сызбада тұтас ирек сызығы мен тұтас сынық сызығының сынығын қолмен сызуға болады. Өлшем сызығындағы сандар, сызбадағы жазулар сызықтарға тимейтін жəне қиылыспайтын болуы керек. Сызба шекарасы, кестелер мен негізгі жазулар шекарасы жуан тұтас сызықтың қалыңдығына тең болады. 93-суретте стандарт бойынша тағайындалған сызықтардың қолдану мысалы көрсетілген Сызба қаріптері Сызбадағы өлшем сызықтарындағы сандарды жəне басқа да жазуларды, негізгі жазуды сызба қарпі бойынша орындайды. Келесі мемлекеттік стандарт 113

114 - Сызба қаріптері. Сызба қарыптары орыстың, латынның жəне гректің əріптері мен рим жəне араб сандарынан тұрады. Бұған қосымша қазақ əріптері мен математикалық символдар түрлерінің белгілеу түрлері тағайындалған. Төменде стандарт бойынша тағайындалған сызба қарыптарының негізгі өлшемдері берілген: - бас əріптер биіктігі - латынның кіші h əрпімен; - кіші əріптер биіктігі - латынның кіші с əрпімен; - əріптің ені - латынның кіші g əрпімен; - əріптердің арақашықтығы - латынның кіші а əрпімен; - сөздердің ең аз арақашықтығы - латынның кіші е əрпімен; - əріптің жуандығы - латынның кіші d əрпімен. Стандарт бойынша сызба қаріптер жіңішке А типті жəне жуан Б типті түрлерге бөлінеді. А типті (d =1/14h) жəне Б типті (d =1/10h) əріптер 90 0 тік жəне 75 0 қиғаш болып келеді. Əріптердің сызылуын жеңілдету мақсатында алғашқы кезде көмекші торкөзде сызған ыңғайлы (94-сурет). Суретте көрсетілгендей əріптер түзу сызықтар мен кішкентай доғалар арқылы сызылады. Оқырманға ескерту ретінде айтарым сызба қаріптерін жазбайды, оларды сызады. Стандарт бойынша қаріптердің биіктігі (1,8); 2,5; 3,5; 5; 7; 10; 14; 20; (40) болады. d d h h g g Төменде А (d =1/14h) жəне Б типті (d =1/10h) əріптердің өлшемдері 2 жəне 3-кестелерде көрсетілген. 114

115 2-кесте ШРИФТІҢ ӨЛШЕМ АТАУЛАРЫ ƏРІППЕН БЕЛГІ- ЛЕНУІ САЛЫС- ТЫР- МАЛЫ ӨЛШЕМІ ӨЛШЕМДЕРІ (мм) 1. Бас əріптердің биіктігі 2. Кіші əріптердің биіктігі 3. Əріптердің ендері 4. Əріптердің арақашықтығы 5. Cөздердің арақашықтығы 6. Əріптердің қалыңдығы h 14d 2,5 3, c 10d 1,8 2,5 3, g 7d 1,25 1,75 2,6 3, a 2d 0,35 0,5 0,7 1,0 1,4 2,0 2,8 е 6d 1,1 1,5 2,1 3,0 4,2 6,0 8,4 d d 0,18 0,25 0,35 0,6 0,7 1,0 1,4 3-кесте ШРИФТІҢ ӨЛШЕМ АТАУЛАРЫ 1. Бас əріптердің биіктігі 2. Кіші əріптердің биіктігі 3. Əріптердің ендері 4. Əріптердің арақашықтығы 5. Cөздердің арақашықтығы 6. Əріптердің қалыңдығы ƏРІППЕН БЕЛГІ- ЛЕНУІ САЛЫС- ТЫРМАЛЫ ӨЛШЕМІ ӨЛШЕМДЕРІ (мм) h 10d 2,5 3, c 7d 1,8 2,5 3, g 6d 1,1 1,5 2,1 3,0 4,2 6 8,4 a 2d 0,35 0,5 0,7 1,0 1,4 2,0 2,8 е 6d 1,1 1,5 2,1 3,0 4,2 6,0 8,4 d d 0,18 0,25 0,35 0,6 0,7 1,0 1,4 115

116 95-суретте Б типті қиғаш қазақ алфавиті əріптерінің сызылу конструкциясы көрсетілген. Бұл суреттегі қара сызықтар не 75 0 түзу сызықтар немесе деңгей сызығына параллель сызықтар. 96-суретте Б типті қиғаш латын алфавитінің сызылу жолы мен сандар көрсетілген. Сызба қарпін орындау кезінде тік жəне қиғаш əріптер мен сандарды сызғанда вертикаль орналасқан сызықтарды жоғарыдан төмен қарай, ал горизонталь сызықтарды солдан оңға қарай сызу қажет. Ал доға болса, онда төменнен солға немесе төменнен оңға қарай сызады (96-сурет). 116

117 96-сурет 10.5 Сызба өлшемдерді түсіру Сызбада сызылған нəрсені сызбасына қарап жасау үшін, оның өлшемдері болу қажет. Өлшемдерді дұрыс қою үшін, өлшемдерді түсірудің ережелері мемлекеттік стандартта тағайындалған. Сызылған сызбаның өлшемдерін қою үшін, алдымен сызбаның контурынан шығару сызықтарын сызамыз. Шығару сызығы нұсқамадан стандарт бойынша 1 5 мм шығып тұруы керек, бірақ бұл ұзындық 2 3 мм болғаны дұрыс. Осы шығару сызықтарына перпендикуляр болатын өлшем сызығын сызамыз. Нəрсенің күрделілігіне байланысты өлшем сызықтары бір немесе бірнеше параллель сызықтары болады. Стандарт бойынша өлшем сызықтарының аралары 6 10 мм болады (97-сурет). Бірақ бірінші өлшем сызығын контурдан 10 мм арақашықтықта сызған, ал келесі өлшем сызықтарды осы сызықтан 8 мм арақашықтықта сызған дұрыс болады. Өлшем сызықтарының шеттерін нұсқамамен шектеп қояды. Нұсқама міндетті түрде сызғыштың көмегімен ұзындығы 6 10 s мм болатын сызықпен сызылады (98-сурет). Кей жағдайларда нұсқама сызықтары өлшем сызықтарына сыймай қалса, онда өлшем сандары шығару сызығының сыртына сызылады (99-сурет). Ескерту, құрылыс сызбаларында өлшем сызықтарының шеттерін көлбеу 117