το ορθώς διανοείσθαι δια το ορθώς κοινωνείν

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "το ορθώς διανοείσθαι δια το ορθώς κοινωνείν"

Transcript

1 ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΤΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΜΕ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ το ορθώς διανοείσθαι δια το ορθώς κοινωνείν Ιωάννη Γ. Καλογεράκη Εισήγηση στην ηµερίδα που οργάνωσε ο Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών κ.. Μπουνάκης στο Ηράκλειο στις ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία αυτή αποτελείται από δύο µέρη. Το πρώτο είναι παιδαγωγικό και αφορά ορισµένες προτάσεις για την καλύτερη επικοινωνία του καθηγητή µε τους µαθητές στην τάξη. ίνεται έµφαση στα χαρακτηριστικά της προσωπικότητας του καθηγητή και σε τεχνικές επικοινωνίας στο διδακτικό επίπεδο. Το δεύτερο είναι µαθηµατικό και σχετίζεται µε τη µαθηµατική ηµιδιάλεκτο που χρησιµοποιούµε για τη µετάδοση των µαθηµατικών ιδεών. Σκιαγραφούνται ορισµένα χαρακτηριστικά της ηµιδιαλέκτου, δίνονται παραδείγµατα µε ασκήσεις και προτείνονται ορισµένες διδακτικές τεχνικές. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η επικοινωνία, δηλαδή η ανταλλαγή νοηµάτων µεταξύ των ανθρώπων, ως έννοια, έχει την καταγωγή της στην αρχαία Ελλάδα. Αργότερα, ο όρος επικοινωνία στη Χριστιανική Ορθοδοξία προσέλαβε µια βαθιά ψυχική και πνευµατική διάσταση. Το γεγονός της επικοινωνίας θεωρήθηκε ως άθληµα ατοµικής υπέρβασης. Σήµερα υποστηρίζεται από τους ερευνητές ότι η επιτυχία στην τάξη βρίσκεται πέρα από την επιθυµία µας να διδάξουµε και τη σωστή προετοιµασία της διδασκαλίας. Αν και τα δύο είναι πολύ σηµαντικά από µόνα τους, δεν κάνουν µία καλή διδασκαλία. Το πραγµατικό κλειδί της επιτυχηµένης διδασκαλίας είναι η ικανότητα του καθηγητή να επικοινωνεί µε τους µαθητές. Αν θεωρήσουµε ότι υπάρχει ουσιώδης διαφορά µεταξύ του γνωρίζω και του διδάσκω, η διαφορά αυτή είναι η επικοινωνία στην τάξη. Ορισµένοι µάλιστα ερευνητές θεωρούν ότι επικοινωνία είναι το βαθύτερο νόηµα της διδασκαλίας. Η σπουδαιότητα της επικοινωνίας απορρέει και από το γεγονός ότι σχετίζεται µε την παιδαγωγική επιρροή. ηλαδή, την ικανότητα του δασκάλου να συν-κινεί τους µαθητές, ώστε να τον αποδέχονται και να αισθάνονται όµορφα και άνετα κατά τη διδασκαλία Ο τρόπος που ο καθηγητής επικοινωνεί µε τους µαθητές σε µεγάλη έκταση ορίζει τον τύπο και την επιρροή του στους µαθητές. Όµοια το µέτρο της επιρροής διαµορφώνει την ποιότητα της επικοινωνίας. Είναι ένα ατοµικό δυναµικό χαρακτηριστικό του καθηγητή που επιφέρει ένα θετικό αποτέλεσµα στη µάθηση και τη συµπεριφορά των µαθητών. Όταν απουσιάζει η επικοινωνία στην τάξη, εξασθενεί η θέση του καθηγητή, η επιρροή του στους µαθητές είναι µειωµένη και το επιστηµονικό και παιδαγωγικό µήνυµα της διδασκαλίας επιδίδεται λειψό.

2 Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 2 2. ΕΙ Η ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Η ικανότητα της επικοινωνίας είναι κυρίως έµφυτη, απαιτεί ένα ταλέντο, µια φυσική αµεσότητα, µια ευχάριστη παρουσία, ένα διακριτικό χαµόγελο, την τέχνη του αυτοσχεδιασµού, το χαρακτηριστικό της πνευµατικότητας, την κοινή αίσθηση των πραγµάτων, καταστάσεις οι οποίες δεν αποκτώνται εύκολα µε µαθησιακές διαδικασίες. Παράλληλα εξαρτάται και από τα τεχνολογικά µέσα κάθε εποχής αφού αποτελούν τους αγωγούς των µηνυµάτων. Ωστόσο, υπάρχουν πολλά περιθώρια για τη βελτίωση της επικοινωνίας. Θα θεωρήσουµε δύο κατηγορίες επικοινωνίας, την παιδαγωγική- διδακτική επικοινωνία και την µαθηµατική επικοινωνία. Οι κατηγορίες αυτές δεν είναι σύνολα ξένα µεταξύ τους. Παράλληλα, θα αναφέρουµε ορισµένες προτάσεις, ενισχυτικές για κάθε είδος επικοινωνίας. 3. ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ Η προσωπική επικοινωνία Η διδασκαλία είναι η Τέχνη της δηµιουργίας πνευµατικών προκλήσεων. Αυτή επικεντρώνεται γύρω την προσωπικότητα του καθηγητή και υποστηρίζεται από τη σχέση τους µε τους µαθητές. Στην Τέχνη αυτή σηµαντικό ρόλο έχει η προσωπική επικοινωνία. Μπορούµε να βελτιώσουµε αυτού του είδους την επικοινωνία µε τις παρακάτω προτάσεις: Η πραγµατοποίηση της επικοινωνίας προϋποθέτει, πρώτα από όλα, την παρεµβολή της ατοµικής και υποκειµενικής πρόθεσης για επικοινωνία. ιαφορετικά δεν συντρέχει κανένας λόγος προσποιητής επικοινωνίας. Πρέπει να θέλουµε να σκεφτούµε και να συζητήσουµε µε τους µαθητές µαθηµατικά ή γενικότερα θέµατα. Η επικοινωνία προϋποθέτει την ειλικρίνεια. Με τους µαθητές πρέπει να είµαστε απόλυτα ειλικρινείς. Χωρίς αυτή, βαθύτερη επικοινωνία δεν υπάρχει. Αντίθετα η ειρωνεία και ο σαρκασµός, αποτελούν φίλτρα απόσβεσης της επικοινωνίας. Εκτός από την ειλικρίνεια προϋπόθεση επικοινωνίας είναι ο αµοιβαίος θαυµασµός µεταξύ διδάσκοντος και διδασκοµένου, ο οποίος πρέπει πολύ διακριτικά να εκδηλώνεται. Η στάση µας στην τάξη πρέπει να είναι ευγενική, δυναµική και αποτελεσµατική. Μόνο τότε στέλνουµε το βασικό µήνυµα επικοινωνίας, ότι αυτό που διδάσκουµε µας ενδιαφέρει προσωπικά. Συνεπώς, µπορούµε να επεκτείνουµε την επικοινωνία και µέσα στο αντικείµενο που διδάσκουµε. Ως δάσκαλοι πρέπει να είµαστε ενθουσιώδεις, ιδιαίτερα στην τυπική διδασκαλία. Να έχουµε διάθεση να αναγνωρίσουµε την οµορφιά του αντικειµένου που διδάσκουµε ακόµη και όταν το έχουµε διδάξει εκατοντάδες φορές. Για παράδειγµα, όταν διδάσκουµε την παραγώγιση του γινοµένου συναρτήσεων να έχουµε την αίσθηση ότι το διδάσκουµε για πρώτη φορά. Ως δάσκαλοι πρέπει να εµπνέουµε και να έχουµε διάθεση προσφοράς και βοήθειας. Να είµαστε όµως προσεκτικοί να µην περάσουµε κάποια όρια και γίνουµε υπερβολικά φιλικοί, γιατί θα αντιµετωπίσουµε προβλήµατα πειθαρχίας και µοιραία, κάποια στιγµή, τη µείωση της επικοινωνίας. Είναι αναγκαίο οι µαθητές να γνωρίζουν ότι ενδιαφερόµαστε και φροντίζουµε για αυτούς ως άτοµα. Όσο περισσότερη προσοχή απαιτούµε αυτοί να δίνουν σε

3 Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 3 εµάς, ανάλογη προσοχή πρέπει να δίνουµε και εµείς σε αυτούς. Τότε δηµιουργούµε τις προϋποθέσεις για µια βαθύτερη επικοινωνία. Να ερευνούµε τον τόνο τη χροιά και την ένταση της φωνής µας, όταν διδάσκουµε ή οµιλούµε προσωπικά στους µαθητές. Πολλοί έµπειροι καθηγητές αποµακρύνουν τους µαθητές µε τον τόνο της φωνής τους. Ακόµη, µερικοί χρησιµοποιούν στην τάξη, αλλά και στην καθηµερινή ζωή, αυτό που ονοµάζεται διδασκαλικός τόνος. Είναι µια ευγενική διάθεση, η οποία όµως δε θα πρέπει να φθάνει σε υπερβολές. Ο τόνος και η χροιά της φωνής πρέπει να απεικονίζει τη θέση, ότι θεωρούµε τους µαθητές ίσους µε µας. Για το λόγο αυτό πρέπει να τους µιλούµε, και ιδιαίτερα στους µαθητές του Λυκείου, µε την ίδια γλώσσα που µιλούµε σε ενήλικες. Η γλώσσα είναι όργανο και µέσο επικοινωνίας. Με το Λόγο γίνεται Πράξη του οµιλείν και του γράφειν. Ως θετικοί επιστήµονες είναι ανάγκη συνεχώς να βελτιώνουµε τη δοµή της γλώσσας και να αναπτύσσουµε τη συνοµιλιακή µας ικανότητα. Κυρίως, δεν πρέπει να συρρικνώνουµε τον κώδικα της γλωσσικής µας επικοινωνίας σε ερµητικά στερεότυπα της επαγγελµατικής µας εξειδίκευσης. ιότι τότε λειτουργούµε σε στεγανά µονότροπης επικοινωνίας κλειστού κύκλου οπαδών, που συνήθως είναι οι πολύ καλοί µαθητές. Όλα αυτά είναι σηµαντικά αλλά και το πιο σηµαντικό είναι η συνεχής ανάπτυξη της εγραµµατοσύνης. Με τον όρο αυτό εννοούµε τη γενικότερη µόρφωση των καθηγητών των Μαθηµατικών. Με την εγραµµατοσύνη ο καθηγητής βρίσκει τον τρόπο να κοινωνεί και να κοινοποιεί τον µαθηµατικό Λόγο. Η διάθεση µας απέναντι στο πρόβληµα της παιδείας και η στάση µας απέναντι στη διδασκαλία είναι αντανάκλαση του προσωπικού µας πολιτισµού. Ισχύει η αριστοτελική συνεπαγωγή: το ορθώς διανοείσθαι δια το ορθώς κοινωνείν. (Ηθικά, Νικοµάχεια 5,1122Β) 3.2. Η επικοινωνία στο διδακτικό επίπεδο Είναι γνωστό ότι η µάθηση πραγµατοποιείται στην τάξη όταν µε την διδασκαλία παρουσιάζουµε τις µαθηµατικές έννοιες. Αυτό όµως στη σηµερινή εποχή δεν αρκεί, χρειάζονται και ορισµένες απλές επικοινωνιακές τεχνικές που διευκολύνουν τη µετάδοση του διδακτικού µηνύµατος. Μερικές από αυτές µπορεί να είναι οι παρακάτω: Να διαθέτουµε ένα σχεδιάγραµµα των θέσεών των µαθητών ήδη από τις πρώτες µέρες. Να µάθουµε σε σύντοµο χρονικό διάστηµα τα ονόµατα τους και να διαθέσουµε χρόνο να τους γνωρίσουµε. Για να ακούµε µε κατανόηση τις ερωτήσεις τους και να απαντούµε στις απορίες σε προσωπικό επίπεδο. Η ανωνυµία είναι εµπόδιο για την επικοινωνία. Να κρατήσουµε ορισµένες απλές θετικής φύσης πληροφορίες για τους µαθητές όπως αθλητικές απασχολήσεις, καλλιτεχνικές δραστηριότητες, άλλες συνήθειες οι οποίες µπορεί να γίνουν αιτίες συζήτησης τις ελεύθερες ώρες. Όταν οι µαθητές αισθάνονται ότι τους γνωρίζουµε ως άτοµα και τους αναγνωρίζουµε ως αξίες µας δίνουν τη δυνατότητα να βελτιώσουµε τον πολιτισµό της τάξης και να διαθέσουµε χρόνο για κοινή πνευµατική δουλειά.

4 Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 4 Να εφαρµόζουµε µεθόδους διδασκαλίας, οι οποίες να µην είναι διαλέξεις σε ακροατήριο του οποίου τα µέλη χάνουν την ατοµικότητα, αλλά να στηρίζονται στον διάλογο, που δίνει πολλές ευκαιρίες όταν διαθέτουµε δεξιοτεχνία, για µία εσωτερική προσωπική επικοινωνία µε τους µαθητές. Αυτό ενισχύεται όταν κάνουµε τη διδασκαλία µας ελκυστική και συµβατή µε ορισµένα κίνητρα που συσχετίζονται µε τις ανάγκες και τα ενδιαφέροντα των µαθητών. Να συµµετέχουµε στην οργάνωση των σχολικών εκδηλώσεων και ιδιαίτερα των θεατρικών παραστάσεων και των εκπαιδευτικών εκδροµών. Οι εκδηλώσεις αυτές µας δίνουν µοναδικές ευκαιρίες επικοινωνίας, όταν βέβαια τηρούνται ορισµένες αυτονόητες προδιαγραφές. Στις περιπτώσεις αυτές και στις συζητήσεις να εστιάζουµε πάντα την προσοχή µας στα θετικά χαρακτηριστικά και τα προτερήµατα των µαθητών. Να χρησιµοποιούµε την τεχνολογία, για να συντάσσουµε τα γραπτά κείµενα µας, διαγωνίσµατα, σχέδια µαθήµατος, φύλλα εργασίας, επαναληπτικές ασκήσεις- διότι τότε το µήνυµα που στέλνουµε στους µαθητές είναι καλύτερα οργανωµένο και συνεπώς πιο κατανοητό. Να αναπτύξουµε σύγχρονα µέσα επικοινωνίας στο σχολείο, όπως είναι οι ιστοσελίδες και η ηλεκτρονική επικοινωνία. Προσέχοντας πάντα αυτά τα µέσα να µας ενώνουν και όχι να µας αποξενώνουν. Να διαθέτουµε πλούσιες πηγές διδακτικού υλικού και να εµπλουτίζουµε τη διδασκαλία, ώστε να την κάνουµε περισσότερο επικοινωνιακή, κατανοητή και ελκυστική. Κάθε χρόνο η τάξη που διδάσκουµε είναι διαφορετική. Για τον λόγο αυτό είναι ανάγκη να διαθέτουµε πλούσιο και ηλεκτρονικά οργανωµένο µαθηµατικό υλικό. Να επιχειρούµε να βλέπουµε το γνωστικό αντικείµενο που διδάσκουµε, όπως το βλέπουν οι µαθητές. ηλαδή να φανταστούµε πως ο δέκτης λαµβάνει το µήνυµα και συνεπώς να βρίσκουµε τρόπους να βελτιώνουµε την αποστολή του. Για το σκοπό αυτό το υλικό που χρησιµοποιούµε πρέπει να απεικονίζει τις ικανότητες του µέσου µαθητή. Αν το διδακτικό υλικό είναι υπερβολικά δύσκολο και αυτό επαναλαµβάνεται συνεχώς οι µαθητές δεν µπορούν να το συνδέσουν µε προϋπάρχουσες γνώσεις και αργά αλλά σταθερά µειώνουµε την επικοινωνία. εν είναι σωστό να αγνοούµε τους αδύνατους, τους σιωπηλούς και τους συνεσταλµένους µαθητές. Κάποιοι από αυτούς πηγαίνουν χρόνια στο σχολείο χωρίς ποτέ κανείς να τους παρατηρήσει Πρέπει να βρίσκουµε χρόνο να συζητούµε µαζί τους. Να τους υποβάλλουµε ενισχυτικές ερωτήσεις κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας και να τους δίνουµε ευκαιρίες για συµµετοχή στα δρώµενα της τάξης. Σε καµία περίπτωση τους µαθητές αυτούς δε θα πρέπει να τους θεωρούµε ως, λίθους ους απεδοκίµασαν οι οικοδοµούντες. Η αξιολόγηση είναι ένα καλό παιδαγωγικό εργαλείο όταν γίνεται µε σωστό τρόπο. ιαφορετικά ενδέχεται να αλλοιώσει το ψυχολογικό κλίµα στην τάξη και να µειώσει την επικοινωνία. Στην αξιολόγηση λέξεις κλειδιά είναι, να είµαστε αντικειµενικοί, διακριτικά επιεικείς και δίκαιοι.

5 Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 5 4. Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ Σε κάθε επιστήµη η επιτυχής επικοινωνία των ιδεών είναι το ίδιο σηµαντική όπως είναι και οι ίδιες οι ιδέες. Ως µαθηµατική επικοινωνία θεωρούµε τα µέσα και τον τρόπο που διαδίδονται οι µαθηµατικές έννοιες και διευκρινίζονται θέµατα κατανόησης. Με την µαθηµατική επικοινωνία οι ιδέες γίνονται αντικείµενα της σκέψης, ραφινάρονται, συζητούνται, τροποποιούνται και αποκτούν µονιµότητα. Βασική προϋπόθεση για αυτό είναι η σωστή χρήση της γλώσσας και των συµβόλων της µαθηµατικής σύµβασης, όπως και τη γνώση ορισµένων τεχνικών επικοινωνίας Η µαθηµατική γλώσσα Ο µαθηµατικός Λόγος, γραπτός ή προφορικός, είναι η ικανότητα του ανθρώπου να αναφέρει τη νοηµατική µορφοποίηση της µαθηµατικής πραγµατικότητας, να τη σηµαίνει µε λεκτικές εικόνες, να την κοινωνεί και να την κοινοποιεί. Για τη µορφοποίηση αυτή δηµιουργήθηκε ειδικό λεξιλόγιο, ειδικά σύµβολα και ειδική σύνταξη και χρήση της καθηµερινής γλώσσας. ηµιουργήθηκε η µαθηµατική γλώσσα. Για την ακρίβεια δηµιουργήθηκε µία επαγγελµατική γλώσσα, µία ηµιδιάλεκτος, που ονοµάζεται διεθνώς µαθηµατική γλώσσα. Θα εξετάσουµε περιληπτικά ορισµένα χαρακτηριστικά της µαθηµατικής γλώσσας. Η µαθηµατική γλώσσα είναι γλώσσα συµβολική. Ένα µέρος από το λεξιλόγιο της είναι σύµβολα. Οι συµβολικές γλώσσες είναι ένας δρόµος που µαθαίνουµε και επικοινωνούµε. Τα µαθηµατικά σύµβολα, τα σηµεία, και οι συνδυασµοί συµβόλων µεταφέρουν τα χαρακτηριστικά των όρων που αντιπροσωπεύουν και συµβάλλουν στην κατανόηση των µαθηµατικών εννοιών. Παράδειγµα, το σύµβολο δεν δηλώνει µόνο τη διαδικασία για να βρούµε την τετραγωνική ρίζα, αλλά και ορισµένες συµβάσεις για την υπόριζο ποσότητα. Η έννοια ενός συµβόλου, σε µία µαθηµατική πρόταση, είναι µονοσήµαντα ορισµένη, αλλά ένα σύµβολο µπορεί να αντιπροσωπεύει πολλές και διαφορετικές έννοιες. Παράδειγµα, το διατεταγµένο ζεύγος (α, β) µπορεί να είναι οι συντεταγµένες ενός σηµείου στο καρτεσιανό επίπεδο, να είναι ανοικτό διάστηµα στο σύνολο R, να είναι οι συντεταγµένες διανύσµατος στο επίπεδο, ή να δηλώνει τον Μ. Κ. δύο ακεραίων. Ποικίλες έννοιες έχουν και τα σύµβολα πλην (-) και ίσον (=) τα οποία δεν έχουµε ορίσει. Οι διαδικασίες που εκτελούνται µε τα σύµβολα (οµώνυµα κλάσµατα, απλοποίηση, σχήµα Horner, παραγώγιση, ολοκλήρωση, ) σταδιακά µε την εξάσκηση γίνονται ικανότητες. Σε αυτές τις περιπτώσεις υπάρχει κίνδυνος το περιεχόµενο των συµβόλων να ξεχαστεί, να κυριαρχήσει η φόρµα της διαδικασίας και να χαθεί η αίσθηση των λέξεων. ηλαδή, στις συµβολικές γλώσσες είναι υπαρκτός ο κίνδυνος της µηχανικής µάθησης. Αυτόν τον κίνδυνο περιορίζουν οι καλές διδακτικές τεχνικές. Η µαθηµατική γλώσσα, αν και δεν χρησιµοποιείται στην καθηµερινή ζωή, είναι φωνητική γλώσσα. ηλαδή, χρησιµοποιούµε διάφορους ήχους για να δηλώσουµε όρους και σύµβολα, όπως παράγωγος, συζυγής, διάνυσµα Η φωνητική γλώσσα είναι ένας δρόµος για να µεταφέρουµε ένα σύνολο εννοιών σε γραπτό κείµενο. Ένα από τα πλεονεκτήµατα της είναι, ότι µας επιτρέπει να βελτιώνουµε τις

6 Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 6 προφορικές και γραπτές εκφράσεις και να αυξάνουµε την επιτυχία της επικοινωνιακής πληροφορίας. Όταν γράφουµε µία άσκηση πρέπει να προφέρουµε τις προτάσεις, να τις ακούµε και στη συνέχεια να δίνουµε το κείµενο στην τάξη. Όµοια, όταν διδάσκουµε δεν αρκεί µόνο να γράφουµε τις σχέσεις, αλλά να εξηγούµε προφορικά τα διαδοχικά βήµατα. Οι µαθητές πρέπει να ακούνε και να προφέρουν και οι ίδιοι τα µαθηµατικά κείµενα, για να µαθαίνουν να τα διαβάζουν και να καταγράφονται στη µνήµη τους. Όλοι έχουµε παρατηρήσει τη δυσκολία που έχουν οι µαθητές στη Γ Γυµνασίου να διατυπώσουν το θεώρηµα του Θαλή. Οι διάφορες λέξεις και όροι των Μαθηµατικών έχουν διαφορετικό νόηµα στην οµιλούµενη γλώσσα. Για παράδειγµα, διαιρώ σηµαίνει χωρίζω, κόβω σε κοµµάτια, στα Μαθηµατικά είναι το ίδιο µε το πολλαπλασιάζω, µε τον αντίστροφο ενός αριθµού διαφορετικού από το µηδέν. Το πολλαπλασιάζω στην καθηµερινή οµιλία σηµαίνει αυξάνω, στα Μαθηµατικά σηµαίνει οτιδήποτε, αυξάνω, µειώνω, παραµένω το ίδιο. Οι µαθητές έρχονται στην τάξη µε την καταγραφή των λέξεων της καθηµερινής γλώσσας και αυτό είναι ένα εµπόδιο στη διδασκαλία. Ακόµη, οι µαθητές ακόµη και όταν διατυπώνουν και καταλαβαίνουν ένα ορισµό δεν τον χρησιµοποιούν πάντα µε σωστό τρόπο. Αυτό είναι ιδιαίτερα έντονο στην Α. Λυκείου στη λύση ασκήσεων Γεωµετρίας. Οι µαθηµατικές προτάσεις έχουν ξεχωριστή γλωσσική σύνταξη, γραµµατική και συντακτικό, τα οποία είναι στοιχεία για την κατανόηση τους Για παράδειγµα, στην ταυτότητα: ( a+ β ) = α + 3α β + 3αβ + β, η παράσταση 3 ( α+ β ) είναι το υποκείµενο, το = είναι το µεταβατικό ρήµα που µεταφέρει την ενέργεια του υποκειµένου και το αντικείµενο είναι η παράσταση α + 3α β + 3αβ + β. Στη µαθηµατική γλώσσα τα περισσότερα σύµβολα ( <, >,,,,, ) λειτουργούν ως ρήµατα, δηλαδή, µεταφέρουν την ενέργεια του υποκειµένου, η οποία είναι η µαθηµατική σχέση. Σε µία µαθηµατική πρόταση ορισµένες λέξεις δεν µπορούµε να τις εντάξουµε στα γνωστά µέρη του λόγου, ακόµη και αν παρεµβάλλουµε την κλάση των αριθµητικών που ανήκουν στα επίθετα. Ο λόγος που έχει ενδιαφέρον για τη διδασκαλία, η µαθηµατική γραµµατική, είναι ότι οι µαθηµατικές προτάσεις πρέπει να είναι ακριβείς. ιαφορετικά δεν έχουν νόηµα. Αν τα µέρη που τις συνιστούν δεν έχουν ακρίβεια και απλότητα, τότε αναπαράγουν και πολλαπλασιάζουν ασάφειες και καθιστούν τις προτάσεις µη αναγνωρίσιµες. Για τον λόγο αυτό επιβάλλεται να χρησιµοποιούµε στις ασκήσεις τις κατάλληλες λέξεις και το σωστό συντακτικό (syntax variables). Ορισµένες µαθηµατικές προτάσεις είναι πεπλεγµένες, έχουν πολυσύνθετη δοµή και δεν είναι εύκολα προσβάσιµες και κατανοητές. ηλαδή, δεν µπορούµε να αποκρυπτογραφήσουµε την εννοιολογική δοµή (content variables) και να αρχίσουµε µία απόδειξη. Αυτό συµβαίνει διότι το µαθηµατικό φαινόµενο είναι περίπλοκο και δεν µοιάζει µε απλό αντικείµενο της καθηµερινής ζωής. Μία αιτία είναι ότι οι µαθηµατικοί όροι που συνθέτουν το µαθηµατικό φαινόµενο έχουν επηρεαστεί από πολλούς παράγοντες στην ιστορική τους πορεία. Ας πάρουµε ένα απλό παράδειγµα, τι ονοµάζουµε πραγµατική συνάρτηση µε σύνολο ορισµού το Α; Το βιβλίο αναφέρει: Συνάρτηση είναι µία διαδικασία f, µε την οποία κάθε στοιχείο x A αντιστοιχίζεται σε ένα µόνο πραγµατικό αριθµό ψ. Αν και ο ορισµός είναι σωστός, δεν περιγράφει πλήρως το αντικείµενο, περισσότερο το αντικείµενο ορίζει τον ορισµό. Για παράδειγµα, υπονοείται αλλά

7 Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 7 δεν αναφέρεται το κύριο χαρακτηριστικό των συναρτήσεων.ότι τα στοιχεία αυτά είναι µεταβλητές ποσότητες. Ίσως για τους µαθητές να ήταν πιο κατανοητός ο ορισµός αν παρουσιαζόταν ως σύνολο διατεταγµένων ζευγών. Η στατικότητα του ορισµού οδηγεί τους µαθητές να εννοούν τη συνάρτηση ως µία οντότητα, ως ένα πράγµα που έχει ιδιότητες και όχι ως µία διαδικασία. Όµως, όταν εµφανίζεται στις ασκήσεις δεν λειτουργεί ως οντότητα, δηλαδή δεν συµπεριφέρεται ως ουσιαστικό της ελληνικής γλώσσας, περισσότερο µοιάζει µε πρόθεση. Μία άλλη δυσκολία έχει να κάνει µε το σύµβολο f ( x ) που ισχύει για το όνοµα της συνάρτησης µε ανεξάρτητη µεταβλητή το x και για την τιµή της συνάρτησης στο x. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα η εφαρµογή του Θ. Μ. Τ. σε ένα διάστηµα της µορφής [0, x], µε x> 0 να δηµιουργεί επιστηµονικά εµπόδια και να µην γίνεται κατανοητό αν το f ( x ) είναι ο τύπος της συνάρτησης ή τιµή της f στο x. ηλαδή, δεν πρέπει µόνο οι µαθητές να αναγνωρίσουν πως µεταβάλλεται η f, αλλά και τι µεταβάλλεται. Ας δούµε ένα παράδειγµα: ίνεται ότι η συνάρτηση f είναι ορισµένη και παραγωγίσιµη στο (, + ) και ισχύει ο µέσος ρυθµός µεταβολής της f σε κάθε διάστηµα [α, β] είναι ίσος µε τη µέση τιµή των ρυθµών µεταβολής στα άκρα του διαστήµατος. Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο Α(0, 0). Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης. Οι πληροφορίες παρατίθενται µε ένα λεκτικό τρόπο και θα πρέπει οι µαθητές να τις απεικονίσουν σε µία ισότητα αφού εκλέξουν κατάλληλο διάστηµα. Για τους µαθητές είναι διανοητικό άλµα η εκλογή του διαστήµατος, της µορφής [ a, x ] Το επόµενο βήµα είναι η κατάστρωση στο διάστηµα αυτό της ισότητας f ( x) f ( a) f ( x) + f ( a) =. x a 2 Στη συνέχεια η διαδικασία της λύσης ανεξαρτητοποιείται πλήρως από το νόηµα και το περιεχόµενο της εκφώνησης. Πίσω από τα µαθηµατικά σύµβολα χάνεται η αίσθηση των λέξεων και κυριαρχεί η φόρµα των διαδικασιών. Αυτές είναι η 3 απαλοιφή των παρονοµαστών, η διαίρεση των όρων µε το ( x a), η δηµιουργία παραγώγων στα δύο µέρη και η εφαρµογή του γνωστού πορίσµατος του Θ.Μ.Τ για να βρούµε τελικά ένα δευτεροβάθµιο τριώνυµο. Ωστόσο δεν γίνεται κατανοητό πως το f ( x ) από τιµή στο χ µετασχηµατίστηκε σε τύπο. Ένα άλλο χαρακτηριστικό της µαθηµατικής γλώσσας είναι ότι στις ασκήσεις και τα προβλήµατα δεν έχει ως κύρια λειτουργία την κατανόηση της εκφώνησης. Η δοµή µίας µαθηµατικής πρότασης δεν είναι ένα αντικείµενο για να το καταλάβουµε. Είναι περισσότερο µία πηγή πληροφοριών, ένα κείµενο που περιέχει µικρογραφίες σχέσεων που πρέπει να εκµεταλλευτούµε για να δοµήσουµε µία απόδειξη. Ένα παράδειγµα: ίνεται ότι η συνάρτηση f είναι πολυώνυµο τρίτου βαθµού. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο του επιπέδου στο οποίο τέµνονται οι γραφικές παραστάσεις των f και f. Η δυσκολία δεν είναι η κατανόηση της άσκησης. Αυτή είναι απλή υπόθεση για τους µαθητές που γνωρίζουν τη θεωρία. Η δυσκολία έγκειται στην εκµετάλλευση

8 Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 8 των συντοµογραφιών που περιέχονται στην εκφώνηση, όπως ότι είναι πολυώνυµο τρίτου βαθµού και τέµνονται και τέλος η κατάλληλη ερµηνεία του συνόλου τιµών. Αυτά σηµαίνουν ότι η απόδειξη µίας µαθηµατικής πρότασης προϋποθέτει από τους µαθητές να έχουν ένα δραστήριο ρόλο. Να δρουν πάνω στο κείµενο να βγάζουν συµπεράσµατα, να αναγνωρίζουν τα εστιακά σηµεία, να ερµηνεύουν τα σύµβολα και κυρίως να αποκρυπτογραφούν τις έννοιες. Για το λόγο αυτό πρέπει να διδάσκουµε τους µαθητές να διαβάζουν, να καταλαβαίνουν και να ερµηνεύουν τα Μαθηµατικά. Αυτές τις επισηµάνσεις, δεν τις συναντάµε στην καθηµερινή γλώσσα και επιβεβαιώνουν, ότι η µαθηµατική και η καθηµερινή γλώσσα έχουν αποκλίνουσες λειτουργίες. Αυτό δηµιουργεί δυσκολίες στη διδασκαλία και είναι ένα σοβαρό εµπόδιο στη µάθηση. Όπως, σε κάθε γλώσσα έτσι και στη µαθηµατική η αποτελεσµατική επικοινωνία εξαρτάται και από τις λογικές συνδέσεις των προτάσεων. Ακόµη, και στο πιο απλό µαθηµατικό πρόβληµα απαιτείται το λιγότερο ένα µικρό ποσό τυπικής λογικής. Για τον λόγο αυτό είναι σηµαντικό να αναπτύξουµε και να µεταφέρουµε στους µαθητές την αίσθηση της τυπικής λογικής. Κυρίως την αίσθηση των λογικών συνδέσεων των προτάσεων που µας επιτρέπει µε λογικά βήµατα να φθάνουµε από την υπόθεση στο συµπέρασµα, και την αίσθηση των επιπτώσεων, που επιβεβαιώνει ότι κάθε επόµενη πρόταση είναι συνέπεια από µία προηγούµενη. Είναι φανερό ότι αυτά δεν ισχύουν πάντα στον καθηµερινό λόγο. Η µαθηµατική γλώσσα διαφοροποιεί τα Μαθηµατικά από τις άλλες επιστήµες και την Τέχνη. Η µαθηµατική αλήθεια που αναδεικνύεται µε τον µαθηµατικό λόγο, είναι η σχέση αιτίας αποτελέσµατος, µεταξύ της γλωσσικής φόρµας και της µαθηµατικής πραγµατικότητας. Ως µαθηµατικοί αποδεικνύουµε θεωρήµατα τα οποία δεν είναι µία πραγµατεία περί του τίποτα, αλλά µία αναφορά σε µία πραγµατικότητα αλήθειας καθ εαυτής, προσιτής στη φαντασία και στη νόηση. Η αλήθεια αυτή δεν αξιολογείται σε σχέση µε την πραγµατικότητα του κόσµου, αλλά σε σχέση µε την εσωτερική συνάφεια της διαδικασίας. ηλαδή, µε την εγκυρότητα της απόδειξης η οποία είναι πλήρως αποσυνδεδεµένη από την εµπειρία της κατ ευθεία παρατήρησης. εν εξαρτάται από καµία παρατήρηση η πρόταση: Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης, f ( x) = x+ e x, όταν x + έχει πλάγια ασύµπτωτη την y= x. Ξέρουµε µε βεβαιότητα ότι αυτό συµβαίνει, διότι µε τη βοήθεια της µαθηµατικής γλώσσας έχουµε επινοήσει µία διαδικασία απόδειξης. ηλαδή, τι γίνεται; Όσο το x τείνει στο + τόσο το y τείνει στο x. Αυτό συµβαίνει µόνο στα Μαθηµατικά και τη Μεταφυσική και είναι η µεγάλη διαφορά των Μαθηµατικών από τις άλλες επιστήµες. Ως µαθηµατικοί αποκαλύπτουµε θεωρήµατα και αποδεικνύουµε ασκήσεις όπως ο γλύπτης αποκαλύπτει τη µορφή µέσα στο µάρµαρο. Αλλά σε αντίθεση µε τον γλύπτη η εργασία µας είναι εξαναγκασµένη από τις αυστηρές απαιτήσεις της γλωσσικής σύνταξης και την κολεγιακή φύση του αντικειµένου µας. Τα Μαθηµατικά είναι διδάξιµα. Όσο και αν φαίνεται παράδοξο τα Μαθηµατικά είναι διδάξιµα διότι είναι αφηρηµένα. Αν και πολλοί, µεταξύ των οποίων και οι µαθητές, ισχυρίζονται, το αντίθετο. Αυτή είναι η βαθιά διαφορά των Μαθηµατικών από την Τέχνη.

9 Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές Η επικοινωνία στα Μαθηµατικά. Όπως αναφέραµε η γλώσσα που χρησιµοποιούµε στη µαθηµατική διδασκαλία λειτουργεί διαφορετικά από τη συνηθισµένη. Η µαθηµατική γλώσσα δεν είναι σχεδιασµένη να προάγει µία ενδοπροσωπική επικοινωνία, περισσότερο εξασφαλίζει µία αποτελεσµατική, καλά οργανωµένη εικόνα της µαθηµατικής γνώσης, και υποστηρίζει προφορικές και γραπτές επεξηγήσεις εννοιών. Είναι γνωστό ότι έχουµε να διδάξουµε ένα µεγάλο ποσό πεπλεγµένων πληροφοριών σε ένα µικρό διάστηµα του χρόνου, στο πλαίσιο αυτό πρέπει οργανωθούµε για να βρούµε τον καλύτερο και αποτελεσµατικότερο τρόπο, για να κοινωνούµε τον µαθηµατικό λόγο. Έχοντας υπόψη µας ότι οι µαθητές έρχονται στην τάξη µε τις προδιαγραφές της καθηµερινής γλώσσας. Η πρόκληση της µαθηµατικής διδασκαλίας δεν είναι να αποδεικνύουµε όλο και δυσκολότερες ασκήσεις, αλλά να βρίσκουµε εύκολους δρόµους να παρουσιάζουµε µέσω της µαθηµατικής γλώσσας τις έννοιες. Γινόµαστε κύριοι της διδασκαλίας όταν µπορούµε µέσω της γλώσσας να εξερευνήσουµε και να απλοποιήσουµε τις έννοιες. Σε ένα πρακτικό γλωσσικό επίπεδο, αυτού του είδους η επικοινωνία µπορεί να βελτιωθεί µε τις παρακάτω παρεµβάσεις. Όπου δεν χρειάζονται, να µη χρησιµοποιούµε επίθετα πριν τα ουσιαστικά. ιότι, τα ουσιαστικά χάνουν τη δύναµη και την ακρίβεια τους. Παράδειγµα, το µικρό τρίγωνο, η πλάγια διαγώνια. Είναι περισσότερο περιγραφικά τα επιρρήµατα µε τις µετοχές γνησίως φθίνουσα συνάρτηση Να αποφεύγουµε τη χρήση του παθητικού αόριστου µε εκφράσεις της µορφής. Να δειχθεί ότι (Είναι κατάλοιπο της καθαρεύουσας που οι µαθητές δεν διδάχτηκαν) Είναι προτιµότερες οι εκφράσεις µε ενεστώτα Να αποδείξετε ότι Να χρησιµοποιούµε την οριζόντια γραφή στις εκφωνήσεις των θεωρηµάτων και των ασκήσεων και την κατακόρυφη γραφή για τις αποδείξεις και τις εξηγήσεις. Οι λέξεις και οι προτάσεις να είναι πλήρεις, χωρίς συγκοπές. Ο περιεκτικός µαθηµατικός λόγος είναι απόρροια προσεκτικής απλοποίησης των προτάσεων, αλλά χωρίς κενές λέξεις και χωρίς επίπεδες φράσεις. Για παράδειγµα, δεν πρέπει να γράφουµε: Με σκοπό να βρούµε τη σωστή λύση αυτού του συστήµατος εµείς µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις δύο εναλλακτικές µεθόδους. Το σωστό είναι: Για να λύσουµε το σύστηµα θα χρησιµοποιήσουµε µία από τις δύο µεθόδους. Ένα συνηθισµένο σφάλµα είναι το ελλειπτικό µαθηµατικό γράψιµο δηλαδή η γραφή µε σύµβολα χωρίς λέξεις. Κάθε γραφή ακόµη και η µαθηµατική πρέπει να αποτελείται και από πλήρεις προτάσεις και λέξεις. ιαφορετικά παρεµβάλουµε τεχνικά εµπόδια στην επικοινωνία, που είναι η υπερβολική χρήση των συµβόλων. εν πρέπει να αρχίζουµε µία πρόταση µε ένα σύµβολο, αλλά µε λέξεις. Για 2 2 παράδειγµα: ax + β x+ γ = 0 έχει πραγµατικές ρίζες αν β 4αγ 0. Η σωστή έκφραση είναι: Η εξίσωση ax 2 + β x+ γ = 0 έχει πραγµατικές ρίζες αν 2 β 4αγ 0. Ορισµένες µαθηµατικές συµβάσεις δηµιουργούν σύγχυση στους µαθητές, όπως είναι η χρήση της αλυσίδας ανισοτήτων. Ένα λανθασµένο παράδειγµα είναι το

10 Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 10 εξής. ίνεται ότι, x (, 2) (4, ) συχνά οι µαθητές το γράφουν 2> x> 4. Ορισµένες ανισότητες περιέχουν κρυµµένους τους συνδέσµους και, ή και πρέπει να δικαιολογούµε αναλυτικά µε ποιο σύνδεσµο συνδέονται. Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στη διάζευξη ή η οποία στην καθηµερινή οµιλία είναι σχεδόν πάντοτε αποκλειστική, όπως φαίνεται στο παράδειγµα: καφέ ή πορτοκαλάδα; Εννοούµε ένα από τα δύο, όχι και τα δύο. Στα Μαθηµατικά είναι περισσότερο εγκλειστική όπως φαίνεται στην ένωση A B συνόλων Α, Β και την άσκηση. ίνεται ότι οι α, β είναι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί και ισχύει 2a β 9. Να αποδείξετε ότι α 12 ή β > 15. Οι µαθητές δυσκολεύονται στην διατύπωση της άρνηση του συµπεράσµατος διότι δεν κατανοούν πλήρως τη διάζευξη. Συχνά δηµιουργείται στους µαθητές σύγχυση στους παρακάτω όρους, εξίσωση, σχέση, έκφραση, συνάρτηση. Εξίσωση, είναι µία πρόταση που δηλώνει ότι δύο πράγµατα είναι ίσα. Σχέση, είναι ένα σύνολο διατεταγµένων ζευγών ( x, y ). Έκφραση, είναι ένας µαθηµατικός συµβολισµός στον οποίο δεν υπάρχει ρήµα, για 2 παράδειγµα ax + β x+ γ. Συνάρτηση, είναι µία σύνθεση µεταβλητών ποσοτήτων. Στο Γυµνάσιο παρατηρούµε ότι στο Λύκειο έχουµε ότι ή θεωρούµε ότι δεν παρατηρούµε στο Λύκειο. Στις µαθηµατικές προτάσεις να χρησιµοποιούµε το εµείς που έχει µία παγκοσµιότητα και όχι το εγώ που προσδιορίζει ατοµικότητα. Για να ενισχύσουµε την αίσθηση των επιπτώσεων να εναλλάσσουµε µέσα στο κείµενο τις βασικές φράσεις της µαθηµατικής σύνταξης. Άρα, Συνεπώς, συνεπάγεται. Από την υπόθεση έχουµε Από την σχέση αυτή έπεται, Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε ταυτόχρονα είναι φιλικές εκφράσεις και αποφεύγουµε τη µονοτονία. Για την ενίσχυση της διαύγειας να µην χρησιµοποιούµε λανθασµένες λέξεις και διφορούµενες εκφράσεις, που µετατρέπουν µία πρόταση σε προτασιακό τύπο. ιακόπτουν τη συνέχεια της σκέψης και υπονοµεύουν το κύρος µας. Παράδειγµα: η συνάρτηση f ( x) = x είναι παραγωγίσιµη. Μπορεί να είναι µπορεί και να µην είναι. 4.3 ιδακτικές τεχνικές Ορισµένες διδακτικές τεχνικές συµβάλουν στην καλύτερη παρουσίαση της µαθηµατικής γνώσης. Μερικές από αυτές µπορεί να είναι: 1. Να διδάσκουµε τις µαθηµατικές ιδέες µέσα σε ένα ευρύτερο µαθηµατικό περιβάλλον. Ως καθηγητές µπορούµε να κερδίσουµε πολλά σε θέµατα µεταβίβασης των εννοιών αναπτύσσοντας τις µαθηµατικές ιδέες σε ένα ευρύτερο µαθηµατικό περιβάλλον στο οποίο µπορούµε να συζητήσουµε γενικότερες ερωτήσεις του τύπου. Ποιοι τρόποι υπάρχουν για να εκφράσουµε γενικά την έννοια της απόστασης; Ποιες µορφές της τριγωνικής ανισότητας γνωρίζετε;

11 Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 11 Εάν υψώσουµε στο τετράγωνο ένα µιγαδικό αριθµό του Gauss το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος είναι κάθετες πλευρές Πυθαγόρειων τριάδων. Είναι σύµπτωση αυτό; Να περιγράψετε το εµβαδόν του κύκλου ως εµβαδόν τριγώνου. Από ποιο γενικότερο τύπο προέρχονται οι τύποι του τριγώνου, του παραλληλογράµµου, του ορθογωνίου, του τετραγώνου; Το ευρύτερο περιβάλλον µας δίνει ευκαιρίες για ουσιαστικότερη εµβάθυνση στις έννοιες µέσα από τη διαλογική συζήτηση. Επίσης ενισχύει το επιστηµονικό µας κύρος. 2. Να διδάσκουµε τις µαθηµατικές ιδέες µέσα σε ένα ευρύτερο διδακτικό περιβάλλον. Οι µαθηµατικοί όροι και οι µαθηµατική σύνταξη κοµίζουν νοηµατικό περιεχόµενο. Στους ορισµούς των όρων όταν είναι δυνατόν να αναφέρουµε και να σχολιάζουµε κατά την διδασκαλία τέσσερα πράγµατα Το σηµαίνον (το όνοµα), το σηµαινόµενο (το νόηµα), τον φυσικό αντιπρόσωπο (π.χ. ένα ευθύγραµµο τµήµα) και το σύµβολο π. χ. µ α ή ΑΜ για τη διάµεσος ενός τριγώνου. Οι αποδείξεις είναι πολύ σηµαντικές αλλά η µάθηση των µαθητών δεν κατοχυρώνεται µόνο µε την παρουσίαση µίας απόδειξης. Κάποια πράγµατα είναι αναγκαία για να γίνει µία εποικοδοµητική συζήτηση. Όπως, γιατί χρειάζεται µία απόδειξη (Αρχή του ικανοποιητικού λόγου), η αιτιολογία του είδους της απόδειξης που χρησιµοποιήσαµε, (υπάρχουν στα βιβλία ενοχλητικές αποδείξεις στις οποίες δεν προσδιορίζεται ακριβώς το είδος) και ο σχολιασµός των συνδέσεων των εννοιών που υπάρχουν µέσα στην απόδειξη. Υπάρχουν θεωρήµατα µε ισχυρές συνδέσεις και άλλα µε ασθενείς. (στα τελευταία ανήκει το Θ.Θ.Ο.Λ.) Κυρίως να αντιλαµβάνονται τι σηµαίνει ένα θεώρηµα. ιαφορετικά το παιδαγωγικό µήνυµα της απόδειξης παραµένει στην επιφάνεια. 3. Να εφαρµόζουµε τεχνικές προσέγγισης ορισµένων δύσκολων εννοιών όπως είναι η διδασκαλία κατά αναλογία κατά την οποία µία δύσκολη έννοια µπορεί να διδαχτεί µέσω µίας άλλης προϋπάρχουσας έννοιας για να γίνει προσιτή και κατανοητή στους µαθητές (Νέο κρασί σε παλιά µπουκάλια). Γενικότερα, η αναλογία είναι ένας µηχανισµός της ανθρώπινης επικοινωνίας. Ορισµένα παραδείγµατα µπορεί να είναι: Την έννοια της πιθανότητας στην κανονική κατανοµή τη διδάσκουµε, µε τα ποσοστά των παρατηρήσεων που πέφτουν σε ένα διάστηµα. Τους µετασχηµατισµούς στο µιγαδικό επίπεδο (Mobius, κ.λ.π.) τους διδάσκουµε ως γεωµετρικούς τόπους. Τις πεπλεγµένες συναρτήσεις ως σύνθετες συναρτήσεις. Αρκετές διαφορικές εξισώσεις, ως συνέπειες του ΘΜΤ ή της συνάρτησης ολοκλήρωµα µε µεταβλητό άνω άκρο. 4. Να αναπτύσσουµε συνεχώς την ερευνητική διάθεση. Η µαθηµατική παιδαγωγική, αντίθετα µε την µαθηµατική επιστήµη δεν είναι ακριβής. Λίγα πράγµατα είναι απόλυτα στην παιδαγωγική, αλλά για ένα πρέπει να είµαστε απολύτως βέβαιοι. Ο καλύτερος δάσκαλος είναι εκείνος που έχει µία ερευνητική διάθεση για τα Μαθηµατικά. εν εννοούµε να βρίσκουµε νέα πράγµατα. Πάρα πολλά θέµατα στα όρια των απαιτήσεων του Λυκείου µας δίνουν αχανή πεδία

12 Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές 12 ερευνών. Οι µέθοδοι των ερευνών αυτών είναι ευρείες και προσιτές στην ύλη που διδάσκουµε. Για παράδειγµα, στην Ανάλυση να εργαστούµε στις συναρτήσεις που πληρούν την συνθήκη Lipschitz (λύνουµε στη διδασκαλία παρεµφερείς ασκήσεις). Στους µιγαδικούς αριθµούς να εργαστούµε στους µετασχηµατισµούς Joukowski (υπάρχει άσκηση στο σχολικό βιβλίο). Εργαζόµενοι ατοµικά σε ένα δύσκολο πρόβληµα για κάποια χρονική περίοδο παίρνουµε µία νέα αίσθηση των δυσκολιών, της δηµιουργίας, της φύσης και της τόλµής που απαιτεί το αντικείµενο µας. εν εκλαµβάνουµε τα Μαθηµατικά ως ένα συµπαγές σώµα γνώσεων και βρίσκουµε ιδέες να οργανώσουµε την τάξη µας σε ερευνητικό και επικοινωνιακό επίπεδο και όχι σε χαµηλής προσδοκίας ασκήσεις. Σε ένα µέρος του υλικού αυτού µπορούν να εργαστούν και οι µαθητές χωρίς να περάσουµε το κατώφλι και χωρίς να φθάσουµε στην οροφή. 5. ΕΠΙΜΥΘΙΟΝ Ας επανέλθουµε στο τοπίο της επικοινωνίας. Όταν αναπτύξουµε την επικοινωνιακή ικανότητα και επιµελούµεθα τον προφορικό και γραπτό µας λόγο, η τάξη αποκτά σταδιακά µια οικεία οικογενειακή ατµόσφαιρα. Οι µαθητές είναι πρόθυµοι να συµµετέχουν στο µάθηµα και εµείς αισθανόµαστε ένα µοναδικό, απροσδιόριστο αίσθηµα ευχαρίστησης, που απορρέει από τη µεταβίβαση των γνώσεων. Οι µαθητές µπορεί να ξεχάσουν τα θεωρήµατα που τους διδάξαµε, να µην αναφέρουν ποτέ..να υπολογιστεί το ορισµένο ολοκλήρωµα από µέχρι αλλά ποτέ δε θα ξεχάσουν αν η διδασκαλία µας ήταν κατανοητή και πως αισθανόταν όταν κάναµε το µάθηµα. Η µνήµη είναι πολλές φορές πιο σηµαντική από τη γνώση. Γιατί η µνήµη θα συντηρεί την εκτίµηση που θα µας συνδέει µε τους µαθητές και την αγάπη που θα τους συνδέει µε τα Μαθηµατικά. Αυτή θα ενισχύει την έφεσή τους για την ουσιαστική µόρφωση και θα επιδρά θετικά στο µέλλον τους. Οι οργανωµένες αναµνήσεις που προέρχονται από την επικοινωνία αποτελούν τη βάση της ηθικής. 6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Παπαγεωργίου Χ. Η οικοδόµηση της γνώσης µε την ευεργετική συµµετοχή του µαθητή στη διδασκαλία της µάθησης. Εκδόσεις Αναγέννηση Αθήνα Πυργιωτάκης Ι.Εισαγωγή στην Παιδαγωγική Επιστήµη Ελληνικά. Γράµµατα. 3. Μπαµπινιώτη Γεωργίου, Ετυµολογικό Λεξικό της Νέας Ελληνικής Γλώσσας, Κέντρο Λεξικολογίας. Αθήνα, Καραγεώργος ηµήτριος, Το Πρόβληµα και η Επίλυση του, Εκδόσεις Σαββάλας, Αθήνα. 5. Ubaldo Nicola, Εικονογραφηµένος Άτλας Της Φιλοσοφίας, Εκδόσεις Ενάλιος, Αθήνα Vygotskys Educational Theory in cultural context, Cambridge University Press, Edward B. Fiske, Smart Schools Smart Kids. Publishers by Simon and Schuster. 8. Boyer, C. Proportion, Equation, Function, three steps in the development of a concept, Scripta mathematica,12,p.5-13.

13 Ι. Καλογεράκης: Προτάσεις Επικοινωνίας του Καθηγητή µε τους Μαθητές Pimm David, Speaking Mathematically, Communication in Mathematics Classrooms, Routledge, London Sternberg Robert, The Nature of Mathematical Thinking, Lawrence Erlbaum Associates, Publishers, Guershon Harel, The concept of Function, MAA Notes Volume 25, B. Baumslag, Fundamentals of teaching, Mathematics at University Level, Imperial College Press Robert Fraga, Calculus Problems for a New Century, MAA Notes Number The American Heritage Dictionary of the English Language, Houghton Mifflin, Boston,2000.-

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Η παιδαγωγική διάσταση των πολλών τρόπων επίλυσης ενός προβλήµατος ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Μία χαρακτηριστική ιδιότητα των Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις στα Μαθηµατικά Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος, ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Για τον υπολογισµό του βαθµού της

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τρεις τρόποι νοηµατοδότησης της ταυτότητας α 3 +β 3 +3αβ(α+β)......

Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τρεις τρόποι νοηµατοδότησης της ταυτότητας α 3 +β 3 +3αβ(α+β)...... 4. Βασικά Στοιχεία ιδακτικής της Άλγεβρας µε τη χρήση Ψηφιακών Τεχνολογιών Οι ψηφιακές τεχνολογίες που έχουν µέχρι τώρα αναπτυχθεί για τη διδασκαλία και τη µάθηση εννοιών της Άλγεβρας µπορούν να χωριστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Πώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ;

Πώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ; 1 Ισοδύναµες εξισώσεις και η έννοια του «κοντά» ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-thedrpuls.gr Εισαγωγή Στην εργασία αυτή αναλύονται και αναπτύσσονται οι έννοιες που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κ. Τζιρώνης, Θ. Τζουβάρας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συµπλήρωµα στις λύσεις των ασκήσεων του βιβλίου Περιλαµβάνει λύσεις ή υποδείξεις για ασκήσεις του βιβλίου που αφορούν κυρίως προβλήµατα των οποίων η επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Θεωρία σελ. 7 Β. Θεωρία σελ. 47 Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος (βρίσκεται "κάτω" από τη γραφική παράσταση) ε. Λάθος (π.χ. ()

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση;

Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Εξαρτάται η συχνότητα από τη µάζα στην Απλή Αρµονική Ταλάντωση; Ξεκινώντας θα ήθελα να θυµίσω κάποια στοιχεία που σχετίζονται µε τον ορισµό της συχνότητας σε ένα περιοδικό φαινόµενο, άρα και στην ΑΑΤ.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις, Συµπληρώσεις και Ασκήσεις στο πρώτο µέρος του 1 ου κεφαλαίου της Ανάλυσης (ενότητες 1.1, 1.2, 1.3)

Παρατηρήσεις, Συµπληρώσεις και Ασκήσεις στο πρώτο µέρος του 1 ου κεφαλαίου της Ανάλυσης (ενότητες 1.1, 1.2, 1.3) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος I. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Εικόνα 31. To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra.

Εικόνα 31. To σενάριο προτείνεται να διεξαχθεί µε τη χρήση του λογισµικού Geogebra. Σενάριο 4. Η µέτρηση του εµβαδού ενός παραβολικού οικοπέδου Γνωστική περιοχή: Μαθηµατικά Γ' Λυκείου. Παραβολή. Τετραγωνική συνάρτηση. Εµβαδόν. Ορισµένο ολοκλήρωµα Θέµα: Οι τέσσερις πλευρές ενός οικοπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα).

Ερωτήµατα σχεδίασης και παρατήρησης (για εστίαση σε συγκεκριµένες πτυχές των αλλαγών στο σχήµα). τάξης είναι ένα από τα στοιχεία που το καθιστούν σηµαντικό. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να λάβει σοβαρά υπόψη του αυτές τις παραµέτρους και να προσαρµόσει το σενάριο ανάλογα. Ιδιαίτερα όταν εφαρµόσει το σενάριο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1).

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1). . Ερωτήσεις διάταξης. Οι συναρτήσεις f (x) = x, g (x) = x, h (x) = x, φ (x) = 3x, ρ (x) = 5x, t (x) = 7x έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α = [- 3, 3]. Να γράψετε τις συναρτήσεις σε µια σειρά έτσι ώστε η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

1 Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Πολλοί µαθητές της Α Γυµνασίου δυσκολεύονται να κατανοήσουν τους αλγορίθµους των

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ 2 5 +32 17 2= 1156 Μαθηματικά Β μέρος 8 9 15 Δ=2 δ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ

Η ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Η ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δρ Ειρήνη Ροδοσθένους, Λειτουργός Π.Ι. ΔΙΑΠΙΣΤΩΣΕΙΣ Επικοινωνιακή διδασκαλία της γλώσσας: η ίδια η γλώσσα συνιστά και ορίζεται ως κοινωνική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα