Optimiranje procesov
|
|
- Θέτις Φιλιππίδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Univerza v Mariboru Fakulteta za kemijo in kemijsko tehnologijo Optimiranje procesov (Navodila za računalniške vaje) Zorka Novak Pintarič in Zdravko Kravanja Maribor, 008
2 Naloga 1: Metoda najmanjših kvadratov (str. 1) A) Ponovite primer Redlich-Kwongova enačba stanja plinov (str. 14). B) Z uporabo eksperimentalnih podatkov ocenite koeficiente Antoinove enačbe za dano komponento. Uporabite metodo najmanjših kvadratov, nelinearno programiranje in program GAMS. Primerjajte izračunane vrednosti koeficientov s podanimi (označene rdeče). Izračunajte temperaturo vrelišča in jo primerjajte z dejansko, ki je podana v zadnjem stolpcu, Tv (označeno rdeče). Antoinova enačba: p = exp( A B/(T + C)) p parni tlak, mm Hg T temperatura, K A, B in C koeficienti Podatki: Skupina Spojina A B C T min /K T max /K Tv/K 1 Argon Podatki: T, K p, mm Hg Skupina Spojina A B C T min /K T max /K Tv/K Brom Podatki: T, K p, mm Hg Skupina Spojina A B C T min /K T max /K Tv/K 3 Nitrozil klorid Podatki: T, K p, mm Hg Skupina Spojina A B C T min /K T max /K Tv/K 4 Klor Podatki: T, K p, mm Hg
3 Skupina Spojina A B C T min /K T max /K Tv/K 5 Sitetraklorid Podatki: T, K p, mm Hg Skupina Spojina A B C T min /K T max /K Tv/K 6 Deuterij Podatki: T, K p, mm Hg Skupina Spojina A B C T min /K T max /K Tv/K 7 Fluor Podatki: T, K p, mm Hg Skupina Spojina A B C T min /K T max /K Tv/K 8 F3N Podatki: T, K p, mm Hg Skupina Spojina A B C T min /K T max /K Tv/K 9 F4Si Podatki: T, K p, mm Hg
4 Naloga : Proizvodnja navadnega in super bencina (str. 11) A) Optimirajte proizvodni plan s podatki, ki so podani v tabelah: Vmesni produkti 1 3 Direkten odkup Direkten odkup Direkten odkup Navadni bencin Prost odkup Pogodbeni odkup 4 5 Direkten odkup Direkten odkup Super bencin Pogodbeni odkup Prost odkup Slika 1.3: Shema problema planiranja rafinerije. B) Izvedite občutljivostno analizo, tako da spreminjate izbrani parameter in ugotavljate njegov vpliv na optimalno rešitev. Komentirajte dobljene rezultate. Podatki za vmesne produkte: Vmesni produkt, i Razpoložljiva kapaciteta α i Oktansko število β i Prodajna cena c i (3) Nakupna cena c i (4) Stroški mešanja, c i (5) Podatki za končna produkta: Produkt, j Minimalna pogodbena proizvodnja, δ j Oktansko število, γ j Navadni Super
5 Podatki o cenah končnih produktov: Skupina Pogodbena prodaja Prosta prodaja Navadni Super Navadni Super c 1 (1) c (1) c 1 () c ()
6 Naloga 3: Obrat kisika (str. 8) A) Optimirajte proizvodnjo kisika z naslednjimi podatki: N = 19 a 1 = 1500 D 0 = 0 kg/h a = 300 D 1 = 600 kg/h b 1 = 1340 t 1 = 30 h b = 1 t = 44 h b 3 = 800 p 0 = 50 bar b 4 = 1 T = 7 C b 5 = 8.3 q m 600 kg/h d=1 B) Ponovite optimiranje tako, da enega po enega spreminjate parametre podane v spodnji tabeli. Po spremembi določenega parametra vrnite njegovo vrednost na izhodiščno in šele nato spremenite naslednji parameter. Komentirajte dobljene rezultate. Podatki za cenovne koeficiente: Skupina b 1 b 3 b 5 a
7 Naloga 4: Transportni problem A) Z linearnim programiranjem rešite transportni problem, predstavljen na predavanjih (str. 88). Uporabite progam GAMS. Ker je ponudba večja od povpraševanja, gre za odprt transportni problem. Zato poleg minimalnih prevoznih stroškov ugotovite tudi neizkoriščenost virov. B) Ponovite optimiranje gornjega transportnega problema s spremenjenimi podatki in/ali z dodatnimi pogoji: Skupina Spremembe podatkov, dodatni pogoji a =500 t, x 11 je lahko največ 00 t a =1000 t, x 11 je lahko največ 500 t a =500 t, penala za primanjkljaj blaga sta a =500 t, penala za primanjkljaj blaga sta 3 a =1000 t, penala za primanjkljaj blaga sta a =500 t, penala za primanjkljaj blaga sta 7 a =1000 t, x 1 je najmanj 500 t 8 a =1000 t, prepovedana pot: x 11 = 0 9 a =1000 t, x 31 je najmanj 500 t p c 1 = 0 in p c 1 = 0 in p c 1 = 0 in p c 1 = in p c =0 000 SIT/t p c =0 000 SIT/t p c =0 000 SIT/t p c =0 000 SIT/t Pojasnite spremembe optimalnega rezultata! 7
8 Naloga 5: Sinteza omrežij toplotnih prenosnikov Dani so podatki za dva topla in dva hladna toka ter pogonska sredstva: FC p (MW/K) T in (K) T out (K) H H C C Visokotlačna para: 500 K $/(MW a) Nizkotlačna para: 380 K $/(MW a) Hladilna voda: 300 K $/(MW a) Δ min T = 10 K A) Sestavite problemsko tabelo (str. 130). B) Narišite toplotno kaskado (str. 131). C) Zapišite in rešite LP model za minimiranje porabe pogonskih sredstev (str. 13). (Ali obstaja več optimalnih rešitev?) D) Razširite model iz točke C) za minimiranje stroškov pogonskih sredstev (str. 133). E) Ponovite izračun minimiranja stroškov pogonskih sredstev z že pripravljenim modelom za pogojene stike (str ). Prepovejte stike med tokovi ali uvedite omejitev za prenos v nekem stiku, kot je navedeno v spodnji tabeli. Skupina 1 Prepovedan stik med H1 in C1 in med C in visokotlačno paro Prepovedan stik med H1 in C in med C in nizkotlačno paro 3 Prepovedan stik med H in C1 4 Poraba visokotlačne pare naj bo vsaj 80 MW 5 Tok H naj prejme vsaj 50 MW od nizkotlačne pare 6 Poraba nizkotlačne pare mora znašati vsaj 10 MW. 7 Poraba nizkotlačne pare ne sme presegati 1 MW 8
9 Naloga 6: Optimiranje procesa s programom ASPEN Optimizer v programu Aspen bomo uporabili za izbiro optimalne vrednosti toka W (purge stream) v procesu pridobivanja kloroetana iz etena in HCl: C H 4 + HCl C H 5 Cl Namen optimiranja pretoka toka W je maksimiranje ekonomske namenske funkcije ob dodatnem pogoju: max (prihodek stroški surovin letna naložba) p.p. R 300 kg/h Preden se lotimo optimiranja, je potrebno definirati procesno shemo, module za procesne enote in podatke za vtok, podobno kot pripravimo vse potrebno za simulacijo procesne sheme Definiranje procesne sheme, procesnih enot in vtoka V programu Aspen pripravite osnovno simulacijo procesa brez optimiranja z naslednjimi podatki: Komponente: HCl, C H 4, N, C H 5 Cl Termodinamika: Peng Robinson Vtok (FEED): (1 atm, 5 C, 100 kmol/h, množinski deleži: HCl 50 %, C H 4 48 %, N %) Procesne enote: Mešalnik (M-1) Vrsta modela: Mixer (1 atm, temperaturo ocenimo na 5 C) 9
10 Reaktor (RR) Vrsta modela: RStoic (1 atm, 5 C) Stehiometrijski koeficienti: HCl: -1, C H 4 : -1, C H 5 Cl: 1 Presnova C H 4 =90% Separator (DIST) Vrsta modela: Sep Split fractions za tok P: HCl: 0, C H 4 : 0, N :0, C H 5 Cl: 0,9999 Razdelilnik toka (RAZD) Vrsta modela: FSplit W Flow 10 kmol/h Zaženite simulacijo in na osnovi dobljenih rezultatov izračunajte vrednost namenske funkcije po enačbi: 0, S Dobiček = 0, ,5 P ( 1,5 WET + WHCL) FEED 0, (1) kjer so P, FEED in S masni pretoki ustreznih tokov v kg/h, WET in WHCL pa masna deleža etena in HCl v vtoku (FEED). Za dobljeno rešitev zabeležite: vrednost dobička, masne pretoke vseh tokov v kg/h množinski pretok toka W v kmol/h in delež tokov R in W glede na tok S3 (v rezultatih bloka RAZD). 6.. Priprava za optimiranje Optimizacijsko orodje v programu Aspen je organizirano v treh sklopih: Define za definicije spremenljivk, ki nastopajo v namenski funkcij Objective & Constraints za definiranje namenske funkcije in omejitev Vary za definiranje kontrolnih spremenljivk in njihovih mej Definiranje spremenljivk Definirali bomo spremenljivke, ki bodo nastopale v namenski funkciji: Masni tok produkta: Masni tok vtoka: Masni tok toka S: Masni delež etena v vtoku: Masni delež HCl v vtoku: P FEED S WET WHCL 10
11 Datoteko iz naloge 1 shranite pod novim imenom, nato: Data, Model Analysis Tools, Optimization Object Manager, New, O-1 Define, New Ime spremenljivke: P FEED S Type: Stream-Var Stream-Var Stream-Var Stream: P FEED S Substream: Mixed Mixed Mixed Variable: Mass Flow Mass Flow Mass Flow Ime spremenljivke: WET WHCL Type: Mass-Frac Mass-Frac Stream: FEED FEED Substream: Mixed Mixed Component: C H 4 HCl Namenska funkcija Maksimirali bomo dobiček, kot smo ga definirali v enačbi (1): Objective & Constraints Max 0.001*330*4*(.5*P-(1.5*WET+WHCL)*FEED)-0.1*(500*(330*4*S/1000)**0.6) Manipulirna (kontrolna) spremenljivka Manipulirna spremenljivka bo množinski pretok toka W, ki ga bo optimizer spreminjal med 4 in 15 kmol/h z namenom iskanja maksimuma namenske funkcije. Vary Variable number: New 1 Limits: Type: Block-Var Lower: 4 Block: SPLIT Upper: 15 Variable: FLOW/FRAC Sentence: FLOW/FRAC ID1: W a) Optimiranje brez omejitev Zaženimo simulacijo z optimiranjem. Optimalno vrednost namenske funkcije najdemo pod Data, Convergence, Convergence, $OLVERXX, Result. Za dobljeno optimalno rešitev zabeležite: vrednost dobička, masne pretoke vseh tokov v kg/h in množinski pretok toka W v kmol/h. delež tokov R in W glede na vtok S3 (v rezultatih bloka RAZD). 11
12 b) Optimiranje z dodano omejitvijo V tej varianti bomo vstavili omejitev, da pretok toka R ne sme preseči 300 kg/h. Shranite datoteko iz naloge a pod novim imenom. Ker masni pretok toka R še ni definiran kot spremenljivka, moramo to narediti sedaj: Data, Model Analysis Tool, Constraint New, C-1 Define, New Ime spremenljivke: Type: Stream: Substream: Variable: R Stream-Var R Mixed Mass-Flow Spec Specification: R Less than or equal to: 300 Tolerance: 0.1 Zdaj vključimo definirano omejitev v optimizacijski blok O-1: Data, Model Analysis Tool, Optimization O-1, Input Objective & Constraint C1 je med»available constraints«označimo C1 Pritisnemo znak: > C1 se premakne med»selected constraints«problem je zdaj v celoti definiran in ga lahko optimiramo s pritiskom gumba»next«. Za dobljeno optimalno rešitev z dodano omejitvijo zabeležite: vrednost dobička, masne pretoke vseh tokov v kg/h in množinski pretok toka W v kmol/h. delež tokov R in W glede na vtok S3 (v rezultatih bloka RAZD). Primerjajte vrednosti namenske funkcije in preostalih spremenljivk, ki ste si jih zabeležili, za neoptimiran in optimiran proces brez omejitve in z omejitvijo. Predvsem primerjajte pretok toka W v kmol/h in toka R v kg/h. Kako vpliva dodana omejitev na dobiček? 1
13 6.3. Optimiranje svoje procesne sheme (SEMINARSKA NALOGA 1) Procesno shemo, ki jo obravnavate pri predmetu Načrtovanje procesov, pripravite za optimiranje izbranih obratovalnih parametrov. a) Formulirajte namensko funkcijo in izračunajte njeno vrednost za osnovni neoptimiran proces. Nato poiščite nekaj manipulirnih spremenljivk, s katerimi bi lahko izboljšali vrednost namenske funkcije. b) Pripravite PPT predstavitev, v kateri boste predstavili osnovno neoptimirano varianto in nekaj optimiranih variant. Pri tem primerjajte najpomembnejše ekonomske kategorije (npr. prihodek, stroški pogonskih sredstev ipd.) in obratovalne parametre. Podajte diskusije in razlage ob posameznih variantah. 13
14 Naloga 7: Projektno planiranje (str. 94) Projekt bomo izvedli z naslednjimi aktivnostmi: Skupina 1: aktivnost trajanje v tednih predhodna aktivnost A 5 - B 6 A C 5 A D 4 B E 6 B, C F 7 B G D, E H 6 F, G Skupina : aktivnost trajanje v dneh predhodna aktivnost A 3 - B 1 - C 30 - D 45 A E 6 A, B F 8 C G 0 E, F H 14 D, G Skupina 3: aktivnost trajanje v tednih predhodna aktivnost A 5 - B 6 - C 5 A D 4 C E 6 C F 7 A, B G D H 6 E, F I 3 G, H Skupina 4: aktivnost trajanje v tednih predhodna aktivnost A 3 - B 4 A C 5 A D B E 5 B, C F 3 D, E 14
15 Skupina 5: aktivnost trajanje v tednih predhodna aktivnost A 6 - B 4 A C 5 A D 8 B, C E 7 B F D G 5 E, D H 6 D I 4 H J 7 I, F, G Skupina 6: aktivnost trajanje v tednih predhodna aktivnost A 3 - B 4 A C A D 5 B, C E 7 D F 3 C, E G 5 E, F Naloge: A) Narišite omrežje aktivnosti in določite kritični pas. B) Izdelajte tabelo zgodnjih in poznih časov. Izračunajte rezerve za nekritične aktivnosti. C) Narišite Ganntov diagram. D) Rešite problem z linearnim progamiranjem (GAMS). E) Za vsako aktivnost predpostavite optimistični čas, a in pesimistični čas trajanja, b. Časi, ki so podani v zgornji tabeli, naj bodo najverjetnejši časi, m. Po metodi PERT določite kritični pas na osnovi srednjih vrednosti ter izračunajte μ in σ za celoten čas trajanja projekta. F) posebej vsaka skupina: Skupina 1: Kakšna je verjetnost, da bo projekt končan prej kot v 3 tednih? Kaj pa prej kot v 30 tednih? V kakšnem času bomo končali projekt s 95 % verjetnostjo? Skupina : Kakšna je verjetnost, da bo projekt končan prej kot v 88 dneh? Kaj pa prej kot v 100 dneh? V kakšnem času bomo končali projekt s 95 % verjetnostjo? Skupina 3: Kakšna je verjetnost, da bo projekt končan prej kot v tednih? Kaj pa prej kot v 30 tednih? V kakšnem času bomo končali projekt s 95 % verjetnostjo? 15
16 Skupina 4: Kakšna je verjetnost, da bo projekt končan prej kot v 13 tednih? Kaj pa prej kot v 0 tednih? V kakšnem času bomo končali projekt s 95 % verjetnostjo? Skupina 5: Kakšna je verjetnost, da bo projekt končan prej kot v 34 tednih? Kaj pa prej kot v 37 tednih? V kakšnem času bomo končali projekt s 95 % verjetnostjo? Skupina 6: Kakšna je verjetnost, da bo projekt končan prej kot v 5 tednih? Kaj pa prej kot v 30 tednih? V kakšnem času bomo končali projekt s 95 % verjetnostjo? 16
17 Naloga 8: NLP optimiranje procesa s simultano toplotno integracijo Za proces, ki ga prikazuje slika, izvedite NLP optimiranje brez in s toplotno integracijo ter primerjajte rezultate, kot je navedeno na naslednji strani. Podatki so naslednji: 7 komprimiranje S 4 6 C3 odtok Vtok 1 80 % A, 0 % C komprimiranje 1 3 M RCT-1 C1 10 % presn. A H1 FLSH 5 C B, sled A 1 kmol/s Slika 1: Procesna shema za NLP optimiranje Podatki: Komponente: A (reaktant) B (produkt) C (inertna snov) Vtok 1: x A = 80 % A in x C = 0 % Reaktor (RCT-1): A B 10 % presnova reaktanta A Razpenjalnik (FLSH): Prehod v plinasti produkt (tok 4): 99 % A, 5 % B in 100 % C Topli tokovi Hladni tokovi H1 C1,C,C3 T in /K T out /K H C C C Razdelilnik (S): delež odtoka, PF = F 6 / F 4 ; 17
18 Drugi podatki: Minimalna temperaturna razlika (HRAT) Cena mrzlega pogonskega sredstva (CWP) Cena vročega pogonskega sredstva (STP) Konstantni pretok produkta (tok 5) Cena produkta (PCOST) Cena surovine (FEED1COST) 10 K 10-6 k$/mj k$/mj 1 kmol/s 0,004 k$/kmol 0,001 k$/kmol Namenska funkcija je maksimiranje dobička v k$/a: Dobiček = prihodek - stroški surovin - stroški komprimiranja - stroški PS letna naložba reaktorja prihodek (k$/a) = F 5 0, stroški surovin (k$/a) = F 1 0, stroški komprimiranja (k$/a) = 100 F F 7 stroški pogonskih sredstev (k$/a) = (Q C 10-6 letna naložba reaktorja (k$/a) = F Naloge: + Q H ) A) Izvedite optimiranje procesa brez toplotne integracije Za optimiranje brez TI uporabite datoteko NLP brez TI.gms. B) Izvedite optimiranje s simultano toplotno integracijo z modelom Duran in Grossmann Za optimiranje s TI uporabite isto datoteko, le da: 1. izbrišete enačbi QC1 in QH1 ter. na mestu pred stavkom MODEL FLOW /ALL/; vključite datoteko toplotne integracije DURAN.gms C) Primerjajte obe optimalni rešitvi in sicer dobiček, porabo pogonskih sredstev, stroške pogonskih sredstev, stroške surovin, celotno presnovo reaktanta A, obtok. Rezultate podajte v obliki tabele. Celotna presnova reaktanta A je definirana kot: ves Avtok ves A Celotna presnova = ves A vtok iztok D) Povečajte ceno vročega pogonskega sredstva in izvedite optimiranje brez in s TI. Rezultate podajte v tabeli enako kot v točki C. Kako vpliva cena vročega PS na rezultate? Komentirajte. 18
19 Naloga 9: MINLP optimiranje procesa s simultano toplotno integracijo Proces, ki smo ga optimirali z NLP metodo v nalogi 8, bomo razširili v sintezni problem. Obstoječemu vtoku bomo dodali še drugi, alternativni vtok (vtok ), ki je sicer cenejši od vtoka 1, vendar vsebuje manj reaktanta A (70 %) in več inertne snovi C (30 %). Obstoječemu reaktorju bomo dodali dodatni, alternativni reaktor (RCT-), ki ima večjo presnovo (0 %) od reaktorja 1, vendar je zato tudi dražji. Superstrukturo tako razširjenega procesa prikazuje slika, na kateri so obstoječe procesne enote prikazane z debelejšimi črtami. Naša naloga je, da izberemo tisti vtok in reaktor, ki izkazujeta najboljšo vrednost namenske funkcije, t.j. maksimalni dobiček. 13 kompr obtok S 1 C3 odtok Vtok 1 80 % A, 0 % C Vtok 70 % A, 30 % C RCT % presn. A M1 M S1 M kompr 1 C1 6 RCT- 8 0 % presn. A 9 H1 FLSH C B, sled A 1 kmol/s Slika : Procesna shema za MINLP optimiranje Podatki za novi vtok (vtok ): x A = 70 % A in x C = 30 % Cena: 0,00075 k$/kmol Podatki za novi reaktor (RCT-): A B 0 % presnova reaktanta A Stalni strošek letne naložbe: 50 k$/a Variabilni strošek letne naložbe: 30 (k$ s)/(kmol a) Mešalnika M1 in M sta single-choice, kar pomeni, da v M1 izberemo samo enega od vtokov 1 in, v M pa izberemo le enega izmed vtokov 7 in 8. Podobno velja za razdelilnik S1, v katerem izberemo le enega od iztokov 5 ali 6. Namen naloge je, da najdemo strukturo procesa z največjim dobičkom. To pomeni, da zraven obratovalnih spremenljivk, ki smo jih optimirali v NLP izvedbi vaje, sedaj optimiramo še strukturo procesa, t.j. izbor med dvema alternativnima vtokoma in izbor med dvema alternativnima reaktorjema. Zato moramo v osnovni NLP model uvesti štiri binarne spremenljivke za oba vtoka in oba reaktorja ter ga preurediti v MINLP model. 19
20 Izhodišče predstavlja osnovni model (NLP brez TI.gms), ki ga spremenimo po naslednjih korakih: 1. Spremenite set tokov: SET S /1*13/. Preštevilčite vse tokove v enačbah obstoječih procesnih enot in pri fiksirani vrednosti proizvodnje produkta. 3. Dodajte skalarje Cena za vtok : FEEDCOST 0,00075 Fiksni del naložbe reaktorja : RCTFIX 50 Variabilni del naložbe reaktorja : RCTVAR Vključite binarne spremenljivke Y1 za vtok 1 Y za vtok Y3 za reaktor 1 Y4 za reaktor 5. Dodajte enačbe: Masne bilance komponent v vtoku po analogiji za vtok 1: FFEEDMBA FFEEDMBB FFEEDMBC FFEEDUP (desno stran pomnožite z Y) Masne bilance komponent v reaktorju po analogiji za reaktor 1: RCTMBA RCTMBB RCTMBC RCTINUP (desno stran pomnožite z Y4) Masno bilanco komponent za single-choice mixer M1: SCM1(COMP).. F('1',COMP)+ F('',COMP) =E= F('3',COMP); Masno bilanco komponent za single-choice mixer M: SCM(COMP).. F('7',COMP)+ F('8',COMP) =E= F('9',COMP); Masno bilanco komponent za single-choice splitter S1: SCS(COMP).. F('4',COMP) =E= F('5',COMP) + F('6',COMP); Logično relacijo za izbor enega od vtokov: LOG1.. Y1 + Y =E= 1; Logično relacijo za izbor enega od reaktorjev: LOG.. Y3 + Y4 =E= 1; Modificirajte enačbi: FFEED1UP (desno stran pomnožite z Y1) RCT1INUP (desno stran pomnožite z Y3) 0
21 6. Modificirajte namensko funkcijo, tako da: dodate člen za vtok : FT('') *FEEDCOST*8500*3600 dodate člena za reaktor : RCTFIX *Y4 RCTVAR* FT('6') člen RCT1FIX pomnožite z Y3. Naloge: A) Izvedite MINLP optimiranje brez TI. Podajte optimalno strukturo procesa in ostale spremenljivke (dobiček, poraba pogonskih sredstev, stroški pogonskih sredstev, stroški surovin, celotna presnova reaktanta A, obtok). B) Izvedite MINLP optimiranje s simultano toplotno integracijo z modelom Duran in Grossmann na enak način, kot pri NLP optimiranju, t.j.: izbrišete enačbi QC1 in QH1 ter na mestu pred stavkom MODEL FLOW /ALL/; vključite datoteko toplotne integracije DURAN.gms Primerjajte rešitvi točk A) in B) glede na strukturo in ostale spremenljivke. C) Pri varianti MINLP s TI (točka B) izvedite občutljivostno analizo za: ceno vtoka 1 (FEED1COST), tako da ceno povečujete in ugotavljate vpliv na strukturo procesa ter ostale spremenljivke, variabilni del naložbe reaktorja (RCTVAR), tako da ga povečujete in ugotovite, pri kateri vrednosti reaktor ni več izbran v optimalno rešitev. 1
22 Naloga 10: Rešite primer 1.1. iz zapiskov predavanj Startna točka: y 1 = y = y 3 = 1 min Z = y p.p. ( x1 ) x 0 x1 y1 0 x1 x 4(1 y ) 0 x1 (1 y1) 0 x y 0 x1 + x 3y3 y1 + y + y3 1 0 x 4, 0 x 4 y, y 1 1 1, y y = 0, y 3 + x 1 + x REŠITEV: 1. NLP Rešite osnovni problem s programom GAMS, tako da ga pretvorite v NLP problem s fiksiranjem vrednosti y 1 = y = y 3 = 1: Rešitev: x 1 =, x =, Z = 11 p.p. ( x1 ) x 0 x1 1 0 x1 x 4(1 1) 0 x1 (1 1) 0 x 1 0 x1 + x x 4, 0 x min Z = x + x 1. MILP Linearizacija nelinearne namenske funkcije in prve pogojne neenačbe: Nelinearni del namenske funkcije: f = x + x f = x,x [ ] 1 1 Nelinearna neenačba: g = ( x ) x g = x 4, [ ] V točki (, ): f = + = 8 f =, = 4, [ ] [ ] [ ] [ ] g = ( ) = g = 4, 1 = 0, 1
23 min Z = y + 1,5 y + 0,5y + μ OA 1 3 OA x1 za f : 8 + [ 4,4] OA 0 x μ x1 za g1 : + [ 0, 1] 0 x + vse ostale linearne neenačbe μ R min Z = y + 1,5 y + 0,5y + μ OA 1 3 OA ( ) za f : x + 4( x ) μ 0 1 OA 4x + 4x 8 μ 0 1 OA ( ) ( ) za g : + 0 x 1 x x 0 + vse ostale linearne neenačbe μ R Tako je končni MASTER problem 1. iteracije, ki ga rešimo s programom GAMS kot MILP problem: min Z = y + 1,5 y + 0,5y + μ 1 3 OA 4x + 4x 8 μ 0 1 OA x 0 x y x x 4(1 y ) 0 1 x (1 y ) 0 x 1 1 y 0 x + x 3y 1 3 y + y + y y, y, y = 0,1, μ R 1 3 OA 0 x 4, 0 x 4 1 Rešitev: y 1 = 1, y = 0, y 3 = 0, Z = 1, μ OA = 0 Po enakem vzorcu ponovite še za. in 3. iteracijo. Rešitev:. NLP: x 1 =, x = 0, Z = 5. MILP: y 1 = 0, y = 1, y 3 = 0, Z = 1,5, μ OA = 0 3. NLP: x 1 = 1, x = 1, Z = 3,5 3. MILP: y 1 = 0, y = 1, y 3 = 0, Z = 3,5, μ OA = 3
24 Univerza v Mariboru Fakulteta za kemijo in kemijsko tehnologijo Optimiranje procesov (Računske vaje za 1. in. kolokvij) Zorka Novak Pintarič in Zdravko Kravanja Maribor, 008
25 1. KOLOKVIJ 1. naloga Rešite naslednji primer s kompleksno metodo ( iteraciji): Min 3(x 4) x 1 p.p. x 1 + x 10 0 x 1 + (x 4) x 1, x 4 Naključna števila za generiranje točk: , , , , , α = 1.3, δ = 0.8 ε 1 = 0., ε = naloga Rešite grafično. Max 3x 1 + x p.p. x 1 + 3x 4 x 1 + x x 1, x 0 3. naloga Rešite z metodo simplex in grafično. Max x 1 + 3x p.p. x 1 + x 10 x 1 5 x 4 x 1, x 0 4. naloga Rešite z metodo simplex. Max x 1 + x p.p. x 1 0,5x 1 x 1 x x 1 + x 4 x 1, x 0 5. naloga Iz treh obratov oskrbujemo štiri tržišča. Razdalje, razpoložljive kapacitete obratov in potrebe posameznih tržišč so podane v tabeli. Drugi podatki so: Cena prevoza je 0 SIT/(t km). Kazen za nedobavljeno blago na tržišču T4 je 40 SIT/t. Iz obrata 1 na tržišče 3 lahko prepeljemo največ 1000 t. Prevoz med obratom 3 in tržiščem 4 je prepovedan. Zapišite matematični model transportnega problema. Razdalje (km) T1 T T3 T4 Ponudba obratov (t) O O O Povpraševanje na tržiščih (t)
26 6. naloga Z metodo Lagrangejevih multiplikatorjev rešite naslednji problem: min Z = x + x + x 1 3 p.p. x + x + 3x = x + x + x = 4, naloga Z metodo Lagrangejevih multiplikatorjev rešite naslednji problem: max Z = x + x p.p. x + = x 8. naloga Rešite naslednji omejeni nelinearni problem z iterativno strategijo aktivnih množic: min Z = x + x 1 p.p. x + x 1 1 x + x naloga Rešite naslednji omejeni nelinearni problem z iterativno strategijo aktivnih množic: min Z = 3x + x 1 1 p.p. 1 x 0 1 x 3 0 x 5 0 x x naloga Narišite tabelo temperaturnih intervalov in toplotno kaskado ter zapišite pretovorjevalni model za minimalne stroške pogonskih sredstev za naslednje tokove: T in / C T out / C FC/ kw/k H H ,5 C C Pogonska sredstva: Hladilna voda: 0 C 35 C, cena 0 $/(kwa) Vroče PS: 450 C, cena 50 $/(kwa) Δ min T = 10 K 3
27 . KOLOKVIJ 1. naloga Določite gradient, Hessovo matriko in stacionarne točke dane funkcije. Klasificirajte stacionarne točke (min, max, prevoj). Ali je funkcija konveksna? f( x) = 4x + x + x x x x x x naloga Z metodo eliminacije področja določite interval, v katerem leži optimum, nato pa poiščite optimum z metodo zlatega reza (x 0 =, Δ=0.5): 3 ( ) min f( x) = 10x + 3x + x naloga Z metodo eliminacije področja določite interval, v katerem leži optimum, nato pa poiščite optimum z metodo zlatega reza (x 0 =, Δ=0.5): 4 3 min f( x) = x x naloga Poiščite minimum funkcije s Powel-ovo metodo (x 1 =0, Δx=1, ε 1 =0.0001): 0.5 min f( x) = ( x 3) + e x 5. naloga Poiščite minimum funkcije s Powel-ovo metodo (x 1 =1, Δx=0,5, ε 1 =0.0001): 4 3 min f( x) = x x naloga Poiščite dimenzije kvadra s kvadratno osnovno ploskvijo in ploščino plašča 0 enot, tako da bo volumen kvadra največji. Za reševanje uporabite Newton-Rhapsonovo metodo s konvergenčnim kriterijem za odvod ε 0, naloga Poiščite minimum funkcije z Newton-Rhapsonovo metodo (x 0 =1, ε = ): 4 3 min f( x) = x x naloga Določite, ali je funkcija konveksna in poiščite njene optimalne rešitve: f ( x) = x + 6x x x + 4x naloga Preverite konveksnost naslednje funkcije: f( x) = 4x + 3x + 5x x x + x x + 6x x
28 10. naloga Poiščite minimum funkcije s Cauchy-jevo metodo in začetno točko x (0) = [1, 1]. f( x) = ( x ) + ( x + 3) naloga Poiščite minimum funkcije s Cauchy-jevo metodo in začetno točko x (0) = [5, 10]. f ( x) = ( x 3 x ) + (4 x ) naloga Poiščite minimum funkcije s Hooke-Jeveesovo metodo in začetno točko x (0) = [3, 0], Δx = [1, 1] in α=. f( x) = 3( x 3) + x x + 4( x 1) naloga Poiščite minimum funkcije s Hooke-Jeveesovo metodo in začetno točko x (0) = [1, 1], Δx = [1, 1] in α=. f( x) = ( x ) + ( x ) x + ( x + 1) naloga Z Newton-Rhapsonovo metodo rešite naslednji dvodimenzijski problem: 3 min f ( x) = x1 + 3x 6x1x + 1,375x1 3 z izhodiščno točko (, ) in konvergenčnim kriterijem za gradient ε 0, naloga Z metodo kritičnega pasu (aktivnosti v vozliščih) določite minimalni čas za izvedbo projekta. Določite kritično pot in rezerve za nekritične dejavnosti. Aktivnost Trajanje (dnevi) Neposredni predhodniki A 5 - B 7 A C 3 A D 16 C E 4 C F 10 B G 1 F, D H 8 G, E 5
29 16. naloga Z metodo vejanja in omejevanja v binarnem drevesu določi optimalno rešitev z uporabo pristopa»najprej v globino«in»najprej v širino«. 6
30 17. naloga Z metodo vejanja in omejevanja v binarnem drevesu določi optimalno rešitev z uporabo pristopa»najprej v globino«in»najprej v širino«. 7
31 18. naloga Zapiši MILP model za stroškovni model fiksne obremenitve (fixed charge cost model) za konkavno cenovno funkcijo: C = 00 S kjer je C cena v d.e. in S velikostna spremenljivka z mejami 50 S ,65 8
32 19. naloga Z metodo vejanja in omejevanja (branch & bound) smo rešili naslednji MILP problem: min Z = x + 3x + y + 4y 3y p.p. x x + y + 3y + y y 4y 3y + x { } x, x 0, y, y, y 0,1 Za dano drevo kombinacij določi vrstni red izračunov po metodi v širino in po metodi v globino. y 1 =0 Z=1.75 [0.5,0,1] y1=1 Z=5.3 [0,0.6,1] Z=3.5 [1,0,0.17] y =0 y =1 y 3 =0 y 3 =1 infeas Z=8.5 [0,1,0.5] y 3 =1 Z=4.6 Z=3.5 [1,0.15,0] [1,0,1] y =1 y 3 =0 y =0 infeas Z=8.5 infeas Z=1 [ 0,1,1 ] [1,1,0] y 1 =0 Z=1.75 [0.5,0,1] y1=1 Z=5.3 [0,0.6,1] Z=3.5 [1,0,0.17] y =0 y =1 y 3 =0 y 3 =1 infeas Z=8.5 [0,1,0.5] y 3 =1 Z=4.6 Z=3.5 [1,0.15,0] [1,0,1] y =1 y 3 =0 y =0 infeas Z=8.5 infeas Z=1 [ 0,1,1 ] [1,1,0] 9
Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραDržavni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA
Državni izpitni center *M15143113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA RIC 2015 M151-431-1-3 2 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραNEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραINŽENIRSKA MATEMATIKA I
INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραFazni diagram binarne tekočine
Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike uvod
Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραTabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare
Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Laboratorij za termoenergetiko Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare po modelu IAPWS IF-97 izračunano z XSteam Excel v2.6 Magnus Holmgren, xsteam.sourceforge.net
Διαβάστε περισσότεραPoglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM
Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Fakulteta za elektrotehniko 1 Slika 7. 2: Principielna shema regulacije AM v KSP Fakulteta za elektrotehniko 2 Slika 7. 3: Merjenje komponent fluksa s
Διαβάστε περισσότεραSEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011 KAZALO: 1.Uvod...1 2.
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva
Διαβάστε περισσότεραOdvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:
4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah
Διαβάστε περισσότεραcot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.
TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij
Διαβάστε περισσότεραPovečanje presnove metana v procesu proizvodnje metanola
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Daniel Vidmar Povečanje presnove metana v procesu proizvodnje metanola Diplomska naloga Maribor, marec 2010 STROGO ZAUPNO! Fakulteta za kemijo
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραRačunski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I
Kemijska tehnologija Visokošolski strokovni program Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 29. 8. 2013 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument. Ugasni in odstrani mobilni telefon.
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih izpitnih nalog iz numeričnih metod
Zbirka rešenih izpitnih nalog iz numeričnih metod Borut Jurčič - Zlobec Andrej Perne Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Ljubljana 6 Kazalo Iterativno reševanje nelinearnih enačb 4 Navadna
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραMERITVE LABORATORIJSKE VAJE. Študij. leto: 2011/2012 UNIVERZA V MARIBORU. Skupina: 9
.cwww.grgor nik ol i c NVERZA V MARBOR FAKTETA ZA EEKTROTEHNKO, RAČNANŠTVO N NFORMATKO 2000 Maribor, Smtanova ul. 17 Študij. lto: 2011/2012 Skupina: 9 MERTVE ABORATORJSKE VAJE Vaja št.: 4.1 Določanj induktivnosti
Διαβάστε περισσότεραCM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25
1 2 3 4 5 6 7 OFFMANAUTO CM707 GR Οδηγός χρήσης... 2-7 SLO Uporabniški priročnik... 8-13 CR Korisnički priručnik... 14-19 TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 ENG User Guide... 26-31 GR CM707 ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ Περιγραφή
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότερα1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE
1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE A) Splošna oblika Definicija 1 : Naj bodo a, b in c realna števila in a 0. Realno funkcijo: f : x ax + bx + c imenujemo kvadratna funkcija spremenljivke x v splošni
Διαβάστε περισσότεραZaporedna in vzporedna feroresonanca
Visokonapetostna tehnika Zaporedna in vzporedna feroresonanca delovanje regulacijskega stikala T3 174 kv Vaja 9 1 Osnovni pogoji za nastanek feroresonance L C U U L () U C () U L = U L () U C = ωc V vezju
Διαβάστε περισσότεραKanonična oblika linearnega programa. Simpleksna metoda. Bazne rešitve kanoničnega linearnega programa.
Kanonična oblika linearnega programa.. Drago Bokal, Tanja Gologranc Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru min c T x p. p. Ax = b x 0 Kako dobimo
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότεραMatematično modeliranje. Simpleksna metoda.
Simpleksna metoda. Drago Bokal, Tanja Gologranc Oddelek za matematiko in računalništvo Fakulteta za naravoslovje in matematiko Univerza v Mariboru Kanonična oblika linearnega programa. min c T x p. p.
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Fakulteta za kmetijstvo in biosistemske vede. Zbirka nalog iz matematike
Univerza v Mariboru Fakulteta za kmetijstvo in biosistemske vede Zbirka nalog iz matematike TADEJA KRANER ŠUMENJAK IN VILMA ŠUŠTAR Maribor, 2010 ii Predgovor Nekaj let že vodim vaje iz matematike in statistike
Διαβάστε περισσότερα1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )
VAJA IZ TRDNOSTI (lnearna algebra - ponovtev, Kroneckerev δ, permutacsk smbol e k ) NALOGA : Zapš vektor a = [, 2,5,] kot lnearno kombnaco vektorev e = [,,,], e 2 = [,2,3,], e 3 = [2,,, ] n e 4 = [,,,]
Διαβάστε περισσότεραVaje: Električni tokovi
Barbara Rovšek, Bojan Golli, Ana Gostinčar Blagotinšek Vaje: Električni tokovi 1 Merjenje toka in napetosti Naloga: Izmerite tok, ki teče skozi žarnico, ter napetost na žarnici Za izvedbo vaje potrebujete
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Skripta za vaje iz Matematike I (UNI + VSP) Ljubljana, množice Osnovne definicije: Množica A je podmnožica
Διαβάστε περισσότεραStatistična analiza. doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za farmacijo
Statistična analiza opisnih spremenljivk doc. dr. Mitja Kos, mag. arm. Katedra za socialno armacijo Univerza v Ljubljani- Fakulteta za armacijo Statistični znaki Proučevane spremenljivke: statistični znaki
Διαβάστε περισσότερα1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...
ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων
Διαβάστε περισσότεραMetoda glavnih komponent
Metoda glavnih komponent Metoda glavnih kompnent je ena najpogosteje uporabljenih multivariatnih metod. Osnoval jo je Karl Pearson (1901). Največ zaslug za nadaljni razvoj pa ima Hotelling (1933). Osnovna
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραREˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Διαβάστε περισσότεραDržavni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA
Državni izpitni center *M16141113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek, 1. junij 16 SPLOŠNA MATURA RIC 16 M161-411-3 M161-411-3 3 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor
Διαβάστε περισσότεραTransformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II
Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006
1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006 1. Dana je množica predpostavk p q r s, r t, s q, s p r, s t in zaključek t r. Odloči, ali je sklep pravilen ali napačen. pravilen, zapiši
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα1.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk
.3 Vsota diskretnih slučajnih spremenljivk Naj bosta X in Y neodvisni Bernoullijevo porazdeljeni spremenljivki, B(p). Kako je porazdeljena njuna vsota? Označimo Z = X + Y. Verjetnost, da je P (Z = z) za
Διαβάστε περισσότερα22. Kdaj sta dva vektorja vzporedna? FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/ Kdaj so vektorji a 1, a 2,..., a n linearno neodvisni?
FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/06 1. Definicija enakosti množic (funkcij, kompleksnih števil, urejenih n teric)? 2. Definicija kartezičnega produkta množic A in B. Definicija množice R n. 3. Popolna
Διαβάστε περισσότεραInterpolacija in aproksimacija funkcij
Poglavje 4 Interpolacija in aproksimacija funkcij Na interpolacijo naletimo, kadar moramo vrednost funkcije, ki ima vrednosti znane le v posameznih točkah (pravimo jim interpolacijske točke), izračunati
Διαβάστε περισσότεραTRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ ( )
TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ (17. 12. 03) Pazljivo preberite besedilo vsake naloge! Naloge so točkovane enakovredno (vsaka 25%)! Pišite čitljivo! Uspešno reševanje! 1. Deformiranje telesa je podano s poljem
Διαβάστε περισσότερα*P171C10113* MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Sobota, 3. junij Državni izpitni center POKLICNA MATURA
Državni izpitni center *P7C0* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota,. junij 07 POKLICNA MATURA Državni izpitni center Vse pravice pridržane. P7-C0-- NAVODILA ZA OCENJEVANJE
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραp 1 ENTROPIJSKI ZAKON
ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe (študijsko gradivo) Matija Cencelj 1. maja 2003 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Preprosti primeri......................... 8 2 Diferencialne enačbe prvega reda 11 2.1 Ločljivi spremenljivki.......................
Διαβάστε περισσότερα