Η ζ-συνάρτηση του Ihara

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η ζ-συνάρτηση του Ihara"

Transcript

1 Η ζ-συνάρτηση του Ihara Αστέριος Γκαντζούνης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. Πτυχιακή Εργασία Σεπτέµβριος 2013, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 1/56

2 Περιεχόµενα Ορισµός, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 2/56

3 Η κλασική ζ-συνάρτηση του Riemann Η κλασική συνάρτηση του Riemann, ορίζεται για s C µε Re s > 1 ως 1 ζ(s) = = ( n s 1 1 ) 1. p s n=1 p Primes Ο Bertrand Riemann στο µνηµειώδες άρθρο του Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse επέκτεινε την παραπάνω συνάρτηση σε µια αναλυτική συνάρτηση σε όλο το µιγαδικό επίπεδο εκτός του απλού πόλου που έχει για s = 1. Επίσης έδειξε ότι υπάρχει µια συµµετρία που συνδέει την τιµή της στο s µε την τιµή της στο 1 s, που καλείται συναρτησιακή εξίσωση. ( π s s ) ( ) 2 Γ ζ(s) = π 1 s 1 s 2 Γ ζ(1 s) 2 2 Υπόθεση Riemann: Οι µη τετριµένες ϱίζες της ζ-συνάρτησης του Riemann έχουν πραγµατικό µέρος 1 2., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 3/56

4 Η κλασική ζ-συνάρτηση του Riemann Η κλασική συνάρτηση του Riemann, ορίζεται για s C µε Re s > 1 ως 1 ζ(s) = = ( n s 1 1 ) 1. p s n=1 p Primes Ο Bertrand Riemann στο µνηµειώδες άρθρο του Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse επέκτεινε την παραπάνω συνάρτηση σε µια αναλυτική συνάρτηση σε όλο το µιγαδικό επίπεδο εκτός του απλού πόλου που έχει για s = 1. Επίσης έδειξε ότι υπάρχει µια συµµετρία που συνδέει την τιµή της στο s µε την τιµή της στο 1 s, που καλείται συναρτησιακή εξίσωση. ( π s s ) ( ) 2 Γ ζ(s) = π 1 s 1 s 2 Γ ζ(1 s) 2 2 Υπόθεση Riemann: Οι µη τετριµένες ϱίζες της ζ-συνάρτησης του Riemann έχουν πραγµατικό µέρος 1 2., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 3/56

5 Η κλασική ζ-συνάρτηση του Riemann Η κλασική συνάρτηση του Riemann, ορίζεται για s C µε Re s > 1 ως 1 ζ(s) = = ( n s 1 1 ) 1. p s n=1 p Primes Ο Bertrand Riemann στο µνηµειώδες άρθρο του Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse επέκτεινε την παραπάνω συνάρτηση σε µια αναλυτική συνάρτηση σε όλο το µιγαδικό επίπεδο εκτός του απλού πόλου που έχει για s = 1. Επίσης έδειξε ότι υπάρχει µια συµµετρία που συνδέει την τιµή της στο s µε την τιµή της στο 1 s, που καλείται συναρτησιακή εξίσωση. ( π s s ) ( ) 2 Γ ζ(s) = π 1 s 1 s 2 Γ ζ(1 s) 2 2 Υπόθεση Riemann: Οι µη τετριµένες ϱίζες της ζ-συνάρτησης του Riemann έχουν πραγµατικό µέρος 1 2., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 3/56

6 Η κλασική ζ-συνάρτηση του Riemann Η κλασική συνάρτηση του Riemann, ορίζεται για s C µε Re s > 1 ως 1 ζ(s) = = ( n s 1 1 ) 1. p s n=1 p Primes Ο Bertrand Riemann στο µνηµειώδες άρθρο του Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse επέκτεινε την παραπάνω συνάρτηση σε µια αναλυτική συνάρτηση σε όλο το µιγαδικό επίπεδο εκτός του απλού πόλου που έχει για s = 1. Επίσης έδειξε ότι υπάρχει µια συµµετρία που συνδέει την τιµή της στο s µε την τιµή της στο 1 s, που καλείται συναρτησιακή εξίσωση. ( π s s ) ( ) 2 Γ ζ(s) = π 1 s 1 s 2 Γ ζ(1 s) 2 2 Υπόθεση Riemann: Οι µη τετριµένες ϱίζες της ζ-συνάρτησης του Riemann έχουν πραγµατικό µέρος 1 2., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 3/56

7 Αριθµητικά Σώµατα L O L PO L = Q e1 1 Qer r O L /Q i K O K P O K /P Για κάθε ιδεώδες Q i στην παραπάνω ανάλυση το πηλίκο O L /Q i είναι µια πεπερασµένη επέκταση του πεπερασµένου σώµατος O K /P. ηλαδή O K /P = F q και O L /Q = F q f. Τον αριθµό f που εξαρτάται από την επιλογή των P, Q ϑα τον ονοµάζουµε ϐαθµό αδράνειας του Q πάνω από το P. Ας υποθέσουµε ότι το L είναι µια αλγεβρική επέκταση του K = Q. Για κάθε ιδεώδες Q του δακτυλίου O L ορίζεται η νόρµα N(Q) = #O L /Q = p f για κάποιο πρώτο p (για τον πρώτο που γεννά το κύριο ιδεώδες P του O K = Z που ϐρίσκεται κάτω από το Q)., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 4/56

8 ζ-συνάρτηση σώµατος αριθµών Για ένα σώµα αριθµών L ορίζεται η ζ-συνάρτησή του: ζ L (s) = A O L 1, s C, Re(s) > 1. N(A) s Αποδεικνύεται ότι η παραπάνω συνάρτηση δέχεται ένα γινόµενο Euler ζ L (s) = P πρώτο ιδεώδες 1 1 N(P) s,, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 5/56

9 Οµάδα Ανάλυσης Στην περίπτωση που η επέκταση L/K είναι Galois µε οµάδα Galois Gal(L/K) = G, έχουµε ότι η οµάδα G δρα µεταβατικά πάνω στα πρώτα ιδεώδη Q i που ϐρίσκονται πάνω από ένα πρώτο ιδεώδες P δηλαδή για κάθε Q i, Q j υπάρχει g ij ώστε g ij Q i = Q j. Στην περίπτωση αυτή όλοι οι δείκτες e i είναι ίσοι. Στην περίπτωση των Galois ακολουθώντας τον Hilbert µπορούµε να ορίσουµε για κάθε πρώτο Q του δακτυλίου O L τις παρακάτω οµάδες : Την οµάδα ανάλυσης Την οµάδα αδράνειας G(Q) := {σ G : σ(q) = Q} I(Q) := {σ G(Q) : σ(a) a modq, a O L }, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 6/56

10 Παρατηρούµε ότι αν P = Q O K η επέκταση OL / OK είναι Galois και η Q P οµάδα Galois της µπαίνει σε µια ϐραχεία ακριβή ακολουθία ( ) OL 1 I(Q) G(Q) Gal Q /O K 1. (1) P, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 7/56

11 Αυτοµορφισµός Frobenius ( O Είναι γνωστό ότι η οµάδα Galois της επέκτασης Gal L / ) OK Q P είναι κυκλική. Στην περίπτωση που το πεπερασµένο σώµα OK P έχει q = ph -το πλήθος στοιχεία, και το σώµα OL Q έχει qf -το πλήθος στοιχεία, η οµάδα Galois παράγεται από ένα στοιχείο τον αυτοµορφισµό του Frobenious: ο οποίος έχει τάξη f. F : O L Q O L Q x x q,, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 8/56

12 Θα λέµε ότι ο πρώτος Q πάνω από τον P διακλαδίζεται µε ϐαθµό διακλάδωσης e αν η οµάδα I(Q) είναι µη τετριµµένη και έχει τάξη e. Είναι γνωστό ότι σε µια επέκταση σωµάτων αριθµών υπάρχουν πεπερασµένοι πρώτοι που διακλαδίζονται. Στην περίπτωση που δεν έχουµε διακλάδωση, παρατηρούµε από την ϐραχεία ( ακριβή ακολουθία (1) ότι η οµάδα Galois της επέκτασης O Gal L / ) OK Q P είναι ισόµορφη µε µια υποοµάδα της οµάδας Gal(L/K). Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να «σηκώσουµε» τον γεννήτορα Frobenious σε ένα µοναδικό στοιχείο της οµάδας Gal(L/K), το οποίο ϑα το συµβολίζουµε µε [L/K, Q]., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 9/56

13 Το παραπάνω σύµβολο εξαρτάται από την επιλογή του πρώτου Q που επεκτείνει τον P. Αν έχουµε ένα διαφορετικό πρώτο Q που επεκτείνει τον P, τότε αυτός ϑα είναι της µορφής Q = gq, για κατάλληλη επιλογή g ( O Gal L / ) OK Q P και σε αυτή την περίπτωση ϑα έχουµε [ L/K, Q ] = g 1 [L/K, Q] g. Στην περίπτωση που η οµάδα Gal(L/K) είναι αβελιανή το σύµβολο είναι ανεξάρτητο της επιλογής Q., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 10/56

14 L-σειρές του Artin Θεωρούµε µια επέκταση Galois σωµάτων αριθµών L/K µε οµάδα G και µία αναπαράσταση της G: ρ : G GL(V) επί ενός πεπερασµένης διάστασης διανυσµατικού χώρου V. Εστω V I(Q) = {v V : gv = v για κάθε g I(Q)}. ( O Στον χώρο αυτό ορίζουµε την δράση της οµάδας Gal L / ) OK Q P η οποία είναι ισόµορφη µε την G(Q)/I(Q) g modi(q) v = g v. Αν το P δεν διακλαδίζεται τότε V I(Q) = V., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 11/56

15 L-σειρές του Artin Για κάθε πρώτο P ( P(K) ϑεωρούµε τον γεννήτορα της κυκλικής O οµάδας Galois Gal L / ) OK Q P τον οποίο ϐλέπουµε ως ένα στοιχείο φ Q/P της οµάδας πηλίκου G(Q)/I(Q). Ο ορισµός της L-σειράς του Artin δίνεται από το παρακάτω γινόµενο: L(s, ρ, L/K) = ( det 1 V NP s ρ(φ Q/P ) ) 1 V I(Q) P P(K), Η ζ-συνάρτηση του Ihara 12/56

16 Ιδιότητες Για την L-σειρά του Artin µπορούµε να αποδείξουµε τις παρακάτω ιδιότητες : 1. Η σειρά L(s, ρ, L/K) συγκλίνει απόλυτα στο ηµιεπίπεδο Re(s) > 1, και οµοιόµορφα στα συµπαγή υποσύνολά του. 2. Αν η ρ είναι µία πιστή αναπαράσταση της αβελιανής οµάδας G, και χ ο χαρακτήρας τότε η L-σειρά του Artin ταυτίζεται µε την L-σειρά του Dirichlet: L(s, ρ, L/K) = L(s, χ). 3. Στην περίπτωση που ρ είναι η τετριµµένη αναπαράσταση έχουµε ότι L(s, ρ, L/K) = ζ K (s). 4. ζ L (s) = ζ K (s) ρ Ĝ ρ Id L(s, ρ, L/K) deg ρ., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 13/56

17 Πίνακας γειτνίασης κορυφών Ορισµός Εστω V οι κορυφές ενός γραφήµατος X και n = V(X) ο αριθµός των κορυφών του γραφήµατος. εδοµένης µίας αρίθµησης των κορυφών του γραφήµατος ο πίνακας γειτνίασης του X είναι ένας n n πίνακας µε εισόδους (i, j) 1 i, j n ο αριθµός των ακµών αν i j a ij = που συνδέουν την κορυφή i µε την κορυφή j 2 ο αριθµός των ϐρόχων στην κορυφή i αν i = j Αν επιλέξουµε µία διαφορετική αρίθµηση των κορυφών τότε για τον νέο πίνακα γειτνίασης A ισχύει A = TAT 1 όπου ο T είναι ένας πίνακας µετάθεσης., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 14/56

18 Πίνακας γειτνίασης κορυφών Ορισµός Εστω V οι κορυφές ενός γραφήµατος X και n = V(X) ο αριθµός των κορυφών του γραφήµατος. εδοµένης µίας αρίθµησης των κορυφών του γραφήµατος ο πίνακας γειτνίασης του X είναι ένας n n πίνακας µε εισόδους (i, j) 1 i, j n ο αριθµός των ακµών αν i j a ij = που συνδέουν την κορυφή i µε την κορυφή j 2 ο αριθµός των ϐρόχων στην κορυφή i αν i = j Αν επιλέξουµε µία διαφορετική αρίθµηση των κορυφών τότε για τον νέο πίνακα γειτνίασης A ισχύει A = TAT 1 όπου ο T είναι ένας πίνακας µετάθεσης., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 14/56

19 Παράδειγµα Παράδειγµα Ο πίνακας γειτνίασης του πλήρους γραφήµατος K 4 είναι ο (2) , Η ζ-συνάρτηση του Ihara 15/56

20 Πρώτοι σε ένα γράφηµα Εστω ένα γράφηµα X µε σύνολο ακµών E, m = E. Παίρνουµε και τις δύο κατευθύνσεις στις ακµές και τις ονοµάζουµε ως εξής e 1, e 2,..., e m, e m+1 = e 1 1,..., e 2m = e 1 m. Ενα µονοπάτι ή περίπατος C = a 1 a s, όπου a j είναι µια κατευθυνόµενη ακµή λέµε ότι έχει πισογύρισµα, αν a j+1 = a 1 j για κάποιο j = 1,..., s 1. Ενα µονοπάτι C = a 1 a s λέγεται ότι έχει ουρά αν a s = a 1 1. Ενα κλειστό µονοπάτι καλείται πρώτο µονοπάτι αν δεν έχει πισογυρίσµατα και ουρά και C D f για f > 1 και D κλειστό µονοπάτι στο X. Παίρνουµε την κλάση ισοδυναµίας [C] [C] = {a 1 a s, a 2 a s a 1,..., a s a 1 a s 1 }. Οι πρώτοι είναι κλάσεις ισοδυναµίας πρώτων µονοπατιών., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 16/56

21 Πρώτοι σε ένα γράφηµα Εστω ένα γράφηµα X µε σύνολο ακµών E, m = E. Παίρνουµε και τις δύο κατευθύνσεις στις ακµές και τις ονοµάζουµε ως εξής e 1, e 2,..., e m, e m+1 = e 1 1,..., e 2m = e 1 m. Ενα µονοπάτι ή περίπατος C = a 1 a s, όπου a j είναι µια κατευθυνόµενη ακµή λέµε ότι έχει πισογύρισµα, αν a j+1 = a 1 j για κάποιο j = 1,..., s 1. Ενα µονοπάτι C = a 1 a s λέγεται ότι έχει ουρά αν a s = a 1 1. Ενα κλειστό µονοπάτι καλείται πρώτο µονοπάτι αν δεν έχει πισογυρίσµατα και ουρά και C D f για f > 1 και D κλειστό µονοπάτι στο X. Παίρνουµε την κλάση ισοδυναµίας [C] [C] = {a 1 a s, a 2 a s a 1,..., a s a 1 a s 1 }. Οι πρώτοι είναι κλάσεις ισοδυναµίας πρώτων µονοπατιών., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 16/56

22 Πρώτοι σε ένα γράφηµα Εστω ένα γράφηµα X µε σύνολο ακµών E, m = E. Παίρνουµε και τις δύο κατευθύνσεις στις ακµές και τις ονοµάζουµε ως εξής e 1, e 2,..., e m, e m+1 = e 1 1,..., e 2m = e 1 m. Ενα µονοπάτι ή περίπατος C = a 1 a s, όπου a j είναι µια κατευθυνόµενη ακµή λέµε ότι έχει πισογύρισµα, αν a j+1 = a 1 j για κάποιο j = 1,..., s 1. Ενα µονοπάτι C = a 1 a s λέγεται ότι έχει ουρά αν a s = a 1 1. Ενα κλειστό µονοπάτι καλείται πρώτο µονοπάτι αν δεν έχει πισογυρίσµατα και ουρά και C D f για f > 1 και D κλειστό µονοπάτι στο X. Παίρνουµε την κλάση ισοδυναµίας [C] [C] = {a 1 a s, a 2 a s a 1,..., a s a 1 a s 1 }. Οι πρώτοι είναι κλάσεις ισοδυναµίας πρώτων µονοπατιών., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 16/56

23 Πρώτοι σε ένα γράφηµα Εστω ένα γράφηµα X µε σύνολο ακµών E, m = E. Παίρνουµε και τις δύο κατευθύνσεις στις ακµές και τις ονοµάζουµε ως εξής e 1, e 2,..., e m, e m+1 = e 1 1,..., e 2m = e 1 m. Ενα µονοπάτι ή περίπατος C = a 1 a s, όπου a j είναι µια κατευθυνόµενη ακµή λέµε ότι έχει πισογύρισµα, αν a j+1 = a 1 j για κάποιο j = 1,..., s 1. Ενα µονοπάτι C = a 1 a s λέγεται ότι έχει ουρά αν a s = a 1 1. Ενα κλειστό µονοπάτι καλείται πρώτο µονοπάτι αν δεν έχει πισογυρίσµατα και ουρά και C D f για f > 1 και D κλειστό µονοπάτι στο X. Παίρνουµε την κλάση ισοδυναµίας [C] [C] = {a 1 a s, a 2 a s a 1,..., a s a 1 a s 1 }. Οι πρώτοι είναι κλάσεις ισοδυναµίας πρώτων µονοπατιών., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 16/56

24 Η Ihara ζ-συνάρτηση Η Ihara ζ-συνάρτηση για ένα πεπερασµένο συνεκτικό γράφηµα (χωρίς κορυφές ϐαθµού 1) ορίζεται από την ακόλουθη συνάρτηση µιγαδικής µεταβλητής u, µε u αρκούντως µικρό ζ X (u) = ζ(u, X) = [P] (1 u v(p)) 1 όπου το γινόµενο είναι πάνω από όλους τους πρώτους [P] στο X και v(p) το µήκος του P. Ενα άπειρο γινόµενο, ωστόσο..., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 17/56

25 Η Ihara ζ-συνάρτηση Η Ihara ζ-συνάρτηση για ένα πεπερασµένο συνεκτικό γράφηµα (χωρίς κορυφές ϐαθµού 1) ορίζεται από την ακόλουθη συνάρτηση µιγαδικής µεταβλητής u, µε u αρκούντως µικρό ζ X (u) = ζ(u, X) = [P] (1 u v(p)) 1 όπου το γινόµενο είναι πάνω από όλους τους πρώτους [P] στο X και v(p) το µήκος του P. Ενα άπειρο γινόµενο, ωστόσο..., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 17/56

26 Η ζ-συνάρτηση Ihara ως ορίζουσα. Ο πίνακας ακµών W 1 ενός γραφήµατος X είναι ένας 2m 2m πίνακας µε είσοδο (a, b) που αντιστοιχεί στις κατευθυνόµενες ακµές a και b. Αυτή η είσοδος (a, b) ισούται µε 1 αν t(a) = o(b) δηλαδή αν η τερµατική κορυφή της ακµής a ταυτίζεται µε την αρχική κορυφή της ακµής b και b a 1 και 0 διαφορετικά. Για την Ihara ζ-συνάρτηση έχουµε ότι ζ X (u) = det(i uw 1 ) 1. ηλαδή οι πόλοι της Ihara ζ-συνάρτησης είναι τα αντίστροφα των ιδιοτιµών του πίνακα W 1, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 18/56

27 Η ζ-συνάρτηση Ihara ως ορίζουσα. Ο πίνακας ακµών W 1 ενός γραφήµατος X είναι ένας 2m 2m πίνακας µε είσοδο (a, b) που αντιστοιχεί στις κατευθυνόµενες ακµές a και b. Αυτή η είσοδος (a, b) ισούται µε 1 αν t(a) = o(b) δηλαδή αν η τερµατική κορυφή της ακµής a ταυτίζεται µε την αρχική κορυφή της ακµής b και b a 1 και 0 διαφορετικά. Για την Ihara ζ-συνάρτηση έχουµε ότι ζ X (u) = det(i uw 1 ) 1. ηλαδή οι πόλοι της Ihara ζ-συνάρτησης είναι τα αντίστροφα των ιδιοτιµών του πίνακα W 1, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 18/56

28 Η ζ-συνάρτηση Ihara ως ορίζουσα. Ο πίνακας ακµών W 1 ενός γραφήµατος X είναι ένας 2m 2m πίνακας µε είσοδο (a, b) που αντιστοιχεί στις κατευθυνόµενες ακµές a και b. Αυτή η είσοδος (a, b) ισούται µε 1 αν t(a) = o(b) δηλαδή αν η τερµατική κορυφή της ακµής a ταυτίζεται µε την αρχική κορυφή της ακµής b και b a 1 και 0 διαφορετικά. Για την Ihara ζ-συνάρτηση έχουµε ότι ζ X (u) = det(i uw 1 ) 1. ηλαδή οι πόλοι της Ihara ζ-συνάρτησης είναι τα αντίστροφα των ιδιοτιµών του πίνακα W 1, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 18/56

29 Οι πόλοι της ζ-συνάρτησης του Ihara Οποτε η ακτίνα σύγκλισής της ως δυναµοσειρά γύρω από το 0 είναι R X = ρ(w 1 ) 1 όπου ρ(w 1 ) = max{ λ } µε λ ιδιοτιµή του πίνακα W 1. Ισχύει ότι u d du log ζ X(u) = m 1 N m u m. όπου N m το πλήθος των κλειστών µονοπατίων χωρίς πισογυρίσµατα και ουρές, µήκους m., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 19/56

30 Οι πόλοι της ζ-συνάρτησης του Ihara Οποτε η ακτίνα σύγκλισής της ως δυναµοσειρά γύρω από το 0 είναι R X = ρ(w 1 ) 1 όπου ρ(w 1 ) = max{ λ } µε λ ιδιοτιµή του πίνακα W 1. Ισχύει ότι u d du log ζ X(u) = m 1 N m u m. όπου N m το πλήθος των κλειστών µονοπατίων χωρίς πισογυρίσµατα και ουρές, µήκους m., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 19/56

31 Θεώρηµα Bass Hasimoto Εστω A ο πίνακας γειτνίασης του γραφήµατος X και Q ο διαγώνιος πίνακας µε j οστή είσοδο q j ώστε το q j + 1 να είναι ο ϐαθµός της j οστής κορυφής του X. Ας υποθέσουµε ότι το r είναι η ο ϐαθµός της ϑεµελιώδους οµάδας του X, δηλαδή r 1 = E V. Τότε έχουµε την ακόλουθη εξίσωση ζ X (u) 1 = (1 u 2 ) r 1 det(i Au + Qu 2 ). Παράδειγµα Το πλήρες γράφηµα K 4 έχει ζ-συνάρτηση του Ihara την ζ 1 K 4 = (u 1) 2 (u + 1)(2 u 1) ( 2 u 2 + u + 1 )3., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 20/56

32 Θεώρηµα Bass Hasimoto Εστω A ο πίνακας γειτνίασης του γραφήµατος X και Q ο διαγώνιος πίνακας µε j οστή είσοδο q j ώστε το q j + 1 να είναι ο ϐαθµός της j οστής κορυφής του X. Ας υποθέσουµε ότι το r είναι η ο ϐαθµός της ϑεµελιώδους οµάδας του X, δηλαδή r 1 = E V. Τότε έχουµε την ακόλουθη εξίσωση ζ X (u) 1 = (1 u 2 ) r 1 det(i Au + Qu 2 ). Παράδειγµα Το πλήρες γράφηµα K 4 έχει ζ-συνάρτηση του Ihara την ζ 1 K 4 = (u 1) 2 (u + 1)(2 u 1) ( 2 u 2 + u + 1 )3., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 20/56

33 Συναρτησιακές εξισώσεις Εστω X ένα q + 1-κανονικό γράφηµα µε ελάχιστο ϐαθµό κορυφών 2 και n = V. Τότε έχουµε τις ακόλουθες συναρτησιακές εξισώσεις 1. Λ X (u) (1 u 2 ) r 1+n/2 (1 q 2 u 2 ) n/2 ζ X (u) = ( 1) n Λ X (1/qu). 2. ξ X (u) (1 + u) r 1 (1 u) r 1+n (1 qu) n ζ X (u) = ξ X (1/qu). 3. Ξ X (u) (1 u 2 ) r 1 (1 + qu) n ζ X (u) = Ξ X (1/qu). Από τις παραπάνω συναρτησιακές εξισώσεις συµπεραίνουµε ότι υπάρχει συµµετρία στην κατανοµή των πόλων της ζ X (u) για κανονικά γραφήµατα, δηλαδή αν η ζ X (u) έχει ένα πόλο στο u τότε πρέπει να έχει και ένα πόλο στο 1/qu. Αν ϑέσουµε όπου u = q s οι συναρτησιακές εξισώσεις συνδέουν το s µε το 1 s κάτι που αποτελεί ανάλογο της συναρτησιακής εξίσωσης της ζ-συνάρτησης του Riemann, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 21/56

34 Συναρτησιακές εξισώσεις Εστω X ένα q + 1-κανονικό γράφηµα µε ελάχιστο ϐαθµό κορυφών 2 και n = V. Τότε έχουµε τις ακόλουθες συναρτησιακές εξισώσεις 1. Λ X (u) (1 u 2 ) r 1+n/2 (1 q 2 u 2 ) n/2 ζ X (u) = ( 1) n Λ X (1/qu). 2. ξ X (u) (1 + u) r 1 (1 u) r 1+n (1 qu) n ζ X (u) = ξ X (1/qu). 3. Ξ X (u) (1 u 2 ) r 1 (1 + qu) n ζ X (u) = Ξ X (1/qu). Από τις παραπάνω συναρτησιακές εξισώσεις συµπεραίνουµε ότι υπάρχει συµµετρία στην κατανοµή των πόλων της ζ X (u) για κανονικά γραφήµατα, δηλαδή αν η ζ X (u) έχει ένα πόλο στο u τότε πρέπει να έχει και ένα πόλο στο 1/qu. Αν ϑέσουµε όπου u = q s οι συναρτησιακές εξισώσεις συνδέουν το s µε το 1 s κάτι που αποτελεί ανάλογο της συναρτησιακής εξίσωσης της ζ-συνάρτησης του Riemann, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 21/56

35 Συναρτησιακές εξισώσεις Εστω X ένα q + 1-κανονικό γράφηµα µε ελάχιστο ϐαθµό κορυφών 2 και n = V. Τότε έχουµε τις ακόλουθες συναρτησιακές εξισώσεις 1. Λ X (u) (1 u 2 ) r 1+n/2 (1 q 2 u 2 ) n/2 ζ X (u) = ( 1) n Λ X (1/qu). 2. ξ X (u) (1 + u) r 1 (1 u) r 1+n (1 qu) n ζ X (u) = ξ X (1/qu). 3. Ξ X (u) (1 u 2 ) r 1 (1 + qu) n ζ X (u) = Ξ X (1/qu). Από τις παραπάνω συναρτησιακές εξισώσεις συµπεραίνουµε ότι υπάρχει συµµετρία στην κατανοµή των πόλων της ζ X (u) για κανονικά γραφήµατα, δηλαδή αν η ζ X (u) έχει ένα πόλο στο u τότε πρέπει να έχει και ένα πόλο στο 1/qu. Αν ϑέσουµε όπου u = q s οι συναρτησιακές εξισώσεις συνδέουν το s µε το 1 s κάτι που αποτελεί ανάλογο της συναρτησιακής εξίσωσης της ζ-συνάρτησης του Riemann, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 21/56

36 Υπόθεση Riemann για Γραφήµατα - Γραφήµατα Ramanujan Υπόθεση Riemann Υποθέτουµε ότι το X είναι ένα συνεκτικό (q + 1)-κανονικό γράφηµα (χωρίς κορυφές ϐαθµού 1). Λέµε ότι η Ihara ζ-συνάρτηση ζ X (q s ) ικανοποιεί την υπόθεση Riemann ανν για 0 < Re s < 1 ζ X (q s ) 1 = 0 = Re s = 1/2. Παρατηρούµε ότι αν u = q s, Re s = 1/2 αντιστοιχεί σε u = 1/ q. Γραφήµατα Ramanujan Ενα συνεκτικό (q + 1)-κανονικό γράφηµα X λέγεται Ramanujan αν και µόνο αν για έχουµε µ 2 q. µ = max{ λ λ SpectrumA, λ q + 1}, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 22/56

37 Υπόθεση Riemann για Γραφήµατα - Γραφήµατα Ramanujan Υπόθεση Riemann Υποθέτουµε ότι το X είναι ένα συνεκτικό (q + 1)-κανονικό γράφηµα (χωρίς κορυφές ϐαθµού 1). Λέµε ότι η Ihara ζ-συνάρτηση ζ X (q s ) ικανοποιεί την υπόθεση Riemann ανν για 0 < Re s < 1 ζ X (q s ) 1 = 0 = Re s = 1/2. Παρατηρούµε ότι αν u = q s, Re s = 1/2 αντιστοιχεί σε u = 1/ q. Γραφήµατα Ramanujan Ενα συνεκτικό (q + 1)-κανονικό γράφηµα X λέγεται Ramanujan αν και µόνο αν για έχουµε µ 2 q. µ = max{ λ λ SpectrumA, λ q + 1}, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 22/56

38 Υπόθεση Riemann για Γραφήµατα - Γραφήµατα Ramanujan Θεώρηµα Για ένα συνεκτικό (q + 1) κανονικό γράφηµα X, η ζ X (u) ικανοποιεί την υπόθεση Riemann ανν το γράφηµα είναι Ramanujan. Τα Ramanujan γραφήµατα είναι ϐέλτιστα expander γραφήµατα δηλαδή ισχυρά συνεκτικά αλλά αραιά γραφήµατα., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 23/56

39 Υπόθεση Riemann για Γραφήµατα - Γραφήµατα Ramanujan Θεώρηµα Για ένα συνεκτικό (q + 1) κανονικό γράφηµα X, η ζ X (u) ικανοποιεί την υπόθεση Riemann ανν το γράφηµα είναι Ramanujan. Τα Ramanujan γραφήµατα είναι ϐέλτιστα expander γραφήµατα δηλαδή ισχυρά συνεκτικά αλλά αραιά γραφήµατα., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 23/56

40 Expanders Ορισµός Εστω S, T υποσύνολα του συνόλου των κορυφών του X, ορίζουµε E(S, T) = {e e ακµή του X µε µία κορυφή στο S και την άλλη στο T} Ορισµός Αν το S είναι ένα σύνολο από κορυφές του X ορίζουµε το σύνορο του S να είναι S = E(S, X S) Ορισµός Ενα γράφηµα X µε σύνολο κορυφών V και n = V έχει expansion ratio h(x) = S min {S V S n/2} S., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 24/56

41 Expanders Παρατηρούµε ότι h > 0 αν και µόνο αν το X είναι συνεκτικό. Επίσης για οποιοδήποτε S µε S n/2 έχουµε ότι ϑs h S, οπότε αν το h δεν είναι µικρό το S έχει πολλούς γείτονες εκτός του S από όπου προκύπτει και το όνοµα expander (αυτό που εξαπλώνεται). Ορισµός Μία ακολουθία από k-κανονικά γραφήµατα {X j } έτσι ώστε V(X j ) για j ονοµάζεται οικογένεια expander γραφηµάτων αν υπάρχει ένα ɛ > 0 έτσι ώστε h(x j ) ɛ για κάθε j., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 25/56

42 Expanders Θεώρηµα Dodziuk, Alon, Milman Εστω X ένα k-κανονικό συνεκτικό γράφηµα. Τότε ισχύει: k λ 1 2 h(x) 2k(k λ 1 ). όπου λ 1 είναι η δεύτερη µεγαλύτερη ιδιοτιµή του πίνακα γειτνίασης. Θεώρηµα Alon Boppana Υποθέτουµε ότι η X n είναι µία ακολουθία k-κανονικών συνεκτικών γραφηµάτων και ότι ο αριθµός των κορυφών των X n τείνει στο άπειρο καθώς το n τείνει στο άπειρο. Τότε lim inf λ 1(X n ) 2 k 1 n, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 26/56

43 Ιδιότητες Ramanujan Γραφηµάτων Expander-mixing lemma Εστω X ένα συνεκτικό k-κανονικό µη διµερές γράφηµα µε n κορυφές και µ = max{ λ λ Spectrum A, λ k}. Τότε για όλα τα σύνολα S, T από κορυφές του X έχουµε ότι k S T E(S, T) n µ S T. Μικρή διαµέτρος Εστω το X ένα γράφηµα συνεκτικό, µη διµερές µε n κορυφές, τότε diamx 1 + log(n 1) log(k/µ)., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 27/56

44 Ιδιότητες Ramanujan Γραφηµάτων Expander-mixing lemma Εστω X ένα συνεκτικό k-κανονικό µη διµερές γράφηµα µε n κορυφές και µ = max{ λ λ Spectrum A, λ k}. Τότε για όλα τα σύνολα S, T από κορυφές του X έχουµε ότι k S T E(S, T) n µ S T. Μικρή διαµέτρος Εστω το X ένα γράφηµα συνεκτικό, µη διµερές µε n κορυφές, τότε diamx 1 + log(n 1) log(k/µ)., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 27/56

45 Ιδιότητες Ramanujan Γραφηµάτων-Τυχαίοι περίπατοι Ο τυχαίος περιπατητής χάνεται Εστω ένα γράφηµα X συνεκτικό µη διµερές k-κανονικό µε n κορυφές και πίνακα γειτνίασης A. Αν T = (1/k)A για κάθε αρχικό διάνυσµα πιθανότητας p (0) ισχύει ότι ( lim m p(m) = lim T m p (0) 1 = u = m n,, 1 ) t n Πόσο γρήγορα χάνεται ο περιπατητής Εστω X ένα συνεκτικό, µη διµερές k-κανονικό γράφηµα µε n κορυφές και πίνακα γειτνίασης A. Αν T = (1/k)A, για κάθε αρχικό διάνυσµα πιθανότητας p (0), έχουµε ότι T m p (0) u ( µ ) m n k, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 28/56

46 Υπαρξη και κατασκευασιµότητα Ramanujan Γραφηµάτων Τα γραφήµατα X p,q των Lubotzky,Phillips,Sarnak (1988) Τα X p,q είναι Cayley γραφήµατα της οµάδας G = PGL(2, F q ) = GL(2, F q )/Z(GL(2, F q )) όπου GL(2, F q ) είναι η οµάδα των 2 2 αντιστρέψιµων πινάκων µε στοιχεία στο σώµα µε q στοιχεία και Z(GL(2, F q ) το κέντρο της οµάδας που είναι το σύνολο των ϐαθµωτών πολλαπλασίων του ταυτοτικού πίνακα. Επιλέγουµε έναν ακέραιο i ώστε i 2 1 mod4. {( ) a0 + ia S = 1 a 2 + ia 3 a0 2 + a2 1 + a2 2 + a2 3 = p, a } 0 > 0, a 2 + ia 3 a 0 ia 1 a 1, a 2, a 3 άρτιοι Ενα ϑεώρηµα του Jacobi λέει ότι µε αυτές τις προυποθέσεις S = p + 1. Μπορούµε να ελέγξουµε ότι το S είναι κλειστό ως προς αντιστροφή πινάκων. Το γράφηµα X p,q είναι η συνεκτική συνιστώσα του Cayley γραφήµατος X(G, S) που περιέχει το ταυτοτικό στοιχείο., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 29/56

47 Υπαρξη και κατασκευασιµότητα Ramanujan Γραφηµάτων Τα γραφήµατα X p,q των Lubotzky,Phillips,Sarnak (1988) Τα X p,q είναι Cayley γραφήµατα της οµάδας G = PGL(2, F q ) = GL(2, F q )/Z(GL(2, F q )) όπου GL(2, F q ) είναι η οµάδα των 2 2 αντιστρέψιµων πινάκων µε στοιχεία στο σώµα µε q στοιχεία και Z(GL(2, F q ) το κέντρο της οµάδας που είναι το σύνολο των ϐαθµωτών πολλαπλασίων του ταυτοτικού πίνακα. Επιλέγουµε έναν ακέραιο i ώστε i 2 1 mod4. {( ) a0 + ia S = 1 a 2 + ia 3 a0 2 + a2 1 + a2 2 + a2 3 = p, a } 0 > 0, a 2 + ia 3 a 0 ia 1 a 1, a 2, a 3 άρτιοι Ενα ϑεώρηµα του Jacobi λέει ότι µε αυτές τις προυποθέσεις S = p + 1. Μπορούµε να ελέγξουµε ότι το S είναι κλειστό ως προς αντιστροφή πινάκων. Το γράφηµα X p,q είναι η συνεκτική συνιστώσα του Cayley γραφήµατος X(G, S) που περιέχει το ταυτοτικό στοιχείο., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 29/56

48 Γραφήµατα Ramanujan κάθε ϐαθµού (2013) Ο Morgenstern επέκτεινε την κατασκευή των Lubotzky,Phillips,Sarnak σε p a + 1-κανονικά Ramanujan γραφήµατα όπου p πρώτος και a N. Οι Adam Marcus, Daniel Spielman και Nikhil Srivastava απέδειξαν ότι υπάρχουν άπειρες οικογένειες διµερών Ramanujan γραφηµάτων για κάθε ϐαθµό d > 2. Η απόδειξη που παρέθεσαν είναι υπαρξιακή., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 30/56

49 Γραφήµατα Ramanujan κάθε ϐαθµού (2013) Ο Morgenstern επέκτεινε την κατασκευή των Lubotzky,Phillips,Sarnak σε p a + 1-κανονικά Ramanujan γραφήµατα όπου p πρώτος και a N. Οι Adam Marcus, Daniel Spielman και Nikhil Srivastava απέδειξαν ότι υπάρχουν άπειρες οικογένειες διµερών Ramanujan γραφηµάτων για κάθε ϐαθµό d > 2. Η απόδειξη που παρέθεσαν είναι υπαρξιακή., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 30/56

50 Συντελεστές της αντίστροφης της ζ-συνάρτησης του Ihara ζ X (u) 1 = det(i W 1 u) = c 0 + c 1 u + c 2 u 2 + c 3 u c 2m u 2m όπου m = E ο αριθµός των ακµών του γραφήµατος X. 1. c 0 = 1 2. c 2m = ( 1) m n v i V (d(v i) 1). 3. Το c 1 ισούται µε το αρνητικό του διπλασίου του πλήθους των ϐρόχων στο X. 4. Αν X απλό το c 3 ισούται µε το αρνητικό του διπλασίου του αριθµού των τριγώνων στο X. 5. Εστω g η περιφέρεια ενός απλού συνεκτικού γραφήµατος X, τότε, c k = 0 για 1 k < g. Επιπλέον το c g είναι το αρνητίκο του διπλασίου του πλήθους των g-γώνων στο X., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 31/56

51 Συντελεστές της αντίστροφης της ζ-συνάρτησης του Ihara Γενικότερα το c i είναι το πλήθος των υπογραφηµάτων του συµµετρικού διγραφήµατος D(X) µε i κορυφές που αποτελούνται από άρτιο αριθµό κλειστών µονοπατιών χωρίς πισογυρίσµατα, ουρές και επαναλήψεις ακµών µείον του πλήθους των υπογραφηµάτων του συµµετρικού διγραφήµατος D(X) µε i κορυφές που αποτελούνται από περιττό αριθµό κλειστών µονοπατιών χωρίς πισογυρίσµατα, ουρές και επαναλήψεις ακµών., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 32/56

52 Παραδείγµατα Σχήµα : ύο γραφήµατα µε την ίδια ζ-συνάρτηση αλλά διαφορετικούς αριθµούς κορυφών και συνεκτικών συνιστωσών., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 33/56

53 Παραδείγµατα Ξ Ψ Σχήµα : ύο γραφήµατα µε την ίδια ζ-συνάρτηση, το ένα έχει κύκλο Hamilton και το άλλο όχι., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 34/56

54 Θεωρία Galois σε Γραφήµατα Αδιακλάδιστα καλύµµατα Εστω ένα γράφηµα X χωρίς πολλαπλές ακµές και ϐρόχους. Θα λέµε ότι το γράφηµα Y είναι ένα αδιακλάδιστο κάλυµµα του γραφήµατος X αν υπάρχει µία απεικόνιση επικάλυψης π : Y X που είναι µία επί απεικόνιση γραφηµάτων ώστε για καθε x X και για κάθε y π 1 (x) οι κορυφές που είναι γειτονικές στο y Y να απεικονίζονται µία προς µία επί των γειτονικών κορυφών του x X. Ορισµός Ενα µη κατευθυνόµενο πεπερασµένο γράφηµα Y είναι ένα αδιακλάδιστο κάλυµµα του µη κατευθυνόµενου γραφήµατος X αν, δίνοντας έναν αυθαίρετο προσανατολισµό στις ακµές του X υπάρχει µια επιλογή προσανατολισµού για τις ακµές του Y και µια επί απεικόνιση επικάλυψης π : Y X που στέλνει τις γειτονίες του Y επί των γειτονιών του X και διατηρεί τον προσανατολισµό των ακµών., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 35/56

55 Θεωρία Galois σε Γραφήµατα Αδιακλάδιστα καλύµµατα Εστω ένα γράφηµα X χωρίς πολλαπλές ακµές και ϐρόχους. Θα λέµε ότι το γράφηµα Y είναι ένα αδιακλάδιστο κάλυµµα του γραφήµατος X αν υπάρχει µία απεικόνιση επικάλυψης π : Y X που είναι µία επί απεικόνιση γραφηµάτων ώστε για καθε x X και για κάθε y π 1 (x) οι κορυφές που είναι γειτονικές στο y Y να απεικονίζονται µία προς µία επί των γειτονικών κορυφών του x X. Ορισµός Ενα µη κατευθυνόµενο πεπερασµένο γράφηµα Y είναι ένα αδιακλάδιστο κάλυµµα του µη κατευθυνόµενου γραφήµατος X αν, δίνοντας έναν αυθαίρετο προσανατολισµό στις ακµές του X υπάρχει µια επιλογή προσανατολισµού για τις ακµές του Y και µια επί απεικόνιση επικάλυψης π : Y X που στέλνει τις γειτονίες του Y επί των γειτονιών του X και διατηρεί τον προσανατολισµό των ακµών., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 35/56

56 Κατασκεύη καλυµµάτων Σχήµα : Τετράεδρο και τετραγωνικό κάλυµµα, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 36/56

57 Κανονικά Καλύµµατα Μοναδικοτητα της ανύψωσης των µονοπατιών στα καλύµµατα. Υποθέτουµε ότι το Y είναι ένα κάλυµµα του X και C ένα µονοπάτι στο X. Τότε το C έχει µια µοναδική ανύψωση σε ένα µονοπάτι C στο Y, δεδοµένου ότι έχουµε επιλέξει την αρχική κορυφή του C. Κανονικά καλύµµατα Ενα κάλυµµα Y/X µε d-ϕύλλα και απεικόνιση επικάλυψης π : Y X λέµε ότι είναι ένα κανονικό ή Galois κάλυµµα αν υπάρχουν d αυτοµορφισµοί γραφηµάτων σ i : Y Y, i = 1,, d ώστε π σ i = π. Η οµάδα Galois G(Y/X) είναι το σύνολο των απεικονίσεων σ i µε πράξη την σύνθεση. Οταν λέµε αυτοµορφισµό γραφηµάτων εννοούµε µια ένα προς ένα και επί απεικόνιση µεταξύ των κορυφών και των κατευθυνόµενων ακµών του Y που διατηρεί τον προσανατολισµό., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 37/56

58 Κανονικά Καλύµµατα Μοναδικοτητα της ανύψωσης των µονοπατιών στα καλύµµατα. Υποθέτουµε ότι το Y είναι ένα κάλυµµα του X και C ένα µονοπάτι στο X. Τότε το C έχει µια µοναδική ανύψωση σε ένα µονοπάτι C στο Y, δεδοµένου ότι έχουµε επιλέξει την αρχική κορυφή του C. Κανονικά καλύµµατα Ενα κάλυµµα Y/X µε d-ϕύλλα και απεικόνιση επικάλυψης π : Y X λέµε ότι είναι ένα κανονικό ή Galois κάλυµµα αν υπάρχουν d αυτοµορφισµοί γραφηµάτων σ i : Y Y, i = 1,, d ώστε π σ i = π. Η οµάδα Galois G(Y/X) είναι το σύνολο των απεικονίσεων σ i µε πράξη την σύνθεση. Οταν λέµε αυτοµορφισµό γραφηµάτων εννοούµε µια ένα προς ένα και επί απεικόνιση µεταξύ των κορυφών και των κατευθυνόµενων ακµών του Y που διατηρεί τον προσανατολισµό., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 37/56

59 Κανονικά Καλύµµατα Μοναδικοτητα της ανύψωσης των µονοπατιών στα καλύµµατα. Υποθέτουµε ότι το Y είναι ένα κάλυµµα του X και C ένα µονοπάτι στο X. Τότε το C έχει µια µοναδική ανύψωση σε ένα µονοπάτι C στο Y, δεδοµένου ότι έχουµε επιλέξει την αρχική κορυφή του C. Κανονικά καλύµµατα Ενα κάλυµµα Y/X µε d-ϕύλλα και απεικόνιση επικάλυψης π : Y X λέµε ότι είναι ένα κανονικό ή Galois κάλυµµα αν υπάρχουν d αυτοµορφισµοί γραφηµάτων σ i : Y Y, i = 1,, d ώστε π σ i = π. Η οµάδα Galois G(Y/X) είναι το σύνολο των απεικονίσεων σ i µε πράξη την σύνθεση. Οταν λέµε αυτοµορφισµό γραφηµάτων εννοούµε µια ένα προς ένα και επί απεικόνιση µεταξύ των κορυφών και των κατευθυνόµενων ακµών του Y που διατηρεί τον προσανατολισµό., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 37/56

60 ράση της οµάδας Galois Εστω Y/X ένα κανονικό κάλυµµα. Η οµάδα Galois G = G(Y/X) δρά µεταβατικά στα ϕύλλα του καλύµµατος. ιαλέγουµε ένα από τα ϕύλλα του Y και το ονοµάζουµε ϕύλλο 1. Η εικόνα του ϕύλλου 1 κάτω από την δράση ενός στοιχείου g G ϑα ονοµάζεται ϕύλλο g. Συνεπώς κάθε κορυφή x στο Y µπορεί να συµβολίζεται µοναδικά µε x = (x, g), όπου x = π( x) και g είναι το ϕύλλο που περιέχει το x. Η οµάδα Galois G(Y/X) δρα στα ϕύλλα του Y µέσω του g ( ϕύλλο h) = ϕύλλο(gh): g (x, h) = (x, gh) για, x X, g, h G Συνεπάγεται ότι η δράση του g κινεί ένα µονοπάτι στο Y ως εξής : g (µονοπατι από το (a, h) στο (b, j) ) = µονοπάτι από το (a, gh) στο (b, gj)., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 38/56

61 ράση της οµάδας Galois Εστω Y/X ένα κανονικό κάλυµµα. Η οµάδα Galois G = G(Y/X) δρά µεταβατικά στα ϕύλλα του καλύµµατος. ιαλέγουµε ένα από τα ϕύλλα του Y και το ονοµάζουµε ϕύλλο 1. Η εικόνα του ϕύλλου 1 κάτω από την δράση ενός στοιχείου g G ϑα ονοµάζεται ϕύλλο g. Συνεπώς κάθε κορυφή x στο Y µπορεί να συµβολίζεται µοναδικά µε x = (x, g), όπου x = π( x) και g είναι το ϕύλλο που περιέχει το x. Η οµάδα Galois G(Y/X) δρα στα ϕύλλα του Y µέσω του g ( ϕύλλο h) = ϕύλλο(gh): g (x, h) = (x, gh) για, x X, g, h G Συνεπάγεται ότι η δράση του g κινεί ένα µονοπάτι στο Y ως εξής : g (µονοπατι από το (a, h) στο (b, j) ) = µονοπάτι από το (a, gh) στο (b, gj)., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 38/56

62 ράση της οµάδας Galois Εστω Y/X ένα κανονικό κάλυµµα. Η οµάδα Galois G = G(Y/X) δρά µεταβατικά στα ϕύλλα του καλύµµατος. ιαλέγουµε ένα από τα ϕύλλα του Y και το ονοµάζουµε ϕύλλο 1. Η εικόνα του ϕύλλου 1 κάτω από την δράση ενός στοιχείου g G ϑα ονοµάζεται ϕύλλο g. Συνεπώς κάθε κορυφή x στο Y µπορεί να συµβολίζεται µοναδικά µε x = (x, g), όπου x = π( x) και g είναι το ϕύλλο που περιέχει το x. Η οµάδα Galois G(Y/X) δρα στα ϕύλλα του Y µέσω του g ( ϕύλλο h) = ϕύλλο(gh): g (x, h) = (x, gh) για, x X, g, h G Συνεπάγεται ότι η δράση του g κινεί ένα µονοπάτι στο Y ως εξής : g (µονοπατι από το (a, h) στο (b, j) ) = µονοπάτι από το (a, gh) στο (b, gj)., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 38/56

63 Θεµελιώδες Θεώρηµα Galois Ορισµός Ας υποθέσουµε ότι το Y είναι ένα κάλυµµα του X µε απεικόνιση επικάλυψης π. Το γράφηµα X είναι ένα ενδιάµεσο κάλλυµα του Y/X αν το Y/ X είναι ένα κάλυµµα, το X/X είναι ένα κάλυµµα και οι προβολές επικάλυψης π 1 : X X και π2 : Y X έχουν την ιδιότητα ότι π = π 1 π 2. Ουσιαστικά, είναι η τριάδα ( X, π1, π 2 ) που ορίζει ένα ενδιάµεσο κάλυµµα., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 39/56

64 Θεµελιώδες Θεώρηµα Galois Ορισµός Ας υποθέσουµε ότι το Y είναι ένα κάλυµµα του X µε απεικόνιση επικάλυψης π. Το γράφηµα X είναι ένα ενδιάµεσο κάλλυµα του Y/X αν το Y/ X είναι ένα κάλυµµα, το X/X είναι ένα κάλυµµα και οι προβολές επικάλυψης π 1 : X X και π2 : Y X έχουν την ιδιότητα ότι π = π 1 π 2. Ουσιαστικά, είναι η τριάδα ( X, π1, π 2 ) που ορίζει ένα ενδιάµεσο κάλυµµα., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 39/56

65 Θεµελιώδες Θεώρηµα Galois-Ορισµοί Ορισµός Y π 2 π 2 X i π X π 1 X π 1 Ας υποθέσουµε ότι ο i είναι ένα ισοµορφισµός µεταξύ των X και X (που σηµαίνει ότι είναι ένα-προς -ένα και επί στις κορυφές και στις κατευθυνόµενες ακµές). Αν ισχύει π 1 = π 1 i ϑα λέµε ότι ο i είναι ένας ισοµορφισµός καλυµµάτων και τα X και X είναι ισόµορφα καλλύµµατα του X. Αν, επιπλέον, έχουµε ότι i π 2 = π 2 τότε λέµε ότι τα X και X είναι τα ίδια ή ίσα., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 40/56

66 Θεµελίώδες Θεώρηµα Galois Ας υποθέσουµε ότι το Y/X είναι ένα αδιακλάδιστο κανονικό κάλυµµα µε οµάδα Galois G = G(Y/X) 1. εδοµένης µίας υποοµάδας H της G, υπάρχει ένα γράφηµα X ενδιάµεσο στο Y/X έτσι ώστε H = G(Y/ X). Γράφουµε X = X(H). 2. Εστω X να είναι ενδιάµεσο στο Y/X. Τότε υπάρχει υποοµάδα H = H( X) της G ισόµορφη µε την G(Y/ X). 3. ύο ενδιάµεσα καλλύµατα X και X είναι ίσα αν και µόνον αν το H( X) = H( X ). 4. Εχουµε ότι H( X(H)) = H και X(H( X)) = X. Οπότε γράφουµε X H για την αντιστοιχία µεταξύ των X ενδιάµεσων καλυµµάτων στο Y/X και των υποοµάδων H της Galois οµάδας G = G(Y/X). 5. Αν X1 H 1 και X2 H 2 τότε το X1 είναι ενδιάµεσο στο Y/ X2 ανν H 1 H 2., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 41/56

67 Συζυγή ενδιάµεσα καλύµµατα Ορισµός Υποθέτουµε ότι έχουµε τις ακόλουθες αντιστοιχίες µεταξύ ενδιάµεσων καλυµµάτων και υποοµάδων του G : X H G X ghg 1 G g G τότε λέµε ότι τα X και X είναι συζυγή. Θεώρηµα Τα ενδιάµεσα καλύµµατα X και X στο Y/X µε οµάδα Galois G είναι συζυγή ανν είναι ισόµορφα. Θεώρηµα Το X είναι κανονικό κάλυµµα του X ανν η H είναι κανονική υποοµάδα της G, και σε αυτή την περίπτωση G( X/X) = G/H., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 42/56

68 Συζυγή ενδιάµεσα καλύµµατα Ορισµός Υποθέτουµε ότι έχουµε τις ακόλουθες αντιστοιχίες µεταξύ ενδιάµεσων καλυµµάτων και υποοµάδων του G : X H G X ghg 1 G g G τότε λέµε ότι τα X και X είναι συζυγή. Θεώρηµα Τα ενδιάµεσα καλύµµατα X και X στο Y/X µε οµάδα Galois G είναι συζυγή ανν είναι ισόµορφα. Θεώρηµα Το X είναι κανονικό κάλυµµα του X ανν η H είναι κανονική υποοµάδα της G, και σε αυτή την περίπτωση G( X/X) = G/H., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 42/56

69 Πρώτοι στα καλύµµατα Αν ο [D] είναι ένας πρώτος στο κάλυµµα Y/X µε προβολή επικάλυψης π και π(d) = C f όπου [C] είναι ένας πρώτος στο X, ϑα λέµε ότι ο [D] είναι ένας πρώτος του Y πάνω από το [C] ή, πιο απλά, ότι ο D είναι ένας πρώτος πάνω από τον C (γράφουµε D C). Το f = f(d, Y/X) ορίζεται ως ο ϐαθµός αδρανείας του D ως προς το Y/X. Αν το Y/X είναι κανονικό ο ϐαθµός του [D] πάνω από το C είναι ο ίδιος για όλα τα [D] πάνω από το C. Αυτό δεν ισχύει πάντα για µη κανονικές επεκτάσεις. Θα συµβολίσουµε µε g = g(d, Y/X) τον αριθµό των πρώτων [D] πάνω από το [C] Για κανονικά αδιακλάδιστα καλύµµατα ισχύει ότι fg = d. -, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 43/56

70 Πρώτοι στα καλύµµατα Αν ο [D] είναι ένας πρώτος στο κάλυµµα Y/X µε προβολή επικάλυψης π και π(d) = C f όπου [C] είναι ένας πρώτος στο X, ϑα λέµε ότι ο [D] είναι ένας πρώτος του Y πάνω από το [C] ή, πιο απλά, ότι ο D είναι ένας πρώτος πάνω από τον C (γράφουµε D C). Το f = f(d, Y/X) ορίζεται ως ο ϐαθµός αδρανείας του D ως προς το Y/X. Αν το Y/X είναι κανονικό ο ϐαθµός του [D] πάνω από το C είναι ο ίδιος για όλα τα [D] πάνω από το C. Αυτό δεν ισχύει πάντα για µη κανονικές επεκτάσεις. Θα συµβολίσουµε µε g = g(d, Y/X) τον αριθµό των πρώτων [D] πάνω από το [C] Για κανονικά αδιακλάδιστα καλύµµατα ισχύει ότι fg = d. -, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 43/56

71 Πρώτοι στα καλύµµατα Αν ο [D] είναι ένας πρώτος στο κάλυµµα Y/X µε προβολή επικάλυψης π και π(d) = C f όπου [C] είναι ένας πρώτος στο X, ϑα λέµε ότι ο [D] είναι ένας πρώτος του Y πάνω από το [C] ή, πιο απλά, ότι ο D είναι ένας πρώτος πάνω από τον C (γράφουµε D C). Το f = f(d, Y/X) ορίζεται ως ο ϐαθµός αδρανείας του D ως προς το Y/X. Αν το Y/X είναι κανονικό ο ϐαθµός του [D] πάνω από το C είναι ο ίδιος για όλα τα [D] πάνω από το C. Αυτό δεν ισχύει πάντα για µη κανονικές επεκτάσεις. Θα συµβολίσουµε µε g = g(d, Y/X) τον αριθµό των πρώτων [D] πάνω από το [C] Για κανονικά αδιακλάδιστα καλύµµατα ισχύει ότι fg = d. -, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 43/56

72 Ο αυτοµορφισµός Frobenius Ορισµός Αυτοµορφισµού Frobenius Υποθέτουµε ότι το Y/X είναι ένα κανονικό κάλυµµα µε οµάδα Galois G = Gal(Y/X). Εστω [C] ένας πρώτος στο X, έτσι ώστε το C ξεκινά και τερµατίζει στην κορυφή a. Εστω [D] ένας πρώτος του Y πάνω από το C έτσι ώστε το D ξεκινά και τερµατίζει στην κορυφή (a, g) στο ϕύλλο g G του Y. Αν ο ϐαθµός αδρανείας του D πάνω από το C είναι f τότε το D είναι η ανύψωση του C f που ξεκινά στο ϕύλλο g. Υποθέτουµε ότι το C ανυψώνεται σε ένα µονοπάτι C του Y που ξεκινά στο ϕύλλο g στο (a, g) και τελειώνει στο ϕύλλο h του (a, h). Ορίζουµε τον αυτοµορφισµό του Frobenius να είναι ( ) Y/X [Y/X, D] = = hg 1 G. D Για να πάρουµε την κανονικοποιµένη µορφή του αυτοµορφισµού Frobenius, αρκεί να πάρουµε g = 1, το ταυτοτικό της G., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 44/56

73 Η οµάδα ανάλυσης του D ως προς Y/X είναι Z(D) = Z(D, Y/X) = {τ G [τ D] = [D]}., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 45/56

74 Ιδιότητες του αυτοµορφισµού Frobenius 1. Για έναν πρώτο κύκλο D στο Y πάνω από το C στο X, ο αυτοµορφισµός Frobenius είναι ανεξάρτητος της επιλογής του D στην κλάση ισοδυναµίας του [D]. Οπότε µπορούµε να ορίσουµε τον [Y/X, [D]] = [Y/X, D]. 2. Η τάξη του [Y/X, D] στην G είναι ο ϐαθµός f = f(d, Y/X). 3. Αν τ G τότε [Y/X, τ D] = τ[y/x, D]τ Αν ο D ξεκινά στο ϕύλλο 1 τότε [Y/X, D] = σ(c), ο κανονικοποιηµένος αυτοµορφισµός Frobenius. 5. Η οµάδα Z(D) είναι η κυκλική υποοµάδα της G τάξης f που παράγεται από τον [Y/X, D]. Συγκεκριµένα, η Z(D) δεν εξαρτάται από την επιλογή του D στην κλαση ισοδυναµίας του [D]., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 46/56

75 Ιδιότητες του αυτοµορφισµού Frobenius για ενδιάµεσα καλύµµατα 1. Ας υποθέσουµε ότι το X είναι ένα ενδιάµεσο κάλυµµα του Y/X που αντιστοιχεί στην υποοµάδα H του G = G(Y/X). Εστω [D] µια κλάση ισοδυναµίας των πρώτων κύκλων του Y τέτοια ώστε το D να ϐρίσκεται πάνω από το C στο X. Εστω f = f(d, Y/X) = f1 f 2, όπου f 2 = f(d, Y/ X) και f1 = f( C, X/X). Τότε f1 είναι η ελάχιστη δύναµη του [Y/X, D] που ϐρίσκεται στην H, και έχουµε [Y/X, D] f1 = [Y/ X, D]. (3) 2. Αν, επιπλέον,το X είναι κανονικό πάνω από το X τότε ως στοιχείο του H\G έχουµε το [ X/X, C] = H[Y/X, D]., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 47/56

76 Artin-Ihara L-σειρές Ορισµός Υποθέτουµε ότι το Y είναι ένα κανονικό αδιακλάδιστο κάλυµµα του X µε οµάδα Galois G = G(Y/X). Αν ρ είναι είναι µία αναπαράσταση του G µε ϐαθµό d = d ρ και u είναι µια µιγαδική µεταβλητή µε u αρκούντως µικρό, ορίζουµε την Artin-Ihara L-συνάρτηση L(u, ρ, Y/X) = [C] ( det I ρ([y/x, D])u v(c)) 1, όπου το γινόµενο διατρέχει τους πρώτους [C] του X και [D] είναι αυθαίρετα επιλεγµένο από τους πρώτους στο Y πάνω από το C. Εδώ [Y/X, D] είναι ο αυτοµορφισµός Frobenius και v(c) το µήκος του µονοπατιού C αντιπροσώπου του πρώτου [C] Ισχύει ότι L(u, 1, Y/X) = ζ X (u), Η ζ-συνάρτηση του Ihara 48/56

77 L-συναρτήσεις -Τύπος µε ορίζουσα Ορισµός Ορίζουµε τον Artinized πινακα γειτνίασης να είναι ο πίνακας που κατασκευάζεται από block d ρ d ρ που αντιστοιχούν στις κατευθυνόµενες ακµές e, f, όπου το block (W 1,ρ ) e,f που αντιστοιχεί στις ακµές e, f είναι το { ρ(σ(e)) αν t(e) = o(f) (W 1,ρ ) e,f = (W 1 ) e,f ρ(σ(e)) = 0 διαφορετικά, όπου ο σ(e) είναι ο κανονικοποιηµένος αυτοµορφισµός Frobenius που αντιστοιχεί στην κατευθυνόµενη ακµή e και W 1 είναι ο πίνακας ακµών του X. Θεώρηµα Ισχύει ότι L(u, ρ, Y/X) 1 = det(i uw 1,ρ )., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 49/56

78 Ιδιότητες της Artin-Ihara L-συνάρτησης Εστω Y/X ένα κανονικό κάλυµµα µε οµάδα Galois G. Τότε: 1. L(u, ρ 1 ρ 2 ) = L(u, ρ 1 )L(u, ρ 2 ). 2. Εστω ότι X ένα ενδιάµεσο κάλυµµα στο Y/X και υποθέτουµε ότι X/X είναι κανονικό, G = Gal(Y/X), H = Gal(Y/ X). Εστω ρ η αναπαράσταση της G/H = Gal( X/X). Οπότε η ρ µπορεί να ειδωθεί ως µία αναπαράσταση της G (η ανύψωση της ρ). Τότε L(u, ρ, Y/X) = L(u, ρ, X/X) 3. (επαγωγική ιδιότητα) Αν X είναι ένα ενδιάµεσο κάλυµµα στο κανονικό κάλυµµα Y/X και ρ είναι µία αναπαράσταση του H = Gal(Y/ X) ϑα συµβολίζουµε µε ρ # = Ind G H ρ την αναπαράσταση που επάγεται από την ρ από την H στην G. Τότε L(u, ρ #, Y/X) = L(u, ρ, Y/ X) Εδώ δεν υποθέτουµε ότι το X είναι κανονικό πάνω από το X., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 50/56

79 Η παραγοντοποίηση της ζ-συνάρτησης του Ihara Πόρισµα Υποθέτουµε ότι το Y/X είναι κανονικό µε Galois οµάδα G = G(Y/X). Εστω Ĝ να είναι ένα πλήρες σύνολο από µη ισοδύναµες ανάγωγες µοναδιαίες αναπαραστάσεις της G. Τότε ζ Y (u) = L(u, 1, Y/Y) = ρ Ĝ L(u, ρ, Y/X) dρ., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 51/56

80 Artinized πίνακας γειτνίασης Για σ, τ G και κορυφές a, b X, ορίζουµε τον πίνακα A(σ, τ) να είναι ο n n πίνακας µε στοιχείο A(σ, τ) a,b ίσο µε τον αριθµό των κατευθυνόµενων ακµών στο Y από το (a, σ) στο (b, τ). Εδώ σε κάθε µη κατευθυνόµενη ακµή του Y δίνουµε και τις δύο κατευθύνσεις. A(σ, τ) = A(1, σ 1 τ) A(σ 1 τ) Για µία αναπαράσταση ρ της G(Y/X), ορίζουµε τον Artinized πίνακα γειτνίασης A ρ ως A ρ = σ G A(σ) ρ(σ). επίσης ϑέτουµε Q ρ = Q I d, όπου Q είναι ο V(X) V(X) διαγώνιος πίνακας µε στοιχεία της διαγωνίου που αντιστοιχούν στις ενδιάµεσες ακµές που αντιστοιχούν στο a X και δίνονται απο το q a = (ϐαθµος του a) 1 και d είναι ο ϐαθµός της ρ., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 52/56

81 Artinized πίνακας γειτνίασης Για σ, τ G και κορυφές a, b X, ορίζουµε τον πίνακα A(σ, τ) να είναι ο n n πίνακας µε στοιχείο A(σ, τ) a,b ίσο µε τον αριθµό των κατευθυνόµενων ακµών στο Y από το (a, σ) στο (b, τ). Εδώ σε κάθε µη κατευθυνόµενη ακµή του Y δίνουµε και τις δύο κατευθύνσεις. A(σ, τ) = A(1, σ 1 τ) A(σ 1 τ) Για µία αναπαράσταση ρ της G(Y/X), ορίζουµε τον Artinized πίνακα γειτνίασης A ρ ως A ρ = σ G A(σ) ρ(σ). επίσης ϑέτουµε Q ρ = Q I d, όπου Q είναι ο V(X) V(X) διαγώνιος πίνακας µε στοιχεία της διαγωνίου που αντιστοιχούν στις ενδιάµεσες ακµές που αντιστοιχούν στο a X και δίνονται απο το q a = (ϐαθµος του a) 1 και d είναι ο ϐαθµός της ρ., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 52/56

82 ϑεώρηµα Ihara-Bass για L-συναρτήσεις Η block διαγωνόποίηση του πίνακα γειτνίασης ενός κανονικού καλύµµατος Υποθέτουµε ότι το Y/X είναι κανονικό µε οµάδα Galois G = G(Y/X). Εστω Ĝ ένα πλήρες σύνολο από µη ισοδύναµες, ανάγωγες, µοναδιαίες αναπαραστάσεις του G. Τότε µπορούµε να γράψουµε τον πίνακα γειτνίασης του Y ως block διαγώνιο πίνακα µε block τους πίνακες A ρ, ο καθένας επαναλαµβανόµενος d ρ ϕορές καθώς οι ρ διατρέχουν το Ĝ Θεώρηµα Με τις παραπάνω υποθέσεις και όρισµους έχουµε L(u, ρ, Y/X) 1 = (1 u 2 ) r 1 det(i A ρ + Q ρ u 2 ). Εδώ r είναι ο ϐαθµός της ϑεµελιώδους οµάδας του X, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 53/56

83 Η περίπτωση των 2-καλλυµάτων Αν το Y/X είναι ένα 2-κάλυµµα τότε ο πίνακας γειτνίασης A Y µπορεί να γραφεί ως διαγώνιος δύο block πίνακας, ένα block το A X (ο πίνακας γειτνίασης του X) και ένα άλλο block το A A. Ο πίνακας A A έχει ως στοιχεία που αντιστοιχουν σε δύο κορυφές a, b του X τα: αν οι a και b ενώνονται µε µία ακµή στο X η οποία (A A ) a,b = +1 1 ανυψώνεται σε µία ακµή του Y της οποίας τα άκρα ϐρίσκονται στο ίδιο ϕύλλο αν οι a και b ενώνονται µε µία ακµή στο X η οποία ανυψώνεται σε µία ακµή του Y της οποίας τα άκρα ϐρίσκονται σε διαφορετικό ϕύλλο 0 αν οι a και b δεν ενώνονται µε ακµή στο X, Η ζ-συνάρτηση του Ihara 54/56

84 Εικασία των Bilu, Linial Κάθε d-κανονικό γράφηµα X έχει ένα 2-κάλυµµα Y έτσι ώστε SpectrumA Y SpectrumA X [ 2 d 1, 2 d 1 ] όπου A Y είναι ο πίνακας γειτνίασης του Y. Μία εικασία που αφορά το ϕάσµα ιδιοτιµών του πίνακα A A. Για διµερή γραφήµατα Απρίλιος (2013) από τους οι Adam Marcus, Daniel Spielman και Nikhil Srivastava κάτι που αποδεικνύει ότι υπάρχουν άπειρες οικογένειες Ramanujan γραφηµάτων για κάθε d ξεκινώντας από το πλήρες d-κανονικό διµερές γράφηµα, που ως γνωστόν είναι Ramanujan αφού οι ιδιοτιµές του εκτός των d και d είναι 0, και ανυψώνοντας κατάλληλα. Ωστόσο η απόδειξη που έδωσαν είναι υπαρξιακή και έτσι δεν µας δείνει ακόµα αλγόριθµο για αυτό., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 55/56

85 Εικασία των Bilu, Linial Κάθε d-κανονικό γράφηµα X έχει ένα 2-κάλυµµα Y έτσι ώστε SpectrumA Y SpectrumA X [ 2 d 1, 2 d 1 ] όπου A Y είναι ο πίνακας γειτνίασης του Y. Μία εικασία που αφορά το ϕάσµα ιδιοτιµών του πίνακα A A. Για διµερή γραφήµατα Απρίλιος (2013) από τους οι Adam Marcus, Daniel Spielman και Nikhil Srivastava κάτι που αποδεικνύει ότι υπάρχουν άπειρες οικογένειες Ramanujan γραφηµάτων για κάθε d ξεκινώντας από το πλήρες d-κανονικό διµερές γράφηµα, που ως γνωστόν είναι Ramanujan αφού οι ιδιοτιµές του εκτός των d και d είναι 0, και ανυψώνοντας κατάλληλα. Ωστόσο η απόδειξη που έδωσαν είναι υπαρξιακή και έτσι δεν µας δείνει ακόµα αλγόριθµο για αυτό., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 55/56

86 Εικασία των Bilu, Linial Κάθε d-κανονικό γράφηµα X έχει ένα 2-κάλυµµα Y έτσι ώστε SpectrumA Y SpectrumA X [ 2 d 1, 2 d 1 ] όπου A Y είναι ο πίνακας γειτνίασης του Y. Μία εικασία που αφορά το ϕάσµα ιδιοτιµών του πίνακα A A. Για διµερή γραφήµατα Απρίλιος (2013) από τους οι Adam Marcus, Daniel Spielman και Nikhil Srivastava κάτι που αποδεικνύει ότι υπάρχουν άπειρες οικογένειες Ramanujan γραφηµάτων για κάθε d ξεκινώντας από το πλήρες d-κανονικό διµερές γράφηµα, που ως γνωστόν είναι Ramanujan αφού οι ιδιοτιµές του εκτός των d και d είναι 0, και ανυψώνοντας κατάλληλα. Ωστόσο η απόδειξη που έδωσαν είναι υπαρξιακή και έτσι δεν µας δείνει ακόµα αλγόριθµο για αυτό., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 55/56

87 Ερευνητικές Προτάσεις. 1. Γενίκευση Εικασίας Bilu-Linial- Ανάλογη απόδειξη-καλύµµατα µε κυκλικές ή τάξης πρώτου οµάδες Galois- Κατασκευασιµότητα- ιερεύνηση της ύπαρξης k-κανονικών Ramanujan γραφηµάτων για πλήθος κορυφών > k Αν εξειδικεύσω τις ακµές της edge ζ-συνάρτησης κατά στήλες έχω πλήρη αναλοίωτη; 3. Τυπικά Απειρογινόµενα- Ερωτήσεις -Ramanujan γραφήµατα 4. Μεταφορά Θεωρίας Number Fields-Function Fields σε γραφήµατα (π.χ. Νοµος τετραγωνικής Αντιστροφής -Κυκλοτοµικά καλύµµατα κτλ.) 5. Αρθρο Cioba-Murty Expander graphs and gaps between primes και ϕραγµένα διαστήµατα διαδοχικών πρώτων (Κατασκευαστική)., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 56/56

88 Ερευνητικές Προτάσεις. 1. Γενίκευση Εικασίας Bilu-Linial- Ανάλογη απόδειξη-καλύµµατα µε κυκλικές ή τάξης πρώτου οµάδες Galois- Κατασκευασιµότητα- ιερεύνηση της ύπαρξης k-κανονικών Ramanujan γραφηµάτων για πλήθος κορυφών > k Αν εξειδικεύσω τις ακµές της edge ζ-συνάρτησης κατά στήλες έχω πλήρη αναλοίωτη; 3. Τυπικά Απειρογινόµενα- Ερωτήσεις -Ramanujan γραφήµατα 4. Μεταφορά Θεωρίας Number Fields-Function Fields σε γραφήµατα (π.χ. Νοµος τετραγωνικής Αντιστροφής -Κυκλοτοµικά καλύµµατα κτλ.) 5. Αρθρο Cioba-Murty Expander graphs and gaps between primes και ϕραγµένα διαστήµατα διαδοχικών πρώτων (Κατασκευαστική)., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 56/56

89 Ερευνητικές Προτάσεις. 1. Γενίκευση Εικασίας Bilu-Linial- Ανάλογη απόδειξη-καλύµµατα µε κυκλικές ή τάξης πρώτου οµάδες Galois- Κατασκευασιµότητα- ιερεύνηση της ύπαρξης k-κανονικών Ramanujan γραφηµάτων για πλήθος κορυφών > k Αν εξειδικεύσω τις ακµές της edge ζ-συνάρτησης κατά στήλες έχω πλήρη αναλοίωτη; 3. Τυπικά Απειρογινόµενα- Ερωτήσεις -Ramanujan γραφήµατα 4. Μεταφορά Θεωρίας Number Fields-Function Fields σε γραφήµατα (π.χ. Νοµος τετραγωνικής Αντιστροφής -Κυκλοτοµικά καλύµµατα κτλ.) 5. Αρθρο Cioba-Murty Expander graphs and gaps between primes και ϕραγµένα διαστήµατα διαδοχικών πρώτων (Κατασκευαστική)., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 56/56

90 Ερευνητικές Προτάσεις. 1. Γενίκευση Εικασίας Bilu-Linial- Ανάλογη απόδειξη-καλύµµατα µε κυκλικές ή τάξης πρώτου οµάδες Galois- Κατασκευασιµότητα- ιερεύνηση της ύπαρξης k-κανονικών Ramanujan γραφηµάτων για πλήθος κορυφών > k Αν εξειδικεύσω τις ακµές της edge ζ-συνάρτησης κατά στήλες έχω πλήρη αναλοίωτη; 3. Τυπικά Απειρογινόµενα- Ερωτήσεις -Ramanujan γραφήµατα 4. Μεταφορά Θεωρίας Number Fields-Function Fields σε γραφήµατα (π.χ. Νοµος τετραγωνικής Αντιστροφής -Κυκλοτοµικά καλύµµατα κτλ.) 5. Αρθρο Cioba-Murty Expander graphs and gaps between primes και ϕραγµένα διαστήµατα διαδοχικών πρώτων (Κατασκευαστική)., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 56/56

91 Ερευνητικές Προτάσεις. 1. Γενίκευση Εικασίας Bilu-Linial- Ανάλογη απόδειξη-καλύµµατα µε κυκλικές ή τάξης πρώτου οµάδες Galois- Κατασκευασιµότητα- ιερεύνηση της ύπαρξης k-κανονικών Ramanujan γραφηµάτων για πλήθος κορυφών > k Αν εξειδικεύσω τις ακµές της edge ζ-συνάρτησης κατά στήλες έχω πλήρη αναλοίωτη; 3. Τυπικά Απειρογινόµενα- Ερωτήσεις -Ramanujan γραφήµατα 4. Μεταφορά Θεωρίας Number Fields-Function Fields σε γραφήµατα (π.χ. Νοµος τετραγωνικής Αντιστροφής -Κυκλοτοµικά καλύµµατα κτλ.) 5. Αρθρο Cioba-Murty Expander graphs and gaps between primes και ϕραγµένα διαστήµατα διαδοχικών πρώτων (Κατασκευαστική)., Η ζ-συνάρτηση του Ihara 56/56

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013

834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 Περιεχόμενα 1 Βασικές Έννοιες 1 1.1 Ορισμοί - παραδείγματα.............................. 1 1.2 Υποομάδες και Σύμπλοκα..............................

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Γράφηµα (Graph) Εργαστήριο 10. Εισαγωγή

Γράφηµα (Graph) Εργαστήριο 10. Εισαγωγή Εργαστήριο 10 Γράφηµα (Graph) Εισαγωγή Στην πληροφορική γράφηµα ονοµάζεται µια δοµή δεδοµένων, που αποτελείται από ένα σύνολο κορυφών ( vertices) (ή κόµβων ( nodes» και ένα σύνολο ακµών ( edges). Ενας

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94.

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94. ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΤΟΜΟΣ Α ΤΟΜΟΣ Β ΑΓΓΛΙΚΗ Γράφημα, Γράφος, Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94 11 κορυφών και ένα σύνολο ακμών.

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα Αλγεβρικες οµες Ι Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 4 εκεµβρίου 2012

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Πίνακες ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας και της άλγεβρας των πινάκων. Το ϕυλλάδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13.1.2013 Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ 1 Γενικά Η ψηφιακή υπογραφή είναι µια µέθοδος ηλεκτρονικής υπογραφής όπου ο παραλήπτης ενός υπογεγραµµένου ηλεκτρονικού µηνύµατος µπορεί να διαπιστώσει τη γνησιότητα του,

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27)

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: ίκτυα ροής και το πρόβληµα της µέγιστης ροής Η µεθοδολογία Ford-Fulkerson Ο αλγόριθµος Edmonds-Karps ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Ευχαριστώ ιδιαίτερα τη ϕοιτήτριά µου Μαρίνα Παλαιστή για τη µεταφορά του χειρογράφου µου σε κείµενο "tex" Κεφάλαιο 1 Βασικές Ιδιότητες Ισοδυναµιών Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο

ιανύσµατα στον 2-διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο Κεφάλαιο 3 ιανύσµατα στον -διάστατο και στον 3-διάστατο χώρο 3.1 Εισαγωγή στα ιανύσµατα (Γεωµετρική) Πολλές ϕυσικές ποσότητες, όπως το εµβαδόν, το µήκος, η µάζα και η ϑερµοκρασία, περιγράφονται πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Η Υποθεση του Riemann

Η Υποθεση του Riemann Η Υποθεση του Riemann Πτυχιακη Εργασια Νικολεντζος Πολυχρονης Α.Μ.: 311/2003066 Εισηγητης : Κοντογεωργης Αριστειδης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αιγαιου Καρλοβασι, 2008 Εξεταστικη Επιτροπη: Ανούσης

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

= L = L = L ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

= L = L = L ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ΟΜΑ ΕΣ Σηµείωση Χρήσιµο είναι ο αναγνώστης να έχει υπόψη του τα παρατιθέµενα στην ενότητα Σύνολα, 7 Βασικό παράδειγµα οµάδας µε πεπερασµένο πλήθος στοιχεία, αποτελεί το σύνολο των µεταθέσεων στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους

Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους Άσκηση 10.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστα Γεννητορικά ένδρα

Ελάχιστα Γεννητορικά ένδρα λάχιστα Γεννητορικά ένδρα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος του Prim και ο αλγόριθµος του Kruskal για εύρεση λάχιστων Γεννητορικών ένδρων ΠΛ 23 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικες Μορφες Λογαριθµων Αλγεβρικων Αριθµων και Εφαρµογες

Γραµµικες Μορφες Λογαριθµων Αλγεβρικων Αριθµων και Εφαρµογες Γραµµικες Μορφες Λογαριθµων Αλγεβρικων Αριθµων και Εφαρµογες Νικόλαος Κατσίπης Μεταπτυχιακή Εργασία Επιβλέπων Καθηγητής Ν.Γ. Τζανάκης Τµήµα Μαθηµατικών - Πανεπιστήµιο Κρήτης Φθινοπωρινό εξάµηνο 2007 έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα