125 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ

Transcript

1 125 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ. Ελεύθερη απόδοση δραστηριοτήτων απο το ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ και ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ. 1

2 1. Μπορείς να τρέξεις τόσο γρήγορα όσο ένα αυτοκίνητο; Υπολόγισε αυτό! Κατά τη διάρκεια των 100 μέτρων ταχύτητας στους Ολυμπιακούς Αγώνες της Σεούλ το 1988, η δρομέας, Florence Griffith Joyner χρονομετρήθηκε με 0,91 δευτερόλεπτα για 10 μέτρα. Με αυτή τη ταχύτητα μπορούσε να ξεπεράσει ένα αυτοκίνητο που ταξιδεύει με 15 μίλια ανά ώρα, σε μία σχολική ζώνη; Υπόδειξη: Πόσα μέτρα κάνει σε 1 μίλι; Πόσα δευτερόλεπτα σε μία ώρα; Η μετατροπή μεταξύ μονάδων μέτρησης απαιτείται από την κουζίνα μιας νοικοκυράς, μέχρι τα εργαστήρια των επιστημόνων. Οι σεφ, οι ξυλουργοί, οι επιστήμονες και οι μηχανικοί, όλοι μετατρέπουν τις μονάδες μέτρησης στις δουλειές τους. Απάντηση: Η ταχύτητά της θα ήταν περίπου 24,6 μίλια ανά ώρα θα μπορούσε να ξεπεράσει το αυτοκίνητο. Προετοιμάσου: Υπάρχουν 2,54 εκατοστά σε μία ίντσα και πόδια σε ένα μίλι. Ένα μίλι, είναι 1,6094 χιλιόμετρα. Πόσα εκατοστά είναι σε ένα μέτρο; Πόσες ίντσες είναι σε ένα πόδι; Σε ένα μίλι; Πόσα μίλια κάνει σε μία ώρα; Ολοκληρωμένη λύση: Μία μέθοδος για μετατροπή μεταξύ μέτρων ονομάζεται ανάλυση διαστάσεων. Οι μετατροπές μεταξύ των μέτρων γράφονται σαν κλάσματα, έτσι ώστε οι κοινές μονάδες να διαγράφονται. 2

3 10μ * 100εκατ * 1ίντσα * 1πόδι * 1μίλι * 60δευτ * 60λεπτά = 24,6 0,91δευτ 1μ 2,54εκ 12ίντσες 5.280πόδια 1λεπτό 1ώρα μίλ/ώρα Ο ρυθμός της είναι περίπου 24,6 μίλια ανά ώρα και θα μπορούσε εύκολα να ξεπεράσει ένα αυτοκίνητο που πηγαίνει με ρυθμό 15 μιλίων ανά ώρα. Δοκίμασε αυτό: Πολλά λεξικά περιέχουν πίνακες μετατροπών για μέτρα. Βρες ένα πίνακα μετατροπής και εξέτασέ τον. Είναι κάποια από τις μετατροπές γνωστές σε εσένα; Κοίταξε σε μία εφημερίδα ή στο δίκτυο για τους πρόσφατους ρυθμούς συναλλάγματος. Πώς θα μπορούσες να χρησιμοποιήσεις τις πληροφορίες που βρήκες για να μετατρέψεις τις ισπανικές πεσέτες σε γιαπωνέζικα γιέν; Σύγκρινε το μέγεθος ενός λίτρου και ενός τετάρτου του γαλονιού. Βάλε κάποιον να σε χρονομετρήσει, πόσο χρόνο σου παίρνει για να περπατήσεις 10 γιάρδες (μία γιάρδα ισούται με 0,9144 μέτρα) ; Πόσα χιλιόμετρα μπορείς να κάνεις σε μία ώρα με αυτό το ρυθμό; Επιπρόσθετες προκλήσεις. 1. Ένα στρώμα ύπνου με νερό είναι 84 ίντσες μακρύ, 60 ίντσες φαρδύ και 8 ίντσες βαθύ. Υπάρχουν 231 κυβικές ίντσες σε ένα γαλόνι. Πόσα γαλόνια νερού χρειάζονται για να γεμίσεις το στρώμα νερού; (Απάντηση: περίπου 175 γαλόνια) 2. Σύμφωνα με το περιοδικό Φυσικής Ιστορίας, η τσίτα είναι το γρηγορότερο ζώο στον κόσμο με ταχύτητα πόδια ανά λεπτό. Πόσα μίλια ανά ώρα είναι αυτό; (Απάντηση: 70 μίλια ανά ώρα) 3. Εάν η θερμοκρασία έξω είναι 20 ο βαθμούς Κελσίου, θα χρειαστεί να φορέσεις μπουφάν; (Απάντηση: όχι γιατί η θερμοκρασία είναι 68 ο Fahrenheit). Πράγματα για να σκεφτείς. 3

4 Ποιο σύστημα μέτρησης χρησιμοποιείται στους διεθνείς διαγωνισμούς στίβου και γηπέδου; Ο Roger Bannister, ένας Βρετανός Φυσικός κατέρριψε το μίλι των τεσσάρων λεπτών το Θα μπορέσει κάποιος να κάνει ένα μίλι σε τρία λεπτά; Υπάρχει κάποιο όριο στο ποσό του χρόνου που απαιτείται για να τρέξει κάποιος ένα μίλι; Εάν ναι, πότε νομίζεις ότι μπορεί να πλησιαστεί; Γιατί οι ταχύτητες στα 100 μέτρα ή στα 200 μέτρα αγώνων ταχύτητας αναφέρονται σε μέτρα / δευτερόλεπτα αντί για χιλιόμετρα / ώρα; Τα σαρκοφάγα ζώα, όπως η τσίτα, το λιοντάρι και η ύαινα, τρέχουν γρηγορότερα, από τα περισσότερα άλλα ζώα. Γιατί; Το ήξερες αυτό; Από το 1984, τα αθλήματα που αφορούσαν το τρέξιμο στους Ολυμπιακούς αγώνες, χρονομετρήθηκαν σε εκατοστά του δευτερολέπτου λόγω των ηλεκτρονικών συσκευών χρονομέτρησης. Οι Ηνωμένες Πολιτείες της Αμερικής είναι η μοναδική αναπτυγμένη χώρα που δεν χρησιμοποιεί το μετρικό σύστημα για τις κύριες μονάδες μέτρησης. Σχεδόν όλες οι επιστημονικές μετρήσεις γίνονται χρησιμοποιώντας μετρικές μονάδες. Το μετρικό σύστημα βασίζεται στο δεκαδικό σύστημα (μονάδες των 10) και ακολουθεί ένα σταθερό ονομαζόμενο σχέδιο χρησιμοποιώντας προθέματα. Η διεθνής διοίκηση αεροναυτικής και διαστήματος των Ηνωμένων Πολιτειών (ΝΑΣΑ) ξόδεψε 125εκατ. δολάρια σε ένα διαστημόπλοιο που πετούσε με 416 εκατομμύρια μίλια πάνω από 9 ½ μήνες πριν προσκρούσει στον Άρη. Το διαστημόπλοιο συνετρίβει λόγω ενός λάθους του προμηθευτή στην μετατροπή λιβρών δύναμης σε μία άλλη μονάδα δύναμης που ονομάζεται νιούτονς. Το ένα νιούτον είναι το σύνολο της δύναμης που απαιτείται για να επιταχυνθεί ένα χιλιογραμμάριο μάζας, ένα μέτρο ανά δευτερόλεπτο κάθε δευτερόλεπτο. Πολλά αυτοκίνητα και φορτηγά απαιτούν μετρικά μηχανήματα για την διατήρηση. Ένα τετραγωνικό εκατοστό (1cm 2 ) είναι περίπου το μέγεθος από το μικρό νύχι του δάχτυλού σου. Η μάζα ενός κυβικού νερού σε σταθερή θερμοκρασία και πίεση είναι 1 γραμμάριο. 4

5 Το σύστημα μετατροπής της μέτρησης των Ηνωμένων Πολιτειών είναι μία αλλαγμένη εκδοχή του Βρετανικού Βασιλικού Συστήματος, που δεν χρησιμοποιείται πλέον. Από την 1 η Ιανουαρίου του 2000 είναι παράπτωμα στην Μεγάλη Βρετανία να πουλάς τα περισσότερα πακεταρισμένα και ελεύθερα προïόντα χρησιμοποιώντας βασιλικές μετρήσεις (ίντσες, λίβρες κ.λ.π). Μια εξαίρεση γίνεται στα πολύτιμα μέταλλα. Μία από τις λίγες Βρετανικές Βασιλικές μονάδες μέτρησης που παραμένει παγκόσμια σε χρήση είναι το βαρέλι, ειδικά για το πετρέλαιο. 5

6 2. Τι σχήμα έχει η κορυφή ενός σωλήνα πυρκαγιάς; Υπολόγισε αυτό! Η βαλβίδα ελέγχου ενός σωλήνα πυρκαγιάς έχει 5 πλευρές ίσου μήκους και 5 γωνίες ίσης μέτρησης. Πολλά οικιακά γαλλικά κλειδιά δε μπορούν να στρέψουν αυτές τις βαλβίδες. Γιατί όχι; Υπόδειξη: Σκέψου ένα συνηθισμένο οικιακό κλειδί. Τα περισσότερα γαλλικά κλειδιά έχουν δύο παράλληλες πλευρές. Οι πλευρές είναι ίσες. Τα γεωμετρικά σχήματα πολλών αντικειμένων σχετίζονται με τη χρησιμότητά τους. Για παράδειγμα, τα στρόγγυλα λάστιχα παράγουν μία ομαλή διαδρομή και τα φτερά των αεροπλάνων είναι σχεδιασμένα για να παρέχουν ανύψωση. Απάντηση. Τα περισσότερα οικιακά γαλλικά κλειδιά δεν θα χρησίμευαν για τις βαλβίδες ενός σωλήνα πυρκαγιάς επειδή δεν υπάρχουν παράλληλες πλευρές στην πεντάπλευρη (πενταγωνική) έννοια. Προετοιμάσου! Ζωγράφισε ένα τετράγωνο. Είναι κάποιες πλευρές παράλληλες; Αν ήταν βίδα θα την άνοιγε ένα γαλλικό οικιακό κλειδί; Έχει οποιοδήποτε σχήμα με τέσσερις πλευρές το ίδιο μήκος που έχουν οι παράλληλες πλευρές του; Ένα σχήμα με πέντε πλευρές έχουν το ίδιο μήκος οι παράλληλες πλευρές; Τι λες για ένα σχήμα με πέντε πλευρές; Έχουν το ίδιο μήκος οι παράλληλες πλευρές και οι πέντε γωνίες είναι του ίδιου μεγέθους; 6

7 Ολοκληρωμένη λύση: Όλες οι γωνίες από μία βαλβίδα στην κορυφή ενός σωλήνα πυρκαγιάς είναι του ίδιου μεγέθους. Οι πέντε πλευρές έχουν ίσο μήκος. (Η κορυφαία βαλβίδα είναι ένα κανονικό πεντάγωνο). Κανένα πεντάπλευρο σχήμα με αυτά τα χαρακτηριστικά δε μπορεί να έχει παράλληλες πλευρές. Αυτό σημαίνει πως ένα συνηθισμένο οικιακό γαλλικό κλειδί δε θα ταίριαζε. Αυτό το σχέδιο κάνει άνοιγμα των σωλήνων πυρκαγιάς δύσκολο χωρίς τα ειδικά γαλλικά κλειδιά που έχουν οι πυροσβέστες. Δοκίμασε αυτό! Δέσε ένα κόμπο σε μία μακριά, λεπτή λωρίδα χαρτιού. Προσεκτικά κάνε επίπεδο τον κόμπο έτσι ώστε το τελικό σχήμα να έχει ίσο μήκος πλευρών. Κόψε το χαρτί που περισσεύει. Τι σχήμα έφτιαξες; Κοίτα έξω από ένα παράθυρο και περιέγραψε όλα τα ζεύγη παράλληλων γραμμών που βλέπεις. Επιπρόσθετες προκλήσεις. 1. Τι σχήματα βιδών μπορούν να βιδωθούν με ένα κοινό οικιακό γαλλικό κλειδί; (Απάντηση: κάθε σχήμα με ένα τουλάχιστον ζευγάρι παράλληλων πλευρών συμπεριλαμβάνοντας τα τετράγωνα και τα εξάγωνα τα πιο συνηθισμένα σχήματα). 2. Θα ήταν ευκολότερο να χρησιμοποιήσεις ένα γαλλικό κλειδί, εάν οι πλευρές από μία εξάπλευρη βίδα έχουν όλες το ίδιο μήκος; (Απάντηση: οι βίδες με πλευρές ίδιου μήκους, θα ήταν ευκολότερες, επειδή θα μπορούσες να χρησιμοποιήσεις το κλειδί, για καθένα από τα τρία ζευγάρια των παράλληλων πλευρών). 3. Εάν, η κάθε μία μη εφαπτόμενη κάθετη ενός πενταγώνου συνδεθεί, οι διαγώνιες έχουν σχηματιστεί. Οι διαγώνιες από κάθε κανονικό πεντάγωνο σχηματίζουν ένα αστέρι πέντε σημείων. Πόσα τρίγωνα υπάρχουν στο αστέρι; (Απάντηση: 10). 7

8 Πράγματα για να σκεφτείς. Εάν δύο γραμμές είναι παράλληλες σε μία τρίτη γραμμή είναι και οι τρεις γραμμές παράλληλες; Μερικά σχήματα έχουν πλευρές του ίδιου μήκους αλλά γωνίες διαφορετικού μεγέθους. Μερικά σχήματα έχουν γωνίες ίδιου μεγέθους και πλευρές διαφορετικού μήκους. Ένα τετράγωνο είναι ένας ρόμβος, αλλά ένας ρόμβος δε χρειάζεται να είναι τετράγωνο. Γιατί όλα τα σωληνοειδή γαλλικά κλειδιά διαφέρουν από τα συνηθισμένα οικιακά γαλλικά κλειδιά; Το παράνομο άνοιγμα σωλήνων πυρκαγιάς συχνά προκαλεί υπόγειες βλάβες στους σωλήνες νερού και η τελική πίεση, μπορεί να προκαλέσει βλάβη στα οικιακά καλοριφέρ. Το ήξερες αυτό; Ο όρος «βούλωμα φωτιάς» χρονολογείται από τις αρχές του 1800, όταν οι αγωγοί του νερού φτιάχνονταν από ξύλο. Έτσι, ανταποκρινόμενοι σε κάποιο συναγερμό, οι πυροσβέστες, έπρεπε να κόψουν τον κεντρικό αγωγό νερού για να συνδέσουν τις μάνικές τους. Όταν έσβηναν την φωτιά, σφράγιζαν τον αγωγό με ένα «βούλωμα φωτιάς». Τα ονόματα πεντάγωνο και εξάγωνο περιγράφουν τους αντίστοιχους αριθμούς γωνιών (ή πλευρών) τους. Οι πρώτοι Έλληνες μαθηματικοί μελέτησαν αυτά τα σχήματα και τους έδωσαν τα ονόματά τους. Στα ελληνικά πέντα- σήμαινε 5, έξα- σήμαινε 6, έπτα- σήμαινε 7, όκτα- σήμαινε 8, νόνα- 9 και δέκα- 10. Επίσης, το γκόν προέρχεται από μία λέξη που σημαίνει γωνία. Ένα γαλλικό κλειδί «Allen», έχει μία εξάγωνη τμηματική διαγράμμιση. Ένα κανονικό πολύγωνο, έχει πλευρές του ίδιου μήκους και εσωτερικές γωνίες του ίδιου μεγέθους. Καθεμιά από τις διαγώνιες ενός κανονικού πενταγώνου είναι παράλληλη με μία από τις πλευρές. 8

9 3. Τι ποσοστό χρειάζεται, για να κερδίσεις μία ψήφο; Υπολόγισε αυτό! Το 22% των κοριτσιών ψήφισαν ναι και το 30% των αγοριών ψήφισαν επίσης, ναι στην ίδια πρόταση. Αν όλοι ψήφισαν, πέρασε η πρόταση; Υπόδειξη: Υπέθεσε ότι 40 αγόρια και 50 κορίτσια ψήφισαν. Πόσοι από αυτούς ψήφισαν ναι; Η κατανόηση των ποσοστών είναι αναγκαία στους ανθρώπου για να κατανοήσουν πληροφορίες από τα Μ.Μ.Ε, για τους πολιτικούς, για να μεταφράσουν τα αποτελέσματα των γκάλοπ και για τους βιομηχάνους, για να πάρουν αποφάσεις σχετικά με τη διαφήμιση των προϊόντων τους. Απάντηση. Υπέθεσε, ότι «νίκη» σημαίνει πάνω από τους μισούς ψήφους. Αν χρειάζονται τουλάχιστον οι μισοί ψήφοι να είναι «ναι» για να περάσει, η πρόταση τότε η πρόταση δεν περνάει. Προετοιμάσου. Αν ο αριθμός των αγοριών και ο αριθμός των κοριτσιών ήταν ίδιος, θα περνούσε η πρόταση; Αν υπήρχαν παραπάνω αγόρια από κορίτσια; Αν υπήρχαν περισσότερα αγόρια από κορίτσια; Ολοκληρωμένη λύση. Υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι για να λύσεις το πρόβλημα. Κοίταξε τα διαφορετικά νούμερα αγοριών και κοριτσιών. Σκέψου το καθένα από τα ακόλουθα: 1. Μία τάξη 50 αγοριών και 50 κοριτσιών. 2. Μία τάξη 0 αγοριών και 100 κοριτσιών. 3. Μία τάξη 100 αγοριών και 0 κοριτσιών. 9

10 Σε καμία από τις παραπάνω περιπτώσεις, ούτε σε κάποια άλλη, η πρόταση θα περάσει. Σκέψου ένα διάγραμμα γραμμών το οποίο θα δείχνει τα ποσοστά όπου οι αριθμοί αγοριών και κοριτσιών δεν είναι οι ίδιοι. Πάνω από τη γραμμή, βλέπεις ότι το 100% των αγοριών απεικονίζεται στο αριστερό μέρος της έντονης γραμμής, με ποσοστό 100% των κοριτσιών στο δεξί μέρος. Κάτω από τη γραμμή είναι τα ψηφισμένα ποσοστά των ναι και των όχι και για τα αγόρια και για τα κορίτσια. 100% των αγοριών. 100% των κοριτσιών 30% των αγοριών. ψήφισαν ναι 70% των αγοριών. 22% των 78% των ψήφισαν όχι κοριτσιών Κοριτσιών ψήφισαν ψήφισαν ναι όχι. Για να καθορίσεις εάν οι «ναι» ψήφοι νικούν, τότε τα τμήματα που αναπαριστούν τους ψήφους «ναι», πρέπει μαζί να είναι πάνω από το μισό του μήκους ολόκληρου του τμήματος. Τα τμήματα που αναπαριστούν τα ναι ποτέ δε θα είναι πάνω από το μισό του συνολικού μήκους, έτσι η πρόταση δε μπορεί να περάσει. Σκέψου το ποσοστό που ψήφισε όχι: 78% των κοριτσιών ψήφισαν όχι και 70% των αγοριών ψήφισαν επίσης όχι. Δεν υπάρχει περίπτωση για πάνω από το μισό του συνόλου να ψήφισε ναι. Δοκίμασε αυτό. Σκέψου μία έρευνα που μπορεί να απαντηθεί είτε με «ναι», είτε με «όχι». Ρώτησε μία ομάδα ανθρώπων και κατέγραψε τα αποτελέσματα, κατηγοριοποιώντας τις απαντήσεις τους, σε αρσενικών και θηλυκών. Βρες το ποσοστό των αντρών και των γυναικών που ανταποκρίθηκαν με «ναι». Μετά υπολόγισε το συνολικό ποσοστό των 10

11 ανθρώπων που είπαν «ναι». Αυξάνει αυτό τα ποσοστά των «ναι» ψήφων από τους άντρες και τις γυναίκες, το αποτέλεσμα του συνολικού ποσοστού των ανθρώπων που είπαν «ναι»; Υπέθεσε ότι μία πρόταση περνάει με το 52% των ψήφων. Βρες μερικούς πιθανούς τρόπους, για να το χωρίσεις αυτό, σε ποσοστά για άντρες και γυναίκες που ψήφισαν «ναι». Είναι δυνατόν μόνο άντρες να υποστήριξαν την πρόταση; Μόνο γυναίκες; Επιπρόσθετες προκλήσεις. 1. Υπάρχουν 400 αγόρια και 420 κορίτσια σε ένα σχολείο. Αν το 18% των αγοριών είναι αριστερόχειρες και το 10% των κοριτσιών είναι αριστερόχειρες, τι ποσοστό των μαθητών στο σχολείο είναι αριστερόχειρες; (Απάντηση: περίπου 14%) 2. Μία έρευνα πάνω στην προτίμηση αναψυκτικού είχε τα εξής αποτελέσματα: 25% προτιμούσαν την Pepsi, 30% προτιμούσαν την Coca Cola και 10% και τα δύο. Σε πόσους δεν άρεσε κανένα από τα δύο αναψυκτικά; (Απάντηση: το 55%) 3. Η έρευνα μιας εφημερίδας έδειξε ότι το 42% των ψηφοφόρων στην Δυτική χώρα προτιμούσαν τον υποψήφιο των δημοκρατικών και ότι το 25% των ψηφοφόρων στην Κεντρική χώρα προτιμούσε επίσης τον ίδιο υποψήφιο. Η εφημερίδα έδειξε μία διαφορά 17% στον αριθμό ψηφοφόρων που προτιμούσε τον υποψήφιο των δημοκρατικών. Είναι αυτό το συμπέρασμα αληθινό; (Απάντηση: όχι απαραίτητα). 4. Το 99% των ανθρώπων στην Ελλάδα έχουν τηλεόραση. Το 40% έχουν τρεις ή και παραπάνω. Είναι αυτό αρκετό, για να συμπεράνουμε ότι το 59% των ανθρώπων δεν έχουν πάνω από δύο τηλεοράσεις; (Απάντηση: όχι) Πράγματα για να σκεφτείς. Δε μπορεί να προσθέσεις ποσοστά, εκτός εάν υπολογίστηκαν χρησιμοποιώντας τον ίδιο πληθυσμό και αναφέρονται στην ίδια έρευνα. Πότε μπορείς να προσθέσεις, να αφαιρέσεις, να πολλαπλασιάσεις ή να διαιρέσεις ποσοστά; 11

12 Είναι ποτέ δυνατό να υπάρξει ένα ποσοστό πάνω από 100%; Το ήξερες αυτό; Σύμφωνα με τους εκλογικούς κανόνες της Ελλάδας, είναι δυνατό να κερδίσει ένα κόμμα, με λιγότερο ποσοστό από 50% των ψήφων; Τα ποσοστά συχνά χρησιμοποιούνται για να συγκρίνουμε ποσότητες πληθυσμών διαφορετικών μεγεθών. Ο ρυθμός 10/1000 είναι ο ίδιος όπως 1%. Το 50% της έκπτωσης είναι το ίδιο με τη μισή τιμή. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές μέθοδοι ψηφίσματος. Για παράδειγμα η μέθοδος ψηφίσματος της απλής πλειοψηφίας έχει έναν νικητή που λαμβάνει τους περισσότερους ψήφους. Αυτή η μέθοδος ψηφίσματος μπορεί να είναι άδικη εάν υπάρχουν πάνω από δύο επιλογές. 12

13 4. Πόσα χρώματα νομών, υπάρχουν σε ένα χάρτη της Ελλάδας; Υπολόγισε αυτό! Οι κατασκευαστές χαρτών, χρησιμοποιούν διαφορετικά χρώματα σε κάθε νομό, που μοιράζονται ένα σύνορο. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός χρωμάτων που χρειάζεται για να χρωματίσεις ένα χάρτη των νομών της Ελλάδας; Υπόδειξη: Προσπάθησε να γεμίσεις τον χάρτη με όσο δυνατό λιγότερα χρώματα. Μετά προσπάθησε να δείξεις γιατί η χρησιμοποίηση λιγότερων χρωμάτων δε θα είχε αποτελέσματα. Το να δίνεις διαφορετικά χρώματα σε αντικείμενα ή αποφάσεις είναι μία χρήσιμη τεχνική για να αναλύεις περίπλοκες καταστάσεις. Παρόμοιες μέθοδοι μπορούν να εφαρμοστούν στον κανονισμό συνεδρίων, στην εναέρια κυκλοφορία και στο σχεδιασμό περιοδικών πινάκων σε κομπιούτερ. Απάντηση: οκτώ χρώματα. Προετοιμάσου: Μπορείς να χρωματίσεις ένα νομό ή να γράψεις ένα σύμβολο για το όνομα ενός χρώματος σε ένα νομό; Άρχισε από τη μία γωνία του χάρτη. Μετά άρχισε να χρωματίζεις τους γειτονικούς νομούς, προσθέτοντας άλλο χρώμα μόνο όπου είναι απαραίτητο. Ολοκληρωμένη λύση. Ο μικρότερος αριθμός χρωμάτων που χρειάζεται γι αυτόν το χάρτη είναι 8. Μία πιθανή λύση χρησιμοποιεί τα χρώματα κόκκινο, πράσινο, κίτρινο, μπλε, καφέ, πορτοκαλί, ροζ και μοβ. Δεν είναι δυνατό να χρησιμοποιήσεις λιγότερα από 8 χρώματα. Εάν, ένας νομός, είναι πλαισιωμένος από άλλους νομούς, κάνε εναλλαγή δύο χρωμάτων καθώς προχωράς γύρω από αυτούς. Ο πλαισιωμένος νομός, θα απαιτεί τρίτο χρώμα. Εάν, ένας νομός είναι 13

14 πλαισιωμένος, από έναν μόνο αριθμό νομών, οι γύρω νομοί, απαιτούν τρία χρώματα και ο πλαισιωμένος νομός, απαιτεί το τέταρτο χρώμα. Δοκίμασε αυτό! Πάρε ένα χάρτη του κράτους σου που δείχνει όλες τις χώρες. Χρωμάτισε τον χάρτη έτσι ώστε οι γειτονικές χώρες να έχουν διαφορετικά χρώματα. Πόσα χρώματα χρειάζεσαι; Βρες ένα χάρτη των Ηνωμένων Πολιτειών όπου οι πολιτείες είναι χρωματισμένες. Έχουν οι γειτονικές πολιτείες διαφορετικά χρώματα; Πόσα χρώματα χρησιμοποιεί ο χάρτης; Κάνε ένα χάρτη που απαιτεί μόνο τρία χρώματα και αυτό να είναι διαφορετικό από αυτό που απεικονίζεται. Επιπρόσθετες προκλήσεις. 1. Ζωγράφισε ένα χάρτη που να έχει τουλάχιστο 7 περιοχές οι οποίες απαιτούν μόνο 3 χρώματα. (Απάντηση: Ζωγράφισε μία περιοχή, σαν ένα κύκλο που να περιέχει ένα μικρότερο. Ο μικρότερος είναι η μία περιοχή ζωγράφισέ την μπλε. Το μεγάλο κύκλο, διαίρεσέ τον σε 6 μέρη ζωγράφισέ τον εναλλακτικά, με τα χρώματα κόκκινο και πράσινο). 2. Φαντάσου ότι σχεδιάζεις την ιδανική πόλη. Η πόλη έχει πέντε γειτονιές και αυτοκινητόδρομους που συνδέουν την κάθε γειτονιά με την άλλη. Για να γλιτώσεις ώρα οδήγησης κανείς από τους αυτοκινητόδρομους δε πρέπει να χωριστεί. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός ανυψωμένων διαβάσεων που θα χρειαστεί να χτίσεις; Πως θα άλλαζε η απάντησή σου αν η πόλη είχε έξι γειτονιές; (Απάντηση: Σε μία πόλη με 5 τέτοιες γειτονιές, θα χρειαστεί να φτιάξεις τουλάχιστο ένα αυτοκινητόδρομο. Σε μία πόλη με 6 γειτονιές, θα χρειαστεί να φτιάξεις τουλάχιστο 3 αυτοκινητόδρομους). Πράγματα για να σκεφτείς. Για κάποιες επιφάνειες, ένας χάρτης μπορεί να σχεδιαστεί με περισσότερα από τέσσερα χρώματα. 14

15 Το ήξερες αυτό; Το 1852, ένας Βρετανός μαθητής, ο Frederick Guthrie, ρώτησε, εάν κάποιος χάρτης σχεδιασμένος σε ένα κομμάτι χαρτιού, μπορεί να χρωματιστεί, με όχι περισσότερα από τέσσερα χρώματα. Η ερώτηση του Guthrie έγινε το «τετρά- χρωμο πρόβλημα». Ο Α.Β. Kempe, ένας δικηγόρος, έδωσε μία απόδειξη για το «τετρά- χρωμο πρόβλημα» το 1879, αλλά ο D.J. Heawood βρήκε ένα λάθος στην απόδειξη του Kempe το Το πρόβλημα παρέμενε άλυτο μέχρι το 1976 όταν οι μαθηματικοί Kenneth Appel και Wolfgang Haken του Πανεπιστημίου του Illinois έδωσαν μία απόδειξη και χρειάστηκαν πάνω από 1000 ώρες υπολογισμών σε κομπιούτερ. Ο αριθμός των χρωμάτων που χρειάζονται, για ένα χάρτη που είναι σχεδιασμένος, σε άλλες, εκτός της λείας, επιφάνειες, καθορίστηκε το 1968, οχτώ χρόνια πριν το «τετρα- χρωμο πρόβλημα» λυθεί. 15

16 5. Μεγαλύτερη περίμετρος σημαίνει μεγαλύτερη περιοχή; Υπολόγισε αυτό! Ο Γιάννης και η Αλεξάνδρα, χρησιμοποίησαν και οι δύο τον ίδιο αριθμό, όμοιων τσιμεντένιων κομματιών για να κάνουν τις πλακόστρωτες αυλές τους. Η περιοχή κάθε πλακόστρωτης αυλής είναι ίδια: 180 τετραγωνικά μέτρα. Ποιες είναι οι διαστάσεις ενός κομματιού τσιμέντου; Υπόδειξη: Παρατήρησε, πως τα κομμάτια εφαρμόζουν στην πλακόστρωτη αυλή της Αλεξάνδρας. Ποιο είναι το διαφορετικό στον τρόπο που τα κομμάτια εφαρμόζουν στην πλακόστρωτη αυλή του Γιάννη; Γιάννης. Αλεξάνδρα. Η περιοχή είναι μία σπουδαία μαθηματική έννοια. Οι αρχιτέκτονες, οι κτηματίες, οι καλλιτέχνες και οι ερευνητές, όλοι χρησιμοποιούν την περιοχή στη δουλειά τους. Απάντηση. Ένα πλακάκι είναι 4μ επί 5μ. Προετοιμάσου: Βρες τη περιοχή ενός από τα τσιμεντένια κομμάτια. Πόσες από τις κοντές πλευρές ισοδυναμούν με μία μακριά πλευρά στην πλακόστρωτη αυλή της Αλεξάνδρας; 16

17 Ολοκληρωμένη λύση. Η περιοχή της κάθε πλακόστρωτης αυλής είναι 180τ.μ (m 2 ) και η καθεμία φτιάχτηκε από εννιά όμοια ορθογώνια τσιμεντένια κομμάτια. Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή του κάθε κομματιού είναι 180/9 ή 20m 2. Αφού η περιοχή του ορθογωνίου ισοδυναμεί με μήκος (Μ) επί πλάτος (Π), ξέρεις ότι Μ * Π = 20. Από τον τρόπο με τον οποίο τα κομμάτια τοποθετούνται στην πλακόστρωτη αυλή της Polygon, μπορείς να δεις, ότι τέσσερα μήκη είναι το ίδιο με πέντε πλάτη. Με άλλα λόγια, η αναλογία του μήκους με το πλάτος είναι 5 προς 4. Όπως συμβαίνει 5 * 4 = 20. Αυτό σημαίνει ότι το μήκος είναι 5m,ενώ, το πλάτος είναι 4m. Ένα άλλος τρόπος για να εξετάσεις αυτό είναι ο ακόλουθος: ξέρεις από την πλακόστρωτη αυλή της Αλεξάνδρας, ότι τέσσερα μήκη ισοδυναμούν με πέντε πλάτη. Αφού 4Μ=5Π τότε: Μ=5/4 * Π Ξέρεις επίσης την περιοχή του κομματιού: Μ * Π = 20. Στη συνέχεια αντικαθιστάς το Μ και έχουμε: (5/4 * Π) * Π = 20 5/4 * Π 2 = 20 Π 2 = 4/5 * 20 Π 2 = 16 Π = 4 (τα πλάτη δεν μπορεί να είναι αρνητικά). Εάν αντικαταστήσεις το 4 για το Π, τότε μπορείς να κάνοντας τις πράξεις θα δεις, ότι Μ = 5. Έτσι, ένα τσιμεντένιο κομμάτι έχει διαστάσεις 4m επί 5m. Δοκίμασε αυτό! Πάρε δύο κόλλες χαρτιού διαστάσεων 8 ½ εκατ. επί 11 εκατ. Δίπλωσε το ένα οριζόντια όπως δείχνεται: 17

18 Συνέχισε να διπλώνεις το χαρτί οριζόντια τέσσερις φορές παραπάνω. Πάρε την άλλη κόλλα χαρτιού και κάνε σε αυτό το ίδιο δίπλωμα όπως παραπάνω. Μετά τοποθέτησε τον δεύτερο φάκελο κάθετα όπως δείχνεται: Συνέχισε να διπλώνεις αυτό το κομμάτι χαρτιού τρεις επιπλέον φορές εναλλακτικά, οριζόντια και κάθετα. Σύγκρινε τις περιοχές των ορθογωνίων που είναι διπλωμένες στα δύο διαφορετικά φύλλα. Υπολόγισε, την περίμετρο και το εμβαδόν, του πάνω μέρους του κρεβατιού σου. Μετά, μέτρα το κρεβάτι σου και υπολόγισε την περίμετρο και το εμβαδόν όλου του κρεβατιού. Πόσο κοντά έπεσαν οι υπολογισμοί σου; Σχεδίασε δύο ορθογώνια, με το ίδιο εμβαδόν, άλλα με διαφορετικές περιμέτρους. Δέσε τις άκρες μιας λωρίδας χαρτιού και σχημάτισε ένα κύκλο. Χρησιμοποίησε την λωρίδα, για να σχηματίσεις ποικίλα ορθογώνια. Η περίμετρος δεν αλλάζει. Το εμβαδόν; Επιπρόσθετες προκλήσεις. 1. Η απόσταση γύρω από ένα σχέδιο είναι η περίμετρός του. Ποιες είναι οι περίμετροι των πλακόστρωτων αυλών στο πρόβλημα; (Απάντηση: οι περίμετροι είναι 58 και 54 μέτρα). 2. Η πλακόστρωτη αυλή στο διάγραμμα φτιάχτηκε από όμοια πλακάκια και έχει περιοχή 180m 2. Ποια είναι η περίμετρός της; 18

19 (Απάντηση: η περίμετρος είναι 56 μέτρα). 3. Αν σου δινόταν μόνο η πλακόστρωτη αυλή του Γιάννη στο πρόβλημα, δε θα έπαιρνες μία μοναδική απάντηση. Αν σου δινόταν μόνο η πλακόστρωτη αυλή της Αλεξάνδρας, θα έβρισκες μία απάντηση. Εξήγησε γιατί; (Απάντηση: επειδή η διάταξη από τα πλακάκια, στην αυλή του Γιάννη, δεν δείχνουν κάποια σχέση μεταξύ του μήκους και του πλάτους, δε μπορείς να υπολογίσεις τις διαστάσεις από κάθε πλακάκι. Υπάρχουν πολλά ζευγάρια αριθμών που αν τα πολλαπλασιάσεις δίνουν το αποτέλεσμα 20). 4. Χρησιμοποίησε τετράγωνα με μήκος πλευράς 1 μέτρο, για να δημιουργήσεις διαφορετικά σχήματα που έχουν περίμετρο 8 μέτρα. Ποιο από τα σχήματα έχει την μεγαλύτερη περιοχή; (Απάντηση: ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς 2 μέτρα). Πράγματα για να σκεφτείς. Υπάρχουν ορθογώνια με την ίδια περίμετρο αλλά με διαφορετικά εμβαδά. Οι πατέντες σε πολλά ξύλινα ή πλακόστρωτα πατώματα φτιάχνονται με ορθογώνια. Γιατί νομίζεις ότι γίνεται αυτό; Όσο η περίμετρος ενός ορθογωνίου αυξάνει, το εμβαδόν, μπορεί είτε να αυξηθεί, είτε να μειωθεί. Το ήξερες αυτό. Το να μαντεύεις, να ελέγχεις και να κάνεις επανάληψη είναι μερικές φορές ο πιο επαρκής τρόπος για να λύσεις ένα πρόβλημα. Για ένα ορθογώνιο, με δοσμένη περίμετρο, το σχήμα με τη μεγαλύτερη περιοχή είναι ένα τετράγωνο. Όλα τα τετράγωνα είναι ορθογώνια, αλλά όλα τα ορθογώνια δεν είναι τετράγωνα. Ο μικρότερος κοινός πολλαπλασιαστής δύο αριθμών α και β, μπορεί να βρεθεί κάνοντας, ένα τετράγωνο από ορθογώνια με διαστάσεις α * β. Ένα διαμάντι τοποθετημένο σε μία βάση, είναι ένα τετράγωνο με 27,5 μέτρα, σε μία πλευρά. 19

20 6. Μπορείς να βάλεις την μπάλα στην τρύπα με την πρώτη; Υπολόγισε αυτό! Πώς θα μπορούσε η Αφροδίτη, να χτυπήσει μία μπάλα του γκολφ, από το υψωματάκι, για να την βάλει στην τρύπα με την πρώτη; Υπόδειξη: Η γωνία, στην οποία η μπάλα αναπηδά από τον τοίχο, έχει τις ίδιες μοίρες, με την γωνία, στην οποία η μπάλα, χτυπά τον τοίχο. Μία μπάλα του γκολφ αναπηδά από την πλευρά ενός γηπέδου μινιατούρα, με τον ίδιο τρόπο που το φως αντανακλά από έναν καθρέφτη. Οι οπτικοί που δημιουργούνε φακούς για τα μάτια, οι βιολόγοι, που χρησιμοποιούν μικροσκόπια και οι αστρονόμοι που χρησιμοποιούν τηλεσκόπια, όπως επίσης και οι κατασκευές δορυφόρων και περισκοπίων, έχουν υπόψη τους αυτή την αρχή στη δουλειά τους. Απάντηση. Οι γραμμές στο σχήμα δείχνουν ένα μονοπάτι για το πώς να βάλεις την μπάλα στην τρύπα με την πρώτη. Οι μαρκαρισμένες γωνίες 1 και 2 έχουν τις ίδιες μοίρες. Θα πρέπει να στοχεύεις στο σημείο P Πως μπορείς να αποφασίσεις που να στοχεύσεις; Από την στιγμή που δεν υπάρχει μία ευθεία πορεία από το υψωματάκι στην τρύπα, θα πρέπει να χτυπήσεις την μπάλα προς τον τοίχο. Ζωγράφισε γραμμές από το υψωματάκι, μέχρι την άκρη και από την τρύπα, μέχρι την άλλη άκρη, για να βρεις ένα σημείο, που κάνει τις αναπηδόμενες γωνίες 1 και 2 ίσες. 20

21 Ολοκληρωμένη λύση. Ένας τρόπος για να βρεις το κατάλληλο σημείο για να στοχεύσεις είναι να σκεφτείς τη πλευρά του τοίχου σαν ένα καθρέφτη. Εάν κοιτάξεις μέσα στον καθρέφτη από το υψωματάκι, η αντανάκλαση της τρύπας θα φαίνεται σα να είναι στην τοποθεσία που δείχνεται στο διάγραμμα: Όπως αναφέρθηκε στην υπόδειξη, η γωνία στην οποία η μπάλα αφήνει τον τοίχο, θα είναι η ίδια, με την γωνία στην οποία τον χτυπά. Εάν, στοχεύεις με τη μπάλα, στο σημείο όπου η γραμμή από το υψωματάκι μέχρι το είδωλο της τρύπας που τέμνει τον τοίχο, τότε θα αναπηδήσει μέσα στην τρύπα. Αυτό μπορεί να αποδειχτεί μαθηματικά ως εξής: επειδή και τα δύο τρίγωνα στην κάθε πλευρά του τοίχου στο διάγραμμα είναι είδωλα του καθρέπτη, θα είναι ακριβώς το ίδιο μέγεθος και σχήμα. Αυτό σημαίνει ότι η γωνία 2 έχει τις ίδιες μοίρες, με τη γωνία 3. Η γωνία 1 και η γωνία 3 έχουν επίσης, ίσες μοίρες, επειδή είναι κάθετες γωνίες. ( Οι κάθετες γωνίες, είναι γωνίες που σχηματίζονται από δύο τεμνόμενες γραμμές). Η γωνία 1 έχει τις ίδιες μοίρες, με τη γωνία 2, επειδή και οι δύο έχουν το ίδιο μέγεθος, με τη γωνία 3. Αυτό σημαίνει ότι το μονοπάτι μέχρι την τρύπα που δείχνεται στο διάγραμμα είναι το ίδιο μονοπάτι που η μπάλα θα πάρει καθώς αναπήδά από τον τοίχο. Δοκίμασε αυτό! Σχεδίασε μία τρύπα για ένα γήπεδο μινιατούρα του γκολφ. Μετά, παίξε ένα παιχνίδι με ένα φίλο σου, για να δείξεις πως η μπάλα μπορεί να αναπηδήσει και από τις δύο πλευρές και μέσα στην τρύπα. ( Δοκίμασέ το αυτό σε ένα computer). Μέτρα την απόσταση, από την μπάλα, μέχρι την τρύπα, μαζί με την πορεία στην οποία η μπάλα ταξιδεύει στην πρόκληση ( δηλαδή στο πρόβλημα). Υπέθεσε, ότι η 21

22 μπάλα χτυπά το όριο, σε οποιοδήποτε άλλο σημείο στο δρόμο της για την τρύπα. Μέτρα την άλλη πορεία της μπάλας και σύγκρινέ τη με τη πρώτη. Τι βρίσκεις; Χάραξε το διάγραμμα στην πρόκληση σε ένα φύλλο χαρτιού. Βάλε πινέζες στο υψωματάκι και στην τρύπα. Άπλωσε μία δέσμη από καουτσούκ γύρω από τις πινέζες. Τοποθέτησε ένα μοιρογνωμόνιο στο διάγραμμα και τράβα τη δέσμη από το καουτσούκ στο κέντρο του μοιρογνωμονίου όπως δείχνεται: Σύρε το μοιρογνωμόνιο μέχρι που οι μαρκαρισμένες γωνίες 1 και 2 να είναι το ίδιο μέγεθος. Τώρα μέτρα το μήκος της τανημένης δέσμης από καουτσούκ. Εάν, οι γωνίες δεν είναι ίσες, πώς νομίζεις ότι το μήκος της δέσμης από το καουτσούκ θα αλλάξει; Το διάγραμμα παρακάτω, δείχνει μία δέσμη φωτός, που εισέρχεται σε ένα τρίγωνο κουτί, με τοίχους από καθρέφτη. Χάραξε τη πορεία, όπου το φως αναπηδά από τους τοίχους. Δεν έχει σημασία από πού θα αρχίσεις, τι συμβαίνει στο μονοπάτι; Επιπρόσθετες προκλήσεις. 1. Στην ολοκληρωμένη λύση του προβλήματος, η τρύπα ανακλάται. Πως θα άλλαζε η λύση, εάν, το υψωματάκι είχε αντανακλαστεί; (Απάντηση: δε θα άλλαζε). 2. Δείξε, πώς να βάλεις την μπάλα στη τρύπα, με την πρώτη, σε αυτό το γήπεδο μινιατούρα του γκολφ, με το να χτυπώντας την μπάλα με τέτοιο τρόπο, ώστε να χτυπήσει και από τους δύο τοίχους; 22

23 3. Μία πόλη (Α), απέχει 20 χιλιόμετρα, από ένα ποτάμι, ενώ, μία άλλη πόλη (Β), απέχει 6 χιλιόμετρα, από το ποτάμι. Η χώρα, θέλει να χτίσει ένα σταθμό άντλησης νερού στο ποτάμι, για να εξυπηρετεί και τις δύο πόλεις. Για να μειώσουν το κόστος, οι μηχανικοί θέλουν να τοποθετήσουν τον σταθμό σε τέτοιο μέρος, ώστε, το σύνολο των αποστάσεων από το σταθμό άντλησης μέχρι τις πόλεις να είναι όσο το δυνατό μικρότερο. Που θα πρέπει να χτίσουν τον σταθμό; (Αυτό συμβαίνει όταν οι αναπηδόμενες γωνίες είναι ίσες). (Απάντηση: Το άθροισμα των διαστάσεων είναι ελάχιστο, όταν οι γωνίες 1 και 2, στο διάγραμμα είναι ίσες. Σε αυτή την περίπτωση, η απόσταση είναι 20 χιλιόμετρα): Πράγματα για να σκεφτείς. Υπάρχει τρόπος να τοποθετήσεις μία τρύπα σε ένα γήπεδο μινιατούρα του γκολφ, έτσι ώστε, ασχέτως με το που στοχεύεις την μπάλα, από το υψωματάκι, να μπορείς να τη βάλεις στην τρύπα, με την πρώτη φορά; Υπάρχει τρόπος να τοποθετήσεις μία τρύπα σε ένα γήπεδο μινιατούρα του γκολφ, ώστε, ασχέτως με το που στοχεύεις την μπάλα, δε θα μπορέσεις ποτέ να τη βάλεις στην τρύπα με την πρώτη; 23

24 Το ήξερες αυτό; Αν και οι αναλογίες του αντανακλόμενου φωτός, ήταν γνωστές, και σε άλλους αρχαίους φιλόσοφους και επιστήμονες, ο Χερών της Αλεξάνδρειας (περίπου 75 π.χ) ήταν αυτός που ανέπτυξε τα σχετικά μαθηματικά. Ο μόνος που έβαλε την μπάλα στην τρύπα με την πρώτη, από μία απόσταση 409 μέτρα, ήταν ο Robert Mitera στην Omaha της Νεμπάσκας το Ο Kenneth Schreiber, ένας τυφλός γκολφέρ, έριξε την μπάλα στην τρύπα με την πρώτη, το 1997, στο Bayonet Point της Φλόριντας. Η μέθοδος αντανάκλασης χρησιμοποιείται μερικές φορές για να βρεθούν αποστάσεις που δε μπορούν να μετρηθούν απευθείας. 24

25 7. Πόσο χώρο χρειάζεσαι σε ένα τραπέζι; Υπολόγισε αυτό! Το εστιατόριο της Μαρίας, έχει τετράγωνα τραπέζια που χωρούν 1 άτομο σε κάθε πλευρά. Για να καθίσουν πιο πολλά άτομα, δύο ή περισσότερα τραπέζια ενώνονται. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός τραπεζιών που χρειάζεται για να καθίσουν 19 άτομα μαζί; Υπόδειξη: Πόσοι άνθρωποι θα μπορούσαν να καθίσουν σε 2 ενωμένα τραπέζια; Πόσοι θα μπορούσαν να καθίσουν σε 3 ενωμένα τραπέζια; Το να βρίσκεις πατέντες και το να κατατάσσεις γεωμετρικά σχήματα, είναι κάτι που χρησιμοποιείται από αρχιτέκτονες, ζωγράφους τοπίων, κατασκευαστές παπλωμάτων και ταπετσιέρηδες στις εργασίες τους. Απάντηση: 9 τραπέζια Προετοιμάσου. Χρησιμοποίησε τετράγωνα από χαρτί (ή τετράγωνα κράκερ) για να αναπαραστήσεις τα τραπέζια και τις θέσεις που θα καθίσουν οι άνθρωποι. Άρχισε με ένα τετράγωνο και δες πόσοι άνθρωποι μπορούν να καθίσουν. Εάν ανώσεις 2 τετράγωνα τι συμβαίνει στον αριθμό των θέσεων; Ολοκληρωμένη λύση. Υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να λύσεις το πρόβλημα. Χρησιμοποιώντας την υπόδειξη, (σε ένα τραπέζι μπορούν να καθίσουν 4 άνθρωποι). x x x 25