ΣΠΥΡΟΣ ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΠΥΡΟΣ ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΣΠΥΡΟΣ ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΘΗΝΑ 009

2 . ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 3. ίνεται η συνάρτηση f(x)= x 5x a x + 6a + 4 µε α R. a) Να βρεθούν οι τιµές του α R εάν ισχύει ότι lim f(x) = 4. β) Nα βρεθεί το στο πρώτο ερώτηµα. 4 x 5x + 4 lim x a x 5x + 6 x όπου α η µεγαλύτερη τιµή που βρήκατε. Να βρεθούν τα α, β R ώστε η συνάρτηση f(x) = (a + ) ln(x + ) + β(x + ) + 3 µε x > να δέχεται στο σηµείο Μ(0,) εφαπτόµενη παράλληλη στον άξονα x 'x. 3. ίνεται η συνάρτηση a) Να βρεθεί η f '(x). f(x) x x = (x )e (x + )e. β) Nα µελετηθεί η συνάρτηση ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα. ηµx 4. Έστω οι συναρτήσεις f και g µε τύπους f(x) = e + ηµx + 4 και g(x) = 3 x + x α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο µε τετµηµένη 0. β) Να δειχθεί ότι ισχύει lim g(x) = f'(0). x 5 γ) Να µελετηθεί η f ως προς την µονοτονία στο [0, π/]. 5. Μία βιοτεχνία κατασκευάζει πουκάµισα. Η ηµερήσια παραγωγή της είναι x πουκάµισα τα οποία πουλά στην τιµή Π(x)=30-x Ευρώ το καθένα. Το συνολικό ηµερήσιο κόστος παραγωγής είναι Κ(x)=x+0 Ευρώ, ενώ η ηµερήσια παραγωγή δεν ξεπερνά τα 50 πουκάµισα. Η βιοτεχνία αποφασίζει να διαφηµιστεί µέσω του ραδιοφώνου.το συνολικό κόστος διαφήµισης είναι δ(x)=x+ Ευρώ για κάθε πουκάµισο. α) Να βρεθούν οι συναρτήσεις που δίνουν τα έσοδα της βιοτεχνίας πριν και µετά την διαφήµιση ως συνάρτηση του x. β) Να βρεθεί πόσα πουκάµισα πρέπει να κατασκευάζει η βιοτεχνία µετά την διαφήµιση ώστε να έχει το µέγιστο κέρδος. 6. ίνεται η συνάρτηση f(x)= x 4 ax + β µε α, β R. Εάν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α(, ) είναι παράλληλη στον άξονα x x τότε : α) Να βρεθούν τα α και β. β) Να βρεθεί το ελάχιστο της f(x). ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

3 γ) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(x)=0 δεν έχει πραγµατική ρίζα. 7. Η θέση ενός σώµατος που κινείται πάνω σε έναν άξονα την τυχαία χρονική στιγµή t µε t 0 δίνεται σε µέτρα από την συνάρτηση : t s (t) = ln(t + ). 5 α) Να βρεθεί η χρονική στιγµή t 0 που το s(t) είναι ελάχιστο και να εξετασθεί εάν ισχύει ότι s(t o ) 0. β) Να εξετασθεί εάν η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται. x 8. Έστω η συνάρτηση f µε τύπο f(x) = ηµ(ηµx) + e,x R. α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της C f στο σηµείo µε τετµηµένη 0. β) Να βρεθούν οι τιµές του λ R για τις οποίες ισχύει ότι : f(0)(λ ) + f''(0)( λ) = f(0)λ f'(0). 9. Να υπολογισθούν τα παρακάτω όρια : α) x 5x + lim, β) x x 4 0. ίνεται η συνάρτηση f(x) x + 3 lim x x 5 = 5 x. α) Να βρεθεί το σηµείο Μ(x 0, f(x 0 )) της γραφικής παράστασης της f ώστε η x. εφαπτοµένη της στο σηµείο Μ να σχηµατίζει γωνία 4 π µε τον άξονα x β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόµενης στο σηµείο Μ. t. Έστω A(t) = (t ) e + η συνάρτηση που δίνει την συγκέντρωση ενός αναβολικού στο αίµα ενός αθλητή, t µήνες µετά την λήψη του. α) Να βρεθεί για πόσο χρόνο η συγκέντρωση του αναβολικού στο αίµα αυξάνεται και πότε αρχίζει να ελαττώνεται. β) Εάν το επιτρεπόµενο όριο για την συµµετοχή στους αγώνες είναι µικρότερο των δύο µονάδων και σε ένα µήνα γίνεται το test antidoping να εξετασθεί εάν ο αθλητής θα µπoρέσει να λάβει µέρος στους αγώνες ή θα βρεθεί ντοπαρισµένος.. Σε µία καλλιέργεια 5 χιλιάδων µικροβίων ρίχνεται µία περίεργη χηµική ουσία οπότε το πλήθος τους αφανίζεται σε 7,5 ώρες ακριβώς. Κατά την διάρκεια του πειράµατος βρέθηκε ότι µετά από t ώρες µε 0 t 7, 5 το πλήθος των µικροβίων δίνεται από τον τύπο και Β θετικές σταθερές. α) Να βρεθούν τα Α και Β. f(t) t = (Α Bt)e χιλιάδες µικρόβια όπου Α β) Να εξετασθεί εάν υπάρχει χρονική στιγµή t o που το πλήθος των µικροβίων να είναι µέγιστο. ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

4 3. Το συνολικό κέρδος µίας εταιρείας από την πώληση ενός προϊόντος της από t t σήµερα και για t χρόνια δίνεται από τον τύπο P(t) = Α(e ) σε Ευρώ., Α>0 σταθερά. Να βρεθούν : α) Για πόσα χρόνια το συνολικό κέρδος της εταιρείας δεν έχει παθητικό. β) Σε πόσα χρόνια η εταιρεία πρέπει να σταµατήσει την πώληση αυτού του προϊόντος Έστω η συνάρτηση f(x) = x 6x + 8x + α όπου α R σταθερά. α) Να βρεθούν τα σηµεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα οποία οι εφαπτόµενες είναι παράλληλες στην ευθεία y=-x+8. β) Να βρεθεί το α εάν η εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σηµείο (, f()) διέρχεται από το Ο(0, 0). 5. Ένας πληθυσµός 4 χιλιάδων µικροβίων µεταβάλλεται έτσι ώστε σε t ώρες από τώρα ο πληθυσµός τους να δίνεται από τον τύπο µικρόβια. Να βρεθούν : 4t t P(t) = 3 + χιλιάδες α) Ο ρυθµός µεταβολής του πληθυσµού όταν αυτός είναι χιλιάδες. β) Το µέγιστο πλήθος µικροβίων. ίνεται ότι ln=α Έστω η συνάρτηση f(x) = x + x + x + αx + β, α, β R της οποίας η γραφική παράσταση εφάπτεται του άξονα x x στο σηµείο Α(,0). α) Να βρεθούν τα α και β. β) Να δειχθεί ότι η f (x) είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση. f(x) γ) Να λυθεί η εξίσωση (e )' = ίνεται η συνάρτηση : α) Να βρεθεί το Α f. β) Να υπολογισθεί το lim f(x) x γ) Έστω x + x f(x) =. x +. f(x) x g (x) =. Να βρεθεί η τιµή του α R ώστε η α x = συνάρτηση g να είναι συνεχής στο x 0 =-. 8. ίνεται η συνάρτηση f (x) = x + ln x +, x>0. x a) Να µελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. β) Να δειχθεί ότι f ( ) < f( ) γ) Να βρεθεί το f(h + ) lim. h 0 h 9. ίνεται η συνάρτηση f µε f(x) = x συνx, x R. ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

5 α) Να µελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία. β) Να λυθεί η ανίσωση : x x < συν(x ) συνx. 0. Έστω f :R R µία παραγωγίσιµη συνάρτηση τέτοια ώστε : 3 4 f (x) + f(x) = x, R x. α) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει στο x 0 =0 ολικό ελάχιστο. β) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της C f στο σηµείο Α(, f()).. Θεωρούµε τις συναρτήσεις f(x) (α+ β)x = e και 3 g(x) = x 3(α + β)x 60x µε α, β, x R. Εάν η εξίσωση εφαπτοµένης της C f στο σηµείο µε τετµηµένη x 0 = είναι παράλληλη στον άξονα x x να δειχθεί ότι η συνάρτηση g παρουσιάζει στο x 0 =- τοπικό µέγιστο και στο x 0 =5 τοπικό ελάχιστο.. Η χωρητικότητα σε λίτρα των πνευµόνων ενός ανθρώπου ηλικίας x ετών δίνεται από τη συνάρτηση f(x) = x + x + 4, 0 x α) Να βρεθεί σε ποια ηλικία οι πνεύµονες έχουν τη µέγιστη χωρητικότητα. β) Να βρεθεί η ηλικία ενός ανθρώπου του οποίου οι πνεύµονες έχουν χωρητικότητα 5,0 λίτρα. 3. Η αξία µίας µετοχής στο χρηµατιστήριο σε t 0 µήνες από σήµερα δίνεται από αβt τον τύπο f(t) = χιλιάδες µε α, β >0. Η µέγιστη αξία της µετοχής β + t είναι και πραγµατοποιείται σε µήνες από σήµερα. α) Να βρεθούν τα α και β. β) Να βρεθεί το χρονικό διάστηµα για το οποίο η αξία της µετοχής είναι το πολύ ίση µε Ο πληθυσµός N(t) σε εκατοµµύρια µίας κοινωνίας βακτηριδίων, δίνεται από τον t τύπο N(t) = e0 + c, t 0 ο χρόνος σε λεπτά και c σταθερά. a) Να δειχθεί ότι ο πληθυσµός συνεχώς αυξάνεται. β) Να βρεθεί η αύξηση του πληθυσµού στα πρώτα 60 λεπτά. γ) Εάν 40Ν (0)=Ν(0) να βρεθεί το c και ο αρχικός πληθυσµός των βακτηριδίων. x 3 ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

6 . ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. α) Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιµών της µεταβλητής Χ σωστά συµπληρωµένο. Τιµές x i Συχν. ν i Σχ.Συχν. f i Σχ.Συχν. f i % Αθ.Συχν. N i x i ν i x i ΣΥΝΟΛΟ ν=50 00 β) Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο. γ) Να δείξετε ότι η διακύµανση είναι s =0,49.. Στα σχολεία ενός ήµου υπηρετούν συνολικά 00 εκπαιδευτικοί. Ο συνολικός χρόνος υπηρεσίας των εκπαιδευτικών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα : Χρόνια υπηρεσίας [ - ) Σχετική Συχνότητα f i % α) Να βρεθεί πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν τουλάχιστον 5 χρόνια υπηρεσίας. x i ν i β) Με την προϋπόθεση ότι κάθε εκπαιδευτικός θα συνταξιοδοτηθεί, όταν συµπληρώσει 35 χρόνια : i) Na βρεθεί πόσοι εκπαιδευτικοί θα συνταξιοδοτηθούν µέσα στα επόµενα,5 χρόνια. ii) Na βρεθεί πόσοι συνολικά εκπαιδευτικοί πρέπει να προσληφθούν µέσα στα επόµενα πέντε χρόνια, ώστε ο αριθµός των εκπαιδευτικών που υπηρετούν στα σχολεία του ήµου να παραµένει ο ίδιος. 3. Οι πωλήσεις ενός εκδοτικού οίκου το 007 και το 008 (σε χιλιάδες βιβλία) δίνονται στον παρακάτω πίνακα : ΜΗΝΕΣ Ιανουάριος-Φεβρουάριος 0 5 Μάρτιος-Απρίλιος 5 0 Μάιος-Ιούνιος 30 5 ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

7 Ιούλιος-Αύγουστος 0 5 Σεπτέµβριος-Οκτώβριος 5 45 Νοέµβριος- εκέµβριος 0 0 ΣΥΝΟΛΟ α) Να απεικονισθούν τα δεδοµένα σε ένα ραβδόγραµµα συχνοτήτων. β) Να βρεθεί πόσα βιβλία πούλησε κατά µέσο όρο ο εκδοτικός οίκος τα έτη 007 και 008. γ) Εάν το % των βιβλίων που πουλήθηκαν το 007 είναι ελαττωµατικά και το 3% αντίστοιχα του 008, να βρεθεί το πλήθος των ελαττωµατικών βιβλίων για τα αντίστοιχα έτη. 4. Ρωτήθηκαν ν άτοµα σε ένα γκάλοπ ποιο από τα τέσσερα δηµόσια πρόσωπα Α, Β, Γ, θεωρούν πιο δηµοφιλές. Τα αποτελέσµατα παριστάνονται σε ένα κυκλικό διάγραµµα, όπου το 5% των ερωτηθέντων προτιµά τον Α, η γωνία του κυκλικού τοµέα για τον Β είναι 7 0 και ισχύει ακόµη ότι f =,6f Γ. α) Να βρεθούν οι σχετικές συχνότητες f Α,f Β, f Γ,f. β) Εάν το πλήθος των ερωτηθέντων που προτιµούν τον είναι 600 άτοµα να βρεθεί το πλήθος ν. γ) Εάν ν=500 άτοµα να γίνει το διάγραµµα συχνοτήτων. 5. Εάν το δείγµα α, α+ω, α+ω,..., α+(ν-)ω των διαδοχικών όρων µίας αριθµητικής προόδου µε α>0 και ω>0 έχει µέση τιµή X=α+3ω τότε : α) Να δειχθεί ότι η τυπική απόκλιση είναι S=ω. β) Να βρεθεί η µικρότερη τιµή του πηλίκου α/ω εάν δίνεται ότι το δείγµα είναι οµοιογενές. 6. Σε µία εταιρεία το 68% των υπαλλήλων παίρνει µέσο εβδοµαδιαίο µισθό 50 Ευρώ, το 8% παίρνει µέσο εβδοµαδιαίο µισθό 300 Ευρώ και τα υπόλοιπα 8 άτοµα παίρνουν µέσο εβδοµαδιαίο µισθό 350 Ευρώ. α) Να βρεθεί το πλήθος των υπαλλήλων της εταιρείας. β) Να βρεθεί ο µέσος εβδοµαδιαίος µισθός όλων των υπαλλήλων της εταιρείας. γ) Να βρεθεί η διασπορά του παραπάνω δείγµατος. 7. Μία βιοµηχανία κατασκευάζει 4 προϊόντα α, β, γ, δ σε ποσοστά 0%, 0%, 30% και 40% αντίστοιχα µε κόστος κατασκευής 5, 4, 3 και Ευρώ αντίστοιχα. α) Να υπολογισθεί το µέσο κόστος και ο συντελεστής µεταβλητότητας του κόστους κατασκευής των 4 προϊόντων. β) Να βρεθεί πόσο τουλάχιστον πρέπει να αυξηθεί το κόστος κατασκευής κάθε προϊόντος ώστε το δείγµα να είναι οµοιογενές. ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

8 γ) Εάν ελαττωθεί το κόστος κατασκευής κάθε προϊόντος κατά 0% και κατόπιν γίνει αύξηση κατασκευής κατά 0,3 Ευρώ ανά µονάδα προϊόντος να βρεθεί πόσο γίνεται ο συντελεστής µεταβολής. 8. Εάν οι παρατηρήσεις x, x, x 3, x 4, x 5 έχουν µέση τιµή X=4 και διακύµανση S =8 να βρεθεί η µέση τιµή των παρατηρήσεων x, x, x 3, x 4, x 5 και x 6 µε x 6 =0. 9. Οι ηµέρες απουσίας µίας οµάδας 6 εργαζοµένων κατά την διάρκεια µίας ορισµένης χρονικής περιόδου ήταν : f (), α, 3, λ, 6, λ όπου f(x) = e x x, α = lim x 3 x 4x + 3 x 3 και λ είναι ο συντελεστής 3 διευθύνσεως της εφαπτοµένης της C g µε g(x) = x 4x + 8x + 5 στο σηµείο της Μ(, g()). Να υπολογισθεί η τυπική απόκλιση της κατανοµής. 0. Σε ένα δείγµα 50 τιµών επιλέξαµε κάποιες από αυτές και προσθέσαµε τον αριθµό 0 ενώ στις υπόλοιπες αφαιρέσαµε το 5. Εάν η αρχική µέση τιµή του δείγµατος αυξήθηκε κατά να βρεθεί σε πόσες τιµές προσθέσαµε το 0.. Η µέση τιµή και η τυπική απόκλιση των τιµών x, x, x 3,,x 7, x 8 είναι και 3 αντίστοιχα, όπου x 8 >0. Η τυπική απόκλιση των τιµών x, x, x 3,,x 7 είναι α) Να βρεθεί η τιµή x 8. β) Να εξετασθεί εάν ορίζεται ο συντελεστής µεταβολής του δείγµατος x, x, x 3,,x 7.. Έστω οι ν παρατηρήσεις x, x,, x ν µε µέση τιµή X και τυπική απόκλιση S. α) Να δειχθεί ότι ν(x + x x ) (x + x +... x ). ν + β) Εάν ισχύει η ισότητα να βρεθεί η τυπική απόκλιση S. 3. Σε µία εταιρεία εργάζονται 0 υπάλληλοι ειδικευµένοι και ανειδίκευτοι µε µέσο εβδοµαδιαίο µισθό 00 Ευρώ. Οι ανειδίκευτοι έχουν µέσο εβδοµαδιαίο µισθό 68 Ευρώ και οι ειδικευµένοι 08 Ευρώ. α) Να βρεθεί πόσοι είναι οι ειδικευµένοι και πόσοι είναι οι ανειδίκευτοι υπάλληλοι της παραπάνω εταιρείας. β) Εάν οι εβδοµαδιαίοι µισθοί των ανειδίκευτων είναι οι ίδιοι καθώς επίσης και των ειδικευµένων, να εξετασθεί εάν οι µισθοί και των 0 υπαλλήλων αποτελούν ένα οµοιογενές δείγµα. 4. Σε µία εταιρεία εργάζονται ν υπάλληλοι που έχουν εβδοµαδιαίους µισθούς x, x,,x ν των οποίων η µέση τιµή είναι 400 Ευρώ και η τυπική απόκλιση 00 Ευρώ. α) Να βρεθεί η µέση τιµή του δείγµατος x, x,, x ν. ν ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

9 β) Έστω ότι η εταιρεία κάνει αύξηση µισθού κάθε υπαλλήλου εξίσου κατά c Ευρώ όπου 0 < c 00. Να εξετασθεί εάν οι νέοι µισθοί αποτελούν ένα οµοιογενές δείγµα. 5. Οι βαθµοί 0 φοιτητών στο µάθηµα της Στατιστικής µε άριστα το 0 είναι : 3,,, 6, 8, 7,,, 8, 9, 5, 6, 4, 8, 0, 8, 9, 5, 0, 8. α) Να κατασκευασθεί ο πίνακας κατανοµής συχνοτήτων. β) Επιλέγοντας τυχαία έναν φοιτητή από τους παραπάνω να βρεθεί η πιθανότητα ώστε αυτός να έχει βαθµό µεγαλύτερο του 5 ή άρτιο αριθµό. 6. Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω={,, 3,,ν} µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα, το δείγµα των οποίων έχει διάµεσο δ=4,5. α) Να δειχθεί ότι ν=8. β) Εκλέγοντας τυχαία από το Ω έναν αριθµό λ να βρεθεί η πιθανότητα ώστε η τυπική απόκλιση των αριθµών λ, λ και 6λ να είναι µεγαλύτερη του 7. x 7. ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f(x) = e + 4. α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης (ε) της C f στο σηµείο Α(0, f(0)). β) Επί της ευθείας (ε) θεωρούµε 00 σηµεία οι τετµηµένες των οποίων x, x,,x 00 έχουν µέση τιµή µονάδα. i) Nα βρεθεί η µέση τιµή των τεταγµένων. ii) Να δειχθεί ότι ο συντελεστής µεταβολής των τεταγµένων είναι διπλάσιος από τον συντελεστή µεταβολής των τετµηµένων. 8. Μετά την εξαγωγή των αποτελεσµάτων, ο σταθµικός µέσος της επίδοσης ενός µαθητή της Γ Λυκείου είναι 8,07. Εάν ο βαθµός του απολυτηρίου και ο βαθµός του πρώτου µαθήµατος αυξηµένης βαρύτητας είναι 8, να βρεθεί ο βαθµός του δεύτερου µαθήµατος δεδοµένου ότι οι συντελεστές στάθµισης είναι 8,,3 και 0,7 αντίστοιχα. 9. Η µέση τιµή και η διακύµανση των τεσσάρων τιµών µίας µεταβλητής X σε ένα δείγµα µεγέθους ν=0 που έχουν την ίδια συχνότητα είναι x = και S =0. 4 Εάν ισχύουν ότι (x x) 36 και x <x να βρεθεί η τιµή x. i= i = 0. Ο παρακάτω πίνακας αναφέρεται στα ύψη 50 µαθητών σε εκατοστά όπως αυτά έχουν ταξινοµηθεί σε τέσσερις κλάσεις και ισχύει ότι : f + f + f3 + 0, 9 = (0,f + 0,4f + 0,3f 3). Κλάσεις Σχετική Συχνότητα [64,70) f [70,76) f [76,8) f 3 [8,88) f 4 ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

10 α) Να βρεθούν οι σχετικές συχνότητες. β) Να υπολογισθεί το µέσο ύψος των µαθητών. γ) Να βρεθεί πόσοι µαθητές έχουν ύψος τουλάχιστον 80 εκατοστά.. Σε έρευνα που έγινε σχετικά µε το ύψος των µισθών των υπαλλήλων µίας επιχείρησης διαπιστώθηκε ότι το 50% των µισθών υπερβαίνει τα.000 Ευρώ ενώ το 6% είναι χαµηλότερο από τα 800 Ευρώ. Υποθέτουµε ότι η κατανοµή των µισθών είναι περίπου κανονική. α) Να βρεθεί ο µέσος µισθός των υπαλλήλων και τυπική απόκλιση του µισθού τους. β) Να εξετασθεί εάν το δείγµα είναι οµοιογενές. γ) Εάν οι υπάλληλοι είναι να βρεθεί πόσοι από αυτούς παίρνουν µισθό από.000 έως.00 Ευρώ.. ίνεται η µεταβλητή X η οποία αναφέρεται σε πληθυσµό ν ατόµων. Εάν οι τιµές που µπορεί να πάρει η µεταβλητή είναι 0 ή τότε : α) Να δειχθεί ότι S = x( x). κ β) Εάν η αναλογία µονάδων και µηδενικών είναι και κ + λ = 9, να δειχθεί λ ότι 8S = κλ. 3. ύο οµάδες θετικών παρατηρήσεων x i και y i, i=,,,ν συνδέονται µε τησχέση y = x 3x + 6. Εάν ισχύει ότι y = 4 και S = x να βρεθεί η µέση τιµή της µεταβλητής X. 4. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιµές µίας µεταβλητής X και οι αντίστοιχες συχνότητες µε α 3, 9 β και 9 γ 3. Τιµές β 6 γ α Συχνότητα Εάν η διακύµανση των παρατηρήσεων αυτών είναι S =9,36 και η µέση τιµή x=7,4 τότε : α) Να βρεθεί η πιθανότητα µία τυχαία τιµή της µεταβλητής να βρίσκεται στο διάστηµα ( x S,x + S). β) Να εξετασθεί εάν είναι δυνατό η κατανοµή να είναι κανονική. 5. Σε µία αλυσίδα καταστηµάτων σε όλο τον κόσµο ο εβδοµαδιαίος χρόνος εργασίας όλων των υπαλλήλων ακολουθεί την οµοιόµορφη κατανοµή. ίνεται ότι από 8 ώρες και περισσότερο εργάζεται εβδοµαδιαίως το 75% των υπαλλήλων ενώ από 34 ώρες και περισσότερο εργάζεται εβδοµαδιαίως το 5% αυτών. α) Να βρεθεί ο µικρότερος εβδοµαδιαίος χρόνος t εργασίας των υπαλλήλων καθώς επίσης και ο µεγαλύτερος t. β) Να βρεθεί ο µέσος εβδοµαδιαίος χρόνος εργασίας των υπαλλήλων. ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

11 γ) Να υπολογισθεί η διασπορά S 8 του παραπάνω δείγµατος εάν θεωρήσουµε τον παραπάνω εβδοµαδιαίο χρόνο εργασίας οµαδοποιηµένο σε 8 κλάσεις ίσου πλάτους και να συγκριθεί η διασπορά αυτή µε την προσεγγιστικά πραγµατική που δίνεται από τον τύπο S ερωτήµατος α). = (t t) όπου t και t οι χρόνοι του δ) Εάν υπάρχουν ακριβώς υπάλληλοι που εργάζονται έως και ώρες εβδοµαδιαίως να βρεθεί το πλήθος όλων των υπαλλήλων της παραπάνω αλυσίδας καταστηµάτων. ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

12 3. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Σε µια κληρωτίδα έχουµε 000 κλήρους αριθµηµένους από το έως το 000. Τραβάµε από την κληρωτίδα στην τύχη ένα κλήρο. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου: Ε : «O αριθµός που τραβήξαµε να είναι διαιρετός δια του 6 ή 8».. Ένα κουτί περιέχει σφαίρες από τις οποίες οι 5 είναι µαύρες, οι 4 είναι κόκκινες και οι 3 άσπρες. Βγάζουµε στην τύχη µια σφαίρα από το κουτί. Να βρεθεί η πιθανότητα να βγει σφαίρα: i) µαύρη ii) όχι κόκκινη iii) άσπρη ή κόκκινη 3. Σε µια επιχείρηση εργάζονται 4 άνδρες και 3 γυναίκες. Οι µισοί άνδρες και οι µισές γυναίκες εργάζονται στο γραφείο. Εάν εκλέξουµε στην τύχη ένα άτοµο, να βρεθεί η πιθανότητα να είναι άνδρας ή να εργάζεται σε γραφείο. 4. Ένα λύκειο έχει 4 εκπαιδευτικούς από τους οποίους οι 8 είναι καθηγητές, µεταξύ των οποίων οι 4 είναι φιλόλογοι και οι 6 είναι καθηγήτριες µεταξύ των οποίων οι 8 είναι φιλόλογοι. Θεωρούµε το ενδεχόµενο: Α={ένας εκπαιδευτικός διαλεγµένος στην τύχη είναι καθηγητής ή φιλόλογος}. Να βρεθεί η Ρ(Α). 5. Έστω Α και Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α)=0,8 και Ρ(Β)=0,6. α) Να εξετασθεί αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα. β) Να δειχθεί ότι είναι Ρ(Α Β) 0,8 και Ρ(Α Β) 0,4. 6. Εάν Ρ(Α) είναι η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου Α ενός δειγµατικού χώρου Ω και ισχύει η σχέση: P (A) + -λ= P(A) 3-3λ όπου λ R να δειχθεί ότι είναι λ Σε µια έρευνα µεταξύ των µαθητών της Α τάξης ενός λυκείου, διαπιστώθηκε ότι το 60% των µαθητών δεν έχει χαλασµένα δόντια, το 30% δεν είναι υπέρβαρο και το 0% δεν είναι υπέρβαρο ούτε έχει χαλασµένα δόντια. Να βρεθεί η πιθανότητα ενός µαθητή της συγκεκριµένης τάξης που επιλέχθηκε τυχαία να είναι υπέρβαρος και να έχει χαλασµένα δόντια. 8. Έστω Α, Β ενδεχόµενα του δ.χ. Ω µε Ρ(Α)= 4 3, Ρ(Β)= 3. α) Να εξετασθεί εάν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα. 3 β) Να δειχθεί ότι Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β). 4 4 ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

13 9. Εάν p, p πιθανότητες δύο ενδεχοµένων σ ένα δειγµατικό χώρο Ω και λ, µ R * να δειχθεί ότι ο αριθµός : S= λ + p λ + µ + λ πιθανότητα κάποιου ενδεχοµένου. µ + p µ εκφράζει την 0. Για δύο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω, ισχύει : Ρ(Α Β)= =Ρ(Α) P(Β). Να δειχθεί ότι ισχύει η σχέση: Ρ(Α Β)= Ρ(Α ) P(Β ).. Εάν Ω={ω, ω } είναι ο δειγµατικός ενός πειράµατος τύχης και Ρ(ω )=p µε p 7p + + 9p =0 να βρεθεί η πιθανότητα Ρ(ω ).. Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω σ ένα πείραµα τύχης µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. α) Εάν για κάποιο ενδεχόµενο του Α είναι Ρ(Α)= 4 να δειχθεί ότι ο Ω έχει άρτιο αριθµό στοιχείων. β) Εάν Β Ω ώστε το Β να περιέχει όλα τα στοιχεία του Α κι ένα ακόµη, µε Ρ(Β)= 3 να βρείτε τον αριθµό των στοιχείων του Ω. 3. Έστω ο δειγµατικός χώρος σ ένα πείραµα τύχης. Εάν γνωρίζουµε ότι για κάποιο ενδεχόµενό του Α είναι Ρ(Α)=0, και ότι <Ν (Ω)<3 να βρεθεί ο αριθµός των στοιχείων του Α και µετά ο αριθµός των στοιχείων του Ω. Εάν Β είναι το ενδεχόµενο του Ω το οποίο έχει 8 στοιχεία, να εξετασθεί εάν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα. 4. Έστω ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης µε Ν(Ω)=ν, ν N * µε ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόµενα και Α, Β δύο ενδεχόµενα του Ω µε : Ρ(Α)= 3, Ρ(Β)= και Ν(Α Β)=6ν+3. Εάν τα Α, Β είναι ξένα µεταξύ τους, να βρεθεί το 4 Ν(Ω). 5. Σε ένα διαγωνισµό συµµετέχουν υποψήφιοι για.500 θέσεις. Οι υποψήφιοι της Αθήνας είναι διπλάσιοι απ ότι της Θεσσαλονίκης και της Πάτρας συνολικά, που είναι οι ίδιοι σε αριθµό. Τα ποσοστά επιτυχίας είναι 55% της Αθήνας, 60% της Θεσσαλονίκης, 30% της Πάτρας και 0% της υπόλοιπης Ελλάδας. Παίρνουµε στην τύχη ένα επιτυχόντα. Να βρεθεί η πιθανότητα να είναι από την Πάτρα. 6. Έστω δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω τέτοια ώστε : Ρ(Α)= x x - 3 x Ρ(Β)= και Ρ(Α Β)= x + 7 x +. 7 x +, 7 ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

14 α) Να βρεθούν οι τιµές που παίρνει ο x R. β) Να βρεθεί η τιµή x R για την οποία τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα. γ) Να δειχθεί ότι Ρ(Α Β) Να αποδειχθεί ότι τα Α, Β ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω είναι ισοπίθανα εάν ισχύουν : α) Ρ(Α Β)+Ρ(Α Β). β) Α Β, Ρ(Α) Ρ(Α ) και Ρ(Α)+Ρ(Β)=. 8. Έστω Α, Β ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω. Να δειχθεί ότι η πιθανότητα του ενδεχοµένου «να πραγµατοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α, Β» είναι τουλάχιστον ίση µε την πιθανότητα του ενδεχοµένου «να µην πραγµατοποιηθεί το Β». 9. Έστω Α, Β ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α), Ρ(Β) οι λύσεις της εξίσωσης : x -P(A)x+Ρ(Α Β)=0. Εάν Ρ(Α Β)=5/9, να βρεθούν οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Α Β), Ρ(Α Β), Ρ(Α Β ). 0. Από 0 µαθητές ενός Λυκείου, 4 µαθητές συµµετέχουν στο διαγωνισµό της Ελληνικής Μαθηµατικής Εταιρείας, 0 µαθητές συµµετέχουν στο διαγωνισµό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και µαθητές συµµετέχουν και στους δύο διαγωνισµούς. Επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο µαθητής : α) Να συµµετέχει σε ένα τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισµούς. β) Να συµµετέχει µόνο σε ένα από τους δύο διαγωνισµούς. γ) Να µη συµµετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισµούς.. Έστω τα ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω, ώστε: Ρ(Α)=x και Ρ(Β)= 5x -5x+. Να βρεθούν οι τιµές του x, ώστε η πιθανότητα Ρ(Α) να γίνεται : α) µέγιστη και β) ελάχιστη.. Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω={,,,000} και η συνάρτηση πιθανότητας : α, αν ω 3 Ρ(ω)= α, αν ω = 4,α R. Να βρεθούν : 0, αν ω > 4 α) Ο αριθµός α. β) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου :Α={ω Ω/ ω 5}. 3. Σε έναν αγώνα κολύµβησης λαµβάνουν µέρος τρία αγόρια και τέσσερα κορίτσια. Από αυτά τα άτοµα του ίδιου φύλου έχουν την ίδια πιθανότητα νίκης, αλλά κάθε αγόρι έχει διπλάσια πιθανότητα νίκης από ένα κορίτσι. Να βρεθούν : α) Η πιθανότητα νίκης κάθε κοριτσιού και κάθε αγοριού. ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

15 β) Η πιθανότητα να κερδίσει τον αγώνα ένα ορισµένο αγόρι ή ένα ορισµένο κορίτσι. 4. Έστω τα ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α και Β του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω. Να δειχθεί ότι : α) Ρ(Α)+Ρ(Β). β) Ρ(Α)Ρ(Β) Να βρεθεί πιθανότητα του ενδεχοµένου Α ενός δειγµατικού χώρου Ω, εάν ισχύει ότι : 9[Ρ(Α)] 8Ρ(Α) 4Ρ(Α ). 6. Εάν Α είναι ενδεχόµενο ενός δειγµατικού χώρου Ω, να δειχθεί ότι : [Ρ(Α)] 4 +[Ρ(Α )] Εάν για δύο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) = P(A B) να δειχθεί ότι είναι ισοπίθανα. 8. Τα ποσοστά γυναικών για δίπλωµα οδήγησης που περνούν τα σήµατα είναι 70%, που περνούν στην πορεία 30% και που παίρνουν δίπλωµα 0%. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ακόλουθων ενδεχοµένων : α) Κ : Να κοπεί στην πορεία. β) Λ : Να περάσει και τα δύο. γ) Μ : Να κοπεί και στα δύο. δ) Ν : Να περάσει µόνο τα σήµατα. ε) Ο : Να περάσει το πολύ ένα τεστ. 9. Ο καθηγητής των Μαθηµατικών υπολογίζει ότι τον Ιούνιο θα περάσει στην Άλγεβρα τουλάχιστον το 70% των µαθητών, στην Γεωµετρία τουλάχιστον το 50% αλλά και στα δύο µαθήµατα το πολύ το 30% µπορεί να περάσει. Να βρεθεί η µέγιστη πιθανότητα ένας µαθητής να απορριφθεί και στα δύο. 30. Έστω Ω={,,3,4,5,6} δειγµατικός χώρος µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα και 3 λ Ω. Εάν f(x) = x 3x + (λ + )x + λ 4λ + να βρεθεί η πιθανότητα η εφαπτοµένη της από την αρχή των αξόνων. C f στο σηµείο x 0 µε f''(x0 ) = 0 να διέρχεται 3. Έστω Α και Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω ο οποίος αποτελείται από 00 στοιχεία που είναι ισοπίθανα και ισχύει ότι (P(A)) + (P(B)) + = (3P(A) + 4(PB)). 5 α) Να βρεθούν τα Ν(Α) και Ν(Β). β) Να δειχθεί ότι P(Α Β) 0, 4. ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

16 3. Εκλέγουµε τυχαία έναν αριθµό λ από το σύνολο Ω={,,3, 00}. Να βρεθεί η πιθανότητα ώστε η διασπορά των αριθµών λ, λ+ και 3λ+5 να είναι µεγαλύτερη του Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω={,,3,,0} µε ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόµενα. Να βρεθεί η πιθανότητα ώστε η συνάρτηση 4 f(x) = x 4x + λ, λ Ω να έχει ελάχιστο έναν αριθµό µεγαλύτερο του. 34. Σε µία πόλη κατοίκων βρέθηκε ότι οι έχουν δικό τους σπίτι ή δικό τους αυτοκίνητο, ενώ οι έχουν και αυτοκίνητο και σπίτι. Επιλέγουµε τυχαία έναν κάτοικο από την πόλη αυτή. Να βρεθεί η πιθανότητα ώστε αυτός να έχει µόνο σπίτι ή µόνο αυτοκίνητο. 35. Στο διπλανό πίνακα δίνονται οι συχνότητες των τιµών µία µεταβλητής X. Εάν η τυπική απόκλιση των τιµών είναι S=9/5 να βρεθούν : α) Η µέση τιµή του δείγµατος. β) Η πιθανότητα µία τυχαία τιµή της µεταβλητής να βρίσκεται στο διάστηµα ( X S,X + S). Τιµές x i v i Σύνολα Έστω Ω={ω, ω, ω 3, ω 4, ω 5, ω 6 } ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης. Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχοµένων ω i, µε i 6 ισχύουν : Ρ(ω5) Ρ(ω )=Ρ(ω 3 )=, Ρ(ω )=Ρ(ω 6 )= 4 Ρ(ω4) και Ρ(ω 5 )=Ρ(ω 6 ). α) Να υπολογισθούν οι πιθανότητες των απλών ενδεχοµένων ω i, µε i 6. β) Να υπολογισθούν οι πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β) των ενδεχοµένων Α={ω, ω 4, ω 6 } και Β={ω, ω 3, ω 5 }. γ) Εάν Γ={ω, ω, ω 3, ω 4 } και ={ω 3, ω 4, ω 5, ω 6 } είναι δύο άλλα ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω να υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχοµένων Γ και Γ. 37. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε πιθανότητες των οποίων ισχύει ότι Ρ(Α)= lim x 3 x Ρ(Α)+Ρ(Β) 8Ρ(Α)Ρ(Β). α) Να υπολογισθούν οι πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β). 3 x x Α Β για τις 9 3x 9 και ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

17 β) Εάν Γ ενδεχόµενο του δειγµατικού χώρου Ω για το οποίο ισχύει ότι Β, Γ ασυµβίβαστα ενδεχόµενα και Ρ(Γ)= Ρ(Α Β) να υπολογισθεί η πιθανότητα του ενδεχοµένου Α Β Γ. 38. Σε ένα αεροπλάνο της γραµµής Αθήνα Μαδρίτη υπάρχουν 300 επιβάτες (άνδρες και γυναίκες). Το 60% των επιβατών είναι άνδρες, το 70% των επιβατών έχουν ξαναταξιδέψει µε αεροπλάνο ενώ το 0% των γυναικών ταξιδεύει πρώτη φορά µε αεροπλάνο. Επιλέγουµε τυχαία έναν από τους επιβάτες. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχοµένων : α) Ο επιβάτης να είναι γυναίκα ή να έχει ξαναταξιδέψει µε αεροπλάνο. β) Ο επιβάτης να είναι άνδρας και να µην έχει ξαναταξιδέψει µε αεροπλάνο. γ) Ο επιβάτης να είναι άνδρας ή να έχει ξαναταξιδέψει µε αεροπλάνο. 39. Σε ένα κουτί υπάρχουν x λευκά σφαιρίδια, 0 κίτρινα και y µαύρα. Επιλέγουµε τυχαία ένα σφαιρίδιο. Η πιθανότητα να επιλέξουµε λευκό σφαιρίδιο είναι ίση µε ενώ η πιθανότητα να επιλέξουµε µαύρο σφαιρίδιο είναι ίση µε. 4 8 α) Να υπολογισθεί το πλήθος των σφαιριδίων που βρίσκονται µέσα στο κουτί. β) Να υπολογισθεί η πιθανότητα του ενδεχοµένου : «Το σφαιρίδιο που θα επιλεγεί να είναι κίτρινο». 40. Σε ένα δείγµα 00 στρατιωτών από το Κέντρο Εκπαίδευσης Πυροβολικού της Θήβας, 50 στρατιώτες δήλωσαν ότι κατάγονται από την Αθήνα ενώ 60 στρατιώτες δήλωσαν πτυχιούχοι Ανώτατης Εκπαίδευσης. Επιλέγουµε έναν στρατιώτη και θεωρούµε τα ενδεχόµενα : Α : «Ο στρατιώτης να κατάγεται από την Αθήνα» και Β : «Ο στρατιώτης να είναι πτυχιούχος Ανώτατης Εκπαίδευσης». α) Να δειχθεί ότι τα ενδεχόµενα Α και Β δεν είναι ασυµβίβαστα. β) Να δειχθεί ότι Ρ(Α Β) 0, 75 και 0,05 Ρ(Α Β) 0, 3. γ) Να υπολογισθεί η ελάχιστη τιµή της πιθανότητας του ενδεχοµένου Γ : «Ο στρατιώτης να κατάγεται µόνο από την Αθήνα ή να είναι µόνο πτυχιούχος Ανώτατης Εκπαίδευσης». 4. Από µελέτες που έχουν πραγµατοποιηθεί έχει διαπιστωθεί ότι επτά στα δέκα αυτοκίνητα που προσέρχονται για τεχνικό έλεγχο έχουν φθαρµένα ελαστικά. Από τα αυτοκίνητα που εξετάζονται και βρίσκονται να έχουν φθαρµένα ελαστικά το 60% παρουσιάζει ηλεκτρικά προβλήµατα ενώ από τα αυτοκίνητα που εξετάζονται και δεν έχουν φθαρµένα ελαστικά το 0% παρουσιάζει ηλεκτρικά προβλήµατα. Επιλέγουµε ένα αυτοκίνητο που προσέρχεται για τεχνικό έλεγχο. α) Να βρεθεί η πιθανότητα να παρουσιάζει ηλεκτρικά προβλήµατα. ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

18 β) Να βρεθεί η πιθανότητα να µην έχει φθαρµένα ελαστικά και ούτε ηλεκτρικά προβλήµατα. 4. Η Θετική Κατεύθυνση της Γ Τάξης Λυκείου κάποιου σχολείου της Αττικής αποτελείται από 60 µαθητές. Στην ερώτηση για το µέσο ακρόασης µουσικής που χρησιµοποιούν βρέθηκε ότι 3 µαθητές χρησιµοποιούν στερεοφωνικό σύστηµα, 30 µαθητές χρησιµοποιούν ραδιόφωνο ενώ 0 µαθητές δεν χρησιµοποιούν κανένα από τα δύο. α) Να βρεθεί το πλήθος των µαθητών που χρησιµοποιεί και τα δύο µέσα. β) Επιλέγουµε τυχαία έναν από αυτούς τους µαθητές. Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχοµένου «Ο µαθητής που επιλέχθηκε να χρησιµοποιεί µόνο στερεοφωνικό σύστηµα ή µόνο ραδιόφωνο». 43. Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω={,, 3, 4,...,ν} µε ν Ν *. Το δείγµα των απλών ενδεχοµένων του Ω έχει µέση τιµή X= 7 ενώ για τις πιθανότητές τους ισχύει ότι : P() P(3) P(ν) Ρ () = = =... =. 3 ν α) Να βρεθεί ο φυσικός αριθµός ν. β) Να υπολογισθούν οι πιθανότητες των απλών ενδεχοµένων του Ω. γ) Θεωρούµε το δείγµα κ, κ, 3κ µε κ στοιχείο του Ω. Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχοµένου Α : «Η τυπική απόκλιση του παραπάνω δείγµατος να είναι µεγαλύτερη του 6» Σε ένα σχολείο το 0% των αγοριών και το 30% των κοριτσιών έχουν ξανθά µαλλιά. Στο σύνολο των παιδιών του σχολείου το ποσοστό αυτών που έχουν ξανθά µαλλιά είναι ίσο µε 4%. Επιλέγουµε τυχαία ένα παιδί του σχολείου. α) Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχοµένου : «Το παιδί που επιλέχθηκε να είναι αγόρι». β) Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχοµένου : «Το παιδί που επιλέχθηκε να είναι κορίτσι ή να έχει ξανθά µαλλιά». 45. Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω={,, 3, 4,, 008} ο οποίος αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. ίνεται ότι Α, Β είναι δύο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα του Ω για τα οποία ισχύει ότι : 6Ρ(Β) -5Ρ(Β)-Ρ(Α)+0=0. α) Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχοµένων Α και Β. β) Να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων των ενδεχοµένων Α και Β. γ) Τι συµπέρασµα µπορεί να προκύψει για τα ενδεχόµενα Α και Β; 46. Σε ένα συρτάρι υπάρχουν ανακατεµένα γραπτά Β και Γ τάξης Λυκείου, Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης. Τα γραπτά της Γ τάξης είναι 40 και τα γραπτά της Β τάξης µε βαθµό µικρότερο ή ίσο του 0, είναι 0. Επιλέγουµε ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

19 τυχαία ένα γραπτό και θεωρούµε τα ενδεχόµενα : Α : «Το γραπτό που επιλέχθηκε έχει βαθµό µικρότερο ή ίσο του 0» και Β : «Το γραπτό που επιλέχθηκε είναι γραπτό της Β τάξης µε βαθµό µεγαλύτερο του 0». Για τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β) των ενδεχοµένων Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α)= και 4 Ρ(Β)= 7. α) Να βρεθεί το πλήθος των γραπτών της Β τάξης καθώς και το πλήθος των γραπτών της Γ τάξης µε βαθµό µικρότερο ή ίσο του 0. β) Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχοµένου Γ : «Το γραπτό που επιλέχθηκε να είναι της Γ τάξης ή να είναι γραπτό µε βαθµό µεγαλύτερο του 0». 47. Έστω Ω={,, 3} δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης και Ρ(), Ρ(), Ρ(3) οι πιθανότητες των απλών ενδεχοµένων του Ω. ίνεται ότι η δευτεροβάθµια εξίσωση : x -5P()x+ 9 P(3)=0 έχει ρίζες τους αριθµούς : Ρ() και Ρ(). α) Να βρεθούν οι πιθανότητες Ρ(), Ρ(), Ρ(3). β) ίνεται η συνάρτηση f(x)=x 3 + λ x -3λx+4, λ Ω και το ενδεχόµενο Α : «Η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο της (, f()) να είναι παράλληλη στην ευθεία y=x+». Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχοµένου Α. ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

20 4. ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ. Κάθε τοπικό µέγιστο µίας συνάρτησης είναι και µέγιστο της ίδιας συνάρτησης.. Έστω συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το R. Τότε για κάθε x R ισχύει ότι lim f(x) = f(x0). x x0 3. Για τον υπολογισµό της διαµέσου µιας κατανοµής δε χρησιµοποιούνται όλες οι τιµές της κατανοµής. 4. Η επικρατούσα τιµή µιας κατανοµής δεν ορίζεται πάντα µονοσήµαντα. 5. Η τιµή που παρουσιάζεται τις περισσότερες φορές σε µία οµάδα στατιστικών στοιχείων, ονοµάζεται µέση τιµή. 6. Όταν σε µία κατανοµή έχουµε 00 παρατηρήσεις τότε η διάµεσος ισούται µε το ηµιάθροισµα της 50ης και της 6Οης τιµής. 7. Για τον υπολογισµό της διαµέσου µιας κατανοµής µπορεί να χρειασθεί παρεµβολή. 8. Στα µέτρα θέσεως ανήκει η διάµεσος και η διασπορά. 9. Όσο πιο µικρή είναι η τιµή της µέσης απόλυτης απόκλισης τόσο πιο πολύ οι τιµές της µεταβλητής είναι συγκεντρωµένες κοντά στη µέση τιµή. 0. Η τυπική απόκλιση εκφράζεται σε µονάδα που είναι το τετράγωνο της αρχικής µονάδας µέτρησης του χαρακτηριστικού της µεταβλητής.. Η διάµεσος µιας κατανοµής δεν επηρεάζεται από ακραίες τιµές.. Η διάµεσος δεν ορίζεται σε οµαδοποιηµένα δεδοµένα. 3. Η τυπική απόκλιση µπορεί να πάρει και αρνητικές τιµές. 4. Η µέση τιµή µιας κατανοµής δεν επηρεάζεται από ακραία δεδοµένα. 5. Στα µέτρα διασποράς ανήκει το εύρος. 6. Στην περίπτωση που µία κατανοµή είναι «συµµετρική» οι τιµές της µέσης τιµής και της διαµέσου συµπίπτουν µεταξύ τους. 7. Η µέση τιµή υπολογίζεται και στα ποιοτικά δεδοµένα. 8. Ο σταθµικός µέσος χρησιµοποιείται στις περιπτώσεις που δίνεται διαφορετική βαρύτητα στις τιµές ενός συνόλου δεδοµένων. 9. Η τυπική απόκλιση και η διάµεσος εκφράζονται στις ίδιες µονάδες. 0. Η διάµεσος και η επικρατούσα τιµή δεν είναι δυνατόν να συµπίπτουν.. Ο συντελεστής µεταβολής είναι ανεξάρτητος από τις µονάδες µέτρησης.. Το σπουδαιότερο και πλέον χρήσιµο µέτρο της Στατιστικής είναι η διάµεσος. 3. Σε περιπτώσεις µεγάλης ασυµµετρίας των κατανοµών η µέση τιµή δεν µπορεί να θεωρηθεί ως αντιπροσωπευτική παράµετρος της δοθείσης κατανοµής. 0 ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 9 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

21 4. Η διασπορά εκφράζεται σε µονάδα που είναι το τετράγωνο της αρχικής µονάδας µέτρησης του χαρακτηριστικού της µεταβλητής. 5. Κατά την οµαδοποίηση των παρατηρήσεων µιας κατανοµής για τον υπολογισµό της µέσης τιµής, χάνουµε λίγο σε ακρίβεια κερδίζουµε όµως σε χρόνο. 6. Το εύρος µιας κατανοµής είναι στοιχείο των τιµών της κατανοµής. 7. Το εύρος µιας κατανοµής δεν ορίζεται για οµαδοποιηµένα δεδοµένα. 8. Ο συντελεστής µεταβολής CV παριστάνει ένα µέτρο απόλυτης διασποράς. 9. Ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής είναι οµοιογενές όταν ο συντελεστής µεταβολής δεν ξεπερνά το 0%. 30. Εάν η τυπική απόκλιση των βαθµολογιών σε µία οµάδα µαθητών είναι µεγαλύτερη από την αντίστοιχη τυπική απόκλιση των βαθµολογιών σε µια άλλη τάξη µαθητών, τότε είναι δεδοµένο ότι και ο συντελεστής µεταβολής θα δίνει µεγαλύτερη διασπορά στην πρώτη οµάδα µαθητών. 3. Το εύρος µπορεί να ορισθεί και στην περίπτωση ποιοτικών δεδοµένων. 3. Ο συντελεστής µεταβολής ενός δείγµατος είναι πάντοτε µικρότερος του. 33. Τα δείγµατα x, x,...,x ν και cx,cx,...,cx ν µε c>0 έχουν τον ίδιο συντελεστή µεταβολής. 34. Εάν Α Β τότε Ρ(Α) + Ρ(Β) <. 35. Εάν Ρ(Α) = Ρ(Α ) τότε Ρ(Α) = Ρ(Ω). 36. Εάν Α Β = Ω, τότε Α' Β' =. 37. Εάν Α Β = Ω τότε Α=Β=Ω. 38. Εάν Α Β = τότε Α ' Β' = Ω. 39. Εάν Α, Β είναι ενδεχόµενα ενός πειράµατος τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω τότε ισχύει η ισότητα Α-Β= Α Β'. 40. Εάν Α, Β είναι ενδεχόµενα ενός πειράµατος τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω τότε ισχύει η ισότητα Α Β = (Α Β) (Β Α). 4. Εάν Α, Β είναι ενδεχόµενα ενός πειράµατος τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω και ισχύει ότι Α Β τότε Α Β = Α και Α Β = Β. 4. Εάν για κάποιο ενδεχόµενο Α ενός πειράµατος τύχης ισχύει ότι Ρ(Α)=0 τότε Α =. 43. Εάν για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός πειράµατος τύχης ισχύει ότι Ρ(Α)=Ρ(Β) τότε Α=Β. 44. Εάν Α, Β είναι ασυµβίβαστα ενδεχόµενα ενός πειράµατος τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω τότε ισχύει ότι Α' Β' = Ω. 45. Εάν Α, Β είναι ενδεχόµενα ενός πειράµατος τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω και ισχύει ότι Α Β = Ω τότε Ρ(Α)+Ρ(Β)=. ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 0 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

22 46. Εάν Α, Β είναι ενδεχόµενα ενός πειράµατος τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω και ισχύει ότι Ρ(Α)+Ρ(Β)= τότε Α= Β '. 47. Εάν Α, Β είναι ενδεχόµενα ενός πειράµατος τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω και ισχύει ότι Ρ(Α) Ρ(Β) τότε Α Β. 48. Εάν Α, Β είναι ενδεχόµενα ενός πειράµατος τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω τότε Ρ(Α-Β)+ +Ρ(Β-Α)= Ρ(Α Β) Ρ(Α Β). 49. Για δύο οποιαδήποτε ενδεχόµενα ενός πειράµατος τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω ισχύει ότι Ρ(Α Β) Ρ(Α Β). 50. Εάν Α, Β είναι ασυµβίβαστα ενδεχόµενα ενός πειράµατος τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω τότε και τα ενδεχόµενα Α ', Β' είναι επίσης ασυµβίβαστα. 5. Για δύο οποιαδήποτε ενδεχόµενα ενός πειράµατος τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω ισχύει ότι Ρ (Α Β) + Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β). 5. Εάν για δύο ενδεχόµενα Α, Β ενός πειράµατος τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω ισχύει ότι Α Β = Ω τότε τα ενδεχόµενα Α και Β είναι ασυµβίβαστα. 53. Εάν Α, Β είναι ασυµβίβαστα ενδεχόµενα ενός πειράµατος τύχης µε δειγµατικό χώρο Ω τότε ισχύει ότι Β Α'. 54. Εάν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Α Β=Α, τότε A B =. 55. Εάν τα ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω είναι ασυµβίβαστα τότε είναι συµπληρωµατικά ενδεχόµενα. 56. Εάν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε A B = Ω τότε A ' B'=. Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Για µια τάξη µαθητών θεωρούµε τα ενδεχόµενα Α: «άριστος µαθητής στα Αρχαία» και Β : «άριστος µαθητής στη Βιολογία» µε Ρ(Α)=0,7 και Ρ(Β)=0,4. α) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν µαθητές που είναι άριστοι και στα δυο µαθήµατα. β) Έστω ότι οι µαθητές είναι 0. Να αποδείξετε ότι οι µαθητές που είναι άριστοι και στα δυο µαθήµατα είναι τουλάχιστον και το πολύ 8. γ) Εάν οι µαθητές που είναι άριστοι στα Αρχαία αλλά όχι στη Βιολογία είναι 0, να βρείτε την πιθανότητα να επιλέξουµε στην τύχη µαθητή που δεν είναι άριστος ούτε στα Αρχαία ούτε στη Βιολογία.. α) Σε ένα σύνολο ν παρατηρήσεων µε τιµές διαφορετικές του 5 και µέση τιµή X = 3, προσθέτουµε παρατηρήσεις µε τιµή 5 και η µέση τιµή των παρατηρήσεων γίνεται ίση µε 4. Αν επιλεγεί τυχαία µια παρατήρηση από το σύνολο, να αποδείξετε ότι η πιθανότητα να έχει τιµή 5 είναι ίση µε 0,5. ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

23 β) Σε ένα σύνολο ν παρατηρήσεων µε τιµές διαφορετικές του, προσθέτουµε 40 παρατηρήσεις µε τιµή και η µέση τιµή των παρατηρήσεων γίνεται ίση µε,. Αν η πιθανότητα να επιλέξουµε στην τύχη από το σύνολο µια παρατήρηση µε τιµή είναι 0,8, να βρείτε τη µέση τιµή X των ν παρατηρήσεων του αρχικού συνόλου. 3. Η τιµή πώλησης της µπύρας στα καταστήµατα ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέση τιµή X = Ευρώ και τυπική απόκλιση s = 0 λεπτά. Κάποιος που έχει 4 ευρώ επιλέγει στη τύχη ένα κατάστηµα. Να βρεθεί η πιθανότητα να αγοράσει κάποιος τουλάχιστον 5 µπύρες. 4. Ένας µαθηµατικός έχει στον υπολογιστή του x εύκολες ασκήσεις, 3x + µέτριας δυσκολίας και 3x δύσκολες ασκήσεις. Ο καθηγητής επιλέγει στην τύχη µια άσκηση για να τη βάλει σε ένα τεστ. Θεωρούµε το ενδεχόµενο Α : «Ο καθηγητής επιλέγει εύκολη άσκηση». Να βρεθούν : α) Η πιθανότητα Ρ(Α) συναρτήσει του x. β) Η τιµή του x για την οποία η Ρ(Α) γίνεται µέγιστη. γ) Η µέγιστη πιθανότητα Ρ(Α). 5. Έστω Α και Β Α συµπληρωµατικά ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω. α) Να δειχθεί ότι P (A B) =. β) Εάν ισχύει ότι P (A B) = [P(B)], να βρεθούν η συνάρτηση f(x) η οποία εκφράζει την µεταβολή της Ρ(Α), όταν µεταβάλλεται η Ρ(Β), την πιθανότητα Ρ(Β) για την οποία η Ρ(Α) γίνεται ελάχιστη, καθώς και την ελάχιστη αυτή πιθανότητα. 6. Για ένα φάρµακο σε πειραµατικό στάδιο, αποδείχθηκε ότι δηµιουργεί δυο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δηµιουργήσει πρόβληµα στην όραση του ασθενούς είναι µικρότερη του 7%, η πιθανότητα να δηµιουργήσει δυσλειτουργία στο γαστρεντερικό είναι 5% και τέλος η πιθανότητα να εµφανιστούν παρενέργειες και στην όραση και στο γαστρεντερικό είναι %. Το φάρµακο επιτρέπεται να κυκλοφορήσει, εάν η πιθανότητα να µην δηµιουργήσει παρενέργειες είναι µεγαλύτερη του 0,9. Να εξετασθεί εάν το φάρµακο θα κυκλοφορήσει. 7. Η κυβέρνηση επιβάλλει έναν νέο φόρο 4% στον µισθό των δηµοσίων υπαλλήλων και µετά από αντιδράσεις των κλάδων δίνει αύξηση σε όλους 38 ευρώ. α) Να δειχθεί ότι αυτοί που θα ζηµιωθούν, είναι οι υπάλληλοι µε µισθό πάνω από 950 ευρώ. β) Ο µέσος µισθός των υπαλλήλων ήταν X = 000 Ευρώ µε τυπική απόκλιση s=50 Ευρώ. Εάν η κατανοµή των µισθών είναι κατά προσέγγιση κανονική, να ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

24 βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχοµένου «Ο υπάλληλος δεν θα ζηµιωθεί από την εφαρµογή των νέων µέτρων». γ) Να βρεθεί ο µέσος µισθός και η τυπική απόκλιση µετά την εφαρµογή των νέων µέτρων. 8. Σε µια κληρωτίδα υπάρχουν ν λαχνοί αριθµηµένοι από το έως το ν. ύο παίκτες, ο Α και ο Β, έχουν αγοράσει λαχνούς, κάποιους µαζί και κάποιους ο καθένας ξεχωριστά. Ο Α έχει αγοράσει όλους τους λαχνούς από το µέχρι και το 0 και κερδίζει µόνο αυτός και όχι ο Β, όταν ο λαχνός που θα κληρωθεί είναι από ως και 5. Η πιθανότητα να κερδίσουν µαζί οι δυο παίκτες είναι ίση µε. 6 α) Να βρεθεί το πλήθος των λαχνών που θα κληρωθούν. β) Εάν η πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης Β είναι ίση µε, να βρεθεί ποιους λαχνούς αγόρασε. 9. Σε ένα κυκλικό διάγραµµα παρουσιάζονται οι τιµές x, x, x 3, x 4 µίας µεταβλητής Χ. Η γωνία του τόξου της τιµής x είναι 54 0 και η συχνότητα της x είναι ν =4. Επιλέγουµε στην τύχη µια παρατήρηση και έστω Ρ(x ), Ρ(x ), Ρ(x 3 ) και Ρ(x 4 ) η πιθανότητα να επιλεγεί η αντίστοιχη τιµή. α) Να βρεθεί η πιθανότητα Ρ(x ). β) Εάν Ρ(x )=0,35 και η συχνότητα της x 3 είναι ν 3 =6, να βρεθεί το πλήθος των παρατηρήσεων και οι πιθανότητες Ρ(x 3 ) και Ρ(x 4 ). 0. Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο R µε lim f(x) = f(+ h) lim h 0 h + x = 3. Εάν (x, ψ ), (x, ψ ), (x 3, ψ 3 ),, (x 0, ψ 0 ) είναι 0 σηµεία της εφαπτοµένης της συνάρτησης f στο x 0 = και ισχύει ότι x +x +x 3 + +x 0 =60, να βρεθεί η µέση τιµή Ψ των συντεταγµένων των 0 σηµείων.. ίνεται η συνάρτηση f(x)=x 3 λx. α) Να βρεθεί η f (x). β) Να βρεθεί η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο Α(, f()). γ) Θεωρούµε το δειγµατικό χώρο Ω={ - 3, -, -, 0,,, 3, 4, 5} µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα και λ Ω. Να βρεθούν οι πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων : Α={η εφαπτόµενη να είναι παράλληλη στην ευθεία (η): y=8x }. Β={η εφαπτόµενη να είναι κάθετη στην ευθεία (ζ): y= x + 3} 4 και ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 3 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

25 Γ={το lim f(x) = x λ } ={Η ελάχιστη τιµή του ρυθµού µεταβολής της f είναι ίση µε Ε={Να πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β, Γ, } Ζ={Να µην πραγµατοποιηθεί κανένα από τα Α, Β, Γ, }. 3 }. ίνεται η συνάρτηση f(x)= 0sx + Xx +, x R όπου X η µέση τιµή και s η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων ενός δείγµατος µεγέθους ν (µε X 0 και s 0 ). Εάν η εφαπτοµένη της καµπύλης της f στο σηµείο Β(-, f(-)) είναι παράλληλη στην ευθεία y=8 τότε : α) Να βρεθεί η συνάρτηση f (x). β) Να δειχθεί ότι το δείγµα είναι οµοιογενές. γ) Να δειχθεί ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο. δ) Εάν η συνάρτηση f έχει ελάχιστη τιµή ίση µε τότε : i) Να βρεθεί η µέση τιµή και η τυπική απόκλιση του δείγµατος. ii) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της C f στο σηµείο Β. 3. Έστω Χ µια ποσοτική µεταβλητή ως προς την οποία εξετάζουµε ένα δείγµα µεγέθους ν και x, x,,x v οι παρατηρήσεις µε µέση τιµή X και τυπική απόκλιση S. Θεωρούµε τη συνάρτηση g(x)=4x X x+0s, 3 x R. Εάν η g(x) παρουσιάζει για x= ελάχιστο µε ελάχιστη τιµή g()=- τότε : α) Να βρεθεί η µέση τιµή X και η τυπική απόκλιση. β) Να εξετάσετε εάν το δείγµα είναι οµοιογενές. γ) Επιλέγουµε στη τύχη µια παρατήρηση από τις ν παρατηρήσεις. Να βρεθεί η πιθανότητα η παρατήρηση να βρίσκεται µεταξύ,7 και,3 εάν η κατανοµή θεωρηθεί κανονική. δ) Αυξάνουµε κάθε παρατήρηση κατά την ίδια ποσότητα λ>0. Να βρεθεί η µικρότερη τιµή του λ ώστε το δείγµα να είναι οµοιογενές. 4. Έστω η συνάρτηση f(x)= x α) Να βρεθεί η ελάχιστη τιµή της f. + όπου x (0, ). x β) Εάν Α ένα ενδεχόµενο του δειγµατικού χώρου Ω, το οποίο δεν αδύνατο αλλά ούτε και βέβαιο, να δείξετε ότι + 4. P(A) P(A') 5. Έστω Ω={,, 3, 4, 5} ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης. Για τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχοµένων του Ω ισχύει ότι P() P() P(3) P(4) P(5) = = = = α) Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχοµένων του Ω. ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 4 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

26 β) Θεωρούµε τη συνάρτηση f(x)=e µx, x R, µ Ω και τα ενδεχόµενα Α={µ Ω/f (0)-3f (0)+f(0)=0} και Β={µ Ω/f (0)>3}. i) Nα βρεθούν τα ενδεχόµενα Α και Β. ii) Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχοµένωνa B, A B καιa ' B. 6. Η µέση τιµή δείγµατος µε κανονική καµπύλη συχνοτήτων είναι 30 και στο διάστηµα (, 6) βρίσκεται το 3,5% των τιµών του δείγµατος. α) Να βρεθεί το εύρος του δείγµατος. β) Να εξετασθεί εάν το δείγµα είναι οµοιογενές. γ) Εάν οι τιµές του δείγµατος αυξηθούν κατά 0% να βρεθεί ποια µεταβολή θα επέλθει στo συντελεστή µεταβολής του δείγµατος. 7. Για τα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύουν: 3P(A )=P(A) και P(B )=P(B). a) Να εξετασθεί εάν τα ενδεχόµενα Α, Β είναι ασυµβίβαστα. 3 β) Να δειχθεί ότι P(A B). 5 4 γ) Να δειχθεί ότι P(A B). 5 δ) Εάν P(B A )= 5 να βρεθεί η P(Α B). 8. Mία κάλπη περιέχει 4 µπάλες, µία κόκκινη, µια πράσινη µια γαλάζια και µια άσπρη. Κάνουµε το εξής πείραµα : Παίρνουµε από το κουτί µια µπάλα, καταγράφουµε το χρώµα της και χωρίς να γίνει επανατοποθέτησή της στο κουτί επιλέγουµε δεύτερη µπάλα και καταγράφουµε επίσης το χρώµα της. α) Υποθέτοντας ότι όλες οι εκλογές είναι ισοπίθανες, να βρεθεί ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος. β) Εάν η εκλογή µιας κόκκινης µπάλας δίνει βαθµούς, της πράσινης βαθµούς, της γαλάζιας βαθµό και της άσπρης κανένα βαθµό, να δοθεί δώστε το σύνολο των δυνατών τιµών σε κάθε επανάληψη του παραπάνω πειράµατος. γ) Γνωρίζοντας ότι κερδίζουµε, όταν το αποτέλεσµα είναι θετικό, να υπολογισθεί η πιθανότητα να κερδίσουµε. 9. Ένα πολυκατάστηµα αγοράζει παιχνίδια από το εργοστάσιο παραγωγής τους στην τιµή των 3 ευρώ το καθένα. Τα διαθέτει στην αγορά το κάθε παιχνίδι στην τιµή των 5 ευρώ και πουλά 00 παιχνίδια το µήνα. Προκειµένου να αυξήσει τις πωλήσεις του, προσανατολίζεται να µειώσει την τιµή πώλησης του παιχνιδιού και εκτιµά ότι για κάθε ευρώ µείωσης στην τιµή θα πωλούνται 0 περισσότερα παιχνίδια το µήνα. ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

27 α) Να εκφρασθεί το µηνιαίο κέρδος του πολυκαταστήµατος από την πώληση αυτού του παιχνιδιού ως συνάρτηση της τιµής πώλησής του. β) Nα βρεθεί η τιµή πώλησης του παιχνιδιού για την οποία µεγιστοποιείται το κέρδος του πολυκαταστήµατος. 0. Οι τιµές µιας µεταβλητής Χ οµαδοποιήθηκαν σε 5 ισοπλατείς κλάσεις µε αντίστοιχη κατανοµή συχνοτήτων Α(4, α), Β(8, 3α), Γ(, 0), (6, 3α), Ε(0, α). Εάν Ο(0, 0) και Ζ(4, 0), τότε το εµβαδόν που περικλείεται από το πολύγωνο συχνοτήτων ΟΑΒΓ ΕΖ και τον οριζόντιο άξονα είναι 70. α) Να κατασκευασθεί ο πίνακας κατανοµής συχνοτήτων. β) Να δειχθεί ότι το δείγµα δεν είναι οµοιογενές. γ) Θεωρώντας ότι οι τιµές της µεταβλητής Χ είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες στις κλάσεις, παίρνουµε στην τύχη µια από αυτές. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχοµένων : Κ= {Η τυχαία τιµή να είναι µικρότερη από 9 και µεγαλύτερη ή ίση του 6}. Λ= {Η τυχαία τιµή να είναι µεγαλύτερη ή ίση του }. Μ={Πραγµατοποιείται µόνο το Κ}. ( ίνεται ότι : 30, 7 5,49). Σε ένα Λύκειο φοιτούν 300 µαθητές και η µέση βαθµολογία τους στα Μαθηµατικά στο Α τετράµηνο ήταν 5. Στο Β τετράµηνο, ένας ορισµένος αριθµός µαθητών αύξησε τη βαθµολογία του κατά 4 µονάδες ο καθένας, ενώ οι υπόλοιποι µείωσαν τη βαθµολογία τους κατά µονάδες ο κάθε µαθητής. Να βρεθεί πόσοι µαθητές βελτίωσαν τη βαθµολογία τους και πόσοι την χειροτέρευσαν, αν γνωρίζουµε ότι η µέση βαθµολογία όλων στο Β τετράµηνο έγινε 7.. Μια ασφαλιστική εταιρεία ασφαλίζει τους πελάτες της για την περίπτωση πυρκαγιάς. Από το νέο έτος αυξάνει τα ασφάλιστρα κατά 0% και επειδή δεν έγινε καµία ζηµία, κάνει έκπτωση σε όλους τους πελάτες της 0% επί του παλαιού µέσου ασφαλίστρου (bonus). Εάν ο συντελεστής µεταβολής ήταν CVx=0,40 να υπολογιστεί ο νέος συντελεστής µεταβολής. 3. Η κατανοµή της ηλικίας 50 ατόµων δίνεται στον παρακάτω πίνακα : Ηλικία σε έτη ν i 5 5 ν = ν = ν ν ν 5 =0 ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 6 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

28 α) Εάν η µέση τιµή ήταν X=40 χρόνια, να βρεθεί η διακύµανση του δείγµατος. β) Εάν είναι γνωστό ότι το ποσοστό των γυναικών σε κάθε κλάση είναι 40%, να βρεθεί η πιθανότητα ένα άτοµο να έχει ηλικία µεταξύ 5 και 35 χρόνων (5 x<35) ή να είναι άνδρας. 4. Ο χρόνος εργασίας των υπαλλήλων µιας εταιρείας που εργάζονται από 5 έως 30 χρόνια έχει ταξινοµηθεί σε 5 ισοπλατείς κλάσεις. Τα διαθέσιµα στοιχεία που έχουµε είναι τα εξής : Το πολύγωνο συχνοτήτων που δείχνει τα χρόνια εργασίας έχει εµβαδόν 80, η γωνία του κυκλικού τοµέα που αντιστοιχεί στην 4η κλάση είναι 35, η συχνότητα (αριθµός υπαλλήλων) της ης κλάσης είναι 4πλάσια από αυτήν της 3ης κλάσης, η σχετική συχνότητα των υπαλλήλων που αντιστοιχούν στην η κλάση είναι 0% και ο αριθµός των υπαλλήλων που εργάζονται τουλάχιστον 5 χρόνια είναι 40. α) Να βρεθούν οι συχνότητες ν i, fi%, Ν i, Fi%. β) Να σχεδιασθεί το ιστόγραµµα σχετικών συχνοτήτων fi%. γ) Εάν γνωρίζουµε ότι ο αριθµός των ανδρών σε κάθε κλάση είναι ίσος µε αυτόν των γυναικών, να βρεθεί η πιθανότητα, αν επιλέξουµε κάποιον τυχαία, να είναι άνδρας ή να πάρει σύνταξη στα επόµενα 0 χρόνια. (Για να πάρει κάποιος σύνταξη χρειάζονται 30 χρόνια υπηρεσίας). 5. Έστω 5, α, 7, 8, β, (α<β) οι τιµές µιας µεταβλητής Χ. Η µέση τιµή και ο 6 συντελεστής µεταβολής των τιµών της Χ είναι X=5 και CV= αντίστοιχα. 5 α) Να υπολογισθούν οι τιµές α, β και η διάµεσος δ των παραπάνω τιµών της Χ. β) Εάν επιπλέον Ω={5, α, 7, 8, β} και f συνάρτηση µε τύπο f(x)=x 3 3x+κ 3κ, x R, κ Ω, να βρεθεί η πιθανότητα ώστε η f να έχει ένα τουλάχιστον ακρότατο το οποίο βρίσκεται στον άξονα x x. 6. Από µια έρευνα προέκυψε ότι το 60% των Λυκείων της Αθήνας πηγαίνουν 5ήµερη εκδροµή στη Ρόδο. Η πιθανότητα να µην πάνε µε καράβι είναι 0,30 ενώ η πιθανότητα να πάνε στην Ρόδο αλλά όχι µε καράβι είναι 0,. Επιλέγουµε τυχαία ένα Λύκειο της Αθήνας. Να βρεθούν οι πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων : Κ : Το Λύκειο να πάει 5ήµερη µε καράβι. Λ : Το Λύκειο να πάει στη Ρόδο µε καράβι. Μ : Το Λύκειο να πάει στη Ρόδο η να πάει µε καράβι στο µέρος που έχει επιλέξει. Ν : Το Λύκειο να πάει στη Ρόδο αλλά όχι µε καράβι ή να πάει µε καράβι αλλά όχι στη Ρόδο. ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 7 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

29 7. Σύµφωνα µε το νέο ασφαλιστικό νόµο, στους εργαζόµενους από 35 ετών και άνω επιβάλλεται ένας νέος φόρος 3% για την ενίσχυση των ασφαλιστικών ταµείων. Μετά από αντιδράσεις των εργαζοµένων, αποφασίστηκε να δοθεί στον καθένα και αύξηση 30. α) Να βρεθεί ποιος είναι ο µικρότερος µισθός, που πρέπει να έχει ένας εργαζόµενος, ώστε να ζηµιωθεί από την παραπάνω ρύθµιση. β) Εάν ο µέσος µισθός των εργαζοµένων µιας επιχείρησης ήταν X=800 και το δείγµα ήταν «οριακά» οµοιογενές τότε να υπολογισθεί ο µέσος µισθός και η τυπική απόκλιση µετά την εφαρµογή του νέου νόµου. 8. Έστω Μ(x i, y i ) σηµεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x)= =x, i=,,...,v. Εάν X = 0 και ο CV x είναι ίσος µε την τετµηµένη του σηµείου στο οποίο η εφαπτοµένη της f στο x o =0,6 τέµνει τον άξονα x x, να υπολογισθεί η µέση τιµή των y i, i=,,...,v. 9. Εάν σε ένα δείγµα, που ακολουθεί περίπου κανονική κατανοµή, η διακύµανση είναι ίση µε την τετµηµένη του κοινού σηµείου των γραφικών παραστάσεων των παραγώγων των συναρτήσεων f, g µε f(x)=3x 6x και g(x)=x 3 3x +λ +3, λ R, ενώ η διάµεσος είναι ίση µε το όριο της συνάρτησης h(κ)=(κ 5)006+5κ+4 όταν το κ, τότε : α) Να βρεθεί το ποσοστό των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστηµα (3, 8). β) Να βρεθεί κατά προσέγγιση η µεγαλύτερη και η µικρότερη παρατήρηση. 30. Έστω ότι οµαδοποιούµε τις τιµές µιας µεταβλητής Χ σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους, µε κεντρικές τιµές x =5, x =9, x 3 =3, x 4 =7 και x 5 =. α) Να βρεθεί το πλάτος των κλάσεων. β) Να βρεθεί ποιες τιµές µπορεί να έχει το εύρος του δείγµατος. γ) Να βρεθούν τα όρια κάθε κλάσης. δ) Εάν η συχνότητα κάθε κλάσης ισούται µε την κεντρική τιµή της, να υπολογισθεί η διάµεσος του δείγµατος. 3. Ένα δείγµα αποτελείται από ακέραιες θετικές τιµές όχι κατ ανάγκη διαφορετικές µεταξύ τους. Η µέση τιµή του δείγµατος είναι X = 3. Όταν στο δείγµα βάλουµε και την τιµή 3 η νέα µέση τιµή γίνεται 3. α) Να βρεθεί το µέγεθος του αρχικού δείγµατος. β) Εάν η διάµεσος του δεύτερου δείγµατος είναι 33, οι 3 µικρότερες παρατηρήσεις είναι ίσες µεταξύ τους και οι 4 µεγαλύτερες παρατηρήσεις είναι επίσης ίσες µεταξύ τους, να βρεθεί η µεγαλύτερη δυνατή τιµή που µπορούν να πάρουν οι 4 µεγαλύτερες παρατηρήσεις. ΧΡΙΣΤΙΑΣ ΣΠΥΡΟΣ 8 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010 ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 919113 949422 www.syghrono.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 0 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει:

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100 1. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) Μια µεγάλη εταιρία θέλει να εξετάσει εάν το εκπαιδευτικό πρόγραµµα που ακολουθήσανε οι 100 πωλητές της ήταν αποτελεσµατικό (δηλαδή εάν αυξήθηκαν οι πωλήσεις). Οι δύο παρακάτω πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress.

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress. 3-4 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ttp://cutemats.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η παρούσα εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ÑÏÕËÁ ÌÁÊÑÇ. Εποµένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και άρα δεν έχει ακρότατα. δ. Με x 1 είναι

ÑÏÕËÁ ÌÁÊÑÇ. Εποµένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και άρα δεν έχει ακρότατα. δ. Με x 1 είναι ΘΕΜΑ ο Α.. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 9.. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 87. Β. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 0. Γ. Σ, Σ, Σ, 4 Σ, Λ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει x > 0,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Ι ΕΠΑ. Λ. ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΑΝΔΡΟΜΑΧΗ ΣΚΟΥΦΑ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Ι ΕΠΑ. Λ. ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΑΝΔΡΟΜΑΧΗ ΣΚΟΥΦΑ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Ι ΕΠΑ. Λ. Επιμέλεια: ΑΝΔΡΟΜΑΧΗ ΣΚΟΥΦΑ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr Κεφάλαιο 1:Περιγραφική Στατιστική Εισαγωγικές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Να λύσετε τα συστήματα: 4 1 17 x y α) 19 x y δ) 1 4 17 5 5 x y β) 15 1 1 y x 1 1 0 x y ε) 1 1 8 x y στ) γ) 5 5 a 1 7 1 1 5 x y 1 7 x y. Να λυθούν τα συστήματα:

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ 1. ίνεται η αριθµητική πρόοδος µε α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α )

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α ) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α ) ΘΕΜΑ Εξετάζουµε τις αθµολογίες ενός δείγµατος φοιτητών σε κάποιο διαγώνισµα και πήραµε τον πίνακα Χ i (αθ.) ν i f i % N i F i % 4

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ 1.1-1.3) (10/11/2013)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ 1.1-1.3) (10/11/2013) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ 1.1-1.3) (1/11/213) ΘΕΜΑ 1 ο Α. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε σημείο x του πεδίου ορισμού της; Β. Να αποδείξετε ότι για f(x)=x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 015 Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4-ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ Ημερομηνία και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα 1 Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 1/1/015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Κεφάλαιο 1 ο : Συστήματα 3 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1,

(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1, Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά είναι 0,8. Η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

1, αν κ το πλήθος των παρατηρήσεων ενός δείγματος. β)τι εκφράζουν η αθροιστική συχνότητα (

1, αν κ το πλήθος των παρατηρήσεων ενός δείγματος. β)τι εκφράζουν η αθροιστική συχνότητα ( ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 09-11-14 ΘΕΜΑ Α Α1. Να αναφέρετε ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές και σε ποιες κατηγορίες διακρίνονται. μονάδες 4 Α2.Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 15 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Μαΐου 15 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα