ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. (Επαναλήψεις Συµπληρώσεις) 7.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. (Επαναλήψεις Συµπληρώσεις) 7.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας"

Transcript

1 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (Επαναλήψεις Συµπληρώσεις) 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συµπληρώσεις) Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω Αν πάνω στη µία από τις δύο πλευρές της γωνίας πάρουµε τυχαία σηµεία Μ και Ν και φέρουµε τις κάθετες MM και NN προς την άλλη πλευρά της γωνίας, τότε τα τρίγωνα OMM και O N N θα είναι όµοια, οπότε θα ισχύει: ( MM) ( NN) ( OM) ( ON) ( MM) ( NN) =, = και = ( OM ) ( ON) ( OM ) ( ON) ( OM ) ( ON ) Εποµένως, για τη γωνία ω τα πηλίκα ( MM ) ( OM ) OM, OM ( MM) και ( OM ) είναι σταθερά, δηλαδή ανεξάρτητα της θέσης του σηµείου Μ πάνω στην πλευρά της γωνίας Τα πηλίκα αυτά, όπως γνωρίζουµε από Γυµνάσιο, ονο- µάζονται ηµίτονο, συνηµίτονο και εφαπτοµένη της γωνίας ω και συµβολίζονται µε ηµω, συνω και εφω, αντιστοίχως ηλαδή, στο ορθογώνιο τρίγωνο MOM, ισχύει: ηµω ( MM ) απέναντι κάθετη ( OM ) υποτείνουσα =

2 80 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ συνω ( OM ) προσκείµενη κάθετη ( OM ) υποτείνουσα = ( MM) απέναντι κάθετη εφω= ( OM) προσκείµενη κάθετη Ορίζουµε ακόµα ως συνεφαπτοµένη της οξείας γωνίας ω, την οποία συµβολίζουµε µε σφω, το σταθερό πηλίκο ( OM) προσκείµενη κάθετη σφω MM = ( ) απέναντι κάθετη Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας ω, µε 0 ω 60 Έστω Oxy ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο, Ot µία ηµιευθεία αυτού και ω η γωνία που παράγεται από τον ηµιάξονα Ox αν περιστραφεί κατά τη θετική φορά γύρω από το Ο µέχρι να συµπέσει για πρώτη φορά µε την η- µιευθεία Ot (Σχ α, β ) Ο θετικός ηµιάξονας Ox λέγεται αρχική πλευρά της γωνίας ω, ενώ η ηµιευθεία Ot λέγεται τελική πλευρά της ω Σχήµα α Σχήµα β Πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας ω παίρνουµε τυχαίο σηµείο Μ( x, y ) και φέρνουµε την κάθετη MΜ στον άξονα x' x (Σχ α και β ) Αν η γωνία ω είναι οξεία (Σχ α ), τότε, όπως είδαµε παραπάνω, ισχύουν οι ισότητες: (ΜM) (OΜ ) (ΜM) (OΜ ) ηµω =, συνω =, εφω = και σφω= (OM) (OM) (OΜ ) (Μ M) = x + y = ρ> Εποµένως, οι πα- Όµως (OΜ ) = x, (MM) = y και ραπάνω ισότητες γράφονται: y ηµω=, ρ x συνω=, ρ y εφω= και x (ΟΜ) 0 x σφω=, όπου y ρ x = + y > 0

3 7 Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Γωνίας 8 Γενικεύοντας τα παραπάνω, ορίζουµε µε τον ίδιο τρόπο τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς οποιασδήποτε γωνίας ω (Σχήµα β ) Σε κάθε λοιπόν περίπτωση έχουµε: y y ηµω=, εφω= εφόσον x 0 ρ x x x συνω=, σφω= εφόσον y 0 ρ y, όπου ρ= x + y > 0 όπου ( x, y ) οι συντεταγµένες οποιουδήποτε σηµείου Μ (διαφορετικού του Ο) της τελικής πλευράς της γωνίας ω και από το Ο ρ x y = + > 0 η απόσταση του Μ Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνιών µεγαλύτερων των 60 ο και αρνητικών γωνιών Ας υποθέσουµε ότι ο ηµιάξονας Ox ενός συστήµατος συντεταγµένων Ox περιστρέφεται γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά Αν πραγµατοποιήσει µια πλήρη περιστροφή και περιστραφεί επιπλέον και κατά γωνία µέτρου 0, τότε λέµε ότι ο Ox έχει διαγράψει γωνία ω= = 90 Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι γωνίες που είναι µεγαλύτερες των 60, δηλαδή οι γωνίες της µορφής: ω= ν 60 + µ, όπου ν N και 0 µ < 60 Αν τώρα ο ηµιάξονας Ox, στρεφόµενος γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά, πραγµατοποιήσει µια πλήρη περιστροφή και στη συνέχεια διαγράψει γωνία µέτρου 0, τότε λέµε ότι ο ηµιάξονας Ox έχει διαγράψει αρνητική γωνία = 90 ή αλλιώς γωνία:

4 8 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ω= ( ) = 90 Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι αρνητικές γωνίες δηλαδή οι γωνίες της µορφής: ( 60 ) ω= ν + µ, όπου ν N και 0 µ < 60 Οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνιών που είναι µεγαλύτερες από 60, καθώς και των αρνητικών γωνιών, ορίζονται όπως και οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνιών από 0 µέχρι 60 ηλαδή, για κάθε γωνία ω, θετική ή αρνητική, ορίζουµε: y y ηµω=, εφω= εφόσον x 0 ρ x x x συνω=, σφω= εφόσον y 0 ρ y ρ x, όπου = + y > 0 όπου ( x, y ) οι συντεταγµένες οποιουδήποτε σηµείου Μ της τελικής πλευράς της γωνίας ω (διαφορετικού του Ο) και από το Ο ρ x = + y > 0 η απόσταση του Μ Ας θεωρήσουµε τώρα µια γωνία ω (θετική ή αρνητική) µε αρχική πλευρά τον ηµιάξονα Ox Αν ο ηµιάξονας Ox, στρεφόµενος γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά, συ- µπληρώσει ν πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία ν 60 + ω, που έχει την ίδια τελική πλευρά µε την ω Αν όµως ο ηµιάξονας Ox, στρεφόµενος γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά, συµπληρώσει ν πλήρεις στροφές και στη συνέχεια διαγράψει τη γωνία ω, τότε θα έχει διαγράψει γωνία ν 60 + ω, που έχει και αυτή την ίδια τελική πλευρά µε την ω Οι παραπάνω γωνίες, που είναι της µορφής k 60 + ω, k Z, επειδή έχουν την ίδια τελική πλευρά θα έχουν και τους ίδιους τριγωνοµετρικούς αριθµούς Εποµένως, για κάθε k Z θα ισχύει: ( 60 ), ( 60 ) ( 60 ), ( 60 ) ηµ k + ω = ηµω εφ k + ω = εφω συν k + ω = συνω σφ k + ω = σφω

5 7 Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Γωνίας 8 Ο τριγωνοµετρικός κύκλος Για έναν κατά προσέγγιση, αλλά σύντοµο, υπολογισµό των τριγωνοµετρικών αριθµών, χρησιµοποιούµε τον λεγόµενο τριγωνοµετρικό κύκλο Ο τριγωνο- µετρικός κύκλος θα µας εξυπηρετήσει και σε άλλους σκοπούς, όπως θα φανεί στις επόµενες παραγράφους Με κέντρο την αρχή Ο(0,0) ενός συστήµατος συντεταγµένων και ακτίνα ρ= γράψουµε έναν κύκλο Ο κύκλος αυτός λέγεται τριγωνοµετρικός κύκλος Έστω τώρα ότι η τελική πλευρά µιας γωνίας, πχ της γωνίας ω=5 ο, τέµνει τον κύκλο αυτό α β στο σηµείο Ν (, ) β Επειδή ηµ 5 = και ρ= θα ρ ισχύει ηµ 5 = β 0,57 Οµοίως, επειδή συν5 α = και ρ=, θα ισχύει συν5 = α 0,8 ρ Γενικότερα, αν η τελική πλευρά µιας γωνίας ω τέµνει τον τριγωνοµετρικό κύκλο στο σηµείο Μ ( x, y ), τότε ισχύει: συνω= x= τετµηµένη του σηµείου Μ ηµω= y= τεταγµένη του σηµείου Μ Για το λόγο αυτό ο άξονας x' x λέγεται και άξονας των συνηµίτονων, ενώ ο άξονας y ' y λέγεται και άξονας των ηµίτονων Άµεσες συνέπειες του παραπάνω συµπεράσµατος είναι οι εξής: Οι τιµές του συνω και του ηµω µιας γωνίας ω δεν µπορούν να υπερβούν κατ' απόλυτη τιµή την ακτίνα του τριγωνοµετρικού κύκλου, που είναι ίση µε ηλαδή ισχύει: συνω και ηµω

6 84 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τα πρόσηµα των τριγωνοµετρικών αριθµών µιας γωνίας ω, ανάλογα µε το τεταρτηµόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας αυτής, είναι όπως δείχνει ο παρακάτω πίνακας ο ο ο 4 ο ηµω + + συνω + + εφω + + σφω + + Ο άξονας των εφαπτοµένων Θεωρούµε τον τριγωνοµετρικό κύκλο και µια γωνία ω που η τελική της πλευρά τον τέµνει στο ση- µείο M ( x, y ) Φέρνουµε την εφαπτοµένη ε του τριγωνοµετρικού κύκλου στο σηµείο Α Αν η τελική πλευρά της γωνίας βρίσκεται στο ο τεταρτηµόριο και η ευθεία ΟΜ τέµνει την ε στο Ε, τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο AO E Αν µε θα έχουµε ( ΟΑ) ΑΕ ΑΕ εφω= = = E οπότε θα είναι ( ΑΕ) ΑΕ = y, y παραστήσουµε την τεταγµένη του Ε, τότε θα ισχύει E εφω= y E Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε και όταν η τελική πλευρά της γωνίας ω βρίσκεται σε οποιοδήποτε άλλο τεταρτηµόριο Εποµένως σε κάθε περίπτωση ισχύει: εφω = y Ε = τεταγµένη του σηµείου Ε Για το λόγο αυτό η ευθεία ε, που έχει εξίσωση x=, λέγεται άξονας των εφαπτοµένων

7 7 Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Γωνίας 85 Το ακτίνιο ως µονάδα µέτρησης γωνιών Έχουµε γνωρίσει στο Γυµνάσιο το ακτίνιο ως µονάδα µέτρησης τόξων Συγκεκριµένα, ένα τόξο AB ενός κύκλου ( Ο,ρ ) λέγεται τόξο ενός ακτινίου (ή rad), αν το τόξο αυτό έχει µήκος ίσο µε την ακτίνα ρ του κύκλου Εποµένως, το τόξο α ακτινίων (ή α rad ) έχει µήκος S= α ρ Ορίζουµε τώρα το ακτίνιο και ως µονάδα µέτρησης των γωνιών ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ Ακτίνιο (ή rad ) είναι η γωνία η οποία, όταν γίνει επίκεντρη σε έναν κύκλο, βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου (ή rad) Από τον ορισµό αυτό προκύπτει και η σχέση µοίρας και ακτινίου ως µονάδων µέτρησης γωνιών, ως εξής: Έστω ότι µια γωνία ω είναι µ και α rad Επειδή το µήκος ενός κύκλου α- κτίνας ρ είναι πρ, η γωνία 60 είναι ίση µε π rad οπότε, η γωνία rad είναι ίση µε 60 π µοίρες, Εποµένως, 80 η γωνία α rad είναι ίση µε α µοίρες π Επειδή όµως η γωνία ω είναι µ 80, θα ισχύει µ = α, οπότε θα έχουµε: π α µ π = 80 Για παράδειγµα: Για να εκφράσουµε τη γωνία 60 σε ακτίνια, θέτουµε στον τύπο α µ = όπου µ= 60 και έχουµε π 80 α 60 π = α =, π 80 π Άρα είναι 60 = rad

8 86 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Για να εκφράσουµε τη γωνία 5 π rad σε µοίρες, θέτουµε στον τύπο 6 α µ π = 80 όπου π α= και έχουµε 56 5π 6 µ 5 µ µ 50 π = 80 6 = 80 = Άρα 5 π rad = 50 6 Στον παρακάτω πίνακα επαναλαµβάνουµε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς µερικών γωνιών που είχαµε υπολογίσει στο Γυµνάσιο και οι οποίοι είναι ι- διαίτερα χρήσιµοι στις διάφορες εφαρµογές Γωνία ω Τριγωνοµετρικοί αριθµοί σε µοίρες σε rad ηµω συνω εφω σφω π 6 45 π 4 60 π 90 π 0 εν ορίζεται εν ορίζεται 0 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Στη συνέχεια, επειδή στον τριγωνοµετρικό κύκλο το τόξο x rad έχει µήκος x, αντί να γράφουµε σφ x rad, θα γράφουµε απλά ηµ ( x rad ), συν( x rad ), εφ( x rad ) και ηµx, Για παράδειγµα, αντί να γράφουµε πχ συν x, εφx και σφx και αντί ηµ ( 00rad ) θα γράφουµε απλά ηµ 00 π ηµ rad θα γράφουµε απλά π ηµ

9 7 Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Γωνίας 87 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η Οι µετρήσεις που έκανε ένας µηχανικός για να βρει το ύψος h ενός καµπαναριού ΓΚ, φαίνονται στο διπλανό σχήµα Να υπολογιστεί το ύψος του καµπαναριού σε µέτρα µε προσέγγιση ακέραιας µονάδας ΛΥΣΗ Από το σχήµα έχουµε: h εφ48 =, οπότε ΑΓ ΑΓ εφ70 h =, οπότε ΒΓ ΒΓ ΑΓ ΒΓ = ΑΒ= 0m h εφ48 = h εφ70 = h h Εποµένως = 0, οπότε εφ48 εφ70 0εφ70 εφ48 h= εφ70 εφ48 Με τους τριγωνοµετρικούς πίνακες ή µε ένα κοµπιουτεράκι βρίσκουµε ότι Αντικαθιστούµε στην () και έχουµε: εφ70, 75 και εφ48, 6,05 h 7,64 Άρα το ύψος του καµπαναριού είναι περίπου 7m η Να υπολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας 750 ο ΛΥΣΗ Αν διαιρέσουµε το 750 µε το 60 βρίσκουµε πηλίκο και υπόλοιπο 0, έτσι έχουµε 750 = Εποµένως ηµ 750 = ηµ ( ) = ηµ 0 = συν 750 = συν 0 = εϕ750 = εϕ 0 = σϕ750 = σϕ 0 =

10 88 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ η Να υπολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας 79 π rad ΛΥΣΗ Είναι 79 π = 79 π Αν τώρα διαιρέσουµε τον 79 µε τον 6 βρίσκουµε πηλίκο και 6 79π 79 π υπόλοιπο Εποµένως είναι = π = + π = π+, οπότε θα έχουµε: π π π 79π π ηµ = ηµ π+ = ηµ = συν = συν = 79 π π 79π π εφ = εφ = σφ = σφ = ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑ ΑΣ Στο διπλανό σχήµα να υπολογίσετε τα µήκη x, yκαι τη γωνία ω Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου του διπλανού σχήµατος Μια επίκεντρη γωνία ω βαίνει σε τόξο S = 6 cm Να εκφράσετε τη γωνία αυτή σε ακτίνια, αν η ακτίνα του κύκλου είναι: i) ρ= cm ii) ρ= cm iii) ρ= cm 4 Να εκφράσετε σε rad γωνία i) 0 ii) 0 iii) 60 iv) Να µετατρέψετε σε µοίρες γωνία: π 5π i) rad ii) 0 6 rad iii) 9π rad iv) 00rad 6 Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς γωνίας i) 80 ii) 940 iii) 980 iv) 600

11 7 Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Γωνίας 89 Β ΟΜΑ ΑΣ Σε µικρά αεροδρόµια υπολογίζουν το ύψος των νεφών µε τη βοήθεια µιας ισχυρής λάµπας εντός παραβολικού κατόπτρου, η οποία βρίσκεται σε απόσταση 000 πόδια (πόδι 0, m ) από το ση- µείο του παρατηρητή Η λά- µπα είναι τοποθετηµένη υπό σταθερή γωνία και ο παρατηρητής στρέφει το όργανο παρατήρησης στο σηµείο ανάκλασης του φωτός από τα νέφη i) Να προσδιορίσετε το ύψος h για ω= 0, 45 και 60 ii) Πόση είναι η γωνία ω, αν h= 000 πόδια; Με τη βοήθεια του διπλανού σχήµατος: i) Να δείξετε ότι: (ΑΓ) = (ΒΓ) = ηµ 45 = ii) Να εξηγήσετε γιατί είναι (ΕΒ) = 4 ηµ, 5 iii) Να υπολογίσετε το µήκος (ΓΕ) iv) Να δείξετε, χρησιµοποιώντας το τρίγωνο ΒΕΓ, ότι (ΕΒ) = v) Να υπολογίσετε το ηµ, 5 vi) Ποιων άλλων γωνιών µπορείτε να υπολογίσετε το ηµίτονο και πώς πρέπει να συνεχιστεί η κατασκευή για το σκοπό αυτό; Να βρείτε την περίµετρο και το εµβαδόν του τριγώνου ΑΓ του διπλανού σχήµατος 4 Η πιο αργή κίνηση που µπορεί να επισηµάνει το ανθρώπινο µάτι είναι mm ανά δευτερόλεπτο Να βρείτε πόσο µήκος πρέπει να έχει ο λεπτοδείκτης ενός ρολογιού για να µπορούµε να επισηµάνουµε την κίνηση του άκρου του

12 7 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Από τους ορισµούς των τριγωνοµετρικών αριθµών µιας γωνίας ω προκύπτουν ορισµένες σχέσεις που τους συνδέουν και είναι γνωστές ως τριγωνο- µετρικές ταυτότητες Οι ταυτότητες αυτές είναι χρήσιµες στο λογισµό µε παραστάσεις που περιέχουν τριγωνοµετρικούς αριθµούς Συγκεκριµένα ισχύουν: ηµω συνω + = ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αν M( x, y ) είναι το σηµείο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας ω τέµνει τον τριγωνοµετρικό κύκλο, τότε θα είναι: Επειδή όµως, x= συνω και y= ηµω ( OM ) = και ( OM ) = x + y = x + y θα ισχύει: οπότε θα έχουµε: x + y =, + = συνω ηµ ω ηµω συνω εφω= και σφω= συνω ηµω ΑΠΟ ΕΙΞΗ Στο ίδιο σχήµα έχουµε: y ηµω εφω= = (εφόσον x= συνω 0 x συνω x συνω σφω= = (εφόσον y= ηµω 0 y ηµω

13 7 Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες 9 Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων () και (), θα αποδείξουµε δύο επιπλέον χρήσι- µες ταυτότητες εφω σφω= ΑΠΟ ΕΙΞΗ Είναι: ηµω συνω εφω και σφω συνω ηµω (εφόσον συνω 0 και ηµω 0) Εποµένως: ηµω συνω εφω σφω= = συνω ηµω 4 εφω συνω= και ηµω= + εφω + εφω ΑΠΟ ΕΙΞΗ i) ιαιρούµε και τα δύο µέλη της ταυτότητας και έχουµε βρίσκουµε: ηµω συνω + = µε συνω 0 ηµ ω συνω εφω συνω + = + = = συνω ηµω συνω συνω + εφω Άρα συνω = + εφω ii) Αν στην ταυτότητα ηµω συνω + = θέσουµε συνω =, έχουµε: + εφω εφω + = = = ηµ ω ηµ ω ηµω + εφω + εφω + εφω Άρα ηµω εφω εφω = +

14 9 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η 5 Αν ηµω = και 90 < ω < 80, να βρεθούν οι άλλοι τριγωνοµετρικοί αριθ- µοί της γωνίας ω ΛΥΣΗ Από την ταυτότητα ηµ ω συνω + = προκύπτει ότι συνω ηµ ω µε το ηµω µε 5 και έχουµε: συνω= = = = Επειδή 90 < ω< 80, είναι συνω< 0, οπότε έχουµε Από τις ταυτότητες τώρα 44 συνω= = 69 ηµω εφω= και συνω συνω σφω=, έχουµε: ηµω = Αντικαθιστού- 5 5 εφω= = και σφω= = 5 5 η Να αποδειχθεί ότι i) 4 4 ηµω + συν ω = ηµ ωσυν ω ii) = 4 4 ηµω συν ω ηµ ω ΑΠΟ ΕΙΞΗ i) Έχουµε διαδοχικά: 4 4 ηµ ω+ συνω= ηµω + συνω = + ηµ ω συνω ηµ ω συν ω = + = ηµ ω συν ω, (επειδήηµω συν ω ) ii) Έχουµε διαδοχικά: ( ηµ ω συν ω)( ηµω συν ω) 4 4 ηµ ω συν ω= ηµω συν ω = + = ηµ ω συνω ηµ ω+ συν ω= ηµ ω ηµ ω ηµ ω = = (επειδή )

15 7 Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑ ΑΣ π Αν ηµx= και < x< π, να βρείτε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς 5 της γωνίας x rad π Αν συνx= και π< x<, να βρείτε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθ- µούς της γωνίας x rad Αν εφx= και π < x< π, να βρείτε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας x rad 5 π 4 Αν σφx= και 0< x<, να βρείτε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθ- 5 µούς της γωνίας x rad 5 Αν σφx= και ηµxσυνx +συνx π < x< π, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 6 Να εξετάσετε, αν υπάρχουν τιµές του x για τις οποίες: i) Να ισχύει συγχρόνως ηµx= 0 και συνx= 0 ii) Να ισχύει συγχρόνως ηµx= και συνx= iii) Να ισχύει συγχρόνως ηµx= και 5 7 Να αποδείξετε ότι, τα σηµεία (, ) y= ηµθ, είναι σηµεία κύκλου ( 0,0) 4 συνx= 5 M x y του επιπέδου µε x= συνθ και O κέντρου και ακτίνας ρ= 8 Αν ισχύει x= συνθ και y= ηµθ, να δείξετε ότι 9x 4y 6 + = 9 Αν είναι x= r ηµθσυνφ, y= rηµθηµφ και z= rσυνθ, να δείξετε ότι x + y + z = r 0 Να αποδείξετε ότι: ηµα συνα i) = + συνα ηµα ii) 4 4 συνα ηµ α συν α =

16 94 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να αποδείξετε ότι: ηµθ + συνθ i) + = + συνθ ηµθ ηµθ ii) συνx συνx + = ηµx + ηµx συνx Να αποδείξετε ότι: εφα+ σφβ εφα i) = εφβ+ σφα εφβ ii) εφα ηµ α= εφα ηµ α Να αποδείξετε ότι: συνx ηµx i) ηµx συνx εφx + σφx = + + = ηµx εφx συνx ii) ( συνx) iii) ηµx συνx εφx+ σφx = B ΟΜΑ ΑΣ iv) ηµx συνx = ηµx συνx ηµx συνx Αν ηµx+ συνx= α, να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α τις παραστάσεις: i) ηµx συνx ii) iii) εφx+ σφx iv) + ηµx συνx ηµ x+ συν x Να αποδείξετε ότι: 4 4 i) ηµ x+ συν x= ηµ x συν x ii) iii) Η παράσταση ( ηµ 6 x συν 6 x) ( ηµ 4 x συν 4 x) x, δηλαδή είναι σταθερή 6 6 ηµ x συν x ηµ x συν x + = + + έχει τιµή ανεξάρτητη του Αν π π < x<, να αποδείξετε ότι + ηµx ηµx = εφx ηµx + ηµx π 4 Αν 0 x<, να αποδείξετε ότι + συνx+ συνx + ηµx συνx = = + συνx συνx συνx ηµx

17 7 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Ο υπολογισµός των τριγωνοµετρικών αριθµών οποιασδήποτε γωνίας µπορεί να γίνει, όπως θα δούµε στη συνέχεια, µε τη βοήθεια πινάκων που δίνουν τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς γωνιών από 0 ο µέχρι 90 ο Ας θεωρήσουµε δύο γωνίες ω και ω' που οι τελικές πλευρές τους τέµνουν τον τριγωνοµετρικό κύκλο στα σηµεία Μ και Μ' αντιστοίχως Γωνίες αντίθετες Αν οι γωνίες ω και ω' είναι αντίθετες, δηλαδή αν ω = ω, τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα, τα ση- µεία Μ και Μ είναι συµµετρικά ως προς τον άξονα x x Εποµένως τα σηµεία αυτά έχουν την ίδια τετµη- µένη και αντίθετες τεταγµένες Έχοντας υπόψη τους ορισµούς των τριγωνοµετρικών αριθµών, συµπεραίνουµε ότι: ηλαδή: συν ω = συνω ηµ ω = ηµω εφ ω = εφω σφ ω = σφω Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνηµίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς Για παράδειγµα: Έχουµε: ( 0 ) = ( 0 ) = ( 0 ) ( συν συν 0 ) ηµ ηµ εφ = = ( 0 ) = εφ( 0 ) = ( σφ ) σφ ( ) Επίσης, έχουµε: 0 = 0 = π π ηµ = ηµ = 4 4 π π συν = συν = 4 4

18 96 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ π π εφ = εφ = 4 4 π π σφ = σφ = 4 4 Γωνίες µε άθροισµα 80 ο Αν οι γωνίες ω και ω' έχουν άθροισµα 80, δηλαδή αν ω = 80 ω, τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα, τα σηµεία Μ και Μ' είναι συµµετρικά ως προς τον άξονα y y Εποµένως τα σηµεία αυτά έχουν την ίδια τεταγµένη και αντίθετες τετµηµένες Έχοντας υπόψη τους ορισµούς των τριγωνοµετρικών αριθµών, συµπεραίνουµε ότι: ηλαδή, ( 80 ) ( 80 ) ( 80 ) ( 80 ) ηµ ω = ηµω συν ω = συνω εφ ω = εφω σφ ω = σφω Οι γωνίες µε άθροισµα 80 ο έχουν το ίδιο ηµίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς Για παράδειγµα: Επειδή 50 = 80 0, έχουµε: ηµ 50 = ηµ ( 80 0 ) = ηµ 0 = συν50 = συν 80 0 = συν0 = εφ50 = εφ 80 0 = εφ0 = σφ50 = σφ 80 0 = σφ0 = Επειδή π π = π, έχουµε: π π π ηµ = ηµ π = ηµ =

19 7 Αναγωγή στο ο τεταρτηµόριο 97 π π π συν = συν π = συν = π π π εφ = εφ π = εφ = π π π σφ = σφ π = σφ = Γωνίες που διαφέρουν κατά 80 ο Αν οι γωνίες ω και ω' διαφέρουν κατά 80 o, δηλαδή αν ω = 80 + ω, τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα, τα σηµεία Μ και Μ' είναι συµµετρικά ως προς την αρχή των αξόνων Εποµένως τα σηµεία αυτά έχουν αντίθετες τετµηµένες και αντίθετες τεταγµένες Έχοντας υπόψη τους ορισµούς των τριγωνοµετρικών αριθµών, συµπεραίνουµε ότι: ηλαδή, ( 80 ) ( 80 ) ( 80 ) ( 80 ) ηµ + ω = ηµω συν + ω = συνω εφ + ω = εφω σφ + ω = σφω Οι γωνίες που διαφέρουν κατά 80 ο έχουν αντίθετο ηµίτονο και συνηµίτονο, ενώ έχουν την ίδια εφαπτοµένη και συνεφαπτοµένη Για παράδειγµα: Επειδή 0 = , έχουµε: ηµ 0 = ηµ ( ) = ηµ 0 = συν0 = συν = συν0 = εφ0 = εφ = εφ0 = σφ0 = σφ = σφ0 =

20 98 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Επειδή 4 π π = π+, έχουµε: 4π π π ηµ = ηµ π+ = ηµ = 4π π π συν = συν π+ = συν = 4π π π εφ = εφ π+ = εφ = 4π π π σφ = σφ π+ = σφ = Γωνίες µε άθροισµα 90 ο Αν οι γωνίες ω και ω' έχουν άθροισµα 90 ο, δηλαδή ω = 90 ω, τότε, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα, τα ση- µεία Μ και Μ' είναι συµµετρικά ως προς τη διχοτόµο της γωνίας x ˆΟ y Εποµένως η τετµηµένη του καθενός ισούται µε την τεταγµένη του άλλου Έχοντας υπόψη τους ορισµούς των τριγωνοµετρικών αριθµών, συµπεραίνουµε ότι: ηλαδή, ( 90 ) ( 90 ) ( 90 ) ( 90 ) ηµ ω = συνω συν ω = ηµω εφ ω = σφω σφ ω = εφω Αν δύο γωνίες έχουν άθροισµα 90 ο, τότε το ηµίτονο της µιας ισούται µε το συνηµίτονο της άλλης και η εφαπτοµένη της µιας ισούται µε τη συνεφαπτοµένη της άλλης Για παράδειγµα, επειδή 60 = 90 0, έχουµε: ηµ 60 = συν0 = εφ60 = σφ0 =, και συν60 = ηµ 0 =, σφ60 = εφ0 =

21 7 Αναγωγή στο ο τεταρτηµόριο 99 ΣΧΟΛΙΟ Από τα προηγούµενα καταλαβαίνουµε ότι δεν χρειάζεται να έχουµε πίνακες τριγωνοµετρικών αριθµών όλων των γωνιών, αλλά µόνο των γωνιών από 0 ο µέχρι 90 ο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ η ίνεται ότι ΛΥΣΗ της γωνίας 54 συν6 Επειδή 54 = 90 6, έχουµε + 5 = Να υπολογιστούν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί + 5 ηµ 54 = συν6 = 4 Σύµφωνα µε την ταυτότητα ηµ ω+ συνω= ισχύει ηµ 54 + συν 54 =, οπότε: οπότε Εποµένως είναι: συν 54 = ηµ 54 = = =, 6 6 συν54 = εφ54 ηµ = = και συν σφ54 συν = = ηµ η Να υπολογιστεί µε τη βοήθεια της γωνίας ω οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί των γωνιών: α) 90 + ω, β) 70 ω και γ) 70 + ω ΛΥΣΗ i) Επειδή 90 + ω= 90 ( ω), έχουµε: ( 90 ) ( 90 ) ηµ + ω = ηµ ω = συν ω = συνω Οµοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας 90 + ω

22 00 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ii) Επειδή 70 ω= 80 + ( 90 ω),έχουµε: ( ) ηµ 70 ω = ηµ ω = ηµ 90 ω = συνω Οµοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας 70 iii) Επειδή 70 + ω= ω= 60 + ( ω 90 ) ( 70 ) ( 90 ) ( 90 ),έχουµε: εφ + ω = εφ ω = εφ ω = σφω Οµοίως υπολογίζονται οι υπόλοιποι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας 70 ω + ω ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑ ΑΣ Να βρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας: i) 00 ii) 850 Να βρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 87π π i) rad ii) rad 6 4 Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι: ηµ Α ηµ Β Γ i) = ( + ) ii) συν συν iii) Α Β+ Γ ηµ = συν iv) Α+ Β+ Γ = 0 Α Β+ Γ συν = ηµ 4 Να απλοποιήσετε την παράσταση ( ) ( 80 + α) ( ) ( 90 + ) συν α συν ηµ α ηµ α 5 Να αποδείξετε ότι: 9π εφ( π x) συν( π+ x) συν + x = π ηµ ( π+ x) συν( x) σφ x 6 Να δείξετε ότι έχει σταθερή τιµή η παράσταση: π ηµ π x + συν π x συν π x + ηµ x

23 7 Αναγωγή στο ο τεταρτηµόριο 0 Β ΟΜΑ ΑΣ Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: ηµ 495 συν0 + συν495 συν 0 εφ 0 + εφ495 Να αποδείξετε ότι: 5π 7π ηµ ( 5π+ ω) συν( 7π ω) ηµ ω συν + ω 5π 7π σφ( 5π+ ω) ηµ ( 7π ω) συν ω σφ + ω = ηµω π π Αν εφ x + εφ + x = 5, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: 6 π π 6 εφ x + εφ + x 4 Να αποδείξετε ότι: εφπ ( + x) 0< < εφx+ σφπ ( + x) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ 7 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ I Σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράµµα Α, αν ο ισχυρισµός είναι αληθής και το γράµµα Ψ, αν ο ισχυρισµός είναι ψευδής Αν ηµω=, τότε υποχρεωτικά θα είναι συνω= 0 Αν συνω= 0, τότε υποχρεωτικά θα είναι ηµω= Α Ψ Α Ψ Υπάρχει γωνία ω µε ηµω+ συνω= Α Ψ 4 Για κάθε γωνία ω ισχύει ηµω = συν ω Α Ψ 5 ηµ 0 + ηµ 70 = Α Ψ 6 Για κάθε x R ισχύει ηµ ( x π) = ηµx Α Ψ 7 Για κάθε x R ισχύει ηµ x= ηµx Α Ψ

24 0 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ π 8 Αν συν( x ) + ηµx= 0, τότε ηµx= 0 Α Ψ π π 9 Για κάθε x R ισχύει συν( x ) ηµ ( + x) = 0 Α Ψ 6 II Να αντιστοιχίσετε καθένα από τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της Α οµάδας µε τον ίσο του από τη Β οµάδα Α ΟΜΑ Α ηµ 0 συν50 ηµ 0 4 συν00 5 εφ0 6 σφ00 7 εφ00 8 σφ0 Β ΟΜΑ Α Α Β Γ Ε Ζ Η Θ III Σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ( Α= 90 ) και µη ισοσκελές, τότε: Α) + =, Β) ηµ Β ηµ Γ + =, Γ) εφβ= ηµ Β συν Γ Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ορθογώνιο τότε: Α) συν( Β+ Γ) = συνα, Β) ηµ ( Β+ Γ) = ηµα, Γ) εφβ ( + Γ) = εφα Αν ένα τρίγωνο ΑΒΓ δεν είναι ορθογώνιο τότε: Β+ Γ Α Β+ Γ Α Β+ Γ Α Α) συν = ηµ, Β), συν = συν Γ) εφ = εφ

25 7 Αναγωγή στο ο τεταρτηµόριο 0 ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ενώ είναι κοινώς παραδεκτό ότι η γεωµετρία είναι δηµιούργηµα της κλασικής περιόδου της αρχαίας Ελλάδας, εντούτοις δεν είναι εξίσου γνωστό ότι η τριγωνοµετρία είναι δηµιούργηµα της ελληνιστικής περιόδου µε πρωταγωνιστές τον 'Ιππαρχο, τον Μενέλαο και τον Πτολεµαίο Η τριγωνοµετρία ξεπήδησε στην προσπάθεια να θεµελιωθεί µια ποσοτική αστρονοµία η οποία θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί για να προβλεφθούν οι θέσεις των ουρανίων σωµάτων, ο υπολογισµός του ηµερολογίου και να ε- φαρµοσθεί στη ναυσιπλοΐα και στη γεωγραφία Θεµελιωτής της αστρονοµίας υπήρξε ο Ίππαρχος που έζησε στη Ρόδο και στην Αλεξάνδρεια και πέθανε γύρω στο 5 πχ Για την προσωπική του ζωή ξέρουµε πολύ λίγα και τα περισσότερα που ξέρουµε γι' αυτόν προέρχονται από τα βιβλία του Πτολε- µαίου Ο Ίππαρχος συνέβαλε αποφασιστικά στη διαµόρφωση της θεωρίας των επικύκλων, και ήταν σε θέση να υπολογίσει εκλείψεις της σελήνης µε ακρίβεια µιας έως δύο ωρών ιέθετε επίσης και µια θεωρία για µια ικανοποιητική εξήγηση του φαινοµένου των εποχών Η σηµαντικότερη ανακάλυψη του ήταν ότι τα σηµεία που ο άξονας περιστροφής της γης τέµνει την ουράνια σφαίρα µετακινούνται και διαγράφουν κύκλο µε περίοδο 600 χρόνια Το µεγαλύτερο µέρος της τριγωνοµετρίας του Ιππάρχου αναφέρεται σε αυτό που σήµερα ονοµάζουµε σφαιρική τριγωνοµετρία Και αυτό είναι µοιραίο, αφού τον ενδιέφεραν κυρίως τρίγωνα που σχη- µατίζονται πάνω στον ουράνιο θόλο Όµως ανέπτυξε και βασικά σηµεία της επιπέδου τριγωνοµετρίας Το έργο του Ίππαρχου συνέχισε ο Μενέλαος που έζησε γύρω στο 98 µχ και του οποίου το βασικό έργο είναι τα «σφαιρικά» Η ανάπτυξη της ελληνικής τριγωνοµετρίας και των εφαρµογών της στην α- στρονοµία ολοκληρώνεται µε το έργο του Πτολεµαίου που έζησε στην Αλεξάνδρεια γύρω στο 68 µχ και του οποίου το κύριο σύγγραµµα είναι η Αλ- µαγέστη (αραβική παραφθορά της λέξης «Μεγίστη») Το βιβλίο Α της Αλµαγέστης περιέχει όλα τα αναγκαία θεωρήµατα για την κατασκευή ενός πίνακα ηµιτόνων και συνηµιτόνων Το Βασικό θεώρηµα για την κατασκευή αυτού του πίνακα είναι το εξής: «Έστω ΑΒΓ είναι κυρτό τετράπλευρο εγγεγραµµένο σε κύκλο Τότε ισχύει: ΑΒ Γ +Α ΒΓ=ΑΓ Β»

26 04 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Στο θεώρηµα αυτό στηρίχτηκε και ο Πτολεµαίος για να βρει διάφορους τριγωνοµετρικούς τύπους µεταξύ των οποίων και αυτού που σήµερα εκφράζου- µε ως ηµ(α -β ) = ηµα συνβ συνα ηµβ Η Αλµαγέστη έκανε για την τριγωνοµετρία ότι έκαναν τα «Στοιχεία του Ευκλείδη» για τη Γεωµετρία: Την διετύπωσαν στη µορφή που παρέµεινε για τα επόµενα 000 χρόνια Μετά το 00 µχ µε την τριγωνοµετρία ασχολήθηκαν και οι Ινδοί µε κίνητρο επίσης την αντιµετώπιση αστρονοµικών προβληµάτων εν είχαν σηµαντική συνεισφορά και αξίζει να σηµειωθεί ότι για διάφορους τριγωνοµετρικούς και αστρονοµικούς όρους όπως κέντρο, λεπτό κτλ, χρησιµοποιούσαν τις ελληνικές λέξεις Κατά τα χρόνια του Μεσαίωνα µε την τριγωνοµετρία ασχολούνται και οι Άραβες, χωρίς να συνεισφέρουν σε αυτήν κάτι σηµαντικό δικό τους Συνέβαλαν όµως στο να µεταδώσουν την Ελληνική τριγωνοµετρία στην Ευρώπη

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν πάνω στη μία από τις δύο πλευρές της γωνίας πάρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ. 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ. 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Α = 90 ο, κάθετες πλευρές β, γ και οξεία γωνία ω. απέναντι κάθετη Ορίζουμε, ημω = υποτείνουσα συνω = προσκείμενη

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 2ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 2ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 1.1 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ ΓΩΝΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Για γωνία ω µε ο < ω < 9 ο ηµω = γ α = απέ ναντι κάθετη υποτείνουσα Β συνω = β α = προσκείµενη κάθετη υποτείνουσα εφω = γ β = απέ ναντι κάθετη προσκείµενη κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

2.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ω µε 0 ο ω 180 ο ΘΕΩΡΙΑ 1. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξειών γωνιών ορθογωνίου τριγώνου Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο θυµίζουµε ότι απέναντι κάθετη ηµω = = ΑΓ υποτείνουσα

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου 18 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί που συνδέονται µε τις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου 1. α) Με βάση το διπλανό σχήµα να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Έστω ΑΒΓ ένα ορθογώνιο τρίγωνο Είναι γνωστό ότι: ( ΑΒ) ηµ Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΓ) συν Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΒ) εφ Γ= ( ΑΓ ) ( ΑΓ)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 78 Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 1ο ΣΧΕ ΙΟ Η γενικευµένη γωνία Το ηµίτονο και το συνηµίτονό της ιάρκεια: Ολιγόλεπτο Θέµατα: ΘΕΜΑ 1ο 8 µονάδες 1. Με βάση το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία 0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Ένας αρατηρητής βρίσκεται σε μια όχθη ενός οταμού και βλέει στην αέναντι όχθη ένα δέντρο υό γωνία ύψους 60 ο Αν αομακρυνθεί κατά 40m, βλέει το ίδιο δέντρο υό γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί

Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90 ο ) φέρουµε το ύψος Α. Ν.δ.ο. Γ ηµβ σφγ =. ΑΒ. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5 ο. 3. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : α) συν π 18 συνπ 9 - ηµ π. 18 ηµπ 9. β) συν18 ο συν27 ο - ηµ18 ο ηµ27 ο

ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : α) συν π 18 συνπ 9 - ηµ π. 18 ηµπ 9. β) συν18 ο συν27 ο - ηµ18 ο ηµ27 ο ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : α) συν

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 491. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών 8 Μ(x,y) 6 ρ 4 180-ω -10-5 5 Ο ω - -4 Οι παραπληρωματικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ α + β + γ 0, α 0 β 4 αγ Αν >0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγµατικές ρίζες: 1, β ± α Αν 0, τότε η εξίσωση έχει µια ρίζα διπλή: β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α ) η μ + συν = γ ) εφ + =, ¹ κπ+ sun hm β ) εφ =, ¹ κπ+ sun sun δ ) σφ =, ¹

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: ΘΕΜΑ 1 ο. A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ;

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: ΘΕΜΑ 1 ο. A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ; ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: B ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ; B. Να αντιγράψετε και να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: i. Αν α 0,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ έ _ ά ί ί _ ά ί έ _ ά ί _ ά ί _ ά έ _ ά ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΥΧΑΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ y y y όπου η απόσταση του

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας

3.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας . Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας αέναντι κάθετη λευρά ημβ υοτείνουσα ημγ ΑB ροσκε ίμενη κάθετη λευρά συνβ υοτείνουσα συνγ αέναντι κάθετη λευρά εφβ ροσκε ίμενη κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 Σχ. Έτος 006-007 ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ 1. α.) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : 3 ( α + β ) = ( β ) = α 3 3 3 β.) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ :

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ : ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θέμα 1 ον ΘΕΩΡΙΑ : α) Τι καλείται αριθμητική παράσταση και τι καλείται αλγεβρική παράσταση ; β) Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R=

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ. Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ

Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γωνίες με την ίδια τελική λευρά Γωνίες με άθροισμα 180 - Γωνίες με διαφορά 180 - Γωνίες αντίθετες Γωνίες με άθροισμα 90 - Γωνίες με διαφορά 90 Γωνίες με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 16950 16954

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Τριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Τριγωνομετρία Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Να προσέχεις: ημ(-x)= - ημx εφ(-x)= - εφx σφ(-x)= - σφx συν(-x)= συνx να θυμάμαι όταν έχω - συνx γράφω συν(π-x) δηλαδή συν(π-x)= - συν x ημ(π-x)=ημx δηλαδή ημ10=ημ60

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες:

ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: Γ. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1) Να ανάγετε τους πιο κάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς σε τριγωνομετρικούς αριθμούς οξειών γωνιών: α) 160 β) 135 γ) 150 δ) ( 120

ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1) Να ανάγετε τους πιο κάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς σε τριγωνομετρικούς αριθμούς οξειών γωνιών: α) 160 β) 135 γ) 150 δ) ( 120 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ 1. Χωρίς να λάβουμε υπόψη το πρόσημο: Αν οι δυο γωνιές έουν άθροισμα ή διαφορά, 18, 6 μοίρες τότε ο τριγωνομετρικός αριθμός δεν αλλάζει: ημ

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ 2008 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΓΥΜΝΑΣΙΟ 2008 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ 008 65 ΥΜΝΑΣΙΟ 008 66 α. Πότε μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη και πότε επίκεντρη; β. Ποια είναι η σχέση μεταξύ επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας, που βαίνουν στο ίδιο τόξο; γ. Πότε δύο τόξα μ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 104 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 127 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 400 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 104 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 127 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 400 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 104 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 127 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 400 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1. Να αναπτύξετε τις ταυτότητες: α. (α+8) β. (-) γ. (γ+k) δ. (+γ) ε. (3k-5λ) ζ. (5/κ - 4/λ) η. (/3-χ/4) θ. (χ - 3/χ) ι. (χ/3+3ψ/4) κ. (3χ+χ/) λ. (χ+8)(χ-8)

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα.

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα. ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα. 2. Τι ονομάζουμε ημίτονο μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου;

Διαβάστε περισσότερα

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α. 3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ

1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 1 1. ΛΟΟΣ ΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΜΤΩΝ ΘΩΡΙ 1. Παραλληλία και ισότητα ν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα σε µία ευθεία τότε θα ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 97.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 8 6 y Μ(x,y) ρ Ο ω x 1 Σ ε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 90 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1. α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα και ποια σχέση τα συνδέει; β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 015 Περιεχόµενα 1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου

Μαθηματικά Β Γυμνασίου Μαθηματικά Β Γυμνασίου Περιεχόμενα KEΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ... 3 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ... 3 1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ... 3 1.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ... 4 1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα