Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel
|
|
- Μέγαιρα Αλαβάνος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides Magistritöö Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Tartu 2013
2 Sisukord Sissejuhatus Ajalooline sissejuhatus iii v 1 Rühmateooria elemente Substitutsioonide rühmad Lahenduvad ja lihtsad rühmad Cauchy teoreem Ülesanded Korpuseteooria elemente Korpuse laiendid Lihtlaiendid Laiendi aste Polünoomi lahutuskorpus Lahutuskorpuse ühesus Normaalkorpus Ülesanded Galois teooria Galois teooria sissejuhatus Lagrange i idee võrrandite lahendamiseks Idee Galois teooria taga Galois teooria põhiteoreem Galois vastavus Loendamise printsiibid Põhiteoreemi tõestus Selgitav näide Võrrandite lahenduvus radikaalides Radikaalsed laiendid Galois teoreem Mittelahenduv viienda astme võrrand i
3 3.4 Ülesanded Summary 116 Ülesannete vastused 117 Kirjandus 119 Indeks 120 ii
4 Sissejuhatus Käesolev magistritöö on mõeldud kasutamiseks õppematerjalina üliõpilastele. Loomulikult, materjali ei ole keelatud lugeda ka teistel huvilistel. Antud töös uurime algebraliste võrrandite lahendamise võimalikkust radikaalides. See küsimus köitis matemaatikute tähelepanu sajandeid kui mitte aastatuhandeid. Nagu on praeguseks teada, mitte kõiki võrrandeid ei ole võimalik lahendada radikaalides. See sai lõplikult selgeks 19. sajandil ning seda küllaltki uudsel moel selles mõttes, et tõestamisel kasutati tolleks ajaks veel vähe teada olnud matemaatilist aparatuuri, millist aparatuuri kutsutakse tänapäeval rühmateooriaks ning mille areng hoogustuski just tänu võrrandite radikaalides lahenduvuse küsimuse lahendamisele. Vaadeldavale probleemile ammendava vastuse andis seejuures noor keskkoolist tulnud prantsuse kodanik Évariste Galois, kelle sellekohane töö avastati maailma jaoks alles mõned aastad peale tema surma. Lugedes selle probleemi lahendamisega seotud ajaloolist tausta ning Galois elukäiku, tekkis töö autoril huvi vaadeldava probleemi ja eriti selle lahenduse vastu. See on ka põhjus, miks käesolev õppematerjal sai kirjutatud. Nagu varem juba öeldud, arenes selle probleemi lahendamise ideest välja praeguseks küllaltki oluline algebra haru rühmateooria. Ühtlasi hakkas tekkima ka kaasaegne abstraktne matemaatika. Seepärast peab autor seda teemat omale väga hästi sobivaks. Töö on jaotatud kolme suuremasse peatükki rühmateooria elemente, korpuseteooria elemente, Galois teooria. Peaeesmärgiks on anda kompleksarvuliste kordajatega algebralise võrrandi radikaalides lahenduvuse kriteerium ning näidata seda kriteeriumi kasutades, et leidub viienda astme võrrand, mis ei ole lahenduv radikaalides. Õppematerjali on sisse arvatud ka mõned harjutusülesanded koos vastustega, et lugeja võiks materjali paremini omandada. Töö alguses on toodud ka võrrandite lahendamise ajaloolist külge tutvustav sissejuhatav peatükk. Esimene ja teine peatükk on eeltöö viimase kolmanda peatüki mõistmiseks. St, viimases peatükis on meil vaja teada mõningaid tulemusi rühmade ja korpuste kohta. Kuna kõiki vajaminevaid teadmisi mainitud algebraliste struktuuride kohta ei ole võimalik leida kasutusel olevatest eestikeelsetest aliii
5 gebra õpikutest ning meie käsitlus on ka veidi erinev, siis oli mõistlik need kaks peatükki siia õppematerjali sisse arvata. Viimases ning ühtlasi ka kõige pikemas peatükis arendame välja teooria võrrandite radikaalides lahenduvuse probleemi lahendamiseks. Selles peatükis anname kompleksarvuliste kordajatega algebralise võrrandi radikaalides lahenduvuse kriteeriumi ning näitame seda kriteeriumi kasutades, et viienda astme võrrand x 5 6x + 3 = 0 ei ole lahenduv radikaalides. Peatükki alustame teooria sissejuhatava osaga, kus tutvume Joseph Louis Lagrange i ideega võrrandite lahendamiseks ning seejärel Galois edasiarendustega Lagrange i ideest. See annab meile hea ettevalmistuse teooria mõistmiseks. Peaaegu kogu töö ulatuses (välja arvatud punkt 3.1.1, kus vaatame võrrandeid abstraktsemalt) piirdume kompleksarvuliste kordajatega võrrandite vaatlemisega. See tähendab ühtlasi ka seda, et me töös enamasti ei maini, et K on korpuse C alamkorpus või, et R on ringi C alamring. Kirjutame lihtsalt, et K on korpus ning R on ring ja mõistame selle all, et K on korpuse C alamkorpus ning, et R on ringi C alamring. Töö kirjutamisel on peamiselt tuginenud Coventry linnas (asub Suurbritannias Inglismaal) asuva Warwicki ülikooli professori Ian Stewarti õpikule [7]. Töös ei ole sellele õpikule eraldi viidanud (välja arvatud mõnes kohas, kus see tundus vajalikuna). Olgu siiski mainitud, et enamikud mainitud õpikus toodud tõestused on suurema selguse huvides käesolevas kraaditöös lahti kirjutatud ning mõnda tõestust on ka muudetud. Mainitud õpikust pärineb seejuures ka ajalooga seotud informatsioon ning enamik harjutusülesandeid (mõned harjutusülesanded pärinevad õpikust [1]). Professor Ian Stewart andis seejuures isikliku nõusoleku oma õpiku kasutamiseks antud töö kirjutamisel. Kasulikku abimaterjali on töö autor leidnud ka professor Kangro õpikust [1]. Mainitud õpikule tuginevad lausete 1.1.7, 2.1.5, ning teoreemi piisavuse osa tõestused. Ka viimatimainitud õpikule ei ole töös eraldi viidatud. Alapunkti materjali koos tõestustega on töö autor aga ise tuletanud. iv
6 Ajalooline sissejuhatus Erinevalt matemaatikast, mida võib enamikel juhtudel täiesti usaldada ning veel enam, ise veenduda teoreemide ja valemite korrektsuses, ei saa ajaloo üleskirjutust alati usaldada. See tähendab, tegelikke minevikus toimunud sündmusi võib olla varjatud ning kirja on pandud sündmusi moonutav tekst või hoopis midagi, mida ei ole toimunud. Ajaloolise tausta kaasamine käesolevasse töösse on siiski asjakohane, sest see aitab näha tekkinud probleeme algebraliste võrrandite lahendamise kohta. Nagu juba mainitud, ei saa siiski kõiges kirjapandus kindel olla, kuid kõik ei tohiks päris vale ka olla. Algebraliste võrranditega (edaspidi kasutame algebralise võrrandi asemel lihtsalt sõna võrrand) tegeldi juba XVII sajandil e.kr Babüloonias, kus mõned preestrid või matemaatikud töötasid välja, kuidas lahendada ruutvõrrandit. Nemad, või mõned nende õpilased, graveerisid selle savitahvlitele. Mõned sellised savitahvlid (lisaks savitahvlitele, milledel on näiteks maksukogumise andmed ja planeet Jupiteri liikumised üles tähendatud) on säilinud tänapäevani (vt Joonis 1). Joonis 1: Babüloonia savitahvel Pythagorase arvudega. On leitud Babüloonia savitahvel aastast umbes 1600 e.kr, mis sisaldab v
7 aritmeetilisi probleeme, mis taanduvad ruutvõrrandi lahendamisele. Tabel annab tunnistust, et babüloonlased omasid üldisi meetodeid ruutvõrrandite lahendamiseks, kuigi neil ei olnud mingit algebralist tähistusviisi, millega väljendada oma lahendusskeemi. Babüloonlased kasutasid arvude kuuekümnendsüsteemi nii, et näiteks sümbolid 7, 4, 0; 3, 11 tähistasid arvu = aastal teatas teadusajaloolane Otto Neugebauer, et mõned kõige antiiksemad Babüloonia probleemtahvlid sisaldasid meetodeid ruutvõrrandi lahendamiseks (õigemini ühe reaalarvulise lahendi leidmiseks). Üks tabel sisaldas näiteks sellist probleemi: leida ruudu külg kui on teada, et ruudu pindala ja ühe külje vahe on 14, 30. Arvestades, et arvule 14, 30 vastab kümnendsüsteemis arv 870, võime selle probleemi formuleerida kui ruutvõrrandi x 2 x = 870 ühe positiivse lahendi leidmisena. Babüloonlaste lahendus oli järgmine: Võta 1-st pool, mis on 0; 30, ning korruta arv 0; 30 arvuga 0; 30. Tulemuseks saad 0; 15. Liida sellele 14, 30, saad 14, 30; 15. See on arvu 29; 30 ruut. Nüüd liida 0; 30 arvule 29; 30. Saad 30, mis on ruudu külg. Kuigi tegemist on ühe konkreetse näitega, on see esitatud nii, et võime selle üldistada üldisele juhule, mis oligi ilmselt Babüloonia kirjatundja eesmärk. Tänapäevast kirjapilti kasutades avaldub otsitav ruudu külje pikkus x kujul x = a , mille asendamisel võrrandisse x 2 x = a saamegi samasuse. See valem on sarnane tänapäeval kasutatava ruutvõrrandi lahendamise valemiga ühe lahendi leidmiseks. Antiikkreeklased seevastu lahendasid ruutvõrrandeid geomeetrilisi konstruktsioone kasutades. Kreeklastel olid samuti meetodid kuupvõrrandite lahendamiseks, mis sisaldasid koonuste lõikepunktide leidmist. Siiski, algebralisi lahendusmeetodeid kreeklastelt kuupvõrrandi jaoks ei ole teada. Renessansiaja matemaatikud Bolognas Itaalias avastasid, et kuupvõrrandi saab taandada kolmele põhitüübile: x 3 + px = q, x 3 = px + q ja x 3 + q = px, kus p ja q on positiivsed reaalarvud. Nad eristasid neid kolme põhitüüpi, sest nad ei tunnistanud negatiivseid arve. On arvatud (allikas [7], lk xix), et Scipio del Ferro lahendas ära kõik kolm tüüpi. Uudised sellest läksid liikvele ning teised proovisid samuti kuupvõrrandit ära lahendada. Kuupvõrrandi lahendusvalemid avastas uuesti Niccolo Fontana (hüüdnimega Tartaglia, Kokutaja ) aastal aastal ilmus Girolamo Cardano teos Ars Magna, kus on toodud põhjalik käsitlus Fontana vi
8 kuupvõrrandi lahendamise ideest. Teos sisaldas ka meetodit tänu Cardano õpilasele Ludovico Ferrarile 4. astme võrrandi lahendamiseks selle taandamisel kuupvõrrandile. Kõik leitud valemid sisaldasid üht huvipakkuvat tähelepanekut, mida võib illustreerida Fontana lahendivalemiga kuupvõrrandi x 3 + px = q jaoks: x = 3 q 2 + p q q 2 p q2 4. Selline esitus, nimetatud Cardano valemiks, esitub kordajate p ja q korduva liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise ning juurimise kaudu. Selline esitusviis sai tuntuks kui lahendus radikaalides. Kuna kõik võrrandid, mille aste on väiksem kui 5, said nüüd lahendatud, tekkis loomulik küsimus, kuidas lahendada 5. astme võrrandit radikaalides. Tuntud matemaatikul Leonhard Euleril ei õnnestunud lahendada 5. astme võrrandit, kuid ta leidis uued meetodid 4. astme võrrandi jaoks, millised leidis ka Etienne Bézout aastal. Joseph-Louis Lagrange astus suure sammu edasi oma aastail esitatud töös Réflexions sur la résolution algébrique des équations, kus ta ühendas kõik erinevad seni kasutatud meetodid võrrandite, mille aste on väiksem kui 5, lahendamiseks. Ta näitas, et nad kõik sõltuvad polünoomide leidmisest võrrandi lahenditest, mis jäävad muutumatuks teatavate võrrandi lahendite permuteerimisel. Lagrange näitas, et selline lähenemine ebaõnnestub kui vaadelda 5. astme võrrandit. See ei tõestanud veel, et 5. astme võrrand ei ole lahenduv radikaalides, sest teistsugused meetodid võivad õnnestuda. Kuid sellise üldise meetodi ebaõnnestumine oli huvipakkuv. Üldine arvamus, et 5. astme võrrand ei ole lahenduv radikaalides, oli nüüd õhus. Paolo Ruffini esitas 18. sajandi lõpul ja 19. sajandi algul töid (mis olid seejuures küllaltki mahukad), milledes tal lõpuks õnnestus näidata, et üldine 5. astme võrrand (vt definitsioon leheküljel 54) ei ole lahenduv radikaalides. Tõestus ei olnud siiski piisavalt täielik, st, sisaldas üht puudust. Selle puuduse suutis aastal kõrvaldada Niels Henrik Abel. Abeli töö oli pikk ja sisaldas väikest viga, mis küll ei tühistanud ta tõestust. Üldine 5. astme võrrand oli seega radikaalides mittelahenduv, kuid mõned konkreetsed 5. astme võrrandid võisid siiski olla lahenduvad. Abelil õnnestus leida mitmesuguseid meetodeid teatud kujul olevate 5. astme võrrandite lahendamiseks iga võrrandi kuju jaoks erinev lahendivalem. Uus küsimus oli nüüd seega õhus: otsustada, kas mõni konkreetne 5. astme võrrand on radikaalides lahenduv. Abel töötas selle küsimuse kallal just enne seda kui ta suri tuberkuloosi aastal aastal tapeti noor (20 aastane) prantsuse matemaatik Évariste Galois duellil. Ta oli tegelenud võrrandite radikaalides lahenduvuse küsimusega, vii
9 olles seejuures esitanud 3 tööd Pariisi Teaduste Akadeemiale oma sellekohaste uurimuste kohta. Need tööd tema eluajal teatud põhjustel küll tunnustust ei leidnud ning Galois uurimused tundusid olevat maailmale kadunud. Siiski, 4. juulil 1843, pöördus Joseph Liouville Akadeemia poole. Ta alustas järgnevate sõnadega: Ma loodan pöörata Akadeemia tähelepanu tõsiasjale, et Évariste Galois tööde seas olen ma leidnud lahenduse, nii täpse kui olla saab, sellisele ilusale probleemile: kas leidub või mitte lahendus radikaalides... viii
10 Peatükk 1 Rühmateooria elemente Algebraliste võrrandite radikaalides lahendamise uurimisel on meile abiks rühmateooria vahendid. Rühmateooria, kui üks algebra valdkond, saigi tegelikult alguse seoses algebraliste võrrandite lahendamise küsimuse uurimisega. Seepärast on meil enne kõrgema astme võrrandite radikaalides lahenduvuse küsimuse uurimist vajalik teada mõningaid tulemusi rühmateooria valdkonnast. Eeldame järgnevas, et lugeja on tuttav põhiliste rühmade kohta käivate mõistete ja tulemustega nagu näiteks rühm, alamrühm, rühma järk, rühma elemendi järk, faktorrühm, isomorfism, homomorfism, normaaljagaja ehk normaalne alamrühm, Lagrange i teoreem ja rühmade homomorfismiteoreem. Samuti eeldame arvuteooria põhiliste tulemuste tundmist. Loetletud mõistetega võib tutvuda näiteks nii õpikute [2], [4], [5] kui ka loengukonspekti [6] abil. 1.1 Substitutsioonide rühmad Meenutame, et substitutsiooniks n-elemendilisel (n N) hulgal nimetatakse mistahes bijektiivset kujutust sellel hulgal (vt [5], lk 122, definitsioon 4.3.9). Tähistades vaadeldava hulga elemente vastavalt arvudega 1, 2,..., n, võime substitutsiooni s esitada kujul ( ) n s =, (1.1) s 1 s 2... s n kus s 1 s 2... s n on arvude 1, 2,..., n teatav ümberjärjestus ehk permutatsioon. Sellise tähistusviisi korral loeme, et näiteks element, mis on tähistatud arvuga 1, teiseneb 1
11 substitutsiooni s toimel elemendiks, mis on tähistatud arvuga s 1. Kõigi substitutsioonide hulka n elemendist (n-elemendilisel hulgal) tähistame järgnevalt sümboliga S n. Märgime, et substitutsiooni 1.1 võime esitada ka teisiti, st selliselt, kus tema esimese rea elemendid 1, 2,..., n on esitatud mingis teises järjekorras. Tingimuseks aga jääb siiski, et arvule 1 vastab alumises reas samal kohal arv s 1, arvule 2 vastab alumises reas samal kohal arv s 2 jne. Näide Substitutsioonide hulk S 3 koosneb järgnevatest elementidest: ( ) ( ) ( ) ,,, ( ) ( ) ( ) ,, Seejuures, vastavalt eelöeldule, ( ) ( ) ( ) = = = ( ) ( ) ( ) = = = Definitsioon Substitutsioonide r, s S n, kus ( ) ( ) s1 s r = 2... s n n, s =, (1.2) r s1 r s2... r sn s 1 s 2... s n korrutiseks nimetame substitutsiooni ( ) n rs =. (1.3) r s1 r s2... r sn Lause Substitutsioonide hulk S n osutub substitutsioonide korrutamise suhtes rühmaks. Tõestus. Definitsiooni põhjal on kahe substitutsiooni r, s S n, millised on antud kujul (1.2), korrutis (1.3) tõepoolest substitutsioon, sest kuna r S n, siis on arvud r s1, r s2,..., r sn paarikaupa erinevad arvud hulgast {1, 2,..., n}. Olgu nüüd r, s, t S n suvalised substitutsioonid kujul ( ) ( ) st1 s r = t2... s tn t1 t, s = 2... t n, r st1 r st2... r stn s t1 s t2... s tn ( ) n t =. t 1 t 2... t n 2
12 Siis, ühelt poolt, [( ) ( )] ( ) st1 s (rs)t = t2... s tn t1 t 2... t n n = r st1 r st2... r stn s t1 s t2... s tn t 1 t 2... t n ( ) ( ) ( ) t1 t = 2... t n n n =. r st1 r st2... r stn t 1 t 2... t n r st1 r st2... r stn Teiselt poolt aga ( ) [( st1 s r(st) = t2... s tn t1 t 2... t n r st1 r st2... r stn s t1 s t2... s tn ) = ( st1 s t2... s tn r st1 r st2... r stn ) ( n s t1 s t2... s tn = ) ( )] n = t 1 t 2... t n ( ) n. r st1 r st2... r stn Seega (rs)t = r(st), mistõttu substitutsioonide korrutamine on assotsiatiivne. Ühikelemendiks substitutsioonide korrutamise suhtes on substitutsioon (ühiksubstitutsioon) ning substitutsiooni pöördsubstitutsioon on e = ( ) n n ( ) n s = s 1 s 2... s n s 1 = Seega on tõepoolest tegemist rühmaga. ( ) s1 s 2... s n n Definitsioon Rühma S n, mis on moodustatud kõigi n-elemendiliste substitutsioonide poolt (n N), nimetame substitutsioonide rühmaks (n elemendist). Osutub, et iga lõplik rühm on isomorfne teatava substitutsioonide rühma alamrühmaga (vt [5], lk 175, teoreem 6.4.1). Seepärast on meil oluline tunda just substitutsioonide rühmi. Definitsioon Substitutsiooni nimetame tsükliks, kui ta paigutab teatud elemente tsükliliselt ümber, ülejäänud elemendid jätab aga paigale. Tsüklit, mis viib elemendi s 1 elemendiks s 2, elemendi s 2 elemendiks s 3,..., elemendi s k elemendiks s 1, tähistame (s 1 s 2... s k ), ning nimetame seda seejuures k-tsükliks. 3
13 Paneme tähele, et tsükkel on kuni järjekorra täpsuseni üheselt määratud. Näide Substitutsioon ( ) on tsükkel, mille võime esitada ka samaväärsel kujul (124). Lause Mistahes substitutsiooni rühmast S n saab esitada sõltumatute tsüklite korrutisena, st, selliste tsüklite korrutisena, mille üleskirjutises ei ole ühiseid elemente. Seejuures sellises korrutises ei ole sõltumatute tsüklite järjekord oluline. Tõestus. Olgu ( ) n s = s 1 s 2... s n (1.4) suvaline substitutsioon rühmast S n. Tõestuseks tuleb näidata, et substitutsiooni s saab esitada tsüklite korrutisena nii, et iga arv 1, 2,..., n esineb parajasti ühes tsüklis. Paneme tähele, et arv 1 teiseneb substitutsiooni s toimel arvuks s 1, arv s 1 omakorda arvuks s s1 jne kuni mingil sammul jõuame arvuni, mis teiseneb s toimel arvuks 1 (sest n on lõplik arv ning substitutsiooni 1.4 alumine rida koosneb paarikaupa erinevatest arvudest hulgast {1, 2,..., n}). Sel teel saame tsükli ( ) 1 s1 s s1... = (1s s 1 s s s s1...). (1.5) Otsime nüüd substitutsiooni s ülemises reas sellist arvu a, mis ei esine eraldatud tsüklis (1.5). Kui sellist arvu ei leidu, siis on väide tõestatud. Kui selline arv a aga leidub, siis ta teiseneb s toimel arvuks s a, arv s a omakorda arvuks s sa jne kuni mingil sammul jõuame arvuni, mis teiseneb s toimel arvuks a. Sel teel saame tsükli ( ) a sa s sa... = (as s a s sa... a a s sa...). (1.6) Kui oletada, et arvude a, s a, s sa,... ja arvude 1, s 1, s s1,... seas leidub võrdseid, siis olgu i, j {1, 2,..., n} sellised indeksid, et s i = s j, kus s i kuulub tsüklisse (1.5) ja s j kuulub tsüklisse (1.6). Siit järelduks nüüd, et s si = s sj, kus s si kuulub tsüklisse (1.5) ja s sj kuulub tsüklisse (1.6) ning nii edasi liikudes saaksime, et a võrdub mingi arvuga tsüklist (1.5), mis on vastuolus a valikuga. 4
14 Kirjeldatud tsüklite eraldamise protsessi jätkame seni, kuni ei leidu enam arvu b {1, 2,..., n}, mis ei kuuluks ühessegi meie poolt eraldatud tsüklisse. Nüüd paneme aga tähele, et s =... (as a s sa...)(1s 1 s s1...), seejuures antud korrutises ei ole tsüklite korrutamise järjekord oluline, sest iga arv 1, 2,..., n esineb parajasti ühes tsüklis. Näide Esitame substititsiooni ( ) s = sõltumatute tsüklite korrutisena. Paneme tähele, et substitutsiooni s toimel arv 1 teiseneb arvuks 5, arv 5 teiseneb arvuks 2, arv 2 teiseneb arvuks 1, millega sulgub esimene tsükkel (152). Teise tsükli koostamist alustame arvuga 3. Nüüd 3 teiseneb arvuks 8, arv 8 arvuks 3, millega sulgub teine tsükkel (38). Kolmandat tsüklit alustame arvuga 4. Arv 4 teiseneb arvuks 9, arv 9 arvuks 6 ja arv 6 teiseneb arvuks 4, millega sulgeb kolmas tsükkel (496). Järelejäänud arv 7 moodustab omaette tsükli, mille me võime kirjutamata jätta. Seega s = (496)(38)(152). Lause Iga k-tsükli (s 1 s 2... s k ) S n järk substitutsioonide rühmas S n on k. Tõestus. Kui k = 1 või kui k = 2, siis on väide selge. Eeldame seega järgnevas, et k > 2. Olgu s i, i {1, 2,..., k}, mingi element k-tsüklis t = (s 1 s 2... s k ). Paneme tähele, et substitutsioon t j, kus j < k ning j > 0, viib elemendi s i elemendiks s i+j, kus { arvu i + j jääk jagamisel arvuga k kui i + j > k, i + j = i + j muul juhul. Veendume, et sellisel juhul t j ei ole ühiksubstitutsioon. Selleks piisab näidata, et s i+j s i, st, et i + j i. Vaatame kahte juhtu, sõltuvalt sellest, kas i + j > k või i + j k. Juhul, kui i + j > k, siis tingimuse j < k tõttu i + j i, sest vastasel juhul peaks i + j = k + i (arvestame, et i k ja j < k tõttu i + j < 2k) ehk j = k, mis oleks vastuolus arvu j valikuga. Kui i + j k, siis i + j = i + j ning tingimuse j > 0 tõttu i + j i. St i + j i. 5
15 Seevastu substitutsioon t k viib elemendi s i selleks samaks elemendiks s i ning on seetõttu ühiksubstitutsioon. Sellega oleme näidanud, et k-tsükli t järk rühmas S n on k. Järeldus Olgu p algarv. Siis ainsad elemendid rühmas S p järguga p on p-tsüklid. Tõestus. Lause põhjal on iga p-tsükli järk rühmas S p arv p. Olgu s S p substitutsioon, mis ei ole p-tsükkel ega ühiksubstitutsioon. Lause põhjal võime ta esitada sõltumatute tsüklite korrutisena s = t r t r 1... t 1. Seejuures paneme tähele, et igas tsüklis t i, i {1, 2,..., r}, on elemente vähem kui p (sest vastasel juhul oleks s ju p-tsükkel). Teisisõnu, t i on k i -tsükkel, kus k i < p (i {1, 2,..., r}). Lause põhjal on iga k i -tsükli t i järk k i, i {1, 2,..., r}. Oletame, et s p = e, kus e on ühiksubstitutsioon. Kuna s ei ole ühiksubstitutsioon, siis leidub k i -tsükkel s i, mille järk ei ole 1 (i {1, 2,..., r}). Meie oletuse s p = e tõttu ning kuna sõltumatute tsüklite t 1, t 2,..., t r omavaheline korrutamine on kommutatiivne, siis ka t p i = e (arvestame, et ka tsüklid t p j, j {1, 2,..., r}, on sõltumatud). See aga tähendab, et k i p (vt [6], lk 28, lemma 7.3), mis on vastuoluline, sest p on algarv ning 1 < k i < p. Seega substitutsiooni s järk ei saa olla p. Definitsioon Substitutsiooni s S n nimetame transpositsiooniks, kui ta esitub sõltumatute tsüklite korrutisena kujul kus i, j {1, 2,..., n}, i j. s = (ij), Definitsioon Olgu permutatsioonis s 1 s 2... s j... s i... s n arv s j suurem arvust s i. Sellisel juhul ütleme, et arvud s i ja s j moodustavad vaadeldavas permutatsioonis inversiooni. Kui inversioonide koguarv permutatsioonis on paarisarv, siis nimetame permutatsiooni paarispermutatsiooniks. Vastasel juhul nimetame permutatsiooni paarituks permutatsiooniks. Definitsioon Substitutsiooni s S n, mis on antud kujul ( ) a1 a s = 2... a n, s a1 s a2... s an 6
16 nimetame paarissubstitutsiooniks, kui permutatsioonid a 1 a 2... a n ja s a1 s a2... s an on ühesuguse paarsusega. Vastasel juhul nimetame substitutsiooni s paarituks substitutsiooniks. Märgime, et toodud definitsioon on korrektne, sest ühe ja sama substitutsiooni erinevad esitused on teineteisest saadavad veergude teatava arvu ümberpaigutamiste abil. Kahe veeru ümberpaigutamine tähendab aga transpositsiooni teostamist substitutsiooni esituse mõlemas permutatsioonis. Transpositsioon aga muudab permutatsiooni paarsust (vt [5], lk 121, lause 4.3.7). Esitame nüüd veel mõned tulemused substitutsioonide rühmade kohta, milledest enamikud toome tõestuseta (tõestused võib leida näiteks õpikust [5], lehekülgedelt ). Lause Substitutsoonide rühma S n järk on n!. Lause Kui n 2, siis rühmas S n on paaris ja paarituid substitutsioone ühepalju. Lause Iga transpositsioon on paaritu substitutsioon. Teoreem Rühma S n (n 2) iga substitutsioon on esitatav transpositsioonide korrutisena. Lause Tegurite arv substitutsiooni esituses transpositsioonide korrutisena on sama paarsusega kui substitutsioon ise. Lause Rühma S n alamhulk, mis koosneb kõigist paarissubstitutsioonidest, on rühma S n alamrühm. Tõestus. Olgu s ja t kaks paarissubstitutsiooni. Lause põhjal on s ja t esituses transpositsioonide korrutisena transpositsioone paarisarv. Siis aga ka korrutis st sisaldab paarisarvu transpositsioone ning on seetõttu paarissubstitutsioon. Veendume nüüd, et suvalise paarissubstitutsiooni s pöördsubstitutsioon s 1 on paarissubstitutsioon. Oletame, et s 1 on paaritu substitutsioon. Olgu s ja s 1 esitatud transpositsioonide korrutisena. Siis s esituses on transpositsioone paarisarv ja s 1 esituses paaritu arv. Korrutis ss 1 sisaldab seega paaritu arv transpositsioone ning seepärast peaks ühiksubstitutsioon e olema paaritu substitutsioon. See oleks vastuoluline, mistõttu s 1 peab olema paarissubstitutsioon. Definitsioon Rühma S n alamrühma, mis koosneb kõigist paarissubstitutsioonidest, nimetame n-astme alterneeruvaks rühmaks ning tähistame A n. Lause Rühma A n järk on n! 2. Tõestus. Järeldub vahetult lausetest ja
17 1.2 Lahenduvad ja lihtsad rühmad Selles punktis teeme kõigepealt tutvust lahenduvate rühmadega ning tõestame mõned üldtulemused nende rühmade kohta. Lahenduvad rühmad mängivad olulist rolli võrrandite radikaalides lahenduvuse teoorias. Tutvume ka lihtsate rühmadega. Näitame, et alterneeruv rühm A n on juhul n 5 lihtne ning seda tulemust kasutades näitame, et substitutsioonide rühm S n ei ole juhul n 5 lahenduv. Just viimasele faktile tugineme hiljem, kui näitame, et kõik 5. astme võrrandid ei ole lahenduvad radikaalides. Kui G on rühm ning H on tema normaalne alamrühm ehk normaaljagaja, siis tähistame seda järgnevalt H G. Rühma G ühikelementi tähistame sümboliga 1 G või ka lihtsalt sümboliga 1, kui kontekstist on selge, millise rühma ühikelementi me silmas peame. Definitsioon Rühma G lõplikku alamrühmade jada {1} = G 0 G 1... G n = G, milles sisalduvused on ranged ning G i G i+1 iga i {0, 1,..., n 1} korral, nimetame rühma G normaaljadaks. Kui G on üheelemendiline, siis sellisel juhul ka üheelemendilist jada {1} = G nimetame rühma G normaaljadaks. On lihtsasti mõistetav, et igas rühmas G leidub normaaljada - näiteks jada {1} G. Rühmas G võib leiduda ka mitu normaaljada. Abeli rühma iga alamrühmade jada on ju normaaljada. Definitsioon Ütleme, et rühma G normaaljada on saadud teise normaaljada tihendamisel, kui esimene normaaljada on tekkinud nii, et teise normaaljadasse kuuluvate alamrühmade vahele on paigutatud täiendavaid alamrühmi. Definitsioon Rühma G normaaljada nimetame kompositsioonijadaks, kui teda ei ole võimalik nii tihendada, et tulemuseks on uus normaaljada. Definitsioon Olgu {1} = G 0 G 1... G n = G rühma G normaaljada. Faktorrühmi G i+1 /G i, i {1, 2,..., n 1}, nimetame selle normaaljada faktoriteks. Definitsioon Rühma G nimetame lahenduvaks, kui temas leidub normaaljada, mille faktorid on Abeli rühmad. Teisisõnu, rühm G on lahenduv, kui leidub lõplik arv selliseid alamrühmi et kehtib {1} = G 0 G 1... G n = G, (1.7) 8
18 1. G i G i+1 iga i {0, 1,..., n 1} korral. 2. Faktorrühm G i+1 /G i on Abeli rühm iga i {0, 1,..., n 1} korral. Näide Iga Abeli rühm G on lahenduv, sest jada {1} G rahuldab definitsiooni tingimusi. 2. Substitutsioonide rühm S 3 on lahenduv. Temas leidub alamrühmade jada {e} (123) S 3, kus e on ühiksubstitutsioon ning (123) on rühma S 3 tsükliline alamrühm moodustajaga (123). Võib veenduda, et (123) S 3 ning, et rühma (123) järk on 3. Kuna rühma S 3 järk on lause põhjal 3! = 6, siis faktorrühma S 3 / (123) järk on 6 : 3 = 2 ning S 3 / (123) on seega Abeli rühm. 3. Substitutsioonide rühm S 4 on samuti lahenduv. Temas leidub alamrühmade jada {e} V A 4 S 4, kus e on ühiksubstitutsioon, V = {e, (34)(12), (24)(13), (23)(14)} (tuntud kui Kleini neljarühm ). Võib veenduda, et {e} V, V A 4 ning A 4 S 4. Lausete ja põhjal ning sellest, et rühmas V on 4 elementi, järeldub, et faktorrühmade S 4 /A 4 ja A 4 /V järgud on vastavalt 2 ja 3. Seega kehtivad 1 V/{e} = V, A 4 /V = Z 3, S 4 /A 4 = Z2. Rühmad V, Z 3, Z 2 on aga Abeli rühmad. Tõestame siinkohal ühe elementaarse lause. Lause Olgu G lahenduv rühm ning olgu rühm H isomorfne rühmaga G. Siis H on lahenduv rühm. Tõestus. Olgu {1 G } = G 0 G 1... G n = G 1 Vt näiteks [5], lk 168, definitsioon , kus on defineeritud jäägiklassirühm Z n (n N). 9
19 rühma G normaaljada, mille faktorid on Abeli rühmad (n N). Olgu φ : G H isomorfism. Siis on kujutised H i = φ(g i ), i {0, 1,..., n} rühma H alamrühmad (vt [5], lk 74, lause ) ning meil on rühma H alamrühmade jada {1 H } = H 0 H 1... H n = H. Olgu i {0, 1,..., n 1} suvaline. Veendume, et H i H i+1. Selleks olgu h i H i ja h i+1 H i+1 suvalised ning näitame, et h 1 i+1 h ih i+1 H i. Olgu g i G i ja g i+1 G i+1 sellised, et φ(g i ) = h i ja φ(g i+1 ) = h i+1. Siis h 1 i+1 h ih i+1 = (φ(g i+1 )) 1 φ(g i )φ(g i+1 ) = φ(g 1 i+1 )φ(g i)φ(g i+1 ) = = φ(g 1 i+1 g ig i+1 ) φ(g i ) = H i, sest g 1 i+1 g ig i+1 G i. Veendume nüüd, et H i+1 /H i on Abeli rühm. Selleks piisab näidata, et suvaliste h 1, h 2 H i+1 korral h 1 h 2 H i = h 2 h 1 H i (see on faktorrühma elementide korrutamise eeskiri, vt [5], lk 166, lause ). Olgu g 1, g 2 G i+1 sellised, et φ(g 1 ) = h 1 ning φ(g 2 ) = h 2. Siis h 1 h 2 H i = φ(g 1 )φ(g 2 )φ(g i ) = φ(g 1 g 2 G i ) = sest G i+1 /G i on eelduse põhjal Abeli rühm. = φ(g 2 g 1 G i ) = φ(g 2 )φ(g 1 )φ(g i ) = h 2 h 1 H i, Järgnevad tulemused (teoreemid kuni ) koos tõestustega on leitavad eestikeelsest õpikust [4] lehekülgedelt ning Teoreem (Esimene isomorfismiteoreem). Olgu G, H ja K rühmad. Kui K G ning H G, siis H K H, K HK ning kehtib HK/K = H/(H K). Teoreem (Teine isomorfismiteoreem). Olgu G, H ja K rühmad. Kui K G, K H ning H G, siis K H, H/K G/K ning kehtib (G/K)/(H/K) = G/H. Teoreem (Kolmas isomorfismiteoreem). Olgu G rühm, H tema normaaljagaja, π : G G/H loomulik projektsioon, N G/H ning M = π 1 (N). Siis H M G ning kehtib G/M = (G/H)/N. 10
20 Teoreem Kui G on lahenduv rühm ning H on tema alamrühm, siis on ka H lahenduv rühm. Teoreem Kui G on lahenduv rühm ning N G, siis on ka G/N lahenduv rühm. Teoreem Olgu G rühm ning olgu N G. Kui rühmad N ja G/N on lahenduvad, siis on ka rühm G lahenduv. Tõestus. Veendume kõigepealt, et kui H on rühma G/N alamrühm, siis hulk G H = {g G gn H} on rühma G alamrühm. Olgu g 1, g 2 G H suvalised. Siis g 1 N, g 2 N H ning, kuna H on rühm, siis g 1 g 2 N = g 1 Ng 2 N H. Seega ka g 1 g 2 G H. Olgu nüüd g G H suvaline. Siis gn H, mistõttu g 1 N = (gn) 1 H. Seega g 1 G H. Sellega oleme näidanud, et G H on rühma G alamrühm. Paneme veel tähele, et N G H ning, kuna N G, siis ka N G H ning seejuures H = G H /N. Nüüd eelduse põhjal leiduvad jadad 2 {1 G } = N 0 N 1... N r = N, {1 G/N } = H 0 H 1... H s = G/N, kus faktorrühmad N i+1 /N i, H j+1 /H j (i {0, 1,..., r 1}, j {0, 1,..., s 1}) on Abeli rühmad. Eelöeldu tõttu H j = G j /N, kus G j on teatav rühma G alamrühm, j {0, 1,..., s}. Seejuures, kuna H 0 on üheelemendiline, siis H 0 = N/N. Veendume nüüd, et G j G j+1, j {0, 1,..., s 1}. Olgu g G j ja x G j+1 suvalised. Kuna kehtib võrdus (xn) 1 (gn)(xn) = (x 1 N)(gN)(xN) = x 1 gxn ning kuna G j /N G j+1 /N, siis x 1 gxn G j /N. See tähendab, et x 1 gx G j ning ühtlasi ka, et G j G j+1. Nüüd saame moodustada jada {1 G } = N 0 N 1... N r = N = G 0 G 1... G s = G. (1.8) Paneme tähele, et faktorrühm N i+1 /N i on eelduse põhjal Abeli rühm iga i {0, 1,..., r 1} korral. Faktorrühm G j+1 /G j on aga iga j {0, 1,..., s 1} korral teoreemi põhjal isomorfne Abeli rühmaga (G j+1 /N)/(G j /N), 2 Rühma G ühikelement 1 G on ühtlasi ka alamrühma N ühikelemendiks, mistõttu tähistame ka rühma N ühikelementi sümboliga 1 G. 11
21 mistõttu on ka ise Abeli rühm. Korrastades nüüd jada (1.8) nii, et sisalduvused oleksid ranged, saame kommutatiivsete faktoritega rühma G normaaljada. Definitsioon Rühma G nimetame lihtsaks kui tema ainsad normaalsed alamrühmad on {1} ja G. Viimaseid normaalseid alamrühmi me nimetame seejuures rühma G triviaalseteks normaaljagajateks. Näide Kui p on algarv, siis jäägiklassirühm Z p on lihtne, sest Lagrange i teoreemist (vt [5], lk 164, teoreem 6.1.5) ning sellest, et p on algarv, järeldub, et selle rühma ainsad alamrühmad (ning seega ka ainsad normaalsed alamrühmad) on {0} ja ta ise. Olgu G lahenduv rühm normaaljadaga {1} = G 0 G 1... G n = G, (1.9) mille faktorid on Abeli rühmad. Olgu M selline rühma G alamrühm, et M G i ning M G i+1, kuid G i M G i+1. Teise isomorfismiteoreemi põhjal kehtib siis (G i+1 /G i )/(M/G i ) = G i+1 /M. (1.10) Kuna G i+1 /G i on Abeli rühm, siis on ka tema faktorrühm (G i+1 /G i )/(M/G i ) Abeli rühm ning seega isomorfismi (1.10) tõttu on ka G i+1 /M Abeli rühm. Samuti, sisalduvuse M G i+1 tõttu, on ka rühm M/G i Abeli rühm. Seega, tihendades lahenduva rühma G normaaljada (1.9), siis saadavad faktorid on ikka Abeli rühmad. See lubab meil lahenduva rühma G korral rääkida tema kompositsioonijadast, mille faktorid on Abeli rühmad. Kehtib järgmine lause. Lause Lahenduva rühma G kompositsioonijada faktorid on lihtsad tsüklilised rühmad ning nende järk on algarv. Tõestus. Olgu {1} = G 0 G 1... G n = G (1.11) lahenduva rühma G kompositsioonijada, mille faktorid on Abeli rühmad. Oletame vastuväiteliselt, et mingi indeksi i {0, 1,..., n 1} korral faktorrühmal G i+1 /G i leidub mittetriviaalne normaaljagaja N. Olgu π : G i+1 G i+1 /G i loomulik projektsioon. Teoreemi põhjal on M = π 1 (N) rühma G i+1 normaalne alamrühm ning G i+1 /M = (G i+1 /G i )/N. (1.12) Paneme tähele, et kuna G i M G i+1 ning G i G i+1, siis G i M. 12
22 Kui nüüd M võrduks rühmaga G i+1, siis (1.12) vasakul pool oleks ühikrühm, mistõttu peaks ka (1.12) paremal pool olema ühikrühm. Kuna aga N G i+1 /G i, siis (1.12) parem pool ei ole ühikrühm. Kui aga M võrduks rühmaga G i, siis (1.12) tõttu peaks N võrduma faktorrühma G i+1 /G i ühikrühmaga {G i }. Jällegi vastuolu eeldusega. Seega peab M olema erinev rühmadest G i+1 ja G i. See on aga vastuoluline, sest sellisel juhul saaksime normaaljada (1.11) tihendada alamrühmaga M, mistõttu ei oleks jada (1.11) rühma G kompositsioonijada. Seega peavad kompositsioonijada (1.11) faktorid olema lihtsad rühmad. Olgu i {0, 1,..., n 1} suvaline ning veendume, et faktorrühm G i+1 /G i on algarvulist järku tsükliline rühm. Olgu a G i+1 /G i mingi element, mis ei võrdu selle rühma ühikelemendiga e = {G i }. Vaatame rühma G i+1 /G i alamrühma a = { e, a, a 2,..., a m 1}. Kuna G i+1 /G i on kompositsioonijada (1.11) faktor, siis on ta Abeli rühm. Abeli rühma iga alamrühm on aga selle rühma normaaljagaja, mistõttu on rühm a lihtsa rühma G i+1 /G i normaaljagaja. Seega, kas a = G i+1 /G i, või a = {e}. Kuna meie valiku tõttu a e, siis peab a = G i+1 /G i, mis tähendab ühtlasi, et rühm G i+1 /G i on tsükliline ning järku m. Oletame, et m ei ole algarv, st, m = pq, kus 1 < p < m. Sellisel juhul on a q = { e, a q, a 2q,..., a (p 1)q} rühma G i+1 /G i alamrühm, mille järk on p. See aga tähendab ühtlasi, et a q on rühma G i+1 /G i mittetriviaalne normaaljagaja. See on vastuoluline, sest G i+1 /G i on lihtne rühm. Teoreem Lahenduv rühm G on lihtne siis ja ainult siis kui G on tsükliline ning tema järk on algarv. Tõestus. Tarvilikkus. Olgu lahenduv rühm G lihtne. Kuna G on lahenduv, siis leidub normaaljada {1} = G 0 G 1... G n = G, (1.13) mille faktorid on Abeli rühmad. Kuna G on lihtne, siis peab G n 1 = {1}. Paneme tähele, et sellisel juhul G = G/{1} = G n /G n 1. (1.14) Faktorrühm G n /G n 1 on aga Abeli rühm, mistõttu peab siis (1.14) tõttu ka G olema Abeli rühm. Paneme nüüd tähele, et kuna G on Abeli rühm, siis iga tema alamrühm on ühtlasi ka normaaljagaja. Seega, kuna G on lihtne, siis ei saa rühmas G leiduda mittetriviaalseid alamrühmi. 13
23 Olgu 1 g G suvaline. Siis g {1} ning seega peab g = G (sest vastasel juhul oleks g rühma G mittetriviaalne alamrühm). Sellega oleme näidanud, et G on tsükliline. Veendume, et G järk on algarv. Oletame, et rühma G = g järk p ei ole algarv, st p = kl, kus k > 1, l > 1. Siis element g k 1 ei ole rühma G moodustaja (vt [5], lk 173, lause 6.3.8) ning seega g k oleks rühma G mittetriviaalne alamrühm. Piisavus. Kui rühma G järk on algarv, siis, kuna lõpliku rühma alamrühma järk on rühma järgu jagaja (vt [5], lk 164, teoreem 6.1.5), ei saa sel rühmal olla mittetriviaalseid alamrühmi ning seega ka mittetriviaalseid normaalseid alamrühmi. Seega peab G olema lihtne. Teoreem Kui n 5, siis n-astme alterneeruv rühm A n on lihtne. Tõestus. Olgu N A n, N {e}. Veendume kõigepealt, et kui N sisaldab mingit 3-tsüklit, siis N = A n. Üldisust kitsendamata võime eeldada, et (123) N (sest me võime substitutsiooni arvud alati meile sobivalt ümber järjestada). Paneme tähele, et (12k) = (1k)(12), kus k > 3. Lause põhjal seega (12k) A n (k > 3). Kuna N A n, siis k > 3 korral (12k)(123)(12k) 1 = (12k)(123)(k21) = (k32) N. (1.15) Nüüd aga (123)(k32) = (k12) = (12k) N (k > 3). Seega (12k) N k {3, 4,..., n}. (1.16) Olgu x A n suvaline ning olgu ta esitatud sõltumatute tsüklite korrutisena (vt lause 1.1.7) x =... c b a. (1.17) Paneme tähele, et k-tsükli a võime esitada kujul Lisaks märkame, et a = (a 1 a 2... a k ) = (a 1 a k )... (a 1 a 3 )(a 1 a 2 ). (1.18) (a 1 a i ) = (1a 1 )(1a i )(1a 1 ), i {2, 3,..., k}. (1.19) Võrdustest (1.18) ja (1.19) järeldame, et k-tsükli a võime esitada kujul (1i), i {2, 3,..., n}, olevate transpositsioonide korrutisena. Sarnaselt võime veenduda, et ka tsüklid b, c,... substitutsiooni x esitusest kujul (1.17) ning seega ka substitutsiooni x võime esitada kujul (1i), i {2, 3,..., n}, olevate transpositsioonide korrutisena. Kuna x A n oli suvaline, siis iga substitutsiooni 14
24 rühmast A n võime esitada kujul (1i), i {2, 3,..., n}, olevate transpositsioonide korrutisena, kusjuures neid transpositsioone peab lause põhjal olema paarisarv. Seega A n = {(1j)(1i) i, j {2, 3,..., n}}, (1.20) st, rühm A n on moodustatud hulga poolt, mille elementideks on substitutsioonid (1j)(1i), i, j {2, 3,..., n} (selle kohta ütleme ka, et rühm A n on tekitatud kujul (1j)(1i), i, j {2, 3,..., n}, olevate substitutsioonide poolt). Veendume nüüd, et iga substitutsiooni kujul (1j)(1i) (i, j {2, 3,..., n}) on võimalik esitada rühma N kuuluvate substitutsioonide kaudu. Siis võrdusest (1.20) järeldub, et A n = N. Juhul kui i = j, siis väide kehtib, sest (1j)(1i) = I N. Eeldame nüüd, et i j. Paneme esiteks tähele, et sellisel juhul (1j)(1i) = (1ij). Nüüd juhul, kui i 2 ja j 2, saame tingimust (1.16) arvestades, et (1ij) = (12j)(12j)(12i)(12j) N. Juhul, kui i > 3 ja j = 2, siis tingimuse (1.15) tõttu (1ij) = (1i2) = (32i)(123)(i23) = (32i)(123)(32i) 1 N. Kui i = 3 ja j = 2, siis tingimuse (1.16) tõttu (1ij) = (132) = (123) 1 N. Juhul, kui i = 2 ja j > 2, järeldub tingimusest (1.16), et (1ij) = (12j) N. Sellega oleme näidanud, et kui N sisaldab mingit 3-tsüklit, siis N = A n. Näitame nüüd, et N sisaldab mingit 3-tsüklit. Olgu x N mingi suvaline ühiksubstitutsioonist erinev substitutsioon. Olgu x esitatud sõltumatute tsüklite a, b, c,... korrutisena x =... c b a. (1.21) Vaatleme nüüd kõikvõimalikke juhte, mis võivad esineda x esituses sõltumatute tsüklite korrutisena. 1. Substitutsioon x sisaldab tsüklit, milles on rohkem kui 3 elementi. Üldisust kitsendamata võime eeldada, et selliseks tsükliks on a, sest korrutises (1.21) ei ole korrutatavate järjekord oluline (vt lause 1.1.7). Seega a = (a 1 a 2... a k ), kus k 4. Olgu t = (a 1 a 2 a 3 ) = (a 1 a 3 )(a 1 a 2 ) A n. 15
25 Nüüd, kuna tsüklid b, c,... on sõltumatud ning kuna N A n, siis kehtib txt 1 = t(... cba)t 1 =... cb(tat 1 ) = z N. Nüüd aga x 1 z = (a 1 b 1 c 1...)(... cb(tat 1 )) = a 1 tat 1 = = (a k... a 2 a 1 )(a 1 a 2 a 3 )(a 1 a 2... a k )(a 3 a 2 a 1 ) = (a 3 a k a 1 ) N. 2. Substitutsiooni x esituses sõltumatute tsüklite korrutisena on vähemalt kaks 3-tsüklit, st x = y(a 4 a 5 a 6 )(a 1 a 2 a 3 ), kus y on substitutsioon, mis jätab elemendid a 1, a 2,..., a 6 muutumatuks. Olgu t = (a 2 a 3 a 4 ) = (a 2 a 4 )(a 2 a 3 ) A n. Nüüd x 1 (txt 1 ) = = (a 3 a 2 a 1 )(a 6 a 5 a 4 )y 1 (a 2 a 3 a 4 ) y (a 4 a 5 a 6 )(a 1 a 2 a 3 )(a 4 a 3 a 2 ) = ning olukord taandub juhule 1. = (a 4 a 3 a 6 a 1 a 2 ) N 3. Substitutsiooni x esituses sõltumatute tsüklite korrutisena on täpselt üks 3-tsükkel ning mitte ühtegi k-tsüklit, kus k 4. Siis x = p(a 1 a 2 a 3 ), kus substitutsioon p jätab elemendid a 1, a 2 ja a 3 muutumatuks ning p 2 = I (p on sõltumatute transpositsioonide korrutis). Siis aga x 2 = p(a 1 a 2 a 3 )p(a 1 a 2 a 3 ) = p 2 (a 1 a 2 a 3 ) 2 = (a 1 a 3 a 2 ) N. 4. Kui substitutsiooni x esituses sõltumatute tsüklite korrutisena ei kehti ükski tingimustest 1., 2., 3., siis esitub x sõltumatute transpositsioonide korrutisena. Seejuures, meie valiku tõttu x e ning x N A n, mistõttu peab x esituses sõltumatute transpositsioonide korrutisena transpositsioone olema vähemalt 2. St, x = p(a 3 a 4 )(a 1 a 2 ), kus substitutsioon p jätab elemendid a 1, a 2, a 3 ja a 4 muutumatuks. Olgu t = (a 2 a 3 a 4 ) A n. 16
26 Paneme tähele, et u = x 1 (txt 1 ) = (a 1 a 2 )(a 3 a 4 )p 1 (a 2 a 3 a 4 )p(a 3 a 4 )(a 1 a 2 )(a 4 a 3 a 2 ) = = (a 4 a 1 )(a 3 a 2 ) N. Olgu a 5 {1, 2,..., n} mingi element, mis erineb elementidest a 1, a 2, a 3 ja a 4. Olgu v = (a 1 a 2 a 5 ) = (a 1 a 5 )(a 1 a 2 ) A n. Nüüd u(vuv 1 ) = (a 4 a 1 )(a 3 a 2 )(a 1 a 2 a 5 )(a 4 a 1 )(a 3 a 2 )(a 5 a 2 a 1 ) = ning olukord taandub juhule 1. = (a 5 a 2 a 1 a 4 a 3 ) N Sellega oleme näidanud, et rühma A n ainsad normaalsed alamrühmad on triviaalsed normaaljagajad, mistõttu rühm A n on lihtne. Järeldus Substitutsioonide rühm S n ei ole juhul n 5 lahenduv. Tõestus. Kui rühm S n, n 5, oleks lahenduv, siis teoreemi põhjal peaks ka alamrühm A n olema lahenduv. Teoreemi põhjal on rühm A n, juhul kui n 5, lihtne. Teoreemi põhjal peaks siis A n järk olema algarv. Lause põhjal on rühma A n järk n!, mis aga ei ole algarv kui 2 n 5. Saadud vastuolu tõttu ei saa rühm S n olla lahenduv kui n Cauchy teoreem Selle punkti eesmärgiks on Cauchy teoreemi tõestus, milline teoreem väidab, et kui algarv p jagab lõpliku rühma järku, siis selles rühmas leidub element, mille järk on p. Selles punktis vaatlemegi vaid lõplikke rühmi. Eelnevalt läheb meil vaja aga mõningaid abitulemusi. Tõestuseta toodud tulemuste tõestused võib leida õpikust [4] lehekülgedelt 7 ja 8. Rühma G järku ehk elementide arvu kui ka hulga G võimsust tähistame edaspidises järgnevalt: G. Lause Olgu G rühm. Seos, mis suvaliste a, b G korral on defineeritud a b g G : a = g 1 bg, on ekvivalentsiseos rühmal G. 17
27 Definitsioon Olgu G rühm ning a, b G. Ütleme, et element b on elemendi a kaaselement (rühmas G) kui leidub g G nii, et a = g 1 bg. Kui b G on elemendi a G kaaselement rühmas G, siis lause tõttu on ka element a elemendi b kaaselement ning seepärast nimetame elemente a ja b ka teineteise kaaselementideks. Lause väidab, et seos a ja b on kaaselemendid rühmas G, on ekvivalentsiseos rühmal G. Rühm G jaguneb selle seose järgi ekvivalentsiklassideks, milliseid ekvivalentsiklasse me nimetame rühma G kaaselementide klassideks. Kui rühma G kaaselementide klassid on K 1, K 2,..., K r, siis üks neist, ütleme, et K 1, sisaldab ainult rühma G ühikelementi. Seega K 1 = 1. Kuna rühma G kaaselementide klassid ei lõiku ning katavad rühma G, siis G = 1 + K K r. (1.22) Elementi a G sisaldavat rühma G kaaselemendi klassi tähistame K(a). Definitsioon Olgu G rühm ning x G mingi element. Siis elemendi x tsentralisaatoriks (rühmas G) nimetame hulka C G (x) = {g G gx = xg}. Lause Elemendi x G tsentralisaator C G (x) rühmas G on rühm ning K(x) = G C G (x), (1.23) st, elementi x sisaldava rühma G kaaselementide klassi K(x) võimsus võrdub rühma G kõrvalklasside arvuga alamrühma C G (x) järgi. Järeldus Elementide arv rühma G mistahes kaaselementide klassis on rühma G järgu jagaja. Tõestus. Väide järeldub vahetult võrdusest (1.23). Lause Olgu G ja H rühmad ning φ : G H homomorfism. Olgu elemendi g G järk k ning elemendi φ(g) H järk olgu l. Siis l k. Tõestus. Paneme tähele, et (φ(g)) k = φ(g k ) = φ(1) = 1. (1.24) Kuna elemendi φ(g) järk on l, siis võrduse (1.24) tõttu l k (vt [6], lk 28, lemma 7.3). 18
28 Lause Olgu G rühm, mille järk ei ole algarv. Siis rühmas G leidub mittetriviaalne pärisalamrühm. Tõestus. Olgu A = mn, kus m > 1 ja n > 1. Olgu a A mingi selline element, et a 1 G. Kui elemendi a järk ei ole mn, siis väide kehtib (mittetriviaalseks pärisalamrühmaks on sel juhul a ). Kui elemendi a järk on mn, siis A = a ning rühm a m = {1 G, a m, a 2m,..., a (n 1)m } on rühma A mittetriviaalne alamrühm. Lause Olgu A Abeli rühm, mille järk jagub algarvuga p. Siis rühmas A leidub element, mille järk on p. Tõestus. Väite tõestame matemaatilise induktsiooni meetodit kasutades rühma A järgu A järgi. Induktsiooni baas. Olgu rühma A järk algarv p. Olgu a A mingi selline element, et a 1 G. Kuna p on algarv ning a 1, siis Lagrange i teoreemist (vt [5], lk 164, teoreem 6.1.5) järeldub, et alamrühma a järk on p. Teisisõnu, elemendi a A järk on p. Induktsiooni samm. Eeldame nüüd, et väide kehtib iga Abeli rühma korral, mille järk on väiksem kui pk, kus k > 1, ning mille järk jagub algarvuga p. Olgu A Abeli rühm, mille järk on pk. Lause põhjal leidub rühmas A mittetriviaalne pärisalamrühm. Olgu M rühma A selline pärisalamrühm, mille järk m on maksimaalne rühma A pärisalamrühmade järkude seast. Kui m jagub arvuga p, siis induktsiooni eelduse tõttu meie väide kehtib. Eeldame nüüd, et m ei jagu arvuga p. Olgu b A \ M suvaline ning olgu B = b. Paneme tähele, et kuna A on Abeli rühm, siis MB on rühma A alamrühm, mille järk on seejuures rangelt suurem kui rühmal M (sest M MB, kuid b MB ja b / M). Alamrühma M valiku tõttu seega MB = A. Kuna A on Abeli rühm, siis kõik tema alamrühmad on normaalsed ning teoreemi kasutades saame, et ehk MB B A = = M M B M B. (1.25) M B Kuna p jagab võrduse (1.25) vasakut poolt, siis jagab p ka sama võrduse M paremat poolt. Kuna seejuures ei jagu arvuga p, siis peab p jagama M B rühma B järku r. Kuna B on tsükliline rühm moodustajaga b, siis elemendi b r/p järk on p. Oleme nüüd valmis punkti põhiteoreemi Cauchy teoreem tõestamiseks. Teoreem (Cauchy teoreem). Olgu G rühm, mille järk jagub algarvuga p. Siis rühmas G leidub element, mille järk on p. 19
29 Tõestus. Tõestame väite matemaatilise induktsiooni meetodit kasutades. Induktsiooni baas. Olgu G rühm, mille järk on algarv p. Tõestus kordab lause induktsiooni baasi osa tõestust. Induktsiooni samm. Eeldame, et väide kehtib iga rühma G korral, mille järk on väiksem kui pk, kus k > 1, ning mille järk jagub algarvuga p. Lause põhjal kehtib teoreemi väide Abeli rühmade korral. Olgu G seega mittekommutatiivne rühm, mille järk on pk. Olgu G järk esitatud tema kaaselementide klasside võimsuste summana kujul (1.22). Eelduse põhjal p G. Kui iga i {2, 3,..., r} korral p K i, siis järelduks võrdusest (1.22), et p 1, mis oleks vastuoluline. Seega, p K j mingi j {2, 3,..., r} korral. Olgu x K j mingi element. Lause põhjal kehtib K j = G C G (x). (1.26) Kaaselementide klassi K j valiku tõttu järeldub võrdusest (1.26), et p C G (x). Kui C G (x) G, siis induktsiooni eelduse tõttu sisaldab rühm C G (x) elementi, mille järk on p ning see element on ühtlasi ka rühma G element. Eeldame nüüd, et C G (x) = G. See tähendab aga seda, et element x kommuteerub rühma G iga elemendiga ehk x C(G), kus C(G) on rühma G tsenter. Kuna aga x 1 G (klass K j {1 G }), siis C(G) {1 G }. Nüüd on meil kaks võimalust, kas p C(G) või p C(G). Rühm C(G) on Abeli rühm, mistõttu esimesel juhul järelduks teoreemi väide lausest Vaatame nüüd juhtu kui p C(G). Meie eelduse tõttu C(G) G (sest G ei G C(G) jagub ole Abeli rühm). Paneme tähele, et faktorrühma G/C(G) järk sellisel juhul arvuga p ning on rangelt väiksem kui rühma G järk. Induktsiooni eelduse põhjal leidub element y = yc(g) G/C(G), mille järk on p. St, leidub selline y p C(G), et y / C(G). Olgu Y = y. Paneme tähele, et C(G)Y on Abeli rühm. Kuna loomulik projektsioon π : G G/C(G) on homomorfism, siis lause põhjal jagab algarv p elemendi y järku rühmas G. Teisisõnu, rühma Y järk jagub algarvuga p. Esimest isomorfismiteoreemi kasutades saame, et C(G)Y C(G) = Y C(G) Y ehk C(G) C(G)Y = Y C(G) Y. (1.27) Meie eelduse p C(G) tõttu ei jaga algarv p ka rühma C(G) alamrühma C(G) Y järku. Kuna aga p Y, siis peab p jagama võrduse (1.27) paremat poolt ning seega ka sama võrduse vasakut poolt ehk p C(G)Y. Nüüd lause põhjal leidub Abeli rühmas C(G)Y element, mille järk on p. See element on ühtlasi ka rühma G element, mille järk on p. 20
30 1.4 Ülesanded 1. Leida rühmaga {1, a, b a 2 = b, b 2 = a, ab = ba = 1}, kus 1 tähendab vaadeldava rühma ühikelementi, isomorfne substitutsioonide rühma alamrühm. 2. Lahutada substitutsioon sõltumatute tsüklite korrutiseks. (21)(35)(56)(14)(27)(34)(25) 3. Leida substitutsioonide rühma S 4 kõik kolmandat järku tsüklilised alamrühmad. 4. Näidata, et seos rühm A on rühma B normaaljagaja ei ole transitiivne. (Näpunäide: Vaadata jada G V S 4, kus G = {e, (12)(34)} ning V on Kleini neljarühm (vt näide 1.2.6(3) leheküljel 9).) 5. Näidata, et nn üldine dieedri rühm D 2n = a, b a n = b 2 = 1, b 1 ab = a 1 on lahenduv rühm. Siin a ja b on vaadeldava rühma moodustajad ning võrdused on seosed nende vahel. 6. Näidata, et rühma G elemendi x kõigil kaaselementidel on sama järk, mis elemendil x. 7. Lahutada rühm S 3 kaaselementide klassideks ning veenduda, et (123) on tõepoolest rühma S 3 normaaljagaja (nagu seda näites 1.2.6(2) väideti). Fikseerida igast kaaselementide klassist üks element ning leida tema tsentralisaator. 8. Olgu G rühm ning x, g G. Näidata, et C G (g 1 xg) = g 1 C G (x)g. 9. Näidata, et rühma S n tsenter koosneb vaid ühest elemendist kui n Märkida järgnevad kas Tõene (T) või väär (V). a. Kahe lahenduva rühma otsekorrutis on lahenduv rühm. b. Iga lihtne lahenduv rühm on tsükliline. c. Iga tsükliline rühm on lihtne. d. Substitutsioonide rühm S n on lihtne kui n 5. e. Rühma G mistahes elemendi x kaaselementide klass K(x) on rühma G alamrühm. 21
Kompleksarvu algebraline kuju
Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa
Διαβάστε περισσότεραLokaalsed ekstreemumid
Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,
Διαβάστε περισσότερα2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon
2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides
Διαβάστε περισσότεραITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA
PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
Διαβάστε περισσότεραFunktsiooni diferentsiaal
Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral
Διαβάστε περισσότεραHULGATEOORIA ELEMENTE
HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad
Διαβάστε περισσότεραGeomeetrilised vektorid
Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58
Διαβάστε περισσότεραKOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi
Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning
Διαβάστε περισσότεραArvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008
Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on
Διαβάστε περισσότεραRuumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule
Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D
Διαβάστε περισσότεραGraafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid
Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan
ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja
Διαβάστε περισσότεραVektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale
Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori
Διαβάστε περισσότεραKirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika
Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika harjutus
Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative
Διαβάστε περισσότεραMudeliteooria. Kursust luges: Kalle Kaarli september a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk.
Mudeliteooria Kursust luges: Kalle Kaarli 1 20. september 2004. a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk. 2 Sisukord 1 Põhimõisted 9 1.1 Signatuur ja struktuur.................. 9
Διαβάστε περισσότεραHAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2
PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused
Διαβάστε περισσότεραKoduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused
Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna
Διαβάστε περισσότεραKATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010
KTEGOORITEOORI Kevad 2010 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me
Διαβάστε περισσότερα1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD
1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki
Διαβάστε περισσότεραPLASTSED DEFORMATSIOONID
PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb
Διαβάστε περισσότεραPlaneedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1
laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad
Διαβάστε περισσότεραKATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016
KTEGOORITEOORI Kevad 2016 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me
Διαβάστε περισσότερα2. HULGATEOORIA ELEMENTE
2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada.
Διαβάστε περισσότερα3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE
3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega
Διαβάστε περισσότερα20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1
κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii
Διαβάστε περισσότεραKontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,
Διαβάστε περισσότεραEesti LIV matemaatikaolümpiaad
Eesti LIV matemaatikaolümpiaad 31. märts 007 Lõppvoor 9. klass Lahendused 1. Vastus: 43. Ilmselt ei saa see arv sisaldada numbrit 0. Iga vähemalt kahekohaline nõutud omadusega arv sisaldab paarisnumbrit
Διαβάστε περισσότερα9. AM ja FM detektorid
1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid
Διαβάστε περισσότεραSuhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27
Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid
Διαβάστε περισσότερα4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.
Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise
Διαβάστε περισσότεραAvaliku võtmega krüptograafia
Avaliku võtmega krüptograafia Ahto Buldas Motiivid Salajase võtme vahetus on tülikas! Kas ei oleks võimalik salajases võtmes kokku leppida üle avaliku kanali? 2 Probleem piiramatu vastasega! Kui vastane
Διαβάστε περισσότερα1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5
1. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 2013-14. 1 Reaalarvud ja kompleksarvud Sisukord 1 Reaalarvud ja kompleksarvud 1 1.1 Reaalarvud................................... 2 1.2 Kompleksarvud.................................
Διαβάστε περισσότεραYMM3740 Matemaatilne analüüs II
YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu
Διαβάστε περισσότεραT~oestatavalt korrektne transleerimine
T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:
Διαβάστε περισσότεραFormaalsete keelte teooria. Mati Pentus
Formaalsete keelte teooria Mati Pentus http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/fkt/ 2009 13. november 2009. a. Formaalsete keelte teooria 2 Peatükk 1. Keeled ja grammatikad Definitsioon 1.1. Naturaalarvudeks
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke
Διαβάστε περισσότεραSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.
Διαβάστε περισσότερα28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.
8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,
Διαβάστε περισσότερα1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus
Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks
Διαβάστε περισσότεραSkalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Διαβάστε περισσότερα1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...
Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega
Διαβάστε περισσότεραSkalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Διαβάστε περισσότεραPunktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist
Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks
Διαβάστε περισσότεραKontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi
Kontrollijate kommentaarid 2002. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta Kokkuvõtteks Uuendusena oli tänavusel piirkondlikul olümpiaadil 10.-12. klassides senise 5 asemel 6 ülesannet, millest
Διαβάστε περισσότερα4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord 1 Sündmused ja t~oenäosused 4 1.1 Sündmused................................... 4 1.2 T~oenäosus.................................... 7 1.2.1 T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36
Sisukord Sündmused ja tõenäosused 5. Sündmused................................... 5.2 Tõenäosus.................................... 8.2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότερα7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85
7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat
Διαβάστε περισσότεραKrüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse. Ahto Buldas
Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse Ahto Buldas 22. september 2003 2 Sisukord Saateks v 1 Entroopia ja infohulk 1 1.1 Sissejuhatus............................ 1 1.2 Kombinatoorne
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότερα6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad
6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline
Διαβάστε περισσότεραKeerukusteooria elemente
Keerukusteooria elemente Teema 5 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 1 / 45 Sisukord 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότερα4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks
4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].
Διαβάστε περισσότεραKEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS
KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS Nooem aste (9. ja 10. klass) Tallinn, Tatu, Kuessaae, Nava, Pänu, Kohtla-Jäve 11. novembe 2006 Ülesannete lahendused 1. a) M (E) = 40,08 / 0,876 = 10,2 letades,
Διαβάστε περισσότεραEesti LV matemaatikaolümpiaad
Eesti LV matemaatikaolümpiaad 2. veebruar 2008 Piirkonnavoor Kommentaarid Kokkuvõtteks Selleaastast komplekti võib paremini õnnestunuks lugeda kui paari viimase aasta omi. Lõppvooru pääsemise piirid protsentides
Διαβάστε περισσότερα,millest avaldub 21) 23)
II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.
Διαβάστε περισσότεραDiskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp
Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp http://www.staff.ttu.ee/ puusemp/ Sellel kodulehe aadressil asub alajaotuse Diskreetne matemaatika all elektrooniline õpik ja ülesannete
Διαβάστε περισσότεραAnalüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets
Analüütilise geomeetria praktikum II L. Tuulmets Tartu 1985 2 Peatükk 4 Sirge tasandil 1. Sirge tasandil Kui tasandil on antud afiinne reeper, siis iga sirge tasandil on selle reeperi suhtes määratud lineaarvõrrandiga
Διαβάστε περισσότεραDEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.
Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka
Διαβάστε περισσότεραsin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α
Διαβάστε περισσότεραHSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G
HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA AJALUGU MTMM MTMM
Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Seminare: 2 Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Seminare: 2 Hindamine:
Διαβάστε περισσότεραTuletis ja diferentsiaal
Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.
Διαβάστε περισσότερα1 Entroopia ja informatsioon
Kirjadus: T.M. Cover, J.A. Thomas "Elemets of iformatio theory", Wiley, 99 ja 2006. Yeug, Raymod W. "A first course of iformatio theory", Kluwer, 2002. Mackay, D. "Iformatio theory, iferece ad learig algorithms",
Διαβάστε περισσότεραAritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid
Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.. Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Aritmeetilised operaatorid Need leiab paletilt "Calculator" ja ei vaja eraldi kommenteerimist.
Διαβάστε περισσότεραJätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV
U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS
Διαβάστε περισσότερα2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass
2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH
Διαβάστε περισσότεραAndmeanalüüs molekulaarbioloogias
Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Praktikum 3 Kahe grupi keskväärtuste võrdlemine Studenti t-test 1 Hüpoteeside testimise peamised etapid 1. Püstitame ENNE UURINGU ALGUST uurimishüpoteesi ja nullhüpoteesi.
Διαβάστε περισσότεραVektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria.
Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: analüütiline geomeetria tasandil,
Διαβάστε περισσότεραDeformeeruva keskkonna dünaamika
Peatükk 4 Deformeeruva keskkonna dünaamika 1 Dünaamika on mehaanika osa, mis uurib materiaalsete keskkondade liikumist välismõjude (välisjõudude) toimel. Uuritavaks materiaalseks keskkonnaks võib olla
Διαβάστε περισσότεραSirgete varraste vääne
1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8.1 Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3
Διαβάστε περισσότεραVektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise
Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja
Διαβάστε περισσότεραKontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.2 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 28 Sisukord 1 Pinuautomaadid 2 KV keeled ja pinuautomaadid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Διαβάστε περισσότεραSmith i diagramm. Peegeldustegur
Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes
Διαβάστε περισσότερα1. Paisksalvestuse meetod (hash)
1. Paisksalvestuse meetod (hash) Kas on otsimiseks võimalik leida paremat ajalist keerukust kui O(log n)? Parem saaks olla konstantne keerukus O(1), mis tähendaks seda, et on kohe teada, kust õige kirje
Διαβάστε περισσότεραT~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA
http://wwwttuee http://wwwstaffttuee/ math TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT http://wwwstaffttuee/ itammeraid Ivar Tammeraid T~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA Elektrooniline ~oppematerjal
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte 43. keemiaolümpiaad
Eesti koolinoorte 4. keeiaolüpiaad Koolivooru ülesannete lahendused 9. klass. Võrdsetes tingiustes on kõikide gaaside ühe ooli ruuala ühesugune. Loetletud gaaside ühe aarruuala ass on järgine: a 2 + 6
Διαβάστε περισσότεραLisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus
Lisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus 1. Haljala valla metsa pindala Haljala valla üldpindala oli Maa-Ameti
Διαβάστε περισσότερα1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014
1 MTMM.00.188 Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 Eksamitöö annab kokku 80 punkti ja ülesanded jagunevad järgmisse kuude gruppi: P1 ( 10p ) - ülesanded I kontrolltöö põhiteemade peale; P2 ( 10p ) - ülesanded
Διαβάστε περισσότεραElastsusteooria tasandülesanne
Peatükk 5 Eastsusteooria tasandüesanne 143 5.1. Tasandüesande mõiste 144 5.1 Tasandüesande mõiste Seeks, et iseoomustada pingust või deformatsiooni eastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni
Διαβάστε περισσότεραFunktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses
Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,
Διαβάστε περισσότεραGeomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.
Geomeetria põhivara Jan Willemson 19. mai 2000.a. 1 Kolmnurk Kolmnurgas tasub mõelda järgmistest lõikudest ja sirgetest: kõrgused, nurgapoolitajad, välisnurkade poolitajad, külgede keskristsirged, mediaanid,
Διαβάστε περισσότεραLOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva
LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika. EST meetod
Ehitusmehaanika. EST meetod Staatikaga määramatu kahe avaga raam /44 4 m q = 8 kn/m 00000000000000000000000 2 EI 4 EI 6 r r F EI p EI = 0 kn p EI p 2 m 00 6 m 00 6 m Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna
Διαβάστε περισσότεραDeformatsioon ja olekuvõrrandid
Peatükk 3 Deformatsioon ja olekuvõrrandid 3.. Siire ja deformatsioon 3-2 3. Siire ja deformatsioon 3.. Cauchy seosed Vaatleme deformeeruva keha meelevaldset punkti A. Algolekusontemakoor- dinaadid x, y,
Διαβάστε περισσότεραMateMaatika õhtuõpik
Matemaatika õhtuõpik 1 2 Matemaatika õhtuõpik 3 Alates 31. märtsist 2014 on raamatu elektrooniline versioon tasuta kättesaadav aadressilt 6htu6pik.ut.ee CC litsentsi alusel (Autorile viitamine + Mitteäriline
Διαβάστε περισσότεραElastsusteooria põhivõrrandid,
Peatükk 4 Elastsusteooria põhivõrrandid, nende lahendusmeetodid ja lihtsamad ruumilised ülesanded 113 4.1. Elastsusteooria põhivõrrandid 114 4.1 Elastsusteooria põhivõrrandid 1. Tasakaalu (diferentsiaal)võrrandid
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi
Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 7. märtsil 2002. a. IX klass Lahendamisaega on 5 tundi. Iga ülesande õige ja ammendavalt põhjendatud lahendus annab 7 punkti.
Διαβάστε περισσότερα; y ) vektori lõpppunkt, siis
III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf
Διαβάστε περισσότεραMathematica kasutamine
mathematica_lyhi_help.nb 1 Mathematica kasutamine 1. Sissejuhatus Programmi Mathematica avanemisel pole programmi tuum - Kernel - vaikimisi käivitatud. Kernel on programmi see osa, mis tegelikult teostab
Διαβάστε περισσότεραMitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:
Διαβάστε περισσότερα