Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel"

Transcript

1 Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides Magistritöö Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Tartu 2013

2 Sisukord Sissejuhatus Ajalooline sissejuhatus iii v 1 Rühmateooria elemente Substitutsioonide rühmad Lahenduvad ja lihtsad rühmad Cauchy teoreem Ülesanded Korpuseteooria elemente Korpuse laiendid Lihtlaiendid Laiendi aste Polünoomi lahutuskorpus Lahutuskorpuse ühesus Normaalkorpus Ülesanded Galois teooria Galois teooria sissejuhatus Lagrange i idee võrrandite lahendamiseks Idee Galois teooria taga Galois teooria põhiteoreem Galois vastavus Loendamise printsiibid Põhiteoreemi tõestus Selgitav näide Võrrandite lahenduvus radikaalides Radikaalsed laiendid Galois teoreem Mittelahenduv viienda astme võrrand i

3 3.4 Ülesanded Summary 116 Ülesannete vastused 117 Kirjandus 119 Indeks 120 ii

4 Sissejuhatus Käesolev magistritöö on mõeldud kasutamiseks õppematerjalina üliõpilastele. Loomulikult, materjali ei ole keelatud lugeda ka teistel huvilistel. Antud töös uurime algebraliste võrrandite lahendamise võimalikkust radikaalides. See küsimus köitis matemaatikute tähelepanu sajandeid kui mitte aastatuhandeid. Nagu on praeguseks teada, mitte kõiki võrrandeid ei ole võimalik lahendada radikaalides. See sai lõplikult selgeks 19. sajandil ning seda küllaltki uudsel moel selles mõttes, et tõestamisel kasutati tolleks ajaks veel vähe teada olnud matemaatilist aparatuuri, millist aparatuuri kutsutakse tänapäeval rühmateooriaks ning mille areng hoogustuski just tänu võrrandite radikaalides lahenduvuse küsimuse lahendamisele. Vaadeldavale probleemile ammendava vastuse andis seejuures noor keskkoolist tulnud prantsuse kodanik Évariste Galois, kelle sellekohane töö avastati maailma jaoks alles mõned aastad peale tema surma. Lugedes selle probleemi lahendamisega seotud ajaloolist tausta ning Galois elukäiku, tekkis töö autoril huvi vaadeldava probleemi ja eriti selle lahenduse vastu. See on ka põhjus, miks käesolev õppematerjal sai kirjutatud. Nagu varem juba öeldud, arenes selle probleemi lahendamise ideest välja praeguseks küllaltki oluline algebra haru rühmateooria. Ühtlasi hakkas tekkima ka kaasaegne abstraktne matemaatika. Seepärast peab autor seda teemat omale väga hästi sobivaks. Töö on jaotatud kolme suuremasse peatükki rühmateooria elemente, korpuseteooria elemente, Galois teooria. Peaeesmärgiks on anda kompleksarvuliste kordajatega algebralise võrrandi radikaalides lahenduvuse kriteerium ning näidata seda kriteeriumi kasutades, et leidub viienda astme võrrand, mis ei ole lahenduv radikaalides. Õppematerjali on sisse arvatud ka mõned harjutusülesanded koos vastustega, et lugeja võiks materjali paremini omandada. Töö alguses on toodud ka võrrandite lahendamise ajaloolist külge tutvustav sissejuhatav peatükk. Esimene ja teine peatükk on eeltöö viimase kolmanda peatüki mõistmiseks. St, viimases peatükis on meil vaja teada mõningaid tulemusi rühmade ja korpuste kohta. Kuna kõiki vajaminevaid teadmisi mainitud algebraliste struktuuride kohta ei ole võimalik leida kasutusel olevatest eestikeelsetest aliii

5 gebra õpikutest ning meie käsitlus on ka veidi erinev, siis oli mõistlik need kaks peatükki siia õppematerjali sisse arvata. Viimases ning ühtlasi ka kõige pikemas peatükis arendame välja teooria võrrandite radikaalides lahenduvuse probleemi lahendamiseks. Selles peatükis anname kompleksarvuliste kordajatega algebralise võrrandi radikaalides lahenduvuse kriteeriumi ning näitame seda kriteeriumi kasutades, et viienda astme võrrand x 5 6x + 3 = 0 ei ole lahenduv radikaalides. Peatükki alustame teooria sissejuhatava osaga, kus tutvume Joseph Louis Lagrange i ideega võrrandite lahendamiseks ning seejärel Galois edasiarendustega Lagrange i ideest. See annab meile hea ettevalmistuse teooria mõistmiseks. Peaaegu kogu töö ulatuses (välja arvatud punkt 3.1.1, kus vaatame võrrandeid abstraktsemalt) piirdume kompleksarvuliste kordajatega võrrandite vaatlemisega. See tähendab ühtlasi ka seda, et me töös enamasti ei maini, et K on korpuse C alamkorpus või, et R on ringi C alamring. Kirjutame lihtsalt, et K on korpus ning R on ring ja mõistame selle all, et K on korpuse C alamkorpus ning, et R on ringi C alamring. Töö kirjutamisel on peamiselt tuginenud Coventry linnas (asub Suurbritannias Inglismaal) asuva Warwicki ülikooli professori Ian Stewarti õpikule [7]. Töös ei ole sellele õpikule eraldi viidanud (välja arvatud mõnes kohas, kus see tundus vajalikuna). Olgu siiski mainitud, et enamikud mainitud õpikus toodud tõestused on suurema selguse huvides käesolevas kraaditöös lahti kirjutatud ning mõnda tõestust on ka muudetud. Mainitud õpikust pärineb seejuures ka ajalooga seotud informatsioon ning enamik harjutusülesandeid (mõned harjutusülesanded pärinevad õpikust [1]). Professor Ian Stewart andis seejuures isikliku nõusoleku oma õpiku kasutamiseks antud töö kirjutamisel. Kasulikku abimaterjali on töö autor leidnud ka professor Kangro õpikust [1]. Mainitud õpikule tuginevad lausete 1.1.7, 2.1.5, ning teoreemi piisavuse osa tõestused. Ka viimatimainitud õpikule ei ole töös eraldi viidatud. Alapunkti materjali koos tõestustega on töö autor aga ise tuletanud. iv

6 Ajalooline sissejuhatus Erinevalt matemaatikast, mida võib enamikel juhtudel täiesti usaldada ning veel enam, ise veenduda teoreemide ja valemite korrektsuses, ei saa ajaloo üleskirjutust alati usaldada. See tähendab, tegelikke minevikus toimunud sündmusi võib olla varjatud ning kirja on pandud sündmusi moonutav tekst või hoopis midagi, mida ei ole toimunud. Ajaloolise tausta kaasamine käesolevasse töösse on siiski asjakohane, sest see aitab näha tekkinud probleeme algebraliste võrrandite lahendamise kohta. Nagu juba mainitud, ei saa siiski kõiges kirjapandus kindel olla, kuid kõik ei tohiks päris vale ka olla. Algebraliste võrranditega (edaspidi kasutame algebralise võrrandi asemel lihtsalt sõna võrrand) tegeldi juba XVII sajandil e.kr Babüloonias, kus mõned preestrid või matemaatikud töötasid välja, kuidas lahendada ruutvõrrandit. Nemad, või mõned nende õpilased, graveerisid selle savitahvlitele. Mõned sellised savitahvlid (lisaks savitahvlitele, milledel on näiteks maksukogumise andmed ja planeet Jupiteri liikumised üles tähendatud) on säilinud tänapäevani (vt Joonis 1). Joonis 1: Babüloonia savitahvel Pythagorase arvudega. On leitud Babüloonia savitahvel aastast umbes 1600 e.kr, mis sisaldab v

7 aritmeetilisi probleeme, mis taanduvad ruutvõrrandi lahendamisele. Tabel annab tunnistust, et babüloonlased omasid üldisi meetodeid ruutvõrrandite lahendamiseks, kuigi neil ei olnud mingit algebralist tähistusviisi, millega väljendada oma lahendusskeemi. Babüloonlased kasutasid arvude kuuekümnendsüsteemi nii, et näiteks sümbolid 7, 4, 0; 3, 11 tähistasid arvu = aastal teatas teadusajaloolane Otto Neugebauer, et mõned kõige antiiksemad Babüloonia probleemtahvlid sisaldasid meetodeid ruutvõrrandi lahendamiseks (õigemini ühe reaalarvulise lahendi leidmiseks). Üks tabel sisaldas näiteks sellist probleemi: leida ruudu külg kui on teada, et ruudu pindala ja ühe külje vahe on 14, 30. Arvestades, et arvule 14, 30 vastab kümnendsüsteemis arv 870, võime selle probleemi formuleerida kui ruutvõrrandi x 2 x = 870 ühe positiivse lahendi leidmisena. Babüloonlaste lahendus oli järgmine: Võta 1-st pool, mis on 0; 30, ning korruta arv 0; 30 arvuga 0; 30. Tulemuseks saad 0; 15. Liida sellele 14, 30, saad 14, 30; 15. See on arvu 29; 30 ruut. Nüüd liida 0; 30 arvule 29; 30. Saad 30, mis on ruudu külg. Kuigi tegemist on ühe konkreetse näitega, on see esitatud nii, et võime selle üldistada üldisele juhule, mis oligi ilmselt Babüloonia kirjatundja eesmärk. Tänapäevast kirjapilti kasutades avaldub otsitav ruudu külje pikkus x kujul x = a , mille asendamisel võrrandisse x 2 x = a saamegi samasuse. See valem on sarnane tänapäeval kasutatava ruutvõrrandi lahendamise valemiga ühe lahendi leidmiseks. Antiikkreeklased seevastu lahendasid ruutvõrrandeid geomeetrilisi konstruktsioone kasutades. Kreeklastel olid samuti meetodid kuupvõrrandite lahendamiseks, mis sisaldasid koonuste lõikepunktide leidmist. Siiski, algebralisi lahendusmeetodeid kreeklastelt kuupvõrrandi jaoks ei ole teada. Renessansiaja matemaatikud Bolognas Itaalias avastasid, et kuupvõrrandi saab taandada kolmele põhitüübile: x 3 + px = q, x 3 = px + q ja x 3 + q = px, kus p ja q on positiivsed reaalarvud. Nad eristasid neid kolme põhitüüpi, sest nad ei tunnistanud negatiivseid arve. On arvatud (allikas [7], lk xix), et Scipio del Ferro lahendas ära kõik kolm tüüpi. Uudised sellest läksid liikvele ning teised proovisid samuti kuupvõrrandit ära lahendada. Kuupvõrrandi lahendusvalemid avastas uuesti Niccolo Fontana (hüüdnimega Tartaglia, Kokutaja ) aastal aastal ilmus Girolamo Cardano teos Ars Magna, kus on toodud põhjalik käsitlus Fontana vi

8 kuupvõrrandi lahendamise ideest. Teos sisaldas ka meetodit tänu Cardano õpilasele Ludovico Ferrarile 4. astme võrrandi lahendamiseks selle taandamisel kuupvõrrandile. Kõik leitud valemid sisaldasid üht huvipakkuvat tähelepanekut, mida võib illustreerida Fontana lahendivalemiga kuupvõrrandi x 3 + px = q jaoks: x = 3 q 2 + p q q 2 p q2 4. Selline esitus, nimetatud Cardano valemiks, esitub kordajate p ja q korduva liitmise, lahutamise, korrutamise, jagamise ning juurimise kaudu. Selline esitusviis sai tuntuks kui lahendus radikaalides. Kuna kõik võrrandid, mille aste on väiksem kui 5, said nüüd lahendatud, tekkis loomulik küsimus, kuidas lahendada 5. astme võrrandit radikaalides. Tuntud matemaatikul Leonhard Euleril ei õnnestunud lahendada 5. astme võrrandit, kuid ta leidis uued meetodid 4. astme võrrandi jaoks, millised leidis ka Etienne Bézout aastal. Joseph-Louis Lagrange astus suure sammu edasi oma aastail esitatud töös Réflexions sur la résolution algébrique des équations, kus ta ühendas kõik erinevad seni kasutatud meetodid võrrandite, mille aste on väiksem kui 5, lahendamiseks. Ta näitas, et nad kõik sõltuvad polünoomide leidmisest võrrandi lahenditest, mis jäävad muutumatuks teatavate võrrandi lahendite permuteerimisel. Lagrange näitas, et selline lähenemine ebaõnnestub kui vaadelda 5. astme võrrandit. See ei tõestanud veel, et 5. astme võrrand ei ole lahenduv radikaalides, sest teistsugused meetodid võivad õnnestuda. Kuid sellise üldise meetodi ebaõnnestumine oli huvipakkuv. Üldine arvamus, et 5. astme võrrand ei ole lahenduv radikaalides, oli nüüd õhus. Paolo Ruffini esitas 18. sajandi lõpul ja 19. sajandi algul töid (mis olid seejuures küllaltki mahukad), milledes tal lõpuks õnnestus näidata, et üldine 5. astme võrrand (vt definitsioon leheküljel 54) ei ole lahenduv radikaalides. Tõestus ei olnud siiski piisavalt täielik, st, sisaldas üht puudust. Selle puuduse suutis aastal kõrvaldada Niels Henrik Abel. Abeli töö oli pikk ja sisaldas väikest viga, mis küll ei tühistanud ta tõestust. Üldine 5. astme võrrand oli seega radikaalides mittelahenduv, kuid mõned konkreetsed 5. astme võrrandid võisid siiski olla lahenduvad. Abelil õnnestus leida mitmesuguseid meetodeid teatud kujul olevate 5. astme võrrandite lahendamiseks iga võrrandi kuju jaoks erinev lahendivalem. Uus küsimus oli nüüd seega õhus: otsustada, kas mõni konkreetne 5. astme võrrand on radikaalides lahenduv. Abel töötas selle küsimuse kallal just enne seda kui ta suri tuberkuloosi aastal aastal tapeti noor (20 aastane) prantsuse matemaatik Évariste Galois duellil. Ta oli tegelenud võrrandite radikaalides lahenduvuse küsimusega, vii

9 olles seejuures esitanud 3 tööd Pariisi Teaduste Akadeemiale oma sellekohaste uurimuste kohta. Need tööd tema eluajal teatud põhjustel küll tunnustust ei leidnud ning Galois uurimused tundusid olevat maailmale kadunud. Siiski, 4. juulil 1843, pöördus Joseph Liouville Akadeemia poole. Ta alustas järgnevate sõnadega: Ma loodan pöörata Akadeemia tähelepanu tõsiasjale, et Évariste Galois tööde seas olen ma leidnud lahenduse, nii täpse kui olla saab, sellisele ilusale probleemile: kas leidub või mitte lahendus radikaalides... viii

10 Peatükk 1 Rühmateooria elemente Algebraliste võrrandite radikaalides lahendamise uurimisel on meile abiks rühmateooria vahendid. Rühmateooria, kui üks algebra valdkond, saigi tegelikult alguse seoses algebraliste võrrandite lahendamise küsimuse uurimisega. Seepärast on meil enne kõrgema astme võrrandite radikaalides lahenduvuse küsimuse uurimist vajalik teada mõningaid tulemusi rühmateooria valdkonnast. Eeldame järgnevas, et lugeja on tuttav põhiliste rühmade kohta käivate mõistete ja tulemustega nagu näiteks rühm, alamrühm, rühma järk, rühma elemendi järk, faktorrühm, isomorfism, homomorfism, normaaljagaja ehk normaalne alamrühm, Lagrange i teoreem ja rühmade homomorfismiteoreem. Samuti eeldame arvuteooria põhiliste tulemuste tundmist. Loetletud mõistetega võib tutvuda näiteks nii õpikute [2], [4], [5] kui ka loengukonspekti [6] abil. 1.1 Substitutsioonide rühmad Meenutame, et substitutsiooniks n-elemendilisel (n N) hulgal nimetatakse mistahes bijektiivset kujutust sellel hulgal (vt [5], lk 122, definitsioon 4.3.9). Tähistades vaadeldava hulga elemente vastavalt arvudega 1, 2,..., n, võime substitutsiooni s esitada kujul ( ) n s =, (1.1) s 1 s 2... s n kus s 1 s 2... s n on arvude 1, 2,..., n teatav ümberjärjestus ehk permutatsioon. Sellise tähistusviisi korral loeme, et näiteks element, mis on tähistatud arvuga 1, teiseneb 1

11 substitutsiooni s toimel elemendiks, mis on tähistatud arvuga s 1. Kõigi substitutsioonide hulka n elemendist (n-elemendilisel hulgal) tähistame järgnevalt sümboliga S n. Märgime, et substitutsiooni 1.1 võime esitada ka teisiti, st selliselt, kus tema esimese rea elemendid 1, 2,..., n on esitatud mingis teises järjekorras. Tingimuseks aga jääb siiski, et arvule 1 vastab alumises reas samal kohal arv s 1, arvule 2 vastab alumises reas samal kohal arv s 2 jne. Näide Substitutsioonide hulk S 3 koosneb järgnevatest elementidest: ( ) ( ) ( ) ,,, ( ) ( ) ( ) ,, Seejuures, vastavalt eelöeldule, ( ) ( ) ( ) = = = ( ) ( ) ( ) = = = Definitsioon Substitutsioonide r, s S n, kus ( ) ( ) s1 s r = 2... s n n, s =, (1.2) r s1 r s2... r sn s 1 s 2... s n korrutiseks nimetame substitutsiooni ( ) n rs =. (1.3) r s1 r s2... r sn Lause Substitutsioonide hulk S n osutub substitutsioonide korrutamise suhtes rühmaks. Tõestus. Definitsiooni põhjal on kahe substitutsiooni r, s S n, millised on antud kujul (1.2), korrutis (1.3) tõepoolest substitutsioon, sest kuna r S n, siis on arvud r s1, r s2,..., r sn paarikaupa erinevad arvud hulgast {1, 2,..., n}. Olgu nüüd r, s, t S n suvalised substitutsioonid kujul ( ) ( ) st1 s r = t2... s tn t1 t, s = 2... t n, r st1 r st2... r stn s t1 s t2... s tn ( ) n t =. t 1 t 2... t n 2

12 Siis, ühelt poolt, [( ) ( )] ( ) st1 s (rs)t = t2... s tn t1 t 2... t n n = r st1 r st2... r stn s t1 s t2... s tn t 1 t 2... t n ( ) ( ) ( ) t1 t = 2... t n n n =. r st1 r st2... r stn t 1 t 2... t n r st1 r st2... r stn Teiselt poolt aga ( ) [( st1 s r(st) = t2... s tn t1 t 2... t n r st1 r st2... r stn s t1 s t2... s tn ) = ( st1 s t2... s tn r st1 r st2... r stn ) ( n s t1 s t2... s tn = ) ( )] n = t 1 t 2... t n ( ) n. r st1 r st2... r stn Seega (rs)t = r(st), mistõttu substitutsioonide korrutamine on assotsiatiivne. Ühikelemendiks substitutsioonide korrutamise suhtes on substitutsioon (ühiksubstitutsioon) ning substitutsiooni pöördsubstitutsioon on e = ( ) n n ( ) n s = s 1 s 2... s n s 1 = Seega on tõepoolest tegemist rühmaga. ( ) s1 s 2... s n n Definitsioon Rühma S n, mis on moodustatud kõigi n-elemendiliste substitutsioonide poolt (n N), nimetame substitutsioonide rühmaks (n elemendist). Osutub, et iga lõplik rühm on isomorfne teatava substitutsioonide rühma alamrühmaga (vt [5], lk 175, teoreem 6.4.1). Seepärast on meil oluline tunda just substitutsioonide rühmi. Definitsioon Substitutsiooni nimetame tsükliks, kui ta paigutab teatud elemente tsükliliselt ümber, ülejäänud elemendid jätab aga paigale. Tsüklit, mis viib elemendi s 1 elemendiks s 2, elemendi s 2 elemendiks s 3,..., elemendi s k elemendiks s 1, tähistame (s 1 s 2... s k ), ning nimetame seda seejuures k-tsükliks. 3

13 Paneme tähele, et tsükkel on kuni järjekorra täpsuseni üheselt määratud. Näide Substitutsioon ( ) on tsükkel, mille võime esitada ka samaväärsel kujul (124). Lause Mistahes substitutsiooni rühmast S n saab esitada sõltumatute tsüklite korrutisena, st, selliste tsüklite korrutisena, mille üleskirjutises ei ole ühiseid elemente. Seejuures sellises korrutises ei ole sõltumatute tsüklite järjekord oluline. Tõestus. Olgu ( ) n s = s 1 s 2... s n (1.4) suvaline substitutsioon rühmast S n. Tõestuseks tuleb näidata, et substitutsiooni s saab esitada tsüklite korrutisena nii, et iga arv 1, 2,..., n esineb parajasti ühes tsüklis. Paneme tähele, et arv 1 teiseneb substitutsiooni s toimel arvuks s 1, arv s 1 omakorda arvuks s s1 jne kuni mingil sammul jõuame arvuni, mis teiseneb s toimel arvuks 1 (sest n on lõplik arv ning substitutsiooni 1.4 alumine rida koosneb paarikaupa erinevatest arvudest hulgast {1, 2,..., n}). Sel teel saame tsükli ( ) 1 s1 s s1... = (1s s 1 s s s s1...). (1.5) Otsime nüüd substitutsiooni s ülemises reas sellist arvu a, mis ei esine eraldatud tsüklis (1.5). Kui sellist arvu ei leidu, siis on väide tõestatud. Kui selline arv a aga leidub, siis ta teiseneb s toimel arvuks s a, arv s a omakorda arvuks s sa jne kuni mingil sammul jõuame arvuni, mis teiseneb s toimel arvuks a. Sel teel saame tsükli ( ) a sa s sa... = (as s a s sa... a a s sa...). (1.6) Kui oletada, et arvude a, s a, s sa,... ja arvude 1, s 1, s s1,... seas leidub võrdseid, siis olgu i, j {1, 2,..., n} sellised indeksid, et s i = s j, kus s i kuulub tsüklisse (1.5) ja s j kuulub tsüklisse (1.6). Siit järelduks nüüd, et s si = s sj, kus s si kuulub tsüklisse (1.5) ja s sj kuulub tsüklisse (1.6) ning nii edasi liikudes saaksime, et a võrdub mingi arvuga tsüklist (1.5), mis on vastuolus a valikuga. 4

14 Kirjeldatud tsüklite eraldamise protsessi jätkame seni, kuni ei leidu enam arvu b {1, 2,..., n}, mis ei kuuluks ühessegi meie poolt eraldatud tsüklisse. Nüüd paneme aga tähele, et s =... (as a s sa...)(1s 1 s s1...), seejuures antud korrutises ei ole tsüklite korrutamise järjekord oluline, sest iga arv 1, 2,..., n esineb parajasti ühes tsüklis. Näide Esitame substititsiooni ( ) s = sõltumatute tsüklite korrutisena. Paneme tähele, et substitutsiooni s toimel arv 1 teiseneb arvuks 5, arv 5 teiseneb arvuks 2, arv 2 teiseneb arvuks 1, millega sulgub esimene tsükkel (152). Teise tsükli koostamist alustame arvuga 3. Nüüd 3 teiseneb arvuks 8, arv 8 arvuks 3, millega sulgub teine tsükkel (38). Kolmandat tsüklit alustame arvuga 4. Arv 4 teiseneb arvuks 9, arv 9 arvuks 6 ja arv 6 teiseneb arvuks 4, millega sulgeb kolmas tsükkel (496). Järelejäänud arv 7 moodustab omaette tsükli, mille me võime kirjutamata jätta. Seega s = (496)(38)(152). Lause Iga k-tsükli (s 1 s 2... s k ) S n järk substitutsioonide rühmas S n on k. Tõestus. Kui k = 1 või kui k = 2, siis on väide selge. Eeldame seega järgnevas, et k > 2. Olgu s i, i {1, 2,..., k}, mingi element k-tsüklis t = (s 1 s 2... s k ). Paneme tähele, et substitutsioon t j, kus j < k ning j > 0, viib elemendi s i elemendiks s i+j, kus { arvu i + j jääk jagamisel arvuga k kui i + j > k, i + j = i + j muul juhul. Veendume, et sellisel juhul t j ei ole ühiksubstitutsioon. Selleks piisab näidata, et s i+j s i, st, et i + j i. Vaatame kahte juhtu, sõltuvalt sellest, kas i + j > k või i + j k. Juhul, kui i + j > k, siis tingimuse j < k tõttu i + j i, sest vastasel juhul peaks i + j = k + i (arvestame, et i k ja j < k tõttu i + j < 2k) ehk j = k, mis oleks vastuolus arvu j valikuga. Kui i + j k, siis i + j = i + j ning tingimuse j > 0 tõttu i + j i. St i + j i. 5

15 Seevastu substitutsioon t k viib elemendi s i selleks samaks elemendiks s i ning on seetõttu ühiksubstitutsioon. Sellega oleme näidanud, et k-tsükli t järk rühmas S n on k. Järeldus Olgu p algarv. Siis ainsad elemendid rühmas S p järguga p on p-tsüklid. Tõestus. Lause põhjal on iga p-tsükli järk rühmas S p arv p. Olgu s S p substitutsioon, mis ei ole p-tsükkel ega ühiksubstitutsioon. Lause põhjal võime ta esitada sõltumatute tsüklite korrutisena s = t r t r 1... t 1. Seejuures paneme tähele, et igas tsüklis t i, i {1, 2,..., r}, on elemente vähem kui p (sest vastasel juhul oleks s ju p-tsükkel). Teisisõnu, t i on k i -tsükkel, kus k i < p (i {1, 2,..., r}). Lause põhjal on iga k i -tsükli t i järk k i, i {1, 2,..., r}. Oletame, et s p = e, kus e on ühiksubstitutsioon. Kuna s ei ole ühiksubstitutsioon, siis leidub k i -tsükkel s i, mille järk ei ole 1 (i {1, 2,..., r}). Meie oletuse s p = e tõttu ning kuna sõltumatute tsüklite t 1, t 2,..., t r omavaheline korrutamine on kommutatiivne, siis ka t p i = e (arvestame, et ka tsüklid t p j, j {1, 2,..., r}, on sõltumatud). See aga tähendab, et k i p (vt [6], lk 28, lemma 7.3), mis on vastuoluline, sest p on algarv ning 1 < k i < p. Seega substitutsiooni s järk ei saa olla p. Definitsioon Substitutsiooni s S n nimetame transpositsiooniks, kui ta esitub sõltumatute tsüklite korrutisena kujul kus i, j {1, 2,..., n}, i j. s = (ij), Definitsioon Olgu permutatsioonis s 1 s 2... s j... s i... s n arv s j suurem arvust s i. Sellisel juhul ütleme, et arvud s i ja s j moodustavad vaadeldavas permutatsioonis inversiooni. Kui inversioonide koguarv permutatsioonis on paarisarv, siis nimetame permutatsiooni paarispermutatsiooniks. Vastasel juhul nimetame permutatsiooni paarituks permutatsiooniks. Definitsioon Substitutsiooni s S n, mis on antud kujul ( ) a1 a s = 2... a n, s a1 s a2... s an 6

16 nimetame paarissubstitutsiooniks, kui permutatsioonid a 1 a 2... a n ja s a1 s a2... s an on ühesuguse paarsusega. Vastasel juhul nimetame substitutsiooni s paarituks substitutsiooniks. Märgime, et toodud definitsioon on korrektne, sest ühe ja sama substitutsiooni erinevad esitused on teineteisest saadavad veergude teatava arvu ümberpaigutamiste abil. Kahe veeru ümberpaigutamine tähendab aga transpositsiooni teostamist substitutsiooni esituse mõlemas permutatsioonis. Transpositsioon aga muudab permutatsiooni paarsust (vt [5], lk 121, lause 4.3.7). Esitame nüüd veel mõned tulemused substitutsioonide rühmade kohta, milledest enamikud toome tõestuseta (tõestused võib leida näiteks õpikust [5], lehekülgedelt ). Lause Substitutsoonide rühma S n järk on n!. Lause Kui n 2, siis rühmas S n on paaris ja paarituid substitutsioone ühepalju. Lause Iga transpositsioon on paaritu substitutsioon. Teoreem Rühma S n (n 2) iga substitutsioon on esitatav transpositsioonide korrutisena. Lause Tegurite arv substitutsiooni esituses transpositsioonide korrutisena on sama paarsusega kui substitutsioon ise. Lause Rühma S n alamhulk, mis koosneb kõigist paarissubstitutsioonidest, on rühma S n alamrühm. Tõestus. Olgu s ja t kaks paarissubstitutsiooni. Lause põhjal on s ja t esituses transpositsioonide korrutisena transpositsioone paarisarv. Siis aga ka korrutis st sisaldab paarisarvu transpositsioone ning on seetõttu paarissubstitutsioon. Veendume nüüd, et suvalise paarissubstitutsiooni s pöördsubstitutsioon s 1 on paarissubstitutsioon. Oletame, et s 1 on paaritu substitutsioon. Olgu s ja s 1 esitatud transpositsioonide korrutisena. Siis s esituses on transpositsioone paarisarv ja s 1 esituses paaritu arv. Korrutis ss 1 sisaldab seega paaritu arv transpositsioone ning seepärast peaks ühiksubstitutsioon e olema paaritu substitutsioon. See oleks vastuoluline, mistõttu s 1 peab olema paarissubstitutsioon. Definitsioon Rühma S n alamrühma, mis koosneb kõigist paarissubstitutsioonidest, nimetame n-astme alterneeruvaks rühmaks ning tähistame A n. Lause Rühma A n järk on n! 2. Tõestus. Järeldub vahetult lausetest ja

17 1.2 Lahenduvad ja lihtsad rühmad Selles punktis teeme kõigepealt tutvust lahenduvate rühmadega ning tõestame mõned üldtulemused nende rühmade kohta. Lahenduvad rühmad mängivad olulist rolli võrrandite radikaalides lahenduvuse teoorias. Tutvume ka lihtsate rühmadega. Näitame, et alterneeruv rühm A n on juhul n 5 lihtne ning seda tulemust kasutades näitame, et substitutsioonide rühm S n ei ole juhul n 5 lahenduv. Just viimasele faktile tugineme hiljem, kui näitame, et kõik 5. astme võrrandid ei ole lahenduvad radikaalides. Kui G on rühm ning H on tema normaalne alamrühm ehk normaaljagaja, siis tähistame seda järgnevalt H G. Rühma G ühikelementi tähistame sümboliga 1 G või ka lihtsalt sümboliga 1, kui kontekstist on selge, millise rühma ühikelementi me silmas peame. Definitsioon Rühma G lõplikku alamrühmade jada {1} = G 0 G 1... G n = G, milles sisalduvused on ranged ning G i G i+1 iga i {0, 1,..., n 1} korral, nimetame rühma G normaaljadaks. Kui G on üheelemendiline, siis sellisel juhul ka üheelemendilist jada {1} = G nimetame rühma G normaaljadaks. On lihtsasti mõistetav, et igas rühmas G leidub normaaljada - näiteks jada {1} G. Rühmas G võib leiduda ka mitu normaaljada. Abeli rühma iga alamrühmade jada on ju normaaljada. Definitsioon Ütleme, et rühma G normaaljada on saadud teise normaaljada tihendamisel, kui esimene normaaljada on tekkinud nii, et teise normaaljadasse kuuluvate alamrühmade vahele on paigutatud täiendavaid alamrühmi. Definitsioon Rühma G normaaljada nimetame kompositsioonijadaks, kui teda ei ole võimalik nii tihendada, et tulemuseks on uus normaaljada. Definitsioon Olgu {1} = G 0 G 1... G n = G rühma G normaaljada. Faktorrühmi G i+1 /G i, i {1, 2,..., n 1}, nimetame selle normaaljada faktoriteks. Definitsioon Rühma G nimetame lahenduvaks, kui temas leidub normaaljada, mille faktorid on Abeli rühmad. Teisisõnu, rühm G on lahenduv, kui leidub lõplik arv selliseid alamrühmi et kehtib {1} = G 0 G 1... G n = G, (1.7) 8

18 1. G i G i+1 iga i {0, 1,..., n 1} korral. 2. Faktorrühm G i+1 /G i on Abeli rühm iga i {0, 1,..., n 1} korral. Näide Iga Abeli rühm G on lahenduv, sest jada {1} G rahuldab definitsiooni tingimusi. 2. Substitutsioonide rühm S 3 on lahenduv. Temas leidub alamrühmade jada {e} (123) S 3, kus e on ühiksubstitutsioon ning (123) on rühma S 3 tsükliline alamrühm moodustajaga (123). Võib veenduda, et (123) S 3 ning, et rühma (123) järk on 3. Kuna rühma S 3 järk on lause põhjal 3! = 6, siis faktorrühma S 3 / (123) järk on 6 : 3 = 2 ning S 3 / (123) on seega Abeli rühm. 3. Substitutsioonide rühm S 4 on samuti lahenduv. Temas leidub alamrühmade jada {e} V A 4 S 4, kus e on ühiksubstitutsioon, V = {e, (34)(12), (24)(13), (23)(14)} (tuntud kui Kleini neljarühm ). Võib veenduda, et {e} V, V A 4 ning A 4 S 4. Lausete ja põhjal ning sellest, et rühmas V on 4 elementi, järeldub, et faktorrühmade S 4 /A 4 ja A 4 /V järgud on vastavalt 2 ja 3. Seega kehtivad 1 V/{e} = V, A 4 /V = Z 3, S 4 /A 4 = Z2. Rühmad V, Z 3, Z 2 on aga Abeli rühmad. Tõestame siinkohal ühe elementaarse lause. Lause Olgu G lahenduv rühm ning olgu rühm H isomorfne rühmaga G. Siis H on lahenduv rühm. Tõestus. Olgu {1 G } = G 0 G 1... G n = G 1 Vt näiteks [5], lk 168, definitsioon , kus on defineeritud jäägiklassirühm Z n (n N). 9

19 rühma G normaaljada, mille faktorid on Abeli rühmad (n N). Olgu φ : G H isomorfism. Siis on kujutised H i = φ(g i ), i {0, 1,..., n} rühma H alamrühmad (vt [5], lk 74, lause ) ning meil on rühma H alamrühmade jada {1 H } = H 0 H 1... H n = H. Olgu i {0, 1,..., n 1} suvaline. Veendume, et H i H i+1. Selleks olgu h i H i ja h i+1 H i+1 suvalised ning näitame, et h 1 i+1 h ih i+1 H i. Olgu g i G i ja g i+1 G i+1 sellised, et φ(g i ) = h i ja φ(g i+1 ) = h i+1. Siis h 1 i+1 h ih i+1 = (φ(g i+1 )) 1 φ(g i )φ(g i+1 ) = φ(g 1 i+1 )φ(g i)φ(g i+1 ) = = φ(g 1 i+1 g ig i+1 ) φ(g i ) = H i, sest g 1 i+1 g ig i+1 G i. Veendume nüüd, et H i+1 /H i on Abeli rühm. Selleks piisab näidata, et suvaliste h 1, h 2 H i+1 korral h 1 h 2 H i = h 2 h 1 H i (see on faktorrühma elementide korrutamise eeskiri, vt [5], lk 166, lause ). Olgu g 1, g 2 G i+1 sellised, et φ(g 1 ) = h 1 ning φ(g 2 ) = h 2. Siis h 1 h 2 H i = φ(g 1 )φ(g 2 )φ(g i ) = φ(g 1 g 2 G i ) = sest G i+1 /G i on eelduse põhjal Abeli rühm. = φ(g 2 g 1 G i ) = φ(g 2 )φ(g 1 )φ(g i ) = h 2 h 1 H i, Järgnevad tulemused (teoreemid kuni ) koos tõestustega on leitavad eestikeelsest õpikust [4] lehekülgedelt ning Teoreem (Esimene isomorfismiteoreem). Olgu G, H ja K rühmad. Kui K G ning H G, siis H K H, K HK ning kehtib HK/K = H/(H K). Teoreem (Teine isomorfismiteoreem). Olgu G, H ja K rühmad. Kui K G, K H ning H G, siis K H, H/K G/K ning kehtib (G/K)/(H/K) = G/H. Teoreem (Kolmas isomorfismiteoreem). Olgu G rühm, H tema normaaljagaja, π : G G/H loomulik projektsioon, N G/H ning M = π 1 (N). Siis H M G ning kehtib G/M = (G/H)/N. 10

20 Teoreem Kui G on lahenduv rühm ning H on tema alamrühm, siis on ka H lahenduv rühm. Teoreem Kui G on lahenduv rühm ning N G, siis on ka G/N lahenduv rühm. Teoreem Olgu G rühm ning olgu N G. Kui rühmad N ja G/N on lahenduvad, siis on ka rühm G lahenduv. Tõestus. Veendume kõigepealt, et kui H on rühma G/N alamrühm, siis hulk G H = {g G gn H} on rühma G alamrühm. Olgu g 1, g 2 G H suvalised. Siis g 1 N, g 2 N H ning, kuna H on rühm, siis g 1 g 2 N = g 1 Ng 2 N H. Seega ka g 1 g 2 G H. Olgu nüüd g G H suvaline. Siis gn H, mistõttu g 1 N = (gn) 1 H. Seega g 1 G H. Sellega oleme näidanud, et G H on rühma G alamrühm. Paneme veel tähele, et N G H ning, kuna N G, siis ka N G H ning seejuures H = G H /N. Nüüd eelduse põhjal leiduvad jadad 2 {1 G } = N 0 N 1... N r = N, {1 G/N } = H 0 H 1... H s = G/N, kus faktorrühmad N i+1 /N i, H j+1 /H j (i {0, 1,..., r 1}, j {0, 1,..., s 1}) on Abeli rühmad. Eelöeldu tõttu H j = G j /N, kus G j on teatav rühma G alamrühm, j {0, 1,..., s}. Seejuures, kuna H 0 on üheelemendiline, siis H 0 = N/N. Veendume nüüd, et G j G j+1, j {0, 1,..., s 1}. Olgu g G j ja x G j+1 suvalised. Kuna kehtib võrdus (xn) 1 (gn)(xn) = (x 1 N)(gN)(xN) = x 1 gxn ning kuna G j /N G j+1 /N, siis x 1 gxn G j /N. See tähendab, et x 1 gx G j ning ühtlasi ka, et G j G j+1. Nüüd saame moodustada jada {1 G } = N 0 N 1... N r = N = G 0 G 1... G s = G. (1.8) Paneme tähele, et faktorrühm N i+1 /N i on eelduse põhjal Abeli rühm iga i {0, 1,..., r 1} korral. Faktorrühm G j+1 /G j on aga iga j {0, 1,..., s 1} korral teoreemi põhjal isomorfne Abeli rühmaga (G j+1 /N)/(G j /N), 2 Rühma G ühikelement 1 G on ühtlasi ka alamrühma N ühikelemendiks, mistõttu tähistame ka rühma N ühikelementi sümboliga 1 G. 11

21 mistõttu on ka ise Abeli rühm. Korrastades nüüd jada (1.8) nii, et sisalduvused oleksid ranged, saame kommutatiivsete faktoritega rühma G normaaljada. Definitsioon Rühma G nimetame lihtsaks kui tema ainsad normaalsed alamrühmad on {1} ja G. Viimaseid normaalseid alamrühmi me nimetame seejuures rühma G triviaalseteks normaaljagajateks. Näide Kui p on algarv, siis jäägiklassirühm Z p on lihtne, sest Lagrange i teoreemist (vt [5], lk 164, teoreem 6.1.5) ning sellest, et p on algarv, järeldub, et selle rühma ainsad alamrühmad (ning seega ka ainsad normaalsed alamrühmad) on {0} ja ta ise. Olgu G lahenduv rühm normaaljadaga {1} = G 0 G 1... G n = G, (1.9) mille faktorid on Abeli rühmad. Olgu M selline rühma G alamrühm, et M G i ning M G i+1, kuid G i M G i+1. Teise isomorfismiteoreemi põhjal kehtib siis (G i+1 /G i )/(M/G i ) = G i+1 /M. (1.10) Kuna G i+1 /G i on Abeli rühm, siis on ka tema faktorrühm (G i+1 /G i )/(M/G i ) Abeli rühm ning seega isomorfismi (1.10) tõttu on ka G i+1 /M Abeli rühm. Samuti, sisalduvuse M G i+1 tõttu, on ka rühm M/G i Abeli rühm. Seega, tihendades lahenduva rühma G normaaljada (1.9), siis saadavad faktorid on ikka Abeli rühmad. See lubab meil lahenduva rühma G korral rääkida tema kompositsioonijadast, mille faktorid on Abeli rühmad. Kehtib järgmine lause. Lause Lahenduva rühma G kompositsioonijada faktorid on lihtsad tsüklilised rühmad ning nende järk on algarv. Tõestus. Olgu {1} = G 0 G 1... G n = G (1.11) lahenduva rühma G kompositsioonijada, mille faktorid on Abeli rühmad. Oletame vastuväiteliselt, et mingi indeksi i {0, 1,..., n 1} korral faktorrühmal G i+1 /G i leidub mittetriviaalne normaaljagaja N. Olgu π : G i+1 G i+1 /G i loomulik projektsioon. Teoreemi põhjal on M = π 1 (N) rühma G i+1 normaalne alamrühm ning G i+1 /M = (G i+1 /G i )/N. (1.12) Paneme tähele, et kuna G i M G i+1 ning G i G i+1, siis G i M. 12

22 Kui nüüd M võrduks rühmaga G i+1, siis (1.12) vasakul pool oleks ühikrühm, mistõttu peaks ka (1.12) paremal pool olema ühikrühm. Kuna aga N G i+1 /G i, siis (1.12) parem pool ei ole ühikrühm. Kui aga M võrduks rühmaga G i, siis (1.12) tõttu peaks N võrduma faktorrühma G i+1 /G i ühikrühmaga {G i }. Jällegi vastuolu eeldusega. Seega peab M olema erinev rühmadest G i+1 ja G i. See on aga vastuoluline, sest sellisel juhul saaksime normaaljada (1.11) tihendada alamrühmaga M, mistõttu ei oleks jada (1.11) rühma G kompositsioonijada. Seega peavad kompositsioonijada (1.11) faktorid olema lihtsad rühmad. Olgu i {0, 1,..., n 1} suvaline ning veendume, et faktorrühm G i+1 /G i on algarvulist järku tsükliline rühm. Olgu a G i+1 /G i mingi element, mis ei võrdu selle rühma ühikelemendiga e = {G i }. Vaatame rühma G i+1 /G i alamrühma a = { e, a, a 2,..., a m 1}. Kuna G i+1 /G i on kompositsioonijada (1.11) faktor, siis on ta Abeli rühm. Abeli rühma iga alamrühm on aga selle rühma normaaljagaja, mistõttu on rühm a lihtsa rühma G i+1 /G i normaaljagaja. Seega, kas a = G i+1 /G i, või a = {e}. Kuna meie valiku tõttu a e, siis peab a = G i+1 /G i, mis tähendab ühtlasi, et rühm G i+1 /G i on tsükliline ning järku m. Oletame, et m ei ole algarv, st, m = pq, kus 1 < p < m. Sellisel juhul on a q = { e, a q, a 2q,..., a (p 1)q} rühma G i+1 /G i alamrühm, mille järk on p. See aga tähendab ühtlasi, et a q on rühma G i+1 /G i mittetriviaalne normaaljagaja. See on vastuoluline, sest G i+1 /G i on lihtne rühm. Teoreem Lahenduv rühm G on lihtne siis ja ainult siis kui G on tsükliline ning tema järk on algarv. Tõestus. Tarvilikkus. Olgu lahenduv rühm G lihtne. Kuna G on lahenduv, siis leidub normaaljada {1} = G 0 G 1... G n = G, (1.13) mille faktorid on Abeli rühmad. Kuna G on lihtne, siis peab G n 1 = {1}. Paneme tähele, et sellisel juhul G = G/{1} = G n /G n 1. (1.14) Faktorrühm G n /G n 1 on aga Abeli rühm, mistõttu peab siis (1.14) tõttu ka G olema Abeli rühm. Paneme nüüd tähele, et kuna G on Abeli rühm, siis iga tema alamrühm on ühtlasi ka normaaljagaja. Seega, kuna G on lihtne, siis ei saa rühmas G leiduda mittetriviaalseid alamrühmi. 13

23 Olgu 1 g G suvaline. Siis g {1} ning seega peab g = G (sest vastasel juhul oleks g rühma G mittetriviaalne alamrühm). Sellega oleme näidanud, et G on tsükliline. Veendume, et G järk on algarv. Oletame, et rühma G = g järk p ei ole algarv, st p = kl, kus k > 1, l > 1. Siis element g k 1 ei ole rühma G moodustaja (vt [5], lk 173, lause 6.3.8) ning seega g k oleks rühma G mittetriviaalne alamrühm. Piisavus. Kui rühma G järk on algarv, siis, kuna lõpliku rühma alamrühma järk on rühma järgu jagaja (vt [5], lk 164, teoreem 6.1.5), ei saa sel rühmal olla mittetriviaalseid alamrühmi ning seega ka mittetriviaalseid normaalseid alamrühmi. Seega peab G olema lihtne. Teoreem Kui n 5, siis n-astme alterneeruv rühm A n on lihtne. Tõestus. Olgu N A n, N {e}. Veendume kõigepealt, et kui N sisaldab mingit 3-tsüklit, siis N = A n. Üldisust kitsendamata võime eeldada, et (123) N (sest me võime substitutsiooni arvud alati meile sobivalt ümber järjestada). Paneme tähele, et (12k) = (1k)(12), kus k > 3. Lause põhjal seega (12k) A n (k > 3). Kuna N A n, siis k > 3 korral (12k)(123)(12k) 1 = (12k)(123)(k21) = (k32) N. (1.15) Nüüd aga (123)(k32) = (k12) = (12k) N (k > 3). Seega (12k) N k {3, 4,..., n}. (1.16) Olgu x A n suvaline ning olgu ta esitatud sõltumatute tsüklite korrutisena (vt lause 1.1.7) x =... c b a. (1.17) Paneme tähele, et k-tsükli a võime esitada kujul Lisaks märkame, et a = (a 1 a 2... a k ) = (a 1 a k )... (a 1 a 3 )(a 1 a 2 ). (1.18) (a 1 a i ) = (1a 1 )(1a i )(1a 1 ), i {2, 3,..., k}. (1.19) Võrdustest (1.18) ja (1.19) järeldame, et k-tsükli a võime esitada kujul (1i), i {2, 3,..., n}, olevate transpositsioonide korrutisena. Sarnaselt võime veenduda, et ka tsüklid b, c,... substitutsiooni x esitusest kujul (1.17) ning seega ka substitutsiooni x võime esitada kujul (1i), i {2, 3,..., n}, olevate transpositsioonide korrutisena. Kuna x A n oli suvaline, siis iga substitutsiooni 14

24 rühmast A n võime esitada kujul (1i), i {2, 3,..., n}, olevate transpositsioonide korrutisena, kusjuures neid transpositsioone peab lause põhjal olema paarisarv. Seega A n = {(1j)(1i) i, j {2, 3,..., n}}, (1.20) st, rühm A n on moodustatud hulga poolt, mille elementideks on substitutsioonid (1j)(1i), i, j {2, 3,..., n} (selle kohta ütleme ka, et rühm A n on tekitatud kujul (1j)(1i), i, j {2, 3,..., n}, olevate substitutsioonide poolt). Veendume nüüd, et iga substitutsiooni kujul (1j)(1i) (i, j {2, 3,..., n}) on võimalik esitada rühma N kuuluvate substitutsioonide kaudu. Siis võrdusest (1.20) järeldub, et A n = N. Juhul kui i = j, siis väide kehtib, sest (1j)(1i) = I N. Eeldame nüüd, et i j. Paneme esiteks tähele, et sellisel juhul (1j)(1i) = (1ij). Nüüd juhul, kui i 2 ja j 2, saame tingimust (1.16) arvestades, et (1ij) = (12j)(12j)(12i)(12j) N. Juhul, kui i > 3 ja j = 2, siis tingimuse (1.15) tõttu (1ij) = (1i2) = (32i)(123)(i23) = (32i)(123)(32i) 1 N. Kui i = 3 ja j = 2, siis tingimuse (1.16) tõttu (1ij) = (132) = (123) 1 N. Juhul, kui i = 2 ja j > 2, järeldub tingimusest (1.16), et (1ij) = (12j) N. Sellega oleme näidanud, et kui N sisaldab mingit 3-tsüklit, siis N = A n. Näitame nüüd, et N sisaldab mingit 3-tsüklit. Olgu x N mingi suvaline ühiksubstitutsioonist erinev substitutsioon. Olgu x esitatud sõltumatute tsüklite a, b, c,... korrutisena x =... c b a. (1.21) Vaatleme nüüd kõikvõimalikke juhte, mis võivad esineda x esituses sõltumatute tsüklite korrutisena. 1. Substitutsioon x sisaldab tsüklit, milles on rohkem kui 3 elementi. Üldisust kitsendamata võime eeldada, et selliseks tsükliks on a, sest korrutises (1.21) ei ole korrutatavate järjekord oluline (vt lause 1.1.7). Seega a = (a 1 a 2... a k ), kus k 4. Olgu t = (a 1 a 2 a 3 ) = (a 1 a 3 )(a 1 a 2 ) A n. 15

25 Nüüd, kuna tsüklid b, c,... on sõltumatud ning kuna N A n, siis kehtib txt 1 = t(... cba)t 1 =... cb(tat 1 ) = z N. Nüüd aga x 1 z = (a 1 b 1 c 1...)(... cb(tat 1 )) = a 1 tat 1 = = (a k... a 2 a 1 )(a 1 a 2 a 3 )(a 1 a 2... a k )(a 3 a 2 a 1 ) = (a 3 a k a 1 ) N. 2. Substitutsiooni x esituses sõltumatute tsüklite korrutisena on vähemalt kaks 3-tsüklit, st x = y(a 4 a 5 a 6 )(a 1 a 2 a 3 ), kus y on substitutsioon, mis jätab elemendid a 1, a 2,..., a 6 muutumatuks. Olgu t = (a 2 a 3 a 4 ) = (a 2 a 4 )(a 2 a 3 ) A n. Nüüd x 1 (txt 1 ) = = (a 3 a 2 a 1 )(a 6 a 5 a 4 )y 1 (a 2 a 3 a 4 ) y (a 4 a 5 a 6 )(a 1 a 2 a 3 )(a 4 a 3 a 2 ) = ning olukord taandub juhule 1. = (a 4 a 3 a 6 a 1 a 2 ) N 3. Substitutsiooni x esituses sõltumatute tsüklite korrutisena on täpselt üks 3-tsükkel ning mitte ühtegi k-tsüklit, kus k 4. Siis x = p(a 1 a 2 a 3 ), kus substitutsioon p jätab elemendid a 1, a 2 ja a 3 muutumatuks ning p 2 = I (p on sõltumatute transpositsioonide korrutis). Siis aga x 2 = p(a 1 a 2 a 3 )p(a 1 a 2 a 3 ) = p 2 (a 1 a 2 a 3 ) 2 = (a 1 a 3 a 2 ) N. 4. Kui substitutsiooni x esituses sõltumatute tsüklite korrutisena ei kehti ükski tingimustest 1., 2., 3., siis esitub x sõltumatute transpositsioonide korrutisena. Seejuures, meie valiku tõttu x e ning x N A n, mistõttu peab x esituses sõltumatute transpositsioonide korrutisena transpositsioone olema vähemalt 2. St, x = p(a 3 a 4 )(a 1 a 2 ), kus substitutsioon p jätab elemendid a 1, a 2, a 3 ja a 4 muutumatuks. Olgu t = (a 2 a 3 a 4 ) A n. 16

26 Paneme tähele, et u = x 1 (txt 1 ) = (a 1 a 2 )(a 3 a 4 )p 1 (a 2 a 3 a 4 )p(a 3 a 4 )(a 1 a 2 )(a 4 a 3 a 2 ) = = (a 4 a 1 )(a 3 a 2 ) N. Olgu a 5 {1, 2,..., n} mingi element, mis erineb elementidest a 1, a 2, a 3 ja a 4. Olgu v = (a 1 a 2 a 5 ) = (a 1 a 5 )(a 1 a 2 ) A n. Nüüd u(vuv 1 ) = (a 4 a 1 )(a 3 a 2 )(a 1 a 2 a 5 )(a 4 a 1 )(a 3 a 2 )(a 5 a 2 a 1 ) = ning olukord taandub juhule 1. = (a 5 a 2 a 1 a 4 a 3 ) N Sellega oleme näidanud, et rühma A n ainsad normaalsed alamrühmad on triviaalsed normaaljagajad, mistõttu rühm A n on lihtne. Järeldus Substitutsioonide rühm S n ei ole juhul n 5 lahenduv. Tõestus. Kui rühm S n, n 5, oleks lahenduv, siis teoreemi põhjal peaks ka alamrühm A n olema lahenduv. Teoreemi põhjal on rühm A n, juhul kui n 5, lihtne. Teoreemi põhjal peaks siis A n järk olema algarv. Lause põhjal on rühma A n järk n!, mis aga ei ole algarv kui 2 n 5. Saadud vastuolu tõttu ei saa rühm S n olla lahenduv kui n Cauchy teoreem Selle punkti eesmärgiks on Cauchy teoreemi tõestus, milline teoreem väidab, et kui algarv p jagab lõpliku rühma järku, siis selles rühmas leidub element, mille järk on p. Selles punktis vaatlemegi vaid lõplikke rühmi. Eelnevalt läheb meil vaja aga mõningaid abitulemusi. Tõestuseta toodud tulemuste tõestused võib leida õpikust [4] lehekülgedelt 7 ja 8. Rühma G järku ehk elementide arvu kui ka hulga G võimsust tähistame edaspidises järgnevalt: G. Lause Olgu G rühm. Seos, mis suvaliste a, b G korral on defineeritud a b g G : a = g 1 bg, on ekvivalentsiseos rühmal G. 17

27 Definitsioon Olgu G rühm ning a, b G. Ütleme, et element b on elemendi a kaaselement (rühmas G) kui leidub g G nii, et a = g 1 bg. Kui b G on elemendi a G kaaselement rühmas G, siis lause tõttu on ka element a elemendi b kaaselement ning seepärast nimetame elemente a ja b ka teineteise kaaselementideks. Lause väidab, et seos a ja b on kaaselemendid rühmas G, on ekvivalentsiseos rühmal G. Rühm G jaguneb selle seose järgi ekvivalentsiklassideks, milliseid ekvivalentsiklasse me nimetame rühma G kaaselementide klassideks. Kui rühma G kaaselementide klassid on K 1, K 2,..., K r, siis üks neist, ütleme, et K 1, sisaldab ainult rühma G ühikelementi. Seega K 1 = 1. Kuna rühma G kaaselementide klassid ei lõiku ning katavad rühma G, siis G = 1 + K K r. (1.22) Elementi a G sisaldavat rühma G kaaselemendi klassi tähistame K(a). Definitsioon Olgu G rühm ning x G mingi element. Siis elemendi x tsentralisaatoriks (rühmas G) nimetame hulka C G (x) = {g G gx = xg}. Lause Elemendi x G tsentralisaator C G (x) rühmas G on rühm ning K(x) = G C G (x), (1.23) st, elementi x sisaldava rühma G kaaselementide klassi K(x) võimsus võrdub rühma G kõrvalklasside arvuga alamrühma C G (x) järgi. Järeldus Elementide arv rühma G mistahes kaaselementide klassis on rühma G järgu jagaja. Tõestus. Väide järeldub vahetult võrdusest (1.23). Lause Olgu G ja H rühmad ning φ : G H homomorfism. Olgu elemendi g G järk k ning elemendi φ(g) H järk olgu l. Siis l k. Tõestus. Paneme tähele, et (φ(g)) k = φ(g k ) = φ(1) = 1. (1.24) Kuna elemendi φ(g) järk on l, siis võrduse (1.24) tõttu l k (vt [6], lk 28, lemma 7.3). 18

28 Lause Olgu G rühm, mille järk ei ole algarv. Siis rühmas G leidub mittetriviaalne pärisalamrühm. Tõestus. Olgu A = mn, kus m > 1 ja n > 1. Olgu a A mingi selline element, et a 1 G. Kui elemendi a järk ei ole mn, siis väide kehtib (mittetriviaalseks pärisalamrühmaks on sel juhul a ). Kui elemendi a järk on mn, siis A = a ning rühm a m = {1 G, a m, a 2m,..., a (n 1)m } on rühma A mittetriviaalne alamrühm. Lause Olgu A Abeli rühm, mille järk jagub algarvuga p. Siis rühmas A leidub element, mille järk on p. Tõestus. Väite tõestame matemaatilise induktsiooni meetodit kasutades rühma A järgu A järgi. Induktsiooni baas. Olgu rühma A järk algarv p. Olgu a A mingi selline element, et a 1 G. Kuna p on algarv ning a 1, siis Lagrange i teoreemist (vt [5], lk 164, teoreem 6.1.5) järeldub, et alamrühma a järk on p. Teisisõnu, elemendi a A järk on p. Induktsiooni samm. Eeldame nüüd, et väide kehtib iga Abeli rühma korral, mille järk on väiksem kui pk, kus k > 1, ning mille järk jagub algarvuga p. Olgu A Abeli rühm, mille järk on pk. Lause põhjal leidub rühmas A mittetriviaalne pärisalamrühm. Olgu M rühma A selline pärisalamrühm, mille järk m on maksimaalne rühma A pärisalamrühmade järkude seast. Kui m jagub arvuga p, siis induktsiooni eelduse tõttu meie väide kehtib. Eeldame nüüd, et m ei jagu arvuga p. Olgu b A \ M suvaline ning olgu B = b. Paneme tähele, et kuna A on Abeli rühm, siis MB on rühma A alamrühm, mille järk on seejuures rangelt suurem kui rühmal M (sest M MB, kuid b MB ja b / M). Alamrühma M valiku tõttu seega MB = A. Kuna A on Abeli rühm, siis kõik tema alamrühmad on normaalsed ning teoreemi kasutades saame, et ehk MB B A = = M M B M B. (1.25) M B Kuna p jagab võrduse (1.25) vasakut poolt, siis jagab p ka sama võrduse M paremat poolt. Kuna seejuures ei jagu arvuga p, siis peab p jagama M B rühma B järku r. Kuna B on tsükliline rühm moodustajaga b, siis elemendi b r/p järk on p. Oleme nüüd valmis punkti põhiteoreemi Cauchy teoreem tõestamiseks. Teoreem (Cauchy teoreem). Olgu G rühm, mille järk jagub algarvuga p. Siis rühmas G leidub element, mille järk on p. 19

29 Tõestus. Tõestame väite matemaatilise induktsiooni meetodit kasutades. Induktsiooni baas. Olgu G rühm, mille järk on algarv p. Tõestus kordab lause induktsiooni baasi osa tõestust. Induktsiooni samm. Eeldame, et väide kehtib iga rühma G korral, mille järk on väiksem kui pk, kus k > 1, ning mille järk jagub algarvuga p. Lause põhjal kehtib teoreemi väide Abeli rühmade korral. Olgu G seega mittekommutatiivne rühm, mille järk on pk. Olgu G järk esitatud tema kaaselementide klasside võimsuste summana kujul (1.22). Eelduse põhjal p G. Kui iga i {2, 3,..., r} korral p K i, siis järelduks võrdusest (1.22), et p 1, mis oleks vastuoluline. Seega, p K j mingi j {2, 3,..., r} korral. Olgu x K j mingi element. Lause põhjal kehtib K j = G C G (x). (1.26) Kaaselementide klassi K j valiku tõttu järeldub võrdusest (1.26), et p C G (x). Kui C G (x) G, siis induktsiooni eelduse tõttu sisaldab rühm C G (x) elementi, mille järk on p ning see element on ühtlasi ka rühma G element. Eeldame nüüd, et C G (x) = G. See tähendab aga seda, et element x kommuteerub rühma G iga elemendiga ehk x C(G), kus C(G) on rühma G tsenter. Kuna aga x 1 G (klass K j {1 G }), siis C(G) {1 G }. Nüüd on meil kaks võimalust, kas p C(G) või p C(G). Rühm C(G) on Abeli rühm, mistõttu esimesel juhul järelduks teoreemi väide lausest Vaatame nüüd juhtu kui p C(G). Meie eelduse tõttu C(G) G (sest G ei G C(G) jagub ole Abeli rühm). Paneme tähele, et faktorrühma G/C(G) järk sellisel juhul arvuga p ning on rangelt väiksem kui rühma G järk. Induktsiooni eelduse põhjal leidub element y = yc(g) G/C(G), mille järk on p. St, leidub selline y p C(G), et y / C(G). Olgu Y = y. Paneme tähele, et C(G)Y on Abeli rühm. Kuna loomulik projektsioon π : G G/C(G) on homomorfism, siis lause põhjal jagab algarv p elemendi y järku rühmas G. Teisisõnu, rühma Y järk jagub algarvuga p. Esimest isomorfismiteoreemi kasutades saame, et C(G)Y C(G) = Y C(G) Y ehk C(G) C(G)Y = Y C(G) Y. (1.27) Meie eelduse p C(G) tõttu ei jaga algarv p ka rühma C(G) alamrühma C(G) Y järku. Kuna aga p Y, siis peab p jagama võrduse (1.27) paremat poolt ning seega ka sama võrduse vasakut poolt ehk p C(G)Y. Nüüd lause põhjal leidub Abeli rühmas C(G)Y element, mille järk on p. See element on ühtlasi ka rühma G element, mille järk on p. 20

30 1.4 Ülesanded 1. Leida rühmaga {1, a, b a 2 = b, b 2 = a, ab = ba = 1}, kus 1 tähendab vaadeldava rühma ühikelementi, isomorfne substitutsioonide rühma alamrühm. 2. Lahutada substitutsioon sõltumatute tsüklite korrutiseks. (21)(35)(56)(14)(27)(34)(25) 3. Leida substitutsioonide rühma S 4 kõik kolmandat järku tsüklilised alamrühmad. 4. Näidata, et seos rühm A on rühma B normaaljagaja ei ole transitiivne. (Näpunäide: Vaadata jada G V S 4, kus G = {e, (12)(34)} ning V on Kleini neljarühm (vt näide 1.2.6(3) leheküljel 9).) 5. Näidata, et nn üldine dieedri rühm D 2n = a, b a n = b 2 = 1, b 1 ab = a 1 on lahenduv rühm. Siin a ja b on vaadeldava rühma moodustajad ning võrdused on seosed nende vahel. 6. Näidata, et rühma G elemendi x kõigil kaaselementidel on sama järk, mis elemendil x. 7. Lahutada rühm S 3 kaaselementide klassideks ning veenduda, et (123) on tõepoolest rühma S 3 normaaljagaja (nagu seda näites 1.2.6(2) väideti). Fikseerida igast kaaselementide klassist üks element ning leida tema tsentralisaator. 8. Olgu G rühm ning x, g G. Näidata, et C G (g 1 xg) = g 1 C G (x)g. 9. Näidata, et rühma S n tsenter koosneb vaid ühest elemendist kui n Märkida järgnevad kas Tõene (T) või väär (V). a. Kahe lahenduva rühma otsekorrutis on lahenduv rühm. b. Iga lihtne lahenduv rühm on tsükliline. c. Iga tsükliline rühm on lihtne. d. Substitutsioonide rühm S n on lihtne kui n 5. e. Rühma G mistahes elemendi x kaaselementide klass K(x) on rühma G alamrühm. 21

Kompleksarvu algebraline kuju

Kompleksarvu algebraline kuju Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa

Διαβάστε περισσότερα

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA

ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem

Διαβάστε περισσότερα

Funktsiooni diferentsiaal

Funktsiooni diferentsiaal Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetrilised vektorid

Geomeetrilised vektorid Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58

Διαβάστε περισσότερα

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008

Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008 Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub

Διαβάστε περισσότερα

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule

Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan

ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja

Διαβάστε περισσότερα

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika

Διαβάστε περισσότερα

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused

Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna

Διαβάστε περισσότερα

Ehitusmehaanika harjutus

Ehitusmehaanika harjutus Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative

Διαβάστε περισσότερα

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2

HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2 PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused

Διαβάστε περισσότερα

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD

1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD 1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki

Διαβάστε περισσότερα

PLASTSED DEFORMATSIOONID

PLASTSED DEFORMATSIOONID PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb

Διαβάστε περισσότερα

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1 laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad

Διαβάστε περισσότερα

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad

Eesti LIV matemaatikaolümpiaad Eesti LIV matemaatikaolümpiaad 31. märts 007 Lõppvoor 9. klass Lahendused 1. Vastus: 43. Ilmselt ei saa see arv sisaldada numbrit 0. Iga vähemalt kahekohaline nõutud omadusega arv sisaldab paarisnumbrit

Διαβάστε περισσότερα

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1 κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii

Διαβάστε περισσότερα

Kontekstivabad keeled

Kontekstivabad keeled Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,

Διαβάστε περισσότερα

9. AM ja FM detektorid

9. AM ja FM detektorid 1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid

Διαβάστε περισσότερα

Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27

Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27 Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid

Διαβάστε περισσότερα

Avaliku võtmega krüptograafia

Avaliku võtmega krüptograafia Avaliku võtmega krüptograafia Ahto Buldas Motiivid Salajase võtme vahetus on tülikas! Kas ei oleks võimalik salajases võtmes kokku leppida üle avaliku kanali? 2 Probleem piiramatu vastasega! Kui vastane

Διαβάστε περισσότερα

YMM3740 Matemaatilne analüüs II

YMM3740 Matemaatilne analüüs II YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu

Διαβάστε περισσότερα

Formaalsete keelte teooria. Mati Pentus

Formaalsete keelte teooria. Mati Pentus Formaalsete keelte teooria Mati Pentus http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/fkt/ 2009 13. november 2009. a. Formaalsete keelte teooria 2 Peatükk 1. Keeled ja grammatikad Definitsioon 1.1. Naturaalarvudeks

Διαβάστε περισσότερα

T~oestatavalt korrektne transleerimine

T~oestatavalt korrektne transleerimine T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)

MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded

Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke

Διαβάστε περισσότερα

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.

28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil. 8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,

Διαβάστε περισσότερα

7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85

7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat

Διαβάστε περισσότερα

Keerukusteooria elemente

Keerukusteooria elemente Keerukusteooria elemente Teema 5 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 1 / 45 Sisukord 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria

Διαβάστε περισσότερα

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi Kontrollijate kommentaarid 2002. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta Kokkuvõtteks Uuendusena oli tänavusel piirkondlikul olümpiaadil 10.-12. klassides senise 5 asemel 6 ülesannet, millest

Διαβάστε περισσότερα

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad

6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad 6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32

Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32 Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni

Διαβάστε περισσότερα

KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS

KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS Nooem aste (9. ja 10. klass) Tallinn, Tatu, Kuessaae, Nava, Pänu, Kohtla-Jäve 11. novembe 2006 Ülesannete lahendused 1. a) M (E) = 40,08 / 0,876 = 10,2 letades,

Διαβάστε περισσότερα

Deformeeruva keskkonna dünaamika

Deformeeruva keskkonna dünaamika Peatükk 4 Deformeeruva keskkonna dünaamika 1 Dünaamika on mehaanika osa, mis uurib materiaalsete keskkondade liikumist välismõjude (välisjõudude) toimel. Uuritavaks materiaalseks keskkonnaks võib olla

Διαβάστε περισσότερα

Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp

Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp http://www.staff.ttu.ee/ puusemp/ Sellel kodulehe aadressil asub alajaotuse Diskreetne matemaatika all elektrooniline õpik ja ülesannete

Διαβάστε περισσότερα

Tuletis ja diferentsiaal

Tuletis ja diferentsiaal Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.

Διαβάστε περισσότερα

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud

Διαβάστε περισσότερα

Smith i diagramm. Peegeldustegur

Smith i diagramm. Peegeldustegur Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes

Διαβάστε περισσότερα

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.

Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a. Geomeetria põhivara Jan Willemson 19. mai 2000.a. 1 Kolmnurk Kolmnurgas tasub mõelda järgmistest lõikudest ja sirgetest: kõrgused, nurgapoolitajad, välisnurkade poolitajad, külgede keskristsirged, mediaanid,

Διαβάστε περισσότερα

Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria.

Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: analüütiline geomeetria tasandil,

Διαβάστε περισσότερα

Sirgete varraste vääne

Sirgete varraste vääne 1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8.1 Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3

Διαβάστε περισσότερα

1 Entroopia ja informatsioon

1 Entroopia ja informatsioon Kirjadus: T.M. Cover, J.A. Thomas "Elemets of iformatio theory", Wiley, 99 ja 2006. Yeug, Raymod W. "A first course of iformatio theory", Kluwer, 2002. Mackay, D. "Iformatio theory, iferece ad learig algorithms",

Διαβάστε περισσότερα

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV

Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS

Διαβάστε περισσότερα

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja

Διαβάστε περισσότερα

Kontekstivabad keeled

Kontekstivabad keeled Kontekstivabad keeled Teema 2.2 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 28 Sisukord 1 Pinuautomaadid 2 KV keeled ja pinuautomaadid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee

Διαβάστε περισσότερα

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.

Διαβάστε περισσότερα

Elastsusteooria tasandülesanne

Elastsusteooria tasandülesanne Peatükk 5 Eastsusteooria tasandüesanne 143 5.1. Tasandüesande mõiste 144 5.1 Tasandüesande mõiste Seeks, et iseoomustada pingust või deformatsiooni eastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni

Διαβάστε περισσότερα

1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014

1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 1 MTMM.00.188 Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 Eksamitöö annab kokku 80 punkti ja ülesanded jagunevad järgmisse kuude gruppi: P1 ( 10p ) - ülesanded I kontrolltöö põhiteemade peale; P2 ( 10p ) - ülesanded

Διαβάστε περισσότερα

MateMaatika õhtuõpik

MateMaatika õhtuõpik Matemaatika õhtuõpik 1 2 Matemaatika õhtuõpik 3 Alates 31. märtsist 2014 on raamatu elektrooniline versioon tasuta kättesaadav aadressilt 6htu6pik.ut.ee CC litsentsi alusel (Autorile viitamine + Mitteäriline

Διαβάστε περισσότερα

Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a.

Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a. Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused oorem rühm (9. ja 0. klass) 6. november 2002. a.. ) 2a + 2 = a 2 2 2) 2a + a 2 2 = 2a 2 ) 2a + I 2 = 2aI 4) 2aI + Cl 2 = 2aCl + I 2 5) 2aCl = 2a + Cl 2 (sulatatud

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester

Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),

Διαβάστε περισσότερα

Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD

Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD 1 Nõudmised krüptoräsidele (Hash-funktsionidele) Krüptoräsiks nimetatakse ühesuunaline funktsioon

Διαβάστε περισσότερα

Eesti elektrienergia hinna analüüs ja ühesammuline prognoosimine ARIMA tüüpi mudelitega

Eesti elektrienergia hinna analüüs ja ühesammuline prognoosimine ARIMA tüüpi mudelitega TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA INFORMAATIKATEADUSKOND Matemaatilise statistika instituut Finants- ja kindlustusmatemaatika eriala Kärt Päll Eesti elektrienergia hinna analüüs ja ühesammuline prognoosimine ARIMA

Διαβάστε περισσότερα

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:

Διαβάστε περισσότερα

6 Mitme muutuja funktsioonid

6 Mitme muutuja funktsioonid 6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad

Διαβάστε περισσότερα

PORTATIIVNE KÄSIVINTS

PORTATIIVNE KÄSIVINTS MEHHATROONIKAINSTITUUT MASINAELEMENTIDE JA PEENMEHAANIKA ÕPPETOOL PORTATIIVNE KÄSIVINTS MHX0020- PÕHIÕPPE PROJEKT Üliõpilane: Kood: Juhendaja:....... prof. Maido Ajaots Tallinn 2006 2 Sisukord Eessõna....lk...

Διαβάστε περισσότερα

MATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele

MATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Matemaatikainstituut MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele Tallinn 24 3 MATEMAATILINE ANALÜÜS II

Διαβάστε περισσότερα

Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus

Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Ülesanne 4.1. Õhukese raudbetoonist gravitatsioontugiseina arvutus Antud: Õhuke raudbetoonist gravitatsioontugisein maapinna kõrguste vahega h = 4,5 m ja taldmiku sügavusega d = 1,5 m. Maapinnal tugiseina

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Jõud ja pinged 2-2

2.1. Jõud ja pinged 2-2 1 Peatükk 2 Pinge 2.1. Jõud ja pinged 2-2 2.1 Jõud ja pinged Kehale mõjuvad välisjõud saab jagada kahte rühma. 1. Pindjõud ehk kontaktjõud on põhjustatud keha kontaktist teiste kehade või keskkondadega.

Διαβάστε περισσότερα

2. TEEMA: Filosoofia ajaloo põhietapid. (Filosoofia tekkimine, esimesed mõtlejad)

2. TEEMA: Filosoofia ajaloo põhietapid. (Filosoofia tekkimine, esimesed mõtlejad) EPMÜ, Filosoofia üldkursus. 2. loeng. Leo Luks 1 2. TEEMA: Filosoofia ajaloo põhietapid. (Filosoofia tekkimine, esimesed mõtlejad) Filosoofia tekkimine. Filosoofia tekkis 6. saj. e. Kr. Sellest on räägitud

Διαβάστε περισσότερα

RF võimendite parameetrid

RF võimendite parameetrid RF võimendite parameetrid Raadiosageduslike võimendite võimendavaks elemendiks kasutatakse põhiliselt bipolaarvõi väljatransistori. Paraku on transistori võimendus sagedusest sõltuv, transistor on mittelineaarne

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte 51. täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte 51. täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte 5 täppisteaduste olümpiaad Füüsika lõppvoor 7 märts 2004 a Põhikooli ülesannete lahendused ülesanne (KLAASTORU) Plaat eraldub torust siis, kui petrooleumisamba rõhk saab võrdseks veesamba

Διαβάστε περισσότερα

Staatika ja kinemaatika

Staatika ja kinemaatika Staatika ja kinemaatika MHD0071 I. Staatika Leo eder Mehhatroonikainstituut Mehaanikateaduskond allinna ehnikaülikool 2016 Sisukord I Staatika 1. Sissejuhatus. 2. Newtoni seadused. 3. Jõud. 4. ehted vektoritega.

Διαβάστε περισσότερα

Kehade soojendamisel või jahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks.

Kehade soojendamisel või jahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks. KOOLIFÜÜSIKA: SOOJUS 3 (kaugõppele) 6. FAASISIIRDED Kehade sooendamisel või ahutamisel võib keha minna ühest agregaatolekust teise. Selliseid üleminekuid nimetatakse faasisiireteks. Sooendamisel vaaminev

Διαβάστε περισσότερα

IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel

IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel Allar Veelmaa, Loo Keskkool Gümnaasiumi riiklik õppekava 1 (edaspidi GRÕK) järgi võib õpilane valida kitsa ja laia matemaatikakursuse

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid

Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid Alustame nüüd Exceli põhiliste töövahenditega - funktsioonidega. Võtame esimesena sihikule Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid. Kuigi kogu

Διαβάστε περισσότερα

siis on tegemist sümmeetrilise usaldusvahemikuga. Vasakpoolne usaldusvahemik x i, E x = EX, D x = σ2

siis on tegemist sümmeetrilise usaldusvahemikuga. Vasakpoolne usaldusvahemik x i, E x = EX, D x = σ2 Vahemikhinnangud Vahemikhinnangud Olgu α juhusliku suuruse X parameeter ja α = α (x 1,..., x n ) parameetri α hinnang. Kui ε > 0 on kindel suurus, siis vahemiku (α ε, α +ε) otspunktid on samuti juhuslikud

Διαβάστε περισσότερα

Programmeerimise eksamiülesannete kogu

Programmeerimise eksamiülesannete kogu TARTU ÜLIKOOL ARVUTITEADUSE INSTITUUT Programmeerimise eksamiülesannete kogu Helle Hein Jüri Kiho Reimo Palm Eno Tõnisson Tartu 2007 Käesoleva õppevahendi väljaandmist on toetanud Eesti Infotehnoloogia

Διαβάστε περισσότερα

Browni liikumine magnet- ja elektriväljas anisotroopse keskkonna juhul

Browni liikumine magnet- ja elektriväljas anisotroopse keskkonna juhul Tartu Ülikool Füüsika-keemiateaduskond Teoreetilise füüsika instituut Niina Voropajeva Browni liikumine magnet- ja elektriväljas anisotroopse keskkonna juhul Magistritöö teoreetilises füüsikas Juhendaja:

Διαβάστε περισσότερα

KRITON Platon. Siin ja edaspidi tõlkija märkused. Toim. Tõlkinud Jaan Unt

KRITON Platon. Siin ja edaspidi tõlkija märkused. Toim. Tõlkinud Jaan Unt KRITON Platon AKADEEMIA, 1/1994 lk 57 71 Tõlkinud Jaan Unt SOKRATES: Miks sa nii vara siin oled, Kriton? Või polegi enam vara? KRITON: On küll. SOKRATES: Ja kui vara siis? KRITON: Alles ahetab. SOKRATES:

Διαβάστε περισσότερα

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots TARTU ÜLIKOOL Teaduskool STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi

Διαβάστε περισσότερα

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon.

Διαβάστε περισσότερα

Sissejuhatus. Kinemaatika

Sissejuhatus. Kinemaatika Sissejuhatus Enamuse füüsika ülesannete lahendamine taandub tegelikult suhteliselt äikese hulga ideede rakendamisele (öeldu kehtib ka teiste aldkondade, näiteks matemaatika kohta). Seega on aja õppida

Διαβάστε περισσότερα

5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE

5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE TTÜ EHHTROONKNSTTUUT HE00 - SNTEHNK.5P/ETS 5 - -0-- E, S 5. TUGEVUSRVUTUSE PNELE Staatika üesandes (Toereaktsioonide eidmine) vaadatud näidete ause koostada taade sisejõuepüürid (põikjõud ja paindemoment)

Διαβάστε περισσότερα

Milline on hea. odav Android? Pane oma failid siia: testime kõvakettaid. [digi] kool: DLNA, AirPlay, Wireless HDMI

Milline on hea. odav Android? Pane oma failid siia: testime kõvakettaid. [digi] kool: DLNA, AirPlay, Wireless HDMI LG tegi imeõhukese kuvari ja me testime Kaamera, mis sobib küünevärviga Lugejate nõudmisel: testis head klapid Katsetame HP kõik ühes arvutit Nr 71, märts 2011 Hind 2.79 ; 43.65 kr Pane oma failid siia:

Διαβάστε περισσότερα

Lego Mindstormi roboti programmeerimise juhendmaterjali koostamine

Lego Mindstormi roboti programmeerimise juhendmaterjali koostamine Tallinna Ülikool Informaatika Instituut Lego Mindstormi roboti programmeerimise juhendmaterjali koostamine Seminaritöö Autor: Raido Parring Juhendaja: Jaagup Kippar Autor:...... 2012 Juhendaja:...... 2012

Διαβάστε περισσότερα

Kuidas... suures testis. mp3-mängijat

Kuidas... suures testis. mp3-mängijat Nr 39, Hind 39.90 kr riistvara tarkvara fototehnika mobiilid kodutehnika Kuidas...... internetis turvaliselt surfata... faile jäädavalt kustutada... osta mängukonsooli... koju printerit osta... suvistel

Διαβάστε περισσότερα

TELERI JA KODUKINO OSTJA ABC EHK MIDA VÕIKS TEADA ENNE OSTMA MINEKUT. Lugemist neile, kes soovivad enamat kui telerit toanurgas

TELERI JA KODUKINO OSTJA ABC EHK MIDA VÕIKS TEADA ENNE OSTMA MINEKUT. Lugemist neile, kes soovivad enamat kui telerit toanurgas TELERI JA KODUKINO OSTJA ABC EHK MIDA VÕIKS TEADA ENNE OSTMA MINEKUT Lugemist neile, kes soovivad enamat kui telerit toanurgas 2 Eessõna Kõik sai alguse sellest, et erinevates foorumites küsivad inimesed

Διαβάστε περισσότερα

KEEMIA ÜLESANNETE LAHENDAMINE II

KEEMIA ÜLESANNETE LAHENDAMINE II KEEMIA ÜLESANNETE LAHENDAMINE II ÜHIKANALÜÜS II Füüsikalise Suuruse Dimensioon Füüsikalise suuruse dimensioon on avaldis astmes üksikliikme kujul, mis koosneb erinevates astmetes põhisuuruste sümbolite

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu

Algoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu TARTU ÜLIKOOL ARVUTITEADUSE INSTITUUT Algoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu Versioon 1.0 5. juuli 2016. a. 17:06 Koostajad: Ahti Peder Jüri Kiho Härmel Nestra Tartu 2016 Käesoleva õppevahendi

Διαβάστε περισσότερα

LOFY Füüsika looduslikus ja tehiskeskkonnas I (3 EAP)

LOFY Füüsika looduslikus ja tehiskeskkonnas I (3 EAP) LOFY.01.087 Füüsika looduslikus ja tehiskeskkonnas I (3 EAP) Sissejuhatus... 1 1. Füüsika kui loodusteadus... 2 1.1. Loodus... 2 1.2. Füüsika... 3 1.3. Teaduse meetod... 4 2. Universumiõpetus... 7 3. Liikumine

Διαβάστε περισσότερα

4. KEHADE VASTASTIKMÕJUD. JÕUD

4. KEHADE VASTASTIKMÕJUD. JÕUD 4. KEHADE VASTASTIKMÕJUD. JÕUD Arvatavasti oled sa oma elus kogenud, et kõik mõjud on vastastikused. Teiste sõnadega: igale mõjule on olemas vastumõju. Ega füüsikaski teisiti ole. Füüsikas on kehade vastastikuse

Διαβάστε περισσότερα

I. Keemiline termodünaamika. II. Keemiline kineetika ja tasakaal

I. Keemiline termodünaamika. II. Keemiline kineetika ja tasakaal I. Keemiline termdünaamika I. Keemiline termdünaamika 1. Arvutage etüüni tekke-entalpia ΔH f lähtudes ainete põlemisentalpiatest: ΔH c [C(gr)] = -394 kj/ml; ΔH c [H 2 (g)] = -286 kj/ml; ΔH c [C 2 H 2 (g)]

Διαβάστε περισσότερα

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). KINEMAATIKA. Ühtlane liikumine Punktmass Punktmassiks me nimetame keha, mille mõõtmeid me antud liikumise juures ei pruugi arestada. Sel juhul loemegi keha tema asukoha

Διαβάστε περισσότερα

Seminar II: Mitmemõõtmeline dispersioonanalüüs (MANOVA)

Seminar II: Mitmemõõtmeline dispersioonanalüüs (MANOVA) Kursus: Mitmemõõtmeline statistika Seminar II: Mitmemõõtmeline dispersioonanalüüs (MANOVA) Õppejõud: Katrin Niglas PhD, dotsent informaatika instituut Statistilise olulisustesti põhisammud: E I: Analüüsisin

Διαβάστε περισσότερα

STM A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013

STM A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013 Ι 47 d 11 11 10 kw kw kw d 2015 811/2013 Ι 2015 811/2013 Toote energiatarbe kirjeldus Järgmised toote andmed vastavad nõuetele, mis on esitatud direktiivi 2010/30/ täiendavates määrustes () nr 811/2013,

Διαβάστε περισσότερα

Kõrv vastu arvutit: testis 2.1 arvutikõlarid

Kõrv vastu arvutit: testis 2.1 arvutikõlarid Microsofti telefoni- Windows on tagasi Testime Nikoni uut D7000 kaamerat Kinect teeb mängud täitsa uueks Uputame ja togime Samsungi matkafoni Nr 69, jaanuar 2011 Hind 42.90 kr; 2.74 Kõrv vastu arvutit:

Διαβάστε περισσότερα

SISUKORD 1. SISSEJUHATUS FÜÜSIKASSE 2. FÜÜSIKA UURIMISMEETOD

SISUKORD 1. SISSEJUHATUS FÜÜSIKASSE 2. FÜÜSIKA UURIMISMEETOD SISUKORD 1. SISSEJUHATUS FÜÜSIKASSE 1.1. MAAILM, LOODUS JA FÜÜSIKA 8 1.1.1. Füüsika põhikoolis ja gümnaasiumis................... 8 1.1.2. Inimene, maailm ja maailmapilt.................... 10 1.1.3. Loodus

Διαβάστε περισσότερα

TeeLeht OMANIKUJÄRELEVALVE RIIGIST, KOOSTÖÖST JA JUHTIMISEST TAASKASUTATAVATE MATERJALIDE KASUTAMINE TEEDEEHITUSES PUITSILDADE OLUKORD EESTIS

TeeLeht OMANIKUJÄRELEVALVE RIIGIST, KOOSTÖÖST JA JUHTIMISEST TAASKASUTATAVATE MATERJALIDE KASUTAMINE TEEDEEHITUSES PUITSILDADE OLUKORD EESTIS Nr 79 DETSEMBER 2014 OMANIKUJÄRELEVALVE KAS MAANTEEAMET VÕIKS SEDA ISE TEHA? RIIGIST, KOOSTÖÖST JA JUHTIMISEST INTERVJUU PEADIREKTORIGA TAASKASUTATAVATE MATERJALIDE KASUTAMINE TEEDEEHITUSES PUITSILDADE

Διαβάστε περισσότερα

Segmenteerimine peidetud Markovi mudelite segude korral

Segmenteerimine peidetud Markovi mudelite segude korral Tartu Ülkool Loodus- ja täppsteaduste valdkond Matemaatka ja statstka nsttuut Matemaatlse statstka erala Segmenteermne pedetud Markov mudelte segude korral Magstrtöö 30 EAP) Autor katsmsjärgsete parandustega

Διαβάστε περισσότερα

Energiabilanss netoenergiavajadus

Energiabilanss netoenergiavajadus Energiabilanss netoenergiajadus 1/26 Eelmisel loengul soojuskadude arvutus (võimsus) φ + + + tot = φ φ φ juht v inf φ sv Energia = tunnivõimsuste summa kwh Netoenergiajadus (ruumis), energiakasutus (tehnosüsteemis)

Διαβάστε περισσότερα

PÕHIKOOLI KORDAMISE TÖÖ I

PÕHIKOOLI KORDAMISE TÖÖ I PÕHIKOOLI KORDAMISE TÖÖ I 0. Arvut vldise,6 4 täpe väärtus. 4 4. Lihtsust vldis. 4 4. Lhed võrrdisüsteem = 4. 4= 4. Mtel mksis 400 krooi. Mtli hid tõusis lgul 0% j seejärel veel %. Kui suur oli lõpuks

Διαβάστε περισσότερα

5. OPTIMEERIMISÜLESANDED MAJANDUSES

5. OPTIMEERIMISÜLESANDED MAJANDUSES 5. OPTIMEERIMISÜLESNDED MJNDUSES nts asma Sissejuhatus Majanduses, aga ka mitmete igapäevaste probleemide lahendamisel on piiratud võimalusi arvestades vaja leida võimalikult kasulik toimimisviis. Ettevõtete,

Διαβάστε περισσότερα

Koormus 14,4k. Joon

Koormus 14,4k. Joon + U toide + 15V U be T T 1 2 I=I juht I koorm 1mA I juht Koormus 14,4k I juht 1mA a b Joon. 3.2.9 on ette antud transistori T 1 kollektorvooluga. Selle transistori baasi-emitterpinge seadistub vastavalt

Διαβάστε περισσότερα

EE - EP B1 KIRJELDUS

EE - EP B1 KIRJELDUS EE - EP 2 270 010 B1 KIRJELDUS [0001] Käesolev leiutis käsitleb pürrolobensodiasepiine (PBD-sid) ja eriti C2-asendatud ühendite sünteesil kasulikke pürrolobensodiasepiine. Leiutise taust [0002] Mõnedel

Διαβάστε περισσότερα

8. KEEVISLIITED. Sele 8.1. Kattekeevisliide. Arvutada kahepoolne otsõmblus terasplaatide (S235J2G3) ühendamiseks. F = 40 kn; δ = 5 mm.

8. KEEVISLIITED. Sele 8.1. Kattekeevisliide. Arvutada kahepoolne otsõmblus terasplaatide (S235J2G3) ühendamiseks. F = 40 kn; δ = 5 mm. TTÜ EHHATROONIKAINSTITUUT HE00 - ASINATEHNIKA -, 5AP/ECTS 5 - -0-- E, S 8. KEEVISLIITED NÄIDE δ > 4δ δ b k See 8.. Kattekeevisiide Arvutada kahepoone otsõmbus teraspaatide (S5JG) ühendamiseks. 40 kn; δ

Διαβάστε περισσότερα

Ivar Tammeraid itammeraid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I. Elektrooniline õppevahend

Ivar Tammeraid  itammeraid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I. Elektrooniline õppevahend TTÜ Mtemtikinstituut http://www.stff.ttu.ee/ mth/ Ivr Tmmerid http://www.stff.ttu.ee/ itmmerid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I Elektrooniline õppevhend Tllinn, Trükitud versioon: Ivr Tmmerid, Mtemtiline nlüüs

Διαβάστε περισσότερα

SISSEJUHATUS TEADVUSETEADUSESSE. Teema on niivõrd põnev ja huvitav, JAAN ARU TALIS BACHMANN

SISSEJUHATUS TEADVUSETEADUSESSE. Teema on niivõrd põnev ja huvitav, JAAN ARU TALIS BACHMANN SISSEJUHATUS JAAN ARU TALIS BACHMANN TEADVUSETEADUSESSE Ärgates kerkib me silme ette ümbritsev tuba koos selle ebaõnnestunud tapeedi ja osaliselt õnnestunud mööblivalikuga. Jõuame teadvusele iseendast

Διαβάστε περισσότερα