ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ SOS & ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ 5 ΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ papei.gr

2 2 ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Τι θα γράψω: Στις εξετάσεις τα θέματα περιλαμβάνουν ερωτήσεις και ασκήσεις (κυρίως ασκήσεις) όπου επιλέγουμε τα 2 από τα 3. Τι θα προσέξω: Τα θέματα των εξετάσεων είναι κρίσεως. Η ανάλυση πρέπει να είναι σύντομη και ξεκάθαρη, να απαντά δηλαδή ακριβώς στο θέμα. Δεν χρειάζονται μακροσκελείς αναπτύξεις γιατί υπάρχει ο κίνδυνος να απαντήσουμε σε κάτι λάθος, να ξεφύγουμε, δηλαδή, από το θέμα. Η θεωρία αν δοθεί θα είναι υπό μορφή ερώτησης. Παρακάτω είναι θα θεωρητικά θέματα και στη συνέχεια ακολουθούν παλαιότερα θέματα ασκήσεων. Όλα τα θέματα χρειάζονται ιδιαίτερη προσοχή για να επιφέρουν υψηλό βαθμό. Δημόσια αγαθά Εξωτερικές επιδράσεις Προϋπολογισμός - Άριστη σύνθεση προϋπολογισμού Άριστος αριθμός συναινούντων μελών μιας κοινωνίας για τη λήψη συλλογικών αποφάσεων Kaldor, Pareto, Samuelson Lindahl Τι γνωρίζετε για την ανάλυση του Buchanan Αρχή Μέγιστης Καθαρής Κοινωνική Ωφέλειας κοινωνική ωφέλεια > κοινωνικού κόστους Υιοθετείται η φορολογία των χώρων στάθμευσης αυτοκινήτων από τον Δήμο Αθηναίων γιατί θεωρείται ότι τα αυτοκίνητα δημιουργούν εξωτερικές επιδράσεις στο κέντρο της πόλης. Είναι το μέτρο αυτό αποτελεσματικό ή όχι και γιατί; 1. Συμφωνείτε ή όχι με την άποψη του Α ότι η εφαρμογή της λύσεως Pigou στην περίπτωση του αλατιού του οποίου η παραγωγή υφίσταται εξωτερικές επιβαρύνσεις δεν θα μειώσει την σχετική κοινωνική επιβάρυνση και γιατί; p S p 2 B S p 1 A

3 3 q o q Το αλάτι είναι αγαθό πρώτης ανάγκης και επομένως η ζήτησή του είναι πλήρως ανελαστική. Δηλαδή ο καταναλωτής είναι διατεθειμένος να αγοράσει συγκεκριμένη ποσότητα όσο και αν μεταβληθεί η τιμή. Ταυτόχρονα η παραγωγή του δημιουργεί εξωτερικές επιβαρύνσεις που σημαίνει ότι η ιδιωτική ωφέλεια είναι μεγαλύτερη της κοινωνικής ωφέλειας, κατ επέκταση το ιδιωτικό κόστος (εκφράζεται από την S) είναι μικρότερο του κοινωνικού κόστους (εκφράζεται από την S ), ενώ η ποσότητα που παράγεται είναι μεγαλύτερη από την κοινωνικά άριστη. Το σημείο Α προσδιορίζει την αρχική ισορροπία. Η λύση Pigou που εφαρμόζεται στην εξ. επιβάρυνση έχει σαν αποτέλεσμα να μετατοπίσει την καμπύλη προσφοράς προς τα πάνω στο σημείο Β (καμπύλη S ). Η διαφορά των τιμών P 1 P 2 είναι ο φόρος που επιβαρύνεται εξ' ολοκλήρου ο καταναλωτής, ο οποίος όσο και αν αυξηθεί η τιμή του αγαθού θα είναι διατεθειμένος να το πληρώσει γιατί το έχει απόλυτη ανάγκη. Ο στόχος της επιβολής φορολογίας είναι να μειώσει την ποσότητα της παραγωγής με αποτέλεσμα να μειωθούν οι εξ. επιβαρύνσεις, παρ' όλα ταύτα δεν μειώνονται. Άρα η λύση Pigou δεν είναι αποτελεσματική γιατί όπως βλέπουμε η ποσότητα παραμένει σταθερή, λόγο της πλήρως ανελαστικής ζήτησης, με αποτέλεσμα να μην οδηγούμαστε σε άριστη ποσότητα. 2. Το σταθερό μέσο κόστος παραγωγής ενός μη δημόσιου αγαθού είναι 100 δρχ. Η παραγωγή του συνεπάγεται με εξωτερικές επιβαρύνσεις αξίας ίσης με το 1/5 του μέσου κόστους του αγαθού. Αν η ελαστικότητα ζήτησης του αγαθού είναι 0,5 και η άριστη από ιδιωτικής άποψης ποσότητα ισορροπίας είναι 300 μονάδες, ποια είναι η άριστη από κοινωνικής άποψη η ποσότητα ισορροπίας; p Η καμπύλη προσφοράς είναι πλήρως ελαστική D επομένως είναι οριζόντια. e D =0,5 p 2 S Αξία εξ. επιβαρύνσεως= 100 1/5=20 p 2 =100+20=120 p 1 S από κοινωνική άποψη e D =ΔQ/Δp 1 p 1 /Q 1 =0,5 Άρα ΔQ=30 q 2 =q 1 ΔQ = = 270 q 2 q 1 q

4 4 3. H κατανάλωση ουίσκι στην Ελλάδα προκαλεί εξ. επιβαρύνσεις. Δείξτε την λύση Pigou στην κατάσταση αυτή; (παλιό θέμα εξετάσεων) Το ουίσκι είναι εισαγόμενο αγαθό και αντιμετωπίζει πλήρως ελαστική προσφορά, δηλαδή πωλείται σε συγκεκριμένη τιμή ανεξάρτητα της προσφερόμενης ποσότητας. Οι εξωτερικές επιβαρύνσεις στην κατανάλωση προσδιορίζουν παραγόμενη ποσότητα μεγαλύτερη από την κοινωνικά άριστη. Η λύση Pigou συνίσταται στις δύο παρακάτω περιπτώσεις που είναι εξίσου αποδεκτές. Όταν μειώνεται η ποσότητα, οι εξ. επιβαρύνσεις μειώνονται και όταν αυξάνεται η ποσότητα, οι εξ. επιβαρύνσεις αυξάνονται. Μετατόπιση της D προς τα αριστερά D D P S Μετατόπιση της S προς τα πάνω D P S S q 1 q 0 q q 1 q 0 q 4. Υποθέτουμε ότι μια χώρα παράγει δύο ομάδες αγαθών Χ, Μ εκ των οποίων η ομάδα Χ είναι εντάσεως κεφαλαίου και η ομάδα Μ είναι εντάσεως εργασίας. Με δεδομένο ότι επιστρέφει στη χώρα αυτή ένας σημαντικός αριθμός μεταναστών, πώς θα μεταβληθεί η ΚΠΔ για τις δύο ομάδες Χ και Μ; χ Η είσοδος των μεταναστών έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση του εργατικού δυναμικού. Άρα αύξηση της

5 5 παραγωγής του αγαθού που είναι εντάσεως εργασίας. Οπότε, κανονικά θα πρέπει να έχουμε μετατόπιση Μ της καμπύλης προς τα έξω. Άρα η νέα καμπύλη είναι αυτή με το έντονο χρώμα. Οι εργάτες που έρχονται αυξάνουν το εργατικό δυναμικό αλλά απορροφούν και ένα μέρος του κεφαλαίου στην εργασία τους. Οπότε αφού το κεφάλαιο είναι δεδομένο θα έχω κάποια μικρή μείωση του κεφαλαίου που χρησιμοποιείται στην παραγωγική διαδικασία. Η απόδειξη είναι πιο ολοκληρωμένη και με το διάγραμμα του Edgeworth. 5. Ο Δήμαρχος της Αράχωβας ζήτησε να περάσουν μέσα από την πόλη του ο εθνικός δρόμος προς Δελφούς. Στην προσπάθειά του να πείσει την κυβέρνηση ζητά τη βοήθεια συναδέλφων του. Πολλοί από αυτούς διενεργούν δημοψήφισμα στους δήμους τους, ώστε να αντιπροσωπεύσουν σωστά τις απόψεις των θεμάτων τους. Ο Δήμαρχος της Σάμου αρνείται να κάνει δημοψήφισμα και εκφράζει μόνος του τις απόψεις του. Δέχεται όμως επικρίσεις. Ενήργησε σωστά ο Δήμαρχος της Σάμου και γιατί; (θέμα 1992) Η καμπύλη κόστους έχει αύξουσα μορφή γιατί το κόστος της κοινωνίας της Σάμου έχει αύξουσα μορφή. Η ζημιά για τη Σάμο είναι μηδέν. Σωστά, ενήργησε ο Δήμαρχος, αφού δεν ήταν απαραίτητο για την κοινωνία τους. Κ Ν 6. Οι ένοικοι των τριών τελευταίων ορόφων μιας πολυκατοικίας αδυνατούν να συμφωνήσουν με τους ενοίκους των τριών πρώτων ορόφων για τις ώρες λειτουργίας της κεντρικής θέρμανσης.

6 6 Ποιές ώρες θα πρέπει να επιλέξει ο διαχειριστής για τη λειτουργία της κεντρικής θέρμανσης και γιατί; (παλιό θέμα) Ν: το σύνολο των ατόμων της πολυκ/κιας Η ζημία των ατόμων που συμφωνούν θα είναι μια καμπύλη φθίνουσα. Ξέρουμε ότι δεν υπάρχουν πιθανότητες συμφωνίας των δύο ομάδων. Το κόστος επίτευξης είναι ίσο με το άπειρο, αφού δεν υπάρχει σύμπτωση απόψεων. Άρα ταυτίζεται με τον κάθετο άξονα. Το συνολικό κόστος θα είναι ίσο με το άπειρο. Δηλαδή δεν υπάρχει περίπτωση συμφωνίας και ο διαχειριστής κάνει ότι θέλει. Ν 7. Η καθαρή κοινωνική ωφέλεια της δημόσιας δαπάνης Χ είναι 100δις δρχ. και της Ψ 200 δις δρχ. Σε ποια περίπτωση θα προτιμηθεί η Χ έναντι της Ψ και γιατί; Καθαρή κοινωνική ωφέλεια = ωφέλεια κόστος Β Χ = Β C B Ψ = Β C Εξετάζω τους λόγους Β Χ C / C X και B Ψ C / C Ψ και παίρνω τον μεγαλύτερο. Θα προτιμηθεί ο Χ: Αν 100/C X 200/C Ψ C Ψ 2C X δηλαδή το κόστος Χ είναι το μισό του κόστους Ψ. 8. Το σταθερό μέσο κόστος του δημοσίου αγαθού Χ είναι 2 Ευρώ. Ο Α του οποίου η καμπύλη ζήτησης έχει την συνηθισμένη κλίση, στα 2 Ευρώ ζητάει 30 μονάδες προϊόντος ενώ για την διακοσιοστή μονάδα δεν πληρώνει τίποτα. Ο Β είναι διατεθειμένος να πληρώσει το 40%του

7 7 σταθερού μέσου κόστους παραγωγής του Χ ανεξάρτητα από την ποσότητα που θα καταναλώσει. Με βάση την ανάλυση του Buchanan να προσδιορίσετε την ποσότητα ισορροπίας και την τιμή που θα πληρώσουν οι Α και Β. P D A MC B Α 2 S 1,2 Γ B 0,8 D B Δ 30 Π = Q Έστω Π η ποσότητα ισορροπίας. Παίρνουμε τα όμοια τρίγωνα ΑΒΓ και ΓΠΔ. Γνωρίζουμε ότι οι πλευρές των ομοίων τριγώνων είναι ανάλογες. Άρα ισχύει 0,8 30 Επομένως, με αντικατάσταση έχουμε: 98 1, Σε μια κοινωνία 1000 οικογενειών αποφασίστηκε να πληρώσουν όλοι 150 Ευρώ για την κατασκευή του δρόμου Α ή του δρόμου Β. Από το δρόμο Β ωφελούνται 400 οικογένειες ενώ 100 οικογένειες είναι αδιάφορες. Από την κατασκευή του δρόμου Α ωφελούνται 500 οικογένειες. Ποιος δρόμος συμφέρει να φτιαχτεί σύμφωνα με το κριτήριο του Pareto και σύμφωνα με το κριτήριο του Kaldor. Ποιο έργο θα προταθεί σύμφωνα με την αρχή της μέγιστης καθαρής κοινωνικής ωφέλειας. Σύμφωνα με το κριτήριο του Pareto δεν μπορεί να παραχθεί κανένας δρόμος γιατί και στις δύο περιπτώσεις αυξάνεται η ευημερία κάποιων αλλά κάποιων άλλων μειώνεται. Σύμφωνα με το

8 8 κριτήριο του Kaldor θα παραχθεί εκείνος ο δρόμος για τον οποίο, όσοι ωφελούνται μπορούν επικερδώς να αποζημιώσουν αυτούς που ζημιώνονται. Τέλος, δεν πρέπει να κατασκευαστεί κανένας δρόμος στην περίπτωση που για κανέναν δρόμο δεν ισχύει η αρχή της μέγιστης καθαρής κοινωνικής ωφέλειας, σύμφωνα με την οποία για να παραχθεί ένα δημόσιο αγαθό θα πρέπει η κοινωνική ωφέλεια να είναι μεγαλύτερη από το κοινωνικό κόστος. 10. Ο Α δηλώνει ότι θα πληρώσει το 50% του σταθερού μέσου κόστους παραγωγής του δημοσίου αγαθού Χ που ισούται με 1000 δρχ. Στις 100 δρχ. ο Β ζητάει 50 μονάδες προϊόντος. Χρησιμοποιώντας την ανάλυση του Buchanan εξηγήστε σε ποια περίπτωση θα παραχθούν 200 μονάδες προϊόντος του Χ και ποια τιμή θα πληρώσει ο Α και ποια ο Β. (Θέμα εξετάσεων) P D B MC A Α 100 S 50 Β Γ D A 50 Π=200 E=350 Q Οι πλευρές ομοίων τριγώνων είναι ανάλογες. Δηλαδή Άρα για να παραχθούν 200 μονάδες προϊόντος θα πρέπει ο καταναλωτής για τιμή μηδέν να ζητάει 350 μονάδες προϊόντος. ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι Τι θα γράψω: 3 υποχρεωτικά θέματα Τι να προσέξω: Είναι ένα από τα δυσκολότερα μαθήματα. Αναμφισβήτητα το δυσκολότερο μάθημα του εξαμήνου και από τα πιο δύσκολα μαθήματα όλων των ετών. Η επιτυχία στην οικονομετρία

9 9 είναι ένα πολύ μεγάλο βήμα για το πτυχίο. Σας παραθέτουμε προηγούμενα θέματα εξετάσεων. Σημαντικές είναι επίσης και οι ασκήσεις των βιβλίων που υπάρχουν στο τέλος κάθε κεφαλαίου. ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ Θέμα 1 ο : Το ακόλουθο απλό γραμμικό υπόδειγμα Y i =a+bx i +ε i όπου ε i iidn(0,σ 2 ). α) Να περιγράψετε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και να προσδιορίσετε τους εκτιμητές των συντελεστών a και b. β) Να υπολογίσετε τη διακύμανση του εκτιμημένου συντελεστή του a. γ) Να προσδιορίσετε την αναμενόμενη τιμή και τη διακύμανση της εξαρτημένης μεταβλητής Υ με βάση το παραπάνω γραμμικό υπόδειγμα και να ερμηνεύσετε τα αποτελέσματά σας. Θέμα 2 ο : Με βάση το εκτιμημένο απλό γραμμικό υπόδειγμα με σταθερό όρο: α) Να καθορίσετε πως ορίζεται η διακύμανση των καταλοίπων και να αποδείξετε ότι είναι αμερόληπτος εκτιμητής της διακύμανσης του διαταρακτικού όρου. β) Εάν χ 0 είναι η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής για την περίοδο n+1, να προσδιορίσετε τη διακύμανση της εξαρτημένης μεταβλητής. Θέμα 1 ο : Δίνεται το ακόλουθο πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα Y i =β 0 +β 1 Χ 1i +β 2 Χ 2i +β 3 Χ 3i +β 4 Χ 4i +ε i α) Να αναφέρετε τις απαραίτητες προϋποθέσεις που απαιτούνται για να εκτιμηθούν οι συντελεστές του παραπάνω γραμμικού υποδείγματος με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. β) Να περιγράψετε τον πίνακα ανάλυσης της διακύμανσης και να ερμηνεύσετε το στατιστικό έλεγχο που προκύπτει από αυτήν τη διαδικασία. γ) Να περιγράψετε με ποιον τρόπο θα πραγματοποιούσατε τον ακόλουθο στατιστικό έλεγχο Η 0 : β 1 =β 2. Θέμα 2 ο : Με βάση το απλό γραμμικό υπόδειγμα με σταθερό όρο Y i =α+βχ i +ε i όπου ε i ~iidn(0,σ 2 ). α) Να προσδιορίσετε την τιμή του συντελεστή πληθυσμιακής συσχέτισης ρ εάν γνωρίζετε ότι σ=0 για κάθε τιμή του i. β) Να αποδείξετε ότι SSR = S XY. γ) Να αποδείξετε ότι ο μέσος όρος της εκτιμημένης εξαρτημένης μεταβλητής είναι ίσος με το μέσο όρο της εξαρτημένης μεταβλητής.

10 10 Θέμα 3 ο : Δίνονται οι τιμές 8 παρατηρήσεων των μεταβλητών Υ και Χ. Περίοδος: Υ: 12 13, ,4 13,2 12,9 14,5 14,1 Χ: 1,8 2,4 2,8 2,3 2,8 2,4 3,8 2,9 α) Να προσδιορίσετε και να ερμηνεύσετε το συντελεστή γραμμικής συσχέτισης r. β) Να διενεργήσετε το στατιστικό έλεγχο ότι ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης του πληθυσμού των δύο μεταβλητών είναι μηδέν χρησιμοποιώντας ένα επίπεδο σημαντικότητας 5%. γ) Να εκτιμήσετε και να ερμηνεύσετε τους συντελεστές του απλού γραμμικού υποδείγματος Υ =α+βχ+ε. δ) Να προσδιορίσετε και να ερμηνεύσετε την τιμή του συντελεστή προσδιορισμού R 2 της παλινδρόμησης, SSE * = ε) Εάν η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής Χ για την επόμενη περίοδο ορισθεί στις 3,1 χρηματικές μονάδες, να προσδιορίσετε την προβλεπόμενη τιμή και το 90% διάστημα εμπιστοσύνης της εξαρτημένης μεταβλητής. (κριτική τιμή 1,943) Θέμα 1 ο : Δίνεται το εξής γραμμικό υπόδειγμα χωρίς το σταθερό όρο y i =bx i +ε i όπου ε i Ν(0,σ 2 ). α) Ερμηνεία υποδείγματος. β) Να περιγραφεί με την OLS και να γίνει προσδιορισμός του εκτιμητή b. γ) Προσδιορισμός αναμενόμενης τιμής διακύμανσης και κατανομής εξαρτημένης μεταβλητής y με βάση το γραμμικό υπόδειγμα. Θέμα 2 ο : Με βάση το πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα με σταθερό όρο και με κ ανεξάρτ. Μεταβλ. α) καθορισμός του πως ορίζεται ο συντελεστής προσδιορισμού και ο προσαρμοσμένος συντελεστής του υποδείγματος. β) Προσδιορισμός κάτω από ποιες συνθήκες ο προσαρμοσμένος συντελεστής μπορεί να πάρει αρνητικές τιμές και να το ερμηνεύσετε. γ) Καθορισμός ποιου από τους δύο συντελεστές και γιατί θα χρησιμοποιούσατε ώστε να επιλέξετε ένα εκτιμημένο πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα για την ίδια εξαρτημένη μεταβλητή με διαφορετικό αριθμό ανεξάρτητων μεταβλητών.

11 11 Θέμα 1 ο : Δίνεται το ακόλουθο απλό γραμμικό υπόδειγμα Y i = α+βx i +ε i όπου ε i ~ iidn(0,σ 2 ). α) Να περιγράψετε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και να προσδιορίσετε τους εκτιμητές των συντελεστών α και β. β) Να υπολογίσετε τη διακύμανση του εκτιμημένου συντελεστή του β. γ) Να περιγράψετε και να ερμηνεύσετε το θεώρημα των Gauss-Markov. δ) Να προσδιορίσετε τι θα συμβεί στις εκτιμημένες τιμές των συντελεστών α και β εάν μετά την εκτίμηση του παραπάνω υποδείγματος διαπιστώσατε ότι χρησιμοποιήσατε λανθασμένες μονάδες μέτρησης. Συγκεκριμένα υποθέστε ότι Y t =ty i και Χ t = tx i όπου t πραγματικός αριθμός και υπολογίστε τις τιμές των νέων εκτιμημένων συντελεστών των α και β, δηλαδή των και. Θέμα 2 ο : Με βάση το απλό γραμμικό υπόδειγμα με σταθερό όρο Y i = α+βχ i +ε i όπου ε i ~ iidn(0,σ 2 ). α) Να αποδείξετε ότι ο μέσος της εξαρτημένης μεταβλητής είναι ίσος με το μέσο της εκτιμημένης εξαρτημένης μεταβλητής. 2 β) Να αποδείξετε ότι SSE = ( i Y ) ( Yi Y )( Xi X). γ) Να προσδιορίσετε εάν θα αλλάζει η μορφή της σχέσης του ερωτήματος (β) εάν δεν υπάρχει σταθερός όρος στο παραπάνω απλό γραμμικό υπόδειγμα. Θέμα 3 ο : Δίνεται το ακόλουθο εκτιμημένο γραμμικό υπόδειγμα i 110,24 0,325 X 1, i 0,088 X 2, i 1,234 X 3, i 12, 32 X Y 4, i (4,42) (5,36) (0,23) (2,51) (1,02) SSE=750,4, R 2 =0,8912 και n=28 Όπου σε παρένθεση δίνονται οι απόλυτες τιμές της κατανομής t για τον έλεγχο της στατιστικής σημαντικότητας των συντελεστών. α) Να ερμηνεύσετε το συντελεστή προσδιορισμού και να προσδιορίσετε την τιμή του προσαρμοσμένου συντελεστή προσδιορισμού της παλινδρόμησης. β) Να προσδιορίσετε και ν ερμηνεύσετε το 90% διάστημα εμπιστοσύνης (κριτική τιμή 1,714) για το συντελεστή της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ 3. γ) Προηγούμενες έρευνες έδειξαν ότι η τιμή του συντελεστή β 1 της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ 1 είναι 0,3. Κάντε τον έλεγχο αυτό χρησιμοποιώντας ένα επίπεδο σημαντικότητας 5% (κριτική τιμή 2,069). Το αρχικό υπόδειγμα επανεκτιμήθηκε χωρίς τις ανεξάρτητες μεταβλητές Χ 2 και Χ 4 και έδωσε SSE * =805,2.

12 12 δ) Να προσδιορίσετε και να ερμηνεύσετε το νέο συντελεστή προσδιορισμού καθώς και τον προσαρμοσμένο συντελεστή προσδιορισμού της παλινδρόμησης. ε) Να διενεργήσετε το στατιστικό έλεγχο ότι οι ανεξάρτητες μεταβλητές Χ 2 και Χ 4 είναι ταυτόχρονα μη σημαντικές χρησιμοποιώντας επίπεδο σημαντικότητας 5% (κριτική τιμή 3,42) Θέμα 1 ο : Δίνεται το απλό γραμμικό υπόδειγμα με σταθερό όρο Y i =a-bx i +ε i, όπου ε i iidn(0,σ 2 ). α) Να περιγράψετε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και να προσδιορίσετε τους συντελεστές των εκτιμητών του υποδείγματος. β) Να αποδείξετε ότι ο εκτιμητής b δεν είναι αμερόληπτος του b όπως προκύπτει από τη μέθοδο των ελαχίστων. γ) Να αποδείξετε ότι ισχύει Ŷ i =Y+rSY/SX(X i - X) όπου r=δειγματικός συντελεστής συσχέτισης των μεταβλητών Χ,Υ. Θέμα 2 ο : Με βάση το απλό γραμμικό υπόδειγμα με σταθερό όρο Υ i =a+bx i +ε i όπoυ ε i ~iidn(0,σ 2 ). α) Να προσδιορίσετε την τιμή του συντελεστή της πληθυσμιακής συσχέτισης εάν γνωρίζετε ότι ε i =0 για κάθε τιμή του i. β) Να αποδείξετε ότι SSR=βSxy. γ) Να αποδείξετε ότι ο μέσος όρος της εκτιμημένης εξαρτημένης μεταβλητής είναι ίσος με το μέσο της εξαρτημένης μεταβλητής. Θέμα 3 ο : Με βάση τον εκτιμημένο απλό γραμμικό υπόδειγμα με σταθερό όρο: 1) Να καθορίσετε πως ορίζεται η διακύμανση των καταλοίπων και να αποδείξετε ότι είναι αμερόληπτος εκτιμητής της διακύμανσης του διαταρακτικού όρου. 2) Εάν χ 0 είναι η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής για την περίοδο ν+1 να προσδιορίσετε τη διακύμανση της εξαρτημένης μεταβλητής. 3) Μπορεί η τιμή της διακύμανσης να είναι μηδέν; Να σχολιάσετε την απάντησή σας. Θέμα 1 ο : Έστω το πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα Y i = β 0 +β 1 Χ 1i +β 2 Χ 2i +β 3 Χ 3i +ε i όπου ε i ~iidn(0,σ 2 ). Α) Το υπόδειγμα είναι οικονομικό ή οικονομετρικό και αναλύστε τα δύο αυτά είδη υποδειγμάτων. β) Τι δείχνει, ποια είναι η ερμηνεία του συντελεστή της Χ 2 και ποια η διαφορά του με τον εκτιμημένο συντελεστή της Χ 2. γ) Να γίνει πίνακας ανάλυσης της διακύμανσης και εξηγήστε που χρησιμοποιείται. δ) Ερμηνεύστε την παλινδρόμηση.

13 13 Θέμα 2 ο : Στο απλό γραμμικό υπόδειγμα Y i = α+βχ i +ε i α) Πώς ορίζεται ο συντελεστής πληθυσμιακής συσχέτισης και ερμηνεύστε τον. β) Να δειχτεί ότι -1 ρ 1. γ) Να δειχτεί ότι Corr(X *,Y * )=Corr(X,Y) όπου Χ * και Υ * μετράνε αποκλίσεις από τους μέσους. Θέμα 3 ο : Δίνεται το ακόλουθο γραμμικό υπόδειγμα i = -2,5Χ i ( ) όπου στις παρενθέσεις είναι τα τυπικά σφάλματα. α) Να προσδιορίσετε τον συντελεστή προσδιορισμού της παλινδρόμησης. β) Να προσδιορίσετε και να ερμηνεύσετε το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το συντελεστή της ανεξάρτητης μεταβλητής. γ) Να γίνει έλεγχος χρησιμοποιώντας επίπεδο σημαντικότητας 95%, ότι η τιμή του συντελεστή β 1 της ανεξάρτητης μεταβλητής είναι 1,5. δ) Να προσδιορίσετε το τυπικό σφάλμα της παλινδρόμησης. ε) Να προσδιορίσετε ένα διάστημα εμπιστοσύνης της πρόβλεψης της ατομικής τιμής της Υ 0 για Χ 0 =1 και =1. Καλή Επιτυχία!!!