6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

Transcript

1 Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a şi petru că seria este CONV fiid seria armoică petru α > ), rezultă 5 5 pe baza criteriului de comparaţie că şi seria cu termei mai mici a este CONV Dar aceasta e arată că seria a este ABS CONV, deci î particular CONV Problema 5 Să se studieze atura seriei si cos a, a kπ, k Z Soluţie 5 Folosim criteriul lui Abel-Dirichlet Demostrăm că şirul a si este cu termei pozitivi, descrescător şi coverget la 0 Petru că 0 < < π rezultă că a > 0 Petru că f) si este o fucţie strict descrescătoare pe [, ), di cauză că f ) cos ) 3 < 0, petru orice, rezultă că a ) este u şir descrescător Limita şirului a ) este lim a lim si ) si lim si 0 0 Demostrăm acum mărgiirea şirului s cos a + cos a + + cos a Cu ajutorul formulei cos si y si + y) si y), avem si a s cos ak si a [ si ak + a ) si ak a )] k k si a + a ) si a cos + )a si a

2 SEMINAR 5 SERII CU TERMENI OARECARE Petru că a kπ rezultă că si a 0 şi atuci cos +)a si a s si a si a, ceea ce arată mărgiirea şirului s ) Rezultă că seria dată este covergetă Problema 53 Să se studieze atura seriei si si Soluţie 53 Folosim criteriul lui Abel-Dirichlet Şirul a este î mod evidet cu termei pozitivi, descrescător şi cu limita 0 Fie u si si Demostrăm că şirul sumelor parţiale ale seriei u este mărgiit Avem s si k si k k [ cosk k) cosk + k) ] k [ cos 0 cos + ) ] si + Rezultă că s [0, ], petru orice, ceea ce arată că s ) este u şir mărgiit Pe baza criteriului lui Abel-Dirichlet rezultă că seria dată este covergetă cos Problema 54 Să se studieze covergeţa şi absolut covergeţa seriei Soluţie 54 Arătăm că seria este covergetă, dar u este absolut covergetă Şirul a este cu termei pozitivi, descrescător, avâd limita 0 Coform uei probleme aterioare s cos + cos + + cos cos + si si este u şir mărgiit Pe baza criteriului lui Abel-Dirichlet, seria dată este covergetă Arătăm că seria cos u este covergetă Fiid o serie cu termei pozitivi este suficiet să arătăm că şirul sumelor parţiale u este mărgiit Presupuem pri absurd, că ar fi mărgiit Di iegalitatea cos k cos k cos k + rezultă k cos k k k k + k cos k k Fiidcă seria cos este covergetă aceasta rezultă coform Criteriului lui Abel- Dirichlet) atuci are şirul sumelor parţiale mărgiit Ar rezulta că şirul sumelor parţiale ale seriei armoice k k k cos k k k cos k k ar fi mărgiit, ceea ce este o cotradicţie, petru că se ştie că

3 3 Problema 55 Stabiliţi atura seriei alterate ) l + ) Soluţie 55 Petru că seria di euţ este divergetă lim l + ) lim l + ) l e, Problema 5 Stabiliţi atura seriei alterate Soluţie 5 Cosiderăm şirul a l ) ) mootoia, cosiderăm fucţia f) l ) Petru, avem a > 0 Petru a afla l ) Calculâd derivata f ) l l ) l 4 l ), obţiem petru > e 4, că f ) < 0, ceea ce arată că f este descrescătoare pe [e 4, ) Acest lucru demostrează că şirul a ) este descrescător petru [e 4 ]+ 55 Limita şirului a ) se poate calcula cu ajutorul regulii lui l Hospital lim a l ) lim l lim l 4 lim 4 lim 8 lim 0 Coform criteriului lui Leibiz seria 55 ) l ) că seria dată este covergetă Problema 57 Să se stabilească atura seriei + + )+ ) + este covergetă, ceea ce arată Soluţie 57 a + a Fie şirul cu termei pozitivi a +)+ Petru că + + )+ + ) +3 ) + + ) + ) <, + + ) rezultă că şirul a ) este descrescător Limita acestui şir este ) + + lim a lim lim + ) + e 0 0 Coform criteriului lui Leibiz seria este covergetă Problema 58 Să se stabilească atura seriei ), ude th) e e este fucţia tagetă hiperbolică th e + e

4 4 SEMINAR 5 SERII CU TERMENI OARECARE Soluţie 58 Fie şirul cu termei pozitivi a th Petru că th ) e + e ) e e ) e + e ) 4 e + e ) > 0 rezultă că fucţia tagetă hiperbolică este crescătoare Ţiâd cot de aceasta a + a + ) th th+) < + ) th th Rezultă că şirul a ) N este descrescător Limita acestui şir este lim a lim 0, petru că lim th Coform criteriului lui Leibiz seria este covergetă ) th < + e e th lim e + e Problema 59 Să se stabilească atura seriei si π ) + Soluţie 59 Scriem si π ) + si π ) + π + π ) si π ) + π ) π si + + π şi cosiderăm şirul a si, care este pozitiv, descrescător şi coverget la Rezultă coform criteriului lui Leibiz că seria dată este covergetă Problema 50 Să se studieze covergeţa simplă şi absolută a seriei ) arctg ) α, α R Soluţie 50 Fie a arctg ) α > 0 şi b α Petru că a /b rezultă că petru α > seria ) a este absolut covergetă Petru că lim a 0, α > 0, α 0, α < 0, rezultă că petru α 0 seria ) a este DIV Petru α 0, ] fucţia f) arctg ) α este descrescătoare f < 0 ) deci a ) este descrescător Petru că a > 0 şi a 0 rezultă pe baza Criteriului lui Leibiz că ) a este CONV

5 5 Probleme propuse Să se studieze atura seriilor si cos ) 4 3 si π si l cos si), R ) l3 + e ) l + e 3 ) ) + + )! ) 3 ) + l + ) + l ) 3 ) + 7 ) arctg si π + + Să se studieze covergeţa simplă şi absolută a seriilor 53 si 5 ) + l l 54 ) + si π 57 ) + α 55 si si 3 58 cos α Idicaţii la problemele propuse 5 covergetă 5 covergetă 53 covergetă 54 covergetă 55 divergetă 5 covergetă 57 covergetă 58 covergetă 59 covergetă 50 covergetă 5 covergetă 5 covergetă 53 covergetă simplu dar u absolut 54 covergetă simplu dar u absolut 55 covergetă absolut 5 covergetă simplu dar u absolut 57 şi 58 petru α > covergetă absolut; petru α 0, ] covergetă simplu; petru α 0 divergetă