Α ν α λ υ τ ι κ η Γ ε ω μ ε τ ρ ι α. K ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς. Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

Transcript

1 Α ν λ υ τ ι κ η Γ ε ω μ ε τ ρ ι K ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Ε π ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς

2 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς

3 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Κ υ κ λ ο ς Π ρ β ο λ η Ε λ λ ε ι ψ η Υ π ε ρ β ο λ η Με πολυ μερκι Γι τους κλους φιλους μου Κερκυρ 05 H δικη μου ποψη γι την βοηθει των μθητων

4 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς 0. Κ υ κ λ ο ς Μ ο ρ φ η Κ υ κ λ ο υ x + y = ρ Η πλουστερη μορφη κυκλου. Χρκτηριστικ : Κεντρο το σημειο Ο(0,0) (ρχη των ξονων). Ακτιν ρ. Ε ι δ ι κ η μ ο ρ φ η τ η ς x + y = ρ Μονδιιος κυκλος : x + y = Κεντρο το σημειο Ο(0,0) (ρχη των ξονων). Ακτιν ρ =. Π ρ μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Κ υ κ λ ο υ Αν Μ(x, y) εινι σημειο του κυκλου c : x + y = ρ κι φ [0, π) εινι η γωνι που σχημτιζει το δινυσμ ΟΜ με τον ξον x x, τοτε ισχυει : x = ρ σ υ ν φ y = ρ η μ φ Ε ξ ι σ ω σ η Ε φ π τ ο μ ε ν η ς Κ υ κ λ ο υ Αν Α(x, y) εινι σημειο του κυκλου c : x + y = ρ π το οποιο διερχετι μι εφπτομενη του, τοτε η εξισωση της δινετι πο : x x + y y = ρ ( x - x o ) + ( y - y o ) = ρ Με κεντρο διφορετικο π την ρχη των ξονων. Χρκτηριστικ : Κεντρο το σημειο Κ ( x o, y o ). Ακτιν ρ. x + y + Α x + Β y + Γ = 0 Η γενικη μορφη κυκλου. Προυποθεση η πρστση ν ποτελει εξισωση κυκλου : Α + Β - 4 Γ > 0 Χρκτηριστικ : Α Β Κεντρο το σημειο Κ -, -. Ακτιν ρ = Α + Β - 4Γ Σ χ ε τ ι κ ε ς Θ ε σ ε ι ς Κ υ κ λ ο υ - Ε υ θ ε ι ς. Αν κυκλος c : ( x x o ) + ( y y o ) = ρ () κι ευθει ε : Α x + Β y + Γ = 0 () Αν το συστημ των εξισωσεων () κι ()

5 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς εχει δυο πργμτικες λυσεις, τοτε η ευθει τ ε μ ν ε ι τον κυκλο σε δ υ ο κ ο ι - ν σ η μ ε ι με τον κυκλο. εχει μι πργμτικη λυση, τοτε η ευθει ε φ π τ ε τ ι στον κυκλο. δεν εχει πργμτικες λυσεις, τοτε η ευθει δ ε ν ε χ ε ι κ ο ι ν σ η μ ε ι με τον κυκλο. Αν κυκλος c : ( x x o ) + ( y y o ) = ρ () κι ευθει ε : Α x + Β y + Γ = 0 () οπου Κ το κεντρο του κυκλου κι d η ποστση του π την ευθει ε : Αν d < ρ, τοτε η ευθει τ ε μ ν ε ι τον κυκλο σε δ υ ο σημει. Αν d = ρ, τοτε η ευθει ε φ π τ ε τ ι στον κυκλο. Αν d > ρ, τοτε η ευθει δ ε ν ε χ ε ι κ ο ι ν σ η μ ε ι με τον κυκλο. Σ χ ε τ ι κ ε ς Θ ε σ ε ι ς Δ υ ο Κ υ κ λ ω ν Εστω οι κυκλοι c : ( x - x ) + ( y - y ) = ρ c : ( x - x ) + ( y - y ) = ρ οπου Κ, Κ τ κεντρ τους κι ρ, ρ οι κτινες τους, ντιστοιχ. Γι δ = ΚΚ τοτε Αν δ > ρ + ρ, τοτε οι κυκλοι εινι ο ε ν ς ε κ τ ο ς τ ο υ λ λ ο υ. Αν δ = ρ + ρ, τοτε οι κυκλοι ε φ π τ ο ν τ ι ε ξ ω τ ε ρ ι κ. Αν ρ - ρ < δ < ρ + ρ, τοτε οι κυκλοι τ ε μ ν ο ν τ ι. Αν δ = ρ - ρ, τοτε οι κυκλοι ε φ π τ ο ν τ ι ε σ ω τ ε ρ ι κ. Αν δ < ρ - ρ, τοτε οι κυκλοι εινι ο ε ν ς ε ν τ ο ς τ ο υ λ λ ο υ.

6 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς 0. Π ρ β ο λ η Ο ρ ι σ μ ο ς Eινι ο γεωμετρικος τοπος των σημειων του επιπεδου που ισπεχουν πο εν στ - θερο σημειο Ε ( ε σ τ ι ) κι μι στθερη ευθει δ ( δ ι ε υ θ ε τ ο υ σ ). Ετσι, εν σημειο Μ εινι σημειο της πρβολης με εστι Ε κι διευθετουσ δ, ν : d(μ,δ) = ΜΕ. Το μεσο Ο της ποστσης του Ε π'τη δ (νηκει στη πρβολη) λεγετι κ ο ρ υ - φ η της πρβολης. Η ευθει που διερχετι π'τ σημει Ο, Ε λεγετι ξ ο ν ς της πρβολης. C Ν Μ Αξονς Κορυφη Α Ο Ε Εστι δ Διευθετουσ Ε ξ ι σ ω σ η Π ρ β ο λ η ς Σε συστημ συντετγμενων Οxy με ρχη Ο (κορυφη της πρβολης) κι ξον x'x τον ξο - ν της πρβολης θετουμε : p p την τετμημενη της εστις Ε κι x = - την εξισωση της διευθετουσς δ. p p Η εξισωση της πρβολης με εστι Ε(,0) κι διευθετουσ δ : x = - εινι : y H πρβολη εχει ξον συμμετρις τον x'x κι, βρισκετι δεξι του y'y ν p > 0 κι ριστερ ν p < 0. Ν Ο Μ p Ε(,0) C p > 0 Ν C Μ p < 0 Ο p Ε(,0) Ν = px p δ : x = - p δ : x = -

7 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Σε συστημ συντετγμενων Οxy με ρχη Ο (κορυφη της πρβολης) κι ξον y'y τον ξον της πρβολης θετουμε : p p την τετγμενη της εστις Ε κι y = - την εξισωση της διευθετουσς δ. p p Η εξισωση της πρβολης με εστι Ε(,0) κι διευθετουσ δ : y = - εινι : H πρβολη εχει ξον συμμετρις τον y'y κι, βρισκετι πνω του x'x ν p > 0 κι κτω ν p < 0. x = py C p δ : x = - p > 0 p Ε(0, ) Ο Μ C p < 0 Ο p Ε(0, ) Μ p δ : x = - Ε φ π τ ο μ ε ν η Π ρ β ο λ η ς H εφπτομενη στο σημειο Μ(x,y ) της πρβολης : y x = p x εχει εξισωση y y = p (x + x ) = p y εχει εξισωση x x = p (y + y ) ε O Μ(x,y ) C Α ν κ λ σ τ ι κ η Ι δ ι ο τ η τ Eστω η πρβολη c, με κορυφη Ο, εστι Ε κι ε η εφπτομενη της στο σημειο Μ. Τοτε : Η κθετη ευθει η στην εφπτομενη ε στο σημειο επφης Μ, διχοτομει την γωνι ΕΜ t, οπου Mt ημι - ευθει ομορροπη της ΟΕ. (x,y )Μ ω ω ε O E η t C

8 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς 0 3. E λ λ ε ι ψ η Ο ρ ι σ μ ο ς Eινι ο γεωμετρικος τοπος των σημειων του επιπεδου που οι ποστσεις τους πο δυο στθερ σημει Ε', Ε (εστιες) εχουν στθερο θροισμ, που συμβολιζετι. Ε'Ε : Εινι η εστικη ποστση κι συμβολιζετι γ. Ετσι, εν σημειο Μ εινι σημειο της ελλειψης με εστιες Ε',Ε κι στθερο θροισμ, ν : (ΜΕ') + (ΜΕ) =. Εινι γ < (φου γ < τριγωνομετρικη νισοτητ) Η ευθει που διερχετι π'τ σημει Ε', Ε λεγετι ξ ο ν ς της ελλειψης. Α Αξονς C Β Μ(x,y) Μ C Ε(0,γ) Α' Εστι Ο Ε'(-γ,0) γ Β' Ε(γ,0) Α Εστι Β' (ΜΕ ) + (ΜΕ) = ΕΈ = γ Ο γ Ε'(0,-γ) Α' Β Ε ξ ι σ ω σ η η Ε λ λ ε ι ψ η ς Θετουμε β = - γ Σε συστημ συντετγμενων Οxy με ξον x'x ν διερχε τι π'τ Ε',Ε κι ξον y'y τη μεσοκθετη του Ε'Ε η εξισωση της ελλειψης με εστιες Ε'(- γ,0), Ε(γ,0) κι στθερο θροισμ εινι : y β x + = Σε συστημ συντετγμενων Οxy με ξον y'y ν διερχετι π'τ Ε',Ε κι ξον x'x τη μεσοκθετη του Ε'Ε η εξισωση της ελλειψης με εστιες Ε'(- γ,0), Ε(γ,0) κι στθερο θροισμ εινι : y x + = β H ελλειψη εχει ξονες συμμετρις τους x'x κι y'y. H ελλειψη εχει κεντρο συμμετρις το σημειο Ο(0,0). Το τμημ Α'Α λεγετι μεγλος ξονς με μηκος. Το τμημ Β'Β λεγετι μικρος ξονς με μηκος β. Το Ο λεγετι κεντρο της ελλειψης ενω τ Α,Α',Β,Β' κορυφες της ελειψης. Οι εστιες Ε', Ε βρισκοντι πντ στο μεγλο ξον Α'Α. Ε φ π τ ο μ ε ν η Ε λ λ ε ι ψ η ς H εφπτομενη στο σημειο Μ(x,y ) της ελλειψης :

9 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς y x + β y x + β = εχει εξισωση = εχει εξισωση x x x x β y y + = β y y + = Ε κ κ ε ν τ ρ ο τ η τ Ε λ λ ε ι ψ η ς x y x y γ Εκκεντροτητ της ελλειψης + = η + = εινι ο λογος ε =. β β Ισχυουν : ε < (φου γ < ) β = - ε β Αν ε 0, δηλδη ο μικρος ξονς τεινει ν γινει ισος με το μεγλο που σημινει οτι η ελλειψη τεινει ν γινει κυκλος. ε 0 ε β Αν ε 0, δηλδη ο μικρος ξονς τεινει ν γινει πειρως μικροτερος του μεγλου που σημινει οτι η ελλειψη τεινει ν γινει ευθυγρμμο τμημ. Οι ελλειψεις που εχουν ιδιες εκκεντροτητες λεγοντι ομοιες. Α ν κ λ σ τ ι κ η Ι δ ι ο τ η τ Εστω η ελλειψη c κι η εφπτομενη ε στο σημειο της Μ(x,y ). Τοτε ισχυει οτι : Η κθετη ευθει η στην εφπτομενη ε στο σημειο επφης Μ διχοτομει την γωνι Ε ΜΕ, οπου Ε, Ε οι εστιες της ελλειψης. ω ω Μ(x,y ) E' O η E C

10 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς 0 4. Υ π ε ρ β ο λ η Ο ρ ι σ μ ο ς Eινι ο γεωμ. τοπος των σημειων του επιπεδου που οι ποστσεις τους πο δυο στθερ σημει Ε', Ε (ε σ τ ι ε ς) εχουν πολυτως σ τ θ ε ρ η διφορ, που συμβολιζετι. Ε'Ε : Εινι η ε σ τ ι κ η π ο σ τ σ η κι συμβολιζετι γ. Ετσι, εν σημειο Μ εινι σημειο της υπερβολης με εστιες Ε', Ε κι στθερη διφορ, ν : (ΜΕ') - (ΜΕ) =. Εινι < γ (φου < γ τριγ.νισοτητ) Η ευθει που διερχετι π'τ σημει Ε', Ε λεγετι κ υ ρ ι ο ς ξ ο ν ς υπερβολης. C Εστι Ε'(-γ,0) Α' Ο A (ΜΕ ) - (ΜΕ) = Ε Ε = γ Ε(γ,0) Μ(x,y) Εστι Εστι C Α Α' Ε(0,γ) Ο Μ(x,y) Κυριος Αξονς Εστι Ε'(0,-γ) Κυριος Αξονς Ε ξ ι σ ω σ η Υ π ε ρ β ο λ η ς Θετουμε β = γ - Σε συστημ συντετγμενων Οxy με ξον x'x ν διερχε τι π'τ Ε',Ε κι ξον y'y τη μεσοκθετη του Ε'Ε η εξισωση της υπερβολης με εστιες Ε'(- γ,0), Ε(γ,0) κι στθερη διφορ εινι : y β x - = Σε συστημ συντετγμενων Οxy με ξον y'y ν διερχετι π'τ Ε',Ε κι ξον x'x τη μεσοκθετη του Ε'Ε η εξισωση της υπερβολης με εστιες Ε'(- γ,0), Ε(γ,0) κι στθερη διφορ εινι : y x - = β H υπερβολη εχει ξονες συμμετρις τους x'x κι y'y. H υπερβολη εχει κεντρο συμμετρις το σημειο Ο(0,0). Αν = β η Ν Η υπερβολη ποτελειτι πο δυο χωριστους κλδους. c : x - y = (c : y - x = ), ισοσκελης. Το Ο λεγετι κεντρο της υπερβολης ενω τ Α,Α' κορυφες της υπερβολης. Οι εστιες Ε', Ε βρισκοντι πντ στην ευθει Α'Α.

11 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Ε φ π τ ο μ ε ν η Υ π ε ρ β ο λ η ς H εφπτομενη στο σημειο Μ(x,y ) της υπερβολης : y x - = εχει εξισωση β x x y y - = β y x - = εχει εξισωση β y y x x - = β Ε κ κ ε ν τ ρ ο τ η τ Υ π ε ρ β ο λ η ς x y y x Εκκεντροτητ της ελλειψης - = η - = β β γ εινι ο λογος ε =. β Ισχυουν : ε > (φου γ > ) = ε - ε + ε β Αν ε + +, δηλδη οι κλδοι της υπερβολης τεινουν ν γινουν δυο πρλ - ληλ ευθυγρμμ τμημτ. β Αν ε 0, δηλδη οι κλδοι της υπερβολης γινοντι ολο κι πιο κλειστοι. Α ν κ λ σ τ ι κ η Ι δ ι ο τ η τ Εστω η υπερβολη c κι η εφπτομενη ε στο σημειο της Μ. Τοτε ισχυει οτι : Η εφπτομενη ε στο σημειο επφης Μ διχοτομει την γωνι Ε ΜΕ, οπου Ε, Ε οι εστιες της υπερβολης. ε E' Μ(x,y ) ω ω O E C C Α σ υ μ π τ ω τ ε ς Υ π ε ρ β ο λ η ς

12 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς x y Η υπερβολη - = εχει συμπτωτες ευθειες τις : β β β y = x y = - x y x Η υπερβολη - = εχει συμπτωτες ευθειες τις : β y = x y = - x β β C β y = - x y = β x Ε(0,γ) C y = x β Ε'(-γ,0) Ε(γ,0 ) y = - x β Ε'(0,-γ) Ν

13 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Κ υ κ λ ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης κυκλου. Δ ο σ μ ε ν : Το κεντρο του κυκλου Κ κι εν σημειο του Α. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Αρκει ν βρουμε κτιν ρ. Χρησιμοποιουμε τη σχεση: ΚΑ = ρ. Οι συντετγμενες του σημειου του κυκλου (γνωστου) επληθευουν την εξισωση του κυκλου : x + y = ρ η ( x - x o ) + ( y - y o ) = ρ. Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθει η εξισωση του κυκλου με κεντρο την ρχη των ξονων κι διερχετι π'το σημειο Α(- 3, 4). Η εξισωση του κυκλου εινι της μορφης : Αφου το Α εινι σημειο του κυκλου, οι συντετγμενες του επληθευουν την εξισωση του κυκλου. Ετσι (- 3) + 4 = ρ = ρ ρ = 5 ρ = 5 Δηλδη η εξισωση του κυκλου εινι : x + y = 5 Π ρ δ ε ι γ μ x + y = ρ Ν βρεθει η εξισωση του κυκλου με κεντρο Κ(- 3, 4) κι διερχετι π'την ρχη των ξονων. Το κεντρο του κυκλου εινι Κ(- 3,4) κι η εξισωση του : ( x + 3) +(y - 4) Ο κυκλος διερχετι π'το σημειο Ο(0,0). Οποτε ΚΟ εινι κτιν του. Ετσι = ρ. ΚΟ = ρ (0 + 3) + (0-4) = ρ = ρ ρ = 5 ρ = 5 Δηλδη η εξισωση του κυκλου εινι : ( x + 3) +(y - 4) = 5

14 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Κ υ κ λ ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης κυκλου. Δ ο σ μ ε ν : Δυο ντιδιμετρικ σημει. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Αν Α(x,y) κι Β(x,y) τ κρ μις διμετρου του. x + x y + y Το κεντρο του Κ εινι το μεσο της ΑΒ, δηλδη Κ,. Γι την κτιν του ισχυει: ΑΒ ρ = = ΑΚ = ΚΒ. Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθει η εξισωση του κυκλου με διμετρο ΑΒ, οπου Α(-,4) κι Β(3,). Αν Κ το κεντρο του κυκλου, τοτε το Κ εινι το μεσο της διμετρου ΑΒ. Ετσι x + x -+ 3 x = x = y + y 4 + y = 3 Α Β Κ y = y = Κ Κ Α Β Κ Κ x = Κ Κ(,3) ρ = ΚΑ = (x - x ) + (y - y ) = (-- ) + (4-3) = 4 + = 5 Α Κ Α Κ Οποτε η εξισωση του κυκλου εινι : (x - ) +(y - 3) = 5 Μ ι λ λ η ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η ο Αν Μ(x,y) εινι εν τυχιο σημειο του κυκλου, τοτε η γωνι ΑΜΒ = 90 (εγγεγρμενη που βινει σε διμετρο) κι ισχυει : ΑΜ=(x+,y-4) ΑΜ ΒΜ ΑΜ ΒΜ = 0 (x + )(x - 3) + (y - 4)(y - ) = 0 ΒΜ= (x-3,y-) x - 3x + x y - y - 4y + 8 = 0 x + y - x - 6y + 5 = 0 (x - x + ) + (y - 6y + 9) = 5 (x - ) +(y - 3) = 5

15 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Κ υ κ λ ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης κυκλου. Δ ο σ μ ε ν : Τ σημει που τεμνει ο κυκλος τον ξον x x η (y y) δηλδη τ σημει Α(0,y), Β(0,y) η ( Α(x,0), Β(x,0) ) κι την κτιν του ρ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Οι συντετγμενες των σημειων επληθευουν την εξισωση του κυκλου ( x x o ) + ( y y o ) = ρ. Η λυση του συστημτος των εξισωσεων που προκυπτει, προσδιοριζει τ x o, y o. Αν Κ ( x o, y o ) το κεντρο ισχυει: KA = KB = ρ. Η λυση του συστημτος των εξισωσεων που προκυπτει, προσδιοριζει τ x o, y o. Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθει η εξισωση του κυκλου που διερχετι π'τ σημει Α(0,), Β(0,-3) κι εχει κτιν ρ =. Οι συντετγμενες των σημειων Α κι Β επληθευουν την εξισωση (x - x ) + (y - y ) = ρ. Εινι (-) (0 - x ) + (- y ) = 0 0 x + y - y + = x + y - y + = (0 - x ) + (-3 - y ) = x + y + 6y + 9 = 4 8y = x + y - y + = 4 x = x = 4 x = y = y = y = y = Ετσι Γι x =, y = η εξισωση του κυκλου εινι : 0 0 Γι x = -, y = η εξισωση του κυκλου εινι : 0 0 (x - ) +(y - ) = (x + ) + (y - ) = A λ λ ι ω ς KA = ρ ( x - 0) + (y - ) = 0 0 x + y - y + = 4 x = KB = ρ (0 - x ) + (y + 3) = x + y + 6y + 9 = 4 y = Ετσι Γι x =, y = η εξισωση του κυκλου εινι : 0 0 Γι x = -, y = η εξισωση του κυκλου εινι : 0 0 (x - ) +(y - ) = (x - ) +(y - ) =

16 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Κ υ κ λ ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση του κεντρου Κ π τις μεσοκθετες των χορδων. Δ ο σ μ ε ν : Τρι σημει του κυκλου Α(x,y), Β(x,y) κι Γ(x3,y3). Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Εστω τρι σημει του κυκλου Α(x,y), Β(x,y) κι Γ(x3,y3). Το κεντρο του κυκλου εινι το σημειο τομης των μεσοκθετων των χορδων ΑΒ, ΑΓ κι ΒΓ. Η κτιν βρισκετι π τη σχεση: KA = KB = KΓ = ρ. Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθει η εξισωση του κυκλου που διερχετι π'τ σημει Α(0,), Β(0,), Γ(6,). Το κεντρο Κ εινι το σημειο τομης των μεσοκθετων των χορδων ΑΒ κι ΑΓ. Αν Μ το μεσο της χορδης ΑΒ κι Ν το μεσο της χορδης ΑΓ, τοτε x + x Α Β x + x Α Γ x = = = 0 x = = = 3 Μ Ν Μ (0,6) κι Ν (3,6) y + y Α Β + y + y Α Γ + y = = = 6 y = = = 6 Μ Ν Εινι ΑΒ ΚΜ ΚΜ x'x που διερχετι π'το σημειο Ν(0,6). ΑΒ y'y Δηλδη το Κ εινι της μορφης Κ(,6). Ακομη λ = = κι ΚΝ ΑΓ, λ =. ΑΓ ΚΝ Οποτε το Κ εινι σημειο της ευθεις ΟΜ = (δ) με εξισωση 3 y - 6 = (x + 3) 5 κι οι συντετγμενες του επληθευουν την πιο πνω εξισωση. Ετσι (δ) : 3x - 5y + 39 = = 0 = 3 Κ(3,6) ρ = ΚΑ = (0-3) + (- 6) = = 34 Αρ η εξισωση του κυκλου εινι : (x - 3) +(y - 6) = 34

17 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Κ υ κ λ ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση του κεντρου Κ π τις ποστσεις του π τ σημει Α, Β κι Γ. Δ ο σ μ ε ν : Τρι σημει του κυκλου Α(x,y), Β(x,y) κι Γ(x3,y3). Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Εστω τρι σημει του κυκλου Α(x,y), Β(x,y) κι Γ(x3,y3). Δυο οποιεσδηποτε ισοτητες π τη σχεση KA = KB = KΓ ποτελουν συστημ με γνωστους τις συντετγμενες του κεντρου του κυκλου. Η κτιν βρισκετι π τη σχεση: KA = KB = KΓ = ρ. Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθει η εξισωση του κυκλου που διερχετι π'τ σημει Α(0,), Β(0,), Γ(6,). Εστω Κ(,β) το κεντρο του κυκλου. ΚΑ = ΚΒ ΚΑ = ΚΒ (6 - ) + (--β) = (4 - ) + (3 -β) β + β = β + β 4-8β = - β = 3 () ΚΑ = ΚΓ ΚΑ = ΚΓ (6 - ) + (--β) = (-3 - ) + ( -β) β + β = β + β 8-6β = 4 3 -β = 4 () Λυνουμε το συστημ των () κι () - β = 3 - β = 3 - β = 3 - β = 3 β = - Κ (, - ) 3 -β = β = = - 5 = = Ακομη : = ΚΑ = (6 - ) + (-+ ) = ρ 5 Οποτε η εξισωση του κυκλου εινι : (x - ) +(y + ) = 5 Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Κ υ κ λ ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης κυκλου. Δ ο σ μ ε ν : Δυο σημει του κυκλου κι η ευθει που διερχετι π το κεντρο του. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Εστω τρι σημει του κυκλου Α(x,y), Β(x,y) κι Γ(x3,y3). Το κεντρο εινι το σημειο τομης της δοσμενης ευθεις κι της μεσοκθετης του τμημτος ΑΒ. Βρισκουμε τη μεσοκθετη κι λυνουμε το συστημ των εξισωσεων της μεσοκθετης κι της δοσμενης ευθεις. Η κτιν βρισκετι π τη σχεση: KA = KB = ρ.

18 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθει η εξισωση του κυκλου που το κεντρο του εινι σημειο της ευθεις (ε) : x - 3y - 3 = 0 κι διερχετι πο το σημειο Α(-,) κι την ρχη των ξονων. Αν Μ το μεσο της χορδης ΟΑ τοτε x + x 0 - y + y 0 + Ο Α x = = = - Μ Ο Α y = = = Μ Μ(-,) - 0 Ο συντελεστης διευθυνσης της ΟΑ εινι λ = = - κι φου ΟΑ ΚΜ τοτε λ = κι ΟΑ ΚΜ το Κ εινι σημειο της ευθεις ΟΜ = (δ) με εξισωση y - = (x + ) (δ) : x - y - = 0 Δηλδη το Κ εινι σημειο των ευθειων (ε) κι (δ), οποτε ν Κ(,β) τοτε τ, β επληθευουν τις εξισωσεις των δυο ευθειων. Ετσι Κ (ε) x - 3y - 3 = 0 (y + ) - 3y - 3 = 0 y + 4-3y - 3 = 0 y = Κ (3,) Κ (δ) x - y - = 0 x = y + x = y + x = 3 ρ = ΚΟ = (3-0) + (- 0) = 9 + = 0 Αρ η εξισωση του κυκλου εινι : (x - 3) +(y - ) = 0 Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Κ υ κ λ ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης κυκλου. Δ ο σ μ ε ν : Το κεντρο Κ του κυκλου κι εξισωση μις εφπτομενης. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Ισχυει d(κ,ε) = ρ κι φου Κ γνωστο ευκολ βρισκετι η εξισωση του κυκλου. Ax + By + Γ 0 0 Δηλδη ρ =, οπου ε : Ax + By + Γ κι Κ(x 0,y 0 ). Α + Β Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρειτε την εξισωση του κυκλου, που εχει κεντρο το σημειο Κ (, - ) κι εφπτετι της ευθεις ε : 3 x - 4 y + 5 = 0.

19 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς d(κ,ε) = ρ 3-4 (- ) = ρ ρ= = = (- 4) 5 5 Αρ η εξισωση του κυκλου εινι : ( x ) +( y + ) = 3 Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Κ υ κ λ ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης κυκλου. Δ ο σ μ ε ν : Δυο εφπτομενες του κυκλου κι εν σημειο επφης. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Ισχυει d(κ,ε) = d(κ,ε) ( = ρ ), οποτε δημιουργω εξισωση με γνωστους τις συντετγμενες του κεντρου Κ. Η ευθει ΚΑ εινι κθετη στην ε (ν Α ε) η στην ε (ν Α ε) οποτε δημιουργω εξισωση με γνωστους τις συντετγμενες του κεντρου Κ. Λυνω το συστημ των πιο πνω εξισωσεων. Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρειτε την εξισωση του κυκλου, που εφπτετι στις ευθει ες ε : x + y + 3 = 0 ε : 7 x - y - 5 = 0, οτν εν π τ σημει επφης εινι το σημειο Α (, ). Εινι = 0, οποτε Α ε. Δηλδη το κεντρο Κ βρισκετι στην ευθει ΚΑ. Ακομη λ ΚΑ = - λ 7 = - λ = - ΚΑ ΚΑ 7 Αρ η ευθει ΚΑ εχει εξισωση : y - = - (x -) 7y -4 = - x + x + 7y -5 = 0 7 Aν Κ(,β) τοτε + 7 β 5 = 0 () (φου Κ ΚΑ) +β β - 5 +β β - 5 d(κ,ε) = d(κ,ε) = = (- ) 5 λ ε 5( + β + 3) = 7 -β - 5-6β - 70 = 0-3β - 35 = 0 () η η η 5( + β + 3) = β β + 60 = β + 5 = 0 (3) Λυνουμε το συστημ των () κι () + 7β = 5 0β = -0 β = - β = - Κ (9,- ) - 3β = 35-3β = = 35 = 9

20 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Λυνουμε το συστημ των () κι (3) + 7β = β = β = β = - 60 β = 3 Κ (- 6,3) 3 + β = β = β = β = - 5 = - 6 Επισης 7(-6) ρ = d(κ,ε ) = = = = = = (-) η λλιως : ρ = Κ Α = (+ 6) + ( - 3) = 50 Εχουμε δυο εξισωσεις κυκλου Γι Κ ( 9, - ) κι ρ = 5 0 : ( x 9 ) + (y + ) = 5 0 Γι Κ ( - 6, 3 ) κι ρ = 5 0 : ( x + 6 ) + (y - 3) = 5 0 Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς E φ π τ ο μ ε ν η ς Κ υ κ λ ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης εφπτομενης κυκλου. Δ ο σ μ ε ν : Εξισωση του κυκλου κι σημειο π το οποιο διερχετι η εφπτομενη. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Αν γνωριζουμε το σημειο επφης Α(x,y), πλ χρησιμοποιουμε τη σχεση : x x + y y = ρ. Αν δεν γνωριζουμε το σημειο επφης Α(x, y), λλ σημειο Β(x, y) που διερχετι η εφπτομενη ε, χρησιμοποιουμε τις σχεσεις προκειμενου ν βρουμε το σημειο Α : x + y = ρ () (Α c) κι x x + y y = ρ () (Β ε). Λυνουμε το συστημ των () κι (). Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθει η εξισωση της εφπτομενης του κυκλου c : x + y = 5 που διερχετι πο το σημειο Α(5,0). Η εφπτομενη διερχετι πο το σημειο Α(5, 0) ετσι 5x + 0 y = 5. Επομενως x =. Ετσι x = + y = 5 y = x + y = 5 οποτε υπρχουν δυο σημει επφης, τ M (,) κι M (,-) κι οι ντιστοιχες εφπτομενες εινι οι: x + y = 5 κι x - y = 5.

21 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς E φ π τ ο μ ε ν η ς Κ υ κ λ ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης εφπτομενης κυκλου. Δ ο σ μ ε ν : Το κεντρο του κυκλου Κ(0,0) κι η εφπτομενη (ε) πρλληλη (κθετη) σε γνωστη ευθει (δ). Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Αν το σημειο επφης εινι Α(x0,y0), τοτε ισχυουν: x 0 + y 0 = ρ () (Α c), x 0 x + y 0 y = ρ () (Β ε) κι λ ε = λ δ (3). Λυνοντς το συστημ των () κι (3) βρισκουμε τ x 0, y 0. Αλλη ντιμετωπιση Αν η ευθει (δ) εινι της μορφης x + β y + γ = 0 κι (ε) (δ) (η (ε) (δ)), τοτε η ευθει (ε) εινι της μορφης x + β y + κ = 0 ( η β x - y + κ = 0 ). Απ τη σχεση d ( Κ, ε ) = ρ προσδιοριζουμε την τιμη του κ. Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθει η εξισωση της εφπτομενης (ε) κυκλου c : x + y = 4, που εινι πρλληλη στην ευθει (δ) : 4x - 3y = 5. Αν Μ(x,y ) εινι το σημειο επφης κι επειδη (ε) (δ), τοτε y + y = x + y = 4 x + y = 4 y + y = y = 36 0 xx + yy = 4 xx + yy = 4 xx + yy = 4 xx + yy = xx + yy = λ = λ x 4 ε δ = x = - y x = - y x = - y y y = ± y =,x = - κι (ε) : 4x - 3y = xx + yy = y = -,x = κι (ε) : 4x - 3y = x = - y Α λ λ ι ω ς Αφου (ε) (δ) τοτε η (ε) εινι της μορφης (ε) : 4x - 3y = κ Η (ε) εφπτετι στον κυκλο (c) ν : (- 3) 0 - κ - κ d(k,ε) = ρ = = κ = 0 κ = ± (- 3) 5 Οποτε η εξισωση της εφπτομενης εινι : (ε) : 4x - 3y = 0 η (ε) : 4x - 3y = - 0

22 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς E φ π τ ο μ ε ν η ς Κ υ κ λ ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης εφπτομενης κυκλου. Δ ο σ μ ε ν : Η εξισωση του κυκλου c : ( x x o ) + ( y y o ) = ρ κι το σημειο επφης Α(x,y). Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Θεωρουμε τυχιο σημειο Μ(, β) της εφπτομενης (ε). Δημιουργουμε τ δινυσμτ ΜΑ κι ΚΑ. Χρησιμοποιουμε τη σχεση: ΜΑ ΚΑ ΜΑ ΚΑ = 0 Μετσχημτιζουμε την εξισωση της εφπτομενης (ε): y = λ x + β στη μορφη Α x + B y + Γ = 0, οπου Α = λ, Β = - κι Γ = β. Στη συνεχει λυνουμε το συστημ των εξισωσεων : Α ( ε ) () κι d ( Κ, ε ) = ρ (). Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθει η εξισωση της εφπτομενης (ε) κυκλου c : (x - 3) +(y + ) = 5, στο σημειο Α(-,). Αν Μ(x,y ) εν τυχιο σημειο της (ε), τοτε : ΑΜ = (x +,y - ) c : (x - 3) + (y + ) = 5 κεντρο Κ(3,- ) κι κτιν ρ = 5 κι ΚΑ = (- 4,3) Ομως ΚΑ ΜΑ ΚΑ ΜΑ = 0 (- 4,3) (x +,y - ) = (x + ) 3 (y - ) = 0-4x y - 6 = 0 4x - 3y + 0 = Οποτε η εξισωση της εφπτομενης εινι : (ε) : 4x - 3y - 0 = 0 Α λ λ ι ω ς Αν (ε) : y = x + β (δηλδη Α =, Β = -, Γ = β ν (ε) : Αx + Βy + Γ = 0) = - + β + = β + = β + = β Α (ε) 3 + (-) (-) + β ρ = d(k,ε) 5= β = 5 = 5 = + (- ) = β + = β + = β + = β 5( + ) = (4 + 3) = = 0 (3-4) = = β β= y = x + = = 3 (ε) : 4x - 3y + 0 = 0

23 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς E φ π τ ο μ ε ν η ς Κ υ κ λ ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης εφπτομενης κυκλου. Δ ο σ μ ε ν : Η εξισωση του κυκλου c : ( x - x o ) + ( y - y o ) = ρ κι το σημειο Α(x, y) π οπου διερχετι η εφπτομενη (ε) του κυκλου. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Μετσχημτιζουμε την εξισωση της εφπτομενης (ε): y = λ x + β στη μορφη Α x + B y + Γ = 0, οπου Α = λ, Β = - κι Γ = β. Στη συνεχει λυνουμε το συστημ των εξισωσεων : Α (ε) () κι d (Κ, ε) = ρ (). Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθει η εξισωση της εφπτομενης (ε) κυκλου c : (x - 3) +(y + ) π'το σημειο Α(-,). = 5, που διερχετι Αν (ε) : y = x + β (δηλδη Α =, Β = -, Γ = β ν (ε) : Αx + Βy + Γ = 0) = - + β + = β + = β + = β Α (ε) 3 + (-) (-) + β β ρ = d(k,ε) 5= 5= 5 = 5 = + (- ) = β + = β + = β + = β 5( + ) = (4 + 3) = = 0 (3-4) = = β β= y = x + (ε) : 4x - 3y + 0 = 0 = = 3 Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Κ ο ι ν η ς Χ ο ρ δ η ς Κ υ κ λ ω ν Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης κοινης χορδης κυκλων. Δ ο σ μ ε ν : Οι εξισωσεις δυο κυκλων μορφης : ( x x o ) + ( y y o ) = ρ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Θεωρουμε οτι εν π τ κοιν σημει εινι το Μ(,β), οι συντετγμενες του οποιου επληθευουν τις εξισωσεις των δυο κυκλων. Η λυση του συστημτος των εξισωσε-- ων ως προς, β που προκυπτει, δινει το ζητουμενο. Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθει η εξισωση της κοινης χορδης των κυκλων : c : (x + ) +(y - 3) = κι c : (x - ) +(y + ) = 6

24 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Αν Μ(,β) εν κοινο σημειο των κυκλων, τοτε οι συντετγμενες του επληθευουν τις εξισωσεις των δυο κυκλων. Ετσι ( + ) + (β - 3) = ( - ) + (β + ) = β -6β + 9 = (-) 3-4β + 0 = β +β + = 6 Δηλδη το κοινο σημειο Μ (εν τυχιο π'τ κοιν) νηκει στην ευθει : 3x - 4y + 0 = 0, που ποτελει την εξισωση της κοινης χορδης. Μ ε θ ο δ ο ς : Σ χ ε τ ι κ ε ς Θ ε σ ε ι ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Σχετικη θεση κυκλου ευθεις. Δ ο σ μ ε ν : Οι εξισωσεις δυο κυκλων μορφης : ( x x o ) + ( y y o ) = ρ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Βρισκουμε τη σχεση της ποστσης d του κεντρου του κυκλου π την ευθει. Π ρ δ ε ι γ μ Αποδειξτε οτι η ευθει xσυνφ+ yημφ = 4ημφ- συνφ+ 4 εφπτετι του κυκλου x + y + 4x - 8y + 4 = 0. Ο κυκλος γρφετι (x + ) + (y - 4) = 4, επομενως εχει κεντρο το σημειο Κ(-, 4) κι κτιν ρ = 4. Η ποστση του κεντρου Κ πο την ευθει συνφ x + ημφ y- 4ημφ+ συνφ- 4 = 0 εινι ιση με - συνφ + 4ημφ - 4ημφ + συνφ - 4 d = = - 4 = 4 = ρ. ημ φ + συν φ Αρ, η ευθει εφπτετι στον κυκλο. Μ ε θ ο δ ο ς : Σ χ ε τ ι κ ε ς Θ ε σ ε ι ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Σχετικη θεση δυο κυκλων. Δ ο σ μ ε ν : Η κτιν του ζητουμενου κυκλου, το σημειο επφης κι η εξισωση του λλου κυκλου. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Αν Ο το κεντρο του δοσμενου κυκλου κι Κ του ζητουμενου: Τ σημει Κ, Ο, Α εινι συνευθεικ. Δημιουργουμε τ δινυσμτ: ΑΚ, ΟΑ κι ΟΚ. Εφπτοντι εξωτερικ ν: ΟΚ = ΟΑ + ΑΚ Εφπτοντι εσωτερικ ν: ΟΚ = ΟΑ - ΑΚ

25 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθουν οι εξισωσεις των κυκλων, οι οποιοι εφπτοντι στον κυκλο c : (x - 3) +(y - ) = 6 στο σημειο Α(-,) κι εχουν κτιν ρ =. Ο κυκλος (c) εχει κεντρο Ο( 3,) κι κτιν R = 4. Εστω Κ(x,y ) το κεντρο ενος π'τους ζητουμενους κυκλους, οποτε : 0 0 ΑΚ = (x +,y - ) 0 0 ΟΑ = (- - 3, - ) = (- 4,0) ΟΑ = (- 4,0) Κ,Α,Ο συνευθεικ ΟΚ = (x - 3,y - ) 0 0 Αν οι κυκλοι εφπτοντι εξωτερικ : ΟΚ = ΟΑ + ΑΚ = R + ρ = 4 + = 6 = 3ρ = 3ΑΚ ΟΚ = 3ΑΚ (x - 3,y - ) = 3(x +,y - ) (x - 3,y - ) = (3x + 3,3y - 6) x - 3 = 3x + 3 x = - 6 x = y - = 3y - 6 y = y = 0 0 Αν οι κυκλοι εφπτοντι εσωτερικ : c : (x + 3) +(y - ) = 4 Εινι : ΟΚ = ΟΑ - ΚΑ = R - ρ = 4 - = = ρ = ΚΑ Ετσι x - 3 = - x - x = x = ΟΚ = ΚΑ (x - 3,y - ) = - (x +,y - ) y - = - y y = 4 y = c : (x - ) +(y - ) = 4 Μ ε θ ο δ ο ς : Σ χ ε τ ι κ ε ς Θ ε σ ε ι ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Σχετικη θεση δυο κυκλων. Δ ο σ μ ε ν : Οι εξισωσεις δυο κυκλων. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Αν Ο, Κ τ κεντρ των κυκλων, εξετζουμε τη σχεση του τμημτος ΟΚ με τις κτινες των δυο κυκλων. Π ρ δ ε ι γ μ Δειξτε οτι οι κυκλοι : c : x + y = 9 κι c : x + y - 6x - 8y + = 0 εφπτοντι εξωτερικ κι στη συνεχει ν βρειτε το σημειο επφης Α.

26 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς x + y - 6x - 8y + = 0 (x - 6x + 9) + (y - 8y + 6) = 4 ( x - 3) +(y - 4) = 4 Ο κυκλος (c ) εχει κεντρο Ο(0,0) κι κτιν R = 3. Ο κυκλος (c ) εχει κεντρο Κ(3,4) κι κτιν ρ =. Γι ν εφπτοντι εξωτερικ πρεπει : ΟΚ = R + ρ = 3 + = 5 Πργμτι, (3-0) + (4-0) = = 5 Ακομη 5-4y x + y = 9 x + y = 9 + y = 9 x + y = y x + y - 6x - 8y + = 0 9-6x - 8y + = 0 x= 5-4y 3 x= 3 5-4y x= 3 ΟΚ = = 5 5-0y + 6y + 9y = 8 (5y - ) = 0 y= 5-4y 5 9 Α, x= x= 5 5y - 0y + 44 = 0 (5y) - 5y + = 0 5-4y 5-4y x = x = 3 3 Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Κ ε ν τ ρ ο υ, Α κ τ ι ν ς Κ υ κ λ ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση κεντρου κι κτινς κυκλου. Δ ο σ μ ε ν : Η εξισωση του κυκλου Α x + Β y + Γ = 0. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Δειχνω οτι Α + Β 4 Γ > 0 κι πιρνουμε: Α Β Κεντρο το σημειο Κ -, - Ακτιν Α + Β - 4Γ ρ = Μετσχημτιζουμε τη δοσμενη εξισωση σε μορφη ( x x o ) + ( y y o ) = ρ Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθει το κεντρο κι η κτιν του κυκλου με εξισωση : x + y + 0x - y + 5 = 0 Εινι, Α = 0, Β = - κι Γ = 5 Αφου Α + Β - 4Γ = 0 + (-) = = 4 > 0 η εξισωση πριστνει κυκλο με :

27 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς 0 Α + Β - 4Γ 4 κτιν : ρ = = = - Α - Β - 0 x κεντρο : Κ (, ) = Κ(, ) = Α λ λ ι ω ς x + y + 0x - y + 5 = 0 x + 0x y - y + - = 0 (x + 0x + 5) + (y - y + ) = Κ (- 5,) (x + 5) +(y - ) = η εξισωση πριστνει κυκλο με : κτιν ρ = κι κεντρο Κ (- 5,) Μ ε θ ο δ ο ς : Ο ι κ ο γ ε ν ε ι Κ υ κ λ ω ν Ζ η τ ο υ μ ε ν : Στθερο σημειο (η σημει) που διερχοντι οι κυκλοι γι κθε τιμη της πρμετρου. Δ ο σ μ ε ν : Η εξισωση του κυκλου που περιεχει πργμτικη πρμετρο. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Πρωτ δειχνουμε οτι η δοσμενη εξισωση πριστνει εξισωση κυκλου. Βρισκουμε τ στθερ σημει : Ειτε δινοντς δυο τυχιες τιμες στην πρμετρο, οποτε το συστημ που προκυπτει δινει το ζητουμενο σημειο. Πρεπει ν δειξουμε οτι οι συντετγμενες του σημειου επληθευουν την ρχικη εξισωση. Ειτε μετσχημτιζοντς τη δοσμενη σν πολυωνυμο ως προς την πρμετρο. Απιτουμε ολοι οι συντελεστες του πολυωνυμου ν εινι ισοι με μηδεν. Π ρ δ ε ι γ μ Δινοντι οι κυκλοι c: x + y + λ x ( 3 λ + 0 ) y = 0, λ. Na δειχτει οτι ολοι οι κυκλοι υτης της οικογενεις διερχοντι πο δυο στθερ σημει. Γι ν πριστνει η x + y + λx - (3λ + 0)y = 0 () εξισωση κυκλου πρεπει : A + B - 4Γ > 0 λ + (3λ + 0) > 0 λ + 9λ + 60λ + 00 > 0 λ + 6λ + 0 > 0 Η τελευτι ληθευει φου : Δ = = - 4 < 0 οποτε τριωνυμο ομοσημο του (= ). Γι λ = 0 η () γινετι : x + y - 0y = 0 () Γι λ = η () γινετι : x + y + x - 3y = 0 (3) Λυνουμε το συστημ των (),(3) x + y - 0y = 0 x + y = 0y 9y + y = 0y 0y - 0y = 0 y(y - ) = 0 x + y + x - 3y = 0 0y + x - 3y = 0 x = 3y x = 3y x = 3y

28 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς y = 0 y = 0 A(0,0) x=0 Α : λ 0 - (3λ + 0) 0 = 0 y = κι y = x = 3y B(3,) x = 3 Δηλδη οι συντετγμενες των σημειων Α κι Β επληθευουν την (). Α λ λ ι ω ς Β : λ 3 - (3λ + 0) = λ - 3λ - 0 = 0 x + y + λx - (3λ + 0)y = 0 x + y + λx - 3λy - 0y = 0 (x - 3y)λ + x + y - 0y = 0 Πρεπει y = 0 x - 3y = 0 x = 3y x = 3y y(y - ) = 0 y = x + y - 0y = 0 9y + y - 0y = 0 0y - 0y = 0 x = 3y x = 3y A(0,0) κι B(3,) Μ ε θ ο δ ο ς : Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ο ς Τ ο π ο ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Γεωμετρικος τοπος σημειων. Δ ο σ μ ε ν : Σημειο με συντετγμενες τριγωνομετρικους ριθμους η συνδεοντι με πρμετρο. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Αν οι συντετγμενες x, y του σημειου Μ συνδεοντι με πρμετρο λ (η τριγωνομετρικους ριθμους ) τοτε πλειφουμε την πρμετρο μετξυ των συντετγμενων ( τους τρ.ριθμους χρησιμοποιωντς κποι σχεση) κι κτληγουμε σε εξισωση που εινι συνρτηση των x, y. Π ρ δ ε ι γ μ Εστω σημειο Α(3 - ημφ, + συνφ), με 0 φ < π. Ν ποδειχτει οτι το σημειο Α κινειτι σε κυκλο, του οποιου ν βρειτε το κεντρο κι την κτιν. Εινι x = 3 - ημφ ημφ = 3 - x Α y = + συνφ συνφ = y - Α ημ φ + συν φ = Α (3 - x ) + (y - ) = Α Α Α (x - 3) +(y - ) = Α Α Δηλδη το σημειο Α κινειτι στον κυκλο c : (x - 3) +(y - ) =, που εχει κεντρο το σημειο Κ(3,) κι κτιν ρ =. Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των κεντρων των κυκλων με εξισωση : x + y +(λ - )x - λy + λ - 5 = 0, λ.

29 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Εινι Α + Β - 4Γ = (λ - ) + (- λ) - 4(λ - 5) = λ - 4λ λ - 4λ + 0 = λ - 4λ + > 0 Αφου Δ = 6-48 = - 3 < 0 Αν τ κεντρ εινι της μορφης Κ(x,y) A λ - x = - x = - λ = - x + - x + = y B - λ λ = y y = - y = - H () εινι ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος. x + y - = 0 () Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των μεσων των χορδων του κυκλου c : (x - ) +(y - ) = 5, οι οποιες διερχοντι π'το σημειο Α(3,- 4). Αν Μ(x,y) το μεσο μις χορδης που διερχετι π'το σημειο Α(3,4) κι φου Κ(,) το κεντρο του κυκλου, τοτε : ΚΜ = (x -,y - ) κι ΑΜ = (x - 3,y + 4) Ομως, η κτιν του κυκλου εινι κθετη στην χορδη στο μεσο της. Ετσι Μ ε θ ο δ ο ς : Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ο ς Τ ο π ο ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Γεωμετρικος τοπος σημειων. Δ ο σ μ ε ν : Σχεση που νγετι σε κθετες ευθειες, οπως φινετι υπο ορθη γωνι, μεσ χορδων κλπ Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Χρησιμοποιουμε τη σχεση των κθετων δινυσμτων. ΚΜ ΑΜ = 0 (x -,y - ) (x - 3,y + 4) = 0 (x - )(x - 3) + (y - ) (y + 4) = 0 x - 3x - x y + 4y - y - 8 = 0 x - x + y + y - 5 = 0 (x - x + ) + (y + y + ) = 7 (x - ) +(y + ) = 7 Οποτε τ μεσ των χορδων κινουντι σε κυκλο με κεντρο Ο(,-) κι κτιν ρ = 7. Π ρ δ ε ι γ μ Δινοντι τ σημει Α(-,) κι Β(5, 0). ο Ν βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ, γι τ οποι ΑΜΒ = 90.

30 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Αν Μ(x,y) εινι εν τυχιο σημειο του γεωμετρικου τοπου, τοτε : ΑΜ = (x +,y - ) κι ΒΜ = (x - 5,y - 0). Ετσι ο ΑΜΒ = 90 ΑΜ ΒΜ = 0 (x +,y - )(x - 5,y - 0) = 0 (x + )(x - 5) + (y - )(y - 0) = 0 x - 5x + x y - 0y - y + (x - 4x + 4) + (y - y + 36) + 5 = Οποτε 0 = 0 x - 4x + y - y + 5 = 0 Τ σημει Μ κινουντι σε κυκλο με κεντρο Κ(,6) κι κτιν ρ = 5. (x - ) +(y - 6) = 5 Μ ε θ ο δ ο ς : Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ο ς Τ ο π ο ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Γεωμετρικος τοπος σημειων. Δ ο σ μ ε ν : Σχεση ευθυγρμμων τμημτων. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Με χρηση του μετρου τμημτων γι τη δοσμενη σχεση κτληγουμε σε εξισωση των συντετγμενων x, y του Μ, που ποτελει τον γεωμετρικο τοπο. Π ρ δ ε ι γ μ Εστω τριγωνο με κορυφες A(3,5), B(,- 4) κι Γ(- 5,- ). Ν ποδειξετε οτι ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ γι τ οποι ισχυει ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ = 07 εινι κυκλος με κεντρο το κεντρο βρους του τριγωνου ΑΒΓ. Εν σημειο M(x, y) εινι σημειο του τοπου, ν κι μονο ν ισχυει MA + MB + MΓ = 07 (x - 3) +(y - 5) +(x - ) +(y + 4) +(x + 5) +(y +) = 07 3x + 3y x + y = 3 = 7 Αρ, ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ εινι ο κυκλος με κεντρο το σημειο Ο(0, 0) κι κτιν ρ = 3. Το κεντρο του κυκλου υτου εινι το κεντρο βρους του τριγωνου ΑΒΓ, φου =0 3 κι =0. 3

31 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθει η εξισωση της πρβολης με : εστι το σημειο Ε(4,0) διευθετουσ την ευθει (δ) : y = - Το σημειο Ε βρισκετι πνω στον ξον x'x οποτε η εξισωση της πρβολης εινι της μορφης : y Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Π ρ β ο λ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης πρβολης. Δ ο σ μ ε ν : Η εστι η η διευθετουσ της πρβολης. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προσδιοριζουμε τη θεση της πρβολης ως προς τους ξονες : Εστι μορφης Ε(, 0) η (δ): x = β, ξονς x x κι τυπος πρβολης y = px. Εστι μορφης Ε(0, ) η (δ): y = β, ξονς y y κι τυπος πρβολης x = py. Προσδιοριζουμε τo p : Εστι μορφης Ε(, 0) η (δ): x = β, τοτε p = η p = - β ντιστοιχ. Εστι μορφης Ε(0, ) η (δ): y = β, τοτε p = η p = - β ντιστοιχ. = px. p Αφου Ε(4,0) τοτε = 4 p = 8 y = 6x Αφου (δ) : y = - τοτε η εστι Ε βρισκετι πνω στον ξον y' y κι η εξισωση της πρβολης εινι της μορφης : x = py. p Ακομη : - = - p = 4 x = 8y Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Π ρ β ο λ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης πρβολης. Δ ο σ μ ε ν : Την εστι (εκτος των ξονων x x η y y) η την κορυφη κι την διευθετουσ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προσδιοριζουμε τη θεση της πρβολης ως προς τους ξονες : Διευθετουσ (δ): x = β, ξονς x x, τυπος πρβολης (y - y0) = p(x - x0). Διευθετουσ (δ): y = β, ξονς y y, τυπος πρβολης (x - x0) = p(y - y0). Προσδιοριζουμε τo p, x0, y0 : p Εστι μορφης Ε(, β), τοτε x + =. 0 p p Διευθετουσ μορφης (δ): x = κ η y = λ, τοτε - + x = κ η - + y = λ ντιστοιχ. 0 0 Κορυφη μορφης Κ(μ, ν), τοτε x0 = μ κι y0 = ν.

32 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρειτε οτι την εξισωση της πρβολης, με : εστι το σημειο Ε(-,) κι διευθετουσ (δ) : x = 3 κορυφη το σημειο Κ(-,) κι διευθετουσ (δ) : x = - 3 Η εξισωση εινι της μορφης : (y - y ) = p(x - x ) φου (δ) y'y. 0 0 Εινι p x + = - 0 Ε(-,) x = 0 y = 0 (δ) : x = 3 y = (y - ) = - 8(x - ) 0 p - + x = 3 p = A λ λ ι ω ς Γι τυχιο σημειο Μ(x, y) της πρβολης εινι : d(m,ε) = d(m,δ) (x + ) + (y - ) = x - 3 (y - ) = (x - 3) - (x + ) (y - ) = (x x - )(x x + ) (y - ) = - 4(x - ) (y - ) = - 8(x - ) Η εξισωση εινι της μορφης : (y - ) = p(x + ) φου η κορυφη εινι Κ (-,). Ομως p p (δ) : x = x = = - 3 p = 4 (y - ) = 8(x + ) 0 Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε σ τ ι ς - Δ ι ε υ θ ε τ ο υ σ ς - K o ρ υ φ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Εστι διευθετουσ κορυφη πρβολης. Δ ο σ μ ε ν : Η εξισωση της πρβολης (εστι πνω στους ξονες). Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προσδιοριζουμε το p π το τυπο της πρβολης y = px η x = py. p p p Εστι : E,0 Διευθετουσ : x = - η y = -. Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθει η εστι κι η διευθετουσ της πρβολης που εχει εξισωση : 4y = - 6x. Eινι p = - 4 p = - 4y = - 6x y = - 4x y = px y = px

33 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Ετσι p - Εστι : E,0 Εστι : E,0 Εστι : E(-,0) p - Διευθετουσ : x = - Διευθετουσ : x = - Διευθετουσ : x = Μ ε θ ο δ ο ς : Π ρ β ο λ η μ ε ε σ τ ι ε κ τ ο ς τ ω ν ξ ο ν ω ν Ζ η τ ο υ μ ε ν : Εστι διευθετουσ κορυφη πρβολης. Δ ο σ μ ε ν : Η εξισωση της πρβολης (εστι εκτος των ξονων). Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προσδιοριζουμε το p π το τυπο της πρβολης (y - y0) = p(x - x0) η (x - x0) = p(y - y0). p Εστι : Ε(x +,y ) p p Διευθετουσ : x = - + x η y = - + y Κορυφη μορφης Κ(x0, y0). Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρειτε τις συντετγμενες της κορυφης κι της εστις της πρβολης κθως κι την εξισωση της διευθετουσς, ν η εξισωση της πρβολης εινι : x = y + x = y + y y = x + 3 x = y + y = x - (y - 0) = (x - ) p 5 Κ(,0) Ε(x +,y ) Ε(+,0) Ε(,0) 4 p= p (δ) : x = - + x (δ) : x = (δ) : x = x = y + y y + y + = x + p= (y - ) = (x + ) p 3 +,y ) Ε(-+,) 4 Ε(,) 4 p (δ) : x = - + x (δ) : x = (δ) : x = Κ(-,) Ε(x0 0 y = x + 3 x = y - 3 (x - 0) = (y - 3) p 3 Κ(0,3) Ε(x, + y ) Ε(0, + 3) 0 0 Ε( 0, ) 4 4 p= p (δ) : y = - + y (δ) : y = (δ) : y = 0 4 4

34 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε ξ ι σ ω σ η Ε φ π τ ο μ ε ν η ς Π ρ β ο λ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Εξισωση εφπτομενης πρβολης. Δ ο σ μ ε ν : Η εξισωση της πρβολης κι ευθει πρλληλη (κθετη) στην εφπτομενη. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Η ζητουμενη ευθει εχει ιδιο συντελεστη διευθυνσης με τη δοσμενη ευθει. Οι συντετγμενες του σημειου επφης επληθευουν την εξισωση της πρβολης. Απ τις εξισωσεις, που προκυπτουν π τ πιο πνω, προσδιοριζουμε τ x, y. Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθουν οι εφπτομενες της πρβολης (c) : y (δ) : x - 3y + 5 = 0. = x που εινι πρλληλες στην ευθει Αν Μ(x,y ) εινι το σημειο επφης, τοτε η εξισωση της εφπτομενης εινι : (ε) : yy = (x + x ) Αφου λ = λ = y = 6 y 3 ε δ Το σημειο Μ νηκει στην πρβολη, οποτε οι συντετγμενες του επληθευουν την εξισωση της. Ετσι y = x 36 = x x = 8 Αρ η εξισωση της εφπτομενης εινι : 6y = (x + 8) 6y = x + 36 x - 3y + 8 = 0 Μ ε θ ο δ ο ς : Α π ο δ ε ι ξ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Ε φ π τ ο μ ε ν η ς Π ρ β ο λ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Αποδειξη οτι ευθει εινι εφπτομενη πρβολης κι ευρεση σημειου επφης. Δ ο σ μ ε ν : Οι εξισωσεις της πρβολης κι της εφπτομενης ευθεις. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Γι ν εινι η δοσμενη ευθει εφπτομενη της πρβολης πρεπει το συστημ των εξισωσεων της πρβολης κι της ευθεις ν εχει μ ο ν δ ι κ η λυση. Η λυση του πιο πνω συστημτος εινι οι συντετγμενες του σημειου επφης. Π ρ δ ε ι γ μ Ν δειξετε οτι η ευθει (ε) : x - 3y + 9 = 0 εφπτετι στην πρβολη (c) : y το σημειο επφης της. = 4x κι ν βρεθει

35 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Γι ν εφπτετι η (ε) στην (c) πρεπει ν εχει μι λυση το συστημ των εξισωσεων τους. Πργμτι y = 4x y = 4(3y - 9) y - y + 36 = 0 (y - 6) = 0 y = 6 x - 3y + 9 = 0 x = 3y - 9 x = 3y - 9 x = 3y - 9 x = 9 Η πιο πνω λυση εινι μονδικη, οποτε η (ε) εφπτετι στην (c) στο σημειο Μ(9,6). Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Ε φ π τ ο μ ε ν η ς Π ρ β ο λ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης εφπτομενης πρβολης κι ευρεση σημειου επφης. Δ ο σ μ ε ν : Η εξισωση της πρβολης κι σημειο π το οποιο διερχετι η εφπτομενη (οχι σημειο επφης). Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Αν το γνωστο σημειο εινι το Α(x o, y o ), τοτε π υτο διερχοντι οι ευθειες με εξισωσεις : x = x o () κι y - y o = λ ( x - x o ) (). Ελεγχουμε ν η ευθει με εξισωση x = x o εινι εφπτομενη (λυνουμε το συστημ με εξισωσεις την () κι την εξισωση της πρβολης). Λυνουμε το συστημ με εξισωσεις την () κι την εξισωση της πρβολης. Προσδιοριζουμε τον συντελεστη διευθυνσης λ της εφπτομενης, πιτωντς ο τριωνυμο που προκυπτει ν εχει μι λυση (δηλδη Δ = 0). Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρειτε τις εφπτομενες της πρβολης (c) : (y - ) = - 4x που διερχετι π'το σημειο Α(,). Οι ευθειες που διερχοντι π'το σημειο Α εινι οι : (ε ) : x = κι (ε ) : y - = λ(x - ). (ε ) : x = (y - ) = 4x (y - ) - 4 = 0 (y - + )(y - - ) = 0 x =, y = 3 x = x = x = x =, y = - Τεμνει την πρβολη στ σημει (,3) κι (,-), οποτε δεν εινι εφπτομενη. (ε ) : y - = λ(x - ) (y - ) = - 4x y - = λ(x - ) (λx - λ) + 4x = 0 λ x - λ x + λ + 4x = 0 λ x - (λ - )x + λ = 0 () Γι ν εφπτετι η (ε ) στην (c), πρεπει η () ν εχει διπλη ριζ (το συστημ των εξισωσεων ν εχει μι λυση), δηλδη : Δ = 0 [- (λ - )] - 4λ λ = 0 4λ 4 Ετσι, οι εφπτομενες εινι : 4-6λ + 6-4λ y - = (x - ) y = x κι y - = - (x - ) y = - x + = 0 λ = λ = ±

36 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Χ ο ρ δ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Η εξισωση της χορδης με κρ τ σημει επφης. Δ ο σ μ ε ν : Σημειο π το οποιο διερχοντι δυο εφπτομενες κι εξισωση πρβολης. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Αν το γνωστο σημειο εινι Ρ(x0,y0) τοτε οι συντετγμενες του επληθευουν την εξισωση της εφπτομενης στ σημει επφης κι πρoκυπτει εξισωση της μορφης y 0 y = p ( x + x 0 ). Π ρ δ ε ι γ μ Εστω η πρβολη y = 4x κι το σημειο Ρ(,3). Αν οι εφπτομενες π το Ρ στην πρβολη, εφπτοντι στ σημει Α κι Β, μ βρειτε την εξισωση της ευθεις που διερχετι π τ σημει Α κι Β. Εινι p =. Αν A ( x, y ) κι Β ( x, y ) τ σημει επφης. Οι εφπτομενες ΡΑ, ΡΒ εχουν εξισωσεις ντιστοιχ: y y = ( x + x ) κι y y = ( x + x ) To σημειο Ρ(, 3) εινι σημειο των ΡΑ κι ΡΒ, οποτε y 3 = ( + x ) κι y 3 = ( + x ) Απ τις πιο πνω εξισωσεις προκυπτει οτι οι συντετγμενες των σημειων Α κι Β επληθευουν την εξισωση : 3 y = ( + x ). Αρ, η ζητουμενη ευθει εινι : 3 y = ( + x ) η x - 3y + = 0 Μ ε θ ο δ ο ς : Α π ο δ ε ι ξ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Π ρ β ο λ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Αποδειξη οτι εξισωση πριστνει εξισωση πρβολης. Δ ο σ μ ε ν : Εξισωσεις ως προς x, y. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Μετσχημτιζουμε τις πρστσεις σε μορφη ( y - y 0 ) = p ( x - x 0 ) η ( x - x 0 ) = p ( y - y 0 ). Π ρ δ ε ι γ μ Ν aποδειχτει οτι oι : y - y + 4x + 9 = 0 κι x + 6x - y +7 = 0 πριστνουν εξισωσεις πρβολων, των οποιων ν βρειτε τη κορυφη κι τον ξον συμμετρις.

37 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Εινι y - y + 4x + 9 = 0 y - y = - 4x - 9 y - y + = - 4x (y - ) = - 4x - 8 που πριστνει πρβολη με κορυφη (y - ) = - 4(x + ) Κ(-,) κι ξον συμμετρις την ευθει με εξισωση y =. Εινι x + 6x - y + 7 = 0 x + 6x = y - 7 x + 6x + 9 = y (x + 3) = y + που πριστνει πρβολη με κορυφη (x + 3) = (y + ) Κ(- 3,- ) ξον συμμετρις κι την ευθει με εξισωση x = - 3. Μ ε θ ο δ ο ς : Ε σ ω τ ε ρ ι κ ο Σ η μ ε ι ο Π ρ β ο λ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Αποδειξη οτι σημειο εινι εσωτερικο της πρβολης. Δ ο σ μ ε ν : Η εξισωση της πρβολης κι σημειο. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Αν Α(x, y0) σημειο πνω στη πρβολη κι Μ(x, y) (ιδι τετμημενη) τοτε το Μ εινι εσωτερικο της πρβολης ν κι μονο ν y < p x (γι c : y = p x ). Πργμτι Αν Α c, τοτε y 0 = p x () Γι ν εινι το Μ εσωτερικο της c, πρεπει y < y 0 η y < y 0 (). Απο () κι () προκυπτει : y < p x Ομοι, Αν Α(x0, y), Μ(x, y), c : x = p y τοτε x < p y

38 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Π ρ δ ε ι γ μ Δειξτε οτι το σημειο Μ(,) εινι εσωτερικο της πρβολης : c : y = 6x. Θεωρουμε σημειο Α(,y ) της πρβολης. Τοτε y = 6 y = 6 () ( ) 0 Γι ν εινι το σημειο Μ(,) εσωτερικο της πρβολης πρεπει : < y < y 4 < 6 που ληθευει. Λ ι γ ο λ λ ι ω ς Θεωρουμε σημειο Α(,y ) της πρβολης. Τοτε y = 6 y = 6 () Γι ν εινι το σημειο Μ(,) εσωτερικο της πρβολης πρεπει : d(m,x'x) < d(a,x'x) y + 0 < < y ( ) < y < 6 που ληθευει. Μ ε θ ο δ ο ς : Μ ε Ε φ π τ ο μ ε ν ο Κ υ κ λ ο Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης κυκλου (κτιν του). Δ ο σ μ ε ν : Η εξισωση της πρβολης κι το κεντρο του κυκλου. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Απιτουμε το συστημ των εξισωσεων κυκλου κι πρβολης ν εχει μ ο ν δ ι κ η λυση. Π ρ δ ε ι γ μ Δινετι κυκλος με κεντρο Κ(3,0) που εφπτετι στην πρβολη y = x. Ν βρεθει η εξισωση του κυκλου. Ο κυκλος εχει εξισωση : (x - 3) + y = ρ () Γι ν εφπτετι ο κυκλος στην πρβολη πρεπει το συστημ των εξισωσεων τους ν εχει

39 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς μι λυση. Ο κυκλος εχει εξισωση : (x - 3) + y = ρ () Γι ν εφπτετι ο κυκλος στην πρβολη πρεπει το συστημ των εξισωσεων τους ν εχει μι λυση. Ετσι (x - 3) + y = ρ y = x (x - 3) + x = ρ x - 6x x = ρ x - 4x ρ = 0 Η τελευτι γι ν εχει μι λυση πρεπει : Δ = 0 4-4(9 - ρ ) = ρ = 0 4ρ = 0 ρ = 5 Οποτε η () δινει : (x - 3) + y = 5 Μ ε θ ο δ ο ς : Κ ο ι ν η Ε φ π τ ο μ ε ν η Π ρ β ο λ η ς - Κ υ κ λ ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση κοινης εφπτομενης πρβολης - κυκλου. Δ ο σ μ ε ν : Οι εξισωσεις της πρβολης κι του κυκλου. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Η ζητουμενη εινι της μορφης y = λ x +β (). Δημιουργουμε τ συστημτ με την () κι κθεμι π τις εξισωσεις κυκλου - πρβολης. Προκυπτει συστημ με γνωστους τ λ, β που λυνοντς το βρισκουμε το ζητουμενο μεσω της (). Π ρ δ ε ι γ μ Δινοντι : ο κυκλος c : (x + ) + y = κι η πρβολη c : y = 30 x. Na βρεθουν οι κοινες εφπτομενες του κυκλου κι της πρβολης. Εστω (ε) : y = λx + β η ζητουμενη ευθει. Εινι y=λx + β y = 30x λ x + λβx + β = 30x λ x + (λβ - 5)x + β = 0 Η πιο πνω εξισωση πρεπει ν εχει μι λυση γιτι η ευθει (ε) εινι εφπτομενη της c. Aρ Δ = 0 [(λβ - 5)] - 4λ β = 0 4λ β - 0λβ λ β = 0 0λβ = 900 λβ = 5 ()

40 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Εινι y=λx + β (x + ) + y = x + x + + λ x + λβx + β = (λ + )x + (+ λβ)x + β = 0 Η πιο πνω εξισωση πρεπει ν εχει μι λυση γιτι η ευθει (ε) εινι εφπτομενη της c. Aρ Δ = 0 [(+ λβ)] - 4(λ + )β = λβ + 4λ β ( ) -4λβ 4 + 8λβ - 4β = β = 0 4β = 64 β = 6 β = 4 Ετσι Γι β = 4 τοτε 5 λ 4 = 5 λ = κι 8 5 η (ε) : y = x + 4 η 5x - 8y + 4 = 0 8 Γι β = - 4 τοτε 5 λ (- 4) = 5 λ = - κι 8 5 η (ε) : y = - x + 4 η 5x + 8y - 4 = 0 8-4β = 0 Μ ε θ ο δ ο ς : Π ρ β ο λ η - Κ υ κ λ ο ς π ο υ ε φ π τ ο ν τ ι Ζ η τ ο υ μ ε ν : Αποδειξη οτι εφπτοντι πρβολη κι κυκλος. Δ ο σ μ ε ν : Οι εξισωσεις της πρβολης κι του κυκλου. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Λυνουμε το συστημ των εξισωσεων του κυκλου κι της πρβολης κι βρισκουμε τ κοιν σημει. Γι κθε κοινο σημειο βρισκουμε την εφπτομενη της πρβολης κι ελεγχουμε ν εινι κι εφπτομενη του κυκλου. Π ρ δ ε ι γ μ Ν ποδειχτει οτι ο κυκλος (x - 3) + y = 8 εφπτετι της πρβολης (Δηλδη, εχουν τις ιδιες εφπτομενες στ κοιν σημει τους). y = 4x. Τ κοιν σημει του κυκλου κι της πρβολης βρισκοντι πο τη λυση του συστημτος των εξισωσεων τους. Εχουμε λοιπον:

41 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς x = y = (x - 3) + y = 8 (x - 3) + 4x = 8 x = η. y = 4x y = 4x y = 4x x = y = - Επομενως, υπρχουν δυο κοιν σημει, το Α(, ) κι το Β(, - ). Η εξισωση εφπτομενης της πρβολης στο Α εινι y = (x + ) x - y + = 0. Η ευθει υτη εφπτετι κι του κυκλου, φου η ποστση του κεντρου Κ(3, 0) του κυκλου πο υτη εινι ιση με την κτιν του ρ = 8. Πργμτι, d = = = 8 + Επειδη ο ξονς x x εινι ξονς συμμετρις κι του κυκλου κι της πρβολης κι το Β(,-) εινι συμμετρικο του Α(,) ως προς τον xx, ο κυκλος κι η πρβολη εχουν κοινη εφπτομενη κι στο Β. Η εξισωση της εφπτομενης υτης εινι η x + y + = 0. Μ ε θ ο δ ο ς : Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ο ς Τ ο π ο ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση γεωμετρικου τοπου του σημειου Μ(x0, y0). Δ ο σ μ ε ν : Η εξισωση της πρβολης κι ιδιοτητ χρκτηριστικου σημειου. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προκειμενου ν βρουμε τον γεωμετρικο τοπο του σημειου Μ(x0, y0) Απο συνδισμο των δοσμενων σχεσεων κτληγουμε σε εξισωση των συντετγμενων x0, y0 του Μ, που ποτελει τον γ.τ. Αν οι συντετγμενες x0, y0 του σημειου Μ συνδεοντι με πρμετρο λ, τοτε πλειφουμε την πρμετρο μετξυ των συντετγμενων κι κτληγουμε σε εξισωση που εινι συνρτηση των x0, y0. Π ρ δ ε ι γ μ Εστω εν σημειο Α της πρβολης y κυκλων διμετρου ΑΕ (Ε η εστι της πρβολης). = 4x. Ν βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των κεντρων των

42 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Εστω Α(x,y ). Eινι 0 0 y = 4x y = x, oποτε p = p Ε,0 η Ε(,0) p (ΑΕ) = x + = x To κεντρο του κυκλου διμετρου ΑΕ εινι το μεσο της ΑΕ, δηλδη x + y 0 0 Κ, κι η κτιν ρ = x + 0 x= y y= ΑΕ x + 0 =. 0 Α ν K(x, y) τοτε () 0 0 x = x - y = y Οι συντετγμενες του σημειου Α, x, y επληθευουν την εξισωση της πρβολης. Ετσι 0 0 () 0 0 y = 4x (y) = 4 (x - ) 4 y = 4 (x - ) y = x - Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των κορυφων των πρβολων με εξισωση : y = x +(λ + 3)x + λ -, λ. Η δοσμενη εξισωση γινετι y = x + (λ + 3)x + λ - λ + 3 λ + 3 λ + 3 y = x + x λ - λ + 3 λ + 6λ + 9 4λ 4 y = x

43 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς λ + 3 λ + 6λ + 9-4λ + 4 y = x λ + 3 λ + λ + 3 y = x y + = x + 4 λ + λ + 3 λ + 3 Δηλδη, οι κορυφες των πρβολων εινι της μορφης Κ-,- 4 Γι τυχι κορυφη Κ(x,y) της πρβολης ισχυει : λ + 3 x=- y = - 4 λ = - x - 3 y = - λ + λ + 3 λ + λ y = (- x - 3) + (- x - 3) + 3-4y = 4x + x + 9-4x y = 4x + 8x + 6 y = - x - x - 4 y + 3 = - x - x - y + 3 = - (x + ) λ + 3 λ + λ + 3 H πιο πνω πρβολη εινι ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος.

44 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Ε λ λ ε ι ψ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης ελλειψης. Δ ο σ μ ε ν : Οι εστιες (πνω στους ξονες x x η y y) κι ο μεγλος ξονς. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προσδιοριζουμε τ κι β πο : Ε Ε = γ, Α Α = κι β = γ. Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρειτε την εξισωση της ελλειψης, ν εχει εστιες τ σημει Ε'(0,-3), Ε(0,3) κι μεγλο ξον 8. x y Η εξισωση εχει μορφη : + = (οι εστιες πνω στον ξον y'y). β = 8 = 4 = 6 x y γ = 6 γ = 3 (c) : + = β = - γ β = 6-9 β = Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Ε λ λ ε ι ψ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης ελλειψης. Δ ο σ μ ε ν : Οι εστιες (πνω στους ξονες x x η y y) κι η εκκεντροτητ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προσδιοριζουμε τ κι β πο : Ε Ε = γ, ε = γ κι β = - γ. Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρειτε την εξισωση της ελλειψης, εχει εστιες τ σημει Ε'(- 3,0), Ε(3,0) κι εκκεντροτητ 3 γ =. 4 x y Η εξισωση εχει μορφη : + = (οι εστιες πνω στον ξον x'x). β γ = 6 γ = 3 γ = 3 γ 3 3 = 6 x y ε = = = 4 (c) : + = 4 β = - γ β = 6-9 β = 7 β = 7 6 7

45 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Ε λ λ ε ι ψ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης ελλειψης. Δ ο σ μ ε ν : Η ελλειψη διερχετι πο γνωστ σημει (Οι εστιες πνω στους ξονες x x η y y). Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Οι συντετγμενες των γνωστων σημειων επληθευουν την εξισωση της ελλειψης. Απ τη λυση του συστημτος που προκυπτει, προσδιοριζουμε τ κι β. Π ρ δ ε ι γ μ 7 Ν βρειτε την εξισωση της ελλειψης, ν διερχετι π'τ σημει Α(4, 0), Β(3, ) κι εχει εστιες 4 πνω στον ξον x'x. x y Η εξισωση εχει μορφη : + = (οι εστιες πνω στον ξον x'x). β Οι συντετγμενες των σημειων Α κι Β, επληθευουν την πιο πνω εξισωση. Ετσι = β x y Α : + = β = 6 = 6 = 6 x y x y + = = Β : + = 6 6β 6β β = 7 β + = β (c) : + = 6 7 Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε σ τ ι ω ν Κ ο ρ υ φ ω ν Α ξ ο ν ω ν Ε κ κ ε ν τ ρ ο τ η τ ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση Εστιων Κορυφων Αξονων Εκκεντροτητς ελλειψης. Δ ο σ μ ε ν : Η εξισωση της ελλειψης. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : x y Φερνουμε την εξισωση σε μορφη + =. β Προσδιοριζουμε τ κι β, μεσ π την πιο πνω εξισωση κι τ γ κι ε πο ε = γ κι β = - γ. Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρειτε τ μηκη των ξονων, τις εστιες κι την εκκεντροτητ των ελλειψεων: (i) x + 4y = 4 (ii) 69x + 44y = 4336.

46 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς (i) Η εξισωση Ετσι εχουμε x + 4y = 4 γρφετι ισοδυνμ γ = - = 3, οποτε γ = 3 Β Β = β = κι Α Α = = 4 4x 8 x Αφου λ = λ - = - y = () ε δ 9y 9 y x + = οι εστιες εινι τ σημει E (- 3,0) κι E( 3,0). γ 3 ε = =. (ii) Η εξισωση 69x + 44y = 4336 γρφετι ισοδυνμ, οποτε εινι = κι β =. 69x 44y x y x y + = + = + = π οπου προκυπτει οτι = 3, β = κι γ = = 5 = 5 Β Β = β = 4 κι Α Α = = 6 οι εστιες εινι τ σημει E (- 5,0) γ 5 ε = = 3. Π ρ δ ε ι γ μ κι E(0,5). Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Ε φ π τ ο μ ε ν η ς Ε λ λ ε ι ψ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης εφπτομενης ελλειψης. Δ ο σ μ ε ν : Ευθει πρλληλη (κθετη) στην εφπτομενη, κι η εξισωση ελλειψης. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Η ζητουμενη ευθει εχει ιδιο συντελεστη διευθυνσης με τη δοσμενη ευθει (η το γινομενο των συντελεστων διευθυνσης ισο με -, ν εινι κθετες). Οι συντετγμενες του σημειου επφης επληθευουν την εξισωση της δοσμενης ευθεις κι την εξισωση της ελλειψης. Αν η ζητουμενη εινι της μορφης y = λ x + β () (λ της δοσμενης) τοτε λυνουμε το συστημ των () κι εξισωσης ελλειψης π το οποιο προκυπτει τριωνυμο ως προς β, γι το οποιο πιτουμε ν εχει μ ο ν δ ι κ η λυση (Δ = 0). Ν βρειτε τις εξισωσεις των εφπτομενων της ελλειψης (c) : 4x + 9y = 36, ν εινι πρλληλη με την ευθει (ζ) : x + y =. Αν Μ(x,y ) το σημειο επφης, τοτε η εξισωση της εφπτομενης εινι :(ε) : 4xx + 9yy = 36 (Ι)

47 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Το σημειο Μ νηκει στην ελλειψη, οποτε οι συντετγμενες του επληθευουν την εξισωση της. Ετσι () 8x 64x 4x + 9y = 36 4x + 9 = 36 4x + = 36 36x + 64x = 34 00x = x = x = x = 0 5 () Γι x = y = η (I) : 4 x + 9 y = 36 x + y = x + y = () Γι x = - y = - η (I) : 4 x y - = 36 - x - y = x + y = A λ λ ι ω ς Η ζητουμενες εφπτομενες εινι της μορφης (ε) : x + y = κ φου εινι (ε) (ζ). Γι ν εινι η (ε) εφπτομενη στην (c) πρεπει το συστημ των εξισωσεων τους ν εχει μι μονο λυση. Ετσι 4x + 9y = 36 4(κ - y) + 9y x + y = κ x=κ-y 5y - 6κy + 4κ - 36 = 0 () x = κ - y = 36 4κ - 6κy + 6y + 9y = 36 Γι ν εχει η () μι λυση πρεπει : Δ = 0 56κ (4κ - 36) = 0 56κ - 400κ = 0 44κ = 3600 κ = 5 κ = ± 5 Αρ, οι ζητουμενες εφπτομενες εινι : (ε) : x + y = 5 η (ε) : x + y = - 5. Μ ε θ ο δ ο ς : Α π ο δ ε ι ξ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Ε φ π τ ο μ ε ν η ς Ε λ λ ε ι ψ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Αποδειξη οτι ευθει εινι εφπτομενη ελλειψης κι ευρεση σημειου επφης. Δ ο σ μ ε ν : Οι εξισωσεις της ελλειψης κι της εφπτομενης ευθεις. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Γι ν εινι η δοσμενη ευθει εφπτομενη της ελλειψης πρεπει το συστημ των εξισωσεων της ελλειψης κι της ευθεις ν εχει μ ο ν δ ι κ η λυση. Η λυση του πιο πνω συστημτος εινι οι συντετγμενες του σημειου επφης. Π ρ δ ε ι γ μ Ν δειξετε οτι η (ζ) : x + y = 5 εινι εφπτομενη της ελλειψης (c) : 4x + 9y = 36 κι ν βρειτε το σημειο επφης. Π ρ δ ε ι γ μ

48 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Λυνουμε το συστημ των εξισωσεων της ευθεις (ζ) κι της ελλειψης c. 4x + 9y = 36 4(5 - y) + 9y = y + 6y + 9y = 36 x + y = 5 x = 5 - y x = 5 - y x = 5 - y y + 5y = 36 5y y + 64 = 0 (5y) - (5y) = 0 x = 5 - y x = 5 - y 8 8 5y - 8 = 0 y = y = x = 5 - y x = 5 - y 8 9 x = 5 - x = η ευθει (ζ) εινι εφπτομενη της ελλειψης c, με σημειο επφης το,. 5 5 (5y - 8) = H λυση εινι μονδικη, ρ Μ ε θ ο δ ο ς : Α π ο δ ε ι ξ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Ε φ π τ ο μ ε ν η ς Ε λ λ ε ι ψ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Αποδειξη οτι ευθει εινι εφπτομενη ελλειψης κι ευρεση σημειου επφης. Δ ο σ μ ε ν : Η εξισωση της ελλειψης κι σημειο π το οποιο διερχετι η εφπτομενη (οχι σημειο επφης). Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Αν το γνωστο σημειο εινι το Α(x o, y o ), τοτε π υτο διερχοντι οι ευθειες με εξισωσεις : x = x o () κι y - y o = λ ( x - x o ) (). Ελεγχουμε ν η ευθει με εξισωση x = x o εινι εφπτομενη (λυνουμε το συστημ με εξισωσεις την () κι την εξισωση της ελλειψης). Λυνουμε το συστημ με εξισωσεις την () κι την εξισωση της ελλειψης. Προσδιοριζουμε τον συντελεστη διευθυνσης λ της εφπτομενης, πιτωντς το τριωνυμο που προκυπτει ν εχει μι λυση (δηλδη Δ = 0). Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρειτε τις εφπτομενες της ελλειψης (c) : 3x + y = 3 που διερχoντι π'το σημειο Α(,0). Οι ευθειες που διερχοντι π'το σημειο Α εινι οι : (ε ) : x = κι (ε ) : y = λ(x - ). (ε ) : x = x = x = x = 3x + y = y = y = - 0 δυντο Δεν εχει κοιν σημει με την ελλειψη, οποτε δεν εινι εφπτομενη.

49 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς (ε ) : y = λ(x - ) y=λ(x - ) y = λ(x - ) 3x + y = 3 3x +[λ(x - )] = 3 3x + λ x - 4λ x + 4λ = 3 Γι ν εφπτετι η (ε ) στην (c), πρεπει η () ν εχει διπλη ριζ (το συστημ των εξισωσεων ν εχει μι λυση), δηλδη : (3 + λ )x - 4λ x + 4λ - 3 = 0 () Δ = 0 (- 4λ ) - 4(3 + λ )(4λ - 3) = 0 6λ λ λ + λ = 0 36λ = 36 λ = λ = Ετσι, οι εφπτομενες εινι : y = (x - ) y = x - κι y = - (x - ) y = - x + Μ ε θ ο δ ο ς : Ε ξ ι σ ω σ η Χ ο ρ δ η ς Ε λ λ ε ι ψ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Η εξισωση της χορδης με κρ τ σημει επφης. Δ ο σ μ ε ν : Η εξισωση της ελλειψης κι σημειο π το οποιο διερχοντι δυο εφπτομενες. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Αν το γνωστο σημειο εινι Ρ(x0,y0) τοτε οι συντετγμενες του επληθευουν την εξισωση της εφπτομενης στ σημει επφης κι πρoκυπτει εξισωση της μορφης x x y y = β Π ρ δ ε ι γ μ Εστω η πρβολη 3x + y = 3κι το σημειο Ρ(,). Αν οι εφπτομενες π το Ρ στην ελλειψη, εφπτοντι στ σημει Α κι Β, μ βρειτε την εξισωση της ευθεις που διερχετι π τ σημει Α κι Β. Αν A ( x, y ) κι Β ( x, y ) τ σημει επφης. Οι εφπτομενες ΡΑ, ΡΒ εχουν εξισωσεις ντιστοιχ: 3x x + y y = 3 κι 3x x + y y = 3 To σημειο Ρ(, ) εινι σημειο των ΡΑ κι ΡΒ, οποτε 3 x + y = 3 3x + y = 3 () 3 x + y = 3 3 x + y = 3 Απ την () προκυπτει οτι οι συντετγμενες των σημειων Α κι Β επληθευουν την εξισωση : 3x + y = 3. Αρ, η ζητουμενη ευθει εινι : 3x + y - 3 = 0

50 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε σ ω τ ε ρ ι κ ο - Ε ξ ω τ ε ρ ι κ ο Σ η μ ε ι ο Ε λ λ ε ι ψ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Εσωτερικο (εξωτερικο) σημειο ελλειψης. Δ ο σ μ ε ν : Η εξισωση της ελλειψης κι σημειο π το οποιο διερχοντι δυο εφπτομενες. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : x y Το σημειο Μ(x, y) εινι εσωτερικο της ελλειψης ν κι μονο ν + <. β Πργμτι, ν Α(x0, y0) το σημειο τομης της ΟΜ κι της c, τοτε (ΟΜ) < (ΟΚ) η x < x η x < x0 () y H ευθει OM εχει εξισωση y = x x σε συνδισμο με την x y + = προκυπτει β β x β x x = x = () φου οι ΟΜ κι ΟΑ τυτιζοντι 0 β x + y β x + y Απο (), (): β x x y x < β x + y < β + <. β x + y β Ανλογ, ν το σημειο Μ(x, y) εινι εξωτερικο της ελλειψης τοτε x y + > β Π ρ δ ε ι γ μ Δειξτε οτι το σημειο Μ(,) εινι εξωτερικο της ελλειψης : c : 3x + y = 3. Εινι =, β = 3 Ετσι x y 4 + = + = + > β 3 3 Αρ το Μ εινι εξωτερικο της ελλειψης. Μ ε θ ο δ ο ς : Μ ε Ε φ π τ ο μ ε ν ο Κ υ κ λ ο Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης κυκλου (κτιν του). Δ ο σ μ ε ν : Η εξισωση της ελλειψης κι το κεντρο του κυκλου. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Απιτουμε το συστημ των εξισωσεων κυκλου κι ελλειψης ν εχει μ ο ν δ ι κ η λυση.

51 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Π ρ δ ε ι γ μ Δινετι κυκλος με κεντρο Κ(,0) που εφπτετι στην ελλειψη 3x + y = 3. Ν βρεθει η εξισωση του κυκλου. Ο κυκλος εχει εξισωση : (x - ) + y = ρ () Γι ν εφπτετι ο κυκλος στην ελλειψη πρεπει το συστημ των εξισωσεων τους ν εχει μι λυση. Ετσι (x - ) + y = ρ (x - ) - 3x + 3 = ρ 3x + y = 3 y = - 3x +3 x - 4x + 4-3x + 3 = ρ x + 4x + ρ -7 = 0 Η τελευτι γι ν εχει μι λυση πρεπει : Δ = (ρ - 7) = 0 6-8ρ + 56 = 0 8ρ = 7 ρ = 9 Οποτε η () δινει : (x - ) + y = 3 Μ ε θ ο δ ο ς : Κ ο ι ν η Ε φ π τ ο μ ε ν η Ε λ λ ε ι ψ η ς - Κ υ κ λ ο υ Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση κοινης εφπτομενης ελλειψης - κυκλου. Δ ο σ μ ε ν : Οι εξισωσεις της ελλειψης κι του κυκλου. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Η ζητουμενη εινι της μορφης y = λ x +β (). Δημιουργουμε τ συστημτ με την () κι κθεμι π τις εξισωσεις κυκλου - ελλειψης. Προκυπτει συστημ με γνωστους τ λ, β (λυνοντς το βρισκουμε το ζητουμενο μεσω της ()). Π ρ δ ε ι γ μ Δινοντι : ο κυκλος c : (x + ) + y = κι η πρβολη c : 3x + y = 3x. Na βρεθουν οι κοινες εφπτομενες του κυκλου κι της ελλειψης. Εστω (ε) : y = λx + β η ζητουμενη ευθει. y=λx + β 3x + y = 3 Η πιο πνω εξισωση πρεπει ν εχει μι λυση γιτι η ευθει (ε) εινι εφπτομενη της c. y=λx + β x + x + (x + ) + y = 3x + (λx + β) = 3 3x + λ x + λβx + β = 3 (3 + λ )x + λβx + β - 3 = 0 Aρ Δ = 0 (λβ) - 4(3 + λ )(β - 3) = 0 4λ β + λ x + λβx + β = - β λ β + λ = 0 λ -β = - 4 () (λ + )x + (+ λβ)x + β = 0

52 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Η πιο πνω εξισωση πρεπει ν εχει μι λυση γιτι η ευθει (ε) εινι εφπτομενη της c. Aρ Δ = 0 [(+ λβ)] - 4(λ + ) β = λβ + 4λ β ( ) Γι β = 4 τοτε λ - 6 = - 4 λ = λ = 3-4λβ 4 + 8λβ - 4β = β = 0 4β = 64 β = 6 β = 4 Ετσι -4β = 0 Γι β = 4 κι λ = 3 η (ε) : y = 3x + 4 Γι β = - 4 κι λ = 3 η (ε) : y = 3x - 4 Γι β = 4 κι λ = - 3 η (ε) : y = - 3x + 4 Γι β = - 4 κι λ = - 3 η (ε) : y = - 3x - 4 Μ ε θ ο δ ο ς : Ε λ λ ε ι ψ η - Κ υ κ λ ο ς π ο υ ε φ π τ ο ν τ ι Ζ η τ ο υ μ ε ν : Αποδειξη οτι εφπτοντι ελλειψη κι κυκλος. Δ ο σ μ ε ν : Οι εξισωσεις της ελλειψης κι του κυκλου. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Λυνουμε το συστημ των εξισωσεων του κυκλου κι της ελλειψης κι βρισκουμε τ κοιν σημει. Γι κθε κοινο σημειο βρισκουμε την εφπτομενη της ελλειψης κι ελεγχουμε ν εινι κι εφπτομενη του κυκλου. Π ρ δ ε ι γ μ Ν ποδειχτει οτι ο κυκλος x + y = 3 εφπτετι της ελλειψης (Δηλδη, εχουν τις ιδιες εφπτομενες στ κοιν σημει τους). x + 9y = 9. Τ κοιν σημει του κυκλου κι της ελλειψης βρισκοντι πο τη λυση του συστημτος των εξισωσεων τους. Εχουμε λοιπον: η x + 9y = 9 x + y = x + 9y y = 0 y = 0 y = 0 x + y = 9 x + y = 9 x = 9 x = 3 x = - 3 Επομενως, υπρχουν δυο κοιν σημει, το Α(3, 0) κι το Β(- 3, 0). Η εξισωση εφπτομενης της ελλειψης στο Α εινι x y 0 = 9 x = 3. Η ευθει υτη εφπτετι κι του κυκλου, φου η ποστση του κεντρου Κ(0, 0) του κυκλου πο υτη εινι ιση με την κτιν του ρ = 3. Η εξισωση εφπτομενης της ελλειψης στο Β εινι x (- 3) + 9 y 0 = 9 x = - 3. Η ευθει υτη εφπτετι κι του κυκλου, φου η ποστση του κεντρου Κ(0, 0) του κυκλου πο υτη εινι ιση με την κτιν του ρ = d = = = = 3 = ρ

53 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ο ς Τ ο π ο ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση γεωμετρικου τοπου του σημειου Μ(x0, y0). Δ ο σ μ ε ν : Η εξισωση της ελλειψης κι ιδιοτητ χρκτηριστικου σημειου. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προκειμενου ν βρουμε τον γεωμετρικο τοπο του σημειου Μ(x0, y0) Απο συνδισμο των δοσμενων σχεσεων κτληγουμε σε εξισωση των συντετγμενων x0, y0 του Μ, που ποτελει τον γ.τ. Αν οι συντετγμενες x0, y0 του σημειου Μ συνδεοντι με πρμετρο λ, τοτε πλειφουμε την πρμετρο μετξυ των συντετγμενων κι κτληγουμε σε εξισωση που εινι συνρτηση των x0, y0. Π ρ δ ε ι γ μ Εστω η ελλειψη 3x + y = 3 κι η ευθει ε : y = x + 3. Ν βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των μεσων των χορδων της ελλειψης που εινι πρλληλες στην ευθει ε. Εστω Μ(x,y ) τυχιο σημειο του γεωμετρικου τοπου. 0 0 Το Μ εινι μεσο της χορδης ΑΒ. Aν Α(x,y ) κι B(x,y ) τοτε : x + x y + y x = κι y = () 0 0 Ακομη y - y ΑΒ ε λ = λ = () ΑΒ ε x - x Οι συντετγμενες των Α, Β επληθευουν την εξισωση της ελλειψης, οποτε : x y + = (- ) 3 x x y y = 0 (x + x )(x - x ) + (y + y )(y - y ) = 0 x y = 3 () y - y (x + x ) + (y + y ) = 0 x + y = 0 x + y = 0 3 x + y = x - x ( ) 3 3 Α ρ ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος : 3x + y = 0

54 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Π ρ δ ε ι γ μ Δινοντι οι εξισωσεις (ε ) : 5y = 3λ(x + 5) κι (ε ) : 5λy = 3(5 - x), λ 0. Ν δειχτει οτι : οι πιο πνω εξισωσεις πριστνουν ευθειες, που τεμνοντι γι κθε λ το σημειο τομης τους κινειτι σε μι ελλειψη, της οποι ν βρειτε τις εστιες κι την εκκεν - τροτητ. Στις εξισωσεις (ε ) κι (ε ), οτν ο ενς γνωστος μηδενιζετι ο λλος εινι διφορετικος του μηδενος (δεν μηδενιζουν τυτοχρον οι δυο γνωστοι) γι κθε λ 0. Ετσι οι (ε ) κι (ε ), πριστνουν ευθειες. Ομως λx - y = -λ λ - κι D = = λ + 0 x + λy = λ που σημινει οτι το συστημ εχει λυση, οποτε οι δυο ευθειες τεμνοντι. * Εινι () λx - y = -λ y = λx + λ x + λy = λy = - x λy = - 4λ(x + )(x - ) λy = - 4λx + 4λ y + 4x = 4 y x + = 4 Ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος εινι ελλειψη με εστιες πνω στον ξον y'y. Ακομη = 4 β = οποτε γ = 4 - = 3 Ετσι, ε = γ 3 ε= κι Ε'(0,- 3 ), Ε(0, 3 ).

55 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Υ π ε ρ β ο λ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης υπερβολης. Δ ο σ μ ε ν : Οι εστιες (πνω στους ξονες x x η y y) κι οι κορυφες. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προσδιοριζουμε τ κι β πο : Ε Ε = γ, Α Α = κι β = γ -. Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρειτε την εξισωση της υπερβολης, ν εχει εστιες τ σημει Ε'(0,-3), Ε(0,3) κι κορυφες τ σημει Α'(0,- ) κι Α(0,). y x Η εξισωση εχει μορφη : - = φου οι εστιες πνω στον ξον y'y. β = 4 = = 4 y x γ = 6 γ = 3 (c) : - = β = γ - β = 9-4 β = Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Υ π ε ρ β ο λ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης υπερβολης. Δ ο σ μ ε ν : Οι εστιες (πνω στους ξονες x x η y y) κι η εκκεντροτητ. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προσδιοριζουμε τ κι β πο : Ε Ε = γ, ε = γ κι β = γ -. Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρειτε την εξισωση της υπερβολης, εχει εστιες τ σημει Ε'(- 4,0), Ε(4,0) κι εκκεντροτητ 4 γ =. 3 x y Η εξισωση εχει μορφη : φου οι εστιες πνω στον ξον x'x. - = β γ = 8 γ = 4 γ = 4 γ 4 4 = 9 x y ε = = = 3 (c) : - = 3 β = γ - β = γ - β = 6-9 β = 7 9 7

56 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Υ π ε ρ β ο λ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης υπερβολης. Δ ο σ μ ε ν : Η υπερβολη διερχετι πο γνωστ σημει (Οι εστιες στους ξονες x x η y y). Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Οι συντετγμενες των γνωστων σημειων επληθευουν την εξισωση της υπερβολης. Απ τη λυση του συστημτος που προκυπτει, προσδιοριζουμε τ κι β. Π ρ δ ε ι γ μ 5 Ν βρειτε την εξισωση της υπερβολης, ν διερχετι π'τ σημει Α(4, 0), Β(3, ) κι εχει 4 εστιες πνω στον ξον x'x. x y Η εξισωση εχει μορφη : - = (οι εστιες πνω στον ξον x'x). β Οι συντετγμενες των σημειων Α κι Β, επληθευουν την πιο πνω εξισωση. Ετσι = β x y Α : - = β = 6 = 6 = 6 x (c) : - y = x y - = = Β : - = 6 6β 6β β = 6 β - = β Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Υ π ε ρ β ο λ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης υπερβολης. Δ ο σ μ ε ν : Η υπερβολη διερχετι πο γνωστ σημει (Οι εστιες στους ξονες x x η y y). Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Δικρινουμε δυο περιπτωσεις (σε ποιο ξον νηκουν οι εστιες). Προσδιοριζουμε τ κι β πο : β = γνωστο κι σημειο νηκει στην υπερβολη. Γι κθε περιπτωση ελεγχουμε ν οι συντετγμενες του γνωστου σημειου επληθευουν την εξισωση της υπερβολης. Π ρ δ ε ι γ μ 4 Ν βρειτε την εξισωση της υπερβολης ν εχει συμπτωτες τις ευθειες y = x κι 3 4 y = - x κι διερχετι πο το σημειο M(3,4). 3

57 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Αφου εχει συμπτωτες τις ευθειες β 4 = 3 4, η β = 3. Δικρινουμε δυο περιπτωσεις: 4 y = x 3 κι 4 y = - x 3, τοτε Η υπερβολη εχει τις εστιες της στον ξον x'x με εξισωση y x - = x y x 9y Ετσι, η (): - = - = () Επειδη, επιπλεον, το σημειο M(3,4) νηκει στην υπερβολη, θ ισχυει (3 ) = - = = 9 = 3 6 Επομενως, λογω της (), η εξισωση της υπερβολης εινι η : Η υπερβολη εχει τις εστιες της στον ξον y'y με εξισωση β y 9 6 x - = y x - = β y x y 9x Ετσι, η (3): - = - = (4) Επειδη, επιπλεον, το σημειο M(3,4) νηκει στην υπερβολη, θ ισχυει 4 9 (3 ) = - = δυντη. 6 Οποτε δεν υπρχει υπερβολη με εστιες στον ξον y'y. (). (3) Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε σ τ ι ω ν Α σ υ μ π τ ω τ ω ν Ε κ κ ε ν τ ρ ο τ η τ ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση Εστιων, Ασυμπτωτων, Εκκεντροτητς. Δ ο σ μ ε ν : Η υπερβολη διερχετι πο γνωστ σημει (Οι εστιες στους ξονες x x η y y). Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : x y Φερνουμε την εξισωση σε μορφη - =. β Προσδιοριζουμε τ κι β, μεσ π την πιο πνω εξισωση κι τ γ κι ε πο ε = γ κι β = γ - Προσδιοριζουμε τις συμπτωτες πο: β β y = η y = -.

58 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρειτε τις εστιες, την εκκεντροτητ κι τις συμπτωτες της υπερβολης: 9x - 6y = 44 x - y = 4 44x - 5y = Εινι, 9x 6y x y 9x -6y = 44 - = - = Επομενως, = 4 κι β = 3, οποτε Αρ, η υπερβολη εχει : εστιες τ σημει E (- 5,0) εκκεντροτητ 5 ε= 4 κι, E(5,0), γ = +β = 5. συμπτωτες τις ευθειες y = 3 x 4, 3 y = - x 4. Εινι, x y. x - y = 4 - = Επομενως, = κι β =, οποτε Αρ, η υπερβολη εχει εστιες τ σημει E (-,0), E(,0), εκκεντροτητ ε = κι συμπτωτες τις ευθειες y = x, y = - x. γ = +β =. Εινι, 44x 5y x y 44x - 5y = = - = Επομενως, = 5 κι β =, οποτε Αρ, η υπερβολη εχει εστιες τ σημει E (- 3,0), E(3,0), εκκεντροτητ 3 ε= 5 κι γ = +β = 3. συμπτωτες τις ευθειες y = x, 5 y = - x. 5

59 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Ε φ π τ ο μ ε ν η ς Υ π ε ρ β ο λ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εξισωσης εφπτομενης υπερβολης. Δ ο σ μ ε ν : Ευθει πρλληλη (κθετη) στην εφπτομενη, κι η εξισωση υπερβολης. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Η ζητουμενη ευθει εχει ιδιο συντελεστη διευθυνσης με τη δοσμενη ευθει (η το γινομενο των συντελεστων διευθυνσης ισο με -, ν εινι κθετες). Οι συντετγμενες του σημειου επφης επληθευουν την εξισωση της δοσμενης ευθεις κι την εξισωση της υπερβολης. Αν η ζητουμενη εινι της μορφης y = λ x + β () (λ της δοσμενης) τοτε λυνουμε το συστημ των () κι εξισωσης υπερβολης π το οποιο προκυπτει τριωνυμο ως προς β, γι το οποιο πιτουμε ν εχει μ ο ν δ ι κ η λυση (Δ = 0). Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρειτε τις εξισωσεις των εφπτομενων της υπερβολης (c) : y - 3x = 5, ν εινι πρλ - ληλη με την ευθει (ζ) : x + y =. Αν Μ(x,y ) το σημειο επφης, τοτε η εξισωση της εφπτομενης εινι : (ε) : yy - 3xx = 5 (Ι) Αφου λ = λ ε δ 3x =- y = - 3x () y () ( ) Το σημειο Μ νηκει στην υπερβολη, οποτε οι συντετγμενες του επληθευουν την εξισωση της. Ετσι, y - 3x = 5 (- 3x ) - 3x = 5 8 x - 3x = 5 5x = 5 x = Γι x = y = - 3 η (I) : y (-3) - 3 x = 5 3x + 6y = - 5 x + y = - 5 ( ) Γι x = - y = 3 η (I) : y 3-3 x (-) = 5 3x + 6y = 5 x + y = 5 A λ λ ι ω ς Η ζητουμενες εφπτομενες εινι της μορφης (ε) : x + y = κ φου εινι (ε) (ζ). Γι ν εινι η (ε) εφπτομενη στην (c) πρεπει το συστημ των εξισωσεων τους ν εχει μι μονο λυση. Ετσι x + y = κ x = κ - y x = κ - y y - 3x = 5 y - 3(κ - y) = 5 y - 3κ + κy - y = 5 0y - κy + 3κ + 5 = 0 () Γι ν εχει η () μι λυση πρεπει : Δ = 0 44κ (3κ + 5) = 0 44κ - 0κ = 0 4κ = 600 κ = 5 κ = ± 5 Αρ, οι ζητουμενες εφπτομενες εινι : (ε) : x + y = 5 η (ε) : x + y = - 5.

60 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : A π ο δ ε ι ξ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Ε φ π τ ο μ ε ν η ς Υ π ε ρ β ο λ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Αποδειξη οτι ευθει εινι εφπτομενη υπερβολης κι ευρεση σημειου επφης. Δ ο σ μ ε ν : Οι εξισωσεις της υπερβολης κι της εφπτομενης ευθεις. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Γι ν εινι η δοσμενη ευθει εφπτομενη της υπερβολης πρεπει το συστημ των εξισωσεων της υπερβολης κι της ευθεις ν εχει μ ο ν δ ι κ η λυση. Η λυση του πιο πνω συστημτος εινι οι συντετγμενες του σημειου επφης. Π ρ δ ε ι γ μ Ν δειξετε οτι η (ζ) : x + y = εινι εφπτομενη της υπερβολης (c) : 3y - x το σημειο επφης. = 5 κι ν βρειτε Λυνουμε το συστημ των εξισωσεων της ευθεις (ζ) κι της υπερβολης c. 3y - x = 5 3y - (- y) = 5 3y - + 4y - 4y = 5 y - 4y + 4 = 0 (y - ) = 0 x + y = x = - y x = - y x = - y x = - y y = y = x = - x = - 3 H λυση εινι μονδικη, ρ η (ζ) εινι εφπτομενη της c, με σημειο επφης το (- 3,). Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Ε φ π τ ο μ ε ν η ς Υ π ε ρ β ο λ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση εφπτομενης υπερβολης. Δ ο σ μ ε ν : Γνωστο σημειο π το οποιο διερχετι η εφπτομενη (οχι σημειο επφης) κι η εξισωση της υπερβολης. Τροπος Λυσης : Αν το γνωστο σημειο εινι το Α(x o, y o ), τοτε π υτο διερχοντι οι ευθειες με εξισωσεις : x = x o () κι y y o = λ ( x x o ) (). Ελεγχουμε ν η ευθει με εξισωση x = x o εινι εφπτομενη (λυνουμε το συστημ με εξισωσεις την () κι την εξισωση της υπερβολης). Λυνουμε το συστημ με εξισωσεις την () κι την εξισωση της υπερβολης. Προσδιοριζουμε τον συντελεστη διευθυνσης λ της εφπτομενης, πιτωντς το τριωνυμο που προκυπτει ν εχει μι λυση (δηλδη Δ = 0). Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρειτε τις εφπτομενες της υπερβολης (c) : x - 3y = 3 που διερχoντι π'το σημειο Α(,0).

61 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Οι ευθειες που διερχοντι π'το σημειο Α εινι οι : (ε ) : x = κι (ε ) : y = λ(x - ). (ε ) : x = x - 3 y = 3-3 y = 3 3 y = - δυντο x = x = x = Δεν εχει κοιν σημει με την υπερβολη, οποτε δεν εινι εφπτομενη. (ε ) : y = λ(x - ) x - 3y = 3 x - 3[λ(x - )] = 3 x - 3λ x + 6λ x - 3λ = 3 (- 3λ )x + 6λ x - 3λ - 3 = 0 () y=λ(x - ) y = λ(x - ) Γι ν εφπτετι η (ε ) στην (c), πρεπει η () ν εχει διπλη ριζ (το συστημ των εξισωσεων ν εχει μι λυση), δηλδη : Δ = 0 (6λ ) + 4(- 3λ )(3λ + 3) = 0 36λ λ λ - 36λ = 0 4λ = λ = λ =. Ετσι, οι εφπτομενες : y = (x - ) x - y = κι y = - (x - ) x + y = Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Χ ο ρ δ η ς Υ π ε ρ β ο λ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Η εξισωση της χορδης με κρ τ σημει επφης. Δ ο σ μ ε ν : Γνωστο σημειο π το οποιο διερχετι η εφπτομενη (οχι σημειο επφης) κι η εξισωση της υπερβολης. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Αν το γνωστο σημειο εινι Ρ(x0,y0) τοτε οι συντετγμενες του επληθευουν την εξισωση της εφπτομενης στ σημει επφης κι πρoκυπτει εξισωση της μορφης x x y y = β Π ρ δ ε ι γ μ Εστω η πρβολη 3x - y = 3 κι το σημειο Ρ(,). Αν οι εφπτομενες π το Ρ στην ελλειψη, εφπτοντι στ σημει Α κι Β, μ βρειτε την εξισωση της ευθεις που διερχετι π τ σημει Α κι Β. Αν A ( x, y ) κι Β ( x, y ) τ σημει επφης. Οι εφπτομενες ΡΑ, ΡΒ εχουν εξισωσεις ντιστοιχ: 3x x - y y = 3 κι 3x x - y y = 3 3 x - y = 3 3 x - y = 3 To σημειο Ρ(,) εινι σημειο των ΡΑ κι ΡΒ, οποτε () 3 x - y = 3 3 x - y = 3 Απ την () προκυπτει οτι οι συντετγμενες των σημειων Α κι Β επληθευουν την εξισωση : 3x- y = 3. Αρ, η ζητουμενη ευθει εινι : 3x - y - 3 = 0

62 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Ε φ π τ ο μ ε ν η ς Υ π ε ρ β ο λ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Η εξισωση της εφπτομενης. Δ ο σ μ ε ν : Γνωστο σημειο επφης κι η εξισωση της υπερβολης. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Βρισκουμε τ, β π την εξισωση της υπερβολης κι χρησιμοποιουμε την εξισωση της εφπτομενης. Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρειτε την εφπτομενη στο σημειο Α(,) της υπερβολης 9x - 6y = 44. Εινι, 9x 6y x y 9x -6y = 44 - = - = Ετσι, = 4 κι β = 3 κι η εφπτομενη στο σημειο Α(,) εινι x x y y x y - = - = 9x - 3y = 44 β 4 3 Μ ε θ ο δ ο ς : Ε υ ρ ε σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς Χ ο ρ δ η ς Υ π ε ρ β ο λ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Η εξισωση της εφπτομενης. Δ ο σ μ ε ν : Γνωστος ο συντελεστης διευθυνσης εφπτομενης κι η εξισωση της υπερβολης. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Η εφπτομενη εινι της μορφης y = λ x + β () (γνωστος μεσ η εμμεσ ο συντελεστης διευθυνσης λ). Λυνουμε το συστημ της εξισωσης της () κι της εξισωσης της υπερβολης. Απιτουμε το τριωνυμο που προκυπτει ν εχει μι λυση (δηλδη Δ = 0). Π ρ δ ε ι γ μ Ν ποδειξετε οτι κθεμι πο τις πρκτω εξισωσεις πριστνει υπερβολη, γι την οποι ν βρειτε τις συντετγμενες του κεντρου, των κορυφων κι των εστιων: x - 4y + 84x - 3y - 64 = 0 Η εξισωση γρφετι : y - 3x - 8y + 6x - = 0. x - 4y + 84x - 3y - 64 = 0 (x - 4x) - 4(y + 8y) = 64 (x - x + 4) - 4(y + 4y + 6) =

63 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς (x - ) (y + 4) X Y 4 ( ) X = x - (x - ) - 4(y + 4) = 84 - = - = Y = y + 4 Αρ, η εξισωση πριστνει υπερβολη με κεντρο το σημειο Ο'(, - 4). Ως προς το συστημ Ο'ΧY οι κορυφες A', Α εχουν συντετγμενες (X, Y) = (0, - 4), (X, Y) = (4, - 4) ντιστοιχ, ενω οι εστιες E', E εχουν συντετγμενες (X, Y) = (- 5, 0) κι (X, Y) = (5, 0) ντιστοιχ. Επομενως, ως προς το συστημ Oxy οι κορυφες εχουν συντετγμενες (- 3, - 4) κι (7, - 4) ντιστοιχ. Η εξισωση γρφετι : y - 3x - 8y + 6x - = 0 (y - 4y) - 3(x - x) = (y - y + 4) - 3(x - x + ) = (y - ) (x - ) Y X 3 ( 3) ( ) X = x - (y - ) - 3(x - ) = 6 - = - = Y = y - Αρ, η εξισωση πριστνει υπερβολη με κεντρο το σημειο Ο'(, ), κορυφες τ σημει A (, - 3), A(, + 3) κι εστιες τ σημει E (, - 5) κι E(, + 5). Μ ε θ ο δ ο ς : Α σ υ μ π τ ω τ ε ς Υ π ε ρ β ο λ η ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Η εξισωση της υπερβολης η οι συμπτωτες της. Δ ο σ μ ε ν : Η εξισωση της υπερβολης που εχει ιδιες συμπτωτες κι ιδιο κεντρο με τη ζητουμενη. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Βρισκουμε τις συμπτωτες, π τη δοσμενη υπερβολη. Βρισκουμε π τις πιο πνω συμπτωτες, τ κι β της ζητουμενης. Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθουν οι συμπτωτες της υπερβολης : (c) : 9y - 4x = 36. Αν μι υπερβολη (c ) εχει το ιδιο κεντρο με την (c), εχει εστιες στον x'x κι εχει τις ιδιες συμ - πτωτες με την (c), τοτε ποι εινι η εξισωση της; 9y 4x y x Εινι, 9y - 4x = 36 - = - = Ετσι, = κι β = 3, οποτε οι συμπτωτες εινι : (ε ) : y = x κι (ε ) : y = - x 3 3 x y Η ζητουμενη υπερβολη εινι της μορφης : (c ) : - = φου εχει εστιες πνω στον β ξον x'x. β β Οι συμπτωτες της εινι της μορφης : (ε ) : y = x κι (ε ) : y = - x Ομως,

64 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς (ε ) : y = x κι (ε ) : y = - x. 3 3 Γι'υτο : x y = 3 κι β = κι (c ) : - = 9 4 Μ ε θ ο δ ο ς : Γ ω ν ι Α σ υ μ π τ ω τ ω ν Ζ η τ ο υ μ ε ν : Γωνι συμπτωτων ω. Δ ο σ μ ε ν : Στοιχει της υπερβολης (πχ την εκκεντροτητ). Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Με τριγωνομετρι: ω β β ημ φ β - συν φ β Αν φ = : λ = εφφ = εφ φ = = = συν φ συν φ - συν φ = β συν φ ( + β )συν φ = συν φ = + β φ < 90 συν φ = γ ε συνφ = = γ Με Πυθγορειο: Απ τη κορυφη Α φερνουμε την εφπτομενη x = που τεμνει την συμπτωτη στο Γ. β ΑΓ Εινι ΟΑ = κι λ = εφφ = = ΑΓ = β. Απο Πυθγορειο στο τριγωνο ΟΓΑ: ΟΑ ΟΓ = +β ΟΓ = γ = γ. Ετσι συνφ = ΟΑ = = ΟΓ γ ε. Με δινυσμτ: Εστω δ = (,β), δ = (,- β) που εινι πρλληλ στις συμπτωτες. Τοτε γ δ δ - (,β)(,-β) -β -(γ - ) - γ -ε συνω = = = = = = = δ δ + β γ γ γ + β + β ε. Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθει η γωνι των συμπτωτων μις υπερβολης που η εκκεντροτητ της εινι ιση με. β Α ν ω η ζητουμενη γωνι κι φ η γωνι που σχημτιζει η συμπτωτη y = x με τον Οx Μ ε τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι :

65 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς ω β β ημ φ β - συν φ β Αν φ = : λ = εφφ = εφ φ = = = - συν φ = β συν φ συν φ συν φ φ < 90 ( + β )συν φ = συν φ = συν φ = συνφ = = + β γ γ ε Μ ε Π υ θ γ ο ρ ε ι ο : Απ τη κορυφη Α φερνουμε την εφπτομενη x = που τεμνει την συμπτωτη στο Γ. β ΑΓ Εινι ΟΑ = κι λ = εφφ = = ΑΓ = β ΟΑ. Απο Πυθγορειο στο τριγωνο ΟΓΑ: ΟΑ Ετσι συνφ = = = ΟΓ γ ε. 0 Εινι, συνφ = συνφ = φ = 60 ε Μ ε δ ι ν υ σ μ τ : ΟΓ = +β ΟΓ = γ = γ. ω = φ = 0 Εστω δ = (,β), δ = (,- β) που εινι πρλληλ στις συμπτωτες. Τοτε γ δ δ - (,β)(,-β) -β -(γ - ) - γ -ε συνω = = = = = = = δ δ + β γ γ γ + β + β ε Εινι, συνω = -ε συνω = - συνω = - 0 ω = 0 ε 0 Μ ε θ ο δ ο ς : Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ ο ς Τ ο π ο ς Ζ η τ ο υ μ ε ν : Ευρεση γεωμετρικου τοπου του σημειου Μ(x0,y0). Δ ο σ μ ε ν : Η εξισωση της υπερβολης κι ιδιοτητ χρκτηριστικου σημειου. Τ ρ ο π ο ς Λ υ σ η ς : Προκειμενου ν βρουμε τον γεωμετρικο τοπο του σημειου Μ(x0,y0) Απο συνδισμο των δοσμενων σχεσεων κτληγουμε σε εξισωση των συντετγμενων x0, y0 του Μ, που ποτελει τον γ.τ. Αν οι συντετγμενες x0, y0 του σημειου Μ συνδεοντι με πρμετρο λ, τοτε πλειφουμε την πρμετρο μετξυ των συντετγμενων κι κτληγουμε σε εξισωση που εινι συνρτηση των x0, y0. Π ρ δ ε ι γ μ Ν βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ του επιπεδου, που η ποστση τους π'το σημειο Ε(4,0) ισουτι με την διπλσι ποστση τους πο την ευθει (ε) : x =. Στη συνεχει, βρειτε την εκκεντροτητ της γρμμης που προκυπτει.

66 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Αν Μ(x, y) τυχιο σημειο του γεωμ.τοπου,τοτε : (ΜΕ) = d(m,ε) (x - 4) + (y - 0) = x - (x - 4) + y = 4(x - ) x - 8x x y y = 4x - 8x + 4 3x - y = - = 4 Αρ, ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος εινι υπερβολη. Ακομη = 4 β = οποτε γ = 4 + = 4 γ 4 Ετσι, ε = = = Π ρ δ ε ι γ μ Ν δειξετε οτι το σημειο Μ (+ t ) βt, - t - t (+ t ) βt, t R, νηκει σε υπερβολη γι κθε t ±. Γ ι ν νηκει το Μ σε υπερβολη πρεπει οι συντετγμενες του ν επληθευουν την εξισωση της. Πργμτι x y - = - t - - t = β β 4 - t + t (- t ) = = = (- t ) (- t ) Π ρ δ ε ι γ μ (+ t ) (- t ) 4 β t (- t ) - β N βρειτε το γεωμετρικο τοπο των σημειων τομης των ευθειων ε : y = β ( x - λ ) κι ε : λ y = β ( - λ x ) γι κθε λ. Aν Μ(x, y) τυχιο σημειο του γεωμ.τοπου,τοτε : βx - y y = β(x - λ) y = βx - λβ λβ = βx - y λ = () β 4 (+ t ) 4t + t + t - 4t = - = = (- t ) (- t ) (- t ) β λy = β( - λx) λy = β - λβx λy + λβx = β (βx + y)λ = β λ = () βx + y βx - y β Απο () κι () : = (βx - y)(βx + y) = β β x - y = β β βx + y β x β - y = β y x - = β Αρ, ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος εινι υπερβολη.

67 Κ υ κ λ ο ς Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η η Ν βρεθει το κεντρο κι η κτιν του κυκλου με εξισωση με κεντρο την ρχη των - ξονων, που διερχετι π'το σημειο Α(- 8,6). Ν βρειτε την εξισωση της εφπτομενης του πιο πνω κυκλου, που εινι πρλληλη στην ευθει ε : 3x - 4y - 0 = 0. Η εξισωση του κυκλου εινι της μορφης : Το Α εινι σημειο του κυκλου κι οι συντετγμενες του επληθευουν την εξισωση του. Ετσι, (- 8) + 6 = ρ = ρ ρ = 00 x + y = ρ ρ = 0 Δηλδη η εξισωση του κυκλου εινι : x + y = 0. Αφου η εφπτομενη (ε) εινι πρλληλη στην ευθει ε, τοτε η εξισωση της εινι της μορφης : 3x - 4y + κ = 0 Ομως υτη η ευθει εινι κθετη σε μι κτιν του κυκλου,οποτε : κ κ d(o,ε) = ρ = 5 = 5 κ = 5 κ = ± (- 4) 5 3x - 4y + 5 = 0 Οποτε υπρχουν δυο εφπτομενες με εξισωσεις (ε) : 3x - 4y - 5 = 0 Α σ κ η σ η η Ν βρεθει η εξισωση του κυκλου με κεντρο Κ σημειο της ευθεις ε : x = y - = 0 που διερ - χετι π'την ρχη των ξονων κι εχει κτιν ρ = 5. Αν το κεντρο του κυκλου εινι Κ(κ,λ) τοτε η εξισωση του : ( x-κ) +(y - λ) = 5 (). Ο κυκλος διερχετι π'το σημειο Ο(0,0), οποτε ΚΟ εινι κτιν του. Ετσι Κ ε κ + λ - = 0 ΚΟ = ρ (0 - κ) + (0 - λ) = 5 κλ = - Vieta ω - ω - = 0... κ + λ = κ, λ ριζες ω = 4 κ + λ = 5 (κ + λ) - κλ = 5 - κλ = 5 κ + λ = κ + λ = κ + λ = ω = - 3 (κ,λ) = (ω,ω ) = (- 3,4) τοτε η () : c : ( x + 3) +(y - 4) = 5 (λ,κ) = (ω,ω ) = (- 3,4) τοτε η () : c : ( x - 4) +(y + 3) = 5

68 Κ υ κ λ ο ς Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 3 η Ν βρεθει η εξισωση του κυκλου με διμετρο ΑΒ, οπου Α(- 3,4) κι Β(5, - ). Αν Κ το κεντρο του κυκλου, τοτε το Κ εινι το μεσο της διμετρου ΑΒ. Ετσι Α(-,3) κι Β(4, 3) x + x x = x = y + y y = 3 Α Β Κ y = y = Κ Κ Α Β Κ Κ x = Κ Αρ, ρ = ΚΑ = (x - x Α Κ Α Κ Οποτε η εξισωση του κυκλου εινι : ) + (y - y ) = (- - ) + (3-3) = 9 =3 (x - ) +(y - 3) = 3 Κ(, 3) Μ ι λ λ η ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η Αν Μ(x,y) εινι εν τυχιο σημειο του κυκλου, τοτε η γωνι ΑΜΒ = 90 ( εγγεγρμενη που βινει σε διμετρο) κι ισχυει : ΑΜ = (x+,y-3) ΑΜ ΒΜ ΑΜ ΒΜ = 0 (x + )(x - 4) + (y - 3)(y - 3) = 0 ΒΜ = (x-4,y-3) x - 4x + x (y - 3) = 0 x - 4x + x (y - 3) = ο (x - x + ) + (y - 3) = 9 (x - ) +(y - 3) = 3 Α σ κ η σ η 4 η Ν βρεθει η εξισωση του κυκλου που διερχετι π'τ σημει Α(,0), Β(4,3) κι εχει - κτιν ρ = 3. Οι συντετγμενες των σημειων Α κι Β επληθευουν την εξισωση (x - x ) + (y - y ) = ρ y = x Εινι (- x ) + (0 - y ) = x + x + y = x + y - x = (-) (4 - x ) + (3 - y ) = 3 6-8x + x + 9-6y + y = 9 x + y - 8x - 6y = x + y - x = x + y - x = x + (x - 4) - x = x - 6y = 4 y = x - 4 y = x x + x - 8x x = 8 x - 5x + 4 = 0 x = η x = 4 y = x - 4 y = x - 4

69 Κ υ κ λ ο ς Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς (x,y ) = (,-3) 0 0 (x - ) +(y + 3) = 3 (x,y ) = (4,0) 0 0 (x - 4) + y = 3 A λ λ ι ω ς KA = ρ (- x ) + (0 - y ) = x + y - x + = KB = ρ (4 - x ) + (3 - y ) = 3 6-8x + x + 9-6y + y = x = η x = 4 (x,y ) = (,-3) (x - ) +(y + 3) = 3 y = x - 4 (x,y ) = (4,0) (x - 4) + y = 3 Α σ κ η σ η 5 η Ν βρεθει η εξισωση του κυκλου που διερχετι π'τ σημει Α(,), Β(,- ), Γ(,0). Το κεντρο Κ εινι το σημειο τομης των μεσοκθετων των χορδων ΑΒ κι ΑΓ. Αν Μ το μεσο της χορδης ΑΒ κι Ν το μεσο της χορδης ΑΓ, τοτε x + x Α Β + x + x Α Γ + 3 x = = = x = = = Μ Ν Μ (,0) κι 3 Ν (, ) y + y Α Β - y + y Α Γ + 0 y = = = 0 y = = = Μ Ν λ ΑΒ - - = δεν οριζετι, οποτε η ΑΒ βρισκετι πνω στην ευθει ε : x =. - ΑΒ ΚΜ ΚΜ ε ΚΜ x'x Εινι ΑΒε Κ x'x, δηλδη εινι της μορφης Κ(,0). Μx'x Μx'x Μ x'x Επισης 0 - λ = = - κι ΚΝ ΑΓ, λ =. ΑΓ ΚΝ - 3 Οποτε το Κ εινι σημειο της ευθεις ΚΝ = (δ) με εξισωση y - = (x - ) (δ) : x - y - = 0 κι οι συντετγμενες του επληθευουν την εξισωση της. Ετσι = 0 = Κ(,0) ρ = ΚΑ = (- ) + (- 0) = 0 + = Αρ η εξισωση του κυκλου εινι : (x - ) + y =

70 Κ υ κ λ ο ς Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς A λ λ ι ω ς Εστω Κ(,β) το κεντρο του κυκλου. ΚΑ = ΚΒ ΚΑ = ΚΒ (- ) - β + β = + β + β 4β = 0 β = 0 () + (-β) = (- ) + (- -β) ΚΑ = ΚΓ ΚΑ = ΚΓ (- ) + (-β) = ( - ) + (0 -β) - + Αρ Κ(,0) + - β + β = β Ακομη : = ΚΑ = (- ) + (0 - ) = ρ Οποτε η εξισωση του κυκλου εινι : ( ) - - β + = = = (x - ) + y = Α σ κ η σ η 6 η Ν βρεθει η εξισωση του κυκλου που το κεντρο του εινι σημειο της ευθεις (ε) : 3x - y - = 0 κι διερχετι πο τ σημει Α(3,) κι Β(-,3). Αν Μ τομεσο της χορδης ΑΒ τοτε x + x Α Β 3 - x = = = Μ Μ(, ) y + y Α Β + 3 y = = = Μ 3 - Ο συντελεστης διευθυνσης της AB εινι λ = = - AB Αφου AB ΚΜ τοτε : λ λ = - - λ = - λ = AB ΚΜ ΚΜ ΚΜ Το Κ εινι σημειο της ευθεις KΜ = (δ) με εξισωση y - = (x - ) (δ) : y = x Δηλδη το Κ εινι σημειο των ευθειων (ε) κι (δ), οποτε ν Κ(,β) τοτε τ,β επληθευουν τις εξισωσεις των δυο ευθειων. Ετσι Κ ( ε) 3 -β - = = 0 = Κ (,4) Κ (δ) β = β = β = 4 ρ = ΚΒ = (- - ) + (3-4) = 9 + = 0 Αρ η εξισωση του κυκλου εινι : (x - ) +(y - 4) = 0

71 Κ υ κ λ ο ς Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 7 η Ν βρεθει η εξισωση του κυκλου που εχει κεντρο το σημειο Κ(- 3,) κι εφπτετι στην ευθει (ε) : 4x - 3y + 5 = 0. Εινι 4 (- 3) d(κ,ε) = ρ = ρ ρ= = = = 4 + (- 3) Αρ η εξισωση του κυκλου εινι : (x + 3) +(y - ) = 4 Α σ κ η σ η 8 η Ν βρειτε την εξισωση του κυκλου, που εφπτετι στις ευθεις ε : x + y - 5 = 0 ε : x + y + 5 = 0, οτν εν π τ σημει επφης εινι το σημειο Α (, ). Εινι = 0, οποτε Α ε. Δηλδη το κεντρο Κ βρισκετι στην ευθει ΚΑ. Ακομη, λκα = - λ (- ) = - λ = ΚΑ ΚΑ Αρ η ευθει ΚΑ εχει εξισωση: y - = (x - ) y - = x - x - y = 0 Aν Κ(, β) τοτε - β = 0 = β () (φου Κ ΚΑ) +β - 5 +β -5 d(κ,ε) = d(κ,ε) = +β - 5 = +β β - 5 = + β = -5 δυντη η η + β = 0 () + β - 5 = - -β β = 0 Λυνουμε το συστημ των () κι () = β = β = 4 Κ (4,) β + β = 0 5β = 0 β = Επισης λ ε Αρ η εξισωση του κυκλου εινι : ρ = d(κ,ε ) = = = = = 5 ρ = 5 (x - 4) +(y - ) = 5

72 Κ υ κ λ ο ς Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 9 η Ν βρεθει η εξισωση της εφπτομενης του κυκλου c : x + y = 8 που διερχετι πο το σημειο Α(0,4). Εστω Μ(x,y ) το σημειο επφης κυκλου (c) - εφπτομενης (ε). Εινι Α (ε) 0 x + 4 y = 8 y = y = y = y = Μ (c) x + y = 8 x + = 8 x + 4 = 8 x = 4 x = ± M (,) Μ (-,) (ε ) : x + y = 8 (ε ) : - x + y = 8 Α σ κ η σ η 0 η Ν βρεθει η εξισωση της εφπτομενης (ε) κυκλου c : x + y =, που εινι πρλληλη στην ευθει (δ) : x - y + = 0. Αν Μ(x,y ) εινι το σημειο επφης κι επειδη (ε) (δ), τοτε 0 0 x + y = 5 x + y = 5 (- y ) + y = 5 4y + y = y = xx + yy = 5 xx + yy = 5 xx + yy = 5 xx + yy = xx + yy = λ = λ x x = - y x = - ε δ = y 0 x = - y 0 0 y0 y = ± 0 (x,y ) = (-,) 0 0 xx + yy = (x,y ) = (,) 0 0 x = - y 0 0 Οποτε η εξισωση της εφπτομενης εινι : (ε) : x - y = 5 η (ε) : x - y = - 5 Α λ λ ι ω ς Αφου (ε) (δ) τοτε η (ε) εινι της μορφης (ε) : x - y = κ Η (ε) εφπτετι στον κυκλο (c) ν : 0 + (- ) 0 - κ - κ d(k,ε) = ρ = 5 = 5 κ = 5 κ = ± 5 + (- ) 5 Οποτε η εξισωση της εφπτομενης εινι : (ε) : x - y = 5 η (ε) : x - y = - 5

73 Κ υ κ λ ο ς Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η η Ν βρεθει η εξισωση της εφπτομενης του κυκλου c : (x - ) +(y - ) = 8 στο σημειο Α(4,3). Αν Μ(x,y ) εν τυχιο σημειο της (ε), τοτε : ΑΜ = (x - 4,y - 3) c : (x - ) + (y - ) = 8 κεντρο Κ(, ) κι κτιν ρ = κι ΚΑ = (,) Ομως ΚΑ ΑΜ ΚΑ ΑΜ = 0 (,) (x - 4,y - 3) = ( x - 4) + (y - 3) = 0 x y - 6 = 0 x + y -7 = Οποτε η εξισωση της εφπτομενης εινι : Α λ λ ι ω ς (ε) : x + y -7 = 0 Αν (ε) : y = x + β (δηλδη Α =, Β = -, Γ = β ν (ε) : Αx + Βy + Γ = 0) 3 = 4 + β β = 3-4 β = 3-4 Α (ε) + (- ) + β - + β ρ = d(k,ε) = = = + (- ) + + β = 3-4 β = 3-4 β = 3-4 β = = 8( + ) = ( - ) = = 0 + β = 3-4 β = 3-4 β = 3-4 β = 3-4(- ) β = = 0 ( + ) = 0 + = 0 = - = - (ε) : x + y -7 = 0 Α σ κ η σ η η Ν βρεθει η εξισωση της εφπτομενης (ε) κυκλου c : (x - ) +(y - ) π'το σημειο Α(3,- ). = 8, που διερχετι Εινι c : (x - ) + (y - ) = 8 κεντρο Κ(, ) κι κτιν ρ = Αν (ε) : y = x + β (δηλδη Α =, Β = -, Γ = β ν (ε) : Αx + Βy + Γ = 0) - = 3 + β β = β = Α (ε) + (-) + β ρ = d(k,ε) = = = + (- ) + + β = β = β = β = ( + ) = = = 0 ( - )(7 + ) = 0

74 Κ υ κ λ ο ς Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς (,β) = (,- 5) (ε) : x - y - 5 = 0 (,β) = -,- 7 7 (ε) : x +7y + = 0 Α σ κ η σ η 3 η Δειξτε οτι η ευθει (ε) : x + y -7 = 0 εφπτετι στο κυκλο c : x + y - 4x - y - 3 = 0 κι στη συνεχει βρειτε το σημειο επφης. Εινι x + y - 4x - y - 3 = 0 x - 4x y - y + = (x - ) + (y - ) = () Δηλδη ο κυκλος εχει κεντρο Κ(,) κι κτιν ρ = 3. Η ποστση του κεντρου Κ π'την ευθει (ε) εινι : d(κ,ε) = = = = = ρ + Αρ η ευθει (ε) εφπτετι στο κυκλο (c). Eστω Μ(,β) το σημειο επφης Μ (ε) = 7 -β = 7 -β Μ (c) (7 -β) + β - 4(7 -β) - β - 3 = β + β + β β - β - 3 = 0 = 7 -β = 7 -β = 7-3 = 4 Μ(4,3) β - 6β - 9 = 0 (β - 3) = 0 β = 3 β = 3 Α σ κ η σ η 4 η Ν βρεθουν οι εξισωσεις των κυκλων, που εφπτοντι στον κυκλο c : x + y = 5 στο σημειο Α(3, 4) κι εχουν κτιν ρ = 0. Ο κυκλος (c) εχει κεντρο Ο( 0,0) κι κτιν R = 5. Εστω Κ(x,y ) το κεντρο ενος π'τους ζητουμενους κυκλους, οποτε : 0 0 ΚΑ = (3 - x,4 - y ) ΟΑ = (3,4) ΟΚ = (x,y ) Κ,Α,Ο συνευθεικ Αν οι κυκλοι εφπτοντι εξωτερικ :

75 Κ υ κ λ ο ς Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ΟΚ = ΟΑ + ΑΚ = R + ρ = = 5 = 3R = 3 OA x = 9 ΟΚ = 3ΟΑ c : (x - 9) +(y - ) = 00 0 (x,y ) = 3(3,4) (x,y ) = (9,) y = 0 Αν οι κυκλοι εφπτοντι εσωτερικ : Εινι : ΟΚ = ΟΑ - ΚΑ = R - ρ = 5-0 = - 5 = - R = - ΟΑ Ετσι x = - 3 ΟΚ = - ΟΑ c : (x + 3) +(y + 4) = 00 0 (x,y ) = - (3,4) (x,y ) = (- 3,- 4) y = Α σ κ η σ η 5 η Δειξτε οτι οι κυκλοι : c : x + y + 6y + 8 = 0 κι c : x + y - x - 0y + 60 = 0 εφπτοντι εσωτερικ κι στη συνεχει ν βρειτε το σημειο επφης Α. x + y + 6y + = 0 x + (y + 6y + ) = Ο κυκλος (c ) εχει κεντρο K(0,- 3) κι κτιν R =. 8 9 x +(y + 3) = x + y - x - 0y - = 0 (x - x + ) + (y y + 5) = (x - 6) +(y - 5) = Ο κυκλος (c ) εχει κεντρο Λ(6,5) κι κτιν ρ =. Γι ν εφπτοντι εσωτερικ πρεπει : ΚΛ = ρ - R = - = 0 Πργμτι, ΚΛ = (6-0) + (4 + 3) = = 00 = 0 Ακομη (-) x + y + 6y + 8 = 0 x + y + 6y + 8 = 0 x + y - x - 0y - 60 = 0 3x + 4y + 7 = y + y + 6y + 8 = y x= 3 5y + 90y + 36 = 0 (5y) + 5y = 0 (5y + 9) = 0 5y + 9 = y - 7-4y - 7-4y - 7-4y x = x = x = x= y = - y= 5-9 y = Α ,- x= x = x= 5 3 3

76 Κ υ κ λ ο ς Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 6 η Ν βρεθει το κεντρο κι η κτιν του κυκλου με εξισωση : x + y - 0x + y - 0 = 0 Εινι Α = - 0, Β = κι Γ = - 0 Αφου Α + Β - 4Γ = (- 0) (- 0) = = 34 > 0 η εξισωση πριστνει κυκλο με : Α + Β - 4Γ 34 8 κτιν : ρ = = = = 9 - Α - Β 0 - κεντρο : Κ (, ) = Κ(, ) = Κ (5,- 6) Α λ λ ι ω ς x + y - 0x + y = 0 (x - 0x + ) + (y + y + ) = (x - 5) +(y + 6) = 9 η εξισωση πριστνει κυκλο με : κτιν ρ = 9 κι κεντρο Κ (5,- 6). Α σ κ η σ η 7 η Δινετι η εξισωση (x - ) +(y + 3) λ(3x + y - 0) = 0 () Ν δειξετε οτι η () πριστνει κυκλο γι κθε λ Ν δειξετε οτι ολοι οι κυκλοι της πιο πνω οικογενεις διερχοντι πο δυο στθερ σημει, των οποιων ν βρεθουν οι συντετγμενες. Εινι (x - ) + (y + 3) λ(3x + y - 0) = 0 x - x + + y + 6y λx + λy - 0λ = 0 x + y + (3λ - ) x + (6 + λ)y - 0-0λ = 0 () Γι ν πριστνει η () εξισωση κυκλου πρεπει : A + B - 4Γ > 0 (3λ - ) + (6 + λ) - 4(- 0-9λ - λ λ + λ λ > 0 λ + 4λ + 8 > 0 Γι λ = 0 η () γινετι : x + y - x + 6y = 0 (3) 0λ) > 0 Η τελευτι ληθευει φου : Δ = = - 6 < 0 οποτε τριωνυμο ομοσημο του (= ). Γι λ = η () γινετι : x + y + x + 7y = 0 (4) Λυνουμε το συστημ των (3),(4).

77 Κ υ κ λ ο ς Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς x + y - x + 6y = 0 x + y - x + 6y = 0 x + (0-3x) - x + 6(0-3x) = 0 x + y + x + 7y = 0 3x + y = 0 y = 0-3x x = 3 x = 3 y = x = 5 y = 0-3x x = 5 y = 0-3x y = - 5 x x + 9x - x x = 0 x - 8x + 5 = 0 y = 0-3x A(3,) κι B(5,- 5) Α : (3λ - ) λ - 0-0λ = λ λ - 0-0λ = 0 Β : λ λ - 0-0λ = 0 Δηλδη οι συντετγμενες των σημειων Α κι Β επληθευουν την (). Α λ λ ι ω ς (x - ) + (y + 3) λ(3x + y - 0) = 0 x - x + + y + 6y λx + λy - 0λ = 0 (3x + y - 0)λ + x + y - x + 6y - 0 = 0 Γι ν ληθευει γι κθε λ πρεπει 3x + y - 0 = 0 x + y - x + 6y - 0 = 0 y = 0-3x... x + y - x + 6y = 0 A(3,) B(5,- 5) Α σ κ η σ η 8 η Εστω ο κυκλος c : x + y + λx - λy = 0, λ 0 κι η ευθει ε : x - y + = 0. Ν βρεθει ο λ, ωστε η ευθει ε ν εινι εφπτομενη του κυκλου c. A + B - 4Γ = λ + (- λ) = λ > 0. Αρ ο c εινι κυκλος με - Α - Β - λ λ κεντρο : Κ, = Κ, Α + Β - 4Γ λ λ κτιν : ρ = = = Γι ν εινι η ευθει (ε) εφπτομενη στο κυκλο (c), πρεπει : - λ λ + (- ) + λ - λ + λ - λ + = λ d(κ,ε) = ρ = = - λ + = λ + (- ) - λ + = - λ λ = λ= = 0

78 Κ υ κ λ ο ς Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 9 η Ν βρεθει η εξισωση της κοινης χορδης των κυκλων : c : x + y - 4x + 3y = 0 κι c : x + y + x - 4y = 0 Αν Μ(,β) εν κοινο σημειο των κυκλων, τοτε οι συντετγμενες του επληθευουν τις εξι - σωσεις των δυο κυκλων. Ετσι (+) + β β = β + 8-6β = 0 9-0β = 0 + β + - 4β = 0 + β + - 4β = 0 Δηλδη το κοινο σημειο Μ (εν τυχιο π'τ κοιν) νηκει στην ευθει : 9x - 0y = 0, που ποτελει την εξισωση της κοινης χορδης. Α σ κ η σ η 0 η Εστω οι ευθειες ε : ημφ x - συνφ y = ημφ κι ε : συνφ x + ημφ y = συνφ, φ Δειξτε οτι οι ευθειες ε κι ε τεμνοντι γι κθε φ Βρειτε το γεωμετρικο τοπο του σημειου τομης των ευθειων ε. κι ε.. Γι το συστημ των εξισωσεων των ευθειων : D = = ημ φ + συν φ = 0 ημφ συνφ - συνφ ημφ Αρ το συστημ εχει λυση γι κθε φ, που σημινει οτι οι ε, ε τεμνοντι. Ακομη, ν Μ(x,y) το σημειο τομης των ευθειων (λυση του συστημτος) ημφ - συνφ D = = ημφημφ + συνφσυνφ = x συνφ ημφ = ημ φσυνφ + συνφ(- ημ φ) = ημ φσυνφ ημφ ημφ ημφ = ημφσυνφ συνφ = -ημ φ + συνφ - ημ φσυνφ ημφ = ημφσυνφ D = = ημφσυνφ - συνφημφ = ημφ(συν φ - ) - συν φημφ = y συνφ = συν φ - συνφ συνφ = συν φημφ - ημφ - συν φημφ = - ημφ D x x= ημ + συν = D x=συνφ συνφ = x Eτσι, x + (- y) = = συνφ x + y = D y y = - ημφ ημφ = - y y= D Δηλδη ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος εινι κυκλος κεντρου Ο(0,0) κι κτινς ρ =.

79 Κ υ κ λ ο ς Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η η Ν βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των κεντρων των κυκλων με εξισωση : x + y - λx - 4(λ + )y + 3λ + 4 = 0, λ Εινι Α + Β - 4Γ = (- λ) + (- 4(λ + )) + 4(3λ + 4) = 4λ + 6λ + 3λ λ + 56 = = 5λ + λ + 8 = λ + λ - > 0 (Αφου Δ = = = - 39 < 0) Αν τ κεντρ εινι της μορφης Κ(x,y), τοτε. A - λ x=- x=- λ y - λ = x x= y - x = B - 4(λ + ) y = λ + λ= y = - y = - H () εινι ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος. x - y + = 0 () Α σ κ η σ η η Ν βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των μεσων των χορδων του κυκλου c : (x - ) + y = 0, οι οποιες διερχοντι π'το σημειο Α(4,- ). Αν Μ(x,y) το μεσο μις χορδης που διερχετι π'το σημειο Α(4,- ) κι φου Κ(,0) το κεν - τρο του κυκλου, τοτε : ΚΜ = (x -,y) κι ΑΜ = (x - 4,y + ). Ομως, η κτιν του κυκλου εινι κθετη στην χορδη στο μεσο της. Ετσι ΚΜ ΑΜ = 0 (x -,y) (x - 4,y + ) = 0 (x - )(x - 4) + y (y + ) = 0 x - 4x - x y + y = 0 x - 6x y + y = 0 (x - 6x + 9) + (y + y + ) = (x - 3) +(y + ) = Οποτε τ μεσ των χορδων κινουντι σε κυκλομε κεντρο Κ(3,- ) κι κτιν ρ =.

80 Κ υ κ λ ο ς Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 3 η Εστω τ σημει Α(,) κι Β(3,0). Ν βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ γι τ οποι ισχυει : ΑΜ + ΒΜ =. Αν Μ(x,y) τοτε : ΑΜ = (x -,y - ) κι BM = (x - 3, y). Eτσι ΑΜ + ΒΜ = (x - ) + (y - ) + (x - 3) + y = x - x + + y - 4y x - 6x y = x - 4x + + y - y = 0 (x - 4x + ) + (y - y + ) = 4 4 (x - ) +(y - ) = Οποτε ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος εινι κυκλος με κεντρο Κ(, ) κι κτιν ρ =. Α σ κ η σ η 4 η Εστω οι κθετες ευθειες ε : x +( - β)y - = 0 κι ε : x -(β + )y + = 0. Βρειτε το γεωμετρικο τοπο των σημειων Μ(, β). Εινι - λ = = κι λ =, με β ± (*). ε ε -β β - β + Οι δυο ευθειες εινι κθετες, οποτε λ λ = - = - = - = - β + + β = ε ε β - β + β - Ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ(,β) εινι ο κυκλος O(0,0) κι κτινς ρ =, εκτος των σημειων (-,0) κι (,0). c : x + y =, κεντρου (*) Γι β = : η ε εινι της μορφης y = - y = - που διερχετι π'το σημειο (-,0). Αρ το σημειο (-,0) δεν νηκει στο γεωμετρικο τοπο. - Γι β = - : η ε εινι της μορφης y = - y = που διερχετι π'το σημειο (,0). Αρ το σημειο (,0) δεν νηκει στο γεωμετρικο τοπο.

81 Π ρ β ο λ η Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 5 η Εστω η πρβολη c : y = px κι σημειο Ρ(x,y ) c. Oι εφπτομενες π'το σημειο Ρ 0 0 προς την c εφπτοντι σ'υτην στ σημει Α κι Β. Ν ποδειξετε οτι η εξισωση της ευθεις ΑΒ εινι της μορφης : y 0 y = p (x + x ). 0 Εστω Α(x,y), B(x,y) τ σημει επφης. Οι εφπτομενες ΡΑ κι ΡΒ εχουν εξισωσεις: y y = p ( x + x ) κι y y = p ( x + x ) To σημειο Ρ(x0,y0) εινι σημειο των ΡΑ κι ΡΒ, οποτε επληθευει τις εξισωσεις τους. Δηλδη y y0 = ( x0 + x ) κι y y0 = ( x0 + x ) Απ τις πιο πνω εξισωσεις προκυπτει οτι οι συντετγμενες των σημειων Α κι Β επληθευουν την εξισωση : y0 y = p ( x + x0 ). Αρ η ζητουμενη y y = p (x + x ) 0 0 δ y Ρ Α Ο Ε x Β Α σ κ η σ η 6 η Ν δειξετε οτι εν σημειο Μ(x,y ) εινι εσωτερικο της πρβολης c : y μονο ν ισχυει y < px. = px ν κι Aπ το σημειο Μ(x, y ) φερνουμε κθετη στον x x, που τεμνει τη πρβολη στο σημειο Α(x, y0). A c, oποτε οι συντετγμενες του Α επληθευουν την εξισωση της c. Eτσι y = p x () 0 Γι ν εινι το Μ εσωτερικο σημειο της πρβολης πρεπει ν ισχυει: y < y y < y () 0 0 Απο () κι () προκυπτει : y < px δ y Α(x,y0) Μ(x,y) Ο Ε x c

82 Π ρ β ο λ η Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 7 η Εστω η πρβολη c : y = px κι τυχιο σημειο της Μ. Ν δειξετε οτι ο κυκλος με διμετρο ΜΕ εινι εφπτομενος του ξον y'y. Κ μεσο ΕΜ p +x p y Ε(,0) Κ, Μ(x,y ) p +x p p δ y Μ Κ x + x d(k, y'y) = = = () + 0 p p (ME) - x + R= - x + y px R= R = M c y = px p +x p p p - px + x + px + px + x + x 4 4 R = R = R = R = () Aπο (), () : d(k,y'y) = R που σημινει οτι ο κυκλος εφπτετι στον ξον y'y. Ο Ε x Α σ κ η σ η 8 η Εστω η πρβολη c : y = px κι η ευθει ε : y = λx + β, με β 0. Ν δειξετε οτι η ευθει (ε) εφπτετι στη πρβολη (c) ν p = λβ. Γ ι ν εφπτετι η (ε) στη (c) πρεπει το συστημ των εξισωσεων τους ν εχει μονδικη λυση. y = px y=λx + β (λx + β) = px λ x + λβx + β = px λ x + (λβ - p)x + β = 0 Moνδικη λυση σημινει η πιο πνω δευτεροβθμι εξι - σωση ν εχει κριβως μι λυση. Δηλδη Δ = 0 [(λβ - p)] - 4λ β = 0 4(λ β - λβp + p ) - 4λ β = 0 4λ β -8λβp + 4p - 4λ β p 0 = 0-4p(λβ - p) = 0 p = λβ δ ε y Ο Ε x

83 Π ρ β ο λ η Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 9 η Εστω η πρβολη c : x = py κι τυχιο σημειο τηςμ(x,y ). Ν ποδειξετε οτι : 0 0 p Η ποστση του Μ πο την εστι Ε εινι ιση με y +. 0 Η κορυφη της πρβολης εινι το πλησιεστερο σημειο της προς την εστι. Εστω ΜΑ η ποστση του σημειου Μ π'τη διευθε - τουσ δ. Μ p p x δ : y = - η δ : 0 x + y + = 0 0 p 0 x + y M c ΜΕ = d(m,δ) ΜΕ = δ Α 0 + p y + 0 ΜΕ = p ΜΕ = y + 0 p ΜΕ γινετι ελχιστο οτν y + γινετι ελχιστο. 0 p Αυτο σημβινει ν y = 0 κι ΜΕ = που σημινει Μ Ο. 0 y Ο Ε x Α σ κ η σ η 3 0 η Ν βρειτε το γεωμετρικο τοπο των μεσων των χορδων ΟΒ της πρβολης c : y με κρ την κορυφη Ο κι Β τυχιο σημειο της πρβολης c. = px Αν Μ(x,y ) κι Β(x,y ) 0 0 τοτε x + 0 x = 0 Μ μεσο ΟΒ y + 0 Β c y = 0 y = px x = x y = y 4y = 4px y = px (y ) = p(x ) Aρ ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος εινι η πρβολη δ y y Β(x,y) Μ(x0,y0) Ο Ε x c = px

84 Π ρ β ο λ η Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 3 η Εστω η πρβολη c : y = px κι η εφπτομενη στο σημειο της Μ(x,y ) που τεμνει τον ξον x'x στο σημειο Α. Δειξτε οτι το τριγωνο ΕΑΜ (Ε εστι πρβολης) εινι ισοσκελες. Τ ο σημειο Α εινι το σημειο τομης του ξον x'x (y = 0) y κι της εφπτομενης της c στο Μ : yy = p(x + x ). Eτσι Μ p 0 yy = p(x + x ) 0 = p(x + x ) x = - x Α(- x,0) y = 0 p p Α Ο Ε x (ME) = - x + y (ME) = - x + px p p (ΑE) = + x (ΑE) = + x M c y = px p p p (ME) = - px + x + px (ME) = + px + x (ME) = + x 4 4 p p (ΑE) = + x (ΑE) = + x p ( ΑE) = + x (ME) = (ΑE) που σημινει οτι το τριγωνο ΕΑΜ εινι ισοσκελες. Α σ κ η σ η 3 η Εστω η πρβολη c : y = px κι χορδη της ΑΒ x'x που διερχετι π'την εστι Ε. Ν δειξετε οτι (ΑΒ) = (ΕΚ), οπου Κ το σημειο τομης της διευθετουσς κι του x'x. Ν δειξετε οτι οι εφπτομενες στ σημει Α κι Β διερχοντι π'το σημειο Κ. p p p Εινι Α,y, Β,- y κι K-,0 (ΑΒ) = 4p (ΑΒ) = p (ΑΒ) = (y + y ) (ΑΒ) = 4y (EK) = p (EK) = p Αc p y = p y ε p p (EK) = ( + ) (ΑΒ) = (EK) δ Α (EK) = p p p ε : yy = p x + (+) 0 = p x + p0 p Κ Ο Ε x x = - p K -,0 p p ε : - yy = p x - yy = p x + Β y = 0 ε

85 Ε λ λ ε ι ψ η Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 3 3 η Δειξτε οτι oι εφπτομενες της ελλειψης στ κρ μις διμετρου της (το ευθ. τμημ που διερχετι π'το κεντρο της ελλειψης με κρ πνω στην ελλειψη) εινι πρλληλες. Εστω ΑΒ μι διμετρος της ελλειψης. Οι ε, ε εφπτομενες με εξισωσεις: x y β x x + y = με λ = - () β y x y β x x + y = με λ = - () β y Β Η ευθει ΑΒ εχει εξισωση: y = λ x Α ΑΒ οποτε : y = λx y y = (3) BΑΒ οποτε : y = λx x x Απο (), () κι (3) προκυπτει οτι λ = λ που σημινει οτι ε ε. c ε y Ο ε Α x Α σ κ η σ η 3 4 η x y Εστω η ελλειψη c : + = κι σημειο της Ρ(x,y ). Oι εφπτομενες π'το σημειο Ρ 0 0 β προς την c εφπτοντι σ'υτην στ σημει Α κι Β. Ν ποδειξετε οτι η εξισωση της x x y y 0 0 ευθεις ΑΒ εινι της μορφης : + =. β Εστω Α(x,y), B(x,y) τ σημει επφης. Οι εφπτομενες ΡΑ κι ΡΒ εχουν εξισωσεις: Ρ y x x y y x x y y + = κι + = β β Β c Α To σημειο Ρ(x0,y0) εινι σημειο των ΡΑ κι ΡΒ, οποτε επληθευει τις εξισωσεις τους. Δηλδη Ο x x y y x x y y = κι + = β β Απ τις πιο πνω εξισωσεις προκυπτει οτι οι συντετγμενες των σημειων Α κι Β x x y y 0 0 επληθευουν την εξισωση : + =. β x Αρ η ζητουμενη x x y y = β

86 Ε λ λ ε ι ψ η Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 3 5 η Δειξτε οτι το γινομενο των ποστσεων των εστιων μις ελλειψης, πο μι τυχι εφ - πτομενη της, εινι στθερο. x y Εστω η ελλειψη c : + = με Ε'(- γ,0), Ε(γ,). β xx yy Η εφπτομενη της c στο Μ(x,y ) ε : + - = 0 β γx 0 y + - γx - β d = d(e,ε) = = x y x y d β β - γx 0 y + - γx - - β = d(e' x y y x,ε) = = + = = - x y x y β β β β γx γx γ x d d = = x x y x y x β β β γ x - = = - x γ + 4 x κι γ < 4 4 γ x - < 0-4 β β (- γ x + ) 4 - x γ + = = β x c γ x (β - ) β ε d y β - = - γ = d Μ Ε Ο Ε x Α σ κ η σ η 3 6 η Βρειτε την εξισωση της χορδης ελλειψης (c) : 4x + 9y = 36, ν το μεσο της εινι το Μ(,). x + x = Αν Α(x,y ) κι Β(x,y ) τ κρ της χορδης κι φου Μ μεσο της ΑΒ, τοτε : () y + y = Ομως τ σημει Α κι Β νηκουν στην ελλειψη, οποτε : (-) () 4x + 9y = 36 (y - y )(y + y ) 4 (y - y ) 4 4(x - x ) 9(y - y ) = 0 = - = - 4x + 9y = 36 (x - x )(x + x ) 9 (x - x ) 9 y - y =- λ = - ΑΒ x - x 9 9 Το σημειο Μ(,) νηκει στην ευθει ΑΒ, οποτε η εξισωση της εινι : y - = - (x - ) 9y - 8 = -x + x + 9y - 0 = 0 9

87 Ε λ λ ε ι ψ η Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 3 7 η Δειξτε οτι το σημειο Α(3συν,ημ) νηκει στην ελλειψη 4x + 9y = 36 κι στη συνεχει ν βρειτε τις εξισωσεις της εφπτομενης κι της κθετης στην εφπτομενη στο σημειο Α. Αφου το σημειο Α νηκει στην ελλειψη, οι συντετγμενες του επληθευουν την εξισωση της ελλειψης. Ετσι 4(3συν) + 9(ημ) = 36 36συν + 36ημ = 36 που ληθευει γι κθε. ημ + συν = Η εξισωση της εφπτομενης στο σημειο Α εινι : 4x 3συν + 9y ημ = 36 συν x + 3ημ y - 6 = 0 Ο συντελεστης διευθυνσης της κθετης της εφπτομενης εινι : Οποτε η εξισωση της εινι : 3ημ λ= συν 3ημ y - ημ = (x - 3συν) συν y - 4ημσυν = 3ημ x - 9ημσυν συν 3ημ x + συν y + 5ημσυν = 0 Α σ κ η σ η 3 8 η Ν βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ του επιπεδου, που η τετρπλσι πο - στση τους π'το σημειο Ε(3,0) ισουτι με την ποστση τους πο την ευθει (ε) : x =. Στη συνεχει ν βρειτε την εκκεντροτητ της γρμμης που προκυπτει. Αν Μ(x, y) τυχιο σημειο του γεωμ.τοπου,τοτε : 4(ΜΕ) = d(m,ε) 4 (x - 3) + (y - 0) = x - 4(x - 3) + 4y = (x - ) 4x - 4x y = x - 4x x + 4y = 08 y 36 7 x + = Αρ, ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος εινι ελλειψη. Ακομη = 36 β = 7 οποτε γ = 36-7 = 9 = 3. Ετσι γ 3 ε = = = 6

88 Ε λ λ ε ι ψ η Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 3 9 η x y Δειξτε οτι ο λογος των ποστσεων τυχιου σημειου Μ μις ελλειψης c : + = β γ π'την εστι Ε κι την ευθει ε : x = εινι ισος με την εκκεντροτητ της ελλειψης. (ΜΕ) = d(m,δ) = Πργμτι (x - γ) + y (ΜΕ) (x - γ) + y γ -x Αρκει ν ισχυει = ε =. γ + 0 (x - γx + γ + y ) = γ - x γ x - γx d(m,δ) 4 + γ + y = - γx x + ( -β ) + y = + ( -β )x 4 x β + y = + x + γ x γ - β = γ -x Μ(x,y ) c. -β x β x + y = β, που ληθευει. Α σ κ η σ η 4 0 η Δινοντι οι εξισωσεις (ε ) : λx - y = λ κι (ε ) : x + λy =, λ 0. Ν δειχτει οτι : οι πιο πνω εξισωσεις πριστνουν ευθειες, που τεμνοντι γι κθε λ το σημειο τομης τους κινειτι σε ελλειψη, της οποις βρειτε τις εστιες κι εκκεντροτητ. Στις εξισωσεις (ε ) κι (ε ), οτν ο ενς γνωστος μηδενιζετι ο λλος εινι διφορετικος του μηδενος (δεν μηδενιζουν τυτοχρον οι δυο γνωστοι) γι κθε λ 0. Ετσι οι (ε ) κι (ε ), πριστνουν ευθειες. λx - y = - λ λ - x + λy = λ (.) λx - y = - λ y = λx + λ λy = - 4λ(x + )(x - ) λy = - 4λx + 4λ x + λy = λy = - x y y + 4x = 4 x + = 4 Ο ζητουμενος γεωμετρικος τοπος εινι ελλειψη με εστιες πνω στον ξον y'y. Ομως, κι D = = λ + 0, οποτε οι δυο ευθειες τεμνοντι. γ 3 = 4 β = οποτε γ = 4 - = 3. Ετσι ε = = κι Ε'(0,- 3 ), Ε(0, 3 ). *

89 Υ π ε ρ β ο λ η Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 4 η Δειξτε οτι το γινομενο των ποστσεων ενος σημειου Μ(x,y ) πο τις συμπτωτες της υπερβολης c : β x - y = β, εινι στθερο. Oι συμπτωτες της υπερβολης εχουν εξισωσεις: β β ε : y = x κι ε : y = - x η ισοδυνμ ε : β x - y = 0 κι ε : β x + y = 0 Ετσι οι ποστσεις του Μ(x,y ) π'τις ε, ε : β x - y β x + y d(m,ε ) =, d(m,ε ) = + β + β β x - y Αρ, d(m,ε ) d(m,ε ) = () + β Ομως Μ c, oποτε β x - y = β () β β Aπο (),() : d(m,ε ) d(m,ε ) = =, που εινι στθερο. + β + β y M E Ο E x Α σ κ η σ η 4 η Εστω η ισοσκελης υπερβολη c : x - y = με εστιες Ε', Ε κι τυχιο σημειο της Μ. Ν ποδειξετε οτι : (ΟΜ) = (Ε'Μ) (ΕΜ). Eστω Μ(x,y ) Μ c x - y = () γ = + γ = γ = Ε'(-,0) κι Ε'(,0) () y x - (Ε'Μ) = (x + ) + y = x + x + + = x + x = x + x + = ( x + ) (ΕΜ) = (x - ) + y =... = ( x - ) (ΟΜ) = x + y (ΟΜ) = ( x + y ) (Ε'Μ)(ΕΜ) = ( x + ) ( x + ) (Ε'Μ)(ΕΜ) = (x - ) (ΟΜ) = ( x + y ) () (ΟΜ) = ( x + y ) (Ε'Μ)(ΕΜ) = (x + x - ) ( Ε'Μ)(ΕΜ) = ( x + y ) (ΟΜ) y Μ E Ο E x + + = = (Ε'Μ)(ΕΜ)

90 Υ π ε ρ β ο λ η Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 4 3 η Δειξτε οτι το εμβδον του τριγωνου ΟΑΒ εινι στθερο, οπου Α, Β τ σημει τομης μις εφπτομενης της υπερβολης c : β x - y = β με τις συμπτωτες της κι Ο το κεντρο της υπερβολης c. Oι συμπτωτες της υπερβολης εχουν εξισωσεις: β β ε : y = x κι ε : y = - x Εστω A το σημειο τομης της εφπτομενης ε κι της συμπτωτης ε κι B το σημειο τομης της ε κι της συμπτωτης ε. Αν Μ(x,y) τοτε : β x x - y y = β. A ε κι A ε οποτε: β β x x - y y = β β x x - y x = β β y = x β y = x β βx x - y x = β (βx - y )x = β x= βx - y β β β β Β, y = x y = x β βx - y βx - y y= βx - y ε y ε ε Α M E Ο E x Β Ομοι, B ε κι Β ε οποτε: β β x x - y y = β β x x - y - x = β β β β... Β,- y = - x β βx + y βx + y y = x Ετσι β β βx - y βx - y (ΟΑΒ) = det(oα OΒ) = = β β - βx + y βx + y β β = - - = β x - y β x - y β β = = β x - y β x - y β = = β β β x - y = β =

91 Υ π ε ρ β ο λ η Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 4 4 η Δειξτε οτι το εμβδον του πρλληλογρμμου, που σχημτιζουν οι συμπτωτες της υπερβολης c : β x - y = β κι οι πρλληλες προς υτες πο τυχιο σημειο Μ(x,y ), εινι στθερο. Oι συμπτωτες της υπερβολης εχουν εξισωσεις: β β ε : y = x κι ε : y = - x Μc β x - y = β () ΜA ε β ΜΑ : y - y = - (x - x ) η ΜMA β ΜΑ : y = y - (x - x ) Το A εινι το σημειο τομης των ΜΑ κι ε. Ετσι β β β y + βx y + βx Αε y = x y = x y= y= β Α MA β β β y + βx y + βx y = y - (x - x ) x = y + x x = x = β β Οποτε y + βx y + βx Α, β Εινι y + βx y + βx OA =, β OΜ = (x,y ) κι y + βx y + βx (ΟΑΜΒ) = (ΟΑΜ) = det(oa,om) = β = x y ε y ε Α M E Ο E x B βx y = + y -β x - βx y () y -β x - β = = = β β β β

92 Υ π ε ρ β ο λ η Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 4 5 η x y Εστω η υπερβολη c : - =. Η κθετη ευθει ε σε μι συμπτωτη της, που διερχετι a β πο μι εστι της, εφπτετι του κυκλου (Ο,). β Εστω ΕΜ κθετη στην συμπτωτη ε : y = x. Τοτε γ = + β β γ - 0 β γ β γ (ΕΜ) = d(m,ε ) = = = = + β γ γ = β = β Αρ (ΕΜ) = β κι φου (ΟΕ) = γ, π'το Πυθγορειο θεωρημ στο τριγωνο ΟΜΕ εχουμε : (ΟΜ) = (ΟΕ) - (ΕΜ) = γ - β = = =. Αρ, η κθετη π την Ε στην συμπτωτη ε, εινι εφπτομενη στο κυκλο (Ο,). y M E Ο E x Α σ κ η σ η 4 6 η Ν δειξετε οτι η εξισωση : 9x - 4y - 8x + 6y - 43 = 0 πριστνει υπερβολη. Ν δειξετε οτι η ευθει που διερχετι π'το σημειο Α(,3) κι εινι πρλληλη στην ευ - θει (ζ) : x - y + = 0, εφπτετι στην υπερβολη x - 3y = 6. 9x - 4y - 8x + 6y - 43 = 0 9(x - x + ) - 4(y - 4y + 4) = 0 (x - ) (y - ) - = () 4 9 Η () πριστνει υπερβολη με : κεντρο Κ(,3) = β = 3 γ = 3 9(x - ) - 4(y - ) = 36 x y (Εινι η υπερβολη - = μεττοπισμενη μονδ δεξι κι μονδες πνω). 4 9 Εστω (ε) η ευθει που διερχετι π'το Α(,3) που εινι πρλληλη στην (ζ). Ετσι, (ε) : y - 3 = (x - ) (ε) : y = x + Γι ν εφπτετι η (ε) στην (), πρεπει το συστημ των εξισωσεων τους ν εχει μι διπλη λυση. Πργμτι, x - 3(x + ) = 6 x - 3x - x - = 6 - x - x - = 6 x + 6x + 9 = 0 y = x + y = x + y = x + y = x + (x + 3) = 0 x = - 3 y = x + y = -

93 Υ π ε ρ β ο λ η Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 4 7 η Εστω η ευθει ε : y = λx + μ κι η υπερβολη c : β x - y = β. Δειξτε οτι η ευθει ε εφπτετι στην υπερβολη c, ν κι μονο ν μ = λ - β. Λυνουμε το συστημ των (ε) κι (c) : β x - y = β β x - (λx +μ) = β β x - (λx + μ) = β y=λx +μ y = λx +μ y = λx +μ β x - λ x - λμx - μ = β (β - λ )x - λμx - (μ + β ) = 0 () y=λx +μ y=λx +μ Γι ν εφπτετι η (ε) στη (c) πρεπει το πιο πνω συστημ ν εχει μι μονο λυση, δηλδη η () ν εχει μονδικη ριζ που σημινει οτι : Δ = 0 (- λμ) - 4(β - λ )[- (μ + β )] = 0 4 λμ β μ + 4 β - 4 λ μ 4-4 λ β = 0 4 β (μ + β - λ ) = 0 μ + β - λ = 0 μ = λ - β Α σ κ η σ η 4 8 η 3 π π Ν βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ(4εφθ, ) με θ (-, ). συνθ Εστω M(x, y). 6ημ θ 6(- συν θ) 4ημθ x = x = 9 9 x = 4εφθ x= 9 6(- ) y 3 y= 3 9 συνθ συνθ = 9 9 y συν θ = συν θ = y y y x = 6y - 44 y 9 y y x - = 9 6 συνθ y y x = 6y 9x 44 9x = 6y y - 9x = 44 - = y x - = 3 4 y x Α ρ ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ εινι η υπερβολη c : - =. 3 4

94 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η η Ν βρεθει η εξισωση κυκλου με κεντρο την ρχη των ξονων ν : διερχετι π'το σημειο Α(, ) διερχετι π'το σημειο Β( - 3β,3 + β) εφπτετι στην ευθει (ε ) : x + y = εφπτετι στην ευθει (ε ) : x + βy = β Ν βρεθει η εξισωση της εφπτομενης κυκλου c : x + y = 0, ν : εινι πρλληλη στην ευθει (ε ) : x + 3y = 4 εινι κθετη στην ευθει (ε ) : y = x 3 διερχετι π'το σημειο Α(-0,0) Η εξισωση κυκλου με κεντρο την ρχη των ξονων : x + y = ρ Αν (ε) εινι η εφπτομενη κυκλου με κεντρο Κ κι κτιν ρ, τοτε : (ρ = κτιν). d(κ,ε) = ρ Α σ κ η σ η η Ν βρεθει η εξισωση του κυκλου σε κθεμι πο τις πρκτω περιπτωσεις: εχει κεντρο το σημειο Κ(- 3, ), κι εφπτετι στον ξον y y εχει κεντρο το σημειο Κ(3, 3) κι εφπτετι των ξονων x x κι y y εχει κεντρο την ρχη των ξονων κι εφπτετι της ευθεις 3x + y = 0 εχει κεντρο το σημειο Κ(- 3, ) κι εφπτετι στην ευθει 4x - 3y + 5 = 0 εχει κτιν 4, εφπτετι στον ξον x x κι διερχετι πο το σημειο Α(5, 4) διερχετι πο τ σημει Α(3, ), Β(-, 3) κι εχει κεντρο πνω στην ευθει y = 3x περν πο τ σημει Α(,), Β(,), Γ ( 5, Η εξισωση κυκλου με κεντρο την ρχη των ξονων : x + y = ρ (ρ = κτιν). Η εξισωση κυκλου με κεντρο Κ(x,y ) : (x - x ) +(y - y ) = ρ (ρ = κτιν). Αν (ε) εινι η εφπτομενη κυκλου με κεντρο Κ κι κτιν ρ, τοτε : d(κ,ε) = ρ Αν ο κυκλος διερχετι πο δυο σημει Α, Β κι το κεντρο του βρισκετι σε ευθει (ε), τοτε το κεντρο του εινι το σημειο τομης της μεσοκθετης του τμημτος ΑΒ κι της (ε). Αν ο κυκλος διερχετι πο τις κορυφες τριγωνου ΑΒΓ το κεντρο του εινι το σημειο τομης των μεσοκθετων δυο πλευρων του τριγωνου ΑΒΓ. ) Α σ κ η σ η 3 η Ν βρειτε την εξισωση του κυκλου που εφπτετι στην ευθει ε: y = x κι εινι ομοκεντρος του κυκλου x + y - x + 4y + = 0. Η εξισωση (x - x ) +(y - y ) = ρ, πριστνει κυκλο με : κτιν ρ κι κεντρο Κ(x,y ). Αν (ε) εινι η εφπτομενη κυκλου με κεντρο Κ κι κτιν ρ, τοτε : d(κ,ε) = ρ

95 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 4 η Ν βρεθει το κεντρο κι η κτιν του κυκλου που εχει εξισωση : x + y - x - 4y = 0 x + y - y - = 0 3x + 3y + 6x - 4y - = 0 x + y + x - βy - β = 0 Η εξισωση (x - x ) +(y - y ) = ρ, πριστνει κυκλο με : κτιν ρ κι κεντρο Κ(x,y ). Η εξισωση x + y + Αx + Βy + Γ = 0 (Α + Β - 4Γ > 0), πριστνει κυκλο με : κτιν ρ= Α + Β - 4Γ - Α - Β κι κεντρο Κ(, ). Α σ κ η σ η 5 η Ν βρεθει η εξισωση κυκλου ν : εχει κεντρο Κ(,) κι διερχετι π'την ρχη των ξονων. εχει διμετρο το ευθυγρμμο τμημ ΑΒ με Α(,4) κι Β(- 3,). εχει κτιν ρ = 5 κι τεμνει τον y'y στ σημει Α(0,- 3) κι Β(0,5). Η εξισωση (x - x ) +(y - y ) = ρ, πριστνει κυκλο με : κτιν ρ κι κεντρο Κ(x,y ). Αν Κ το κεντρο του κυκλου, τοτε το Κ εινι το μεσο της διμετρου ΑΒ. Επισης, ΚΑ = ΚΒ = ρ. Α σ κ η σ η 6 η Ν βρειτε την εξισωση του κυκλου, ο οποιος εινι εγγεγρμμενος στο τριγωνο που σχημτιζει η ευθει ε: x + y - 6 = 0 με τους ξονες x x κι y y. Οι ξονες x'x (y = 0), y'y (x = 0) εινι εφπτομενες του κυκλου π'το Ο(0,0). Αν Κ το κεντρο του κυκλου, τοτε το Κ βρισκετι στη διχοτομο της xoy. Α σ κ η σ η 7 η Δινετι ο κυκλος x + y - x - = 0 κι η ευθει ε: y = x - 3. Ν ποδειξετε οτι η ευθει εφπτετι του κυκλου κι στη συνεχει ν βρειτε το σημειο επφης. Αν η ευθει (ε) εφπτετι του κυκλου (Κ,ρ) τοτε d(k,ε) = ρ. Αν Μ σημειο επφης του κυκλου (Κ,ρ) κι της (ε) : ΚΜ ε, Μ(ε), Μ (Κ, ρ)

96 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 8 η Δινετι κυκλος με εξισωση x + y - x + y -7 = 0. Ν βρεθει το μηκος της χορδης του που εχει μεσο το Μ(0,-). Ν προσδιοριστει ο λ, ωστε το κεντρο του κυκλου ν βρισκετι στην (λ - )x + y - λ + = 0. Δινοντι οι κυκλοι c : x + y + x + βy = 0 κι c : x + y + βx + y = 0, β. Ν δειχτει οτι το μηκος της κοινης τους χορδης εινι : + β. Αν Κ το κεντρο κι ΑΒ η χορδη του κυκλου με μεσο το Μ, τοτε : ΚΜ ΑΒ. Με τη βοηθει των τυτοτητων προκυπτει ο μετσχημτισμος : x + y + Αx + Βy + Γ = 0 (x - x ) +(y - y ) = ρ Αν Κ (ε) τοτε οι συντετγμενες του Κ επληθευουν την εξισωση της (ε). Τ σημει τομης δυο τεμνομενων κυκλων εινι τ κρ της κοινης χορδης τους. Α σ κ η σ η 9 η Ν βρεθει η εξισωση κυκλου ν διερχετι π'τ σημει Α(,), Β(-,4) κι το κεντρο του βρισκετι στην ευθει (ε) : 4x - 5y + = 0. Αν ο κυκλος διερχετι πο δυο σημει Α, Β κι το κεντρο του βρισκετι σε ευθει (ε), τοτε το κεντρο του εινι το σημειο τομης της μεσοκθετης του τμημτος ΑΒ κι της ευθεις (ε). Α σ κ η σ η 0 η Ν βρεθει η εξισωση του κυκλου που διερχετι π'τ σημει Α(-,5), Β(5,5) κι Γ(-,- ). Αν ο κυκλος διερχετι π'τις κορυφες τριγωνου ΑΒΓ το κεντρο του Κ εινι το σημειο τομης των μεσοκθετων δυο πλευρων του τριγωνου ΑΒΓ. Εινι : ΚΑ = ΚΒ = ΚΓ = ρ (ρ κτιν του κυκλου) Α σ κ η σ η η Ν βρειτε τις εξισωσεις των κυκλων, οι οποιοι εφπτοντι στον κυκλο: x + y = 5 στο σημειο Α(3, 4) κι εχουν κτιν ρ = 0. Αν δυο κυκλοι (Κ,ρ ), (Κ,ρ ) εφπτοντι εξωτερικ (εσωτερικ) : Αν Α σημειο επφης, τοτε : Α, Κ κι Κ εινι συνευθεικ. Κ Κ = ρ + ρ ( Κ Κ = ρ - ρ )

97 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η η Ν βρεθει η εξισωση της κοινης χορδης δυο κυκλων με κεντρ Κ(,) κι Λ(3,) που εχουν κτινες 3 κι ντιστοιχ. Αν Μ(,β) τυχιο κρο της κοινης χορδης των κυκλων c, c τοτε : Μ c κι Μ c δηλδη (,β) η λυση του συστημτος των εξισωσεων c, c. Α σ κ η σ η 3 η Ν Ν βρεθει η εξισωση του κυκλου που εχει το κεντρο του στην ευθει (ε): x + y + = 0 κι διερχετι πο τ σημει Α(-, ) κι Β (3, - ). Αν ο κυκλος διερχετι πο δυο σημει Α, Β κι το κεντρο του βρισκετι σε ευθει (ε), τοτε το κεντρο του εινι το σημειο τομης της μεσοκθετης του τμημτος ΑΒ κι της ευθεις (ε). Α σ κ η σ η 4 η Ν ποδειχτει οτι κθως το θ διγρφει το διστημ [0,π) το σημειο Μ( + ρημθ, β + ρημθ) διγρφει τον κυκλο με κεντρο Κ(, β) κι κτιν ρ. Θεωρουμε τις συντετγμενες του σημειου x, y κι λυνουμε τις ισοτητες που προκυπτουν ως πρ ημιτονο κι συνημιτονο. Αφου ημ φ + συν φ =... Α σ κ η σ η 5 η Θεωρουμε τον κυκλο C: x + y + 4y = 0 κι το σημειο Α (-, - ). Ν βρεθει η εξισωση της ευθεις ε που οριζει στον κυκλο χορδη, με μεσο το σημειο Α. Αν Κ το κεντρο κι ΓΔ η χορδη του κυκλου με μεσο το Α, τοτε : ΚΑ ΓΔ. Α ΓΔ Α σ κ η σ η 6 η Ν βρεθει η εξισωση της εφπτομενης κυκλου c : x + y = 0, ν διερχετι π'το σημειο Α(- 0, 0). Αν (ε) η εφπτομενη κυκλου (c) : x + y = ρ που διερχετι π'το σημειο Α(,β) : Αν Μ(x,y ) εινι το σημειο επφης, τοτε : ΑΜ = (x -,y -β) c : x + y = ρ κεντρο Κ(0,0) κι κτιν ρ κι ΚΜ = (x,y ) 0 0 ΚΜ ΜΑ ΚΜ ΜΑ = 0

98 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 7 η Απο τυχιο σημειο Μ του επιπεδου Οxy φερνουμε τη ΜΑ y'y κι τη ΜΒ κθετη στην ευθει ε: y = x. Αν (ΑΒ) = 4 ν βρειτε το γεωμετρικο τοπο του σημειου Μ. Αν Μ(x,y) τοτε Α(0,y) κι Βε Β(κ,κ)... ΜΒ ε λ =... ΜΒ Α σ κ η σ η 8 η Ν βρειτε τον γεωμετρικο τοπο των σημειων Μ γι τ οποι ισχυει ΜΑ =, οπου Α(, ), των σημειων Μ γι τ οποι ισχυει ΜΑ ΜΒ, οπου Α(, 0) κι Β(-, 0), των μεσων Μ των ευθυγρμμων τμημτων ΑΒ μηκους 8, των οποιων τ κρ Α κι Β κινουντι στους ξονες x'x κι y'y ντιστοιχ. Αν ΜΑ = κ, Α στθερο σημειο, τοτε Μ κινειτι σε... ΜΑ ΜΒ ΑΒ φινετι υπο ορθη γωνι π'το σημειο Μ Α x'x τοτε Α(κ,0) ενω Βy'y τοτε Β(0,λ)... Α σ κ η σ η 9 η Δινετι κυκλος c: x + y = 4 κι σημειο Κ(5,0). Απο το Κ φερνουμε τυχι ευθει που τεμνει τον C στ σημει Α κι Β. Ν βρειτε τον γεωμετρικο τοπο των μεσων των χορδων ΑΒ. Αν Μ(x,y) το μεσο της χορδης κι Λ το κεντρο του κυκλου c : ΛΜ ΜΚ λ λ =... ΛΜ ΜΚ Α σ κ η σ η 0 η Ν βρεθει η εξισωση της εφπτομενης κυκλου c : x + y = 0, ν : εινι πρλληλη στην ευθει (ε ) : x + 3y = 4 εινι κθετη στην ευθει (ε ) : y = x 3 Αν (ε) η εφπτομενη κυκλου (c) : x + y = ρ πρλληλη στην (δ) : x + βy + γ = 0 (ε) : x + βy + κ = 0 d(k,ε) = ρ Αν (ε) η εφπτομενη κυκλου (c) : x + y = ρ κθετη στην (δ) : x + βy + γ = 0 (ε) : βx - y + λ = 0 d(k,ε) = ρ

99 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η η Δινετι η εξισωση ( C λ ): x + y + (λ - )x - (λ + )y + 3λ - 0 = 0, λ. Ν ποδειξετε οτι η εξισωση πριστνει κυκλο γι κθε λ. Ν βρειτε το κεντρο του πρπνω κυκλου κι ν δειξετε οτι υτο κινειτι σε ευθει γι κθε λ. Ν ποδειξετε οτι ο κυκλος ( C λ ) διερχετι πο δυο στθερ σημει. Αρκει A + B - 4Γ > 0 με c : x + y + Ax + By + Γ = 0 Εξισωνουμε τις συντετγμενες του κεντρου Κ με (x, y). Απλειφουμε τη πρμετρο. Γι δυο τυχιες τιμες της πρμετρου λυνουμε το συστημ των c που προκυπτει. Αλλιως : Μετσχημτιζουμε τη c σε Κ λ + Μ = 0 (λ πρμετρος) κι λυνουμε το συ - στημ των Κ = 0 κι Μ = 0. Α σ κ η σ η η Ν βρεθει η εξισωση της εφπτομενης του κυκλου, ν : c : x + y - x - 4y + = 0 στο σημειο Α(-,). c : x + y + x - 4βy β = 0 στο σημειο Α(,β). Αν (ε) η εφπτομενη κυκλου (c) : (x - x ) + (y - y ) = ρ που διερχετι π'το σημειο Α(,β) : Αν Μ(x,y ) εινι το σημειο επφης, τοτε : ΑΜ = (x -,y -β) c : (x - x ) + (y - y ) = ρ ΚΜ ΜΑ ΚΜ ΜΑ = 0 κεντρο Κ(x,y ) κι κτιν ρ κι ΚΜ 0 0 = (x - x,y - y ) Α σ κ η σ η 3 η Δινετι η ευθει ε: y = x + κι ο κυκλος C: x + y + λ x λ y = 0. Ν προσδιορισετε το λ ωστε. η ε ν τεμνει τον κυκλο C, η χορδη που οριζει η ε στον κυκλο C ν φινετι πο την ρχη των ξονων υπο ορθη γωνι. Αν Κ, ρ το κεντρο κι η κτιν του κυκλου (c), η (ε) τεμνει τον (c) ν : d(κ,ε) < ρ. 0 Αν ΑΒ η χορδη τοτε ΑΟ Β = 90 ΑΒ διμετρος... Α σ κ η σ η 4 η Ν βρεθει ο γ.τ. των μεσων των χορδων του κυκλου c : x + y - x = 0 που διερχοντι πο την ρχη των ξονων. Αν Κ το κεντρο του κυκλου κι ΑΒ η χορδη του κυκλου με μεσο το Μ, τοτε : ΚΜ ΑΒ ΚΜ ΑΜ = ΚΜ ΒΜ = 0

100 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 5 η Ν βρεθουν οι εξισωσεις των κυκλων, οι οποιοι εφπτοντι στον κυκλο με κεντρο Ο(0,0) κι κτιν R = 5, στο σημειο Α(3,4) κι εχουν κτιν ρ = 0. Δειξτε οτι οι κυκλοι : c : x + y - x - 4y - 4 = 0 κι c : x + y - 8x - y + 48 = 0 εφπτοντι εξωτερικ κι στη συνεχει ν βρειτε το σημειο επφης Α. Αν δυο κυκλοι (Κ,ρ ), (Κ,ρ ) εφπτοντι εξωτερικ (εσωτερικ) : Αν Α σημειο επφης, τοτε : Α, Κ κι Κ εινι συνευθεικ. Κ Κ = ρ + ρ ( Κ Κ = ρ - ρ ) Α σ κ η σ η 6 η Ν ποδειξετε οτι η εξισωση x + y - 4x - y + = 4 πριστνει κυκλο γι κθε. Ν βρειτε το κεντρο κι την κτιν του. Γι ποι τιμη του ο πρπνω κυκλος εφπτετι: ) του ξον x'x, β) της ευθεις y = - x. Αρκει A + B - 4Γ > 0 με c : x + y + Ax + By + Γ = 0 Αν (ε) εφπτομενη κυκλου (Κ,ρ) τοτε d(k,ε) = ρ. Α σ κ η σ η 7 η Δινοντι η ευθει ε : 5x + 3y + = 0 κι ο κυκλος στ σημει Μ κι Ν. Ν δειξετε οτι γι κθε λ, η εξισωση: c : x + y - x - = 0, που τεμνοντι x + y - x - + λ(5x + 3y + ) = 0 πριστνει ενν κυκλο Cλ, ο οποιος διερχετι πο τ σημει Μ κι Ν. Γι ποι τιμη του λ ο κυκλος περν πο την ρχη των ξονων; Ν δειξετε οτι τ κεντρ των κυκλων Cλ νηκουν σε μι ευθει ε, της οποις ν βρειτε την εξισωση. Σημειο τομης δυο κμπυλων : Λυνουμε το συστημ των εξισωσεων τους. Αρκει A + B - 4Γ > 0 με c : x + y + Ax + By + Γ = 0 Αν Μ(x,y) c τοτε x,y επληθευουν την εξισωση του κυκλου c. Εξισωνουμε τις συντετγμενες του κεντρου Κ με (x, y). Απλειφουμε τη πρμετρο. Α σ κ η σ η 8 η Ν βρεθει ο γ.τ. των σημειων Α που εινι κορυφες ορθης γωνις ορθογωνιου τριγωνου με υποτεινουσ ΒΓ, οπου Β(, β) κι Γ(β,) ( β). ο ΑΜΒ = 90 ΑΜ ΒΜ = 0

101 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 9 η Θεωρουμε τον κυκλο C: x + y = 4 κι την ευθει ε: y = x + 5. Ν δειξετε οτι ο κυκλος κι η ευθει δεν εχουν κοινο σημειο. Απο εν σημειο Μ της ευθεις ε φερνουμε τις εφπτομενες στον κυκλο κι Α κι Β τ σημει επφης. Ν δειξετε οτι, οτν το σημειο Μ διγρφει την ευθει ε, η ευθει ΑΒ διερχετι πο εν στθερο σημειο. Αν η ευθει (ε) δεν τεμνει τον κυκλο (Κ,ρ) : d(κ,ε) > ρ Απο εξωτερικο σημειο κυκλου τ εφπτομεν τμημτ εινι ισ... Α σ κ η σ η 3 0 η Δινοντι οι κυκλοι c : x + y = κι c : (x - ) +(y - ) = 5. Ν δειχτει οτι οι δυο κυκλοι τεμνοντι στ σημει Α κι Β. Ν βρεθει η εξισωση της κοινης χορδης τους ΑΒ. Αν η πρλληλη προς την ΑΒ π'το κεντρο του κυκλου c τεμνει τους ξονες x'x κι y'y στ σημει Α' κι Β' ντιστοιχ, ν υπολογιστει το εμβδον του τρπεζιου ΑΒΒ'Α'. Αν δυο κυκλοι (Κ,ρ ), (Κ,ρ ) τεμνοντι : ρ - ρ < Κ Κ < ρ + ρ Τ Α, Β εινι κοιν σημει των κυκλων, οποτε λυνουμε... Δειξτε οτι τ σημει Α, Α' νηκουν στον ξον x'x, ενω τ Β, Β' στον y'y. Υπολογιστε το ζητουμενο εμβδον σν διφορ... Α σ κ η σ η 3 η Δινοντι οι κυκλοι c : x + y =, c : x + y - 4x = 0 κι η ευθει ε : y = λx + β, λ, β. Ν βρειτε τις ποστσεις των κεντρων των κυκλων c, c π'την ευθει ε. Γι ποιες τιμες των λ, β η ευθει ε εινι κοινη εφπτομενη των κυκλων c, c ; Ν δειξετε οτι οι κοινες εφπτομενες των δυο κυκλων τεμνοντι στον ξον x'x κι ν βρειτε την οξει γωνι των εφπτομενων υτων. Η ποστση του σημειου Α(x,y ) π'την ευθει (ε) : Αx + By + Γ = 0 δινετι πο : 0 0 Αx + Β y + Γ 0 0 d(a,ε) = Α + Β Αν Κ, Κ τ κεντρ των δυο κυκλων, η ε κοινη εφπτομενη ν : d(κ,ε) = d(κ,ε) Αν Μ x'x τοτε εινι της μορφης Μ(κ,0). λ = εφω... κι λ - λ =... ε ε ε

102 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 3 η Ν βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων τομης των ευθειων (ε): λx (λ + )y = 3λ κι (ε): (3λ + )x + (λ )y = 6λ -, λ. Δειχνουμε οτι οι δυο ευθειες τεμνοντι (λυνουμε το συστημ...) Βρισκουμε τις συντετγμενες του σημειου τομης. Εξισωνουμε τις συντετγμενες του σημειου τομης με (x, y). Απλειφουμε τη πρ - μετρο... Α σ κ η σ η 3 3 η Δινετι το σημειο Ρ(0,7) κι ο κυκλος (c) : x + y - 4x - y - 0 = 0. Na βρεθει η μεγλυτερη κι η μικροτερη ποστση που μπορει ν εχει εν σημειο του κυκλου π'το σημειο Ρ. Δειχνουμε οτι το σημειο Ρ εινι εκτος του κυκλου. Αν Κ το κεντρο του κυκλου, το σημειο τομης Α του κυκλου κι της ΚΡ εινι το σημειο του κυκλου που πεχει μικροτερη ποστση π'το σημειο Ρ. Το ντιδιμετρικο του σημειου Α, εινι υτο που πεχει π'το σημειο Ρ τη μεγλυτερη ποστση. Α σ κ η σ η 3 4 η Ν βρεθει η εξισωση της πρβολης με κορυφη την ρχη των ξονων, ξον συμμε - τρις τον x'x, κι διερχετι π'το σημειο Α(-, ). Ν βρεθει η εξισωση της πρβολης με εστι Ε(3,0) κι διευθετουσ δ : x + 3 = 0. Ν βρεθει η εξισωση της πρβολης με κορυφη την ρχη των ξονων, ξον συμμε - τρις τον x'x κι εφπτετι στην ευθει ε : y = 4x +. p p y = px τοτε Ε,0, δ : x = - p p x = py τοτε Ε0,, δ : y = - Δυο κμπυλες εφπτοντι, ν το συστημ των εξισωσεων τους εχει μονδικη λυση. Α σ κ η σ η 3 5 η Απο το σημειο (-, 3) προς την πρβολη y = 8x γρφοντι δυο εφπτομενες ευθειες. Ν βρειτε τις εξισωσεις των εφπτομενων υτων ευθειων. Ν ποδειξετε οτι οι εφπτομενες υτες ευθειες εινι κθετες. Aν M(x,y ) το σημειο επφης Η εφπτομενη διερχετι π'το σημειο, ρ f(x,y ) =... M(x,y ) νηκει στη πρβολη, ρ...

103 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 3 6 η Ν βρεθει η εξισωση της πρβολης με κορυφη το (0, 0) στις πρκτω περιπτωσεις: εινι συμμετρικη ως προς το θετικο ημιξον Οx κι εχει πρμετρο p = 5 εινι συμμετρικη ως προς τον ξον Οx κι διερχετι πο το σημειο (-, 4) εινι συμμετρικη ως προς τον ξον Οy κι διερχετι πο το σημειο (, ) εχει ξον συμμετρις τον Οy κι εστι Ε(0,-4) εχει εστι Ε (-, 0) κι διευθετουσ δ: x - = 0 p p p p y = px τοτε Ε,0, δ : x = - x = py τοτε Ε 0,, δ : y = - Μι κμπυλη διερχετι π'το σημειο Μ(x,y ) ν x,y επληθευουν την εξισωση της κμπυλης. Α σ κ η σ η 3 7 η Δινετι η πρβολη y = 4x. Ν βρεθουν η εστι κι η διευθετουσ της πρβολης. Ν βρεθει η εξισωση της εφπτομενης της πρβολης, που σχημτιζει γωνι 35 0 με τον ξον x x. p p y = px τοτε Ε,0, δ : x = - κι εφπτομενη yy = p(x + x ) p p x = py τοτε Ε0,, δ : y = - κι εφπτομενη xx = p(y + y ) 0 εφ35 = -. Α σ κ η σ η 3 8 η Εστω η πρβολη y εινι κθετη στην ευθει ε : 3x + y + 3 = 0. = 4x. Ν βρεθει η εξισωση της εφπτομενης της πρβολης που Εστω η πρβολη c : y = x κι το σημειο Α(, 4). Ν βρεθει : η εξισωση της εφπτομενης της c στο σημειο Α. η εξισωση της κθετης στην εφπτομενη της c στο σημειο Α. p p y = px τοτε Ε,0, δ : x = - κι εφπτομενη yy = p(x + x ) p p x = py τοτε Ε0,, δ : y = - κι εφπτομενη xx = p(y + y ) ε ε λ = λ ε ε ε ε λ λ = - ε ε

104 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 3 9 η N εξετσετε ν η ευθει ε : 3x + y + 6 = 0 εινι εφπτομενη της πρβολης y = 8x. Ν βρεθει η θεση της ευθεις ε : x + y + = 0 ως προς την πρβολη c : y = x. Γι ποι τιμη του κ η ευθει ε : x + y + = 0 εφπτετι στην πρβολη c : y Ν βρεθει η συνθηκη ωστε η ευθει ε : y = x + β, 0 ν εφπτετι στην πρβολη c : y = px. Αν το συστημ των εξισωσεων της πρβολης (c) κι της ευθεις (ε) : εχει μι λυση :(c) κι (ε) εφπτοντι. εχει δυο λυσεις :(c) κι (ε) τεμνοντι. δεν εχει λυση :(c) κι (ε) δεν εχουν κοινο σημειο. = κx. Α σ κ η σ η 4 0 η Ν βρεθουν οι εξισωσεις των εφπτομενων της πρβολης C: y = 4x που περνουν πο το σημειο Μ(-, 3/). Κτοπιν ν βρεθει η γωνι που σχημτιζουν. Aν M(x, y ) το σημειο επφης Η εφπτομενη διερχετι π'το σημειο, ρ f(x,y ) =... M(x,y ) νηκει στη πρβολη, ρ... Βρειτε τη γωνι των πρλληλων προς τις εφπτομενες δινυσμτων... Α σ κ η σ η 4 η Δινετι η ευθει ε: y = λx + κ κι η πρβολη c: y = px. N δειξετε οτι η ευθει ε εινι εφπτομενη της πρβολης οτν p = κλ (λ 0). Aπιτουμε το συστημ των εξισωσεων των (ε) κι (c) ν εχει μονδικη λυση. Α σ κ η σ η 4 η Ν βρειτε οτι την εξισωση της πρβολης, με : εστι το σημειο Ε(- 3,) κι διευθετουσ (δ) : x = - 5 κορυφη το σημειο Κ(- 3,) κι διευθετουσ (δ) : x = 5 Εξισωση μορφης c : (y - y ) = p(x - x ) 0 0 p p E(x +,y ) K(x,y ) δ : x = x Eνλλκτικ : d(m,e) = d(m,δ) oπου Μ σημειο της (c)

105 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 4 3 η Βρειτε την εξισωση της πρβολης που εφπτετι στην ευθει ε: y = x -. ειξτε οτι οι εφπτομενες που φεροντι πο τυχιο σημειο της διευθετουσς εινι κθετες. Aπιτουμε το συστημ των εξισωσεων των (ε) κι (c) ν εχει μονδικη λυση... κι προσδιοριζουμε το p... p Το σημειο π'οπου διερχοντι οι εφπτομενες εινι της μορφης (0, - )... Α σ κ η σ η 4 4 η Ν βρεθει η εξισωση της πρβολης που εχει κορυφη την ρχη των ξονων κι ξον συμμετρις τον y y οτν: Εχει εστι το σημειο Ε(0,- 4). Εχει διευθετουσ την ευθει y =. Διερχετι πο το σημειο Α(4,). p p c : x = py τοτε Ε0,, δ : y = - Α (c) Α σ κ η σ η 4 5 η Ν βρειτε την εστι κι την διευθετουσ των πρβολων: y = 6x y = - 4x y = 8x y = p p c : x = py τοτε Ε0,, δ : y = - p p c : y = px τοτε Ε,0, δ : x = - x x = 5y x = - y Α σ κ η σ η 4 6 η ινετι η πρβολη c: y = ρx, η χορδη υτης ΑΒ κι η εφπτομενη (ε) της πρβολης πρλλη-λη στην ΑΒ. Αν Κ(xo,yο) το σημειο επφης της εφπτομενης κι Μ το μεσο της ΑΒ, ν ποδειξετε οτι η ΚΜ εινι πρλληλη στον ξον x x. Αν Μ(x,y ) κι φου Κ(x,y ), ρκει ν δειξουμε : y = y λ = λ ε ΑΒ Μ μεσο ΑΒ 0 0 0

106 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 4 7 η Ν βρειτε τις συντετγμενες της κορυφης κι της εστις της πρβολης κθως κι την εξισωση της διευθετουσς, ν η εξισωση της πρβολης εινι : x = y - x + x = y y = x + 3 Αν το κεντρο της πρβολης εινι Κ(x,y ), τοτε : 0 0 p p (y - y ) = p(x - x ), Εx +,y, (δ) : x = - + x p p (x - x ) = p(y - y ), Εx, + y, (δ) : y = - + y Α σ κ η σ η 4 8 η ινετι η πρβολη c: y = x. Ν βρειτε τις συντετμενες του μεσου Μ της χορδης που οριζε-τι πο την ευθει ε: 3x y =. Η λυση του συστημτος των (c) κι (ε) δινει τ κρ της χορδης. Μ μεσο της χορδης... Α σ κ η σ η 4 9 η Ν βρεθει η σχετικη θεση της ευθεις x + y + = 0 ως προς την πρβολη y = x. Αν το συστημ των εξισωσεων της πρβολης (c) κι της ευθεις (ε) : εχει μι λυση :(c) κι (ε) εφπτοντι εχει δυο λυσεις :(c) κι (ε) τεμνοντι δεν εχει λυση :(c) κι (ε) δεν εχουν κοινο σημειο. Α σ κ η σ η 5 0 η Απο εν σημειο Μ της διευθετουσς της πρβολης y = ρx φερουμε εφπτομενες στην πρβολη. Αν Α κι Β τ σημει επφης, ν βρεθει η εξισωση της ευθεις ΑΒ. ειξτε οτι τ Α, Β κι η εστι Ε εινι σημει συνευθεικ. Αν Μ σημειο της πρβολης (c) με εστι Ε κι διευθετου (δ) τοτε d(μ,δ) = (ΜΕ). Προσδιοριζουμε τις ευθειες (ε ), (ε ) πνω στις οποιες βρισκοντι τ Α, Β. Οι συντετγμενες του Ε επληθευουν την εξισωση της ευθεις ΑΒ.

107 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 5 η Ν βρεθει το σημειο της πρβολης y = 4x που πεχει πο την εστι της ποστση ιση με. Αν Μ σημειο της πρβολης (c) με εστι Ε κι διευθετου (δ) τοτε d(μ,δ) = (ΜΕ) Προσδιοριζουμε την ευθει (ε) πνω στην οποι βρισκετι το Μ. Μ κοινο σημειο της (c) κι (ε). Α σ κ η σ η 5 η Ν βρειτε τις εφπτομενες της πρβολης (c) : y = 36x που διερχετι π'το σημειο Α(,9). Οι ευθειες που διερχοντι π'το σημειο Α(x,y ) εινι οι : 0 0 (ε ) : x = x κι (ε ) : y - y = λ(x - x ) Εξετζουμε ν οι ευθειες υτες εχουν εν μονο κοινο σημειο με την πρβολη. Α σ κ η σ η 5 3 η Δινετι κυκλος με κεντρο Κ(0,- 4) που εφπτετι στην πρβολη y = - x. Ν βρεθει η εξισωση του κυκλου. Δινετι ο κυκλος x + y = κι η πρβολη y = 8x. Ν βρεθουν οι κοινες εφπτομε - νες του κυκλου κι της πρβολης κι ν δειξετε οτι εινι κθετες. Γι ν εφπτετι ο κυκλος κι η πρβολη, πρεπει το συστημ των εξισωσεων τους ν δινει μι κριβως λυση. (Το τριωνυμο x +βx + γ εχει μι ριζ, ν Δ = 0). Α σ κ η σ η 5 4 η ινετι η πρβολη c: y = x κι ο κυκλος c: (x - 3) + y = 36. ειξτε οτι: κυκλος κι πρβολη τεμνοντι σε δυο σημει Α κι Β. οι εφπτομενες της πρβολης στ Α κι Β τεμνοντι πνω στον κυκλο c. Οι (c ), (c ) τεμνοντι ν το συστημ των εξισωσεων τους δινει δυο λυσεις. Οι συντετγμενες του σημειου τομης των (ε ), (ε ) επληθευουν τη (c ). Α Β Α σ κ η σ η 5 5 η Αν 0, ν ποδειξετε οτι το σημειο Μ(, ), με στθερο, κινειτι σε πρβολη, λ λ οτν το λ μετβλλετι στο. Αν Μ(x,y) τοτε x =..., y =... πλειφουμε τη πρμετρο...

108 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 5 6 η Δινετι στθερο σημειο A κι ευθει (ε) που δεν διερχετι πο το A. Ν ποδειξετε οτι ο γεωμετρικος τοπος των κεντρων των κυκλων που διερχοντι πο το Α κι εφπτοντι στην (ε), εινι πρβολη. Αν Κ(x,y) το κεντρο του κυκλου (Κ,ρ), τοτε : d(k,ε) = (ΚΑ) = ρ... Α σ κ η σ η 5 7 η Ν βρεθει η εξισωση ελλειψης που διερχετι π'το σημειο Μ(6, 4) κι ισχυει = β. Ν βρεθει η εξισωση της ελλειψης με εκκεντροτητ ε = κι μι εστι Ε(0, ). 3 x y Ν βρεθει η εξισωση της ελλειψης + = με μεγλο ξον 8 κι εκκεντροτητ β 3 ε =. 4 5 Ν βρεθει η εξισωση της ελλειψης με εστιες Ε'(- 5,0), Ε(5,0) κι εκκεντροτητ ε =. 8 Εστικη ποστση = γ, Μεγλος ξονς =, Μικρος ξονς = β. x y x y + = Ε'(- γ,0), Ε(γ,0) στον (x'x) + = Ε'(0,- γ), Ε(0,γ) στον (y'y) β β γ = β + γ κι ε = < Α σ κ η σ η 5 8 η Ν βρειτε την εξισωση της ελλειψης οτν: Εχει εστι Ε (- 8,0) κι μεγλο ξον 0 Εχει εστι Ε(0,3) κι μεγλο ξον 8 Εχει εστι Ε(4,0) κι εκκεντροτητ / Εχει εκκεντροτητ 3/5 κι μεγλο ξον 0 = β κι διερχετι πο το σημειο (6,4) Eχει εστιες στον ξον y y, κορυφες Β (-,0), Β(,0) κι μεγλο ξον 6 Eχει μεγλο ξον στον x x κι διερχετι πο τ σημει Μ(3,- 4) κι Ν(- 6,) Eχει μεγλο ξον στον y y, διερχετι πο το σημειο Ρ( Ε Ε = 4. Εστικη ποστση = γ, Μεγλος ξονς =, Μικρος ξονς = β. β x + y = β τοτε Ε'(- γ,0), Ε(γ,0) στον (x'x) x + β y = β τοτε Ε'(0,- γ), Ε(0,γ) στον (y'y) = β + γ κι γ ε = <,) κι εστικη ποστση

109 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 5 9 η Ν βρειτε την εξισωση της ελλειψης που διερχετι πο το σημειο Μ(,) κι ο μικρος της ξονς εινι το /3 του μεγλου. Εστικη ποστση = γ, Μεγλος ξονς =, Μικρος ξονς = β. M νηκει στην ελλειψη κι οι συντετγμενες του επληθευουν... Α σ κ η σ η 6 0 η Ν βρεθει η εκκεντροτητ κι οι εστιες κθεμις πο τις ελλειψεις: x + 4 y = 4 4 x + 9 y = 36 9 x + 5 y = 5 x y κ x κ y Ν ποδειξετε οτι οι ελλειψεις + = κι + = εχουν την ιδι β β εκκεντροτητ. Εστικη ποστση = γ, Μεγλος ξονς =, Μικρος ξονς = β. β x + y = β τοτε Ε'(- γ,0), Ε(γ,0) στον (x'x) x + β y = β τοτε Ε'(0,- γ), Ε(0,γ) στον (y'y) = β + γ κι γ ε = < Α σ κ η σ η 6 η Ν βρειτε την εξισωση της ελλειψης που διερχετι πο το σημειο Μ(3,) κι ο μικρος της ξονς εινι το / του μεγλου. Εστικη ποστση = γ, Μεγλος ξονς =, Μικρος ξονς = β. M νηκει στην ελλειψη κι οι συντετγμενες του επληθευουν... Α σ κ η σ η 6 η Ν βρειτε την εξισωση της χορδης ελλειψης (c) : 4x + 9y = 36, ν το μεσο της εινι το σημειο Μ(-,). x y Ν βρειτε την εξισωση της χορδης ελλειψης (c) : + =, ν το μεσο της εινι το ση μειο Μ(,). Αν Α(x,y ) κι Β(x,y ) τ κρ της χορδης: Αφου Μ μεσο της ΑΒ, τοτε... Τ σημει Α κι Β νηκουν στην ελλειψη, οποτε...

110 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 6 3 η Ν ποδειχτει οτι ο λογος των ποστσεων τυχιου σημειου Μ της ελλειψης x y (c) : + = π'την εστι Ε κι την ευθει δ : x = εινι ισος με την εκκεντροτητ β γ της ελλειψης. Αν Μ(x,y ) τοτε (ΜΕ) Μc = d(m,δ) γ Α σ κ η σ η 6 4η x y Ν βρεθει το μηκος του ευθυγρμμου τμημτος με κρ στην ελλειψη (c) : + = β που διερχετι π'την εστι Ε(γ,0) κι εινι κθετο στον μεγλο ημιξον της. Αν Α, Β τ κρ της χορδης τοτε Α, Β συμμετρικ ως προς τον ξον x'x με ιδι τετμημενη την... Α, Βc Α σ κ η σ η 6 5 η Ν βρεθουν οι εξισωσεις των εφπτομενων της ελλειψης c : + y = που : εινι πρλληλες στην ευθει ε : x + 3y + = 0. εινι κθετες στην ευθει ε : x + y + = 0. Γι ν εινι η ευθει (ε) εφπτομενη στην ελλειψη (c) πρεπει το συστημ των εξισω - σεων τους ν εχει μι μονο λυση. (ε) (ε ) : x + βy + γ = 0 τοτε (ε) : x + βy + κ = 0... η λ ε ε (ε) (ε ) τοτε λ λ ε ε = - = λ x 3 Α σ κ η σ η 6 6 η x y Δινετι η ελλειψη + =. Ν δειξετε οτι η ευθει y = x + 5 εφπτετι στην 4 9 ελλειψη κι ν βρειτε το σημειο επφης. Γι ν εινι η ευθει (ε) εφπτομενη στην ελλειψη (c) πρεπει το συστημ των εξισω - σεων τους ν εχει μι μονο λυση. Αν M(x,y ) το σημειο επφης M (ε)... M (c)...

111 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 6 7 η x y Απο εν σημειο Μ γοντι δυο εφπτομενες της ελλειψης (c) : + = κι η ευθει 6 4 που διερχετι π'τ σημει επφης εχει εξισωση x - 3y + 4 = 0. Ν βρειτε τις συντετγμενες του σημειου Μ. A, B τ σημει επφης. Α, Β κοιν σημει ελλειψης κι ευθεις (λυνουμε το...). ΜΑ κι ΜΒ οι εφπτομενες με κοινο σημειο τους το Μ κι Α, Β σημει τους. Α σ κ η σ η 6 8 η Ν δειξετε οτι το σημειο Α(συνφ, βημφ), φ, νηκει σε ελλειψη με κεντρο την ρχη των ξονων, μεγλο ξον πνω στον x'x κι μικρο ξον β πνω στον ξον y'y. Στη συνεχει ν βρειτε την εξισωση της εφπτομενης κι της κθετης στην εφπτομενη στο σημειο Α. Αφου Α (c), οι συντετγμενες του επληθευουν την εξισωση της ελλειψης. x y xx yy τοτε, στον κι εφπτομενη : + = Ε'(- γ,0) Ε(γ,0) (x'x) + = β β x y xx yy τοτε, + = Ε'(0,- γ) Ε(0,γ) στον (y'y) κι εφπτομενη : + = β β Α σ κ η σ η 6 9 η Θεωρουμε την ελλειψη c: 4x + 9y = κι μι εφπτομενη ε υτης. Αν Ε, Ε εινι οι εστιες της c, ν ποδειξετε οτι d(e,ε) d(ε,ε) = /9. H ελλειψη c : κ x + λ y = εινι ισοδυνμη με την c : + = γ = -β Αx + Βy + Γ = 0 Μ(x,y ) ε : Αx + Βy + Γ = 0 τοτε d(μ,ε) = Α + Β x y κ λ Α σ κ η σ η 7 0 η Ν δειξετε οτι το σημειο Μ (- t ) βt, + t + t, t νηκει σε ελλειψη. Αν Μ(x,y) τοτε x =..., y =... πλειφουμε τη πρμετρο...

112 Κ ω ν ι κ ε ς Τ ο μ ε ς Α λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς Α σ κ η σ η 7 η Ν βρεθει ο γεωμετρικος τοπος των σημειων Μ του επιπεδου, που η διπλσι ποστση τους π'το σημειο Ε(,0) ισουτι με την ποστση τους πο την ευθει (ε) : x = 4. Στη συνεχει ν βρειτε τις εστιες της γρμμης που προκυπτει. Αν Μ(x,y ) κι ε : Αx + Βy + Γ = 0 τοτε Αx + Βy + Γ = 0 d(μ,ε) = (ΜΕ) d(μ,ε) = Α + Β Α σ κ η σ η Εστω c : 7 η β x + y = κι σημει Α(συνθ,βημθ) κι Β(- ημθ, βσυνθ), θ [0,π) Ν δειξετε οτι τ σημει νηκουν στην ελλειψη Αν οι εφπτομενες στ Α κι Β τεμνοντι στο σημειο Μ ν βρεθει ο γεωμετρικος τοπος του Μ. Αφου τ σημει Α, Β νηκουν στην ελλειψη, οι συντετγμενες τους επληθευουν την εξισωση της ελλειψης. Μ σημειο τομης των εφπτομενων ΜΑ, ΜΒ κι λυνουμε... Α σ κ η σ η 7 3 η Δινοντι οι εξισωσεις (ε ) : 5y = 3λ(x + 5) κι (ε ) : 5λy = 3(5 - x), λ 0. Ν δειχτει οτι : οι πιο πνω εξισωσεις πριστνουν ευθειες, που τεμνοντι γι κθε λ το σημειο τομης τους κινειτι σε μι ελλειψη, της οποι ν βρειτε τις εστιες κι την εκκεντροτητ. Δειχνουμε οτι δεν μηδενιζοντι τυτοχρον οι συντελεστες των... Λυνουμε το συστημ των εξισωσεων των ευθειων. Απλειφουμε τη πρμετρο... Προσδιοριζουμε τ, β κι γ... * Α σ κ η σ η 7 4 η x y Δινετι ο κυκλος x + y = 4 κι η ελλειψη + =. () 6 Δειξτε οτι το σημειο (,-3 ) εινι κοινο τους σημειο κι στη συνεχει βρειτε ολ τ κοιν σημει. Ν δειξετε οτι τ κοιν τους σημει εινι κορυφες ορθογωνιου πρλληλογρμμου. Ν βρεθουν τ σημει Μ (x0, y0) ωστε x0 + y0 = 4 κι (Ε Μ) + (ΕΜ) = 6. (οπου Ε, Ε οι εστιες της ελλειψης () ). Οι συντετγμενες κοινου σημειου δυο γρμμων επληθευουν τις εξισωσεις τους. Οι λυσεις του συστημτος των εξισωσεων δυο γρμμων δινουν τ σημει τομης. Ορισμος ελλειψης...