Uvod i vektorski prostori

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Uvod i vektorski prostori"

Transcript

1 ЛИНЕАРНА АЛГЕБРА припрема испита Оно што следи представља белешке које сам правио непосредно пред полагање усменог дела испита (јул године). Због тога нису потпуне, и може понешто бити нетачно, или пропуштено. Нисам посећивао предавања, па ово нису белешке са предавања! Већина одговора је заснована на књизи Линеарна Алгебра, од Г. Калајџића. Коришћена је и књига Алгебра од истог аутора, али и повремено друге књиге (као што је књига Џ. Хеферона, бесплатно доступна). Надам се да ове белешке не угрожавају било чија (ауторска) права пре свега, оне не могу заменити прави уџбеник, и не садрже ни најмањи део онога што би уџбеник морао. Наравно, ја (Данило Шеган) не нудим никакве гаранције у вези ових белешки (па тиме ни гаранције да ћете положити испит, или да вам неће отпасти глава). Просто, понуђене су свакоме на увид и измене. Како се ради о општем знању, нећу се позивати на било која ауторска права, и документ се може дистрибуирати и мењати под Лиценцом за Слободну Документацију (ФДЛ, посетите ). У Београду, 23. септембар ДАНИЛОВА СТУДЕНТСКА СТРАНИЦА! "#$%&'()*+-,."0/1 "2"331465

2 Uvod i vektorski prostori pitanje 1. Pojmovi monoida, grupe i prstena. Pravila računanja. Svaki ureden - par (S, ) skupa S i binarne operacije u tom skupu zovemo jednim grupoidom. Ako je tada i operacija asocijativna, tj. važi (a b) c = a (b c), tada ovu strukturu zovemo polugrupom. Element e M nazivamo neutralom polugrupe (M, ) ili same operacije, ako za sve x M važi x e = x, i e x = x. Polugrupe sa neutralom nazivamo monoidima. grupi. Element x monoida (M,, e) je inverzibilan, ako postoji bar jedno x M takvo da je x x = e i x x = e. (Osobine inverza i neutrala) 1 Neutral svakog monoida je jedinstven. 2 Inverz svakog elementa je jedinstven. 3 Inverz svakog elementa x je tako - de inverzibilan i (x ) = x. 4 Za inverzibilne elemente x, y je inverzibilna i njihova kompozicija (x y) = y x. Monoid u kome su svi elementi inverzibilni nazivamo grupom. Svaka jednačina oblika x a = b i a x = b za a, b elemente grupe (G, ) ima tačno jedno rešenje u toj Homomorfizmom grupe (G,,, e) u grupu (Γ,,, ɛ) nazivamo svako preslikavanje f: G Γ za koje je f(a b) = f(a) f(b). (1) Jasno je da je tada takode - i f(a ) = f(a), kao i f(e) = ɛ. Ako postoji bar jedna surjekcija f : G H iz neke (komutativne) grupe (G, ) u neki grupoid (H, ), i važi (1), tada je i grupoid H takode - jedna (komutativna) grupa. D798;:=<?> Iskoristiti surjektivnost i (1) i dokazati sve osobine potrebne da H bude grupa. Operacija je distributivna prema + u skupu K, ako za sve a, b, c K važi (a + b) c = a c + b c, a (b + c) = a b + b c. Strukturu (K, +, ) nazivamo prstenom ako za nju važi: 1 (K, +) je komutativna grupa. 2 (K, ) je monoid. 3 Operacija je distributivna u odnosu na operaciju +. U bilo kojem prstenu K u kojem je nula 0, za sve a, b, c iz K važi: 1 a 0 = 0, 0 a = 0, 2 a( b) = ( a)b = ab, 3 ( a)( b) = ab, 4 (a b)c = ac bc, c(a b) = ca cb. U svakom prstenu možemo uvesti aditivni m-i stepen ma, kao i n-i stepen a n svakog elementa a. Tada važi i (ma) (nb) = (mn)(a b), kao i a m a n = a m+n i (a m ) n = a mn. Takode - je ab = ba (ab) n = a n b n, i ba = ab b r a s = a s b r. Indukcijom se dokazuje da u svakom prstenu K u kojem ab = ba važi i binomna formula n 1 ( ) n (a + b) n = a n + a n k b k + b n. k k=1

3 pitanje 2. Vektorski prostori. Osnovni primeri. Pod vektorskim prostorom V nad poljem K podrazumevamo svaku algebarsku strukturu (V, +, ) sa jednom binarnom operacijom (u, v) u + v i spoljnom K-operacijom (α, v) αv u skupu V, tako da je za sve u, v V i sve α, β K: 1 (V, +) je komutativna grupa; 2 α(u + v) = αu + αv; 3 (α + β)u = αu + βu; 4 α(βu) = (αβ)u; 5 1u = u, gde je 1 = 1 K jedinica, α + β suma i αβ proizvod elemenata α i β u polju K. Za vektorski prostor V nad poljem K i proizvoljne skalare α, α r iz K, i vektore u, u r iz V važi: 1 0u = 0 V, α0 = 0, 2 αu = 0 α = 0 u = 0, 3 α( u) = ( α)u = αu, 4 α(u u n ) = αu αu n, 5 (α α n )u = α 1 u + + α n u. Primeri 1 Prostor geometrijskih vektora Vektori kao usmerene duži euklidskog prostora, sa njihovim sabiranjem i množenjem skalarima zadovoljavaju aksiome vektorskog prostora. 2 Vektorski prostor K n Svako polje K i prirodan broj n, skup K n ure - denih n-orki iz K (x 1,..., x n ), i operacijama + i definisanim kao (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ), α (x 1,..., x n ) = (αx 1,..., αx n ), indukuje i jedan vektorski prostor (K, +, ). Ovakav prostor zovemo koordinatnim vektorskim prostorom dimenzije n. 3 Vektorski prostor polinoma Svaki prsten L je i vektorski prostor nad bilo kojim njegovim potpoljem K. Označavamo ga sa L K. Tako su prostori i C R, C Q i C C. Naročito, prsten polinoma L = K[X] sa jednom neodre - denom X i koeficijentima iz polja K je i vektorski prostor u odnosu na sabiranje polinoma i množenje skalarima. Svaki skalar je tako - de vektor u ovom prostoru. 4 Vektorski prostor matrica Uobičajeno definisano sabiranje matrica i množenje istih skalarima je i jedan vektorski prostor. 5 Vektorski prostor funkcija Sa K S označavamo skup svih preslikavanja f: S K. Ako je K polje, i u, v: S K bilo koje dve ovakve funkcije, i α K, tada su sa x u(x) + v(x) i x αu(x) definisana tako - de dva preslikavanja iz K S. Označavamo ih sa u + v i αu, i onda je (K S, +, ) tako - de jedan vektorski prostor. 6 Dekartov proizvod vektorskih prostora Za vektorske prostore U 1,..., U n nad istim poljem K, je i skup V svih n-orki (u 1,..., u n ) sa u i U i, jedan vektorski prostor sa operacijama (u 1,..., u n ) + (v 1,..., v n ) = (u 1 + v 1,..., u n + v n ), α (u 1,..., u n ) = (αu 1,..., αu n ). Sada se može pokazati da i ovako definisana struktura (V, +, ) zadovoljava aksiome vektorskog prostora.

4 pitanje 3. Potprostori vektorskih prostora. Za neprazan skup U vektora iz datog vektorskog prostora V nad poljem K kažemo da je jedan njegov vektorski potprostor, ako je zatvoren u odnosu na njegove operacije, tj. ako važi u, v U u + v U, α K, u U αu U. Jasno je da je sada i sam U jedan vektorski prostor sa istim operacijama nad istim poljem K kao i prostor V. Presek bilo koja dva potprostora U i W prostora V je takode - jedan potprostor od V. Uopšte, presek bilo koje familije potprostora V je takode - potprostor od V. Skup U+W = {u+w : u U, w W } nazivamo sumom vektorskih potprostora U i W. Slično definišemo i sumu vektorskih potprostora U i, U = U 1 + U U n, čiji su elementi vektori u = u 1 + u u n sa u i U i. Ukoliko su vektori u i sa ovim svojstvom odredeni - jednoznačno, onda naznačenu sumu potprostora zovemo direktnom i pišemo U = U 1 U 2 U n. Za vektor u = u 1 + u n iz direktne sume potprostora U i važi u = 0, tada je i u i = 0 za svako i. Obrnuto, ako za sve i i u i U i važi u u n = 0 u 1 = = u n = 0, tada je suma U = U U n direktna. Suma U = U U n bilo kojih n potprostora U i vektorskog prostora V je direktna, ako i samo ako za svako k, 2 k n je (U U k 1 ) U k = {0}. Naročito, suma dva potprostora U i W je direktna, ako i samo ako je njihov presek trivijalan, odnosno U +W = U W U W = {0}. D@9A;B=C?D Izaberemo vektor u iz (U U k 1 ) U k, i tada postoje vektori u i U i takvi da je u = u u k 1 i u = u k. Prema tome je u u k = 0. Ako je data suma direktna, onda mora biti i u 1 = = u k = 0, pa i u = 0, i tvr - denje važi. Kada data suma nije direktna, tada postoje u i U i za koje je u u k = 0, a u k 0. Kako sada dati presek sadrži i neki ne-nula vektor u k = u u k 1, to on neće biti trivijalan. Neka je V vektorski potprostor nad poljem K. Ako je U potprostor V, onda je njegova slika pri translaciji za vektor a V, a + U = {a + u : u U} jedan afini potprostor datog vektorskog prostora. Tada vektorski potprostor U nazivamo njegovom direktrisom. Afini potprostor je i vektorski potprostor ako i samo ako je vektor a sadržan u U. Presek dva afina potprostora Π = a + U i Γ = b + W istog vektorskog prostora V je ili prazan, ili odreden - afini potprostor sa direktrisom U + W. D@9A;B=C?D Ako je c Π Γ, tada je i Π = c + U, odnosno Γ = c + W. Tada za vektor v važi v Π i v Γ ako i samo ako je v c U i v c W, odnosno v c U W. Zato v pripada Π Γ ako i samo ako pripada i afinom potprostoru c + U W. Afini potprostor Π = a + U je paralelan afinom potprostoru Γ = b + W vektorskog potprostora V, i označavamo sa Π Γ ako je direktrisa jednog sadržana u direktrisi drugog, odnosno U W ili W U.

5 pitanje 4. Linearna nezavisnost. Neka je V vektorski prostor nad poljem K. Vektor u V je linearna kombinacija nad datim sistemom e = [e 1,..., e n ] od n vektora e i V (ili samih vektora e i ), ako je u = α i e i, za bar jednu n-orku (α 1,..., α n ) skalara iz K. Skup svih linearnih kombinacija nad sistemom e iz vektorskog prostora V nazivamo njegovim linearnim omotačem i pišemo Ω(e) = Ω(e 1,..., e n ). Lako se pokaže da je Ω(e) tada i jedan vektorski potprostor od V. Sa (α 1,..., α n ) (α 1 e 1,..., α n e n ) sada možemo definisati preslikavanje L e : K n V vektorskog prostora K n u sam vektorski prostor V, čija je slika upravo omotač od e: Im L e = Ω(e). Ako je preslikavanje L e (definisano kao iznad) surjektivno, onda sistem vektora e nazivamo generatrisom prostora V. Slično definišemo i linearnu kombinaciju bilo koje S-familije vektora iz V, ili linearnu kombinaciju vektora iz bilo kog podskupa A od V. Tada je i Ω(A) upravo minimalni potprostor od V koji sadrži A. Ako su A i B bilo koji skupovi ili sistemi vektora iz datog vektorskog prostora V, za njihove linearne omotače važi sledeće. 1 Ω(Ω(A)) = Ω(A), 2 A B Ω(A) Ω(B), 3 Ω(A B) = Ω(A) + Ω(B), 4 A B Ω(A) Ω(A) = Ω(B). DE9F;G=H?I 2. važi, a 1. važi iz razloga što je Ω(A) potprostor od V (pa se svi vektori iz njegovog omotača nalaze i u njemu samom). 4. Na osnovu 2. je Ω(A) Ω(B) i pomoću 1. je još Ω(B) Ω(Ω(A)) = Ω(A), pa je Ω(A) = Ω(B). 3. Vektor v je u Ω(A B) ako i samo ako postoji konačno mnogo vektora u i A i vektora w j B, i skalari α i, β j K za koje je v = P α iu i + P β jw j. Kako je sad za u = P α iu i Ω(A) i w = P β jw j Ω(B), v = u + w pa važi tvrdenje. - Ako su data dva sistema vektora e = [e 1,..., e n ] i f = [e 1,..., f r,..., e n ], za sistem f kažemo da nastaje iz sistema e primenom elementarne operacije ako je f r = αe r ili f r = e r + λe s, gde je α inverzibilan element u odgovarajućem polju K. Za sistem f vektora iz V koji se može dobiti uzastopnom primenom konačno mnogo elementarnih operacija iz sistema e, kažemo da je elementarno ekvivalentan sistemu e. Ako je dat jedan homomorfizam L e vektorskog prostora K n u vektorski prostor V sa (α 1,..., α n ) α 1 e α n e n, njegova slika je upravo linearni omotač Ω(e). Ukoliko je L e injektivan, to znači da za sve α r, β r K je αr e r = β r e r ako i samo ako je α r = β r. Kada to zapišemo kao (α r β r )e r = 0 vidimo da je L e injektivan ako i samo ako za proizvoljne λ r iz K je λ 1 e λ n e n = 0 λ 1 = = λ n = 0. Tada je i L e jedan izomorfizam vektorskog prostora K n na potprostor Ω(e). Ako za sistem vektora e = [e 1,..., e n ] relacija λ 1 e 1 + +λ n e n = 0 moguća jedino za λ 1 = = λ n = 0, kažemo da je dati sistem e linearno nezavisan. Ukoliko sistem nije linearno nezavisan, onda je linearno zavisan. Ako je e = [e 1,..., e n ] bilo koji linearno nezavisan sistem vektora iz V, onda je to i sistem f = [e 1,..., e n, u] ako i samo ako vektor u nije linearna kombinacija vektora iz e. DE9F;G=H?I Ako je u = P α ie i, tada je α 1e α ne n + u = 0, pa je uslov neophodan. Ako, pak, vektor u nije linearna kombinacija vektora iz e, ako je α 1e α ne n + αu = 0, tada mora biti i α = 0, pa je i α 1e α ne n = 0. Ovo je sada moguće jedino kada su svi α r = 0, pa je i sistem f linearno nezavisan. Ako je sistem vektora e linearno nezavisan, onda je to i svaki sistem f koji iz iz prvog može dobiti uzastopnom primenom konačno mnogo elementarnih operacija. DE9F;G=H?I Dokažemo za sistem koji se dobija primenom jedne elementarne operacije.

6 Linearni omotač Ω(e) bilo kog sistema e = [e 1,..., e n ] vektora iz prostora V ne može imati više od n = e linearno nezavisnih vektora, odnosno, za svaki linearno nezavisan sistem vektora f = [a 1,..., a m ] važi f Ω(e) f e. DJ9K;L=M?N Jasno je da važi za n = 0, 1. Neka je onda n > 1 i f = [a 1,..., a m] bilo koji linearno nezavisan sistem vektora iz Ω(e). Tada moraju postojati i skalari α rs iz K takvi da je a r = α r1e 1 + α r2e α rne n, za r = 1,..., m. Za a 1 0 mora biti i bar jedan od skalara α 1r različit od nule, pa neka je to α 11. Tada možemo pomnožiti red a 1 sa λ 2 = α 21/α 11 i dodati na red a 2, pa ćemo imati da je a 2 λ 2a 1 = λ 22e λ 2ne n. Slično su i svi ostali a r linearna kombinacija vektora a 1 i e 2,..., e n. Kako se ovakav sistem od vektora a 1 i vektora oblika a r λ ra r 1 za r > 1 dobija elementarnim operacijama iz f, to je i on sam linearno nezavisan. Tako - de je i taj sistem bez vektora a 1 linearno nezavisan, pa se indukcijom dokazuje tvr - denje. pitanje 5. Baza vektorskog prostora. Ako u vektorskom prostoru V nad poljem K postoji neki sistem vektora e = [e 1,..., e n ] koji je i generatrisa i linearno nezavisan, tada za svaki vektor u postoji tačno jedan sistem u e = (α 1,..., α n ) skalara iz K, tako da je u = α 1 e α n e n. Uz to je sa u u e definisan i jedan izomorfizam prostora V na prostor K n. DJ9K;L=M?N Kako je e generatrisa, ovakvi skalari moraju postojati. Dalje, kako je sistem e linearno nezavisan, ovi moraju biti i jedinstveni. Da je na ovaj način definisan i jedan izomorfizam lako se proveri. Bazom ili osnovom datog vektorskog prostora V nad poljem K podrazumevamo svaku familiju e = (e s : s S) vektora iz V, koja je i generatrisa i linearno nezavisna. Ovu familiju nazivamo i familijom koordinata, a njene komponente koordinatama samog vektora u odnosu na bazu e. Za svaku familiju e = [e s : s S] vektora iz K-vektorskog prostora V, sledeći uslovi su ekvivalentni: 1 e je jedna baza prostora V. 2 e je neka minimalna generatrisa prostora V. 3 e je neka maksimalna linearno nezavisna familija vektora iz V. Svaki vektorski prostor V konačne dimenzije ima bar jednu bazu. Takode, - u njemu je svaki linearno nezavisan sistem vektora f deo neke baze, i svaka generatrisa g sadrži bar jednu bazu. Ako je vektorski prostor V konačne dimenzije, onda je to i svaki od njegovih potprostora U. Pored toga, postoji i bar jedan potprostor W takav da je V = U W. DJ9K;L=M?N Postoji m N od kojeg prostor V nema više linearno nezavisnih vektora, pa postoji i bar jedan maksimalan linearno nezavisan sistem e = [e 1,..., e p] vektora iz U. Tada je on i jedna baza potprostora U, ali i početni deo neke baze e = [e 1,..., e p, f 1,..., f q] prostora V. Ako je W = Ω(f 1,..., f q), tada mora biti V = U W. Pomoću linearne nezavisnosti se utvrduje - da je ova suma i direktna.

7 pitanje 6. Dimenzija vektorskog prostora. Ukoliko je e jedna baza vektorskog prostora V sa n vektora, tada i svaka od njegovih baza f mora imati tačno n vektora. DO9P;Q=R?S Mora biti e Ω(f) i f Ω(e), pa je i f e, kao i e f, odnosno f = e. Broj vektora n bilo koje baze vektorskog prostora V nazivamo dimenzijom tog prostora, i označavamo sa n = dim V. Ukoliko je e = [e 1,..., e n ] sistem od n = dim V vektora iz vektorskog prostora V, tada su sledeći iskazi ekvivalentni. 1 sistem e je baza prostora V. 2 sistem e je linearno nezavisan. 3 sistem e je generatrisa prostora V. Dimenzija K-vektorskog prostora V je n 1 ako i samo ako je on izomorfan prostoru K n. Uopšte, dva K-vektorska prostora U i V su izomorfna ako i samo ako su iste dimenzije. DO9P;Q=R?S Pomoću koordinatizacije vektorskog prostora. Za K-vektorski prostor V i njegove potprostore U i W važi: 1 dim U dim V. 2 dim U = dim V U = V. 3 dim(u + W ) + dim(u W ) = dim U + dim W. (Grasmanova formula) DO9P;Q=R?S 3. Pomoću dopuna baza.

8 Matrice pitanje 7. Vektorski prostor matrica. Kada radimo sa matricama nad nekim poljem ili prstenom K, možemo uočiti neke naročite matrice kao što su dijagonalne ili gornje- i donje-trougaone matrice. Kada definišemo sabiranje matrica kao sabiranje po komponentama, i množenje skalarima kao množenje svake komponente skalarom, lako se proveri da je tako definisana struktura (M mn (K), +, ) i jedan vektorski prostor. Dimenzija ovakvog vektorskog prostora je dim M mn (K) = mn (izabrati sve matrice u kojima je tačno jedna komponenta 1 sistem ovih matrica je jedna baza prostora matrica). Sa ϖ: A A T je definisan i jedan izomorfizam prostora M mn (K) na prostor M nm (K). pitanje 8. Množenje matrica. Pod proizvodom matrica A = [α ij ] m n i B = [β ij ] n p podrazumevamo matricu C = A B = [γ ij ] m p, gde je γ ij = α i1 β 1j + + α in β nj. Razlozi ovakve definicije se nalaze u koordinatnom preslikavanju vektora pomoću matrica, odnosno u kompoziciji takvih preslikavanja. Lako je proveriti da za matricu E datu kao E =......, koja je dijagonalna i svi elementi na dijagonali su 1, a reda je n n, važi AE = A, kao i EB = B kad god su odgovarajući proizvodi definisani. Matricu E nazivamo jediničnom matricom reda n nad poljem K. Za proizvoljne matrice A, B, C nad izabranim poljem K i bilo koje od skalara α, β iz K važi sledeće. 1 (AB) T = B T A T. 2 (AB)C = A(BC). 3 (αa)(βb) = (αβ)(ab). 4 (A + B)C = AC + BC, C(A + B) = CA + CB. DT9U;V=W?X Ispitivanjem dimenzija i pojedinačnih komponenti svake rezultujuće matrice. Ako su date matrice A = [A ij ] σ π i B = [B ij ] π τ, u kojima su i A ij i B ij takode - matrice, na sličan način definišemo i proizvod AB. (Pravilo o blok-množenju) Ako su A = [A rk ] i B = [B ks ] bilo koje blok-podele datih matrica A i B nad poljem K za koje postoji proizvod AB, tada je i taj proizvod jedna blok-podela matrice AB. DT9U;V=W?X Prvo proveriti da li je domen isti. Zatim izabrati neki član rezultujućih matrica AB i AB, i pokazati da su oni jednaki.

9 pitanje 9. Linearna grupa. Ako za matricu A i proizvoljne matrice X i Y važi AX = AY X = Y, odnosno XA = Y A X = Y, tada je matrica A regularna sleva, odnosno zdesna. Matrica je regularna ako je regularna i sleva i zdesna. Ako je sistem vektora e = [e 1,..., e n ] linearno nezavisan, za proizvoljne matrice X i Y nad K važi ex = O X = O, kao i ex = ey X = Y. DY9Z;[=\?] Ako je X = [λ rs], iz ex = O sledi da je λ 1se λ nse n = 0 za sve s, pa je sistem e linearno nezavisan ako i samo ako je λ rs = 0 za sve r. ex = ey e(x Y ) = O. Svaka matrica A za koju postoji i bar jedna matrica P takva da je AP = E i P A = E, je inverzibilna matrica. Matricu P zovemo inverzom date matrice A i označavamo sa A 1. Skup M n (K) svih inverzibilnih matrica reda n nad uočenim poljem K je grupa u odnosu na matrično množenje. Grupu iz prethodnog tvr - denja nazivamo linearnom grupom stepena n nad poljem K i označavamo sa GL(n, K) = M n (K). Matrica A formata (m, n) je inverzibilna zdesna, odnosno sleva ako postoji bar jedna matrica P takva da je AP = E, odnosno P A = E. Tada je P njen desni, odnosno levi inverz. Za svaku matricu A formata (m, n) nad poljem K su sledeći uslovi ekvivalentni. 1 matrica A je inverzibilna, odnosno ima i levi i desni inverz. 2 matrica A je kvadratna i ima desni inverz. 3 matrica A je kvadratna i ima levi inverz. 4 matrica A je kvadratna i inverzibilna. 5 matrica A je kvadratna i regularna. 6 kolone i vrste matrice A su linearno nezavisne. DY9Z;[=\?] (1 2): Sa e označimo bazu prostora K m, i sa f = ea. Ako je P takvo da važi AP = E m, tada je i fp = eap = ee m = e, pa je e Ω(f), odnosno e f. Slično se dobije i da je f e, odnosno m = n. (2 4): f = ea je tako - de jedna baza prostora K n, pa postoji Q, e = fq, odnosno f = fqa, pa (pošto je f baza) mora biti E = QA. (6 4): Kako su kolone matrice linearno nezavisne, kao i vrste, to mora biti n = m, pa postoje P i Q za koje je AP = E i QA = E. pitanje 10. Rang matrice. Svaka od kolona A s = (α 1s,..., α ms ) matrice A = [α rs ] m n nad poljem K je i vektor iz vektorskog prostora K m. Pod rangom kolona same matrice A podrazumevamo ρ(a, ) = dim Ω(A, ), gde je (A, ) = [A 1,..., A n ]. Analogno definišemo i rang vrsta. Ako je φ, odnosno ψ bilo koja elementarna operacija na kolonama, odnosno vrstama matrice A M mn (K), tada je φ(a) = Aφ(E), odnosno ψ(a) = ψ(e)a. DY9Z;[=\?] Neka je φ =: K r + αk s, a E jedinična matrica reda n. Ako matricu A zapišemo pomoću njenih kolona, i na isti način i matrice φ(a) i φ(e), i uporedimo odgovarajuće kolone.

10 Za sve matrice A iz M mn (K) i bilo koje odgovarajuće inverzibilne matrice P i Q, matrice A i P A imaju isti rang kolona, a matrice A i AQ isti rang vrsta. Naročito, ako je ω elementarna operacija na kolonama ili vrstama matrice A, tada matrice A i ω(a) imaju isti rang vrsta i kolona. D^9_;`=a?b Iskoristiti da je AX = O BX = O za svaku kolonu X, ako matrice A i B imaju isti rang kolona; izabrati B = P A. Matrica B nad poljem K je elementarno ekvivalentna (u odnosu na vrste, kolone) sa datom matricom A ako postoji konačno elementarnih operacija kojima se od matrice A dobija matrica B. Za svaku matricu A domena m n nad poljem K postoji ne-negativan ceo broj k za koji je ona elementarno ekvivalentna matrici A 0 = , domena m n sa k jedinica na početku dijagonale. Tada je i ρ(a, ) = ρ(a, ) = k. D^9_;`=a?b Elementarnim operacijama svedemo na ovakvu matricu, a zatim je jasno da je k i rang. Rang matrice A je bilo rang kolona, bilo rang vrsta te matrice (pošto su jednaki). Da bi matrica A nad poljem K bila inverzibilna, neophodno je i dovoljno da se ona može elementarnim operacijama na vrstama transformisati u jediničnu matricu. Te iste operacije jediničnu matricu transformišu u matricu A 1. pitanje 11. Ekvivalentne i slične matrice. Matrica B je ekvivalentna matrici A domena m n nad poljem ili prstenom K ako postoji par inverzibilnih matrica P i Q takvih da je B = P AQ. Ako je B = P A, odnosno B = AQ, kažemo da su A i B ekvivalentne sleva, odnosno zdesna. Matrica je regularna ili inverzibilna ako i samo ako je to i bilo koja njoj ekvivalentna matrica. Dve matrice A i B nad poljem K su elementarno ekvivalentne ako i samo ako su i elementarno ekvivalentne, i još važi A, B ekvivalentne A 0 = B 0 ρ(a) = ρ(b). D^9_;`=a?b Neka je B = P AQ, gde su P i Q inverzibilne matrice. Zbog toga matrica C = P A ima isti rang kolona kao i matrica A, a matrica B = CQ = P AQ ima isti rang vrsta kao matrica C, odnosno rang matrice B i A je isti. Ako su ψ 1,..., ψ r, φ 1,..., φ s elementarne operacije koje matricu A domena m n transformišu u matricu A 0, tada ti ψ i -ovi transformišu matricu E m u P, a φ j -ovi matricu E n u Q, takve da su P i Q inverzibilne, i A 0 = P AQ. Za matricu B kažemo da je slična matrici A nad poljem ili komutativnim prstenom K i označavamo B A, ako postoji bar jedna inverzibilna matrica P za koju je B = P 1 AP. Slične matrice su ekvivalentne, kvadratne, istog reda n; relacija je relacija ekvivalencije na M n (K).

11 Linearna preslikavanja pitanje 12. Pojam i algebra linearnih preslikavanja. Preslikavanje L: V W, gde su V i W K-vektorski prostori, je linearno ako za sve u, v V i svako α K važe L(u + v) = L(u) + L(v), L(αu) = αl(u). Prvi uslov nazivamo uslovom aditivnosti, a drugi uslovom homogenosti preslikavanja L. Još linearna preslikavanja nazivamo i homomorfizmima u klasi svih K-vektorskih prostora. Injektivna linearna preslikavanja nazivamo monomorfizmima, surjektivna epimorfizmima, a bijektivna izomorfizmima. Za svako linearno preslikavanje L: V W gde su V i W K-vektorski prostori važi sledeće. 1 L je izmorfizam L čuva baze. 2 L je epimorfizam L čuva generatrise. 3 L je monomorfizam L čuva linearnu nezavisnost. Algebra linearnih preslikavanja Skup W S svih preslikavanja nepraznog skupa S u vektorski prostor W nad poljem K je i sam jedan K-vektorski prostor u odnosu na operacije (F, G) F + G i (α, F ) αf, odre - dene sa (F + G)(x) = F (x) + G(x) i (αf )(x) = αf (x), gde su F, G: S W. Ako je skup S tako - de jedan K-vektorski prostor, i ako su preslikavanja F i G linearna, onda su to i njihov zbir i proizvod skalarom. Ako su preslikavanja G: U V i F : V W linearna, onda je to i njihova kompozicija L = F G. Tako - de, za proizvoljna K-linearna preslikavanja F, G, H i skalare α, β K važi: 1 (F G) H = F (G H), 2 (αf ) (βg) = (αβ)(f G), 3 F (G + H) = F G + F H, (G + H) F = G F + H F, kada su ove relacije definisane. Ako je dalje n = dim V i m = dim W, i e, f baze prostora V, odnosno W, tada sa Φ(L) = [L] ef označavamo bijekciju prostora L(V, W ) svih K-linearnih preslikavanja L: V W na prostor svih m n matrica M mn (K) nad poljem K. Ako su g, e i f bilo koje baze vektorskih prostora U, V i W, za proizvoljna K-linearna preslikavanja F : U V i G, H: V W važi: 1 [G + H] ef = [G] ef + [H] ef. 2 [αg] ef = α[g] ef. 3 [G F ] gf = [G] ef [F ] ge. Dalje, ako je n = dim V i m = dim W, tada je sa Φ(L) = [L] ef definisan jedan izomorfizam Φ vektorskog prostora L(V, W ) na vektorski prostor M mn (K), a time je i dim L(V, W ) = mn. pitanje 13. Rang linearnog preslikavanja. Ako je dato linearno preslikavanje L: V W, gde su V i W dva K-vektorska prostora. Zbog osobina preslikavanja L je L(V ) vektorski potprostor od W. Skup L(V ), gde je V jedan K-vektorski prostor, i L linearno preslikavanja, nazivamo slikom tog preslikavanja i označavamo sa Im L = {L(u) : u V }. Skup svih vektora u za koje važi L(u) = 0 nazivamo jezgrom linearnog preslikavanja L, i označavamo sa Ker L = {u V : L(u) = 0}. I samo jezgro Ker L je jedan vektorski potprostor od V. Dalje, kako je za L(u) = L(v) i vektor u v Ker L, to je L injektivno ako i samo ako je Ker L = {0}. Za dato preslikavanje L: V W, dimenziju slike Im L ako je konačna nazivamo rangom, a dimenziju jezgra Ker L defektom tog linearnog preslikavanja. Pišemo i ρ(l) = dim Im L i δ(l) = dim Ker L.

12 Za svaki K-vektorski prostor V konačne dimenzije, suma ranga i defekta bilo kog od linearnih preslikavanja L: V W jednaka je dimenziji njenog domena, tj. ρ(l) + δ(l) = dim V. Dc9d;e=f?g Ako je n = dim V, i h = [h 1,..., h s] jedna baza potprostora Ker L. Ona se može dopuniti sistemom e = [e 1,..., e k ] od k = n s vektora do jedne baze e samog prostora V. Sada je i L(e) jedna generatrisa prostora Im L, a kako je L(h i) = 0, to je e jedna baza prostora Im L. pitanje 14. Promena baze i koordinata. Kako je svaki K-vektorski prostor V dimenzije n izomorfan vektorskom prostoru K n, to svakom vektoru u V možemo pridružiti jednu n-orku brojeva u e = (α 1,..., α n ) iz K n koju nazivamo koordinatama tog vektora u odnosu na bazu e = [e 1,..., e n ] ako je u = α 1 e α n e n. Ako su date dve baze e = [e 1,..., e n ] i f = [f 1,..., f n ] vektorskog prostora K, tada vektore f i predstaviti kao linearnu kombinaciju vektora iz e: f 1 = α 11 e 1 + α 21 e α n1 e n možemo f 2 = α 12 e 1 + α 22 e α n2 e n.. f n = α 1n e 1 + α 2n e α nn e n Sada možemo izdvojiti matricu A = [α rs ], i vidimo da je ovde f = ea. Zbog linearne nezavisnosti vektora u e, ova matrica je odredena - jednoznačno. Matricu A nazivamo matricom prelaska sa baze e na bazu f vektorskog prostora V nad poljem K ako za nju važi f = ea. Još je označavamo sa A = [f] e. Ako je e baza vektorskog prostora V nad poljem K, n dimenzija tog prostora, i A matrica iz M n (K), tada je sistem f = ea takode - baza prostora V ako i samo ako je matrica A inverzibilna, i matrica A 1 je matrica prelaska sa baze f na bazu e. Dc9d;e=f?g Ako je f baza, i B = [e] f, iz f = ea i e = fb je e = eab, pa zbog linearne nezavisnosti e mora biti AB = E, što upravo znači da je B = A 1. Ako je e = fa 1, tada je svaki od vektora iz e linearna kombinacija vektora iz f koji zato mora biti jedna generatrisa. Kako on ima n = dim V vektora, jasno je da je i f jedna baza. Prema prethodnom, svaka baza se može dobiti iz neke druge primenom konačno mnogo elementarnih operacija. Ako su u e = (x 1,..., x n ) i u f = (y 1,..., y n ) kolone koordinata istog vektora u V u odnosu na baze e i f, ukoliko za matricu A važi e = fa, onda i samo onda je u e = Au f. Dc9d;e=f?g Iskoristi da je u = eu e = fu f kao i f = ea. Ako su u e = (x 1,..., x n ) T i u f = (y 1,..., y n ) T kolone koordinata vektora u u odnosu na baze e i f = ea vektorskog prostora V, tada sistem x 1 = α 11 y 1 + α 12 y α 1n y n x 2 = α 21 y 1 + α 22 y α 2n y n.. x n = α n1 y 1 + α n2 y α nn y n nazivamo formulama promene koordinata pri prelasku sa baze e na bazu f = ea, A = [α rs ], kao i u f = A 1 u e.

13 pitanje 15. Odre - denost i matrica linearnog preslikavanja. Za svaku bazu e = [e 1,..., e n ] vektorskog prostora V nad poljem K, i bilo koji sistem f = [f 1,..., f n ] od n vektora iz K-vektorskog prostora W, postoji tačno jedno linearno preslikavanje L: V W za koje je L(e) = f, odnosno L(e i ) = f i. Tako - de je L(u) = fu e za sve u V, a samo preslikavanje je izomorfizam, epimorfizam ili monomorfizam ako i samo ako je sistem f baza, generatrisa ili linearno nezavisan u prostoru W. Dh9i;j=k?l Kako je L(α 1e α ne n) = α 1L(e 1) + + α nl(e n), to je sa L(e i) = f i, odnosno L(α 1e α ne n) = α 1f α nf n jedinstveno odre - deno ovo linearno preslikavanje. Lako se proveri da je tu i L(u) = fu e. Ako je e = [e 1,..., e n ] baza prostora V, a f = [f 1,..., f n ] baza prostora W, L linearno preslikavanje iz V u W, i sa L(e) = fa odredena - slika baze e, matricu A = [α ij ] nazivamo matricom preslikavanja L u odnosu na baze e i f i označavamo sa A = [L] ef. Ukoliko je i L(e) = fb, mora biti fa = fb, pa i A = B, odnosno ovakva matrica je jedinstvena. Matrica linearnog preslikavanja L: V W u odnosu na neki par baza (e, f) vektorskih prostora V i W je jedina matrica A nad poljem skalara K za koju važi L(u) = fau e za sve u V. Obrnuto, ako je n = e i m = f i A M mn (K), sa L(u) = fau e je odredeno - jedinstveno linearno preslikavanje L: V W za koje je A = [L] ef. Dh9i;j=k?l Kako je L(e) = fa i L(u) = u 1L(e 1) + + u nl(e n) = L(e)u e to je L(u) = fau e. Matrice linearnog preslikavanja L u odnosu na razne parove baza su me - dusobno ekvivalentne. Ako su A i B matrice linearnog preslikavanja L: V W u odnosu na neke parove baza (e, f) i (g, h) prostora V i W, onda postoji tačno jedan par inverzibilnih matrica P i Q nad poljem K za koje je B = Q 1 AP, g = ep, h = fq. Obrnuto, ako je A = [L] ef i P, Q neke inverzibilne matrice za koje je prethodno definisano, tada je i (g, h) jedan par baza prostora V i W, kao i B = [L] gh. Dh9i;j=k?l Kako su g i e, odnosno f i h baze prostora V, odnosno W to postoje inverzibilne matrice P i Q za koje je g = ep i h = fq. Kako je L(e) = fa i L(g) = hb, to je L(g) = L(eP ) = L(e)P, odnosno fap = hb = fqb, a zbog linearne nezavisnosti f je AP = QB i B = Q 1 AP. pitanje 16. Kanonska matrica linearnog preslikavanja. Klasa [L] svih matrica datog K-linearnog preslikavanja L sadrži tačno jednu matricu oblika A 0 = , u kojoj su svi članovi 0, osim k jedinica na početnom delu njene dijagonale. Tada je i rang ovog preslikavanja jednak upravo k, pa je to i rang svake matrice A iz [L]. Dh9i;j=k?l Matrica A 0 je matrica linearnog preslikavanja L: V W u odnosu na par baza e = [e 1,..., e n] i f = [f 1,..., f m] prostora V i W ako i samo ako je L(e 1) = f 1,..., L(e k ) = f k, L(e s) = 0 za s > k. Dalje se postojanje ovakvih baza dokazuje isto kao u analognom tvrdenju - za rang. Drugi način dokaza bi bio preko ekvivalentnih matrica i tvrdenja - iz prethodnog odgovora, kao i odgovarajućeg tvrdenja - o postojanju takve matrice medu - ekvivalentnim. Ovakvu matricu A 0 nazivamo kanonskom matricom linearnog preslikavanja L.

14 pitanje 17. Algebra i matrice linearnih operatora. Linearna preslikavanja vektorskog prostora V u njega samog nazivamo njegovim endomorfizmima ili linearnim operatorima. Operator O(u) = 0 nazivamo nula-operatorom, a operator I(u) = u jediničnim operatorom datog prostora V. Skup L(V ) svih linearnih operatora L vektorskog prostora V nad poljem K, u odnosu na operacije sabiranja (L, G) L + G, množenja skalarima (α, L) αl i kompoziciju ili proizvod LG(u) = L(G(u)), je i jedna K-algebra. Ako je P matrica prelaska sa baze e na bazu f vektorskog prostora V, odnosno f = ep, za svaki od linearnih operatora na V važi: A = [L] e P 1 AP = [L] f. Dm9n;o=p?q Kako je e = fp 1 i u e = P u f za sve u V, i kad je L(u) = eau e je i L(u) = f(p 1 AP )u f. pitanje 18. Sopstvene komponente linearnog operatora. Za dati linearni operator L u prostoru V, sve parove (α, u) za koje važi L(u) = αu nazivamo sopstvenim ili karakterističnim parovima. Same skalare α onda nazivamo sopstvenom vrednošću, a vektore u sopstvenim vektorima operatora L. Ako je L(u) = αu, onda je i (L αi)(u) = 0, pa u Ker(L αi). Jezgro Ker(L αi) nazivamo i sopstvenim potprostorom operatora L. Raznim sopstvenim vrednostima λ 1,..., λ n linearnog operatora L: V V odgovaraju linearno nezavisni sopstveni vektori, i suma odgovarajućih sopstvenih potprostora Ker(L λ r I) je direktna. Dm9n;o=p?q Važi za n = 1. Za n > 1 i neka su u 1,..., u n sopstveni vektori koji odgovaraju datim sopstvenim vrednostima. Ovo znači da je L(u r) = λ ru r za u r 0, ako za skalare α r važi P α ru r = 0, onda je i P α rl(u r) = 0, odnosno P αrλ ru r = 0. Kada prvu pomnožimo sa λ 1 i od nje oduzmemo drugu relaciju, biće α 2(λ 1 λ 2)u 2+ +α n(λ 1 λ n)u n = 0. Uz induktivnu pretpostavku da je n 1 sopstvenih vektora u 2,..., u n linearno nezavisno, jasno je da je tada i α r = 0 za sve r > 1. Zatim je i α 1u 1 = 0, odnosno i α 1 = 0, pa su svi sopstveni vektori linearno nezavisni. Dalje je u u n = 0 moguće jedino za u r = 0 (zbog prethodnog), pa je tražena suma direktna. Ako je A matrica operatora L u odnosu na bazu e vektorskog prostora V, sopstveni parovi (α, X) su oni skalari i kolone iz X K n za koje je (A αe)x = O i X O. Dm9n;o=p?q Sada je u = eu e i L(u) = eau e. Iz L(u) = αu.

15 pitanje 19. Dijagonalni i trougaoni operatori. Operator L je dijagonalan ukoliko u odnosu na bar jednu bazi f vektorskog prostora V ima dijagonalnu matricu. Za svaki linearni operator L na K-vektorskom prostoru V dimenzije n, sledeći uslovi su ekvivalentni. 1 operator L ima bar jednu dijagonalnu matricu. 2 minimalni polinom µ operatora L ima m = d µ nula u polju K. 3 prostor V je direktna suma sopstvenih potprostora operatora L. 4 suma dimenzija sopstvenih potprostora operatora L je dim V. 5 operator L ima dim V linearno nezavisnih sopstvenih vektora. Dr9s;t=u?v (1 2) : Ako je D dijagonalna matrica operatora L i λ 1,..., λ r sve razne komponente njene dijagonale. Zato je njen minimalni polinom µ = (λ λ 1) (λ λ m), i onda je broj nula jednak upravo d µ. (2 3) : Ako je µ = (λ λ 1) (λ λ m), gde su λ s razni članovi polja K. Kako su tu svaka dva od polinoma λ λ s koprosti i Ker µ(l) = Ker O = V, na osnovu leme o jezgrima sledi da je tada i sam prostor V direktna suma svih sopstvenih potprostora Ker(L λ si) operatora L. Matrica A M n (K) je slična nekoj dijagonalnoj matrici ako i samo ako je njen minimalni polinom oblika (λ λ 1 ) (λ λ m ), sa raznim λ r -ima iz polja K. Dalje, za dijagonalnu matricu D = diag(α 1,..., α n ) i inverzibilnu matricu P = [P 1,..., P n ] važi P 1 AP = D ako i samo ako su (α 1, P 1 ),...,(α n, P n ) upravo sopstveni parovi matrice A, sa linearno nezavisnim sopstvenim kolonama P s. Dr9s;t=u?v Prvi deo sledi direktno iz prethodnog tvr - denja. Ako je P 1 AP = D, onda je i AP = P D, pa i AP r = P D r za sve r. Tako - de je i D r = α re r, odnosno AP r = α rp E r, odakle je i AP r = α rp r. Linearni operator L vektorskog prostora V nad poljem K je trougaoni ako ima bar jednu trougaonu matricu, npr. α 11 α 12 α 1n 0 α 22 α 2n A = α nn Linearni operator L vektorskog prostora V nad poljem K je trougaoni, ako i samo ako njegov minimalni polinom µ ima linearnu faktorizaciju, npr. µ = (λ λ 1 ) (λ λ m ) u prstenu polinoma K[λ]. Takode, - kvadratna matrica A nad poljem K je slična nekoj trougaonoj matrici, ako i samo ako njen minimalni polinom µ ima linearnu faktorizaciju nad tim poljem. Dr9s;t=u?v Pretpostavimo da polinom µ ima linearnu faktorizaciju, i izaberemo nulu α u polju K. Kako je α i sopstvena vrednost, to postoji vektor v 0, takav da je L(v) = αv. Ako je e = [e 1,..., e n] baza prostora V sa prvim vektorom e 1 = v, u odnosu na nju je matrica od L oblika A = ˆ α a, O B sa matricom B reda n 1. Uz induktivnu pretpostavku da ovo važi za n 1, tj. da je S = R 1 BR gornje-trougaona matrica, za P = ˆ 1 O O R je i P 1 AP = ˆ α ar O S takode - gornje-trougaona..

16 Determinante pitanje 20. Pojam i osnovna svojstva determinante. skalar Preslikavanje det: M(K) K kojim se kvadratnoj matrici A = [α rs ] reda n nad poljem K pridružuje det A = π S n sgn π (α π1,1 α π2,2 α πn,n ), gde je S n skup svih permutacija π = (π1, π2,..., πn) skupa {1, 2,..., n}, a sgn π je 1 ili 1, odnosno znak te permutacije π, nazivamo determinantom nad poljem K. Skalar det A nazivamo determinantom matrice A. Determinanta bilo koje kvadratne matrice A reda n nad poljem K je jednaka determinanti njenog transponata, odnosno det A = det A T. Dw9x;y=z?{ Neka je A = [α rs]. Tada je i A T = [δ rs] gde je δ rs = α sr. Sada tvr - denje važi zbog osobina permutacija. (Osobine determinanti) 1 Determinanta matrice A u kojoj ima jednakih ili nula-kolona (vrsta) je det A = 0. 2 Zamenom mesta jednom paru kolona ili vrsta matrice A, determinanta menja znak. 3 Množenjem jedne od kolona ili vrsta matrice A skalarom α nova determinanta je α det A. 4 Determinanta ostaje ista ako se jednoj koloni (vrsti) doda bilo koja od preostalih kolona (vrsta) pomnožena nekim skalarom α. Determinanta bilo koje kvazi-trougaone ] matrice iz M n (K) je upravo proizvod determinanti njenih dijagonalnih blokova, tj. det = det P det Q. [ P O S Q h Dw9x;y=z?{ Ako je blok P reda p, blok Q je reda q = n p. Ako su Φ(X) = det X O i S i Ψ(Y ) = det ˆ E p Q O S, Y tada mora biti (jer je determinanta alternirajuća i višelinearna forma) Φ(X) = Φ(E p) det X, kao i Ψ(Y ) = Ψ(E q) det Y. Dalje je Ψ(E q) = 1, i Φ(E p) = Ψ(Q). Zato je Ψ(Q) = det Q, pa je Φ(P ) = Ψ(Q) det P = det Q det P. Ako su A i B kvadratne matrice, onda je det AB = det A det B. Posebno, ukoliko su matrice A i B slične, one imaju jednake determinante. operatora imaju istu determinantu. Slično, sve matrice linearnog Dw9x;y=z?{ Neka je matrica A reda n, i V = K n. Za svaku alternirajuću n-linearnu formu F : V n K, svaki sistem e = [e 1,..., e n] vektora iz V i svaku matricu C reda n važi F (ec) = F (e) det C. Ako tu zamenimo prvo C = AB, imamo da je F (eab) = F (e) det AB, a kada zamenimo e = ea i C = B, onda je F (eab) = F (ea) det B = F (e) det A det B, pa konačno i det AB = det A det B. Ako matrica P ima inverz P 1, tada važi pa za B = P 1 AP je i det B = det A. det P 1 = 1 det P = (det P ) 1,

17 pitanje 21. Razvoji determinante. pitanje 22. Stav o baznom minoru i Kramerovo pravilo. pitanje 23. Karakteristični polinom.

18 Euklidski prostori pitanje 24. Skalarni proizvod. Norma i ugao. pitanje 25. Ortogonalnost. Ortonormirane baze. pitanje 26. Ortogonalne projekcije i rastojanje. pitanje 27. Simetrični operatori. pitanje 28. Ortogonalni operatori i izometrije.

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Linearne algebre (2003/4)

Zadaci iz Linearne algebre (2003/4) Zadaci iz Linearne algebre (2003/4) Srdjan Vukmirović May 22, 2004 1 Matematička indukcija 1.1 Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi 3 / (5 n + 2 n+1 ). 1.2 Dokazati da sa svake m Z i n N postoje

Διαβάστε περισσότερα

x + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.

x + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4. Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 23. Reč autora Ovo je verzija teksta koji je pod naslovom Linearna algebra prvobitno bio pripremljen za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 03. Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Predstavljanje funkcija

Funkcije. Predstavljanje funkcija Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Konačno dimenzionalni vektorski prostori

Konačno dimenzionalni vektorski prostori Konačno dimenzionalni vektorski prostori Dragan S. Dor dević Niš, 2012. 2 Sadržaj Predgovor 5 1 Redukcija operatora 7 1.1 Linearni operatori, matrica linearnog operatora................ 7 1.2 Invarijatni

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA TESTOVA IZ ALGEBRE

ZBIRKA TESTOVA IZ ALGEBRE ZBIRKA TESTOVA IZ ALGEBRE 0.0.04. Studenti koji na testu kod pitanja do zvezdica naprave više od tri greške nisu položili ispit! U svakom zadatku dato je više odgovora, a treba zaokružiti tačne odgovore

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

2 Jordanova forma. 2.1 Nilpotentni operatori

2 Jordanova forma. 2.1 Nilpotentni operatori 2 Jordanova forma 2 Nilpotentni operatori Definicija Neka je V vektorski prostor Operator N P LpV q je nilpotentan indeksa p (p P N) ako vrijedi N p, N p Propozicija Ako je e P V takav da je N p e, onda

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Drugi deo (uvoda) Vektori

Drugi deo (uvoda) Vektori Drugi deo (uvoda) Vektori Vektori i skalari Skalar je običan broj. Vektor je lista (uređena n-torka) skalara (komponente vektora). Pomeranje (recimo, 10 koraka prema zapadu) izražavamo vektorom. Rastojanje

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

1 Algebarske operacije i algebraske strukture

1 Algebarske operacije i algebraske strukture 1 Algebarske operacije i algebraske strukture Defnicija 1.1 Neka su I i A skupovi. I-familija elemenata skupa A, ili familija elemenata iz A indeksirana skupom I, je funkcija a : I A koju radije zapisujemo

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1

Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Linearna algebra Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 40 Uvod Matrica: matematički objekt koji se sastoji od brojeva koji su rasporedeni u retke

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc

Linearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc Linearna algebra za fizičare, zimski semestar 006. Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Vektorski prostor R n 5 1. Vektorski prostor R n 6. Geometrijska interpretacija vektorskih prostora R i R 3 11 3. Linearne

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Elementarna matematika - predavanja -

Elementarna matematika - predavanja - Elementarna matematika - predavanja - February 11, 2013 2 Sadržaj I Zasnivanje brojeva 5 I.1 Peanove aksiome............................. 5 I.2 Celi brojevi................................ 13 I.3 Racionalni

Διαβάστε περισσότερα

Tatjana Vuković. Univerzitet u Beogradu Fizički Fakultet

Tatjana Vuković. Univerzitet u Beogradu Fizički Fakultet OSNOVI MATEMATIČKE FIZIKE Tatjana Vuković Saša Dmitrović Univerzitet u Beogradu Fizički Fakultet OSNOVI MATEMATIČKE FIZIKE elektronsko izdanje Autori: Prof. dr TatjanaVuković Doc. dr Saša Dmitrović Izdavač:

Διαβάστε περισσότερα

Vektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.

Vektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer. UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije

Διαβάστε περισσότερα

Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler

Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,

Διαβάστε περισσότερα

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

1 Matematička logika. 1.1 Iskazni račun

1 Matematička logika. 1.1 Iskazni račun 1 Matematička logika 1.1 Iskazni račun Iskaz je suvisla rečenica za koju se može utvrditi da li je tačna ili netačna. Iskaze obeležavamo slovima p, q,... Vrednost iskaza v(p) {, }, redom tačno i netačno.

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα