Συμπληρωματικές Ασκήσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συμπληρωματικές Ασκήσεις"

Transcript

1 Συμπληρωματικές Ασκήσεις Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙ Αν για ένα ενδεχόμενο ισχύει Α, να ρείτε την πιθανότητα εμφάνισης του Έστω, τα ενδεχόμενα ότι ένας συγκεκριμένος γιατρός ρίσκεται στις πμ στο ιατρείο του ή στο σπίτι του αντίστοιχα Αν,, ποια είναι η πιθανότητα στις πμ να μη ρίσκεται ούτε στο ιατρείο ούτε στο σπίτι του; Έστω Α, Β, τρία ενδεχόμενα για τα οποία ισχύει Β Α και Αα,, γ με γ α Να υπολογιστούν οι πιθανότητες,, συναρτήσει των α,,γ Τι παρατηρείτε; Να γίνει εφαρμογή για α/, / και γ/ Έστω ο δειγματικός χώρος {,,,} με αντίστοιχες πιθανότητες των απλών ενδεχομένων {} -,,, να δείξετε ότι να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α{,,}, Β{,,, }, {,,, }, Δ{: } Ζητάμε από ένα φίλο μας να μας πει στην τύχη έναν αριθμό μικρότερο από δισεκατομμύριο Ποια είναι η πιθανότητα ο αριθμός που θα μας πει να περιέχει μία τουλάχιστον φορά το ψηφίο 8; 'Ενας δρομέας των m πρόκειται να τρέξει στη λωρίδα ενός στίου με 8 λωρίδες Αν γνωρίζει ότι στον αγώνα παίρνουν μέρος εκτός από αυτόν άλλοι αθλητές οι οποίοι τοποθετούνται εντελώς τυχαία στις υπόλοιπες 7 λωρίδες, ποια είναι η πιθανότητα να μην τρέχει δίπλα του σε γειτονική λωρίδα κανένας αντίπαλος; 7 Στο τμήμα επισκευών μιας εταιρίας ηλεκτρικών συσκευών υπάρχουν προς επισκευή τηλεοράσεις και ίντεο Το προσωπικό που διαθέτει η εταιρεία επισκευάζει σε μία μέρα μόνο συσκευές Αν οι συσκευές που θα επισκευαστούν διαλέγονται τυχαία, να ρεθεί η πιθανότητα σε μία μέρα να επισκευαστούν τηλεοράσεις και ίντεο να επισκευαστούν το πολύ τηλεοράσεις 8 'Ενας πομπός στέλνει σήματα, καθένα από τα οποία είναι "" ή "" Πόσα είναι τα στοιχεία του δειγματικού χώρου του πειράματος; Αν όλα τα στοιχεία του είναι ισοπίθανα, ποια είναι η πιθανότητα α να μην υπάρχουν στο σήμα καθόλου διαδοχικές εκπομπές από "" ή ""; να υπάρχουν στο σήμα τρία διαδοχικά ""; Στην αποθήκη ενός εργοστασίου παραγωγής ελαστικών αυτοκινήτων υπάρχουν λάστιχα από τα οποία τα παρουσιάζουν ένα μικρό ελάττωμα Ένα κατάστημα παραγγέλνει λάστιχα Αν αυτά διαλεχτούν τελείως τυχαία, ανάμεσα στα ποια είναι η πιθανότητα τουλάχιστον ένα από τα ελαττωματικά λάστιχα να αποσταλεί στο κατάστημα; Σε μία οικογένεια με παιδιά η μητέρα έχει αγοράσει τρία δώρα για την πρωτοχρονιά Ζητάει από τα παιδιά να γράψουν σε ένα χαρτί ποιο από τα τρία δώρα θέλει ο καθένας χωρίς ο ένας να ξέρει τι δώρο διάλεξε ο άλλος Ποια είναι η πιθανότητα κανένα από τα τρία παιδιά να μη διαλέξει το ίδιο δώρο με τα άλλα δύο; τουλάχιστον δύο παιδιά να διαλέξουν το ίδιο δώρο; Ρίχνουμε ένα ζάρι φορές Ποια είναι η πιθανότητα να πάρουμε ίδια αποτελέσματα τουλάχιστον ίδια αποτελέσματα outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 8

2 outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, Μπορείτε να ρείτε τις πιθανότητες των προηγούμενων ενδεχομένων, αν ρίξουμε το ζάρι k φορές k ; Μία εταιρεία διαθέτει φορτηγά, από τα οποία τα είναι ρυπογόνα εκπέμπουν καυσαέρια έξω από τα φυσιολογικά όρια Ο τεχνικός της εταιρείας διαλέγει στην τύχη από τα φορτηγά και τους κάνει έλεγχο καυσαερίων Ποια είναι η πιθανότητα να εντοπίσει ακριώς ρυπογόνα φορτηγά το πολύ ρυπογόνα φορτηγά τουλάχιστον ρυπογόνο και μη ρυπογόνο φορτηγό Ρίχνουμε ένα ζάρι φορές Ποια είναι η πιθανότητα να μη φέρουμε καμία φορά έξι να φέρουμε τουλάχιστον μία φορά έξι; Μία γραμματέας τοποθετεί στην τύχη n διαφορετικά γράμματα σε n φακέλους με διαφορετικές διευθύνσεις Ποια η πιθανότητα να πάει ένα τουλάχιστον γράμμα στο σωστό παραλήπτη; Τι συμαίνει όταν το n είναι πολύ μεγάλο; υπόδειξη: χρησιμοποιήστε τον τύπο του onre για την πιθανότητα ένωσης ενδεχομένων Λύσεις Επειδή, θα έχουμε ότι από όπου προκύπτει ότι / Ζητειται η πιθανότητα του ενδεχομένου Παρατηρούμε ότι και επομένως, " " α είναι, και γ α, και τέλος, α Παρατηρούμε ότι Ισχύει ότι / { } { } " α είναι 7 {} {} {}, / } {,, 8 / / / { } Δ

3 outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, Ο δειγματικός χώρος αποτελείται από όλους τους αριθμούς από το έως το δισεκατομμύριο Με άλλα λόγια, ο αποτελείται από όλους τους αριθμούς με ψηφία Κάθε ψηφίο μπορεί να είναι ένας από τους αριθμούς,,,, Άρα Έστω Α το ενδεχόμενο επιλογής ενός αριθμού που δεν περιέχει το 8 Το Α αποτελείται από όλους τους αριθμούς με ψηφία μόνο που τώρα κάθε ψηφίο μπορεί να είναι ένας από τους αριθμούς,,,,7, Άρα Α Σύμφωνα με την εκφώνηση ζητείται η πιθανότητα Α και επειδή ο αποτελείται από ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα, θα έχουμε τελικά ότι Ο δειγματικός χώρος αποτελείται από όλους τους συνδυασμούς των 7 ανά χωρίς επανάληψη από τις υπόλοιπες 7 λωρίδες εκλέγονται για την τοποθέτηση των αθλητών Έστω Α το ενδεχόμενο να να μην τρέχει στη λωρίδα ή κανένας από τους αθλητές Το Α θα αποτελείται από όλους τους συνδυασμούς των ανά χωρίς επανάληψη από τις λωρίδες που απομένουν εκλέγονται για την τοποθέτηση των αθλητών Τα στοιχειώδη ενδεχόμενα του είναι ισοπίθανα και άρα τελικά Ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από όλους τους συνδυασμούς των ανά χωρίς επανάληψη Επομένως θα ισχύει ότι Έστω το ενδεχόμενο Α: να επισκευαστούν τηλεοράσεις και ίντεο α ισχύει ότι Επομένως, ο περιέχει ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα % 7 Έστω το ενδεχόμενο : να επισκευαστούν ακριώς τηλεοράσεις και - ίντεο Ζητείται η πιθανότητα του ενδεχομένου Β " " " " Τα Α είναι ξένα ανά δύο και επομένως, και εργαζόμενοι όμοια με το τελικά προκύπτει ότι

4 8 Ο δειγματικός χώρος αποτελείται από όλες τις διατάξεις των στοιχείων ανά με επανάληψη Επομένως, α Έστω Α το ενδεχόμενο να μην υπάρχουν στο σήμα διαδοχικές εκπομπές από "" ή "" Ε- πομένως, {,,,,,,,} και 8 Έστω Β το ενδεχόμενο να υπάρχουν στο σήμα τρία διαδοχικά "" Επομένως, {,,,,,,,,,,,} και Έστω Α το ενδεχόμενο να επιλεγεί τουλάχιστον ένα από τα ελαττωματικά λάστιχα α ισχύει ότι Α να μην επιλεγεί κανένα από τα ελαττωματικά λάστιχα Όμοια με την άσκηση 7, θα είναι Ο δειγματικός χώρος του πειράματος δυνατές επιλογές των παιδιών αποτελείται από όλες τις διατάξεις των παιχνιδών ανά με επανάληψη είναι δυνατό δύο παιδιά να επιλέξουν το ίδιο δώρο Επομένως, 7 Έστω Α το ενδεχόμενο «κανένα από τα τρία παιδιά να μη διαλέξει το ίδιο δώρο με τα άλλα δύο» «τα παιδιά επιλέγουν διαφορετικά δώρα» Το Α θα αποτελείται από όλες τις διατάξεις των παιχνιδών ανά χωρίς επανάληψη επιλογή διαφορετικών δώρων Τα στοιχειώδη ενδεχόμενα του είναι ισοπίθανα και επομένως, 7 Το ενδεχόμενο «τουλάχιστον δύο παιδιά να διαλέξουν το ίδιο δώρο» είναι συμπληρωματικό του Α Επομένως, ζητείται η πιθανότητα 7 Ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από όλες τις διατάξεις των στοιχείων ανά με επανάληψη Επομένως, Αν Α είναι το ενδεχόμενο εμφάνισης ίδιων αποτελεσμάτων, θα είναι {,,,,,,,,,,,,} και επειδή ο χώρος αποτελείται από ισοπίθανα ενδεχόμενα θα ισχύει ότι Αν το ενδεχόμενο εμφάνισης τουλάχιστον ίδιων αποτελεσμάτων, θα ισχύει ότι {,,, : για j} και άρα το αποτελείται από όλες τις διατάξεις των στοιχείων ανά χωρίς επανάληψη Επομένως, Β, και επειδή ο αποτελείται από ισοπίθανα ενδεχόμενα θα ισχύει ότι j outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

5 outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, Τέλος, αν ρίξουμε το ζάρι k k φορές θα έχουμε ότι k και k k, k k Αν το ενδεχόμενο να εντοπιστούν ακριώς ρυπογόνα φορτηγά, τότε όμοια με την Ά- σκηση 7 θα είναι Λόγω του ότι τα ενδεχόμενα Α,Α,,Α είναι ξένα ανά δύο θα ισχύει ότι να εντοπιστούν το πολύ ρυπογόνα φορτηγά " " α ισχύει ότι να εντοπιστούν τουλάχιστον ρυπογόνο και μη ρυπογόνο φορτηγό να εντοπιστούν ρυπογόν ή μη ρυπογόνα φορτηγά " Ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από όλες τις διατάξεις των δυνατά αποτελέσματα σε κάθε ρίψη ανά πειράματα με επανάληψη Επομένως Έστω Α το ενδεχόμενο να μην φέρουμε καμία φορά Το Α αποτελείται από όλες τις διατάξεις των ανά με επανάληψη και επομένως Επειδή τα στοιχειώδη ενδεχόμενα του είναι ισοπίθανα τελικά συμπεραίνουμε ότι Εναλλακτικά, μπορούσαμε να ρούμε την παραπάνω πιθανότητα ως εξής Σε κάθε ένα από τα τρία ανεξάρτητα μεταξύ τους πειράματα ρίψεις ζαριού, η πιθανότητα μη εμφάνισης του «έξι» είναι / Επομένως, όχι στην η ρίψη και όχι στην η ρίψη και όχι στην η ρίψη όχι στην η ρίψηόχι στην η ρίψηόχι στην η ρίψη Ζητείται η πιθανότητα του ενδεχομένου Άρα, /

6 Έστω Α το ενδεχόμενο τοποθέτησης του γράμματος στο σωστό φάκελο,,,,n Ζητείται η πιθανότητα του ενδεχομένου " "" Από τον τύπο του onre θα έχουμε ότι n n " "" n j j k n < j α ισχύει ότι, j j j, j k n n n n n n κοκ, n n Παρατηρούμε επίσης ότι το πρώτο άθροισμα Σ αποτελείται από n όρους για,,,n, το δεύτερο άθροισμα Σ <j αποτελείται από n όρους {, j} {,,,n}, j, το τρίτο άθροισμα Σ <j<k αποτελείται από < j< k n όρους, κοκ το τελευταίο άθροισμα αποτελείται από θα έχουμε ότι n n n " " " n n n n n n n n n n e / Από το ανάπτυγμα της εκθετικής συνάρτησης, συμπεραίνουμε ότι και άρα τελικά, αν n, e " "" n e n n όρους Άρα n n n n n Το αποτέλεσμα αυτό είναι αξιοσημείωτο διότι όταν ο αριθμός n των φακέλων και των γραμμάτων γίνεται πολύ μεγάλος πρακτικά n >, η πιθανότητα μιας τουλάχιστον σωστής τοποθέτησης δεν γίνεται μηδέν, όπως ίσως θα αναμέναμε, αλλά συγκλίνει σε μία σταθερά e Έτσι, είτε έχουμε είτε γράμματα, η πιθανότητα μιας τουλάχιστον σωστής τοποθέτησης πρακτικά παραμένει ίδια Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙ Δείξτε ότι δύο ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α, Β με Α>, > δεν είναι ανεξάρτητα Αν η εμφάνιση του ενδεχομένου Α κάνει την εμφάνιση του ενδεχομένου Β ποιο πιθανή, η εμφάνιση του Β κάνει την εμφάνιση του Α πιο πιθανή; Το άθροισμα της ρίψης δύο ζαριών μπορεί να είναι,,, Μπορούμε να δώσουμε πιθανότητα / σε καθένα από αυτά τα γεγονότα; Δείξτε ότι αν Α>Β τότε Α > Β Μία επιτροπή αποτελείται από μέλη Κάθε μέλος παίρνει σωστή απόφαση για κάποιο ζήτημα ανεξάρτητα από τους άλλους και με πιθανότητα p Αν η τελική απόφαση λαμάνεται κατά πλειοψηφία ποια είναι η πιθανότητα λήψης σωστής απόφασης Από ένα δοχείο που περιέχει άσπρες και κόκκινες σφαίρες εξάγουμε μία σφαίρα και χωρίς να επιστρέψουμε τη σφαίρα στο δοχείο, διαλέγουμε στη συνέχεια μία δεύτερη Ποια είναι η πιθανότητα να διαλέξουμε στην πρώτη εξαγωγή κόκκινη σφαίρα και στη δεύτερη άσπρη; outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

7 άσπρες σφαίρες και στις δύο εξαγωγές; 7 'Ενα εξάρτημα παρουσιάζει δύο ειδών λάες, τύπου α και τύπου, οι οποίες εμφανίζονται ανεξάρτητα η μία από την άλλη Η πιθανότητα να εμφανιστεί η λάη α είναι %, ενώ η πιθανότητα να εμφανιστεί η λάη είναι % Ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστούν και οι δύο λάες συγχρόνως; να εμφανιστεί μία τουλάχιστον από τις δύο λάες; να εμφανιστεί λάη τύπου, αν είναι γνωστό ότι έχει ήδη εμφανιστεί λάη τύπου α; 8 'Ενα στα χίλια άτομα ενός πληθυσμού πάσχει από κάποια σοαρή ασθένεια Η εξέταση που χρησιμοποιείται για τη διάγνωση της ασθένειας δίνει λάθος διάγνωση στo % των περιπτώσεων, αν το άτομο που υποάλλεται στην εξέταση πράγματι πάσχει από την ασθένεια, και στο % των περιπτώσεων, αν δεν πάσχει Ποια είναι η πιθανότητα να προκύψει θετική η εξέταση σε κάποιο άτομο που διαλέχτηκε τυχαία από τον πληθυσμό; Αν για κάποιο άτομο του πληθυσμού η εξέταση ήταν θετική, ποια είναι η πιθανότητα να πάσχει πράγματι από την ασθένεια; Αν τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ανεξάρτητα, να δείξετε ότι το ίδιο συμαίνει και για τα ζευγάρια α Α, Β, γ, Αν για τρία ανεξάρτητα ενδεχόμενα Α, Β, ισχύει ότι,, 7, Β να ρεθούν οι πιθανότητες, Β, Κατά τη ρίψη ενός μαύρου και ενός κόκκινου ζαριού ορίζουμε τα ενδεχόμενα : το μαύρο ζάρι έδειξε περιττό αριθμό : το κόκκινο ζάρι έδειξε περιττό αριθμό : το άθροισμα των δύο ενδείξεων είναι περιττό Να δείξετε ότι τα Α, Β, είναι ανά δύο ανεξάρτητα Είναι τα Α, Β, ανεξάρτητα; Ρίχνουμε ένα νόμισμα φορές Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε κεφαλές, να φέρουμε κεφαλές, αν είναι γνωστό ότι α η πρώτη ένδειξη ήταν κεφαλή, οι δύο πρώτες ενδείξεις ήταν κεφαλές, γ οι δύο από τις τρεις ενδείξεις ήταν κεφαλές 'Ενα δοχείο περιέχει κόκκινες και πράσινες σφαίρες, ενώ ένα δεύτερο δοχείο περιέχει 7 κόκκινες και πράσινες σφαίρες Μια σφαίρα διαλέγεται στην τύχη από το πρώτο δοχείο και τοποθετείται στο δεύτερο Στη συνέχεια μια σφαίρα διαλέγεται στην τύχη από το δεύτερο δοχείο και τοποθετείται στο πρώτο α Ποια είναι η πιθανότητα να διαλεχτεί κόκκινη σφαίρα από το πρώτο δοχείο και κόκκινη από το δεύτερο; Ποια είναι η πιθανότητα στο τέλος του πειράματος να μην έχει αλλάξει η σύνθεση των δύο δοχείων; Περίπου % των ανδρών και % των γυναικών πάσχουν από αχρωματοψία Ποια είναι η πιθανότητα ένα άτομο που διαλέγεται στην τύχη από το ακροατήριο μιας διάλεξης να πάσχει από αχρωματοψία, αν στην αίθουσα υπάρχουν α άνδρες και 7 γυναίκες; ίσο πλήθος ανδρών και γυναικών; γ διπλάσιοι άνδρες από γυναίκες; Αν τα ενδεχόμενα, είναι ξένα μεταξύ τους και ισχύει >, >, τότε ποιά από τις επόμενες προτάσεις ισχύει πάντοτε τα, είναι ανεξάρτητα ισχύει τα, δεν είναι ανεξάρτητα Λύσεις Ισχύει ότι < Η εμφάνιση του ενδεχομένου Α κάνει την εμφάνιση του ενδεχομένου Β ποιο πιθανή, δηλαδή, > έλουμε να δούμε αν με άση αυτή την ανισότητα προκύπτει επίσης ότι > α έχουμε ότι outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

8 > Άρα, πράγματι, και η εμφάνιση του Β κάνει την εμφάνιση του Α πιο πιθανή Τα ενδεχόμενα αυτά δεν είναι ισοπίθανα διότι πχ ενώ άθροισμα πρώτο ζάρι και δεύτερο ζάρι πρώτο ζάρι δεύτερο ζάρι, άθροισμα πρώτο ζάρι και δεύτερο ζάρι πρώτο ζάρι και δεύτερο ζάρι πρώτο ζάρι δεύτερο ζάρι πρώτο ζάρι δεύτερο ζάρι κοκ η ρίψη δύο ζαριών μπορεί να θεωρηθεί ως δύο ανεξάρτητα πειράματα το καθένα από τα οποία συνίσταται στη ρίψη ενός ζαριού α είναι > Έστω Α το ενδεχόμενο λήψης σωστής απόφασης από το -μέλος της επιτροπής Η πιθανότητα λήψης σωστής απόφασης θα είναι Από τον τύπο του onre αυτή η πιθανότητα θα είναι ίση με p p p p p p Έστω Α, K το ενδεχόμενο επιλογής άσπρης, κόκκινης σφαίρας αντίστοιχα, στην -εξαγωγή K K K Αν Α,Β είναι τα ενδεχόμενα εμφάνισης λάης α, αντίστοιχα, τότε 8 " 8 8 Το πείραμα αποτελείται από την τυχαία επιλογή ενός ατόμου από τον πληθυσμό και την εξέτασή του Έστω το ενδεχόμενο, το άτομο αυτό να πάσχει από την ασθένεια και,α τα ενδεχόμενα εμφάνισης θετικού, αρνητικού τέστ Σύμφωνα με την εκφώνηση θα είναι outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

9 outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 7,, και άρα 8,, Από το εώρημα ολικής πιθανότητας, η πιθανότητα να προκύψει θετική η εξέταση θα είναι 7 Από τον τύπο του yes θα ισχύει ότι 7 7 α όμοια με το α, γ " " Από τις υποθέσεις της εκφώνησης προκύπτει το σύστημα, 7, Από τις δύο πρώτες σχέσεις προκύπτει ότι, από όπου, σε συνδυασμό με την τρίτη από τις αρχικές σχέσεις, θα έχουμε ότι 7 Άρα, 8 και Ο δειγματικός χώρος {,,,,,,} αποτελείται από όλες τις διατάξεις των ανά με επανάληψη το α,α σημαίνει ότι το μαύρο ζάρι έφερε α και το κόκκινο α α είναι {,,,,,,,,,,,,,,,,,} Εξάλλου, τα Α,Β είναι ανεξάρτητα διότι αφορούν δύο ανεξάρτητα μεταξύ τους στοχαστικά πειράματα Επίσης {,,,,,,,,,,,,,,,,,} και {,,,,,,,,,,,,,,,,,} Β Β Επομένως, τα Α, Β, είναι ανά δύο ανεξάρτητα ια να είναι όμως τα Α, Β, ανεξάρτητα θα πρέπει επιπλέον να ισχύει ότι Β Β

10 Παρατηρώντας όμως ότι Β τελικά θα έχουμε ότι 8 Β Β και συνεπώς τα Α,Β, δεν είναι ανεξάρτητα Έστω Κ το ενδεχόμενο εμφάνισης κεφαλής στην -ρίψη Οι τρείς ρίψεις μπορούν να θεωρηθούν ως τρία ανεξάρτητα πειράματα Επομένως: K K K K K K K K K K K K α K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K KK " KK " KK K K " K K " K K KK γ KKK KK " KK " KK παρατηρούμε ότι ο αριθμητής είναι ίσος με KKK ενώ ο παρονομαστής θα είναι ίσος τύπος onre με και άρα K K K K K K K K K K K K K K K K K K KK KK KK KKK KKK 8 K K K K K K /8 K KK KK " KK " KK / Έστω Κ, Π πιθανότητα εκλογής κόκκινης, πράσινης σφαίρας αντίστοιχα από το -δοχείο α Η πιθανότητα επιλογής κόκκινης σφαίρας από το πρώτο δοχείο και κόκκινης από το δεύτερο είναι 8 K K K K K Η πιθανότητα στο τέλος του πειράματος να μην έχει αλλάξει η σύνθεση των δύο δοχείων είναι K K " Π Π K K Π Π K K K Π Π Π 8 Έστω Β το ενδεχόμενο το άτομο να πάσχει από αχρωματοψία, και Α, τα ενδεχόμενα να είναι άντρας ή γυναίκα αντίστοιχα α Η πιθανότητα το άτομο να πάσχει από αχρωματοψία αν στην αίθουσα υπάρχουν άνδρες και 7 γυναίκες θα είναι εώρημα ολικής πιθανότητας 7, outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 8

11 Η πιθανότητα το άτομο να πάσχει από αχρωματοψία αν έχουμε ίσο πλήθος ανδρών και γυναικών στην αίθουσα θα είναι 8 γ Η πιθανότητα το άτομο να πάσχει από αχρωματοψία αν έχουμε διπλάσιους άνδρες από γυναίκες στην αίθουσα θα είναι Ισχύει πάντοτε μόνο η τρίτη πρόταση λ άσκ Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙ Έστω ότι ο χρόνος αναμονής Χ σε λεπτά σε συγκεκριμένο σταθμό του υπογείου σιδηροδρόμου είναι μια συνεχής τυχαία μεταλητή με συνάρτηση κατανομής:, < < /, < F /, < Να παρασταθεί γραφικά η F και να υπολογισθούν οι πιθανότητες, <, > / 8, < 8, 8 < Από υποψήφιους δωρητές αίματος μόνο οι δύο έχουν ομάδα αίματος που ταιριάζει στον α- σθενή που το έχει ανάγκη Να δοθεί η συνάρτηση πιθανότητας και η αθροιστική συνάρτηση κατανομής του αριθμού των δωρητών τους οποίους θα χρειαστεί να ελέγξουμε ως προς την ομάδα αίματος προτού ρεθεί ο πρώτος κατάλληλος δωρητής Σε μια λαχειοφόρο αγορά με λαχνούς κληρώνεται ένας λαχνός που κερδίζει δρχ τρεις λαχνοί που κερδίζουν από δρχ και λαχνοί που κερδίζουν από δρχ Ποιό είναι το αναμενόμενο κέρδος για ένα άτομο που αγοράζει ένα μόνο λαχνό πληρώνοντας δρχ; 'Ενας παίκτης ρίχνει ζάρι μια φορά και κερδίζει δρχ αν φέρει άσσο, δρχ αν φέρει ή ενώ χάνει δρχ αν φέρει, ή Να ρεθεί η συνάρτηση πιθανότητας και η μέση τιμή του κέρδους του παίκτη ανά παιχνίδι Σε ένα διαγώνισμα με ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής δίνονται δύο ερωτήσεις με α απαντήσεις στο πρώτο και απαντήσεις στο δεύτερο Αν ο διαγωνιζόμενος διαλέγει τις απαντήσεις στην τύχη ποιός είναι ο μέσος αριθμός ορθών απαντήσεων; ποιά είναι η διασπορά του; 'Ενα ιλιοπωλείο αγοράζει ιλία προς δραχμές το ένα και τα πουλάει Αν μετά από ένα έτος υπάρχει η δυνατότητα επιστροφής των απούλητων ιλίων και η κατανομή του α- ριθμού των ιλίων που πουλιούνται σε ένα έτος δίνεται από τον τύπο,,, Να υπολογιστεί η μέση τιμή του και το μέσο κέρδος του ιλιοπωλείου σε ένα έτος 7 Σε κάθε μια από τις επόμενες περιπτώσεις να ρεθεί η τιμή της σταθεράς, έτσι ώστε οι αντίστοιχοι τύποι να ορίζουν συναρτήσεις πυκνότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταλητής θ α, < e, γ /, outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

12 8 H συνάρτηση πυκνότητας μιας τυχαίας μεταλητής δίνεται από τον τύπο, Αν να ρεθούν τα α και Να υπολογιστούν οι τιμές των σταθερών α και έτσι ώστε η συνάρτηση με τύπο, να είναι συνάρτηση πυκνότητας μιας τυχαίας μεταλητής με Η ποσότητα ενζίνης Χ σε χιλιόλιτρα που πωλεί πρατήριο ενζίνης σε μια μέρα είναι συνεχής τυχαία μεταλητή με συνάρτηση πυκνότητας, <, <, < Αφού υπολογιστεί η τιμή της σταθεράς, να ρεθούν οι πιθανότητες /, / < / και > / Τέλος, να ρεθεί η μέση ποσότητα ενζίνης που πουλάει το πρατήριο σε μια μέρα και η διασπορά V Ο χρόνος επισκευής σε ώρες μιας λάης σε ένα μηχάνημα ακολουθεί μια συνεχή κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας αν αλλού ν το κόστος μη λειτουργίας του μηχανήματος για ώρες είναι ανά λάη Λύσεις Η συνάρτηση κατανομής F θα παριστάνεται γραφικά ως εξής: F, να ρεθεί το μέσο κόστος / 8 ενώ F /8 /, < F F /8 / / 8 και < F F /8 / > F /8 Έστω Χ ο αριθμός των δωρητών τους οποίους θα χρειαστεί να ελέγξουμε Αν {,} είναι οι υποψήφιοι δωρητές που έχουν ομάδα αίματος που ταιριάζει στον ασθενή και {,,} οι υπόλοιποι, θέτουμε Α το ενδεχόμενο επιλογής του δωρητή ή του δωρητή στην -επιλογή Η επιλογή outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

13 της σειράς εξέτασης των δωρητών είναι τυχαία και επομένως χρησιμοποιώντας και τον πολλαπλασιαστικό κανόνα για την τομή ενδεχομένων,, Ισχύει ότι Χ {,,,} και επαληθεύουμε ότι φυσικά Επομένως, F, F, F 7, F, F Έστω Χ το ποσό που κερδίζει το άτομο από τον λαχνό δεν συμπεριλαμάνεται το κόστος του λαχνού Αν το άτομο επιλέγει τυχαία τον λαχνό που αγοράζει θα ισχύει ότι,,, θα ισχύει ότι Χ {,,,}, 8 Το καθαρό κέρδος του ατόμου τώρα συμπεριλαμάνεται το κόστος του λαχνού θα είναι Y και άρα τελικά το αναμενόμενο καθαρό κέρδος θα είναι Y 8 7 ζημιά 7 δρχ Έστω Χ το κέρδος του παίκτη α ισχύει ότι {}, {,}, {,,} και Έστω Χ ο αριθμός των σωστών απαντήσεων Αν οι επιλογές των απαντήσεων των δύο ερωτήσεων είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους οι επιλογές των δύο απαντήσεων θεωρούνται δύο στοχαστικά ανεξάρτητα πειράματα, θα ισχύει ότι λάθος απάντηση στην η ερώτηση και λάθος απάντηση στην η ερώτηση λάθος απάντηση στην η ερώτησηλάθος απάντηση στην η ερώτηση outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

14 outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, λάθος απάντηση στην η ερώτηση και σωστή απάντηση στην η ερώτηση σωστή απάντηση στην η ερώτηση και λάθος απάντηση στην η ερώτηση σωστή απάντηση στην η ερώτηση και σωστή απάντηση στην η ερώτηση και επομένως, Επίσης και τέλος, V Είναι 87 Το κέρδος του ιλιοπωλείου σε ένα έτος θα είναι Υ Χ και άρα το μέσο κέρδος του ιλιοπωλείου θα είναι 87 Y 7 Και στις τρείς περιπτώσεις θα πρέπει να ρούμε την τιμή της σταθεράς έτσι ώστε και d α ια να ικανοποιείται η δεύτερη συνθήκη θα πρέπει d d d d d και άρα επαληθεύουμε ότι για ισχύει ότι Όμοια με το α θα πρέπει θ θ e θ d θ e θ e d θ e d e θ θ θ θ θ και άρα θ επαληθεύοντας ότι αν θ τότε και γ α πρέπει

15 outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, d d και άρα επαληθεύουμε και πάλι ότι για ισχύει ότι 8 Τα α, θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε να ισχύει ότι, d και ΕΧ / ια να ικανοποιείται η δεύτερη συνθήκη θα πρέπει d d ενώ για να ικανοποιείται η τρίτη θα πρέπει d d Άρα θα πρέπει και οι τιμές αυτές είναι αποδεκτές διότι επαληθεύουν και τη συνθήκη Όμοια με την προηγούμενη άσκηση θα πρέπει τα α, να είναι τέτοια ώστε, d και ΕΧ Επομένως θα πρέπει d και d d d Άρα τελικά θα πρέπει Οι τιμές αυτές είναι αποδεκτές διότι επαληθεύουν και τη συνθήκη α ρούμε την τιμή της σταθεράς έτσι ώστε και d α πρέπει [] d d d d και άρα / επαληθεύουμε ότι για / ισχύει και ότι Στη συνέχεια θα έχουμε

16 outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, / / / d d F, / / / / d d d d F F 8 7 / /, / / / > d d F Τέλος, d d d d, d d d d 8 και άρα 8 V Το κόστος επισκευής είναι Υ Χ και επομένως το μέσο κόστος ανά λάη θα είναι d d Ασκήσεις Στατιστικής II Η πιθανότητα να πετύχει ένας σκοπευτής το στόχο στις από τις ολές είναι τριπλάσια της πιθανότητας να τον πετύχει στις από τις Ποιά είναι η πιθανότητα στις ρίψεις να πετύχει το στόχο α τουλάχιστον μια φορά, και το πολύ φορές To 7% των αυτοκινήτων που φτάνουν σε μια συγκεκριμένη διασταύρωση στρίουν αριστερά και το % δεξιά Αν η επιλογή της κατεύθυνσης κάθε αυτοκινήτου είναι ανεξάρτητη από την επιλογή των υπολοίπων τότε να ρεθεί η πιθανότητα σε αυτοκίνητα που φτάνουν στη διασταύρωση α τουλάχιστον να στρίψουν αριστερά, και τουλάχιστον να στρίψουν στην ίδια κατεύθυνση Ας υποθέσουμε ότι ένα αεροπλάνο μπορεί να πραγματοποιήσει επιτυχή πτήση μόνο αν τουλάχιστον οι μισές από τις μηχανές που διαθέτει λειτουργούν Αν η πιθανότητα να χαλάσει μια μηχανή είναι p, για ποιές τιμές του p είναι ένα δικινητήριο αεροπλάνο ασφαλέστερο από ένα τετρακινητήριο; Μια δακτυλογράφος δακτυλογραφεί με σταθερό ρυθμό λέξεις το λεπτό και η πιθανότητα να δακτυλογραφήσει μια λέξη λανθασμένα είναι Αν κάθε λανθασμένη λέξη απαιτεί χρόνο δευτερολέπτων για να διορθωθεί τότε α να ρεθεί η μέση τιμή και η διακύμανση του χρόνου Τ σε δευτερόλεπτα που απαιτείται για τη σωστή δακτυλογράφηση ενός κειμένου λέξεων, και μήπως είναι προτιμότερο ο ρυθμός δακτυλογράφησης να είναι λέξεις το λεπτό αν αυτός ο ρυθμός μειώνει την πιθανότητα λανθασμένης δακτυλογράφησης μιας λέξης σε ;

17 Αν η τμ δηλώνει τον αριθμό των επιτυχιών σε ν ανεξάρτητες και ισόνομες δοκιμές τότε να ρεθεί η σπ της τμ Y ν Ποια η φυσική ερμηνεία της τμ Y; Ένας ποδοσφαιριστής χτυπάει συνεχώς πέναλτι με πιθανότητα επίτευξης γκολ ίση με p Ποια είναι η πιθανότητα να επιτύχει για πρώτη φορά γκολ σε ζυγό χτύπημα πέναλτι; 7 Δύο φίλοι Α και Β παίζουν το εξής παιχνίδι: Ένα ζάρι ρίχνεται συνεχώς μέχρι να εμφανιστεί για πρώτη φορά άσσος ή έξι και έστω Χ ο αριθμός των ρίψεων που θα απαιτηθούν Αν το Χ είναι άρτιος αριθμός, ο παίκτης Α δίνει στον Β ποσό α δραχμών ενώ αν είναι περιττός, ο παίκτης Β δίνει στον Α ποσό δραχμών α Να ρεθεί η κατανομή της τμ Χ Να ρεθεί η πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης Α Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης Β; γ Να δειχθεί ότι για να είναι το παιχνίδι δίκαιο θα πρέπει να ισχύει α 8 Ο αριθμός των ελαττωματικών σημείων πχ μικροσκοπικές οπές της μόνωσης ενός ηλεκτρικού καλωδίου ακολουθεί την κατανομή osson με μέση τιμή ελαττωματικό σημείο σε κάθε m καλωδίου α Να ρεθεί η πιθανότητα να έχει ελαττωματικά σημεία ένα καλώδιο μήκους m Αν επιλέξουμε τυχαία καλώδια μήκους m το καθένα, να υπολογιστεί η πιθανότητα να έχει ελαττωματικά σημεία μόνο το ένα καλώδιο γ Να απαντηθούν τα ερωτήματα α και όταν τα καλώδια έχουν μήκος m το καθένα Σε μια επιχείρηση με εργαζομένους να ρεθεί η πιθανότητα να έχουν γεννηθεί την Πρωτοχρονιά εργαζόμενοι Να γίνει υπολογισμός χρησιμοποιώντας α την ακριή κατανομή, και την προσέγγιση με την κατανομή osson Ο αριθμός των θαλάσσιων ατυχημάτων πνιγμών που συμαίνουν σε ένα χρόνο σε μια πόλη κατοίκων είναι τμ Χ με Ποιά είναι η πιθανότητα, σε μια πόλη κατοίκων να έχουμε α,, γ έως και δ το πολύ θαλάσσια ατυχήματα το χρόνο Ένας φαρμακοποιός έχει στην αποθήκη του μπουκάλια παιδικού αντιπυρετικού εκ των ο- ποίων στα η ημερομηνία λήξης είναι σε ημέρες ενώ στα υπόλοιπα σε χρόνο Αν διαλέξει 8 μπουκάλια στην τύχη για έλεγχο, ποιά είναι η πιθανότητα να ρει τουλάχιστον με την κοντινή ημερομηνία λήξης; Ο χρόνος επισκευής σε ώρες μιας λάης σε ένα μηχάνημα ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [, ] ν το κόστος μη λειτουργίας του μηχανήματος για ώρες είναι να ρεθεί το μέσο κόστος ανά λάη Έστω ότι η διάρκεια μιας τηλεφωνικής συνδιάλεξης ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή λεπτά Αν κάποιος φθάσει σε ένα τηλεφωνικό θάλαμο ακριώς πριν από μας, ποιά είναι η πιθανότητα να χρειαστεί να περιμένουμε α περισσότερο από λεπτά, και μεταξύ και λεπτών Αν η τμ Χ ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο λ, να υπολογιστεί η τιμή της παραμέτρου λ σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: α >, >, γ, δ V Η διάρκεια σε se εκτέλεσης ενός προγράμματος σε Η/Υ ακολουθεί την εκθετική κατανομή με λ se Αν στον Η/Υ ξεκινήσει ταυτόχρονα η εκτέλεση τέτοιων προγραμμάτων, να ρεθεί η πιθανότητα να εκτελούνται περισσότερα από προγράμματα se μετά την έναρξη της εκτέλεσής τους Απαντήσεις : α 8 8 : α 7 7 : p</ : α T 7, V T 888 όχι : q / q 7: α G / / και / 8: α 8 γ 7 και : α 8 88 : α 78 7 γ 777 δ 88 : : / :α 8 : α ln ln/ γ / δ : 7 outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

0 1 0 0 0 1 p q 0 P =

0 1 0 0 0 1 p q 0 P = Στοχαστικές Ανελίξεις - Σεπτέμβριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100 1. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) Μια µεγάλη εταιρία θέλει να εξετάσει εάν το εκπαιδευτικό πρόγραµµα που ακολουθήσανε οι 100 πωλητές της ήταν αποτελεσµατικό (δηλαδή εάν αυξήθηκαν οι πωλήσεις). Οι δύο παρακάτω πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια Σημαντική μάλιστα ώθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 1.1 Απαρίθμηση και καταγραφή 1.2 Η αρχή του αθροίσματος 1.3 Η πολλαπλασιαστική αρχή 1.4 Άλλοι κανόνες απαρίθμησης 1.5 Πιθανότητες σε πεπερασμένους δειγματικούς χώρους 1.6 Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Το κύριο αντικείμενο της Συνδυαστικής Οι τεχνικές υπολογισμού του πλήθους των στοιχείων πεπερασμένων συνόλων ή υποσυνό-

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Άσκηση Φ8.1 Τρεις λαμπτήρες επιλέγονται τυχαία από ένα σύνολο 15 λαμπτήρων εκ των οποίων οι 5 είναι ελαττωματικοί. (α) Βρέστε την πιθανότητα κανείς από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Με σκοπό την καλύτερη μελέτη τους και ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους, τα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ).

P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ). Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη 31 Οκτωβρίου 2014 Πιθανότητες και Στατιστική Διάλεξη 7 Ασκήσεις ΙΙ Δεσμευμένη πιθανότητα, Συνδυαστικά επιχειρήματα Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών . Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών - Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβητής. Θα ήταν αρκετά χρήσιμο να γνωρίζουμε γύρω από ποια τιμή «κυμαίνεται» η τ.μ. Χ. γύρω από την οποία «απώνεται»

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Μαρκοβιανών Αλυσίδων

Προβλήματα Μαρκοβιανών Αλυσίδων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Προβλήματα Μαρκοβιανών Αλυσίδων Γιώργος Λυμπερόπουλος 2009 1. Να βρεθούν οι κλάσεις καταστάσεων στις παρακάτω Μαρκοβιανές αλυσίδες και να σημειωθεί αν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού

Πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Διδακτική των Μαθηματικών Χειμερινό εξάμηνο ακαδ. έτους 2012-2013 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Πιθανότητες ΣΤ Δημοτικού Σοφία Άιζενμπαχ Α.Μ. 5898 Πάτρα,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα

ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα ΙΙΙ εσµευµένη Πιθανότητα 1 Λυµένες Ασκήσεις Ασκηση 1 Στρίβουµε ένα νόµισµα δύο ϕορές. Υποθέτοντας ότι και τα τέσσερα στοιχεία του δειγµατοχώρου Ω {(K, K, (K, Γ, (Γ, K, (Γ, Γ} είναι ισοπίθανα, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ (5-9-2005) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% ) ΛΥΣΗ: ( 2 ) μόνο για αυτή την τιμή ισχύει

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ (5-9-2005) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% ) ΛΥΣΗ: ( 2 ) μόνο για αυτή την τιμή ισχύει ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 5-9-5 ΟΜΑΔΑ Α 4% Αν τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ ενός δειγματικού χώρου Ω είναι ανεξάρτητα μπορούμε να πούμε το ίδιο για τα α A B, Γ β Α,Β Γ

Διαβάστε περισσότερα

Ρόδος, Μαρτιος 2014. Εργασία Προόδου #1. ίνονται Οµάδες Ερωτήσεων, Προβληµάτων και Ασκήσεων, Α,Β,Γ,,Ε,Ζ,Η

Ρόδος, Μαρτιος 2014. Εργασία Προόδου #1. ίνονται Οµάδες Ερωτήσεων, Προβληµάτων και Ασκήσεων, Α,Β,Γ,,Ε,Ζ,Η ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 Eaρινό Εξάµηνο Ρόδος, Μαρτιος 2014 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Ι ΑΚΤΙΚΗΣ και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Μάθηµα: ΥΓ00003 "ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 3ο Διατάξεις και μεταθέσεις 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ-ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ- ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ 2.1 Διατάξεις και μεταθέσεις 2.2 Κυκλικές διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα.

Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα. Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα. Ηξερα οτι υπαρχουν επαγγελματιες παιχτες που κερδιζουν πολλα χρηματα απο το στοιχημα και εψαχνα να βρω τη "μυστικη formula" 'Ετσι κ εσυ. Πηρες μια απο τις

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η κανονική κατανομή ανακαλύφθηκε γύρω στο 720 από τον Abraham De Moivre στην προσπάθειά του να διαμορφώσει Μαθηματικά που να εξηγούν την τυχαιότητα. Γύρω στο 870, ο Βέλγος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ 1. ίνεται η αριθµητική πρόοδος µε α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΒΡΥΧΙΟ ΡΑΓΚΜΠΥ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΚΑΝΟΝΙΣΜΩΝ

ΥΠΟΒΡΥΧΙΟ ΡΑΓΚΜΠΥ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΚΑΝΟΝΙΣΜΩΝ ΥΠΟΒΡΥΧΙΟ ΡΑΓΚΜΠΥ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΚΑΝΟΝΙΣΜΩΝ (με βάση τις οδηγίες της CMAS) Σύντομη περιγραφή του παιχνιδιού: Το υποβρύχιο ράγκμπυ είναι ένα τρισδιάστατο άθλημα που παίζεται κάτω από την επιφάνεια του νερού,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Παγκόσμια Ολυμπιάδα Ρομποτικής Κατηγορία Πανεπιστημίου. «WRO Bowling» Κανόνες δοκιμασίας

Παγκόσμια Ολυμπιάδα Ρομποτικής Κατηγορία Πανεπιστημίου. «WRO Bowling» Κανόνες δοκιμασίας Παγκόσμια Ολυμπιάδα Ρομποτικής Κατηγορία Πανεπιστημίου «WRO Bowling» Κανόνες δοκιμασίας 2015 1 1. Περιγραφή δοκιμασίας Το φετινό όνομα της δοκιμασίας του διαγωνισμού στην κατηγορία του Πανεπιστημίου είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23

3 + 5 = 23 :13 + 18 = 23 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις όπως: Ο πληθωρισμός αυξήθηκε τη περσινή χρονιά κατά 4%

Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις όπως: Ο πληθωρισμός αυξήθηκε τη περσινή χρονιά κατά 4% Ποσοστά: Τα Μαθηματικά της Αγοράς ===================================================================================== Κώστας Γ. Σάλαρης - Μάνια Κ. Σάλαρη Στη καθημερινή μας ζωή ακούμε συχνά εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Αν το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι - ένας αριθμός R, τότε μπορεί να εκφραστεί με μία τ.μ. Χ R - αριθμοί R τότε μπορεί να εκφραστεί με ένα τ.δ. Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικέ ς Ασκη σέις ΑΕΠΠ

Επαναληπτικέ ς Ασκη σέις ΑΕΠΠ Επαναληπτικέ ς Ασκη σέις ΑΕΠΠ Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης 1. Σε ένα ποδοσφαιρικό πρωτάθλημα μετέχουν 16 ομάδες. Κάθε ομάδα παίζει με όλες τις υπόλοιπες ως γηπεδούχος και ως φιλοξενούμενη. Νίκη μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής

Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής Γ. Λυμπερόπουλος Ιανουάριος 2012 Θέμα 1 Ένα εργοστάσιο που δουλεύει ασταμάτητα έχει τέσσερις (4) πανομοιότυπες γραμμές παραγωγής. Από αυτές, μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Τελικές εξετάσεις 3 Ιανουαρίου 27 Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (2:-5:) ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός των νέων δελτίων

Οδηγός των νέων δελτίων Οδηγός των νέων δελτίων 4-7 Νέα εποχή Η ΟΠΑΠ Α.Ε. στο πλαίσιο της δυναμικής της ανάπτυξης, προχωρά στην αναμόρφωση και ανανέωση των παιχνιδιών της. Με ακόμη πιο λειτουργικό σχεδιασμό, μοντέρνα εμφάνιση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Ο

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Να αναπτύξετε τις παρακάτω ερωτήσεις: 1. Τι καλείται βρόγχος; 2. Σε ποιες κατηγορίες διακρίνονται τα προβλήματα ανάλογα με

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου Εαρινό Εξάµηνο 2009 Κάτια Παπακωνσταντινοπούλου 1. Εστω A ένα µη κενό σύνολο. Να δείξετε ότι η αλγεβρική δοµή (P(A), ) είναι αβελιανή οµάδα. 2. Εστω ένα ξενοδοχείο

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 6. Μονοπωλιακή Συμπεριφορά VA 25

Διάλεξη 6. Μονοπωλιακή Συμπεριφορά VA 25 Διάλεξη 6 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά VA 25 1 Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέχρι στιγμής το μονοπώλιο έχει θεωρηθεί σαν μια επιχείρηση η οποία πωλεί το προϊόν της σε κάθε πελάτη στην ίδια τιμή. Δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 12 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

Μονάδες 12 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ 1 1.1 ΕΙΓΜΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝ ΘΕΩΡΙ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΠΡΟΩΘΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΤΤΟ»

ΘΕΜΑ: «ΠΡΟΩΘΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΤΤΟ» Περιστέρι, 02.06.2009 ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ MARKETING ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΦΗΜΙΣΗΣ & ΠΡΟΩΘΗΣΗΣ ΠΡΟΣ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΠΡΑΚΤΟΡΕΣ ΤΗΣ ΟΠΑΠ Α.Ε. Αρ. Πρωτ.: Α/11886 ΘΕΜΑ: «ΠΡΟΩΘΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΤΤΟ» Αγαπητοί Συνεργάτες, Σας ενημερώνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-07 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΠΑΙ ΙΑΣ 2.1 ΤΟ ΤΡΑΠΕΖΙ

ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΠΑΙ ΙΑΣ 2.1 ΤΟ ΤΡΑΠΕΖΙ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΣ ΠΑΙ ΙΑΣ 2.1 ΤΟ ΤΡΑΠΕΖΙ 2.1.1 Η επάνω επιφάνεια του τραπεζίου γνωστή επίσης,σαν επιφάνεια παιδιάς είναι ορθογώνια µήκους 2,74 µ. πλάτους 1,525 µ. και βρίσκεται σε οριζόντια θέση 76 εκ. πάνω από

Διαβάστε περισσότερα