Συμπληρωματικές Ασκήσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συμπληρωματικές Ασκήσεις"

Transcript

1 Συμπληρωματικές Ασκήσεις Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙ Αν για ένα ενδεχόμενο ισχύει Α, να ρείτε την πιθανότητα εμφάνισης του Έστω, τα ενδεχόμενα ότι ένας συγκεκριμένος γιατρός ρίσκεται στις πμ στο ιατρείο του ή στο σπίτι του αντίστοιχα Αν,, ποια είναι η πιθανότητα στις πμ να μη ρίσκεται ούτε στο ιατρείο ούτε στο σπίτι του; Έστω Α, Β, τρία ενδεχόμενα για τα οποία ισχύει Β Α και Αα,, γ με γ α Να υπολογιστούν οι πιθανότητες,, συναρτήσει των α,,γ Τι παρατηρείτε; Να γίνει εφαρμογή για α/, / και γ/ Έστω ο δειγματικός χώρος {,,,} με αντίστοιχες πιθανότητες των απλών ενδεχομένων {} -,,, να δείξετε ότι να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α{,,}, Β{,,, }, {,,, }, Δ{: } Ζητάμε από ένα φίλο μας να μας πει στην τύχη έναν αριθμό μικρότερο από δισεκατομμύριο Ποια είναι η πιθανότητα ο αριθμός που θα μας πει να περιέχει μία τουλάχιστον φορά το ψηφίο 8; 'Ενας δρομέας των m πρόκειται να τρέξει στη λωρίδα ενός στίου με 8 λωρίδες Αν γνωρίζει ότι στον αγώνα παίρνουν μέρος εκτός από αυτόν άλλοι αθλητές οι οποίοι τοποθετούνται εντελώς τυχαία στις υπόλοιπες 7 λωρίδες, ποια είναι η πιθανότητα να μην τρέχει δίπλα του σε γειτονική λωρίδα κανένας αντίπαλος; 7 Στο τμήμα επισκευών μιας εταιρίας ηλεκτρικών συσκευών υπάρχουν προς επισκευή τηλεοράσεις και ίντεο Το προσωπικό που διαθέτει η εταιρεία επισκευάζει σε μία μέρα μόνο συσκευές Αν οι συσκευές που θα επισκευαστούν διαλέγονται τυχαία, να ρεθεί η πιθανότητα σε μία μέρα να επισκευαστούν τηλεοράσεις και ίντεο να επισκευαστούν το πολύ τηλεοράσεις 8 'Ενας πομπός στέλνει σήματα, καθένα από τα οποία είναι "" ή "" Πόσα είναι τα στοιχεία του δειγματικού χώρου του πειράματος; Αν όλα τα στοιχεία του είναι ισοπίθανα, ποια είναι η πιθανότητα α να μην υπάρχουν στο σήμα καθόλου διαδοχικές εκπομπές από "" ή ""; να υπάρχουν στο σήμα τρία διαδοχικά ""; Στην αποθήκη ενός εργοστασίου παραγωγής ελαστικών αυτοκινήτων υπάρχουν λάστιχα από τα οποία τα παρουσιάζουν ένα μικρό ελάττωμα Ένα κατάστημα παραγγέλνει λάστιχα Αν αυτά διαλεχτούν τελείως τυχαία, ανάμεσα στα ποια είναι η πιθανότητα τουλάχιστον ένα από τα ελαττωματικά λάστιχα να αποσταλεί στο κατάστημα; Σε μία οικογένεια με παιδιά η μητέρα έχει αγοράσει τρία δώρα για την πρωτοχρονιά Ζητάει από τα παιδιά να γράψουν σε ένα χαρτί ποιο από τα τρία δώρα θέλει ο καθένας χωρίς ο ένας να ξέρει τι δώρο διάλεξε ο άλλος Ποια είναι η πιθανότητα κανένα από τα τρία παιδιά να μη διαλέξει το ίδιο δώρο με τα άλλα δύο; τουλάχιστον δύο παιδιά να διαλέξουν το ίδιο δώρο; Ρίχνουμε ένα ζάρι φορές Ποια είναι η πιθανότητα να πάρουμε ίδια αποτελέσματα τουλάχιστον ίδια αποτελέσματα outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 8

2 outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, Μπορείτε να ρείτε τις πιθανότητες των προηγούμενων ενδεχομένων, αν ρίξουμε το ζάρι k φορές k ; Μία εταιρεία διαθέτει φορτηγά, από τα οποία τα είναι ρυπογόνα εκπέμπουν καυσαέρια έξω από τα φυσιολογικά όρια Ο τεχνικός της εταιρείας διαλέγει στην τύχη από τα φορτηγά και τους κάνει έλεγχο καυσαερίων Ποια είναι η πιθανότητα να εντοπίσει ακριώς ρυπογόνα φορτηγά το πολύ ρυπογόνα φορτηγά τουλάχιστον ρυπογόνο και μη ρυπογόνο φορτηγό Ρίχνουμε ένα ζάρι φορές Ποια είναι η πιθανότητα να μη φέρουμε καμία φορά έξι να φέρουμε τουλάχιστον μία φορά έξι; Μία γραμματέας τοποθετεί στην τύχη n διαφορετικά γράμματα σε n φακέλους με διαφορετικές διευθύνσεις Ποια η πιθανότητα να πάει ένα τουλάχιστον γράμμα στο σωστό παραλήπτη; Τι συμαίνει όταν το n είναι πολύ μεγάλο; υπόδειξη: χρησιμοποιήστε τον τύπο του onre για την πιθανότητα ένωσης ενδεχομένων Λύσεις Επειδή, θα έχουμε ότι από όπου προκύπτει ότι / Ζητειται η πιθανότητα του ενδεχομένου Παρατηρούμε ότι και επομένως, " " α είναι, και γ α, και τέλος, α Παρατηρούμε ότι Ισχύει ότι / { } { } " α είναι 7 {} {} {}, / } {,, 8 / / / { } Δ

3 outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, Ο δειγματικός χώρος αποτελείται από όλους τους αριθμούς από το έως το δισεκατομμύριο Με άλλα λόγια, ο αποτελείται από όλους τους αριθμούς με ψηφία Κάθε ψηφίο μπορεί να είναι ένας από τους αριθμούς,,,, Άρα Έστω Α το ενδεχόμενο επιλογής ενός αριθμού που δεν περιέχει το 8 Το Α αποτελείται από όλους τους αριθμούς με ψηφία μόνο που τώρα κάθε ψηφίο μπορεί να είναι ένας από τους αριθμούς,,,,7, Άρα Α Σύμφωνα με την εκφώνηση ζητείται η πιθανότητα Α και επειδή ο αποτελείται από ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα, θα έχουμε τελικά ότι Ο δειγματικός χώρος αποτελείται από όλους τους συνδυασμούς των 7 ανά χωρίς επανάληψη από τις υπόλοιπες 7 λωρίδες εκλέγονται για την τοποθέτηση των αθλητών Έστω Α το ενδεχόμενο να να μην τρέχει στη λωρίδα ή κανένας από τους αθλητές Το Α θα αποτελείται από όλους τους συνδυασμούς των ανά χωρίς επανάληψη από τις λωρίδες που απομένουν εκλέγονται για την τοποθέτηση των αθλητών Τα στοιχειώδη ενδεχόμενα του είναι ισοπίθανα και άρα τελικά Ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από όλους τους συνδυασμούς των ανά χωρίς επανάληψη Επομένως θα ισχύει ότι Έστω το ενδεχόμενο Α: να επισκευαστούν τηλεοράσεις και ίντεο α ισχύει ότι Επομένως, ο περιέχει ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα % 7 Έστω το ενδεχόμενο : να επισκευαστούν ακριώς τηλεοράσεις και - ίντεο Ζητείται η πιθανότητα του ενδεχομένου Β " " " " Τα Α είναι ξένα ανά δύο και επομένως, και εργαζόμενοι όμοια με το τελικά προκύπτει ότι

4 8 Ο δειγματικός χώρος αποτελείται από όλες τις διατάξεις των στοιχείων ανά με επανάληψη Επομένως, α Έστω Α το ενδεχόμενο να μην υπάρχουν στο σήμα διαδοχικές εκπομπές από "" ή "" Ε- πομένως, {,,,,,,,} και 8 Έστω Β το ενδεχόμενο να υπάρχουν στο σήμα τρία διαδοχικά "" Επομένως, {,,,,,,,,,,,} και Έστω Α το ενδεχόμενο να επιλεγεί τουλάχιστον ένα από τα ελαττωματικά λάστιχα α ισχύει ότι Α να μην επιλεγεί κανένα από τα ελαττωματικά λάστιχα Όμοια με την άσκηση 7, θα είναι Ο δειγματικός χώρος του πειράματος δυνατές επιλογές των παιδιών αποτελείται από όλες τις διατάξεις των παιχνιδών ανά με επανάληψη είναι δυνατό δύο παιδιά να επιλέξουν το ίδιο δώρο Επομένως, 7 Έστω Α το ενδεχόμενο «κανένα από τα τρία παιδιά να μη διαλέξει το ίδιο δώρο με τα άλλα δύο» «τα παιδιά επιλέγουν διαφορετικά δώρα» Το Α θα αποτελείται από όλες τις διατάξεις των παιχνιδών ανά χωρίς επανάληψη επιλογή διαφορετικών δώρων Τα στοιχειώδη ενδεχόμενα του είναι ισοπίθανα και επομένως, 7 Το ενδεχόμενο «τουλάχιστον δύο παιδιά να διαλέξουν το ίδιο δώρο» είναι συμπληρωματικό του Α Επομένως, ζητείται η πιθανότητα 7 Ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από όλες τις διατάξεις των στοιχείων ανά με επανάληψη Επομένως, Αν Α είναι το ενδεχόμενο εμφάνισης ίδιων αποτελεσμάτων, θα είναι {,,,,,,,,,,,,} και επειδή ο χώρος αποτελείται από ισοπίθανα ενδεχόμενα θα ισχύει ότι Αν το ενδεχόμενο εμφάνισης τουλάχιστον ίδιων αποτελεσμάτων, θα ισχύει ότι {,,, : για j} και άρα το αποτελείται από όλες τις διατάξεις των στοιχείων ανά χωρίς επανάληψη Επομένως, Β, και επειδή ο αποτελείται από ισοπίθανα ενδεχόμενα θα ισχύει ότι j outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

5 outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, Τέλος, αν ρίξουμε το ζάρι k k φορές θα έχουμε ότι k και k k, k k Αν το ενδεχόμενο να εντοπιστούν ακριώς ρυπογόνα φορτηγά, τότε όμοια με την Ά- σκηση 7 θα είναι Λόγω του ότι τα ενδεχόμενα Α,Α,,Α είναι ξένα ανά δύο θα ισχύει ότι να εντοπιστούν το πολύ ρυπογόνα φορτηγά " " α ισχύει ότι να εντοπιστούν τουλάχιστον ρυπογόνο και μη ρυπογόνο φορτηγό να εντοπιστούν ρυπογόν ή μη ρυπογόνα φορτηγά " Ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από όλες τις διατάξεις των δυνατά αποτελέσματα σε κάθε ρίψη ανά πειράματα με επανάληψη Επομένως Έστω Α το ενδεχόμενο να μην φέρουμε καμία φορά Το Α αποτελείται από όλες τις διατάξεις των ανά με επανάληψη και επομένως Επειδή τα στοιχειώδη ενδεχόμενα του είναι ισοπίθανα τελικά συμπεραίνουμε ότι Εναλλακτικά, μπορούσαμε να ρούμε την παραπάνω πιθανότητα ως εξής Σε κάθε ένα από τα τρία ανεξάρτητα μεταξύ τους πειράματα ρίψεις ζαριού, η πιθανότητα μη εμφάνισης του «έξι» είναι / Επομένως, όχι στην η ρίψη και όχι στην η ρίψη και όχι στην η ρίψη όχι στην η ρίψηόχι στην η ρίψηόχι στην η ρίψη Ζητείται η πιθανότητα του ενδεχομένου Άρα, /

6 Έστω Α το ενδεχόμενο τοποθέτησης του γράμματος στο σωστό φάκελο,,,,n Ζητείται η πιθανότητα του ενδεχομένου " "" Από τον τύπο του onre θα έχουμε ότι n n " "" n j j k n < j α ισχύει ότι, j j j, j k n n n n n n κοκ, n n Παρατηρούμε επίσης ότι το πρώτο άθροισμα Σ αποτελείται από n όρους για,,,n, το δεύτερο άθροισμα Σ <j αποτελείται από n όρους {, j} {,,,n}, j, το τρίτο άθροισμα Σ <j<k αποτελείται από < j< k n όρους, κοκ το τελευταίο άθροισμα αποτελείται από θα έχουμε ότι n n n " " " n n n n n n n n n n e / Από το ανάπτυγμα της εκθετικής συνάρτησης, συμπεραίνουμε ότι και άρα τελικά, αν n, e " "" n e n n όρους Άρα n n n n n Το αποτέλεσμα αυτό είναι αξιοσημείωτο διότι όταν ο αριθμός n των φακέλων και των γραμμάτων γίνεται πολύ μεγάλος πρακτικά n >, η πιθανότητα μιας τουλάχιστον σωστής τοποθέτησης δεν γίνεται μηδέν, όπως ίσως θα αναμέναμε, αλλά συγκλίνει σε μία σταθερά e Έτσι, είτε έχουμε είτε γράμματα, η πιθανότητα μιας τουλάχιστον σωστής τοποθέτησης πρακτικά παραμένει ίδια Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙ Δείξτε ότι δύο ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α, Β με Α>, > δεν είναι ανεξάρτητα Αν η εμφάνιση του ενδεχομένου Α κάνει την εμφάνιση του ενδεχομένου Β ποιο πιθανή, η εμφάνιση του Β κάνει την εμφάνιση του Α πιο πιθανή; Το άθροισμα της ρίψης δύο ζαριών μπορεί να είναι,,, Μπορούμε να δώσουμε πιθανότητα / σε καθένα από αυτά τα γεγονότα; Δείξτε ότι αν Α>Β τότε Α > Β Μία επιτροπή αποτελείται από μέλη Κάθε μέλος παίρνει σωστή απόφαση για κάποιο ζήτημα ανεξάρτητα από τους άλλους και με πιθανότητα p Αν η τελική απόφαση λαμάνεται κατά πλειοψηφία ποια είναι η πιθανότητα λήψης σωστής απόφασης Από ένα δοχείο που περιέχει άσπρες και κόκκινες σφαίρες εξάγουμε μία σφαίρα και χωρίς να επιστρέψουμε τη σφαίρα στο δοχείο, διαλέγουμε στη συνέχεια μία δεύτερη Ποια είναι η πιθανότητα να διαλέξουμε στην πρώτη εξαγωγή κόκκινη σφαίρα και στη δεύτερη άσπρη; outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

7 άσπρες σφαίρες και στις δύο εξαγωγές; 7 'Ενα εξάρτημα παρουσιάζει δύο ειδών λάες, τύπου α και τύπου, οι οποίες εμφανίζονται ανεξάρτητα η μία από την άλλη Η πιθανότητα να εμφανιστεί η λάη α είναι %, ενώ η πιθανότητα να εμφανιστεί η λάη είναι % Ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστούν και οι δύο λάες συγχρόνως; να εμφανιστεί μία τουλάχιστον από τις δύο λάες; να εμφανιστεί λάη τύπου, αν είναι γνωστό ότι έχει ήδη εμφανιστεί λάη τύπου α; 8 'Ενα στα χίλια άτομα ενός πληθυσμού πάσχει από κάποια σοαρή ασθένεια Η εξέταση που χρησιμοποιείται για τη διάγνωση της ασθένειας δίνει λάθος διάγνωση στo % των περιπτώσεων, αν το άτομο που υποάλλεται στην εξέταση πράγματι πάσχει από την ασθένεια, και στο % των περιπτώσεων, αν δεν πάσχει Ποια είναι η πιθανότητα να προκύψει θετική η εξέταση σε κάποιο άτομο που διαλέχτηκε τυχαία από τον πληθυσμό; Αν για κάποιο άτομο του πληθυσμού η εξέταση ήταν θετική, ποια είναι η πιθανότητα να πάσχει πράγματι από την ασθένεια; Αν τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ανεξάρτητα, να δείξετε ότι το ίδιο συμαίνει και για τα ζευγάρια α Α, Β, γ, Αν για τρία ανεξάρτητα ενδεχόμενα Α, Β, ισχύει ότι,, 7, Β να ρεθούν οι πιθανότητες, Β, Κατά τη ρίψη ενός μαύρου και ενός κόκκινου ζαριού ορίζουμε τα ενδεχόμενα : το μαύρο ζάρι έδειξε περιττό αριθμό : το κόκκινο ζάρι έδειξε περιττό αριθμό : το άθροισμα των δύο ενδείξεων είναι περιττό Να δείξετε ότι τα Α, Β, είναι ανά δύο ανεξάρτητα Είναι τα Α, Β, ανεξάρτητα; Ρίχνουμε ένα νόμισμα φορές Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε κεφαλές, να φέρουμε κεφαλές, αν είναι γνωστό ότι α η πρώτη ένδειξη ήταν κεφαλή, οι δύο πρώτες ενδείξεις ήταν κεφαλές, γ οι δύο από τις τρεις ενδείξεις ήταν κεφαλές 'Ενα δοχείο περιέχει κόκκινες και πράσινες σφαίρες, ενώ ένα δεύτερο δοχείο περιέχει 7 κόκκινες και πράσινες σφαίρες Μια σφαίρα διαλέγεται στην τύχη από το πρώτο δοχείο και τοποθετείται στο δεύτερο Στη συνέχεια μια σφαίρα διαλέγεται στην τύχη από το δεύτερο δοχείο και τοποθετείται στο πρώτο α Ποια είναι η πιθανότητα να διαλεχτεί κόκκινη σφαίρα από το πρώτο δοχείο και κόκκινη από το δεύτερο; Ποια είναι η πιθανότητα στο τέλος του πειράματος να μην έχει αλλάξει η σύνθεση των δύο δοχείων; Περίπου % των ανδρών και % των γυναικών πάσχουν από αχρωματοψία Ποια είναι η πιθανότητα ένα άτομο που διαλέγεται στην τύχη από το ακροατήριο μιας διάλεξης να πάσχει από αχρωματοψία, αν στην αίθουσα υπάρχουν α άνδρες και 7 γυναίκες; ίσο πλήθος ανδρών και γυναικών; γ διπλάσιοι άνδρες από γυναίκες; Αν τα ενδεχόμενα, είναι ξένα μεταξύ τους και ισχύει >, >, τότε ποιά από τις επόμενες προτάσεις ισχύει πάντοτε τα, είναι ανεξάρτητα ισχύει τα, δεν είναι ανεξάρτητα Λύσεις Ισχύει ότι < Η εμφάνιση του ενδεχομένου Α κάνει την εμφάνιση του ενδεχομένου Β ποιο πιθανή, δηλαδή, > έλουμε να δούμε αν με άση αυτή την ανισότητα προκύπτει επίσης ότι > α έχουμε ότι outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

8 > Άρα, πράγματι, και η εμφάνιση του Β κάνει την εμφάνιση του Α πιο πιθανή Τα ενδεχόμενα αυτά δεν είναι ισοπίθανα διότι πχ ενώ άθροισμα πρώτο ζάρι και δεύτερο ζάρι πρώτο ζάρι δεύτερο ζάρι, άθροισμα πρώτο ζάρι και δεύτερο ζάρι πρώτο ζάρι και δεύτερο ζάρι πρώτο ζάρι δεύτερο ζάρι πρώτο ζάρι δεύτερο ζάρι κοκ η ρίψη δύο ζαριών μπορεί να θεωρηθεί ως δύο ανεξάρτητα πειράματα το καθένα από τα οποία συνίσταται στη ρίψη ενός ζαριού α είναι > Έστω Α το ενδεχόμενο λήψης σωστής απόφασης από το -μέλος της επιτροπής Η πιθανότητα λήψης σωστής απόφασης θα είναι Από τον τύπο του onre αυτή η πιθανότητα θα είναι ίση με p p p p p p Έστω Α, K το ενδεχόμενο επιλογής άσπρης, κόκκινης σφαίρας αντίστοιχα, στην -εξαγωγή K K K Αν Α,Β είναι τα ενδεχόμενα εμφάνισης λάης α, αντίστοιχα, τότε 8 " 8 8 Το πείραμα αποτελείται από την τυχαία επιλογή ενός ατόμου από τον πληθυσμό και την εξέτασή του Έστω το ενδεχόμενο, το άτομο αυτό να πάσχει από την ασθένεια και,α τα ενδεχόμενα εμφάνισης θετικού, αρνητικού τέστ Σύμφωνα με την εκφώνηση θα είναι outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

9 outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 7,, και άρα 8,, Από το εώρημα ολικής πιθανότητας, η πιθανότητα να προκύψει θετική η εξέταση θα είναι 7 Από τον τύπο του yes θα ισχύει ότι 7 7 α όμοια με το α, γ " " Από τις υποθέσεις της εκφώνησης προκύπτει το σύστημα, 7, Από τις δύο πρώτες σχέσεις προκύπτει ότι, από όπου, σε συνδυασμό με την τρίτη από τις αρχικές σχέσεις, θα έχουμε ότι 7 Άρα, 8 και Ο δειγματικός χώρος {,,,,,,} αποτελείται από όλες τις διατάξεις των ανά με επανάληψη το α,α σημαίνει ότι το μαύρο ζάρι έφερε α και το κόκκινο α α είναι {,,,,,,,,,,,,,,,,,} Εξάλλου, τα Α,Β είναι ανεξάρτητα διότι αφορούν δύο ανεξάρτητα μεταξύ τους στοχαστικά πειράματα Επίσης {,,,,,,,,,,,,,,,,,} και {,,,,,,,,,,,,,,,,,} Β Β Επομένως, τα Α, Β, είναι ανά δύο ανεξάρτητα ια να είναι όμως τα Α, Β, ανεξάρτητα θα πρέπει επιπλέον να ισχύει ότι Β Β

10 Παρατηρώντας όμως ότι Β τελικά θα έχουμε ότι 8 Β Β και συνεπώς τα Α,Β, δεν είναι ανεξάρτητα Έστω Κ το ενδεχόμενο εμφάνισης κεφαλής στην -ρίψη Οι τρείς ρίψεις μπορούν να θεωρηθούν ως τρία ανεξάρτητα πειράματα Επομένως: K K K K K K K K K K K K α K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K KK " KK " KK K K " K K " K K KK γ KKK KK " KK " KK παρατηρούμε ότι ο αριθμητής είναι ίσος με KKK ενώ ο παρονομαστής θα είναι ίσος τύπος onre με και άρα K K K K K K K K K K K K K K K K K K KK KK KK KKK KKK 8 K K K K K K /8 K KK KK " KK " KK / Έστω Κ, Π πιθανότητα εκλογής κόκκινης, πράσινης σφαίρας αντίστοιχα από το -δοχείο α Η πιθανότητα επιλογής κόκκινης σφαίρας από το πρώτο δοχείο και κόκκινης από το δεύτερο είναι 8 K K K K K Η πιθανότητα στο τέλος του πειράματος να μην έχει αλλάξει η σύνθεση των δύο δοχείων είναι K K " Π Π K K Π Π K K K Π Π Π 8 Έστω Β το ενδεχόμενο το άτομο να πάσχει από αχρωματοψία, και Α, τα ενδεχόμενα να είναι άντρας ή γυναίκα αντίστοιχα α Η πιθανότητα το άτομο να πάσχει από αχρωματοψία αν στην αίθουσα υπάρχουν άνδρες και 7 γυναίκες θα είναι εώρημα ολικής πιθανότητας 7, outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 8

11 Η πιθανότητα το άτομο να πάσχει από αχρωματοψία αν έχουμε ίσο πλήθος ανδρών και γυναικών στην αίθουσα θα είναι 8 γ Η πιθανότητα το άτομο να πάσχει από αχρωματοψία αν έχουμε διπλάσιους άνδρες από γυναίκες στην αίθουσα θα είναι Ισχύει πάντοτε μόνο η τρίτη πρόταση λ άσκ Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙ Έστω ότι ο χρόνος αναμονής Χ σε λεπτά σε συγκεκριμένο σταθμό του υπογείου σιδηροδρόμου είναι μια συνεχής τυχαία μεταλητή με συνάρτηση κατανομής:, < < /, < F /, < Να παρασταθεί γραφικά η F και να υπολογισθούν οι πιθανότητες, <, > / 8, < 8, 8 < Από υποψήφιους δωρητές αίματος μόνο οι δύο έχουν ομάδα αίματος που ταιριάζει στον α- σθενή που το έχει ανάγκη Να δοθεί η συνάρτηση πιθανότητας και η αθροιστική συνάρτηση κατανομής του αριθμού των δωρητών τους οποίους θα χρειαστεί να ελέγξουμε ως προς την ομάδα αίματος προτού ρεθεί ο πρώτος κατάλληλος δωρητής Σε μια λαχειοφόρο αγορά με λαχνούς κληρώνεται ένας λαχνός που κερδίζει δρχ τρεις λαχνοί που κερδίζουν από δρχ και λαχνοί που κερδίζουν από δρχ Ποιό είναι το αναμενόμενο κέρδος για ένα άτομο που αγοράζει ένα μόνο λαχνό πληρώνοντας δρχ; 'Ενας παίκτης ρίχνει ζάρι μια φορά και κερδίζει δρχ αν φέρει άσσο, δρχ αν φέρει ή ενώ χάνει δρχ αν φέρει, ή Να ρεθεί η συνάρτηση πιθανότητας και η μέση τιμή του κέρδους του παίκτη ανά παιχνίδι Σε ένα διαγώνισμα με ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής δίνονται δύο ερωτήσεις με α απαντήσεις στο πρώτο και απαντήσεις στο δεύτερο Αν ο διαγωνιζόμενος διαλέγει τις απαντήσεις στην τύχη ποιός είναι ο μέσος αριθμός ορθών απαντήσεων; ποιά είναι η διασπορά του; 'Ενα ιλιοπωλείο αγοράζει ιλία προς δραχμές το ένα και τα πουλάει Αν μετά από ένα έτος υπάρχει η δυνατότητα επιστροφής των απούλητων ιλίων και η κατανομή του α- ριθμού των ιλίων που πουλιούνται σε ένα έτος δίνεται από τον τύπο,,, Να υπολογιστεί η μέση τιμή του και το μέσο κέρδος του ιλιοπωλείου σε ένα έτος 7 Σε κάθε μια από τις επόμενες περιπτώσεις να ρεθεί η τιμή της σταθεράς, έτσι ώστε οι αντίστοιχοι τύποι να ορίζουν συναρτήσεις πυκνότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταλητής θ α, < e, γ /, outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

12 8 H συνάρτηση πυκνότητας μιας τυχαίας μεταλητής δίνεται από τον τύπο, Αν να ρεθούν τα α και Να υπολογιστούν οι τιμές των σταθερών α και έτσι ώστε η συνάρτηση με τύπο, να είναι συνάρτηση πυκνότητας μιας τυχαίας μεταλητής με Η ποσότητα ενζίνης Χ σε χιλιόλιτρα που πωλεί πρατήριο ενζίνης σε μια μέρα είναι συνεχής τυχαία μεταλητή με συνάρτηση πυκνότητας, <, <, < Αφού υπολογιστεί η τιμή της σταθεράς, να ρεθούν οι πιθανότητες /, / < / και > / Τέλος, να ρεθεί η μέση ποσότητα ενζίνης που πουλάει το πρατήριο σε μια μέρα και η διασπορά V Ο χρόνος επισκευής σε ώρες μιας λάης σε ένα μηχάνημα ακολουθεί μια συνεχή κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας αν αλλού ν το κόστος μη λειτουργίας του μηχανήματος για ώρες είναι ανά λάη Λύσεις Η συνάρτηση κατανομής F θα παριστάνεται γραφικά ως εξής: F, να ρεθεί το μέσο κόστος / 8 ενώ F /8 /, < F F /8 / / 8 και < F F /8 / > F /8 Έστω Χ ο αριθμός των δωρητών τους οποίους θα χρειαστεί να ελέγξουμε Αν {,} είναι οι υποψήφιοι δωρητές που έχουν ομάδα αίματος που ταιριάζει στον ασθενή και {,,} οι υπόλοιποι, θέτουμε Α το ενδεχόμενο επιλογής του δωρητή ή του δωρητή στην -επιλογή Η επιλογή outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

13 της σειράς εξέτασης των δωρητών είναι τυχαία και επομένως χρησιμοποιώντας και τον πολλαπλασιαστικό κανόνα για την τομή ενδεχομένων,, Ισχύει ότι Χ {,,,} και επαληθεύουμε ότι φυσικά Επομένως, F, F, F 7, F, F Έστω Χ το ποσό που κερδίζει το άτομο από τον λαχνό δεν συμπεριλαμάνεται το κόστος του λαχνού Αν το άτομο επιλέγει τυχαία τον λαχνό που αγοράζει θα ισχύει ότι,,, θα ισχύει ότι Χ {,,,}, 8 Το καθαρό κέρδος του ατόμου τώρα συμπεριλαμάνεται το κόστος του λαχνού θα είναι Y και άρα τελικά το αναμενόμενο καθαρό κέρδος θα είναι Y 8 7 ζημιά 7 δρχ Έστω Χ το κέρδος του παίκτη α ισχύει ότι {}, {,}, {,,} και Έστω Χ ο αριθμός των σωστών απαντήσεων Αν οι επιλογές των απαντήσεων των δύο ερωτήσεων είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους οι επιλογές των δύο απαντήσεων θεωρούνται δύο στοχαστικά ανεξάρτητα πειράματα, θα ισχύει ότι λάθος απάντηση στην η ερώτηση και λάθος απάντηση στην η ερώτηση λάθος απάντηση στην η ερώτησηλάθος απάντηση στην η ερώτηση outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

14 outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, λάθος απάντηση στην η ερώτηση και σωστή απάντηση στην η ερώτηση σωστή απάντηση στην η ερώτηση και λάθος απάντηση στην η ερώτηση σωστή απάντηση στην η ερώτηση και σωστή απάντηση στην η ερώτηση και επομένως, Επίσης και τέλος, V Είναι 87 Το κέρδος του ιλιοπωλείου σε ένα έτος θα είναι Υ Χ και άρα το μέσο κέρδος του ιλιοπωλείου θα είναι 87 Y 7 Και στις τρείς περιπτώσεις θα πρέπει να ρούμε την τιμή της σταθεράς έτσι ώστε και d α ια να ικανοποιείται η δεύτερη συνθήκη θα πρέπει d d d d d και άρα επαληθεύουμε ότι για ισχύει ότι Όμοια με το α θα πρέπει θ θ e θ d θ e θ e d θ e d e θ θ θ θ θ και άρα θ επαληθεύοντας ότι αν θ τότε και γ α πρέπει

15 outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, d d και άρα επαληθεύουμε και πάλι ότι για ισχύει ότι 8 Τα α, θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε να ισχύει ότι, d και ΕΧ / ια να ικανοποιείται η δεύτερη συνθήκη θα πρέπει d d ενώ για να ικανοποιείται η τρίτη θα πρέπει d d Άρα θα πρέπει και οι τιμές αυτές είναι αποδεκτές διότι επαληθεύουν και τη συνθήκη Όμοια με την προηγούμενη άσκηση θα πρέπει τα α, να είναι τέτοια ώστε, d και ΕΧ Επομένως θα πρέπει d και d d d Άρα τελικά θα πρέπει Οι τιμές αυτές είναι αποδεκτές διότι επαληθεύουν και τη συνθήκη α ρούμε την τιμή της σταθεράς έτσι ώστε και d α πρέπει [] d d d d και άρα / επαληθεύουμε ότι για / ισχύει και ότι Στη συνέχεια θα έχουμε

16 outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, / / / d d F, / / / / d d d d F F 8 7 / /, / / / > d d F Τέλος, d d d d, d d d d 8 και άρα 8 V Το κόστος επισκευής είναι Υ Χ και επομένως το μέσο κόστος ανά λάη θα είναι d d Ασκήσεις Στατιστικής II Η πιθανότητα να πετύχει ένας σκοπευτής το στόχο στις από τις ολές είναι τριπλάσια της πιθανότητας να τον πετύχει στις από τις Ποιά είναι η πιθανότητα στις ρίψεις να πετύχει το στόχο α τουλάχιστον μια φορά, και το πολύ φορές To 7% των αυτοκινήτων που φτάνουν σε μια συγκεκριμένη διασταύρωση στρίουν αριστερά και το % δεξιά Αν η επιλογή της κατεύθυνσης κάθε αυτοκινήτου είναι ανεξάρτητη από την επιλογή των υπολοίπων τότε να ρεθεί η πιθανότητα σε αυτοκίνητα που φτάνουν στη διασταύρωση α τουλάχιστον να στρίψουν αριστερά, και τουλάχιστον να στρίψουν στην ίδια κατεύθυνση Ας υποθέσουμε ότι ένα αεροπλάνο μπορεί να πραγματοποιήσει επιτυχή πτήση μόνο αν τουλάχιστον οι μισές από τις μηχανές που διαθέτει λειτουργούν Αν η πιθανότητα να χαλάσει μια μηχανή είναι p, για ποιές τιμές του p είναι ένα δικινητήριο αεροπλάνο ασφαλέστερο από ένα τετρακινητήριο; Μια δακτυλογράφος δακτυλογραφεί με σταθερό ρυθμό λέξεις το λεπτό και η πιθανότητα να δακτυλογραφήσει μια λέξη λανθασμένα είναι Αν κάθε λανθασμένη λέξη απαιτεί χρόνο δευτερολέπτων για να διορθωθεί τότε α να ρεθεί η μέση τιμή και η διακύμανση του χρόνου Τ σε δευτερόλεπτα που απαιτείται για τη σωστή δακτυλογράφηση ενός κειμένου λέξεων, και μήπως είναι προτιμότερο ο ρυθμός δακτυλογράφησης να είναι λέξεις το λεπτό αν αυτός ο ρυθμός μειώνει την πιθανότητα λανθασμένης δακτυλογράφησης μιας λέξης σε ;

17 Αν η τμ δηλώνει τον αριθμό των επιτυχιών σε ν ανεξάρτητες και ισόνομες δοκιμές τότε να ρεθεί η σπ της τμ Y ν Ποια η φυσική ερμηνεία της τμ Y; Ένας ποδοσφαιριστής χτυπάει συνεχώς πέναλτι με πιθανότητα επίτευξης γκολ ίση με p Ποια είναι η πιθανότητα να επιτύχει για πρώτη φορά γκολ σε ζυγό χτύπημα πέναλτι; 7 Δύο φίλοι Α και Β παίζουν το εξής παιχνίδι: Ένα ζάρι ρίχνεται συνεχώς μέχρι να εμφανιστεί για πρώτη φορά άσσος ή έξι και έστω Χ ο αριθμός των ρίψεων που θα απαιτηθούν Αν το Χ είναι άρτιος αριθμός, ο παίκτης Α δίνει στον Β ποσό α δραχμών ενώ αν είναι περιττός, ο παίκτης Β δίνει στον Α ποσό δραχμών α Να ρεθεί η κατανομή της τμ Χ Να ρεθεί η πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης Α Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης Β; γ Να δειχθεί ότι για να είναι το παιχνίδι δίκαιο θα πρέπει να ισχύει α 8 Ο αριθμός των ελαττωματικών σημείων πχ μικροσκοπικές οπές της μόνωσης ενός ηλεκτρικού καλωδίου ακολουθεί την κατανομή osson με μέση τιμή ελαττωματικό σημείο σε κάθε m καλωδίου α Να ρεθεί η πιθανότητα να έχει ελαττωματικά σημεία ένα καλώδιο μήκους m Αν επιλέξουμε τυχαία καλώδια μήκους m το καθένα, να υπολογιστεί η πιθανότητα να έχει ελαττωματικά σημεία μόνο το ένα καλώδιο γ Να απαντηθούν τα ερωτήματα α και όταν τα καλώδια έχουν μήκος m το καθένα Σε μια επιχείρηση με εργαζομένους να ρεθεί η πιθανότητα να έχουν γεννηθεί την Πρωτοχρονιά εργαζόμενοι Να γίνει υπολογισμός χρησιμοποιώντας α την ακριή κατανομή, και την προσέγγιση με την κατανομή osson Ο αριθμός των θαλάσσιων ατυχημάτων πνιγμών που συμαίνουν σε ένα χρόνο σε μια πόλη κατοίκων είναι τμ Χ με Ποιά είναι η πιθανότητα, σε μια πόλη κατοίκων να έχουμε α,, γ έως και δ το πολύ θαλάσσια ατυχήματα το χρόνο Ένας φαρμακοποιός έχει στην αποθήκη του μπουκάλια παιδικού αντιπυρετικού εκ των ο- ποίων στα η ημερομηνία λήξης είναι σε ημέρες ενώ στα υπόλοιπα σε χρόνο Αν διαλέξει 8 μπουκάλια στην τύχη για έλεγχο, ποιά είναι η πιθανότητα να ρει τουλάχιστον με την κοντινή ημερομηνία λήξης; Ο χρόνος επισκευής σε ώρες μιας λάης σε ένα μηχάνημα ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [, ] ν το κόστος μη λειτουργίας του μηχανήματος για ώρες είναι να ρεθεί το μέσο κόστος ανά λάη Έστω ότι η διάρκεια μιας τηλεφωνικής συνδιάλεξης ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή λεπτά Αν κάποιος φθάσει σε ένα τηλεφωνικό θάλαμο ακριώς πριν από μας, ποιά είναι η πιθανότητα να χρειαστεί να περιμένουμε α περισσότερο από λεπτά, και μεταξύ και λεπτών Αν η τμ Χ ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο λ, να υπολογιστεί η τιμή της παραμέτρου λ σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: α >, >, γ, δ V Η διάρκεια σε se εκτέλεσης ενός προγράμματος σε Η/Υ ακολουθεί την εκθετική κατανομή με λ se Αν στον Η/Υ ξεκινήσει ταυτόχρονα η εκτέλεση τέτοιων προγραμμάτων, να ρεθεί η πιθανότητα να εκτελούνται περισσότερα από προγράμματα se μετά την έναρξη της εκτέλεσής τους Απαντήσεις : α 8 8 : α 7 7 : p</ : α T 7, V T 888 όχι : q / q 7: α G / / και / 8: α 8 γ 7 και : α 8 88 : α 78 7 γ 777 δ 88 : : / :α 8 : α ln ln/ γ / δ : 7 outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ . Να βρείτε το δειγµατικό χώρο της ρίψης ενός ζαριού.. Επιλέγουµε ένα µαθητή Λυκείου και σηµειώνουµε το φύλο και την τάξη του. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο Ω του πειράµατος. 3. Τραβάµε ένα φύλλο από µία

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στις κατανομές και ειδικά στην διωνυμική κατανομή και κανονική κατανομή

Ασκήσεις στις κατανομές και ειδικά στην διωνυμική κατανομή και κανονική κατανομή Ασκήσεις στις κατανομές και ειδικά στην διωνυμική κατανομή και κανονική κατανομή Όπου χρειάζεται να γίνει χρήση του μικροϋπολογιστή 3xi -2 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i )= 5, x

Διαβάστε περισσότερα

Μέση τιμή, διασπορά, τυπική απόκλιση. 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i)=

Μέση τιμή, διασπορά, τυπική απόκλιση. 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i)= Μέση τιμή, διασπορά, τυπική απόκλιση Όπου χρειάζεται να γίνει χρήση του μικροϋπολογιστή 3x 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i)= i-2 22, xi=1,2,3,4. α) Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας:

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης. P (B) P (A B) = 3/4.

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης. P (B) P (A B) = 3/4. Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 207-8. Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης.. Αν P (A) / και P (A B) /4, βρείτε την ελάχιστη δυνατή και την μέγιστη δυνατή τιμή της P (B). Το B καλύπτει οπωσδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 3 Το ύψος κύματος (σε μέτρα) σε μία συγκεκριμένη θαλάσσια περιοχή είναι τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

ΘΕΜΑ 3 Το ύψος κύματος (σε μέτρα) σε μία συγκεκριμένη θαλάσσια περιοχή είναι τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ TOMEAΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 26 Σεπτεμβρίου 2014 Ομάδα Θεμάτων Α ΘΕΜΑ 1 Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα (δύο δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Διωνυμική Κατανομή. x Αποδεικνύεται ότι για την διωνυμική κατανομή ισχύει: Ε(Χ)=np και V(X)=np(1-p).

Διωνυμική Κατανομή. x Αποδεικνύεται ότι για την διωνυμική κατανομή ισχύει: Ε(Χ)=np και V(X)=np(1-p). Διωνυμική Κατανομή Ορισμός: Μια τυχαία μεταβλητή Χ λέγεται ότι ακολουθεί την διωνυμική κατανομή αν πληρούνται οι ακόλουθες τρεις συνθήκες: α) Υπάρχουν n επαναλαμβανόμενες δοκιμές οι οποίες είναι στατιστικώς

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα:

Η Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: 1 Η Έννοια της Πιθανότητας Η Έννοια της Πιθανότητας 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: α) Να εμφανιστεί περιττός αριθμός κατά την ρίψη ενός ζαριού. (1/2) β) Να εμφανιστεί τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρεσάκης Δ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρεσάκης Δ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΛΓΕΡ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙ 1 Tα πειράματα των οποίων δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνονται (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω από τις ίδιες συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (7η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... ΑΜ:. Ημερομηνία: Σ Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω τετράγωνα Μέρος

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην διωνυμική κατανομή

Ασκήσεις στην διωνυμική κατανομή Ασκήσεις στην διωνυμική κατανομή Όπου χρειάζεται να γίνει χρήση του μικροϋπολογιστή 1) Επιλέγουμε ένα τυχαίο δείγμα τεσσάρων μεταχειρισμένων ραδιοφώνων. Αν γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα να μην υπάρχει ελαττωματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:

Διαβάστε περισσότερα

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q 7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I ΟΔΗΓΙΕΣ Να μην αντιγράψετε τα θέματα στην κόλα σας. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας και τον αριθμό μητρώου σας (ΑΜ) στα θέματα και σε κάθε κόλα που θα χρησιμοποιήσετε. Τα θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ . ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 7 9 Α ΟΜΑΔΑΣ. Από μία τράπουλα με 5 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Ιανουάριος 2014 Επώνυμο... Όνομα... A.E.M.... Εξάμηνο... Σειρά Θέμα Ι (ΟΛΑ) Θέμα ΙΙ (2 από τα 3) Βαθμός /1 /1 /1 /1 /1 /2,5 /2,5 /2,5 /10 ΘΕΜΑ Ι: Ασχοληθείτε και με τα πέντε ερωτήματα.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο «ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο «ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018 Διδάσκουσα: Β. Πιπερίγκου Σε μια ενδονοσοκομειακή έρευνα, καταγράφηκε ο χρόνος ύπνου, μετά τη χορήγηση ενός συγκεκριμένου αναισθητικού, σε 33 ασθενείς και πήραμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Οµάδα η. Αν Ω={ω,ω,,ω 6 } είναι ο δ.χ ενός πειράµατος τύχης να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ),,Ρ(ω 6 ) αν είναι γνωστό ότι αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 εσµευµένη Πιθανότητα Πολλαπλασιαστικός Νόµος Ανεξάρτητα Γεγονότα Θεώρηµα Ολικής Πιθανότητας Κανόνας Bayes

Διαβάστε περισσότερα

Οι παραγγελίες ακολουθούν την κατανομή Poisson. Σύμφωνα με τα δεδομένα ο

Οι παραγγελίες ακολουθούν την κατανομή Poisson. Σύμφωνα με τα δεδομένα ο ΘΕΜΑ 1 ο (ΜΟΝΑΔΕΣ 10) Μια βιοτεχνία καθαρισμού ρούχων λειτουργεί καθημερινά 8 ώρες. Η βιοτεχνία δέχεται κατά μέσο όρο 4 παραγγελίες την ημέρα για καθαρισμό ενδυμάτων. (ι). Να υπολογισθεί η πιθανότητα να

Διαβάστε περισσότερα

Η πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής:

Η πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής: Άσκηση 1: Ένα κουτί περιέχει 3 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες. Αφαιρούμε τυχαία δύο μπάλες διαδοχικά. Ποια η πιθανότητα η πρώτη μπάλα να είναι άσπρη και η δεύτερη μπάλα να είναι μαύρη; Λύση: Αρχικά ορίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β 1. Δίνονται δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου και οι πιθανότητες: 3 5 1 P( A), P( A B) και P( B) 4 8 4 α) Να υπολογίσετε την P( A B) β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος 1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης Πείραμα τύχης 1 η δραστηριότητα Ρίξτε ένα κέρμα 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του: 1 η ρίψη:, 2 η ρίψη:, 3 η ρίψη:

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας

Διάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας Διάλεξη 5: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω η ποιότητα ενός προϊόντος που παίρνουμε από ένα σύνολο προϊόντων με απλή τυχαία δειγματοληψία. Ανάλογα με το αν το προϊόν είναι ελαττωματικό, καλο ή άριστο, η παίρνει τις τιμές,

Διαβάστε περισσότερα

0 1 0 0 0 1 p q 0 P =

0 1 0 0 0 1 p q 0 P = Στοχαστικές Ανελίξεις - Σεπτέμβριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Έννοια Ορισμοί Τρόπος υπολογισμού Kατανομή πιθανότητας Ασκήσεις

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Έννοια Ορισμοί Τρόπος υπολογισμού Kατανομή πιθανότητας Ασκήσεις ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Έννοια Ορισμοί Τρόπος υπολογισμού Kατανομή πιθανότητας Ασκήσεις Έννοια τυχαίας μεταβλητής Κατά τον υπολογισμό πιθανοτήτων, συχνά συμβαίνει τα ενδεχόμενα που μας ενδιαφέρουν να μετρούν

Διαβάστε περισσότερα

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας Α ΕΝΟΤΗΤΑ Πιθανότητες Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της πιθανότητας Α.1 Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα. Απαραίτητες γνώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 ΗΔιωνυμική κατανομή για (πολύ) μεγάλα ν και (πολύ) μικρά p Η χρήση του τύπου ν x ν x f ( x)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 2018 Σειρά Α Θέματα 3 ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 2018 Σειρά Α Θέματα 3 ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 8 Σειρά Α Θέματα ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις ΘΕΜΑ : Το δοχείο Δ περιέχει 6 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες ενώ το δοχείο Δ περιέχει 5 άσπρες και μαύρες μπάλες.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΕΩΛΟΓΙΚΟΥ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΕΩΛΟΓΙΚΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΑ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Στο Σετ αυτό περιλαμβάνονται θέματα Πιθανοτήτων που έχουν δοθεί σε εξετάσεις παρελθόντων ετών στα Τμήματα Γεωλογικό

Διαβάστε περισσότερα

Δείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(Α/Β) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(Β/Α) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Β);

Δείξτε ότι αν πιθανότητα Ρ(Α/Β) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Α), τότε πιθανότητα Ρ(Β/Α) είναι μεγαλύτερη της πιθανότητας Ρ(Β); Μια παρέα αποτελούμενη από 10 άντρες και 5 γυναίκες, με τυχαίο τρόπο χωρίζονται σε ομάδες 3 ατόμων. Βρείτε την πιθανότητα ότι σε κάθε ομάδα θα υπάρχει ένας τουλάχιστον άνδρας. Απάντηση: Έστω το γεγονός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. 5 " " " " παθήσεις α και δ. 4 " " " " παθήσεις α και γ. 7 " " " " παθήσεις β και γ 2 " " " " παθήσεις γ και δ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. 5     παθήσεις α και δ. 4     παθήσεις α και γ. 7     παθήσεις β και γ 2     παθήσεις γ και δ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1. Τρεις εφημερίδες Α, Β, Γ, εκδίδονται σε μια ορισμένη πόλη και έχει εκτιμηθεί ότι από τον ενήλικο πληθυσμό της πόλης 20% διαβάζει την εφημερίδα Α 16% " " " Β 14% " " " Γ 8% διαβάζει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Δηλαδή:

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Δηλαδή: Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-18 Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων 1 Σε ένα πρόβλημα πολλαπλής επιλογής προτείνονται n απαντήσεις από τις οποίες μόνο μία είναι σωστή Αν η σωστή απάντηση κερδίζει

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς. Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 013-014 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 Επιμέλεια: Ομάδα Διαγωνισμάτων από το Στέκι των Πληροφορικών Θέμα Α A1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πιθανότητες Πραγματικοί αριθμοί Εξισώσεις Ανισώσεις Πρόοδοι Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Μελέτη βασικών συναρτήσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α

Διαβάστε περισσότερα

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B) Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )

Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα:

Συνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα: Συνδυαστική Ανάλυση Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα: P( A) N( A) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του Ω Χρειαζόμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς : Ο τομέας των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, που ασχολείται με την αξιολόγηση κατάλληλων στοιχείων έτσι ώστε να είναι μετρήσιμη η προσδοκία μας για την πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 2ης Ομάδας Ασκήσεων

Λύσεις 2ης Ομάδας Ασκήσεων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. (Μπάλες Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ (αʹ Έστω A το ενδεχόμενο να επιλέξουμε τουλάχιστον μια άσπρη μπάλα. Θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ Πιθανότητες 24 Πιθανότητες 24 η Άσκηση Η Δανάη περιστρέφει τον δείκτη στον διπλανό τροχό. α. Να εκφράσεις με κλάσμα την πιθανότητα:. Ο δείκτης να σταματήσει σε

Διαβάστε περισσότερα

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Θεωρία Πιθανοτήτων Ασκήσεις 4

Διάλεξη 4: Θεωρία Πιθανοτήτων Ασκήσεις 4 Διάλεξη 4: ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Η πιθανότητα εμφάνισης βλάβης σε ένα μηχάνημα εργοστασίου ισούται με 0.03, η πιθανότητα εμφάνισης σε ένα δεύτερο ισούται με 0.0 και η πιθανότητα βλάβης και στα δυο ισούται με 0.05.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους

Πιθανότητες. Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους Πιθανότητες Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους «Πείραμα» Tύχης Οτιδήποτε συμβαίνει και δεν γνωρίζουμε από πριν το ακριβές αποτέλεσμά του. Απασχόλησαν

Διαβάστε περισσότερα

#(A B) = (#A)(#B). = 2 6 = 1/3,

#(A B) = (#A)(#B). = 2 6 = 1/3, Κεφάλαιο 4 Πιθανότητες και συνδυαστική Οπως είδαμε σε κάποια παραδείγματα των προηγουμένων κεφαλαίων, συχνά συναντάμε καταστάσεις όπου όλες οι δυνατές εκφάνσεις ενός τυχαίου πειράματος έχουν την ίδια πιθανότητα.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasil

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 1 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Είναι τα απλά ενδεχόµενα για τα οποία κάποιο εξ αυτών δεν έχει πλεονέκτηµα έναντι των άλλων όσον αφορά την επιλογή του. Με άλλα λόγια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Κανονική Κατανομή. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Κανονική Κατανομή. τεχνικές. 73 άλυτες ασκήσεις.

Κανονική Κατανομή. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Κανονική Κατανομή. τεχνικές. 73 άλυτες ασκήσεις. Κανονική Κατανομή Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Κανονική Κατανομή τεχνικές 73 άλυτες ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

α) Αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα:

α) Αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα: ΘΕΜΑ 2 (479) α) Αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα: i) A B ii) B Γ iii) (A B) Γ iv) A (Μονάδες 12) β) Στο παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα