Matematika I: Pitanja za završni dio ispita. 2. Definirati konjukciju dva iskaza. Konjukcija iskaza p i q je netačan iskaz

Transcript

1 Univerzitet u Tuzli Prirodno-matematički fakultet Studijski odsjek fizika Predmetni nastavnik: Dr. Elvis Baraković, docent 1 Algebra iskaza Matematika I: Pitanja za završni dio ispita 1. Definirati pojam iskaza i istinitosne vrijednosti iskaza. 2. Definirati konjukciju dva iskaza. Konjukcija iskaza p i q je netačan iskaz (a) ako su oba iskaza iste istinitosne vrijednosti (b) ako su iskazi suprotnih istinitosnih vrijednosti (c) ako je bar jedan iskaz netačan (d) ako i samo ako su oba iskaza netačna. 3. Definirati disjunkciju iskaza. Disjunkcija iskaza p i q je tačan iskaz (a) ako je bar jedan od iskaza tačan (b) samo ako su oba iskaza tačna (c) ako su iskazi suprotnih istinitosnih vrijednosti. 4. Definirati implikaciju iskaza. Implikacija iskaza q i p, je tačan iskaz (a) ako su oba iskaza tačna (b) ako su iskazi suprotnih istinitosnih vrijednosti (c) ako su iskazi istih istinitosnih vrijednosti (d) ako iz q slijedi p. 5. Definirati ekvivalenciju iskaza. Ekvivalencija iskaza p i q je netačan iskaz (a) ako iz p ne slijedi q (b) ako su iskazi suprotni (c) ako su iskazi isti (d) ako je iskaz p tačan, i iskaz q tačan. 2 Skupovi i preslikavanja 6. Za skupove A i B kažemo da su jednaki (a) ako su svi elementi skupa A ujedno i elementi skupa B (b) ako vrijedi A B B A (c) ako imaju iste elemente na odgovarajućim mjestima (d) ako vrijedi ( x)(x A x B). 7. Defnirati uniju, presjek i razliku skupova.

2 8. Definirati razliku dva skupa i komplement skupa. Kakva je veza izmedu navedenih skupova? 9. Definirati gornje ograničenje skupa i supremum skupa. 10. Definirati donje ograničenje skupa i infimum skupa. 11. Definirati pojam preslikavanja. 12. Za preslikavanje f : X Y kažemo da je sirjektivno ako (a) svaki element iz skupa Y ima svoj original u skupu X (b) se svaki element skupa X preslikava u tačno jedan element skupa Y (c) vrijedi f(x) = Y (d) vrijedi f 1 (Y ) Y. 13. Za preslikavanje f : X Y kažemo da je injektivno ako (a) ( x, y X)(f(x) = f(y) x = y) (b) jednaki originali imaju jednake slike (c) jednakim slikama odgovaraju jednaki originali (d) ( x, y X)(x y f(x) f(y)). 14. Definirati bijektivno preslikavanje uz objašnjenje svih pojmova koji se javljaju u toj definiciji. 15. Definirati kompoziciju dva preslikavanja. Neka su zadata preslikavanja f : R R i g : R R, definirana sa f(x) = 3x + 2 i g(x) = x(x 1), formirati preslikavanja f g i g f. 3 Skupovi realnih i komplesnih brojeva 16. Navesti aksiome (pravila) skupa realnih brojeva za operaciju sabiranja. 17. Navesti aksiome (pravila) skupa realnih brojeva za operaciju množenja. 18. Navesti aksiome (pravila) skupa realnih brojeva koje se odnose na relaciju uredenja. 19. Objasniti pojam proširenog skupa realnih brojeva, te kao posljedica čega se on definira (Arhimedov aksiom). 20. Koje su od sljedećih jednakosti tačne: (a) (+ ) ( ) = (b) ( ) + ( ) = (c) (+ ) 0 = 0 (d) ( ) ( ) = + (e) (+ ) (+ ) = Koji od sljedećih iskaza nisu tačni? (a) ab = a b (b) x 2 = x (c) ( x, a R, a > 0)( x < a a < x < a)

3 (d) ( a, b R) a + b a + b. 22. Navesti aksiome skupa prirodnih brojeva. 23. Navesti princip matematičke indukcije. 24. Uvodeći pojam modula i argumenta kompleksnog broja izvesti trigonometrijski oblik kompleksnog broja. 25. Navesti Moavrovu formulu i izračunati z 3 ako je z = 1 + i. 26. U skupu kompleksnih brojeva riješiti jednačinu z = Izvesti formulu za korjenovanje kompleksnog broja i izračunati 3 1 i. 28. Definirati logaritam kompleksnog broja. Izračunati Ln( 4). 4 Algebra matrica 29. Definirati pojam matrice i njene osnovne elemente. 30. Ako je matrica formata m n, kako glase elementi njene pretposljednje vrste i treće kolone? 31. Kod kojih matrica možemo govoriti o tragu matrice? Definirati trag matrice. 32. Definirati determinantu matrice. Iskazati Stav Laplaceov razvoj determinante. 33. Za koje determinante navodimo Sarrusovo pravilo i kako to pravilo glasi? 34. Navesti osobine determinanti. 35. Definisati minor i bazisni minor matrice formata m n. 36. Definisati rang matrice formata m n. Koje su moguće vrijednosti ranga ovakve matrice? 37. Pri nalaženju ranga matrice služimo se elementarnim transformacijama. Navesti ih. 38. Elementarne trasformacije nad matricama su (zaokruži): (a) Zamjena mjesta dvjema kolonama (vrstama). (b) Brisanje jednakih vrsta (kolona). (c) Množenje kolone (vrste) proizvoljnim brojem. (d) Dodavanje jednoj koloni (vrsti) neke druge vrste (kolone). 39. Ako na matricu A primjenimo neku elementarnu transformaciju, dobijamo matricu B. Kako nazivamo takve matrice i koja je veza izmedju njih? 40. Definirati operaciju sabiranja nad matricama. Navesti osnovne osobine sabiranja matrica. 41. Definirati množenje matrice skalarom. Navesti osnovne osobine ovog množenja. 42. U definiciji proizvoda koje tipove matrica množimo i kako definiramo to množenje? u navedenom množenju i šta je njegov rezultat? Šta je bitno 43. Definisati operaciju množenja nad matricama i navesti osnovne osobine množenja matrica. 44. Šta znače pojmovi regularna i singularna matrica. 45. Koje matrice imaju inverznu matricu i kako računamo inverznu matricu (objasniti formulu).

4 5 Sistemi linearnih jednačina 46. Zapisati opšti sistem linearnih algebarskih jednačina. U zavisnosti od slobodnih članova sistema, kako dijelimo ove sisteme? (objasniti) 47. Zapisati opšti sistem linearnih algebarskih jednačina. U zavisnosti od oblika, kako dijelimo ove sisteme? (objasniti) 48. Zapisati opšti sistem linearnih algebarskih jednačina. Šta podrazumijevamo pod rješenjem ovog sistema. U zavisnosti od rješenja, kako dijelimo sisteme? (objasniti) 49. Za koje sisteme kažemo da su ekvivalentni? Navesti elementarne transformacije sistema. Ako na neki sistem primjenimo neke elementarne transformacije, kakva je veza izmedju polaznog i novog sistema jednačina? 50. Rješenje sistema linearnih jednačina se neće promijeniti ako nekoj vrsti proširene matrice sistema dodamo proizvoljnu drugu vrstu te matrice. DA NE 51. Rješenje sistema linearnih jednačina se neće promijeniti ako neku vrstu sistema pomnožimo nekim brojem. DA NE 52. Iskazati Kronecker-Capellijev stav. 53. Iskazati Cramerov stav. 54. Koliko rješenja ima homogeni sistem jednačina ako je rang matrice homogenog sistema sa n nepoznatih i n jednačina jednak n? 55. Za kvadratni homogeni sistem jednačina vrijedi (zaokružiti tačno): (a) On uvijek ima bar jedno rješenje. (b) On neće imati rješenje ako je detereminanta matrice sistema različita od 0. (c) Sistem je saglasan ako je rang matrice sistema jednak rangu proširene matrice. (d) On neće imati rješenje ako je detereminanta matrice sistema jednaka Sistem (a) ima samo trivijalno rješenje (b) nema rješenja (c) ima beskonačno mnogo rješenja. [ ] x y z = 57. Definirati pojmove [ karakteristične ] jednačine i sopstvenih vrijednosti matrice. Odrediti spektar 1 2 matrice A =

5 6 Vektori 58. Navesti definiciju vektorskog prostora. 59. Kada za vektore a 1, a 2,..., a n kažemo da su linearno nezavisani? 60. Kada za vektore a 1, a 2,..., a n kažemo da su linearno zavisani? 61. Kada za vektore a 1, a 2,..., a n iz vektorskog prostora V kažemo da čine bazu vektorskog prostora V? 62. Linearan vektorski prostor je konačno dimenzionalan ako (a) u njemu postoji baza. (b) u njemu postoji konačan linearno nezavisan sistem vektora. (c) u njemu postoji konačan sistem linearno nezavisnih vektora koji ima osobinu da ako mu dodamo bilo koji novi vektor on postaje linearno zavisan. (d) u njemu sve baze uvijek imaju isti broj vektora. 63. a) Navesti kriterij za ispitivanje linearne zavisnosti/nezavisnosti vektora. b) Ispitati linearnu zavisnost vektora: a 1 = (1, 2, 1), a 2 = ( 2, 4, 2), a 3 = (3, 1, 2). 64. Kada su vektori kolinearni, a kada komplanarni? 65. Vektori su kolinearni ako (a) su im nosači paralelne prave. (b) imaju iste intenzitete i smjerove. (c) su linearno zavisni. (d) su linearno nezavisni. 66. Vektori su komplanarni ako (a) su kolinearni i nezavisni. (b) im nosači leže u istoj ravni. (c) su svi ortogonalni na istu ravan. (d) svi imaju istu početnu tačku. 67. Dva vektora su jednaka samo ako (a) imaju iste pravce smjerove i intenzitete. (b) imaju iste intenzitete i komplanarni su. (c) se poklapaju. (d) su kolinearni i imaju jednake intenzitete i smjerove. 68. Zaokružiti tačne tvrdnje: (a) Svaka tri vektora u dvodimenzionalnom prostoru su linearno zavisna. (b) Svaka dva vektora u jednodimenzionalnom prostoru su linearno zavisna. (c) Tri vektora su linearno zavisna ako i samo ako su komplanarni.

6 (d) Svaka četri vektora su linearno zavisni. 69. Objasniti kako se vektori sabiraju. 70. Definisati skalarni proizvod vektora a i b. 71. Kako glasi uslov okomitosti dva vektora? 72. Ako su dati vektori x = x 1 i + x2 j + x3 k i y = 2x1 i + 3x2 j + a k koliko mora biti a da bi vektori bili ortogonalni? 73. Izvesti formulu za intenzitet vektora x = x 1 i +x2 j +x3 k, uz objašnjenje korištenih osobina. 74. Navesti formulu za izračunavanje ugla izmedju dva vektora. Koliki je ugao izmedju vektora x = a i + b j + c k i y = 2a i 2b j 2c k? 75. Definisati vektorski proizvod vektora a i b. 76. Navesti uslov kolinearnosti dva vektora. 77. Napisati uslov kolinearnosti vektora a = (a x, a y, a z ) i b = (b x, b y, b z ). 78. Objasniti kako dolazimo do formule za izračunavanje vektorskog proizvoda za vektore date u standardnoj kanonskoj bazi. 79. Mješoviti proizvod vektora u kanonskoj bazi. Za šta se koristi? 80. Objasniti vezu komplanarnosti tri vektora i njihovog mješovitog produkta. 81. Kako glasi uslov komlanarnosti vektora a = (a x, a y, a z ), b = (b x, b y, b z ) i c = (c x, c y, c z )? 82. Mješoviti produkt ( x y ) z jednak je (a) ( y z ) x (b) z ( x y ) (c) ( z x ) y (d) ( y z ) x 7 Prava i ravan 83. Nacrtati sliku i objasniti kako dolazimo do kanonskog oblika jednačine prave. 84. Kako glasi parametarski oblik jednačine prave. Napraviti prelaz iz parametarskog u kanonski oblik. 85. Napisati jednačinu prave kroz tačke A (x 1, y 1, z 1 ) i B (x 2, y 2, z 2 ). 86. Kako glasi opći oblik jednačine prave? Napraviti prelaz iz općeg u kanonski oblik jednačine ravni (u općem slučaju). 87. Kako glasi jednačina prave u kanonskom obliku, ako su njene dvije tačke A(1, 1, 2) i B(0, 1, 4)? 88. Kako glasi jednačina prave u parametarskom obliku, ako su njene dvije tačke A(1, 1, 2) i B(0, 1, 4)? 89. Može li prava imati vektor pravca p = (a, 0, 0) i koja je to prava?

7 90. Kako glasi uslov presjeka dvije prave? 91. Nacrtati sliku i objasniti kako dolazimo do općeg oblika jednačine ravni. 92. Šta predstavlja jednačina A(x x 0) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 i šta predstavljaju uvedene oznake. Objasniti! 93. Ravan (α) : Ax + By + Cz + D = 0 prevesti u segmentni oblik. 94. Kako glasi jednačina ravni koja prolazi kroz tačku M(2, 1, 3) i čiji je vektor normale n = (3, 1, 2)? 95. Neka je data ravan (α) : Ax + By + Cz + D = 0. Ako je C = 0 i D = 0 to znači da je ravan: a) paralelna x-osi, b) sadrži x-osu, c) sadrži z-osu, d) paralelna ravni xoz. 96. Zaokružiti tačna tvrdjenja: (a) Ravan čija je jednačina x = 0 paralelna je x-osi. (b) Ravan čija je jednačina Ax + By + 1 = 0 ne sadrži niti jednu tačku z-ose. (c) Ravan čija je jednačina Ax + By + Cz = 0 sadrži tačku koordinatnog početka. (d) Ravan čija je jednačina By + Cz + D = 0 paralelna je x-osi. 97. Napisati formulu za udaljenost tačke A (x 0, y 0, z 0 ) od ravni (α) : Ax + By + Cz + D = Dvije ravni su normalne jedna na drugu (a) ako su im karakteristični vektori ortogonalni. (b) ako se sijeku u jednoj tački. (c) ako im je vektorski produkt karakterističnih vektora jednak 0. (d) ako su im karakteristični vektori kolinearni. 99. Kako glase uslovi ortogonalnosti i paralelnosti dvije ravni. Kako te uslove dobijemo iz formule za ugao izmedju dvije ravni? 100. Za koje α R će prava x Za koje α R će prava x 1 2 = y 1 2 = y 2 2 = z α = z 3 8 Osnovne osobine realne funkcije biti paralelna ravni x + y + 2z = 1? biti paralnelna ravni x + y + 2z = 1? 102. Nabrojati načine zadavanja funkcija i za svaki način dati odgovarajući primjer Definisati graf funkcije. Šta je graf funkcije y = x 2 1. primjer parne funkcije Definisati neparnost funkcije i slikom objasniti geometrijski smisao neparnosti. Navesti primjer neparne funkcije.

8 105. Ako su funkcije f i g parne, takva je i funkcija (a) f g (b) f + g (c) f g (d) f g Ako su funkcije f i g neparne takve su i funcije f + g i f g. DA NE 107. Navesti definiciju ograničenosti funkcije sa gornje strane. Navesti negaciju te definicije Navesti definiciju ograničenosti funkcije sa donje strane. Navesti negaciju te definicije Da li funkcija može biti neograničena na ograničenom skupu? DA NE 110. Definisati osobinu periodičnosti funkcije. Kakva je razlika izmedju periode i osnovne periode funkcije? 111. Definisati pojmove rastuće i strogo rastuće funkcije. Kakva je razlika izmedju ovih pojmova? 112. Neka su a, b R i a tačka nagomilavanja domena funkcije f. Definirati lim x a f(x) = b i dati negaciju ovog pojma Dokazati jedinstvenost granične vrijednosti funkcije u tački Izraz ( M > 0)( δ > 0)( x D f )(0 < x a < δ f(x) > M) predstavlja (a) lim f(x) = a x (b) lim f(x) = + x a (c) lim x f(x) = a (d) lim x a f(x) = Definisati lijevu i desnu graničnu vrijednost funkcije u tački. Navesti njihovu vezu sa postojanjem granične vrijednosti funkcije u toj tački Da li postoji granična vrijednost funkcije f(x) = x u tački x = 0. Obrazložiti odgovor! 117. Navesti teorem koji govori o operacijama nad limesima funkcija Kako glase teoremi o dvije i tri funkcije Dokazati da je lim x 0 sin x x = Definisati neprekidnost funkcije u tački i na skupu Koje vrste su otklonjivi prekidi? Na primjeru pokazati zašto ovakve prekide nazivamo otklonjivim Kako se definišu asimptote funkcije? 123. Kada postoji horizontalna a kada kosa asimptota funkcije? Da li funkcija definirana na skupu (0, 1) (1, + ) može imati horizontalnu asimptotu? 124. Kada postoji vertikalna asimptota funkcije? 125. Ako je y = kx + n kosa asimptota funkcije iskazati formule za k i n.

9 9 Diferencijalni račun 126. Definisati izvod funkcije u tački, navesti oznake koje koristimo za izvod funkcije. Kada za funkciju kažemo da je diferencijabilna? 127. Funkcija y = f(x) je diferencijabilna u tački x 0 (a, b) (a) ako ima izvod u toj tački. f(x 0 + h) f(x 0 ) (b) ako postoji i konačan je lim h 0 h (c) ako je u okolini te tačke funkcija neprekidna. (d) ako ima konačan ili beskonačan izvod u toj tački Iskazati stav o neophodnim i dovoljnim uslovima diferencijabilnosti funkcije u tački Iskazati i dokazati stav o vezi neprekidnosti i diferencijabilnosti funkcije u tački. Primjerom pokazati da je diferencijabilnost jača osobina od neprekidnosti Šta je lijevi, a šta desni izvod funkcije u tački? 131. Navesti i dokazati pravilo o diferenciranju zbira dvije funkcije Navesti i dokazati pravilo o diferenciranju razlike dvije funkcije Navesti i dokazati pravilo o diferenciranju proizvoda dvije funkcije Navesti i dokazati pravilo o diferenciranju količnika dvije funkcije Navesti stav o derivaciji inverzne funkcije. Primjeniti ovo pravilo na izračunavanje izvoda funkcije y = ln x Kako glasi pravilo za nalaženje izvoda parametarski zadate funkcije? 137. Slikom objasniti geometrijsko tumačenje izvoda. Kako glase jednačine normnale i tangente na krivu u tački? 138. Koji od sljedećih izraza predstavljaju pravila za diferencijal funkcije: (a) d(f + g) = df + dg. ( ) f (b) d = f g fg g g 2 (c) df(x) = f (x)dx. (d) d(f g) = gdf + fdg Kako definišemo n-ti izvod i n-ti diferencijal funkcije jedne varijable? 140. Izvesti pravilo logaritamskog izvoda i primjeniti ga na izvod funkcije y = x ln x Iskazati Fermatov teorem Pod stacionarnom tačkom funkcije podrazumijevamo (a) tačku u kojoj je prvi izvod jednak nuli. (b) tačku u kojoj je prvi diferencijal funkcije jednak 0. (c) nepokretnu tačku funkcije.

10 (d) tačku u kojoj funkcija ima ekstrem Iskazati Rolleov teorem Iskazati Lagrangeov teorem Navesti prvo L Hospitaleovo pravilo. Kako ovo pravilo koristimo na izračunavanje neodredjenih oblika 0? 146. Navesti drugo L Hospitaleovo pravilo. Kako ovo pravilo koristimo na izračunavanje neodredjenih oblika 0? 147. Navesti Prvo pravilo za ekstreme funkcije i primjeniti ga za funkciju f(x) = xe x Navesti Drugo pravilo za ekstreme funkcije i primjeniti ga za funkciju f(x) = x 2 ln x Navesti I i II teorem o konveksnosti. Odrediti intervale konveksnosti za funkciju f(x) = 1 x Navesti I i II teorem o prevojnim tačkama. Ispitati prevojne tačke funkcije f(x) = ln x x.