Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 1 / 72
|
|
|
- Καλόγερος Γλυκύς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 1 / 72
2 Ciljevi učenja Ciljevi učenja: Što su redovi potencija? Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 2 / 72
3 Ciljevi učenja Ciljevi učenja: Što su redovi potencija? Razvoj nekih elementarnih funkcija u red potencija i primjene Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 2 / 72
4 Ciljevi učenja Ciljevi učenja: Što su redovi potencija? Razvoj nekih elementarnih funkcija u red potencija i primjene Binomna formula i primjene Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 2 / 72
5 Ciljevi učenja Ciljevi učenja: Što su redovi potencija? Razvoj nekih elementarnih funkcija u red potencija i primjene Binomna formula i primjene Radijus konvergencije reda potencija Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 2 / 72
6 Ciljevi učenja Ciljevi učenja: Što su redovi potencija? Razvoj nekih elementarnih funkcija u red potencija i primjene Binomna formula i primjene Radijus konvergencije reda potencija Operacije s redovima potencija Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 2 / 72
7 Ciljevi učenja Ciljevi učenja: Što su redovi potencija? Razvoj nekih elementarnih funkcija u red potencija i primjene Binomna formula i primjene Radijus konvergencije reda potencija Operacije s redovima potencija Primjeri primjene za odredivanje beskonačnih polinoma nekih funkcija Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 2 / 72
8 Ciljevi učenja Ciljevi učenja: Što su redovi potencija? Razvoj nekih elementarnih funkcija u red potencija i primjene Binomna formula i primjene Radijus konvergencije reda potencija Operacije s redovima potencija Primjeri primjene za odredivanje beskonačnih polinoma nekih funkcija Definicije i svojstva hiperboličkih i area funkcija Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 2 / 72
9 Sadržaj Sadržaj: 1 Taylorova formula i Taylorov red Primjena 2 Newtonova binomna formula Primjena 3 Radijus konvergencije reda potencija 4 Operacije s beskonačnim polinomima Primjena 5 Hiperboličke funkcije 6 Area funkcije Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 3 / 72
10 Uvod Baveći se računom trigonometrijskih, eksponencijalnih i logaritamskih funkcija ustanovili smo da se one mogu prikazati kao beskonačni polinomi. To nam je omogućilo da vrijednosti tih funkcija računamo kao vrijednosti polinoma koristeći se samo osnovnim računskim operacijama +,, i :, te koristeći se aproksimacijom beskonačnog polinoma tako da smo odabrali njegov dovoljno veliki konačan komad. Polinomski prikaz funkcije koristan je i u mnogim drugim situacijama. Primjerice, antiderivacije mnogih jednostavnih funkcija ne mogu se izraziti pomoću elementarnih funkcija. Ako ih aproksimiramo polinomima tada će i njihove antiderivacije biti aproksimirane (lako izračunljivim) antiderivacijama polinoma. Zato ćemo ovo poglavlje početi s Taylorovom formulom koja objašnjava kako funkciju možemo aproksimirati polinomom, i koja pokazuje da su prikazi trigonometrijskih, eksponencijalnih i logaritamskih funkcija beskonačnim polinomima samo posebni slučajevi jednog mnogo općenitijeg načela. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 4 / 72
11 Taylorova formula i Taylorov red Primjeri razvoja funkcija u red potencija Do sada su nam poznati sljedeći primjeri razvoja funkcija u beskonačne polinome (redove potencija): sinx = x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! x11 11! +, x R Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 5 / 72
12 Taylorova formula i Taylorov red Primjeri razvoja funkcija u red potencija Do sada su nam poznati sljedeći primjeri razvoja funkcija u beskonačne polinome (redove potencija): sinx = x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! x11 11! +, x R cosx = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! + x8 8! x10 10! +, x R Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 5 / 72
13 Taylorova formula i Taylorov red Primjeri razvoja funkcija u red potencija Do sada su nam poznati sljedeći primjeri razvoja funkcija u beskonačne polinome (redove potencija): sinx = x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! x11 11! +, x R cosx = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! + x8 8! x10 10! +, x R e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! +, x R Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 5 / 72
14 Taylorova formula i Taylorov red Primjeri razvoja funkcija u red potencija Do sada su nam poznati sljedeći primjeri razvoja funkcija u beskonačne polinome (redove potencija): sinx = x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! x11 11! +, x R cosx = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! + x8 8! x10 10! +, x R e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! +, x R ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + x5 5 x6 +, x < 1 6 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 5 / 72
15 Taylorova formula i Taylorov red Taylorova formula OPĆENITO: ZA FUNKCIJU f (x) VRIJEDI TAYLOROVA FORMULA (OKO TOČKE x 0 = 0): f(x) = T n (x) + G n+1 (x) Taylorov polinom stupnja n greška T n (x) = f(0) + f (0)x + f (0) 2! x 2 + f (0) 3! x f(n) (0) x n n! Greška: G n+1 (x) = f(n+1) (ξ) (n + 1)! xn+1 za neki ξ izmedu 0 i x Dakle: f(x) T n (x), uz grešku G n+1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 6 / 72
16 Taylorova formula i Taylorov red Taylorov red Ako je lim n G n = 0 onda je f(x) = f(0) + f (0)x + f (0) 2! x 2 + f (0) 3! x 3 + f(4) (0) x 4 + 4! To je TAYLOROV RED (Taylorov razvoj, Taylorov beskonačni polinom) funkcije f (x) oko točke x 0 = 0. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 7 / 72
17 Taylorova formula i Taylorov red Taylorov red Ako je lim n G n = 0 onda je f(x) = f(0) + f (0)x + f (0) 2! x 2 + f (0) 3! x 3 + f(4) (0) x 4 + 4! To je TAYLOROV RED (Taylorov razvoj, Taylorov beskonačni polinom) funkcije f (x) oko točke x 0 = 0. Ako je x 0 0 onda Taylorov polinom izgleda nešto kompliciranije: T n (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f(n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! (Analogno prethodnom možemo pisati grešku i Taylorov red.) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 7 / 72
18 Taylorova formula i Taylorov red Primjer PRIMJER 1. Provjerimo da su razvoji od sinx, cosx, e x i ln(1 + x) na str. 5 Taylorovi razvoji oko točke x 0 = 0. (U tim slučajevima vrijedi lim n G n = 0.) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 8 / 72
19 Taylorova formula i Taylorov red Primjer PRIMJER 1. Provjerimo da su razvoji od Rješenje: sinx, cosx, e x i ln(1 + x) na str. 5 Taylorovi razvoji oko točke x 0 = 0. (U tim slučajevima vrijedi lim n G n = 0.) Primjerice za funkciju f(x) = e x vrijedi: f (x) = f (x) = f (x) = f (x) = = e x pa je f (0) = f (0) = f (0) = f (0) = = 1 = e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 8 / 72
20 Taylorova formula i Taylorov red Zadaci ZADATAK 1. Napiši Taylorov razvoj oko točke x 0 = 0 za funkcije a) f(x) = sinx, b) f(x) = cosx, c) f(x) = ln(1 + x) (Napiši prvih nekoliko članova.) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 9 / 72
21 Taylorova formula i Taylorov red Zadaci ZADATAK 1. Napiši Taylorov razvoj oko točke x 0 = 0 za funkcije a) f(x) = sinx, b) f(x) = cosx, c) f(x) = ln(1 + x) (Napiši prvih nekoliko članova.) ZADATAK 2. U istom koordinatnom sustavu skiciraj funkciju f(x) = sin x, te njezine Taylorove polinome prvog i trećeg stupnja T 1 (x) i T 3 (x). Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 9 / 72
22 Taylorova formula i Taylorov red Zadaci ZADATAK 1. Napiši Taylorov razvoj oko točke x 0 = 0 za funkcije a) f(x) = sinx, b) f(x) = cosx, c) f(x) = ln(1 + x) (Napiši prvih nekoliko članova.) ZADATAK 2. U istom koordinatnom sustavu skiciraj funkciju f(x) = sin x, te njezine Taylorove polinome prvog i trećeg stupnja T 1 (x) i T 3 (x). Rješenje 1: Taylorov razvoj funkcije f (x) oko točke x 0 = 0 je: f(x) = f(0) + f (0)x + f (0) 2! x 2 + f (0) 3! x 3 + f(4) (0) x 4 + 4! Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 9 / 72
23 Taylorova formula i Taylorov red Zadaci a) Računamo: f (x) = sinx, f (0) = sin0 = 0 f (x) = cosx, f (0) = cos0 = 1 f (x) = sinx, f (0) = 0 f (x) = cosx, f (0) = 1 ponavlja se f IV (x) = sinx, f IV (0) = sin0 = 0. Uvrštavamo u Taylorov razvoj:. sinx = x + 0 2! x 2 + ( 1) x ! 4! x ! x 5 + = x 1 3! x ! x 5 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 10 / 72
24 Taylorova formula i Taylorov red Zadaci b) Računamo: f (x) = cosx, f (0) = cos0 = 1 f (x) = sinx, f (0) = sin0 = 0 f (x) = cosx, f (0) = 1 f (x) = sinx, f (0) = 0 ponavlja se f IV (x) = cosx, f IV (0) = cos0 = 1. Uvrštavamo u Taylorov razvoj: cosx = x + ( 1) 2! = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6. x ! x ! x ! x 5 + ( 1) x 6 + 6! 6! + Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 11 / 72
25 Taylorova formula i Taylorov red Zadaci c) Računamo: f (x) = ln(1 + x), f (0) = ln1 = 0 f (x) = x = (1 + x) 1, f (0) = 1 f (x) = (1 + x) 2, f (0) = 1 f (x) = 2(1 + x) 3, f (0) = 2 f IV (x) = 6(1 + x) 4, f IV (0) = 6 f V (x) = 24(1 + x) 5, f V (0) = 24 Uvrštavamo: ln(1 + x) = x + ( 1) x ! 3! x 3 + ( 6) x ! 5! x 5 + = x x x 3 3 x x 5 5 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 12 / 72
26 Taylorova formula i Taylorov red Zadaci Rješenje 2: sinx = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + T 1 (x) = x T 3 (x) = x 1 6 x 3 = x (1 x 2 ) 6 nul-točke: x 1 = 0, x 2,3 = ± 6 ±2.45 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 13 / 72
27 Taylorova formula i Taylorov red Zadaci PRIMJEDBA Aproksimacija funkcije y = sinx polinomima T 3, T 5, T 7, T 9 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 14 / 72
28 Taylorova formula i Taylorov red Primjena PRIMJER 2. Približno izračunati sin(0.1) koristeći se Taylorovom aproksimacijom trećeg stupnja. Ocijeniti grešku aproksimacije. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 15 / 72
29 Taylorova formula i Taylorov red Primjena PRIMJER 2. Približno izračunati sin(0.1) koristeći se Taylorovom aproksimacijom trećeg stupnja. Ocijeniti grešku aproksimacije. Rješenje: sinx = T 3 (x) + G 5 (x) sinx T 3 (x) = x x 3 3!, G 5(x) = cosξ 5! x 5, za neki ξ izmedu 0 i x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 15 / 72
30 Taylorova formula i Taylorov red Primjena PRIMJER 2. Približno izračunati sin(0.1) koristeći se Taylorovom aproksimacijom trećeg stupnja. Ocijeniti grešku aproksimacije. Rješenje: sinx = T 3 (x) + G 5 (x) sinx T 3 (x) = x x 3 3!, G 5(x) = cosξ 5! x 5, za neki ξ izmedu 0 i x (Znamo da vrijedi: Apsolutna greška aproksimacije funkcije sinus ili kosinus manja je ili jednaka apsolutnoj vrijednosti prvog neupotrebljenog člana.) G 5 (x) cosξ x 5 x 5 5! 5! Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 15 / 72
31 Taylorova formula i Taylorov red Primjena PRIMJER 2. Približno izračunati sin(0.1) koristeći se Taylorovom aproksimacijom trećeg stupnja. Ocijeniti grešku aproksimacije. Rješenje: sinx = T 3 (x) + G 5 (x) sinx T 3 (x) = x x 3 3!, G 5(x) = cosξ 5! x 5, za neki ξ izmedu 0 i x (Znamo da vrijedi: Apsolutna greška aproksimacije funkcije sinus ili kosinus manja je ili jednaka apsolutnoj vrijednosti prvog neupotrebljenog člana.) G 5 (x) cosξ x 5 x 5 5! 5! Za x = 0.1 imamo sin = Ocjena greške : G 5 (0.1) = < = 10 7 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 15 / 72
32 Taylorova formula i Taylorov red Zadaci ZADATAK 3. a) Koristeći se aproksimacijom funkcije f(x) = e x Taylorovim polinomom drugog stupnja izračunaj približno e 0.1, e 0.2 i e Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 16 / 72
33 Taylorova formula i Taylorov red Zadaci ZADATAK 3. a) Koristeći se aproksimacijom funkcije f(x) = e x Taylorovim polinomom drugog stupnja izračunaj približno e 0.1, e 0.2 i e b) Ocijeni grešku aproksimacije za e 0.1. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 16 / 72
34 Taylorova formula i Taylorov red Zadaci ZADATAK 3. a) Koristeći se aproksimacijom funkcije f(x) = e x Taylorovim polinomom drugog stupnja izračunaj približno e 0.1, e 0.2 i e b) Ocijeni grešku aproksimacije za e 0.1. ZADATAK 4. Izračunaj približno 1.1 pomoću Taylorovog polinoma drugog stupnja. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 16 / 72
35 Taylorova formula i Taylorov red Zadaci Rješenje 3: e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + x 4 a) T 2 (x) e x 1 + x + x 2 2! 4! + b) x = 0.1 : e = x = 0.2 : e = 1.22 x = 0.08 : e ( 0.08)2 = G 3 (x) = f (ξ) x 3 = eξ 3! 3! x 3 G 3 (0.1) < = < (tj. tri decimale su točne) (KALKULATOR: e 0.1 = ) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 17 / 72
36 Taylorova formula i Taylorov red Zadaci Rješenje 4: Koja funkcija f (x)? 1.1 možemo približno izračunati tako da koristimo razvoj funkcije f (x) = 1 + x (oko x 0 = 0) Za x = 0.1: f (x) = 1 + x = f (0) = 1 f (x) = 1 2 (1 + x) 1 2 = f (0) = 1 2 f (x) = 1 4 (1 + x) 3 2 = f (0) = 1 4 f (x) = 3 8 (1 + x) 5 2 = f (0) = 3 8. T 2 (x) = f (0) + f (0)x + f (0) 2! x 2 = = x 1 8 x 2 f (x) T 2 (x) = 1 + x x 1 8 x = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 18 / 72
37 Taylorova formula i Taylorov red Zadaci 1.1 možemo približno izračunati i tako da koristimo razvoj funkcije f (x) = x (oko x 0 = 1): f (x) = x = f (1) = 1 f (x) = 1 2 x 1 2 = f (1) = 1 2 f (x) = 1 4 x 3 2 = f (1) = 1 4 f (x) = 3 8 x 5 2 = f (1) = 3 8. T 2 (x) = f (1) + f (1)(x 1) + f (1) (x 1) 2 2! f (x) T 2 (x) = x (x 1) 1 (x 1)2 8 Za x = 1.1: = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 19 / 72
38 Taylorova formula i Taylorov red Napomena NAPOMENA Polinom T 1 (x) je LINEARNA APROKSIMACIJA FUNKCIJE koju smo upoznali u Matematici 1: f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) }{{} = T 1 (x) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 20 / 72
39 Newtonova binomna formula NEWTONOVA BINOMNA FORMULA specijalan je slučaj Taylorove formule: gdje je i (1 + x) α = 1 + ( ( α 1) x + α ) 2 x 2 + ( ) α 3 x ( α ( ) n 1) x n 1 + α + x n ξ α n n }{{} G n (x) ( ) α α (α 1) (α k + 1) := k 1 2 k G n (x) 0 za x < 1. n DAKLE, TAYLOROV RAZVOJ VRIJEDI ZA x < 1. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 21 / 72
40 Newtonova binomna formula Zadaci ZADATAK 5. ( ) 5 Izračunaj, 3 ( ) 3, 2 ( ) 2, 4 ( ) ( 2 1 ), 3, 3 2 ( 1) ( 1 ) 2, Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 22 / 72
41 Newtonova binomna formula Zadaci ZADATAK 5. ( ) 5 Izračunaj, 3 ( ) 3, 2 ( ) 2, 4 ( ) ( 2 1 ), 3, 3 2 ( 1) ( 1 ) 2, Rješenje 5: ( ) 5 = = 10, ( ) 3 ( 3) ( 4) = = 6, ( ) 2 = ( 1) = 0, ( ) 2 ( 2) ( 3) ( 4) = = 4, ) = 2 ( ( 1 3 ( ( 2 ) ) = ) = ( ( 1 2 = 1 9, ) ( ) ( ) ( ) 5 2 ) = = 5 16, Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 22 / 72
42 Newtonova binomna formula Primjer PRIMJER 3. Newtonovu binomnu formulu ( ) α (1 + x) α = 1 + x + 1 ispišimo za α = 2, α = 3 i α = 1. ( ) α x ( ) α x ( ) α x n + n Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 23 / 72
43 Newtonova binomna formula Primjer PRIMJER 3. Newtonovu binomnu formulu ( ) α (1 + x) α = 1 + x + 1 ispišimo za α = 2, α = 3 i α = 1. Rješenje: ( ) α x ( ) α x ( ) α x n + n Za α = 2,3,... prepoznajemo formule za BINOM NA KVADRAT, NA TREĆU POTENCIJU,...: (1 + x) 2 = ( ) ( ) ( ) x + x 2 + x 3 + = = 1 + 2x + x x x 4 + = 1 + 2x + x 2 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 23 / 72
44 Newtonova binomna formula Primjer α = 3 (1 + x) 3 = 1 + ( ) 3 x + 1 ( ) 3 x ( ) 3 x ( ) 3 x 4 + = 4 = 1 + 3x + 3x 2 + x x x 5 + = 1 + 3x + 3x 2 + x 3 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 24 / 72
45 Newtonova binomna formula Primjer α = 3 (1 + x) 3 = 1 + α = 1 ( ) 3 x + 1 ( ) 3 x ( ) 3 x ( ) 3 x 4 + = 4 = 1 + 3x + 3x 2 + x x x 5 + = 1 + 3x + 3x 2 + x 3 (1 + x) 1 = 1 + ( ) 1 x + 1 = 1 x + x 2 x 3 + ( ) 1 x ( ) 1 x 3 + = 3 Primjetimo da je 1 x + x 2 x 3 + GEOMETRIJSKI RED s q = x i 1 suma mu je (za q < 1). 1 + x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 24 / 72
46 Newtonova binomna formula Primjena ZADATAK 6. Koristeći se Newtonovom binomnom formulom napiši razvoj za funkcije f(x) = 1 + x i g(x) = 1 1 x. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 25 / 72
47 Newtonova binomna formula Primjena ZADATAK 6. Koristeći se Newtonovom binomnom formulom napiši razvoj za funkcije f(x) = 1 + x i g(x) = 1 1 x. ZADATAK 7. Koristeći se Newtonovom binomnom formulom do drugog stupnja izračunaj približno 1.1. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 25 / 72
48 Newtonova binomna formula Primjena ZADATAK 6. Koristeći se Newtonovom binomnom formulom napiši razvoj za funkcije f(x) = 1 + x i g(x) = 1 1 x. ZADATAK 7. Koristeći se Newtonovom binomnom formulom do drugog stupnja izračunaj približno 1.1. ZADATAK 8. Koristeći se samo linearnim dijelom (do prvog stupnja) Newtonove binomne formule izračunaj približno 26. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 25 / 72
49 Newtonova binomna formula Primjena Rješenje 6: f (x) = 1 + x = (1 + x) 1 1 2, tj. α = 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (1 + x) 1 2 = x + 2 x x 3 + = = x 1 8 x x 3 g(x) = 1 1 x = (1 + ( x)) 1 = (vidi Primjer 3. za α = 1 na str. 23 ) = 1 + x + x 2 + x 3 + Primjetimo da je 1 + x + x 2 + x 3 + GEOMETRIJSKI RED s q = x i 1 suma mu je (za q < 1). 1 x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 26 / 72
50 Newtonova binomna formula Primjena Rješenje 7: ( 1 ) ( 1 ) = = ( ) = 1 2 = ( 1 ) = = = Sada smo brže dobili rezultat Zadatka 4. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 27 / 72
51 Newtonova binomna formula Primjena Rješenje 7: ( 1 ) ( 1 ) = = ( ) = 1 2 = ( 1 ) = = = Sada smo brže dobili rezultat Zadatka 4. Rješenje 8: 26 = = 25 ( ) 1 = 25( ) 26 = ( 1 ) ( ) = = = 5.1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 27 / 72
52 Radijus konvergencije reda potencija RADIJUS KONVERGENCIJE REDA POTENCIJA Red potencija a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ili kraće a n x n n=0 ima vrijednost (tj. suma postoji ili KONVERGIRA) za x < R. R nazivamo RADIJUS KONVERGENCIJE. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 28 / 72
53 Radijus konvergencije reda potencija RADIJUS KONVERGENCIJE REDA POTENCIJA Red potencija a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ili kraće a n x n n=0 ima vrijednost (tj. suma postoji ili KONVERGIRA) za x < R. R nazivamo RADIJUS KONVERGENCIJE. R se može računati formulama (Cauchy-Hadamard): R = lim n a n a n+1 ukoliko neki od tih limesa postoji. ili R = n lim n Napomenimo da red potencija oko točke x 0 R: 1 an a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 + ili kraće n=0 a n (x x 0 ) n konvergira za x x 0 < R i radijus konvergencije može se računati gore navedenim formulama. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 28 / 72
54 Radijus konvergencije reda potencija Primjer PRIMJER 4. Izračunajmo radijus konvergencije R redova (a) 1 + x + x 2 + x 3 + (b) 1 + x + x x (c) 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 29 / 72
55 Radijus konvergencije reda potencija Primjer PRIMJER 4. Izračunajmo radijus konvergencije R redova (a) 1 + x + x 2 + x 3 + (b) 1 + x + x x (c) 1 + x + x 2 2! + x 3 Rješenje: 3! + 1 (a) a n = 1 = R = lim n 1 = 1 (b) a n = 1 n (c) a n = 1 n! = R = lim n = R = lim n 1 n 1 n+1 1 n! 1 (n+1)! n + 1 = lim = 1 n n (n + 1)! = lim = lim (n + 1) = n n! n Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 29 / 72
56 Radijus konvergencije reda potencija Zadaci ZADATAK 9. Izračunaj radijus konvergencije sljedećih redova potencija a) x x x 3 3 x b) 1 + x 5 + x x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 30 / 72
57 Radijus konvergencije reda potencija Zadaci ZADATAK 9. Izračunaj radijus konvergencije sljedećih redova potencija a) x x x 3 3 x b) 1 + x 5 + x x Rješenje 9: a) }{{} 1 x 1 }{{} 2 a 1 =1 a 2 = 2 1 x }{{} 3 a 3 = 3 1 a n = 1 n, n = 1,2,3,... = R = lim n a n a n+1 = lim n x 3 1 x 4 + }{{} 4 a 4 = n 1 n+1 = lim n n + 1 n : n : n = lim n n 1 = 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 30 / 72
58 Radijus konvergencije reda potencija Zadaci b) }{{} a 0 =1 }{{} a 1 = 1 5 x }{{} a 2 = a n = 1 n 5 n, n = 1,2,3,... = R = lim n 1 n 5 n 1 (n+1) 5 n+1 x } 3 {{ 5 3 x 3 + } a 3 = = lim n 5(n + 1) n : n : n = lim 5 ( ) n = 5 n 1 Područje konvergencije reda potencija Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 31 / 72
59 Radijus konvergencije reda potencija Zadaci ZADATAK 10. Izračunaj radijus konvergencije R reda potencija (x 4) n n=1 n 3 n = 1 3 (x 4) (x 4) (x 4)3 + Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 32 / 72
60 Radijus konvergencije reda potencija Zadaci ZADATAK 10. Izračunaj radijus konvergencije R reda potencija (x 4) n n=1 n 3 n = 1 3 (x 4) (x 4) (x 4)3 + Rješenje 10. : R = lim n 1 n3 n 1 (n+1)3 n+1 = lim n 3(n + 1) n : n : n = lim 3 ( ) n = 3(1 + 0)= 3 n 1 Dakle, red konvergira za sve x 1,7. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 32 / 72
61 Operacije s beskonačnim polinomima Zbrajanje, oduzimanje i množenje konstantom OPERACIJE S BESKONAČNIM POLINOMIMA (REDOVIMA POTENCIJA) ZBRAJANJE I ODUZIMANJE BESKONAČNIH POLINOMA I MNOŽENJE BESKONAČNOG POLINOMA KONSTANTOM Neka je je f(x) = n=0 a n x n za x < R i g(x) = Neka je T = min{r,s} i c konstanta. Tada je tj. redovi n=0 f(x) ± g(x) = a n x n i c f(x) = n=0 n=0 n=0 n=0 (a n ± b n )x n, za x < T, (c a n )x n, za x < R, b n x n za x < S. b n x n zbrajaju se, oduzimaju i množe konstantom po načelu član po član uz manji radijus konvergencije. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 33 / 72
62 Operacije s beskonačnim polinomima Množenje beskonačnih polinoma MNOŽENJE BESKONAČNIH POLINOMA Neka su f, g i T kao na prethodnom slajdu. Tada je f(x) g(x) = n=0 gdje su koeficijenti c n definirani ovako: c 0 = a 0 b 0, c 1 = a 0 b 1 + a 1 b 0, c 2 = a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0,. c n x n, za x < T, c n = a 0 b n + a 1 b n a n 1 b 1 + a n b 0. tj. redovi potencija množe se po načelu svaki sa svakim uz manji Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 34 / 72
63 Operacije s beskonačnim polinomima Množenje beskonačnih polinoma Pri množenju redova potencija svaki sa svakim prirodno je umnoške grupirati uz istu potenciju. b 0 b 1 x b 2 x 2 b 3 x 3 a 0 a 0 b 0 a 0 b 1 x a 0 b 2 x 2 a 0 b 3 x 3 a 1 x a 1 b 0 x a 1 b 1 x 2 a 1 b 2 x a 2 x 2 a 2 b 0 x 2 a 2 b 1 x a 3 x 3 a 3 b 0 x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 35 / 72
64 Operacije s beskonačnim polinomima Primjena PRIMJER 5. Razvijmo funkciju f (x) = sinx + cosx u red potencija. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 36 / 72
65 Operacije s beskonačnim polinomima Primjena PRIMJER 5. Razvijmo funkciju f (x) = sinx + cosx u red potencija. Rješenje: sinx = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! +, x R cosx = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 6! +, x R sinx + cosx = 1 + x x 2 2! x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! x 6 6! x 7 R = min{, } = 7! + Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 36 / 72
66 Operacije s beskonačnim polinomima Primjena PRIMJER 6. Razvijmo funkciju f (x) = ex 1 x u red potencija. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 37 / 72
67 Operacije s beskonačnim polinomima Primjena PRIMJER 6. Razvijmo funkciju f (x) = ex 1 x Rješenje: u red potencija. e x ( 1 x = ) ( x ! 1! + 1 ) ( x ! 1! + 1 2! + 1 ) x 3 + 3! R = min{,1} = 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 37 / 72
68 Operacije s beskonačnim polinomima U sljedećim zadacima koristit ćemo ove redove potencija: 1 e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 2 sinx = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + x 9 9! x 11 3 cosx = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 6! + x 8 8! x 10 5! +, x R 11! +, x R 10! +, x R 4 ln(1 + x) = x x x 3 3 x x 5 5 x 6 +, x < x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 +, x < 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 38 / 72
69 Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci ZADATAK 11. Koristeći se poznatim redovima razvij u red potencija funkcije a) f (x) = 2e x cosx b) f (x) = 1 + x 1 x c) f (x) = sinx 1 x (primjejujući zbrajanje, oduzimanje, množenje redova potencija). Napiši nekoliko prvih članova razvoja. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 39 / 72
70 Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci ZADATAK 11. Koristeći se poznatim redovima razvij u red potencija funkcije a) f (x) = 2e x cosx b) f (x) = 1 + x 1 x c) f (x) = sinx 1 x (primjejujući zbrajanje, oduzimanje, množenje redova potencija). Napiši nekoliko prvih članova razvoja. ZADATAK 12. Koristeći se poznatim redovima razvij u red potencija funkcije a) f (x) = 1 2 x b) f (x) = sin(3x) c) f (x) = e x d) f (x) = e x 2 e) f (x) = ln 1+x 1 x Napiši nekoliko prvih članova razvoja. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 39 / 72
71 Rješenje 11: a) 2e x cosx = Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci = 2 (1 + x + x 2 2! + x 3 ) 3! + (1 x 2 2! + x 4 ) 4! = 2 + 2x + x x x x 4 + = 1 + 2x x x x 4 + za x R Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 40 / 72
72 Rješenje 11: a) 2e x cosx = Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci b) = 2 (1 + x + x 2 2! + x 3 ) 3! + (1 x 2 2! + x 4 ) 4! = 2 + 2x + x x x x 4 + = 1 + 2x x x x 4 + za x R 1 + x 1 x = (1 + x) 1 1 x ( ) = (1 + x) 1 + x + x 2 + x 3 + = 1 + x + x + x 2 + x 2 + x 3 + x 3 + x 4 + = 1 + 2x + 2x 2 + 2x 3 + za x < 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 40 / 72
73 Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci c) sinx 1 x ( = x + x ) ( x ) ( x ! 3! 3! + 1 ) x 5 + 5! = x + x x x x 5 + za x < 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 41 / 72
74 Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci NAPOMENA Svaku od ovih funkcija mogli smo razviti u njezin Taylorov red oko x 0 = 0, no to je mnogo dulje i složenije. Npr. za Zadatak 11.c): f (x) = sinx = f (0) = 0 1 x f (x) = cosx 1 x + sinx (1 x) 2 = f (0) = 1 f (x) = 2cosx (1 x) 2 + 2sinx (1 x) 3 sinx 1 x = f (0) = 2 f (x) = 6cosx (1 x) 3 cosx 1 x + 6sinx (1 x) 4 3sinx (1 x) 2 = f (0) = 5. f(x) = f(0) + f (0)x + f (0) x 2 + f (0) x 3 + 2! 3! sinx = x x 2! x ! x 3 + = x + x x 3 + R = 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 42 / 72
75 Rješenje 12: Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci a) 1 2 x = x 2 geometrijski red s q = x 2 = 1 ( 1 + x ( x ) 2 ( x ) 2 2) = x 4 + x x za x < 1, tj. x < 2 2 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 43 / 72
76 Rješenje 12: Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci a) 1 2 x = x 2 geometrijski red s q = x 2 = 1 ( 1 + x ( x ) 2 ( x ) 2 2) = x 4 + x x za x < 1, tj. x < 2 2 b) sin(3x) = = 3x (3x)3 3! = 3x 33 + (3x)5 5! (3x)7 7! + 3! x ! x ! x 7 + za x R Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 43 / 72
77 Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci c) e x = = 1 + ( x) + ( x)2 2! + ( x)3 3! + = 1 x + x 2 2! x 3 3! + x 5 5! za x R Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 44 / 72
78 Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci c) e x = = 1 + ( x) + ( x)2 2! + ( x)3 3! + = 1 x + x 2 2! x 3 3! + x 5 5! za x R d) e x2 = 1 + ( x 2 ) + ( x2 ) 2 2! + ( x2 ) 3 3! + ( x2 ) 4 4! + = 1 x 2 + x 4 2! x 6 3! + x 8 4! za x R Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 44 / 72
79 Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci c) e x = = 1 + ( x) + ( x)2 2! + ( x)3 3! + = 1 x + x 2 2! x 3 3! + x 5 5! za x R d) e x2 = 1 + ( x 2 ) + ( x2 ) 2 2! + ( x2 ) 3 3! + ( x2 ) 4 4! + = 1 x 2 + x 4 2! x 6 3! + x 8 4! za x R e) ln 1+x 1 x = ln(1 + x) ln(1 x) ( ) ( ) = x x x 3 3 x x x + x x x x 5 5 ( ) + = 2 x + x x 5 5! + za x < 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 44 / 72
80 Operacije s beskonačnim polinomima Dijeljenje beskonačnih polinoma DIJELJENJE BESKONAČNIH POLINOMA Redovi potencija dijele se na isti način kao konačni polinomi. Radijus konvergencije treba računati. PRIMJER 7. Dijeljenjem polinoma u brojniku s polinomom u nazivniku, razvijmo funkciju f (x) = 1 + x u red potencija (ista funkcija kao u Zadatku 11.b). 1 x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 45 / 72
81 Operacije s beskonačnim polinomima Dijeljenje beskonačnih polinoma Rješenje: Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 46 / 72
82 Operacije s beskonačnim polinomima Deriviranje i integriranje beskonačnih polinoma DERIVIRANJE I INTEGRIRANJE BESKONAČNIH POLINOMA Reda potencija derivira se i integrira tako da se derivira, odnosno integrira, član po član. Radijus konvergencije deriviranog i integriranog reda jednak je radijusu konvergencije početnog reda. PRIMJER 8. Izračunajmo f (x) i f (x)dx, ako je f (x) = n=0 x n. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 47 / 72
83 Operacije s beskonačnim polinomima Deriviranje i integriranje beskonačnih polinoma DERIVIRANJE I INTEGRIRANJE BESKONAČNIH POLINOMA Reda potencija derivira se i integrira tako da se derivira, odnosno integrira, član po član. Radijus konvergencije deriviranog i integriranog reda jednak je radijusu konvergencije početnog reda. PRIMJER 8. Izračunajmo f (x) i f (x)dx, ako je f (x) = Rješenje: n=0 x n. f (x) = 1 + x + x 2 + x 3 + R = 1 f (x) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + R = 1 f (x)dx = x 2 x x x C R = 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 47 / 72
84 Operacije s beskonačnim polinomima Deriviranje i integriranje beskonačnih polinoma PRIMJEDBA Budući je iz prethodnog slijedi 1 1 x = 1 + x + x 2 + x 3 + za x < 1 1 (1 x) 2 = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + za x < 1 ln(1 x) = x x 2 2 x 3 3 x 4 za x < 1 4 pri čemu je C = 0 jer je ln(1 0) = 0 = C. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 48 / 72
85 Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci ZADATAK 13. a) Deriviraj red x x 3 b) Integriraj taj red. 3! + x 5 5! x 7 7! +. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 49 / 72
86 Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci ZADATAK 13. a) Deriviraj red x x 3 b) Integriraj taj red. 3! + x 5 5! x 7 7! +. ZADATAK 14. a) Deriviraj red 1 x 2 + x 4 b) Integriraj taj red. 2! x 6 3! + x 8 4! x 10 5! +. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 49 / 72
87 Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci ZADATAK 13. a) Deriviraj red x x 3 b) Integriraj taj red. 3! + x 5 5! x 7 7! +. ZADATAK 14. a) Deriviraj red 1 x 2 + x 4 b) Integriraj taj red. 2! x 6 3! + x 8 4! x 10 5! +. ZADATAK 15. Koristeći se razvojem funkcije f (x) = x funkcije g(x) = ln(1 + x). u red potencija naći razvoj Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 49 / 72
88 Rješenje 13: a) b) Operacije s beskonačnim polinomima (x x 3 3! + x 5 5! x 7 Zadaci (x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + 7! + )dx = x 2 2! x 4 4! + x 6 ) = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 6! + C 6! + Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 50 / 72
89 Rješenje 13: a) b) Operacije s beskonačnim polinomima (x x 3 3! + x 5 5! x 7 Rješenje 14: a) b) Zadaci (x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + 7! + )dx = x 2 2! x 4 4! + x 6 ) = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 6! + C (1 x 2 + x 4 2! x 6 3! + x 8 4! x 10 ) 5! + = 2x + 4x 3 2! 6x 5 3! + 8x 7 4! 10x 9 + 5! = 2x + 2x 3 x x x 9 + ( (= 2x 1 x 2 + x 4 2! x 6 3! + x 8 4! )) (1 x 2 + x 4 2! x 6 3! + x 8 4! x 10 ) 5! + dx = x x x 5 5 2! x 7 7 3! + x 9 9 4! + C 6! + Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 50 / 72
90 Rješenje 15: Operacije s beskonačnim polinomima prethodnog integriranjem slijedi Zadaci x = 1 x + x 2 x 3 + x 4 x 5 +, x < 1. Iz 1 ( 1 + x dx = 1 x + x 2 x 3 + x 4 x 5 + = x x x 3 3 x x C Integral na lijevoj strani znamo: 1 dx = ln(1 + x) + C, 1 + x ) dx ln(1 + x) = x x x 3 3 x x C C =? uvrstimo x = 0: }{{} ln1 = C C = 0, =0 pa je ln(1 + x) = x x x 3 3 x x 5, 5 x < 1 (što smo ionako znali). Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 51 / 72
91 Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci ZADATAK 16. a) Izračunaj približno 1 0 sinx x dx. b) Integriraj približno površinu na slici: Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 52 / 72
92 Operacije s beskonačnim polinomima Zadaci Rješenje 16: a) 1 0 sinx x dx = = = (x x 3 x 3! + x 5 5! x 7 ) 7! + dx (1 x 2 3! + x 4 5! x 6 ) 7! + dx (x x 3 3 3! + x 5 5 5! x 7 ) 1 7 7! + 0 Uzimamo samo prva dva člana: 1 0 sinx x dx (x x 3 ) = = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 53 / 72
93 b) P = Operacije s beskonačnim polinomima e x2 2 dx Zadaci e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 3! + x 4 e x2 2 = 1 x ! x 4 8 x x e x2 2 dx = x x x x x 9 e x2 2 dx ( x x 3 P ) 0.3 = = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 54 / 72
94 Operacije s beskonačnim polinomima Primjer PRIMJER 9. Razvijmo u red potencija funkciju f (x) = arcsinx. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 55 / 72
95 Operacije s beskonačnim polinomima Primjer PRIMJER 9. Razvijmo u red potencija funkciju f (x) = arcsinx. Rješenje: Poznat je integral: arcsinx + C = dx = (1 x 2 ) 1/2 dx 1 x 2 N.B.F. (1 + x) α = 1 + ( ) α x + 1 ( ) α x ( ) α x 3 +, x < 1 3 (1 x 2 ) 1/2 = x x x 6 + arcsinx = x + 1 x C =? uvrstimo x = 0: x } arcsin0 {{} = C C = 0 =0 x C, x < 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 55 / 72
96 Operacije s beskonačnim polinomima Primjer Dakle, arcsinx = x x x x7 +, x < 1 7 MOŽE SE DOKAZATI DA TAJ RED KONVERGIRA I ZA x = 1 Slijedi ( ) arcsin1 = π 2 = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 56 / 72
97 Operacije s beskonačnim polinomima Jednoznačnost reda potencija JEDNOZNAČNOST REDA POTENCIJA Ako se funkcija f može prikazati u obliku reda potencija: f(x) = c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) 3 +, onda za taj red vrijedi c n = f (n) (a) n! (Dokaz: Uvrštavajući x = a u gornju jednakost dobivamo f (a) = c 0, pa smo odredili koeficijent c 0. Deriviranjem reda dobivamo f (x) = c 1 + 2c 2 (x a) + 3c 3 (x a) 2 +, odakle slijedi f (a) = c 1. Nastaljajući na isti način dobit ćemo f (n) (a) = n! c n, a to je i trebalo dokazati.) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 57 / 72
98 Operacije s beskonačnim polinomima Zadatak ZADATAK 17. a) Razviti u red potencija funkciju f (x) = sin(2x) 1 x/2 (napisati prva tri člana). Odredi radijus konvergencije. b) Pomoću dobivenog reda izračunaj f (0). Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 58 / 72
99 Operacije s beskonačnim polinomima Zadatak ZADATAK 17. a) Razviti u red potencija funkciju f (x) = sin(2x) 1 x/2 (napisati prva tri člana). Odredi radijus konvergencije. b) Pomoću dobivenog reda izračunaj f (0). Rješenje a): sin(2x) = 2x 23 3! x ! x ! x 7 +, x R x x x x 4 +, x < 2 16 (1 x/2) 1/2 = sin(2x) 1 x/2 = 2x x x 3, x < min{,2}= 2 ( b) f (0) = 3! 55 ) = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 58 / 72
100 Hiperboličke funkcije HIPERBOLIČKE FUNKCIJE e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + Samo neparne potencije podsjećaju na sinx, samo parne na cosx. Te funkcije zovemo hiperboličkim sinusom odnosno hiperboličkim kosinusom: sinx = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! + shx = x + x 3 3! + x 5 5! + x 7 cosx = 1 x 2 2! + x 4 4! x 6 chx = 1 + x 2 2! + x 4 4! + x 6 7! + 6! + 6! + Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 59 / 72
101 Hiperboličke funkcije Dakle: e x = shx + chx NEPARNI DIO sh( x) = shx PARNI DIO ch( x) =chx shx i chx mogu se prikazati pomoću eksponencijalne funkcije: e x = shx + chx e x = shx + chx chx = ex + e x 2 shx = ex e x 2 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 60 / 72
102 Hiperboličke funkcije Grafovi hiperboličkih funkcija GRAFOVI HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 61 / 72
103 Hiperboličke funkcije Svojstva hiperboličkih funkcija NEKA SVOJSTVA HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA (podsjećaju na svojstva trigonometrijskih funkcija) hiperboličke funkcije usp. trigonometrijske funkcije (1) ch 2 x sh 2 x = 1 cos 2 x + sin 2 x = 1 (2) ch(x + y) = chxchy+shxshy cos(x + y) = cosx cosy sinx siny (3) sh(x + y) = shxchy + chxshy sin(x + y) = sinx cosy + cosx siny (4) ch 2 x = 1 2 (ch(2x) + 1) cos2 x = 1 (cos(2x) + 1) 2 (5) sh 2 x = 1 2 (+ch(2x) 1) sin2 x = 1 (1 cos(2x)) 2 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 62 / 72
104 Hiperboličke funkcije Svojstva hiperboličkih funkcija ZADATAK 18. a) Izvedi formulu (1): ch 2 x sh 2 x = 1 polazeći od prikaza shx i chx pomoću eksponencijalne funkcije. b) Pokaži da vrijedi (5): sh 2 x = 1 2 (ch(2x) 1). Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 63 / 72
105 Hiperboličke funkcije Svojstva hiperboličkih funkcija ZADATAK 18. a) Izvedi formulu (1): ch 2 x sh 2 x = 1 polazeći od prikaza shx i chx pomoću eksponencijalne funkcije. b) Pokaži da vrijedi (5): sh 2 x = 1 2 (ch(2x) 1). Rješenje a): ch 2 x sh 2 x = 1 ( e x + e x) 2 1 ( e x e x) = 1 ( e 2x e 2x) 1 (e 2x 2 + e 2x) = 1 ( e 2x e 2x e 4 2x + 2 e 2x) 2 = 1 b) ch(2x) (2) = ch 2 x + sh 2 x (1) = 1 + sh 2 x + sh 2 x = 1 + 2sh 2 x sh 2 x = 1 2 (ch(2x) 1) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 63 / 72
106 Hiperboličke funkcije Hiperbolički tangens i kotangens Analogno trigonometrijskom tangensu i kotangensu definiramo hiperbolički tangens i kotangens: thx = shx chx, chx cthx = shx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 64 / 72
107 Hiperboličke funkcije Hiperbolički tangens i kotangens Analogno trigonometrijskom tangensu i kotangensu definiramo hiperbolički tangens i kotangens: thx = shx chx, Prikaz pomoću eksponencijalne funkcije: thx = ex e x e x + e x, chx cthx = shx cthx = ex + e x e x e x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 64 / 72
108 Hiperboličke funkcije Hiperbolički tangens i kotangens Analogno trigonometrijskom tangensu i kotangensu definiramo hiperbolički tangens i kotangens: thx = shx chx, Prikaz pomoću eksponencijalne funkcije: thx = ex e x e x + e x, chx cthx = shx cthx = ex + e x e x e x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 64 / 72
109 Hiperboličke funkcije Derivacije i integrali DERIVACIJE I INTEGRALI HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA Derivacije i antiderivacije hiperboličkih funkcija slične su derivacijama i antiderivacijama trigonometrijskih funkcija: d dx shx = chx, chxdx = shx + C d dx chx = shx, shxdx = chx + C d dx = thx + C dx thx = 1 ch 2 x, d 1 cthx = dx sh 2 x, ch 2 x dx sh 2 x = cthx + C Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 65 / 72
110 Hiperboličke funkcije Primjer PRIMJER 10. Izračunati a) d dx sh(x 2 2x) b) d dx eth(3x) c) P =? (osjenčano područje na slici desno) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 66 / 72
111 Hiperboličke funkcije Primjer PRIMJER 10. Izračunati a) d dx sh(x 2 2x) b) d dx eth(3x) c) P =? (osjenčano područje na slici desno) Rješenje: a) b) c) P = d dx sh(x 2 2x) = ch(x 2 2x) (2x 2) d dx eth(3x) = e th(3x) 1 ch 2 (3x) chxdx = shx 1 0 = sh1 sh0 = e1 e 1 2 = 1 2 ( e 1 ) e Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 66 / 72
112 Hiperboličke funkcije Veza trigonometrijske hiperboličke funkcije VEZA TRIGONOMETRIJSKIH I HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA Sjetimo se: 1 = i = i 0 = 1 i 1 = i i 2 = 1 i 3 = i i 4 = 1 i 5 = i i 6 = 1 i 7 = i Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 67 / 72
113 Hiperboličke funkcije Veza trigonometrijske hiperboličke funkcije VEZA TRIGONOMETRIJSKIH I HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA Sjetimo se: 1 = i = i 0 = 1 i 1 = i i 2 = 1 i 3 = i i 4 = 1 i 5 = i i 6 = 1 i 7 = i Nema nikakvih prepreka da računamo razvoj e z = 1 + z 1! + z2 2! + z3 + i za kompleksne vrijednosti z. Za z = ix: 3! e ix = 1 + ix 1! + i2 x 2 + i3 x 3 + i4 x 4 + i5 x 5 + 2! 3! 4! 5! = 1 + ix x 2 3 2! ix 3! + x 4 5 4! + ix 5! = (1 x 2 2! + x 4 4! ) + i (x x 3 3! + x 5 5! = cosx + isinx EULEROVA FORMULA ) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 67 / 72
114 Hiperboličke funkcije Veza trigonometrijske hiperboličke funkcije Eulerova formula i uvrštavanje x za x u nju daju: e ix = cosx + isinx e ix = cosx isinx. Zbrajanjem i oduzimanjem gornjih jednakosti i dijeljenjem s 2: cosx = eix + e ix 2 isinx = eix e ix 2 = ch(ix) = sh(ix) Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 68 / 72
115 Hiperboličke funkcije Veza trigonometrijske hiperboličke funkcije Eulerova formula i uvrštavanje x za x u nju daju: e ix = cosx + isinx e ix = cosx isinx. Zbrajanjem i oduzimanjem gornjih jednakosti i dijeljenjem s 2: cosx = eix + e ix 2 isinx = eix e ix 2 = ch(ix) = sh(ix) Kompleksni račun pokazuje da su trigonometrijske i hiperboličke funkcije zapravo eksponencijalne funkcije, a njima inverzne arkus i area funkcije su logaritamske funkcije! Inverzne funkcije hiperboličkih funkcija zovemo area funkcijama (area -lat. površina). Razmatrat ćemo ih u nastavku. Sjetimo se da smo inverzne funkcije trigonometrijskim funkcijama zvali arkus funkcijama (arcus - lat. luk). Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 68 / 72
116 Area funkcije INVERZNE FUNKCIJE HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA - AREA FUNKCIJE Trigonometrijski kosinus i sinus vezani su uz kružnicu: x = cost, y = sint parametarske su jednadžbe kružnice x 2 + y 2 = 1. Hiperbolički kosinus i sinus vezani su uz hiperbolu: x = cht, y = sht parametarske su jednadžbe hiperbole x 2 y 2 = 1. U slučaju parametrizacije kružnice parametar t daje mjeru luka kružnice. U slučaju parametrizacije hiperbole parametar t daje površinu omedenu hiperbolom koordinate točke koja definira tu površinu. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 69 / 72
117 Area funkcije INVERZNE FUNKCIJE HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA - AREA FUNKCIJE Trigonometrijski kosinus i sinus vezani su uz kružnicu: x = cost, y = sint parametarske su jednadžbe kružnice x 2 + y 2 = 1. Hiperbolički kosinus i sinus vezani su uz hiperbolu: x = cht, y = sht parametarske su jednadžbe hiperbole x 2 y 2 = 1. U slučaju parametrizacije kružnice parametar t daje mjeru luka kružnice. U slučaju parametrizacije hiperbole parametar t daje površinu omedenu hiperbolom koordinate točke koja definira tu površinu. Upotrebom testa invertibilnosti lako ćemo ustanoviti da je : funkcija shx invertibilna na području realnih brojeva,, funkcija chx invertibilna na intervalu [0,, funkcija thx invertibilna na području realnih brojeva,, funkcija cthx invertibilna na uniji intervala, 0 0,. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 69 / 72
118 Area funkcije Grafovi area funkcija GRAFOVI AREA FUNKCIJA Zrcaljenjem grafova hiperboličkih funkcija oko y = x lako dobivamo grafove area funkcija: Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 70 / 72
119 Area funkcije Prikaz area funkcija pomoću logaritamskih funkcija PRIKAZ AREA FUNKCIJA POMOĆU LOGARITAMSKIH FUNKCIJA y = arshx x = shy = ey e y 2 / 2e y 2e y x = e y e y e y e y (e y ) 2 2x (e y ) 1 = 0 e y = x + ( x (jer e y > 0) y = ln x + ) x Slično dobivamo: ( ) arshx = ln x + x ( ) archx = ln x + x 2 1 za svaki x R za x 1 arthx = 1 ( ) 1 + x 2 ln 1 x arcthx = 1 ( ) x ln x 1 za x < 1 za x > 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 71 / 72
120 Area funkcije Derivacije i integrali DERIVACIJE I INTEGRALI AREA FUNKCIJA y = arshx x = shy d dy arshx = dx dx = 1 dx/dy = 1 chy = 1 = sh 2 y + 1 dx ) (x x = arshx + C = ln + x C 1 x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 72 / 72
121 Area funkcije Derivacije i integrali DERIVACIJE I INTEGRALI AREA FUNKCIJA y = arshx x = shy d dy arshx = dx dx = 1 dx/dy = 1 chy = 1 = sh 2 y + 1 dx ) (x x = arshx + C = ln + x C 1 x Slično dobivamo: d dx archx = 1, x > 1 dx (x = ln + ) x C, x > 1 x 2 1 x 2 1 d dx arthx = 1 1 x 2, x < 1 dx = 1 1 x 2 2 ln( ) 1+x 1 x + C, x < 1 d dx arcthx = 1 1 x 2, x > 1 dx 1 x 2 = 1 2 ln( x+1 x 1 ) + C, x > 1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 72 / 72
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler
Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)
Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0
1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Integrali Materijali za nastavu iz Matematike 1
Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44 Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija)
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E
. Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima
KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
IZRAČUNAVANJE KONAČNIH SUMA METODIMA DIFERENTNOG RAČUNA
IZRAČUNAVANJE KONAČNIH SUMA METODIMA DIFERENTNOG RAČUNA Izlaganje - Seminar za matematičare, Fojnica 2017.g. Prof. dr. MEHMED NURKANOVIĆ Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Tuzli 13.01.2015. godine
Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
4 Elementarne funkcije
4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
3.1 Elementarne funkcije
3. Elementarne funkcije 3.. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115
4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 2 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Povijesno su dva po prirodi različita
Uvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Eksponencijalna i logaritamska funkcija
16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno
Uvod Kako naći ortogonalne trajektorije. 1 Polje smjerova. 2 Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda. 3 Ortogonalne trajektorije
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 5 1 / 34 Sadržaj: Sadržaj 1 Polje smjerova 2 Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda 3 Uvod Kako naći ortogonalne trajektorije
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije i Limesi i derivacije Poglavlje Limesi i derivacije.0. Limesi Limes funkcije f kada teºi nekoj to ki a ovdje a moºe ozna avati i ± moºemo
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA
9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 6 1 / 60
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 6 1 / 60 Sadržaj Sadržaj: 1 Linearna diferencijalna jednadžba drugog reda Princip superpozicije rješenja homogene linearne jednadžbe 2 Homogena