Ámbito científico tecnolóxico. Números e álxebra. Unidade didáctica 1. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ámbito científico tecnolóxico. Números e álxebra. Unidade didáctica 1. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial"

Transcript

1 Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo Unidade didáctica 1 Números e álxebra

2 Índice 1. Introdución Descrición da unidade didáctica Coñecementos previos Criterios de avaliación.... Secuencia de contidos e actividades....1 Números racionais Transformación de fraccións en decimais. Números decimais exactos e periódicos Transformación de decimais en fraccións Potencias de números racionais con expoñente enteiro Xerarquía de operacións Potencias de base 10. Aplicación para a expresión de números moi pequenos Operacións con números expresados en notación científica Expresións radicais Transformacións de números radicais Operacións con radicais Expresións alxébricas. Polinomios Terminoloxía básica Valor numérico dun polinomio Operacións con polinomios: suma, resta, multiplicación e división Potencia dun polinomio Igualdades notables Ecuacións de segundo grao cunha incógnita Resolución da ecuación de segundo grao ax + bx + c = Número de solucións dunha ecuación de segundo grao..... Ecuacións de segundo grao incompletas..... Resolución de problemas utilizando ecuacións de segundo grao Sistemas lineais de dúas ecuacións con dúas incógnitas Métodos de resolución de sistemas de ecuacións lineais Resolución de problemas mediante sistemas de ecuacións Actividades finais.... Solucionario Solucións das actividades propostas Solucións das actividades finais Glosario Bibliografía e recursos Páxina de 60

3 1. Introdución 1.1 Descrición da unidade didáctica Nesta unidade estudaremos a relación entre os números racionais e os números decimais, chegando ata as expresións radicais e as súas operacións. Estudaremos, ademais, as expresións alxébricas e as operacións con elas, as ecuacións de segundo grao, así como os sistemas de ecuacións lineais de dúas ecuacións con dúas incógnitas, para finalizar coa resolución de problemas da vida cotiá mediante a utilización destas potentes ferramentas matemáticas. 1. Coñecementos previos Para traballar con esta unidade é necesario recordar os conceptos e operacións estudados nos módulos anteriores, en especial: Cales son os números: N, Z, e Q. Operacións combinadas cos números naturais, enteiros e racionais. Potencias de base 10. A linguaxe alxébrica e a tradución de expresións da linguaxe cotiá á alxébrica e viceversa. A resolución de ecuacións de primeiro grao cunha incógnita. 1. Criterios de avaliación Utilizar as propiedades dos números racionais, as raíces e outros números radicais para operar con eles, empregando a forma de cálculo e notación adecuada, para resolver problemas da vida cotiá e presentar os resultados coa precisión requirida. Utilizar a linguaxe alxébrica para expresar unha propiedade ou relación dada mediante un enunciado, extraendo a información relevante e transformándoa. Resolver problemas da vida cotiá nos que se precise a formulación e a resolución de ecuacións de primeiro e segundo grao, así como sistemas lineais de dúas ecuacións con dúas incógnitas, aplicando técnicas de manipulación alxébricas, gráficas ou recursos tecnolóxicos e valorar e contrastar os resultados obtidos. Páxina de 60

4 . Secuencia de contidos e actividades.1 Números racionais.1.1 Transformación de fraccións en decimais. Números decimais exactos e periódicos Os números decimais teñen dúas partes separadas por unha coma: Ao acharmos o cociente entre numerador e denominador dunha fracción, se a división non é exacta, obtemos un número decimal. Todas as fraccións equivalentes representan o mesmo número decimal. 8 0, , = = = = = = = 0, Os números decimais que se obteñen dunha fracción ao dividir o numerador entre o denominador (sempre que non dea exacta) poden ser de dous tipos: números decimais exactos ou números decimais periódicos. Os números decimais exactos son aqueles que teñen un número finito de decimais. Vexamos que número decimal corresponde a catro quintos. Correspóndelle o número decimal exacto 0, 8. Os números decimais periódicos están formados por un numero ilimitado de cifras decimais =,55 =, = 1,06666 = 1,06 Páxina de 60

5 Reciben o nome de período as cifras que se repiten indefinidamente. En función de como sexa a parte decimal, os números periódicos poden ser: Periódicos puros: a súa parte decimal é toda periódica. Periódicos mixtos: a súa parte decimal está formada por unha parte non periódica seguida doutra parte periódica. Actividades resoltas Obteña a expresión decimal correspondente ás seguintes fraccións, e indique de que tipo son: = 1, que non é un número decimal. = 0,55555 = 0, 5, que é un número decimal periódico puro. = 8,5 = 8,5, que é un número decimal periódico mixto. = 9,6, que é un número decimal exacto. Actividade proposta S1. Calcule a expresión decimal de cada unha das seguintes fraccións e indique se ditas expresións decimais son exactas, periódicas puras ou periódicas mixtas. Fracción Expresión decimal Tipo de decimal Páxina 5 de 60

6 .1. Transformación de decimais en fraccións Acabamos de ver como se transforma unha fracción nun número decimal, pero... como se fai o proceso inverso? É dicir, como transformamos un número decimal nunha fracción? En primeiro lugar cómpre sinalar que non todos os números decimais se poden transformar en fracción. Para saber que números decimais se poden transformar en fracción e cales non, debemos revisar o que xa aprendemos nesta unidade. Os números decimais dos que temos falado ata agora son os números decimais exactos e os números decimais periódicos (puros ou mixtos). Isto é así porque os únicos números decimais que se poden transformar en fracción son os números decimais exactos e os números decimais periódicos (tanto os puros coma os mixtos). Hai números decimais que non son nin exactos nin periódicos, como por exemplo o número: 7, Este número non pode ser transformado nunha fracción. Os números que non poden ser transformados en fraccións teñen todos un número infinito de cifras decimais e non son periódicos. Estes números chámanse números irracionais e falaremos deles no apartado.. desta unidade. Agora veremos a forma de pasar os números decimais a fracción. Esta fracción chámase fracción xeratriz. A forma de transformalos depende do tipo de número decimal de que se trate. Así, haberá un método para transformar en fracción os números decimais exactos, outro para os periódicos puros e outro diferente para os periódicos mixtos. Transformación en fracción dun número decimal exacto O numerador da fracción xeratriz é o número decimal sen a coma e o denominador é o 1 seguido de tantos ceros como cifras ten a parte decimal do número. Páxina 6 de 60

7 Actividades resoltas Transforme en fraccións os seguintes números decimais exactos: 0, 8, 0, 888 Ten unha única cifra decimal, polo que a fracción que lle corresponde é 8, que pode ser simplificada e 10 obtemos 5. Ten dúas cifras decimais, polo que a fracción que lle corresponde é 5, que pode ser simplificada e obtemos 9. Ten tres cifras decimais, polo que a fracción que lle corresponde é 875, que pode ser simplificada e obtemos Non ten cifras decimais, polo que a fracción que lle corresponde é 7 1. Transformación en fracción dun número decimal periódico puro Para pasar a forma de fracción un número periódico puro debemos contar cantas cifras ten a parte periódica do número. Así, 1, é un número periódico puro e o período está formado por unha única cifra decimal. Chamámoslle A ao número decimal: A = 1, = 1,. Agora multiplicamos o número pola unidade seguida de tantos ceros coma cifras ten a parte periódica do número. Como neste caso a parte periódica de 1, ten unha única cifra, multiplicamos o número por 10 e obtemos: Restamos as dúas expresións que temos: 10A = 1, E finalmente despexamos A: 10A = 1, A = 1, 9A = 11 9A = 11 A = , = 11 9 e xa temos o número 1, expresado en forma de fracción. Páxina 7 de 60

8 Actividades resoltas Transforme en fraccións os seguintes números decimais periódicos puros:, 55 A parte periódica ten dúas cifras, polo que multiplicaremos o número por 100 e temos: 100A = 15,55 A = 1,55 99A = 1 Así, 99A = 1 A = 1, que non se pode simplificar, e temos que, 55 = , A parte periódica ten tres cifras, polo que multiplicaremos o número por 1000 e temos: 1000A =, A = 0, 999A = Así, 999A = A =, que se pode simplificar, e temos que 0, = Transformación en fracción dun número decimal periódico mixto Para pasar a forma de fracción un número periódico mixto debemos contar cantas cifras ten a parte periódica do número e cantas ten a parte decimal non periódica. Así, 1,6 é un número periódico mixto cuxo período está formado por unha única cifra () e a parte decimal non periódica está formada por dúas cifras (6 e ). Chamámoslle A ao número decimal: A = 1,6 = 1,6. Agora multiplicamos o número pola unidade seguida de tantos ceros coma cifras ten a parte decimal non periódica do número. Como neste caso a parte decimal non periódica de 1,6 ten dúas cifras, multiplicamos o número por 100 e obtemos: 100A = 16, Multiplicamos tamén o número A pola unidade seguida de tantos ceros coma cifras ten a parte decimal non periódica do número máis o número de cifras da parte periódica. Como neste caso a parte decimal non periódica de 1,6 ten dúas cifras e a periódica unha, multiplicamos o número por 1000 e obtemos: 1000A = 16, Restamos as dúas expresións que temos: 1000A = 16, 100A = 16, 900A = 178 Páxina 8 de 60

9 E finalmente despexamos A: 900A = 178 A = ,6 = Que se pode simplificar 1,6 = = e xa temos o número 1,6 expresado en forma de fracción. Actividades resoltas Transforme en fraccións os seguintes números decimais periódicos mixtos:, 5 0, A parte periódica ten unha cifra e a decimal non periódica outra, polo que multiplicaremos o número por 100 e por 10 e temos: 100A = 15, 10A = 15, 90A = 88 Así, 90A = 88 A = 88 90, que se pode simplificar e temos que, 5 = 7 15 A parte periódica ten dúas cifras e a decimal non periódica unha polo que multiplicaremos o número por 1000 e por 10 e temos: 1000A =, 10A =, 990A = 8 Así, 990A = 8 A = 8, que se pode simplificar e temos que 0, = Resumo Para pasar un número decimal a fracción procédese do seguinte xeito: Decimal exacto: Periódico puro: Número sen coma Unidade seguida de tantos ceros coma cifras decimais ten o número Número sen coma Parte enteira Tantos 9 coma cifras periódicas ten o número Periódico mixto: Número sen coma Parte enteira seguida da parte decimal que non se repite Tantos 9 coma cifras periódicas seguidos de tantos ceros coma cifras decimais non periódicas Actividades propostas S. Calcule a fracción xeratriz dos seguintes números, deixando a fracción o máis reducida posible: 0,51, 5 1, 9 1,8 7,5 8, 8 1, 1 7,1 1,,81 0, 1 7,0051 0,5 0,71 Páxina 9 de 60

10 S. Baseándose nos resultados das celas sombreadas do exercicio anterior, demostre que 1, 9 =. S. Tomando como referencia a actividade anterior, demostre que 1,9 = 1,..1. Potencias de números racionais con expoñente enteiro Neste momento xa nos deben ser coñecidas as potencias de números naturais e de números enteiros. As potencias de números racionais calcúlanse de xeito similar. Así: Potencia dunha fracción con expoñente positivo: unha potencia dunha fracción con expoñente positivo é o produto desa fracción (a base) por ela mesma tantas veces como indique o expoñente. A base escríbese sempre entre parénteses. n veces a b n = a b a b a a a a = b b b b = an b n n veces n veces Potencias con expoñente cero: a potencia de expoñente cero vale sempre un (para calquera base distinta de cero) (a) 0 = 1. Da mesma forma: a b 0 = 1 Potencias con expoñente negativo: unha potencia con expoñente negativo é a inversa da mesma potencia de expoñente positivo. a b n = b a n As propiedades das operacións con potencias, xa coñecidas para os números naturais e os enteiros, aplícanse igualmente aos números racionais (tamén chamados fraccións): Coas potencias das fraccións séguense as mesmas regras para os signos: (nº nnnnnnnn) ppp = nº pppppppp (nº pppppppp) ppp = nº pppppppp (nº negggggg) iiiii = nº nnnnnnnn (nº pppppppp) iiiii = nº pppppppp Páxina 10 de 60

11 A potencia dun produto é igual ao produto das potencias dos factores. a b c d n = a b n c d n A potencia dun cociente é igual ao cociente das potencias. a b c d n = a b n : c d n Produto de potencias da mesma base: para multiplicalas, déixase a mesma base e súmanse os expoñentes. a b n a b m = a b n+m Cociente de potencias da mesma base: para dividilas, déixase a mesma base e réstanse os expoñentes. a b n : a b m = a b n m Potencia doutra potencia: para elevar unha potencia a outra potencia, déixase a mesma base e multiplícanse os expoñentes. a m b n = a b n m Actividades resoltas = = + = 5 = 15 0 = 1 = 1 = 1 8 = 5 5 = 5 10 : 6 5 = = 5 60 = 5 1 = 5 1 = : 5 7 = = 5 = 5 = = 1 = 1 6 = 16 6 = 1 6 = = ( ) = = 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = 1 0 = = = = = 0 5 = 1 15 = 15 = = ( ) = = = = Páxina 11 de 60

12 Actividades propostas S5. Exprese en forma de número (natural, enteiro ou racional) o máis simplificado posible: () : 5 5 : 5 5 (( 1 ) ) : S6. Exprese en forma de potencia: 6 x 5 y z (x y) (yy) 7 x 9 x 6 (x y) x y x 8 y 8 1 x 1.1. Xerarquía de operacións Cando hai varias operacións indicadas, a orden da operación é como nos números naturais e enteiros: 1- Parénteses - Potencias e raíces - Multiplicacións e divisións - Sumas e restas Cando hai operacións con parénteses, opéranse estes en primeiro lugar dunha destas dúas formas: Resólvense as parénteses de forma independente ata deixalas reducidas a unha soa fracción. Suprímense as parénteses, tendo en conta que, se as parénteses teñen diante un signo +, os signos interiores non varían e, se as parénteses teñen diante un signo, os signos interiores transfórmanse de + a e de a +. + a b + c d m n = a b + c d m n a b + c d m n = a b c d + m n Páxina 1 de 60

13 Actividade resolta Actividades propostas : = = = = 6 60 = 0 m.c.m. (0,15) = 60 S7. Resolva e calcule = = = 5 : : = 1 : = =.1.5 Potencias de base 10. Aplicación para a expresión de números moi pequenos Potencias de base 10 A razón de repasar neste momento as potencias de 10 é que, nas ciencias en xeral, se traballa con números moi pequenos (como a masa e a carga das partículas subatómicas: protón, electrón e neutrón) e con números moi grandes (como o número de átomos que hai nun corpo calquera, por exemplo, un libro). Grazas ás potencias de 10 podemos expresar estes números, moi grandes ou moi pequenos, dun xeito fácil de utilizar e, sobre todo, podemos lelos facilmente. As potencias de 10 xa son coñecidas, especialmente as que teñen expoñente positivo. Neste apartado as repasaremos xunto coas potencias de 10 con expoñente negativo. Expoñente positivo Expoñente cero Expoñente negativo 10 1 = = = = = = = = = 1 10 = 0,1 10 = 1 10 = = 0,01 10 = 1 10 = = 0, = 1 10 = = 0, Páxina 1 de 60

14 Actividades propostas S8. Calcule: Notación científica Un número está escrito en notación científica se está expresado como produto dun número real cunha única cifra antes da coma decimal (que non pode ser cero) por unha potencia de 10. m 10 e O número m chámase mantisa. Ten que ter una única cifra antes da coma decimal, e esa cifra non pode ser cero e debe ir precedida do signo menos (-) cando o número é negativo. Así, exemplos de mantisas son: 1, -9,567,5-7 O número e chámase orde de magnitude. A orde da magnitude dun numero escrito en notación científica é o expoñente da potencia de 10. Actividades resoltas Escriba en notación científica os seguintes números: = = 1, = 8, , = = 1, , = = 8, , = 8, Actividades propostas S9. Escriba en notación científica os números seguintes: , , , S10. Escriba en forma ordinaria, , , , 10 1, , Páxina 1 de 60

15 .1.6 Operacións con números expresados en notación científica Sumas e restas Teñen que ter a mesma potencia de 10 para poder sumalos e restalos directamente. Actividades resoltas Calcule: 5, , 10 = 11, 10 1, , 10 6 = 8, 10 6 Lembre que a mantisa só pode ter unha cifra antes da coma Se non teñen iguais os expoñentes de 10, pódense transformar noutros que si os teñan e despois sumalos ou restalos. Actividades resoltas Calcule: , 10 5 = , =, , , 10 = 8, ,5 10 = 8,6 10 5, 10 1,8 10 = 0,5 10 1,8 10 = 0, ,6 10 Lembre que a mantisa só pode ter unha cifra antes da coma Tamén se poden resolver coa calculadora como explicaremos máis adiante. Multiplicacións e divisións Presentan menos dificultades que as sumas e as restas. Para o produto, multiplícanse as mantisas e súmanse os expoñentes. Actividades resoltas Calcule: ( 10 6 ) (5, 10 5 ) = ( 5,) = 15, , Lembre que a mantisa só pode ter unha cifra antes da coma ( 8,1 10 ) (5 10 ) = ( 8,1 5) 10 +( ) = 0,5 10 7, Lembre, de novo, que a mantisa só pode ter unha cifra antes da coma Para o cociente, divídense as mantisas e réstanse os expoñentes. Páxina 15 de 60

16 Actividades resoltas Calcule: (, 10 6 ): (5 10 ) =, ( ) = 0, = 6, 10 9 ( 8,1 10 ): ( ) = 8, = 1, Operacións usando a calculadora Para escribir nunha calculadora un número en notación científica emprégase a tecla EXP (non use a tecla de 10 x ). Para teclear o número, facemos así:.95 EXP 8. Fíxese que o 10 NON se teclea! Vexamos máis exemplos: 10 6 EXP = EXP 7 Ollo! É un erro frecuente teclear neste caso 10 EXP 7; lembre que o 10 non se teclea., EXP ± Nalgunhas calculadoras é.7 EXP (-) Logo de que o número apareza na pantalla, pode facer con el calquera operación, como faría cos números ordinarios (sumar, multiplicar, raíces etc.). A calculadora devólvelle automaticamente o resultado do cálculo correcto en notación científica. Moi cómodo! Actividade proposta S11. Efectúe as seguintes operacións escribindo o resultado en notación científica , , 10 6 (, 10 ): (1, 10 0 ) (, ) (6,5 10 ) (1, 10 7 ). Expresións radicais Xa temos falado dos números decimais no apartado.1.. Alí indicamos que os únicos números decimais que se poden transformar en fracción son os números decimais exactos e os números decimais periódicos (tanto os puros coma os mixtos). Tamén comentamos que hai números decimais que non son nin números decimais exactos nin números decimais periódicos, como por exemplo o número: 7, Páxina 16 de 60

17 Os números que non poden ser transformados en fraccións teñen todos un número infinito de cifras decimais e non son periódicos. Hai moitos números que son dese tipo, é dicir, hai moitos números que non son racionais. Imos escribir algúns deles: 1, , =, =π, =e Observe que algúns dos números anteriores teñen un nome especial. Ningún destes números é un número racional, ou o que é o mesmo, ningún deses números se pode escribir en forma de fracción. Deste xeito, vese que hai máis números ca os racionais. Estes números que non son racionais chámanse números irracionais e a súa expresión decimal ten sempre infinitas cifras decimais e non son periódicos. O conxunto formado por todos os números irracionais represéntase por I. I={números irracionais} Dentro destes números irracionais están as raíces de números enteiros que non dan exactas, é dicir, as que no resultado teñen cifras decimais. Os números irracionais son coñecidos dende hai moito tempo (máis de 000 anos). Xa naquela época se sabía que algúns deses números, como π ou escribir en forma de fracción., non se podían Se os números irracionais teñen infinitas cifras decimais e non son periódicos, como os escribimos? Algúns deles, como vimos anteriormente, teñen un nome especial e noutros só se escriben unha certa cantidade de cifras decimais. É dicir, escribimos unha aproximación deses números, nunca o número completo xa que non é posible. O conxunto formado por todos os números racionais e todos os números irracionais chámase conxunto dos números reais e represéntase por R. Páxina 17 de 60

18 Se n é un número natural e a é un número real, a raíz n-ésima de a é un número real x que verifica que x n n = a. Ese número x represéntase por a. É dicir: n x = a é eeeeeeeeeee a ddddd qqq x n = a Ao símbolo chámaselle radical. Ao número n chámaselle índice. Ao número a chámaselle radicando. n A expresión a chámase expresión radical. Como =7, temos que 7 = e dicimos que a raíz cúbica de 7 é. 5 = ±5, xa que 5 = 5 e (-5) = = ±1, xa que ( ± 1) = =, xa que (- ) = = 5, xa que 5 = 15 Estes números non existen sempre. Así: n Se n é par, a só existe cando a é positivo ou é 0. n Se n é impar, a existe sempre, sexa cal sexa o valor do número a. As raíces son as potencias con expoñente racional. É dicir, se o expoñente é unha fracción entón esa potencia representa unha raíz. O índice da raíz é o denominador do expoñente, o radicando da raíz é a base da potencia elevada ao numerador do expoñente. É dicir: a p q q = a p Polo tanto: a 1 q a 1 q a p q n a n q = a. = 1 q, sendo sempre a 0. a = 1 a p q, sendo tamén neste caso a 0. = a n n = a 1 = a Páxina 18 de 60

19 Actividades resoltas Escriba en forma de raíz: = = = 7 = 1 7 Actividade proposta S1. Exprese en forma de potencia de 5: Transformacións de números radicais Dúas expresións radicais son semellantes se teñen as mesmas raíces. Se multiplicamos o índice e o expoñente do radicando polo mesmo número (distinto de cero) obteremos un radical semellante ao de partida. q a p nn = a nn ssssss qqq n 0 Así, para simplificar un radical, debemos dividir o índice e o expoñente do radicando polo máximo común divisor de ambos números. Actividades resoltas Simplifique ao máximo os seguintes radicais: = mmm(10,8) = 5 6 = 5 mmm(,6) = 6 Para introducir un factor dentro do radical debemos elevar ese número ao índice e introducilo dentro do radical multiplicado polo radicando. n a b n = a n b Actividade resolta Introduza o factor dentro do radical: 5 = 5 = 8 5 = 0 Ás veces é posible factorizar o radicando de tal xeito que un dos factores obtidos estea elevado ao índice da raíz. Nese caso, ese factor pode ser sacado da raíz. Páxina 19 de 60

20 Actividade resolta Saque fóra do radical todos os factores que sexa posible: 180 = 5 = 5 = 6 5 Para sacar fóra do radical un factor debemos dividir o expoñente do factor entre o índice da raíz. O cociente desa división ponse como expoñente do factor fóra da raíz e o resto da división ponse como expoñente dese factor dentro da raíz. Actividades resoltas Saque fóra do radical todos os factores que sexa posible: = porque 5 = 8 + = = 50 0 porque 7 = + 1 e 5 = 1 + Actividades propostas S1. Simplifique os seguintes radicais: a 1 8a b 6 (5x 8 ) 1 9a 6b 8 c S1. Exprese estes radicais utilizando o radical máis simple posible: S15. Exprese en forma de raíz dun número: Operacións con radicais Radicais semellantes Dúas expresións radicais son semellantes se teñen a mesma parte radical. É dicir, os radicais semellantes son aqueles que, tras simplificalos, teñen o mesmo índice e o mesmo radicando. Páxina 0 de 60

21 As expresións,, e son semellantes, xa que a parte radical de todas elas é. 5 As expresións 18 e son semellantes, pois 18 = e, xa que logo, teñen a mesma parte radical. As expresións e 9 son semellantes, pois 9 = = e teñen a mesma parte radical. As expresións e no son semellantes. As expresións e tampouco son semellantes. Suma e resta de radicais Só se poden sumar e restar expresións radicais semellantes. Neste caso, sumamos ou restamos os coeficientes e poñemos o mesmo radical. Cando os termos dunha expresión non poden ser expresados en forma de radicais semellantes non se poden sumar nin restar, só podemos facer cálculos coa calculadora e obter una aproximación. Actividade resolta Calcule: = = = = = Multiplicación e división de radicais co mesmo índice O produto de radicais co mesmo índice é outro radical co mesmo índice e o seu radicando é o produto dos radicandos. n a n b n = a b O cociente de radicais co mesmo índice é outro radical co mesmo índice e o seu radicando é o cociente dos radicandos. n a n b n = a b Actividades resoltas Calcule: 5 7 = 5 7 = 5 98 = = 7 Páxina 1 de 60

22 Multiplicación e división de radicais con distinto índice Para multiplicar ou dividir expresións radicais con índices diferentes, en primeiro lugar debemos poñer o mesmo índice en todas elas. Como xa sabemos, se nunha expresión radical multiplicamos o índice e o expoñente do radicando polo mesmo número distinto de cero, obtemos un radical equivalente. q a p nn = a nn ssssss qqq n 0 Así, para poñer o mesmo índice en varias expresións radicais debemos: 1º. Calcular o mínimo común múltiplo (m.c.m.) de todos os índices. Este é o menor índice común. º. Dividir o mínimo común múltiplo, calculado no paso anterior, entre cada un dos índices dados e cada cociente é multiplicado polo expoñente do radicando correspondente. Unha vez que os radicais teñen o mesmo índice xa podemos multiplicalos ou dividilos como vimos anteriormente. Actividades resoltas Calcule: 5 7 (1) 10:=5; 10:5= 10 = = = (1) porque m.c.m.(,5)=10 e 5 1 = = (1) 1 1 = (1) porque m.c.m.(,)=1 e 1:=; 1:= Potencia e raíces dun radical A potencia dunha raíz é igual á raíz da potencia. É dicir: n a p n = a p A raíz dun radical é outro radical que ten como índice o produto dos índices e como radicando o mesmo que había. É dicir. n p a n p = a Páxina de 60

23 Actividades resoltas Calcule: 5 = 5 = 15 7 = 7 1 = 7 Actividades propostas S16. Calcule: x + x + x a b c aa c aa aa 5 x x a b 5 c ab c Racionalización O proceso de eliminar as raíces do denominador dunha expresión radical chámase racionalización. A solución a un exercicio con raíces adoitase dar sen raíces no denominador, é dicir, coa expresión racionalizada. Para racionalizar unha expresión multiplicamos o numerador e o denominador da expresión polo mesmo número, de xeito que ao facer as operacións desaparezan as raíces do denominador. A elección do número polo que multiplicaremos depende do tipo de expresión que haxa no denominador. Veremos dúas formas de racionalizar unha expresión: n Utilizando a propiedade a n = a. Esta forma utilízase cando no denominador aparece un único sumando que contén algunha raíz, como por exemplo ou 5. Debemos multiplicar numerador e denominador por unha raíz cuxo índice sexa o mesmo ca o da raíz que temos no denominador, o radicando estará elevado ao índice menos o expoñente que posúe o radicando orixinal. Páxina de 60

24 Actividades resoltas Racionalice: 15 = = 1 = = = = = 10 = 5 Utilizando a igualdade a + b a b = a b. Esta forma utilízase cando no denominador aparecen, sumando ou restando, unha ou dúas expresións que conteñen raíces cadradas, como por exemplo 5 + ou 1. Neste caso, temos que multiplicar numerador e denominador pola expresión conxugada do denominador. O conxugado da expresión a + b é a expresión a b e o conxugado da expresión a b é a + b. Actividades resoltas Racionalice: = = = 5 = 5 1 = = + 1 = = = = = + = = Actividades propostas S17. Racionalice: x x Páxina de 60

25 . Expresións alxébricas. Polinomios..1 Terminoloxía básica Observe a seguinte expresión P(x) = x 5 x + x Dita expresión chámase polinomio e está formado por catro monomios x 5, x, x e. Un polinomio é a suma ou resta de varios monomios. A variable é x. Poden existir polinomios con dúas variables, pero neste módulo estudaremos polinomios cunha soa variable, que será x. Cada monomio ten un grao, que será o expoñente da variable. O grao dun polinomio será o maior de todos os graos de todos os monomios que forman o polinomio. Neste caso é 5. Os números que acompañan ás variables chámanse coeficientes. Así, no polinomio P(x) = x 5 x + x o coeficiente de grao cinco é, o coeficiente de grao tres é 1, o de grao un é e o de grao cero é. Observe que neste polinomio non aparecen monomios de grao catro nin de grao dous. Isto é porque os coeficientes deses graos son 0. Chámase coeficiente principal dun polinomio ao coeficiente do monomio de maior grao. Chámase termo independente o coeficiente do monomio de grao cero. Cando traballamos con polinomios cunha soa variable, chámanse monomios semellantes os que teñen o mesmo grao... Valor numérico dun polinomio Chámase valor numérico dun polinomio P(x) para x igual a un número o valor que se obtén ao substituír a variable por dito número e efectuar as operacións. O valor numérico do polinomio P(x) para x = a represéntase por P(a). Actividade resolta Calcular o valor numérico do polinomio P(x) = x 5 x + 5x + 8x 9 para x =. O que facemos é substituír no polinomio a variable x polo valor. P() = = = = 7 Páxina 5 de 60

26 Actividades propostas S18. Calcule o valor numérico do polinomio P(x) = x x + x para: x = 0 x = 1 x = 1 x = 1 x = x = x = x =.. Operacións con polinomios: suma, resta, multiplicación e división Suma e resta de polinomios Para sumar ou restar polinomios, súmanse ou réstanse os monomios semellantes e déixase indicada a suma ou resta dos monomios que non o son. Actividade resolta Dados os polinomios P(x) = x 5 x + x 1 e Q(x) = x x x, calcule os polinomios P(x) + Q(x) e P(x) Q(x) P(x) + Q(x) = (x 5 x + x 1) + (x x x ) = x 5 x + x x + x x 1 = x 5 + ( 1 + )x x + ( )x + ( 1 ) = x 5 + x x P(x) Q(x) = (x 5 x + x 1) (x x x ) = x 5 x x + x + x + x 1 + = x 5 + ( 1 )x + x + ( + )x + ( 1 + ) = x 5 x + x + x + Multiplicación de polinomios Para calcular o produto de dous polinomios, multiplícase cada monomio dun dos factores por todos e cada un dos monomios doutro factor e logo súmanse os polinomios obtidos. É conveniente ter en conta o seguinte: Colocamos os polinomios un debaixo doutro. Comézase a multiplicar pola esquerda e multiplícase o primeiro monomio do segundo polinomio por todos os monomios do primeiro polinomio. Os coeficientes (números) multiplícanse e as partes literais multiplícanse sumando os expoñentes. Continúase multiplicando os demais monomios do segundo polinomio por todos os monomios do primeiro. Súmanse os polinomios resultantes. Páxina 6 de 60

27 Actividade resolta Dados os polinomios P(x) = x + x 1 e Q(x) = x x, calcule o polinomio P(x) Q(x) x + x 1 x x +6x + x x x (x + x 1) x x + x ( x) (x + x 1) 9x 6x + ( ) (x + x 1) 6x + x 1x 5x + Outra forma de facelo é: P(x) Q(x) = (x + x 1) (x x ) = (x ) (x ) + (x ) ( x) + (x ) ( ) + +(x) (x ) + (x) ( x) + (x) ( ) + +( 1) (x ) + ( 1) ( x) + ( 1) ( ) = = 6x x 9x + x x 6x x + x + = = 6x + x 1x 5x + División de polinomios Para dividir dous polinomios, procédese do seguinte xeito: 1º. Divídese o termo de maior grao do dividendo entre o termo de maior grao do divisor e obtemos o primeiro termo do cociente. º. Multiplícase o primeiro termo do cociente polo divisor e réstaselle ao dividendo. Deste xeito o termo de maior grao do dividendo desaparece e obtemos o primeiro resto da división. º. Se o grao do primeiro resto da división non é menor ca o grao do divisor divídese o termo de maior grao do primeiro resto entre o termo de maior grao do divisor e obtemos o segundo termo do cociente. º. Multiplícase o segundo termo do cociente polo divisor e réstaselle ao primeiro resto. Deste xeito o termo de maior grao do primeiro resto desaparece e obtemos o segundo resto da división. 5º. Reitérase este procedemento ata obter un resto con grao menor ca o grao do divisor, momento no que remata a división. Páxina 7 de 60

28 Actividade resolta Dados os polinomios P(x) = x 5 x + x + x 1 e Q(x) = x x +, calcule o cociente e o resto da división P(x): Q(x) x 5 x + x + x 1 x 5 + 6x 9x x x + x + 6x x 19 6x 1x + x + x 1 6x + 1x 18x x 17x + x 1 x x + x 19x + 5x x 8x + 57 x + 56 Polo tanto, o cociente é x + 6x x 19 e o resto é x + 56 Actividades propostas S19. Calcule (x + 5x + 6x 9) + (x 5x 7x + 5). S0. Dados os polinomios P(x) = 5x 7x + 5x 1, Q(x) = x x + x + 6 e R(x) = x 5x 6x + x +, calcule: P(x) R(x) P(x) Q(x) P(x) R(x) Q(x) R(x) S1. Calcule: (x x ) (x + x ) (x 5) (x ) (x x) S. Calcule o cociente e o resto das seguintes divisións: (6x 11x x 5): (x 5x + ) (x 5 0x): (x + ) (x 5x + ): (x ) (x x + 15x ): (x 1) Páxina 8 de 60

29 .. Potencia dun polinomio Se n representa un número natural calquera, a potencia P(x) n, sendo P(x) un polinomio, calcúlase multiplicando n veces o polinomio P(x) por el mesmo. Actividade resolta Calcule (x + x + ) (x + x + ) = (x + x + ) (x + x + ) = x + x + x + x + x + 6x + x + 6x + 9 = x + x + 10x + 1x + 9 Potencia dun binomio Un binomio é un polinomio que tan só ten dous coeficientes distintos de cero, é dicir, un binomio é un polinomio formado por dous monomios. O triángulo de Pascal é un triángulo infinito de números onde cada número do triángulo se obtén como suma dos números que ten por enriba del. O triángulo de Pascal é: Decátase de que cada un dos números é a suma dos que ten enriba? O triángulo de Pascal é moi útil para calcular a potencia dun binomio sen ter que multiplicar o binomio por el mesmo tantas veces como indica o expoñente. Así, para calcular (a + b) n temos que facer o seguinte: 1º. Esta expresión vai ter n+1 sumandos. º. Cada sumando está composto por tres elementos: un número, unha potencia de a (o primeiro monomio) e unha potencia de b (o segundo monomio). Páxina 9 de 60

30 Actividade resolta Calcule (a + b) 5 Imos ao triángulo de Pascal. Como o expoñente é 5, colleremos os números da fila que ten un 5 en segundo lugar. Eses números son: Collemos tamén as potencias do primeiro sumando do binomio en orde decrecente. É dicir: a 5 a a a a 1 a 0 Collemos tamén as potencias do primeiro sumando do binomio en orde crecente. É dicir: b 0 b 1 b b b b 5 E agora xuntamos, na orde na que están, un elemento de cada fila e así obtemos o resultado. É dicir: (a + b) n = 1a 5 b 0 + 5a b a b + 10a b + 5a 1 b + 1a 0 b 5 E agora facemos as contas: (a + b) n = a 5 + 5a b + 10a b + 10a b + 5ab + b 5 Procédese deste xeito con todas as potencias dos binomios. Esta expresión recibe o nome de binomio de Newton. Actividades resoltas Calcule as seguintes potencias (x + ) = 1x 0 + x 1 + 6x + x 1 + 1x 0 = x + 8x + x + x + 16 (x ) = x + ( ) = 1x ( ) 0 + x ( ) 1 + 6x ( ) + x 1 ( ) + 1x 0 ( ) = = x + x ( ) + 6x (+) + x( 8) + 16 = x 8x + x x = = = + Actividades propostas S. Calcule: (1 + x) (1 + x) 5 (1 x) Páxina 0 de 60

31 ..5 Igualdades notables Chamamos igualdades notables ou produtos notables a certos produtos de binomios que debemos coñecer, pois abrevian os cálculos con expresións alxébricas. Son as seguintes: Cadrado dunha suma: O cadrado dunha suma de dous sumandos é igual ao cadrado do primeiro sumando, máis o dobre do primeiro polo segundo, máis o cadrado do segundo sumando. (a + b) = a + + b Cadrado dunha diferenza: O cadrado dunha diferenza é igual ao cadrado do primeiro, menos o dobre do primeiro polo segundo, máis o cadrado do segundo. (a b) = a aa + b Suma por diferenza: Unha suma de monomios multiplicada pola súa diferenza é igual á diferenza dos seus cadrados. Xa o temos utilizado cando racionalizamos (apartado..). (a + b) (a b) = a b Actividades resoltas Calcule: (x + 1) = ( x) + x 1 + (1) = 9x + 6x + 1 (a b) = ( a) a b + (b) = a aa + b ( 5x) ( + 5x) = (5x) = 16 5x Actividades propostas S. Calcule: (a + b) (x y) (x + 6) (x 6) Páxina 1 de 60

32 . Ecuacións de segundo grao cunha incógnita..1 Resolución da ecuación de segundo grao ax + bx + c = 0 Unha ecuación é de segundo grao se, despois de reducila, cumpre estas condicións: Algún dos seus termos é un monomio de segundo grao. Non contén termos de grao superior a dous. Toda ecuación de segundo grao cunha incógnita pódese expresar da seguinte forma xeral: ax + bb + c = 0 onde a, b e c son números reais coñecidos (coeficientes) con a 0. Unha ecuación de segundo grao pode ter dúas solucións distintas, unha solución dobre ou non ter solución. Actividade resolta Indique os valores dos coeficientes das seguintes ecuacións de segundo grao: Ecuación 5x = 5 Forma xeral 5x + 0x 5 = 0 Coeficientes a = 5, b = 0, c = 5 Ecuación (x ) (x ) = 0 Forma xeral x 5x + 6 = 0 Coeficientes a = 1, b = 5, c = 6 Unha ecuación de segundo grao completa é aquela que ten todos os coeficientes distintos de cero. Se algún dos coeficientes vale cero (lembre que sempre o coeficiente de segundo grao a é distinto de cero), a ecuación chámase incompleta. As solucións da ecuación de segundo grao veñen dadas pola expresión (que non deducimos): x = b ± b aa a O dobre signo ± diante da raíz cadrada quere dicir que en xeral hai dúas solucións: x 1 = b+ b aa a e x = b b aa a Esta expresión serve para resolver todas as ecuacións de segundo grao, tanto as completas como as incompletas. As incompletas tamén teñen outros métodos de resolución que veremos posteriormente. Páxina de 60

33 Actividade resolta Resolva a ecuación de segundo grao: x 6x + 8 = 0 a = 1, b = 6, c = 8, polo tanto: 6 + x = ( 6) ± ( 6) ± 6 = = 6 ± = 6 ± = = 1 6 = E as solucións son x 1 = e x =. Podemos comprobar que os valores obtidos son solucións da ecuación de partida, substituíndo na ecuación x por e por e vendo que ao facer as contas obtemos como resultado cero. Substituímos x por na expresión x 6x + 8 e obtemos = = 0. Substituímos x por na expresión x 6x + 8 e obtemos = = 0. En ambos os casos obtemos como resultado cero, polo que ambos os números son solucións da ecuación dada. Actividades propostas S5. Resolva as seguintes ecuacións de segundo grao completas: x 5x + 6 = 0 x 1x + 10 = 0 x + x = 0 x + 9x 10 = 0.. Número de solucións dunha ecuación de segundo grao Unha ecuación de segundo grao pode ter dúas solucións, unha ou ningunha; iso depende do valor do discriminante da ecuación. O discriminante dunha ecuación de segundo grao represéntase por e é igual á expresión b aa que é o radicando da raíz cadrada da fórmula que nos dá a solución das ecuacións de segundo grao. É dicir, o discriminante é: = b aa Se o discriminante é positivo, > 0, a ecuación ten dúas solucións distintas. Se o discriminante vale cero, = 0, a ecuación ten unha solución (ou dúas de igual valor, que vén sendo o mesmo). Se o discriminante é negativo, < 0 a ecuación non ten solución pois a raíz cadrada da fórmula da solución non se pode calcular. Páxina de 60

34 Actividade resolta Indique, sen resolvelas, o número de solucións que ten cada unha das seguintes ecuacións de segundo grao x + x + 10 = 0. Como = b aa = 1 10 = 9 0 = 1 < 0, a ecuación non ten solución. x + 1x + 18 = 0. Como = b aa = 1 18 = 1 1 = 0, a ecuación ten unha única solución. x + x 6 = 0. Como = b aa = ( 6) = 9 + = 1 > 0, a ecuación ten dúas solucións distintas. Actividades propostas S6. Determine, coa axuda do discriminante, cantas solucións ten cada ecuación: x 6x + = 0 x + x = 0 x + x + = 0 x x = 0.. Ecuacións de segundo grao incompletas Son as ecuacións nas que os coeficientes b ou c valen 0. Ecuacións de tipo ax + c = 0 É o caso no que b = 0. O método máis sinxelo de resolución é despexar a incógnita x: ax + c = 0 ax = c x = c a x = ± c a Se o valor de c é positivo, existirá a raíz e, xa que logo, a ecuación terá dúas a solucións; pero se o valor de c é negativo, a raíz non existe e a ecuación non terá a ningunha solución real. Actividades resoltas Resolva as seguintes ecuacións de segundo grao: x = 0 x = x = = 16 x = ± 16 x = ±. Así, as solucións son e. x + 1 = 0 x = 1 x = ± 1 que non existe, polo que a ecuación non ten solución. Páxina de 60

35 Ecuacións de tipo ax + bx = 0 É o caso no que c = 0. O máis sinxelo é sacar factor común x: ax + bb = 0 x (aa + b) = 0 Temos a multiplicación de dous factores, x e aa + b, e o resultado é cero. A única forma de que, multiplicando dous factores, o resultado sexa cero é que un deles, ou os dous, sexan cero: x = 0 x (aa + b) = 0 aa + b = 0 aa = b x = b a e vemos que este tipo de ecuacións incompletas ten dúas solucións x = 0 e x = b a. Actividade resolta Resolva a seguinte ecuación de segundo grao: 5x 15x = 0 x (5x 15) = 0 x = 0 Así, as solucións son 0 e 5. 5x 15 = 0 5x = 15 x = 5 Actividades propostas S7. Resolva as ecuacións incompletas seguintes: x 7 = 0 x + 50x = 0 1x + 5x = 0 x + x = 0 x + 15 = 0 1 x 5 = 0 x 9 = 0.. Resolución de problemas utilizando ecuacións de segundo grao Neste apartado veremos como resolver problemas mediante ecuacións de segundo grao. A principal dificultade para facer isto atopámola á hora de traducir a linguaxe habitual á linguaxe matemática e chegar a unha ecuación de segundo grao. Non é doado e cada problema é diferente. Para mostrar como se fai poñeremos varios exemplos. Páxina 5 de 60

36 O produto dun número natural e o seu seguinte é 7. Cal é ese número? Solución: sexa x o número buscado. Daquela a ecuación que nos propón este problema é x (x + 1) = 7. Facendo as operacións temos: Resolvendo: x = 1 ± 1 1 ( 7) 1 x (x + 1) = 7 x + x 7 = 0 = 1 ± = 1 ± 1089 = 1 ± 1 + = 16 = 1 = 17 O número natural buscado é 16. A solución x = 17 é dun número enteiro. Nun cadrado a área é igual ao dobre do perímetro. Canto mide o lado do cadrado? Solución: sexa x a lonxitude do lado do cadrado. Área do cadrado = x ; perímetro do cadrado = x + x + x + x = x Condición do problema: área = perímetro x = x x = 8x x 8x = 0 Resolvamos a ecuación: x 8x = 0 x (x 8) = 0 x = 0 x 8 = 0 x = 8 O lado do cadrado mide 8 unidades. Un almacén mercou un lote de caixas e pagou por todas elas 00 euros. Cos mesmos cartos podería comprar dez caixas máis se cada unha custase 5 euros menos. Cantas caixas mercou? Solución: sexa x o número de caixas. O prezo de cada caixa é 00 x. Condición do problema: 00 = (x + 10) 00 x 5 Páxina 6 de 60

37 Facendo as operacións: 00 = x 00 x 5x x = 000 5x 50 = x = 00 5x x 000 5x 50x = 000 5x x 5x + 50x 000 = 0 x + 10x 600 = 0 Resolvendo a ecuación de segundo grao: x = 10 ± 10 1 ( 600) 10 ± = == = 0 = = 0 10 ± 500 = 10 ± 50 Comprou 0 caixas a 00 = 00 = 15 cada unha. x 0 Actividades propostas S8. Reparta o número 10 en dous sumandos de xeito que a suma dos seus cadrados sexa 50. S9. Se ao triplo dun número se lle suma o seu cadrado, obtense 88. Cal é o número? S0. Ache a idade dunha persoa sabendo que, se ao seu cadrado se lle resta o triplo da idade, resulta nove veces esta. S1. Un rectángulo ten m de perímetro e 5 m de área. Ache as dimensións do rectángulo. S. Determine o perímetro dun triángulo rectángulo isóscele cuxa área é 1 m. S. Un campo de fútbol mide 0 m máis de longo que de largo; a súa área é de m. Canto miden os lados do campo? S. Dous números diferéncianse en sete unidades e o seu produto é 60. Cales son eses números? Páxina 7 de 60

38 .5 Sistemas lineais de dúas ecuacións con dúas incógnitas Que son os sistemas de ecuacións lineais? Unha ecuación lineal é unha ecuación de grao un respecto de todas as incógnitas e, entre elas, non hai produtos nin divisións. Así, x + y 8 = 0 é unha ecuación lineal. x y 5 = 0 non é unha ecuación lineal. xx + 8y = 8 tampouco é unha ecuación lineal. Un sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas ten como forma xeral: aa + bb = c a x + b y = c onde x e y son as incógnitas, e a, b, c, a', b' e c' son os coeficientes e termos independentes (números normalmente). Resolver un sistema de ecuacións lineais consiste en atopar os valores das incógnitas que fan certas as dúas ecuacións simultaneamente. Por exemplo x = 1 e y = é x + y = unha solución do sistema pois ao substituír as incógnitas por estes x y = 1 valores, as dúas igualdades son certas 1 + = 1 = 1. A maioría das veces os sistemas de ecuacións teñen unha única solución (un valor para cada incógnita), pero pode ocorrer tamén que o sistema non teña ningunha solución ou que teña infinitas..5.1 Métodos de resolución de sistemas de ecuacións lineais Hai catro métodos (ou técnicas) de resolución dun sistema: substitución, igualación, redución e representación gráfica. Método de substitución Consiste en despexar unha incógnita nunha ecuación e substituír o seu valor na outra ecuación. Páxina 8 de 60

39 Actividade resolta Resolva polo método de substitución o seguinte sistema de ecuacións x + y = x y = 5 A incógnita máis doada de despexar é y na primeira ecuación e obtemos que y = x. Agora substituímos na segunda ecuación e temos que: x ( x) = 5 x x = 5 11x = 11 x = = 1 Agora substituímos na expresión y = x o valor de x obtido e temos que y = 1 = Así, a solución do sistema é x = 1, y =. Método de igualación Consiste en despexar a mesma incógnita nas dúas ecuacións e igualar as expresións obtidas. Actividade resolta Resolva polo método de igualación o seguinte sistema de ecuacións x + y = x y = 5 x + y = y = x x y = 5 y = x + 5 Agora igualamos estas dúas expresións: x = x + 5 Agora eliminamos denominadores e resolvemos a ecuación: x = x + 5 ( x) = x x = x x = 11 x = = 1 Agora substituímos en calquera das dúas expresión obtidas ao principio, por exemplo a primeira, o valor de x obtido e temos que y = 1 = Así, a solución do sistema é x = 1, y =. Método de redución Consiste en multiplicar cada ecuación por un número (habitualmente distinto para cada ecuación) de xeito que os coeficientes dunha das incógnitas teñan valores opostos nas dúas ecuacións. Posteriormente, súmanse as ecuacións e resolvemos o sistema. Páxina 9 de 60

40 Actividade resolta Resolva polo método de redución o seguinte sistema de ecuacións: x + y = x y = 5 En primeiro lugar debemos decidir cal é a incógnita que queremos eliminar. Neste caso imos eliminar a incógnita x. Para facelo temos que ter como coeficientes da x números opostos. Para iso multiplicamos a primeira ecuación por e a segunda por e obtemos: 6x + y = 1 6x + 8y = 10 Agora sumamos as ecuacións e obtemos: 11y = y = =. 11 Agora substituímos en calquera das ecuacións orixinais do sistema e calculamos x: Así, a solución do sistema é x = 1, y =. x + = x = x = = 1 Resolución gráfica dun sistema de ecuacións. Interpretación da solución Os métodos de substitución, igualación e redución son métodos alxébricos e son os que usamos habitualmente. Pero hai un cuarto xeito para resolver un sistema de ecuacións lineais (ás veces menos preciso): o método gráfico. Se en cada ecuación do sistema despexamos y obteremos dúas funcións lineais. A representación gráfica desas funcións son dúas liñas rectas que se cortarán nun punto. As coordenadas deste punto son os valores de x e y da solución do sistema, xa que nese punto os valores de x e y satisfán simultaneamente as dúas ecuacións. Actividade resolta Resolva polo método gráfico o seguinte sistema de ecuacións x + y = x y = 5 En primeiro lugar despexamos y nas dúas ecuacións e obtemos: y = x e y = x+5 Agora facemos as táboas de valores x, y para as dúas funcións lineais obtidas e representámolas: y = x y = x + 5 x y x y O punto de corte das rectas é o (1,), así, a solución do sistema é x = 1, y =. Páxina 0 de 60

41 Actividades propostas S5. Resolva os sistemas de ecuacións seguintes polos tres métodos indicados: substitución, igualación e redución. x + y = 5 x y = 1 x y = 7 x + y = 7 1 x + 1 y = 6 x y = x y = 10 x + 7y = 0 S6. Calcule graficamente a solución dos sistemas: x + y + 1 = 0 x y = x y = x y = 1.5. Resolución de problemas mediante sistemas de ecuacións Actividades resoltas Actividade 1. Un coche está na posición inicial s o = 00 m e móvese a 0 m/s. Un motorista está inicialmente na posición 10 m e persegue o coche cunha velocidade de 5 m/s. Onde e cando o alcanza? Datos do coche (A): so = 00, va = 0. Datos da moto (B): so = 10, vb = 5. Aplicamos a ecuación da posición do movemento uniforme (s = so + v.t) aos dous móbiles: sa = t sb = t No momento do alcance, os dous móbiles están na mesma posición, polo tanto a condición será sa = sb. Reunindo todas as ecuacións, temos tres incógnitas (sa, sb, t) e tres ecuacións: isto é, un sistema de ecuacións lineais. s a = t s b = t s a = s b Despexamos s a na terceira ecuación (de feito xa está despexada) e substituímos o seu valor nas outras dúas ecuacións: s b = t s b = t Igualamos ambas as ecuacións:: t = t 5t = 90 x = 90 5 = 58 segundos Para o cálculo do espazo: s b = t s b = = 160 metros. Páxina 1 de 60

42 Actividade : Nun exame hai dez preguntas. Por cada unha ben contestada danme dous puntos e por cada pregunta mal contestada quítanme un punto. No exame obtiven un 8. Cantas preguntas fallei? Preguntas acertadas = x; preguntas falladas = y. As condicións do problema resúmense nas ecuacións seguintes: x + y = 10 (preguntas) x y = 8 (puntos) Resolvendo o sistema, a solución é: x = 6, y =. Fallei catro preguntas. Actividade : Calcule dous números sabendo que se diferencian en 1 unidades e que a súa media aritmética é 5. Sexan x e y os números que nos piden. As condicións do problema son: Diferenza en 1 unidades: x y = 1 Media aritmética: x+y = 5 A solución do sistema é x =, y = 18 Actividade : A idade de Antía é o dobre que a de Xiana. Se Antía tivese 1 anos menos e Xiana 8 anos máis, as dúas terían a mesma idade. Cantos anos ten cada unha? Idade de Antía = x; idade de Xiana = y Condicións do problema: Idade dobre: x = y Outra condición: x 1 = y + 8 A solución do sistema é x = 0 anos, y = 0 anos Actividades propostas S7. Ache dous números que sumen 8 e cuxo cociente sexa 6. S8. Nun curral con galiñas e coellos; hai 50 cabezas e 1 patas. Cantos coellos e cantas galiñas hai? S9. Temos dous tipos de pensos, un de 0,50 euros o quilogramo e outro de 0,80 euros o quilogramo. Que cantidade de cada tipo debemos mesturar para termos 100 kg de penso a 0,70 euros cada quilogramo? S0. Unha persoa percorre km, parte en coche e parte en bicicleta. No coche vai a 90 km/h e na bicicleta a 0 km/h. Tardou 15 horas en completar a viaxe. Cantos quilómetros fixo en bicicleta? S1. Un hotel ten cuartos dobres e individuais, en total son 10 cuartos. O número de camas é 195. Cantos dos cuartos son dobres? S. Nunha festa, se cada invitado come cinco pasteis, daquela sobran tres, e se come seis, falta un. Cantos invitados e cantos pasteis hai na festa? Páxina de 60

Ámbito científico tecnolóxico. Ecuacións de segundo grao e sistemas de ecuacións. Módulo 3 Unidade didáctica 8

Ámbito científico tecnolóxico. Ecuacións de segundo grao e sistemas de ecuacións. Módulo 3 Unidade didáctica 8 Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Módulo 3 Unidade didáctica 8 Ecuacións de segundo grao e sistemas de ecuacións Páxina 1 de 45 Índice 1. Programación da unidade...3

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS. 3. Cal é o vector de posición da orixe de coordenadas O? Cales son as coordenadas do punto O?

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS. 3. Cal é o vector de posición da orixe de coordenadas O? Cales son as coordenadas do punto O? EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS Representa en R os puntos S(2, 2, 2) e T(,, ) 2 Debuxa os puntos M (, 0, 0), M 2 (0,, 0) e M (0, 0, ) e logo traza o vector OM sendo M(,, ) Cal é o vector de

Διαβάστε περισσότερα

Expresións alxébricas

Expresións alxébricas 5 Expresións alxébricas Obxectivos Crear expresións alxébricas a partir dun enunciado. Atopar o valor numérico dunha expresión alxébrica. Clasificar unha expresión alxébrica como monomio, binomio,... polinomio.

Διαβάστε περισσότερα

Sistemas e Inecuacións

Sistemas e Inecuacións Sistemas e Inecuacións 1. Introdución 2. Sistemas lineais 2.1 Resolución gráfica 2.2 Resolución alxébrica 3. Método de Gauss 4. Sistemas de ecuacións non lineais 5. Inecuacións 5.1 Inecuacións de 1º e

Διαβάστε περισσότερα

Tema 3. Espazos métricos. Topoloxía Xeral,

Tema 3. Espazos métricos. Topoloxía Xeral, Tema 3. Espazos métricos Topoloxía Xeral, 2017-18 Índice Métricas en R n Métricas no espazo de funcións Bólas e relacións métricas Definición Unha métrica nun conxunto M é unha aplicación d con valores

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

Polinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Polinomios... páx. 4 Grao. Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio

Polinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Polinomios... páx. 4 Grao. Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio 3 Polinomios Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Achar a expresión en coeficientes dun polinomio e operar con eles. Calcular o valor numérico dun polinomio. Recoñecer algunhas identidades notables,

Διαβάστε περισσότερα

CADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Os números reais

CADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Os números reais CADERNO Nº NOME: DATA: / / Os números reais Contidos. Os números reais Números irracionais Números reais Aproximacións Representación gráfica Valor absoluto Intervalos. Radicais Forma exponencial Radicais

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS

EXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS EXERCICIOS DE REFORZO RECTAS E PLANOS Dada a recta r z a) Determna a ecuacón mplícta do plano π que pasa polo punto P(,, ) e é perpendcular a r Calcula o punto de nterseccón de r a π b) Calcula o punto

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE ÁLXEBRA. PAU GALICIA

EXERCICIOS DE ÁLXEBRA. PAU GALICIA Maemáicas II EXERCICIOS DE ÁLXEBRA PAU GALICIA a) (Xuño ) Propiedades do produo de marices (só enuncialas) b) (Xuño ) Sexan M e N M + I, onde I denoa a mariz idenidade de orde n, calcule N e M 3 Son M

Διαβάστε περισσότερα

CADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Polinomios. Manexar as expresións alxébricas e calcular o seu valor numérico.

CADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Polinomios. Manexar as expresións alxébricas e calcular o seu valor numérico. Polinomios Contidos 1. Monomios e polinomios Expresións alxébricas Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio 2. Operacións Suma e diferenza Produto Factor común 3. Identidades notables Suma

Διαβάστε περισσότερα

Tema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016

Tema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016 Tema 1. Espazos topolóxicos Topoloxía Xeral, 2016 Topoloxía e Espazo topolóxico Índice Topoloxía e Espazo topolóxico Exemplos de topoloxías Conxuntos pechados Topoloxías definidas por conxuntos pechados:

Διαβάστε περισσότερα

Expresións alxébricas

Expresións alxébricas Expresións alxébricas Contidos 1. Expresións alxébricas Que son? Como as obtemos? Valor numérico 2. Monomios Que son? Sumar e restar Multiplicar 3. Polinomios Que son? Sumar e restar Multiplicar por un

Διαβάστε περισσότερα

NÚMEROS COMPLEXOS. Páxina 147 REFLEXIONA E RESOLVE. Extraer fóra da raíz. Potencias de. Como se manexa k 1? Saca fóra da raíz:

NÚMEROS COMPLEXOS. Páxina 147 REFLEXIONA E RESOLVE. Extraer fóra da raíz. Potencias de. Como se manexa k 1? Saca fóra da raíz: NÚMEROS COMPLEXOS Páxina 7 REFLEXIONA E RESOLVE Extraer fóra da raíz Saca fóra da raíz: a) b) 00 a) b) 00 0 Potencias de Calcula as sucesivas potencias de : a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) 5 a) ( ) ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

NÚMEROS REAIS. Páxina 27 REFLEXIONA E RESOLVE. O paso de Z a Q. O paso de Q a Á

NÚMEROS REAIS. Páxina 27 REFLEXIONA E RESOLVE. O paso de Z a Q. O paso de Q a Á NÚMEROS REAIS Páxina 7 REFLEXIONA E RESOLVE O paso de Z a Q Di cales das seguintes ecuacións se poden resolver en Z e para cales é necesario o conxunto dos números racionais, Q. a) x 0 b) 7x c) x + d)

Διαβάστε περισσότερα

ln x, d) y = (3x 5 5x 2 + 7) 8 x

ln x, d) y = (3x 5 5x 2 + 7) 8 x EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: CÁLCULO DIFERENCIAL. Deriva: a) y 7 6 + 5, b) y e, c) y e) y 7 ( 5 ), f) y ln, d) y ( 5 5 + 7) 8 n e ln, g) y, h) y n. Usando a derivada da función inversa, demostra que: a)

Διαβάστε περισσότερα

XEOMETRÍA NO ESPAZO. - Se dun vector se coñecen a orixe, o módulo, a dirección e o sentido, este está perfectamente determinado no espazo.

XEOMETRÍA NO ESPAZO. - Se dun vector se coñecen a orixe, o módulo, a dirección e o sentido, este está perfectamente determinado no espazo. XEOMETRÍA NO ESPAZO Vectores fixos Dos puntos do espazo, A e B, determinan o vector fixo AB, sendo o punto A a orixe e o punto B o extremo, é dicir, un vector no espazo é calquera segmento orientado que

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) 21 MATEMÁTICAS (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 Dada a matriz a) Calcula os valores do parámetro m para os que A ten inversa.

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 010 MATEMÁTICAS II Código: 6 (O alumno/a deber responder só aos eercicios dunha das opcións. Punuación máima dos eercicios de cada opción: eercicio 1= 3 punos, eercicio = 3 punos, eercicio 3 =

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II PAU Código: 6 XUÑO 01 MATEMÁTICAS II (Responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio = 3 puntos, exercicio 3= puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

PÁGINA 106 PÁGINA a) sen 30 = 1/2 b) cos 120 = 1/2. c) tg 135 = 1 d) cos 45 = PÁGINA 109

PÁGINA 106 PÁGINA a) sen 30 = 1/2 b) cos 120 = 1/2. c) tg 135 = 1 d) cos 45 = PÁGINA 109 PÁGINA 0. La altura del árbol es de 8,5 cm.. BC m. CA 70 m. a) x b) y PÁGINA 0. tg a 0, Con calculadora: sß 0,9 t{ ««}. cos a 0, Con calculadora: st,8 { \ \ } PÁGINA 05. cos a 0,78 tg a 0,79. sen a 0,5

Διαβάστε περισσότερα

Números reais. Obxectivos. Antes de empezar.

Números reais. Obxectivos. Antes de empezar. 1 Números reais Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Clasificar os números reais en racionais e irracionais. Aproximar números con decimais ata unha orde dada. Calcular a cota de erro dunha aproximación.

Διαβάστε περισσότερα

ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS

ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS Índice 1. Ecuacións de primeiro e segundo grao... 1 1.1. Ecuacións de primeiro grao... 1 1.. Ecuacións de segundo grao.... Outras ecuacións alébricas... 5.1. Ecuacións

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS. PRIMEIRA PARTE (Parte Común) ), cadradas de orde tres, tales que a 21

MATEMÁTICAS. PRIMEIRA PARTE (Parte Común) ), cadradas de orde tres, tales que a 21 PRIMEIRA PARTE (Parte Común) (Nesta primeira parte tódolos alumnos deben responder a tres preguntas. Unha soa pregunta de cada un dos tres bloques temáticos: Álxebra Lineal, Xeometría e Análise. A puntuación

Διαβάστε περισσότερα

Inecuacións. Obxectivos

Inecuacións. Obxectivos 5 Inecuacións Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Resolver inecuacións de primeiro e segundo grao cunha incógnita. Resolver sistemas de ecuacións cunha incógnita. Resolver de forma gráfica inecuacións

Διαβάστε περισσότερα

Obxectivos. polinomios. Valor. por diferenza. Factor común. ao cadrado. Suma. Resumo. titor. numérico. seu grao. Polinomios. Sacar factor. común.

Obxectivos. polinomios. Valor. por diferenza. Factor común. ao cadrado. Suma. Resumo. titor. numérico. seu grao. Polinomios. Sacar factor. común. Polinomios Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Manexar as expresiónss alxébricas e calcular o seu valor numérico. Recoñecer os polinomios e o seu grao. Sumar, restar e multiplicar polinomios. Sacar

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

Tema: Enerxía 01/02/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA

Tema: Enerxía 01/02/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Tema: Enerxía 01/0/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Nome: 1. Unha caixa de 150 kg descende dende o repouso por un plano inclinado por acción do seu peso. Se a compoñente tanxencial do peso é de 735

Διαβάστε περισσότερα

Procedementos operatorios de unións non soldadas

Procedementos operatorios de unións non soldadas Procedementos operatorios de unións non soldadas Técnicas de montaxe de instalacións Ciclo medio de montaxe e mantemento de instalacións frigoríficas 1 de 28 Técnicas de roscado Unha rosca é unha hélice

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO. F = m a

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO. F = m a Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 1 ELECTOMAGNETISMO INTODUCIÓN MÉTODO 1. En xeral: Debúxanse as forzas que actúan sobre o sistema. Calcúlase a resultante polo principio de superposición. Aplícase a 2ª lei

Διαβάστε περισσότερα

A circunferencia e o círculo

A circunferencia e o círculo 10 A circunferencia e o círculo Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar os diferentes elementos presentes na circunferencia e o círculo. Coñecer as posicións relativas de puntos, rectas e circunferencias.

Διαβάστε περισσότερα

1_2.- Os números e as súas utilidades - Exercicios recomendados

1_2.- Os números e as súas utilidades - Exercicios recomendados 1_.- Os números e as súas utilidades - Exercicios recomendados 1. Ordena de menor a maior as seguintes fraccións: 1 6 3 5 7 4,,,,, 3 5 4 8 6 9. Efectúa as seguintes operacións e simplifica o resultado:

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 010 MATEMÁTICAS II Código: 6 (O alumno/a deber responder só aos eercicios dunha das opcións. Puntuación máima dos eercicios de cada opción: eercicio 1= 3 puntos, eercicio = 3 puntos, eercicio

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa TRIGONOMETRIA. Calcular las razones trigonométricas de 0º, º y 60º. Para calcular las razones trigonométricas de º, nos ayudamos de un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura. cateto opuesto

Διαβάστε περισσότερα

PROGRAMACIÓN CURSO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

PROGRAMACIÓN CURSO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PROGRAMACIÓN CURSO 2017-18 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS IES Ramón Menéndez Pidal Página 1 Táboa de contidos 1.-Identificación da programación... 3 2.-Lenda competencias... 5 3.-Concreción curricular...

Διαβάστε περισσότερα

IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes

IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes 1.- Distancia entre dous puntos Se A e B son dous puntos do espazo, defínese a distancia entre A e B como o módulo

Διαβάστε περισσότερα

Introdución á análise numérica. Erros no cálculo numérico

Introdución á análise numérica. Erros no cálculo numérico 1 Introdución á análise numérica. Erros no cálculo numérico Carmen Rodríguez Iglesias Departamento de Matemática Aplicada Facultade de Matemáticas Universidade de Santiago de Compostela, 2013 Esta obra

Διαβάστε περισσότερα

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 101 a 119

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 101 a 119 Página 0. a) b) π 4 π x 0 4 π π / 0 π / x 0º 0 x π π. 0 rad 0 π π rad 0 4 π 0 π rad 0 π 0 π / 4. rad 4º 4 π π 0 π / rad 0º π π 0 π / rad 0º π 4. De izquierda a derecha: 4 80 π rad π / rad 0 Página 0. tg

Διαβάστε περισσότερα

A proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta.

A proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Páxina 1 de 9 1. Formato da proba Formato proba constará de vinte cuestións tipo test. s cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Puntuación Puntuación: 0.5

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) 1 MATEMÁTICAS (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. Dada a matriz a) Calcula os valores do parámetro m para os

Διαβάστε περισσότερα

Problemas xeométricos

Problemas xeométricos Problemas xeométricos Contidos 1. Figuras planas Triángulos Paralelogramos Trapecios Trapezoides Polígonos regulares Círculos, sectores e segmentos 2. Corpos xeométricos Prismas Pirámides Troncos de pirámides

Διαβάστε περισσότερα

Áreas de corpos xeométricos

Áreas de corpos xeométricos 9 Áreas de corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Antes de empezar 1.Área dos prismas....... páx.164 Área dos prismas Calcular a área de prismas rectos de calquera número de caras.

Διαβάστε περισσότερα

Semellanza e trigonometría

Semellanza e trigonometría 7 Semellanza e trigonometría Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Recoñecer triángulos semellantes. Calcular distancias inaccesibles, aplicando a semellanza de triángulos. Nocións básicas de trigonometría.

Διαβάστε περισσότερα

Investigacións a partir da lectura do libro El diablo de los números

Investigacións a partir da lectura do libro El diablo de los números Investigacións a partir da lectura do libro El diablo de los números En que consiste o traballo que debes realizar?: Nas seguintes follas podes observar que para cada capítulo do libro de lectura se suxiren

Διαβάστε περισσότερα

Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 1 Unidade didáctica 2 Xeometría

Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 1 Unidade didáctica 2 Xeometría Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 1 Unidade didáctica Xeometría Índice 1. Introdución... 3 1.1 Descrición da unidade didáctica...

Διαβάστε περισσότερα

LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS

LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS Páxina REFLEXIONA E RESOLVE Cónicas abertas: parábolas e hipérboles Completa a seguinte táboa, na que a é o ángulo que forman as xeratrices co eixe, e, da cónica e b o ángulo

Διαβάστε περισσότερα

VII. RECTAS E PLANOS NO ESPAZO

VII. RECTAS E PLANOS NO ESPAZO VII. RETS E PLNOS NO ESPZO.- Ecuacións da recta Unha recta r no espao queda determinada por un punto, punto base, e un vector v non nulo que se chama vector director ou direccional da recta; r, v é a determinación

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS INTRODUCIÓN MÉTODO 1. En xeral: a) Debúxanse as forzas que actúan sobre o sistema. b) Calcúlase cada forza. c) Calcúlase a resultante polo principio

Διαβάστε περισσότερα

INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS

INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS Páina 0 REFLEXIONA E RESOLVE Coller un autobús en marca Na gráfica seguinte, a liña vermella representa o movemento dun autobús que arranca da parada e vai,

Διαβάστε περισσότερα

Exame tipo. C. Problemas (Valoración: 5 puntos, 2,5 puntos cada problema)

Exame tipo. C. Problemas (Valoración: 5 puntos, 2,5 puntos cada problema) Exame tipo A. Proba obxectiva (Valoración: 3 puntos) 1. - Un disco de 10 cm de raio xira cunha velocidade angular de 45 revolucións por minuto. A velocidade lineal dos puntos da periferia do disco será:

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICASDE 1º DE ESO

MATEMÁTICASDE 1º DE ESO MATEMÁTICASDE 1º DE ESO NÚMEROS NATURAIS Repaso dos números naturais. Funcións de conteo. Ordenación dos elementos dun conxunto. Función dos números naturais para estimar e aproximar medidas O Sistema

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. 2. Dada a ecuación lineal 2x 3y + 4z = 2, comproba que as ternas (3, 2, 2

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. 2. Dada a ecuación lineal 2x 3y + 4z = 2, comproba que as ternas (3, 2, 2 EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS Dds s ecucións seguintes indic s que son lineis: ) + + b) + u c) + d) + Dd ecución linel + comprob que s terns ( ) e ( ) son lgunhs ds sús solucións

Διαβάστε περισσότερα

Volume dos corpos xeométricos

Volume dos corpos xeométricos 11 Volume dos corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Comprender o concepto de medida do volume e coñecer e manexar as unidades de medida do S.M.D. Obter e aplicar expresións para o

Διαβάστε περισσότερα

1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos

1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos V. PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos 1 Experimento aleatorio. Concepto e exemplos Experimentos aleatorios son aqueles que ao repetilos nas mesmas condicións

Διαβάστε περισσότερα

1. O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES 1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE

1. O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES 1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE MATEMÁTICA II 06 Exames e Textos de Matemática de Pepe Sacau ten unha licenza Creative Commons Atribución Compartir igual 40 Internacional

Διαβάστε περισσότερα

1. Formato da proba [CM.PM.001.Z]

1. Formato da proba [CM.PM.001.Z] [CM.PM.00.Z]. Formato da proba Formato! A proba consta de vinte cuestións tipo test.! As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas das que soamente unha é correcta. Puntuación! Puntuación: 0,50

Διαβάστε περισσότερα

Exercicios de Física 02a. Campo Eléctrico

Exercicios de Física 02a. Campo Eléctrico Exercicios de Física 02a. Campo Eléctrico Problemas 1. Dúas cargas eléctricas de 3 mc están situadas en A(4,0) e B( 4,0) (en metros). Caalcula: a) o campo eléctrico en C(0,5) e en D(0,0) b) o potencial

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS PROBLEMAS M.H.S.. 1. Dun resorte elástico de constante k = 500 N m -1 colga unha masa puntual de 5 kg. Estando o conxunto en equilibrio, desprázase

Διαβάστε περισσότερα

IES Castelao O Calvario - VIGO. Departamento de MATEMÁTICAS

IES Castelao O Calvario - VIGO. Departamento de MATEMÁTICAS IES Castelao O Calvario - VIGO Departamento de MATEMÁTICAS INFORMACIÓN BÁSICA DA PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA 014 015 ÍNDICE I.- EDUCACIÓN SECUNDARIA OBRIGATORIA I.1 EDUCACIÓN SECUNDARIA OBRIGATORIA. PRIMEIRO

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2016 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2016 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 06 Código: 6 MATEMÁTICAS II (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio = 3 puntos, exercicio = 3 puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

XUÑO 2018 MATEMÁTICAS II

XUÑO 2018 MATEMÁTICAS II Proba de Avaliación do Bacharelato para o Acceso áuniversidade XUÑO 218 Código: 2 MATEMÁTICAS II (Responde só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio

Διαβάστε περισσότερα

ESTRUTURA ATÓMICA E CLASIFICACIÓN PERIÓDICA DOS ELEMENTOS

ESTRUTURA ATÓMICA E CLASIFICACIÓN PERIÓDICA DOS ELEMENTOS Química P.A.U. ESTRUTURA ATÓMICA E CLASIFICACIÓN PERIÓDICA DOS ELEMENTOS ESTRUTURA ATÓMICA E CLASIFICACIÓN PERIÓDICA DOS ELEMENTOS CUESTIÓNS NÚMEROS CUÁNTICOS. a) Indique o significado dos números cuánticos

Διαβάστε περισσότερα

Investigacións a partir da lectura do libro Los Diez Magníficos

Investigacións a partir da lectura do libro Los Diez Magníficos Investigacións a partir da lectura do libro Los Diez Magníficos En que consiste o traballo que debes realizar?: Nas seguintes follas podes observar que, para cada capítulo do libro de lectura, se suxiren

Διαβάστε περισσότερα

Métodos Matemáticos en Física L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro APL)

Métodos Matemáticos en Física L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro APL) L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro Condiciones de contorno. Fuerzas externas aplicadas sobre una cuerda. condición que nos describe un extremo libre en una cuerda tensa. Ecuación

Διαβάστε περισσότερα

Funcións e gráficas. Obxectivos. 1.Funcións reais páx. 4 Concepto de función Gráfico dunha función Dominio e percorrido Funcións definidas a anacos

Funcións e gráficas. Obxectivos. 1.Funcións reais páx. 4 Concepto de función Gráfico dunha función Dominio e percorrido Funcións definidas a anacos 9 Funcións e gráficas Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Coñecer e interpretar as funcións e as distintas formas de presentalas. Recoñecer o dominio e o percorrido dunha función. Determinar se unha

Διαβάστε περισσότερα

Caderno de traballo. Proxecto EDA 2009 Descartes na aula. Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene

Caderno de traballo. Proxecto EDA 2009 Descartes na aula. Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene Nome: 4º ESO Nº Páx. 1 de 36 FIGURAS SEMELLANTES 1. CONCEPTO DE SEMELLANZA Intuitivamente: Dúas figuras son SEMELLANTES se teñen a mesma forma pero distinto

Διαβάστε περισσότερα

Funcións e gráficas. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Funcións páx. 4 Concepto Táboas e gráficas Dominio e percorrido

Funcións e gráficas. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Funcións páx. 4 Concepto Táboas e gráficas Dominio e percorrido 9 Funcións e gráficas Obxectivos Nesta quinceer na aprenderás a: Coñecer e interpretar as funcións e as distintas formas de presentalas. Recoñecer ou dominio e ou percorrido dunha función. Determinar se

Διαβάστε περισσότερα

Probas de acceso a ciclos formativos de grao medio CMPM001. Proba de. Código. Matemáticas. Parte matemática. Matemáticas.

Probas de acceso a ciclos formativos de grao medio CMPM001. Proba de. Código. Matemáticas. Parte matemática. Matemáticas. Probas de acceso a ciclos formativos de grao medio Proba de Matemáticas Código CMPM001 Páxina 1 de 9 Parte matemática. Matemáticas 1. Formato da proba Formato A proba consta de vinte cuestións tipo test.

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometría. Obxectivos. Antes de empezar.

Trigonometría. Obxectivos. Antes de empezar. 7 Trigonometría Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Calcular as razóns trigonométricas dun ángulo. Calcular todas as razóns trigonométricas dun ángulo a partir dunha delas. Resolver triángulos rectángulos

Διαβάστε περισσότερα

Ámbito científico tecnolóxico. Movementos e forzas. Unidade didáctica 5. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial

Ámbito científico tecnolóxico. Movementos e forzas. Unidade didáctica 5. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 3 Unidade didáctica 5 Movementos e forzas Índice 1. Introdución... 3 1.1 Descrición da

Διαβάστε περισσότερα

Corpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 4 Definición Elementos dun poliedro

Corpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 4 Definición Elementos dun poliedro 9 Corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar que é un poliedro. Determinar os elementos dun poliedro: Caras, arestas e vértices. Clasificar os poliedros. Especificar cando un

Διαβάστε περισσότερα

TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO

TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO 1. CORPOS XEOMÉTRICOS No noso entorno observamos continuamente obxectos de diversas formas: pelotas, botes, caixas, pirámides, etc. Todos estes obxectos son corpos xeométricos.

Διαβάστε περισσότερα

PAAU (LOXSE) XUÑO 2005 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CC. SOCIAIS

PAAU (LOXSE) XUÑO 2005 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CC. SOCIAIS PAAU (LOXSE) XUÑO 005 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CC. SOCIAIS Código: 61 O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. Puntuación máxima de cada un dos exercicios: Álxebra

Διαβάστε περισσότερα

Ano 2018 FÍSICA. SOL:a...máx. 1,00 Un son grave ten baixa frecuencia, polo que a súa lonxitude de onda é maior.

Ano 2018 FÍSICA. SOL:a...máx. 1,00 Un son grave ten baixa frecuencia, polo que a súa lonxitude de onda é maior. ABAU CONVOCAT ORIA DE SET EMBRO Ano 2018 CRIT ERIOS DE AVALI ACIÓN FÍSICA (Cód. 23) Elixir e desenvolver unha das dúas opcións. As solución numéricas non acompañadas de unidades ou con unidades incorrectas...

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS

EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. ) Clul os posiles vlores de,, pr que triz A verifique relión (A I), sendo I triz identidde de orde e triz nul de orde. ) Cl é soluión dun siste hooéneo

Διαβάστε περισσότερα

I.E.S. CADERNO Nº 6 NOME: DATA: / / Semellanza

I.E.S. CADERNO Nº 6 NOME: DATA: / / Semellanza Semellanza Contidos 1. Semellanza Figuras semellantes Teorema de Tales Triángulos semellantes 2. Triángulos rectángulos. Teoremas Teorema do cateto Teorema da altura Teorema de Pitágoras xeneralizado 3.

Διαβάστε περισσότερα

Ámbito científico tecnolóxico. Estatística. Unidade didáctica 4. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial

Ámbito científico tecnolóxico. Estatística. Unidade didáctica 4. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 3 Unidade didáctica 4 Estatística Índice 1.1 Descrición da unidade didáctica... 3 1.

Διαβάστε περισσότερα

Reflexión e refracción. Coeficientes de Fresnel

Reflexión e refracción. Coeficientes de Fresnel Tema 5 Reflexión e refracción Coeficientes de Fresnel 51 Introdución Cando a luz incide sobre a superficie de separación de dous medios transparentes de índice de refracción diferente, unha parte entra

Διαβάστε περισσότερα

Física e química 4º ESO. As forzas 01/12/09 Nome:

Física e química 4º ESO. As forzas 01/12/09 Nome: DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Problemas Física e química 4º ESO As forzas 01/12/09 Nome: [6 Ptos.] 1. Sobre un corpo actúan tres forzas: unha de intensidade 20 N cara o norte, outra de 40 N cara o nordeste

Διαβάστε περισσότερα

VIII. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Ángulos, perpendicularidade de rectas e planos

VIII. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Ángulos, perpendicularidade de rectas e planos VIII. ESPZO EULÍDEO TRIDIMENSIONL: Áglos perpediclaridade de rectas e plaos.- Áglo qe forma dúas rectas O áglo de dúas rectas qe se corta se defie como o meor dos áglos qe forma o plao qe determia. O áglo

Διαβάστε περισσότερα

Química P.A.U. EQUILIBRIO QUÍMICO 1 EQUILIBRIO QUÍMICO

Química P.A.U. EQUILIBRIO QUÍMICO 1 EQUILIBRIO QUÍMICO Química P.A.U. EQUILIBRIO QUÍMICO 1 EQUILIBRIO QUÍMICO PROBLEMAS FASE GAS 1. A 670 K, un recipiente de 2 dm 3 contén unha mestura gasosa en equilibrio de 0,003 moles de hidróxeno, 0,003 moles de iodo e

Διαβάστε περισσότερα

a) Ao ceibar o resorte describe un MHS, polo tanto correspóndelle unha ecuación para a elongación:

a) Ao ceibar o resorte describe un MHS, polo tanto correspóndelle unha ecuación para a elongación: VIBRACIÓNS E ONDAS PROBLEMAS 1. Un sistema cun resorte estirado 0,03 m sóltase en t=0 deixándoo oscilar libremente, co resultado dunha oscilación cada 0, s. Calcula: a) A velocidade do extremo libre ó

Διαβάστε περισσότερα

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::...

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::... Eletromagnetismo Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística Lista -.1 - Mostrar que a seguinte medida é invariante d 3 p p 0 onde: p 0 p + m (1)

Διαβάστε περισσότερα

VI. VECTORES NO ESPAZO

VI. VECTORES NO ESPAZO VI. VECTORES NO ESPAZO.- Vectores no espazo. Operacións Sexa E o espazo de pntos ordinario o intitio da xeometría elemental. Un segmento orientado AB con orixe no pnto A e extremo no pnto B recibe o nome

Διαβάστε περισσότερα

Resorte: estudio estático e dinámico.

Resorte: estudio estático e dinámico. ESTUDIO DO RESORTE (MÉTODOS ESTÁTICO E DINÁMICO ) 1 Resorte: estudio estático e dinámico. 1. INTRODUCCIÓN TEÓRICA. (No libro).. OBXECTIVOS. (No libro). 3. MATERIAL. (No libro). 4. PROCEDEMENTO. A. MÉTODO

Διαβάστε περισσότερα

Uso e transformación da enerxía

Uso e transformación da enerxía Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 4 Unidade didáctica 5 Uso e transformación da enerxía Páxina 1 de 50 Índice 1. Introdución...3

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN

Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN PROBLEMAS SATÉLITES 1. O período de rotación da Terra arredor del Sol é un año e o radio da órbita é 1,5 10 11 m. Se Xúpiter ten un período de aproximadamente 12

Διαβάστε περισσότερα

CADERNO Nº 11 NOME: DATA: / / Estatística. Representar e interpretar gráficos estatísticos, e saber cando é conveniente utilizar cada tipo.

CADERNO Nº 11 NOME: DATA: / / Estatística. Representar e interpretar gráficos estatísticos, e saber cando é conveniente utilizar cada tipo. Estatística Contidos 1. Facer estatística Necesidade Poboación e mostra Variables 2. Reconto e gráficos Reconto de datos Gráficos Agrupación de datos en intervalos 3. Medidas de centralización e posición

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS 61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. BLOQUE DE ÁLXEBRA (Puntuación máxima 3 puntos) Un autobús transporta en certa

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS 61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos Puntuación máxima de cada un dos exercicios: Álxebra 3 puntos; Análise 3,5 puntos;

Διαβάστε περισσότερα

O principio de Hamilton

O principio de Hamilton Mecánica Clásica II 1 O principio de Hamilton José M. Sánchez de Santos Departamento de Física de Partículas Facultadede Física Grao en Física Vicerreitoría de estudantes, cultura e formación continua

Διαβάστε περισσότερα

Física e Química 4º ESO

Física e Química 4º ESO Física e Química 4º ESO DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Física: Temas 1 ao 6. 01/03/07 Nome: Cuestións 1. Un móbil ten unha aceleración de -2 m/s 2. Explica o que significa isto. 2. No medio dunha tormenta

Διαβάστε περισσότερα

Lógica Proposicional. Justificación de la validez del razonamiento?

Lógica Proposicional. Justificación de la validez del razonamiento? Proposicional educción Natural Proposicional - 1 Justificación de la validez del razonamiento? os maneras diferentes de justificar Justificar que la veracidad de las hipótesis implica la veracidad de la

Διαβάστε περισσότερα

1. A INTEGRAL INDEFINIDA 1.1. DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA 1.2. PROPRIEDADES

1. A INTEGRAL INDEFINIDA 1.1. DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA 1.2. PROPRIEDADES TEMA / CÁLCULO INTEGRAL MATEMÁTICA II 07 Eames e Tetos de Matemática de Pepe Sacau ten unha licenza Creative Commons Atriución Compartir igual.0 Internacional. A INTEGRAL INDEFINIDA.. DEFINICIÓN DE INTEGRAL

Διαβάστε περισσότερα

INTERACCIÓNS GRAVITATORIA E ELECTROSTÁTICA

INTERACCIÓNS GRAVITATORIA E ELECTROSTÁTICA INTEACCIÓNS GAVITATOIA E ELECTOSTÁTICA AS LEIS DE KEPLE O astrónomo e matemático Johannes Kepler (1571 1630) enunciou tres leis que describen o movemento planetario a partir do estudo dunha gran cantidade

Διαβάστε περισσότερα

TEMA IV: FUNCIONES HIPERGEOMETRICAS

TEMA IV: FUNCIONES HIPERGEOMETRICAS TEMA IV: FUNCIONES HIPERGEOMETRICAS 1. La ecuación hipergeométrica x R y α, β, γ parámetros reales. x(1 x)y + [γ (α + β + 1)x]y αβy 0 (1.1) Dividiendo en (1.1) por x(1 x) obtenemos (x 0, x 1) y + γ (α

Διαβάστε περισσότερα

Lógica Proposicional

Lógica Proposicional Proposicional educción Natural Proposicional - 1 Justificación de la validez del razonamiento os maneras diferentes de justificar Justificar que la veracidad de las hipótesis implica la veracidad de la

Διαβάστε περισσότερα

Resistencia de Materiais. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións

Resistencia de Materiais. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións Resistencia de Materiais. Tema 5. Relacións entre tensións e deformacións ARTURO NORBERTO FONTÁN PÉREZ Fotografía. Ponte Coalbrookdale (Gran Bretaña, 779). Van principal: 30.5 m. Contido. Tema 5. Relacións

Διαβάστε περισσότερα

CALCULO DA CONSTANTE ELASTICA DUN RESORTE

CALCULO DA CONSTANTE ELASTICA DUN RESORTE 11 IES A CAÑIZA Traballo de Física CALCULO DA CONSTANTE ELASTICA DUN RESORTE Alumno: Carlos Fidalgo Giráldez Profesor: Enric Ripoll Mira Febrero 2015 1. Obxectivos O obxectivo da seguinte practica é comprobar,

Διαβάστε περισσότερα

MECÁNICA. (2,5 puntos cada problema; escollerá a opción A ou B; non é necesario escoller a mesma opción en tódolos problemas).

MECÁNICA. (2,5 puntos cada problema; escollerá a opción A ou B; non é necesario escoller a mesma opción en tódolos problemas). 37 MECÁNICA (2,5 puntos cada problema; escollerá a opción A ou B; non é necesario escoller a mesma opción en tódolos problemas). PROBLEMA 1 OPCION A.- Sabendo que o conxunto bicicleta+ciclista da figura

Διαβάστε περισσότερα