Ηθικός Κίνδυνος. Το βασικό υπόδειγμα. Παρουσιάζεται ένα στοχαστικό πρόβλημα χρηματοδότησης όταν τα αντισυμβαλλόμενα μέρη έχουν συμμετρική πληροφόρηση.

Transcript

1 Ηθικός Κίνδυνος Παρουσιάζεται ένα στοχαστικό πρόβλημα χρηματοδότησης όταν τα αντισυμβαλλόμενα μέρη έχουν συμμετρική πληροφόρηση Το βασικό υπόδειγμα Θεωρείστε την περίπτωση κατά την οποία μια επιχείρηση αναζητά χρηματοδότηση για ένα επενδυτικό πλάνο Θα υποθέσουμε ότι η χρηματοδότηση πραγματοποιείται μέσω της χορήγησης ενός τραπεζικού δανείου Επομένως τα αντισυμβαλλόμενα μέρη είναι η Τράπεζα και η Επιχείρηση Αρχικά, υποθέτουμε ότι η χρηματοδότηση του επενδυτικού έργου θα χρηματοδοτηθεί πλήρως από τη Τράπεζα Το ύψος της επένδυσης αποτιμάται σε I ευρώ Για να γίνουμε πιο συγκεκριμένοι υποθέτουμε ότι η επένδυση αφορά μια παραγωγική διαδικασία, για την οποία είναι διαθέσιμες δύο διαφορετικές τεχνολογίες τ = {G, B} Η επιλογή της τεχνολογίας είναι αποκλειστική της Επιχείρησης Η στοχαστικότητα στο υπόδειγμα υπεισέρχεται στο προϊόν της παραγωγής Συγκεκριμένα, υποθέτουμε ότι υπάρχουν μόνο δύο διαφορετικά επίπεδα παραγωγής που μπορούν προκύψουν από τη παραγωγή Το επίπεδο παραγωγής μπορεί να είναι «υψηλό»(q ) ή «χαμηλό» (q ) με q > q Διαφορετικά υποθέτουμε ότι η παραγωγή είναι μια τυχαία μεταβλητή q η 1

2 οποία παίρνει τιμές στο σύνολο {q, q } Οι καταστάσεις που οδηγούν στα διαφορετικά επίπεδα παραγωγής εκφράζουν την αβεβαιότητα στο υπόδειγμα και είναι ανεξάρτητες των δύο μερών Ωστόσο, η επιλογή της τεχνολογίας καθορίζει το βαθμό στοχαστικότητας του αποτελέσματος Στη περίπτωση που η Επιχείρηση επιλέξει τη υψηλή τεχνολογία (G) η πιθανότητα να προκύψει η υψηλή παραγωγή είναι π G = P (q = q G), επομένως η χαμηλή παραγωγή θα προκύψει με πιθανότητα 1 π G Στη περίπτωση που η Επιχείρηση επιλέξει τη χαμηλή τεχνολογία (B) η πιθανότητα να προκύψει η υψηλή παραγωγή είναι π B = P (q = q B), επομένως η χαμηλή παραγωγή θα προκύψει με πιθανότητα 1 π B Υπόθεση Στοχαστικής Κυριαρχίας π G > π B (1) Η υψηλή τεχνολογία αυξάνει τη πιθανότητα να προκύψει η υψηλή παραγωγή 1 παραγωγή οδηγεί σε έσοδα επιπέδου R = p q = q Τα έσοδα επιμερίζονται μεταξύ της Τράπεζας και της Επιχείρησης R = R (T ) + r (E) Καθότι, R = q τα έσοδα μπορούν να εκφραστούν κατευθείαν σε όρους επιπέδου παραγωγής, συνεπώς q = q (T ) + Ισοδύναμα, το μερίδιο της Τράπεζας θα εκφράζεται ως q (T ) = q Η Τράπεζα έχει προτιμήσεις που αναπαριστάνονται από μια συνάρτηση ωφέλειας u T ( ), Δ Βολιώτης 2

3 η οποία είναι αύξουσα μονοτονική και κοίλη Λόγω του στοχαστικού χαρακτήρα της παραγωγής, η Τράπεζα θα μεγιστοποιεί την αναμενόμενη ωφέλεια της Αν η Επιχείρηση επιλέξει την υψηλή τεχνολογία, η αναμενόμενη ωφέλεια της Τράπεζας θα είναι, Τεχνολογία G EU T = π G u T (q ) + (1 π G) u T (q 2 ) (2) Στη περίπτωση της κακής τεχνολογίας, η αναμενόμενη ωφέλεια της Τράπεζας γίνεται, Τεχνολογία Β EU T = π B u T (q ) + (1 π B) u T (q 3 ) (3) Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι η Τράπεζα έχει ουδέτερες προτιμήσεις έναντι του ρίσκου, επομένως θα ισχύει u T (q) = q Η συνάρτηση ωφέλειας της Επιχείρησης θα είναι επίσης αύξουσα μονοτονική και κοίλη, q E = u E (q) ενώ επιπλέον υποθέτουμε ότι η χρήση τεχνολογίας συνοδεύεται από κόστος που περιγράφεται από αύξουσα και κυρτή συνάρτηση ( ) Για ευκολία, υποθέτουμε ότι (G) > 0 = (B) Αρχικά, υποθέτουμε ότι η Επιχείρηση αποστρέφεται το ρίσκο και δεν συμμετέχει καθόλου στη χρηματοδότηση Η Επιχείρηση θα προτείνει ένα επενδυτικό πλάνο στη Τράπεζα ώστε να το χρηματοδοτήσει Σε αυτό περιλαμβάνεται η τεχνολογία παραγωγής που θα χρησιμοποιηθεί Η Τράπεζα θα προτείνει ένα συμβόλαιο R (E), το οποίο μεταφράζεται σε έσοδο για τη Τράπεζα R R (E), ήτοι (καθαρή) απόδοση r = (R R (E) )/I 1 Επομένως το προτεινόμενο συμβόλαιο R (E) είναι ισοδύναμο για Δ Βολιώτης 3

4 την Επιχείρηση με το δανειακό συμβόλαιο που προτείνει το ονομαστικό ποσό E για (τρέχον) επιτόκιο r Εφόσον, R = q, το επιτόκιο δανεισμού γίνεται, r = q q(e) I 1 (4) Αντίστοιχα, η αναμενόμενη ωφέλεια της Επιχείρησης είναι U E = π G u E ( ) + (1 π G)u E ( ) (G) (5) Σε αυτό το σημείο εισάγουμε ένα βασικό περιορισμό που αντιμετωπίζει η Τράπεζα στο σχεδιασμό του βέλτιστου δανειακού συμβολαίου Θα πρέπει σε κάθε περίπτωση να εξασφαλίζει μη αρνητική αναμενόμενη ωφέλεια για τη Επιχείρηση Σε κάθε διαφορετική περίπτωση η Επιχείρηση δεν θα έχει κανένα κίνητρο να συμμετέχει σε μια τέτοια συνεργασία Περιορισμός Συμμετοχής U E 0 (6) 4 Στη περίπτωση κατά την οποία η Επιχείρηση θα μπορούσε να εξασφαλίσει χρηματοδότηση από εναλλακτικές πηγές ώστε να της εξασφαλίζει θετική αναμενόμενη ωφέλεια Ũ E > 0, τότε το βέλτιστο δανειακό συμβόλαιο θα πρέπει να εξασφαλίζει ότι θα είναι εξίσου ωφέλιμο της εναλλακτικής, δηλαδή U E ŨE Λύση του προβλήματος Η Επιχείρηση αποφασίζει για την τεχνολογία που πρόκειται να χρησιμοποιήσει Συγκεκριμένα, αποφασίζει Δ Βολιώτης 4

5 Το μαθηματικό πρόγραμμα της Επιχείρησης με τ = {G, B} max π τ u E ( ) + (1 π τ )u E ( ) (τ) τ 5 Το μαθηματικό πρόγραμμα που λύνει η Τράπεζα ώστε να υπολογίσει το βέλτιστο συμβόλαιο (, q(e) ) είναι το εξής: Το μαθηματικό πρόγραμμα της Τράπεζας ώστε ( max,q(e) π τ u T (q ) ) + (1 π τ) u T (q ) π τ u E ( ) + (1 π τ )u E ( ) (τ) 0 (7) 6 Η χρονική ακολουθία του προβλήματος εμφανίζεται ως εξής: t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 E επιλέγει τ Τ προσφέρει (, q(e) ) E δέχεται ή όχι q αποκαλύπτεται Δ Βολιώτης 5

6 Χωρίς απώλεια της γενικότητας υποθέτουμε ότι στο πρώτο στάδιο του προβλήματος η Επιχείρηση αποφασίζει να χρησιμοποιήσει την υψηλή τεχνολογία τ = G Επομένως στο δεύτερο στάδιο το πρόβλημα της Τράπεζας διαμορφώνεται ως εξής: ( max,q(e) π G u T (q ) ) + (1 π G) u T (q ) ώστε π G u E ( ) + (1 π G )u E ( ) (G) 0 Θα λύσουμε το πρόγραμμα με τη Λαγκραντζιανή μέθοδο Το ισοδύναμο πρόγραμμα είναι: =π G u T (q ) + (1 π G) u T (q + λ( π G u E ( ) + (1 π G )u E ( ) (G) ) (8) Από τις αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης λαμβάνουμε π G + λπ G u E( ) = 0 λ = 1 u E (q(e) ) (9) (1 π G ) + λ(1 π G )u E( ) = 0 λ = 1 u E (q(e) ) (10) Εύκολα συμπεραίνει κανείς ότι από τις εξισώσεις (9) και (10) ότι u E (q(e) ) = u E (q(e) ) Προφανώς, θα ισχύει ότι η συνάρτηση ωφέλειας της Επιχείρησης παίρνει την ίδια τιμή μόνο όταν = q(e) Η ερμηνεία που μπορούμε να δώσουμε είναι η εξής: Η Τράπεζα θα προσφέρει ένα συμβόλαιο στην Επιχείρηση ώστε να λαμβάνει ακριβώς την ίδια απόδοση είτε προκύψει η υψηλή παραγωγή ή η χαμηλή Με απλά λόγια, η Επιχείρηση θα έχει πλήρη ασφάλιση από τη στοχαστικότητα της παραγωγής Δ Βολιώτης 6

7 Εισάγοντας ηθικό κίνδυνο Εξετάζουμε τη περίπτωση κατά την οποία τόσο η Τράπεζα όσο και η Επιχείρηση έχουν ουδέτερες προτιμήσεις ως προς το ρίσκο, δηλαδή u T (x) = u E (x) = x Επιπλέον, θα υποθέσουμε ότι επιδίωξη της Τράπεζας είναι να δώσει κίνητρο στην Επιχείρηση να χρησιμοποιήσει την υψηλή τεχνολογία τ = G Για να επιτευχθεί αυτό θα πρέπει το όφελος της Επιχείρησης από την χρήση της υψηλής τεχνολογίας, λαμβάνοντας υπόψη το κόστος χρήσης της υψηλής τεχνολογίας, να ξεπερνά αυτό της χαμηλής τεχνολογίας Η συνθήκη αυτή εξασφαλίζεται με την εισαγωγή ενός επιπλέον περιορισμού στο σχεδιασμό του συμβολαίου Περιορισμός Κινήτρου π G u E ( )+(1 π G)u E ( ) (G) π Bu E ( )+(1 π B)u E ( ) (11) 4 Όπως προηγουμένως, το πρόβλημα της Τράπεζας διαμορφώνεται ως ακολούθως: ( max,q(e) π G (q ) ) + (1 π G) (q ) ώστε και π G π G + (1 π G) + (1 π G) (G) 0 (G) π B + (1 π B) Σημαντικό Όταν οι συναρτήσεις ωφέλειας είναι γραμμικές η λύση του παραπάνω προβλήματος μπορεί να επιτευχθεί εύκολα με τη ταυτόχρονη λύση των δύο Δ Βολιώτης 7

8 περιορισμών Οι τελευταίοι είναι γραμμικοί περιορισμοί και πάντα θα ικανοποιούνται ισοτικά στο βέλτιστο Επομένως, ξεκινώντας από τον περιορισμό κινήτρου θα ισχύει π G (π G π B ) + (1 π G) q(e) = q(e) + (G) = π B (π G π B ) = 0 = + (1 π B) (12) Όμοια, από το περιορισμό συμμετοχής βρίσκουμε από π G = (12) = = + (1 π G) (G) = 0 π G 1 π G 1 π G π G ( (E) q 1 π G 1 π + ) G π G 1 π G 1 π π G G 1 π G (1 + π G 1 π G ) = = π B π B (1 π G ) (13) Αντικαθιστώντας πίσω στη (12) βρίσκουμε = (1 π B) (14) Το μενού συμβολαίων συνοψίζεται ως (, q(e) ) = { (1 π B), π B } Πλέον, η Τράπεζα προσφέρει διαφορετική πληρωμή στη Επιχείρηση για κάθε περίπτωση προϊόντος Στη περίπτωση που προκύψει η υψηλή παραγωγή, η πληρωμή της Επιχείρησης θα είναι αυστηρά θετική Αντίθετα παρατηρούμε ότι στη περίπτωση που προκύψει η χαμηλή παραγωγή, η πληρωμή γίνεται αρνητική Ενώ ένα τέτοιο συμβόλαιο εμφανίζεται ασυνήθιστο, στη περίπτωσή μας η ουδετερότητα των προτιμήσεων της Επιχείρησης έναντι του ρίσκου κάνει την Επιχείρηση να δεχθεί το συμβόλαιο αυτό Αυτό το Δ Βολιώτης 8

9 συμβόλαιο είναι κατά Pareto βέλτιστο, δηλαδή η Επιχείρηση δεν μπορεί να εξασφαλίσει θετική πρόσοδο για τον εαυτό της, ελέω ηθικού κινδύνου Στη συνέχεια θα δείξουμε περιπτώσεις στις οποίες θα είναι εφικτό για την Επιχείρηση να εξασφαλίσει θετική πρόσοδο Κάτι τέτοιο θα συμβαίνει είτε αν βάλουμε περιορισμό στο συμβόλαιο ώστε να μην υπάρχει ποινή σε περίπτωση του αποστρέφεται το ρίσκο ή αν υποθέσουμε ότι η Επιχείρηση Η δεύτερη καλύτερη λύση Μια βασική ένσταση στο παραπάνω συμβόλαιο είναι το γεγονός ότι η Επιχείρηση θα πρέπει να πληρώσει κάποιο «πρόστιμο» στη περίπτωση που προκύψει η χαμηλή παραγωγή ( εξίσωση 13) Η πραγματικότητα είναι ότι κάτι τέτοιο δεν συμβαίνει Ακόμη και αν η Τράπεζα χρηματοδοτεί πλήρως την επένδυση, η Επιχείρηση διατηρεί περιορισμένη ευθύνη απέναντι στο αποτέλεσμα της παραγωγής Στη περίπτωση της περιορισμένης ευθύνης, ας υποθέσουμε ότι στη κακή περίπτωση όπου, η Επιχείρηση δεν πληρώνει q(e) Επομένως, η εξίσωση (12) γίνεται Συνολικά, (, q(e) ) = { = π B = 0 + αλλά = 0, 0} Στη συνέχεια εξετάζουμε ποια είναι η αναμενόμενη ζημιά για τη Τράπεζα λόγω της εισαγωγής περιορισμένης ευθύνης της Επιχείρησης στο συμβόλαιο Στη πρώτη περίπτωση, για το συμβόλαιο ( αναμενόμενα κέρδη της Τράπεζας είναι EU(T ) = π G (q (1 π B), q(e) ) = { (1 π B), π B }, τα ) + (1 π G ) (q + π B ) (15) Δ Βολιώτης 9

10 Ενώ στη περίπτωση της περιορισμένης ευθύνης, EU (T ) = π G (q ) + (1 π G) q (16) Ορίζουμε τη διαφορά = EU(T ) EU (T ) Αν το είναι μια θετική ποσότητα τότε θα εκφράζει την αναμενόμενη απώλεια κερδών της Τράπεζας λόγω της εισαγωγής περιορισμένης ευθύνης = π G (q (1 π B) ) + (1 π G ) (q + π B = π G (q (1 π B) q + ) + (1 π G) (q + π B = π G (π B ) + (1 π G) (π B ) = π B > 0 ) π G (q q ) Επομένως η αναμενόμενη απομείωση των κερδών της Τράπεζας είναι π B επιβεβαιώνει ότι η ευημερία της Τράπεζας μειώνεται ) (1 π G) q Η δεύτερη περίπτωση η οποία μας οδηγεί σε υποβέλτιστο αποτέλεσμα είναι η υπόθεση ότι η Επιχείρηση αποστρέφεται το ρίσκο Συγκεκριμένα, υποθέτουμε ότι η Επιχείρηση έχει συνάρτηση ωφέλειας που αποδίδεται από μια CRRA, η οποία λαμβάνει τη μορφή u(x) = x1 γ Tο πρόγραμμα που λύνει η Τράπεζα δίνεται από τη 1 γ μεγιστοποίηση της Λαγκρανζιανής συνάρτησης = π G (q ) + (1 π G) (q ) λ[π G u( ) + (1 π G)u( ) ] µ[π G u( που ) + (1 π G)u( ) π Bu( ) (1 π B)u( )] Από τις αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης ισχύουν π G + u ( )[ π G(λ + µ) + µπ B ] = 0 (17) (1 π G ) + u ( )[ (1 π G)(λ + µ) + µ(1 π B )] = 0 (18) Από τον συνδυασμό των παραπάνω δύο σχέσεων μπορούμε να δείξουμε ότι οι Λαγκρανζιανές παράμετροι είναι διαφορετικοί του μηδενός και επομένως οι περιορισμοί Δ Βολιώτης 10

11 του προβλήματος ικανοποιούνται ισοτικά Κάνοντας την αντικατάσταση της CRRA συνάρτησης οι περιορισμοί που θα πρέπει να ισχύουν είναι οι εξής: και π G 1 γ (q(e) )1 γ + 1 π G 1 γ (q(e) )1 γ = 0 ( (1 γ) )1 γ = 1 π G ( π G π )1 γ (19) G π G 1 γ (q(e) )1 γ + 1 π G 1 γ (q(e) )1 γ π B 1 γ (q(e) )1 γ + 1 π B 1 γ (q(e) )1 γ = 0 1 γ (q(e) )1 γ 1 γ (q(e) )1 γ = 0 (20) Αντικαθιστώντας την (19) στην (20) υπολογίζουμε τη τιμή του 1 γ (q(e) )1 γ = 1 γ (q(e) )1 γ + = [ (1 γ) 1 π ] G ( 1 γ π G π )1 γ + G ( )1 γ = (1 γ)(1 + π G ) (21) Επομένως, η αποζημίωση της Επιχείρησης στη περίπτωση της χαμηλής παραγωγής θα είναι [ = (1 γ)(1 + π ] 1 G ) 1 γ (22) Παρατηρούμε ότι για τη περίπτωση που γ (0, 1), ώστε η τιμή της συνάρτησης ωφέλειας να είναι πάντα θετική και κοίλη, το είναι πάντα θετικό Σε αντιδιαστολή με τη περίπτωση της ουδετερότητας του ρίσκου για την Επιχείρηση, κατά την οποία το αντίστοιχο μέγεθος προέκυπτε να είναι αρνητικό, αντιλαμβάνεται κανείς ότι είναι πολύ πιθανό στην περίπτωση αποστροφής του ρίσκου να έχουμε ένα υποβέλτιστο αποτέλεσμα Αντικαθιστώντας την τιμή του Δ Βολιώτης 11 στην (20) λαμβάνουμε αντίστοιχα την τιμή του [ = (1 γ)( π ] 1 G ) 1 γ (23)

12 Άσκηση Για να κατανοήσουμε καλύτερα τις επιπτώσεις του ηθικού κινδύνου, θεωρούμε την ακόλουθη άσκηση Υποθέτουμε ότι αν η Επιχείρηση επιλέξει την υψηλή τεχνολογία (τ = G) η πιθανότητα να προκύψει η υψηλή παραγωγή είναι π G = 07 Αντίστοιχα για την χαμηλή τεχνολογία τ = B η πιθανότητα υψηλής παραγωγής είναι σημαντικά χαμηλότερη π B = 02 Εύκολα επιβεβαιώνουμε ότι η υπόθεση στοχαστικής κυριαρχίας ικανοποιείται Η υψηλή τεχνολογία θα αποκτάται με κόστος (G) = 6 (οι μονάδες μέτρησεις δεν έχουν ιδιαίτερη σημασία) Για χάρη απλότητας υποθέτουμε ότι τόσο η Τράπεζα όσο και η Επιχείρηση διατηρούν ουδέτερες προτιμήσεις έναντι του ρίσκου 1) Πως διαμορφώνονται οι περιορισμοί του μαθηματικού προγράμματος ώστε στη βέλτιστη λύση να επιλέγεται πάντα η υψηλή τεχνολογία; Για το περιορισμό συμμετοχής έχουμε, π G ενώ για τον περιορισμό κινήτρου π G + (1 π G) 07 + (1 π G) (G) = q(E) q(E) (G) = π B 6 = 02q(E) 6 = 0, (24) + (1 π B) + 08q(E) 05q(E) = 6 (25) 2) Υπολογίστε το βέλτιστο συμβόλαιο (, q(e) ) Το βέλτιστο συμβόλαιο υπολογίζεται από την λύση του συστήματος των εξισώσεων (24) και (25) Δ Βολιώτης 12

13 Από την εξίσωση (25), λύνουμε ως προς = q(e) = 12 + q(e) (26) Αντικαθιστούμε το στην (24) 07(12 + ) + 03q(E) = 6 = 24 (27) Αντικαθιστώντας στην (26) υπολογίζουμε και το = 96 3) Δείξτε ότι στη γενική λύση ισχύει για το βέλτιστο συμβόλαιο της άσκησης Από τον περιορισμό κινήτρου έχουμε = q(e) + (G) Επιβεβαιώστε ότι ισχύει π G (π G π B ) + (1 π G) (G) = π B (π G π B ) (G) = 0 q(e) = (G) + (1 π B) = (G) + q(e) = (G) + q(e) (28) Επιβεβαιώνουμε ότι ισχύει για το βέλτιστο συμβόλαιο ( Όντως,, q(e) = ( 24) = 6 24 = ) = (96, 24) 4) Βρείτε το βέλτιστο συμβόλαιο αν υπάρχει περιορισμός ευθύνης = 1 Χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχέση βρίσκουμε, = q(e) + (G) = = 11 Άρα το βέλτιστο συμβόλαιο είναι (, q(e) ) = (11, 1) Δ Βολιώτης 13