Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Transcript

1 Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Δημήτρης Πατσιμάς Στέλιος Μιχαήλογλου

2

3 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {,,, 4, 5, 6,7,8,9, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {,,4,6}, Β = {,4, 8, 0} α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα β) Να περιγράψετε με αναγραφή τα σύνολα,,, γ) Να γράψετε όλα τα δυνατά υποσύνολα του Α Θεωρούμε ως βασικό σύνολο το: Ω = {,,,, } καθώς και τα σύνολα Α = {x Ω / x άρτιος} και Β = {x Ω / x πολλαπλάσιο του 5} α) Να παραστήσετε τα σύνολα Α και Β με αναγραφή των στοιχείων τους β) Να βρείτε τα σύνολα: i) ii) iii) iv) v) vi) Δίνονται τα σύνολα x R / x 7x 6 0 και α) Να γραφούν με αναγραφή τα σύνολα β) Να βρείτε την ένωση και τη τομή τους γ) Να εξετάσετε αν το Α είναι υποσύνολο του Β x N / x 5x ( x ) 0 4 Γνωρίζουμε ότι αν επιλέξουμε τυχαία ένα πολίτη,τότε η πιθανότητα να διαβάζει βιβλία το μήνα είναι 6% α) Να αποδείξετε ότι α=0 β) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: ο πολίτης να μη διαβάζει βιβλία το μήνα Β: ο πολίτης να διαβάζει το πολύ βιβλίο το μήνα Γ: ο πολίτης να διαβάζει τουλάχιστον βιβλία το μήνα 5 Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {,,,, 0} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα Θεωρούμε επίσης τα ενδεχόμενα: Α = {x Ω/ x- 4 },Β = {xω/x - 4x+ 0} και Γ={x Ω/(x-4) x-} α) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ(Γ) β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα ΑΒ και ΑΓ και στη συνέχεια τις πιθανότητες Ρ(Α Β) και Ρ(ΑΓ) 6 Έστω ο δειγματικός χώρος :Ω = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα Για τα ενδεχόμενα A, Β, Γ του Ω, είναι :A Β = {,,, 4, 5, 6},Α Β = {,, 4}, Α- Β = {, 6} και Γ = {x Ω/ x- 5 < } α) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ) β) Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί το Β και όχι το Γ γ) Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Β και Γ

4 7 Θεωρούμε δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, για τα οποία γνωρίζουμε ότι: Ρ(Α ) = 0,6, Ρ(Β) = 0, και Ρ(ΑΒ) = 0, α) Να δείξετε ότι Ρ(Α) = 0,4 β) Να βρείτε την πιθανότητα «να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α ή Β» γ) Να βρείτε την πιθανότητα Ρ[(ΑΒ )(ΒΑ )] δ) Αν Γ είναι ένα τρίτο ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω το οποίο δεν είναι το κενό σύνολο, τότε να αποδείξετε ότι: 4 P( ) 4 P( ) 8 Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω και οι πιθανότητες: ( ), ( ) και ( ) 5 0 α) Να υπολογίσετε την ( ) β) Να υπολογίσετε την ( ) γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα ενδεχόμενα Α και Β 9 Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω και οι πιθανότητες: (B), ( ), 4 α) Να υπολογίσετε την ( ) β) Να υπολογίσετε την ( ) γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα 0 Από 50 μαθητές μιας τάξης, που ρωτήθηκαν, οι 0 απάντησαν ότι έγραψαν κάτω από τη βάση στο διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Άλγεβρας, οι 5 ότι έγραψαν κάτω από τη βάση στο διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Γεωμετρίας και 0 έγραψαν κάτω από τη βάση και στα δύο διαγωνίσματα Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή α) να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: i) Ο μαθητής να μην έγραψε κάτω από τη βάση και στα δύο διαγωνίσματα ii) Ο μαθητής να έγραψε κάτω από τη βάση μόνο στο διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Άλγεβρας iii) Ο μαθητής να έγραψε κάτω από τη βάση διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Άλγεβρας ή να μην έγραψε κάτω από τη βάση στο διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Γεωμετρίας β) Να βρεθεί ο αριθμός των μαθητών : i) που να έγραψε κάτω από τη βάση μόνο στο διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Άλγεβρας ii) να έγραψε κάτω από τη βάση διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Άλγεβρας ή να μην έγραψε κάτω από τη βάση στο διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Γεωμετρίας Από 0 μαθητές μιας σχολής μαγειρικής, 4 μαθητές συμμετέχουν σε ένα διαγωνισμό Ιταλικής κουζίνας, 0 μαθητές συμμετέχουν σ ένα στο διαγωνισμό Κινέζικης κουζίνας και μαθητές συμμετέχουν και στους δύο διαγωνισμούς Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή α) Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής: i) Να συμμετέχει από τους δύο διαγωνισμούς; ii) Να συμμετέχει μόνο σ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισμούς; iii) Να μην συμμετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισμούς;

5 β) Να βρεθεί ο αριθμός των μαθητών που i) συμμετέχουν σ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισμούς ii) συμμετέχουν μόνο σ έναν από τους δύο διαγωνισμούς Σε μία γειτονιά το 70% των σπιτιών έχουν θέρμανση με πετρέλαιο,το 45% των σπιτιών έχουν τζάκι ενώ το 0% έχουν τζάκι και θέρμανση με πετρέλαιο α) Επιλέγουμε τυχαία ένα σπίτι από την παραπάνω γειτονιά i) Να βρείτε την πιθανότητα το σπίτι να μην έχει θέρμανση με πετρέλαιο ii) Να βρείτε την πιθανότητα το σπίτι να έχει μόνο τζάκι ή μόνο θέρμανση με πετρέλαιο β) Αν 0 σπίτια έχουν θέρμανση με πετρέλαιο, να βρείτε : i) τον αριθμό των σπιτιών της γειτονιάς ii) τον αριθμό των σπιτιών που τζάκι Από τους μαθητές ενός σχολείου, το 85% έχει κινητό, το 45% δεν έχει ηλεκτρονικό υπολογιστή ενώ το 50% έχει και κινητό και ηλεκτρονικό υπολογιστή α)επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή του παραπάνω σχολείου i) Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να μην έχει κινητό ούτε ηλεκτρονικό υπολογιστή ii) Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να έχει μόνο κινητό ή μόνο ηλεκτρονικό υπολογιστή β) Αν 0 μαθητές έχουν ηλεκτρονικό υπολογιστή, να βρείτε : i) το σύνολο των μαθητών του σχολείου ii) το πλήθος των μαθητών που έχουν μόνο κινητό iii) το πλήθος των μαθητών που έχουν και κινητό και ηλεκτρονικό υπολογιστή 4 Ένα ενυδρείο έχει 400 ψάρια Από αυτά τα 800 είναι τροπικά ψάρια,τα 800 έχουν κόκκινο χρώμα και τα 600 είναι τροπικά ψάρια με κόκκινο χρώμα Επιλέγουμε τυχαία ένα ψάρι Αν Α: το ενδεχόμενο το ψάρι να είναι τροπικό και Β: το ενδεχόμενο το ψάρι να είναι κόκκινο α) Να βρεθεί η πιθανότητα το ψάρι i) να είναι τροπικό ή να έχει κόκκινο χρώμα ; ii) να μην είναι τροπικό ούτε να έχει κόκκινο χρώμα ; iii) να έχει κόκκινο χρώμα αλλά να μην είναι τροπικό; iv) να είναι τροπικό ή να μην έχει κόκκινο χρώμα ; β) i)να δείξετε ότι p( A B) ii) Να αποδείξετε ότι 5 p( A B) 4 5 Ένας κήπος έχει 00 δέντρα Από αυτά τα 00 είναι τροπικά,τα 000 είναι οπωροφόρα και τα 00 είναι τροπικά και οπωροφόρα Επιλέγουμε τυχαία ένα δέντρο Αν Α: το ενδεχόμενο το δέντρο να είναι τροπικό και Β: το ενδεχόμενο το δέντρο να είναι οπωροφόρο α) Να βρεθεί η πιθανότητα το δέντρο i) να είναι τροπικό ή να είναι οπωροφόρο ; ii) να μην είναι οπωροφόρο ούτε τροπικό ; iii) να είναι οπωροφόρο αλλά να μην είναι τροπικό; iv) να είναι τροπικό ή να μην είναι οπωροφόρο ; β) i) Να αποδείξετε ότι : P( A B) 4

6 ii) Να αποδείξετε ότι 7 P( ) ( ), ( ) Οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α, Β, Α Β ενός πειράματος τύχης µε δειγματικό χώρο Ω ικανοποιούν την σχέση [Ρ(Α)-] +[Ρ(Β')-] +[6Ρ(Α Β)-] =0 () Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων : α) Να πραγματοποιηθεί µόνο το ενδεχόμενο Α β) Να πραγματοποιηθεί µόνο το ενδεχόμενο Β γ) Να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β δ) Να µην πραγματοποιούνται συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β 7 Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι: 9 7 ( ) α) Να εκφράσετε την P(AB) συναρτήσει της Ρ(Α) β) Να βρείτε την Ρ(Α) γ) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τo Β και να μην πραγματοποιηθεί το Α δ) Αν επιπλέον η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα A, Β είναι 4 i) την πιθανότητας Ρ(Α Β), ii) την πιθανότητα Ρ(Β) να βρείτε: 8 Από τους 5 μαθητές ενός τμήματος Α Λυκείου ενός σχολείου, οι μαθαίνουν Αγγλικά, οι 8 Γαλλικά Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή της τάξης α) Να δείξετε ότι : 6 ( A B) β) Να αποδείξετε ότι : ( A B) Δίνεται η παράσταση A x 6x x A x x α) Να δείξετε ότι ΔΙΑΤΑΞΗ-ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ-ΡΙΖΕΣ β) Nα αποδείξετε ότι x για x > 4 x 0x για x> γ) Να δείξετε ότι 0 Αν για τους αριθμούς x,y ισχύει: x y 0x y 6 0 α) Να δείξετε ότι x = 5 και y = - β) Να δείξετε ότι οι αριθμοί x y και x y είναι αντίστροφοι γ) Να δείξετε ότι : x y 4 x x y 4 x 4

7 Αν x 5 4 y 7,να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις: α) x y β) Β= x -y γ)γ= x y Αν x y 6,να δείξετε ότι: α) x x y 6y 0 β) xy 6x y 8 0 γ) xy xy x y y 6 0 και δ) 4 x y Δίνονται οι παραστάσεις 0 5 και 0 5 Να αποδειχτεί ότι α) β) γ) Δίνονται οι παραστάσεις Α = x 4 και Β = x 4, α) Να αποδειχτεί ότι x β) Να δείξετε ότι AB 8 για 4 x 4 γ) Να δείξετε ότι A B 6x x 4 5 Δίνονται οι παραστάσεις και Να αποδειχτεί ότι 6 α), β) γ) Δίνονται οι παραστάσεις Α = x 4 και Β = d x,4 α) Να αποδειχτεί ότι 8x β) Να αποδειχτεί ότι 8, x γ) Να δείξετε ότι 48 x 7 α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του x ισχύει : x 4 β) Αν xy, είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με x 7 και 8 y, τότε να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται i) η τιμή της περιμέτρου Π του ορθογωνίου ii) η τιμή του εμβαδού Ε του ορθογωνίου 8 α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του y ισχύει : y 0 7 β) Αν y η πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου με y 7 να αποδείξετε ότι : 9 <Π <5,όπου Π η περίμετρος του ισοπλεύρου τριγώνου γ) Αν x, y είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με 4 x 5 και y 7, τότε να αποδείξετε ότι: 5

8 i) 4 44, όπου Π είναι η περίμετρος του ορθογωνίου ii) < E<85, όπου Ε το εμβαδόν του ορθογωνίου 9 Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός x που ικανοποιεί τη σχέση: d x, 7 α) Να αποδώσετε την παραπάνω σχέση λεκτικά β) Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών, να παραστήσετε σε μορφή διαστήματος το σύνολο των δυνατών τιμών του x γ) Να γράψετε τη σχέση με το σύμβολο της απόλυτης τιμής και να επιβεβαιώσετε με αλγεβρικό τρόπο το συμπέρασμα του ερωτήματος (β) δ) Να χρησιμοποιήσετε το συμπέρασμα του ερωτήματος (γ) για να δείξετε ότι: x 4 x0 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 0 Δίνεται η εξίσωση λx 8x λ 4, με παράμετρο α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: λ 8 x λ λ, β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση την οποία και να βρείτε γ) Για ποια τιμή του λ η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Δίνονται οι εξισώσεις : x (4 x ) 6 () και ( x) x () α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η εξίσωση () να έχει μοναδική λύση β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός μ ώστε η εξίσωση () να είναι ταυτότητα γ) Αν λ= και i) να βρεθεί η λύση της εξίσωσης () και ii) να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός μ ώστε οι εξισώσεις () και () να έχουν κοινή λύση Δίνεται η παράσταση x 5 α) Να γραφεί η παράσταση Α χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Να λύσετε την ανίσωση δ) Να λύσετε την ανίσωση A 5 A 5 0 Δίνεται η παράσταση B x 4 Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες : α) B x β) 4 x γ) 5 4 Δίνεται η παράσταση d x, α) x β) A x γ) x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες : 6

9 5 Δίνονται οι παραστάσεις Α= x +4 και Β= x-6 α) Να λυθεί η εξίσωση 5 β) Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της ανίσωσης B 8 γ) Να λυθεί η εξίσωση Α= Β για 0<x< 6 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί κ,λ για τους οποίους ισχύει: α) Να βρεθούν οι αριθμοί κ,λ β) Για κ= και λ=4 : i) Να λυθεί η εξίσωση x ii) Να λυθεί η εξίσωση x 7 Δίνονται οι παραστάσεις Α = d x, και Β = 7 x α) Να λυθεί η ανίσωση A β) Να λυθεί η ανίσωση B 7 γ) Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων α) και β) και να παρασταθούν στον άξονα των πραγματικών αριθμών 4 ( x 4x 4)( x 8 x) 8 Δίνεται η παράσταση : x x α) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α β) Να απλοποιήσετε την παράσταση Α γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει : Α=0 9 Δίνονται οι παραστάσεις ( x) x x, α) Να λυθεί η ανίσωση ( x) 0 β) Να λυθεί η ανίσωση ( x) 0 γ) ( x) B( x) 5 B( x) x x Δίνονται οι παραστάσεις ( x) x x, B( x) x και (x) x x α) Να λυθεί η ανίσωση ( x) 0 β) Να λυθεί η ανίσωση ( x) γ) Να λυθεί η ανίσωση ( x) 0 δ) Να λυθεί η ανίσωση 4 ( x) ( x) και να γραφούν οι λύσεις της σε μορφή διαστήματος ε) Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου ( 06) (06) και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας 4 α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση β) Δίνεται η εξίσωση: λ x-λ + x () i) Να δείξετε ότι x ii) Να λύσετε την εξίσωση () για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ 7

10 iii) Όταν η εξίσωση () έχει μοναδική λύση, να αποδείξετε ότι αυτή είναι μεγαλύτερη ή ίση του 4 4 Δίνεται η παράσταση x x x 8 α) Να αποδείξετε ότι x x 5, x β) Να λύσετε την εξίσωση 0 γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει: 4 δ) Nα βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει: 0 4 Δίνεται η παράσταση x x α) Να λυθεί η εξίσωση 0 β) Με την βοήθεια του ερωτήματος α) να λυθεί η εξίσωση x γ) Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες Θεωρούμε την παράσταση x 0 4 A x x, R α) Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση A=0 να είναι πρώτου βαθμού β) Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση A=0 να είναι δευτέρου βαθμού και έχει ρίζα τον αριθμό γ) Για λ=, να λύσετε την ανίσωση A 0 45 Δίνεται η εξίσωση : ( ) x x 0,λ () α) Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει ρίζες πραγματικές και άνισες β) Να λυθεί η εξίσωση x x x x,όπου x, x οι ρίζες της εξίσωσης () γ) Να βρεθεί ο λ R ώστε να έχει ρίζα το 46 α) Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση x x x έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες β) Αν x, x οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να βρείτε για ποιες τιμές του οι ρίζες αυτές ικανοποιούν τη σχέση γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει πραγματικό x 47 Δίνεται η εξίσωση x x 0 x x xx x x x για κάθε α) Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές; β) Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και αντίστροφες; γ) Αν x και x είναι οι δυο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης να βρεθούν τα ώστε να ισχύει x x x x 4 δ) Αν x και x είναι οι δυο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης να βρεθεί η εξίσωση που έχει ρίζες και x x 8

11 48 Δίνονται τα τριώνυμα x ( ) x και x 6x 4 α) Αν το Α έχει ρίζα τον αριθμό, να αποδείξετε ότι το Β έχει πραγματικές ρίζες και άνισες β) Για λ = - 4, αν x, xείναι οι ρίζες του Β, να βρείτε την τιμή της x x παράστασης x x 6 49 Δίνεται η εξίσωση x ( ) x 0 () με, 0 α) Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες για οποιεσδήποτε τιμές των κ,λ β) Να λυθεί η εξίσωση γ)αν μία ρίζα της εξίσωσης () είναι ο αριθμός,να δείξετε ότι ο αριθμός της εξίσωσης x x ( ) 0 () ΠΡΟΟΔΟΙ 50 Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν), της οποίας ο 0ος όρος είναι 9 και το άθροισμα των πρώτων 7 όρων είναι 77 Να βρείτε: α) τον πρώτο όρο α και τη διαφορά ω της (αν) β) τον 0ο όρο της (αν) γ) ποιος όρος της (αν) είναι ίσος με 4 δ) το άθροισμα των πρώτων 5 όρων της (αν) ε) πόσοι πρώτοι όροι της (αν) έχουν άθροισμα 60 5 Δίνεται γεωμετρική πρόοδος (αν), της οποίας ο 4ος όρος είναι -8 και 0 7ος όρος είναι 87 Να βρείτε: α) τον πρώτο όρο α και το λόγο λ της (αν) β) τον 9ο όρο της (αν) γ) ποιος όρος της (αν) είναι ίσος με 4 δ) το άθροισμα των πρώτων 5 όρων της (αν) ε) πόσοι πρώτοι όροι της (αν) έχουν άθροισμα 74 5 Οι αριθμοί x, x x 6,x είναι διαδοχικοί όροι μίας αριθμητικής προόδου α) Να αποδείξετε ότι x β) Να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου γ) Αν 0 50, να βρείτε: i) τον πρώτο όρο της προόδου ii) το άθροισμα S 0 των 0 πρώτων όρων της προόδου 5 Δίνεται ακολουθία (αν) για την οποία ισχύει 5 α) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (αν) είναι αριθμητική πρόοδος β) Να βρείτε το άθροισμα των 8 πρώτων όρων της (αν) γ) Να βρείτε το άθροισμα S δ) Nα δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης x 8x95 0 είναι διαδοχικοί όροι της (αν) a 9

12 54 Δίνεται ακολουθία (αν) για την οποία ισχύει α) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (αν) είναι γεωμετρική πρόοδος β) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων όρων της (α ν ) γ) Να βρείτε το άθροισμα S δ) Nα βρείτε την εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τον ο και τον ο όρο της προόδου (αν) 55 Δύο αριθμοί έχουν αριθμητικό μέσο 0 και γεωμετρικό μέσο 8 α) Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς β) Αν ο μικρότερος από τους αριθμούς που βρήκατε είναι ο 4ος όρος και ο μεγαλύτερος είναι ο 6ος όρος μιας γεωμετρικής προόδου (αν) με θετικούς όρους, να βρείτε τον πρώτο όρο και το λόγο της (αν) γ) Αν ο μικρότερος από τους αριθμούς που βρήκατε είναι ο 5ος όρος και ο μεγαλύτερος είναι ο 9ος όρος μιας αριθμητικής προόδου (βν) με θετικούς όρους, να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της (βν) δ) Να βρείτε τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου (βν) που ξεπερνάει τον 5ο όρο της γεωμετρικής προόδου (αν) 56 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκη πλευρών α, β, τέτοια ώστε οι αριθμοί α,4,β με τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου α) Να αποδείξετε ότι 6,όπου Π η περίμετρος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου β) Αν α,β ρίζες της x 4 x6 0, 0, 4 τότε: i) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ii) Να δείξετε ότι στην περίπτωση αυτή έχουμε τετράγωνο 57 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν βακτήρια Μετά από ώρα υπάρχουν 0400 βακτήρια, μετά από ώρες 500 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα α) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν μετά από 6 ώρες; β) Τη χρονική στιγμή όμως που τα βακτήρια ήταν 00, ο οργανισμός παρουσίασε ξαφνική επιδείνωση Ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε πάλι να αυξάνεται ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται Το φαινόμενο αυτό διήρκεσε για 5 ώρες Συμβολίζουμε με βν το πλήθος των βακτηρίων ν ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης (v 5) i) Να δείξετε ότι η ακολουθία (βν) είναι γεωμετρική πρόοδος, και να βρείτε τον πρώτο όρο και το λόγο της ii) Να εκφράσετε το πλήθος βν των βακτηρίων συναρτήσει του ν iii) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν στον οργανισμό ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης; 58 Η τιμή αγοράς ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή είναι μεγαλύτερη από 60 και μικρότερη από 640 Κατά την αγορά συμφωνήθηκαν τα εξής: Να δοθεί προκαταβολή 0 Η εξόφληση του υπόλοιπου ποσού να γίνει σε δέκα μηνιαίες δόσεις Κάθε δόση να είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη κατά ω όπου ω θετικός ακέραιος Η τέταρτη δόση είναι 48 α) Να εκφράσετε το ποσό της πρώτης δόσης ως συνάρτηση του ω β) Να εκφράσετε την τιμή αγοράς σαν συνάρτηση του ω 0

13 γ) Να βρείτε την τιμή του ω δ) Να βρείτε το ποσό της τελευταίας δόσης ε) Να βρείτε την τιμή αγοράς του ηλεκτρονικού υπολογιστή 59 Ένα μυρμήγκι περπατάει πάνω σε ένα ευθύγραμμο κλαδί μήκους m,με τον ακόλουθο τρόπο: Ξεκινάει από το ένα άκρο του κλαδιού και το ο λεπτό προχωράει cm, το ο λεπτό προχωράει cm και, γενικά, κάθε λεπτό διανύει απόσταση κατά cm μεγαλύτερη από αυτήν που διάνυσε το προηγούμενο λεπτό α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει το μυρμήγκι κάθε λεπτό της κίνησής του, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε τον v-οστό όρο αν αυτής της προόδου β) Να βρείτε τη συνολική απόσταση που κάλυψε το μυρμήγκι τα πρώτα 5 λεπτά της κίνησής του γ) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το μυρμήγκι θα φτάσει στο άλλο άκρο του κλαδιού δ) Υποθέτουμε τώρα ότι, την ίδια στιγμή που το μυρμήγκι ξεκινάει την πορεία του, από το άλλο άκρο του κλαδιού μία αράχνη ξεκινάει και αυτή προς την αντίθετη κατεύθυνση και με τον ακόλουθο τρόπο: Το ο λεπτό προχωράει cm, το ο λεπτό προχωράει cm, το ο λεπτό προχωράει 4 cm και, γενικά, κάθε λεπτό διανύει απόσταση διπλάσια από αυτήν που διένυσε το προηγούμενο λεπτό i) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει η αράχνη κάθε λεπτό της κίνησής της, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και να βρείτε τον v-οστό όρο βν αυτής της προόδου ii) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το μυρμήγκι και η αράχνη θα βρεθούν αντιμέτωπα σε απόσταση cm ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 60 Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f α) Nα προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών: x - - y - -

14 γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες δ) Να προσδιορίσετε τα διαστήματα του πεδίου ορισμού στα οποία η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές 6 Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f α) Nα προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών: x y - -4 γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες δ) Να προσδιορίσετε το διάστημα του πεδίου ορισμού στο οποίο η συνάρτηση παίρνει θετικές τιμές x x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της 0 f 6 Δίνεται η συνάρτηση f x β) Να βρείτε τις τιμές f και γ) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x x δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y 6 Δίνεται η συνάρτηση f x x 8x 4 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να λύσετε την ανίσωση x 8x 4 8x x 40 γ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα yy δ) Να εξετάσετε αν το σημείο, ανήκει στη γραφική παράσταση της f x 64 Δίνονται η συνάρτηση f( x) x 7 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρεθούν τα σημεία τομής της f τους άξονες γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης της f το οποίο να βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ

15 δ) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α,, 4, B ανήκουν στη γραφική παράσταση της f x x a 65 Δίνεται η συνάρτηση f( x) x 7x 6 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α, αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση A, της f διέρχεται από το σημείο γ) Αν, τότε: i) Να απλοποιηθεί ο τύπος της συνάρτησης ii) Να βρεθούν τα σημεία τομής της με τους άξονες iii) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y = 66 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f β) Να βρείτε τις τιμές f (0), f () και f (f (4)) γ) Να λύσετε την εξίσωση f (x) = 0 δ) Να λύσετε την εξίσωση f (x) = - ε) Να λύσετε την ανίσωση f (x) > 67 Δίνεται η συνάρτηση : ( ) f x x x Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(0,-) και Β(,0) : α) Να βρείτε τους αριθμούς κ και λ β) Έστω κ=,λ= i) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τη γραφική παράσταση της g x x ii) Να βρείτε την σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g x 4 x 6x 9 68 Δίνεται η συνάρτηση f( x) x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και στη συνέχεια να απλοποιήσετε τον τύπο της β) Να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση f γ) Να λύσετε την εξίσωση f ( x) 4x 6 69 Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) = x + x +5 και g(x) = x - x+ 4 και έστω ε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(,f()) και B(,g()) α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) β) Έστω Γ και Δ τα σημεία της ευθείας ε με τεταγμένες -0 και 0 αντίστοιχα Να βρείτε: i) τις τετμημένες των Γ και Δ, ii) τα συμμετρικά των Γ και Δ ως προς γ) Nα βρείτε το κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων της f και g δ) Nα βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη (ε)

16 x9, x 70 Δίνεται η συνάρτηση f( x) 6x, x 4 α) Να υπολογιστούν οι τιμές: f, f (0), f (), f (), 7 f 4 4 β) Nα βρείτε τα συμμετρικά των σημείων,f, B(, f()) ως προς την αρχή των αξόνων γ) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση 7 Δίνεται η συνάρτηση f x 4 x a, x ax, x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f β) Να βρείτε τα α, β, ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από τα σημεία,5 και,8 γ) Για α = β = i) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 ii) Να βρείτε τα συμμετρικά Α,Β των Α,Β αντίστοιχα ως προς τον άξονα y y 8x 0, x 7 Δίνεται η συνάρτηση f( x) 0 x 4, x α) Να υπολογιστούν οι τιμές: f (), f ( 4), f ( ), f () β) Να δείξετε ότι τα σημεία Α(, f () ) και Β(-4, f ( 4) ) είναι συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο της ης και ης γωνίας των αξόνων γ) Να δείξετε ότι τα σημεία Γ(, f () ) και Δ(-, f ( ) ) είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων 7 Έστω τα σημεία Α,, Β(,-) και Γ, τα οποία: α) τα σημεία Α,Β να είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων β) Α,Γ να είναι συμμετρικά ως προς τον y y γ) Β,Γ να είναι συμμετρικά ως προς την διχοτόμο της γωνίας x y 9 δ) το σημείο Α να ανήκει στην ευθεία y x 4 Να βρείτε τα, για x, x 74 Δίνεται η συνάρτηση: f ( x) x, x με α, β R, της οποίας η γραφική x5, x παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(-,-6)και Β(4,) α) Να βρείτε τις τιμές των α και β β) Αν α= και β=4 f, f 0, f ( f 0, f 4 i) Να βρείτε τις τιμές 4

17 ii) Να βρείτε τα συμμετρικά των σημείων Α και Β ως προς την διχοτόμο του ου - ου τεταρτημορίου iii) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ iv) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f 75 Δίνεται η συνάρτηση gx x x 4 x κx λ α) Να βρείτε τις τιμές των κ, λ β) Για κ και λ, i) να απλοποιήσετε τον τύπο της g g α g β 0 ii) να δείξετε ότι: όταν α,β,, 76 Δίνονται οι ευθείες :, η οποία έχει πεδίο ορισμού το, : y x 06 : y x 0 α) Να βρείτε για ποια τιμή του α, οι ευθείες ε και ε είναι παράλληλες β) Για α=, να βρείτε: i) το σημείο τομής Α της ε με τον y'y, ii) το σημείο τομής Β της ε με τον χ'χ iii) τα συμμετρικά των σημείων Α και Β ως προς την αρχή των αξόνων 77 Έστω ότι οι ευθείες y και και y : 6 x α) Να βρείτε τον αριθμό λ β) Αν 5 και το σημείο Α(μ-0, 5-μ) ανήκει στην ευθεία ε : i) να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας (ε) με τους άξονες ii) να βρείτε τον αριθμό μ γ) Για να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α ως προς: i) τον άξονα χ'χ, ii) τον άξονα y'y, iii) την αρχή των αξόνων, iv) τη διχοτόμο της ης και ης γωνίας των αξόνων δ) Έστω Β το σημείο της ευθείας ζ με τεταγμένη Να βρείτε: i) την τετμημένη του σημείου Β, ii) το τεταρτημόριο που ανήκει το Β : 4 5 x 6 είναι παράλληλες 78 Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο Π=40cm Αν x cm είναι το μήκος του παραλληλογράμμου, τότε : α) να αποδείξετε ότι 0 x 0 β) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε(x) του ορθογωνίου δίνεται από τη σχέση: E x 0x x γ) να αποδείξετε ότι ισχύει x 00, για κάθε x (0, 0) δ) να αποδείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο 40cm, εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν είναι το τετράγωνο πλευράς 0cm 5

18 79 Μια μικρή εταιρεία πουλάει βιολογικό ελαιόλαδο στο διαδίκτυο Στο διπλανό παραπάνω σχήμα, παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης που περιγράφει τα έξοδα Κ(x) και τα έσοδα Ε(x) από την πώληση x λίτρων λαδιού σε ένα μήνα α) Να εκτιμήσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των δύο ευθειών και να ερμηνεύσετε τη σημασία του β) Ποια είναι τα αρχικά (πάγια) έξοδα της εταιρείας; γ) Πόσα λίτρα ελαιόλαδο πρέπει να πουλήσει η εταιρεία για να μην έχει ζημιά δ) Να βρείτε τον τύπο των συναρτήσεων K(x) και Ε(x) και να επαληθεύσετε αλγεβρικά την απάντηση του ερωτήματος (γ) ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ 80 Θεωρούμε το βασικό σύνολο 0,,,, 4,5,6,7,8,9,0 και την εξίσωση x x 0, Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου α) Α: η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες, β) Β: η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες γ) Γ: η εξίσωση να έχει μία ρίζα δ) Ζ : η εξίσωση να έχει ρίζες ετερόσημες 8 Δίνεται η ευθεία (ε) : y P( ) x,όπου και τα σημεία της 0, και, P A α) Να βρείτε την πιθανότητα β) Να βρείτε την πιθανότητα P γ) αν PB A, 6 P A η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α

19 i) να βρείτε τη πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α,Β ii) να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα μόνο από τα Α,Β 8 Έστω Ρ(Α) και Ρ(Β) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω Για τον αριθμό Ρ(Α) ισχύει: P( A) P( A ), ενώ ο αριθμός Ρ(Β) είναι ρίζα της εξίσωσης: 6x x 0 α) Να βρείτε τους αριθμούς Ρ(Α) και Ρ(Β) β) Αν Ρ(Α)= και Ρ(Β)= και η πιθανότητα να συμβούν ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Α και Β είναι, να υπολογίσετε: 6 i) την πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ii) την πιθανότητα να συμβεί το πολύ ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β iii) την πιθανότητα να συμβεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β 8 Δίνονται οι παραστάσεις A x και B x A 4 5 A α) Να λύσετε τη εξίσωση β) Να λύσετε την εξίσωση A B γ) Αν x, τότε: i) να μετατρέψετε τη παράσταση σε ισοδύναμη με ρητό παρονομαστή B A ii) Να αποδείξετε ότι A A A x x 4x 4 x 4 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β) Nα δείξετε ότι f x x 84 Δίνεται η συνάρτηση f x γ) Να λυθεί η ανίσωση f x δ) Να λυθεί η εξίσωση fx 85 Δίνονται οι παραστάσεις d, x x x A x, x, B και ( 5 ) ( 5 ) α) Να αποδείξετε ότι B β) Να αποδείξετε ότι 4 γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες Β,Α,Γ με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου δ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες Β,Α,Γ με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου 7

20 86 Δίνεται η εξίσωση: x 9 x () α) Να δείξετε ότι x β) Αν η εξίσωση () είναι ταυτότητα, να λύσετε την εξίσωση () γ) Αν η εξίσωση () είναι αδύνατη, να λύσετε την ανίσωση x x 0 x x 8 0 () δ) Αν η εξίσωση () έχει μοναδική λύση x0, να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει x 0 87 Δίνεται η εξίσωση x 4 4x 4 (), Αν η εξίσωση () είναι ταυτότητα τότε: x 4 α) Να δείξετε ότι : β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση γ) Να λυθεί η ανίσωση x x ( 0) x 6 () είναι αδύνατη 8x δ) Να αποδείξετε ότι x για κάθε x x x, x x 88 Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x) x x και g( x), x x, x 4 x α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ για κάθε πραγματικό x β) Να λυθεί η εξίσωση f ( x) f ( x) x γ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g g 0,g,g δ) Να βρεθούν οι τιμές ε) Να λυθεί η ανίσωση f x g 89 Δίνεται η συνάρτηση 4 f ( x) x 4x 5 και η παράσταση A α) Να αποδείξετε ότι η παράσταση A β) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες γ) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την γραφική παράσταση της συνάρτησης gx Ax A,όπου Α η παράσταση που έχει δοθεί δ) Να βρεθούν τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της f δεν βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g x 6x 90 Δίνεται η συνάρτηση: f( x) x 4x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να απλοποιήσετε τον τύπο της f (5) β) Nα μετατρέψετε το κλάσμα σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή f(8) f(7) 06 γ) Να λύσετε την ανίσωση: ( f ()) x f () x 0 0 δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 8

21 9 Δίνεται η συνάρτηση λ για την οποία η εξίσωση f x 0 έχει: f x x 4x Να βρείτε την τιμή (τιμές) του πραγματικού αριθμού α) ρίζα το β) δύο ρίζες πραγματικές και άνισες γ) ρίζες ετερόσημες δ) Αν, τότε i) να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ ii) να λύσετε την εξίσωση f x 4x 4 x 9 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x ( ) x 4, α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( x) 0 έχει δύο άνισες ρίζες x, x για κάθε β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες οι ρίζες x, x είναι θετικές γ) Αν, τότε: i) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες ii) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ iii) Να βρείτε την εξίσωση δευτέρου βαθμού που έχει ρίζες τα x και x 9 Δίνεται η συνάρτηση f x x x x α) Να αποδείξετε ότι f x x x, x β) Να λύσετε την εξίσωση f x 0 γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει: f x 0 δ) να λύσετε την εξίσωση f x f x Δίνεται η συνάρτηση f (x) 4 x x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y 0 γ) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα y y δ) Να λύσετε την ανίσωση 60 f (x) 95 Έστω η συνάρτηση f x x k x k α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού k β) Να βρείτε την τιμή του k, αν είναι γνωστό ότι για τις ρίζες, ισχύει ότι: x x 5 γ) Αν k, τότε: x x της εξίσωσης f x 0 i Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x x ii Να λύσετε την ανίσωση f x 0 9

22 96 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x x α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ β) Έστω, x x οι ρίζες της εξίσωσης 0 γ) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε δ) Για x x f x Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε xx 4 xx να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες αληθεύει η σχέση f x 97 Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x 6 α) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης f, χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής β) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση γ) Να λύσετε την εξίσωση f x δ) Να λύσετε την ανίσωση f x ε) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g x x 5 98 Δίνεται η συνάρτηση f x x x, x α) Να λύσετε την εξίσωση: f x f x f β) Να λύσετε την εξίσωση: 5 f x x x γ) Να λύσετε την ανίσωση f x x 4f δ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα χ χ ε) Να αποδείξετε ότι 99 Δίνεται η συνάρτηση f x x x x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να δείξετε ότι f x x f f f f f f 4 γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f f, a, f 6 με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής δ) Αν οι αριθμοί προόδου i) να βρείτε τον θετικό αριθμό α και το λόγο λ της προόδου ii) Αν f o ος όρος της γεωμετρικής προόδου να βρείτε τον πρώτο όρο α της προόδου 00 Δίνεται η συνάρτηση f x 4x 4 x 6 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες γ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο M 8,6 4 δ) Να δείξετε ότι o είναι ο αριθμητικός μέσος των f 6, f 7 0

23 0 Δίνεται η συνάρτηση f x x8, x x 8x 7, x f 0, f, f, f α) Να υπολογίσετε τις τιμές β) Αν αριθμητική πρόοδος με 4 f και 0 f i) τον πρώτο όρο α της προόδου και τη διαφορά ω ii) το άθροισμα των 6 πρώτων όρων Να βρείτε: γ) Αν Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με f f τα Α και Β είναι ίση με f, f και η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από f f f,να υπολογίσετε : i) την πιθανότητα να πραγματοποιηθoύν συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β ii) η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα μόνο από τα Α και Β δ) Για κάθε x 0, να αποδείξετε ότι f x f x x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f x f x 0 Δίνεται η συνάρτηση f x β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Να λύσετε την ανίσωση δ) Να αποδείξετε ότι f i) ii) 0 Δίνεται η εξίσωση x 0 f x f f x 5 8 6x 0 και x, x, x x x x οι ρίζες της α) Να βρείτε τις ρίζες x, x, x της εξίσωσης x, x 0, x : Για β) Να δείξετε ότι x x x γ) i) Να δείξετε ότι οι αριθμοί,, ii) Αν ο 6 0ς όρος της a είναι τριπλάσιος από τον όγδοο όρο της, να βρείτε το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της δ) Αν τα σημεία M 4, x και N 6, x είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα xx,να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ a x x x είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής πρόδου

24 04 Δίνονται οι συναρτήσεις f x x 9 και g x x α) Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g β) Να δείξετε ότι οι αριθμοί f 0, f, f προόδου g g 7 6 γ) Να δείξετε ότι οι αριθμοί,,g προόδου 4 δ) Να λυθεί η εξίσωση f x g x 05 Δίνεται η συνάρτηση f x x x είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής x x α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το β) Αν, τότε: x f f 0 i) Να λύσετε την ανίσωση ii) Να αποδείξετε ότι 9 f 0 6 iii) Να λύσετε την εξίσωση x f 0 γ) Αν γεωμετρική πρόοδος με και 6 5,να βρείτε: 65 i) το λόγο λ της προόδου ii) Αν υπάρχει τιμή της συνάρτησης που να είναι ίση με τον α4 06 Δίνεται γεωμετρική πρόοδος (αν) για την οποία ισχύει 6 8 και το άθροισμα των πρώτων 5 όρων της ισούται με 9 α) Να βρείτε τον πρώτο όρο α και τη διαφορά ω της (αν) β) Να βρείτε το άθροισμα a a4 x, x 6 γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x) : διέρχεται από τα σημεία x, x6, και, 4 5 i) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β ii) Για α=6, β=4 να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία ( ) : y 6 07 Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν) για την οποία ισχύει ότι: α) Να αποδείξετε ότι 4 και x x x 5,, 6, S4 a8 4 i) Να βρείτε τους πραγματικούς β,γ β) Δίνεται η συνάρτηση f x και τα σημεία της

25 ii) Για 5 και 6 : α)να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να απλοποιήσετε τον τύπο της β) Να λύσετε την ανίσωση f x 08 Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν), ισχύει: και ο 8ος όρος είναι επταπλάσιος από τον τρίτο όρο της προόδου α) Να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου β) Να βρείτε τον όρο της προόδου που είναι ρίζα της εξίσωσης x 6x 5 0 γ) Να βρείτε τα πολλαπλάσια του 5 που είναι λύσεις της ανίσωσης : x a x S4 0 0 δ) Να βρείτε τρείς διαδοχικούς όρους της προόδου που να έχουν άθροισμα ίσο με τον 5ο όρο της προόδου 09 α) Δίνεται ότι 6x 5y 8x 0y 0 Να δείξετε ότι x, y 4 5 6P A 5P B 8P A 0P B 0 β) Δίνεται ότι i) Να βρείτε τις πιθανότητες, 4 ii) Αν είναι λύση της εξίσωσης 00x 99x 0 α) να υπολογίσετε την πιθανότητα β) την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β γ) η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα μόνο από τα Α και Β 0 Δίνεται η συνάρτηση f x χώρου Ω α) Να βρείτε τις τιμές f, f 8, f 4 f 4 5, x x και δύο ενδεχόμενα Α,Β ενός δειγματικού, x x 4 β) Οι πιθανότητες Ρ(Β), Ρ(Α Β) και Ρ(ΑΒ) είναι διαφορετικές ανά δύο και ανήκουν στο f, f 8, f 4, f 4 σύνολο: Να βρείτε τις πιθανότητες: i) Ρ(Β), Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β) ii) να μην πραγματοποιηθεί το Α, iii) να πραγματοποιηθεί το A και να μην πραγματοποιηθεί το B, iv) να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α,Β, γ) Να βρείτε την τιμή του θετικού αριθμού λ ώστε οι αριθμοί f 4,, f 8 με τη σειρά που δίνονται να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου Δίνεται η συνάρτηση f ( x) 4x 4 x, α) Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση f(x)=0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες β) Αν x, x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου :

26 i) Να δείξετε ότι x x x x x x 4 0 ii) Για μ= να βρείτε την εξίσωση που έχει ρίζες τους αριθμούς γ) Αν οι ρίζες, μιας γεωμετρικής προόδου, x x x x του παραπάνω τριωνύμου είναι ο έκτος και ο δέκατος όρος αντίστοιχα, να υπολογίσετε τον αριθμό A a a όπου, 7είναι επίσης όροι της ίδιας γεωμετρικής προόδου Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Ισχύουν τα εξής:, είναι ρίζες της εξίσωσης 6x 5x 0 Οι πιθανότητες Οι αριθμοί,, ( ) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου α) Να αποδείξετε ότι : ( ), ( ) και 4 β) Να βρείτε τις πιθανότητες : i) να πραγματοποιηθεί το Α και να μην πραγματοποιηθεί το Β ii) να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α,Β : γ) Αν i) να βρείτε το λόγο και τον πρώτο όρο της ii) να υπολογίσετε το άθροισμα των πέντε πρώτων όρων της προόδου Ένα κουνούπι κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f ( x) x 4x και μία μύγα στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g( x) x x α) Να βρείτε i) αν θα συναντηθούν η μύγα και το κουνούπι και αν ναι σε ποιο σημείο; ii) για ποιες τιμές του x το κουνούπι βρίσκεται πάνω από τον άξονα x β) Αν ο x x παριστάνει την επιφάνεια της θάλασσας i) να δείξετε ότι η μύγα δεν πρόκειται να πνιγεί ii) να βρείτε αν υπάρχουν σημεία τα οποία πρέπει να αποφύγει το κουνούπι ώστε να μη πέσει στη θάλασσα A, 8 να βρείτε την θέση που θα βρίσκεται το iii) αν ένα ψάρι βρίσκεται στο σημείο κουνούπι,αν το ψάρι και το κουνούπι ακολουθούν συμμετρική πορεία ως προς τον χ χ γ) Αν ένας άνθρωπος κινείται στην ευθεία y 4x 7, να βρείτε πόσες φορές θα τον τσιμπήσει το κουνούπι και σε ποια σημεία 4

27 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ α) Έστω βασικό σύνολο Ω = {,,, 4, 5, 6,7,8,9, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {,,4,6}, Β = {,4, 8, 0} α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα β) Να περιγράψετε με αναγραφή τα σύνολα,,, γ) Να γράψετε όλα τα δυνατά υποσύνολα του Α β),,4,6,8,0,4 8,0,6 γ) Τα δυνατά υποσύνολα του Α είναι τα :,, 4, 6,,,,4,,6,,4,,6, 4,6,,4,,,6,,4,6,,4,6, 4, ,,4,6, Θεωρούμε ως βασικό σύνολο το: Ω = {,,,, } καθώς και τα σύνολα Α = {x Ω / x άρτιος} και Β = {x Ω / x πολλαπλάσιο του 5} α) Να παραστήσετε τα σύνολα Α και Β με αναγραφή των στοιχείων τους β) Να βρείτε τα σύνολα: i) ii) iii) iv) v) vi) 5

28 α), 4,6,8,0,,4,6,8, 0 5,0,5, 0 β) i), 4,5,6,8,0,,4,5,6,8, 0 ii) 0,0 iii),,5,7,9,,,5,7,9, iv),,, 4,6,7,8,9,,,,4,6,7,8,9, v),, 7,9,,,7,9, vi), 4,6,8,,4,6,8 Δίνονται τα σύνολα x R / x 7x 6 0 και α) Να γραφούν με αναγραφή τα σύνολα β) Να βρείτε την ένωση και τη τομή τους γ) Να εξετάσετε αν το Α είναι υποσύνολο του Β x N / x 5x ( x ) 0 α) x x x ήx x 5x ( x ) 0 x 5x 0 x ή x ή x 0 x Οπότε,6 και,, β),,,6, γ) To A δεν είναι υποσύνολο του Β γιατί περιέχει το 6 που δεν ανήκει στο σύνολο Β Σε μία πόλη ρωτήθηκαν κάποιοι πολίτες σχετικά με τον αριθμό των βιβλίων που διαβάζουν το μήνα Σύμφωνα με τις απαντήσεις που δόθηκαν,συντάχθηκε ο επόμενος πίνακας : Βιβλία Αριθμός πολιτών 0 α α+8 α+6 α-0 4 α-4 6

29 4 Γνωρίζουμε ότι αν επιλέξουμε τυχαία ένα πολίτη,τότε η πιθανότητα να διαβάζει βιβλία το μήνα είναι 6% α) Να αποδείξετε ότι α=0 β) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: ο πολίτης να μη διαβάζει βιβλία το μήνα Β: ο πολίτης να διαβάζει το πολύ βιβλίο το μήνα Γ: ο πολίτης να διαβάζει τουλάχιστον βιβλία το μήνα α) Έστω Δ : το ενδεχόμενο να διαβάζει βιβλία Τότε β) Για α=0 Βιβλία Αριθμός πολιτών Σύνολο , 00, , , Δίνεται ο δειγματικός χώρος: Ω = {,,,, 0} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα Θεωρούμε επίσης τα ενδεχόμενα: Α = {x Ω/ x- 4 },Β = {xω/x - 4x+ 0} και Γ={x Ω/(x-4) x-} α) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ(Γ) β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα ΑΒ και ΑΓ και στη συνέχεια τις πιθανότητες Ρ(Α Β) και Ρ(ΑΓ) 7

30 Άρα,,4,5,6 α) x 4 x 4 x 6 x x x ( ) 5 και ( ) ( ) 0 (B) 4 0 Άρα B,, και (B) ( ) 0 ( x 4) x x 8x 6 x 0 x x 8 0 x (,] [9, ) ( ) 4 και ( ) ( ) 0 Άρα,,9,0 β) AB {,,, 4,5,6}, A {}, 6 ( A B), ( A) Έστω ο δειγματικός χώρος :Ω = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα Για τα ενδεχόμενα A, Β, Γ του Ω, είναι :A Β = {,,, 4, 5, 6},Α Β = {,, 4}, Α- Β = {, 6} και Γ = {x Ω/ x- 5 < } α) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ) β) Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί το Β και όχι το Γ γ) Να βρείτε την πιθανότητα, ώστε να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Β και Γ α) ( ) ( ) {,,,4,6}, Επειδή το στοιχείο 5 βρίσκεται στο ( ) 5 ( ) ( ) 0 B και δεν βρίσκεται στο Α, θα είναι στοιχείο μόνο του Β, δηλαδή: B-A={5} Επειδή τα στοιχεία,,4 ανήκουν στη τομή είναι στοιχεία και των δύο συνόλων, Άρα B-A={5},B={,,4,5}, (B) 4 (B) ( ) 0 x 5 x 5 x 8 x 4Επειδή x είναι x= ή, άρα, και ( ) ( ) ( ) 0 Άρα ( ) ( ) ( ) 0 β) Β-Γ= {,4,5},Γ-Β ={} Άρα PB ( ) 0 γ) P, 0 8

31 P, ί ( ) ( ) 7 Θεωρούμε δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, για τα οποία γνωρίζουμε ότι: Ρ(Α ) = 0,6, Ρ(Β) = 0, και Ρ(ΑΒ) = 0, α) Να δείξετε ότι Ρ(Α) = 0,4 β) Να βρείτε την πιθανότητα «να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α ή Β» γ) Να βρείτε την πιθανότητα Ρ[(ΑΒ )(ΒΑ )] δ) Αν Γ είναι ένα τρίτο ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω το οποίο δεν είναι το κενό σύνολο, τότε να αποδείξετε ότι: 4 P( ) 4 P( ) α) P(A)=-P(A )=0,4 β) P( B) P( A) P( B) P( A B) 0,4 0, 0, 0,5 γ) Επειδή τα ενδεχόμενα και είναι ασυμβίβαστα, έχουμε: (A ) ( ) P B A 0, 4 0, 0, 0,5 δ) P( ) 4 P( ) 4 4 P ( ) 4 ( ) 0 ( ( ) ) 0 ισχύει 8 Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω και οι πιθανότητες: ( ), ( ) και ( ) 5 0 α) Να υπολογίσετε την ( ) β) Να υπολογίσετε την ( ) γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 α) ( ) ( ) ( ) β) γ) 9

32 9 Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω και οι α) Να υπολογίσετε την ( ) β) Να υπολογίσετε την ( ) πιθανότητες: (B), ( ), γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ( ) ( ) 4 4 α) Επειδή τα ενδεχόμενα και είναι ασυμβίβαστα, έχουμε: ( ) β) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) 4 4 ( ) 4 γ) 0 Από 50 μαθητές μιας τάξης, που ρωτήθηκαν, οι 0 απάντησαν ότι έγραψαν κάτω από τη βάση στο διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Άλγεβρας, οι 5 ότι έγραψαν κάτω από τη βάση στο διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Γεωμετρίας και 0 έγραψαν κάτω από τη βάση και στα δύο διαγωνίσματα Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή α) να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: i) Ο μαθητής να μην έγραψε κάτω από τη βάση και στα δύο διαγωνίσματα ii) Ο μαθητής να έγραψε κάτω από τη βάση μόνο στο διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Άλγεβρας iii) Ο μαθητής να έγραψε κάτω από τη βάση διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Άλγεβρας ή να μην έγραψε κάτω από τη βάση στο διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Γεωμετρίας β) Να βρεθεί ο αριθμός των μαθητών : i) που να έγραψε κάτω από τη βάση μόνο στο διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Άλγεβρας ii) να έγραψε κάτω από τη βάση διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Άλγεβρας ή να μην έγραψε κάτω από τη βάση στο διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Γεωμετρίας 4 0

33 Έστω Α: το ενδεχόμενο ο μαθητής να έγραψε κάτω από τη βάση στο διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Άλγεβρας και Β: το ενδεχόμενο ο μαθητής να έγραψε κάτω από τη βάση στο διαγώνισμα Ά Τετράμηνου της Γεωμετρίας α) i) 0,6, 0,7, , ( ) ( ) 0,6 0,7 0, 4 0, ii) 0,6 0,4 0, iii) 0,6 0,7 0, 0,7 β) i) 0,50 5 έ ii) 0, έ Από 0 μαθητές μιας σχολής μαγειρικής, 4 μαθητές συμμετέχουν σε ένα διαγωνισμό Ιταλικής κουζίνας, 0 μαθητές συμμετέχουν σ ένα στο διαγωνισμό Κινέζικης κουζίνας και μαθητές συμμετέχουν και στους δύο διαγωνισμούς Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή α) Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής: i) Να συμμετέχει από τους δύο διαγωνισμούς; ii) Να συμμετέχει μόνο σ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισμούς; iii) Να μην συμμετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισμούς; β) Να βρεθεί ο αριθμός των μαθητών που i) συμμετέχουν σ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισμούς ii) συμμετέχουν μόνο σ έναν από τους δύο διαγωνισμούς α) i) Έστω τα ενδεχόμενα: Α: ο μαθητής να συμμετέχει στο διαγωνισμό Ιταλικής κουζίνας Β: ο μαθητής να συμμετέχει στο διαγωνισμό Ιταλικής κουζίνας 4 0 0,, 0, , 0 0 P( B) P( A) P( B) P( A B) 0, 0,5 0, 0,5, ( ) ( ) ii) ί

34 0, 0, 0, 0, 0, iii) P( B) P( A B) 0,5 0,65 β) i) 0,50 4 έ ( ) ii) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,0 6 έ Σε μία γειτονιά το 70% των σπιτιών έχουν θέρμανση με πετρέλαιο,το 45% των σπιτιών έχουν τζάκι ενώ το 0% έχουν τζάκι και θέρμανση με πετρέλαιο α) Επιλέγουμε τυχαία ένα σπίτι από την παραπάνω γειτονιά i) Να βρείτε την πιθανότητα το σπίτι να μην έχει θέρμανση με πετρέλαιο ii) Να βρείτε την πιθανότητα το σπίτι να έχει μόνο τζάκι ή μόνο θέρμανση με πετρέλαιο β) Αν 0 σπίτια έχουν θέρμανση με πετρέλαιο, να βρείτε : i) τον αριθμό των σπιτιών της γειτονιάς ii) τον αριθμό των σπιτιών που τζάκι Έστω Α: το ενδεχόμενο το σπίτι να έχει θέρμανση με πετρέλαιο και Β: το ενδεχόμενο το σπίτι να έχει τζάκι 70% 0,7, 45% 0, 45 ( ) 0% 0, Τότε : και Α) i) ( ) 0,7 0,, ii) ( ) ( ) ί 0,7 0, 0,45 0, 0,4 0,5 0,55 Β) i) 0, μαθητές 0,7 ii) 0, μαθητές Από τους μαθητές ενός σχολείου, το 85% έχει κινητό, το 45% δεν έχει ηλεκτρονικό υπολογιστή ενώ το 50% έχει και κινητό και ηλεκτρονικό υπολογιστή α)επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή του παραπάνω σχολείου i) Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να μην έχει κινητό ούτε ηλεκτρονικό υπολογιστή ii) Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να έχει μόνο κινητό ή μόνο ηλεκτρονικό υπολογιστή β) Αν 0 μαθητές έχουν ηλεκτρονικό υπολογιστή, να βρείτε : i) το σύνολο των μαθητών του σχολείου ii) το πλήθος των μαθητών που έχουν μόνο κινητό iii) το πλήθος των μαθητών που έχουν και κινητό και ηλεκτρονικό υπολογιστή

35 Έστω Α: το ενδεχόμενο ο μαθητής να έχει κινητό και Β: το ενδεχόμενο ο μαθητής να έχει ηλεκτρονικό υπολογιστή Τότε : 85% 0,85, 45% 0, 45 0,55 και ( ) 50% 0,5 P A B P A B 0,85 0,55 0,5 0,, ( ) ( ) α) i) ii) ί 0,85 0,5 0,55 0,5 0,4 β) i) 0, μαθητές 0,55 ii) 0,85 0,5 0,5 0, iii) 0, μαθητές μαθητές 4 Ένα ενυδρείο έχει 400 ψάρια Από αυτά τα 800 είναι τροπικά ψάρια,τα 800 έχουν κόκκινο χρώμα και τα 600 είναι τροπικά ψάρια με κόκκινο χρώμα Επιλέγουμε τυχαία ένα ψάρι Αν Α: το ενδεχόμενο το ψάρι να είναι τροπικό και Β: το ενδεχόμενο το ψάρι να είναι κόκκινο α) Να βρεθεί η πιθανότητα το ψάρι i) να είναι τροπικό ή να έχει κόκκινο χρώμα ; ii) να μην είναι τροπικό ούτε να έχει κόκκινο χρώμα ; iii) να έχει κόκκινο χρώμα αλλά να μην είναι τροπικό; iv) να είναι τροπικό ή να μην έχει κόκκινο χρώμα ; β) i)να δείξετε ότι p( A B) ii) Να αποδείξετε ότι 5 p( A B) (A), (B), (A B) α) i) (A B) ( ) ( B) ( A B) (A B) ( A B) 6 6 ii) iii) (B A) ( B A) ( B) ( A B) 4

36 iv) ( ) ( ) ( B) ( A B) ( ) ( B) ( A B) ( ) ( B) ( A) ( A B) ( B) ( A B) 4 β) i) B Άρα P( A B) P(B) P( A B) P( A) P( B) P( A B)( ό ό ) P( A B) P( A B) P( A B) ii) Άρα P(A B) P(A) P(A B) P(A) P( A B) P( A B) 4 5 Ένας κήπος έχει 00 δέντρα Από αυτά τα 00 είναι τροπικά,τα 000 είναι οπωροφόρα και τα 00 είναι τροπικά και οπωροφόρα Επιλέγουμε τυχαία ένα δέντρο Αν Α: το ενδεχόμενο το δέντρο να είναι τροπικό και Β: το ενδεχόμενο το δέντρο να είναι οπωροφόρο α) Να βρεθεί η πιθανότητα το δέντρο i) να είναι τροπικό ή να είναι οπωροφόρο ; ii) να μην είναι οπωροφόρο ούτε τροπικό ; iii) να είναι οπωροφόρο αλλά να μην είναι τροπικό; iv) να είναι τροπικό ή να μην είναι οπωροφόρο ; β) i) Να αποδείξετε ότι : P( A B) 4 ii) Να αποδείξετε ότι 7 P( ) ( ), ( ) ( ), ( ), (A B) α) i) (A B) ( ) ( B) ( A B) (A B) ( A B) ii) iii) 5 (B A) ( B A) ( B) ( A B) 6 6 iv) ( ) ( ) ( B) ( A B) ( ) ( B) ( A B) 4

37 5 ( ) ( B) ( A) ( A B) ( B) ( A B) 6 6 β) i) B) Άρα ( A B) ( A) 4 ( A B) ( A) ( B) ( A B)( ό ό ) 5 5 ( A B) ( A B) ( A B) ισχύει ii) άρα ( B A) ( B) ( B ) ( ) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) ισχύει από i) Οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α, Β, Α Β ενός πειράματος τύχης µε δειγματικό χώρο Ω ικανοποιούν την σχέση [Ρ(Α)-] +[Ρ(Β')-] +[6Ρ(Α Β)-] =0 () Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων : α) Να πραγματοποιηθεί µόνο το ενδεχόμενο Α β) Να πραγματοποιηθεί µόνο το ενδεχόμενο Β γ) Να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β δ) Να µην πραγματοποιούνται συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β Επειδή P A 0, P B 0 και 6P A B 0, έχουμε: P A P B 6P A B 0 Από τη σχέση που δίνει έχουμε: ( ), ( ) ( ), ( ) α) ( ) 6 β) ( ) γ) Επειδή τα ενδεχόμενα και είναι ασυμβίβαστα P(A B) ( A) 6 6 δ) ( ) ( ) ( ) 5

38 7 Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι: 9 7 ( ) α) Να εκφράσετε την P(AB) συναρτήσει της Ρ(Α) β) Να βρείτε την Ρ(Α) γ) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί τo Β και να μην πραγματοποιηθεί το Α δ) Αν επιπλέον η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα A, Β είναι 4 να βρείτε: i) την πιθανότητας Ρ(Α Β), ii) την πιθανότητα Ρ(Β) α) 9 7 ( ) - ( ) 6 ( ) 9 6 β) 9 P( A B) 9( P( A)) 6 P( A) 9( P( A)) 6 P( A) 0 ( P( A) ) 0 ΆΡΑ ( ) γ) 9 7 ( ) P( B A) 9( P( A)) 7 P( A) - ( ) P( B A) 9( P( A)) 7 P( A) ( ) δ) i) ii) 8 Από τους 5 μαθητές ενός τμήματος Α Λυκείου ενός σχολείου, οι μαθαίνουν Αγγλικά, οι 8 Γαλλικά Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή της τάξης α) Να δείξετε ότι : 6 ( A B) β) Να αποδείξετε ότι : ( A B) 5 5 6

39 8 A), (B) α) B Άρα ( A B) (B) ( A B) ( A) ( B) ( A B)( ό ό ) ( A B) ( A B) ( A B) ισχύει β) άρα (A B) (A) 5 7

40 9 Δίνεται η παράσταση A x 6x x A x x α) Να δείξετε ότι ΔΙΑΤΑΞΗ-ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ-ΡΙΖΕΣ β) Nα αποδείξετε ότι x για x > 4 x 0x για x> γ) Να δείξετε ότι α) A x 6x x x x x x x β) x 4 x 4 0 A x x x x x x x 0 x x 4 0 αφού x 0 και x 4 0 x 0x x x x 0x γ) x x x x x x x x x 0x 0 x x 5x x x ισχύει αφού >0, 0 x 0 και x 0 0 Αν για τους αριθμούς x,y ισχύει: x y 0x y 6 0 α) Να δείξετε ότι x = 5 και y = - β) Να δείξετε ότι οι αριθμοί x y και x y είναι αντίστροφοι α) γ) Να δείξετε ότι : x y 4 x x y 4 x x y 0x y 6 0 x 0x 5 y y 0 x 5 y 0 x 5 y β) x y x y γ) x y 4 x x y 4 x Αν x 5 4 y 7,να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχεται η τιμή καθεμιάς από τις παραστάσεις: α) x y β) Β= x -y γ)γ= x y και δ) 4 x y 8

41 x 5 () 4 y 7 () α) x 56 x 0 () () () 0 x y 7 β) 4 y 7 4 y 8 (4) () (4) x y γ) 4 y 7 (5) 7 y () (5) 7 x x y 4 7 y δ) 4 x 5 4x 0 (6) 4 y 7 (7) 7 y 4 4 y 7 4 (6) (7) 4x 0 4x 4 y 7 4 y 7 Αν x y 6,να δείξετε ότι: α) x x y y 6 0 β) xy 6x y 8 0 γ) xy xy x y y 6 0 α) x x y y xx y y ισχύει αφού x 0, x x 0, y 6 0 και y 6 y 6 0 β) xy x y x y y y x ισχύει αφού x 0, y6 0 γ) xy xy x y y x y y y y x y y x y 0 0 ισχύει αφού x 0, y 0 y 6 ά y Δίνονται οι παραστάσεις 0 5 και 0 5 Να αποδειχτεί ότι α) β) γ) α)

42 β) γ) Δίνονται οι παραστάσεις Α = x 4 και Β = x 4, α) Να αποδειχτεί ότι x β) Να δείξετε ότι AB 8 για 4 x 4 γ) Να δείξετε ότι A B 6x x α) x 4 x 4 x 4 x 4 x 8x 6 x 8x 6 x β) A B x 4 x 4 x 4 4x 8,αφού x 40 και x 40 γ) a) A B x x x x x x x x 4 0,το οποίο ισχύει 4 5 Δίνονται οι παραστάσεις και Να αποδειχτεί ότι 6 α), β) γ) α) β)

43 γ) Δίνονται οι παραστάσεις Α = x 4 και Β = d x,4 α) Να αποδειχτεί ότι 8x β) Να αποδειχτεί ότι 8, x γ) Να δείξετε ότι 48 x α) x 4 d x,4 x 4 x 4 x 4 x 4 9x 4 x 6 9x 4x 6 8x β) A B x 4 x 4 x 4 4 x 8,αφού γ) x x x 4 4 x 4 0 και x x x 4 4 x 4 0 a) : A B 48 x 8x 48 x 8 x 48 x 0 9 x 4 x 6 0 x 4 0,το οποίο ισχύει 7 α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του x ισχύει : x 4 β) Αν xy, είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με x 7 και 8 y, τότε να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται i) η τιμή της περιμέτρου Π του ορθογωνίου ii) η τιμή του εμβαδού Ε του ορθογωνίου α) x 4 x 4 x 7 x (,7) β) x y, x y Είναι x 7() και 8 y () i) () x 4 () 6 y 4 4

44 Με πρόσθεση των () και () κατά μέλη, έχουμε 8 x y ,8 ii) Με πολλαπλασιασμό των () και () κατά μέλη, έχουμε 8 x y 84 8 E 84 E (8,84) 8 α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του y ισχύει : y 0 7 β) Αν y η πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου με y 7 να αποδείξετε ότι : 9 <Π <5,όπου Π η περίμετρος του ισοπλεύρου τριγώνου γ) Αν x, y είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με 4 x 5 και y 7, τότε να αποδείξετε ότι: i) 4 44, όπου Π είναι η περίμετρος του ορθογωνίου ii) < E<85, όπου Ε το εμβαδόν του ορθογωνίου α) y0 7 7 y 0 7 y 7 x (,7) β) y Είναι y7 9 y γ) Είναι 4 x 5() και y 7 () i) x y () 8 x 0 () 6 y 4 Με πρόσθεση των () και () κατά μέλη, έχουμε 4 x y ii) x y Με πολλαπλασιασμό των () και () κατά μέλη, έχουμε x y 85 E 85 9 Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός x που ικανοποιεί τη σχέση: d x, 7 α) Να αποδώσετε την παραπάνω σχέση λεκτικά β) Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών, να παραστήσετε σε μορφή διαστήματος το σύνολο των δυνατών τιμών του x γ) Να γράψετε τη σχέση με το σύμβολο της απόλυτης τιμής και να επιβεβαιώσετε με αλγεβρικό τρόπο το συμπέρασμα του ερωτήματος (β) δ) Να χρησιμοποιήσετε το συμπέρασμα του ερωτήματος (γ) για να δείξετε ότι: x 4 x0 4 α) η απόσταση του πραγματικού αριθμού x από τον αριθμό είναι μικρότερη ή ίση του 7 4

45 β) O ζητούμενος αριθμός είναι οποιοσδήποτε αριθμός είναι σημείο του ΑΒ ( [-4,0] ) γ) x 7 7 x 7 7 x 7 4 x 0 δ) Επειδή 4 x 0 είναι x 4 0 x 4 x 4 και x 0 0 x 0 x 0 Επομένως x 4 x 0 x 4 x 0 4 4

46 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 0 Δίνεται η εξίσωση λx 8x λ 4, με παράμετρο α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: 8x λ λ λ, β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση την οποία και να βρείτε γ) Για ποια τιμή του λ η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας α) x 8x 4 x 8x 4 8x λ λ λ λ λ λ λ () β) Πρέπει λλ λ Για : x λ 8 λ λ λ λ4 x λ λ λ4 γ) Για λ= : () 0 x 0 άρα είναι ταυτότητα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών Δίνονται οι εξισώσεις : x (4 x ) 6 () και ( x) x () α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η εξίσωση () να έχει μοναδική λύση β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός μ ώστε η εξίσωση () να είναι ταυτότητα γ) Αν λ= και i) να βρεθεί η λύση της εξίσωσης () και ii) να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός μ ώστε οι εξισώσεις () και () να έχουν κοινή λύση α) x (4 x ) 6 x 4x 6 x 4x 6 4 x 6 4 x 4 4 () Για να έχει μοναδική λύση η εξίσωση πρέπει β) ( x ) x x x x x x (4) Για να είναι ταυτότητα πρέπει 0 και 0 Επομένως για μ= η εξίσωση (4) είναι ταυτότητα άρα και η ισοδύναμη της () γ) i) Από την () για λ= έχουμε 4x x ii) Πρέπει ο αριθμός να επαληθεύει την (4) δηλαδή

47 Δίνεται η παράσταση x 5 α) Να γραφεί η παράσταση Α χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Να λύσετε την ανίσωση δ) Να λύσετε την ανίσωση A 5 A 5 0 α) x 0 x x Για x : x 5 x 8 Για x : x 5 x x 5 x x x 6 x ή β) x x 0 x 0 γ) 9 x 5 x 6 x 6 x 9 x ή 6 x x x δ) A 5 A 5 0 x 5 5 x x x 0 x 0 x 0 x Δίνεται η παράσταση B x 4 Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες : α) B x β) 4 x γ) 5 α) B x x x x x x ή x 4 x 5x x β) B 4 x x x, γ) 5 x x 4 x 4 x 7 x ή x 4 x x και x x 4 5 x 9 x 45

48 Άρα x 7,, 4 Δίνεται η παράσταση d x, α) x β) A x γ) x d x, x Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες : α) x x x 0 x 0 x x x x x x ή β) Πρέπει x 0 x x x x x x x x ή x x x ή ή γ) x x 4 x 4 0 x 0 x x x x ή x x x 5 Δίνονται οι παραστάσεις Α= x +4 και Β= x-6 α) Να λυθεί η εξίσωση 5 β) Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της ανίσωσης B 8 γ) Να λυθεί η εξίσωση Α= Β για 0<x< x 4 x 4 5 x 4 x x 4 x 4 0 x 4 0 x α) β) x x 8 x 6 8 x 4 : x x x 4 ή x x και x 4 4 x 4 x 7 46

49 Άρα, 4,7 x και οι ακέραιες λύσεις της ανίσωσης είναι οι αριθμοί 0,,5,6 γ) 0 x 0 x 6 x 6 0 Οπότε Α=x+4 και Β=-x+6 και x 4 x 6 x x δεκτή 6 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί κ,λ για τους οποίους ισχύει: α) Να βρεθούν οι αριθμοί κ,λ β) Για κ= και λ=4 : i) Να λυθεί η εξίσωση x ii) Να λυθεί η εξίσωση x α) k 6 0 k 6 k (άθροισμα μη αρνητικών παραγόντων) x () β) i) Από την () για κ= και λ=4 έχουμε : x 0 x 4 x 4 x x x ii) Από την () για κ= και λ=4 έχουμε : x 4 x 4 x 6 x x x ή x x 4 ή x 4 x x x x 0 ή x x 7 Δίνονται οι παραστάσεις Α = d x, και Β = 7 47 x α) Να λυθεί η ανίσωση A β) Να λυθεί η ανίσωση B 7 γ) Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων α) και β) και να παρασταθούν στον άξονα των πραγματικών αριθμών α) A d x, x x x 9 x x x 5 x 5 ή β) 7 x 7 7 x x x 0 7 x 0 γ) x7, 5,0

50 4 ( x 4x 4)( x 8 x) 8 Δίνεται η παράσταση : x x α) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α β) Να απλοποιήσετε την παράσταση Α γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του x ισχύει : Α=0 x x 0 x x 0 x 0 x 0 x α) Πρέπει β) Επομένως για x 0, ορίζεται η παράσταση Α 4 ( x 4x 4)( x 8 x) ( x ) x ( x 8) x x 8 x x x x γ) x A 0 x x 8 0 x 8 0 x 8 x 9 Δίνονται οι παραστάσεις ( x) x x, α) Να λυθεί η ανίσωση ( x) 0 B( x) x x α) β) Να λυθεί η ανίσωση ( x) 0 γ) ( x) B( x) 5 ( x x x ) x, x 4 Άρα οι λύσεις της ανίσωσης είναι το διάστημα, β) :5 x + x x + (x) 0 5x 0x 0 0 x 4x 4 0 x 0 x γ) ( x) B( x 5 x x 5x 0x 0 5 6x 9x ) x 6 x,

51 x 6x 9x Άρα οι λύσεις της ανίσωσης είναι η ένωση των διαστημάτων,, 40 Δίνονται οι παραστάσεις ( x) x x, B( x) x και α) Να λυθεί η ανίσωση ( x) 0 (x) x x β) Να λυθεί η ανίσωση ( x) γ) Να λυθεί η ανίσωση ( x) 0 δ) Να λυθεί η ανίσωση 4 ( x) ( x) και να γραφούν οι λύσεις της σε μορφή διαστήματος ε) Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου ( 06) (06) και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας α) ( x) x x 0 0 ( ) 4 ( ) Οι ρίζες του τριωνύμου είναι : x, x και ο πίνακας προσήμου του x + x x + + Οι λύσεις της ανίσωσης είναι,, β) x x x x x 0 Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης είναι το διάστημα (-,0) γ) ( x x x ) ( ) ( )

52 Έχει διπλή ρίζα την x x + x x - Η ανίσωση έχει μοναδική λύση την x= δ) 4 ( x) ( x) 4 x x x x Λύνουμε τις ανισώσεις: 4 x x x x 0 ( ) 4 ( ) 4 6 Οι ρίζες του τριωνύμου x x 4 xείναι : x, 4 και ο πίνακας προσήμου του x x - + x + + Οι λύσεις της ανίσωσης είναι (,) x x x x 4x 4x 0 4 x( x ) 0 Οι ρίζες του τριωνύμου 4x 4 xείναι : 0, και ο πίνακας προσήμου του x 0 + 4x 4x + + Οι λύσεις της ανίσωσης είναι (,0] [, ) Η λύση της ανίσωσης 4 x x x x προκύπτει από τη συναλήθευση των δύο παραπάνω ανισώσεων οπότε είναι η ένωση των διαστημάτων (,0] [,) ε) Ο αριθμός 06,, όπου το τριώνυμο Α(x) είναι θετικό,άρα ο αριθμός Α(-06) είναι θετικός 50

53 Το τριώνυμο Γ(x) είναι παντού αρνητικό εκτός από τη ρίζα του το οπότε ο αριθμός Γ(06) είναι αρνητικός Άρα το γινόμενο ( 06) (06) είναι αρνητικός αριθμός 4 α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση β) Δίνεται η εξίσωση: λ x-λ + x () i) Να δείξετε ότι x ii) Να λύσετε την εξίσωση () για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ iii) Όταν η εξίσωση () έχει μοναδική λύση, να αποδείξετε ότι αυτή είναι μεγαλύτερη ή ίση του 4 α) β) i) ii) iii) λ x-λ + x λ x- x + λ - λ x- x + λ - λ ) - i x + λ - x Για η εξίσωση () έχει λύση την x Για λ=0 : () 0 x αδύνατη Για λ= : () 0 x 0 ταυτότητα Για λ=- : () 0 x 0 ταυτότητα x ισχύει 4 Δίνεται η παράσταση x x x 8 α) Να αποδείξετε ότι x x 5, x β) Να λύσετε την εξίσωση 0 γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει: 4 δ) Nα βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει: 0 α) Το τριώνυμο είναι αρνητικό x xέχει διακρίνουσα οπότε

54 x 0 Άρα x x x x x x 8 8 x x 4x 6 x x 5 β) 0 x x5 0 γ ) x, x x x 5 4 x x x, 6 x 4 6 x x x Άρα οι λύσεις της ανίσωσης είναι το διάστημα, δ) Οπότε : 7 6, x x x x x ή x 4 x x 5 x x 8 0 x ή x για για 4 Δίνεται η παράσταση x x α) Να λυθεί η εξίσωση 0 β) Με την βοήθεια του ερωτήματος α) να λυθεί η εξίσωση x γ) Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες 8 0 α) x x, x x 0 ) 4 x x 0 x x 0 0 ί ή β) 5

55 Οπότε x x γ) , Α = - x x xx 0 x 0 ή x 0 x Α = 4 x x 4 x x 6 0 x ή x 44 Θεωρούμε την παράσταση A x x, R α) Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση A=0 να είναι πρώτου βαθμού β) Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση A=0 να είναι δευτέρου βαθμού και έχει ρίζα τον αριθμό γ) Για λ=, να λύσετε την ανίσωση A 0 α) Για να είναι πρώτου βαθμού πρέπει 0 Για λ=- : x β) Για να είναι δευτέρου βαθμού πρέπει 0 και για να έχει ρίζα τον αριθμό πρέπει να την επαληθεύει δηλαδή 0 0 γ) Για λ= : Οπότε A x x A 0 x x x 4, x 4 x + x x + Άρα οι λύσεις της ανίσωσης είναι το διάστημα, 45 Δίνεται η εξίσωση : ( ) x x 0,λ () α) Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει ρίζες πραγματικές και άνισες β) Να λυθεί η εξίσωση x x x x,όπου x, x οι ρίζες της εξίσωσης () γ) Να βρεθεί ο λ R ώστε να έχει ρίζα το 5

56 α) Για να έχει ρίζες πραγματικές και άνισες πρέπει ισχύει αφού 0, 0 :4 β) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε S x x, P x x 4 Οπότε x x x x γ) Για να έχει η εξίσωση () ρίζα το πρέπει να την επαληθεύει δηλαδή α) Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση x x x έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες β) Αν x, x οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να βρείτε για ποιες τιμές του οι ρίζες αυτές ικανοποιούν τη σχέση x x xx γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει πραγματικό x x x x για κάθε x x x x x x 0 x x 0 α) Πρέπει η εξίσωση να είναι ου βαθμού δηλαδή 0 και (: ) , 4 β) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε S x x και P x x Οπότε x x xx x x xx xx και 9 6 9,

57 γ) x x x x x 0 Πρέπει 0 (,0) (4, ) και 0 Άρα για (,0) ισχύει x x x για κάθε πραγματικό x 47 Δίνεται η εξίσωση x x 0 α) Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές; β) Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και αντίστροφες; γ) Αν x και x είναι οι δυο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης να βρεθούν τα ώστε να ισχύει x x x x 4 δ) Αν x και x είναι οι δυο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης να βρεθεί η εξίσωση που έχει ρίζες και x x α) Πρέπει P x x β) Πρέπει 0 και 4 γ) Από τις σχέσεις Vieta έχουμε S x x και x x x x 4 x x x x x x (:) 4 0 0, x x δ) S x x x x x x x x Η ζητούμενη εξίσωση είναι η x Sx P 0 x x 0 x ( )x 0 55 P x x 48 Δίνονται τα τριώνυμα x ( ) x και x 6x 4 α) Αν το Α έχει ρίζα τον αριθμό, να αποδείξετε ότι το Β έχει πραγματικές ρίζες και άνισες β) Για λ = - 4, αν x, xείναι οι ρίζες του Β, να βρείτε την τιμή της x x παράστασης x x 6

58 α) Αφού το f(x) έχει ρίζα τον αριθμό ισχύει ότι f ( ) 0 ( ) ( ) ( ) Οπότε f (x) x x και g(x) x 6x 8 Δ= 6 48 ( ) άρα το τριώνυμο g(x) έχει πραγματικές ρίζες και άνισες β) Για 4 : g(x) x 6x Από τις σχέσεις Vieta έχουμε S x x 6 και P x x 8 x x 4xx x 4x x x x x x x 6 x x x x 6 x x x x Δίνεται η εξίσωση x ( ) x 0 () με, 0 α) Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες για οποιεσδήποτε τιμές των κ,λ β) Να λυθεί η εξίσωση γ)αν μία ρίζα της εξίσωσης () είναι ο αριθμός,να δείξετε ότι ο αριθμός της εξίσωσης x x ( ) 0 () α) Για να έχει ρίζες πραγματικές πρέπει β) x 0 0 ισχύει x γ) Αφού ο α είναι ρίζα της () την επαληθεύει δηλαδή : 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 Άρα ο επαληθεύει την () οπότε είναι ρίζα της 56

59 ΠΡΟΟΔΟΙ 50 Δίνεται αριθμητική πρόοδος (αν), της οποίας ο 0ος όρος είναι 9 και το άθροισμα των πρώτων 7 όρων είναι 77 Να βρείτε: α) τον πρώτο όρο α και τη διαφορά ω της (αν) β) τον 0ο όρο της (αν) γ) ποιος όρος της (αν) είναι ίσος με 4 δ) το άθροισμα των πρώτων 5 όρων της (αν) ε) πόσοι πρώτοι όροι της (αν) έχουν άθροισμα 60 α) () 7 S () () 6 8 () 7 9 β) γ) 6 () : S δ) S ε) 0 60, 6 απορρίπτεται 5 Δίνεται γεωμετρική πρόοδος (αν), της οποίας ο 4ος όρος είναι -8 και 0 7ος όρος είναι 87 Να βρείτε: α) τον πρώτο όρο α και το λόγο λ της (αν) β) τον 9ο όρο της (αν) γ) ποιος όρος της (αν) είναι ίσος με 4 δ) το άθροισμα των πρώτων 5 όρων της (αν) ε) πόσοι πρώτοι όροι της (αν) έχουν άθροισμα 74 α) 8 8 () () 57

60 () 7 () β) γ) δ) S ε) S Οι αριθμοί x, x x 6,x είναι διαδοχικοί όροι μίας αριθμητικής προόδου α) Να αποδείξετε ότι x β) Να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου γ) Αν 0 50, να βρείτε: i) τον πρώτο όρο της προόδου ii) το άθροισμα S 0 των 0 πρώτων όρων της προόδου α) Γνωρίζουμε ότι όταν αριθμοί α, β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ότι οπότε x x 6 x x 4x 6x x x 6x 9 0 x 0 x 0 x β) Για x έχουμε τους αριθμούς 0,5,0 Η διαφορά ω είναι ίση με τη διαφορά δύο διαδοχικών όρων της οπότε γ) i) ii) S Δίνεται ακολουθία (αν) για την οποία ισχύει 5 α) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (αν) είναι αριθμητική πρόοδος β) Να βρείτε το άθροισμα των 8 πρώτων όρων της (αν) γ) Να βρείτε το άθροισμα S δ) Nα δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης x 8x95 0 είναι διαδοχικοί όροι a 58

61 της (αν) α) Αρκεί να δείξουμε ότι, 5 5 Οπότε η ( ) είναι αριθμητική πρόοδος με 5 8 S S β) γ) δ) S S a a a a a a S, ( ) x ( ) x S x 5, x , Δίνεται ακολουθία (αν) για την οποία ισχύει α) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (αν) είναι γεωμετρική πρόοδος β) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων όρων της (αν) γ) Να βρείτε το άθροισμα S δ) Nα βρείτε την εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τον ο και τον ο όρο της προόδου (αν) * α) Αρκεί να δείξουμε ότι, 9 Οπότε η ( ) είναι γεωμετρική πρόοδος με 59

62 β) S 9, S γ) a a a a a a S8 S S , 7 δ) S a a, P a a Οπότε η ζητούμενη εξίσωση είναι η x x 0 8 x 90 x Δύο αριθμοί έχουν αριθμητικό μέσο 0 και γεωμετρικό μέσο 8 α) Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς β) Αν ο μικρότερος από τους αριθμούς που βρήκατε είναι ο 4ος όρος και ο μεγαλύτερος είναι ο 6ος όρος μιας γεωμετρικής προόδου (αν) με θετικούς όρους, να βρείτε τον πρώτο όρο και το λόγο της (αν) γ) Αν ο μικρότερος από τους αριθμούς που βρήκατε είναι ο 5ος όρος και ο μεγαλύτερος είναι ο 9ος όρος μιας αριθμητικής προόδου (βν) με θετικούς όρους, να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της (βν) δ) Να βρείτε τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου (βν) που ξεπερνάει τον 5ο όρο της γεωμετρικής προόδου (αν) α) Έστω α,β οι ζητούμενοι αριθμοί Τότε () και 8 64 () 60

63 β) () () () () , Άρα οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι 4,6 () () () () () γ) () () () 4 () 4 8 δ) 8 5 Άρα ν= Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκη πλευρών α, β, τέτοια ώστε οι αριθμοί α,4,β με τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου α) Να αποδείξετε ότι 6,όπου Π η περίμετρος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου β) Αν α,β ρίζες της x 4 x6 0, 0, 4 τότε: i) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ii) Να δείξετε ότι στην περίπτωση αυτή έχουμε τετράγωνο 6

64 α) Επειδή οι αριθμοί α,4,β είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ισχύει ότι () β) i) Από τις σχέσεις Vieta S a ii) 8 8 () Από τις σχέσεις Vieta () 8 () P Από την () οπότε έχουμε τετράγωνο 57 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν βακτήρια Μετά από ώρα υπάρχουν 0400 βακτήρια, μετά από ώρες 500 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα α) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν μετά από 6 ώρες; β) Τη χρονική στιγμή όμως που τα βακτήρια ήταν 00, ο οργανισμός παρουσίασε ξαφνική επιδείνωση Ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε πάλι να αυξάνεται ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται Το φαινόμενο αυτό διήρκεσε για 5 ώρες Συμβολίζουμε με βν το πλήθος των βακτηρίων ν ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης (v 5) i) Να δείξετε ότι η ακολουθία (βν) είναι γεωμετρική πρόοδος, και να βρείτε τον πρώτο όρο και το λόγο της ii) Να εκφράσετε το πλήθος βν των βακτηρίων συναρτήσει του ν iii) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν στον οργανισμό ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης; Επειδή ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε ώρα έχουμε γεωμετρική πρόοδο με 0400 βακτήρια και 6

65 5 α) Μετά από 6 ώρες θα έχουμε βακτήρια β) i) Μετά από μία ώρα θα έχουμε βακτήρια Επειδή ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε να τριπλασιάζεται έχουμε γεωμετρική πρόοδο με 9600 και λ= 5 ii) iii) 9600 βακτήρια Η τιμή αγοράς ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή είναι μεγαλύτερη από 60 και μικρότερη από 640 Κατά την αγορά συμφωνήθηκαν τα εξής: Να δοθεί προκαταβολή 0 Η εξόφληση του υπόλοιπου ποσού να γίνει σε δέκα μηνιαίες δόσεις Κάθε δόση να είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη κατά ω όπου ω θετικός ακέραιος Η τέταρτη δόση είναι 48 α) Να εκφράσετε το ποσό της πρώτης δόσης ως συνάρτηση του ω β) Να εκφράσετε την τιμή αγοράς σαν συνάρτηση του ω γ) Να βρείτε την τιμή του ω δ) Να βρείτε το ποσό της τελευταίας δόσης ε) Να βρείτε την τιμή αγοράς του ηλεκτρονικού υπολογιστή Αν Α είναι η τιμή αγοράς του Η/Υ και Β το οφειλόμενο υπόλοιπο, τότε θα έχουμε ότι: Α = 0 + Β Έστω τώρα α η πρώτη δόση, α η δεύτερη δόση,, και α0 η δέκατη δόση Τότε θα έχουμε: α α = α + ω α 0 = α 9 + ω δηλαδή μία αριθμητική πρόοδο µε πρώτο όρο α και διαφορά ω α) Το ποσό της πρώτης δόσης είναι ο πρώτος όρος α της αριθμητικής προόδου Από την υπόθεση έχουμε ότι α4 = 48 Επομένως: 48 =

66 β) Η τιμή αγοράς Α θα είναι ίση µε 0 S0, όπου S0 είναι το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου (δηλαδή το άθροισμα των 0 δόσεων) και το 0 είναι τα 0 που δώσαμε ως προκαταβολή Άρα: 0 0 S γ) Επειδή η τιμή της αγοράς του υπολογιστή είναι μεγαλύτερη από 60 και μικρότερη από 640 θα έχουμε ότι: ,,6 5 5 Και επειδή ο ω είναι ακέραιος, προκύπτει ότι: ω = δ) Η τελευταία δόση είναι η δέκατη, δηλαδή ο δέκατος όρος α0 της αριθμητικής προόδου οπότε: = =60 ε) Επειδή είναι ω =, έχουμε: Ένα μυρμήγκι περπατάει πάνω σε ένα ευθύγραμμο κλαδί μήκους m,με τον ακόλουθο τρόπο: Ξεκινάει από το ένα άκρο του κλαδιού και το ο λεπτό προχωράει cm, το ο λεπτό προχωράει cm και, γενικά, κάθε λεπτό διανύει απόσταση κατά cm μεγαλύτερη από αυτήν που διάνυσε το προηγούμενο λεπτό α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει το μυρμήγκι κάθε λεπτό της κίνησής του, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε τον v-οστό όρο αν αυτής της προόδου β) Να βρείτε τη συνολική απόσταση που κάλυψε το μυρμήγκι τα πρώτα 5 λεπτά της κίνησής του γ) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το μυρμήγκι θα φτάσει στο άλλο άκρο του κλαδιού δ) Υποθέτουμε τώρα ότι, την ίδια στιγμή που το μυρμήγκι ξεκινάει την πορεία του, από το άλλο άκρο του κλαδιού μία αράχνη ξεκινάει και αυτή προς την αντίθετη κατεύθυνση και με τον ακόλουθο τρόπο: Το ο λεπτό προχωράει cm, το ο λεπτό προχωράει cm, το ο λεπτό προχωράει 4 cm και, γενικά, κάθε λεπτό διανύει απόσταση διπλάσια από αυτήν που διένυσε το προηγούμενο λεπτό i) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει η αράχνη κάθε λεπτό της κίνησής της, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και να βρείτε τον v-οστό όρο βν αυτής της προόδου ii) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το μυρμήγκι και η αράχνη θα βρεθούν αντιμέτωπα σε απόσταση cm α) Από ορισμό αριθμητικής προόδου οι αποστάσεις που διανύει το μυρμήγκι κάθε λεπτό της κίνησής του, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο 64

67 α = και διαφορά ω= (κάθε λεπτό διανύει απόσταση κατά cm μεγαλύτερη από αυτήν που διάνυσε το προηγούμενο λεπτό) Ο ν-οστός όρος είναι ( ) ( ) β) Η συνολική απόσταση που κάλυψε το μυρμήγκι τα πρώτα 5 λεπτά της κίνησής του είναι : S5 5 a 4 5 (4 ) 5 ( 4) 55 5cm γ) S 00 ( ) 00 ( ) min δ) i) Από ορισμό γεωμετρικής προόδου οι αποστάσεις που διανύει η αράχνη κάθε λεπτό της κίνησής της, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο και λόγο λ= (κάθε λεπτό διανύει διπλάσια απόσταση από αυτήν που διάνυσε το προηγούμενο λεπτό) Ο ν-οστός όρος είναι ii) Αν S ν η απόσταση που διανύει η αράχνη σε ν λεπτά,τότε: S S v ( ) Για είναι 00 Για είναι Για είναι Για 4 είναι Για 5 είναι Για 6 είναι Για κάθε 7 είναι 00, άρα 6 65

68 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 60 Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f α) Nα προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών: x - - y - - γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες δ) Να προσδιορίσετε τα διαστήματα του πεδίου ορισμού στα οποία η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές α) Οι προβολές όλων των σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στον άξονα χ χ, δημιουργούν το σύνολο,6, άρα,6 f β) x y γ) Είναι τα σημεία (-,0), (,0),(4,0) με τον χ χ και το (0,-) με τον y y δ) τα διαστήματα του πεδίου ορισμού στα οποία η συνάρτηση παίρνει αρνητικές, 4,6 τιμές είναι : 66

69 6 Στο παρακάτω σύστημα συντεταγμένων δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f α) Nα προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών: x y - -4 γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες δ) Να προσδιορίσετε το διάστημα του πεδίου ορισμού στο οποίο η συνάρτηση παίρνει θετικές τιμές α) Οι προβολές όλων των σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στον άξονα χ χ, δημιουργούν το σύνολο,8, άρα f,8 β) x y γ) Είναι τα σημεία (-,0),(6,0) με τον χ χ και το (0,) με τον y y δ) Είναι στο διάστημα (-,6) x x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της 0 f 6 Δίνεται η συνάρτηση f x β) Να βρείτε τις τιμές f και γ) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x x δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y α) Πρέπει x 0 x 67

70 Οπότε f 0 β) f 0, f 0 γ) Για να βρούμε το σημείο τομής με τον άξονα χ χ λύνουμε την εξίσωση x f x 0 0 x 0 x x Επομένως το ζητούμενο σημείο είναι το Α(-,0) δ) Για να βρούμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y λύνουμε την εξίσωση x 7 f x x x x x 6 x 7 x x 7 Οπότε το ζητούμενο σημείο είναι το, 6 Δίνεται η συνάρτηση f x x 8x 4 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να λύσετε την ανίσωση x 8x 4 8x x 40 γ) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα yy δ) Να εξετάσετε αν το σημείο, ανήκει στη γραφική παράσταση της f α) Πρέπει x 8x 4 0 x 6x 8 0 x 4,4 β) Οπότε f x 8x 4 8x : x 40 x 6 x 4 4 x 4 γ) Το 0 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού οπότε η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα yy δ) Για να ανήκει στη γραφική παράσταση της f πρέπει : f ισχύει x 64 Δίνονται η συνάρτηση f( x) x 7 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρεθούν τα σημεία τομής της f τους άξονες γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης της f το οποίο να βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ δ) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α, B 4, ανήκουν στη γραφική παράσταση της f, α) Πρέπει x 0 x και x 7 0 x 7 68

71 Οπότε,7 f β) Για να βρούμε το σημείο τομής με τον άξονα χ χ λύνουμε την εξίσωση x f x 0 0 x 0 x 0 x x 7 Επομένως το ζητούμενο σημείο είναι το Α(,0) Το 0 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού οπότε η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα yy γ) Παρατηρούμε ότι f x 0 για κάθε x,7 παράστασης της f το οποίο να βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ δ) Για να ανήκουν στη γραφική παράσταση της f πρέπει : f 7 4 οπότε δεν υπάρχει σημείο της γραφικής ισχύει και 4 f 4 άτοπο Οπότε το σημείο Α ανήκει στη γραφική παράσταση 4 7 της f ενώ το Β δεν ανήκει x x a 65 Δίνεται η συνάρτηση f( x) x 7x 6 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού α, αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση A, της f διέρχεται από το σημείο γ) Αν, τότε: i) Να απλοποιηθεί ο τύπος της συνάρτησης ii) Να βρεθούν τα σημεία τομής της με τους άξονες iii) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y = α) Πρέπει x 7x 6 0 x x 6 Οπότε f 6, β) Αφού διέρχεται από το σημείο Α f a a a 0 a 8 a 4 x x γ) Για α=- : f( x) x 7x 6 i) x x x, x

72 Οπότε x x x x x x f( x) x x x 7x6 x x x x 6 x x 6 ii) Για να βρούμε τα σημεία τομής με τον άξονα χ χ λύνουμε την εξίσωση x f x 0 0 x 0 x x x 6 Επομένως το ζητούμενο σημείο είναι το,0 Για να βρούμε το σημείο τομής με τον άξονα y y βρίσκουμε το σημείο με τετμημένη 0 δηλαδή f 0 Οπότε το ζητούμενο σημείο είναι το 0, 6 iii) Για να βρούμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y λύνουμε την εξίσωση x f x x x 6 x x x 4 x 6 4, Οπότε το ζητούμενο σημείο είναι το και 66 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f β) Να βρείτε τις τιμές f (0), f () και f (f (4)) γ) Να λύσετε την εξίσωση f (x) = 0 δ) Να λύσετε την εξίσωση f (x) = - ε) Να λύσετε την ανίσωση f (x) > α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι : f 5,9 και το σύνολο τιμών της,4 β) f 0, f, f f 4 f f A γ) Οι λύσεις της εξίσωσης f x 0 είναι οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ χ f x 0 x ή x ή x 6 Άρα δ) Οι λύσεις της εξίσωσης f x είναι οι τετμημένες των σημείων της καμπύλης για τα οποία y Επειδή το σημείο 5, της καμπύλης είναι το μοναδικό με y, έχουμε: f x x 5 ε) Οι λύσεις της ανίσωσης f x είναι οι τετμημένες των σημείων της καμπύλης για τα οποία η τεταγμένη τους είναι μεγαλύτερη από, άρα f x x 0 x, 0 70

73 67 Δίνεται η συνάρτηση : ( ) f x x x Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(0,-) και Β(,0) : α) Να βρείτε τους αριθμούς κ και λ β) Έστω κ=,λ= i) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τη γραφική παράσταση της g x x ii) Να βρείτε την σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g α) Αφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται διέρχεται από τα σημεία Α και Β έχουμε : f 0 και f f x x x β) Για κ=,λ= : i) Για να βρούμε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g λύνουμε την εξίσωση f x g x x x x x x x, x g 0 f, g f Οπότε τα σημεία τομής τους είναι τα,0 και f x g x x x ii), x + x x Επομένως η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g για x,, και κάτω από τη γραφική παράσταση της g για x, x 4 x 6x 9 68 Δίνεται η συνάρτηση f( x) x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και στη συνέχεια να απλοποιήσετε τον τύπο της β) Να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση f γ) Να λύσετε την εξίσωση f ( x) 4x 6 7

74 ισχύει και x 0 x α) Πρέπει x x x Άρα β) f x 4 x 6x 9 x 4 x ( ) x 4 x f x x x x x 4 x Για x> : f( x) x 4 και x x 4 x για x< : f( x) x x4, x Επομένως f x x 4, x x 4 γ) Για x> : f ( x) 4x 6 x 4 4x 6 x 4 x 4 x 4 x 4 0 x 4 x x 0 x 4 x 0 x 4x x x x x ί ή 4x 0 0 4x 0 x ί 5 Για x< : f ( x) 4x 6 x 4 4x 6 x 4x 4 x 4 x 4 0 x 4 x x 0 x 4 x 0 x 4x x x x x ή ή 4x 6 0 4x 6 x ή 7

75 69 Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) = x + x +5 και g(x) = x - x+ 4 και έστω ε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(,f()) και B(,g()) α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) β) Έστω Γ και Δ τα σημεία της ευθείας ε με τεταγμένες -0 και 0 αντίστοιχα Να βρείτε: i) τις τετμημένες των Γ και Δ, ii) τα συμμετρικά των Γ και Δ ως προς γ) Nα βρείτε το κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων της f και g δ) Nα βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη (ε) α) f , g f Έστω ( ) : y 5x g ,5 ( ) οπότε και ( ) : y 5x 5 β) i) Για y 0 5x 5 0 5x 5 x 7 οπότε Γ(7,-0) Για y 0 5x 5 0 5x 5 x οπότε Δ(,0) ii) Τα συμμετρικά των Γ, Δ ως την διχοτόμο του ου και ου τεταρτημορίου είναι 0,7 0, αντίστοιχα και γ) ) Για να βρούμε το σημείο τομής των δύο γραφικών παραστάσεων λύνουμε την εξίσωση f x g x x x 5 x x 4 4x x f 5 5 g Οπότε το ζητούμενο σημείο είναι το, 4 6 f x 5x 5 x x 5 5x 5 x 8x 0 0 δ) x 0 + x 8x 0 Επομένως η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη (ε) για x, 0, x9, x 70 Δίνεται η συνάρτηση f( x) 6x, x 4 α) Να υπολογιστούν οι τιμές: f, f (0), f (), f (), 7 f 4 4 β) Nα βρείτε τα συμμετρικά των σημείων,f, B(, f()) ως προς την αρχή των αξόνων γ) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση 7

76 α) 4 f 4 9 f β) Τα συμμετρικά των σημείων γ) 4,, f , f 9, και, f 6, 4 4,f, B(, f()) ως προς την αρχή των αξόνων είναι τα 7 Δίνεται η συνάρτηση f x 4 x a, x ax, x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f β) Να βρείτε τα α, β, ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από τα σημεία,5 και,8 γ) Για α = β = i) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 ii) Να βρείτε τα συμμετρικά Α,Β των Α,Β αντίστοιχα ως προς τον άξονα y y α) x x x,, x x, οπότε f,,, β) Αφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία,5 και,8 f 5 4 a 5 a και f γ) Για α = β = : f x 4x, x x, x

77 i) Για x : f x 0 4x 0 4x x δεκτή 4 Για x : f x 0 x 0 x x απορρίπτονται ii) τα συμμετρικά Α,Β είναι,5 και,8 8x 0, x 7 Δίνεται η συνάρτηση f( x) 0 x 4, x α) Να υπολογιστούν οι τιμές: f (), f ( 4), f ( ), f () β) Να δείξετε ότι τα σημεία Α(, f () ) και Β(-4, f ( 4) ) είναι συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο της ης και ης γωνίας των αξόνων γ) Να δείξετε ότι τα σημεία Γ(, f () ) και Δ(-, f ( ) ) είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων α) f f f f f και f β) Αρκεί 4 γ) Αρκεί f f 4, το οποίο ισχύει γιατί τότε Α(,-4) και Β(-4,) 6 6 ισχύει 7 Έστω τα σημεία Α,, Β(,-) και Γ, τα οποία: α) τα σημεία Α,Β να είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων β) Α,Γ να είναι συμμετρικά ως προς τον y y γ) Β,Γ να είναι συμμετρικά ως προς την διχοτόμο της γωνίας x y 9 δ) το σημείο Α να ανήκει στην ευθεία y x 4 Να βρείτε τα, για α) Για να είναι τα σημεία Α,Β συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων πρέπει να έχουν αντίθετες συντεταγμένες δηλαδή 0 ή και ή 0 β) Για να είναι τα σημεία Α,Γ συμμετρικά ως προς τον y y πρέπει να έχουν ίδιες τεταγμένες και αντίθετες τετμημένες οπότε: ή και γ) Για να είναι τα σημεία Β,Γ συμμετρικά ως προς την διχοτόμο της γωνίας xyπρέπει 75

78 και 0 0 δ) Για να ανήκει στην ευθεία 9 y x πρέπει x, x 74 Δίνεται η συνάρτηση: f ( x) x, x με α, β R, της οποίας η γραφική x5, x παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(-,-6)και Β(4,) α) Να βρείτε τις τιμές των α και β β) Αν α= και β=4 f, f 0, f ( f 0, f 4 i) Να βρείτε τις τιμές ii) Να βρείτε τα συμμετρικά των σημείων Α και Β ως προς την διχοτόμο του ου - ου τεταρτημορίου iii) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ iv) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f α) H γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(-,-6)και Β(4,) οπότε 6 f 6 a 6 a και f x, x β) Για α= και β=4 : f ( x) x, x 4x5, x i) f f 0 0 f f f 0 f ii) Τα συμμετρικά των σημείων Α και Β ως προς την διχοτόμο του ου - ου iii) τεταρτημορίου είναι τα 6, και, Έστω 7 :y 6 x 7 οπότε και 6 7 :y x 6 76

79 iv) 75 Δίνεται η συνάρτηση gx x x 4 x κx λ α) Να βρείτε τις τιμές των κ, λ β) Για κ και λ, i) να απλοποιήσετε τον τύπο της g g α g β 0 ii) να δείξετε ότι: όταν α,β,,, η οποία έχει πεδίο ορισμού το,, και είναι ρητή, οι αριθμοί και είναι ρίζες του παρονομαστή Άρα κ λ 0 4 κ λ 0 κ λ 4 () και α) Επειδή η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το κ λ 0 κ λ () Αφαιρώντας από την () τη (), έχουμε: κ λ κ λ 4 κ 4 κ κ Από τη () για κ έχουμε λ λ β) i) Για κ και λ είναι g x x x 4 x x x x x x x x gx x x ii) Είναι gα gβ α α β β Επειδή α,β,,, είναι α 0, α 0, β 0, β 0, οπότε gα gβ 0 76 Δίνονται οι ευθείες : : y x 06 : y x 0 α) Να βρείτε για ποια τιμή του α, οι ευθείες ε και ε είναι παράλληλες β) Για α=, να βρείτε: i) το σημείο τομής Α της ε με τον y'y, ii) το σημείο τομής Β της ε με τον χ'χ iii) τα συμμετρικά των σημείων Α και Β ως προς την αρχή των αξόνων και 77

80 α) / / β) Για α= : : 06 : yx 0 i) Το σημείο Α έχει τετμημένη 0 οπότε με αντικατάσταση στην έχουμε y0 06 y 06 Επομένως 0, ύ ή ii) Το σημείο B έχει τεταγμένη 0 οπότε με αντικατάσταση στην έχουμε x 0 x 0 x 5 Επομένως B,0 iii) Τα συμμετρικά των σημείων Α και Β ως προς την αρχή των αξόνων είναι τα 0, 06 και 5,0 77 Έστω ότι οι ευθείες y και y : 6 x α) Να βρείτε τον αριθμό λ β) Αν 5 και το σημείο Α(μ-0, 5-μ) ανήκει στην ευθεία ε : i) να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας (ε) με τους άξονες ii) να βρείτε τον αριθμό μ γ) Για να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α ως προς: i) τον άξονα χ'χ, ii) τον άξονα y'y, iii) την αρχή των αξόνων, iv) τη διχοτόμο της ης και ης γωνίας των αξόνων δ) Έστω Β το σημείο της ευθείας ζ με τεταγμένη Να βρείτε: i) την τετμημένη του σημείου Β, ii) το τεταρτημόριο που ανήκει το Β α) : 4 5 x 6 είναι παράλληλες / / β) Για λ=5 : : y 5x και : y 5x 6 i) Τα σημεία τομής της (ε) με τον άξονα χ χ έχουν τεταγμένη 0 οπότε y 0 5x 0 5x x 5 Επομένως το ζητούμενο σημείο είναι το B,0 5 Τα σημεία τομής με τον άξονα y y έχουν τετμημένη 0 οπότε y 50 Επομένως το ζητούμενο σημείο είναι το 0, ii) Tο σημείο Α(μ-0, 5-μ) ανήκει στην ευθεία ε οπότε

81 γ) Για μ= : A, 7 i),7 ii) E, 7 iii) Z,7 iv) H 7, δ) i) To B είναι σημείο της ευθείας (ζ) οπότε 5x 6 5x 5 x, Άρα ii) Το σημείο Β ανήκει στο ο τεταρτημόριο 78 Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο Π=40cm Αν x cm είναι το μήκος του παραλληλογράμμου, τότε : α) να αποδείξετε ότι 0 x 0 β) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε(x) του ορθογωνίου δίνεται από τη σχέση: E x 0x x γ) να αποδείξετε ότι ισχύει x 00, για κάθε x (0, 0) δ) να αποδείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο 40cm, εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν είναι το τετράγωνο πλευράς 0cm α) Έστω y το πλάτος του ορθογωνίου (:) 40 x y 40 x y 0 y 0 x () Επειδή x, y μήκη πλευρών x, y >0 Από την σχέση () ισχύει : y 0 x 0 Άρα 0 x 0 β) ( x) x y x (0 x) 0x x x 00 0x x 00 x 0x 00 0 ( x 0) 0 ύ γ) δ) H μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει το εμβαδόν είναι : x 00 0x x 00 x 0x 00 0 ( x 0) 0 x 0 0 x 0cm Για x 0 y 0 0 y 0 cm Tο μεγαλύτερο εμβαδόν έχει το τετράγωνο πλευράς 0cm 79

82 79 Μια μικρή εταιρεία πουλάει βιολογικό ελαιόλαδο στο διαδίκτυο Στο διπλανό παραπάνω σχήμα, παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης που περιγράφει τα έξοδα Κ(x) και τα έσοδα Ε(x) από την πώληση x λίτρων λαδιού σε ένα μήνα α) Να εκτιμήσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των δύο ευθειών και να ερμηνεύσετε τη σημασία του β) Ποια είναι τα αρχικά (πάγια) έξοδα της εταιρείας; γ) Πόσα λίτρα ελαιόλαδο πρέπει να πουλήσει η εταιρεία για να μην έχει ζημιά δ) Να βρείτε τον τύπο των συναρτήσεων K(x) και Ε(x) και να επαληθεύσετε αλγεβρικά την απάντηση του ερωτήματος (γ) α) Οι συντεταγμένες του σημείου τομής είναι (00,500), δηλαδή όταν πουλήσει 00 λίτρα λάδι δεν θα έχει ούτε κέρδος ούτε ζημία β) Τα αρχικά έξοδα της εταιρείας είναι : K(0) =00 ευρώ γ) Για μην έχει ζημιά πρέπει Έσοδα περισσότερα από τα έξοδα, δηλαδή: (x) K(x) x 00 ί δ) Η ευθεία που περιγράφει τα έσοδα είναι της μορφής y x αφού διέρχεται από την αρχή των αξόνων 00,000 ανήκει στην ευθεία αυτή Άρα οι συντεταγμένες Το σημείο 000 του την επαληθεύουν : () 00 Επομένως ο τύπος της Ε(x) είναι : ( x) 5x Η ευθεία που περιγράφει τις ετήσιες δαπάνες είναι της μορφής yx Τα σημεία (0,00), (00,800) ανήκουν στην ευθεία αυτή Άρα οι συντεταγμένες τους την επαληθεύουν : () () Επομένως ο τύπος της Κ(x) είναι : Κ(x)=x+00 (x) K(x) 5x x 00 x 00 x 00 ί Άρα οι εκτιμήσεις στο α) ερώτημα ήταν σωστές 80

83 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ 80 Θεωρούμε το βασικό σύνολο 0,,,, 4,5,6,7,8,9,0 και την εξίσωση x x 0, Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου α) Α: η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες, β) Β: η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες γ) Γ: η εξίσωση να έχει μία ρίζα δ) Ζ : η εξίσωση να έχει ρίζες ετερόσημες οπότε 0, και ή οπότε,, 4,5,6,7,8,9,0 και ή οπότε και α) Πρέπει 0 6 β) Πρέπει 0 6 γ) Πρέπει 0 6 δ) Πρέπει 0 6 ή και P x x οπότε, 4,5,6,7,8,9,0 και 8 Δίνεται η ευθεία (ε) : y P( ) x,όπου και τα σημεία της 0, και, P A α) Να βρείτε την πιθανότητα β) Να βρείτε την πιθανότητα P γ) αν PB A 9 P A η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α, i) να βρείτε τη πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α,Β ii) να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα μόνο από τα Α,Β α) Το σημείο Γ ανήκει στην (ε) οπότε P( ) 0 β) Το σημείο Δ ανήκει στην (ε) οπότε P( ) 9 P( ) 9 P( ) P( ) () 9 ()

84 , 4 ί 9 9 γ) PB A i) ii) 8 Έστω Ρ(Α) και Ρ(Β) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω Για τον αριθμό Ρ(Α) ισχύει: P( A) P( A ), ενώ ο αριθμός Ρ(Β) είναι ρίζα της εξίσωσης: α) 6x x 0 α) Να βρείτε τους αριθμούς Ρ(Α) και Ρ(Β) β) Αν Ρ(Α)= και Ρ(Β)= και η πιθανότητα να συμβούν ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Α και Β είναι, να υπολογίσετε: 6 i) την πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β ii) την πιθανότητα να συμβεί το πολύ ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β iii) την πιθανότητα να συμβεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β 0P A P( A) P( A) P A P A P A P A 6x x x 6 Άρα PB 6 β) i) 5 4 x 0 απορρίπτεται 6, ii), iii) ί Δίνονται οι παραστάσεις A x και B x A 4 5 A α) Να λύσετε τη εξίσωση β) Να λύσετε την εξίσωση A B γ) Αν x, τότε: i) να μετατρέψετε τη παράσταση σε ισοδύναμη με ρητό παρονομαστή B A 8

85 ii) Να αποδείξετε ότι A A A A 4 5 A x x x α) β) 0 4 x x x x A B x x x x x ύ ή γ) Για x= : A, B 6 i) ii) BA Δίνεται η συνάρτηση f x x x 4x 4 x 4 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β) Nα δείξετε ότι f x x γ) Να λυθεί η ανίσωση f x δ) Να λυθεί η εξίσωση fx x x x α) Πρέπει β) f x x 4 0 x 4 x οπότε A, f 4 x x 4 x x 4x 4 x x x x 4 x 4 γ) f x x x x x ή x x και x x x 4 x 4 x Άρα οι λύσεις της ανίσωσης είναι η ένωση των διαστημάτων,, 4 δ) Πρέπει x,, x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x 0 x x x 0 x 0 x δεκτή 8

86 85 Δίνονται οι παραστάσεις d, A x, x, B και ( 5 ) ( 5 ) α) Να αποδείξετε ότι B β) Να αποδείξετε ότι 4 γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες Β,Α,Γ με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου δ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες Β,Α,Γ με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου α) B β) γ) Β,Α,Γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου οπότε 7 d,x 7 x 7 x x x 7 x 5 x ή x x 7 x 9 x δ) Β,Α,Γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου οπότε d, x x x x x x ή x x 86 Δίνεται η εξίσωση: x 9 x () α) Να δείξετε ότι x β) Αν η εξίσωση () είναι ταυτότητα, να λύσετε την εξίσωση () γ) Αν η εξίσωση () είναι αδύνατη, να λύσετε την ανίσωση x x 0 x x 8 0 () δ) Αν η εξίσωση () έχει μοναδική λύση x0, να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει x 0 α) x x 9 x 9 x 6 x x 69 x β) Για να είναι ταυτότητα πρέπει 0 0 ή 0 και 0 0 Άρα για λ= η εξίσωση () είναι ταυτότητα 84

87 και η εξίσωση () γίνεται x 5 x 6 0 x 5 x 6 0 Θέτουμε x (4) οπότε x x x ή x x ή 4 x x x ήx x ή 0 και γ) Για να είναι αδύνατη πρέπει 0 0 Άρα για λ=0 η εξίσωση () είναι αδύνατη και η ανίσωση () γίνεται x x 8 0 x x x 4 + x x 8 + x 4, x Άρα οι λύσεις της ανίσωσης είναι το διάστημα,4 δ) Για να έχει μοναδική λύση πρέπει 0, Η λύση της εξίσωσης είναι x 0 x0 ή ή ή 87 Δίνεται η εξίσωση x 4 4x 4 (), Αν η εξίσωση () είναι ταυτότητα τότε: x 4 α) Να δείξετε ότι : β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση γ) Να λυθεί η ανίσωση x x ( 0) x 6 8x δ) Να αποδείξετε ότι x για κάθε x () είναι αδύνατη x 4 4x 8 x 4x x 4 α) x 4 β) Για να είναι ταυτότητα πρέπει 0 0 ή 0 και Άρα για λ=- η εξίσωση () είναι ταυτότητα γ) και η εξίσωση () γίνεται x x x αδύνατη 4 x x x x x x 85

88 x x x x 0 αληθεύει για κάθε x x x x x 0 x x 4 0 και δ) Οπότε οι λύσεις της ανίσωσης είναι η ένωση των διαστημάτων 4, 8x 4 8 x x x x 4 + x x + x x x x x x ισχύει x x, x x 88 Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x) x x και g( x), x x, x 4 x α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ για κάθε πραγματικό x β) Να λυθεί η εξίσωση f ( x) f ( x) x γ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g g 0,g,g δ) Να βρεθούν οι τιμές ε) Να λυθεί η ανίσωση f x g α) Η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ για κάθε πραγματικό x όταν f x 0 x x 0 ισχύει β) f ( x) f ( x) x f ( x) x x x x x x 4x x x x 4x 4 x x x x () Πρέπει : x x x 4, x 4 Οπότε x,, x x + x x + 4x x x x x ί ή 86

89 x x 4x 5x 0 x4x 5 0 x 0 ί ή x ή 4 x 4x γ) g,, 4,, 4 δ) 0 0 g 0 0 5, g και g 6 ε) f x g x x x x 0 x, όπως φαίνεται από τον πίνακα τιμών του ερωτήματος β 89 Δίνεται η συνάρτηση 4 f ( x) x 4x 5 και η παράσταση A α) Να αποδείξετε ότι η παράσταση A β) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες γ) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την γραφική παράσταση της συνάρτησης gx Ax A,όπου Α η παράσταση που έχει δοθεί δ) Να βρεθούν τα διαστήματα του x για τα οποία η γραφική παράσταση της f δεν βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της συνάρτησης g α) A β) Τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ χ έχουν τεταγμένη 0 δηλαδή f x 0 x 4x 5 0() 4 Θέτουμε x 0 () οπότε ή 5 ί x x Άρα τα σημεία τομής με τον άξονα χ χ είναι τα,0,,0 Τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα y y έχουν τετμημένη 0 οπότε 4 αρκεί να βρούμε την τιμή f Επομένως το σημείο τομής γραφικής παράστασης της f με τον άξονα y y είναι το 0, 5 γ) Οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της f με την γραφική παράσταση της συνάρτησης g βρίσκονται με τη λύση της εξίσωσης 4 f x Ax A 4x 4 x 4x 5 4x g f g f x 9 x 9 87

90 Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα,6,,6 δ) Ζητάμε τα διαστήματα του x για τα οποία 4 f x gx x 4x Οπότε x, 5 4x x 9 x 9 x x x 6x 90 Δίνεται η συνάρτηση: f( x) x 4x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να απλοποιήσετε τον τύπο της f (5) β) Nα μετατρέψετε το κλάσμα σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή f(8) f(7) 06 γ) Να λύσετε την ανίσωση: ( f ()) x f () x 0 0 δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης x 4x 0 x x 4 0 x 0 x 4 0 x 4 α) Πρέπει Άρα Af 4,0 x 6x xx 6 x x4 x4 f( x) x 4 x 4x xx 4 x x β) f (5) 5 4 f(8) f(7) ( f ()) x f () x x 4 x 0 0 γ) 06 δ) x x x x x, x 5 x 5 + x x 0 + Άρα οι λύσεις της ανίσωσης είναι το διάστημα 5, 88