2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS"

Δάμαλις Φραγκούδης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 .5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame f() c =. Berhard Placidus Joha Nepomu Bolzao, , Augusti Louis Cauchy, , Kotrapavyzdys. Tolydumo sąlyga yra esmiė. Fucija 3 f( x) = x, x [; ], (5.) ėra tolydi taše x =. Nors f() =, f() =, bet fucija joiame taše elygi uliui. Įrodymas. Jei ubrėšime grafią tolydžios fucijos, itervalo galuose įgyjačios priešigų želų reišmes, tai teoremos tvirtiimas pasidaro labai supratamas. Sayime, f( a) <, f( b) >. Pažymėime itervalą [ ab ; ] = [ a; b]. Paimime a+ b itervalo [ ab ; ] vidurio tašą, apsaičiuoime fucijos reišmę tame taše. Galimi trys atvejai: b a+ b f =. Tada c =. b a+ b f <. Tada apibrėžiame [ a; b] = ; b. b a+ b f >. Tada apibrėžiame [ a; b] = a;. Taip tęsdami procesą gausime itervalų seą [ a; b ], teiačią sąlygas b a [ a+ ; b+ ] [ a; b], b+ a+ = ; f( a ) < ; (5.) f( b ) >. (5.3) Turime susitrauiačiųjų itervalų lemos prielaidą. Todėl egzistuoja cc, [ a; b],. Be to, lim a = limb = c ir c [ a; b]. Nelygybėse (5.) ir (5.3) pereiime prie ribos. Iš fucijos tolydumo išplauia f() c = lim f( a), f() c = lim f( b ). Abi šios elygybės reišia, ad f() c =. 5.. Išvada (Bolcao Koši teorema apie tarpię reišmę). Jei fucija f yra tolydi iervale [a; b], f(a) < f(b) ir C, f( a) < C < f( b), tai egzistuoja tos cc, ( ab ; ), ad f() c = C.

2 Įrodymas. Tai labai paprasta. Nauja fucija gx ( ) = f( x) Cteis pirmosios Bolcao Koši teoremos sąlygas. Todėl egzistuos tos tašas cc, ( ab ; ), gc ( ) =. Tai evivaletu, ad f( c) = C Išvada. Jei fucija f yra tolydi itervale I, tai f( I) = { f( x), x I} yra itervalas. Įrodymas. Iš pradžių reiėtų gero itervalo apibrėžimo. Mes supratame, ad aibės [;],[ ab ; ],( ab ; ),[ ab ; ),( ;],( ; + ) ir dar itoios yra itervalai. Taip pat supratame, ad aibė A = [;] {3} ėra itervalas. Koios savybės usaytų itervalą? Ką reišia iter? Gal tarp? Tai jau ratas apibrėžimui. Aibę I, I!, vadisime itervalu, jei su bet oiais dviem tašais x, x iš aibės I bet os tarpiis tašas xx, < x< x, taip pat prilauso aibei I. Paimime bet oius du tašus y, y f( I), y < y. Tada egzistuos toie du sirtigi tašai x, x I, ad f( x) = y, f( x) = y. Sayime, ad x < x. Taiome išvadą 5.. Paimime bet oį tašą y, y < y < y. Egzistuos tos tašas x, x < x < x, ad f( x) = y. Vadiasi, y f( I) ir f( I ) - itervalas Teorema apie atvirštiės fucijos tolydumą. Jei fucija f itervale I yra griežtai didėjati (ar mažėjati) ir tolydi, tai itervale f( I ) egzistuoja atvirštiė fucija ir ji tolydi. Įrodymas. Iš išvados 5.3 gauame, ad aibė f( I ) yra itervalas. Taigi ievieam yy, f( I), xx, I, f( x) = y. Tos x gali atsirasti ti vieas. Jei būtų du x, f( x) = y, x, f( x) = y, x < x, tai dėl fucijos griežto didėjimo (ar mažėjimo) gautume prieštarą. Tos prisyrimas y f( I), y x, x I, ad f( x) = y, vadiamas atvirštie fucija ir žymimas f : f( I) I, x= f ( y). Abi fucijos susijusios aivaizdžiais sąryšiais xx, I, f ( f( x)) = x, (5.4) yy, f( I), f( f ( y) ) = y. (5.5) Įrodysime atvirštiės fucijos tolydumą. Paimime bet oį y iš aibės f( I ) vidaus ir pažymėime x = f ( y). Paimime bet oį εε, >, x ε I, x + ε I, taigi fisuoime tašo x aplią U = ( x ε; x + ε). Pažymėime y = f( x ε), y = f( x + ε). Dėl fucijos griežto didėjimo gauame y < y < y. Gavome tašo y aplią V = ( y; y). Aivaizdu, ad y V y < y < y f ( y) = x U. (5.6) Bet tai reišia fucijos f tolydumą taše y Vejerštraso pirmoji teorema. Tolydi fucija itervale [ ab ; ] yra aprėžta. Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, , Kotrapavyzdys. Itervalo uždarumas yra svarbi sąlyga. Nagriėime fuciją y =, x (;]. Ji yra tolydi, bet ėra aprėžta. x Įrodymas. Sayime, fucija ėra aprėžta. Tada

3 M, x, x [ a; b], f( x) > M. (5.7) Vietoje vieo M paimime seą { M },limm =+ (paprasčiausias atvejis M = ). Remdamiesi sąlyga (5.7), galime surasti seą { x}, x [ a; b], f( x) > M,. (5.8) Sea { x } yra aprėžta, todėl ji turi overguojatį poseį (pagal Vejerštraso teoremą), sayime { x }, lim x = c, c [ a; b]. Iš fucijos f tolydumo išplauia, ad sea { f( x )} overguoja į f() c, todėl ji turi būti aprėžta. Atra vertus, iš sąlygos (5.8) išplauia, ad lim f( x ) lim M =+, t.y. sea { f( x )} eapžrėžta. Gauta prieštara įrodo, ad prielaida (5.7) apie fucjos eaprėžtumą yra eteisiga Atroji Vejerštraso teorema. Tolydi fucija uždarame itervale įgyja savo didžiausią ir mažiausią reišmę. Įrodymas. Sayime, turime tolydžią fuciją f itervale [ ab. ; ] Ji yra aprėžta (Vejerštraso teorema 5.5). Tada fucijos reišmių aibė { f( x); x [ a; b]} yra aprėžta ir egzistuoja M = sup{ f( x); x [ a; b]}. Paėmę bet oį εε>,, galėsime rasti toį xx, [ ab ; ], ad M ε < f( x) M, (5.9) es saičius M ε jau ebebus fucijos reišmių aibės viršutiiu rėžiu. Paimime seą { ε},limε =, pvz.: ε =. Tada galėsime rasti seą { x}, x [ a; b], ad M ε < f( x) M,. (5.) Įrodymo pabaiga paaši aip ir astesėje teoremoje. Sea { x } yra aprėžta, todėl ji turi overguojatį poseį (pagal Vejerštraso teoremą), sayime { x },lim x = c, c [ a; b]. Dėl fucijos f tolydumo M M lim f( x ) = f( c ). (5.) M Įstatę poseį į elygybes (5.) M ε < f( x ) M ir pasiaudoję dviejų policiių pricipu, gausime lim f( x ) = M. (5.) Sulygię (5.) ir (5.), gauame teoremos tvirtiimą, ad fucija įgyja savo didžiausią reišmę, t.y. egzistuoja tos cm, cm [ a; b], ad f( cm ) = M = sup{ f( x); x [ a; b]}. (5.3) Aalogišai įrodoma, ad fucija įgyja savo mažiausiąją reišmę. Kotrapavyzdžiai. Fucijos tolydumas bei itervalo uždarumas yra esmiės teoremos sąlygos. Paagriėime fuciją f( x) = x x itervale [;) arba [;]. Aivaizdu, ad sup{ f( x), x [;)} = sup{ f( x), x [;]} =, bet fucija ieada elygi vieetui ei pirmajame, ei atrajame itervale. 3

4 Pastaba. Pastaroji teorema yra tipiša egzistecijos teorema. Nei jos formuluotė, ei įrodymas ieo esao, aip surasti tą argumeto reišmę, urioje fucija įgyja didžiausią reišmę. Pirmosios Bolcao Koši teoremos įrodymas be egzistecijos duoda ir metodą, aip surasti lygties f( x ) = šaį Fiasų matematia. Nagriėime disretų piigų srautą C = ( c, c,..., c ). Čia c - supratae aip moėjimą laio mometu, =,,...,. Toiu srautu galima aprašyti ivesticiį projetą. Tada pirmieji c, c,..., c moėjimai gali būti eigiami (ivesticijos), o liusieji c+,..., c - teigiami (grąža, pelas). Jei i laiysime palūaų orma, tai galime apsaičiuoti šio srauto dabartię vertę c c c P= c (5.4) + i ( + i) ( + i) Daugilis ν = (5.5) + i vadiamas disoto daugiliu. Lygties c c c c = (5.6) + i ( + i) ( + i) arba c + cν + c ν c ν = (5.7) sprediys i vadiamas piigų srauto vidiės grąžos orma (iteral rate of retur) arba peligumo orma (yield rate). Vieoio ar itoio termio vartojimas prilauso uo fiasiio otesto, tačiau matematiė jų abiejų prasmė yra ta pati. Išspredę (5.6) arba (5.7) lygtį ir suradę i, lygiame jį su palūaų orma, esačia realiajame pasaulyje, ir spredžiame apie ivesticiio projeto prasmigumą, arba lygiame jį su itu projetu (jo vidiės grąžos orma) ir spredžiame, uris iš jų yra audigesis. Pavyzdys. Surasime piigų srauto ( 5,,,,3) vidiės grąžos ormą. Apibrėžime fuciją 3 4 P( ν) = 5+ v + ν + 3ν. (5.8) Fucija P yra tolydi (poliomas), P() = 5, P() =. Pirmoji Bolcao Koši teorema teigia, ad lygtis 3 4 P( ν) = 5+ v + ν + 3ν = (5.9) itervale (;) turi sprediį. Ar vieitelį? 3 P ( ν) = ν + 6ν + ν >, ai ν >. Vadiasi, fucija P yra griežtai didėjati, ai ν >. Todėl itervale (;) lygtis (5.9) turės ti vieą šaį. Ją galima rasti Bolcao Koši itervalo dalijimo pusiau metodu, uris audojamas teoremos įrodyme. Šį metodą esuu realizuoti Microsoft Excel saičiuole. Saičiavimai pateiti letelėje. a =, b =, c = ( a + b), a = if( P( c ) >, a, c ), =,,..., (5.) b = if( P( c ) >, c, b ), =,,.... (5.) 4

5 Fucija if įgyja atrąją reišmę, jei pirmoji logiė sąlyga yra teisiga, ir trečiąją reišmę priešigu atveju. Letelėje stulpelių su reišmėmis Pa ( ), Pb ( ) galėtų ir ebūti, bet jie suteiia saugumo jausmą, ad saičiavimai vysta teisigai. a b c Pa ( ) Pb ( ) Pc ( ) Taigi galime laiyti, ad ν =.946. Tada iš lygybės (5.5) apsaičiuojame ν i = = = =.57 ν arba i = 5.7%. Tai, tiriausiai, labai edidelė vidiė grąžos orma. 5

Σχετικά έγγραφα

Matematika 1 4 dalis

Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios