Weitere Tests bei Normalverteilung

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Θαΐς Στεφανόπουλος
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1 Tests von Hypothesen über den Erwartungswert Bisher: zweiseitiges Testproblem (Zweiseitiger Einstichproben-t-Test) H : μμ gegen H : μ μ Testentscheidung P- Wert: X μ s(x) : Lehne H ab, wenn T(X) N > t ; α/ [ T(x) H ] F ( T(x) ) PT(X) Q N t N Gütefunktion: γ(μ ) F (Qt ; α/) tn ( N(μ μ)// N + F ( Qt ; α/) t ( N(μ μ )// N N Jetzt: Einseitige Testprobleme H : μμ gegen H : μ>μ H : μμ gegen H : μ<μ H : μ μ gegen H : μ>μ H : μ μ gegen H : μ<μ

2 Tests von Hypothesen über den Erwartungswert Einseitige Testprobleme: H : μμ gegen H : μ>μ bzw. H : μ μ gegen H : μ>μ Bereits bekannt: Falls H : μμ gilt, so kann die Verteilung der Teststatistik T(X) des so genannten zweiseitigen Einstichproben-t-Tests mit T(X) N X μ s(x) bestimmt werden, da in diesem Fall X μ N s(x) ~ tn gilt.

3 Tests von Hypothesen über den Erwartungswert Einseitige Testprobleme: H : μμ gegen H : μ>μ bzw. H : μ μ gegen H : μ>μ Bereits bekannt: Falls H : μμ gilt, so kann die Verteilung der Teststatistik T(X) des so genannten einseitigen Einstichproben-t-Tests mit X μ T(X) N ~ tn bestimmt werden. s(x) Außerdem gilt: [ T(X) T(x) μ < μ ] > P[ T(X) T(x) μ ] P μ bzw. [ T(X) T(x) μ > μ ] < P[ T(X) T(x) μ ] P μ P[T(X) T(x)] T(x) 3

4 Tests von Hypothesen über den Erwartungswert Einseitige Testprobleme: H : μμ gegen H : μ>μ bzw. H : μ μ gegen H : μ>μ Bereits bekannt: Falls H : μμ gilt, so kann die Verteilung der Teststatistik T(X) des so genannten einseitigen Einstichproben-t-Tests mit X μ T(X) N ~ tn bestimmt werden. s(x) P-Wert P[ T(X) ] Ft ( T(x) ) Ft ( T(x) ) T(x) H N N T(x) Kritischer Wert P(T(X) cα H) α c Q N α t ; α f tn- (u) c α u 4

5 Tests von Hypothesen über den Erwartungswert Einseitige Testprobleme: H : μμ gegen H : μ>μ bzw. H : μ μ gegen H : μ>μ Bereits bekannt: Falls H : μμ gilt, so kann die Verteilung der Teststatistik T(X) des so genannten einseitigen Einstichproben-t-Tests mit X μ T(X) N ~ tn bestimmt werden. s(x) Gütefunktion P ( T(X) c μ μ ) F (Q α t ( N(μ μ )/) tn ; α N ) γ(μ ) μ α.5 N μ 5

6 Tests von Hypothesen über den Erwartungswert Einseitige Testprobleme: H : μμ gegen H : μ<μ bzw. H : μ μ gegen H : μ<μ Bereits bekannt: Falls H : μμ gilt, so kann die Verteilung der Teststatistik T(X) des so genannten einseitigen Einstichproben-t-Tests mit X μ T(X) N ~ tn bestimmt werden. s(x) P-Wert P [ T(X) ] T(x) H F t N ( T(x) ) F ( T(x) ) t N T(x) Kritischer Wert P(T(X) cα H) α c Q N α t ; α f tn- (u) c α u 6

7 Tests von Hypothesen über den Erwartungswert Einseitige Testprobleme: H : μμ gegen H : μ<μ bzw. H : μ μ gegen H : μ<μ Bereits bekannt: Falls H : μμ gilt, so kann die Verteilung der Teststatistik T(X) des so genannten einseitigen Einstichproben-t-Tests mit X μ T(X) N ~ tn bestimmt werden. s(x) Gütefunktion P ( T(X) c μ μ ) F ( Q α t ( N(μ μ )/) tn ; α N ) γ(μ ) μ α.5 N μ 7

8 Beispiel: Besucher auf Internetseite pro Tag Der Besucherzähler einer Internetseite hat in den letzten Tagen die folgenden Besucherzahlen verzeichnet: 9, 55, 8493, 5786, 989, 8539, 46, 35, 77, 84 Überprüft werden soll die Hypothese zum Niveau 5 %, dass der Erwartungswert μder Besucherzahlen unter beträgt. Dabei wird von normalverteilten Besucherzahlen ausgegangen. Testentscheidung anhand des kritischen Werts P(T(X) c.5 H).95 c.5 Qt ; x μ 397 T(x) N.886 >.833 s(x) 34 Der Mittelwert von 397 weicht bei einseitiger Hypothese zum Niveau 5% signifikant nach oben von μ ab, d.h. die Nullhypothese kann verworfen werden. (P-Wert Ft [ T(x)].46) 9 x 397 μ 8

9 Tests von Hypothesen über die Varianz Allgemein gilt: X,...,X ~ N(μ, )i.i.d. (N ) N ~ N N, μ, C(x) 5.85 C(x) 4.43 E[]9 F N- [x] O C(x).96 x 9

10 Tests von Hypothesen über die Varianz Annahme: X,...,XN ~ N(μ, )i.i.d. (N ) Teststatistik: ~ N (N ) Zweiseitiges Testproblem: H : gegen H : Zweiseitiger -Varianz-Test P-Wert [ C(x) H ] [ C(x) H ] P P [F ( F N N [C(x)] I(C(x) Q [C(x)]) I(C(x) > Q,, C(x) C(x) > N ;.5 N ) + ;.5 )] Q Q N N ;.5 ;.5 f N- [u] C(x) N Kritische Werte P( c P( c ;α ;α H ) α/ H ) α/ c c ;α ;α Q Q N N ; α/ ; α/ u

11 Tests von Hypothesen über die Varianz Allgemein gilt: X,...,X ~ N(μ, )i.i.d. N Zweiseitiges Testproblem: H : gegen H : Zweiseitiger -Varianz-Test (N ) ~ N Gütefunktion X,...,XN ~ N(μ,)i.i.d. (N ) ~ N ~ N

12 Tests von Hypothesen über die Varianz Allgemein gilt: Zweiseitiges Testproblem: H : gegen H : Zweiseitiger -Varianz-Test Gütefunktion X,...,XN ~ N(μ, X,...,X )i.i.d. ~ N P( c c ) P( Q Q ) γ( N ) ;α ;α ~ N(μ, )i.i.d. (N ) N ;α/ N ; α/ ~ N P Q Q ;α/ ; α/ N N

13 Tests von Hypothesen über die Varianz Allgemein gilt: X,...,X ~ N(μ, )i.i.d. Zweiseitiges Testproblem: H : gegen H : Zweiseitiger -Varianz-Test (N ) N ~ N Gütefunktion X,...,XN ~ N(μ, )i.i.d. ~ ( c c ) γ( ) P ;α ;α N P Q Q ;α/ ; α/ N N F Q + F Q N N ; α/ N N ;α/ 3

14 Tests von Hypothesen über die Varianz Annahme: X,...,XN ~ N(μ, )i.i.d. (N ) Teststatistik: ~ N (N ) Zweiseitiges Testproblem: H : gegen H : Zweiseitiger -Varianz-Test Gütefunktion X,...,XN ~ N(μ, )i.i.d. γ( ~ ) P ;α ;α N N ; α/ ( F c c Q ) N γ( ) α.5 N + F Q N N ;α / 4

15 Tests von Hypothesen über die Varianz Annahme: X,...,XN ~ N(μ, )i.i.d. (N ) Teststatistik: ~ N (N ) Einseitiges Testproblem: H : gegen H : > bzw. H : gegen H : > Einseitiger -Varianz-Test C(x) P-Wert [ C(x) H ] P F [C(x)] N f N- [u] N Kritischer Wert P( c H) α α c Q α N ; α u 5

16 Tests von Hypothesen über die Varianz Annahme: X,...,XN ~ N(μ, )i.i.d. (N ) Teststatistik: ~ N (N ) Einseitiges Testproblem: H : gegen H : > bzw. H : gegen H : > Einseitiger -Varianz-Test Gütefunktion X,...,XN ~ N(μ, )i.i.d. γ( ~ ) P ;α ;α N N ; α ( F c c Q ) N γ( ) α.5 N 6

17 Tests von Hypothesen über die Varianz Annahme: X,...,XN ~ N(μ, )i.i.d. (N ) Teststatistik: ~ N (N ) Einseitiges Testproblem: H : gegen H : < bzw. H : gegen H : < Einseitiger -Varianz-Test C(x) P-Wert [ C(x) H ] P F [C(x)] N f N- [u] N Kritischer Wert P( c H) α α c Q α N ; α u 7

18 Tests von Hypothesen über die Varianz Annahme: X,...,XN ~ N(μ, )i.i.d. (N ) Teststatistik: ~ N (N ) Einseitiges Testproblem: H : gegen H : < bzw. H : gegen H : < Einseitiger -Varianz-Test Gütefunktion X,...,XN ~ N(μ, )i.i.d. γ( ~ ) PF ;α ;α N N ;α ( c Q c ) N γ( ) α.5 N 8

19 Beispiel: Besucher auf Internetseite pro Tag Der Besucherzähler einer Internetseite hat in den letzten Tagen die folgenden Besucherzahlen verzeichnet: 9, 55, 8493, 5786, 989, 8539, 46, 35, 77, 84 Überprüft werden soll die Hypothese zum Niveau 5 %, dass die Varianz der Besucherzahlen 35 beträgt. Dabei wird von normalverteilten Besucherzahlen ausgegangen. Testentscheidung anhand der kritischen Werte P(c c;.5 H) ; s(x) 34 C(x) (N ) [c,c ] ;.5 ;.5 35 Die empirische Varianz von 34 weicht zum Niveau 5% nicht signifikant von 35 ab, d.h. die Nullhypothese kann nicht verworfen werden. (P-Wert [F [C(x)].8) 9 c c ;.5 ;.5 Q Q 9 ;.5 ; s(x)

20 Entscheidungsregeln für Einstichprobentestauswahl H? H : X ~ N(μ, ) Shapiro-Wilk- Test H : θθ θ Lageparameter H :, F X N(μ, ) -Varianz-Test F X? F X beliebig Vorzeichentest F X N(μ, )? unbekannt F X symmetrisch Wilcoxons Vorzeichen- Rangtest bekannt Gauß-Test Einstichprobent-Test

21 Entscheidungsregeln für Zweistichprobentestauswahl H : X ~ N(μ, ) Y ~ N(μ, ) Varianz- F-Test F X F Y-δ x,y? H? F X,F Y? Wilcoxons Rangsummentest x,y gepaart x,y ungepaart H : θ θ θ Lageparameter F X N(μ, ) F Y N(μ, ) H? H : θ θ θ Lageparam. H : X,Y unabhängig F X,Y multinom. F X,Y? F X,Y? F X,Y N(μ,Σ) -Unabhängigkeitstest F X,Y N(μ,Σ) > F X,Y beliebig X, Y mind. ordinal Σ? Homosk. t-test für ungep. Stichpr. < >> > Korrelationstest Spearm. Rangkorrelationstest Welch-Test t-test für gepaarte Stichpr. Σ?

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3 Lösungen zu Kapitel 3 31 Lösungen der Aufgaben zu Abschnitt 31 311 Lösung Die Abbildung D : { R 4 R 4 R 4 R 4 R, a 1, a 2, a 3, a 4 ) D( a 1, a 2, a 3, a 4 ) definiere eine Determinantenform (auf R 4