Ονοματεπώνυμο Φοιτητή. Εργαστηριακό Τμήμα Π.χ. Δευτέρα

Transcript

1 Ονοματεπώνυμο Φοιτητή Εργαστηριακό Τμήμα Π.χ. Δευτέρα Ομάδα Π.χ. 1A Πειραματική άσκηση Ελεύθερη πτώση Ημερομηνία Εκτέλεσης Άσκησης... / / 2015 Ημερομηνία παράδοσης εργαστ.αναφοράς... / / 2015 Εργαστηριακός Διδάσκων

2 Πίνακας μετρήσεων υπογεγραμμένος από τον υπευθυνο ομάδας

3 Περίληψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας, g, με τη μέθοδο της ελεύθερης πτώσης. Δηλαδή, το g υπολογίστηκε μετρώντας το χρόνο πτώσης μεταλλικής σφαίρας μικρών διαστάσεων, για διαφορετικά ύψη. Για την επεξεργασία των μετρήσεων και την εξαγωγή των αποτελεσμάτων, χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Η τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας που προέκυψε είναι, g = 10,182 ± 0,017 m/s 2, με 3,9% απόκλιση από τη θεωρητική τιμή. Εισαγωγή Όπως είναι ήδη γνωστό, από το νόμο της παγκόσμιας έλξης, οποιοδήποτε σώμα μάζας m, βρεθεί μέσα στο βαρυτικό πεδίο της γης δέχεται δύναμη F, με κατεύθυνση προς το κέντρο της, και μέτρο που δίνεται από τη σχέση, F=G Mm r 2 (1) όπου, G=6,67x10-11 Nm 2 /kg M=5,98x10 24 kg M r η σταθερά της παγκόσμιας έλξης η μάζα της γης η μάζα του σώματος η απόσταση από το κέντρο της γης Η επιτάχυνση που αποκτά ένα σώμα, όταν η μόνη δύναμη που δέχεται είναι αυτή της βαρυτικής έλξης, ονομάζεται επιτάχυνση της βαρύτητας και συμβολίζεται με g. Από το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα σε συνδυασμό με το νόμο της παγκόσμιας έλξης, προκύπτει ότι: ΣF=ma G Mm r 2 = mg g=g M r 2 (2)

4 Από τη σχέση (2) φαίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας δεν είναι σταθερή, αλλά εξαρτάται από την απόσταση από το κέντρο της γης. Η τιμή της για μικρά ύψη από την επιφάνεια της γης, λαμβάνεται σταθερή και ίση με 9,80m/s 2. Επίσης το ότι η το σχήμα της γης δεν είναι τέλεια σφαίρα, καθώς και εξαιτίας φαινομένων που οφείλονται στην περιστροφή της γης και στην κίνηση της γύρω από τον ήλιο, κάνει την επιτάχυνση της βαρύτητας να διαφέρει από σημείο σε σημείο της γης και να κυμαίνεται από 9,78 έως 9,83m/s 2 περίπου. H ταχύτητα και η θέση ενός σώματος που κινείται στο βαρυτικό πεδίο της γης, υπό την επίδραση μόνο του βάρους του, προκύπτει από το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα: ΣF=ma mg=m du =g du= gdt u = gdt u= gt (3) dt u= dx dt dx=udt x= u dt x= gt dt x= 1 (3) 2 gt2 (4) x h u Σχ.1 Ελεύθερη πτώση σώματος

5 Επεξεργασία Μετρήσεων - Ανάλυση Όπως ήδη αναφέρθηκε σκοπός του συγκεκριμένου πειράματος είναι ο υπολογισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη μέθοδο της ελεύθερης πτώσης. Για την ελαχιστοποίηση των τριβών χρησιμοποιήθηκε μικρών διαστάσεων μεταλλική σφαίρα. Η σφαίρα αφέθηκε από 6 διαφορετικά ύψη, h, να κινηθεί υπό την επίδραση του βάρους της, χωρίς αρχική ταχύτητα. Τα ύψη αυτά μετρήθηκαν με τη χρήση μετροταινίας ακρίβειας 1mm. Για κάθε ύψος h μετρήθηκε 5 φορές ο χρόνος πτώσης, t, της σφαίρας με χρονόμετρο ακρίβειας 1ms. Για τη χρονομέτρηση, χρησιμοποιήθηκαν 2 φωτοδιακόπτες οι οποίοι συνδέθηκαν με την υποδοχή έναρξης και παύσης του χρονομέτρου, ώστε να εξαλειφτεί το σφάλμα του χρόνου αντίδρασης του πειραματιστή στη μέτρηση του χρόνου. Στο σχήμα 2, φαίνεται η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε. Σχ.2 Πειραματική διάταξη υπολογισμού της επιτάχυνσης της βαρύτητας μέθοδο της ελεύθερης πτώσης. με τη Οι μετρήσεις που έγιναν παραθέτονται στον πίνακα 1. Στον ίδιο πίνακα έχει επίσης καταχωρηθεί η μέση τιμή, t avg, των χρόνων πτώσης, t i, για κάθε ύψος h, t avg = 1 n Σt i, όπου n: ο αριθμός των μετρήσεων

6 όπως επίσης και το αντίστοιχο τυπικό σφάλμα, σ t = 1 n(n-1) ( t i-t avg ) 2 Η μέση τιμή του χρόνου για κάθε ύψος καθώς και οι αντίστοιχες τυπικές αποκλίσεις τους στρογγυλοποιήθηκαν στα 3 δεκαδικά, ακολουθώντας την ακρίβεια των μετρήσεων του χρόνου (η ακρίβεια χρονομέτρησης ήταν στο 0,001s) α/α h (m) t1 (s) t2 (s) t3 (s) t4 (s) t5 (s) tavg (s) σt (s) Πίν.1 Χρόνοι πτώσης της σφαίρας για 6 διαφορετικά ύψη υπολογισμός της μέσης τιμής και του σφάλματος τυπικής απόκλισης τους για κάθε ύψος Επειδή η εξίσωση που συνδέει το ύψος με το τετράγωνο του χρόνου πτώσης της σφαίρας, h(t 2 ), h = 1 g 2 t2 (5), είναι γραμμική, θα χρησιμοποιηθεί η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων, με στόχο τον προσδιορίσουμε των b, a της καλύτερης ευθείας, h = bt 2 + a (6), που διέρχεται από τα πειραματικά μας σημεία και από την κλίση b θα υπολογίσουμε το g. Συγκρίνοντας τις (5) και (6) προκύπτει ότι, b=g/2 => g=2b (7) Οι γενικοί τύποι της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων που δίνουν τα b, a και τα σφάλματα τους, σ b και σ a αντίστοιχα, είναι: b = N xy x y Δ, a = x2 y x xy Δ, όπου Δ = Ν x 2 ( x) 2 σ b 2 = Ns2 Δ, σ 2 a = s2 x 2 1, όπου s2 Δ N 2 (y a bx)2 Για τον προσδιορισμό των b, a της (6), αντιστοιχίζουμε στο x το t 2 και στο y το h.

7 Η επεξεργασία των μετρήσεων για τον υπολογισμό των b, a και των σφαλμάτων τους, γίνεται με τη χρήση του excel. Τα αποτελέσματα παραθέτονται στον πίνακα 2. α/α t 2 (s 2 ) h (m) ht 2 t 4 (h-a-bt 2 ) Σ AVG n Δ b a s 2 σb σa Πίν.2 υπολογισμός των b, a, της h=bt 2 +a με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων στο excel Οι τιμές που προκύπτουν είναι, b = 5,901 0,087 m/s 2 και a = -0,030 0,017 m Οπότε η εξίσωση της καλύτερης ευθείας που διέρχεται από τα πειραματικά σημεία, είναι: h = 5,901t 2 0,017 (S.I.) (8) Στο σχήμα 3 φαίνεται η γραφική παράσταση των h(t 2 ) Για τη χάραξη της επιλέχθηκαν 2 πειραματικές τιμές του t 2 και χρησιμοποιώντας τη σχέση (8) που προέκυψε από τη Μέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων, υπολογίστηκαν τα αντίστοιχα ύψη h: h (m) 0,398 1,385 t 2 (s 2 ) 0,0840 0,2779

8 h (m) t 2 (s 2 ) Σχ.3 Γραφική παράσταση h(t 2 ), h = 4,901t 2-0,0175 (S.I.) Οπότε από τη σχέση (7) προκύπτει ότι, g = 2b => g = 10,182 m/s 2 Το σφάλμα του g υπολογίζεται από τον τύπο του πιθανού σφάλματος: g=± ( g 2 b σ b) g=± g b σ b g=±2σ b g = ±0,017m/s 2 Άρα, g = 10,182 ± 0,017m/s 2 Η % απόκλιση της πειραματικής τιμής της επιτάχυνσης της βαρύτητας από την τιμή που αντιστοιχεί στο γεωγραφικό πλάτος των Χανίων, g th = 9,80m/s 2, είναι, Δg g th % = 3,9 %

9 Συμπεράσματα Η τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας υπολογίστηκε στα 10,182 ± 0,017m/s 2. H απόκλιση της από τη θεωρητική τιμή είναι 3,9 %, δηλαδή αρκετά μικρή, κάτι που δείχνει την αξιοπιστία της μεθόδου που χρησιμοποιήθηκε καθώς και των μετρήσεων που λήφθηκαν. Το ότι η τιμή του g βρέθηκε μεγαλύτερη από την αντίστοιχη θεωρητική, οφείλεται στο ότι οι χρόνοι που μετρήθηκαν ήταν μικρότεροι από τους πραγματικούς: η μεταλλική σφαίρα τοποθετούνταν ελάχιστα πάνω από την υπέρυθρη ακτίνα του φωτοδιακόπτη, με αποτέλεσμα τη στιγμή που κοβόταν η υπέρυθρη και ξεκινούσε η χρονομέτρηση, η σφαίρα είχε ήδη αποκτήσει μία μικρή αρχική ταχύτητα με αποτέλεσμα να διανύει τη μετρούμενη απόσταση σε μικρότερο από χρόνο απ ότι αν είχε μηδενική αρχική ταχύτητα. Σε αυτό άλλωστε οφείλεται και το ότι, η τιμή του υπολογιζόμενου από τη μέθοδο ελαχίστων τεραγώνων a είναι αρνητική.