Filozofija, logika i matematika kod Starih Grka
|
|
- Διοκλῆς Γεννάδιος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Filozofija, logika i matematika kod Starih Grka Predavanja iz Matematičke logike Departman za Matematiku i informatiku, PMF Novi Sad oktobar 2012.
2 Tales iz Mileta, pne otac filozofije, matematike i nauke trgovac iz Mileta jedan od Sedam mudraca drevne Grčke smatra se da je prvi mislilac u istoriji čuvena izreka: Spoznaj sebe! matematika i filozofija su još isprepletane prvi iznosi opšte stavove vezane za matematiku
3 Milet na obali Egejskog mora, u Joniji (Mala Azija) napredan i slobodan trgovački grad klasna borba izmedju bogatih i siromašnih imao jake kulturne veze sa Vavilonom i Lidijom u Vavilonu su astronomi znali da se pomračenja Sunca dešavaju svakih 19 godina, ali nisu znali zašto
4 Tales filozof prvi mislilac u istoriji Šta je misliti? Kakve veze postoje izmedju onoga što mislim i onoga što jeste? Od čega je sastavljena priroda? Sve je postalo od vode Zemlja stoji na vodi Magnet ima dušu Sve stvari su pune bogova
5 Kako je postao slavan predvideo pomračenje Sunca 585. pne i postao slavan faraona Amasisa zapanjio svojom tvrdnjom da može da izmeri visinu piramide u Memfisu samo pomoću senke znao da odredi odstojanje ladje na moru pomoću posmatranja sa dve tačke na kopnu
6 Geometrija nije se mnogo bavio brojevima, nego geometrijskim figurama putovao u Egipat i odande doneo Grcima nauku o geometriji prvi je razmatro ugao kao celovito matem. biće, uzeo ga kao četvrtu veličinu u geometriji (pored dužine, širine i zapremine) prve istine koje se odnose na SVE krugove, SVE trouglove, a ne na konkretne objekte
7 Pet otkrića u geometriji Prečnik polovi krug Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki Unakrsni uglovi su jednaki Ugao upisan u polukrug je prav Trougao je odredjen jednom stranicom i naleglim uglovima
8 Zaključak putem mišljenja izučavao idealni matematički objekat, izveo zaključke o koje se odnose na beskonačno mnogo stvari (krug kao takav, predstavnik svih krugova na svetu...) smatramo da je prvi matematičar, prvi filozof, prvi naučnik na svetu više čovek od nauke, nego filozof
9 Pitagora, pne neki smatraju da je intelektualno jedan od najznačajnijih ljudi koji su ikada živeli sa njim počinje matematika kao deduktivna nauka od njega potiče uticaj matematike na filozofiju
10 Ko je bio Pitagora? Jamblih: Pitagorin život (2. vek naše ere) ni jedno pisano delo od Pitagore ne zna se pouzdano kada je rodjen, kada je umro, sigurno je da je to 6. vek pne rodio se na Samosu (ostrvo u Egejskom moru), trgovački suparnik Mileta sin imućnog gradjanina Mnesarha, ali su neki tvrdili da je sin boga Apolona on je sebi pripisivao božanski karakter: Postoje ljudi i bogovi i bića kao Pitagora
11 Školovanje = putovanje sport: imao je 18 godina kada je učestvovao na Olimpijskim igrama, odneo sve nagrade u pesničenju; posle pobede, odlučio je da putuje u obližnjoj Joniji proveo nekoliko godina kod Talesa i Anaksimandra, njegovog učenika zatim boravio u Siriji, kod feničanskih mudraca, koji su ga uputili u misterije Biblosa putuje na brdo Karmel (današnji Liban) pa Egipat, tamo ostao 20 godina u hramovima na obalama Nila stekao veliki deo svoje mudrosti
12 ... pa putuje... dolaze Persijanci, osvajaju zemlju, on beži u Vavilon, ostaje 12 godina, uči od vavilonskih pisara i magova vraća se na Samos (koji je napustio pre 40 godina), ali na Samosu vlada Polikrat, tiranin pa Pitagora opet odlazi... putuje na obale Velike Grčke, prvo Sibaris (jug Italije), ali se posle skrasi u susednom mestu Krotonu u Krotonu osnova svoju Školu (udruženje svojih pristalica) Pitagora izgoreo u požaru, verovatno podmetnut
13 Pitagorejska škola vrsta sekte, istovremeno naučna, verska i politička u početku su uticajni u gradu, ali se kasnije gradjani okreću protiv njih, seli se u Metapont, gde je i umro nastojali su da u prirodi i društvu nadju nepromenljivo izučavali kvadrivijum: geometrija, aritmetika, astronomija, muzika Tragali za univerzalnom harmonijom
14 Sve je broj brojevi su osnova njihove filozofije vasione nastojali su da sve odnose svedu na numeričke pripisivali svakoj stvari jedan broj, svet objašnjavali brojevima da bi u tome uspeli, istraživali su brojeve kao takve zasnovali aritmetiku, tj. nauku o brojevima aritmetika nije logistika=čist račun dakle, aritmetiku su uzdigli iznad trgovačkih potreba
15 Statut Pitagorejaca propovedali strog život delili svoja dobra (i naučna otkrića su zajednička) saznanja su prenošena usmeno (akusmatici- bez dokaza, a matematičari- sa dokazom) pamćenje! primanje novih članova: testiranje (egzoterici- van zavese, ezoterici-primljeni) tekstovi pisani u jeziku sa dvostrukim značenjem (simboli i enigme) trajali 150 godina, bilo je 218 pitagorovaca
16 Matematika i muzika harmonijski muzički ton odgovara odnosu dva broja (oktava 1:2, kvinta 2:3, kvarta 3:4) brojevi su kadri da predstave muzičku harmoniju, pa je svaka harmonija ozvučavanje brojčanih odnosa tonska skala je broj dakle, muzika je matematika zadatak: razumeti harmoniju svemira (kosmos protiv haosa)
17 Matematička otkrića Pitagorina teorema o pravouglom trouglu pripisivali svom učitelju (žrtvovao 100 volova), a neki kažu da su to znali već u Vavilonu u vreme Hamurabija verovatno je Pitagora prvi dao opšti dokaz) otkriće iracionalnosti: ne možemo dijagonalu kvadrata izmeriti pomoću stranice nesamerljive duži teška kriza! sačuvati tajnu Hipas iz Metaponta je odao tajnu, pa je nestao u brodolomu
18 Uticaj Pitagore na matematiku...čist matematičar, isto kao muzičar, slobodno stvara svoj svet skladne lepote... matematika je pouzdana, tačna i primenljiva na realan svet do istina u matematici se dolazi čistim razmišljanjem, pa misao nadmašava čula, a intuicija opservaciju Pitagorejci: neke stvari koje su očigledne fiksiramo, pa iz njih deduciramo neočigledne stvari
19 Uticaj matematike na filozofiju Russell: Smatram de je matematika glavni izvor verovanja u jednu istinu, večitu i savršenu, kao i u jedan svet koji se može shvatiti natčulnim putem mistične teorije o vremenu i večnosti se mogu potkrepiti čistom matematikom (brojevi su večiti a ne vremenski...) spoj matematike i teologije je počeo sa Pitagorom (intelektualizirana teologija) od Pitagore potiče celokupna zamisao o večitom svetu koji se otkriva intelektu a ne čulima
20 Filozofija, matematika, logika Protagora, Parmenid, Zenon, Sokrat, Platon, Aristotel
21 Sofisti i razvoj logike u 5. veku pne u Atini je nastala jedna promena: od puritanske jednostavnosti ka oštroumnom i surovom cinizmu sofisti: prva grupa kritički orijentisanih filozofa u istoriji manje sputani tradicijom razmatrali i matematičke probleme, ne radi praktične koristi, nego da bi objasnili njihovu suštinu tri značajna problema antike: trisekcija ugla, duplikacija kocke (deloski problem), kvadratura kruga
22 Veština raspravljanja i sofisti neki ljudi su postali slavni, jer su vešto raspravljali, a učili su i druge tome (za pare) praktična korist (sudovi), ali su se neki sofisti ozbiljno bavili i filozofijom Platon karikira i ocrnjuje sofiste reč sofist u početku nije imala rdjavo značenje ( profesor ) sofisti onda = pravnici danas ponekad je teško odrediti da li su im zaključci doneti po ispravnom zaključivanju (najstariji sofizam: Epimenidov paradoks lažova Svi Krićani lažu )
23 Protagora glava sofista rodjen oko 500. pne u Abderi, posle dolazi u Atinu putuje kroz grčke gradove, stalno učeći za platu, svakog ko je želeo praktičnu spremu i višu umnu kulturu Čovek je merilo svih stvari učenje: skeptično ali pragmatično (..nejasnost predmeta i kratkoće ljudskog života) pratiti logiku tokom rasprave, ma gde nas ona dovela (ne zanima ga vrlina...) Protagora i njegov student Euatus
24 Parmenid rodjen oko 515. pne, u Eleji (južna Italija) Zenonov učitelj Heraklit je smatrao da se ništa ne menja, a Parmenid mu uzvraća da se ništa ne menja Pitagora utiče na Parmenida, a ovaj na Platona kaže se da je Parmenid pronašao logiku metafizika zasovana na logici zakon isključenja trećeg njegovi argumenti logički slede jedan iz drugog!
25 Zenon Elejac rodio se verovatno oko 490. pne (stariji od Sokrata 20 god) Parmenidov učenik Zenon je prvi put primenio dijalektiku, tj. metodu istraživanja pomoću pitanja i odgovora Platonov dijalog Parmenid (polemika izmedju Parmenida (65), Zenona (40) i Sokrata (20) Zenon dokazivao da promena ne postoji Zenonovi paradoksi: Ahil i kornjača, Strela, Dihotomija, Stadion poznati su nam zahvaljujući Aristotelu
26 Sokrat, pne provodio vreme u raspravljanju i učio mladiće filozofiji (ne za novac) sudjeno mu je zbog bezbožnosti i kvarenja mladeži ( Apologija, zapisao Platon) učenici: Ksenofont, Platon uporno tvrdio da ništa ne zna, ali ubedjen da je ispravno mišljenje najvažnije za ispravan život ne smatra da je znanje nedostižno, nego da je istraživanje znanja od najveće važnosti, i da niko ne greši svesno, nego zbog neznanja primenjivao dijalektiku (samo izmamljuje znanje) navika slobodne diskusije je jako korisna jer razvija logičku doslednost
27 Platon, pne Sokratov učenik na njega uticao i Pitagora, pa je smatrao da bez matematike nema prave mudrosti u Atini osnovao Akademiju (Neka ne ulazi ovde niko ko ne zna geometriju) 4 nauke: aritmetika, geometrija, astronomija, harmonija Država pet pravilnih poliedara upravljaju svemirom: kocka (6), tetraedar (4), oktaedar (8), ikosaedar (20), dodekaedar (12)
28 Aristotel, pne pojavio se na kraju stvaralačkog perioda grčke filozofske misli poslednji grčki filozof koji je vedro gledao na svet Aristotelova silogistika formalna logika uspeo je da sistematizuje i kodifikuje metode rasudjivanja koje ili nisu bile poznate ili nisu bile jasne njegovim prethodnicima glavna teza: Svako korektno rasudjivanje se može svesti na sistematsku primenu nevelikog broja odredjenih pravila, koja inače ne zavise od prirode objekata na koja se odnosi rasudjivanje
29 Biografija rodio se u Stagiri, u Trakiji otac: porodični lekar kod makedonskog kralja sa 18 godina dolazi u Atinu, postaje Platonov učenik (ostao na Akademiji skoro 20 godina, do Platonove smrti) putovao, pa 343. pne postaje vaspitač Aleksandra Makedosnkog (13 godina), 3 godine uticaj? posle osnovao školu u Atini, pisao knjige posle smrti Aleksandra, optužen za bezbožnost, ali je pobegao
30 Učenje škola Licej (Atina)-privatna ustanova, novac od članova učenici su predavanja pratili šetajući (peripatetičari) aristotelovski projekat o univerzalnom znanju teorija zlatne sredine Aristotel je prvi filozof koji je pisao kao kakav profesor (sistematično) metafizika, etika, politika,... MI: logika (silogistika)
31 Aristotelova logika opšta logika (zakone koji se odnose na bilo koje razmišljanje) formalna logika (ne ispituje ispravnost sadržaja ili vezu sa stvarnošću) koristio matematičke metode u logici: koristio slova za označavanje pojmova, stavova,... Aristotelova teorija silogizama je predak matematičke logike u 17. i 18. veku Aristotelova formalna logika smatrala se obaveznim delom svakog obrazovanja Kant (kraj 19. veka): Sve što je bitno u logici, sve što se može reći o zakonima logike, rekao je Aristotel, pa je zbog toga formalna logika u nekom smislu mrtva nauka...
32 Aristotelova logika danas silogistika je danas samo mali i prilično elementaran deo logike unernih predikata Aristotelov autoritet u logici je bio toliko neprikosnoven, da je to smetalo razvitku logike on je mislio da je svako deduktivno zaključivanje silogizam formalni nedostaci u sistemu precenjivanje dedukcije njegova logika je bila dovoljna u srednjem veku za teološke rasprave savremeni oblik Aristotelove logike rezultat je rada mnogobrojnih komentatora i sledbenika
33 Aleksandrijska škola Euklid, Eratosten, Arhimed,...
34 Aleksandar Veliki grčki polisi oslabljeni posle Peloponeskog rata, zauzima ih Filip II, Makedonski kralj sin, Aleksandar Makedonski (Veliki), vlada pne, carstvo na 3 kontinenta stapanje grčke i istočnjačke kulture svadba Evrope i Azije posle njegove smrti, carstvo na tri dela: Makedonija, Sirija, Egipat
35 Aleksandrija kad je Aleksandar zauzeo Egipat, 331. pne osniva grad Aleksandriju na obali Sredozemnog mora postaje intelektualna prestonica sveta (700 godina) poznata bila i po svetioniku Faros stanovnika, kosmopolitski grad (Egipćani, Grci, Jevreji, Tračani,...) ogroman, raskošan, mermer, dve luke, trgovina, staklo, brodogradnja spojnica između Evrope i Azije Muzej i Velika Biblioteka tu su stvarali Euklid, Apolonije, Eratosten, Arhimed,...
36 Muzej i Velika Biblioteka Ptolemej Prvi ( Soter ) sakupiti na jednom mestu svo znanje sveta javna ustanova (plaćao kralj) tu su radili Euklid, Apolonije, Eratosten,... Muzej: svuda vrtovi, šetalište, fontane, sale za rad, za razgovor, za počinak,.. članovi: besplatna hrana, smeštaj, plata, bez poreza,... Velika Biblioteka na raspolaganju stanovnicima Muzeja svitaka 47 pne izgorela (Cezar) Kleopatra obnova Biblioteke, Antonije pljačka Pergamsku biblioteku 642. arapske trupe zaposele Aleksandriju 718. Omar II preselio učenjake u Antiohiju
37 Euklid najuticajniji matem. Ptolemeja I ( ), kome je rekao da... Da li ima koristi od matem. Elementi 13 knjiga aksiomatski metod: izlaganje se sastoji od strogo logičkih izvođenja teorema iz sistema definicija, postulata i aksioma Elementi - uz Bibliju i Božanstvenu komediju, najviše izdanja (oko 800)
38 Elementi knjiga: geometrija u ravni 5.- Eudoksova teorija nesamerljivih duži 6.-primena na sličnost ravnih figura 7,8,9.-teorija brojeva (deljivost, prosti, Euklidov alg...) 10.-geometrija 11,12,13.-geometrija u prostoru Peti postulat-aksioma o paralelama, pokušaji da se dokaže, ne-euklidske geometrije
39 Eratosten upravnik Velike Biblioteke zavidna dubina naučnog i književnog znanja, među najumnijim ljudima svoga vremena matematičar, pesnik, besednik, filozof, svestrani atleta Eratostenovo sito oslepeo
40 Arhimed najveći matematičar helenističke epohe i celokupnog Starog veka originalnost, numerička tehnika, strogi dokazi problemi, od kojih koristi ima celo čovečanstvo živeo za matematiku i od matematike uglavnom u Sirakuzi (Sicilija), savetnik cara Hijerona prvo ga učio otac Fidija išao u Aleksandriju, centar prirodnih nauka, tu bio Eratosten vraća se u Sirakuzu
41 Šta je sve Arhimed radio? rasprava o zaobljenim geom. telima integralni račun-površine i zapremine broj π (proračun, upisani i opisani poligoni) Eureka!- princip potiska, teorema o gubljenju težine tela koja su potopljena u tečnost veliki brojevi-koliko zrna peska bi napunilo vasionu (10 na 63) pronalasci: poluge, koturače, zupčanici, tehnički postupci koji se i danas koriste pri gradnji zgrada, mostova, brodova,... Non turbare circules meos! Da li je namerno sakrio svoj način otkrića? otkriveno 185 listova pergamenta u jednoj biblioteci u Istambulu u 13. veku monasi izbrisali da bi napisali molitve tu su bili Arhimedovi dokazi: o sferi i valjku, o spiralama, o obimu kruga, ravnoteži ravnih figura, jedina poznata verzija rasprave o metodi...
42 I šta je posle bilo? posle Kleopatre, Egipat se pretvorio u Rimsku provinciju u Rimu nauke zanemarene ( samo: veština vladanja) nezainteresovanost Rima za stvari duha+neprijateljstvo hrišćana prema naukama (Hipatija, 415. god) Rimljani samo jednog matematičara: senator Boeti Justinijan 529. zatvara Akademiju u Atini, i sve paganske univerzitete KRAJ ANTIKE Arapi 624, zaposeli Aleksandriju, 718. iseljavaju sve naučnike iz Muzeja u Antiohiju Bagdad, 9. vek Harun Al Rašid osniva Biblioteku- PREVOĐENJE na arapski! sin, Al Mamun- osniva Kuću Mudrosti u Bagdadu u Evropi: mračni srednji vek...
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών
Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραSličnost trouglova i primene
Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Seminarski rad iz metodike nastave matematike i računarstva Sličnost trouglova i primene Autori: Aleksandra Obradović Aleksandra Radulović Milica Pješčić Mirjana
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα10. STABILNOST KOSINA
MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg
Διαβάστε περισσότεραSistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραHEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE
TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραDiskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić
Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραNovi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραSkup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
Διαβάστε περισσότεραΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών
Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότερα