Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič. Skrivnosti števil in oblik. Rešitve učbenika v 7. razredu osnovne šole

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič. Skrivnosti števil in oblik. Rešitve učbenika v 7. razredu osnovne šole"

Transcript

1 Jož rk, Jn rkslr in Mrjn Roič Skrivnosti štvil in olik Ršitv učnik v. rzrdu osnovn šol

2 REŠIE NRN EIL. ELJIOS ŠEIL ),,,,, + k ; k o. Prdhodnmu štvilu prištjmo. ),,,,, : k ; k. Prdhodno štvilo dlimo s.,,,,,,,,,,,,,,,,,, lgrski izrz: n + ; n. Stoti Ëln j. ) ) ), kr j z mnjš od ; nismo izrli, kr i ilo z vëj od. P, N, P, N ) = li = ) = ) =. PR EIL πtvilo πtvilo dlitljv prπtvilo (-N) NE NE ) ) tvilo ni prπtvilo, kr im vë kot dv dlitlj. = {,,,,,,,,,,, } ) Sodo prπtvilo j l. ) Md in. ), to so,,,,,, in. Ë) Z s rzlikujt in ( in ). Z s rzlikujt in ( in ). Z s rzlikujt in ( in ). Z s rzlikujt in ( in ). ) N, kr imjo prπtvil ntnko dv dlitlj. ) P, kr j nrvnih πtvil nπtto. ) P, kr vsj tri pomni vë kot. Ë) N, kr j prπtvilo in j sodo πtvilo. d) N, kr j liho πtvilo, ni prπtvilo.,,,,,,,,,,,,,,, kvdrti zpordnih prπtvil; lgrski izrz: x, x P, P = množi prštvil ) vsot j sodo πtvilo: prπtvilo vsot πtvk li p j prπtvilo: ) prπtvilo vsot πtvk. prπtv.. prπtv. vsot prπtvilo n> liho πtvilo n sodo πtvilo vëj od n+ sodo πtvilo vëj od rditv dræi, sj j vsko prπtvilo vëj od, liho πtvilo. Liho πtvilo læi md dvm sodim πtvilom sstvljnim πtvilom.» j n=, trditv n dræi, kr j prdhodnik πtvilo, nsldnik p (prπtvilo).» j n=, trditv n dræi, kr j prdhodnik (prπtvilo).. RZEP N PRFKORJE ) = = = = = = = ) = = = = = = = ) = = = = = = = ) = ) = ) = Ë) = tvilo. = = = = = = = = = Produkt prπtvil j n sm = =. NE, πtvilo j odvë, kr ni prπtvilo. Njmnjπ ( = ); njvëjg ni. ) = ) = IzrËunmo kvdrt prvg od vëjg prπtvil. =, =, = = = = = = = = Pri rzpu dstiπk not n prktorj doimo vdno prktorj in s tkπno stopnjo, kot j πtvilo niël v dstiπki noti.,,, ;,,. Iskn πtvil so kvdrti prπtvil.. SKUPNI ELIELJI ) = {,,,, } = {,,,,,,,, } = {,, } (,) = ) = {,,,,, } = {,,,,, } = {,,, } (,) = ) = {,,,,, } = {,, } = {} (,) = in st tuji πtvili. Ë) = {, } = {,,, } = {} (,) = ) (,) = ) (,) = ) (,) = Ë) (,) = d) (,) = ) (,,) = ) (,,) = g) (,) = h)(,) = ) = = ) x = y = = = x = y = = = x = y = tvilo. otrok; vsk j pojdl kos tort in popil sokov. (,,) = rzrdu j otrok, vsk im svinënik, kmiën svinënik in rvi. Moænosti z znmk, ki jih lhko lpi n o pismi: znmk z,,,, ntov. Izrl j znmk z ntov, kr j (,) =.

3 ) (,) = ; oiskovlv ) sk j doil jolki in hruπk. = = : = x mri m. šktlo lhko zloži knjig. ) = ) = = = (, ) = = (, ) = = ) = Ë) = = = (, ) = = (, ) = = ) NE; ) πtvilo ; ), πtvilo. ) Strni kvdrtk mri mm. oimo kvdrtkov. ) Potrujmo m zlt nitk.. SKUPNI E»KRNIKI ) = {,,,,,,,,...} = {,,,,,,,,...} v(,) = ) = {,,...} = {...} v(,) = ) = {,,,,...} = {,,,...} v(,) = Ë) = {,,,...} = {,...} = {,,...} v(,,) = ) v(,) = ) v(,) = ) v(,) = Ë) v(,) = d) v(,) = ) v(,,) = ) v(,,) = g) v(,) = h) v(,) = ) = = ) x = y = = = x = y = = = x = y = ) ) ) Ë) Njun zmnoæk, kr nimt skupnih prktorjv. πktli j ononov. (skupni vëkrtnik πtvil in, ki læi md in.) v(,) = O s hkrti iztët Ëz skund; Rokov s iztë -krt, plin -krt. v(,) = Prvo kolo s zvrti -krt ( : = ), drugo p -krt ( : = ). O znmnji s ujmt vskih mtrov (drvs: =, striëki: = ). ) olæin dlji XY j m. ) Prdstvlj njmnjπi skupni vëkrtnik dolæin dlji in. )oëk, kjr s loki stikjo, prdstvljjo skupn vëkrtnik. pl mor prrti strni. plo Ëkjo trij ononi (n.,.,. stopnii). Sklpmo, d omo iskno πtvilo n doili tko, d nmsto n-j vstvljmo vs zpordn dlitlj πtvil. Poskuπmo (,)=, (,)=, (,)=, (,)=, (, )=, (,)=, (,)=, (,)=. orj j n =,,,,,,, Poskusimo, Ë j dljivo s. Ugotovimo, d j dljivo s, zto j v(,) kr. orj j m =. (,,) = πopku j grr, ngljn, vji zlnj. PEL SE PREIZKUSI ) ( t) ) ( t) = ( t) = {,,,,,,, } ( t) = {,,,,,,,,, } ( t) Skupni dlitlji πtvil in so:,,,. ( t) (, )= ( t) ) v(,) = ) (,) = )v(,) = Ë) v(,) = vsk ( t) d) (,) = ) (,) = ) N; ( t) ) P ( t) ) P ( t) Ë) N ( t) ),,, ( t) ),,, ( t) ) Pri tujih štvil, kjr vrstni rd ni pommn: (, ), (, ), (, ), (, ) (, ), (, ), (, ), (, ) (, ), (, ), (, ) (, ), (, ), (, ), (, ) (, ) (, ), (, ) (, ) ( t) ) tvili, ki imt njvëji skupni dlitlj. ( t) ) njmnjπi skupni vëkrtnik ( t) ) N; = ( t) ) P ( t) ) P ( t) Ë) N; = ( t) (,,, ) =? ( t) prviln izrëun: dolæin ng kos j mtrov ( t) prviln izrëun πtvil kosov: +++=, kosov ( t) v(,, ) =? ( t) prviln izrëun: Ëz dni ( t) prviln dtum:. oktor ( t)

4 REŠIE ULOMKI. Ulomki n tvilskm poltrku. ponzoritv ulomkov πtv imnovl = tri sdmin = pt osmin = sdm dstin = dvt njstin = dv ptini = pt πstin ) ) ) Ë) d) ) ) ) ) : ; : ; : ; : ; E: ) M: ; N: ; O: ) ; P: ; R: m n dl od πtirih, n dl od osmih, n dl od dvh, n dl od dvtih, trij dli od ptih, dv dl od sdmih, trij dli od trh ) m m Moæn so tudi drugën rπitv. Skupno jim j to, d j pri vsh nko πtvilo nko vlikih likov. m ) ) m m m» Moæn so tudi drugën rπitv. si dli morjo iti nki, porvnih p toliko, kot jih j n sliki.,,,,, d, n, n, n N poti j osm okrpëvlni. RdËih j, modrih j, srrnih j, zlnih p. Posuπil so s, zvtlo p j vsh vrtni. Z plo j ostlo poti. Pri pouku j uënv. olsk ur prdstvlj ur (lhko tudi ur). Kopng j povrπj. Popiti mor π dl. m si ulomki prdstvljjo isto toëko n πtvilskm poltrku.. Ulomki kot koli»niki ) = = = = = ) = = = = = = ) = = = = = ) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = m = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ) x = ) y = ; d) u = ; ) v = ; h) z = ) = Ë) = ; ) = ; g) d = ; i) =

5 Iz trh tort j doil kosov. ) : = Ë) : = = ) : = i) : = = >, <, =, ) : = = ) : = = d) : = = ) : = = = g) : = h) : = j) : = k) : = <, >, =, <, =, >, <, <, <, > ; Rπitv: ULOMEK. ) > = ) > = < > = > = < > = > = = > = ) =, =, =, =, = ) =, =, =, =, = ) < ; do lot mnjk ) < ; do lot mnjk < ; do lot mnjk < ; do lot mnjk > < ; do lot mnjk ) in < ; do lot mnjk < ; do lot mnjk > < ; do lot mnjk sk j doil kg pomrnë (to j kg pomrnë li kg dg). ) in ) in >,. Ëln nim pomn > x {,,,,,,, }; z x = nim pomn. = x {,, } x {,, } ) x {,,,,...} ) x { } ) x {,,,,,,,,,...}. Rz irjnj ulomkov ),, ),, ) s s ) s s = = = = = = = = = = = = = = = = Ë) in ) x =, y = ) =, = ) m =, n = Ë) u =, v = d) k =, l = ) p =, r = ) =, =, =, = ) =, =, =, = ) =, =, =, =, = ) =, =, =, =, = ) in ) in ), in ) in ) in ), in Ë) in d) in ), in Ë) in d) in ), ) ) ) Ë) d) ) in ) = ) = ) = Ë) = d) = ) = = Potrovl o ur. = nr j prinslo æ uënv.. Krj nj ulomkov ) =, =, =, - s n d ) =, =, - s n d, = ) =, = = = =, =, = =, - s n d ) =, =, - s n d, =, = ) z ; z ; s ; s ) z ; s ; s ; s ) x =, y = ) =, = ) =, =, =, = ) =, =, =, =, = ) =, =, = ) =, =, = Likovni kroæk: =, logik: =, pvski zor: =.

6 REŠIE Gozd: = trvnik: ), njiv: =, =, vinogrd: =. ) ). Ulomki in dimln tvil ), = ;, = ;, = ;, =, = = ;, = ;, = ), = ;, = ;, = ;, =, = ;, = ;, = ) =,; =,; =,; =, =,; =,; =, ) =,; =,; =,; =, =,; =,; =, ) =,; =,; =,; =, =,; =,; =, ) =,; =,; =,; =, =,; =,; =, ) =,; ) ) =,; =,; =, =,; =,; l =, l = dl ) m =, m = dm m =, m = m l =, l = dl km =, km = m dg =, dg =, g =,; =, kg =, kg = g km =, km = m. Urjnj ulomkov po vlikosti o st ulomk in. o so ulomki:,,,, ) < <, < <, < <, < <, < < ) < <, < <, < <, < <, < < ) < <, < < in < <, < < ) < <, < <, < < ) Md in læijo πtvil,,,,, in. Md in Md in læijo πtvil, in. læijo πtvil,,,, in. NjvË πtvil læi md ulomkom ) Md in Md Md in in læijo πtvil, in. læijo πtvil, in. læit πtvili in. in. NjvË πtvil j md ulomkom in tr pl s prizkusi,,, in. Moæn so tudi drug rπitv. Pommno j,d st porvn, ozirom dlov. < ; >, = ; >, = ; >, = = ; = ; < ; >, = ; (vsk primrjv t) ) < < < < ) > > > > ) < < < < ) > > > > ) > ; < ; = ; > ) > ; < ; = ; > ) < < < > < o j ulomk. ) > > > ii Moji vti vëji dl tulipnov. rugi dn j oprvil vëji dl trning. =, =, = =, =, =, (vsk po t), = = ( t) =, =, (vsk po t), = ) < < ) < < =,; =,; =, < < ; < < Prhoditi mor π = poti. ( t)

7 R»UNNJE Z ULOMKI. ULOMKI Z ENKIMI IMENOLI ) + = =, ) = ) + = ) + = = ) = = ) = ) = ) = Ë) = d) = ) = ) = g) h) i) j) k) ) = ) = = ) = Ë) = = d) ) = ) = g) + = = Okrjπli smo:, Ë,. ( ) Mih in dj st pojdl ononov. ) ; ; ; ) ; ; ; + = K jπi j prispl o. uri in minut; ur = minut, nto sπtjπ skupj ur in skupj minut: h min + min = h min = h min ( ) ; + + = + = Posstvo mri m. ( ) ( ) = = + + = = Kmn pd m. =, =,, = = =,, =, =, = = = Mm j kupil kg zlnjv.,,,,,,,,, n; o = = + + = = ; o = m;,,,,,,,,. SE ENJE ULOMKO ) = ) = ) d) ) = ) ) = ) = ) + = + = + = + = = Ë) = g) Ë) ) m ) l ) kg Ë) t ) ) ) kg ), kr j Poril j ) ) kg jgod prvë. dnrj; ostlo ji j dnrj. ) ) OdvË j podtk. ) Ë) ) =, s =, n =. O ENJE ULOMKO ) = ) ) ) = = ) g) Ë) h) d) i) ) ) ) Ë) ) m= m ) l l= l ) g Ë) t t= t pl j il str lt. Mrko j rπil nlog. = = Mtj j πl od dom o ur, kr j o. uri in minut. ur j min, nto odπtjm h min min = h min. = Ë) lgrski izrz: ) ) ) ) dolg =, lotn dolg j. x (x ) = x x (x ) x ) Ë) d) ) ) g) ) Ë) = ) NE; ) Zmnjmo lhko prvi in drugi Ëln. ) NE

8 REŠIE = = = = = = = ) Ptr j zpisl ulomk. ) Imnovl j povël z. ( ) ( ) + = li + =. MNOÆENJE ULOMK Z NRNIM EILOM ) ) ) g) ) ) ) ) ) ) h) Ë) i) ) Ë) d) = Knjig im strni. j) ) = Z vrt Jk potruj m ogrj. ) l= l ) l= l ), v dilitrih in jih n konu prtvoril v litr in dilitr. Nrli so kg orovni. Zsluæili so. Z izlt jim π mnjk. Nrti morjo π kg orovni, Ë odo doili plën po isti ni. x, = x = ilnov vrvi j dolg mtrov. ljπ j Urhov vrvi. + = Osg prvokotnik mri m. ( ) = Prostli tovor n tovornjku j thtl kg. ) n {,,,,,, } ) n =,, n m = m ) modrg: m =m zlng: m =m ) ( ) ++ m= m ) Sr: h= h rr: h= h ) Njdlj j nlogo pisl Sr, njhitrjπ j il rr. ), Ë j drugi ulomk mnjπi od. = =,... ) rugi ulomk j mnjπi od.. ELJENJE ULOMK Z NRNIM EILOM ) ) ) Ë) d) ) ) g) h) i) j) k) ) =, ) =, ) =, Ë) =, mtr litr Slik prikzuj no od moænih rπitv. Pri tj rπitvi prvokotnik rzdlimo po dolæini n pt nkih dlov in tri orvmo. Nto prvokotnik po πirini rzdlimo n πtiri nk dl in tko pridmo do rzultt. m m Krog rzdlimo n nk dl in ng porvmo. Nto vsk dl rzdlimo π n dv nk dl (n pol) in doimo rzultt.. MNOÆENJE ULOMK Z ULOMKOM ) h) ) ) i) j) Ë) k) d) l) ) ) m) n) g) litr mtr Prvi zmnoæk ( kr j <. ) j mnjπi od drugg zmnoæk ( ), ) ) ) ) m = = m m ) kg = kg = g km = km m m= m. ELJENJE ULOMK Z ULOMKOM =,,,, ) ) ) ) ) ) Ë) Ë) d) d) ) ) g) ) ) g) ) ) ) Ë) d) ) ) g) h)

9 trkov grm =, minut. ) ) ) Ë) d) ) ) mtrov stklni. EILSKI IZRZI ) ) ) ) ) ) h) i) ) g) ) j) ( )( ) Ë) h) Ë) d) d) k) i) l) + = =,, kr so vsi ulomki dstiπki. o = + p = ) ) g) o = + = m p = = m ) = ) + : = ) =, ) =, ) =, Ë) d) ) ), = g), = h) i), = j), = k), = l), = m) n), = o), = p) r) s) π) =, ) + + = ) : : = ) ) ) Ë) pti rzrd. sdmi rzrd. ) ) ) ) ( + ) = ) ( + ) ( ) = Ë) + ( ) = ) N, kr n vmo, koliko Ës j poril z kosilo. ) Z kosilo j poril uro in minut. ) Kupil j, kg sdj. ) n. NLOGE Z ESEILOM Jur j zrl kg ppirj. h pokosijo, h trv p popsjo svæ. Iglvv j h. Npolnil j stklni. rugi dn so prhodili Knjig im strni. Prgldti j morl Ëlnkov. nin oë j str lt. oiπ πtvilo. poti, trtji dn p poti.. IZRZI S SPREMENLJIKMI ) ) ) Ë) ) ) ) =, Ë) =, ) ) =, ) =, Ë) Ptr j prtkl km vë, to j m vë kot Rok. ) ) ) Ë) d) d ),,,,, x + ;,,,,,, ),,, ),,, ),,; x + ; x N ),, ; ; x N x ) Rzlikujt s z z. ) Rzlikujt s z. PovË s z. PovË s z. PloπËin s povë z =, m. ) + ( ) +, ),. EN»E IN NEEN»E ),, x >, ) y <,

10 REŠIE ) >, ) x = ) x = = ) x = Ë) y = d) x =, ) x = ) x = g) x = h) = Ë) m < ) x = ) y = ) z = Ë) x = = d) = ) x = ) x = g) y = d) ) < x < < y < ) x {,,,,} ) x {,,,... } ) x {,,} Ë) x {,,,...} ) izrm x vrdnost LEE strni vrdnost ESNE strni x + L = p li n + = n + = n + = n + = = p x = ; L = = ; Rπitv në j πtvilo. ) (x ) = x - x + : + : x = ) x = ) y = ) = ) y = = ) x = i) x = j) y = ) x = = ) x = d) x = = ) x = h) y = i) = = ) x+ = x = ) x = x = ) x = x = Ë) x + = x = x d) = x = Ë) = g) x = ) x = ) x = = d) x = h) x = Ë) x =, g) x = j) p =, k) t =, ) Rπitv j prviln. ) Rπitv j nprviln, prviln rπitv j. ) Rπitv j nprviln, prviln rπitv j. h) = = x = i) x = j) x = k) x =, x =, + x =, x =, rugi kos drvs j il dolg, m. + x = x = Iskno πtvilo j. N tovornjk lhko nloæijo ton tovor. x = x = Iskno πtvilo j. x = x = Iskno πtvilo j., x = x = Gl j str lt. x = x = Pjk j dolg m. x = : x + = x x : : x = Gor o rzdlil go πtirim prijtljim ( ) x ( ) + = x = x = = ( ) + x = x = = Odπtvn j. x x = x = x = Ptr j visok m. x + = + x = n j zpisl πtvilo. pl s prizkusi ) ) ) Ë) d) ) (, Ë in primr: t, ostli: t) ) x = ( t) ) m = ( t)

11 ) (prvi oklpj ( t); drugi oklpj ( t); vsot ( t)) ) (prvi oklpj ( t); drugi oklpj ( t); rzlik ( t)) ) ( t) ) ( t) ) ( t) Ë) ) ) ) ) ) Ë) ( t) (produkt ( t); skupni imnovl ( t); rπitv ( t)) (oklpj ( t); koliënik ( t); vsot ( t)) Rokov tovor tht kg. (izrz ( t); rπn izrz ( t); odgovor ( t)) Skupj st stri lt ( lt in msv). Kj j str lt. (Kjin strost ( t); skupn strost ( t); odgovor ( t)) PRESLIKE. ORIENIJ KROG GM ) pozitivno ) ngtivno ) ngtivno nsprotno smr kot. zonik.. ZRLJENJE»EZ PREMIO ) ) p r Prvi dn j prrl strni, drugi dn strni in trtji dn strni. (prvi dn: strni ( t); ostnk: strni ( t); drugi dn: strni ( t); trtji dn: strni ( t); odgovor ( t)) ) Sosd Jk j iml nojv. (ostn ( t); drugi tdn ( t); v dvh tdnih ( t); ostn ( t); rzultt ( t); odgovor ( t)) t ) ) p r ) p ) ' ' s Z s : ' Z s : ' Z s : ' '

12 REŠIE ) r M M' N P' Z r : M M' Z r : N N' Z r : P P' ) p ' ) N' P Z t : Δ Δ''' ' ' t ' ' '. ZRLJENJE»EZ O»KO ) ) ) r ' O O ' Z p : Δ Δ''' ) ' O ' ) s E' E ' ' Z p : ΔE Δ''''E' ) Ëz toëko P ) Ëz toëko M ) Ëz toëko O M Z t Ë) ' ' ' ' ) prvilno ) nprvilno (ni prvokotni) ) nprvilno (toëk ni prvilno przrljn) Ë) prvilno N sliki ). oëk j ngin toëk in j povsod prvilno przrljn. ) ' ' ' ' E m E' ' t N' F ' Z t E M' ' ' N ' ' ' ' E' F'

13 . PRESLIKE IN ZORI ) zsuk ) vzpordni prmik ) zsuk ) ; in ) ; in K M ) ; in s KL L s KM s LM Ë) ; in d) ; in. lik im krogv,. p. lik roov;. lik roov;. lik roov ) šstm liku j kvdrtkov, v dvtm liku p kvdrtkov. ) šstm liku j Ërnih kvdrtkov, v dvtm p Ërnih kvdrtkov. ) šstm liku in v dvtm liku =. = N. mstu o h, n. mstu p s. Z vsko mizo s štvilo gostov povë z ( n + ). Z pt miz lhko posdjo gostov, z dst miz p gostov., po trh ltih odo imli Ëli.. SIMERL LJIE m in m in m ) dv nk dl ) πtiri nk dl s ) ) s s S s S s s S s s oëk j nko oddljn od toëk, in. s s ) ) ) F s EF s s ) ) ) N F S S S E H s MN N r M s M E G s SK K S s

14 REŠIE s s R P s PR h k s U s M ) ) k k l s ) s h M r U S p s γ s k s h. SIMERL KO ) ) k k ) ) k k s s s h h h ) s γ h k h s s k h p r s t

15 s s ) =, =, γ =, δ = ) =, =, γ = ) =, =, γ =, ϕ = Ë) =, =, γ = d) =, =, γ =, ε =, δ = ϕ = + = k ϕ n m s s s γ S h s pl s prizkusi ) ) p t - dv toëki prvilni ( t) - tri toëk prviln ( t) - vsk prvilno przrljn toëk ( t) - nrisn trikotnik ( t). KOI Z ZPORENIMI KRKI ) sovrπni koti: F in, in F, HFE in FG, HF in EFG ) sokoti: in, in F, in F, F in F, HFE in HF, HFE in EFG, FG in EFG, HF in FG = sovršni kot; j ostri kot = sokot; j topi kot ) sokot s zmnjšuj z ( = ( + ) ) sovršni kot s povëuj z ( = + ) ko povëmo z ) =, =, γ = ) =, =, γ = ) =, =, γ =, δ = ) =, =, γ =, δ =, ε =, ϕ = ) =, =, γ =, ϕ = ) =, =, γ =, ϕ =, ε = ) E E Ë) s E E in Ë - vsk prviln odgovor ( t) - prvilno przrljn toëk ( t) - prvilno povzn lik ( t) r - prvilno przrljn toëk ( t) - prvilno povzn lik ( t)

16 REŠIE ) ) s - simtrl kot ( t) - kroæni k(,, m) ( t) - oznëni toëki in ( t) ) - prvilno przrljn toëk ( t) - prvilno przrljn toëk ( t) - prvilno povzn toëk ( t) - prvilno povzn toëk ( t) s s - simtrl kot ( t) - simtrl dlji ( t) - oznëni o simtrli in prvi kot ( t) - oznën toëk ( t) O - dv toëki prvilno przrljni ( t) - tri toëk prvilno przrljn ( t) - prvilno povzn trikotnik ( t) ) F E E F - vsk tri prvilno przrljn toëk ( t) - prvilno povzn toëk ( t) s s s - nrisn simtrl ( t) - vsk simtrl ( t) - oznën simtrl ( t) - oznën toëk ( t) = s - prvilno nrisn simtrl kot ( t) - prvilno izmrjn kot ( t) ) =, =, γ = - vsk kot ( t) ) =, =, γ =, ϕ = - vsk kot ( t)

17 RIKONIKI in IRIKONIKI. RIKONIKI ) sh trikotnikov j. ) ostrokotn, topokotn in prvokotnih trikotnikov ) nkokrki: EG in S; nkostrniëni: in GE Ë), GE, EG, S ) ) ostrokotni, topokotni in prvokotni trikotniki ) nkokrki: S, S, S nkostrniëni: Ë), S pl; L pri pli vlj trikotniπko prvilo. nkostrniëni ki niso nkostrniëni nkokrki, rznostrniëni ostrokotni,, J, L G, H prvokotni, I topokotni E F, K ) prv ) nro ) ngtivno oznën strni orintirn prvilno: Ë) nro oznëni koti γ prvilno: γ prvilno: γ Osno simtriëni so trikotniki:,, Ë in. ) = + ) = + + ) = + + Ë) = ) =, =, =, =, γ = ) =, ϕ = ) =, ϕ =, ε = Ë) ϕ =, ε =, γ = =, =, =, =, γ =. N»RONJE RIKONIKO ) =, m; = m; = m =, =, γ = rikotnik st skldn (dopustn npk ± mm in ± ). m ) ) m ) Ë) m ) ). KOI RIKONIKU γ γ ) Ë) ) =, =, γ =, γ = ) =, =, =, γ = ) ϕ =, δ =, ε =, ε = Ë) =, =, =, γ = d) =, =, γ =, δ =, ε = ) =, =, γ = ) =, =, γ =, δ = g) =, =, γ =, δ =, ε = h) =, =, γ = i) ϕ =, ε = ) )

18 REŠIE ) Ë) γ ) γ = ) = = ( γ = + = = = ) ) ) ) = = m Ë) = = γ = ( + + = m = = o ) Ë) ) ) ) Ë) γ d) γ = (γ = )

19 ) dv rπitvi. I INE RIKONIKO v v v ostrokotni trikotnik prvokotni trikotnik Strni j prvokotn n nosilko dlji v toëki. Enko vlj tudi z: (prvokotn n ) in (prvokotn n ). topokotni trikotnik ) v j prvokotn n nosilko strni. rikotniki so izrni poljuno. voj slik j lhko drugën. ) OgliπË si n nosilki poljuno izrmo. vs tri viπin so nko dolg v =, m ) rikotnik j ostrokotn. ) rikotnik j prvokotn; prvi kot j v ogliπëu. ) rikotnik j topokotn. ) γ = (γ = ) N. OgliπË j kjrkoli n vzpordnii, ki jo doloë v. ) ) Ë) v j prvokotn n nosilko strni. OgliπË si poljuno izrmo. dv rπitvi

20 REŠIE d) ZËnmo z nosilko strni. Nriπmo v ; ogliπë si poljuno izrmo.. SIMERLE SRNI in trikotniku o»rtn krožni ) ) γ k ) Ë) k ) ) nlogh - so nrisni poljuni primri. voj slik j lhko drugën. γ ) rikotnik j prvokotni trikotnik. ) rikotnik j ostrokotni trikotnik. ) rikotnik j topokotni trikotnik. ) ) dv rπitvi ) dv rπitvi

21 Izrmo si poljuni ttivi in nriπmo njuni simtrli. Skt s v srdiπëu. k oëk, ki so nko oddljn od dvh toëk, læijo n simtrli dlji, ki ju povzuj. nlogh - so nrisni poljuni primri. voj slik j lhko drugën. ) ) ] = = j nk vsoti ] in ]. Kot ] in ] st skldn, sj j nkokrk. ] = = Δ j osno somrn. k ) Ë) oëk, ki j srdiπë vërtn kroæni, j nko oddljn od vsh strni trikotnik. orj læi v notrnjosti vskg notrnjg kot trikotnik, zto j v notrnjosti trikotnik.. SIMERLE KOO in trikotniku v»rtn krožni ) ) )

22 REŠIE ) O kroænii st vërtni trikotnikom, ki ju ustvri digonl. S nlogh - st nrisn poljun primr. voj slik j lhko drugën. r v S ) toëki, kjr simtrl kot sk lok, nriπmo tngnto tr nstlmu trikotniku vërtmo kroænio. t =, m t =, m t =, m t =, m ) dotikliπë oh kroæni nriπmo tngnto in vërtmo o kroænii. s Njdljπ j t. ) ) ) Ë) dv rπitvi. EæI»NIE IN EÆI»E ) ) t t v t rzpolvlj strnio. Rzdlj od prsëiπë t in do ogliπë j nk kot rzdlj od prsëiπë do ogliπë. Nriπmo ps, ki g doloë v. Poljuno si izrmo ogliπë in odmrimo kot. Iz ogliπë odmrimo t, ki rzpolvlj strnio.

23 ) Ë) - ski ( t) - prviln slik ( t) - oznën ( t) - ski ( t) - prviln slik ( t) - oznën ( t) Nriπimo ps, ki g doloë v. Poljuno si izrmo ogliπë in odmrimo dolæino. Iz rzpoloviπë strni odmrimo dolæino t in doimo ogliπë. N poltrku, ki g doloë kot γ, doimo rzpoloviπë strni s pomoëjo t. OgliπË przrlimo Ëz to rzpoloviπë. - ski ( t) - prviln slik ( t) - oznën ( t) - srdiπë kroæni ( t) - oërtn kroæni: ( t), tk j nkostrniëni trikotnik. pl s prizkusi v =, m v =, m t = m (dopustn npk ± mm) v v - vsk prvilno vrisn dlji ( t) - vsk prvilno izmrjn dlji ( t) ) =, =, γ = ; - vsk prvilno izrëunn kot ( t) ) =, δ = ; - vsk prvilno izrëunn kot ( t) r v =, m. IRIKONIKI v =, m; =, m; δ = ) ) m m δ d - ski: t - nrisn trikotnik: t - srdiπë vërtn kroæni: t - vërtn kroæni: t - izmrjn polmr: t γ ) ) - ski ( t) - ski ( t) - prviln slik ( t) - prviln slik ( t) - oznën ( t) - oznën ( t) ) Ë) m ) Ë) m d d) m γ d δ d - ski ( t) - ski ( t) - prviln slik ( t) - konstrukij ( t) - oznën ( t) - prviln slik ( t) - oznën ( t)

24 REŠIE ) = ) δ = ) =, δ = ) =, =, ϕ = E =, =, E =, E = γ = m. RPEZ δ d) ) = ) =, =, δ =, γ = ) γ = ) = = = δ δ γ γ = = γ = γ = δ = δ = m m,, d,,, g v = m; = m; =, m; γ = ) ) m m m ) Ë) m δ d) d m δ v m ) ) ) Ë) d m d m m γ d v r S =, =, γ =, δ = d = = d j =. PRLELOGRM,, d,, g =, m; =, m; γ = ) ) d m ) Ë) m m d) ) m v m m v

25 ) ) m m ) Ë) m m rv ro m ) Ë) m kvdrt dv rπitvi d) m v v m m m ϕ v m ) ) m Nlog j rπljiv, Ë j > v. d d ) m ) E = ) E =, F = ) N mormo izrëunti, kr rom z dnim kotom n ostj. ) ε =. ELOI =, m; =, m; =, m; = ; δ = ) ) m m r o. ) m ) m ) Ë) d) m m d d m d d d d

26 REŠIE Kvdrt in rom st dltoid. Prvokotnik ni dltoid njgovi digonli s n skt pod prvim kotom. ) δ = ) =, γ = d γ m γ m ski: t ris: t kroæni: t Odgovor: Kroænio lhko oërtmo l nkokrkmu trpzu v dnm primru nlog ni rπljiv. ε =. Gomtrijski liki in tls ) kvdrtov ) prvokotnik, nkokrki trikotniki ) prvokotniki ϕ ε = ε = ski: t slik: t kot: t m ϕ ε pl s prizkusi ) Prllogrmi so:,, Ë, g ( t; z vsko npëno: - t). ) rpzi so:,, Ë,, g ( t; z vsko npëno: - t). ) prvokotnik, kvdrt, nkokrki trikotnik,» prllogrm, prvokotni trikotnik, E trpz, F dltoid, G rom ( t; z vsko npëno: - t) Nprviln trditv:,»,, E ( t; z vsko npëno: - t). d δ γ ski: t ris: t (Ë so koti risni s kotomrom: - t) m δ γ δ ski: t slik: t γ ( t) m S o r o m S o r o v m ) = ( t) ) ϕ = ( t), δ = ( t) δ = ( t), δ = ( t) v ski: t ris: t Koti mrijo: =, γ =, δ = ( t).

27 OSEGI IN PLO»INE. E»KONIKI o = m, p = m = m, p = m : o = m, p = m : o = m, p = m : o = m, p = m ) = dm ; ) Ostnk j, m. zn j prvokotnik s strnim in m. Folij j prvokotnik s strnim m in m. odopivëvi morjo kupiti m olij. ), ( (,,) + +,) =, Plskr mor prplskti, m. ) ( ) + (, +,) +, + +, =, Plskr o potrovl, m lpilng trku.. PRLELOGRM ) o = + = ; o = m; p = = ; p = m ) o = +, =,; o =, m; p =,, =,; p =, m ) o = m; p = m ) o =, dm; p =, dm ) o = m; p = m ) p = = ; p = m ) = : = ; = m ) = ( ) : = ; = m ) o = dm; p = dm ) =, m; p = m ) v = m; o = m ) m v =, m o =, m p = m ) v =, m o =, m p = m ) v =, m =, m o =, m p =, m olrn z strnio j ± mm. Prllogrm pod ), kr j p =, = m. IzrËunmo lhko osg, ploπëino in viπino n strnio. o = m; p = m ; v =, m ) Njmnjπi osg im lik, kr im njkrjπo dolæino strni (zrdi prvg kot), vsi prlologrmi p imjo nk dolæin. m m v v v ) PloπËin prllogrmov so nk, kr imjo vsi nko dolgo strnio in nko dolgo viπino n strnio. ) Poti j m. ) rvnik j m. ) = En prkirni vto zsd m.. RIKONIKI ) =, m; =, m; =, m; v =, m; o =, m; p =, m ) = m; =, m; =, m; v =, m; o =, m; p =, m ) =, m; =, m; =, m; o =, m; p =, m olrn z strnio j ± mm. ) o = dm; p = dm ) o = m; p = m ) o = mm; p = mm ; v = mm; v =, mm ) v = mm ) p = p + p p = m + m = m, p = p + p, m p = +, =, m Prvilni so odgovori: Ë, d in. m,, m p = p =, m p = m m =, PloπËin trikotnik j polovi ploπëin kvdrt. Kvdrtu smo odrzli dvkrt po lik, kr j rvno lik, zto j drug polovi lik ostl (orvno). ) ) PlošËin mri m, kr j štvilo mlih nkostrniënih trikotnikov v prvilnm -kotniku dvkrt vëj od štvil mlih nkostrniënih trikotnikov v zvzdi.

28 REŠIE p = p = = p = p = dm p = p =, = p = p = dm PloπËin vsh πtirih trikotnikov so md soj nk. o = o = dm + dm = dm o = o = dm + dm = dm Po dv nsproti læë trikotnik imt nk osg. litv ni prviën. Nstl trikotnik imt nki viπini, rzliëni osnovnii. rikotnik, ki nj i il Ptrov, im osnovnio m, zto j njgov ploπëin m. rikotnik, ki nj i il Pvlov, im osnovnio m, zto j njgov ploπëin l m.. ELOI, ROM IN KR lik : p = = ; p = m lik : p = = ; p = m lik : p = = ; p = m lik : p = = ; p = m y x ) Poloæili odo m tpison. ) Kupiti morjo tkoëih mtrov tpison. ) Rzli g odo tkol: m m m m PloπËin dltoid = ploπëin trikotnik = = p = dm ; v = :, = dm. RPEZ Enkokrki trpz; p = y m o = + + +, =, p = = o =, m p = m S x Nrisni dltoid im vs πtiri strni nk, zto j to rom: o = = ; o = m; p = p =, = p = m Prviln j odgovor. = ; p = m, ) Lik j prllogrm; p = m. ) trpz: p = m ) PloπËin trpz j nk polovii ploπëin prllogrm. prl : p = ; prl : p = ; prl : p = prl»: p = ; prl : p = ; prl E: p =» so zmljiπë nk kkovosti, s splë kupiti prli li», kr imt njvëji ploπëini (z nk dnr doiπ njvë zmljiπë). ) PloπËin ng trpz j m. ) PloπËin pntlj j m. ) = p = p zunnjg trikotnik - p notrnjg trikotnik p = p = m =, dm

29 pl s prizkusi o = dm; p = dm p = m ; = m; o = m = m; =, m; v =, m o =, m; p =, m (olrn z strnio j ±mm.) OSOKI IN POKI. OSOKI IN PROMILI ) Odstotk % % % % % % Ulomk Okrjπni ulomk = imln πtvilk,,,,,, ) v Odstotk % % % % % % Ulomk Okrjπni ulomk = ) S vtjm j zsjno = grd, kr znπ m. ) Z zlnjm j zsjno = grd, kr znπ m. ) Zsditv stn ( + ). imln πtvilk,,,,,, ) Odstotk, %, %, %, %,%,% Ulomk Okrjπni ulomk imln πtvilk,,,,,, v v =, m; o = m; p = m olrn z viπino j ±mm. = m rpz. = m; = m; = m; d =, m; v = m o =, m; p = m ) Ulomk Odstotki % % % % % imln πtvilk,,,,, ) Ulomk Odstotki % % % % % imln πtvilk,,,,, ) Ulomk Odstotki % % % % % imln πtvilk,,,,, ) tvilo,, Odstotki % % % % % ltoid. =, m; =, m o =, +, =,; o =, m p = m Ulomk ) = = = = tvilo,,,,, Odstotki % % %, %, % Ulomk =

30 REŠIE Ulomk Odstotk imlno πtvilo = = = %, %, %, % = % =,, = ) = = % =, ) = % =, ) = = % =, Ë) =, % =, ) ) % % ) Ë) % % d) % ) % ) % ) % Ë) % ) = ) < ) > N mlæi j nvdn dlæ mπëo, % =. Podtk pomni, d g jogurt vsuj, g mπëo. j "prpis" podtkov z domëg izdlk, torj ršitv n mormo podti. ndljnj tkmovnj s j uvrstilo, % tkmovlv. pl: ) pori % ) z poëitni % ) z glsni stolp % ) o j, %. ) nm litru vod j ml soli. ) l j l soli. tvilo privlv s j zmnjπlo z, promil. o j privl n.» j osnov milijon, potm j ljudi mnj, z dv milijon torj ljudi mnj.. R»unnj odstotkov % j æ, % π ni. OdliËnih j, %. = %. %. rzrd im % vë dkli. (: %, : %) ) tvilo odstotkov s dvkrt, trikrt... zmnjš. ) tvilo odstotkov s dvkrt, trikrt... povë. Nlog Ulomk Odstotk imln πtvilk Ë d %,, %, %,, %,, %, %, Z vtousom s vozi %. % s jih n vozi. Rzilo s j, % jj. Izkoristi s % prdiænik. % zlitin j ink. Ænsk j priliæno, %, priliæno, % p j moπkih. Jod prdstvlj % rztopin. Krompir %, hruπk %. hruπkh j % vë vod. ) % ) % ) %. trgovin: % popust,. trgovin: % popust. Ëji popust j v prvi trgovini. ) uënv ) % ) % d), % vign s z, promil., % nov posod.. R»unnj ELOE IN EL lot R»unnj EL lot ) ) ), Ë), d) ), ) min ) m ) g Ë) m ), m ), m Mrijo, m. Nov n o. Md m in m. PlËli odo vë. Nov njmnin o. jogurtu j, g mπëo. Ms krompirj j, t. OMÆ POLIESER kg mok. Po oh ponitvh stn,. % prvotn n. Z %. sliv. ) otrok ) udlænv ) % moπkih Ë) R»unnj ELOE ) m ) km ) Ë) h d) x = kg ) y = uënv., km km. Osnov l lot P % % m m % kg kg % Ë h, h, % d m m % kg, kg % % ) % ),

31 . KOORINN MREÆ E (,); (,); (,); (,); E(,); F(,); G(,) (,); (,); (,); (,) (,) N L (,) M S S(,) K M(,) N(,) ) ) E E oëk læijo n simtrli oh osi. ) Ë) E oëk læijo n prmii, ki j vzpordn nvpiëni osi. oëk læijo n prmii, ki j oëk læijo n prmii, vsk vzpordn vodorvni osi. nvpiën koordint j z vëj od vodorvn koordint. S E (,) (,) Nstli lik j (,) (,) nkokrki trpz. (,) (,) (,) E. PRIKZ POKO E»KO EKLI SPNJE OL U»ENJE GLS ROLNJE OSLO E»KO EKLI SPNJE OL U»ENJE GLS ROLNJE OSLO ) MO KI ÆENSKE OROI SKUPJ PONEELJEK OREK SRE»EREK PEEK SOO SKUPJ ) ) Pondljk ork Srd»trtk Ptk Soot Ë). Iz prvg vidimo πtvilo strnk v posmznm dnvu, ki vpliv n πtvilo zposlnih. KRJ PREINJ EILO MESO LOKU MESO HI I OROJE MES OKOLI K NSELJ SKUPJ msto (lok) msto (hiπ) oroj mst okoliπk nslj ) N. ) ) volivv. Z PROI ZRÆNI otroi ænsk moπki

32 REŠIE ) ogljik ) mgnzij ) % d) g ) moπkih ; ænsk ; otrok ) otrok %. RIMEI»N SREIN ), ) ) Ms Jurt (kg) Ms Rok (kg) Ms Jurt (kg) Ms Rok (kg) N, kr so podtki opisni. N, kr podtk nië n pomni. ) (pondljk, tork, srd, Ëtrtk, ptk) (,,,, ) (,,,, )... vliko moænosti. ritmtiën srdin j, povprëno s v vtu vozit, potnik. PovprËn tmprtur,. x =, PovprËn dolæin mt pri dklih j,m. x =, PovprËn dolæin mt pri dëkih j,m. Z, m. ) -krt. ) npr. Koliko plninv j vë kot nkrt prišlo n riglv?. MESEOJNO OISNE KOLI»INE tmprtur ( ) tmprtur ( ),,,,, PON OR SRE»E PE SO NE Ës (dn) Ës (min) StolpiËni digrm. )»s (h) tmprtur ( ) tmprtur ( ),,,,, Ës (dn) Ës (min) Pot (km) ) oænj ni nkomrn, kr v ni uri prvozi rzliëno dolg poti. ) Njhitrjπi md. in. uro. NjpoËsnjπi md. in. uro. kolsr stoji.»s (min) Pot (km) min, m, min, m, m, min, m, m, m pot (km)»s (h) Pot (km) Ës (h) Ms (kg) n ( ),,, n ( ),,, ms (kg) tvilo povljnih tvilo kosov tort tvilo kosov tort tvilo prijtljv. REESNI PRIKZ Æ Æ Æ Æ M M M M M M M M M M M M rzliënih prov.»»»» H H H H H H H H P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P N nëinov. O O K I O K I R K I R O I R O K K I O I K O K I R I K R O I R I R O K O R K R O I K I O O K I K I R R K I O I R O R O K K R O R sd K L L M M moæn poti. N N N N πtvil.

33 moænosti. Zprt pot: moænih poti. M L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L = = (Zgod, v ktri nstopjo tri izir v trh korkih) sh zpisov j. rimstn πtvil so.,,,,, ) ) rstni rd j rzliën, produkt prktorjv p j n konu nk. pl s prizkusi ) Prtkl j æ km. ( t) o ilj im π km. ( t) ) Prtkl j æ, % prog. ( t) ) N dljii ustrzn dolæin, npr. m, oznëimo poloæj tkë tko, d izrëunmo dl rzdlj, ki jo j tkë æ prtkl: od m j m. ( t) = =, = % = =, = % sk prviln odgovor j ovrdnotn z dvm toëkm. ) kg ) minut ) ) Prvi ms j shujπl z kg in njn tæ j: kg = kg. ( t) rugi ms j shujπl ponovno z % nov tæ, kr j, kg. ( t) Po dvh msih dit j thtl, kg. ( t) ) dlæu (odstotkih) nko, sj j okrt shujπl z % svoj tæ. ( t) sk prviln odgovor j ovrdnotn z dvm toëkm. ) min ) m ) m Ë) min s ) stolpëni digrm (t) zdostno doro prv doro kroæni digrm (t) ) PovprËn on j,. odliëno zdostno doro prv doro odliëno s πtiri prvilno nrisn toëk so ovrdnotn z dvm toëkm. Nstli dltoid j rom ozirom dltoid. (t) pl N ILJU S (, ) = ( t); : = in : = Nrdimo lhko njvë nkih šopkov. ( t) vskm o do vrtni. ( t) v (,, ) = ( t) minut : =. Ponovno odo o isti uri hkrti odpljli iz Postj Ëz minut ozirom ur, to j o. uri zvër. (t) vtous, ki gr n pot vskih minut o nrdil njvë vožnj in sir. ( t) sk prvilni rzultt j ovrdnotn z dvm toëkm. ) vsot: : = ( t) = = ( t) ) rzlik: ) produkt: Ë) koliënik: = ( t)

34 REŠIE sk prviln odgovor j ovrdnotn z no toëko. ) < ) > ) < Ë) = d) > Z sldold pori ptino dnrj, kr j: : =,. (t) Z mlio pori % dnrj, kr j,. ( t) Z rzgldnio ji ostn š,. ( t) S prostnkom dnrj lhko kupi š rzgldni. ( t) Ski trikotnik j ovrdnotn z toëko, slik z toëkm in prvilno przrljni lik z dvm toëkm. γ m sk prvilno zpisn izjv j ovrdnotn z no toëko. ) P ) P ) N Ë) N d) P trikotnik: štirikotnik (trpz) ε = ( t) η = ( t) ϕ = ( t) ψ = ( t) krožni digrm: ( t) % % % % % km iz io gos thv ' ' ' Ski trikotnik j ovrdnotn z toëko, slik z toëkm in prvilno oërtn krožni z dvm toëkm. γ v m s S o v s tri prvilno nrisn toëk so ovrdnotn z dvm toëkm. ) vsh uënv j. ( t) ) skupin z iziko im uënv. ( t) ) nko štvilo uënv imt skupini z kmijo in iologijo. ( t) Ë) njštvilënjš j skupin z gospodinjstvo. ( t) d) v skupini thniën vzgoj j: : = = : % ozirom priližno % vsh uënv. ( t) ) po minuth ( t) ) litrov vod ( t) ) litrov vod (t) Ë) vod j v gr pritkl nkomrno, sj v vskm Ësovnm intrvlu pritë nk koliëin vod gr j prmi. ( t) Prvilno nrisn slik j ovrdnotn s toëkmi. m F PlošËin trikotnik mri plošëinskih not. ( t) m m E ) plošëin trikotnik EF mri m. ( t) ) : = : = % ozirom priližno,%. UPOR ŽEPNEG R»UNL ) ) ) ) ) ) Ë) =, Ë) d) Ski prllogrm j ovrdnotn z no toëko, slik z dvm toëkm, izrëunn plošëin s trmi toëkmi in izrëunn osg z dvm toëkm. v m p = v p = p = m Z izrëun osg mormo izmriti strnio =, m. o = + o = +, o =, m ) ) ) =, ) ) ) =, ) Ë) d) ) Ë) d) =, ) Ë) d) Osg vrt j m, njgov plošëin p m., (, + ) = =, ) ;,; % ) ;,; % ozirom priližno, % ) ;,;, % rdëi:,%; modri:,% lotn zslužk j il. rugi dlv j doil.

B) VEKTORSKI PRODUKT 1. 1) Pravilo desnega vijaka

B) VEKTORSKI PRODUKT 1. 1) Pravilo desnega vijaka B) VEKTORSKI PRODUKT 1 1) Prvilo desneg vijk Vsi smo že videli vijk, nekteri kkšneg privili, tisti, ki teg še niste storili, p prosite kog, ki se n vijke spozn, d vm pokže privijnje vijk. Večin vijkov

Διαβάστε περισσότερα

m i N 1 F i = j i F ij + F x

m i N 1 F i = j i F ij + F x N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Olga Arnuš Mirjam Bon Klanjšček Bojana Dvoržak Darjo Felda Sonja France Mateja Škrlec MATEMATIKA 2

Olga Arnuš Mirjam Bon Klanjšček Bojana Dvoržak Darjo Felda Sonja France Mateja Škrlec MATEMATIKA 2 Olg rnuš Mirjm on Klnjšček ojn voržk rjo Feld Sonj Frnce Mtej Škrlec MTEMTIK Z i r k n l o g z g i m n z i j e Zirko nlog so npisli Olg rnuš, prof., mg. Mirjm on Klnjšček, ojn voržk, prof., mg. rjo Feld,

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667

!#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 !"#!$% & &' ( )*+*,% $ -*(-$ -.*/% $- &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667 5051 & 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 9 508&:;&& 0000000000000000000000000000000000000000000000000

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

M p f(p, q) = (p + q) O(1)

M p f(p, q) = (p + q) O(1) l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM

Διαβάστε περισσότερα

➆t r r 3 r st 40 Ω r t st 20 V t s. 3 t st U = U = U t s s t I = I + I

➆t r r 3 r st 40 Ω r t st 20 V t s. 3 t st U = U = U t s s t I = I + I tr 3 P s tr r t t 0,5A s r t r r t s r r r r t st 220 V 3r 3 t r 3r r t r r t r r s e = I t = 0,5A 86400 s e = 43200As t r r r A = U e A = 220V 43200 As A = 9504000J r 1 kwh = 3,6MJ s 3,6MJ t 3r A = (9504000

Διαβάστε περισσότερα

.. ntsets ofa.. d ffeom.. orp ism.. na s.. m ooth.. man iod period I n open square. n t s e t s ofa \quad d ffeom \quad orp ism \quad na s \quad m o

.. ntsets ofa.. d ffeom.. orp ism.. na s.. m ooth.. man iod period I n open square. n t s e t s ofa \quad d ffeom \quad orp ism \quad na s \quad m o G G - - -- - W - - - R S - q k RS ˆ W q q k M G W R S L [ RS - q k M S 4 R q k S [ RS [ M L ˆ L [M O S 4] L ˆ ˆ L ˆ [ M ˆ S 4 ] ˆ - O - ˆ q k ˆ RS q k q k M - j [ RS ] [ M - j - L ˆ ˆ ˆ O ˆ [ RS ] [ M

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

Linearna regresija. Napovedovanje. Načelo najmanjših kvadratov REGRESIJA. opis odnosov, napovedovanje KORELACIJA. opis velikosti povezanosti

Linearna regresija. Napovedovanje. Načelo najmanjših kvadratov REGRESIJA. opis odnosov, napovedovanje KORELACIJA. opis velikosti povezanosti Lnrn rgrsj REGRESIJA ops odnosov, npovdovnj Unvrz v Ljuljn, Flozofsk fkultt, Oddlk z pshologjo Študj prv stopnj Pshologj. smstr, prdmt Opsn sttstk doc. dr. Anj Podlsk KORELACIJA ops vlkost povznost povdovnj

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό ποσοστό συμμετοχής στην αγορά εργασίας πληθυσμού χρονών - σύνολο

Γενικό ποσοστό συμμετοχής στην αγορά εργασίας πληθυσμού χρονών - σύνολο πληθυσμού 15-64 χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Το γενικό ποσοστό συμμετοχής στην αγορά εργασίας πληθυσμού 15-64 χρονών υπολογίζεται με τη διαίρεση του αριθμού του οικονομικά ενεργού

Διαβάστε περισσότερα

Γενικός ρυθμός μεταβολής οικονομικά ενεργού πληθυσμού χρονών - σύνολο

Γενικός ρυθμός μεταβολής οικονομικά ενεργού πληθυσμού χρονών - σύνολο 15-64 χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Ο γενικός ρυθμός μεταβολής οικονομικά ενεργού πληθυσμού 15-64 χρονών υπολογίζεται με τη διαίρεση της ετήσιας αύξησης του οικονομικά ενεργού πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό ποσοστό απασχόλησης ισοδύναμου πλήρως απασχολούμενου πληθυσμού - σύνολο

Γενικό ποσοστό απασχόλησης ισοδύναμου πλήρως απασχολούμενου πληθυσμού - σύνολο απασχολούμενου πληθυσμού - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Το γενικό ποσοστό απασχόλησης ισοδύναμου πλήρως απασχολούμενου πληθυσμού υπολογίζεται με τη διαίρεση του αριθμού του ισοδύναμου πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji. Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοστό απασχόλησης στον τριτογενή τομέα του πληθυσμού χρονών - σύνολο

Ποσοστό απασχόλησης στον τριτογενή τομέα του πληθυσμού χρονών - σύνολο Ποσοστό απασχόλησης στον τριτογενή τομέα του πληθυσμού 15-64 χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Το ποσοστό απασχόλησης στον τριτογενή τομέα του πληθυσμού 15-64 χρονών υπολογίζεται με

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η ΜΕΛΙΣΣΟΚΟΜΙΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ

Α. Η ΜΕΛΙΣΣΟΚΟΜΙΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΡΟΤΡΟΦΙΑΣ ΚΑΙ ΜΕΛΙΣΣΟΚΟΜΙΑΣ Πασχάλης Χαριζάνης Α. Η ΜΕΛΙΣΣΟΚΟΜΙΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ 1. Κερί Σύμφωνα με την Εθνική Στατιστική Υπηρεσία της Ελλάδος η παραγωγή κεριού για

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοστό μακροχρόνιας ανεργίας (διάρκεια 12+ μήνες) οικονομικά ενεργού πληθυσμού 15+ χρονών - σύνολο

Ποσοστό μακροχρόνιας ανεργίας (διάρκεια 12+ μήνες) οικονομικά ενεργού πληθυσμού 15+ χρονών - σύνολο οικονομικά ενεργού πληθυσμού 15+ χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Το ποσοστό μακροχρόνιας ανεργίας (διάρκεια 12+ μήνες) οικονομικά ενεργού πληθυσμού 15+ χρονών υπολογίζεται με τη διαίρεση

Διαβάστε περισσότερα

Μερίδιο εργοδοτουμένων με μερική ή / και προσωρινή απασχόληση στον εργοδοτούμενο πληθυσμό 15+ χρονών - σύνολο

Μερίδιο εργοδοτουμένων με μερική ή / και προσωρινή απασχόληση στον εργοδοτούμενο πληθυσμό 15+ χρονών - σύνολο Μερίδιο εργοδοτουμένων με μερική ή / και προσωρινή απασχόληση στον εργοδοτούμενο πληθυσμό 15+ χρονών - σύνολο Περιγραφή δείκτη και πηγή πληροφοριών Το μερίδιο εργοδοτουμένων με μερική ή/και προσωρινή απασχόληση

Διαβάστε περισσότερα

#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!

#% )*& ##+, $ -,!./ %#/%0! %,! -!"#$% -&!'"$ & #("$$, #%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,! %!$"#" %!#0&!/" /+#0& 0.00.04. - 3 3,43 5 -, 4 $ $.. 04 ... 3. 6... 6.. #3 7 8... 6.. %9: 3 3 7....3. % 44 8... 6.4. 37; 3,, 443 8... 8.5. $; 3

Διαβάστε περισσότερα

jqa=mêççìåíë=^âíáéåöéëéääëåü~ñí= =p~~êäêωåâéå= =déêã~åó

jqa=mêççìåíë=^âíáéåöéëéääëåü~ñí= =p~~êäêωåâéå= =déêã~åó L09 cloj=klk=tsvjmosopa jqa=mêççìåíë=^âíáéåöéëéääëåü~ñí= =p~~êäêωåâéå= =déêã~åó 4 16 27 38 49 60 71 82 93 P Éå Ñê ÇÉ áí dbq=ql=hklt=vlro=^mmif^k`b mo pbkq^qflk=ab=slqob=^mm^obfi ibokbk=pfb=feo=dboûq=hbkkbk

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Περίοδοι περιοδικού πίνακα Ο περιοδικός πίνακας αποτελείται από 7 περιόδους. Ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνει κάθε περίοδος δεν είναι σταθερός, δηλ. η περιοδικότητα

Διαβάστε περισσότερα

LESARSKA ŠOLA MARIBOR M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 2009/2010

LESARSKA ŠOLA MARIBOR M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 2009/2010 M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 009/00 NARAVNA ŠTEVILA. Kter števil imenujemo nrvn števil? Nštejte osnovne rčunske opercije, ki so definirne v množici nrvnih števil in

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής

ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ04.01 5 ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής Όπως συμβαίνει στη φύση έτσι και ο άνθρωπος θέλει να πετυχαίνει σπουδαία αποτελέσματα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΤΗΤΑΣ : Οι ιδιότητες των χηµικών στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. 1. Ο ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Οι άνθρωποι από την φύση τους θέλουν να πετυχαίνουν σπουδαία αποτελέσµατα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό κόπο και χρόνο. Για το σκοπό αυτό προσπαθούν να οµαδοποιούν τα πράγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής

Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.

Διαβάστε περισσότερα

1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x

Διαβάστε περισσότερα

Dolžina (= velikost, = absolutna vrednost, = norma) vektorja je dolžina daljice, ki predstavlja vektor, t.j.:

Dolžina (= velikost, = absolutna vrednost, = norma) vektorja je dolžina daljice, ki predstavlja vektor, t.j.: vektorji ) OSNOVNE DEFINIIJE Krjišči dljie, npr, st enkovredni. Tudi, če i zpisli i vedeli, d govorio o isti dljii. Če p krjišče do rzlični vlogi, eneu reio zčetek, drugeu p kone, doio nov geoetrijski

Διαβάστε περισσότερα

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu

Διαβάστε περισσότερα

l 1 p r i = ρ ij α j + w i j=1 ρ ij λ α j j p w i p α j = 1, α j 0, j = 1,..., p j=1 R B B B m j [ρ 1j, ρ 2j,..., ρ Bj ] T = }{{} α + [,,..., ] R B p p α [α 1,..., α p ] [w 1,..., w p ] M m 1 m 2,

Διαβάστε περισσότερα

!"! #!"!!$ #$! %!"&' & (%!' #!% #" *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2!

!! #!!!$ #$! %!&' & (%!' #!% # *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2! # $ #$ % (% # )*%%# )# )$ % # * *$ * #,##%#)#% *-. )#/###%. )#/.0 )#/.* $,)# )#/ * % $ % # %# )$ #,# # %# ## )$# 11 #2 #**##%% $#%34 5 # %## * 6 7(%#)%%%, #, # ## # *% #$# 8# )####, 7 9%%# 0 * #,, :;

Διαβάστε περισσότερα

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski

Διαβάστε περισσότερα

(απεικονίζεται µόνο η µία κεφαλή)

(απεικονίζεται µόνο η µία κεφαλή) ιπλό δισκοπρίονο DG 79/4,5 m + Ε 111 ίσκος Φ 380 mm Μήκος κοπής 4500 mm Ρύθµιση κοπής (περιστροφή βάσης) 45-90 -45 και ενδιάµεσες µοίρες Μπλοκάρισµα στις 15, 22,5, 30 και 45 Υδροπνευµατική πτώση δίσκων

Διαβάστε περισσότερα

! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.

! # $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 $ 6, ::: ;<$& = = 7 + > + 5 $?# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,. ! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$

Διαβάστε περισσότερα

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l) ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 r 1, r 2 r = r 1 r 2 = r 1 r 2 ê r = rê r F 12 = f(r)ê r F 21 = f(r)ê r f(r) f(r) < 0 f(r) > 0 m 1 r1 = f(r)ê r m 2 r2 = f(r)ê r r = r 1 r 2 r 1 = 1 m 1 f(r)ê r r 2 = 1 m

Διαβάστε περισσότερα

Metodika napovedovanja plemenskih za čistopasemsko lisasto govedo v Sloveniji

Metodika napovedovanja plemenskih za čistopasemsko lisasto govedo v Sloveniji UNIVA V LJUBLJANI Biotnišk fkultt ODDLK A OOTHNIKO UNIVSITY OF LJUBLJANA Biotcnicl Fcult OOTCHNICAL DPATMNT Mtodik novdovnj lmnski z čistosmsko lissto govdo v Slovniji Avtorji: viš. rd. dr. Klmn POTOČNIK,

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΩΒΑΡΟΜΕΤΡΟ 72 ΚΟΙΝΗ ΓΝΩΜΗ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ

ΕΥΡΩΒΑΡΟΜΕΤΡΟ 72 ΚΟΙΝΗ ΓΝΩΜΗ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ Standard Eurobarometer European Commission ΕΥΡΩΒΑΡΟΜΕΤΡΟ 72 ΚΟΙΝΗ ΓΝΩΜΗ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ ΦΘΙΝΟΠΩΡΟ 2009 Standard Eurobarometer 72 / Φθινόπωρο 2009 TNS Opinion & Social ΕΘΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ GREECE Η έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

Συμβούλιο της Ευρωπαϊκής Ένωσης Βρυξέλλες, 7 Μαρτίου 2017 (OR. en)

Συμβούλιο της Ευρωπαϊκής Ένωσης Βρυξέλλες, 7 Μαρτίου 2017 (OR. en) Συμβούλιο της Ευρωπαϊκής Ένωσης Βρυξέλλες, 7 Μαρτίου 2017 (OR. en) 7057/17 ADD 1 TRANS 97 ΔΙΑΒΙΒΑΣΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Αποστολέας: Ημερομηνία Παραλαβής: Αποδέκτης: Για τον Γενικό Γραμματέα της Ευρωπαϊκής Επιτροπής,

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1 Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA V PROSTORU

GEOMETRIJA V PROSTORU Geometrij protoru. 1 GEOMETRIJA V PROTORU PLOŠČINE IN OBEGI LIKOV (A) Ploščine in oegi liko Kdrt 4 d o Prokotnik d o Rom 4 f e o Prlelogrm inα o Trikotnik ( ) ( ) ( ) in 1 o γ Enkotrnični trikotnik 4 o

Διαβάστε περισσότερα

Η κατάσταση των ουσιών εξάρτησης στην Κύπρο. Ιωάννα Γιασεμή Προϊστάμενη Τμήματος Παρακολούθησης/ ΕΚΤΕΠΝ Αντιναρκωτικό Συμβούλιο Κύπρου

Η κατάσταση των ουσιών εξάρτησης στην Κύπρο. Ιωάννα Γιασεμή Προϊστάμενη Τμήματος Παρακολούθησης/ ΕΚΤΕΠΝ Αντιναρκωτικό Συμβούλιο Κύπρου Η κατάσταση των ουσιών εξάρτησης στην Κύπρο Ιωάννα Γιασεμή Προϊστάμενη Τμήματος Παρακολούθησης/ ΕΚΤΕΠΝ Αντιναρκωτικό Συμβούλιο Κύπρου Κατάσταση στην Κύπρο γενικός πληθυσμός (15-64 ετών) % του φύλου Κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

())*+,-./0-1+*)*2, *67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3*

())*+,-./0-1+*)*2, *67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3* ! " # $ $ %&&' % $ $! " # ())*+,-./0-1+*)*2,-3-4050+*67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* *),+-30 *5 35(2(),+-./0 30 *,0+ 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3* *3*+-830-+-2?< +(*2,-30+

Διαβάστε περισσότερα

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek

Διαβάστε περισσότερα

3. Υπολογίστε το μήκος κύματος de Broglie (σε μέτρα) ενός αντικειμένου μάζας 1,00kg που κινείται με ταχύτητα1 km/h.

3. Υπολογίστε το μήκος κύματος de Broglie (σε μέτρα) ενός αντικειμένου μάζας 1,00kg που κινείται με ταχύτητα1 km/h. 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ποια είναι η συχνότητα και το μήκος κύματος του φωτός που εκπέμπεται όταν ένα e του ατόμου του υδρογόνου μεταπίπτει από το επίπεδο ενέργειας με: α) n=4 σε n=2 b) n=3 σε n=1 c)

Διαβάστε περισσότερα

A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N

A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N I N F O T E K N I K V o l u m e 1 5 N o. 1 J u l i 2 0 1 4 ( 61-70) A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N N o v i

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

Im{z} 3π 4 π 4. Re{z}

Im{z} 3π 4 π 4. Re{z} ! #"!$%& '(!*),+- /. '( 0 213. $ 1546!.17! & 8 + 8 9:17!; < = >+ 8?A@CBEDF HG

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ. 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2

ΛΥΣΕΙΣ. 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2 ΛΥΣΕΙΣ 1. Χαρακτηρίστε τα παρακάτω στοιχεία ως διαµαγνητικά ή παραµαγνητικά: 38 Sr, 13 Al, 32 Ge. Η ηλεκτρονική δοµή του 38 Sr είναι: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 3d 10 4s 2 4p 6 5s 2 Η ηλεκτρονική δοµή του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡOΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔHΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦEΡΟΝΤΟΣ - ΣΥΜΒΑΣΙΟYΧΟΙ ΥΠΑΛΛΗΛΟΙ ΟΜΑΔΑ ΚΑΘΗΚΟΝΤΩΝ I - ΟΔΗΓΟΙ (ΑΝΔΡΕΣ/ΓΥΝΑΙΚΕΣ) EPSO/CAST/S/8/2014 I.

ΠΡOΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔHΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦEΡΟΝΤΟΣ - ΣΥΜΒΑΣΙΟYΧΟΙ ΥΠΑΛΛΗΛΟΙ ΟΜΑΔΑ ΚΑΘΗΚΟΝΤΩΝ I - ΟΔΗΓΟΙ (ΑΝΔΡΕΣ/ΓΥΝΑΙΚΕΣ) EPSO/CAST/S/8/2014 I. ΠΡOΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔHΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦEΡΟΝΤΟΣ - ΣΥΜΒΑΣΙΟYΧΟΙ ΥΠΑΛΛΗΛΟΙ ΟΜΑΔΑ ΚΑΘΗΚΟΝΤΩΝ I - ΟΔΗΓΟΙ (ΑΝΔΡΕΣ/ΓΥΝΑΙΚΕΣ) EPSO/CAST/S/8/2014 I. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κατόπιν αιτήματος των θεσμικών οργάνων της Ευρωπαϊκής Ένωσης, η Ευρωπαϊκή

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Βιολογία Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΤΖΕΛΑΚΗΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Βιολογία Γ Λυκείου ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΤΖΕΛΑΚΗΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Βιολογία Γ Λυκείου Επιμέλεια: ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΤΖΕΛΑΚΗΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr 1 2010 2011 µ..., µ..,... 2011. 1:, 19-21

Διαβάστε περισσότερα

: B. -.

: B. -. 2, rue Mercier, L-2985 Luxembourg (352) 29 29 42 670..: mp-ojs@opoce.cec.eu.int & : http://simap.eu.int :.1), (- ) :... : 30-32 :. : 104 33 : (- ) : :-. -. - B. -. : + 30210 88 19 139 + 30210 88 19 139

Διαβάστε περισσότερα

P l+1 (cosa) P l 1 (cosa) 2δ l,0 1

P l+1 (cosa) P l 1 (cosa) 2δ l,0 1 Λεοντσ ίνης Στέφανος Ηλεκτομαγνητισ μός η Σειά Ασ κήσ εων 3 Το ηλεκτικό πεδίο έχει τη μοφή φ σ ε ˆr άα φ σ ε rr Tο δυναμικό σ ε σ φαιικές σ υντεταγμένες φ r, θ Al + B l r l+] l cosθ Για να είναι πεπεασ

Διαβάστε περισσότερα

(... )..!, ".. (! ) # - $ % % $ & % 2007

(... )..!, .. (! ) # - $ % % $ & % 2007 (! ), "! ( ) # $ % & % $ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) $, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, $ & % $ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - $, $ &- % $ % %, * $ % - % % # $ $,, % % #-

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B

1. písomná práca z matematiky Skupina A. 1. písomná práca z matematiky Skupina B . písoá pác z tetik Skpi A. Zjedodšte výz : ) z 8 ) c). Doplňte, pltil ovosť : ) ). Vpočítjte : ) ) c). Vpočítjte : ) ( ) ) v v v c). Upvte výz ovete spávosť výsledk pe : 6. Zostojte tojholík ABC, k c

Διαβάστε περισσότερα

m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx

m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =

Διαβάστε περισσότερα

!"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. )!#)! ##%' " (&! #!$"/001

!#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. )!#)! ##%'  (&! #!$/001 !"#! $%&'$% %(' ') '#*#(& ( #'##+,-'!$%(' & ('##$%(' &#' & ('##$%('. ') '#*#(& )!#)! ##%' " (&! #!$"/001 ')!' &'# 2' '#)!( 3(&/004&' 5#(& /006 # '#)! 7!+8 8 8 #'%# ( #'## +,-'!$%(' & ('##$%('9&#' & ('##$%('9')

Διαβάστε περισσότερα

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis

Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence MRI in Multiple Sclerosis Daniel García-Lorenzo To cite this version: Daniel García-Lorenzo. Robust Segmentation of Focal Lesions on Multi-Sequence

Διαβάστε περισσότερα

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté

Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

! "#!!! $# #%! &!! &! ' '!! % #(# )!* +, -!

! #!!! $# #%! &!! &! ' '!! % #(# )!* +, -! ! "#!!! $# #%! &!! &! ' '!! % #(# )!* +, -! )./0/ ,)* 1## &2 #!!! %1# 3! %$2 %#!% 4 5!!&&!! + #! 6 7%$#! #! #2 & 6!!! # '! &1!!!-!2 #%4 # % # # &!! 8 1 &! 9& 2 2 &! 9&!&&! 1## && # :! '!! # '!! # :!-!!

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h A n a l i s a M a n a j e m e n B P I H d i B a n k S y a r i a h I S S N : 2 0 8 7-9 2 0 2 I S L A M I N O M I C P e n e r b i t S T E S I S L A M I C V I L L A G E P e n a n g g u n g J a w a b H. M

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα

2?nom. Bacc. 2 nom. acc. S nom. 7acc. acc >nom < <

2?nom. Bacc. 2 nom. acc. S <u. >nom. 7acc. acc >nom < < K+P K+P PK+ K+P - _+ l Š N K - - a\ Q4 Q + hz - I 4 - _+.P k - G H... /.4 h i j j - 4 _Q &\\ \\ ` J K aa\ `- c -+ _Q K J K -. P.. F H H - H - _+ 4 K4 \\ F &&. P H.4 Q+ 4 G H J + I K/4 &&& && F : ( -+..

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωργία στην ΕΕ απαντώντας στην πρόκληση των κλιματικών αλλαγών

Η γεωργία στην ΕΕ απαντώντας στην πρόκληση των κλιματικών αλλαγών Ευρωπαϊκή Επιτροπή Γε ν ι κ ή Δ ι ε ύ θ υ ν σ η Γε ω ρ γ ί α ς κ α ι Αγ ρ ο τ ι κ ή ς Α ν ά π τ υ ξ η ς Ευρωπαϊκή Επιτροπή Γεωργία και αγροτική ανάπτυξη Για περισσότερες πληροφορίες 200 Rue de la Loi,

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

Γραφείο Εναρμόνισης στην Εσωτερική Αγορά (ΓΕΕΑ) Στοιχεία για τη διαδικασία ενώπιον του ΓΕΕΑ Στοιχεία αναγνώρισης Αιτούντος / Αντιπροσώπου:

Γραφείο Εναρμόνισης στην Εσωτερική Αγορά (ΓΕΕΑ) Στοιχεία για τη διαδικασία ενώπιον του ΓΕΕΑ Στοιχεία αναγνώρισης Αιτούντος / Αντιπροσώπου: Γραφείο Εναρμόνισης στην Εσωτερική Αγορά (ΓΕΕΑ) Μόνο για το ΓΕΕΑ: Ημερομηνία παραλαβής Αριθ. σελίδων Μεταγενέστερη επέκταση της προστασίας σύμφωνα με το Πρωτόκολλο της Μαδρίτης 0 (υποχρεωτικό) Στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik. za 9. razred osnovne πole

Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik. za 9. razred osnovne πole Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik z 9. rzred osnovne πole Jože Berk Jn Drksler Mrjn RobiË Skrivnosti πtevil in oblik 9 PriroËnik z 9. rzred osnovne πole Avtorji: Jože Berk, Jn Drksler in Mrjn RobiË

Διαβάστε περισσότερα

1529 Ν. 29(ΙΙ)/95. E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990,

1529 Ν. 29(ΙΙ)/95. E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990, E.E. Παρ. 1(H) Αρ. 2990, 21.7.95 1529 Ν. 29(ΙΙ)/95 περί Συμπληρωματικύ Πρϋπλγισμύ Νόμς (Αρ. 4) τυ 1995 εκδίδεται με δημσίευση στην Επίσημη Εφημερίδα της Κυπριακής Δημκρατίας σύμφωνα με τ Άρθρ 52 τυ Συντάγματς.

Διαβάστε περισσότερα

Hydraulic network simulator model

Hydraulic network simulator model Hyrauc ntwor smuator mo!" #$!% & #!' ( ) * /@ ' ", ; -!% $!( - 67 &..!, /!#. 1 ; 3 : 4*

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΗ ΑΤΟΜΟΥ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ

ΟΜΗ ΑΤΟΜΟΥ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΟΜΗ ΑΤΟΜΟΥ ΚΑΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Παππάς Χρήστος - Επίκουρος Καθηγητής Κβαντισμένα μεγέθη Ένα μέγεθος λέγεται κβαντισμένο όταν παίρνει ορισμένες μόνο διακριτές τιμές, δηλαδή το σύνολο των τιμών του δεν

Διαβάστε περισσότερα

! "#! & "0/! ).#! 71 1&$ -+ #" &> " %+# "1 2$

! #! & 0/! ).#! 71 1&$ -+ # &>  %+# 1 2$ "#$" &""'(() *+ , -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. / 0-1 2 $1 " 1 /& 1------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΗΜΕΡΑ ΑΣΟΠΟΝΙΑΣ. ασοπονία και αγορά προϊόντων ξύλου

ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΗΜΕΡΑ ΑΣΟΠΟΝΙΑΣ. ασοπονία και αγορά προϊόντων ξύλου LOGO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΥ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΗΜΕΡΑ ΑΣΟΠΟΝΙΑΣ ασοπονία και αγορά προϊόντων ξύλου ρ. ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΙ Λάρισας E-mail: papad@teilar.gr

Διαβάστε περισσότερα

το περιεχόµενο των οποίων είναι διανεµηµένο µε τον εξής τρόπο: : κάθε πίστα περιέχει

το περιεχόµενο των οποίων είναι διανεµηµένο µε τον εξής τρόπο: : κάθε πίστα περιέχει Ref. 20622 EL %$ #"! + + * + ' (,$, * $,' +* )' ( ' & 4. 3: 046 2 4. 32 1. 0. @ 0.. A A0 ON B D CS SPN R NR KJ A G D R QDC ONR H PC KJ L MN \ [ Z RV RP N S H S A A. 0@ 2 : 9. ; KJ ^ N \ CV W]P E ] 8 6

Διαβάστε περισσότερα

Πανευρωπαϊκή δημοσκόπηση σχετικά με την επαγγελματική υγεία και ασφάλεια Αντιπροσωπευτικά αποτελέσματα στα 27 κράτη-μέλη της Ευρωπαϊκής Ένωσης

Πανευρωπαϊκή δημοσκόπηση σχετικά με την επαγγελματική υγεία και ασφάλεια Αντιπροσωπευτικά αποτελέσματα στα 27 κράτη-μέλη της Ευρωπαϊκής Ένωσης Πανευρωπαϊκή δημοσκόπηση σχετικά με την επαγγελματική υγεία και ασφάλεια Αντιπροσωπευτικά αποτελέσματα στα 2 κράτη-μέλη της Ευρωπαϊκής Ένωσης Πακέτο που περιλαμβάνει τα αποτελέσματα για την Ευρώπη των

Διαβάστε περισσότερα

! "#" "" $ "%& ' %$(%& % &'(!!")!*!&+ ,! %$( - .$'!"

! #  $ %& ' %$(%& % &'(!!)!*!&+ ,! %$( - .$'! ! "#" "" $ "%& ' %$(%&!"#$ % &'(!!")!*!&+,! %$( -.$'!" /01&$23& &4+ $$ /$ & & / ( #(&4&4!"#$ %40 &'(!"!!&+ 5,! %$( - &$ $$$".$'!" 4(02&$ 4 067 4 $$*&(089 - (0:;

Διαβάστε περισσότερα

Αποτίµηση και Ενισχύσεις Κατασκευών στο Πλαίσιο του ΚΑΝ.ΕΠΕ. και των Ευρωκωδίκων

Αποτίµηση και Ενισχύσεις Κατασκευών στο Πλαίσιο του ΚΑΝ.ΕΠΕ. και των Ευρωκωδίκων Με την υποστήριξη τουτεε/π.τ. Ευβοίας Ηµερίδα: ιερεύνηση, Προστασία και Ενισχύσεις Κατασκευών Σκυροδέµατος Αποτίµηση και Ενισχύσεις Κατασκευών στο Πλαίσιο του ΚΑΝ.ΕΠΕ. και των Ευρωκωδίκων καθ. ΣτέφανοςΗ.

Διαβάστε περισσότερα

a,b a f a = , , r = = r = T

a,b a f a = , , r = = r = T !" #$%" &' &$%( % ) *+, -./01/ 234 5 0462. 4-7 8 74-9:;:; < =>?@ABC>D E E F GF F H I E JKI L H F I F HMN E O HPQH I RE F S TH FH I U Q E VF E WXY=Z M [ PQ \ TE K JMEPQ EEH I VF F E F GF ]EEI FHPQ HI E

Διαβάστε περισσότερα

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st

Διαβάστε περισσότερα

Τα οδικά ατυχήματα με παιδιά στην Ευρώπη και στην Ελλάδα

Τα οδικά ατυχήματα με παιδιά στην Ευρώπη και στην Ελλάδα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Μεταφορών και Συγκοινωνιακής Υποδομής Τα οδικά ατυχήματα με παιδιά στην Ευρώπη και στην Ελλάδα Κ. Φώλλα, Ερευνήτρια ΕΜΠ, www.nrso.ntua.gr/katfolla

Διαβάστε περισσότερα

Επιτραπέζια μίξερ C LINE 10 C LINE 20

Επιτραπέζια μίξερ C LINE 10 C LINE 20 Επιτραπέζια μίξερ C LINE 10 Χωρητικότητα κάδου : 10 lt Ναί Βάρος: 100 Kg Ισχύς: 0,5 Kw C LINE 20 Χωρητικότητα κάδου : 20 lt Βάρος: 105 Kg Ισχύς: 0,7 Kw Ναί Επιδαπέδια μίξερ σειρά C LINE C LINE 10 Χωρητικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΣΥΓΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΑΙ ΕΡΓΩΝ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΣΥΓΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΑΙ ΕΡΓΩΝ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΣΥΓΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΚΑΙ ΕΡΓΩΝ ΕΝΗΜΕΡΩΤΙΚΟ ΔΕΛΤΙΟ ΑΕΠ-1/14 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΑΔΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΗΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΟΣ (ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ) ΚΑΙ ΠΡΟΣΩΡΙΝΗΣ ΠΑΡΟΧΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΑΠΟ ΥΠΗΚΟΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΤΗΣΙΑ ΑΝΑΦΟΡΑ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΥΓΡΟΤΟΠΟΥ. Σύνοψη συμπληρωματικών δράσεων διαχείρισης των νερών στην Πρέσπα για το έτος 2014

ΕΤΗΣΙΑ ΑΝΑΦΟΡΑ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΥΓΡΟΤΟΠΟΥ. Σύνοψη συμπληρωματικών δράσεων διαχείρισης των νερών στην Πρέσπα για το έτος 2014 ΕΤΗΣΙΑ ΑΝΑΦΟΡΑ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΥΓΡΟΤΟΠΟΥ Σύνοψη συμπληρωματικών δράσεων διαχείρισης των νερών στην Πρέσπα για το έτος 2014 Άγιος Γερμανός, Φεβρουάριος 2015 Ομάδα συγγραφής Βαλεντίνη Μάλιακα

Διαβάστε περισσότερα

AΝΑΛΟΓΙΑ ΜΑΖΩΝ ΣΤΟΧΕΙΩΝ ΧΗΜΙΚΗΣ ΕΝΩΣΗΣ

AΝΑΛΟΓΙΑ ΜΑΖΩΝ ΣΤΟΧΕΙΩΝ ΧΗΜΙΚΗΣ ΕΝΩΣΗΣ 2 ο Γυμνάσιο Καματερού 1 ΦΥΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ 1. Πόσα γραμμάρια είναι: ι) 0,2 kg, ii) 5,1 kg, iii) 150 mg, iv) 45 mg, v) 0,1 t, vi) 1,2 t; 2. Πόσα λίτρα είναι: i) 0,02 m 3, ii) 15 m 3, iii) 12cm

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ ΔΗΜΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ. Πόλη: ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗ Ταχ. κώδικας: Χώρα: Ελλάδα 681 00 ΕΛΛΑΔΑ-GR Σημείο(-α) επαφής: Τεχνική Υπηρεσία

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ ΔΗΜΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ. Πόλη: ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗ Ταχ. κώδικας: Χώρα: Ελλάδα 681 00 ΕΛΛΑΔΑ-GR Σημείο(-α) επαφής: Τεχνική Υπηρεσία ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ Δημοσίευση στο συμπλήρωμα της Επίσημης Εφημερίδας της Ευρωπαϊκής Ένωσης 2, rue Mercier, L-2985 Luxembourg Φαξ: (352) 29 29 42 670 Ηλεκτρονικό ταχυδρομείο: mp-ojs@opoce.cec.eu.int

Διαβάστε περισσότερα

Πανευρωπαϊκή δημοσκόπηση σχετικά με την επαγγελματική υγεία και ασφάλεια Αντιπροσωπευτικά αποτελέσματα στα 27 κράτη-μέλη της Ευρωπαϊκής Ένωσης

Πανευρωπαϊκή δημοσκόπηση σχετικά με την επαγγελματική υγεία και ασφάλεια Αντιπροσωπευτικά αποτελέσματα στα 27 κράτη-μέλη της Ευρωπαϊκής Ένωσης Πανευρωπαϊκή δημοσκόπηση σχετικά με την επαγγελματική υγεία και ασφάλεια Αντιπροσωπευτικά αποτελέσματα στα 2 κράτη-μέλη της Ευρωπαϊκής Ένωσης Πακέτο που περιλαμβάνει τα αποτελέσματα για την Ευρώπη των

Διαβάστε περισσότερα

/&25*+* 24.&6,2(2**02)' 24

/&25*+* 24.&6,2(2**02)' 24 !! "#$ % (33 &' ())**,"-.&/(,01.2(*(33*( ( &,.*(33*( ( 2&/((,*(33*( 24 /&25** 24.&6,2(2**02)' 24 " 0 " ( 78,' 4 (33 72"08 " 2/((,02..2(& (902)' 4 #% 7' 2"8(7 39$:80(& 2/((,* (33; (* 3: &

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja izmjeničnih krugova

Metode rješavanja izmjeničnih krugova Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk

Διαβάστε περισσότερα