Jože Berk, Jana Draksler in Marjana Robič. Skrivnosti števil in oblik. Rešitve učbenika v 7. razredu osnovne šole

Transcript

1 Jož rk, Jn rkslr in Mrjn Roič Skrivnosti štvil in olik Ršitv učnik v. rzrdu osnovn šol

2 REŠIE NRN EIL. ELJIOS ŠEIL ),,,,, + k ; k o. Prdhodnmu štvilu prištjmo. ),,,,, : k ; k. Prdhodno štvilo dlimo s.,,,,,,,,,,,,,,,,,, lgrski izrz: n + ; n. Stoti Ëln j. ) ) ), kr j z mnjš od ; nismo izrli, kr i ilo z vëj od. P, N, P, N ) = li = ) = ) =. PR EIL πtvilo πtvilo dlitljv prπtvilo (-N) NE NE ) ) tvilo ni prπtvilo, kr im vë kot dv dlitlj. = {,,,,,,,,,,, } ) Sodo prπtvilo j l. ) Md in. ), to so,,,,,, in. Ë) Z s rzlikujt in ( in ). Z s rzlikujt in ( in ). Z s rzlikujt in ( in ). Z s rzlikujt in ( in ). ) N, kr imjo prπtvil ntnko dv dlitlj. ) P, kr j nrvnih πtvil nπtto. ) P, kr vsj tri pomni vë kot. Ë) N, kr j prπtvilo in j sodo πtvilo. d) N, kr j liho πtvilo, ni prπtvilo.,,,,,,,,,,,,,,, kvdrti zpordnih prπtvil; lgrski izrz: x, x P, P = množi prštvil ) vsot j sodo πtvilo: prπtvilo vsot πtvk li p j prπtvilo: ) prπtvilo vsot πtvk. prπtv.. prπtv. vsot prπtvilo n> liho πtvilo n sodo πtvilo vëj od n+ sodo πtvilo vëj od rditv dræi, sj j vsko prπtvilo vëj od, liho πtvilo. Liho πtvilo læi md dvm sodim πtvilom sstvljnim πtvilom.» j n=, trditv n dræi, kr j prdhodnik πtvilo, nsldnik p (prπtvilo).» j n=, trditv n dræi, kr j prdhodnik (prπtvilo).. RZEP N PRFKORJE ) = = = = = = = ) = = = = = = = ) = = = = = = = ) = ) = ) = Ë) = tvilo. = = = = = = = = = Produkt prπtvil j n sm = =. NE, πtvilo j odvë, kr ni prπtvilo. Njmnjπ ( = ); njvëjg ni. ) = ) = IzrËunmo kvdrt prvg od vëjg prπtvil. =, =, = = = = = = = = Pri rzpu dstiπk not n prktorj doimo vdno prktorj in s tkπno stopnjo, kot j πtvilo niël v dstiπki noti.,,, ;,,. Iskn πtvil so kvdrti prπtvil.. SKUPNI ELIELJI ) = {,,,, } = {,,,,,,,, } = {,, } (,) = ) = {,,,,, } = {,,,,, } = {,,, } (,) = ) = {,,,,, } = {,, } = {} (,) = in st tuji πtvili. Ë) = {, } = {,,, } = {} (,) = ) (,) = ) (,) = ) (,) = Ë) (,) = d) (,) = ) (,,) = ) (,,) = g) (,) = h)(,) = ) = = ) x = y = = = x = y = = = x = y = tvilo. otrok; vsk j pojdl kos tort in popil sokov. (,,) = rzrdu j otrok, vsk im svinënik, kmiën svinënik in rvi. Moænosti z znmk, ki jih lhko lpi n o pismi: znmk z,,,, ntov. Izrl j znmk z ntov, kr j (,) =.

3 ) (,) = ; oiskovlv ) sk j doil jolki in hruπk. = = : = x mri m. šktlo lhko zloži knjig. ) = ) = = = (, ) = = (, ) = = ) = Ë) = = = (, ) = = (, ) = = ) NE; ) πtvilo ; ), πtvilo. ) Strni kvdrtk mri mm. oimo kvdrtkov. ) Potrujmo m zlt nitk.. SKUPNI E»KRNIKI ) = {,,,,,,,,...} = {,,,,,,,,...} v(,) = ) = {,,...} = {...} v(,) = ) = {,,,,...} = {,,,...} v(,) = Ë) = {,,,...} = {,...} = {,,...} v(,,) = ) v(,) = ) v(,) = ) v(,) = Ë) v(,) = d) v(,) = ) v(,,) = ) v(,,) = g) v(,) = h) v(,) = ) = = ) x = y = = = x = y = = = x = y = ) ) ) Ë) Njun zmnoæk, kr nimt skupnih prktorjv. πktli j ononov. (skupni vëkrtnik πtvil in, ki læi md in.) v(,) = O s hkrti iztët Ëz skund; Rokov s iztë -krt, plin -krt. v(,) = Prvo kolo s zvrti -krt ( : = ), drugo p -krt ( : = ). O znmnji s ujmt vskih mtrov (drvs: =, striëki: = ). ) olæin dlji XY j m. ) Prdstvlj njmnjπi skupni vëkrtnik dolæin dlji in. )oëk, kjr s loki stikjo, prdstvljjo skupn vëkrtnik. pl mor prrti strni. plo Ëkjo trij ononi (n.,.,. stopnii). Sklpmo, d omo iskno πtvilo n doili tko, d nmsto n-j vstvljmo vs zpordn dlitlj πtvil. Poskuπmo (,)=, (,)=, (,)=, (,)=, (, )=, (,)=, (,)=, (,)=. orj j n =,,,,,,, Poskusimo, Ë j dljivo s. Ugotovimo, d j dljivo s, zto j v(,) kr. orj j m =. (,,) = πopku j grr, ngljn, vji zlnj. PEL SE PREIZKUSI ) ( t) ) ( t) = ( t) = {,,,,,,, } ( t) = {,,,,,,,,, } ( t) Skupni dlitlji πtvil in so:,,,. ( t) (, )= ( t) ) v(,) = ) (,) = )v(,) = Ë) v(,) = vsk ( t) d) (,) = ) (,) = ) N; ( t) ) P ( t) ) P ( t) Ë) N ( t) ),,, ( t) ),,, ( t) ) Pri tujih štvil, kjr vrstni rd ni pommn: (, ), (, ), (, ), (, ) (, ), (, ), (, ), (, ) (, ), (, ), (, ) (, ), (, ), (, ), (, ) (, ) (, ), (, ) (, ) ( t) ) tvili, ki imt njvëji skupni dlitlj. ( t) ) njmnjπi skupni vëkrtnik ( t) ) N; = ( t) ) P ( t) ) P ( t) Ë) N; = ( t) (,,, ) =? ( t) prviln izrëun: dolæin ng kos j mtrov ( t) prviln izrëun πtvil kosov: +++=, kosov ( t) v(,, ) =? ( t) prviln izrëun: Ëz dni ( t) prviln dtum:. oktor ( t)

4 REŠIE ULOMKI. Ulomki n tvilskm poltrku. ponzoritv ulomkov πtv imnovl = tri sdmin = pt osmin = sdm dstin = dvt njstin = dv ptini = pt πstin ) ) ) Ë) d) ) ) ) ) : ; : ; : ; : ; E: ) M: ; N: ; O: ) ; P: ; R: m n dl od πtirih, n dl od osmih, n dl od dvh, n dl od dvtih, trij dli od ptih, dv dl od sdmih, trij dli od trh ) m m Moæn so tudi drugën rπitv. Skupno jim j to, d j pri vsh nko πtvilo nko vlikih likov. m ) ) m m m» Moæn so tudi drugën rπitv. si dli morjo iti nki, porvnih p toliko, kot jih j n sliki.,,,,, d, n, n, n N poti j osm okrpëvlni. RdËih j, modrih j, srrnih j, zlnih p. Posuπil so s, zvtlo p j vsh vrtni. Z plo j ostlo poti. Pri pouku j uënv. olsk ur prdstvlj ur (lhko tudi ur). Kopng j povrπj. Popiti mor π dl. m si ulomki prdstvljjo isto toëko n πtvilskm poltrku.. Ulomki kot koli»niki ) = = = = = ) = = = = = = ) = = = = = ) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = m = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ) x = ) y = ; d) u = ; ) v = ; h) z = ) = Ë) = ; ) = ; g) d = ; i) =

5 Iz trh tort j doil kosov. ) : = Ë) : = = ) : = i) : = = >, <, =, ) : = = ) : = = d) : = = ) : = = = g) : = h) : = j) : = k) : = <, >, =, <, =, >, <, <, <, > ; Rπitv: ULOMEK. ) > = ) > = < > = > = < > = > = = > = ) =, =, =, =, = ) =, =, =, =, = ) < ; do lot mnjk ) < ; do lot mnjk < ; do lot mnjk < ; do lot mnjk > < ; do lot mnjk ) in < ; do lot mnjk < ; do lot mnjk > < ; do lot mnjk sk j doil kg pomrnë (to j kg pomrnë li kg dg). ) in ) in >,. Ëln nim pomn > x {,,,,,,, }; z x = nim pomn. = x {,, } x {,, } ) x {,,,,...} ) x { } ) x {,,,,,,,,,...}. Rz irjnj ulomkov ),, ),, ) s s ) s s = = = = = = = = = = = = = = = = Ë) in ) x =, y = ) =, = ) m =, n = Ë) u =, v = d) k =, l = ) p =, r = ) =, =, =, = ) =, =, =, = ) =, =, =, =, = ) =, =, =, =, = ) in ) in ), in ) in ) in ), in Ë) in d) in ), in Ë) in d) in ), ) ) ) Ë) d) ) in ) = ) = ) = Ë) = d) = ) = = Potrovl o ur. = nr j prinslo æ uënv.. Krj nj ulomkov ) =, =, =, - s n d ) =, =, - s n d, = ) =, = = = =, =, = =, - s n d ) =, =, - s n d, =, = ) z ; z ; s ; s ) z ; s ; s ; s ) x =, y = ) =, = ) =, =, =, = ) =, =, =, =, = ) =, =, = ) =, =, = Likovni kroæk: =, logik: =, pvski zor: =.

6 REŠIE Gozd: = trvnik: ), njiv: =, =, vinogrd: =. ) ). Ulomki in dimln tvil ), = ;, = ;, = ;, =, = = ;, = ;, = ), = ;, = ;, = ;, =, = ;, = ;, = ) =,; =,; =,; =, =,; =,; =, ) =,; =,; =,; =, =,; =,; =, ) =,; =,; =,; =, =,; =,; =, ) =,; =,; =,; =, =,; =,; =, ) =,; ) ) =,; =,; =, =,; =,; l =, l = dl ) m =, m = dm m =, m = m l =, l = dl km =, km = m dg =, dg =, g =,; =, kg =, kg = g km =, km = m. Urjnj ulomkov po vlikosti o st ulomk in. o so ulomki:,,,, ) < <, < <, < <, < <, < < ) < <, < <, < <, < <, < < ) < <, < < in < <, < < ) < <, < <, < < ) Md in læijo πtvil,,,,, in. Md in Md in læijo πtvil, in. læijo πtvil,,,, in. NjvË πtvil læi md ulomkom ) Md in Md Md in in læijo πtvil, in. læijo πtvil, in. læit πtvili in. in. NjvË πtvil j md ulomkom in tr pl s prizkusi,,, in. Moæn so tudi drug rπitv. Pommno j,d st porvn, ozirom dlov. < ; >, = ; >, = ; >, = = ; = ; < ; >, = ; (vsk primrjv t) ) < < < < ) > > > > ) < < < < ) > > > > ) > ; < ; = ; > ) > ; < ; = ; > ) < < < > < o j ulomk. ) > > > ii Moji vti vëji dl tulipnov. rugi dn j oprvil vëji dl trning. =, =, = =, =, =, (vsk po t), = = ( t) =, =, (vsk po t), = ) < < ) < < =,; =,; =, < < ; < < Prhoditi mor π = poti. ( t)

7 R»UNNJE Z ULOMKI. ULOMKI Z ENKIMI IMENOLI ) + = =, ) = ) + = ) + = = ) = = ) = ) = ) = Ë) = d) = ) = ) = g) h) i) j) k) ) = ) = = ) = Ë) = = d) ) = ) = g) + = = Okrjπli smo:, Ë,. ( ) Mih in dj st pojdl ononov. ) ; ; ; ) ; ; ; + = K jπi j prispl o. uri in minut; ur = minut, nto sπtjπ skupj ur in skupj minut: h min + min = h min = h min ( ) ; + + = + = Posstvo mri m. ( ) ( ) = = + + = = Kmn pd m. =, =,, = = =,, =, =, = = = Mm j kupil kg zlnjv.,,,,,,,,, n; o = = + + = = ; o = m;,,,,,,,,. SE ENJE ULOMKO ) = ) = ) d) ) = ) ) = ) = ) + = + = + = + = = Ë) = g) Ë) ) m ) l ) kg Ë) t ) ) ) kg ), kr j Poril j ) ) kg jgod prvë. dnrj; ostlo ji j dnrj. ) ) OdvË j podtk. ) Ë) ) =, s =, n =. O ENJE ULOMKO ) = ) ) ) = = ) g) Ë) h) d) i) ) ) ) Ë) ) m= m ) l l= l ) g Ë) t t= t pl j il str lt. Mrko j rπil nlog. = = Mtj j πl od dom o ur, kr j o. uri in minut. ur j min, nto odπtjm h min min = h min. = Ë) lgrski izrz: ) ) ) ) dolg =, lotn dolg j. x (x ) = x x (x ) x ) Ë) d) ) ) g) ) Ë) = ) NE; ) Zmnjmo lhko prvi in drugi Ëln. ) NE

8 REŠIE = = = = = = = ) Ptr j zpisl ulomk. ) Imnovl j povël z. ( ) ( ) + = li + =. MNOÆENJE ULOMK Z NRNIM EILOM ) ) ) g) ) ) ) ) ) ) h) Ë) i) ) Ë) d) = Knjig im strni. j) ) = Z vrt Jk potruj m ogrj. ) l= l ) l= l ), v dilitrih in jih n konu prtvoril v litr in dilitr. Nrli so kg orovni. Zsluæili so. Z izlt jim π mnjk. Nrti morjo π kg orovni, Ë odo doili plën po isti ni. x, = x = ilnov vrvi j dolg mtrov. ljπ j Urhov vrvi. + = Osg prvokotnik mri m. ( ) = Prostli tovor n tovornjku j thtl kg. ) n {,,,,,, } ) n =,, n m = m ) modrg: m =m zlng: m =m ) ( ) ++ m= m ) Sr: h= h rr: h= h ) Njdlj j nlogo pisl Sr, njhitrjπ j il rr. ), Ë j drugi ulomk mnjπi od. = =,... ) rugi ulomk j mnjπi od.. ELJENJE ULOMK Z NRNIM EILOM ) ) ) Ë) d) ) ) g) h) i) j) k) ) =, ) =, ) =, Ë) =, mtr litr Slik prikzuj no od moænih rπitv. Pri tj rπitvi prvokotnik rzdlimo po dolæini n pt nkih dlov in tri orvmo. Nto prvokotnik po πirini rzdlimo n πtiri nk dl in tko pridmo do rzultt. m m Krog rzdlimo n nk dl in ng porvmo. Nto vsk dl rzdlimo π n dv nk dl (n pol) in doimo rzultt.. MNOÆENJE ULOMK Z ULOMKOM ) h) ) ) i) j) Ë) k) d) l) ) ) m) n) g) litr mtr Prvi zmnoæk ( kr j <. ) j mnjπi od drugg zmnoæk ( ), ) ) ) ) m = = m m ) kg = kg = g km = km m m= m. ELJENJE ULOMK Z ULOMKOM =,,,, ) ) ) ) ) ) Ë) Ë) d) d) ) ) g) ) ) g) ) ) ) Ë) d) ) ) g) h)

9 trkov grm =, minut. ) ) ) Ë) d) ) ) mtrov stklni. EILSKI IZRZI ) ) ) ) ) ) h) i) ) g) ) j) ( )( ) Ë) h) Ë) d) d) k) i) l) + = =,, kr so vsi ulomki dstiπki. o = + p = ) ) g) o = + = m p = = m ) = ) + : = ) =, ) =, ) =, Ë) d) ) ), = g), = h) i), = j), = k), = l), = m) n), = o), = p) r) s) π) =, ) + + = ) : : = ) ) ) Ë) pti rzrd. sdmi rzrd. ) ) ) ) ( + ) = ) ( + ) ( ) = Ë) + ( ) = ) N, kr n vmo, koliko Ës j poril z kosilo. ) Z kosilo j poril uro in minut. ) Kupil j, kg sdj. ) n. NLOGE Z ESEILOM Jur j zrl kg ppirj. h pokosijo, h trv p popsjo svæ. Iglvv j h. Npolnil j stklni. rugi dn so prhodili Knjig im strni. Prgldti j morl Ëlnkov. nin oë j str lt. oiπ πtvilo. poti, trtji dn p poti.. IZRZI S SPREMENLJIKMI ) ) ) Ë) ) ) ) =, Ë) =, ) ) =, ) =, Ë) Ptr j prtkl km vë, to j m vë kot Rok. ) ) ) Ë) d) d ),,,,, x + ;,,,,,, ),,, ),,, ),,; x + ; x N ),, ; ; x N x ) Rzlikujt s z z. ) Rzlikujt s z. PovË s z. PovË s z. PloπËin s povë z =, m. ) + ( ) +, ),. EN»E IN NEEN»E ),, x >, ) y <,

10 REŠIE ) >, ) x = ) x = = ) x = Ë) y = d) x =, ) x = ) x = g) x = h) = Ë) m < ) x = ) y = ) z = Ë) x = = d) = ) x = ) x = g) y = d) ) < x < < y < ) x {,,,,} ) x {,,,... } ) x {,,} Ë) x {,,,...} ) izrm x vrdnost LEE strni vrdnost ESNE strni x + L = p li n + = n + = n + = n + = = p x = ; L = = ; Rπitv në j πtvilo. ) (x ) = x - x + : + : x = ) x = ) y = ) = ) y = = ) x = i) x = j) y = ) x = = ) x = d) x = = ) x = h) y = i) = = ) x+ = x = ) x = x = ) x = x = Ë) x + = x = x d) = x = Ë) = g) x = ) x = ) x = = d) x = h) x = Ë) x =, g) x = j) p =, k) t =, ) Rπitv j prviln. ) Rπitv j nprviln, prviln rπitv j. ) Rπitv j nprviln, prviln rπitv j. h) = = x = i) x = j) x = k) x =, x =, + x =, x =, rugi kos drvs j il dolg, m. + x = x = Iskno πtvilo j. N tovornjk lhko nloæijo ton tovor. x = x = Iskno πtvilo j. x = x = Iskno πtvilo j., x = x = Gl j str lt. x = x = Pjk j dolg m. x = : x + = x x : : x = Gor o rzdlil go πtirim prijtljim ( ) x ( ) + = x = x = = ( ) + x = x = = Odπtvn j. x x = x = x = Ptr j visok m. x + = + x = n j zpisl πtvilo. pl s prizkusi ) ) ) Ë) d) ) (, Ë in primr: t, ostli: t) ) x = ( t) ) m = ( t)

11 ) (prvi oklpj ( t); drugi oklpj ( t); vsot ( t)) ) (prvi oklpj ( t); drugi oklpj ( t); rzlik ( t)) ) ( t) ) ( t) ) ( t) Ë) ) ) ) ) ) Ë) ( t) (produkt ( t); skupni imnovl ( t); rπitv ( t)) (oklpj ( t); koliënik ( t); vsot ( t)) Rokov tovor tht kg. (izrz ( t); rπn izrz ( t); odgovor ( t)) Skupj st stri lt ( lt in msv). Kj j str lt. (Kjin strost ( t); skupn strost ( t); odgovor ( t)) PRESLIKE. ORIENIJ KROG GM ) pozitivno ) ngtivno ) ngtivno nsprotno smr kot. zonik.. ZRLJENJE»EZ PREMIO ) ) p r Prvi dn j prrl strni, drugi dn strni in trtji dn strni. (prvi dn: strni ( t); ostnk: strni ( t); drugi dn: strni ( t); trtji dn: strni ( t); odgovor ( t)) ) Sosd Jk j iml nojv. (ostn ( t); drugi tdn ( t); v dvh tdnih ( t); ostn ( t); rzultt ( t); odgovor ( t)) t ) ) p r ) p ) ' ' s Z s : ' Z s : ' Z s : ' '

12 REŠIE ) r M M' N P' Z r : M M' Z r : N N' Z r : P P' ) p ' ) N' P Z t : Δ Δ''' ' ' t ' ' '. ZRLJENJE»EZ O»KO ) ) ) r ' O O ' Z p : Δ Δ''' ) ' O ' ) s E' E ' ' Z p : ΔE Δ''''E' ) Ëz toëko P ) Ëz toëko M ) Ëz toëko O M Z t Ë) ' ' ' ' ) prvilno ) nprvilno (ni prvokotni) ) nprvilno (toëk ni prvilno przrljn) Ë) prvilno N sliki ). oëk j ngin toëk in j povsod prvilno przrljn. ) ' ' ' ' E m E' ' t N' F ' Z t E M' ' ' N ' ' ' ' E' F'

13 . PRESLIKE IN ZORI ) zsuk ) vzpordni prmik ) zsuk ) ; in ) ; in K M ) ; in s KL L s KM s LM Ë) ; in d) ; in. lik im krogv,. p. lik roov;. lik roov;. lik roov ) šstm liku j kvdrtkov, v dvtm liku p kvdrtkov. ) šstm liku j Ërnih kvdrtkov, v dvtm p Ërnih kvdrtkov. ) šstm liku in v dvtm liku =. = N. mstu o h, n. mstu p s. Z vsko mizo s štvilo gostov povë z ( n + ). Z pt miz lhko posdjo gostov, z dst miz p gostov., po trh ltih odo imli Ëli.. SIMERL LJIE m in m in m ) dv nk dl ) πtiri nk dl s ) ) s s S s S s s S s s oëk j nko oddljn od toëk, in. s s ) ) ) F s EF s s ) ) ) N F S S S E H s MN N r M s M E G s SK K S s

14 REŠIE s s R P s PR h k s U s M ) ) k k l s ) s h M r U S p s γ s k s h. SIMERL KO ) ) k k ) ) k k s s s h h h ) s γ h k h s s k h p r s t

15 s s ) =, =, γ =, δ = ) =, =, γ = ) =, =, γ =, ϕ = Ë) =, =, γ = d) =, =, γ =, ε =, δ = ϕ = + = k ϕ n m s s s γ S h s pl s prizkusi ) ) p t - dv toëki prvilni ( t) - tri toëk prviln ( t) - vsk prvilno przrljn toëk ( t) - nrisn trikotnik ( t). KOI Z ZPORENIMI KRKI ) sovrπni koti: F in, in F, HFE in FG, HF in EFG ) sokoti: in, in F, in F, F in F, HFE in HF, HFE in EFG, FG in EFG, HF in FG = sovršni kot; j ostri kot = sokot; j topi kot ) sokot s zmnjšuj z ( = ( + ) ) sovršni kot s povëuj z ( = + ) ko povëmo z ) =, =, γ = ) =, =, γ = ) =, =, γ =, δ = ) =, =, γ =, δ =, ε =, ϕ = ) =, =, γ =, ϕ = ) =, =, γ =, ϕ =, ε = ) E E Ë) s E E in Ë - vsk prviln odgovor ( t) - prvilno przrljn toëk ( t) - prvilno povzn lik ( t) r - prvilno przrljn toëk ( t) - prvilno povzn lik ( t)

16 REŠIE ) ) s - simtrl kot ( t) - kroæni k(,, m) ( t) - oznëni toëki in ( t) ) - prvilno przrljn toëk ( t) - prvilno przrljn toëk ( t) - prvilno povzn toëk ( t) - prvilno povzn toëk ( t) s s - simtrl kot ( t) - simtrl dlji ( t) - oznëni o simtrli in prvi kot ( t) - oznën toëk ( t) O - dv toëki prvilno przrljni ( t) - tri toëk prvilno przrljn ( t) - prvilno povzn trikotnik ( t) ) F E E F - vsk tri prvilno przrljn toëk ( t) - prvilno povzn toëk ( t) s s s - nrisn simtrl ( t) - vsk simtrl ( t) - oznën simtrl ( t) - oznën toëk ( t) = s - prvilno nrisn simtrl kot ( t) - prvilno izmrjn kot ( t) ) =, =, γ = - vsk kot ( t) ) =, =, γ =, ϕ = - vsk kot ( t)

17 RIKONIKI in IRIKONIKI. RIKONIKI ) sh trikotnikov j. ) ostrokotn, topokotn in prvokotnih trikotnikov ) nkokrki: EG in S; nkostrniëni: in GE Ë), GE, EG, S ) ) ostrokotni, topokotni in prvokotni trikotniki ) nkokrki: S, S, S nkostrniëni: Ë), S pl; L pri pli vlj trikotniπko prvilo. nkostrniëni ki niso nkostrniëni nkokrki, rznostrniëni ostrokotni,, J, L G, H prvokotni, I topokotni E F, K ) prv ) nro ) ngtivno oznën strni orintirn prvilno: Ë) nro oznëni koti γ prvilno: γ prvilno: γ Osno simtriëni so trikotniki:,, Ë in. ) = + ) = + + ) = + + Ë) = ) =, =, =, =, γ = ) =, ϕ = ) =, ϕ =, ε = Ë) ϕ =, ε =, γ = =, =, =, =, γ =. N»RONJE RIKONIKO ) =, m; = m; = m =, =, γ = rikotnik st skldn (dopustn npk ± mm in ± ). m ) ) m ) Ë) m ) ). KOI RIKONIKU γ γ ) Ë) ) =, =, γ =, γ = ) =, =, =, γ = ) ϕ =, δ =, ε =, ε = Ë) =, =, =, γ = d) =, =, γ =, δ =, ε = ) =, =, γ = ) =, =, γ =, δ = g) =, =, γ =, δ =, ε = h) =, =, γ = i) ϕ =, ε = ) )

18 REŠIE ) Ë) γ ) γ = ) = = ( γ = + = = = ) ) ) ) = = m Ë) = = γ = ( + + = m = = o ) Ë) ) ) ) Ë) γ d) γ = (γ = )

19 ) dv rπitvi. I INE RIKONIKO v v v ostrokotni trikotnik prvokotni trikotnik Strni j prvokotn n nosilko dlji v toëki. Enko vlj tudi z: (prvokotn n ) in (prvokotn n ). topokotni trikotnik ) v j prvokotn n nosilko strni. rikotniki so izrni poljuno. voj slik j lhko drugën. ) OgliπË si n nosilki poljuno izrmo. vs tri viπin so nko dolg v =, m ) rikotnik j ostrokotn. ) rikotnik j prvokotn; prvi kot j v ogliπëu. ) rikotnik j topokotn. ) γ = (γ = ) N. OgliπË j kjrkoli n vzpordnii, ki jo doloë v. ) ) Ë) v j prvokotn n nosilko strni. OgliπË si poljuno izrmo. dv rπitvi

20 REŠIE d) ZËnmo z nosilko strni. Nriπmo v ; ogliπë si poljuno izrmo.. SIMERLE SRNI in trikotniku o»rtn krožni ) ) γ k ) Ë) k ) ) nlogh - so nrisni poljuni primri. voj slik j lhko drugën. γ ) rikotnik j prvokotni trikotnik. ) rikotnik j ostrokotni trikotnik. ) rikotnik j topokotni trikotnik. ) ) dv rπitvi ) dv rπitvi

21 Izrmo si poljuni ttivi in nriπmo njuni simtrli. Skt s v srdiπëu. k oëk, ki so nko oddljn od dvh toëk, læijo n simtrli dlji, ki ju povzuj. nlogh - so nrisni poljuni primri. voj slik j lhko drugën. ) ) ] = = j nk vsoti ] in ]. Kot ] in ] st skldn, sj j nkokrk. ] = = Δ j osno somrn. k ) Ë) oëk, ki j srdiπë vërtn kroæni, j nko oddljn od vsh strni trikotnik. orj læi v notrnjosti vskg notrnjg kot trikotnik, zto j v notrnjosti trikotnik.. SIMERLE KOO in trikotniku v»rtn krožni ) ) )

22 REŠIE ) O kroænii st vërtni trikotnikom, ki ju ustvri digonl. S nlogh - st nrisn poljun primr. voj slik j lhko drugën. r v S ) toëki, kjr simtrl kot sk lok, nriπmo tngnto tr nstlmu trikotniku vërtmo kroænio. t =, m t =, m t =, m t =, m ) dotikliπë oh kroæni nriπmo tngnto in vërtmo o kroænii. s Njdljπ j t. ) ) ) Ë) dv rπitvi. EæI»NIE IN EÆI»E ) ) t t v t rzpolvlj strnio. Rzdlj od prsëiπë t in do ogliπë j nk kot rzdlj od prsëiπë do ogliπë. Nriπmo ps, ki g doloë v. Poljuno si izrmo ogliπë in odmrimo kot. Iz ogliπë odmrimo t, ki rzpolvlj strnio.

23 ) Ë) - ski ( t) - prviln slik ( t) - oznën ( t) - ski ( t) - prviln slik ( t) - oznën ( t) Nriπimo ps, ki g doloë v. Poljuno si izrmo ogliπë in odmrimo dolæino. Iz rzpoloviπë strni odmrimo dolæino t in doimo ogliπë. N poltrku, ki g doloë kot γ, doimo rzpoloviπë strni s pomoëjo t. OgliπË przrlimo Ëz to rzpoloviπë. - ski ( t) - prviln slik ( t) - oznën ( t) - srdiπë kroæni ( t) - oërtn kroæni: ( t), tk j nkostrniëni trikotnik. pl s prizkusi v =, m v =, m t = m (dopustn npk ± mm) v v - vsk prvilno vrisn dlji ( t) - vsk prvilno izmrjn dlji ( t) ) =, =, γ = ; - vsk prvilno izrëunn kot ( t) ) =, δ = ; - vsk prvilno izrëunn kot ( t) r v =, m. IRIKONIKI v =, m; =, m; δ = ) ) m m δ d - ski: t - nrisn trikotnik: t - srdiπë vërtn kroæni: t - vërtn kroæni: t - izmrjn polmr: t γ ) ) - ski ( t) - ski ( t) - prviln slik ( t) - prviln slik ( t) - oznën ( t) - oznën ( t) ) Ë) m ) Ë) m d d) m γ d δ d - ski ( t) - ski ( t) - prviln slik ( t) - konstrukij ( t) - oznën ( t) - prviln slik ( t) - oznën ( t)

24 REŠIE ) = ) δ = ) =, δ = ) =, =, ϕ = E =, =, E =, E = γ = m. RPEZ δ d) ) = ) =, =, δ =, γ = ) γ = ) = = = δ δ γ γ = = γ = γ = δ = δ = m m,, d,,, g v = m; = m; =, m; γ = ) ) m m m ) Ë) m δ d) d m δ v m ) ) ) Ë) d m d m m γ d v r S =, =, γ =, δ = d = = d j =. PRLELOGRM,, d,, g =, m; =, m; γ = ) ) d m ) Ë) m m d) ) m v m m v

25 ) ) m m ) Ë) m m rv ro m ) Ë) m kvdrt dv rπitvi d) m v v m m m ϕ v m ) ) m Nlog j rπljiv, Ë j > v. d d ) m ) E = ) E =, F = ) N mormo izrëunti, kr rom z dnim kotom n ostj. ) ε =. ELOI =, m; =, m; =, m; = ; δ = ) ) m m r o. ) m ) m ) Ë) d) m m d d m d d d d

26 REŠIE Kvdrt in rom st dltoid. Prvokotnik ni dltoid njgovi digonli s n skt pod prvim kotom. ) δ = ) =, γ = d γ m γ m ski: t ris: t kroæni: t Odgovor: Kroænio lhko oërtmo l nkokrkmu trpzu v dnm primru nlog ni rπljiv. ε =. Gomtrijski liki in tls ) kvdrtov ) prvokotnik, nkokrki trikotniki ) prvokotniki ϕ ε = ε = ski: t slik: t kot: t m ϕ ε pl s prizkusi ) Prllogrmi so:,, Ë, g ( t; z vsko npëno: - t). ) rpzi so:,, Ë,, g ( t; z vsko npëno: - t). ) prvokotnik, kvdrt, nkokrki trikotnik,» prllogrm, prvokotni trikotnik, E trpz, F dltoid, G rom ( t; z vsko npëno: - t) Nprviln trditv:,»,, E ( t; z vsko npëno: - t). d δ γ ski: t ris: t (Ë so koti risni s kotomrom: - t) m δ γ δ ski: t slik: t γ ( t) m S o r o m S o r o v m ) = ( t) ) ϕ = ( t), δ = ( t) δ = ( t), δ = ( t) v ski: t ris: t Koti mrijo: =, γ =, δ = ( t).

27 OSEGI IN PLO»INE. E»KONIKI o = m, p = m = m, p = m : o = m, p = m : o = m, p = m : o = m, p = m ) = dm ; ) Ostnk j, m. zn j prvokotnik s strnim in m. Folij j prvokotnik s strnim m in m. odopivëvi morjo kupiti m olij. ), ( (,,) + +,) =, Plskr mor prplskti, m. ) ( ) + (, +,) +, + +, =, Plskr o potrovl, m lpilng trku.. PRLELOGRM ) o = + = ; o = m; p = = ; p = m ) o = +, =,; o =, m; p =,, =,; p =, m ) o = m; p = m ) o =, dm; p =, dm ) o = m; p = m ) p = = ; p = m ) = : = ; = m ) = ( ) : = ; = m ) o = dm; p = dm ) =, m; p = m ) v = m; o = m ) m v =, m o =, m p = m ) v =, m o =, m p = m ) v =, m =, m o =, m p =, m olrn z strnio j ± mm. Prllogrm pod ), kr j p =, = m. IzrËunmo lhko osg, ploπëino in viπino n strnio. o = m; p = m ; v =, m ) Njmnjπi osg im lik, kr im njkrjπo dolæino strni (zrdi prvg kot), vsi prlologrmi p imjo nk dolæin. m m v v v ) PloπËin prllogrmov so nk, kr imjo vsi nko dolgo strnio in nko dolgo viπino n strnio. ) Poti j m. ) rvnik j m. ) = En prkirni vto zsd m.. RIKONIKI ) =, m; =, m; =, m; v =, m; o =, m; p =, m ) = m; =, m; =, m; v =, m; o =, m; p =, m ) =, m; =, m; =, m; o =, m; p =, m olrn z strnio j ± mm. ) o = dm; p = dm ) o = m; p = m ) o = mm; p = mm ; v = mm; v =, mm ) v = mm ) p = p + p p = m + m = m, p = p + p, m p = +, =, m Prvilni so odgovori: Ë, d in. m,, m p = p =, m p = m m =, PloπËin trikotnik j polovi ploπëin kvdrt. Kvdrtu smo odrzli dvkrt po lik, kr j rvno lik, zto j drug polovi lik ostl (orvno). ) ) PlošËin mri m, kr j štvilo mlih nkostrniënih trikotnikov v prvilnm -kotniku dvkrt vëj od štvil mlih nkostrniënih trikotnikov v zvzdi.

28 REŠIE p = p = = p = p = dm p = p =, = p = p = dm PloπËin vsh πtirih trikotnikov so md soj nk. o = o = dm + dm = dm o = o = dm + dm = dm Po dv nsproti læë trikotnik imt nk osg. litv ni prviën. Nstl trikotnik imt nki viπini, rzliëni osnovnii. rikotnik, ki nj i il Ptrov, im osnovnio m, zto j njgov ploπëin m. rikotnik, ki nj i il Pvlov, im osnovnio m, zto j njgov ploπëin l m.. ELOI, ROM IN KR lik : p = = ; p = m lik : p = = ; p = m lik : p = = ; p = m lik : p = = ; p = m y x ) Poloæili odo m tpison. ) Kupiti morjo tkoëih mtrov tpison. ) Rzli g odo tkol: m m m m PloπËin dltoid = ploπëin trikotnik = = p = dm ; v = :, = dm. RPEZ Enkokrki trpz; p = y m o = + + +, =, p = = o =, m p = m S x Nrisni dltoid im vs πtiri strni nk, zto j to rom: o = = ; o = m; p = p =, = p = m Prviln j odgovor. = ; p = m, ) Lik j prllogrm; p = m. ) trpz: p = m ) PloπËin trpz j nk polovii ploπëin prllogrm. prl : p = ; prl : p = ; prl : p = prl»: p = ; prl : p = ; prl E: p =» so zmljiπë nk kkovosti, s splë kupiti prli li», kr imt njvëji ploπëini (z nk dnr doiπ njvë zmljiπë). ) PloπËin ng trpz j m. ) PloπËin pntlj j m. ) = p = p zunnjg trikotnik - p notrnjg trikotnik p = p = m =, dm

29 pl s prizkusi o = dm; p = dm p = m ; = m; o = m = m; =, m; v =, m o =, m; p =, m (olrn z strnio j ±mm.) OSOKI IN POKI. OSOKI IN PROMILI ) Odstotk % % % % % % Ulomk Okrjπni ulomk = imln πtvilk,,,,,, ) v Odstotk % % % % % % Ulomk Okrjπni ulomk = ) S vtjm j zsjno = grd, kr znπ m. ) Z zlnjm j zsjno = grd, kr znπ m. ) Zsditv stn ( + ). imln πtvilk,,,,,, ) Odstotk, %, %, %, %,%,% Ulomk Okrjπni ulomk imln πtvilk,,,,,, v v =, m; o = m; p = m olrn z viπino j ±mm. = m rpz. = m; = m; = m; d =, m; v = m o =, m; p = m ) Ulomk Odstotki % % % % % imln πtvilk,,,,, ) Ulomk Odstotki % % % % % imln πtvilk,,,,, ) Ulomk Odstotki % % % % % imln πtvilk,,,,, ) tvilo,, Odstotki % % % % % ltoid. =, m; =, m o =, +, =,; o =, m p = m Ulomk ) = = = = tvilo,,,,, Odstotki % % %, %, % Ulomk =

30 REŠIE Ulomk Odstotk imlno πtvilo = = = %, %, %, % = % =,, = ) = = % =, ) = % =, ) = = % =, Ë) =, % =, ) ) % % ) Ë) % % d) % ) % ) % ) % Ë) % ) = ) < ) > N mlæi j nvdn dlæ mπëo, % =. Podtk pomni, d g jogurt vsuj, g mπëo. j "prpis" podtkov z domëg izdlk, torj ršitv n mormo podti. ndljnj tkmovnj s j uvrstilo, % tkmovlv. pl: ) pori % ) z poëitni % ) z glsni stolp % ) o j, %. ) nm litru vod j ml soli. ) l j l soli. tvilo privlv s j zmnjπlo z, promil. o j privl n.» j osnov milijon, potm j ljudi mnj, z dv milijon torj ljudi mnj.. R»unnj odstotkov % j æ, % π ni. OdliËnih j, %. = %. %. rzrd im % vë dkli. (: %, : %) ) tvilo odstotkov s dvkrt, trikrt... zmnjš. ) tvilo odstotkov s dvkrt, trikrt... povë. Nlog Ulomk Odstotk imln πtvilk Ë d %,, %, %,, %,, %, %, Z vtousom s vozi %. % s jih n vozi. Rzilo s j, % jj. Izkoristi s % prdiænik. % zlitin j ink. Ænsk j priliæno, %, priliæno, % p j moπkih. Jod prdstvlj % rztopin. Krompir %, hruπk %. hruπkh j % vë vod. ) % ) % ) %. trgovin: % popust,. trgovin: % popust. Ëji popust j v prvi trgovini. ) uënv ) % ) % d), % vign s z, promil., % nov posod.. R»unnj ELOE IN EL lot R»unnj EL lot ) ) ), Ë), d) ), ) min ) m ) g Ë) m ), m ), m Mrijo, m. Nov n o. Md m in m. PlËli odo vë. Nov njmnin o. jogurtu j, g mπëo. Ms krompirj j, t. OMÆ POLIESER kg mok. Po oh ponitvh stn,. % prvotn n. Z %. sliv. ) otrok ) udlænv ) % moπkih Ë) R»unnj ELOE ) m ) km ) Ë) h d) x = kg ) y = uënv., km km. Osnov l lot P % % m m % kg kg % Ë h, h, % d m m % kg, kg % % ) % ),

31 . KOORINN MREÆ E (,); (,); (,); (,); E(,); F(,); G(,) (,); (,); (,); (,) (,) N L (,) M S S(,) K M(,) N(,) ) ) E E oëk læijo n simtrli oh osi. ) Ë) E oëk læijo n prmii, ki j vzpordn nvpiëni osi. oëk læijo n prmii, ki j oëk læijo n prmii, vsk vzpordn vodorvni osi. nvpiën koordint j z vëj od vodorvn koordint. S E (,) (,) Nstli lik j (,) (,) nkokrki trpz. (,) (,) (,) E. PRIKZ POKO E»KO EKLI SPNJE OL U»ENJE GLS ROLNJE OSLO E»KO EKLI SPNJE OL U»ENJE GLS ROLNJE OSLO ) MO KI ÆENSKE OROI SKUPJ PONEELJEK OREK SRE»EREK PEEK SOO SKUPJ ) ) Pondljk ork Srd»trtk Ptk Soot Ë). Iz prvg vidimo πtvilo strnk v posmznm dnvu, ki vpliv n πtvilo zposlnih. KRJ PREINJ EILO MESO LOKU MESO HI I OROJE MES OKOLI K NSELJ SKUPJ msto (lok) msto (hiπ) oroj mst okoliπk nslj ) N. ) ) volivv. Z PROI ZRÆNI otroi ænsk moπki

32 REŠIE ) ogljik ) mgnzij ) % d) g ) moπkih ; ænsk ; otrok ) otrok %. RIMEI»N SREIN ), ) ) Ms Jurt (kg) Ms Rok (kg) Ms Jurt (kg) Ms Rok (kg) N, kr so podtki opisni. N, kr podtk nië n pomni. ) (pondljk, tork, srd, Ëtrtk, ptk) (,,,, ) (,,,, )... vliko moænosti. ritmtiën srdin j, povprëno s v vtu vozit, potnik. PovprËn tmprtur,. x =, PovprËn dolæin mt pri dklih j,m. x =, PovprËn dolæin mt pri dëkih j,m. Z, m. ) -krt. ) npr. Koliko plninv j vë kot nkrt prišlo n riglv?. MESEOJNO OISNE KOLI»INE tmprtur ( ) tmprtur ( ),,,,, PON OR SRE»E PE SO NE Ës (dn) Ës (min) StolpiËni digrm. )»s (h) tmprtur ( ) tmprtur ( ),,,,, Ës (dn) Ës (min) Pot (km) ) oænj ni nkomrn, kr v ni uri prvozi rzliëno dolg poti. ) Njhitrjπi md. in. uro. NjpoËsnjπi md. in. uro. kolsr stoji.»s (min) Pot (km) min, m, min, m, m, min, m, m, m pot (km)»s (h) Pot (km) Ës (h) Ms (kg) n ( ),,, n ( ),,, ms (kg) tvilo povljnih tvilo kosov tort tvilo kosov tort tvilo prijtljv. REESNI PRIKZ Æ Æ Æ Æ M M M M M M M M M M M M rzliënih prov.»»»» H H H H H H H H P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P N nëinov. O O K I O K I R K I R O I R O K K I O I K O K I R I K R O I R I R O K O R K R O I K I O O K I K I R R K I O I R O R O K K R O R sd K L L M M moæn poti. N N N N πtvil.

33 moænosti. Zprt pot: moænih poti. M L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L = = (Zgod, v ktri nstopjo tri izir v trh korkih) sh zpisov j. rimstn πtvil so.,,,,, ) ) rstni rd j rzliën, produkt prktorjv p j n konu nk. pl s prizkusi ) Prtkl j æ km. ( t) o ilj im π km. ( t) ) Prtkl j æ, % prog. ( t) ) N dljii ustrzn dolæin, npr. m, oznëimo poloæj tkë tko, d izrëunmo dl rzdlj, ki jo j tkë æ prtkl: od m j m. ( t) = =, = % = =, = % sk prviln odgovor j ovrdnotn z dvm toëkm. ) kg ) minut ) ) Prvi ms j shujπl z kg in njn tæ j: kg = kg. ( t) rugi ms j shujπl ponovno z % nov tæ, kr j, kg. ( t) Po dvh msih dit j thtl, kg. ( t) ) dlæu (odstotkih) nko, sj j okrt shujπl z % svoj tæ. ( t) sk prviln odgovor j ovrdnotn z dvm toëkm. ) min ) m ) m Ë) min s ) stolpëni digrm (t) zdostno doro prv doro kroæni digrm (t) ) PovprËn on j,. odliëno zdostno doro prv doro odliëno s πtiri prvilno nrisn toëk so ovrdnotn z dvm toëkm. Nstli dltoid j rom ozirom dltoid. (t) pl N ILJU S (, ) = ( t); : = in : = Nrdimo lhko njvë nkih šopkov. ( t) vskm o do vrtni. ( t) v (,, ) = ( t) minut : =. Ponovno odo o isti uri hkrti odpljli iz Postj Ëz minut ozirom ur, to j o. uri zvër. (t) vtous, ki gr n pot vskih minut o nrdil njvë vožnj in sir. ( t) sk prvilni rzultt j ovrdnotn z dvm toëkm. ) vsot: : = ( t) = = ( t) ) rzlik: ) produkt: Ë) koliënik: = ( t)

34 REŠIE sk prviln odgovor j ovrdnotn z no toëko. ) < ) > ) < Ë) = d) > Z sldold pori ptino dnrj, kr j: : =,. (t) Z mlio pori % dnrj, kr j,. ( t) Z rzgldnio ji ostn š,. ( t) S prostnkom dnrj lhko kupi š rzgldni. ( t) Ski trikotnik j ovrdnotn z toëko, slik z toëkm in prvilno przrljni lik z dvm toëkm. γ m sk prvilno zpisn izjv j ovrdnotn z no toëko. ) P ) P ) N Ë) N d) P trikotnik: štirikotnik (trpz) ε = ( t) η = ( t) ϕ = ( t) ψ = ( t) krožni digrm: ( t) % % % % % km iz io gos thv ' ' ' Ski trikotnik j ovrdnotn z toëko, slik z toëkm in prvilno oërtn krožni z dvm toëkm. γ v m s S o v s tri prvilno nrisn toëk so ovrdnotn z dvm toëkm. ) vsh uënv j. ( t) ) skupin z iziko im uënv. ( t) ) nko štvilo uënv imt skupini z kmijo in iologijo. ( t) Ë) njštvilënjš j skupin z gospodinjstvo. ( t) d) v skupini thniën vzgoj j: : = = : % ozirom priližno % vsh uënv. ( t) ) po minuth ( t) ) litrov vod ( t) ) litrov vod (t) Ë) vod j v gr pritkl nkomrno, sj v vskm Ësovnm intrvlu pritë nk koliëin vod gr j prmi. ( t) Prvilno nrisn slik j ovrdnotn s toëkmi. m F PlošËin trikotnik mri plošëinskih not. ( t) m m E ) plošëin trikotnik EF mri m. ( t) ) : = : = % ozirom priližno,%. UPOR ŽEPNEG R»UNL ) ) ) ) ) ) Ë) =, Ë) d) Ski prllogrm j ovrdnotn z no toëko, slik z dvm toëkm, izrëunn plošëin s trmi toëkmi in izrëunn osg z dvm toëkm. v m p = v p = p = m Z izrëun osg mormo izmriti strnio =, m. o = + o = +, o =, m ) ) ) =, ) ) ) =, ) Ë) d) ) Ë) d) =, ) Ë) d) Osg vrt j m, njgov plošëin p m., (, + ) = =, ) ;,; % ) ;,; % ozirom priližno, % ) ;,;, % rdëi:,%; modri:,% lotn zslužk j il. rugi dlv j doil.