Ένας διάλογος για τις Εφαρµογές των Μαθηµατικών Από τον Alfred Renyi

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ένας διάλογος για τις Εφαρµογές των Μαθηµατικών Από τον Alfred Renyi"

Transcript

1 Ένας διάλογος για τις Εφαρµογές των Μαθηµατικών Από τον Alfred Renyi Μεγαλειότατε! Τι έκπληξη τέτοια προχωρηµένη ώρα! Σε τι οφείλω την τιµή της επίσκεψης από τον Βασιλιά Ιέρωνα στο ταπεινό µου σπίτι; Αγαπητέ µου φίλε Αρχιµήδη, απόψε είχαµε ένα δείπνο στο παλάτι µου για να γιορτάσουµε τον µεγάλο θρίαµβο της µικρής µας πόλης των Συρακουσών, έναντι των ισχυρών Ρωµαίων. Σε προσκάλεσα αλλά η θέση σου έµεινε άδεια. Γιατί δεν ήρθες, εσύ, στον οποίο όλοι οφείλουµε την σηµερινή µας νίκη; Τα δικά σου τεράστια κοίλα κάτοπτρα έκαψαν δέκα από τα είκοσι µεγάλα πλοία των Ρωµαίων που σαν πύρινοι πυρσοί έξω από το λιµάνι βυθίστηκαν πριν προλάβουν να βγουν στην ανοικτή θάλασσα. Δεν µπορώ να πάω για ύπνο χωρίς να σε ευχαριστήσω για την σωτηρία της πόλης από τον εχθρό. από την στεριά. Μπορεί να επιστρέψουν και είµαστε ακόµα περικυκλωµένοι Θα µιλήσουµε γι αυτό αργότερα. Πρώτα άσε µε να σου δώσω ένα δώρο, το καλύτερο που µπορώ. Πράγµατι, ένα υπέροχο αριστούργηµα! Αυτός ο δίσκος είναι από πραγµατικό χρυσό, µπορείς άλλωστε να το ελέγξεις µε την γνωστή σου µέθοδο. Δεν θα βρεις ίχνος από ασήµι σ αυτό! Οι παραστάσεις δείχνουν τις περιπέτειες του Οδυσσέα υποθέτω. Στο µέσο βλέπω τους ανυποψίαστους Τρώες να σπρώχνουν το τεράστιο ξύλινο άλογο µέσα στην πόλη τους. Πάντα διερωτόµουν αν οι Τρώες χρησιµοποίησαν κάποιο είδος σύνθετης τροχαλίας για να τα καταφέρουν. Βέβαια το άλογο στεκόταν σε τροχούς, αλλά ο δρόµος στην πόλη πρέπει να ήταν µάλλον απότοµος. Αγαπητέ µου Αρχιµήδη, µα τον Δία ξέχνα τις τροχαλίες σου για µια στιγµή. Ξέρεις πόσο εξεπλάγην όταν µόνος σου έσυρες το τεράστιο πλοίο που ήθελα να στείλω στον Βασιλιά Πτολεµαίο, απλά χειριζόµενος την τριπλή σου τροχαλία. Αλλά ρίξε µια µατιά και στις άλλες σκηνές που υπάρχουν στον δίσκο. Βλέπω τους Κύκλωπες και την Κίρκη τη στιγµή που µεταµορφώνει τους συντρόφους του Οδυσσέα σε γουρούνια κι εδώ τη συναυλία των Σειρήνων, που ο Οδυσσέας ακούει ενώ είναι αλυσοδεµένος στο κατάρτι του πλοίου του (αν δεις το πρόσωπό του, µπορείς σχεδόν ν' ακούσεις το δελεαστικό τραγούδι). Υπάρχει κι Οδυσσέας στον κάτω κόσµο, που συναντάει τη σκιά του Αχιλλέα και εδώ τροµάζει την γοητευτική Ναυσικά µε τις φιλενάδες της και, τελικά, βέβαια η σκηνή όπου ο Οδυσσέας µεταµφιεσµένος σε γέρο ζητιάνο, δένει το τόξο του και κανονίζει τους λογαριασµούς του µε τους µµνηστήρες, ένα θαυµάσιο έργο τέχνης. Σ' ευχαριστώ, ευγενικέ µου ηγεµόνα. Αυτό είναι πραγµατικά βασιλικό δώρο. 1

2 Ήταν το καλύτερο κοµµάτι στο θησαυροφυλάκιο µου. Αλλά το αξίζεις. Το διάλεξα όχι µόνο για την οµορφιά και την αξία του, αλλά και για ακόµα έναν λόγο. Αυτό που έκανες σήµερα για τις Συρακούσες µπορεί να συγκριθεί µόνο µε το τέχνασµα του Οδυσσέα. Και οι δύο είστε θριαµβευτές ενός κοφτερού µυαλού απέναντι σε έναν κτηνώδη εχθρό. Έκανες έναν ηλικιωµένο άνθρωπο να κοκκινίζει από ντροπή. Αλλά επίτρεψέ µου και πάλι να σου υπενθυµίσω ότι ο πόλεµος ακόµη δεν τελείωσε. Θα θελες να ακούσεις την συµβουλή ενός ηλικιωµένου; σου µε ειλικρίνεια. Πάντα σου παράγγελνα σαν βασιλιάς να µου λες την άποψή Αυτή είναι η στιγµή που πρέπει να κάνεις ειρήνη µε τους Ρωµαίους. Από τότε που άρχισε ο πόλεµος ποτέ δεν ήµασταν σε µια τέτοια ευνοϊκή θέση διαπραγµάτευσης. Αν ο Μάρκελλος δεν σου στείλει απεσταλµένο πριν τα µεσάνυχτα, θα πρέπει να στείλεις δικούς σου σ αυτόν, πριν το χάραµα, και να κάνεις ειρήνη πριν ο ήλιος δύσει ξανά. Ο Μάρκελλος είναι ανυπόµονος να µετακινήσει τον στρατό µε το οποίο πολιορκεί την πόλη, γιατί τους χρειάζεται να τους χρησιµοποιήσει εναντίον του Αννίβα. Επιπλέον αν µπορέσει να πετύχει µια συµφωνία, αύριο µπορεί να παρουσιάσει στην Ρώµη µια νίκη, έστω µια διπλωµατική νίκη, και όχι µόνο τα άσχηµα νέα ότι χάθηκε ο µισός του στόλος. Αν η είδηση για την σηµερινή µάχη φτάσει στη Ρώµη, τότε οι Ρωµαίοι θα είναι τόσο λυσσασµένοι, που δεν θα είναι µε τίποτα λιγότερο ευχαριστηµένοι από την ολοκληρωτική νίκη. Η ανάλυσή σου είναι σωστή. Είναι γεγονός πως έλαβα ένα µήνυµα από τον Μάρκελλο απόψε που προσφέρει ειρήνη και απόσυρση των στρατευµάτων του κάτω από συγκεκριµένους όρους. Αν ήξερες αυτούς τους όρους θα ήσουν λιγότερο ενθουσιώδης µε την ιδέα να γίνει µια συµφωνία µε τους Ρωµαίους. Τι θέλει ο Μάρκελλος; Λοιπόν, φυσικά θέλει πολύ χρυσό και ασήµι. Επίσης θέλει δέκα νέα πλοία για τα δέκα που έχασε σήµερα, και πέρα από όλα αυτά να γκρεµίσουµε τα οχυρά µας εκτός από ένα στο οποίο θα εγκατασταθεί µια φρουρά από Ρωµαίους στρατιώτες. Θέλει να κηρύξουµε τον πόλεµο στην Καρχηδόνα και τέλος αξιώνει τον γιό µου Γέλωνα, την κόρη µου την Ελένη και εσένα σαν οµήρους. Υπόσχεται δε, ότι κανένα κακό δεν θα γίνει στην πόλη και τους κατοίκους της, για όσο διάστηµα παραµένουµε πιστοί στην συνθήκη. Πιθανά να µην επιµείνει σε τίποτα, αλλά θα επιµείνει να µε παραδώσεις σ αυτόν. Μιλάς πολύ ψύχραιµα γι αυτό το θέµα. Μα όλους τους θεούς του Ολύµπου, όσο θα είµαι ζωντανός, δεν θα δώσω τα παιδιά µου στα χέρια του εχθρού, ούτε και εσένα. Δεν µε ενδιαφέρει ο χρυσός και το ασήµι, ούτε τα πλοία, αυτά µπορεί να τα έχει. Αλλά αυτό που αποστρέφοµαι περισσότερο σ αυτούς τους όρους είναι ότι αν τους εκπληρώσουµε θα είµαστε στο έλεός του. Και ποιες είναι οι εγγυήσεις ότι θα τηρήσει την συνθήκη; Δεν µου δίνει κανέναν όµηρο. 2

3 Δώσε προσοχή όχι στην ερώτηση αλλά σε τι επιµένει µέσα από τις λέξεις του. Οι Ρωµαίοι είναι ευαίσθητοι όσον αφορά την τιµή τους τουλάχιστον κατά την διάρκεια των διαπραγµατεύσεων. Εσύ πιθανά να µπορείς να αποφύγεις να τους δώσεις τα παιδιά σου. Και τι θα γίνει µε εσένα. Είσαι έτοιµος να κάνεις µια τέτοια θυσία για την πόλη σου; Μάρκελλο; Αυτό είναι ερώτηση ή απαίτηση; Μόνο µια ερώτηση φυσικά. Θέλεις να µάθεις τι απάντησα στον Απάντησες ήδη; Ναι. Αποδέχθηκα όλους τους όρους, εκτός από το να δώσω εσένα για όµηρο. Συµφωνώ να δώσω τα παιδιά µου, µόνο µε τον όρο να µου στείλει δύο από τα παιδιά του επίσης σαν οµήρους. Όσο για σένα, του είπα ότι η ηλικία σου δεν επιτρέπει να µείνεις στο στρατόπεδο. Βέβαια ξέροντας ότι δεν σε θέλει πραγµατικά σαν όµηρο αλλά θέλει µόνο την σοφία σου, υποσχέθηκα ότι θα του γράψεις µια πλήρη περιγραφή όλων των εφευρέσεών σου µε πολεµικό ενδιαφέρον. αφορούν τον πόλεµο. Ποτέ δεν θα γράψω τίποτα σχετικά µε τις εφευρέσεις µου που Γιατί όχι; Αν υπάρχει ειρήνη δεν τις χρειαζόµαστε πλέον. Εξήγησέ µου σε παρακαλώ γιατί αρνείσαι να γράψεις για τις εφευρέσεις σου. κάνω. Αν έχεις την υποµονή να ακούσεις τους λόγους µου θα το Είµαι έτοιµος να ακούσω. Θέλω να παραµείνω άγρυπνος και να περιµένω την απάντηση του Μάρκελλου. Τότε έχουµε πολύ χρόνο. Γιατί θα πάρει αρκετό χρόνο στον Μάρκελλο να διαµορφώσει την απάντησή του. Θα ακούγεται σαν µαστίγωµα. Νοµίζεις ότι θα διακόψει τις διαπραγµατεύσεις; Φυσικά. Του αµφισβήτησες την τιµή. Ποτέ δεν θα σου το συγχωρέσει και δεν α υπάρξει συµφωνία. Πιθανά να έχεις δίκιο. Πάντα θαύµαζα την επιδέξια διπλωµατία σου και την επίγνωση της ψυχολογίας του αντιπάλου.. Αλλά αυτή την φορά παραµέλησες αυτή την τέχνη. Το παραδέχοµαι. Πιθανά να είχα µεθύσει από το κρασί και την νίκη. Αλλά ότι έγινε, έγινε. Θέλω ακόµα να ακούσω τους λόγους σου. 3

4 Αν και η ερώτηση είναι ακαδηµαϊκή, εν τούτοις θα εξηγήσω τον τρόπο που εγώ βλέπω τα πράγµατα. Συσχέτισες τις µηχανές µου µε τον Δούρειο Ίππο της Τροίας. Η συσχέτιση είναι αρκετά καλή, αλλά σε µια τελείως διαφορετική λογική. Ο Οδυσσέας χρησιµοποίησε το ξύλινο άλογο για να περάσει λαθραία τον εαυτό του και κάποιους Έλληνες στρατιώτες µέσα στην Τροία. Εγώ χρησιµοποίησα τις µηχανές µου για να περάσω µια ιδέα στο κοινό µυαλό του ελληνικού κόσµου. Και η ιδέα είναι ότι τα µαθηµατικά όχι µόνο τα στοιχεία τους, αλλά επίσης τα περισσότερο έξυπνα µέρη τους - µπορούν να έχουν εφαρµογή µε µεγάλη επιτυχία σε πρακτικούς σκοπούς. Πρέπει να οµολογήσω πως ήµουν πολύ διστακτικός στην αρχή, γιατί µισώ τον πόλεµο και τους φόνους. Αλλά ο πόλεµος ήταν εδώ και αυτός ήταν ο µόνος τρόπος να κάνω τον εαυτό µου να καταλάβει. Είχα δοκιµάσει και άλλους τρόπους αλλά µάταια. Μπορώ να σου υπενθυµίσω ότι λίγα χρόνια πριν, όταν ανακάλυψα µια αντλία για να βγάζει το νερό από τα ορυχεία σου, ώστε οι άνθρωποι που δούλευαν εδώ να µην περνούν µέχρι τους γοφούς µέσα από τα νερά δεν ενδιαφέρθηκες. Ο επικεφαλής των ορυχείων µου είπε πως δεν νοιάζεται αν τα πόδια των σκλάβων θα είναι υγρά δεν είναι από αλάτι. Αυτές ήταν οι κουβέντες του. Και θυµάσαι όταν σου πρότεινα να φτιάξω µια µηχανή να ποτίζει τα χωράφια σου; Η εργασία των σκλάβων ήταν φθηνότερη. Και όταν πρότεινα την δύναµη του ατµού να οδηγεί τους µύλους του Βασιλιά Πτολεµαίου, ποια ήταν η απάντηση; Είπε ότι οι µύλοι όπως εξυπηρετούσαν τους προγόνους του το ίδιο καλά εξυπηρετούν και αυτόν. Θέλεις να σου υπενθυµίσω και άλλα παραδείγµατα; Υπάρχει τουλάχιστον µια ντουζίνα ακόµη. Όλη µου η προσπάθεια, να δείξω στον κόσµο πως τα µαθηµατικά µπορούν να τους βοηθήσουν στην ειρήνη ήταν µάταιη. Αλλά όταν ο πόλεµος ήρθε, ξαφνικά θυµήθηκες τις τροχαλίες µου, και τους µοχλούς µου. Την περίοδο της ειρήνης ο καθένας θεωρούσε την κάθε εφεύρεσή µου σαν παιχνίδι, ανάξια για ένα σοβαρό ενήλικο πολίτη, πόσο µάλλον για έναν φιλόσοφο. Ακόµη κι εσύ, που πάντα µε υποστήριζες και µε βοηθούσες να πραγµατοποιήσω τις ιδέες µου, δεν τις έπαιρνες σοβαρά. Τις έδειχνες στους επισκέπτες σου για να διασκεδάζουν και αυτό ήταν όλο. Και µετά ήρθε ο πόλεµος και τα Ρωµαϊκά πλοία έκλεισαν το λιµάνι. Ριψοκινδύνευσα µια τυχαία παρατήρηση, ότι ρίχνοντας πέτρες σ αυτά µε έναν καταπέλτη θα τα έδιωχνα µακριά. Συµφώνησες µε την ιδέα. Δεν µπορούσα να πάρω πίσω ότι είχα πει και άρα είχα να πάω µόνο µπροστά. Αφού ξεκίνησα σ αυτόν το δρόµο έπρεπε να συνεχίσω. Αλλά τα συναισθήµατά µου ήταν από την αρχή ανάµικτα. Ήταν βέβαια η ευτυχία ότι οι εφευρέσεις µου δεν θα ήταν πια ο περίγελος και στο κάτω κάτω της γραφής είχα την ευκαιρία να δείξω στον κόσµο πως τα µαθηµατικά ήταν πραγµατικά σε δράση. Αλλά αυτό δεν ήταν το είδος της δράσης µε το οποίο ήθελα να αποδείξω την πρακτική αξία των µαθηµατικών. Είδα άνδρες να σκοτώνονται από τις µηχανές µου και αυτό µε γέµισε ενοχές. Έκανα έναν σοβαρό όρκο στην Αθηνά πως ποτέ δεν θα πω προφορικά ή γραπτά το µυστικό των µηχανών µου σε κανέναν. Προσπάθησα να καθησυχάσω την συνείδησή µου, λέγοντας στο εαυτό µου πως τα νέα για την απόκρουση των Ρωµαίων από τον Αρχιµήδη µε τα µαθηµατικά, θα φθάσει σε όλο τον Ελληνόφωνο κόσµο και αυτό θα θυµόταν ακόµα, και όταν ο πόλεµος θα είχε τελειώσει, και τα µυστικά των πολεµικών µηχανών µου θα είχαν ταφεί µαζί µε µένα. Είναι αλήθεια αγαπηµένε µου Αρχιµήδη. Παίρνω γράµµατα από βασιλιάδες που είναι φίλοι µου και µε ρωτούν για τις εφευρέσεις σου. Και τι τους απαντάς; 4

5 Τους λέω ότι αυτές οι ερωτήσεις δεν µπορούν να απαντηθούν όσο ο πόλεµος συνεχίζεται. Ελπίζω καταλαβαίνεις τώρα ποιοι είναι οι λόγοι για τους οποίους δεν δηµοσιοποιώ τα µυστικά µου. Πέτυχα να τα κρατήσω µακριά ακόµη και από αυτούς που υλοποιούν τα σχέδιά µου. Καθένας ξέρει µερικές λεπτοµέρειες µόνο. Είµαι χαρούµενος γιατί ποτέ δεν µε ρώτησες για αυτά, γιατί θα είχα αρνηθεί να σου απαντήσω. Αλλά τώρα σου κάνω κάποιες ερωτήσεις. Μην φοβάσαι, δεν θα σε ρωτήσω για τα µυστικά σου, µόνο για τις βασικές γενικές αρχές. Νοµίζω ότι µπορώ να απαντήσω σε τέτοιες ερωτήσεις χωρίς να παραβώ τον όρκο µου. Πριν αρχίσω θα ήθελα να σε ρωτήσω κάτι διαφορετικό. Γιατί είναι τόσο σηµαντικό για σένα να αποδεχθούν τις ιδέες σου σχετικά µε την χρησιµότητα των µαθηµατικών; Πιθανά ήµουν ανόητος, αλλά σκέφτηκα πως µπορούσα να αλλάξω την πορεία της ιστορίας. Λυπόµουν για το µέλλον του Ελληνικού κόσµου. Σκεφτόµουν πως αν εφαρµόζαµε τα µαθηµατικά σε µια ευρεία κλίµακα - στο κάτω κάτω τα µαθηµατικά είναι Ελληνική εφεύρεση, και πιστεύω το καλύτερο επίτευγµα του Ελληνικού πνεύµατος- θα µπορούσαµε να σώζαµε τον Ελληνικό τρόπο ζωής. Τώρα φοβούµαι ότι είναι πολύ αργά. Οι Ρωµαίοι κατακτούν όχι µόνο τις Συρακούσες αλλά όλες τις άλλες Ελληνικές πόλεις. Τελειώσαµε. Ακόµη κι αν είναι έτσι τα πράγµατα, η Ελληνικός µας πολιτισµός δεν θα χαθεί. Οι Ρωµαίοι θα τον ενστερνιστούν. Δες πως προσπαθούν να µας µιµηθούν ήδη. Αντιγράφουν τα αγάλµατά µας, µεταφράζουν την λογοτεχνία µας κι εσύ βλέπεις τον Μάρκελλο να ενδιαφέρεται για τα µαθηµατικά σου. Οι Ρωµαίοι ποτέ πραγµατικά δεν θα τα καταλάβουν.είναι τόσο πρακτικοί στο µυαλό που δεν ενδιαφέρονται για αφηρηµένες ιδέες. Ενδιαφέρονται βέβαια για την πρακτική τους εφαρµογή. Αλλά αυτά τα πράγµατα δεν µπορούν να διαχωριστούν. Κάποιος πρέπει να είναι ο οραµατιστής, ο άνθρωπος που θα ονειρεύεται τους τρόπους εφαρµογής των µαθηµατικών µε πραγµατική επιτυχία. Αυτό ακούγεται µάλλον παράδοξο. Σκέφτοµαι ότι για να εφαρµόσει κανείς τα µαθηµατικά θα πρέπει πρώτα από όλα να έχει µια καλή πρακτική αίσθηση. Αυτό µε οδηγεί στην πρώτη µου ερώτηση. Τι πραγµατικά είναι το µυστικό της νέας επιστήµης που εφεύρες ας την πούµε εφαρµοσµένα µαθηµατικά; Και ποια είναι η ουσιαστική διαφορά ανάµεσα στα δικά σου εφαρµοσµένα µαθηµατικά και αυτό το είδος µαθηµατικών ας το πούµε καθαρά µαθηµατικά που διδάσκονται στα σχολεία; 5

6 Λυπούµαι που θα σε απογοητεύσω. Δεν υπάρχει άλλο είδος µαθηµατικών από αυτά που σου έµαθαν οι δάσκαλοί σου, και όχι χωρίς επιτυχία θα έλεγα. Εφαρµοσµένα µαθηµατικά σαν µια τέχνη διαφορετική και ξεχωριστή από τα µαθηµατικά που ξέρεις δεν υπάρχουν! Το µυστικό µου λοιπόν είναι πολύ καλά κρυµµένο γιατί δεν είναι ακριβώς µυστικό. Είναι πολύ φανερό αλλά µεταµφιεσµένο. Είναι κρυµµένο όπως ένα χρυσό νόµισµα στην σκόνη του δρόµου. Εννοείς ότι αυτές οι υπέροχες µηχανές βασίζονται στα µαθηµατικά που ο κάθε άνθρωπος µε εκπαίδευση γνωρίζει; Τώρα ήρθες πιο κοντά στην αλήθεια. Μπορείς να µου δώσεις ένα παράδειγµα: Λοιπόν ας πάρουµε για παράδειγµα τους καθρέπτες που έκαναν τόσο καλά την δουλειά τους σήµερα. Αυτό που εγώ πολύ απλά έπρεπε να θυµάµαι ήταν µια γνωστή ιδιότητα της παραβολής: πάρε ένα σηµείο Ρ της παραβολής, ένωσε το µε την εστία και σχεδίασε από το Ρ µια ευθεία που είναι παράλληλη µε τον άξονα. Αυτές οι δύο ευθείες σχηµατίζουν ίσες γωνίες µε την εφαπτοµένη της παραβολής στο σηµείο Ρ. Μπορείς να βρεις αυτό το θεώρηµα στα βιβλία των διακεκριµένων συνεργατών µου στην Αλεξάνδρεια. Είναι δύσκολο να πιστέψει κανείς ότι κατέστρεψες τον µισό στόλο του Μάρκελλου µε αυτό το θεώρηµα που είναι ένα από τις εκατοντάδες παρόµοιες γεωµετρικές προτάσεις. Το θυµάµαι αµυδρά αν και έχω ξεχάσει την απόδειξή του. Πιθανά αν ακούσεις µια από τις ευφυείς αποδείξεις του θα το κατανοήσεις και πιθανά ακόµη να θαυµάσεις την οµορφιά και την κοµψότητα, αλλά αυτό είναι όλο. Μερικοί µαθηµατικοί πήγαν ακόµα ένα βήµα πιο πέρα. Εξερεύνησαν µερικά από τα καθαρά γεωµετρικά συµπεράσµατα ή επινόησαν νέες αποδείξεις, αλλά σταµάτησαν εδώ.. Εγώ απλά πήγα ένα βήµα παρακάτω. Κοίταξα επίσης στα µη- µαθηµατικά συµπεράσµατα. Σκέφτοµαι ότι ανακάλυψες κάποιον νέο νόµο της οπτικής. Η οπτική τελικά δεν είναι τίποτα άλλο από έναν κλάδος της γεωµετρίας. Αυτό που χρησιµοποίησα από την οπτική, ήταν ο νόµος της ανάκλασης µιας ακτίνας που είναι γνωστός εδώ και πολύ καιρό. Εννοείς πως για να εφαρµόσει κανείς τα µαθηµατικά δεν χρειάζεται να καταλήξει σε νέα συµπεράσµατα, αλλά µόνο να ταιριάξει ένα πρακτικό πρόβληµα µαζί µε το µαθηµατικό του συµπλήρωµα, κάτι σαν µαθηµατική πρόταση; Όχι, δεν είναι ακριβώς τόσο απλό. Αυτό συχνά συµβαίνει όταν το θεώρηµα που κάποιος χρειάζεται δεν υπάρχει και έτσι πρέπει να το βρει και να το αποδείξει µόνος του. Αλλά ακόµη και αν αυτό δεν είναι απαραίτητο, να βρεις το µαθηµατικό συµπλήρωµα όπως το λες (θα προτιµούσα να το λέγαµε µαθηµατικό µοντέλο) ενός πρακτικού προβλήµατος δεν είναι το ίδιο όπως ταιριάζουν τα γάντια. Πρώτα από όλα µπορεί κανείς να κατασκευάσει πολλά µαθηµατικά µοντέλα για το 6

7 ίδιο πρακτικό πρόβληµα και να επιλέξει το πιο κατάλληλο, αυτό που ταιριάζει όσο γίνεται σ αυτό που ο στόχος απαιτεί (ποτέ δεν µπορεί να ταιριάζει τελείως). Ταυτόχρονα, να µην είναι πολύ περίπλοκο, αλλά όµως να είναι µαθηµατικά εφικτό. Αυτά είναι βέβαια αλληλοσυγκρουόµενα και µια λεπτεπίλεπτη ισορροπία και των δύο συνήθως απαιτείται. Πρέπει να προσεγγίσεις εκ του σύνεγγυς την πραγµατική κατάσταση που είναι από κάθε άποψη σηµαντική για τους σκοπούς σου, παραµερίζοντας οτιδήποτε δεν είναι σηµαντικό για τους πραγµατικούς σου στόχους. 'Ένα µοντέλο δεν χρειάζεται να είναι από κάθε άποψη όµοιο µε την πραγµατικότητα την οποία σχηµατοποιεί. Αρκεί να µοιάζει από τις απόψεις που πραγµατικά έχουν σηµασία. Εξ άλλου, τα ίδιο µαθηµατικό µοντέλο µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να προσαρµοστεί σε εντελώς διαφορετικές πρακτικές καταστάσεις. Για παράδειρα, χρησιµοποίησα επίσης τις ιδιότητες των παραβολών για να κατασκευάσω καταπέλτες, γιατί ή τροχιά µιας πέτρας, που ρίχνεται άπα έναν καταπέλτη, µπορεί να προσεγγιστεί αρκετά ικανοποιητικά από µια παραβολή. Χρησιµοποίησα και πάλι τις παραβολές, για να υπολογίσω πόσο βαθιά θα βυθισθεί ένα πλοίο µέσα στη θάλασσα κάτω απ' το βάρος του φορτίου του. Βέβαια, ή κάθετη τοµή ενός πλοίου δεν έχει ακριβώς παραβολική µορφή, αλλά ένα περισσότερο ρεαλιστικό µοντέλο δεν θα ήταν µαθηµατικά εύχρηστο. Τ' αποτελέσµατα ωστόσο ήταν σε αρκετά καλή συµφωνία µε τα γεγονότα. Συγκεκριµένα, ήµουν σε θέση να βρω κάτω από ποιες συνθήκες ένα πλοίο θα µπορούσε να παραµείνει όρθιο, όταν χτυπιόταν απ' τον άνεµο και τα κύµατα, επειδή το κέντρο βάρους του τείνει να βρεθεί στην βαθύτερη δυνατή θέση. Στην προσπάθεια να περιγράψω µια τέτοια περίπλοκη κατάσταση, ακόµα και ένα πολύ χοντρικό µοντέλο µπορεί να είναι χρήσιµο, γιατί δίνει τουλάχιστον ποιοτικά σωστά αποτελέσµατα, και αυτά µπορεί να έχουν ακόµα µεγαλύτερη πρακτική σηµασία απ' ση τα ποσοτικά. Ή πείρα µου δίδαξε ότι ακόµα κι ένα ακατέργαστο µαθηµατικό µοντέλο µπορεί να µας βοηθήσει να καταλάβουµε καλύτερα µια πρακτική κατάσταση, γιατί στην προσπάθεια να µορφώσουµε ένα µαθηµατικό µοντέλο, αναγκαζόµαστε να σκεφτούµε πάνω σ' όλες τις λογικές δυνατότητες, να ορίσουµε όλες τις έννοιες µε σαφήνεια και χωρίς διφορούµενα και να ξεχωρίσουµε τους πρωτεύοντες απ' τους δευτερεύοντες παράγοντες. Ακόµα κι αν ένα µαθηµατικό µοντέλο οδηγεί σε αποτελέσµατα, που δεν είναι σύµφωνα µε τα γεγονότα, µπορεί να είναι χρήσιµο γιατί η αποτυχία ενός µοντέλου µπορεί να µας βοηθήσει να βρούµε ένα καλύτερο. Μου φαίνεται πως τα εφαρµοσµένα µαθηµατικά µοιάζουν µε τις εχθροπραξίες: µερικές φορές η ήττα είναι πιο πολύτιµη από την νίκη, γιατί µας βοηθά να αξιολογήσουµε την ανεπάρκεια των στρατευµάτων µας και την στρατηγική µας. Τώρα έχεις πραγµατικά αγκαλιάσει το ουσιώδες σηµείο. Πες µου κάτι περισσότερο για τα κάτοπτρά σου. Σου έχω πει ήδη την βασική ιδέα. Αφού ανακάλυψα την ιδέα να χρησιµοποιήσω την ιδιότητα της παραβολής που σου εξήγησα, είχα να απαντήσω στην ερώτηση του πώς να τρίψω και να γυαλίσω το µέταλλο σε µια µορφή κοίλου παραβολοειδούς εκ περιστροφής, αλλά προτιµώ να µην µιλήσω γι αυτό. Βέβαια είχα επίσης να επιλέξω το κατάλληλο µίγµα µετάλλων. 7

8 Χωρίς να µπαίνω στα µυστικά σου είναι προφανές ότι εκτός από τις ιδιότητες της παραβολής έπρεπε να ξέρεις αρκετά σχετικά µε τα µέταλλα και την τέχνη της επεξεργασίας τους. Αυτό δείχνει, έτσι τουλάχιστον µου φαίνεται, πως η γνώση των µαθηµατικών δεν είναι αρκετή αν κανείς θέλει να τα εφαρµόσει. Κάποιος που θέλει να εφαρµόσει τα µαθηµατικά, δεν είναι στην ίδια θέση µε αυτόν που θέλει να ιππεύσει δύο άλογα την ίδια στιγµή; Θα αλλάξω την παροµοίωσή σου: αυτός που θέλει να εφαρµόσει τα µαθηµατικά είναι όπως έναν άνθρωπο που θέλει να προσδέσει δύο άλογα στην άµαξα του. Δεν είναι δύσκολο να το κάνει. Κάποιες γνώσεις από τα άλογα και κάποιες από την άµαξα χρειάζονται, αλλά κάθε αµαξάς έχει µια τέτοια γνώση. Τώρα είµαι τελείως µπερδεµένος.: κάθε φορά που σκέπτοµαι ότι τα εφαρµοσµένα µαθηµατικά είναι µυστηριώδη, µου δείχνεις ότι είναι πραγµατικά πολύ απλά. Αλλά κάθε φορά που είµαι πεπεισµένος ότι το όλο πράγµα είναι απλό, µου επισηµαίνεις ότι είναι πολύ πιο πολύπλοκο από όσο το φαντάστηκα. σύνθετες. Οι αρχές είναι προφανείς, οι λεπτοµέρειες είναι µερικές φορές Δεν µπορώ ακόµα να καταλάβω τι εννοείς µε τον όρο µαθηµατικό µοντέλο. Πες µου περισσότερα γι αυτό. Θυµάσαι την σφαίρα που κατασκεύασα πριν µερικά χρόνια για να µιµηθώ τις κινήσεις του ήλιου, του φεγγαριού και των πέντε πλανητών, αυτό µε το οποίο ήταν δυνατό να δείξω πως συµβαίνει η έκλειψη του ήλιου και του φεγγαριού; Φυσικά, είναι ένα από τα πράγµατα στο παλάτι µου που έχω δείξεi σε όλους τους επισκέπτες. Όλοι το θεώρησαν υπέροχο. Αυτό είναι ένα µαθηµατικό µοντέλο του κόσµου; Όχι, θα το έλεγα ένα φυσικό µοντέλο. Τα µαθηµατικά µοντέλα είναι αόρατα, υπάρχουν µόνο µέσα στο µυαλό µας, και µπορούν να εκφραστούν µόνο µε τύπους. Ένα µαθηµατικό µοντέλο του κόσµου είναι αυτό που είναι κοινό µε τον πραγµατικό κόσµο και το φυσικό µου µοντέλο. Στο φυσικό µοντέλο, για παράδειγµα, κάθε πλανήτης είναι µια µικρή µπάλα στο µέγεθος ενός πορτοκαλιού. Στο µαθηµατικό µοντέλο οι πλανήτες αναπαριστώνται απλά µε σηµεία. Νοµίζω ότι αρχίζω να καταλαβαίνω τι εννοείς µε το µαθηµατικό µοντέλο. Αλλά ας γυρίσουµε στην παροµοίωση µε τα άλογα. Η τέχνη της ζεύξης των αλόγων στην άµαξα και η οδήγησή της είναι λίγο διαφορετικό από την ανατροφή και την ανάπτυξη των ζώων. Η τέχνη των εφαρµοσµένων µαθηµατικών δεν είναι λίγο ξεχωριστή από αυτήν της εύρεσης και απόδειξης των θεωρηµάτων; Για τα άλογα είσαι σωστός, αν και ο άνθρωπος που έχει αναθρέψει ένα άλογο συνήθως ξέρει τα περισσότερα γι αυτό και µπορεί να το οδηγήσει καλύτερα από οποιονδήποτε. Σε σχέση µε τα µαθηµατικά τώρα, σου έδειξα 8

9 προηγούµενα ότι για να µπορέσει κανείς να τα εφαρµόσει µε επιτυχία πρέπει να έχει µια βαθιά γνώση και αν κανείς θέλει να τα εφαρµόσει σε ένα πρωτότυπο πεδίο θα πρέπει να είναι ένας δηµιουργικός µαθηµατικός. Αντίστροφα η εµπλοκή µε εφαρµογές µπορεί να βοηθήσει στην καθαρή µαθηµατική έρευνα. παράδειγµα; Πως είναι αυτό δυνατό; Μπορείς να µου δώσεις ένα Πιθανά να θυµάσαι ότι πριν από λίγο καιρό ενδιαφερόµουν πολύ να απαντήσω σε ένα ερώτηµα της µηχανικής που αφορούσε το κέντρο βάρους ενός σώµατος. Τα αποτελέσµατα τα οποία αποκόµισα µε βοήθησαν να στήσω µηχανές και αυτές µε την σειρά τους µε βοήθησαν να αποδείξω νέες γεωµετρικές προτάσεις. Έχω αναπτύξει µια παράξενη µέθοδο που αποτελείται από υπό εξέταση γεωµετρικά προβλήµατα µε µηχανικές µελέτες που αφορούν τα κέντρα βάρους. Αυτή η µέθοδος είναι ευρετικού τύπου δηλαδή δεν µπορεί να παραγάγει ακριβείς αποδείξεις. Πολλά θεωρήµατα γινόταν καθαρά σε µένα χρησιµοποιώντας αυτή την µέθοδο του συλλογισµού. Βέβαια όσο η µέθοδος δεν παράγει ακριβή αποτελέσµατα συνέχιζα να αποδείχνω τα θεωρήµατα, που είχα εικάσει µε την µηχανική µου µέθοδο, µε παραδοσιακές γεωµετρικές µεθόδους. Είναι πολύ πιο εύκολο να υποστηρίξεις την απόδειξη, αν κάποιος προηγούµενα είχε αποκτήσει κάποια γνώση της ερώτησης µέσω µηχανικών αναλογιών και έτσι να γνωρίζει τι πρέπει να αποδειχθεί. Πες µου ένα θεώρηµα που έχεις βρει µε αυτόν το παράξενο τρόπο Το εµβαδόν οποιουδήποτε τµήµατος µιας παραβολής είναι τα τέσσερα τρίτα της επιφάνειας του τριγώνου που έχει την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Αφού βρήκα το αποτέλεσµα µε την δική µου µέθοδο, στην συνέχεια βρήκα και µια απόδειξη µε παραδοσιακό τρόπο. Αν βρήκες την απόδειξη του θεωρήµατος µε µηχανική, γιατί σκοτίστηκες για την γεωµετρική απόδειξη; Όταν στην αρχή ανακάλυψα την µέθοδό µου, τα αποτελέσµατα στα οποία κατέληγα µε την βοήθειά της δεν ήταν πάντα σωστά. Στην συνέχεια αναλύοντας τις περιπτώσεις που µε παραπλανούσε, την ανέπτυξα τόσο πολύ ώστε τώρα να µην µε παραπλανά ποτέ. Αλλά ακόµα δεν µπορώ να αποδείξω ότι κάθε αποτέλεσµα που παίρνω µε αυτό τον τρόπο είναι πραγµατικά σωστό. Πιθανά κάποιος να το αποδείξει αυτό κάποια µέρα, αλλά για την ώρα δεν έχω απόλυτη εµπιστοσύνη στην µέθοδο. 9

10 Αλλά είναι οι ακριβείς αποδείξεις, πραγµατικά απαραίτητες στα εφαρµοσµένα µαθηµατικά; Μετά από όλα αυτά το µαθηµατικό µοντέλο είναι µόνο µια προσέγγιση της πραγµατικότητας. Αν χρησιµοποιείς προσεγγιστικά σωστούς τύπους, τα αποτελέσµατά σου θα προσεγγίζουν πολύ την πραγµατικότητα και δεν θα είναι ποτέ απόλυτα σωστά. Κάνεις λάθος Βασιλιά µου. Ακριβώς επειδή το µαθηµατικό µοντέλο είναι µόνο µια προσέγγιση και υπάρχει πάντα µια ασυµφωνία µε τα γεγονότα, θα πρέπει να φροντίσουµε ώστε αυτή η ασυµφωνία να µην µεγαλώσει περισσότερο µε την σωστή χρήση των µαθηµατικών. Θα πρέπει κανείς να είναι όσο το δυνατόν ακριβής. Και µια και το έφερε η κουβέντα για τις προσεγγίσεις, υπάρχει µια κοινή παρεξήγηση ότι χρησιµοποιώντας προσεγγίσεις αποχωρείς από την µαθηµατική ακρίβεια. Οι προσεγγίσεις έχουν µια ακριβή θεωρία, και αποτελέσµατα σχετικά µε προσεγγίσεις για παράδειγµα, ανισώσεις πρέπει να αποδείχνονται τόσο αυστηρά όσο οι ταυτότητες. Πιθανά να θυµάσαι τις προσεγγίσεις που έδωσα για την επιφάνεια του κύκλου, όταν δίνεται η διάµετρος. Το απέδειξα µε αυστηρή χρήση της γεωµετρίας. µέθοδος; Σε ποια άλλα αποτελέσµατα σε οδήγησε η µηχανική σου Αυτή η µέθοδος µε οδήγησε να ανακαλύψω ότι ο όγκος µιας σφαίρας είναι τα δύο τρίτα του όγκου του περιγεγραµµένου κυλίνδρου. Σ έχω ακούσει να λες ότι θα ήθελες όταν πεθάνεις αυτό το θεώρηµα να χαραχθεί στον τάφο σου. Αυτό σηµαίνει ότι το θεωρείς το πιο αξιοσηµείωτο συµπέρασµα; Θεωρώ ότι η µέθοδος από µόνη της είναι περισσότερο ενδιαφέρουσα από κάθε επί µέρους αποτέλεσµα στο οποίο µπορώ να οδηγηθώ µε την βοήθειά της. Θυµάσαι τι σου είπα κάποτε µιλώντας για τους µοχλούς: «Δώσε µου ένα τόπο να σταθώ και µπορώ να κινήσω την γη»; Βεβαίως δεν υπάρχει τέτοιο σηµείο στον κόσµο. Εν τούτοις στα µαθηµατικά κάποιος µπορεί να έχει ένα τέτοιο σταθερό σηµείο για να βασίζεται, τα αξιώµατα και την λογική. Για να εφαρµόσεις τα 10

11 µαθηµατικά σε προβλήµατα του πραγµατικού κόσµου σηµαίνει να µετακινήσεις την γη από ένα σταθερό σηµείο των µαθηµατικών. Πάντα µου µιλάς για εφαρµοσµένα µαθηµατικά αλλά όλα τα παραδείγµατα που µου δίνεις είναι εφαρµογές της γεωµετρίας. Όσον αφορά τη γεωµετρία, µπορώ τώρα να δω πως µπορεί να εφαρµοστεί. Για παράδειγµα η λειτουργικότητα µιας µηχανής εξαρτάται από την µορφή και το µέγεθος των στοιχείων που την απαρτίζουν. Η τροχιά µιας πέτρας που ρίχνει ο καταπέλτης σου είναι µια καµπύλη, κατά προσέγγιση µια παραβολή όπως είπες. Αλλά τι συµβαίνει µε άλλους κλάδους των µαθηµατικών όπως λόγου χάριν η θεωρία αριθµών. Δύσκολα µπορώ να φανταστώ ότι µπορεί να έχει κάποιο πρακτικό ενδιαφέρον. Βεβαίως δεν µιλώ για τα στοιχεία της αριθµητικής που ξεκάθαρα χρησιµοποιούνται σε κάθε είδος υπολογισµού. Εννοώ πράγµατα όπως η διαιρετότητα, οι πρώτοι αριθµοί, το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο και άλλα παρόµοια. Λοιπόν, αν συνδέσεις δυο γρανάζια το καθένα µε διαφορετικό αριθµό δοντιών το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο έρχεται αναπόφευκτα. Σε πείθει αυτό το απλό παράδειγµα; Πρόσφατα πήρα ένα γράµµα από τον φίλο µου τον Ερατοσθένη τον Κυρηναίο, που µου έγραφε σχετικά µε µια απλή αλλά ευφυή µέθοδο την έλεγε κόσκινο την οποία επινόησε για να βρίσκει τους πρώτους αριθµούς. Σκέψου σχετικά µε αυτή την µέθοδο. Έκανα ένα σχέδιο µιας µηχανής που υλοποιεί την ιδέα. Αυτή η µηχανή λειτουργεί µε ένα σύνολο γραναζιών. Όταν το γυρίσεις ας πούµε n φορές και κοιτάξεις στην τρύπα εάν η θέα είναι ανοικτή ο αριθµός n είναι πρώτος. Αλλά αν η θέα είναι κλειστή τότε ο n είναι σύνθετος. Αυτό είναι πραγµατικά τρελό. Όταν ο πόλεµος τελειώσει, πρέπει να κατασκευάσεις την µηχανή. Θα αρέσει στους επισκέπτες µου. Αν είµαι στη ζωή. Τότε σίγουρα θα το κάνω. Αυτό θα δείχνει ότι οι µηχανές µπορούν να λύνουν µαθηµατικά προβλήµατα. Πιθανά να βοηθήσει τους µαθηµατικούς να κατανοήσουν πως ακόµα και από την δική τους σκοπιά µπορούν κάτι να κερδίσουν µελετώντας την σχέση µαθηµατικών και µηχανών. Μιλώντας για κέρδη, θα θυµηθώ µια ιστορία σχετικά µε τον Ευκλείδη. Ένας από τους µαθητές του µελετώντας γεωµετρία τον ρώτησε.» Τι θα κερδίσω µαθαίνοντας αυτά τα πράγµατα;». Αµέσως ο Ευκλείδης κάλεσε τον δούλο του και είπε. «Δώσε του ένα νόµισµα, αφού θέλει να κερδίσει από αυτό που µαθαίνει.» Μου φαίνεται πως αυτή η ιστορία δείχνει τον Ευκλείδη να σκέφτεται πως δεν είναι απαραίτητο για έναν µαθηµατικό να σκοτίζεται για την πρακτική χρήση των αποτελεσµάτων του. Φυσικά και έχω ακούσει αυτό το ανέκδοτο, αλλά θα εκπλαγείς αν σου πω ότι συµφωνώ απόλυτα µε τον Ευκλείδη. Κι εγώ το ίδιο θα έλεγα σε κάτι παρόµοιο. Τώρα µπερδεύτηκα ξανά. Μέχρι τώρα µιλούσες µε ενθουσιασµό για τις εφαρµογές των µαθηµατικών, και τώρα συµφωνείς µε τους καθαρολόγους που σκέφτονται πως η µόνη ανταµοιβή που ένας επιστήµονας προσδοκά είναι η ευχαρίστηση της γνώσης. 11

12 Νοµίζω ότι εσύ και πολλοί άλλοι έχετε παρανοήσει την ιστορία µε τον Ευκλείδη. Δεν σηµαίνει ότι δεν ενδιαφέρεται για τα πρακτικά συµπεράσµατα των µαθηµατικών και τα θεωρεί ανάξια για έναν φιλόσοφο. Αυτό είναι καθαρά εκτός λογικής. Έχει γράψει όπως πολύ καλά γνωρίζεις το βιβλίο µε τίτλο Φαινόµενα, σχετικά µε την αστρονοµία και ένα βιβλίο στην οπτική και επίσης πιθανότατα είναι ο συγγραφέας του βιβλίου Κάτοπτρα που χρησιµοποίησα για την κατασκευή των κατόπτρων, είχε επίσης ενδιαφερθεί για την µηχανική. Όπως εγώ καταλαβαίνω την ιστορία ο Ευκλείδης ήθελε να δώσει έµφαση στο αξιοσηµείωτο γεγονός πως τα µαθηµατικά ανταµείβουν µόνο όσους ενδιαφέρονται γι αυτά, όχι µόνο για την ανταµοιβή αλλά και για τα ίδια τα µαθηµατικά. Τα µαθηµατικά είναι όπως την κόρη σου την Ελένη, που υποψιάζεσαι κάθε φορά έναν µνηστήρα που εµφανίζεται ότι δεν την αγαπάει πραγµατικά, αλλά ενδιαφέρεται µόνο και µόνο γιατί θέλει να γίνει γαµπρός του βασιλιά. Εκείνη θέλει έναν άνδρα να την αγαπάει για την οµορφιά της, την εξυπνάδα και την γοητεία της και όχι για τα πλούτη και την δύναµη που θα αποκτήσει αν την παντρευτεί. Έτσι και τα µαθηµατικά αποκαλύπτουν τα µυστικά τους µόνο σ εκείνους που τα προσεγγίζουν µε καθαρή αγάπη για την οµορφιά τους. Αυτοί που το κάνουν βέβαια ανταµείβονται µε αποτελέσµατα πρακτικού ενδιαφέροντος. Αλλά αν κάποιος ρωτά σε κάθε βήµα «Τι µπορώ να κερδίσω από αυτό;, δεν θα πάει πολύ µακριά. Θυµάσαι ότι σου έχω πει ότι οι Ρωµαίοι ποτέ δεν θα πετύχουν πραγµατικά να εφαρµόσουν τα µαθηµατικά. Λοιπόν τώρα βλέπεις το γιατί. Είναι τόσο πρακτικοί άνθρωποι στην σκέψη. Νοµίζω ότι θα έπρεπε να µάθουµε από τους Ρωµαίους, Τότε θα είχαµε καλύτερες ευκαιρίες να τους πολεµήσουµε. Δεν συµφωνώ. Αν προσπαθούσαµε να κερδίσουµε παραδίνοντας τις ιδέες που µας καθορίζουν, και µιµούµενοι τους αντιπάλους µας, θα είχαµε χάσει πριν καν οι εχθροπραξίες αρχίσουν. Ακόµη και αν κερδίζαµε τον πόλεµο µε αυτό τον τρόπο δεν θα άξιζε τον κόπο. Μια τέτοια νίκη είναι χειρότερη από την ήτα. Ας µην συνεχίσουµε την κουβέντα µας µε τον πόλεµο. Ας γυρίσουµε στα µαθηµατικά. Πες µου, πως κατασκευάζεις τα µαθηµατικά σου µοντέλα; Είναι δύσκολο να σου το εξηγήσω µε γενικούς όρους. Πιθανά µια παροµοίωση να βοηθήσει. Ένα µαθηµατικό µοντέλο ενός πραγµατικού προβλήµατος είναι κάτι σαν την σκιά του στην οθόνη του µυαλού. Μου φαίνεται πως η φιλοσοφία σου είναι ακριβώς αντίθετη από του Πλάτωνα. Εκείνος λέει ότι τα αληθινά πράγµατα είναι οι σκιές των ιδεών, ενώ αν καλά κατάλαβα την έννοια αυτών που είπες, εσύ λες πως οι ιδέες είναι οι σκιές της πραγµατικότητας. Οι δύο απόψεις δεν απέχουν πολύ µεταξύ τους όπως φαίνεται. Ο Πλάτωνας µπερδευόταν από την αντιστοιχία ανάµεσα στις µαθηµατικές ιδέες και την πραγµατικότητα, και σκέφτηκε πως το βασικό καθήκον της φιλοσοφίας είναι να εξηγήσει αυτή την αντιστοιχία. Μέχρι αυτό το σηµείο συµφωνώ µαζί του πλήρως. Δεν συµφωνώ µε την εξήγηση που δίνει, αλλά τουλάχιστον βλέπει το πρόβληµα καθαρά και προσπαθεί να επεξεργαστεί µια από τις λογικά πιθανές απαντήσεις. Αλλά 12

13 νοµίζω ότι πρέπει να αφήσουµε την φιλοσοφία και να γυρίσουµε στα γεγονότα της ζωής κάποιος χτυπάει την πόρτα. Θα ανοίξω. Άσε θα το κάνω εγώ. Πρέπει να είναι ο απεσταλµένος µε την απάντηση του Μάρκελλου. Εδώ είναι το µήνυµα. Ποια είναι η απάντηση; Διάβασέ την µόνος σου. Να δώ. «Ο Μάρκελλος στέλνει τους χαιρετισµούς του στον Βασιλέα Ιέρωνα και αναγγέλλει ότι θα κατακτήσει τις Συρακούσες πριν το καινούργιο φεγγάρι. Τότε ο Βασιλιάς Ιέρων θα αντιληφθεί ότι ένας Ρωµαίος κρατά το λόγο του» Τώρα τι σκέφτεσαι γι αυτό; Τα Ελληνικά του δεν είναι και τόσο χάλια. Όσον αφορά το περιεχόµενο κάπως έτσι το περίµενα. Πραγµατικά η πρόβλεψή σου ήταν τόσο σωστή, σαν να την βρήκες µε την µέθοδό σου. Τουλάχιστον ξέρουµε τι να περιµένουµε. Πρέπει να πηγαίνω, χρειάζοµαι λίγο ύπνο. Αύριο έχουµε να προετοιµαστούµε για µια καινούρια επίθεση. Σ ευχαριστώ γι αυτήν την ενδιαφέρουσα συζήτηση. Την ευχαριστήθηκα πολύ. Δεν έχω συχνά την ευκαιρία να µιλώ για µαθηµατικά στην εποχή µας. Ευχαριστώ και πάλι για τον υπέροχο δίσκο. Χαίροµαι που σου αρέσει. Καληνύχτα φίλε µου. Νοµίζω ότι κι εσύ χρειάζεσαι ξεκούραση. Καληνύχτα βασιλιά µου. Δεν θα κοιµηθώ ακόµα. Θέλω να τελειώσω ένα γράµµα στον φίλο µου τον Δοσίθεο σχετικά µε τα τελευταία µου συµπεράσµατα. Τώρα που ο Ρωµαϊκός στόλος έφυγε, θα υπάρξουν σίγουρα πλοία που θα φύγουν αύριο από το λιµάνι, αλλά πιθανά από µεθαύριο οι Ρωµαίοι θα κάνουν αποκλεισµό ξανά. Θέλω να αξιοποιήσω αυτή την ευκαιρία. Πιθανά να είναι και η τελευταία. Από τους Διαλόγους στα Μαθηµατικά, Alfred Renyi, σελίδες 29 έως 48 LC number QA 9.R

ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ:

ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 2007-2008 Τάξη: Γ 3 Όνομα: Η μύτη μου είναι μεγάλη. Όχι μόνο μεγάλη, είναι και στραβή. Τα παιδιά στο νηπιαγωγείο με λένε Μυτόγκα. Μα η δασκάλα τα μαλώνει: Δεν

Διαβάστε περισσότερα

Αντουάν ντε Σαιντ-Εξυπερύ. Ο Μικρός Πρίγκιπας. Μετάφραση: Μελίνα Καρακώστα. Διασκευή: Ανδρονίκη

Αντουάν ντε Σαιντ-Εξυπερύ. Ο Μικρός Πρίγκιπας. Μετάφραση: Μελίνα Καρακώστα. Διασκευή: Ανδρονίκη Αντουάν ντε Σαιντ-Εξυπερύ Ο Μικρός Πρίγκιπας Μετάφραση: Μελίνα Καρακώστα Διασκευή: Ανδρονίκη 2 Μια φορά κι έναν καιρό ήταν ένα νεαρό αγόρι, που του άρεσε πολύ να ζωγραφίζει. Μια μέρα ζωγράφισε ένα βόα

Διαβάστε περισσότερα

Η Αλφαβητοχώρα. Γιώργος Αμπατζίδης. Ελλάδα. A sea of words 5 th year

Η Αλφαβητοχώρα. Γιώργος Αμπατζίδης. Ελλάδα. A sea of words 5 th year Η Αλφαβητοχώρα Γιώργος Αμπατζίδης. Ελλάδα Η μέρα έμοιαζε συνηθισμένη στην Αλφαβητοχώρα. Ο κύριος ې διαφήμιζε τα φρέσκα λαχανικά του στο μανάβικο δείχνοντας με καμάρι πως το μαρούλι είχε ακόμα την πρωινή

Διαβάστε περισσότερα

Κείμενα Κατανόησης Γραπτού Λόγου

Κείμενα Κατανόησης Γραπτού Λόγου Κέντρο Ελληνικής Γλώσσας Πιστοποίηση Επάρκειας της Ελληνομάθειας 18 Ιανουαρίου 2013 A2 Κείμενα Κατανόησης Γραπτού Λόγου Διάρκεια Εξέτασης 30 λεπτά Διάρκεια Εξέτασης 30 λεπτά Ερώτημα 1 (7 μονάδες) Διαβάζετε

Διαβάστε περισσότερα

Το τέλος -ένας µονόλογος-

Το τέλος -ένας µονόλογος- Το τέλος -ένας µονόλογος- Γυναίκα µόνη, όµορφη, τριακονταετής. Καθιστή, µετά όρθια, πάντα µόνη. Χώρος κλειστός, ελάχιστα φωτεινός, παλιά ωραίος. Η ατµόσφαιρα έχει κάτι το πένθιµο. Το πρόσωπο κάτι το µόνιµο

Διαβάστε περισσότερα

Ο εγωιστής γίγαντας. Μεταγραφή : Γλυμίτσα Ευθυμία. Διδασκαλείο Δημοτικής Εκπαίδευσης. «Αλέξανδρος Δελμούζος»

Ο εγωιστής γίγαντας. Μεταγραφή : Γλυμίτσα Ευθυμία. Διδασκαλείο Δημοτικής Εκπαίδευσης. «Αλέξανδρος Δελμούζος» Ο εγωιστής γίγαντας Μεταγραφή : Γλυμίτσα Ευθυμία Διδασκαλείο Δημοτικής Εκπαίδευσης «Αλέξανδρος Δελμούζος» 2010-2011 Κάθε απόγευμα μετά από το σχολείο τα παιδιά πήγαιναν για να παίξουν στον κήπο του γίγαντα.

Διαβάστε περισσότερα

ALBUM ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ 2010 ΦΥΣΑΕΙ

ALBUM ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ 2010 ΦΥΣΑΕΙ ALBUM ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ 2010 ΦΥΣΑΕΙ Μη µου µιλάς γι' αυτά που ξεχνάω Μη µε ρωτάς για καλά κρυµµένα µυστικά Και µε κοιτάς... και σε κοιτώ... Κι είναι η στιγµή που δεν µπορεί να βγεί απ' το µυαλό Φυσάει... Κι είναι

Διαβάστε περισσότερα

0001 00:00:11:17 00:00:13:23. Έλα δω να δεις. 0002 00:00:13:23 00:00:15:18. Η Χλόη είναι αυτή; 0003 00:00:16:21 00:00:18:10. Ναι.

0001 00:00:11:17 00:00:13:23. Έλα δω να δεις. 0002 00:00:13:23 00:00:15:18. Η Χλόη είναι αυτή; 0003 00:00:16:21 00:00:18:10. Ναι. 0001 00:00:11:17 00:00:13:23 Έλα δω να δεις. 0002 00:00:13:23 00:00:15:18 Η Χλόη είναι αυτή; 0003 00:00:16:21 00:00:18:10 Ναι. 0004 00:01:06:17 00:01:07:17 Σου έδειξα τη φωτογραφία; 0005 00:01:07:17 00:01:10:10

Διαβάστε περισσότερα

Χάρτινη αγκαλιά. Σχολή Ι.Μ.Παναγιωτόπουλου, Β Γυμνασίου

Χάρτινη αγκαλιά. Σχολή Ι.Μ.Παναγιωτόπουλου, Β Γυμνασίου Χάρτινη αγκαλιά Σχολή Ι.Μ.Παναγιωτόπουλου, Β Γυμνασίου Εργασίες 1 α ) Κατά τη γνώμη μου, το βιβλίο που διαβάσαμε κρύβει στις σελίδες του βαθιά και πολύ σημαντικά μηνύματα, που η συγγραφέας θέλει να μεταδώσει

Διαβάστε περισσότερα

Οι αριθμοί σελίδων με έντονη γραφή δείχνουν τα κύρια κεφάλαια που σχετίζονται με το θέμα. ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑ

Οι αριθμοί σελίδων με έντονη γραφή δείχνουν τα κύρια κεφάλαια που σχετίζονται με το θέμα. ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑ Τί σε απασχολεί; Διάβασε τον κατάλογο που δίνουμε παρακάτω και, όταν συναντήσεις κάποιο θέμα που απασχολεί κι εσένα, πήγαινε στις σελίδες που αναφέρονται εκεί. Διάβασε τα κεφάλαια, που θα βρεις σ εκείνες

Διαβάστε περισσότερα

σόκ. Σιώπησε και έφυγε μετανιωμένος χωρίς να πει τίποτα, ούτε μια λέξη.» Σίμος Κάρμιος Λύκειο Λειβαδιών Σεπτέμβριος 2013

σόκ. Σιώπησε και έφυγε μετανιωμένος χωρίς να πει τίποτα, ούτε μια λέξη.» Σίμος Κάρμιος Λύκειο Λειβαδιών Σεπτέμβριος 2013 Εμπειρίες που αποκόμισα από το Διήμερο Σεμινάριο που αφορά στην ένταξη Παιδιών με Απώλεια Ακοής στη Μέση Γενική και Μέση Τεχνική και Επαγγελματική Εκπαίδευση Είχα την τύχη να συμμετάσχω στο διήμερο σεμινάριο

Διαβάστε περισσότερα

Πόλεμος για το νερό. Συγγραφική ομάδα. Καραγκούνης Τριαντάφυλλος Κρουσταλάκη Μαρία Λαμπριανίδης Χάρης Μυστακίδου Βασιλική

Πόλεμος για το νερό. Συγγραφική ομάδα. Καραγκούνης Τριαντάφυλλος Κρουσταλάκη Μαρία Λαμπριανίδης Χάρης Μυστακίδου Βασιλική Πόλεμος για το νερό Συγγραφική ομάδα Καραγκούνης Τριαντάφυλλος Κρουσταλάκη Μαρία Λαμπριανίδης Χάρης Μυστακίδου Βασιλική 3 ο Δημοτικό Σχολείο Ωραιοκάστρου Τάξη ΣΤ1 Θεσσαλονίκη 2006 ΠΟΛΕΜΟΣ ΓΙΑ ΤΟ ΝΕΡΟ Άκουγα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ ΜΑΣ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΙΣΘΗΜΑΤΩΝ ΜΙΑ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΠΕΤΕΙΑ

ΤΟ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ ΜΑΣ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΙΣΘΗΜΑΤΩΝ ΜΙΑ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΠΕΤΕΙΑ ΤΟ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ ΜΑΣ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΙΣΘΗΜΑΤΩΝ ΜΙΑ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΠΕΤΕΙΑ Με τους μαθητές τις μαθήτριες και τη δασκάλα της P2ELa 2013-2014 Η ΑΝΑΧΩΡΗΣΗ- ΟΙ ΣΤΟΧΟΙ Μια μέρα ξεκινήσαμε από τις Βρυξέλλες

Διαβάστε περισσότερα

«Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;»

«Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;» «Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;» Οπου (Α) ο καλούµενος - χρήστης της υπ' αριθ. 698... (µέλος της Χ.Α.) Οπου (Β) ο καλών Ηµεροµηνία: 20/09/2013 Εναρξη: 22:12':00''

Διαβάστε περισσότερα

Θα σε βοηθούσε για παράδειγμα να γράψεις και εσύ μια λίστα με σκέψεις σαν αυτή που έκανε η Ζωή και εμφανίστηκε ο «Αγχολέων»!

Θα σε βοηθούσε για παράδειγμα να γράψεις και εσύ μια λίστα με σκέψεις σαν αυτή που έκανε η Ζωή και εμφανίστηκε ο «Αγχολέων»! Η Ζωή είναι 8 χρονών και πριν 3 χρόνια ο παιδιάτρος και οι γονείς της, της εξήγησαν πως έχει Νεανική Ιδιοπαθή Αρθρίτιδα. Από τότε η Ζωή κάνει όλα αυτά που τη συμβούλεψε ο παιδορευματολόγος της και είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ο Απόλυτος Τρόπος Για Να Εκμεταλλευτείς Το Internet

Ο Απόλυτος Τρόπος Για Να Εκμεταλλευτείς Το Internet ΕΙΔΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ Ο Απόλυτος Τρόπος Για Να Εκμεταλλευτείς Το Internet Κυριαρχία Μέσω Internet Ταμπακάς Γεώργιος ΚΥΡΙΑΡΧΙΑ ΜΕΣΩ INTERNET Μία «Επαναστατική» Μέθοδος και ένας Super Επικερδής και Αυτοματοποιημένος

Διαβάστε περισσότερα

LET S DO IT BETTER improving quality of education for adults among various social groups

LET S DO IT BETTER improving quality of education for adults among various social groups INTERVIEWS REPORT February / March 2012 - Partner: Vardakeios School of Hermoupolis - Target group: Immigrants, women 1 η συνέντευξη Από την Αλβανία Το 2005 Η γλώσσα. Ήταν δύσκολο να επικοινωνήσω με τους

Διαβάστε περισσότερα

Λένα Μαντά : «Προσπαθώ να μην πονέσω κάποιον, παρά να του οφείλω μια συγνώμη»

Λένα Μαντά : «Προσπαθώ να μην πονέσω κάποιον, παρά να του οφείλω μια συγνώμη» Λένα Μαντά : «Προσπαθώ να μην πονέσω κάποιον, παρά να του οφείλω μια συγνώμη» Συνέντευξη στην Ελευθερία Καμπούρογλου Το «Μια συγνώμη για το τέλος» είναι η νέα συγγραφική δουλειά της Λένας Μαντά, που μόλις

Διαβάστε περισσότερα

«ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012

«ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012 «ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012 1 ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ; Γράφει ο Ηλίας Δερμετζής «Τη ζωή μου χωρίς αριθμούς δεν μπορώ να τη φανταστώ,

Διαβάστε περισσότερα

Ο Τόμπυ και οι Μέλισσες

Ο Τόμπυ και οι Μέλισσες Ο Τόμπυ και οι Μέλισσες Είναι άνοιξη και, όπως και πέρυσι, ο Τόμπυ επισκέπτεται τον θείο του στο αγρόκτημα. «Επιτέλους, έχω διακοπές!» φωνάζει ο Τόμπυ. Ανυπομονεί να ξαναδεί την αγαπημένη του αγελάδα,

Διαβάστε περισσότερα

e-seminars Εξυπηρετώ 1 Επαγγελματική Βελτίωση Seminars & Consulting, Παναγιώτης Γ. Ρεγκούκος, Σύμβουλος Επιχειρήσεων Εισηγητής Ειδικών Σεμιναρίων

e-seminars Εξυπηρετώ 1 Επαγγελματική Βελτίωση Seminars & Consulting, Παναγιώτης Γ. Ρεγκούκος, Σύμβουλος Επιχειρήσεων Εισηγητής Ειδικών Σεμιναρίων e-seminars Πρωτοποριακή Συνεχής Επαγγελματική και Προσωπική Εκπαίδευση Επαγγελματική Βελτίωση Εξυπηρετώ 1 e Seminars Copyright Seminars & Consulting Page 1 Περιεχόμενα 1. Η εξυπηρέτηση ως το πλέον δυναμικό

Διαβάστε περισσότερα

«Το δαμαλάκι με τα χρυσά πόδια»

«Το δαμαλάκι με τα χρυσά πόδια» ΠΑΡΑΜΥΘΙ #39 «Το δαμαλάκι με τα χρυσά πόδια» (Ρόδος Δωδεκάνησα) Διαγωνισμός παραδοσιακού παραμυθιού ebooks4greeks.gr ΠΑΡΑΜΥΘΙ #39 Ψηφίστε το παραμύθι που σας άρεσε περισσότερο εδώ μέχρι 30/09/2011 Δείτε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΆΝΝΑ ΚΑΙ Ο ΑΛΈΞΗΣ ΕΝΆΝΤΙΑ ΣΤΟΥΣ ΠΑΡΑΧΑΡΆΚΤΕΣ

Η ΆΝΝΑ ΚΑΙ Ο ΑΛΈΞΗΣ ΕΝΆΝΤΙΑ ΣΤΟΥΣ ΠΑΡΑΧΑΡΆΚΤΕΣ ΤΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ EURO RUN www.nea-trapezogrammatia-euro.eu Η ΆΝΝΑ ΚΑΙ Ο ΑΛΈΞΗΣ ΕΝΆΝΤΙΑ ΣΤΟΥΣ ΠΑΡΑΧΑΡΆΚΤΕΣ - 2 - Η Άννα και ο Αλέξης είναι συμμαθητές και πολύ καλοί φίλοι. Μπλέκουν πάντοτε σε φοβερές καταστάσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Το ψέμα είναι ένας εύκολος τρόπος να αποφύγεις την πραγματικότητα : συνέντευξη του Άγγελου Αγγέλου και της Έμης Σίνη στο elniplex

Το ψέμα είναι ένας εύκολος τρόπος να αποφύγεις την πραγματικότητα : συνέντευξη του Άγγελου Αγγέλου και της Έμης Σίνη στο elniplex Το ψέμα είναι ένας εύκολος τρόπος να αποφύγεις την πραγματικότητα : συνέντευξη του Άγγελου Αγγέλου και της Έμης Σίνη στο elniplex Η Έμη Σίνη μεγάλωσε στη Ρόδο, σπούδασε πολιτικός μηχανικός στο Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΣ Τεχνική Διαπραγματεύσεων Καθηγητής Δημήτριος Σουμπενιώτης Θα αναφερθώ σε μια εμπορική διαπραγμάτευση από την εργασιακή μου πείρα. Πρόκειται για μία τηλεφωνική

Διαβάστε περισσότερα

«Δουλεύω Ηλεκτρονικά, Δουλεύω Γρήγορα και με Ασφάλεια - by e-base.gr»

«Δουλεύω Ηλεκτρονικά, Δουλεύω Γρήγορα και με Ασφάλεια - by e-base.gr» Επεξήγηση web site με λογικό διάγραμμα «Δουλεύω Ηλεκτρονικά, Δουλεύω Γρήγορα και με Ασφάλεια - by e-base.gr» Web : www.e-base.gr E-mail : support@e-base.gr Facebook : Like Twitter : @ebasegr Πολλοί άνθρωποι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΜΥΘΙ #20. «Δεκαοχτώ ψωμιά» Διαγωνισμός παραδοσιακού παραμυθιού ebooks4greeks.gr

ΠΑΡΑΜΥΘΙ #20. «Δεκαοχτώ ψωμιά» Διαγωνισμός παραδοσιακού παραμυθιού ebooks4greeks.gr ΠΑΡΑΜΥΘΙ #20 «Δεκαοχτώ ψωμιά» Διαγωνισμός παραδοσιακού παραμυθιού ebooks4greeks.gr ΠΑΡΑΜΥΘΙ #20 Ψηφίστε το παραμύθι που σας άρεσε περισσότερο εδώ μέχρι 30/09/2011 Δείτε όλα τα παραμύθια εδώ Δεκαοχτώ ψωμιά

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 Περίληψη Η Αλίκη µισεί τα µαθηµατικά και θεωρεί πως δε χρησιµεύουν σε τίποτα. Μια µέρα που κάθεται και διαβάζει στο πάρκο, ένα παράξενο άτοµο την προσκαλεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Κωνσταντινούπολη, 29 Μαίου 1453, Τρίτη μαύρη και καταραμένη

Κεφάλαιο 5. Κωνσταντινούπολη, 29 Μαίου 1453, Τρίτη μαύρη και καταραμένη Κεφάλαιο 5 Κωνσταντινούπολη, 29 Μαίου 1453, Τρίτη μαύρη και καταραμένη Έφτασε μια μισάνοιχτη πόρτα, ένα μικρό κενό στο χώρο και το χρόνο, σαν ένα ασήμαντο λάθος της Ιστορίας για να πέσει η Πόλη. Εκείνο

Διαβάστε περισσότερα

Σοφία Παράσχου. «Το χάνουμε!»

Σοφία Παράσχου. «Το χάνουμε!» 1 Σειρά Σπουργιτάκια Εκδόσεις Πατάκη «Το χάνουμε!» Σοφία Παράσχου Εικονογράφηση: Βαγγέλης Ελευθερίου Σελ. 52 Δραστηριότητες για Α & Β τάξη Συγγραφέας: Η Σοφία Παράσχου γεννήθηκε στην Κάρπαθο και ζει στην

Διαβάστε περισσότερα

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1)

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) «Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) Πρόσωπα: Μαθητές ασκάλα Κύριος Τροχαιάκης (αστυνοµικός της τροχαίας) Παιδιά ΣΚΗΝΗ 1 (στην τάξη) Χτυπά κουδούνι και µπαίνει µέσα

Διαβάστε περισσότερα

GROOMING. help. Γραµµή Βοηθείας. www.help-line.gr. saferinternet. η «αποπλάνηση» µέσω Διαδικτύου PRIVACY

GROOMING. help. Γραµµή Βοηθείας. www.help-line.gr. saferinternet. η «αποπλάνηση» µέσω Διαδικτύου PRIVACY www.help-line.gr I need HELP I really need A FRIEND Who can I TRUST? PRIVACY GROOMING η «αποπλάνηση» µέσω Διαδικτύου Γραµµή Βοηθείας 210 6007686 (Ελληνικό Κέντρο Ασφαλούς Διαδικτύου Γραµµή Βοηθείας) Με

Διαβάστε περισσότερα

Δουλεύει, τοποθετώντας τούβλα το ένα πάνω στο άλλο.

Δουλεύει, τοποθετώντας τούβλα το ένα πάνω στο άλλο. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Δ Παραδείγματα με συμπληρωμένα Φύλλα εργασίας Φύλλο εργασίας Α α. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα, χρησιμοποιώντας τη φαντασία σας. Δώστε ταυτότητα στο παιδί της φωτογραφίας. Όνομα Ίντιρα Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Συμπληρωματικό ερωτηματολόγιο Β Πράσινο ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ F-2-F Β (4 ος Γύρος 2008) Οδηγ. Προς ΣΥΝΕΝΤΕΥΚΤΗ: AN ΤO ΕΡΩΤΩΜΕΝΟ ΑΤΟΜΟ ΕΙΝΑΙ ΑΝΤΡΑΣ, ΡΩΤΗΣΤΕ ΤΗΝ GF1. ΑΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ο Τοτός και ο Μπόμπος εξετάζονται από το δάσκαλό τους. Ο Μπόμπος βγαίνει από την αίθουσα και λέει στον Τοτό:

Ο Τοτός και ο Μπόμπος εξετάζονται από το δάσκαλό τους. Ο Μπόμπος βγαίνει από την αίθουσα και λέει στον Τοτό: Ο Τοτός και ο Μπόμπος εξετάζονται από το δάσκαλό τους. Ο Μπόμπος βγαίνει από την αίθουσα και λέει στον Τοτό: - "Η πρώτη απάντηση είναι 1821, η δεύτερη Θεόδωρος Κολοκοτρώνης και η τρίτη δεν ξέρουμε ερευνάται

Διαβάστε περισσότερα

Scenario How-To ~ Επιμέλεια: Filming.gr Σελ. 1. Το σενάριο, είναι μια ιστορία, ειπωμένη σε κινηματογραφικές εικόνες.

Scenario How-To ~ Επιμέλεια: Filming.gr Σελ. 1. Το σενάριο, είναι μια ιστορία, ειπωμένη σε κινηματογραφικές εικόνες. Scenario How-To ~ Επιμέλεια: Filming.gr Σελ. 1 Σενάριο Το σενάριο, είναι μια ιστορία, ειπωμένη σε κινηματογραφικές εικόνες. Σε αντίθεση με τα αφηγηματικά ή λογοτεχνικά είδη, το σενάριο περιγράφει αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φοιτητής: Παύλου Νικόλαος, Α.Ε.Μ: 2245, Ε Εξάμηνο Σχολείο: 1 ο Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΑΡΩΜΑ ΤΟΥ ΘΕΟΥ. του Prem Rawat

ΤΟ ΑΡΩΜΑ ΤΟΥ ΘΕΟΥ. του Prem Rawat ΤΟ ΑΡΩΜΑ ΤΟΥ ΘΕΟΥ του Prem Rawat TΙΣ ΠΡΟΑΛΛΕΣ σκεφτόμουν τι είναι η ειρήνη. Και κατάλαβα κάτι: η ειρήνη είναι το άρωμα. Όταν ο Θεός βρίσκεται κοντά σου, αναδύεται αυτό το άρωμα. Είναι εξαίσιο. Είναι όμορφο.

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΣΕ ΣΥΣΚΕΥΕΣ ΚΙΝΗΤΗΣ

ΨΗΦΙΑΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΣΕ ΣΥΣΚΕΥΕΣ ΚΙΝΗΤΗΣ 1 of 18 4/16/2015 4:11 PM ΨΗΦΙΑΚΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΣΕ ΣΥΣΚΕΥΕΣ ΚΙΝΗΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Το ερωτηματολόγιο αυτό έχει διάφορες ενότητες για τα ψηφιακά παιχνίδια που παίζονται σε συσκευές κινητής τεχνολογίας και ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα.

Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα. Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα. Ηξερα οτι υπαρχουν επαγγελματιες παιχτες που κερδιζουν πολλα χρηματα απο το στοιχημα και εψαχνα να βρω τη "μυστικη formula" 'Ετσι κ εσυ. Πηρες μια απο τις

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρώτο Βιβλίο του Μικρού Δράκου Μου Ο Μου επισκέπτεται την Ευρώπη

Το Πρώτο Βιβλίο του Μικρού Δράκου Μου Ο Μου επισκέπτεται την Ευρώπη 1 Ο μικρός δράκος Μου ζούσε μαζί με τη μαμά και τον μπαμπά του πάνω σ ένα πολύ ψηλό βουνό, μέσα σ ένα πολύ μεγάλο δέντρο. Το Πρώτο Βιβλίο του Μικρού Δράκου Μου Ο Μου επισκέπτεται την Ευρώπη Μετάφραση:

Διαβάστε περισσότερα

Όταν η μαμά έχει στομία

Όταν η μαμά έχει στομία Coloplast Όταν η μαμά έχει στομία Μια αληθινή ιστορία ζωής Εισαγωγή Αυτό το φυλλάδιο γράφτηκε από την Tina η οποία έχει κάνει επέμβαση στομίας. Η επέμβαση έγινε το 1994, τη στιγμή που ο γιος της ήταν ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Πώς να μάθετε το παιδί, να προστατεύει τον εαυτό του!

Πώς να μάθετε το παιδί, να προστατεύει τον εαυτό του! Πώς να μάθετε το παιδί, να προστατεύει τον εαυτό του! Όλοι οι γονείς, αλλά ιδιαίτερα οι μονογονείς, έχουν ένα άγχος παραπάνω σε ό,τι αφορά την ασφάλεια του παιδιού τους. Μία φίλη διαζευγμένη με ένα κοριτσάκι

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Π Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Π Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02 Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Π Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 0 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ 1 Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Π Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Π Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Π Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 5 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ 1 Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ

Διαβάστε περισσότερα

ένας τρόπος να μιλήσουμε στα παιδιά για αξίες και συναισθήματα»

ένας τρόπος να μιλήσουμε στα παιδιά για αξίες και συναισθήματα» Ημερομηνία 8/4/2015 Μέσο Συντάκτης Link http://artpress.sundaybloody.com/ Βασίλης Κάργας http://goo.gl/di6ugf Μαρίνα Γιώτη, συγγραφέαςεικονογράφος : «Τα παραμύθια είναι ένας τρόπος να μιλήσουμε στα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

Παραμύθι για την υγιεινή διατροφή

Παραμύθι για την υγιεινή διατροφή Παραμύθι για την υγιεινή διατροφή Τζήκου Βασιλική Το δίλημμα της Λένιας 1 Παραμύθι πού έχω κάνει στο πρόγραμμα Αγωγής Υγείας που είχε τίτλο: «Γνωρίζω το σώμα μου, το αγαπώ και το φροντίζω» με την βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Συγγραφέας: Edward Hughes Εικονογράφηση:M. Maillot Διασκευή:E. Frischbutter; Sarah S. Μετάφραση: Evangelia Zyngiri Παραγωγός: Bible for Children

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α : ΕΚΘΕΣΗ (30 ΜΟΝΑΔΕΣ)

ΜΕΡΟΣ Α : ΕΚΘΕΣΗ (30 ΜΟΝΑΔΕΣ) ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΝΙΑΙΕΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ : Ελληνικά ΕΠΙΠΕΔΟ : 2 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α : ΕΚΘΕΣΗ (30 ΜΟΝΑΔΕΣ) Να αναπτύξετε ΕΝΑ από τα πιο κάτω θέματα (150-180 λέξεις ή 15-20 γραμμές) 1. Πώς πέρασα το περασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Ο χαρούμενος βυθός. Αφηγητής : Ένας όμορφος βυθός. που ήταν γαλαζοπράσινος χρυσός υπήρχε κάπου εδώ κοντά και ήταν γεμάτος όλος με χρυσόψαρα.

Ο χαρούμενος βυθός. Αφηγητής : Ένας όμορφος βυθός. που ήταν γαλαζοπράσινος χρυσός υπήρχε κάπου εδώ κοντά και ήταν γεμάτος όλος με χρυσόψαρα. Ο χαρούμενος βυθός Σχόλιο [D2]: Σπανουδάκης Κύματα Αφηγητής : Ένας όμορφος βυθός. που ήταν γαλαζοπράσινος χρυσός υπήρχε κάπου εδώ κοντά και ήταν γεμάτος όλος με χρυσόψαρα. Ψαροτουφεκάδες, δύτες και ψαράδες

Διαβάστε περισσότερα

Στον κόσμο με την Thalya

Στον κόσμο με την Thalya Γρηγόρης Μπελαβίλας Στον κόσμο με την Thalya Συνέντευξη: Τσέκος Αθανάσιος Tι σάς κάνει να γράφετε μουσική? Ο βασικός λογος είναι ότι οι μουσικές που γράφω μού αρέσουν πολύ πιό πολύ από τίς μουσικές τών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Α! Τάξης. Καθηγητής : ΗΡΑΚΛΗΣ ΝΤΟΥΣΗΣ

Τεχνολογία Α! Τάξης. Καθηγητής : ΗΡΑΚΛΗΣ ΝΤΟΥΣΗΣ Τεχνολογία Α! Τάξης Καθηγητής : ΗΡΑΚΛΗΣ ΝΤΟΥΣΗΣ Μελέτη Πριν από κάθε κατασκευή προηγούνται : 1. Μελέτη 2. Σχεδίαση *Τι σχήμα να τις δώσω; *Τι μέγεθος θα έχει (διαστάσεις); Σχεδίαση * Ποιοι είναι οι κανόνες

Διαβάστε περισσότερα

Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν.

Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως και να ήταν. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι μόνος είναι απλά ένα όνειρο. Ένα όνειρο που ονειρεύεσαι με άλλους μαζί είναι πραγματικότητα. John Lennon Κάπως έτσι ονειρεύτηκα την Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση!!! Μπορεί όμως

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΡΑΤΙΚΑ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΑ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΡΑΤΙΚΑ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΑ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΡΑΤΙΚΑ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΑ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗΣ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΝΙΑΙΕΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 2009 2010 Μάθημα: Ελληνικά Επίπεδο: 2 Διάρκεια: 2 ώρες Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Φωνή: Θανούλη! Φανούλη! Μαριάννα! Φανούλης: Μας φωνάζει η μαμά! Ερχόμαστε!

Φωνή: Θανούλη! Φανούλη! Μαριάννα! Φανούλης: Μας φωνάζει η μαμά! Ερχόμαστε! 20 Χειμώνας σε μια πλατεία. Χιονίζει σιωπηλά. Την ησυχία του τοπίου διαταράσσουν φωνές και γέλια παιδιών. Μπαίνουν στη σκηνή τρία παιδιά: τα δίδυμα, ο Θανούλης και ο Φανούλης, και η αδελφή τους η Μαριάννα.

Διαβάστε περισσότερα

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Συγγραφέας: Edward Hughes Εικονογράφηση:M. Maillot Διασκευή:E. Frischbutter; Sarah S. Μετάφραση: Evangelia Zyngiri Παραγωγός: Bible for Children

Διαβάστε περισσότερα

Ένα βοήθηµα για όσους: Προβληµατίζονται µε το κάπνισµα Έχουν αποφασίσει να το κόψουν Το έχουν κόψει και θέλουν να παραµείνουν µη καπνιστές

Ένα βοήθηµα για όσους: Προβληµατίζονται µε το κάπνισµα Έχουν αποφασίσει να το κόψουν Το έχουν κόψει και θέλουν να παραµείνουν µη καπνιστές Προσπάθησε µαζί µε έν α φίλο σου Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα Κλινικής Ψυχολογίας Οδηγός ιακοπής Καπνίσµατος Ένα βοήθηµα για όσους: Προβληµατίζονται µε το κάπνισµα Έχουν αποφασίσει να το κόψουν Το έχουν κόψει

Διαβάστε περισσότερα

Τα παιδιά βιώνουν παιχνίδια από το παρελθόν με τους παππούδες ΦΑΝΗ ΧΡΗΣΤΟΥ ΨΥΧΟΛΟΓΟΣ-ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΙΝΕ/ΓΣΕΕ

Τα παιδιά βιώνουν παιχνίδια από το παρελθόν με τους παππούδες ΦΑΝΗ ΧΡΗΣΤΟΥ ΨΥΧΟΛΟΓΟΣ-ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΙΝΕ/ΓΣΕΕ Τα παιδιά βιώνουν παιχνίδια από το παρελθόν με τους παππούδες ΦΑΝΗ ΧΡΗΣΤΟΥ ΨΥΧΟΛΟΓΟΣ-ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΙΝΕ/ΓΣΕΕ Τα παιχνίδια είναι δημιουργήματα του Ελληνικού πολιτισμού με ρίζες που φτάνουν στην

Διαβάστε περισσότερα

1 00:00:08,504 --> 00:00:11,501 το σχολείο της Τσιάπας παρουσιάζει: 2 00:00:14,259 --> 00:00:17,546 "ποιοί είναι οι Ζαπατίστας;"

1 00:00:08,504 --> 00:00:11,501 <i>το σχολείο της Τσιάπας παρουσιάζει:</i> 2 00:00:14,259 --> 00:00:17,546 <b>ποιοί είναι οι Ζαπατίστας;</b> 1 00:00:08,504 --> 00:00:11,501 το σχολείο της Τσιάπας παρουσιάζει: 2 00:00:14,259 --> 00:00:17,546 "ποιοί είναι οι Ζαπατίστας;" 3 00:00:17,967 --> 00:00:20,395 Οι Ζαπατίστας είναι ένα κίνημα.

Διαβάστε περισσότερα

Ο Μιχάλης Κάσιαλος γεννήθηκε στην Άσσια. Ήταν γεωργός, αργότερα όμως έμαθε και την τέχνη του τσαγκάρη. Μερικά αρχαία Ελληνικά νομίσματα, που βρήκε

Ο Μιχάλης Κάσιαλος γεννήθηκε στην Άσσια. Ήταν γεωργός, αργότερα όμως έμαθε και την τέχνη του τσαγκάρη. Μερικά αρχαία Ελληνικά νομίσματα, που βρήκε Ελισσαιος καβαζη Ο Μιχάλης Κάσιαλος γεννήθηκε στην Άσσια. Ήταν γεωργός, αργότερα όμως έμαθε και την τέχνη του τσαγκάρη. Μερικά αρχαία Ελληνικά νομίσματα, που βρήκε μια μέρα στο χωράφι του, έδωσαν στην

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί πρέπει να κάνω εμβόλια;

Γιατί πρέπει να κάνω εμβόλια; Για τους μικρούς μας φίλους Γιατί πρέπει να κάνω εμβόλια; Σε ύ Είµαι το µικρόβιο. Μου αρέσει να κάνω τα µικρά παιδιά να αρρωσταίνουν. Εγώ και η οικογένειά µου βρισκόµαστε παντού στο περιβάλλον που ζεις,

Διαβάστε περισσότερα

1) Γιατί ασχοληθήκατε με το Έργο EduRom

1) Γιατί ασχοληθήκατε με το Έργο EduRom Στις 28 Φεβρουαρίου, δύο από τους εθελοντές του Edurom από το Μεσογειακό Σχολείο της Ταρραγόνα βρέθηκαν στην Ημέρα Εκπαίδευσης του «Δικτύου για τη δημοκρατική εκπαίδευση των ενηλίκων: μπροστά με τη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Άνοιγμα τραπεζικού λογαριασμού στο εξωτερικό. Συμμετοχή σε ομαδικά συστήματα Λαϊκών και Εθνικών λαχείων. Bonus σύστασης.

Άνοιγμα τραπεζικού λογαριασμού στο εξωτερικό. Συμμετοχή σε ομαδικά συστήματα Λαϊκών και Εθνικών λαχείων. Bonus σύστασης. ΤΑΛΑΝΤΟ: Αρχαίο νόμισμα Ικανότητες, Δυνατότητες, Χαρίσματα Αυξήστε τα Τάλαντά σας!!! Ασφαλίζοντας το αυτοκίνητό σας ή δίνοντας 10 ως έναντι ασφαλίστρων έχετε ΔΩΡΕΑΝ τις παρακάτω παροχές: Άνοιγμα τραπεζικού

Διαβάστε περισσότερα

Κώστας Λεµονίδης - Κάπως Αµήχανα

Κώστας Λεµονίδης - Κάπως Αµήχανα Κώστας Λεµονίδης - Κάπως Αµήχανα 1. Παντοτινά δικός σου Ξέρεις ποιος είσαι, ελεύθερο πουλί Μέσα σου βλέπεις κι ακούς µιά φωνή Σου λέει τι να κάνεις, σου δείχνει να ζεις Μαθαίνεις το δρόµο και δεν σε βρίσκει

Διαβάστε περισσότερα

Ο Φ ίλος μου ο Ποδη λατάκιας

Ο Φ ίλος μου ο Ποδη λατάκιας ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΠΟΔΟΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ Ο Φ ίλος μου ο Ποδη λατάκιας Κείμενο: Κατερίνα Βαϊμάκη Εικονογράφηση: Ρεβέκκα Βεδέ Ο Φ ίλος μου ο Ποδη λατάκιας Ευρωπαϊκή Ένωση Ταµείο Συνοχής «Επενδύοντας στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ»

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» - Κρυπτογραφία είναι - Κρυπτανάλυση είναι - Με τον όρο κλειδί. - Κρυπτολογία = Κρυπτογραφία + Κρυπτανάλυση - Οι επιστήµες αυτές είχαν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ. 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ. 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο. Στόχοι: Οι εκπαιδευόμενοι: Να ενημερωθούν για το σύμπαν. Να παρατηρήσουν τα ουράνια σώματα. Να σκεφτούν -να

Διαβάστε περισσότερα

Συνέντευξη από τη. ηµοσιογράφοι. κα Τατιάνα Στεφανίδου. Είµαι πολλά χρόνια δηµοσιογράφος, από το 1992.

Συνέντευξη από τη. ηµοσιογράφοι. κα Τατιάνα Στεφανίδου. Είµαι πολλά χρόνια δηµοσιογράφος, από το 1992. ΑΞΙΖΕΙ ΝΑ ΤΟ ΙΑΒΑΣΕΙΣ Συνέντευξη από τη δηµοσιογράφο κα Τατιάνα Στεφανίδου ηµοσιογράφοι Χάρης Μιχαηλίδης ηµήτρης Μαρούδας Φένια Πάσσα Αµαλία Τζήµα Λυδία Τούµπη Συντονισµός -επιµέλεια κειµένου Όµιλος δηµοσιογραφίας

Διαβάστε περισσότερα

Η φίλη μας η ανακύκλωση. Ειδική έκδοση για τους μαθητές του Δημοτικού Σχολείου

Η φίλη μας η ανακύκλωση. Ειδική έκδοση για τους μαθητές του Δημοτικού Σχολείου Η φίλη μας η ανακύκλωση Ειδική έκδοση για τους μαθητές του Δημοτικού Σχολείου Στην όμορφη πολιτεία με το γαλάζιο ουρανό μια μικρή παρέα από σκουπίδια συναντήθηκε για να κουβεντιάσει το μέλλον της. Ο Αλουμίνης,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2013-14 «ΚΩΝ. ΚΑΡΑΜΑΝΛΗΣ» ΠΟΙΗΜΑΤΑ ΒΑΣΙΛΙΑΣ

ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2013-14 «ΚΩΝ. ΚΑΡΑΜΑΝΛΗΣ» ΠΟΙΗΜΑΤΑ ΒΑΣΙΛΙΑΣ ΠΟΙΗΜΑΤΑ ΒΑΣΙΛΙΑΣ Ο βασιλιάς του σκάκι είμαι εγώ με ανεκτίμητη αξία θεωρώ μόνο με ΜΑΤ μπορείς να με εγκλωβίσεις κι έτσι την παρτίδα να κερδίσεις. Βήματα πολλά δεν κάνω είμαι από όλους υπεράνω. Τη μάχη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΦΙΕΡΩΜΑ: Καλοκαίρι. Βιβλίο: Η χαµένη πόλη. Συνταγή ΤΙΤΙΝΑ: κρέπα. Από την Μαριλένα Ντε Πιάν και την Ελένη Κοτζάµπαση - 1 - Μια εφηµερίδα για όλους

ΑΦΙΕΡΩΜΑ: Καλοκαίρι. Βιβλίο: Η χαµένη πόλη. Συνταγή ΤΙΤΙΝΑ: κρέπα. Από την Μαριλένα Ντε Πιάν και την Ελένη Κοτζάµπαση - 1 - Μια εφηµερίδα για όλους Ιούλιος 2011 Τεύχος 11 3 Μια εφηµερίδα για όλη την οικογένεια ΑΦΙΕΡΩΜΑ: Καλοκαίρι Βιβλίο: Η χαµένη πόλη Συνταγή ΤΙΤΙΝΑ: κρέπα Από την Μαριλένα Ντε Πιάν και την Ελένη Κοτζάµπαση - 1 - ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Η γλώσσα

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό ανήκει στην:...

Το βιβλίο αυτό ανήκει στην:... 20 κλασικά αλλά και καινούρια παραμύθια με πριγκίπισσες Το βιβλίο αυτό ανήκει στην:... ΤΙΤΛΟΣ ΠΡΩΤΟΤΥΠΟΥ: PRINCESS STORIES Από τις Εκδόσεις Igloo Books, Μεγάλη Βρετανία 2009 ΤΙΤΛΟΣ BIBΛΙΟΥ: Ιστορίες για

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 1. Ας γνωριστούμε λοιπόν!!! Σήμερα συναντιόμαστε για πρώτη φορά. Μαζί θα περάσουμε τους επόμενους

Μάθημα 1. Ας γνωριστούμε λοιπόν!!! Σήμερα συναντιόμαστε για πρώτη φορά. Μαζί θα περάσουμε τους επόμενους Μάθημα 1 Ας γνωριστούμε λοιπόν!!! Σήμερα συναντιόμαστε για πρώτη φορά. Μαζί θα περάσουμε τους επόμενους μήνες και θα μοιραστούμε πολλά! Ας γνωριστούμε λοιπόν. Ο καθένας από εμάς ας πει λίγα λόγια για τον

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ ΓΟΝΙΟΥ ΣΗΜΕΡΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΥΝΑΙΣΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΗΛΙΚΙΑΣ

Ο ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ ΓΟΝΙΟΥ ΣΗΜΕΡΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΥΝΑΙΣΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΗΛΙΚΙΑΣ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ ΓΟΝΙΟΥ ΣΗΜΕΡΑ ΚΑΙ ΟΙ ΣΥΝΑΙΣΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΑΝΑΓΚΕΣ ΤΩΝ ΠΑΙΔΙΩΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗΣ ΗΛΙΚΙΑΣ Το να είσαι γονιός δεν είναι εύκολο πράγμα. Δεν υπάρχει ευκαιρία για πρόβα, δεν υπάρχουν σχολεία. Το μόνο που κουβαλάμε

Διαβάστε περισσότερα

Μάχη Νικολάρα: Δεν ακούγεται και πολύ δημιουργικό αυτό, έτσι όπως το περιγράφετε.

Μάχη Νικολάρα: Δεν ακούγεται και πολύ δημιουργικό αυτό, έτσι όπως το περιγράφετε. Μάχη Νικολάρα: Θα μιλήσουμε για τον τομέα της εκπαίδευσης από μια άλλη σκοπιά. Οι ανακοινώσεις του Υπουργείου Παιδείας εχθές ανέτρεψαν κατά κάποιο τρόπο τον προγραμματισμό αυτής της εκπομπής, όμως όλα

Διαβάστε περισσότερα

Το παραμύθι της Επιπεδίας

Το παραμύθι της Επιπεδίας Το παραμύθι της Επιπεδίας Ιστορία του J.Weeks, βασισμένη σε ιδέες του μυθιστορήματος Flatland: a romance in many dimensions, του E.A.Abbott, το οποίο δημοσιεύτηκε το 1884, και στο οποίο βασίστηκε το κινηματογραφικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΑ από τον ευρύτερο χώρο του πολιτισμού

ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΑ από τον ευρύτερο χώρο του πολιτισμού ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΑ από τον ευρύτερο χώρο του πολιτισμού Σταύρος Κούλας Γραφίστας - Πώς ορίζεται το επάγγελμά σας, και ποιες είναι οι παραλλαγές του; H γραφιστική είναι ένα επάγγελμα που ορίζει τη σχέση του ανθρώπου

Διαβάστε περισσότερα

Κέρδισε μάχες στην Αρένα Μόδας!

Κέρδισε μάχες στην Αρένα Μόδας! Αν θες να ζήσεις τη συγκίνηση του να είσαι η πιο δημοφιλής κοπέλα αν θες να δείξεις στον κόσμο τις ικανότητές και τις ιδέες σου στη μόδα αν θες να νοιώσεις τη μοναδική ατμόσφαιρα ενώ ανταγωνίζεσαι άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Τι σημαίνει αστικά πεδία σε μετάβαση για εσάς και την καλλιτεχνική σας δημιουργία;

Τι σημαίνει αστικά πεδία σε μετάβαση για εσάς και την καλλιτεχνική σας δημιουργία; Τι σημαίνει αστικά πεδία σε μετάβαση για εσάς και την καλλιτεχνική σας δημιουργία; Δύσκολη ερώτηση Για την καλλιτεχνική μου δημιουργία δεν παίζει κανένα ρόλο. Αυτό που με πικραίνει είναι ότι έζησα την

Διαβάστε περισσότερα

Ανδρέας Καστανάς - Η επίσημη ιστοσελίδα. Λογοτεχνία - Από: Τα Τρία Βιβλία. www.andreaskastanas.com. Τελευταία ενημέρωση 15-12-2012 6-12-03

Ανδρέας Καστανάς - Η επίσημη ιστοσελίδα. Λογοτεχνία - Από: Τα Τρία Βιβλία. www.andreaskastanas.com. Τελευταία ενημέρωση 15-12-2012 6-12-03 - Η επίσημη ιστοσελίδα Λογοτεχνία - Από: Τα Τρία Βιβλία www.andreaskastanas.com Τελευταία ενημέρωση 15-12-2012 6-12-03 Όταν αποκαλώ ένα έργο μου «μυθιστόρημα», με την χρήση της λέξης δηλώνω το είδος της

Διαβάστε περισσότερα

«Η τύχη του άτυχου παλικαριού»

«Η τύχη του άτυχου παλικαριού» ΠΑΡΑΜΥΘΙ #15 «Η τύχη του άτυχου παλικαριού» (Κοζάνη - Μακεδονία) Διαγωνισμός παραδοσιακού παραμυθιού ebooks4greeks.gr ΠΑΡΑΜΥΘΙ #15 Ψηφίστε το παραμύθι που σας άρεσε περισσότερο εδώ μέχρι 30/09/2011 Δείτε

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα εργασίας Ονοματεπώνυμο:-------------------- Σχολείο: -------------------------- Τάξη:---------

Φύλλα εργασίας Ονοματεπώνυμο:-------------------- Σχολείο: -------------------------- Τάξη:--------- 25η Μαρτίου 1821 Φύλλα εργασίας Ονοματεπώνυμο:-------------------- Σχολείο: -------------------------- Τάξη:--------- Στόχοι: Μέσα από διάφορες επικοινωνιακές και διαθεματικές δραστηριότητες τo παιδί:

Διαβάστε περισσότερα

για παιδιά (8-12 ετών) Κατανόηση γραπτού λόγου

για παιδιά (8-12 ετών) Κατανόηση γραπτού λόγου Α1 για παιδιά (8-12 ετών) Διάρκεια: 30 λεπτά Επίπεδο Α1 για παιδιά (8-12 ετών) Ερώτημα 1 (7 μονάδες) Η Χαρά γράφει ένα γράμμα στη Νικολέτα. Θέλεις να δεις αν καταλαβαίνεις αυτά που διαβάζεις, γι αυτό σημειώνεις

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεόραση και διαφήμιση

Τηλεόραση και διαφήμιση Τηλεόραση και διαφήμιση Δείτε τι έγραψαν μερικά παιδιά για τις διαφημίσεις:... Σε κάθε σπίτι σήμερα έχει μπει η τηλεόραση και, όπως γνωρίζουμε, κάθε μέρα βομβαρδιζόμαστε από τις διάφορες διαφημίσεις που

Διαβάστε περισσότερα

e-seminars Αναπτύσσομαι 1 Προσωπική Βελτίωση Seminars & Consulting, Παναγιώτης Γ. Ρεγκούκος, Σύμβουλος Επιχειρήσεων Εισηγητής Ειδικών Σεμιναρίων

e-seminars Αναπτύσσομαι 1 Προσωπική Βελτίωση Seminars & Consulting, Παναγιώτης Γ. Ρεγκούκος, Σύμβουλος Επιχειρήσεων Εισηγητής Ειδικών Σεμιναρίων e-seminars Πρωτοποριακή Συνεχής Επαγγελματική και Προσωπική Εκπαίδευση Προσωπική Βελτίωση Αναπτύσσομαι 1 e Seminars Copyright Seminars & Consulting Page 1 Περιεχόμενα 1. Γιατί είναι απαραίτητη η ανάπτυξη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΙΣΘΗΜΑΤΙΚΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ Η ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΝΟΣ ΧΡΗΣΙΜΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΙΣ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΕΣ ΣΥΝΔΙΑΛΛΑΓΕΣ

ΣΥΝΑΙΣΘΗΜΑΤΙΚΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ Η ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΝΟΣ ΧΡΗΣΙΜΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΙΣ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΕΣ ΣΥΝΔΙΑΛΛΑΓΕΣ ΣΥΝΑΙΣΘΗΜΑΤΙΚΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ Η ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΝΟΣ ΧΡΗΣΙΜΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΟΥ ΓΙΑ ΤΙΣ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΕΣ ΣΥΝΔΙΑΛΛΑΓΕΣ Αγγελική Γουδέλη, 2011 Κοινωνικό Άγχος Αμηχανία Φόβος Το κοινωνικό άγχος, ή αλλιώς κοινωνική φοβία, θεωρείται

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΦΩΤΗΣ ΚΑΙ Ο ΑΪ ΒΑΣΙΛΗΣ ΤΩΝ ΦΩΤΩΝ

Ο ΦΩΤΗΣ ΚΑΙ Ο ΑΪ ΒΑΣΙΛΗΣ ΤΩΝ ΦΩΤΩΝ Ο ΦΩΤΗΣ ΚΑΙ Ο ΑΪ ΒΑΣΙΛΗΣ ΤΩΝ ΦΩΤΩΝ Βασισμένο στο ομώνυμο διήγημα της Ελισάβετ Κουκουμάκα ΘΕΑΤΡΙΚΗ ΔΙΑΣΚΕΥΗ ΠΡΟΣΩΠΑ 1. Φώτης 2. Μαμά 3. Δεσποινίς Σούλα 4. Οφθαλμίατρος 5. Μπαμπάς 6. Πετράκης 7. Παιδί της

Διαβάστε περισσότερα

WEB MARKETING ---------- Ο Καλύτερος Τρόπος Για Να Δημιουργήσεις Την Δική Σου Ηλεκτρονική Επιχείρηση!

WEB MARKETING ---------- Ο Καλύτερος Τρόπος Για Να Δημιουργήσεις Την Δική Σου Ηλεκτρονική Επιχείρηση! WEB MARKETING Ο Καλύτερος Τρόπος Για Να Δημιουργήσεις Την Δική Σου Ηλεκτρονική Επιχείρηση! Υπάρχει κρίση αυτή την στιγμή αλλά εγώ λέω να μην συμμετάσχω. Άγνωστος ---- ABOUT CONTACT SOURCE MakeMoneyOnline.gr!

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βραβείο ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΤΑΜΟΥΛΗ. Βασιλεία Παπασταύρου. 1 ος Πανελλήνιος διαγωνισμός λογοτεχνικής έκφρασης για παιδιά (2010-2011)

3 ο βραβείο ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΤΑΜΟΥΛΗ. Βασιλεία Παπασταύρου. 1 ος Πανελλήνιος διαγωνισμός λογοτεχνικής έκφρασης για παιδιά (2010-2011) ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΤΑΜΟΥΛΗ 1 ος Πανελλήνιος διαγωνισμός λογοτεχνικής έκφρασης για παιδιά (2010-2011) 3 ο βραβείο Βασιλεία Παπασταύρου 1 ο Δημοτικό Σχολείο Ν. Ερυθραίας 2 Μια φορά κι έναν καιρό ζούσε ο Καραγκιόζης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΜΟΙΡΑΣΜΑ ΤΩΝ ΔΩΡΩΝ. Δυο μέρες πριν τα Χριστούγεννα, όλος ο κόσμος τρέχει στα

ΤΟ ΜΟΙΡΑΣΜΑ ΤΩΝ ΔΩΡΩΝ. Δυο μέρες πριν τα Χριστούγεννα, όλος ο κόσμος τρέχει στα ΤΟ ΜΟΙΡΑΣΜΑ ΤΩΝ ΔΩΡΩΝ Κωνσταντίνα Αστερίου Δυο μέρες πριν τα Χριστούγεννα, όλος ο κόσμος τρέχει στα μαγαζιά να αγοράσει χριστουγεννιάτικα δώρα και στολίδια για το δένδρο. Η πόλη είναι πανέμορφα στολισμένη.

Διαβάστε περισσότερα

Λίγα για το Πριν, το Τώρα και το Μετά.

Λίγα για το Πριν, το Τώρα και το Μετά. 1 Λίγα για το Πριν, το Τώρα και το Μετά. Ψάχνοντας από το εσωτερικό κάποιων εφημερίδων μέχρι σε πιο εξειδικευμένα περιοδικά και βιβλία σίγουρα θα έχουμε διαβάσει ή θα έχουμε τέλος πάντων πληροφορηθεί,

Διαβάστε περισσότερα

Το κλίµα αλλάζει, ο κόσµος αλλάζει Εµείς; ΘΕΑΤΡΙΚΟ ΕΡΓΟ

Το κλίµα αλλάζει, ο κόσµος αλλάζει Εµείς; ΘΕΑΤΡΙΚΟ ΕΡΓΟ Το κλίµα αλλάζει, ο κόσµος αλλάζει Εµείς; ΘΕΑΤΡΙΚΟ ΕΡΓΟ Ανδρέας Σµοϊλης Μελίνα Ρήγα Μαθητές στο Πειραµατικό Μουσικό Γυµνάσιο Παλλήνης 2007-2008 Υπεύθυνη καθηγήτρια: Κατερίνα Αλεξιάδη alexiadi@theatroedu.gr

Διαβάστε περισσότερα

Για τα παιδιά (αλλά και για τους γονείς)...

Για τα παιδιά (αλλά και για τους γονείς)... Eισαγωγικό σημείωμα: «Οι κατ οίκον εργασίες στη διδασκαλία των μαθηματικών» Οι εργασίες «για το σπίτι» ή όπως λέγονται στις παιδαγωγικές επιστήμες οι κατ οίκον εργασίες αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΔΟΥ ΛΥΚΟΠΟΥΛΩΝ ΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Η ΠΡΟΟΔΟΣ ΤΟΥ ΚΛΑΔΟΥ ΛΥΚΟΠΟΥΛΩΝ Στον Προσκοπισµό οι νέοι έχουν την ευκαιρία να αποκτήσουν µια σειρά από εµπειρίες που συµβάλλουν στην φυσιολογική

Διαβάστε περισσότερα

17.Α.ΜΕΓΑΛΑ ΑΝΕΚΔΟΤΑ ΜΕ ΤΟΝ ΤΟΤΟ 1 - ΧΑΤΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ ΜΑΡΙΑ

17.Α.ΜΕΓΑΛΑ ΑΝΕΚΔΟΤΑ ΜΕ ΤΟΝ ΤΟΤΟ 1 - ΧΑΤΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥ ΜΑΡΙΑ Μια φορά η δασκάλα του Τοτού του είπε να γράψει 3 προτάσεις. Όταν πήγε σπίτι του ρωτάει τη μαμά του που έκανε δουλειές: - Μαμά πες μου μια πρόταση. - Άσε με τώρα, δεν μπορώ. Ο Τοτός τη γράφει. Μετά πηγαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργης Παυλόπουλος. Τι είναι ποίηση...

Γιώργης Παυλόπουλος. Τι είναι ποίηση... Γιώργης Παυλόπουλος Τι είναι ποίηση... "Αν ένα πουλί μπορούσε να πει με ακρίβεια τι τραγουδάει, γιατί τραγουδάει, και τι είναι αυτό που το κάνει να τραγουδάει, δεν θα τραγούδαγε". Κυρίες και Κύριοι Φίλες

Διαβάστε περισσότερα

ΖΩΔΙΑ ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΑΠΟ 16 22 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΑΠΟ ΤΗΝ ΒΑΛΕΝΤΙΝΗ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ

ΖΩΔΙΑ ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΑΠΟ 16 22 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΑΠΟ ΤΗΝ ΒΑΛΕΝΤΙΝΗ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ ΖΩΔΙΑ ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΑΠΟ 16 22 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΑΠΟ ΤΗΝ ΒΑΛΕΝΤΙΝΗ ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ ΚΡΙΟΣ Αυτήν την εβδομάδα κοίτα να τακτοποιήσεις κενά του παρελθόντος και να επεξεργαστείς στο μυαλό σου τις ιδανικότερες λύσεις

Διαβάστε περισσότερα