Ένας διάλογος για τις Εφαρµογές των Μαθηµατικών Από τον Alfred Renyi
|
|
- Χαρικλώ Δαμασκηνός
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ένας διάλογος για τις Εφαρµογές των Μαθηµατικών Από τον Alfred Renyi Μεγαλειότατε! Τι έκπληξη τέτοια προχωρηµένη ώρα! Σε τι οφείλω την τιµή της επίσκεψης από τον Βασιλιά Ιέρωνα στο ταπεινό µου σπίτι; Αγαπητέ µου φίλε Αρχιµήδη, απόψε είχαµε ένα δείπνο στο παλάτι µου για να γιορτάσουµε τον µεγάλο θρίαµβο της µικρής µας πόλης των Συρακουσών, έναντι των ισχυρών Ρωµαίων. Σε προσκάλεσα αλλά η θέση σου έµεινε άδεια. Γιατί δεν ήρθες, εσύ, στον οποίο όλοι οφείλουµε την σηµερινή µας νίκη; Τα δικά σου τεράστια κοίλα κάτοπτρα έκαψαν δέκα από τα είκοσι µεγάλα πλοία των Ρωµαίων που σαν πύρινοι πυρσοί έξω από το λιµάνι βυθίστηκαν πριν προλάβουν να βγουν στην ανοικτή θάλασσα. Δεν µπορώ να πάω για ύπνο χωρίς να σε ευχαριστήσω για την σωτηρία της πόλης από τον εχθρό. από την στεριά. Μπορεί να επιστρέψουν και είµαστε ακόµα περικυκλωµένοι Θα µιλήσουµε γι αυτό αργότερα. Πρώτα άσε µε να σου δώσω ένα δώρο, το καλύτερο που µπορώ. Πράγµατι, ένα υπέροχο αριστούργηµα! Αυτός ο δίσκος είναι από πραγµατικό χρυσό, µπορείς άλλωστε να το ελέγξεις µε την γνωστή σου µέθοδο. Δεν θα βρεις ίχνος από ασήµι σ αυτό! Οι παραστάσεις δείχνουν τις περιπέτειες του Οδυσσέα υποθέτω. Στο µέσο βλέπω τους ανυποψίαστους Τρώες να σπρώχνουν το τεράστιο ξύλινο άλογο µέσα στην πόλη τους. Πάντα διερωτόµουν αν οι Τρώες χρησιµοποίησαν κάποιο είδος σύνθετης τροχαλίας για να τα καταφέρουν. Βέβαια το άλογο στεκόταν σε τροχούς, αλλά ο δρόµος στην πόλη πρέπει να ήταν µάλλον απότοµος. Αγαπητέ µου Αρχιµήδη, µα τον Δία ξέχνα τις τροχαλίες σου για µια στιγµή. Ξέρεις πόσο εξεπλάγην όταν µόνος σου έσυρες το τεράστιο πλοίο που ήθελα να στείλω στον Βασιλιά Πτολεµαίο, απλά χειριζόµενος την τριπλή σου τροχαλία. Αλλά ρίξε µια µατιά και στις άλλες σκηνές που υπάρχουν στον δίσκο. Βλέπω τους Κύκλωπες και την Κίρκη τη στιγµή που µεταµορφώνει τους συντρόφους του Οδυσσέα σε γουρούνια κι εδώ τη συναυλία των Σειρήνων, που ο Οδυσσέας ακούει ενώ είναι αλυσοδεµένος στο κατάρτι του πλοίου του (αν δεις το πρόσωπό του, µπορείς σχεδόν ν' ακούσεις το δελεαστικό τραγούδι). Υπάρχει κι Οδυσσέας στον κάτω κόσµο, που συναντάει τη σκιά του Αχιλλέα και εδώ τροµάζει την γοητευτική Ναυσικά µε τις φιλενάδες της και, τελικά, βέβαια η σκηνή όπου ο Οδυσσέας µεταµφιεσµένος σε γέρο ζητιάνο, δένει το τόξο του και κανονίζει τους λογαριασµούς του µε τους µµνηστήρες, ένα θαυµάσιο έργο τέχνης. Σ' ευχαριστώ, ευγενικέ µου ηγεµόνα. Αυτό είναι πραγµατικά βασιλικό δώρο. 1
2 Ήταν το καλύτερο κοµµάτι στο θησαυροφυλάκιο µου. Αλλά το αξίζεις. Το διάλεξα όχι µόνο για την οµορφιά και την αξία του, αλλά και για ακόµα έναν λόγο. Αυτό που έκανες σήµερα για τις Συρακούσες µπορεί να συγκριθεί µόνο µε το τέχνασµα του Οδυσσέα. Και οι δύο είστε θριαµβευτές ενός κοφτερού µυαλού απέναντι σε έναν κτηνώδη εχθρό. Έκανες έναν ηλικιωµένο άνθρωπο να κοκκινίζει από ντροπή. Αλλά επίτρεψέ µου και πάλι να σου υπενθυµίσω ότι ο πόλεµος ακόµη δεν τελείωσε. Θα θελες να ακούσεις την συµβουλή ενός ηλικιωµένου; σου µε ειλικρίνεια. Πάντα σου παράγγελνα σαν βασιλιάς να µου λες την άποψή Αυτή είναι η στιγµή που πρέπει να κάνεις ειρήνη µε τους Ρωµαίους. Από τότε που άρχισε ο πόλεµος ποτέ δεν ήµασταν σε µια τέτοια ευνοϊκή θέση διαπραγµάτευσης. Αν ο Μάρκελλος δεν σου στείλει απεσταλµένο πριν τα µεσάνυχτα, θα πρέπει να στείλεις δικούς σου σ αυτόν, πριν το χάραµα, και να κάνεις ειρήνη πριν ο ήλιος δύσει ξανά. Ο Μάρκελλος είναι ανυπόµονος να µετακινήσει τον στρατό µε το οποίο πολιορκεί την πόλη, γιατί τους χρειάζεται να τους χρησιµοποιήσει εναντίον του Αννίβα. Επιπλέον αν µπορέσει να πετύχει µια συµφωνία, αύριο µπορεί να παρουσιάσει στην Ρώµη µια νίκη, έστω µια διπλωµατική νίκη, και όχι µόνο τα άσχηµα νέα ότι χάθηκε ο µισός του στόλος. Αν η είδηση για την σηµερινή µάχη φτάσει στη Ρώµη, τότε οι Ρωµαίοι θα είναι τόσο λυσσασµένοι, που δεν θα είναι µε τίποτα λιγότερο ευχαριστηµένοι από την ολοκληρωτική νίκη. Η ανάλυσή σου είναι σωστή. Είναι γεγονός πως έλαβα ένα µήνυµα από τον Μάρκελλο απόψε που προσφέρει ειρήνη και απόσυρση των στρατευµάτων του κάτω από συγκεκριµένους όρους. Αν ήξερες αυτούς τους όρους θα ήσουν λιγότερο ενθουσιώδης µε την ιδέα να γίνει µια συµφωνία µε τους Ρωµαίους. Τι θέλει ο Μάρκελλος; Λοιπόν, φυσικά θέλει πολύ χρυσό και ασήµι. Επίσης θέλει δέκα νέα πλοία για τα δέκα που έχασε σήµερα, και πέρα από όλα αυτά να γκρεµίσουµε τα οχυρά µας εκτός από ένα στο οποίο θα εγκατασταθεί µια φρουρά από Ρωµαίους στρατιώτες. Θέλει να κηρύξουµε τον πόλεµο στην Καρχηδόνα και τέλος αξιώνει τον γιό µου Γέλωνα, την κόρη µου την Ελένη και εσένα σαν οµήρους. Υπόσχεται δε, ότι κανένα κακό δεν θα γίνει στην πόλη και τους κατοίκους της, για όσο διάστηµα παραµένουµε πιστοί στην συνθήκη. Πιθανά να µην επιµείνει σε τίποτα, αλλά θα επιµείνει να µε παραδώσεις σ αυτόν. Μιλάς πολύ ψύχραιµα γι αυτό το θέµα. Μα όλους τους θεούς του Ολύµπου, όσο θα είµαι ζωντανός, δεν θα δώσω τα παιδιά µου στα χέρια του εχθρού, ούτε και εσένα. Δεν µε ενδιαφέρει ο χρυσός και το ασήµι, ούτε τα πλοία, αυτά µπορεί να τα έχει. Αλλά αυτό που αποστρέφοµαι περισσότερο σ αυτούς τους όρους είναι ότι αν τους εκπληρώσουµε θα είµαστε στο έλεός του. Και ποιες είναι οι εγγυήσεις ότι θα τηρήσει την συνθήκη; Δεν µου δίνει κανέναν όµηρο. 2
3 Δώσε προσοχή όχι στην ερώτηση αλλά σε τι επιµένει µέσα από τις λέξεις του. Οι Ρωµαίοι είναι ευαίσθητοι όσον αφορά την τιµή τους τουλάχιστον κατά την διάρκεια των διαπραγµατεύσεων. Εσύ πιθανά να µπορείς να αποφύγεις να τους δώσεις τα παιδιά σου. Και τι θα γίνει µε εσένα. Είσαι έτοιµος να κάνεις µια τέτοια θυσία για την πόλη σου; Μάρκελλο; Αυτό είναι ερώτηση ή απαίτηση; Μόνο µια ερώτηση φυσικά. Θέλεις να µάθεις τι απάντησα στον Απάντησες ήδη; Ναι. Αποδέχθηκα όλους τους όρους, εκτός από το να δώσω εσένα για όµηρο. Συµφωνώ να δώσω τα παιδιά µου, µόνο µε τον όρο να µου στείλει δύο από τα παιδιά του επίσης σαν οµήρους. Όσο για σένα, του είπα ότι η ηλικία σου δεν επιτρέπει να µείνεις στο στρατόπεδο. Βέβαια ξέροντας ότι δεν σε θέλει πραγµατικά σαν όµηρο αλλά θέλει µόνο την σοφία σου, υποσχέθηκα ότι θα του γράψεις µια πλήρη περιγραφή όλων των εφευρέσεών σου µε πολεµικό ενδιαφέρον. αφορούν τον πόλεµο. Ποτέ δεν θα γράψω τίποτα σχετικά µε τις εφευρέσεις µου που Γιατί όχι; Αν υπάρχει ειρήνη δεν τις χρειαζόµαστε πλέον. Εξήγησέ µου σε παρακαλώ γιατί αρνείσαι να γράψεις για τις εφευρέσεις σου. κάνω. Αν έχεις την υποµονή να ακούσεις τους λόγους µου θα το Είµαι έτοιµος να ακούσω. Θέλω να παραµείνω άγρυπνος και να περιµένω την απάντηση του Μάρκελλου. Τότε έχουµε πολύ χρόνο. Γιατί θα πάρει αρκετό χρόνο στον Μάρκελλο να διαµορφώσει την απάντησή του. Θα ακούγεται σαν µαστίγωµα. Νοµίζεις ότι θα διακόψει τις διαπραγµατεύσεις; Φυσικά. Του αµφισβήτησες την τιµή. Ποτέ δεν θα σου το συγχωρέσει και δεν α υπάρξει συµφωνία. Πιθανά να έχεις δίκιο. Πάντα θαύµαζα την επιδέξια διπλωµατία σου και την επίγνωση της ψυχολογίας του αντιπάλου.. Αλλά αυτή την φορά παραµέλησες αυτή την τέχνη. Το παραδέχοµαι. Πιθανά να είχα µεθύσει από το κρασί και την νίκη. Αλλά ότι έγινε, έγινε. Θέλω ακόµα να ακούσω τους λόγους σου. 3
4 Αν και η ερώτηση είναι ακαδηµαϊκή, εν τούτοις θα εξηγήσω τον τρόπο που εγώ βλέπω τα πράγµατα. Συσχέτισες τις µηχανές µου µε τον Δούρειο Ίππο της Τροίας. Η συσχέτιση είναι αρκετά καλή, αλλά σε µια τελείως διαφορετική λογική. Ο Οδυσσέας χρησιµοποίησε το ξύλινο άλογο για να περάσει λαθραία τον εαυτό του και κάποιους Έλληνες στρατιώτες µέσα στην Τροία. Εγώ χρησιµοποίησα τις µηχανές µου για να περάσω µια ιδέα στο κοινό µυαλό του ελληνικού κόσµου. Και η ιδέα είναι ότι τα µαθηµατικά όχι µόνο τα στοιχεία τους, αλλά επίσης τα περισσότερο έξυπνα µέρη τους - µπορούν να έχουν εφαρµογή µε µεγάλη επιτυχία σε πρακτικούς σκοπούς. Πρέπει να οµολογήσω πως ήµουν πολύ διστακτικός στην αρχή, γιατί µισώ τον πόλεµο και τους φόνους. Αλλά ο πόλεµος ήταν εδώ και αυτός ήταν ο µόνος τρόπος να κάνω τον εαυτό µου να καταλάβει. Είχα δοκιµάσει και άλλους τρόπους αλλά µάταια. Μπορώ να σου υπενθυµίσω ότι λίγα χρόνια πριν, όταν ανακάλυψα µια αντλία για να βγάζει το νερό από τα ορυχεία σου, ώστε οι άνθρωποι που δούλευαν εδώ να µην περνούν µέχρι τους γοφούς µέσα από τα νερά δεν ενδιαφέρθηκες. Ο επικεφαλής των ορυχείων µου είπε πως δεν νοιάζεται αν τα πόδια των σκλάβων θα είναι υγρά δεν είναι από αλάτι. Αυτές ήταν οι κουβέντες του. Και θυµάσαι όταν σου πρότεινα να φτιάξω µια µηχανή να ποτίζει τα χωράφια σου; Η εργασία των σκλάβων ήταν φθηνότερη. Και όταν πρότεινα την δύναµη του ατµού να οδηγεί τους µύλους του Βασιλιά Πτολεµαίου, ποια ήταν η απάντηση; Είπε ότι οι µύλοι όπως εξυπηρετούσαν τους προγόνους του το ίδιο καλά εξυπηρετούν και αυτόν. Θέλεις να σου υπενθυµίσω και άλλα παραδείγµατα; Υπάρχει τουλάχιστον µια ντουζίνα ακόµη. Όλη µου η προσπάθεια, να δείξω στον κόσµο πως τα µαθηµατικά µπορούν να τους βοηθήσουν στην ειρήνη ήταν µάταιη. Αλλά όταν ο πόλεµος ήρθε, ξαφνικά θυµήθηκες τις τροχαλίες µου, και τους µοχλούς µου. Την περίοδο της ειρήνης ο καθένας θεωρούσε την κάθε εφεύρεσή µου σαν παιχνίδι, ανάξια για ένα σοβαρό ενήλικο πολίτη, πόσο µάλλον για έναν φιλόσοφο. Ακόµη κι εσύ, που πάντα µε υποστήριζες και µε βοηθούσες να πραγµατοποιήσω τις ιδέες µου, δεν τις έπαιρνες σοβαρά. Τις έδειχνες στους επισκέπτες σου για να διασκεδάζουν και αυτό ήταν όλο. Και µετά ήρθε ο πόλεµος και τα Ρωµαϊκά πλοία έκλεισαν το λιµάνι. Ριψοκινδύνευσα µια τυχαία παρατήρηση, ότι ρίχνοντας πέτρες σ αυτά µε έναν καταπέλτη θα τα έδιωχνα µακριά. Συµφώνησες µε την ιδέα. Δεν µπορούσα να πάρω πίσω ότι είχα πει και άρα είχα να πάω µόνο µπροστά. Αφού ξεκίνησα σ αυτόν το δρόµο έπρεπε να συνεχίσω. Αλλά τα συναισθήµατά µου ήταν από την αρχή ανάµικτα. Ήταν βέβαια η ευτυχία ότι οι εφευρέσεις µου δεν θα ήταν πια ο περίγελος και στο κάτω κάτω της γραφής είχα την ευκαιρία να δείξω στον κόσµο πως τα µαθηµατικά ήταν πραγµατικά σε δράση. Αλλά αυτό δεν ήταν το είδος της δράσης µε το οποίο ήθελα να αποδείξω την πρακτική αξία των µαθηµατικών. Είδα άνδρες να σκοτώνονται από τις µηχανές µου και αυτό µε γέµισε ενοχές. Έκανα έναν σοβαρό όρκο στην Αθηνά πως ποτέ δεν θα πω προφορικά ή γραπτά το µυστικό των µηχανών µου σε κανέναν. Προσπάθησα να καθησυχάσω την συνείδησή µου, λέγοντας στο εαυτό µου πως τα νέα για την απόκρουση των Ρωµαίων από τον Αρχιµήδη µε τα µαθηµατικά, θα φθάσει σε όλο τον Ελληνόφωνο κόσµο και αυτό θα θυµόταν ακόµα, και όταν ο πόλεµος θα είχε τελειώσει, και τα µυστικά των πολεµικών µηχανών µου θα είχαν ταφεί µαζί µε µένα. Είναι αλήθεια αγαπηµένε µου Αρχιµήδη. Παίρνω γράµµατα από βασιλιάδες που είναι φίλοι µου και µε ρωτούν για τις εφευρέσεις σου. Και τι τους απαντάς; 4
5 Τους λέω ότι αυτές οι ερωτήσεις δεν µπορούν να απαντηθούν όσο ο πόλεµος συνεχίζεται. Ελπίζω καταλαβαίνεις τώρα ποιοι είναι οι λόγοι για τους οποίους δεν δηµοσιοποιώ τα µυστικά µου. Πέτυχα να τα κρατήσω µακριά ακόµη και από αυτούς που υλοποιούν τα σχέδιά µου. Καθένας ξέρει µερικές λεπτοµέρειες µόνο. Είµαι χαρούµενος γιατί ποτέ δεν µε ρώτησες για αυτά, γιατί θα είχα αρνηθεί να σου απαντήσω. Αλλά τώρα σου κάνω κάποιες ερωτήσεις. Μην φοβάσαι, δεν θα σε ρωτήσω για τα µυστικά σου, µόνο για τις βασικές γενικές αρχές. Νοµίζω ότι µπορώ να απαντήσω σε τέτοιες ερωτήσεις χωρίς να παραβώ τον όρκο µου. Πριν αρχίσω θα ήθελα να σε ρωτήσω κάτι διαφορετικό. Γιατί είναι τόσο σηµαντικό για σένα να αποδεχθούν τις ιδέες σου σχετικά µε την χρησιµότητα των µαθηµατικών; Πιθανά ήµουν ανόητος, αλλά σκέφτηκα πως µπορούσα να αλλάξω την πορεία της ιστορίας. Λυπόµουν για το µέλλον του Ελληνικού κόσµου. Σκεφτόµουν πως αν εφαρµόζαµε τα µαθηµατικά σε µια ευρεία κλίµακα - στο κάτω κάτω τα µαθηµατικά είναι Ελληνική εφεύρεση, και πιστεύω το καλύτερο επίτευγµα του Ελληνικού πνεύµατος- θα µπορούσαµε να σώζαµε τον Ελληνικό τρόπο ζωής. Τώρα φοβούµαι ότι είναι πολύ αργά. Οι Ρωµαίοι κατακτούν όχι µόνο τις Συρακούσες αλλά όλες τις άλλες Ελληνικές πόλεις. Τελειώσαµε. Ακόµη κι αν είναι έτσι τα πράγµατα, η Ελληνικός µας πολιτισµός δεν θα χαθεί. Οι Ρωµαίοι θα τον ενστερνιστούν. Δες πως προσπαθούν να µας µιµηθούν ήδη. Αντιγράφουν τα αγάλµατά µας, µεταφράζουν την λογοτεχνία µας κι εσύ βλέπεις τον Μάρκελλο να ενδιαφέρεται για τα µαθηµατικά σου. Οι Ρωµαίοι ποτέ πραγµατικά δεν θα τα καταλάβουν.είναι τόσο πρακτικοί στο µυαλό που δεν ενδιαφέρονται για αφηρηµένες ιδέες. Ενδιαφέρονται βέβαια για την πρακτική τους εφαρµογή. Αλλά αυτά τα πράγµατα δεν µπορούν να διαχωριστούν. Κάποιος πρέπει να είναι ο οραµατιστής, ο άνθρωπος που θα ονειρεύεται τους τρόπους εφαρµογής των µαθηµατικών µε πραγµατική επιτυχία. Αυτό ακούγεται µάλλον παράδοξο. Σκέφτοµαι ότι για να εφαρµόσει κανείς τα µαθηµατικά θα πρέπει πρώτα από όλα να έχει µια καλή πρακτική αίσθηση. Αυτό µε οδηγεί στην πρώτη µου ερώτηση. Τι πραγµατικά είναι το µυστικό της νέας επιστήµης που εφεύρες ας την πούµε εφαρµοσµένα µαθηµατικά; Και ποια είναι η ουσιαστική διαφορά ανάµεσα στα δικά σου εφαρµοσµένα µαθηµατικά και αυτό το είδος µαθηµατικών ας το πούµε καθαρά µαθηµατικά που διδάσκονται στα σχολεία; 5
6 Λυπούµαι που θα σε απογοητεύσω. Δεν υπάρχει άλλο είδος µαθηµατικών από αυτά που σου έµαθαν οι δάσκαλοί σου, και όχι χωρίς επιτυχία θα έλεγα. Εφαρµοσµένα µαθηµατικά σαν µια τέχνη διαφορετική και ξεχωριστή από τα µαθηµατικά που ξέρεις δεν υπάρχουν! Το µυστικό µου λοιπόν είναι πολύ καλά κρυµµένο γιατί δεν είναι ακριβώς µυστικό. Είναι πολύ φανερό αλλά µεταµφιεσµένο. Είναι κρυµµένο όπως ένα χρυσό νόµισµα στην σκόνη του δρόµου. Εννοείς ότι αυτές οι υπέροχες µηχανές βασίζονται στα µαθηµατικά που ο κάθε άνθρωπος µε εκπαίδευση γνωρίζει; Τώρα ήρθες πιο κοντά στην αλήθεια. Μπορείς να µου δώσεις ένα παράδειγµα: Λοιπόν ας πάρουµε για παράδειγµα τους καθρέπτες που έκαναν τόσο καλά την δουλειά τους σήµερα. Αυτό που εγώ πολύ απλά έπρεπε να θυµάµαι ήταν µια γνωστή ιδιότητα της παραβολής: πάρε ένα σηµείο Ρ της παραβολής, ένωσε το µε την εστία και σχεδίασε από το Ρ µια ευθεία που είναι παράλληλη µε τον άξονα. Αυτές οι δύο ευθείες σχηµατίζουν ίσες γωνίες µε την εφαπτοµένη της παραβολής στο σηµείο Ρ. Μπορείς να βρεις αυτό το θεώρηµα στα βιβλία των διακεκριµένων συνεργατών µου στην Αλεξάνδρεια. Είναι δύσκολο να πιστέψει κανείς ότι κατέστρεψες τον µισό στόλο του Μάρκελλου µε αυτό το θεώρηµα που είναι ένα από τις εκατοντάδες παρόµοιες γεωµετρικές προτάσεις. Το θυµάµαι αµυδρά αν και έχω ξεχάσει την απόδειξή του. Πιθανά αν ακούσεις µια από τις ευφυείς αποδείξεις του θα το κατανοήσεις και πιθανά ακόµη να θαυµάσεις την οµορφιά και την κοµψότητα, αλλά αυτό είναι όλο. Μερικοί µαθηµατικοί πήγαν ακόµα ένα βήµα πιο πέρα. Εξερεύνησαν µερικά από τα καθαρά γεωµετρικά συµπεράσµατα ή επινόησαν νέες αποδείξεις, αλλά σταµάτησαν εδώ.. Εγώ απλά πήγα ένα βήµα παρακάτω. Κοίταξα επίσης στα µη- µαθηµατικά συµπεράσµατα. Σκέφτοµαι ότι ανακάλυψες κάποιον νέο νόµο της οπτικής. Η οπτική τελικά δεν είναι τίποτα άλλο από έναν κλάδος της γεωµετρίας. Αυτό που χρησιµοποίησα από την οπτική, ήταν ο νόµος της ανάκλασης µιας ακτίνας που είναι γνωστός εδώ και πολύ καιρό. Εννοείς πως για να εφαρµόσει κανείς τα µαθηµατικά δεν χρειάζεται να καταλήξει σε νέα συµπεράσµατα, αλλά µόνο να ταιριάξει ένα πρακτικό πρόβληµα µαζί µε το µαθηµατικό του συµπλήρωµα, κάτι σαν µαθηµατική πρόταση; Όχι, δεν είναι ακριβώς τόσο απλό. Αυτό συχνά συµβαίνει όταν το θεώρηµα που κάποιος χρειάζεται δεν υπάρχει και έτσι πρέπει να το βρει και να το αποδείξει µόνος του. Αλλά ακόµη και αν αυτό δεν είναι απαραίτητο, να βρεις το µαθηµατικό συµπλήρωµα όπως το λες (θα προτιµούσα να το λέγαµε µαθηµατικό µοντέλο) ενός πρακτικού προβλήµατος δεν είναι το ίδιο όπως ταιριάζουν τα γάντια. Πρώτα από όλα µπορεί κανείς να κατασκευάσει πολλά µαθηµατικά µοντέλα για το 6
7 ίδιο πρακτικό πρόβληµα και να επιλέξει το πιο κατάλληλο, αυτό που ταιριάζει όσο γίνεται σ αυτό που ο στόχος απαιτεί (ποτέ δεν µπορεί να ταιριάζει τελείως). Ταυτόχρονα, να µην είναι πολύ περίπλοκο, αλλά όµως να είναι µαθηµατικά εφικτό. Αυτά είναι βέβαια αλληλοσυγκρουόµενα και µια λεπτεπίλεπτη ισορροπία και των δύο συνήθως απαιτείται. Πρέπει να προσεγγίσεις εκ του σύνεγγυς την πραγµατική κατάσταση που είναι από κάθε άποψη σηµαντική για τους σκοπούς σου, παραµερίζοντας οτιδήποτε δεν είναι σηµαντικό για τους πραγµατικούς σου στόχους. 'Ένα µοντέλο δεν χρειάζεται να είναι από κάθε άποψη όµοιο µε την πραγµατικότητα την οποία σχηµατοποιεί. Αρκεί να µοιάζει από τις απόψεις που πραγµατικά έχουν σηµασία. Εξ άλλου, τα ίδιο µαθηµατικό µοντέλο µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να προσαρµοστεί σε εντελώς διαφορετικές πρακτικές καταστάσεις. Για παράδειρα, χρησιµοποίησα επίσης τις ιδιότητες των παραβολών για να κατασκευάσω καταπέλτες, γιατί ή τροχιά µιας πέτρας, που ρίχνεται άπα έναν καταπέλτη, µπορεί να προσεγγιστεί αρκετά ικανοποιητικά από µια παραβολή. Χρησιµοποίησα και πάλι τις παραβολές, για να υπολογίσω πόσο βαθιά θα βυθισθεί ένα πλοίο µέσα στη θάλασσα κάτω απ' το βάρος του φορτίου του. Βέβαια, ή κάθετη τοµή ενός πλοίου δεν έχει ακριβώς παραβολική µορφή, αλλά ένα περισσότερο ρεαλιστικό µοντέλο δεν θα ήταν µαθηµατικά εύχρηστο. Τ' αποτελέσµατα ωστόσο ήταν σε αρκετά καλή συµφωνία µε τα γεγονότα. Συγκεκριµένα, ήµουν σε θέση να βρω κάτω από ποιες συνθήκες ένα πλοίο θα µπορούσε να παραµείνει όρθιο, όταν χτυπιόταν απ' τον άνεµο και τα κύµατα, επειδή το κέντρο βάρους του τείνει να βρεθεί στην βαθύτερη δυνατή θέση. Στην προσπάθεια να περιγράψω µια τέτοια περίπλοκη κατάσταση, ακόµα και ένα πολύ χοντρικό µοντέλο µπορεί να είναι χρήσιµο, γιατί δίνει τουλάχιστον ποιοτικά σωστά αποτελέσµατα, και αυτά µπορεί να έχουν ακόµα µεγαλύτερη πρακτική σηµασία απ' ση τα ποσοτικά. Ή πείρα µου δίδαξε ότι ακόµα κι ένα ακατέργαστο µαθηµατικό µοντέλο µπορεί να µας βοηθήσει να καταλάβουµε καλύτερα µια πρακτική κατάσταση, γιατί στην προσπάθεια να µορφώσουµε ένα µαθηµατικό µοντέλο, αναγκαζόµαστε να σκεφτούµε πάνω σ' όλες τις λογικές δυνατότητες, να ορίσουµε όλες τις έννοιες µε σαφήνεια και χωρίς διφορούµενα και να ξεχωρίσουµε τους πρωτεύοντες απ' τους δευτερεύοντες παράγοντες. Ακόµα κι αν ένα µαθηµατικό µοντέλο οδηγεί σε αποτελέσµατα, που δεν είναι σύµφωνα µε τα γεγονότα, µπορεί να είναι χρήσιµο γιατί η αποτυχία ενός µοντέλου µπορεί να µας βοηθήσει να βρούµε ένα καλύτερο. Μου φαίνεται πως τα εφαρµοσµένα µαθηµατικά µοιάζουν µε τις εχθροπραξίες: µερικές φορές η ήττα είναι πιο πολύτιµη από την νίκη, γιατί µας βοηθά να αξιολογήσουµε την ανεπάρκεια των στρατευµάτων µας και την στρατηγική µας. Τώρα έχεις πραγµατικά αγκαλιάσει το ουσιώδες σηµείο. Πες µου κάτι περισσότερο για τα κάτοπτρά σου. Σου έχω πει ήδη την βασική ιδέα. Αφού ανακάλυψα την ιδέα να χρησιµοποιήσω την ιδιότητα της παραβολής που σου εξήγησα, είχα να απαντήσω στην ερώτηση του πώς να τρίψω και να γυαλίσω το µέταλλο σε µια µορφή κοίλου παραβολοειδούς εκ περιστροφής, αλλά προτιµώ να µην µιλήσω γι αυτό. Βέβαια είχα επίσης να επιλέξω το κατάλληλο µίγµα µετάλλων. 7
8 Χωρίς να µπαίνω στα µυστικά σου είναι προφανές ότι εκτός από τις ιδιότητες της παραβολής έπρεπε να ξέρεις αρκετά σχετικά µε τα µέταλλα και την τέχνη της επεξεργασίας τους. Αυτό δείχνει, έτσι τουλάχιστον µου φαίνεται, πως η γνώση των µαθηµατικών δεν είναι αρκετή αν κανείς θέλει να τα εφαρµόσει. Κάποιος που θέλει να εφαρµόσει τα µαθηµατικά, δεν είναι στην ίδια θέση µε αυτόν που θέλει να ιππεύσει δύο άλογα την ίδια στιγµή; Θα αλλάξω την παροµοίωσή σου: αυτός που θέλει να εφαρµόσει τα µαθηµατικά είναι όπως έναν άνθρωπο που θέλει να προσδέσει δύο άλογα στην άµαξα του. Δεν είναι δύσκολο να το κάνει. Κάποιες γνώσεις από τα άλογα και κάποιες από την άµαξα χρειάζονται, αλλά κάθε αµαξάς έχει µια τέτοια γνώση. Τώρα είµαι τελείως µπερδεµένος.: κάθε φορά που σκέπτοµαι ότι τα εφαρµοσµένα µαθηµατικά είναι µυστηριώδη, µου δείχνεις ότι είναι πραγµατικά πολύ απλά. Αλλά κάθε φορά που είµαι πεπεισµένος ότι το όλο πράγµα είναι απλό, µου επισηµαίνεις ότι είναι πολύ πιο πολύπλοκο από όσο το φαντάστηκα. σύνθετες. Οι αρχές είναι προφανείς, οι λεπτοµέρειες είναι µερικές φορές Δεν µπορώ ακόµα να καταλάβω τι εννοείς µε τον όρο µαθηµατικό µοντέλο. Πες µου περισσότερα γι αυτό. Θυµάσαι την σφαίρα που κατασκεύασα πριν µερικά χρόνια για να µιµηθώ τις κινήσεις του ήλιου, του φεγγαριού και των πέντε πλανητών, αυτό µε το οποίο ήταν δυνατό να δείξω πως συµβαίνει η έκλειψη του ήλιου και του φεγγαριού; Φυσικά, είναι ένα από τα πράγµατα στο παλάτι µου που έχω δείξεi σε όλους τους επισκέπτες. Όλοι το θεώρησαν υπέροχο. Αυτό είναι ένα µαθηµατικό µοντέλο του κόσµου; Όχι, θα το έλεγα ένα φυσικό µοντέλο. Τα µαθηµατικά µοντέλα είναι αόρατα, υπάρχουν µόνο µέσα στο µυαλό µας, και µπορούν να εκφραστούν µόνο µε τύπους. Ένα µαθηµατικό µοντέλο του κόσµου είναι αυτό που είναι κοινό µε τον πραγµατικό κόσµο και το φυσικό µου µοντέλο. Στο φυσικό µοντέλο, για παράδειγµα, κάθε πλανήτης είναι µια µικρή µπάλα στο µέγεθος ενός πορτοκαλιού. Στο µαθηµατικό µοντέλο οι πλανήτες αναπαριστώνται απλά µε σηµεία. Νοµίζω ότι αρχίζω να καταλαβαίνω τι εννοείς µε το µαθηµατικό µοντέλο. Αλλά ας γυρίσουµε στην παροµοίωση µε τα άλογα. Η τέχνη της ζεύξης των αλόγων στην άµαξα και η οδήγησή της είναι λίγο διαφορετικό από την ανατροφή και την ανάπτυξη των ζώων. Η τέχνη των εφαρµοσµένων µαθηµατικών δεν είναι λίγο ξεχωριστή από αυτήν της εύρεσης και απόδειξης των θεωρηµάτων; Για τα άλογα είσαι σωστός, αν και ο άνθρωπος που έχει αναθρέψει ένα άλογο συνήθως ξέρει τα περισσότερα γι αυτό και µπορεί να το οδηγήσει καλύτερα από οποιονδήποτε. Σε σχέση µε τα µαθηµατικά τώρα, σου έδειξα 8
9 προηγούµενα ότι για να µπορέσει κανείς να τα εφαρµόσει µε επιτυχία πρέπει να έχει µια βαθιά γνώση και αν κανείς θέλει να τα εφαρµόσει σε ένα πρωτότυπο πεδίο θα πρέπει να είναι ένας δηµιουργικός µαθηµατικός. Αντίστροφα η εµπλοκή µε εφαρµογές µπορεί να βοηθήσει στην καθαρή µαθηµατική έρευνα. παράδειγµα; Πως είναι αυτό δυνατό; Μπορείς να µου δώσεις ένα Πιθανά να θυµάσαι ότι πριν από λίγο καιρό ενδιαφερόµουν πολύ να απαντήσω σε ένα ερώτηµα της µηχανικής που αφορούσε το κέντρο βάρους ενός σώµατος. Τα αποτελέσµατα τα οποία αποκόµισα µε βοήθησαν να στήσω µηχανές και αυτές µε την σειρά τους µε βοήθησαν να αποδείξω νέες γεωµετρικές προτάσεις. Έχω αναπτύξει µια παράξενη µέθοδο που αποτελείται από υπό εξέταση γεωµετρικά προβλήµατα µε µηχανικές µελέτες που αφορούν τα κέντρα βάρους. Αυτή η µέθοδος είναι ευρετικού τύπου δηλαδή δεν µπορεί να παραγάγει ακριβείς αποδείξεις. Πολλά θεωρήµατα γινόταν καθαρά σε µένα χρησιµοποιώντας αυτή την µέθοδο του συλλογισµού. Βέβαια όσο η µέθοδος δεν παράγει ακριβή αποτελέσµατα συνέχιζα να αποδείχνω τα θεωρήµατα, που είχα εικάσει µε την µηχανική µου µέθοδο, µε παραδοσιακές γεωµετρικές µεθόδους. Είναι πολύ πιο εύκολο να υποστηρίξεις την απόδειξη, αν κάποιος προηγούµενα είχε αποκτήσει κάποια γνώση της ερώτησης µέσω µηχανικών αναλογιών και έτσι να γνωρίζει τι πρέπει να αποδειχθεί. Πες µου ένα θεώρηµα που έχεις βρει µε αυτόν το παράξενο τρόπο Το εµβαδόν οποιουδήποτε τµήµατος µιας παραβολής είναι τα τέσσερα τρίτα της επιφάνειας του τριγώνου που έχει την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Αφού βρήκα το αποτέλεσµα µε την δική µου µέθοδο, στην συνέχεια βρήκα και µια απόδειξη µε παραδοσιακό τρόπο. Αν βρήκες την απόδειξη του θεωρήµατος µε µηχανική, γιατί σκοτίστηκες για την γεωµετρική απόδειξη; Όταν στην αρχή ανακάλυψα την µέθοδό µου, τα αποτελέσµατα στα οποία κατέληγα µε την βοήθειά της δεν ήταν πάντα σωστά. Στην συνέχεια αναλύοντας τις περιπτώσεις που µε παραπλανούσε, την ανέπτυξα τόσο πολύ ώστε τώρα να µην µε παραπλανά ποτέ. Αλλά ακόµα δεν µπορώ να αποδείξω ότι κάθε αποτέλεσµα που παίρνω µε αυτό τον τρόπο είναι πραγµατικά σωστό. Πιθανά κάποιος να το αποδείξει αυτό κάποια µέρα, αλλά για την ώρα δεν έχω απόλυτη εµπιστοσύνη στην µέθοδο. 9
10 Αλλά είναι οι ακριβείς αποδείξεις, πραγµατικά απαραίτητες στα εφαρµοσµένα µαθηµατικά; Μετά από όλα αυτά το µαθηµατικό µοντέλο είναι µόνο µια προσέγγιση της πραγµατικότητας. Αν χρησιµοποιείς προσεγγιστικά σωστούς τύπους, τα αποτελέσµατά σου θα προσεγγίζουν πολύ την πραγµατικότητα και δεν θα είναι ποτέ απόλυτα σωστά. Κάνεις λάθος Βασιλιά µου. Ακριβώς επειδή το µαθηµατικό µοντέλο είναι µόνο µια προσέγγιση και υπάρχει πάντα µια ασυµφωνία µε τα γεγονότα, θα πρέπει να φροντίσουµε ώστε αυτή η ασυµφωνία να µην µεγαλώσει περισσότερο µε την σωστή χρήση των µαθηµατικών. Θα πρέπει κανείς να είναι όσο το δυνατόν ακριβής. Και µια και το έφερε η κουβέντα για τις προσεγγίσεις, υπάρχει µια κοινή παρεξήγηση ότι χρησιµοποιώντας προσεγγίσεις αποχωρείς από την µαθηµατική ακρίβεια. Οι προσεγγίσεις έχουν µια ακριβή θεωρία, και αποτελέσµατα σχετικά µε προσεγγίσεις για παράδειγµα, ανισώσεις πρέπει να αποδείχνονται τόσο αυστηρά όσο οι ταυτότητες. Πιθανά να θυµάσαι τις προσεγγίσεις που έδωσα για την επιφάνεια του κύκλου, όταν δίνεται η διάµετρος. Το απέδειξα µε αυστηρή χρήση της γεωµετρίας. µέθοδος; Σε ποια άλλα αποτελέσµατα σε οδήγησε η µηχανική σου Αυτή η µέθοδος µε οδήγησε να ανακαλύψω ότι ο όγκος µιας σφαίρας είναι τα δύο τρίτα του όγκου του περιγεγραµµένου κυλίνδρου. Σ έχω ακούσει να λες ότι θα ήθελες όταν πεθάνεις αυτό το θεώρηµα να χαραχθεί στον τάφο σου. Αυτό σηµαίνει ότι το θεωρείς το πιο αξιοσηµείωτο συµπέρασµα; Θεωρώ ότι η µέθοδος από µόνη της είναι περισσότερο ενδιαφέρουσα από κάθε επί µέρους αποτέλεσµα στο οποίο µπορώ να οδηγηθώ µε την βοήθειά της. Θυµάσαι τι σου είπα κάποτε µιλώντας για τους µοχλούς: «Δώσε µου ένα τόπο να σταθώ και µπορώ να κινήσω την γη»; Βεβαίως δεν υπάρχει τέτοιο σηµείο στον κόσµο. Εν τούτοις στα µαθηµατικά κάποιος µπορεί να έχει ένα τέτοιο σταθερό σηµείο για να βασίζεται, τα αξιώµατα και την λογική. Για να εφαρµόσεις τα 10
11 µαθηµατικά σε προβλήµατα του πραγµατικού κόσµου σηµαίνει να µετακινήσεις την γη από ένα σταθερό σηµείο των µαθηµατικών. Πάντα µου µιλάς για εφαρµοσµένα µαθηµατικά αλλά όλα τα παραδείγµατα που µου δίνεις είναι εφαρµογές της γεωµετρίας. Όσον αφορά τη γεωµετρία, µπορώ τώρα να δω πως µπορεί να εφαρµοστεί. Για παράδειγµα η λειτουργικότητα µιας µηχανής εξαρτάται από την µορφή και το µέγεθος των στοιχείων που την απαρτίζουν. Η τροχιά µιας πέτρας που ρίχνει ο καταπέλτης σου είναι µια καµπύλη, κατά προσέγγιση µια παραβολή όπως είπες. Αλλά τι συµβαίνει µε άλλους κλάδους των µαθηµατικών όπως λόγου χάριν η θεωρία αριθµών. Δύσκολα µπορώ να φανταστώ ότι µπορεί να έχει κάποιο πρακτικό ενδιαφέρον. Βεβαίως δεν µιλώ για τα στοιχεία της αριθµητικής που ξεκάθαρα χρησιµοποιούνται σε κάθε είδος υπολογισµού. Εννοώ πράγµατα όπως η διαιρετότητα, οι πρώτοι αριθµοί, το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο και άλλα παρόµοια. Λοιπόν, αν συνδέσεις δυο γρανάζια το καθένα µε διαφορετικό αριθµό δοντιών το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο έρχεται αναπόφευκτα. Σε πείθει αυτό το απλό παράδειγµα; Πρόσφατα πήρα ένα γράµµα από τον φίλο µου τον Ερατοσθένη τον Κυρηναίο, που µου έγραφε σχετικά µε µια απλή αλλά ευφυή µέθοδο την έλεγε κόσκινο την οποία επινόησε για να βρίσκει τους πρώτους αριθµούς. Σκέψου σχετικά µε αυτή την µέθοδο. Έκανα ένα σχέδιο µιας µηχανής που υλοποιεί την ιδέα. Αυτή η µηχανή λειτουργεί µε ένα σύνολο γραναζιών. Όταν το γυρίσεις ας πούµε n φορές και κοιτάξεις στην τρύπα εάν η θέα είναι ανοικτή ο αριθµός n είναι πρώτος. Αλλά αν η θέα είναι κλειστή τότε ο n είναι σύνθετος. Αυτό είναι πραγµατικά τρελό. Όταν ο πόλεµος τελειώσει, πρέπει να κατασκευάσεις την µηχανή. Θα αρέσει στους επισκέπτες µου. Αν είµαι στη ζωή. Τότε σίγουρα θα το κάνω. Αυτό θα δείχνει ότι οι µηχανές µπορούν να λύνουν µαθηµατικά προβλήµατα. Πιθανά να βοηθήσει τους µαθηµατικούς να κατανοήσουν πως ακόµα και από την δική τους σκοπιά µπορούν κάτι να κερδίσουν µελετώντας την σχέση µαθηµατικών και µηχανών. Μιλώντας για κέρδη, θα θυµηθώ µια ιστορία σχετικά µε τον Ευκλείδη. Ένας από τους µαθητές του µελετώντας γεωµετρία τον ρώτησε.» Τι θα κερδίσω µαθαίνοντας αυτά τα πράγµατα;». Αµέσως ο Ευκλείδης κάλεσε τον δούλο του και είπε. «Δώσε του ένα νόµισµα, αφού θέλει να κερδίσει από αυτό που µαθαίνει.» Μου φαίνεται πως αυτή η ιστορία δείχνει τον Ευκλείδη να σκέφτεται πως δεν είναι απαραίτητο για έναν µαθηµατικό να σκοτίζεται για την πρακτική χρήση των αποτελεσµάτων του. Φυσικά και έχω ακούσει αυτό το ανέκδοτο, αλλά θα εκπλαγείς αν σου πω ότι συµφωνώ απόλυτα µε τον Ευκλείδη. Κι εγώ το ίδιο θα έλεγα σε κάτι παρόµοιο. Τώρα µπερδεύτηκα ξανά. Μέχρι τώρα µιλούσες µε ενθουσιασµό για τις εφαρµογές των µαθηµατικών, και τώρα συµφωνείς µε τους καθαρολόγους που σκέφτονται πως η µόνη ανταµοιβή που ένας επιστήµονας προσδοκά είναι η ευχαρίστηση της γνώσης. 11
12 Νοµίζω ότι εσύ και πολλοί άλλοι έχετε παρανοήσει την ιστορία µε τον Ευκλείδη. Δεν σηµαίνει ότι δεν ενδιαφέρεται για τα πρακτικά συµπεράσµατα των µαθηµατικών και τα θεωρεί ανάξια για έναν φιλόσοφο. Αυτό είναι καθαρά εκτός λογικής. Έχει γράψει όπως πολύ καλά γνωρίζεις το βιβλίο µε τίτλο Φαινόµενα, σχετικά µε την αστρονοµία και ένα βιβλίο στην οπτική και επίσης πιθανότατα είναι ο συγγραφέας του βιβλίου Κάτοπτρα που χρησιµοποίησα για την κατασκευή των κατόπτρων, είχε επίσης ενδιαφερθεί για την µηχανική. Όπως εγώ καταλαβαίνω την ιστορία ο Ευκλείδης ήθελε να δώσει έµφαση στο αξιοσηµείωτο γεγονός πως τα µαθηµατικά ανταµείβουν µόνο όσους ενδιαφέρονται γι αυτά, όχι µόνο για την ανταµοιβή αλλά και για τα ίδια τα µαθηµατικά. Τα µαθηµατικά είναι όπως την κόρη σου την Ελένη, που υποψιάζεσαι κάθε φορά έναν µνηστήρα που εµφανίζεται ότι δεν την αγαπάει πραγµατικά, αλλά ενδιαφέρεται µόνο και µόνο γιατί θέλει να γίνει γαµπρός του βασιλιά. Εκείνη θέλει έναν άνδρα να την αγαπάει για την οµορφιά της, την εξυπνάδα και την γοητεία της και όχι για τα πλούτη και την δύναµη που θα αποκτήσει αν την παντρευτεί. Έτσι και τα µαθηµατικά αποκαλύπτουν τα µυστικά τους µόνο σ εκείνους που τα προσεγγίζουν µε καθαρή αγάπη για την οµορφιά τους. Αυτοί που το κάνουν βέβαια ανταµείβονται µε αποτελέσµατα πρακτικού ενδιαφέροντος. Αλλά αν κάποιος ρωτά σε κάθε βήµα «Τι µπορώ να κερδίσω από αυτό;, δεν θα πάει πολύ µακριά. Θυµάσαι ότι σου έχω πει ότι οι Ρωµαίοι ποτέ δεν θα πετύχουν πραγµατικά να εφαρµόσουν τα µαθηµατικά. Λοιπόν τώρα βλέπεις το γιατί. Είναι τόσο πρακτικοί άνθρωποι στην σκέψη. Νοµίζω ότι θα έπρεπε να µάθουµε από τους Ρωµαίους, Τότε θα είχαµε καλύτερες ευκαιρίες να τους πολεµήσουµε. Δεν συµφωνώ. Αν προσπαθούσαµε να κερδίσουµε παραδίνοντας τις ιδέες που µας καθορίζουν, και µιµούµενοι τους αντιπάλους µας, θα είχαµε χάσει πριν καν οι εχθροπραξίες αρχίσουν. Ακόµη και αν κερδίζαµε τον πόλεµο µε αυτό τον τρόπο δεν θα άξιζε τον κόπο. Μια τέτοια νίκη είναι χειρότερη από την ήτα. Ας µην συνεχίσουµε την κουβέντα µας µε τον πόλεµο. Ας γυρίσουµε στα µαθηµατικά. Πες µου, πως κατασκευάζεις τα µαθηµατικά σου µοντέλα; Είναι δύσκολο να σου το εξηγήσω µε γενικούς όρους. Πιθανά µια παροµοίωση να βοηθήσει. Ένα µαθηµατικό µοντέλο ενός πραγµατικού προβλήµατος είναι κάτι σαν την σκιά του στην οθόνη του µυαλού. Μου φαίνεται πως η φιλοσοφία σου είναι ακριβώς αντίθετη από του Πλάτωνα. Εκείνος λέει ότι τα αληθινά πράγµατα είναι οι σκιές των ιδεών, ενώ αν καλά κατάλαβα την έννοια αυτών που είπες, εσύ λες πως οι ιδέες είναι οι σκιές της πραγµατικότητας. Οι δύο απόψεις δεν απέχουν πολύ µεταξύ τους όπως φαίνεται. Ο Πλάτωνας µπερδευόταν από την αντιστοιχία ανάµεσα στις µαθηµατικές ιδέες και την πραγµατικότητα, και σκέφτηκε πως το βασικό καθήκον της φιλοσοφίας είναι να εξηγήσει αυτή την αντιστοιχία. Μέχρι αυτό το σηµείο συµφωνώ µαζί του πλήρως. Δεν συµφωνώ µε την εξήγηση που δίνει, αλλά τουλάχιστον βλέπει το πρόβληµα καθαρά και προσπαθεί να επεξεργαστεί µια από τις λογικά πιθανές απαντήσεις. Αλλά 12
13 νοµίζω ότι πρέπει να αφήσουµε την φιλοσοφία και να γυρίσουµε στα γεγονότα της ζωής κάποιος χτυπάει την πόρτα. Θα ανοίξω. Άσε θα το κάνω εγώ. Πρέπει να είναι ο απεσταλµένος µε την απάντηση του Μάρκελλου. Εδώ είναι το µήνυµα. Ποια είναι η απάντηση; Διάβασέ την µόνος σου. Να δώ. «Ο Μάρκελλος στέλνει τους χαιρετισµούς του στον Βασιλέα Ιέρωνα και αναγγέλλει ότι θα κατακτήσει τις Συρακούσες πριν το καινούργιο φεγγάρι. Τότε ο Βασιλιάς Ιέρων θα αντιληφθεί ότι ένας Ρωµαίος κρατά το λόγο του» Τώρα τι σκέφτεσαι γι αυτό; Τα Ελληνικά του δεν είναι και τόσο χάλια. Όσον αφορά το περιεχόµενο κάπως έτσι το περίµενα. Πραγµατικά η πρόβλεψή σου ήταν τόσο σωστή, σαν να την βρήκες µε την µέθοδό σου. Τουλάχιστον ξέρουµε τι να περιµένουµε. Πρέπει να πηγαίνω, χρειάζοµαι λίγο ύπνο. Αύριο έχουµε να προετοιµαστούµε για µια καινούρια επίθεση. Σ ευχαριστώ γι αυτήν την ενδιαφέρουσα συζήτηση. Την ευχαριστήθηκα πολύ. Δεν έχω συχνά την ευκαιρία να µιλώ για µαθηµατικά στην εποχή µας. Ευχαριστώ και πάλι για τον υπέροχο δίσκο. Χαίροµαι που σου αρέσει. Καληνύχτα φίλε µου. Νοµίζω ότι κι εσύ χρειάζεσαι ξεκούραση. Καληνύχτα βασιλιά µου. Δεν θα κοιµηθώ ακόµα. Θέλω να τελειώσω ένα γράµµα στον φίλο µου τον Δοσίθεο σχετικά µε τα τελευταία µου συµπεράσµατα. Τώρα που ο Ρωµαϊκός στόλος έφυγε, θα υπάρξουν σίγουρα πλοία που θα φύγουν αύριο από το λιµάνι, αλλά πιθανά από µεθαύριο οι Ρωµαίοι θα κάνουν αποκλεισµό ξανά. Θέλω να αξιοποιήσω αυτή την ευκαιρία. Πιθανά να είναι και η τελευταία. Από τους Διαλόγους στα Μαθηµατικά, Alfred Renyi, σελίδες 29 έως 48 LC number QA 9.R
Εργασία Οδύσσειας: θέμα 2 ο «Γράφω το ημερολόγιο του κεντρικού ήρωα ή κάποιου άλλου προσώπου» Το ημερολόγιο της Πηνελόπης
Το ημερολόγιο της Πηνελόπης Εργασία Οδύσσειας: θέμα 2 ο «Γράφω το ημερολόγιο του κεντρικού ήρωα ή κάποιου άλλου προσώπου» Το ημερολόγιο της Πηνελόπης Το ημερολόγιο: «ημέρα της αποχώρησης Αγαπημένο μου
Διαβάστε περισσότεραΝΗΦΟΣ: Ένα λεπτό µόνο, να ξεµουδιάσω. Χαίροµαι που σε βλέπω. Μέρες τώρα θέλω κάτι να σου πω.
Νήφο. Πεταλία; Εγώ, ναι. Σήκω. Δεν ξέρω αν µπορώ. Μπορείς. Είµαι κουρασµένος. Ήρθε η ώρα, όµως. Τα χέρια µου έχουν αίµατα. Τα πόδια µου είναι σαν κάποιου άλλου. Δεν έχουµε πολύ χρόνο. Ένα λεπτό µόνο, να
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΔΡΑΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΟΥ ΤΡΟΜΟΥ
ΑΠΟΔΡΑΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΟΥ ΤΡΟΜΟΥ - Α,α,α,α,α,α,α! ούρλιαξε η Νεφέλη - Τρομερό! συμπλήρωσε η Καλλιόπη - Ω, Θεέ μου! αναφώνησα εγώ - Απίστευτα τέλειο! είπε η Ειρήνη και όλες την κοιτάξαμε λες και είπε
Διαβάστε περισσότεραΤράντα Βασιλική Β εξάμηνο Ειδικής Αγωγής
Τράντα Βασιλική Β εξάμηνο Ειδικής Αγωγής Ο Μικρός Πρίγκιπας έφτασε στη γη. Εκεί είδε μπροστά του την αλεπού. - Καλημέρα, - Καλημέρα, απάντησε ο μικρός πρίγκιπας, ενώ έψαχνε να βρει από πού ακουγόταν η
Διαβάστε περισσότερα6. '' Καταλαβαίνεις οτι κάτι έχει αξία, όταν το έχεις στερηθεί και το αναζητάς. ''
1. '' Τίποτα δεν είναι δεδομένο. '' 2. '' Η μουσική είναι η τροφή της ψυχής. '' 3. '' Να κάνεις οτι έχει νόημα για σένα, χωρίς όμως να παραβιάζεις την ελευθερία του άλλου. '' 4. '' Την πραγματική μόρφωση
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΙΕΣ. Α ομάδα. Αφού επιλέξεις τρία από τα παραπάνω αποσπάσματα που σε άγγιξαν περισσότερο, να καταγράψεις τις δικές σου σκέψεις.
Α ομάδα ΕΡΓΑΣΙΕΣ 1. Η συγγραφέας του βιβλίου μοιράζεται μαζί μας πτυχές της ζωής κάποιων παιδιών, άλλοτε ευχάριστες και άλλοτε δυσάρεστες. α) Ποια πιστεύεις ότι είναι τα μηνύματα που θέλει να περάσει μέσα
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΟΝΕΙΡΟ ΚΑΙ ΤΟ Σ ΑΓΑΠΑΩ
ΤΟ ΟΝΕΙΡΟ ΚΑΙ ΤΟ Σ ΑΓΑΠΑΩ (Αόρατος) ΑΦΗΓΗΤΗΣ: Κάποτε στη γη γεννήθηκε το Όνειρο. Το όνομά του δεν ήταν έτσι, όμως επειδή συνεχώς ονειρευόταν, όλοι το φώναζαν Όνειρο. Δεν ήταν κάτι το σπουδαίο, ήταν σαν
Διαβάστε περισσότεραΤο ημερολόγιό μου Πηνελόπη
Το ημερολόγιό μου Πηνελόπη Οι πρώτες μου σκέψεις Ο Οδυσσέας έφυγε και τώρα είμαι μόνη μου. Πρέπει να τα έχω όλα υπό έλεγχο Όμως, με τους μνηστήρες στα πόδια μου δε μπορώ άλλο!!! Πρέπει κάτι να κάνω γιατί
Διαβάστε περισσότεραΤο ημερολόγιο της Πηνελόπης
Το ημερολόγιο της Πηνελόπης Κωνσταντίνα Τσαφαρά Αγαπημένο μου ημερολόγιο, Πάνε δέκα χρόνια που λείπει ο σύζυγός μου, ο Οδυσσέας. Τον γιο του τον άφησε μωρό και τώρα έχει γίνει πια ολόκληρος άντρας και
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ. Εργασία για το σπίτι. Απαντούν μαθητές του Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Εργασία για το σπίτι Απαντούν μαθητές του Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Απαντά η Μαρίνα Βαμβακίδου Ερώτηση 1. Μπορείς να φανταστείς τη ζωή μας χωρίς
Διαβάστε περισσότεραΜια νύχτα. Μπαίνω στ αμάξι με το κορίτσι μου και γέρνει γλυκά στο πλάϊ μου και το φεγγάρι λες και περπατάει ίσως θέλει κάπου να μας πάει
Μια νύχτα Μπαίνω στ αμάξι με το κορίτσι μου και γέρνει γλυκά στο πλάϊ μου και το φεγγάρι λες και περπατάει ίσως θέλει κάπου να μας πάει Μια νύχτα σαν κι αυτή μια νύχτα σαν κι αυτή θέλω να σου πω πόσο σ
Διαβάστε περισσότεραΤο παραμύθι της αγάπης
Το παραμύθι της αγάπης Μια φορά και ένα καιρό, μια βασίλισσα έφερε στον κόσμο ένα παιδί τόσο άσχημο που σχεδόν δεν έμοιαζε για άνθρωποs. Μια μάγισσα που βρέθηκε σιμά στη βασίλισσα την παρηγόρησε με τούτα
Διαβάστε περισσότεραΑγαπητό ημερολόγιο, Τον τελευταίο καιρό μου λείπει πολύ η πατρίδα μου, η γυναίκα μου και το παιδί μου. Θέλω απεγνωσμένα να επιστρέψω στον λαό μου και
Αγαπητό ημερολόγιο, Τον τελευταίο καιρό μου λείπει πολύ η πατρίδα μου, η γυναίκα μου και το παιδί μου. Θέλω απεγνωσμένα να επιστρέψω στον λαό μου και να πατήσω το χώμα της θαλασσοφίλητης Ιθάκης. Έτσι,
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΔΕΛΤΙΩΣΗ
Ημερομηνία 14/4/2015 Μέσο Συντάκτης Link www.thessalikipress.gr Θεοδώρα Τζανή http://www.thessalikipress.gr/eidiseis/biblio/e-stigmoula-einai-dunate-ste-thessalikepress.html MEAT INFO ''Η στιγμούλα είναι
Διαβάστε περισσότερα1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007
1 / 15 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έρευνα υποστηριζόµενη από τη Γενική ιεύθυνση Εκπαίδευσης και Πολιτισµού της Ε.Ε., στο πλαίσιο του προγράµµατος Σωκράτης «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο
Διαβάστε περισσότεραΡένα Ρώσση-Ζαΐρη: Στόχος μου είναι να πείσω τους αναγνώστες μου να μην σκοτώσουν το μικρό παιδί που έχουν μέσα τους 11 May 2018
Ρένα Ρώσση-Ζαΐρη: Στόχος μου είναι να πείσω τους αναγνώστες μου να μην σκοτώσουν το μικρό παιδί που έχουν μέσα τους 11 May 2018 by Rena Mavridou Αγαπητή Ρένα Ρώσση-Ζαΐρη, πώς προέκυψε η συγγραφή στη ζωή
Διαβάστε περισσότεραΑΝ ΚΑΙ ΖΩ ΣΤΟΝ ΒΥΘΌ, το ξέρω καλά πια. Ο καλύτερος τρόπος να επικοινωνήσεις με τους ανθρώπους και να τους πεις όσα θέλεις είναι να γράψεις ένα
ΑΝ ΚΑΙ ΖΩ ΣΤΟΝ ΒΥΘΌ, το ξέρω καλά πια. Ο καλύτερος τρόπος να επικοινωνήσεις με τους ανθρώπους και να τους πεις όσα θέλεις είναι να γράψεις ένα βιβλίο. Υπάρχουν έξι βιβλία με τις ιστορίες μου, μα σε όλα
Διαβάστε περισσότεραΧάρτινη αγκαλιά. Σχολή Ι.Μ.Παναγιωτόπουλου, Β Γυμνασίου
Χάρτινη αγκαλιά Σχολή Ι.Μ.Παναγιωτόπουλου, Β Γυμνασίου Εργασίες 1 α ) Κατά τη γνώμη μου, το βιβλίο που διαβάσαμε κρύβει στις σελίδες του βαθιά και πολύ σημαντικά μηνύματα, που η συγγραφέας θέλει να μεταδώσει
Διαβάστε περισσότεραΧάνς Κρίστιαν Άντερσεν
http://hallofpeople.com/gr/bio/andersen.php Χάνς Κρίστιαν Άντερσεν Τα καινούργια ρούχα του αυτοκράτορα Μια φορά κι έναν καιρό, σε μια μακρινή χώρα, ζούσε ένας γκρινιάρης βασιλιάς. Κάθε μέρα ζητούσε από
Διαβάστε περισσότεραΟι αριθμοί σελίδων με έντονη γραφή δείχνουν τα κύρια κεφάλαια που σχετίζονται με το θέμα. ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑ
Τί σε απασχολεί; Διάβασε τον κατάλογο που δίνουμε παρακάτω και, όταν συναντήσεις κάποιο θέμα που απασχολεί κι εσένα, πήγαινε στις σελίδες που αναφέρονται εκεί. Διάβασε τα κεφάλαια, που θα βρεις σ εκείνες
Διαβάστε περισσότεραΜαμά, γιατί ο Φώτης δε θέλει να του πιάσω το χέρι; Θα σου εξηγήσω, Φωτεινή. Πότε; Αργότερα, όταν μείνουμε μόνες μας. Να πάμε με τον Φώτη στο δωμάτιό
- Μαμά, γιατί ο Φώτης δε θέλει να του πιάσω το χέρι; Θα σου εξηγήσω, Φωτεινή. Πότε; Αργότερα, όταν μείνουμε μόνες μας. Να πάμε με τον Φώτη στο δωμάτιό μου να παίξουμε; Αν θέλει, ναι. Προσπάθησε να μην
Διαβάστε περισσότεραΕυχαριστώ Ολόψυχα για την Δύναμη, την Γνώση, την Αφθονία, την Έμπνευση και την Αγάπη...
Ευχαριστώ Ολόψυχα για την Δύναμη, την Γνώση, την Αφθονία, την Έμπνευση και την Αγάπη... τον Δάσκαλο μου, Γιώργο Καραθάνο την Μητέρα μου Καλλιόπη και τον γιο μου Ηλία-Μάριο... Ευχαριστώ! 6 ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΟΥΣ
Διαβάστε περισσότεραΤο κορίτσι με τα πορτοκάλια. Εργασία Χριστουγέννων στο μάθημα της Λογοτεχνίας. [Σεμίραμις Αμπατζόγλου] [Γ'1 Γυμνασίου]
Το κορίτσι με τα πορτοκάλια Εργασία Χριστουγέννων στο μάθημα της Λογοτεχνίας [Σεμίραμις Αμπατζόγλου] [Γ'1 Γυμνασίου] Εργασία Χριστουγέννων στο μάθημα της Λογοτεχνίας: Σεμίραμις Αμπατζόγλου Τάξη: Γ'1 Γυμνασίου
Διαβάστε περισσότεραο ΣΤΑΤΙΚΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ
ο ΣΤΑΤΙΚΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ η ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΓΕΓΟΝΟΤΑ και ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ οι ΙΔΕΕΣ και οι ΕΝΝΟΙΕΣ ηλεκτρικό φορτίο και ηλεκτρικό φορτίο στο µεταξύ κάποιος τον αναγκάζει να µε πλησιάζει κι όσο µε πλησιάζει τόσο περισσότερο
Διαβάστε περισσότεραΤο Ηµερολόγιο των Μάγιας και τα Χρήµατα από τον ρ. Καρλ Τζοχάν Κάλλεµαν
Το Ηµερολόγιο των Μάγιας και τα Χρήµατα Από τον ρ. Καρλ Τζοχάν Κάλλεµαν Λοιπόν, ήθελα να µιλήσω για δυο πράγµατα που νοµίζω δεν συνδέονται πάντα αλλά, πραγµατικά θα τους άξιζε µια σύνδεση. Το ένα είναι
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ 1
ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ 1 ΠΡΟΣΔΟΚΙΑ: Σεβασμός Κοινωνική δεξιότητα: Ακούω τον ομιλητή στο μάθημα Στόχοι μαθήματος: Ο μαθητής να: 1. Ονομάζει τα βασικά βήματα της κοινωνικής
Διαβάστε περισσότεραΣελίδα 1 Σελίδα 2 Το παρόν έργο είναι πνευματική ιδιοκτησία της συγγραφέα και προστατεύεται σύμφωνα με τις διατάξεις του Ελληνικού Νόμου 2121/1993 και τους κανόνες του Διεθνούς Δικαίου που ισχύουν και
Διαβάστε περισσότεραΕντυπώσεις μαθητών σεμιναρίου Σώμα - Συναίσθημα - Νούς
Εντυπώσεις μαθητών σεμιναρίου Σώμα - Συναίσθημα - Νούς A...Τα αισθήματα και η ενεργεία που δημιουργήθηκαν μέσα μου ήταν μοναδικά. Μέσα στο γαλάζιο αυτό αυγό, ένιωσα άτρωτος, γεμάτος χαρά και αυτοπεποίθηση.
Διαβάστε περισσότεραΜανώλης Ισχάκης - Πνευματικά δικαιώματα - για περισσότερη εκπαίδευση
1 Τρίτο Μάθημα Οδηγός Δραστηριότητας Επισκόπηση... 3 Περίληψη... 3-6 Ώρα για δράση... 7-17 Σημειώσεις... 18 2 Μάθημα Τρίτο - Επισκόπηση Σε αυτό το μάθημα θα μάθεις τις 7 συνήθειες των πετυχημένων ανθρώπων.
Διαβάστε περισσότεραΜανώλης Ισχάκης - Πνευματικά δικαιώματα -www.manolisischakis.gr για περισσότερη εκπαίδευση
1 Τέταρτο Μάθημα Οδηγός Δραστηριότητας Επισκόπηση... 3 Περίληψη... 3-5 Ώρα για δράση... 6-14 Σημειώσεις... 15 2 Μάθημα Πέμπτο- Επισκόπηση Σε αυτό το μάθημα θα μάθεις πώς να διαχειριστείς την λεπτή γραμμή
Διαβάστε περισσότεραΜεγάλο βραβείο, μεγάλοι μπελάδες. Μάνος Κοντολέων. Εικονογράφηση: Τέτη Σώλου
Συλλογή Περιστέρια 148 Εικονογράφηση εξωφύλλου: Εύη Τσακνιά 1. Το σωστό γράψιμο Έχεις προσέξει πως κάποια βιβλία παρακαλούμε να μην τελειώσουν ποτέ κι άλλα, πάλι, από την πρώτη κιόλας σελίδα τα βαριόμαστε;
Διαβάστε περισσότεραΟ εγωιστής γίγαντας. Μεταγραφή : Γλυμίτσα Ευθυμία. Διδασκαλείο Δημοτικής Εκπαίδευσης. «Αλέξανδρος Δελμούζος»
Ο εγωιστής γίγαντας Μεταγραφή : Γλυμίτσα Ευθυμία Διδασκαλείο Δημοτικής Εκπαίδευσης «Αλέξανδρος Δελμούζος» 2010-2011 Κάθε απόγευμα μετά από το σχολείο τα παιδιά πήγαιναν για να παίξουν στον κήπο του γίγαντα.
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΚΟΡΙΤΣΙ ΜΕ ΤΑ ΠΟΡΤΟΚΑΛΙΑ ΤΟΥ JOSTEIN GAARDER
ΤΟ ΚΟΡΙΤΣΙ ΜΕ ΤΑ ΠΟΡΤΟΚΑΛΙΑ ΤΟΥ JOSTEIN GAARDER 1 Α Ομάδα «Κάθεσαι καλά, Γκέοργκ; Καλύτερα να καθίσεις, γιατί σκοπεύω να σου διηγηθώ μια ιστορία για γερά νεύρα». Με αυτόν τον τρόπο ο συγγραφέας του βιβλίου
Διαβάστε περισσότερα«Πώς να ξέρει κανείς πού στέκει; Με αγγίζεις στο παρελθόν, σε νιώθω στο παρόν» Μυρσίνη-Νεφέλη Κ. Παπαδάκου «Νερό. Εγώ»
«Πώς να ξέρει κανείς πού στέκει; Με αγγίζεις στο παρελθόν, σε νιώθω στο παρόν» Μυρσίνη-Νεφέλη Κ. Παπαδάκου «Νερό. Εγώ» ΚΕΦΆΛΑΙΟ 1 ΘΑ ΣΟΥ ΠΩ τι πιστεύω για την εξαφάνιση, αλλά δώσε μου λίγο χρόνο. Όχι,
Διαβάστε περισσότεραΑπό όλα τα παραμύθια που μου έλεγε ο πατέρας μου τα βράδια πριν κοιμηθώ, ένα μου άρεσε πιο πολύ. Ο Σεβάχ ο θαλασσινός. Επτά ταξίδια είχε κάνει ο
4 Από όλα τα παραμύθια που μου έλεγε ο πατέρας μου τα βράδια πριν κοιμηθώ, ένα μου άρεσε πιο πολύ. Ο Σεβάχ ο θαλασσινός. Επτά ταξίδια είχε κάνει ο Σεβάχ. Για να δει τον κόσμο και να ζήσει περιπέτειες.
Διαβάστε περισσότεραμέρα, σύντομα δε θα μπορούσε πια να σωθεί από βέβαιο αφανισμό, αποφάσισε να ζητήσει τη βοήθεια του Ωκεανού.
Το βιβλίο του Βαγγέλη Ηλιόπουλου "Η Μεσόγειος είμαι εγώ και δεν είμαι πια εδώ" επιλέχθηκε για να αποτελέσει τη βάση για το θεατρικό δρώμενο, που θα αποτελέσει την παρουσίαση της Ερευνητικής Εργασίας :
Διαβάστε περισσότεραΗ συγγραφέας Πένυ Παπαδάκη και το «ΦΩΣ ΣΤΙΣ ΣΚΙΕΣ» Σάββατο, 21 Νοεμβρίου :20
Η συγγραφέας Πένυ Παπαδάκη και το «ΦΩΣ ΣΤΙΣ ΣΚΙΕΣ» Σάββατο, 21 Νοεμβρίου 2015-22:20 Από τη Μαίρη Γκαζιάνη «Μέσω της μυθοπλασίας, αποδίδω τη δικαιοσύνη που θα ήθελα να υπάρχει» μας αποκαλύπτει η συγγραφέας
Διαβάστε περισσότεραThe best of A2 A3 A4. ΟΜΗΡΟΥ ΟΔΥΣΣΕΙΑ, α Από το Α συμβούλιο των θεών με την Αθηνά στην Ιθάκη. ως τη μεταστροφή του Τηλέμαχου.
ΟΜΗΡΟΥ ΟΔΥΣΣΕΙΑ, α 26-497 Από το Α συμβούλιο των θεών με την Αθηνά στην Ιθάκη ως τη μεταστροφή του Τηλέμαχου The best of A2 A3 A4 2015-2016 Σοφία Χαντζή Τι εγωιστές που είναι αυτοί οι άνθρωποι! Φορτώνουν
Διαβάστε περισσότεραΜεταξία Κράλλη! Ένα όνομα που γνωρίζουν όλοι οι αναγνώστες της ελληνικής λογοτεχνίας, ωστόσο, κανείς δεν ξέρει ποια
Δευτέρα, Ιουνίου 16, 2014 ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΗΣ ΜΕΤΑΞΙΑΣ ΚΡΑΛΛΗ Η Μεταξία Κράλλη είναι ένα από τα δημοφιλέστερα πρόσωπα της σύγχρονης ελληνικής λογοτεχνίας. Μετά την κυκλοφορία του πρώτου της βιβλίου, "Μια φορά
Διαβάστε περισσότεραΔεύτερη διδακτική πρόταση Έλεγχος επίδοσης στο σχολείο. 1 φωτοτυπία ανά μαθητή με τον έλεγχο παραγωγή προφορικού λόγου, παραγωγή γραπτού λόγου
Κατανόηση προφορικού λόγου Επίπεδο B Δεύτερη διδακτική πρόταση Έλεγχος επίδοσης στο σχολείο Ενδεικτική διάρκεια: Ομάδα-στόχος: Διδακτικός στόχος: Στρατηγικές: Υλικό: Ενσωμάτωση δραστηριοτήτων: 1 διδακτική
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η )
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ (ΦΑΣΗ 1 η ) 1 ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΟΥ JACKSON POLLOCK ΣΤΟΝ ΔΗΜΟΣΙΟΓΡΑΦΟ WILLIAM WRIGHT ΤΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ ΤΟΥ 1950. Το καλοκαίρι του 1950 o δημοσιογράφος William Wright πήρε μια πολύ ενδιαφέρουσα ηχογραφημένη
Διαβάστε περισσότεραALBUM ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ 2010 ΦΥΣΑΕΙ
ALBUM ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ 2010 ΦΥΣΑΕΙ Μη µου µιλάς γι' αυτά που ξεχνάω Μη µε ρωτάς για καλά κρυµµένα µυστικά Και µε κοιτάς... και σε κοιτώ... Κι είναι η στιγµή που δεν µπορεί να βγεί απ' το µυαλό Φυσάει... Κι είναι
Διαβάστε περισσότεραΣΚΕΤΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΝΟΜΙΛΙΑ. ΑΡΗΣ (Συναντώνται μπροστά στη σκηνή ο Άρης με τον Χρηστάκη.) Γεια σου Χρηστάκη, τι κάνεις;
ΣΚΕΤΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΝΟΜΙΛΙΑ ΑΡΗΣ (Συναντώνται μπροστά στη σκηνή ο Άρης με τον Χρηστάκη.) Γεια σου Χρηστάκη, τι κάνεις; ΧΡΗΣΤΑΚΗΣ Μια χαρά είμαι. Εσύ; ΑΡΗΣ Κι εγώ πολύ καλά. Πάρα πολύ καλά! ΧΡΗΣΤΑΚΗΣ Σε βλέπω
Διαβάστε περισσότεραΗ Κωνσταντίνα και οι αράχνες
Η Κωνσταντίνα και οι αράχνες ΑΛΚΗ ΖΕΗ ΜΕΛΗ ΟΜΑΔΑΣ: ΚΥΔΩΝΑΚΗ ΕΜΜΑΝΟΥΕΛΑ, ΘΕΟΛΟΓΟΥ ΝΕΦΕΛΗ Η Κωνσταντίνα είναι το μόνο παιδί που έχουν αποκτήσει οι γονείς της, όχι όμως και το μόνο εγγόνι που έχει αποκτήσει
Διαβάστε περισσότερα«Γκρρρ,» αναφωνεί η Ζέτα «δεν το πιστεύω ότι οι άνθρωποι μπορούν να συμπεριφέρονται έτσι μεταξύ τους!»
26 σχεδιασε μια ΦωτογρΑΦιΑ τήσ προσκλήσήσ που ελαβεσ Απο τον ΔΑσκΑλο σου. παρουσιασε το λογοτυπο και το σλογκαν που χρήσιμοποιει το σχολειο σου για τήν εβδομαδα κατα τήσ παρενοχλήσήσ. ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΠΑΡΕΝΟΧΛΗΣΗ
Διαβάστε περισσότεραA READER LIVES A THOUSAND LIVES BEFORE HE DIES.
A READER LIVES A THOUSAND LIVES BEFORE HE DIES. 1. Η συγγραφέας του βιβλίου μοιράζεται μαζί μας πτυχές της ζωής κάποιων παιδιών, άλλοτε ευχάριστες και άλλοτε δυσάρεστες. α) Ποια πιστεύεις ότι είναι τα
Διαβάστε περισσότερα«Tα 14 Πράγματα που Κάνουν οι Καταπληκτικοί Γονείς», από την ψυχολόγο-συγγραφέα Dr. Λίζα Βάρβογλη!
«Tα 14 Πράγματα που Κάνουν οι Καταπληκτικοί Γονείς», από την ψυχολόγο-συγγραφέα Dr. Λίζα Βάρβογλη! Οι καταπληκτικοί γονείς κάνουν καταπληκτικά πράγματα! Και δεν εννοώ περίπλοκα, δύσκολα, ή κάτι τέτοιο,
Διαβάστε περισσότεραΜΠΑ Μ! Μ Π Α Μ! Στη φωτογραφία μάς είχαν δείξει καλύτερη βάρκα. Αστραφτερή και καινούρια, με χώρο για όλους.
ΕΙΝΑΙ ΑΤΥΧΙΑ ΝΑ ΤΑΞΙΔΕΥΕΙΣ ΜΕ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ. Νούρου Εγώ Κουάμι ο αδερφός μου Ράζακ ένας φίλος που συναντήσαμε στον δρόμο Στη φωτογραφία μάς είχαν δείξει καλύτερη βάρκα. Αστραφτερή και καινούρια, με χώρο για
Διαβάστε περισσότεραΕπιλέγω τα συναισθήματα που βιώνω, και αποφασίζω για τον στόχο που θέλω να πετύχω.
Η ΕΥΘΥΝΗ ΓΙΑ ΤΟ ΤΙ ΒΛΕΠΕΙΣ - Από το Κεφάλαιο 21, II. THE RESPONSIBILITY FOR SIGHT - 1. Έχουμε πει επανειλημμένα το πόσα λίγα σου ζητούνται για να μάθεις αυτά τα μαθήματα. Είναι η ίδια μικρή προθυμία που
Διαβάστε περισσότεραΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ:
ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 2007-2008 Τάξη: Γ 3 Όνομα: Η μύτη μου είναι μεγάλη. Όχι μόνο μεγάλη, είναι και στραβή. Τα παιδιά στο νηπιαγωγείο με λένε Μυτόγκα. Μα η δασκάλα τα μαλώνει: Δεν
Διαβάστε περισσότεραΠώς γράφεις αυτές τις φράσεις;
Πρόλογος Όταν ήμουν μικρός, ούτε που γνώριζα πως ήμουν παιδί με ειδικές ανάγκες. Πώς το ανακάλυψα; Από τους άλλους ανθρώπους που μου έλεγαν ότι ήμουν διαφορετικός, και ότι αυτό ήταν πρόβλημα. Δεν είναι
Διαβάστε περισσότεραΚείμενα Κατανόησης Γραπτού Λόγου
Κέντρο Ελληνικής Γλώσσας Πιστοποίηση Επάρκειας της Ελληνομάθειας 18 Ιανουαρίου 2013 A2 Κείμενα Κατανόησης Γραπτού Λόγου Διάρκεια Εξέτασης 30 λεπτά Διάρκεια Εξέτασης 30 λεπτά Ερώτημα 1 (7 μονάδες) Διαβάζετε
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΓΟΝΤΑΣ ΤΟ ΔΡΟΜΟ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΘΕΤΙΚΗ ΑΛΛΑΓΗ. Του Ρόµπερτ Ηλία Νατζέµυ
ΑΝΟΙΓΟΝΤΑΣ ΤΟ ΔΡΟΜΟ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΘΕΤΙΚΗ ΑΛΛΑΓΗ Του Ρόµπερτ Ηλία Νατζέµυ Στην σελίδα http://www.armonikizoi.com/2016/ek θα βρείτε χρήσιµες πληροφορίες και τεχνικές για την απελευθέρωση από εσωτερικά εµπόδια
Διαβάστε περισσότεραΜανώλης Ισχάκης - Πνευματικά δικαιώματα - για περισσότερη εκπαίδευση
1 Έβδομο Μάθημα Οδηγός Δραστηριότητας Επισκόπηση... 3 Περίληψη... 3-5 Ώρα για δράση... 6-15 Σημειώσεις... 16 2 Μάθημα Έβδομο - Επισκόπηση Σε αυτό το μάθημα θα μάθουμε τη δύναμη της αντίληψης. Θα ανακαλύψουμε
Διαβάστε περισσότερα1 / 13 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 5 ης ηµοτικού. Μάρτιος 2007
1 / 13 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έρευνα υποστηριζόµενη από τη Γενική ιεύθυνση Εκπαίδευσης και Πολιτισµού της Ε.Ε., στο πλαίσιο του προγράµµατος Σωκράτης «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο
Διαβάστε περισσότεραΧριστούγεννα. Ελάτε να ζήσουμε τα. όπως πραγματικά έγιναν όπως τα γιορτάζει η εκκλησία μας όπως τα νιώθουν τα μικρά παιδιά
Ελάτε να ζήσουμε τα όπως πραγματικά έγιναν όπως τα γιορτάζει η εκκλησία μας όπως τα νιώθουν τα μικρά παιδιά Χριστούγεννα (μέσα από ιστορίες και χριστουγεννιάτικα παιχνίδια) 1 Στόχοι: Μέσα από διάφορες
Διαβάστε περισσότερα«Το κορίτσι με τα πορτοκάλια»
«Το κορίτσι με τα πορτοκάλια» «Κάθεσαι καλά, Γκέοργκ; Καλύτερα να καθίσεις, γιατί σκοπεύω να σου διηγηθώ μια ιστορία για γερά νεύρα». Με αυτόν τον τρόπο ο συγγραφέας του βιβλίου αρχίζει να ξετυλίγει το
Διαβάστε περισσότεραΕισαγγελέας: Δευτέρα 03/10/2011, η ημέρα της δολοφονίας της Souzan Anders. Παρατηρήσατε κάτι περίεργο στην συμπεριφορά του κατηγορούμενου;
Εισαγγελέας Γνωρίζετε τον κατηγορούμενο; Ναι, τον γνωρίζω καλά. Δουλεύουμε μαζί, τα τελευταία 8 χρόνια, στο ταμείο της Τράπεζας «Goliath». Και έχουμε μια, αρκετά στενή, φιλική σχέση. To θύμα το γνωρίζατε;
Διαβάστε περισσότεραΣας ευχαριστώ πάρα πολύ για την αποδοχή στην Γλώσσα 2 και χαιρετίσματα από την Ιταλία"
Aurora Μου άρεσε πολύ Γλώσσα 2. Σπούδασα Ελληνικά όταν ήμουν στο Πανεπιστήμιο και με αυτό το πρόγραμμα μπόρεσα να ασκήσω πάλι αυτή. Ήταν πολύ εύκολο για μένα να σπουδάσω στο σπίτι μου και στον ελεύθερο
Διαβάστε περισσότεραΛογοτεχνικό Εξωσχολικό Ανάγνωσμα Περιόδου Χριστουγέννων
Λογοτεχνικό Εξωσχολικό Ανάγνωσμα Περιόδου Χριστουγέννων Τίτλος βιβλίου: «Μέχρι το άπειρο κι ακόμα παραπέρα» Συγγραφέας: Άννα Κοντολέων Εκδόσεις: Πατάκη ΕΡΓΑΣΙΕΣ: 1. Ένας έφηβος, όπως είσαι εσύ, προσπαθεί
Διαβάστε περισσότεραΧάρτινη Αγκαλιά Συγγραφέας: Ιφιγένεια Μαστρογιάννη
Χάρτινη Αγκαλιά Συγγραφέας: Ιφιγένεια Μαστρογιάννη Επιμέλεια εργασίας: Παναγιώτης Γιαννόπουλος Περιεχόμενα Ερώτηση 1 η : σελ. 3-6 Ερώτηση 2 η : σελ. 7-9 Παναγιώτης Γιαννόπουλος Σελίδα 2 Ερώτηση 1 η Η συγγραφέας
Διαβάστε περισσότερακι η τιμωρία των κατηγορουμένων. Βέβαια, αν δεν έχεις πάρει καθόλου βάρος, αυτό θα σημαίνει ότι ο κατηγορούμενος
14 Φτάνοντας λοιπόν ο Νικήτας σε μια από τις γειτονικές χώρες, εντυπωσιάστηκε από τον πλούτο και την ομορφιά της. Πολλά ποτάμια τη διέσχιζαν και πυκνά δάση κάλυπταν τα βουνά της, ενώ τα χωράφια ήταν εύφορα
Διαβάστε περισσότεραΣυγγραφέας. Ραφαέλα Ρουσσάκη. Εικονογράφηση. Αμαλία Βεργετάκη. Γεωργία Καμπιτάκη. Γωγώ Μουλιανάκη. Ζαίρα Γαραζανάκη. Κατερίνα Τσατσαράκη
Συγγραφέας Ραφαέλα Ρουσσάκη Εικονογράφηση Αμαλία Βεργετάκη Γεωργία Καμπιτάκη Γωγώ Μουλιανάκη Ζαίρα Γαραζανάκη Κατερίνα Τσατσαράκη Μαρία Κυρικλάκη Μαριτίνα Σταματάκη Φιλία Πανδερμαράκη Χριστίνα Κλωνάρη
Διαβάστε περισσότεραΑΥΤΟΒΙΟΓΡΑΦΙΑ ΙΑΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ
ΑΥΤΟΒΙΟΓΡΑΦΙΑ ΙΑΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ Πληροφορίες για τον εκπαιδευτικό: Η Αυτοβιογραφία ιαπολιτισµικών Συναντήσεων, είναι ένα υλικό το οποίο µπορεί να χρησιµοποιηθεί ευρύτερα από τους εκπαιδευτικούς
Διαβάστε περισσότεραΛήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το Α' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη Σμπώκου
Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το Α' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη Σμπώκου - Έλα - πέρασες μια φορά ε; Σε είδα σε μια στιγμή αλλά δεν ήμουν βέβαιος, δεν με είδες; - πέρασα με το αμάξι και έκανα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Αγαπητέ μαθητή/ αγαπητή μαθήτρια, Διεξάγουμε μια έρευνα και θα θέλαμε να μάθουμε την άποψή σου για τo περιβάλλον μάθησης που επικρατεί στην τάξη σου. Σε παρακαλούμε
Διαβάστε περισσότεραΑποστολή. Κρυμμένος Θησαυρός. Λίνα Σωτηροπούλου. Εικόνες: Ράνια Βαρβάκη
διαβάζω ιστορίες Αποστολή Κρυμμένος Θησαυρός Λίνα Σωτηροπούλου Εικόνες: Ράνια Βαρβάκη 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Το δώρο της γιαγιάς Μόλις χτύπησε το ξυπνητήρι, με έπιασε πανικός. Δεν μπορούσα να καταλάβω για ποιον
Διαβάστε περισσότεραΜαριέττα Κόντου ΦΤΟΥ ΞΕΛΥΠΗ. Εικόνες: Στάθης Πετρόπουλος
Ιστορίες που ζεις δυνατά Μαριέττα Κόντου ΦΤΟΥ ΞΕΛΥΠΗ Εικόνες: Στάθης Πετρόπουλος Στο τώρα Έχω δώσει τόσες υποσχέσεις που νομίζω ότι έχω χάσει το μέτρημα. Δεν είναι που λέω ψέματα όταν δεν τις τηρώ, είναι
Διαβάστε περισσότεραΛήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το B' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη - Σμπώκου
Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το B' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη - Σμπώκου - από τον Φουάτ σε τρεις εταιρίες χρήματα... μπλου μπρουμέλ, άλλη μια P.A κάπως έτσι και άλλη μία που μου είχες πει
Διαβάστε περισσότεραΜαρία Παντελή, Β1 Γυμνάσιο Αρχαγγέλου, Διδάσκουσα: Γεωργία Τσιάρτα
Μαρία Παντελή, Β1 Γυμνάσιο Αρχαγγέλου, 2013-2014 Διδάσκουσα: Γεωργία Τσιάρτα Ο Ρίτσαρντ Ντέιβιντ Μπαχ γεννήθηκε στις 23 Ιουνίου 1936, στο Oak Park, του Illinois. Ξεκίνησε τις σπουδές του στο Long Beach
Διαβάστε περισσότεραΑν δούµε κάπου τα παρακάτω σήµατα πώς θα τα ερµηνεύσουµε; 2. Πού µπορείτε να συναντήσετε αυτό το σήµα; (Κάθε σωστή απάντηση 1 βαθµός)
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1 Φύλλο εργασίας 1 Ερµηνεύουµε σύµβολα! Αν δούµε κάπου τα παρακάτω σήµατα πώς θα τα ερµηνεύσουµε; Επικοινωνούµε έτσι κι αλλιώς 26 2. Πού µπορείτε να συναντήσετε αυτό το σήµα; Σύνολο: (Κάθε σωστή.
Διαβάστε περισσότεραΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ
Συμπληρωματικό ερωτηματολόγιο Α ΚΙΤΡΙΝΟ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ F-2-F A (3 ος Γύρος 2006) ΑΡΙΘΜΟΣ ΕΡΩΤΩΜΕΝΟΥ/ΗΣ: ΑΡΙΘΜΟΣ ΕΚΔΟΧΗΣ: F-2-F Α 1 Οδηγ. Προς ΣΥΝΕΝΤΕΥΚΤΗ: AN ΤO
Διαβάστε περισσότεραΤο παιχνίδι των δοντιών
Το παιχνίδι των δοντιών Ρία Φελεκίδου Εικόνες: Γεωργία Στύλου Εκπαιδευτικό υλικό από τη συγγραφέα του βιβλίου [1] EΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΤΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΤΩΝ ΔΟΝΤΙΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΝΑΣΤΕΥΣΗ - ΤΑΞΙΔΙ ΤΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ
Διαβάστε περισσότεραβ) Αν είχες τη δυνατότητα να «φτιάξεις» εσύ έναν ιδανικό κόσμο, πώς θα ήταν αυτός;
1 α) H πραγματική ζωή κρύβει χαρά, αγάπη, στόχους, όνειρα, έρωτα, αλλά και πόνο, απογοήτευση, πίκρες, αγώνα. αν λείπουν όλα αυτά τα συναισθήματα και οι ανατροπές, αν χαθεί η καρδιά και η ψυχή, η ελευθερία,
Διαβάστε περισσότεραΧαρακτηριστικές εικόνες από την Ιλιάδα του Ομήρου
Χαρακτηριστικές εικόνες από την Ιλιάδα του Ομήρου Η γυναίκα ως σύζυγος και μητέρα Η γυναίκα ως πολεμικό λάφυρο Γυναίκα και επιτάφιες τιμές ηρώων Η τύχη του γυναικείου πληθυσμού μετά την άλωση μιας πόλης
Διαβάστε περισσότεραModern Greek Beginners
2016 HIGHER SCHOOL CERTIFICATE EXAMINATION Modern Greek Beginners ( Section I Listening) Transcript Familiarisation Text Καλημέρα. Καλημέρα σας. Μπορώ να σας βοηθήσω; Ήρθα να πάρω αυτό το δέμα. Σήμερα
Διαβάστε περισσότεραΣτέφανος Λίβος: «Η συγγραφή δεν είναι καθημερινή ανάγκη για μένα. Η έκφραση όμως είναι!»
Ημερομηνία 27/4/2015 Μέσο Συντάκτης Link www.thinkover.gr Ανδριάνα Βούτου http://www.thinkover.gr/2015/04/27/stefanos-livos/ Στέφανος Λίβος: «Η συγγραφή δεν είναι καθημερινή ανάγκη για μένα. Η έκφραση
Διαβάστε περισσότεραΤΑ ΜΠΑΛΟΝΙΑ ΤΗΣ ΦΙΛΙΑΣ
ΤΑ ΜΠΑΛΟΝΙΑ ΤΗΣ ΦΙΛΙΑΣ Μια φορά κι έναν καιρό ζούσε ένα κόκκινο μπαλόνι σε έναν παιδότοπο. Ήταν μόνο του και παρόλο που τα παιδάκια έπαιζαν μαζί του, δεν είχε κανέναν φίλο που να είναι σαν κι αυτό. Όλη
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΕΥΡΗΚΑ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ
ΤΟ ΕΥΡΗΚΑ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ ΣΚΗΝΗ ΠΡΩΤΗ ( Άλλη μια συναρπαστική ημέρα ξημερώνει στο βασίλειο του Ιέρωνα. Ο βασιλιάς ως συνήθως, επειδή έχει πολλές υποχρεώσεις, σκυλοβαριέται στο θρόνο του. Αποφασίζει λοιπόν
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα εκπαίδευσης και κατάρτισης για τις δεξιότητες ηγεσίας. Αξιολόγηση Ικανοτήτων
3 Ενότητα εκπαίδευσης και κατάρτισης για τις δεξιότητες ηγεσίας Αξιολόγηση Ικανοτήτων Αξιολόγηση Ικανοτήτων Γενική Περιγραφή της Ενότητας: Αυτή η ενότητα στοχεύει στην αξιολόγηση των ηγετικών ικανοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΟ δάσκαλος που με εμπνέει
Είναι πολύ σημαντικό για μένα η δασκάλα που μου κάνει μάθημα να με εμπνέει, γιατί έτσι θα ενδιαφέρομαι περισσότερο για τα μαθήματά μου και θα προσπαθώ να γίνομαι κάθε φορά καλύτερη. Θα προτιμούσα η δασκάλα
Διαβάστε περισσότεραΘΕΑΤΡΙΚΟ 2 ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΚΟΥΖΙΝΑ
ΘΕΑΤΡΙΚΟ 2 ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΚΟΥΖΙΝΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΚΟΥΖΙΝΑ ΕΓΓΟΝΟΣ: Παππού, γιατί προτιμάς να βάζεις κανέλα και όχι κύμινο στα σουτζουκάκια; ΠΑΠΠΟΥΣ: Το κύμινο είναι κομματάκι δυνατό. Κάνει τους ανθρώπους να κλείνονται
Διαβάστε περισσότεραLET S DO IT BETTER improving quality of education for adults among various social groups
INTERVIEWS REPORT February / March 2012 - Partner: Vardakeios School of Hermoupolis - Target group: Immigrants, women 1 η συνέντευξη Από την Αλβανία Το 2005 Η γλώσσα. Ήταν δύσκολο να επικοινωνήσω με τους
Διαβάστε περισσότερα«Ο Αϊούλαχλης και ο αετός»
ΠΑΡΑΜΥΘΙ #25 «Ο Αϊούλαχλης και ο αετός» (Φλώρινα - Μακεδονία Καύκασος) Διαγωνισμός παραδοσιακού παραμυθιού ebooks4greeks.gr ΠΑΡΑΜΥΘΙ #25 Ψηφίστε το παραμύθι που σας άρεσε περισσότερο εδώ μέχρι 30/09/2011
Διαβάστε περισσότεραΕΜΠΛΕΚΟΜΕΝΟΙ. Τα 11 παιδιά πήραν µέρος από 1 φορά σε διαµεσολάβηση, τα υπόλοιπα 4 από 2 και το ένα 4 φορές. Στην ερώτηση: Γιατί ζήτησες διαµεσολάβηση;
ΕΜΠΛΕΚΟΜΕΝΟΙ Στο ερωτηµατολόγιο των εµπλεκοµένων της σχολικής χρονιάς 2010-2011 απάντησαν 16 παιδιά: 6 Αγόρια και 10 κορίτσια. Από αυτά τα 8 ήταν από την Α τάξη, τα 6 από τη Β και το 1 από τη Γ τάξη. Τα
Διαβάστε περισσότεραΠάει τόσος καιρός από το χωρισμό σας, που δε θυμάσαι καν πότε ήταν η τελευταία φορά
Πάει τόσος καιρός από το χωρισμό σας, που δε θυμάσαι καν πότε ήταν η τελευταία φορά που έκλαψες για πάρτη του! Ωστόσο, ακόμα στοιχειώνουν κάποιες σκέψεις το μυαλό σου. Ήταν μία από τις χειρότερες εμπειρίες
Διαβάστε περισσότεραΓεια σας, παιδιά. Είμαι η Μαρία, το κοριτσάκι της φωτογραφίας, η εγγονή
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΗΜΕΡΙΝΗ ΕΚΔΟΣΗ Γεια σας, παιδιά. Είμαι η Μαρία, το κοριτσάκι της φωτογραφίας, η εγγονή της Θείας Λένας. Η γιαγιά μου εξέδωσε αυτό το βιβλίο το 1964. Είναι ένα βιβλίο για μικρά παιδιά, με
Διαβάστε περισσότερα"Μυστική Οδύσσεια" της Ιουλίας Πιτσούλη, στον ΙΑΝΟ
Ημερομηνία 03/02/2015 Μέσο Συντάκτης Link http://www.bookia.gr/ Παναγιώτη Σιδηρόπουλος http://goo.gl/sb30sq "Μυστική Οδύσσεια" της Ιουλίας Πιτσούλη, στον ΙΑΝΟ Ολόκληρο το φωτορεπορτάζ σε άλμπουμ τού Facebook.
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΣΤΑΣΙΑΣ ΠΡΩΤΟΓΗΡΟΥ Πρωτοδίκου Διοικητικών Δικαστηρίων ΟΜΙΛΙΑ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΚΔΗΛΩΣΗ ΤΗΣ ΧΟΡΩΔΙΑΣ ΟΡΧΗΣΤΡΑΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΗΣ ΙΕΡΑΣ ΜΗΤΡΟΠΟΛΕΩΣ ΧΑΛΚΙΔΟΣ
ΑΝΑΣΤΑΣΙΑΣ ΠΡΩΤΟΓΗΡΟΥ Πρωτοδίκου Διοικητικών Δικαστηρίων ΟΜΙΛΙΑ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΚΔΗΛΩΣΗ ΤΗΣ ΧΟΡΩΔΙΑΣ ΟΡΧΗΣΤΡΑΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΤΗΣ ΙΕΡΑΣ ΜΗΤΡΟΠΟΛΕΩΣ ΧΑΛΚΙΔΟΣ Κυριακή 19 Δεκεμβρίου 2010 Έμπλεη ευγνωμοσύνης, με βαθιά
Διαβάστε περισσότεραΣχέδιο Μαθήματος: Κοινωνικές και Επικοινωνιακές Δεξιότητες για Ανάπτυξη Αυτοπεποίθησης και Τεχνικών Επίλυσης Διαφορών
Σχέδιο Μαθήματος: Κοινωνικές και Επικοινωνιακές Δεξιότητες για Ανάπτυξη Αυτοπεποίθησης και Τεχνικών Επίλυσης Διαφορών Διάρκεια: Περιληπτική Περιγραφή: Δύο 45λεπτες διδακτικές περίοδοι Η πρώτη περίοδος
Διαβάστε περισσότεραBίντεο 1: Η Αµµόχωστος του σήµερα (2 λεπτά) ήχος θάλασσας
ΘΥΜΑΜΑΙ; Πρόσωπα Ήρωας: Λούκας Αφηγητής 1: Φράνσις Παιδί 1: Ματθαίος Παιδί 2: Αιµίλιος Βασίλης (αγόρι):δηµήτρης Ελένη (κορίτσι): Αιµιλία Ήλιος: Περικλής Θάλασσα: Θεοδώρα 2 ΘΥΜΑΜΑΙ; CD 1 Ήχος Θάλασσας Bίντεο
Διαβάστε περισσότεραΤο βιβλίο της Μ. Autism Resource CD v Resource Code RC115
Το βιβλίο της Μ Γεια σας με λένε Μ. Είμαι 9 χρονών και μένω στο με τους γονείς μου και τα 2 αδέρφια μου, τον Γιάννη που είναι 10 και τον Βασίλη που είναι 3. Έχω κι ένα σκυλάκι που το λένε Κάντι και είναι
Διαβάστε περισσότεραΚρατς! Κρουτς! Αχ! Ουχ!
Κρατς! Κρουτς! Αχ! Ουχ! Μεγάλη φασαρία ακούγεται στον κάδο απορριμμάτων. Τι να γίνεται άραγε; Ας πλησιάσουμε λίγο... Παρακαλώ, σταματήστε να φωνάζετε. Τα αυτιά μου πόνεσαν. Χαρτούλα: Πουυυυυυύ είμαστε;
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΙΚΑ ΠΟΙΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΤΏΝ ΚΑΙ ΜΑΘΗΤΡΙΩΝ
ΕΡΩΤΙΚΑ ΠΟΙΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΤΏΝ ΚΑΙ ΜΑΘΗΤΡΙΩΝ Στο πλαίσιο του μαθήματος της Νεοελληνικής Λογοτεχνίας της Γ Γυμνασίου οι μαθητές ήρθαν σε επαφή με ένα δείγμα ερωτικής ποίησης. Συγκεκριμένα διδάχτηκαν το ποίημα
Διαβάστε περισσότεραΜανώλης Ισχάκης - Πνευματικά δικαιώματα - για περισσότερη εκπαίδευση
1 Πρώτο Μάθημα Οδηγός Δραστηριότητας Επισκόπηση... 3 Περίληψη... 3-6 Ώρα για δράση... 7-17 Σημειώσεις... 18 2 Μάθημα Πρώτο - Επισκόπηση Σε αυτό το μάθημα θα μάθουμε το ένα ένα λάθος που στερεί από όλους
Διαβάστε περισσότεραμετάφραση: Μαργαρίτα Ζαχαριάδου
μετάφραση: Μαργαρίτα Ζαχαριάδου Δύο Σε μια σπουδαία αρχαία πόλη που την έλεγαν Ουρούκ, ζούσε ένας νεαρός βασιλιάς, ο Γκιλγκαμές. Πατέρας του Γκιλγκαμές ήταν ο βασιλιάς Λουγκαλμπάντα και μητέρα του η
Διαβάστε περισσότερα...Μια αληθινή ιστορία...
...Μια αληθινή ιστορία... Στην αρχή ήταν μια άδεια σελίδα. Την είχε ο Καλός Ζωγράφος, που ήταν γνωστός για την ικανότητά του να ζωγραφίζει τέλειες εικόνες. Μια μέρα ο Ζωγράφος άρχισε να ζωγραφίζει αυτή
Διαβάστε περισσότεραΑνδρέας Αρματάς Φραντσέσκα Ασσιρέλλι
Ανδρέας Αρματάς Φραντσέσκα Ασσιρέλλι Η Λελέκα δεν είναι μόνη Πολλά παιδιά ταλαιπωρούνται από φοβίες και νιώθουν ανήμπορα να τις αντιμετωπίσουν. Υπάρχουν όμως και πολλά παιδιά που ξεπερνούν τελικά τους
Διαβάστε περισσότεραH Ναταλί Σαμπά στο babyspace.gr
H Ναταλί Σαμπά στο babyspace.gr Συνέντευξη της Ναταλί Σαμπά στη Βάλια Κουρκουμέλη. (Από το babyspace.gr. Ημερομηνία online έκδοσης: 22/07/2010) Η παιγνιοθεραπεία για τη Ναταλί Σαμπά ήταν η ευκαιρία να
Διαβάστε περισσότερα«ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012
«ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012 1 ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ; Γράφει ο Ηλίας Δερμετζής «Τη ζωή μου χωρίς αριθμούς δεν μπορώ να τη φανταστώ,
Διαβάστε περισσότερα