MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos"

Transcript

1 MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, p. ISBN Teiginio sąvoka Logika nagrinėja mąstymo dėsnius, užtikrinančius jo taisyklingumą, t. y. apibrėžtumą, neprieštaringumą, nuoseklumą, pagrįstumą. Viena iš pagrindinių, bazinių, pirminių logikos sąvokų yra teiginys toks sakinys, tvirtinimas, reiškimas, kuris visada yra arba teisingas, arba klaidingas. Nagrinėjamų logikoje samprotavimų turinys nėra svarbus: logika domisi teisingų samprotavimų sudarymo formomis. Todėl svarbios yra tik teiginių reikšmės: tiesingas arba klaidingas, kurios žymimos TRUE, FALSE, T, F, t, k, 1, 0,... ir vadinamos loginėmis konstantomis. Abstraktieji teiginiai žymimi raidėmis su indeksais arba be jų: A, B,..., c, d, e,..., f 1, h 2,... ir vadinami loginiais kintamaisiais. Matematinė logika nagrinėja matematinių samprotavimų formas ir dažnai naudoja simbolius ir formules. Iš teiginių, kuriuos galima pavadinti pirminiais, elementariais arba loginiais kintamaisiais, sudaromi nauji, sudėtiniai teiginiai. Naujiems teiginiams sudaryti apibrėžiamos loginės operacijos, kurios formalizuoja matematinių teoremų įrodymą. Tarkime, kad x ir y yra teiginiai (loginiai kintamieji). Atliekant su x ir y logines operacijas (veiksmus), gaunami nauji teiginiai. Teiginio T neigimu vadinamas naujas teiginys, kurį žymime T arba T ir skaitome ne T, netiesa, kad T. Kai loginio kintamojo T reikšmė yra tiesa, tai kintamojo T reikšmė yra klaida, ir atvirkščiai, kai T klaida T tiesa. Neigimo operacijos apirėžimą patogu užrašyti tokia lentele T k t Operacija disjunkcija žymima (skaitoma x arba y ): teiginys x y yra teisingas, jei teisingas bent vienas iš teiginių x, y (t. y. teisingas yra bent kuris nors iš x, y, tačiau jie gali būti teisingi ir abu.) Operacija konjunkcija žymima & (skaitoma x ir y ): teiginys x & y yra teisingas, jei teisingi abu teiginiai x, y (t. y. teisingas ir x, ir y). Operacija implikacija žymima ( skaitoma jei x, tai y arba iš x išplaukia y ). Teiginys x y yra klaidingas tik tuo atveju, kai teiginys x yra teisingas, o y klaidingas (t. y. implikacija klaidinga, jei iš tiesos išplaukia melas, o visais kitais atvejais implikacija yra teisinga Operacija ekvivalentumas žymimas (skaitoma x tada ir tik tada, kai y ): teiginys x y yra teisingas, jei abu teiginiai x, y yra teisingi arba abu klaidingi (dar sakome, kad sąlyga x yra būtina ir pakankama sąlygai y. T t k 1

2 Keturių dviviečių operacijų lentelė x y x y x & y x y y x x y k k k k t t t k t t k t k k t k t k k t k t t t t t t t Disjunkcija kartais vadinama logine suma, o konjunkcija logine sandauga. Jei logines konstantas k ir t pažymėsime 0 ir 1 ir į simbolius 0 ir 1 žiūrėsime kaip į skaičius, tai x & y = x y, x y = x y x y. Operacija vadinama sudėtimi moduliu du: 0 0 = 0, 1 1 = 0, 0 1 = 1 0 = 1. Sudėtis moduliu du kartais vadinama griežtąja disjunkcija ir žymima. Formulė F vadinama tautologija (tapačiai teisinga), jei ji įgyja reikšmę t, esant bet kurioms kintamųjų reikšmėms. Formulė F vadinama prieštara (tapačiai klaidinga), jei esant bet kurioms kintamųjų reikšmėms ν = (ν 1, ν 2,..., ν n ): F(ν) = k. Pastebėkime, kad F yra prieštara tada ir tik tada, kai F tautologija. Formulės F ir G vadinamos ekvivalenčiosiomis, jei esant bet kurioms kintamųjų reikšmėms ν = (ν 1, ν 2,..., ν n ): F(ν) = G(ν). Ekvivalenčiąsias formules žymime ženklu =: F = G. Tai reiškia, kad ekvivalenčios formulės gali būti užrašytos įvairiais būdais, bet jei apskaičiuojame jų reikšmes, gausime tą patį rezultatą. Teorema. Formulės F ir G yra ekvivalenčiosios tada ir tik tada, kai formulė (F G) yra tautologija. Pateiksime ekvivalenčiųjų formulių pavyzdžių. F = F; F G = G F; F G = F G; F F = F; F&F = F; F G = F G; F G = (F& G); F t = t; F&t = F; F k = F; F&k = k. Žinodami įeinančių į loginę formulę loginių kintamųjų reikšmes, atliekame logines operacijas ir surandame formulės reikšmes. Visas formulės reikšmes įrašome į teisingumo reikšmių lentelę. Taigi teisingumo lentelė apie loginę formulę teikia visą informaciją. Pavyzdys. Formulės f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 x 2 ) & (x 1 x 3 ) 2

3 reikšmes ir jų skaičiavimo eigą nusako ši teisingumo reikšmių lentelė. x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 3 f(x 1, x 2, x 3 ) k k k t t t k k k k t t t t t t k t k t k t k k k t t t k t t t t k k k t t t t t k t k t t t t t t k k k k t k t t t k k k t k Tapačiai teisingos formulės tautologijos dar vadinamos logikos dėsniais. Įrašykime svarbiausius iš jų į lentelę Pavadinimas negalimo trečiojo dėsnis dvigubasis neigimas Formulė x x x x prieštaravimas x & x tapatybės dėsnis x x modus ponens x & (x y) y modus tollens (x y)& y x (x y) & (y z) silogizmas (x z) kontrapozicija x y y x x & y x y de Morgano dėsniai x y x & y Visos formulės įrodomos sudarant jų teisingumo reikšmių lenteles. Įrodykime, pavyzdžiui, pirmąjį de Morgano dėsnį: x y x y x & y x & y x y x & y x y k k t t k t t t k t t k k t t t t k k t k t t t t t k k t k k t Iš lentelės matome, kad formulė x & y x y yra tautologija, kurią galima perrašyti ir taip: x & y = x y. Tautologijų nustatymo taisyklės Teisingumo reikšmių lentelės metodas yra universalus, tačiau reikalaujantis daug darbo. Kartais įrodyti, kad formulė yra tautologija, galima greičiau. Pavyzdys. Įrodykime prieštaros metodu, kad formulė F = (A (B A)) yra tautologija. Sprendžiame loginę lygtį F(X) = k. Implikacija ( ) įgyja klaidingą reikšmę tik tada, kai t k. Taigi turi būti A = t, (B A) = k. 3

4 Gauname, kad turi būti (B t) = k, bet implikacija tokių reikšmių neturi, nepaisant B. Todėl lygtis F(X) = k neturi sprendinių ir visais atvejais gauname F = t, t. y. formulė F yra tautologija. Pavyzdys. Ekvivalenčiųjų pertvarkių metodu įrodykime, kad formulė A & B (A B) yra tautologija. Taikome dvigubojo neigimo dėsnį: A & B = A & B. Reiškiniui A & B taikome de Morgano dėsnį: A & B = A B. Taikydami negalimo trečiojo dėsnį, gauname A B (A B) = t. Bulio funkcijos Logikos algebros funkcijos, kai jų pačių ir jų argumentų reikšmės lygios 0 arba 1, dar vadinamos Bulio funkcijomis. Jis (George Boole ( ) anglų matematikas ir logikas) pirmas pradėjo taikyti matematikos principus logikoje. Tarkime, kad nepriklausomi kintamieji x 1, x 2,...,x n ir priklausomas kintamasis funkcija f(x 1, x 2,..., x n ) įgyja tik dvi reikšmes, kurias žymėsime 0, 1. Tokias funkcijas ir kintamuosius vadinsime buliniais arba Bulio kintamaisiais ir bulinėmis funkcijomis. Bet kurią Bulio funkciją galima apibrėžti jos teisingumo lentele: x 1 x 2... x n f(x 1, x 2,...,x n ) f(0, 0,...,0) f(0, 0,...,1) f(0, 1,...,1) f(1, 1,...,1) Skirtingų n kintamųjų Bulio funkcijų yra 2 2n. Bulio funkcijos f(x 1, x 2,...,x n ) kintamasis x j (1 j n) vadinamas fiktyviuoju, jei visoms kintamųjų x 1,..., x j 1, x j+1,..., x n reikšmėms f(..., x j 1, 0, x j+1,...) = f(...,x j 1, 1, x j+1,...). Kintamieji, kurie nėra fiktyvieji, vadinami esminiais. Pavyzdys. Tarkime, kad trijų kintamųjų x, y, z Bulio funkcija f(x, y, z) apibrėžta tokia lentele x y z f(x, y, z) Matome, kad ketvirtasis stulpelis sutampa su antruoju, t. y. funkcija f(x, y, z) išreiškiama tik vienu kintamuoju y ir todėl galima rašyti (=), kai tą pačią Bulio 4

5 funkciją reiškiame skirtingomis formulėmis. Taigi rašome f(x 1, x 2,..., x n ) = g(x 1, x 2,...,x n ), kai sutampa šių Bulio funkcijų teisingumo lentelės, t. y. kai lygybė galioja bet kuriam kintamųjų rinkiniui (x 1, x 2,..., x n ) {0, 1} n. Funkcija f(x, y, z) nepriklauso nuo kitų dviejų kintamųjų x ir y ir todėl jie yra fiktyvieji. Pastebėkime, kad tą pačią funkciją galima išreikšti ir kitomis formulėmis, į kurias šie kintamieji įeina: f(x, y, z) = y = y & (x x) = y & (y y) x &x. Taigi fiktyvieji kintamieji gali ir įeiti, ir neįeiti į formulę, tačiau, jei funkcija išreiškiama formule, kurioje kintamojo nėra jis yra fiktyvusis. Vieno kintamojo Bulio funkcijos Vieno kintamojo x Bulio funkcijų f(x) yra tik keturios: x f(x) = 0 f(x) = x f(x) = x f(x) = Funkcijos f(x) = 0 ir f(x) = 1 yra konstantos ir x šiuo atveju fiktyvusis kintamasis. Kitos dvi funkcijos išreiškiamos kintamuoju x arba jo neiginiu x: f(x) = x, f(x) = x ir šioms funkcijoms x yra esminis kintamasis. Jei formulė priklauso nuo vieno kintamojo x, ji išreiškia kurią nors vieną iš keturių surašytų lentelėje funkcijų. Taigi tokią formulę visada galima supaprastinti ir išreikšti konstanta 0 arba 1, kintamuoju x arba jo neiginiu x. Pavyzdys. Suprastinkime formulę Kai x = 0, gauname Kai x = 1, turime Taigi gauname, kad (x (x x)) x. (0 (0 1)) 0 = (0 1) 0 = 1 0 = 0. ((1 (1 0)) 1) = ((1 0) 1) = (0 1) = 1. ((x (x x)) x) = x. Dviejų kintamųjų Bulio funkcijos Išnagrinėkime visas dviejų kintamųjų Bulio funkcijas f(x 1, x 2 ). Kadangi kintamieji įgyja tik dvi reikšmes 0, 1 ir funkcijos reikšmių irgi yra tik dvi, tai egzistuoja lygiai 16 skirtingų dviejų kintamųjų Bulio funkcijų. Įrašykime visas jas į lentelę. x 1 x 2 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f

6 x 1 x 2 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f Bulio funkcijų reiškimas formulėmis Funkcijos f 0 ir f 15 yra konstantos: f 0 = 0, f 15 = 1. Funkcija f 10 = x 2 nepriklauso nuo kintamojo x 1, o funkcija f 12 = x 1 nuo x 2. Funkcijos f 0 ir f 15 neturi esminių kintamųjų. Funkcijų f 10 ir f 12 esminiai kintamieji yra x 2 ir x 1, o fiktyvieji x 1 ir x 2. Funkcijos f 3, f 5, f 8, f 9, f 11, f 13, f 14 išreiškiamos jau apibrėžtomis loginėmis operacijomis: f 3 f 5 f 8 f 9 f 11 f 13 f 14 x 1 x 2 x 1&x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 x 1 x 2 Funkcijos f 1, f 2, f 4, f 6 ir f 7 išreiškiamos žinomų operacijų neiginiais: f 1 f 2 f 4 f 6 f 7 x 1 x 2 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1&x 2 Jau buvo minėta funkcija, kuri vadinama sudėtimi moduliu du. Galima įrodyti (pakanka sudaryti teisingumo lentelę), kad Taigi (x 1 x 2 ) ((x 1 x 2 )&(x 1 x 2 )). f 6 (x 1, x 2 ) = x 1 x 2 = (x 1 x 2 )&(x 1 x 2 ). Funkcija f 1 yra vadinama Pyrso (Charles Peirce ( ) amerikiečių matematikas, filosofas ir logikas) rodykle ir žymima : f 1 (x 1, x 2 ) = x 1 x 2 = x 1 x 2 = x 1 &x 2. Funkcija f 7 žymima ir vadinama Šeferio (Henry Sheffer ( ) amerikiečių logikas.) brūkšneliu f 7 (x 1, x 2 ) = x 1 x 2 = x 1 &x 2 = x 1 x 2. Teorema. Bet kuri loginė formulė gali būti užrašyta, taikant tik vieną loginę operaciją ( ) arba ( ). Įrodymas. Pakanka įsitikinti, kad neigimas išreiškiamas taip: x = (x x). Tada (x & y) = ((x y) (x y)). Disjunkciją išreiškiame, taikydami šias formules ir de Morgano dėsnį. Pastebėję, kad (x y) = (x&y), gauname įrodymą Pyrso rodyklei. Dualumo principas Funkcija f 1 (x 1, x 2,..., x n ) vadinama dualiąja funkcijai f 2 (x 1, x 2,...,x n ), jei f 1 (x 1, x 2,...,x n ) = f 2 (x 1, x 2,..., x n ). 6

7 Pavyzdžiui, funkcijos 1 dualioji yra funkcija 0: f(x) = 1 = x x, Pastebėkime, kad f(x) = x (x) = (x) & x = x & x = 0. f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = f 2 (x 1, x 2,...,x n ) = f 1 (x 1, x 2,...,x n ). Taigi jei funkcija f 1 yra dualioji funkcijai f 2, tai ir funkcija f 2 yra dualioji funkcijai f 1. Pavyzdžiui, kai f 1 (x, y) = x y ir f 2 (x, y) = x&y, turime f 1 (x, y) = x y = x & y = x & y = f 2 (x, y), f 2 (x, y) = x & y = x y = x y = f 1 (x, y). Funkcijos f(x 1, x 2,...,x n ) dualiąją funkciją f(x 1,...,x n ) žymėsime f (x 1,..., x n ). Tada f1 (x, y) = f 2 (x, y) ir f 2 (x, y) = f 1 (x, y). Arba bendrojo pavidalo: f = (f ) = f Tarkime, kad funkcijos F = F(f 1, f 2,..., f m ) dualioji yra F (f 1, f 2,...,f m ) ir f i (x 1, x 2,..., x n ), i = 1, 2,...,m yra dualiosios funkcijų f i (x 1, x 2,...,x n ). Tada galioja dualumo principas: sudėtinės funkcijos G(x 1, x 2,..., x n ) = dualioji funkcija yra F(f 1 (x 1,...,x n ),..., f n (x 1,..., x n )) F (f 1 (x 1, x 2,...,x n ), f 2 (x 1, x 2,..., x n ),..., f m (x 1, x 2,..., x n )). Pavyzdys. Funcijos F(u, v) = u v dualioji yra F (u, v) = u v = u & v. Funkcijų u(x) = x ir v(y) = y dualiosios funkcijos yra: u (x) = x = x, v (y) = y = y. Taigi funkcijos F(x, y) = F(u(x), v(y)) dualioji yra F (x, y) = F (u (x), v (y)) = x & y. Dualiosios funkcijos f (x 1,..., x n ) teisingumo lentelę gauname iš funkcijos f(x 1,..., x n ) teisingumo lentelės, keisdami visus 0 ir 1 vietomis. Pavyzdys. Raskime pateiktos lentelėje funkcijos f(x 1, x 2, x 3 ) dualiąją funkciją f (x 1, x 2, x 3 ). 7

8 x 1 x 2 x 3 f(x 1, x 2, x 3 ) x 1 x 2 x 3 f(x 1, x 2, x 3 ) f(0,0, 0) = f(0,0, 1) = f(0,1, 0) = f(0,1, 1) = f(1,0, 0) = f(1,0, 1) = f(1,1, 0) = f(1,1, 1) = 0 Rašydami Bulio kintamųjų rinkinius įprastinėse vietose, gauname x 1 x 2 x 3 f (x 1, x 2, x 3 ) f(1, 1, 1) f(1, 1, 0) f(1, 0, 1) f(1, 0, 0) f(0, 1, 1) f(0, 1, 0) f(0, 0, 1) f(0, 0, 0) 1 Funkcija f(x 1,..., x n ) vadinama savidualiąja, kai f (x 1,...,x n ) = f(x 1,..., x n ). Pavyzdžiui, funkcija f(x, y, z) = x&y x&z y&z yra savidualioji. Išnagrinėtame pavyzdyje ši funkcija pateikta jos teisingumo lentele. Dualiosios funkcijos konstravimo algoritmas Tarkime, kad funkcija f(x 1,...,x n ) išreikšta formule, kurioje yra kintamieji, jų neigimas ir keturios operacijos: 0, 1, &,. Tada dualioji funkcija f (x 1,..., x n ) išreiškiama formule, kurią gauname pakeitę 0 1; 1 0; & ; &; neigimo operacija nekeičiama. 8

9 Pavyzdys. Taikome aprašytą dualiosios funkcijos radimo algoritmą funkcijai f(x 1, x 2 ) = x 1 & x 2 x 1 & x 2. Keičiame Taigi (x 1 [& ] x 2 ) [ &] (x 1 [& ] x 2 ). f (x 1, x 2 ) = (x 1 x 2 ) & (x 1 x 2 ). Pavyzdys. Parodykime dar kartą, kad (jau nagrinėta) funkcija yra savidualioji. Turime f(x, y, z) = x&y x&z y&z f (x, y,z) = ((x&y) (x&z) (y&z)) = (x y) & (y z) & (y z) = (x&x x&z y&x y&z) & (y z) = x&x&y x&z&y y&x&y y&z&y x&x&z x&z&z y&x&z y&z&z = x&y x&z&y y&x y&z x&z x&z y&x&z y&z = x&y x&z x&y x&y&z y&z = x&y x&z y&z x&y&z = x&y x&z y&z&(1 x) = x&y x&z y&z&1 = x&y x&z y&z = f(x, y, z). Disjunkcinės ir konjunkcinės formos Pažymėkime { x σ x, σ = 0 = x, σ = 1. T. y. x x = 1 ir kai x y : x y = 0. Pastebėkime dar, kad x σ = x σ = x σ. Formulė x σ1 1 &xσ2 2 &...&xσn n vadinama elementariąja konjunkcija. Čia σ = (σ 1, σ 2,..., σ n ) yra nulių ir vienetų rinkinys, o kai kurie kintamieji x j gali ir kartotis. Kartais gali būti praleistas disjunkcijos ženklas (&). Taigi šie reiškiniai yra elementariosios konjunkcijos x 1 &x 2 &x 3, x 1 x 2 x 3 x 1 x 2, x 2 &x 4, x 3 x 1 x 2. Formulės x 1 &x 2 &x 3, x 1 x 1, x 3 x 3 &x 2 &x 1 9

10 nėra elementariosios konjunkcijos. Elementariųjų konjunkcijų disjunkcija vadinama disjunkcine normaliąja forma. Pavyzdžiui, šios formulės yra disjunkcinės normaliosios formos: Formulės x 1 &x 2 x 3 &x 4 &x 5, x 1 x 3 x 4 x 2 x 3. x 1 &1&x 4 0, x 1 x 9 x 2 x 4 nėra disjunkcinės normaliosios formos. Tarkime, kad Bulio funkcija f(x 1, x 2,..., x n ) išreikšta disjunkcine normaliąja forma. Funkcija f tapačiai lygi nuliui (yra prieštara) tada ir tik tada, kai kiekviena elementarioji konjunkcija turi kurį nors kintamąjį x j ir jo neiginį x j. Elementarioji konjunkcija vadinama taisyklingąja, kai kiekvienas kintamasis x σj j įeina į ją ne daugiau, kaip vieną kartą (t. y. skaičiuojant ir neiginius). Taigi šios formulės yra taisyklingosios elementariosios konjunkcijos x 1 &x 2 &x 3, x 5 &x 3 &x 4. Šios elementariosios konjunkcijos nėra taisyklingosios Formulė x σ1 1 xσ xσn n x 2 &x 2 &x 3, x 4 &x 3 &x 3. vadinama elementariąja disjunkcija. Elementariųjų disjunkcijų konjunkcija vadinama konjunkcine normaliąja forma. Tarkime, kad Bulio funkcija f(x 1, x 2,..., x n ) išreikšta konjunkcine normaliąja forma. Funkcija f tapačiai lygi vienam (yra tautologija) tada ir tik tada, kai kiekviena elementarioji konjunkcija turi kurį nors kintamąjį x j ir jo neiginį x j. Pavyzdžiui, šios formulės yra taisyklingosios elementariosios disjunkcinės formos x 1 x 2 x 4, x 2 x 5 x 4 x 7. Tobuloji disjunkcinė normalioji forma Taisyklingoji elementarioji konjunkcija (disjunkcija) vadinama pilnąja kintamųjų x 1, x 2,..., x n atžvilgiu, jei kiekvienas kintamasis x σj j įeina į ją lygiai vieną kartą (t. y. įeina arba kintamasis x j, arba jo neiginys x j ). Disjunkcinė (konjunkcinė) normalioji forma vadinama tobuląja, kai visos ją sudarančios elementariosios konjunkcijos (disjunkcijos) yra pilnosios (kintamųjų x 1, x 2,..., x n atžvilgiu) ir nėra vienodų elementariųjų konjunkcijų (disjunkcijų). Ši disjunkcinė forma yra tobuloji x 1 &x 2 &x 3 x 1 &x 2 &x 3 x 1 &x 2 &x 3. Bulio funkciją galima taip išskleisti jos kintamaisiais: f(x 1, x 2 ) = x 1 &f(1, x 2 ) x 1 &f(0, x 2 ). 10

11 Taikant šią formulę dar kartą, gaunama funkcijos f(x 1, x 2 ) tobuloji normalioji disjunkcinė forma: f(x 1, x 2 ) = x 1 &x 2 &f(1, 1) x 1 &x 2 &f(1, 0) x 1 &x 2 &f(0, 1) x 1 &x 2 &f(0, 0). Pastebėję, kad 0&x = 0, paliksime tik tuos narius, kai f( ) = 1. Suformuluokime Bulio funkcijos tobulosios normaliosios disjunkcinės formos konstravimo algoritmą (taisyklę). 1. Teisingumo lentelėje pasirenkame tas eilutes (kintamųjų x 1, x 2,..., x n realizacijas σ 1, σ 2,..., σ n ), kai funkcijos reikšmė lygi Rašome disjunkcine forma tiek taisyklingųjų elementariųjų konjunkcijų x σ1 1 &xσ2 2 &...&xσn n, kiek teisingumo lentelėje yra vienetų. 3. Neigimus rašome su tais kintamaisiais x j, kai σ j = 0. Pavyzdžiui, (x 0 1 &x0 2 &x1 3 &x1 4 ) = (x 1 &x 2 &x 3 &x 4 ). Pavyzdys. Užrašykime funkcijos, apibrėžtos jos teisingumo reikšmių lentele, disjunkcinę normaliąją formą. x 1 x 2 x 3 f(x 1, x 2, x 3 ) Matome, kad nelygios nuliui tik trys funkcijos reikšmės: f(0, 0, 1), f(1, 0, 0) ir f(1, 0, 1). Todėl funkcijos disjunkcinė normalioji forma yra tokia: f(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3. Kiekviena (išskyrus const = 0) Bulio funkcija užrašoma disjunkcine normaliąja forma: f(x 1, x 2,..., x n ) = x σ1 1 xσ2 2 xσn n. f(σ 1,σ 2,...,σ n)=1 Dar kartą atkreipkime dėmesį į tai, kad formulėje yra visi kintamieji x 1, x 2,...,x n. Ši disjunkcinė forma yra vadinama tobuląja. Taikydami ekvivalenčiuosius loginius pertvarkius x xy = x(x y) = x, xy xy = x, x xy = x y, 11

12 bet kurią disjunkcinę normaliąją formą galima pertvarkyti į tobuląją. Pavyzdys. Pertvarkome reiškinį: xy x z = xyz xyz xyz x y z. Tobuloji konjunkcinė normalioji forma Panašiai disjunkcinei normaliajai formai Bulio funkcija išreiškiama tobuląja konjunkcine 1 normaliąja forma: f(σ 1,σ 2,...,σ n )=0 f(x 1, x 2,...,x n ) = ( ) x σ1 1 x σ2 2 x σn n. Suformuluokime Bulio funkcijos tobulosios normaliosios konjunkcinės formos konstravimo algoritmą (taisyklę). 1. Teisingumo lentelėje pasirenkame tas eilutes (kintamųjų x 1, x 2,..., x n realizacijas σ 1, σ 2,..., σ n ), kai funkcijos reikšmė lygi Rašome konjunkcine forma tiek taisyklingųjų elementariųjų disjunkcijų x σ1 1 x σ x σn n, kiek vienetų yra teisingumo lentelėje. 3. Neigimus rašome su tais kintamaisiais x j, kai σ j = 1. Pavyzdžiui, (x 0 1 x0 2 x 1 3 x1 4 ) = (x 1 x 2 x 3 x 4 ). Taigi lentelėje apibrėžtos funkcijos f(x 1, x 2, x 3 ) tobuloji konjunkcinė normalioji forma yra (x 1 x 2 x 3 )&(x 1 x 2 x 3 )&(x 1 x 2 x 3 )& (x 1 x 2 x 3 )&(x 1 x 2 x 3 ). Pilnosios funkcijų sistemos Bulio funkcijų (funkcijas dar vadiname operacijomis; pavyzdžiui, operacijomis & arba vadiname funkcijas f(x, y) = x & y arba g(x, y) = x y) sistema {f 1, f 2,..., f s,...} vadinama pilnąja, jei bet kurią Bulio funkciją f(x 1, x 2,...,x n ) galima išreikšti šios sistemos operacijomis (funkcijomis): f(x 1, x 2,..., x n ) = ( ( ) ) ) f j1 f j2 ( f j3 ( f jk (x i1,..., x im ). Kitaip sakant, pilnosios funkcijų (operacijų) sistemos operacijų pakanka bet kuriai Bulio funkcijai išreikšti. Pateiksime jau mums žinomų pilnųjų sistemų pavyzdžių. 1. Visų Bulio funkcijų aibė yra pilnoji sistema. 2. Funkcijų sistema {x 1, x 1 & x 2, x 1 x 2 } yra pilnoji. 3. Sistemos {x 1, x 1 & x 2 } ir {x 1, x 1 x 2 } yra pilnosios. 4. Sistemos {x 1 x 2 } ir {x 1 x 2 } yra pilnosios. 1 Čia konjunkcijos operacija pažymėta. 12

13 5. Sistema {0, 1} nėra pilnoji. Teorema. Tarkime, kad funkcijų sistema F = {f 1, f 2,...,f s,...} yra pilnoji ir kiekvieną funkciją f j galima išreikšti kitos sistemos G = {g 1, g 2,...,g n,...} funkcijomis. Tada sistema G irgi yra pilnoji. Pavyzdžiui, funkcijų sistema {x, x 1 & x 2 } yra pilnoji ir x 1 & x 2 = x 1 x 2 (de Morgano formulė). Todėl sistema {x, x 1 x 2 } irgi pilnoji. Uždarosios funkcijų klasės Tarkime, kad F = {f 1, f 2,...,f s,...} yra Bulio funkcijų sistema. Visų funkcijų, kurias galima išreikšti sudarytomis iš funkcijų f 1, f 2,... formulėmis, aibė vadinama klasės F uždariniu ir žymima [F]. Aibės [F] sudarymo veiksmą vadiname uždarymo operacija. Nekeičiančios nulio funkcijos Bulio funkciją f(x 1, x 2,..., x n ) vadiname nekeičiančia nulio, jei f(0, 0,...,0) = 0. Visų tokių (nekeičiančių nulio) funkcijų klasę (aibę) žymėsime T 0. Tarkime, kad f j T 0, t. y. f j (0, 0,...,0) = 0. Tada bet kuri sudėtinė funkcija F(x 1, x 2,..., x n ) = f j1 (f j2 (x i1, x i2, ), f j3 ( ), ) ir nekeičia nulio: F(0, 0,, 0) = f j1 (f j2 (0, 0,, 0), f j3 (0, 0,, 0), ) = f j1 (0, 0,, 0) = 0. Taigi klasė T 0 yra uždaroji: [T 0 ] = T 0. Nekeičiančios vieneto funkcijos Nekeičiančių vieneto Bulio funkcijų klasė apibrėžiama taip: T 1 = {f : f(1, 1,..., 1) = 1}. Pavyzdžiui, funkcijos f(x) = x, g(x, y) = x y, h(x, y) = x&y priklauso abiem klasėms, o funkcija w(x) = x nė vienai. Akivaizdu, kad [T 1 ] = T 1, t. y. klasė yra uždaroji. Savidualiųjų funkcijų klasė Savidualiųjų funkcijų klasę pažymėkime: T = {f : f(x 1, x 2,...,x n ) = f (x 1, x 2,..., x n )}. Šiai klasei priklauso, pavyzdžiui, funkcijos f(x) = x ir w(x) = x. Tarkime, kad funkcijos f, f 1, f 2,..., f m T. Taikydami funkcijai F(x 1, x 2,..., x n ) = f (f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,...,x n )) 13

14 dualumo principą, gauname, kad F = f (f 1,..., f m) = f (f 1,..., f m ) = F. Taigi F T ir [T ] = T. Pastaba. Dviejų kintamųjų savidualiajai funkcijai f(x, y) galioja lygybės: f(0, 0) = f(1, 1), f(0, 1) = f(1, 0). Todėl savidualiosios funkcijos teisingumo lentelėje turi būti du nuliai ir du vienetai. Iš čia išplaukia, kad funkcijos &,,,, nėra savidualiosios. Pastebėkime, kad ši sąlyga yra būtina, bet nėra pakankama. Pavyzdžiui, ( ) = ir todėl funkcijos, irgi nėra savidualiosios. Monotoninės funkcijos Tarkime, kad α = (α 1, α 2,..., α n ), β = (β 1, β 2,...,β n ) yra du Bulio kintamųjų rinkiniai ir α β. Susitarkime rašyti kai (α 1, α 2,...,α n ) (β 1, β 2,...,β n ), α j β j ( j = 1, 2,...,n). Pavyzdys. Turime α 1 = β 1 = 0, α 2 = β 2 = 1, α 3 = β 3 = 1, α 4 = β 4 = 1, α 5 = β 5 = 0, α 6 = 0 < β 6 = 1, α 7 = 0 < β 7 = 1. Todėl (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0) (0, 1, 1, 1, 0, 1, 1). Pastebėkime, kad ne visi Bulio kintamųjų rinkiniai α ir β išpildo kurią nors iš sąlygų α β arba β α. Pavyzdžiui, (0, 0) (0, 1) (1, 1), tačiau negalima rašyti (0, 1) (1, 0) arba (0, 1) (1, 0). Apibrėžkime monotoninių funkcijų klasę T = {f : α β f(α) f(β)}. Taigi vieno kintamojo funkcija f(x) yra monotoninė, kai f(0) f(1). Todėl funkcijos 0, 1 ir x yra monotoninės, o x nėra. Dviejų kintamųjų funkcija f(x, y) yra monotoninė, kai galioja visos (šešios) nelygybės: f(0, 0) f(0, 1) f(1, 1), f(0, 0) f(1, 0) f(1, 1). Gauname, kad funkcijos g(x, y) = x y ir h(x, y) = x & y yra monotoninės, o funkcijos x y, x y, x y, x y, x y nėra. Tiesinės funkcijos 14

15 Tiesinių funkcijų klasė apibrėžiama taip (Skliaustų nerašome, nes operacijos & prioritetas yra didesnis, negu operacijos.): T L = {f : f(x 1, x 2,..., x n ) = c 0 c 1 &x 1 c 2 &x 2 c n &x n }, čia c j {0, 1} yra tiesinio darinio koeficientai. Taigi Bulio funkcija vadinama tiesine, jei ją galima išreikšti tiesiniu dariniu. Funkcijos f(x) = x ir w(x) = x yra tiesinės: f(x) = x = 0 1&x, w(x) = x = x 1 = 1 1&x. Pavyzdys. Parodysime, kad funkcija g(x, y) = x y nėra tiesinė. Bandome išreikšti funkciją g(x, y) tiesinio darinio su neapibrėžtais koeficientais c 0, c 1, c 2 pavidalo: g(x, y) = x y = c 0 c 1 &x c 2 &y. Imdami Bulio kintamųjų x ir y reikšmes, gauname: g(0, 0) = 0 0 = 0 = c 0 c 1 &0 c 2 &0 = c 0, g(0, 1) = 0 1 = 1 = 0 c 1 &0 c 2 &1 = c 2, g(1, 0) = 1 0 = 1 = 0 c 1 &1 1&0 = c 1. Taigi visi koeficientai rasti: c 0 = 0, c 1 = 1, c 2 = 1 ir gauname g(x, y) = x y. Tačiau g(1, 1) = 1 1 = = 0 ir todėl x y x y. Sistemos pilnumo būtinos ir pakankamos sąlygos Bet kuri Bulio funkcija išreiškiama disjunkcine arba konjunkcine normaliąja forma. Todėl funkcijų (rašome atitinkamas operacijas) sistema {, &, } yra pilnoji. Taikant de Morgano dėsnius, konjunkciją galima išreikšti neigimu bei disjunkcija, ir atvirkščiai. Taigi pilnosios yra ir šios sistemos: {, }, {, &}. Prisiminkime, kad žinome dar tris pilnąsias funkcijų sistemas: {, }, { }, { }. Teorema. Bulio funkcijų sistema F yra pilnoji tada ir tik tada, kai ji turi bent po vieną funkciją, nepriklausančią kiekvienai klasei T 0, T 1, T, T, T L, t. y. galima nurodyti bent vieną funkciją kuri nėra nekeičianti nulio, nėra nekeičianti vieneto ir t. t. Pavyzdys. Parodykime, kad sistema {0, 1, &, } yra pilnoji. Užpildome lentelę. T 0 T 1 T T T L 0 / / 1 / / & / / / / / Matome, kad klasei T 0 nepriklauso funkcija 1, klasei T 1 nepriklauso funkcijos 0 ir, visos sistemos {0, 1, &, } funkcijos nėra savidualiosios (/ T ), sistemoje yra (bent viena) funkcija ( ) nepriklausanti klasei T (funkcija nėra monotoninė) ir sistemoje yra netiesinė funkcija (& / T L ). Taigi teoremos sąlygos galioja ir todėl operacijų sistema {0, 1, &, } yra pilnoji. 15

Matematika 1 3 dalis

Matematika 1 3 dalis Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A

Διαβάστε περισσότερα

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f

Διαβάστε περισσότερα

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad 45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės konspektai

Matematinės analizės konspektai Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,

Διαβάστε περισσότερα

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] ) ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas

Διαβάστε περισσότερα

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt

Διαβάστε περισσότερα

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam, 41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo

Διαβάστε περισσότερα

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3 Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................

Διαβάστε περισσότερα

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip: III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia

Διαβάστε περισσότερα

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS .5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui) ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai

Διαβάστε περισσότερα

06 Geometrin e optika 1

06 Geometrin e optika 1 06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco

Διαβάστε περισσότερα

AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA

AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Saulius LISAUSKAS AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Projekto kodas VP1-.-ŠMM-7-K-1-47 VGTU Elektronikos fakulteto I pakopos studijų programų esminis atnaujinimas Vilnius Technika 1 VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Algirdas Ma iulis Duomenu tyrimas Paskaitu konspektas 2011 Turinys Ivadas 5 1 Pagrindines tikimybiu teorijos ir informacijos teorijos s vokos

Διαβάστε περισσότερα

Papildomo ugdymo mokykla Fizikos olimpas. Mechanika Dinamika 1. (Paskaitų konspektas) 2009 m. sausio d. Prof.

Papildomo ugdymo mokykla Fizikos olimpas. Mechanika Dinamika 1. (Paskaitų konspektas) 2009 m. sausio d. Prof. Papildoo ugdyo okykla izikos olipas Mechanika Dinaika (Paskaitų konspektas) 9. sausio -8 d. Prof. Edundas Kuokštis Vilnius Paskaita # Dinaika Jei kineatika nagrinėja tik kūnų judėjią, nesiaiškindaa tą

Διαβάστε περισσότερα

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi

Διαβάστε περισσότερα

EUROPOS CENTRINIS BANKAS

EUROPOS CENTRINIS BANKAS 2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo

Διαβάστε περισσότερα

JONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA

JONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA JONAS DUMČIUS (1905 1986) TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA 1975 metais rotaprintu spausdintą vadovėlį surinko klasikinės filologijos III kurso studentai Lina Girdvainytė Aistė Šuliokaitė Kristina

Διαβάστε περισσότερα

Kengūra Užduotys ir sprendimai. Senjoras

Kengūra Užduotys ir sprendimai. Senjoras Kengūra 2014 Užduotys ir sprendimai Senjoras KENGŪROS KONKURSO ORGANIZAVIMO KOMITETAS KENGŪRA 2014 TARPTAUTINIO MATEMATIKOS KONKURSO UŽDUOTYS IR SPRENDIMAI Autorius ir sudarytojas Aivaras Novikas Redaktorius

Διαβάστε περισσότερα

= γ. v = 2Fe(k) O(g) k[h. Cheminė kinetika ir pusiausvyra. Reakcijos greičio priklausomybė nuo temperatūros. t2 t

= γ. v = 2Fe(k) O(g) k[h. Cheminė kinetika ir pusiausvyra. Reakcijos greičio priklausomybė nuo temperatūros. t2 t Cheminė kineika ir pusiausyra Nagrinėja cheminių reakcijų greiį ir mechanizmą. Cheminių reakcijų meu kina reaguojančių iagų koncenracijos: c ų koncenracija, mol/l laikas, s c = Reakcijos greičio io ()

Διαβάστε περισσότερα

KLASIKIN E MECHANIKA

KLASIKIN E MECHANIKA KLASIKIN E MECHANIKA Algirdas MATULIS Puslaidininkiu zikos institutas Vadoveliu serijos papildymas auk²tuju mokyklu tiksliuju mokslu specialybiu studentams Email: amatulis@takas.lt Mob.: +370 654 543 06

Διαβάστε περισσότερα

2. Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x, y, z) έχει f(x 0, y 0, z 0 ) (0, 0, 0) και μηδενικό στιγμιαίο

2. Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x, y, z) έχει f(x 0, y 0, z 0 ) (0, 0, 0) και μηδενικό στιγμιαίο 1. Έστω E το εφαπτόμενο επίπεδο στο γράφημα της f(x, y) = x 2 + 3xy στο σημείο (1, 1, 4). Σε ποιά σημεία της η επιφάνεια με καρτεσιανή εξίσωση 5x 2 + 3y 2 + z 2 = 9 έχει μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotechnikos pagrindai

Elektrotechnikos pagrindai Valentinas Zaveckas Elektrotechnikos pagrindai Projekto kodas VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023 Vilnius Technika 2012 Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius

Διαβάστε περισσότερα

TEORINĖ ELEKTROTECHNIKA

TEORINĖ ELEKTROTECHNIKA Zita SAVICKIENĖ TEORINĖ ELEKTROTECHNIKA Prjekt kdas VP1-2.2-ŠMM-07-K-01-047 VGTU Elektrniks fakultet I pakps studijų prgramų esminis atnaujinimas Vilnius Technika 2012 VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS

Διαβάστε περισσότερα

1. Klasifikavimo su mokytoju metodai

1. Klasifikavimo su mokytoju metodai 1. Klasifikavimo su mokytoju metodai Klasifikacijos uždavinys yra atpažinimo uždavinys, kurio esmė pagal pateiktus objekto (vaizdo, garso, asmens, proceso) skaitinius duomenis priskirti ji kokiai nors

Διαβάστε περισσότερα

Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje. V.Gineityt

Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje. V.Gineityt Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje V.Gineityt Gamtos moksluose teorijoms keliami du pagrindiniai uždaviniai: paaiškinti stebimų objektų savybes

Διαβάστε περισσότερα

Balniniai vožtuvai (PN 16) VRG 2 dviejų eigų vožtuvas, išorinis sriegis VRG 3 trijų eigų vožtuvas, išorinis sriegis

Balniniai vožtuvai (PN 16) VRG 2 dviejų eigų vožtuvas, išorinis sriegis VRG 3 trijų eigų vožtuvas, išorinis sriegis Techninis aprašymas Balniniai vožtuvai (PN 16) VRG 2 dviejų eigų vožtuvas, išorinis sriegis VRG 3 trijų eigų vožtuvas, išorinis sriegis Aprašymas Šie vožtuvai skirti naudoti su AMV(E) 335, AMV(E) 435 arba

Διαβάστε περισσότερα

04 Elektromagnetinės bangos

04 Elektromagnetinės bangos 04 Elektromagnetinės bangos 1 0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 3 Šiame skyriuje išvesime banginę lygtį iš elektromagnetinio lauko Maksvelo lygčių. Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios dažnis yra optiniame

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 014 m. birželio 5 d. matematikos valstybinį

Διαβάστε περισσότερα

Paskait u konspektas. Jam padėjo Aristidas Vilkaitis ir Donatas Šepetys 2006 metais

Paskait u konspektas. Jam padėjo Aristidas Vilkaitis ir Donatas Šepetys 2006 metais Paskait u konspektas AKTUARINĖ MATEMATIKA Surašė Jonas Šiaulys Ja padėjo Aristidas Vilkaitis ir Donatas Šepetys 26 etais Naudota literatūra Bowers N.L., Gerber H.U., Hickan J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J.,

Διαβάστε περισσότερα

Praktinis vadovas elektros instaliacijos patikrai Parengta pagal IEC standartą

Praktinis vadovas elektros instaliacijos patikrai Parengta pagal IEC standartą Praktinis vadovas elektros instaliacijos patikrai Parengta pagal IEC 60364-6 standartą TURINYS 1. Įžanga 2. Standartai 3. Iki 1000V įtampos skirstomojo tinklo sistemos 4. Kada turi būti atliekami bandymai?

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Termochemija. Darbas ir šiluma.

Termochemija. Darbas ir šiluma. Termochemija. Darbas ir šiluma. Energija gyvojoje gamtoje. saulės šviesa CO 2 H 2 O O 2 gliukozė C 6 H 12 O 6 saulės šviesa Pavyzdys: Fotosintezė chloroplastas saulės 6CO 2 + 6H 2 O + šviesa C 6 H 12 O

Διαβάστε περισσότερα

2014 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija

2014 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 04 m. birželio 6 d. Nr. (.)-V-69birželio 4 04 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA I dalis Kiekvieno I dalies klausimo

Διαβάστε περισσότερα

Plokštumų nusakymas kristale

Plokštumų nusakymas kristale Kristlų struktūrinės nlizės metodi Plokštumų nuskyms kristle Kristlų nizotropij dro didelę įtką puslidininkinių prietisų prmetrms. Nuo puslidininkinių plokštelių kristlogrfinės orientcijos prikluso tokie

Διαβάστε περισσότερα

fx-82es PLUS fx-85es PLUS fx-95es PLUS fx-350es PLUS

fx-82es PLUS fx-85es PLUS fx-95es PLUS fx-350es PLUS LT fx-82es PLUS fx-85es PLUS fx-95es PLUS fx-350es PLUS Naudotojo vadovas CASIO Worldwide Education svetainė http://edu.casio.com CASIO ŠVIETIMO FORUMAS http://edu.casio.com/forum/ Išversta vertimų biure

Διαβάστε περισσότερα

INFEKCIJŲ DIAGNOSTIKOS IR GYDYMO IŠŠŪKIAI SUSIJĘ SU DAUGINIU ATSPARUMU: ESBL GAMINANČIOS BAKTERIJOS

INFEKCIJŲ DIAGNOSTIKOS IR GYDYMO IŠŠŪKIAI SUSIJĘ SU DAUGINIU ATSPARUMU: ESBL GAMINANČIOS BAKTERIJOS INFEKCIJŲ DIAGNOSTIKOS IR GYDYMO IŠŠŪKIAI SUSIJĘ SU DAUGINIU ATSPARUMU: ESBL GAMINANČIOS BAKTERIJOS Dr. Jolanta Miciulevičienė Vilniaus miesto universitetinė ligoninė Higienos institutas ALYTUS, 2011 PLATAUS

Διαβάστε περισσότερα

Kompiuterinė lazerių fizika. Viktorija Pyragaitė

Kompiuterinė lazerių fizika. Viktorija Pyragaitė Kompiuterinė lazerių fizika Viktorija Pyragaitė VILNIAUS UNIVERSITETAS FIZIKOS FAKULTETAS Viktorija Pyragaitė KOMPIUTERINĖ LAZERIŲ FIZIKA Elektroninis leidinys Mokomoji knyga Vilnius 2013 Apsvarstė ir

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA. VIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS 3 priedas

MATEMATIKA. VIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS 3 priedas VIDURINIO UGDYMO BENDROSIOS PROGRAMOS 3 priedas Vi du ri nio ug dy mo ben drų jų pro gra mų 3 prie das Matematika Redakcinė grupė: Alvyda Ambraškienė, Regina Rudalevičienė, Marytė Skakauskienė, dr. Eugenijus

Διαβάστε περισσότερα

Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató Automatická pračka Používateľská príručka

Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató Automatická pračka Používateľská príručka WMB 71032 PTM Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató utomatická pračka Používateľská príručka Dokumentu Nr 2820522945_LT / 06-07-12.(16:34) 1 Svarbūs

Διαβάστε περισσότερα

Integriniai diodai. Tokio integrinio diodo tiesiogin įtampa mažai priklauso nuo per jį tekančios srov s. ELEKTRONIKOS ĮTAISAI 2009

Integriniai diodai. Tokio integrinio diodo tiesiogin įtampa mažai priklauso nuo per jį tekančios srov s. ELEKTRONIKOS ĮTAISAI 2009 1 Integriniai diodai Integrinių diodų pn sandūros sudaromos formuojant dvipolių integrinių grandynų tranzistorius. Dažniausiai integriniuose grandynuose kaip diodai naudojami tranzistoriniai dariniai.

Διαβάστε περισσότερα

Matavimo vienetų perskaičiavimo lentelės

Matavimo vienetų perskaičiavimo lentelės Matavimo vienetų perskaičiavimo lentelės Matavimo vieneto pavadinimas Santrumpa Daugiklis Santrumpa ILGIO MATAVIMO VIENETAI Perskaičiuojamo matavimo Pavyzdžiui:centimetras x 0.3937 = colis centimetras

Διαβάστε περισσότερα

PAPILDOMA INFORMACIJA

PAPILDOMA INFORMACIJA PAPILDOMA INFORMACIJA REKOMENDACIJOS, KAIP REIKIA ĮRENGTI, PERTVARKYTI DAUGIABUČIŲ PASTATŲ ANTENŲ ŪKIUS, KAD BŪTŲ UŽTIKRINTAS GEROS KOKYBĖS SKAITMENINĖS ANTŽEMINĖS TELEVIZIJOS SIGNALŲ PRIĖMIMAS I. BENDROSIOS

Διαβάστε περισσότερα

Plato vs Zeno or the Problem of Ontological Status of Existences in Parmenides

Plato vs Zeno or the Problem of Ontological Status of Existences in Parmenides Gauta 2015 06 19 Skirmantas Jankauskas Vilniaus universitetas Platonas vs Zenonas, arba esinių ontiškumo problema Parmenide Plato vs Zeno or the Problem of Ontological Status of Existences in Parmenides

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA I. BENDROSIOS NUOSTATOS

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA I. BENDROSIOS NUOSTATOS PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 0 m. liepos d. įsakymu Nr. V-97 (Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 04 m. gruodžio 9 d. įsakymo Nr. V- 7 redakcija) MATEMATIKOS

Διαβάστε περισσότερα

Fizika. doc. dr. Vytautas Stankus. Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas

Fizika. doc. dr. Vytautas Stankus. Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas Fizika doc. dr. Vytautas Stankus Fizikos katedra Matematikos ir gamtos mokslų fakultetas Kauno Technologijos Universitetas Studentų 50 58 kab. Darbo tel.: 861033946 Vytautas.Stankus@ktu.lt Bendrosios fizikos

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRINĖS OPTIKOS PAGRINDAI

GEOMETRINĖS OPTIKOS PAGRINDAI OPTINĖS SISTEMOS GEOMETRINĖS OPTIKOS PAGRINDAI sites.google.com/site/optinessistemos/ I. ĮVADAS Ženklai geometrinėje optikoje LABAI SVARBU! Fizikinė optika ir geometrinė optika Fizikinė optika - bangų

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες Χρήσης naudojimo instrukcija Упутство за употребу navodila za uporabo

Οδηγίες Χρήσης naudojimo instrukcija Упутство за употребу navodila za uporabo Οδηγίες Χρήσης naudojimo instrukcija Упутство за употребу navodila za uporabo Πλυντήριο πιάτων Indaplovė Машинa за прање посуђа Pomivalni stroj ESL 46010 2 electrolux Περιεχόμενα Electrolux. Thinking of

Διαβάστε περισσότερα

TERMOCHEMIJA. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika.

TERMOCHEMIJA. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika. TERMOCHEMIJA Termodinamikos dalis, nagrinėjanti cheminių reakcijų šiluminius efektus,

Διαβάστε περισσότερα

3. Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole

3. Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole 3. Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole 3. Μέθοδος του χάρτη Η πολυπλοκότητα ψηφιακών πυλών που υλοποιούν μια συνάρτηση Boole σχετίζεται άμεσα με την πολύπλοκότητα της αλγεβρικής της έκφρασης. Η αλγεβρική αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

APLINKOS RADIACINIO FONO MATAVIMAS DOZIMETRAIS

APLINKOS RADIACINIO FONO MATAVIMAS DOZIMETRAIS VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra Taikomosios branduolio fizikos laboratorija Laboratorinis darbas Nr. 6 APLINKOS RADIACINIO FONO MATAVIMAS DOZIMETRAIS Parengė A. Poškus 2014-02-03

Διαβάστε περισσότερα

Su pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos

Su pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos Su pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos Rimantas DEKSNYS, Robertas STANIULIS Elektros sistemų katedra Kauno technologijos universitetas

Διαβάστε περισσότερα

FIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU

FIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU EUROPOS SĄJUNGA Europos socialinis fondas KURKIME ATEITĮ DRAUGE! 2004-2006 m. Bendrojo programavimo dokumento 2 prioriteto Žmogiškųjų išteklių plėtra 4 priemonė Mokymosi visą gyvenimą sąlygų plėtra Projekto

Διαβάστε περισσότερα

1 teorinė eksperimento užduotis

1 teorinė eksperimento užduotis 1 teorinė eksperimento užduotis 2015 IPhO stovykla DIFERENCINIS TERMOMETRINIS METODAS Šiame darbe naudojame diferencinį termometrinį metodą šiems dviems tikslams pasiekti: 1. Surasti kristalinės kietosios

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Riebalų rūgščių biosintezė

Riebalų rūgščių biosintezė Riebalų rūgščių biosintezė Riebalų rūgščių (RR) biosintezė Kepenys, pieno liaukos, riebalinis audinys pagrindiniai organai, kuriuose vyksta RR sintezė RR grandinė ilginama jungiant 2C atomus turinčius

Διαβάστε περισσότερα

NEKILNOJAMOJO TURTO VERTINIMAS

NEKILNOJAMOJO TURTO VERTINIMAS LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Žemėtvarkos katedra Audrius ALEKNAVIČIUS NEKILNOJAMOJO TURTO VERTINIMAS Metodiniai patarimai Akademija, 2007 UDK 332.6(076) Spausdino UAB Judex, Europos pr. 122, LT-46351

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεων Boole. Η Μέθοδος του Χάρτη

Συναρτήσεων Boole. Η Μέθοδος του Χάρτη 3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole m 0 m x y x y m 2 m 3 xy xy Η Μέθοδος του Χάρτη H Αλγεβρική Έκφραση µίας συνάρτησης δεν είναι µοναδική. Στόχος η εύρεση της µικρότερης. Απαιτείται συστηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Turininga informatikos mokymosi medžiaga pradinukams ir vyresniems

Turininga informatikos mokymosi medžiaga pradinukams ir vyresniems Turininga informatikos mokymosi medžiaga pradinukams ir vyresniems Parašė Tim Bell, Ian H. Witten ir Mike Fellows Darbui klasėje pritaikė Robyn Adams ir Jane McKenzie Iliustravo Matt Powell 2015 m. atnaujino

Διαβάστε περισσότερα

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre

Διαβάστε περισσότερα

Gyvųjų organizmų architektūra: baltymai

Gyvųjų organizmų architektūra: baltymai Gyvųjų organizmų architektūra: baltymai Dr. Zita Naučienė Baltymai yra gausiausia biologinių makromolekulių klasė randama visose ląstelėse. Baltymų įvairovė yra labai didelė, nei viena makromolekulių klasė

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2)

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) Να μελετηθεί η συνάρτηση Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις x+ 5 f(x = ως προς τη μονοτονία. x Το πεδίο ορισμού της f(x είναι το {}. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Έστω x1 < x

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα 11: Βασικές έννοιες ψηφιακής λογικής Βασίλης Παλιουράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Γιατί χρησιμοποιούμε

Διαβάστε περισσότερα

ESIM364 GSM APSAUGOS IR VALDYMO SISTEMA VARTOTOJO VADOVAS ATITINKA EN GRADE 3, CLASS II REIKALAVIMUS

ESIM364 GSM APSAUGOS IR VALDYMO SISTEMA VARTOTOJO VADOVAS ATITINKA EN GRADE 3, CLASS II REIKALAVIMUS ESIM364 GSM APSAUGOS IR VALDYMO SISTEMA VARTOTOJO VADOVAS ATITINKA EN 50131-1 GRADE 3, CLASS II REIKALAVIMUS Vartotojo Vadovas v1.4 Suderinama su ESIM364 v02.10.01 ir vėlesne Saugos informacija Kad užtikrinti

Διαβάστε περισσότερα

Palmira Pečiuliauskienė. Fizika. Vadovėlis XI XII klasei. Elektra ir magnetizmas KAUNAS

Palmira Pečiuliauskienė. Fizika. Vadovėlis XI XII klasei. Elektra ir magnetizmas KAUNAS Palmira Pečiuliauskienė Fizika Vadovėlis XI XII klasei lektra ir magnetizmas KAUNAS UDK 53(075.3) Pe3 Turinys Leidinio vadovas RGIMANTAS BALTRUŠAITIS Recenzavo mokytoja ekspertė ALVIDA LOZDINĖ, mokytojas

Διαβάστε περισσότερα

Laißkas moteriai alkoholikei

Laißkas moteriai alkoholikei Laißkas moteriai alkoholikei Margaret Lee Runbeck / Autori teis s priklauso The Hearst Corporation Jeigu aß b çiau tavo kaimyn ir matyçiau, kaip tu narsiai ir beviltißkai kovoji su savo negalia, ir kreipçiausi

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 27/02/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/1/2015

Διαβάστε περισσότερα

PLATONO VALSTYBININKAS: DRAMINIAI ASPEKTAI IR FILOSOFINIS MITAS

PLATONO VALSTYBININKAS: DRAMINIAI ASPEKTAI IR FILOSOFINIS MITAS ISSN 0258-0802. LITERATŪRA 2013 55 (3) PLATONO VALSTYBININKAS: DRAMINIAI ASPEKTAI IR FILOSOFINIS MITAS Raminta Važgėlaitė Vilniaus universiteto Klasikinės filologijos katedros doktorantė Valstybininkas

Διαβάστε περισσότερα

Išorinės duomenų saugyklos

Išorinės duomenų saugyklos Išorinės duomenų saugyklos HDD, SSD, sąsajos 5 paskaita Išorinė atmintis Ilgalaikiam informacijos (programų ir duomenų) saugojimui kompiuteriuose naudojami: standieji diskai; lankstieji diskeliai (FDD);

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

6. Tikimybių modelių pavyzdžiai. Binominis skirstinys

6. Tikimybių modelių pavyzdžiai. Binominis skirstinys 6 Tikimybių modelių avyzdžiai Sakome, kad atsitiktiis dydis X yra asiskirstęs agal biomiį dėsį su arametrais ir <

Διαβάστε περισσότερα

TRANSPORTO PRIEMONIŲ DINAMIKA

TRANSPORTO PRIEMONIŲ DINAMIKA Marijonas Bogdevičius RANSPORO PRIEMONIŲ DINAMIKA Projekto kodas VP-.-ŠMM 7-K--3 Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus Vilnius

Διαβάστε περισσότερα

Teorinė mechanika I. Uždavinių sprendimo vadovas

Teorinė mechanika I. Uždavinių sprendimo vadovas VILNIUS GEDIINO TEHNIKOS UNIVERSITETS R. UŠYS, J. KSNUSKS Teorinė mechania I. Uždavinių sprendimo vadovas OKOOJI KNYG Vilnius Technia 00 R. aušs, J. Kasnausas. TEORINĖ EHNIK I. UŽDVINIŲ SPRENDIO VDOVS

Διαβάστε περισσότερα

MONOLITINIO GELŽBETONIO BALKONO PLOKŠČIŲ ARMAVIMAS ELEMENTAIS SU IZOLIUOJANČIU INTARPU

MONOLITINIO GELŽBETONIO BALKONO PLOKŠČIŲ ARMAVIMAS ELEMENTAIS SU IZOLIUOJANČIU INTARPU VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS HALFEN-DEHA Bronius Jonaitis, Arnoldas Šneideris MONOLITINIO GELŽBETONIO BALKONO PLOKŠČIŲ ARMAVIMAS ELEMENTAIS SU IZOLIUOJANČIU INTARPU Mokomoji knyga Vilnius

Διαβάστε περισσότερα

2 TEMOS SKAITINIAI. Z.Lydeka. Rinkos ekonomikos tapsmas: teoriniai svarstymai. Kaunas: VDU leidykla, 2001, p.27-33; 45-60; ;

2 TEMOS SKAITINIAI. Z.Lydeka. Rinkos ekonomikos tapsmas: teoriniai svarstymai. Kaunas: VDU leidykla, 2001, p.27-33; 45-60; ; 2 TEMOS SKAITINIAI Z.Lydeka. Rinkos ekonomikos tapsmas: teoriniai svarstymai. Kaunas: VDU leidykla, 2001, p.27-33; 45-60; 112-117; 126-135. Mokslinėje literatūroje sutinkamus požiūrius į ekonominę sistemą,

Διαβάστε περισσότερα

Aviacinės elektronikos pagrindai

Aviacinės elektronikos pagrindai Antanas Savickas Aviacinės elektronikos pagrindai Projekto kodas VP1-2.2-ŠMM 07-K-01-023 Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotechnika ir elektronika modulio konspektas

Elektrotechnika ir elektronika modulio konspektas KAUNO TECHNIKOS KOLEGIJA ELEKTROMECHANIKOS FAKULTETAS MECHATRONIKOS KATEDRA Elektrotechnika ir elektronika modulio konspektas Parengė: doc. dr. Marius Saunoris KAUNAS, 0 TURINYS ĮŽANGINIS ŽODIS...6 3.

Διαβάστε περισσότερα

Oksidacija ir redukcija vyksta kartu ir vienu metu!!!

Oksidacija ir redukcija vyksta kartu ir vienu metu!!! Valentingumas Atomo krūviui molekulėje apibūdinti buvo pasirinkta sąvoka atomo oksidacijos laipsnis. Oksidacijos laipsnis Oksidacijos laipsnio vertė gali būti teigiama, neigiama arba lygi nuliui. Teigiama

Διαβάστε περισσότερα

3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός

3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων Boole. Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός 3 η Θεµατική Ενότητα : Απλοποίηση Συναρτήσεων oole Επιµέλεια διαφανειών: Χρ. Καβουσιανός Απλοποίηση Συναρτήσεων oole Ø Η πολυπλοκότητα του κυκλώµατος που υλοποιεί µια συνάρτηση oole σχετίζεται άµεσα µε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου ) Δίνεται ο πίνακας Α= 5) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου ) Δίνεται ο πίνακας Α= 5) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 1998 Α 4 1 4) Δίνεται ο πίνακας Α= 0 1 0 0 3 α) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α. Είναι ο πίνακας Α διαγωνοποιήσιμος ; β) Να βρεθεί ο γραμμικός μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν

Διαβάστε περισσότερα

KOMPIUTERINIS PROJEKTAVIMAS

KOMPIUTERINIS PROJEKTAVIMAS LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Statybinių konstrukcijų katedra Tatjana Sankauskienė KOMPIUTERINIS PROJEKTAVIMAS AutoCAD sistemoje Mokomoji knyga inžinerinių specialybių

Διαβάστε περισσότερα

PIRMO VAISIŲ VARTOJIMO SKATINIMO LIETUVOS MOKYKLOSE PROGRAMOS ĮGYVENDINIMO IR VEIKSMINGUMO VERTINIMO, APIMANČIO 2010 M. RUGPJŪČIO 1D.

PIRMO VAISIŲ VARTOJIMO SKATINIMO LIETUVOS MOKYKLOSE PROGRAMOS ĮGYVENDINIMO IR VEIKSMINGUMO VERTINIMO, APIMANČIO 2010 M. RUGPJŪČIO 1D. PIRMO VAISIŲ VARTOJIMO SKATINIMO LIETUVOS MOKYKLOSE PROGRAMOS ĮGYVENDINIMO IR VEIKSMINGUMO VERTINIMO, APIMANČIO 2010 M. RUGPJŪČIO 1D. 2011 M. LIEPOS 31 D. LAIKOTARPĮ, ATASKAITOS SANTRAUKA Vadovaujantis

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ

ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Ενσύρµατης Τηλεπικοινωνίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ιδάσκων: Καθηγητής Ν. Φακωτάκης Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Ενσύρµατης Τηλεπικοινωνίας ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

PREPARATO CHARAKTERISTIKŲ SANTRAUKA

PREPARATO CHARAKTERISTIKŲ SANTRAUKA PREPARATO CHARAKTERISTIKŲ SANTRAUKA 1. VAISTINIO PREPARATO PAVADINIMAS DIAPREL MR 60 mg modifikuoto atpalaidavimo tabletės 2. KOKYBINĖ IR KIEKYBINĖ SUDĖTIS Vienoje modifikuoto atpalaidavimo tabletėje yra

Διαβάστε περισσότερα

Matematika PIRMOJI KNYGA. Išplėstinis kursas. Vadovėlis gimnazijos IV klasei

Matematika PIRMOJI KNYGA. Išplėstinis kursas. Vadovėlis gimnazijos IV klasei Mtemtik Išplėstinis kurss Vdovėlis gimnzijos IV klsei PIRMOJI KNYGA Turinys Trigonometrinės funkcijos 5 Rdininis kmpo mts Posūkio kmpi 5 Bet kokio kmpo sinuss, kosinuss, tngents ir kotngents 9 Funkcijos

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρικές συνθήκες κυρτότητας. Ρ. Μπόρης

Γεωμετρικές συνθήκες κυρτότητας. Ρ. Μπόρης Ρ. Μπόρης ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρακάτω δουλειά απευθύνεται στα παιδιά της Γ λυκείου (και όχι μόνο) και σκοπό έχει να τονίσει τις γεωμετρικές ιδιότητες που έχει μια συνάρτηση ώστε να είναι κυρτή ή κοίλη. Χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Πέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Πέµπτη, 9 Μαΐου ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Ελίνα Μακρή

Ελίνα Μακρή Ελίνα Μακρή elmak@unipi.gr Μετατροπή Αριθμητικών Συστημάτων Πράξεις στα Αριθμητικά Συστήματα Σχεδίαση Ψηφιακών Κυκλωμάτων με Logism Άλγεβρα Boole Λογικές Πύλες (AND, OR, NOT, NAND, XOR) Flip Flops (D,

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα