1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad"

Transcript

1 45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule 1 U&B&C U&B&C U&B&C; 2 U B C; 3 U B C; 4 U&B&C; 5 U&B C; 6 U&B&C U&B&C 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip 1 U&B&C; 2 (U B C)&U&B U&C B&C; 3 U&B&C U&B U&C B&C; 4 U&B&C U&B U&C B&C; 5 U B C; 6 U B C 3 Formulė U&B C reiškia, kad 1 kas nors (arba Vitas, arba Skirmantas) nėra studentas, o Jonas tikrai nėra studentas; 2 ir Vitas, ir Skirmantas nėra studentas arba (bet ne visi) Jonas nėra studentas; 3 ir Vitas, ir Skirmantas nėra studentas arba (gal ir visi) Jonas nėra studentas; 4 arba Vitas, arba Skirmantas nėra studentas (bet ne abu) ir Jonas nėra studentas. serija *** variantas 0 4 Bulio funkcijos q(β, ν) = (β ν)&(β ν) dualioji funkcija yra 1 ν; 2 β; 3 β&ν; 4 β ν; 5 β ν; 6 β ν; 7 β&ν; 8 ν. 5 Kuris teiginys yra teisingas? Funkcija q(β, ν) (A) yra savidualioji; (B) nekeičia nulio; (C) nekeičia vieneto. 1 (A); 2 nė vienas; 3 visi teiginiai; 4 (B) ir (C); 5 (A) ir (C); 6 (B); 7 (A) ir (B); 8 (C); 6 Bulio funkcija f(γ, θ) = (γ θ)&(γ θ)&(γ θ) yra žymima 1 γ θ; 2 γ θ; 3 γ θ; 4 γ θ; 5 γ θ; 6 γ θ; 7 γ&θ. 7 Kuris teiginys yra teisingas? Funkcija f(γ, θ) (A) yra monotoninė; (B) yra tiesinė. 1 nė vienas; 2 visi teiginiai; 3 (B); 4 (A). 8 Kuri loginiu operaciju sistema yra pilnoji? (A) {, }; (B) {, }. 1 abi sistemos; 2 (B); 3 (A); 4 nė viena.

2 46 Bulio funkcija L(f, u, r) apibrėžta formule (u (f r)) u. 9 Kuris teiginys yra teisingas? (A) L(0, 1, 0) = 0; (B) L(1, 1, 0) = 0; (C) L(1, 1, 1) = 1. 1 (A); 2 (B) ir (C); 3 visi teiginiai; 4 (A) ir (C); 5 nė vienas; 6 (A) ir (B); 7 (B); 8 (C); 10 Loginė lygtis L(f, u, r) = 1 sprendin i/ius/iu. 1 neturi; 2 turi keturis; 3 turi viena; 4 turi penkis; 5 turi du; 6 turi tris; 7 turi šešis; 8 turi aštuonis; 9 turi septynis. 11 Kuris teiginys yra teisingas? (A) Funkcija L(f, u, r) yra savidualioji. (B) Funkcija L(f, u, r) yra monotoninė. (C) Funkcija L(f, u, r) yra tiesinė. 1 (A) ir (B); 2 nė vienas; 3 (B); 4 (A); 5 visi teiginiai; 6 (C); 7 (A) ir (C); 8 (B) ir (C); 12 Kuri formulė yra teisinga? (A) L(f, u, r) = f&u&r f&u&r. (B) L(f, u, r) = (f u r)&(f u r)&(f u r)&(f u r)&(f u r). 1 (B); 2 abi formulės; 3 (A); 4 nė viena. Bulio funkcija G(w, p) apibrėžta formule Kuris teiginys yra teisingas? 13 (A) Funkcija G(w, p) nekeičia nulio. (B) Funkcija G(w, p) nekeičia vieneto. p (w&(w p)). 1 nė vienas; 3 teiginys (B); 2 teiginys (A); 4 abu teiginiai 14 Loginė lygtis G(w, p) = 0 sprendin i/ius/iu. 1 turi tris; 2 turi keturis; 3 turi du; 4 neturi; 5 turi viena. 15 Funkcijos G(w, p) tobuloji disjunkcinė normalioji forma yra 1 w&p; 2 w&p w&p w&p; 3 w&p; 4 w&p w&p w&p. 16 Funkcijos G(w, p) tobuloji konjunkcinė normalioji forma yra 1 (w p); 2 (w p)&(w p)&(w p); 3 (w p)&(w p)&(w p); 4 (w p) 17 Propozicinės formulės (((c p)&(p c)) ((c b) (b g))) (c (b&g)) gylis yra lygus 1 dvidešimt dviem; 3 vienam; 5 nuliui; 7 penkiems; 9 keturiolikai; 2 vienuolikai; 4 septyniems; 6 šešiems; 8 keturiems; 18 Šia formule galima perrašyti taip: 1 cp pc & cb bg c&bg; 3 &cp pc cb bg c&bg; 2 & cp pc cb bg c&bg; 4 & cp pc cb bg c&bg 19 Propozicinės formulės e cb& c w b wc gylis yra lygus 20 Šia formule galima perrašyti taip: 1 (((e c) b) (c&w)) (b (w c)); 2 (((e c) b) (c&w)) (b (w c)); 3 ((e c) b) (c&(w (b (w c)))); 4 (((e c) b) (c&(w (b w)))) c. 1 keturiems; 2 aštuoniolikai; 3 devyniems; 4 aštuoniems; 5 šešiems; 6 nuliui; 7 penkiems; 8 šešiolikai; 9 dešimt.

3 Turnyre dalyvauja šeši sportininkai: Marius, Vitas, Algis, Vilius, Mindaugas, Nerijus. Ta pačia rungtyniu vieta gali užimti tik vienas sportininkas. Penki sportinės loterijos lošėjai prognozavo tokius rezultatus: 1) Nerijus trečias, Vitas pirmas; 2) Vilius pirmas, Algis penktas; 3) Marius ketvirtas, Vilius trečias; 4) Nerijus ketvirtas, Algis antras; 5) Marius antras, Mindaugas penktas. Yra žinoma, kad kiekvienas lošėjas atspėjo bent viena turnyro rezultata. 21 Kas buvo pirmas? 1 Vilius arba Vitas; 2 Algis; 3 Vitas; 4 Algis arba Mindaugas; 5 Nerijus; 6 Vitas arba Mindaugas; 7 Mindaugas; 8 Vilius; 9 Vilius arba Mindaugas. 22 Kas buvo antras? 1 Algis arba Mindaugas; 2 Nerijus; 3 Vitas arba Mindaugas; 4 Mindaugas; 5 Algis arba Marius; 6 Vitas arba Vilius; 7 Algis; 8 Algis arba Vitas; 9 Vilius. 23 Kas buvo paskutinis? 1 Algis arba Mindaugas; 2 Algis arba Vitas; 3 Marius; 4 Nerijus; 5 Mindaugas; 6 Vitas arba Mindaugas; 7 Vilius arba Nerijus; 8 Vilius arba Mindaugas; 9 Vilius. 24 Kelintas buvo Nerijus? 1 ketvirtas; 2 pirmas; 3 trečias arba ketvirtas; 4 pirmas arba ketvirtas; 5 pirmas arba antras; 6 trečias arba penktas; 7 pirmas arba trečias; 8 antras arba ketvirtas; 9 antras. 25 Kelintas buvo Marius? 1 trečias arba ketvirtas; 2 antras arba trečias; 3 pirmas arba ketvirtas; 4 pirmas arba antras; 5 pirmas; 6 antras arba ketvirtas; 7 trečias; 8 pirmas arba trečias; 9 antras. 47

4 48 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir V pažymėti teiginiai: U = Jonas yra studentas ; B = Petras yra studentas ; V = Laimis yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule 1 U&B&V ; 2 U B V ; 3 U&B&V U&B&V U&B&V ; 4 U&B V ; 5 U&B&V U&B&V ; 6 U B V 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip 1 U&B&V ; 2 U B V ; 3 U B V ; 4 U&B&V U&B U&V B&V ; 5 U&B&V U&B U&V B&V ; 6 (U B V )&U&B U&V B&V 3 Formulė U&B&V reiškia, kad 1 Jonas arba Petras (arba jie abu) yra studentas, tačiau Laimis nėra studentas; 2 arba Jonas, arba Petras yra studentas (bet ne abu), o Laimis nėra studentas; 3 ir Jonas, ir Petras yra studentas, tačiau Laimis nėra studentas; 4 kas nors (arba Jonas, arba Petras) nėra studentas, o Laimis tikrai nėra studentas. serija 0985 variantas Bulio funkcijos g(θ, η) = (θ η)&(θ η) dualioji funkcija yra 1 η; 2 θ&η; 3 θ&η; 4 θ η; 5 θ η; 6 θ; 7 θ η; 8 θ η. 5 Kuris teiginys yra teisingas? Funkcija g(θ, η) (A) yra savidualioji; (B) nekeičia nulio; (C) nekeičia vieneto. 1 (A) ir (B); 2 (A); 3 (B); 4 (C); 5 nė vienas; 6 (A) ir (C); 7 visi teiginiai; 8 (B) ir (C); 6 Bulio funkcija r(η, λ) = η&λ η&λ η&λ yra žymima 1 η λ; 2 η λ; 3 η λ; 4 η λ; 5 η&λ; 6 η λ; 7 η λ. 7 Kuris teiginys yra teisingas? Funkcija r(η, λ) (A) yra monotoninė; (B) yra tiesinė. 1 visi teiginiai; 2 (A); 3 nė vienas; 4 (B). 8 Kuri loginiu operaciju sistema yra pilnoji? (A) { }; (B) {, 1, }. 1 abi sistemos; 2 nė viena; 3 (B); 4 (A).

5 49 Bulio funkcija T (c, t, v) apibrėžta formule ((v c) v) t. 9 Kuris teiginys yra teisingas? (A) T (1, 0, 1) = 1; (B) T (1, 0, 0) = 0; (C) T (0, 0, 1) = 1. 1 (C); 2 (A) ir (B); 3 (B) ir (C); 4 nė vienas; 5 (A) ir (C); 6 (A); 7 (B); 8 visi teiginiai; 10 Loginė lygtis T (c, t, v) = 0 sprendin i/ius/iu. 1 turi septynis; 2 turi penkis; 3 neturi; 4 turi šešis; 5 turi keturis; 6 turi tris; 7 turi aštuonis; 8 turi du; 9 turi viena. 11 Kuris teiginys yra teisingas? (A) Funkcija T (c, t, v) yra savidualioji. (B) Funkcija T (c, t, v) yra monotoninė. (C) Funkcija T (c, t, v) yra tiesinė. 1 (C); 2 visi teiginiai; 3 (A) ir (B); 4 (B) ir (C); 5 (A) ir (C); 6 (B); 7 nė vienas; 8 (A); 12 Kuri formulė yra teisinga? (A) T (c, t, v) = c&t&v c&t&v c&t&v c&t&v c&t&v c&t&v c&t&v. (B) T (c, t, v) = (c t v)&(c t v). 1 (A); 2 nė viena; 3 abi formulės; 4 (B). Bulio funkcija S(w, u) apibrėžta formule Kuris teiginys yra teisingas? 13 (A) Funkcija S(w, u) nekeičia nulio. (B) Funkcija S(w, u) nekeičia vieneto. (w u)&(w u). 1 teiginys (B); 3 nė vienas; 2 teiginys (A); 4 abu teiginiai 14 Loginė lygtis S(w, u) = 1 sprendin i/ius/iu. 1 turi viena; 2 neturi; 3 turi tris; 4 turi du; 5 turi keturis. 15 Funkcijos S(w, u) tobuloji disjunkcinė normalioji forma yra 1 w&u w&u w&u; 2 w&u w&u; 3 w&u w&u; 4 w&u. 16 Funkcijos S(w, u) tobuloji konjunkcinė normalioji forma yra 1 (w u)&(w u); 2 (w u)&(w u); 3 (w u)&(w u)&(w u); 4 (w u) 17 Propozicinės formulės (((y s) (s y))&((y c) (c b))) (y (c b)) gylis yra lygus 1 penkiems; 3 aštuoniems; 5 trylikai; 7 devyniolikai; 9 devyniems; 2 keturiolikai; 4 keturiems; 6 dvidešimt keturiems; 8 šešiems; 18 Šia formule galima perrašyti taip: 1 & ys sy y c cb y cb; 3 & ys sy y c cb y cb; 2 & ys sy y c cb y cb; 4 ys sy y c cb&y cb 19 Propozicinės formulės x h a hc a xc gylis yra lygus 20 Šia formule galima perrašyti taip: 1 (((x h) a) (h c)) (a (x c)); 2 (((x h) a) (h c)) (a (x c)); 3 ((x (h a)) (h c)) (a (x c)); 4 (((x h) (a (h c))) a) (x c). 1 aštuoniems; 2 nuliui; 3 dešimt; 4 šešiems; 5 aštuoniolikai; 6 vienam; 7 trims; 8 penkiems; 9 keturiems.

6 50 Turnyre dalyvauja šeši sportininkai: Laimis, Jonas, Petras, Rytis, Gediminas, Audrius. Ta pačia rungtyniu vieta gali užimti tik vienas sportininkas. Penki sportinės loterijos lošėjai prognozavo tokius rezultatus: 1) Rytis pirmas, Jonas penktas; 2) Laimis ketvirtas, Rytis trečias; 3) Gediminas trečias, Petras pirmas; 4) Jonas antras, Gediminas ketvirtas; 5) Audrius penktas, Laimis ketvirtas. Yra žinoma, kad kiekvienas lošėjas atspėjo bent viena turnyro rezultata. 21 Kas buvo pirmas? 1 Petras; 2 Jonas; 3 Audrius; 4 Petras arba Audrius; 5 Gediminas; 6 Rytis arba Audrius; 7 Rytis; 8 Rytis arba Petras; 9 Jonas arba Audrius. 22 Kas buvo antras? 1 Petras arba Audrius; 2 Jonas arba Audrius; 3 Jonas; 4 Audrius; 5 Jonas arba Petras; 6 Gediminas; 7 Rytis; 8 Petras; 9 Rytis arba Audrius. 23 Kas buvo šeštas? 1 Laimis; 2 Audrius; 3 Petras arba Audrius; 4 Jonas arba Petras; 5 Gediminas; 6 Petras; 7 Jonas arba Audrius; 8 Laimis arba Audrius; 9 Laimis. 24 Kelintas buvo Gediminas? 1 trečias; 2 antras; 3 ketvirtas; 4 pirmas arba trečias; 5 antras arba ketvirtas; 6 pirmas arba ketvirtas; 7 pirmas arba antras; 8 pirmas; 9 trečias arba ketvirtas. 25 Kelintas buvo Laimis? 1 pirmas; 2 ketvirtas; 3 pirmas arba ketvirtas; 4 pirmas arba antras; 5 trečias arba ketvirtas; 6 trečias; 7 pirmas arba trečias; 8 antras; 9 antras arba ketvirtas.

7 51 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI serija 0985 Raidėmis X, G ir B pažymėti teiginiai: X = Rytis yra moksleivis ; G = Vilius yra moksleivis ; B = Gediminas yra moksleivis. 1 Tada teigini Tarp šiu berniuku yra lygiai vienas moksleivis galima išreikšti formule 1 X&G&B; 2 X&G&B X&G&B X&G&B; 3 X&G B; 4 X&G&B X&G&B; 5 X G B; 6 X G B 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip 1 X G B; 2 X&G&B X&G X&B G&B; 3 X&G&B; 4 X G B; 5 (X G B)&X&G X&B G&B; 6 X&G&B X&G X&B G&B 3 Formulė X&G B reiškia, kad 1 ir Rytis, ir Vilius nėra moksleivis arba (gal ir visi) Gediminas nėra moksleivis; 2 ir Rytis, ir Vilius nėra moksleivis arba (bet ne visi) Gediminas nėra moksleivis; 3 arba Rytis, arba Vilius nėra moksleivis (bet ne abu) ir Gediminas nėra moksleivis; 4 kas nors (arba Rytis, arba Vilius) nėra moksleivis, o Gediminas tikrai nėra moksleivis. variantas Bulio funkcijos h(α, β) = α&β dualioji funkcija yra 1 α β; 2 α β; 3 α; 4 β; 5 α β; 6 α β; 7 α&β; 8 α β. 5 Kuris teiginys yra teisingas? Funkcija h(α, β) (A) yra savidualioji; (B) nekeičia nulio; (C) nekeičia vieneto. 1 (B); 2 visi teiginiai; 3 (B) ir (C); 4 nė vienas; 5 (A); 6 (A) ir (B); 7 (A) ir (C); 8 (C); 6 Bulio funkcija t(δ, ξ) = (δ ξ)&(δ ξ) yra žymima 1 δ ξ; 2 δ ξ; 3 δ ξ; 4 δ ξ; 5 δ&ξ; 6 δ ξ; 7 δ ξ. 7 Kuris teiginys yra teisingas? Funkcija t(δ, ξ) (A) yra monotoninė; (B) yra tiesinė. 1 nė vienas; 2 (B); 3 (A); 4 visi teiginiai. 8 Kuri loginiu operaciju sistema yra pilnoji? (A) {, }; (B) { }. 1 nė viena; 2 abi sistemos; 3 (A); 4 (B).

8 52 Bulio funkcija R(t, a, r) apibrėžta formule ((a t) r) a. 9 Kuris teiginys yra teisingas? (A) R(0, 1, 1) = 0; (B) R(0, 0, 1) = 0; (C) R(1, 1, 1) = 0. 1 (A) ir (B); 2 (C); 3 nė vienas; 4 (B) ir (C); 5 (A) ir (C); 6 (A); 7 (B); 8 visi teiginiai; 10 Loginė lygtis R(t, a, r) = 0 sprendin i/ius/iu. 1 turi du; 2 turi šešis; 3 turi septynis; 4 turi keturis; 5 turi viena; 6 turi tris; 7 turi aštuonis; 8 neturi; 9 turi penkis. 11 Kuris teiginys yra teisingas? (A) Funkcija R(t, a, r) yra savidualioji. (B) Funkcija R(t, a, r) yra monotoninė. (C) Funkcija R(t, a, r) yra tiesinė. 1 (A); 2 visi teiginiai; 3 (A) ir (B); 4 (C); 5 (B) ir (C); 6 nė vienas; 7 (B); 8 (A) ir (C); 12 Kuri formulė yra teisinga? (A) R(t, a, r) = t&a&r t&a&r t&a&r t&a&r t&a&r t&a&r. (B) R(t, a, r) = (t a r). 1 abi formulės; 2 nė viena; 3 (A); 4 (B). Bulio funkcija F (w, c) apibrėžta formule ((c w) (w&c)) w. Kuris teiginys yra teisingas? 1 teiginys (A); 13 (A) Funkcija F (w, c) nekeičia nulio. 3 nė vienas; (B) Funkcija F (w, c) nekeičia vieneto. 2 teiginys (B); 4 abu teiginiai 14 Loginė lygtis F (w, c) = 0 sprendin i/ius/iu. 1 turi tris; 2 neturi; 3 turi viena; 4 turi keturis; 5 turi du. 15 Funkcijos F (w, c) tobuloji disjunkcinė normalioji forma yra 1 w&c w&c; 2 w&c; 3 w&c w&c w&c; 4 w&c. 16 Funkcijos F (w, c) tobuloji konjunkcinė normalioji forma yra 1 (w c)&(w c)&(w c); 2 (w c); 3 (w c)&(w c)&(w c); 4 (w c)&(w c) 17 Propozicinės formulės (((p a) z) (a&e)) (z (p z)) gylis yra lygus 18 Šia formule galima perrašyti taip: 1 & p a z a e z pz; 3 p a z&a e z pz; 1 devyniolikai; 3 keturiolikai; 5 devyniems; 7 šešiems; 9 penkiems; 2 keturiems; 4 dešimt; 6 dviem; 8 aštuoniolikai; 2 p a z&a e z pz; 4 p a z&a e z pz 19 Propozicinės formulės & dv vd d a aw d&aw gylis yra lygus 20 Šia formule galima perrašyti taip: 1 (((d v)&(v d)) ((d a) (a w))) (d (a&w)); 2 (((d v)&(v d)) ((d a) (a w))) (d (a&w)); 3 ((d v) (v d)) ((d (a&(a w))) (d (a&w))); 4 (((d&v) (v d)) ((d a) (a w))) (d (a&w)). 1 keturiems; 2 aštuoniolikai; 3 šešiems; 4 dvylikai; 5 dvidešimt trims; 6 dešimt; 7 penkiems; 8 aštuoniems; 9 nuliui.

9 Turnyre dalyvauja šeši sportininkai: Arnas, Gediminas, Algis, Liutauras, Nerijus, Petras. Ta pačia rungtyniu vieta gali užimti tik vienas sportininkas. Penki sportinės loterijos lošėjai prognozavo tokius rezultatus: 1) Gediminas ketvirtas, Liutauras antras; 2) Gediminas trečias, Nerijus pirmas; 3) Arnas pirmas, Liutauras penktas; 4) Arnas trečias, Algis ketvirtas; 5) Petras penktas, Algis antras. Yra žinoma, kad kiekvienas lošėjas atspėjo bent viena turnyro rezultata. 21 Kas buvo pirmas? 1 Arnas arba Nerijus; 2 Liutauras arba Petras; 3 Nerijus; 4 Nerijus arba Petras; 5 Petras; 6 Gediminas; 7 Arnas arba Petras; 8 Liutauras; 9 Arnas. 22 Kas buvo antras? 1 Liutauras; 2 Nerijus arba Arnas; 3 Gediminas; 4 Arnas; 5 Nerijus arba Petras; 6 Petras; 7 Liutauras arba Algis; 8 Liutauras arba Nerijus; 9 Liutauras arba Petras. 23 Kas buvo paskutinis? 1 Nerijus arba Petras; 2 Liutauras arba Petras; 3 Liutauras arba Nerijus; 4 Algis; 5 Arnas arba Gediminas; 6 Gediminas; 7 Arnas; 8 Arnas arba Petras; 9 Petras. 24 Kelintas buvo Gediminas? 1 pirmas; 2 trečias arba ketvirtas; 3 antras; 4 pirmas arba antras; 5 trečias arba penktas; 6 pirmas arba ketvirtas; 7 pirmas arba trečias; 8 ketvirtas; 9 antras arba ketvirtas. 25 Kelintas buvo Algis? 1 pirmas; 2 antras; 3 trečias; 4 pirmas arba ketvirtas; 5 antras arba ketvirtas; 6 pirmas arba trečias; 7 pirmas arba antras; 8 antras arba trečias; 9 trečias arba ketvirtas. 53

10 54 ATSAKYMAI ATSAKYMAI

11 55 DISKREČIOJI MATEMATIKA. AIBĖS IR KOMBINACIJOS. PAVYZDŽIAI serija *** variantas 0 Aibės L, A U apibrėžtos predikatais: L = {x U : λ(x)}, A = {x U : α(x)}. 1 Aibe F = {x U : λ(x) α(x)} galima išreikšti taip: 1 (L A) (L A); 2 L A; 3 L A; 4 L A; 5 L A. 2 Ta pačia aibe F galima išreikšti ir taip: 1 (L A) (L A) (L A); 2 (L A) (L A); 3 (L A) (L A) (L A); 4 (L A) (L A) (L A); 5 (L A) (L A) (L A); 3 Diagramoje pavaizduotos aibės, apribotos elipsėmis (X ir F ), apskritimu (A), bei vidiniu kvadratu (R). Kuria formule galima išreikšti uždažyta aibe? 1 (X F ) (X \ R); 2 ((X R) \ A) (F \ R); 3 ((F R) \ A) (X \ R); 4 R \ ((X F ) A) 4 Propozicinės formulės X \ (S (R \ (X (A \ (S A))))) gylis yra lygus 5 Šia formule galima perrašyti taip: 1 \X S \ R X \ A SA; 3 \X S \ R \ X A SA; 1 penkiems; 2 trims; 3 aštuoniems; 4 vienuolikai; 5 devyniems; 6 šešiems; 7 septyniems; 8 keturiolikai; 9 aštuoniolikai. 2 \X \ S R X \ A SA; 4 \X S \ R X \ A SA 6 Iš 582 studentu prancūzu kalba studijuoja 240 studentu, lenku - 308, ispanu studentai studijuoja ir prancūzu, ir lenku kalba, o prancūzu ir ispanu. Nė vienos iš šiu triju kalbu nestudijuoja 118 studentai, o 67 studentai studijuoja visas tris šias kalbas. Kiek studentu studijuoja ir lenku, ir ispanu kalba? 1 31; 2 23; 3 179; 4 104; 5 32; 6 173; Pažymėkime natūraliuju skaičiu aibės poaibius: G = {ν N : ν & j N : ν = 19j}, D = {θ N : θ & n N : θ = 11n}, R = {β N : β & i N : β = 19i & i N : β = 11i}. 7 G D = ; ; ; ; ; R = ; ; ; ; ; Keliais būdais aštuonios šokėjos gali sudaryti rateli iš penkiu šokėju? 1 336; ; ; ; ;

12 56 DISKREČIOJI MATEMATIKA. AIBĖS IR KOMBINACIJOS. PAVYZDŽIAI serija 0985 variantas 0 10 Keliais būdais galima idėti šešis skirtingu spalvu rutuliukus i penkias vienodas dėžutes, jei kai kurios dėžutės gali būtu tuščios? 1 65; 2 55; 3 21; 4 202; 5 31; 6 90; 7 470; Kiek skirtingu kombinaciju galima sudaryti iš žodžio DIDINGAS raidžiu? ; ; ; ; ; Kiek poaibiu turi aibė {µ, {µ}, {δ, {δ, {{δ}, {δ, ν, µ}, {µ}}}}, {µ}, {δ}, {ν, δ}}? 1 4; 2 64; 3 32; 4 256; 5 16; 6 128; Aibės A poaibis B A vadinamas tikriniu, kai B & B A. Kiek tikriniu poaibiu turi aibė {{η, β, µ}, µ, {β}, β, {η}}? 1 62; 2 14; 3 6; 4 30; 5 126; 6 2; r Kuria skaičiu seka generuoja funkcija S(r) = 1 15r + 56r 2? n ; n n ; n n ; n 5 8 n ; n ; n 5 7 n. 15 Raskite skaičiu sekos {6, 4, 16, 64, 256, 1024,...} generuojančiaja funkcija. 1 24x+6 6x+6 6x+6 24x x 1 4x ; 2 4x+1 ; 3 1 4x ; 4 4x+1 ; 5 1 4x ; 6 20x 6 4x Raskite skaičiu sekos B 0 = 5, B 1 = 5, B n = 4B n 1 8B n 2 generuojančiaja funkcija. 1 25x 5 30x 5 25x 5 25x 25x 5 6x 2 4x+1 ; 2 8x 2 4x+1 ; 3 8x 2 4x+1 ; 4 8x 2 4x+1 ; 5 8x 2 x+1. Tarkime, kad {u n } yra skaičiu seka. Apibrėžkime tiesini operatoriu L[u n ] u n+3 3u n+2 9u n u n. 17 Kuri skaičiu seka tenkina homogenine lygti L[u n ] = 0? (A) 1; (B) ( 1) n ; (C) ( 3) n. 1 (A) ir (B); 2 (C); 3 (B) ir (C); 4 (B); 5 visos formulės; 6 nė viena; 7 (A); 8 (A) ir (C); 18 Nehomogeninės lygties L[u n ] = 32n n + 48 atskirasis sprendinys yra 1 7n 2 6n; 2 2n 2 6n; 3 7n 2 6n + 4; 4 2n 2 2n. 19 Kai {u n } tenkina nehomogenine lygti su pradinėmis salygomis u 0 = 0, u 1 = 4, u 2 = 12, tai u 10 = 1 199; 2 232; 3 362; 4 306; Nehomogeninės lygties (pradinės salygos tos pačios) sprendinio reikšmė u 14 = 1 342; 2 272; 3 420; 4 389; Nurodykite teisinga funkciju augimo hierarchija, kai n +. 1 n n45 45 nn n 45n ; 2 45 nn n 45n n n45 ; 3 n n45 n 45n 45 nn ; 4 n 45n n n45 45 nn ; 5 n 45n 45 nn n n45 ; 6 45 nn n n45 n 45n

13 57 Pažymėkime f(n) = 5 (20) n + 33 (9) n ln n + 19n 18 ln n + 37n 9. Kuris teiginys yra teisingas, kai n +? (A) f(n) n ; (B) f(n) 20 n 1 (B); 2 nė vienas; 3 abu teiginiai; 4 (A).. (C) f(n) 5 (20) 23 n ; (D) f(n) 5 (20) n + 19n 18 1 (C); 2 nė vienas; 3 abu teiginiai; 4 (D). ln n. (E) f(n) = 5 (20) 24 n + O(33 (9) n ln n); (F) f(n) = 5 (20) n + o(5 (20) n 1 nė vienas; 2 (F); 3 abu teiginiai; 4 (E). ).

14 58 DISKREČIOJI MATEMATIKA. AIBĖS IR KOMBINACIJOS. PAVYZDŽIAI serija 0985 variantas 001 Aibės B, A U apibrėžtos predikatais: B = {x U : β(x)}, A = {x U : α(x)}. 1 Aibe F = {x U : β(x) α(x)} galima išreikšti taip: 1 B A; 2 B A; 3 B A; 4 (B A) (B A); 5 B A. 2 Ta pačia aibe F galima išreikšti ir taip: 1 (B A) (B A) (B A); 2 (B A) (B A) (B A); 3 (B A) (B A) (B A); 4 (B A) (B A) (B A); 5 (B A) (B A); 3 Diagramoje pavaizduotos aibės, apribotos elipsėmis (D ir V ), apskritimu (Z), bei vidiniu kvadratu (U). Kuria formule galima išreikšti uždažyta aibe? 1 (U \ (D V )) (Z \ U); 2 ((D U) \ Z) ((V Z) \ D); 3 U \ ((D V ) Z); 4 ((D Z) \ V ) ((V U) \ Z) 4 Propozicinės formulės F \ (E (B \ (S (F E)))) gylis yra lygus 5 Šia formule galima perrašyti taip: 1 šešiems; 2 keturiolikai; 3 vienuolikai; 4 septyniolikai; 5 septyniems; 6 aštuoniems; 7 dviem; 8 penkiems; 9 devyniems. 1 F E \ B S \ F E; 2 \F E \ B S F E; 3 \F E \ B S F E; 4 \F E \ B S F E 6 Iš 650 studentu vokiečiu kalba studijuoja 268 studentai, rusu - 313, ispanu studentai studijuoja ir vokiečiu, ir rusu kalba, vokiečiu ir ispanu, rusu ir ispanu. Nė vienos iš šiu triju kalbu nestudijuoja 132 studentai. Kiek studentu studijuoja visas tris šias kalbas? 1 14; 2 5; 3 6; 4 53; 5 58; 6 7; Pažymėkime natūraliuju skaičiu aibės poaibius: C = {ν N : ν & i N : ν = 23i}, A = {ξ N : ξ & m N : ξ = 13m}, S = {β N : β & l N : β = 23l & l N : β = 13l}. 7 C A = ; ; ; ; ; S = ; ; ; ; ; Keliais būdais devynios šokėjos gali sudaryti rateli iš aštuoniu šokėju? ; ; ; ; ;

15 59 DISKREČIOJI MATEMATIKA. AIBĖS IR KOMBINACIJOS. PAVYZDŽIAI serija 0985 variantas Keliais būdais galima idėti dešimt skirtingu atviruku i du vienodus vokus, kad idėtu atviruku skaičiai būtu skirtingi? ; ; 3 511; 4 45; 5 385; 6 90; ; Kiek skirtingu kombinaciju galima sudaryti iš žodžio DEKADANSAS raidžiu? ; ; ; ; ; Kiek poaibiu turi aibė {α, {α}, {{β}, {β, {{β}, {β, λ, α}, {α}}, α}, {α}}, {α, λ}, {β}, {α, β}, {λ, β}}? 1 128; 2 256; 3 64; 4 8; 5 32; 6 4; Aibės A poaibis B A vadinamas tikriniu, kai B & B A. Kiek tikriniu poaibiu turi aibė {ξ, η, {{ξ, {ξ, γ}}, η}, {η}, γ, {ξ}}? 1 254; 2 14; 3 30; 4 2; 5 62; 6 6; y Kuria skaičiu seka generuoja funkcija R(y) = 1 14y + 48y 2? n 2 8 n ; n ; n n ; n n ; n 2 6 n ; n. 15 Raskite skaičiu sekos {6, 2, 4, 8, 16, 32,...} generuojančiaja funkcija. 1 6x+6 6x+6 10x+6 10x+6 1 2x ; 2 2x+1 ; 3 2x+1 ; 4 1 2x ; 6 12x 6 12x 5 2x+1 ; 6 1 2x. 16 Raskite skaičiu sekos B 0 = 8, B 1 = 6, B n = 7B n 1 + 6B n 2 generuojančiaja funkcija. 1 62x+8 63x+8 62x+8 62x+8 62x+10 4x 2 7x 1 ; 2 6x 2 7x 1 ; 3 6x 2 7x 1 ; 4 6x 2 4x 1 ; 5 6x 2 7x 1. Tarkime, kad {d n } yra skaičiu seka. Apibrėžkime tiesini operatoriu L[d n ] d n+3 3d n+2 9d n d n. 17 Kuri skaičiu seka tenkina homogenine lygti L[d n ] = 0? (A) 3 n ; (B) 3 n n; (C) ( 1) n. 1 (B) ir (C); 2 visos formulės; 3 (C); 4 (B); 5 (A) ir (B); 6 nė viena; 7 (A); 8 (A) ir (C); 18 Nehomogeninės lygties L[d n ] = 112n n 12 atskirasis sprendinys yra 1 4n n 3; 2 7n n; 3 4n n; 4 7n 2 + 8n. 19 Kai {d n } tenkina nehomogenine lygti su pradinėmis salygomis d 0 = 0, d 1 = 1, d 2 = 12, tai d 11 = 1 759; 2 891; 3 709; 4 758; Nehomogeninės lygties (pradinės salygos tos pačios) sprendinio reikšmė d 14 = ; ; ; ; Nurodykite teisinga funkciju augimo hierarchija, kai n lnn n n lnn 35 n ln35 n ; 2 n ln35 n 35 lnn n n lnn 35 ; 3 n lnn 35 n ln35 n 35 lnn n ; 4 35 lnn n n ln35 n n lnn 35 ; 5 n lnn lnn n n ln35 n ; 6 n ln35 n n lnn lnn n

16 60 Pažymėkime f(n) = 49n e ln n + 5 (21) n + 34 (12) n ln n + 24n 15. Kuris teiginys yra teisingas, kai n +? (A) f(n) n ; (B) f(n) n 22 1 (B); 2 abu teiginiai; 3 (A); 4 nė vienas.. (C) f(n) 5 (21) 23 n ; (D) f(n) 5 (21) n + 24n 15 1 nė vienas; 2 (C); 3 (D); 4 abu teiginiai.. (E) f(n) = 5 (21) 24 n + O(49n e ln n); (F) f(n) = 5 (21) n + o(5 (21) n 1 (F); 2 (E); 3 nė vienas; 4 abu teiginiai. ).

17 61 DISKREČIOJI MATEMATIKA. AIBĖS IR KOMBINACIJOS. PAVYZDŽIAI serija 0985 variantas 002 Aibės T, B U apibrėžtos predikatais: T = {x U : θ(x)}, B = {x U : β(x)}. 1 Aibe F = {x U : θ(x) β(x)} galima išreikšti taip: 1 T B; 2 T B; 3 (T B) (T B); 4 T B; 5 T B. 2 Ta pačia aibe F galima išreikšti ir taip: 1 (T B) (T B); 2 (T B) (T B) (T B); 3 (T B) (T B) (T B); 4 (T B) (T B) (T B); 5 (T B) (T B) (T B); 3 Diagramoje pavaizduotos aibės, apribotos elipsėmis (P ir C), apskritimu (U), bei vidiniu kvadratu (Q). Kuria formule galima išreikšti uždažyta aibe? 1 (U \ (P C)) (C \ Q); 2 ((P C) U) \ Q; 3 (P C) (P \ Q); 4 (U \ (P C)) (P \ Q) 4 Propozicinės formulės S (W (F (Z (S (W \ S))))) gylis yra lygus 5 Šia formule galima perrašyti taip: 1 aštuoniolikai; 2 aštuoniems; 3 devyniems; 4 šešiolikai; 5 vienam; 6 septyniems; 7 penkiolikai; 8 nuliui; 9 vienuolikai. 1 S W F Z S \ W S; 2 S W F Z S \ W S; 3 S W F Z S \ W S; 4 S W F \ Z S W S 6 Iš 606 studentu vokiečiu kalba studijuoja 241 studentas, rusu - 345, ispanu studentai studijuoja ir vokiečiu, ir rusu kalba, o vokiečiu ir ispanu. Nė vienos iš šiu triju kalbu nestudijuoja 108 studentai, o 59 studentai studijuoja visas tris šias kalbas. Kiek studentu studijuoja ir rusu, ir ispanu kalba? 1 101; 2 209; 3 99; 4 155; 5 165; 6 58; Pažymėkime natūraliuju skaičiu aibės poaibius: S = {η N : η & n N : η = 11n}, H = {γ N : γ & j N : γ = 19j}, R = {ν N : ν & m N : ν = 11m & m N : ν = 19m}. 7 S H = ; ; ; ; ; R = ; ; ; ; ; Keliais būdais dvylika šokėju gali sudaryti rateli iš septyniu šokėju? ; ; ; ; ;

18 62 DISKREČIOJI MATEMATIKA. AIBĖS IR KOMBINACIJOS. PAVYZDŽIAI serija 0985 variantas Keliais būdais galima idėti šešis skirtingus atvirukus i keturis vienodus vokus, jei kai kurie vokai gali būtu tušti? 1 31; 2 90; 3 187; 4 470; 5 55; 6 65; 7 15; Kiek skirtingu kombinaciju galima sudaryti iš žodžio ČIUŽINYS raidžiu? ; ; ; ; ; Kiek poaibiu turi aibė {{β, {β, δ}, {µ}}, {µ}, {{β, {β, δ}, {µ}}}, µ, {δ, β}}? 1 256; 2 16; 3 128; 4 4; 5 64; 6 8; Aibės A poaibis B A vadinamas tikriniu, kai B & B A. Kiek tikriniu poaibiu turi aibė {λ, α, {{λ, {λ, η}, {α}}, α}, {α}, {η}, η, {λ}}? 1 6; 2 2; 3 30; 4 126; 5 254; 6 62; s Kuria skaičiu seka generuoja funkcija F (s) = 1 18s + 77s 2? n n ; n 9 7 n ; n n ; n ; n 9 11 n ; n. 15 Raskite skaičiu sekos { 1, 9, 81, 729, 6561, 59049,...} generuojančiaja funkcija. 1 1; 2 9x 1 x+1 18x+1 18x+1 x+1 9x+1 ; 3 9x+1 ; 4 9x+1 ; 5 9x 1 ; 6 9x Raskite skaičiu sekos S 0 = 5, S 1 = 3, S n = 3S n 1 7S n 2 generuojančiaja funkcija. 1 12x 5 12x 6 12x 5 12x 5 17x 5 7x 2 +3x 1 ; 2 7x 2 +3x 1 ; 3 7x 2 +5x 1 ; 4 3x 2 +3x 1 ; 5 7x 2 +3x 1. Tarkime, kad {h n } yra skaičiu seka. Apibrėžkime tiesini operatoriu L[h n ] h n+3 + 3h n+2 4h n. 17 Kuri skaičiu seka tenkina homogenine lygti L[h n ] = 0? (A) ( 3) n ; (B) 3 n ; (C) n. 1 nė viena; 2 (B) ir (C); 3 (A) ir (C); 4 (C); 5 (A); 6 (A) ir (B); 7 visos formulės; 8 (B); 18 Nehomogeninės lygties L[h n ] = 135n 2 441n 366 atskirasis sprendinys yra 1 3n 3 11n 2 + 3n; 2 2n 3 7n 2 + 3n; 3 5n 3 7n 2 + 4n; 4 5n 3 11n 2 + 3n Kai {h n } tenkina nehomogenine lygti su pradinėmis salygomis h 0 = 0, h 1 = 8, h 2 = 60, tai h 11 = ; ; ; ; Nehomogeninės lygties (pradinės salygos tos pačios) sprendinio reikšmė h 14 = ; ; ; ; Nurodykite teisinga funkciju augimo hierarchija, kai n +. 1 (ln n) 50n (ln 50) nn (ln n) n50 ; 2 (ln n) n50 (ln n) 50n (ln 50) nn ; 3 (ln n) n50 (ln 50) nn (ln n) 50n ; 4 (ln 50) nn (ln n) 50n (ln n) n50 ; 5 (ln 50) nn (ln n) n50 (ln n) 50n ; 6 (ln n) n50 (ln n) 50n (ln 50) nn

19 63 Pažymėkime f(n) = 42 (14) n + 13n 6 ln n + 30n (18) n ln n. Kuris teiginys yra teisingas, kai n +? (A) f(n) n ; (B) f(n) 19 n 1 abu teiginiai; 2 (A); 3 (B); 4 nė vienas.. (C) f(n) 42 (14) 23 n ; (D) f(n) 23 (18) n ln n + 13n 6 1 (D); 2 abu teiginiai; 3 (C); 4 nė vienas. ln n. 24 (E) f(n) = 23 (18) n ln n + O(42 (14) n ); (F) f(n) = 23 (18) n ln n + o(42 (14) n ). 1 (E); 2 abu teiginiai; 3 (F); 4 nė vienas.

20 64 ATSAKYMAI ATSAKYMAI

21 65 DISKREČIOJI MATEMATIKA. SARYŠIAI. PAVYZDŽIAI serija 0985 variantas Saryšis A refleksyvusis {(y, y), (y, c), (r, r), (r, f), (r, a), (c, y), (c, c), (c, f), B simetrinis (c, a), (f, r), (f, c), (f, f), (a, r), (a, c), (a, a)} yra C antisimetrinis 1 ABC ; 2 AC ; 3 AB ; 4 C ; 5 B ; 6 A ; 7 BC. 2 Pavaizduoto paveiksle saryšio matrica yra Saryšis A pavaizduotas paveiksle, o saryšis B apibrėžtas matrica Kuris saryšis yra tranzityvusis? 1 abu saryšiai; 2 nė vienas; 3 A; 4 B. Aibėje {d, h, u, z} apibrėžti saryšiai D = {(d, d), (d, h), (d, z), (h, d), (u, u), (u, z), (z, u)}, R = {(d, h), (d, u), (h, z), (u, d), (u, h), (u, z), (z, d), (z, h)}. 4 Raskite saryši W = (D R) 1. 1 {(d, d), (d, h), (d, u), (d, z), (h, d), (h, u), (h, z), (u, d), (u, u), (u, z), (z, d), (z, h), (z, u)}; 2 {(d, d), (d, h), (d, u), (d, z), (h, u), (h, z), (u, d), (u, u), (u, z), (z, d), (z, h), (z, u)}; 3 {(d, h), (d, u), (d, z), (h, d), (h, u), (h, z), (u, d), (u, u), (u, z), (z, d), (z, h), (z, u)}; 4 {(d, d), (d, h), (d, u), (d, z), (h, d), (h, u), (h, z), (u, d), (u, u), (u, z), (z, d), (z, u)}. 5 Saryšio W matrica yra

22 66 Aibėje {p, c, e, y} apibrėžti saryšiai G = {(c, p), (c, c), (c, e), (e, y), (y, p), (y, c), (y, e), (y, y)}, K = {(p, c), (p, e), (c, p), (y, p), (y, e), (y, y)}. 6 Raskite saryšiu kompozicija P = G K. 1 {(c, p), (c, c), (c, e), (e, p), (e, e), (e, y), (y, p), (y, c), (y, e), (y, y)}; 2 {(c, p), (c, e), (e, p), (e, e), (e, y), (y, p), (y, c), (y, e), (y, y)}; 3 {(c, p), (c, c), (c, e), (e, p), (e, e), (y, p), (y, c), (y, e), (y, y)}. 7 Raskite saryšiu kompozicija J = K G. 1 {(p, p), (p, c), (p, e), (p, y), (y, p), (y, c), (y, e), (y, y)}; 2 {(p, p), (p, c), (p, y), (y, p), (y, c), (y, e), (y, y)}; 3 {(p, p), (p, c), (p, e), (p, y), (y, p), (y, e), (y, y)}. 8 Raskite saryši Q = P J. 1 {(p, p), (p, c), (p, e), (p, y), (c, p), (c, e), (c, y), (e, p), (e, c), (e, e), (e, y)}; 2 {(p, p), (p, c), (p, e), (p, y), (c, p), (c, c), (c, e), (c, y), (e, p), (e, c), (e, e), (e, y)}; 3 {(p, c), (p, e), (p, y), (c, p), (c, c), (c, e), (c, y), (e, p), (e, c), (e, e), (e, y)}; 4 {(p, p), (p, c), (p, e), (p, y), (c, p), (c, c), (c, e), (c, y), (e, c), (e, e), (e, y)}. 9 Saryšio Q matrica yra

23 67 DISKREČIOJI MATEMATIKA. SARYŠIAI. PAVYZDŽIAI serija 0985 variantas Kuris saryšis turi ekvivalentumo savybe? A = {(p, p), (z, z), (z, e), (z, t), (e, z), (e, e), (e, t), (t, z), (t, e), (t, t)}, B = {(a, a), (v, v), (v, y), (v, r), (y, v), (y, y), (y, r), (r, v), (r, y), (r, r), (w, v), (w, w)}. 1 abu saryšiai; 2 A; 3 B; 4 nė vienas. 11 Raskite saryšio L = {(w, w), (w, g), (g, w), (p, w), (p, q), (q, w), (q, g), (q, p)} tranzityvuji uždarini T = L +. 1 {(w, w), (w, g), (g, w), (g, g), (p, g), (p, p), (p, q), (q, w), (q, g), (q, p), (q, q)}; 2 {(w, w), (w, g), (w, q), (g, w), (g, g), (p, w), (p, g), (p, p), (p, q), (q, w), (q, g), (q, p), (q, q)}; 3 {(w, w), (w, g), (g, w), (g, g), (p, w), (p, g), (p, p), (p, q), (q, w), (q, p), (q, q)}; 4 {(w, w), (w, g), (g, w), (g, g), (p, w), (p, g), (p, p), (p, q), (q, w), (q, g), (q, p), (q, q)}. 12 Saryšio T = L + matrica yra Saryšis {(b, e), (y, y), (y, e), (f, b), (f, y), (f, u), (f, e), (u, b), (u, y), (u, e)} tvarkos saryšis. 1 nėra; 2 yra griežtosios dalinės; 3 yra griežtosios visiškosios; 4 yra negriežtosios visiškosios; 5 yra dalinės; 6 yra visiškosios; 7 yra negriežtosios dalinės. 14 Kuris saryšis yra funkcija? A = {(e, e), (z, h), (f, h), (b, b)}, B = {(t, d), (e, b), (q, d), (b, d), (d, b)}. 1 nė vienas; 2 A; 3 B; 4 abu saryšiai. 15 Kuri funkcija yra bijekcija? A = {(v, a), (t, f), (a, d), (f, q), (d, v), (q, t)}, B = {(y, x), (q, q), (z, u), (u, h), (x, z), (h, x)}. 1 nė viena; 2 B; 3 abi funkcijos; 4 A. 16 Tarkime, kad A = {a 1, a 2,..., a n } ir S S S A 2. Jei S S 1 I A S & S I A S 1 = A 2, tai S yra saryšis. 1 dalinės tvarkos; 2 ekvivalentumo; 3 visiškosios negriežtosios tvarkos; 4 visiškosios griežtosios tvarkos; 5 griežtosios tvarkos; 6 tvarkos; 7 visiškosios tvarkos; 8 dalinės negriežtosios tvarkos; 9 dalinės griežtosios tvarkos; 0 negriežtosios tvarkos. 17 Tarkime, kad A, D, H U 2 ; U yra baigtinė aibė; U = n. Pažymėkime saryšiu matricas M A = α ij n n, M D = δ ij n n, M H = κ ij n n. Tada saryšio Q = H (A 1 D) matricos M Q = q ij n n elementas q ij išreiškiamas formule n s=1 n s=1 n s=1 n s=1 κ is &(α js δ sj ); 2 n (α si δ si )&κ js ; s=1 κ is &(α sj δ sj ); 4 n κ is &(α js δ sj ); s=1 (α si δ is )&κ js ; 6 n α si &(δ is κ sj ); s=1 α si &δ is &κ sj ; 8 n κ is &(α sj δ js ) s=1

24 68 DISKREČIOJI MATEMATIKA. SARYŠIAI. PAVYZDŽIAI serija 0985 variantas Saryšis A antisimetrinis {(z, z), (z, v), (z, y), (z, r), (z, f), (v, z), (v, v), (y, z), (y, y), (y, r), B refleksyvusis (y, f), (r, z), (r, y), (r, r), (r, f), (f, z), (f, y), (f, r), (f, f)} yra C simetrinis 1 AC ; 2 C ; 3 AB ; 4 A ; 5 ABC ; 6 B ; 7 BC. 2 Pavaizduoto paveiksle saryšio matrica yra Saryšis A pavaizduotas paveiksle, o saryšis B apibrėžtas matrica Kuris saryšis yra tranzityvusis? 1 A; 2 nė vienas; 3 B; 4 abu saryšiai. Aibėje {b, f, c, q} apibrėžti saryšiai S = {(b, q), (f, b), (f, f), (f, q), (c, b), (c, f), (q, c)}, G = {(b, b), (b, f), (b, q), (f, b), (f, c), (c, b), (c, f), (q, f), (q, q)}. 4 Raskite saryši W = (S G) 1. 1 {(b, b), (b, f), (b, c), (f, b), (f, f), (f, c), (f, q), (c, f), (c, q), (q, b), (q, f), (q, c), (q, q)}; 2 {(b, b), (b, f), (b, c), (f, b), (f, f), (f, c), (f, q), (c, f), (c, c), (c, q), (q, b), (q, f), (q, q)}; 3 {(b, b), (b, f), (b, c), (f, f), (f, c), (f, q), (c, f), (c, q), (q, b), (q, f), (q, q)}; 4 {(b, b), (b, f), (b, c), (f, b), (f, f), (f, c), (f, q), (c, f), (c, q), (q, b), (q, f), (q, q)}. 5 Saryšio W matrica yra

25 69 Aibėje {s, b, q, g} apibrėžti saryšiai A = {(s, b), (s, g), (b, q), (q, s), (q, q), (q, g), (g, s), (g, q), (g, g)}, F = {(s, b), (s, q), (b, s), (b, b), (q, g), (g, s), (g, b), (g, q)}. 6 Raskite saryšiu kompozicija G = A F. 1 {(s, s), (s, b), (s, q), (b, q), (b, g), (q, s), (q, b), (q, q), (q, g), (g, s), (g, b), (g, q), (g, g)}; 2 {(s, s), (s, b), (s, q), (b, g), (q, s), (q, b), (q, q), (q, g), (g, s), (g, b), (g, q), (g, g)}; 3 {(s, s), (s, b), (s, q), (b, g), (q, s), (q, q), (q, g), (g, s), (g, b), (g, q), (g, g)}. 7 Raskite saryšiu kompozicija Z = F A. 1 {(s, s), (s, q), (s, g), (b, b), (b, q), (b, g), (q, s), (q, q), (q, g), (g, s), (g, b), (g, q), (g, g)}; 2 {(s, s), (s, q), (s, g), (b, b), (b, q), (b, g), (q, s), (q, q), (q, g), (g, s), (g, b), (g, g)}; 3 {(s, s), (s, q), (s, g), (b, b), (b, q), (b, g), (q, s), (q, q), (q, g), (g, s), (g, b), (g, q)}. 8 Raskite saryši U = G Z. 1 {(s, s), (s, b), (s, g), (b, s), (b, b), (b, q), (q, b)}; 2 {(s, b), (s, g), (b, s), (b, b), (b, q), (q, b)}; 3 {(s, b), (s, g), (b, s), (b, b), (q, b)}; 4 {(s, b), (s, g), (b, s), (b, b), (b, q), (q, b), (q, q)}. 9 Saryšio U matrica yra

26 70 DISKREČIOJI MATEMATIKA. SARYŠIAI. PAVYZDŽIAI serija 0985 variantas Kuris saryšis turi ekvivalentumo savybe? A = {(x, x), (x, u), (x, f), (u, x), (u, u), (u, f), (f, x), (f, u), (f, f), (s, s), (a, a)}, B = {(y, y), (r, r), (r, e), (r, v), (e, r), (e, e), (e, v), (v, r), (v, e), (v, v), (d, e), (d, d)}. 1 B; 2 abu saryšiai; 3 A; 4 nė vienas. 11 Raskite saryšio S = {(p, f), (z, p), (e, z), (e, e), (e, f)} tranzityvuji uždarini X = S +. 1 {(p, f), (z, p), (z, f), (e, p), (e, z), (e, e), (e, f), (f, z)}; 2 {(p, f), (z, p), (z, f), (e, p), (e, z), (e, e), (e, f)}; 3 {(p, f), (z, p), (e, p), (e, z), (e, e), (e, f)}; 4 {(p, f), (z, p), (z, f), (e, z), (e, e), (e, f)}. 12 Saryšio X = S + matrica yra Saryšis {(q, q), (q, g), (h, g), (h, d), (c, h), (c, g), (c, d), (d, g), (d, d)} tvarkos saryšis. 1 yra griežtosios dalinės; 2 yra negriežtosios dalinės; 3 yra griežtosios visiškosios; 4 yra negriežtosios visiškosios; 5 nėra; 6 yra dalinės; 7 yra visiškosios. 14 Kuris saryšis yra funkcija? A = {(d, x), (p, c), (r, d), (f, d), (c, r)}, B = {(h, q), (v, x), (q, q)}. 1 nė vienas; 2 B; 3 A; 4 abu saryšiai. 15 Kuri funkcija yra bijekcija? A = {(c, c), (g, s), (s, c), (p, s), (u, g), (h, c)}, B = {(v, c), (s, z), (c, v), (h, d), (z, h), (d, s)}. 1 B; 2 nė viena; 3 abi funkcijos; 4 A. 16 Tarkime, kad C yra baigtinė aibė ir G G G C 2. Jei G G 1 I C & G I C G 1 C 2, tai G yra saryšis. 1 griežtosios tvarkos; 2 dalinės negriežtosios tvarkos; 3 ekvivalentumo; 4 visiškosios griežtosios tvarkos; 5 visiškosios negriežtosios tvarkos; 6 dalinės tvarkos; 7 dalinės griežtosios tvarkos; 8 tvarkos; 9 visiškosios tvarkos; 0 negriežtosios tvarkos. 17 Tarkime, kad D, F, E V 2 ; V yra baigtinė aibė; V = n. Pažymėkime saryšiu matricas M D = δ ij n n, M F = ζ ij n n, M E = ɛ ij n n. Tada saryšio Y = ( E D 1) F matricos M Y = y ij n n elementas y ij išreiškiamas formule ( n ) ( n 1 ɛ is &δ sj &ζ ij ; 2 ( s=1 n ) 3 ɛ is &δ js &ζ ij ; 4 n δ si &ζ is &ɛ sj ; 5 7 n s=1 s=1 n s=1 s=1 ) ɛ is &δ js &ζ sj ; s=1 δ si &(ζ si ɛ js ); 6 n δ si &(ζ is ɛ js ); ( s=1 n ) δ si &(ζ is ɛ sj ); 8 ɛ is &δ js &ζ ij s=1

27 71 DISKREČIOJI MATEMATIKA. SARYŠIAI. PAVYZDŽIAI serija 0985 variantas Saryšis A refleksyvusis {(s, s), (s, h), (s, v), (h, s), (h, h), (h, c), (h, v), (c, h), (c, c), B antisimetrinis (c, v), (y, y), (y, v), (v, s), (v, h), (v, c), (v, y), (v, v)} yra C simetrinis 1 A ; 2 AC ; 3 AB ; 4 BC ; 5 B ; 6 ABC ; 7 C. 2 Pavaizduoto paveiksle saryšio matrica yra Saryšis A pavaizduotas paveiksle, o saryšis B apibrėžtas matrica Kuris saryšis yra tranzityvusis? 1 abu saryšiai; 2 nė vienas; 3 A; 4 B. Aibėje {c, r, e, b} apibrėžti saryšiai A = {(c, r), (c, b), (r, c), (e, r), (e, e), (e, b), (b, r), (b, b)}, I = {(c, c), (c, r), (c, b), (e, e), (b, c), (b, e), (b, b)}. 4 Raskite saryši U = (A I) 1. 1 {(r, c), (e, e), (b, c)}; 2 {(r, c), (e, e), (b, c), (b, b)}; 3 {(e, e), (b, c), (b, b)}; 4 {(c, b), (r, c), (e, e), (b, c), (b, b)}. 5 Saryšio U matrica yra

28 72 Aibėje {h, s, d, f} apibrėžti saryšiai A = {(h, s), (h, d), (s, d), (s, f), (d, s), (f, s), (f, d), (f, f)}, C = {(h, h), (h, d), (s, h), (s, s), (d, h), (d, d), (f, s)}. 6 Raskite saryšiu kompozicija P = A C. 1 {(h, h), (h, s), (h, d), (s, s), (s, d), (d, h), (d, s), (f, h), (f, s), (f, d)}; 2 {(h, h), (h, s), (h, d), (s, h), (s, s), (s, d), (d, h), (d, s), (f, h), (f, s), (f, d)}; 3 {(h, h), (h, s), (h, d), (s, h), (s, s), (s, d), (d, h), (d, s), (d, d), (f, h), (f, s), (f, d)}. 7 Raskite saryšiu kompozicija J = C A. 1 {(h, s), (h, d), (s, h), (s, s), (s, d), (s, f), (d, s), (d, d), (f, d), (f, f)}; 2 {(h, h), (h, s), (h, d), (s, s), (s, d), (s, f), (d, s), (d, d), (f, d), (f, f)}; 3 {(h, s), (h, d), (s, s), (s, d), (s, f), (d, s), (d, d), (f, d), (f, f)}. 8 Raskite saryši Y = P J. 1 {(h, h), (h, f), (s, h), (s, f), (d, h), (d, s), (d, d), (d, f), (f, h), (f, s), (f, f)}; 2 {(h, h), (h, f), (s, h), (s, f), (d, h), (d, d), (f, h), (f, s), (f, f)}; 3 {(h, h), (h, f), (s, h), (s, f), (d, h), (d, d), (d, f), (f, h), (f, s), (f, f)}; 4 {(h, h), (h, d), (h, f), (s, h), (s, f), (d, h), (d, d), (d, f), (f, h), (f, s), (f, f)}. 9 Saryšio Y matrica yra

29 73 DISKREČIOJI MATEMATIKA. SARYŠIAI. PAVYZDŽIAI serija 0985 variantas Kuris saryšis turi ekvivalentumo savybe? A = {(s, s), (a, a), (g, t), (t, g), (t, t), (p, p)}, B = {(p, p), (p, h), (p, a), (h, p), (h, h), (h, a), (a, p), (a, h), (a, a), (d, d), (b, b)}. 1 nė vienas; 2 abu saryšiai; 3 B; 4 A. 11 Raskite saryšio R = {(d, d), (g, g), (g, c), (c, g), (p, c)} tranzityvuji uždarini P = R +. 1 {(d, d), (g, g), (g, c), (c, g), (c, c), (p, g), (p, c)}; 2 {(d, d), (g, g), (g, c), (c, g), (p, g), (p, c)}; 3 {(d, d), (d, g), (g, g), (g, c), (c, g), (c, c), (p, g), (p, c)}; 4 {(d, d), (g, g), (g, c), (c, g), (c, c), (p, c)}. 12 Saryšio P = R + matrica yra Saryšis {(a, b), (a, p), (a, g), (b, p), (c, b), (c, p), (g, b), (g, p)} tvarkos saryšis. 1 yra griežtosios visiškosios; 2 yra negriežtosios dalinės; 3 yra dalinės; 4 yra negriežtosios visiškosios; 5 yra visiškosios; 6 nėra; 7 yra griežtosios dalinės. 14 Kuris saryšis yra funkcija? A = {(z, b), (b, u), (p, z)}, B = {(z, z), (a, a), (e, z), (y, g), (b, e)}. 1 abu saryšiai; 2 nė vienas; 3 A; 4 B. 15 Kuri funkcija yra bijekcija? A = {(d, z), (e, c), (c, e), (v, e), (x, d), (z, v)}, B = {(r, z), (a, a), (x, f), (f, z), (d, r), (z, f)}. 1 B; 2 abi funkcijos; 3 nė viena; 4 A. 16 Tarkime, kad M = {m 1, m 2,..., m n } ir G G G M 2. Jei G G 1 I M G & G I M G 1 = M 2, tai G yra saryšis. 1 dalinės tvarkos; 2 negriežtosios tvarkos; 3 dalinės negriežtosios tvarkos; 4 visiškosios negriežtosios tvarkos; 5 visiškosios griežtosios tvarkos; 6 dalinės griežtosios tvarkos; 7 visiškosios tvarkos; 8 tvarkos; 9 ekvivalentumo; 0 griežtosios tvarkos. 17 Tarkime, kad F, C, D U 2 ; U yra baigtinė aibė; U = n. Pažymėkime saryšiu matricas M F = ζ ij n n, M C = γ ij n n, M D = δ ij n n. Tada saryšio X = (F 1 C) D matricos M X = x ij n n elementas x ij išreiškiamas formule n s=1 n s=1 n s=1 n s=1 ζ si &γ si &δ js ; 2 n s=1 ζ si &γ is &δ sj ; ζ si &γ si &δ sj ; 4 n (ζ si γ si )&δ sj ; s=1 ζ si &(γ si δ js ); 6 n ζ si &γ is &δ js ; s=1 ζ si &γ si &δ sj ; 8 n ζ si &(γ is δ js ) s=1

30 74 ATSAKYMAI

31 75 DISKREČIOJI MATEMATIKA. Antrasis testas. PAVYZDŽIAI serija 0985 variantas Kiek nepriklausomu ciklu turi grafo K 49 briauninis grafas? ; ; ; ; ; ; Tarkime, kad G = (V, B) yra neorienuotasis jungusis grafas; V = {v 1, v 2,..., v 58 }. Grafo viršūniu laipsniu seka yra (2, 2, 1, 1, 2, 2, 2,..., 2, 2). 2 Šio grafo spindulys yra 1 58; 2 15; 3 1; 4 30; 5 29; Paveiksle pavaizduotas aštuntosios eilės jungusis grafas. Pažymėkime d j jo viršūniu laipsnius. 3 d 5 = 1 3; 2 2; 3 5; 4 8; 5 1; 6 6; 7 7; min d j = 1 7; 2 2; 3 5; 4 3; 5 10; 6 6; 7 9; j=1,2,...,8 8 d j = 1 36; 2 22; 3 38; 4 42; 5 17; 6 8; 7 18; j=1 6 Šis grafas 1 neturi nei Oilerio ciklo, nei Oilerio kelio; 2 turi Oilerio cikla; 3 turi Oilerio kelia.

32 76 Grafas G apibrėžtas savo viršūniu gretimumo aibėmis: Γ(n) = {g}, Γ(k) = {r, g}, Γ(u) = {g}, Γ(g) = {k, n, u}, Γ(r) = {k}. 7 Kuriam pavaizduotam paveiksluose grafui yra izomorfinis grafas G? (A) 1 (A) ir (B); 2 (B); 3 nė vienam; 4 (A). (B) 8 Atstumas tarp grafo G viršūniu ρ(n, k) = 1 2; 2 9; 3 10; 4 12; 5 0; Viršūnės r ekscentricitetas e(r) = 1 1; 2 7; 3 3; 4 0; 5 4; Grafo G skersmuo lygus 1 4; 2 3; 3 6; 4 8; 5 0; Grafo G spindulys lygus 1 6; 2 1; 3 11; 4 4; 5 0; Kiek centru turi grafas G? 1 6; 2 1; 3 0; 4 2; 5 5; 6 9. Grafas G su viršūnėmis 1, 2,..., 6 apibrėžtas gretimumo matrica Šis grafas pavaizduotas paveiksle. 1 ; 2 ; Kiek sujungimo tašku turi grafas G? 1 2; 2 10; 3 7; 4 8; 5 3; Kiek siejančiuju briaunu turi grafas G? 1 11; 2 7; 3 2; 4 1; 5 3; Raskite grafo G = G 1 {4, 3} briaunu skaičiu. 1 11; 2 0; 3 4; 4 1; 5 5; Kiek jungumo komponenčiu turi grafas G? 1 7; 2 0; 3 9; 4 3; 5 5; 6 1.

33 77 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūniu bei briaunu aibėmis: V = {i, p, z, u, e, s}, B 1 = {{i, p}, {i, e}, {z, e}, {u, e}, {u, s}}. Grafai G 2 (V, B 2 ) ir G 3 (V, B 3 ) apibrėžti ju gretimumoir incidentumo matricomis: Grafo G = (G 1 G 2 ) G 3 briaunu aibė yra 1 {{i, p}, {p, e}} ; 2 {{p, u}, {u, s}} ; 3 {{p, z}, {z, s}}. 19 Grafas G = (G 1 G 2 ) G 3 pavaizduotas paveiksle 1 ; 2 ; 3. Grafas G apibrėžtas savo viršūniu gretimumo aibėmis: Γ(k) = {p, j, v, f}, Γ(w) = {v, j, f}, Γ(p) = {k, v, j, f}, Γ(v) = {j, p, k, f, w}, Γ(f) = {v, p, k, w, j}, Γ(j) = {k, f, p, w, v}. 20 Kiek nepriklausomu ciklu turi grafas G? 1 9; 2 11; 3 10; 4 2; 5 3; 6 8; 7 1; 8 0. Grafas G = (V, B) apibrėžtas savo V = {f, m, p, h, c, a}, viršūniu bei B = {{f, m}, {f, p}, {f, h}, {f, c}, {f, a}, {m, c}, {h, c}, {c, a}}. briaunu aibėmis: 21 Šis grafas pavaizduotas paveiksle 1 ; 2 ; Kuris teiginys yra teisingas? (A) Viršūniu aibė S = {c, h, m} yra iš vidaus stabili. (B) Aibė S yra iš išorės stabili. 1 nė vienas; 2 (B); 3 abu teiginiai; 4 (A). 23 Grafo G vidinio stabilumo skaičius lygus? 1 5; 2 8; 3 1; 4 0; 5 4; Grafo G išorinio stabilumo skaičius lygus? 1 1; 2 2; 3 3; 4 4; 5 6; 6 0.

34 78 Grafas G su viršūnėmis 1, 2,..., 6 apibrėžtas savo briaunomis: m = {1, 2}, i = {1, 5}, h = {2, 3}, f = {2, 4}, s = {2, 5}, l = {2, 6}, e = {3, 5}, o = {5, 6}. 25 Grafo G briauninis grafas G b pavaizduotas paveiksle 1 ; 2 ; Kiek tarp pilnojo grafo K 5 ciklu C 1, C 2, C 3, C 4, C 5 yra nepriklausomu? C 1 = {v 4, v 2, v 1, v 3, v 2, v 5, v 3, v 4 }, C 2 = {v 4, v 2, v 5, v 3, v 4 }, C 3 = {v 2, v 1, v 3, v 2 }, C 4 = {v 4, v 3, v 5, v 2, v 3, v 1, v 2, v 4 }, C 5 = {v 5, v 3, v 1, v 5 }. 1 8; 2 3; 3 5; 4 4; 5 6; 6 2; 7 1.

35 79 DISKREČIOJI MATEMATIKA. Antrasis testas. PAVYZDŽIAI serija 0985 variantas Kiek nepriklausomu ciklu turi grafo K 19 briauninis grafas? ; ; ; ; ; ; Tarkime, kad G = (V, B) yra neorienuotasis jungusis grafas; V = {v 1, v 2,..., v 64 }. Grafo viršūniu laipsniu seka yra (2, 2, 2, 2,..., 2, 2, 2, 1, 1, ). 2 Šio grafo vidinio stabilumo skaičius yra 1 64; 2 2; 3 31; 4 103; 5 1; Paveiksle pavaizduotas aštuntosios eilės jungusis grafas. Pažymėkime d j jo viršūniu laipsnius. 3 d 4 = 1 5; 2 11; 3 10; 4 6; 5 7; 6 3; 7 8; min d j = 1 0; 2 14; 3 3; 4 1; 5 5; 6 6; 7 4; 8 8. j=1,2,...,8 8 d j = 1 6; 2 24; 3 18; 4 42; 5 23; 6 38; 7 40; j=1 6 Šis grafas 1 neturi nei Oilerio ciklo, nei Oilerio kelio; 2 turi Oilerio kelia; 3 turi Oilerio cikla.

36 80 Grafas G apibrėžtas savo viršūniu gretimumo aibėmis: Γ(r) = {l, o, j}, Γ(l) = {e, r, o}, Γ(o) = {l, e, r}, Γ(j) = {r}, Γ(e) = {l, o}. 7 Kuriam pavaizduotam paveiksluose grafui yra izomorfinis grafas G? (A) 1 (A) ir (B); 2 (A); 3 nė vienam; 4 (B). (B) 8 Atstumas tarp grafo G viršūniu ρ(l, j) = 1 2; 2 4; 3 11; 4 8; 5 3; Viršūnės l ekscentricitetas e(l) = 1 2; 2 5; 3 3; 4 0; 5 4; Grafo G skersmuo lygus 1 3; 2 7; 3 1; 4 2; 5 4; Grafo G spindulys lygus 1 0; 2 8; 3 2; 4 7; 5 4; Kiek centru turi grafas G? 1 1; 2 3; 3 6; 4 7; 5 2; 6 5. Grafas G su viršūnėmis 1, 2,..., 6 apibrėžtas gretimumo matrica Šis grafas pavaizduotas paveiksle. 1 ; 2 ; Kiek sujungimo tašku turi grafas G? 1 6; 2 3; 3 10; 4 0; 5 2; Kiek siejančiuju briaunu turi grafas G? 1 2; 2 1; 3 0; 4 7; 5 5; Raskite grafo G = G 3 {6, 4} briaunu skaičiu. 1 5; 2 2; 3 3; 4 6; 5 4; Kiek jungumo komponenčiu turi grafas G? 1 12; 2 3; 3 6; 4 10; 5 0; 6 1.

37 81 Grafas G 1 = (V, B 1 ) apibrėžtas savo viršūniu bei briaunu aibėmis: V = {v, e, f, a, h, d}, B 1 = {{v, e}, {v, f}, {v, a}, {v, d}, {a, h}}. Grafai G 2 (V, B 2 ) ir G 3 (V, B 3 ) apibrėžti ju gretimumo ir incidentumo matricomis: Grafo G = (G 1 G 2 ) G 3 briaunu aibė yra 1 {{v, e}, {v, f}, {e, f}, {e, a}, {f, a}, {f, h}, {f, d}, {a, h}} ; 2 {{v, e}, {v, f}, {v, a}, {v, h}, {v, d}, {e, h}, {e, d}, {a, h}} ; 3 {{v, e}, {v, f}, {v, a}, {e, a}, {e, d}, {f, a}, {a, h}, {a, d}}. 19 Grafas G = (G 1 G 2 ) G 3 pavaizduotas paveiksle 1 ; 2 ; 3. Grafas G apibrėžtas savo viršūniu gretimumo aibėmis: Γ(d) = {e, b, z, w, x}, Γ(e) = {b, z, w, x, d}, Γ(x) = {w, e, d, b}, Γ(z) = {b, e, d}, Γ(w) = {x, b, e, d}, Γ(b) = {w, x, z, e, d}. 20 Kiek nepriklausomu ciklu turi grafas G? 1 7; 2 3; 3 6; 4 5; 5 8; 6 9; 7 12; 8 2. Grafas G = (V, B) apibrėžtas savo V = {v, p, o, r, j, i}, viršūniu bei B = {{v, p}, {v, o}, {v, r}, {v, j}, {v, i}, {p, j}}. briaunu aibėmis: 21 Šis grafas pavaizduotas paveiksle 1 ; 2 ; Kuris teiginys yra teisingas? (A) Viršūniu aibė S = {j, r, v} yra iš vidaus stabili. (B) Aibė S yra iš išorės stabili. 1 abu teiginiai; 2 (A); 3 (B); 4 nė vienas. 23 Grafo G vidinio stabilumo skaičius lygus? 1 3; 2 2; 3 1; 4 5; 5 4; Grafo G išorinio stabilumo skaičius lygus? 1 0; 2 6; 3 11; 4 3; 5 10; 6 1.

38 82 Grafas G su viršūnėmis 1, 2,..., 6 apibrėžtas savo briaunomis: c = {1, 4}, h = {2, 5}, r = {2, 6}, b = {3, 4}, s = {3, 6}, q = {4, 5}, m = {4, 6}, f = {5, 6}. 25 Grafo G briauninis grafas G b pavaizduotas paveiksle 1 ; 2 ; Kiek tarp pilnojo grafo K 5 ciklu C 1, C 2, C 3, C 4, C 5 yra nepriklausomu? C 1 = {v 3, v 5, v 4, v 2, v 5, v 1, v 2, v 3 }, C 2 = {v 4, v 2, v 5, v 1, v 2, v 3, v 5, v 4 }, C 3 = {v 1, v 2, v 3, v 5, v 4, v 2, v 5, v 1 }, C 4 = {v 3, v 2, v 1, v 5, v 2, v 4, v 5, v 3 }, C 5 = {v 1, v 5, v 2, v 4, v 5, v 3, v 2, v 1 }. 1 8; 2 4; 3 1; 4 2; 5 3; 6 5; 7 6.

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės konspektai

Matematinės analizės konspektai Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,

Διαβάστε περισσότερα

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt

Διαβάστε περισσότερα

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] ) ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas

Διαβάστε περισσότερα

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam, 41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

06 Geometrin e optika 1

06 Geometrin e optika 1 06 Geometrinė optika 1 0.1. EIKONALO LYGTIS 3 Geometrinėje optikoje įvedama šviesos spindulio sąvoka. Tai leidžia Eikonalo lygtis, kuri išvedama iš banginės lygties monochromatinei bangai - Helmholtco

Διαβάστε περισσότερα

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip: III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai

Διαβάστε περισσότερα

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3 Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 3 dalis

Matematika 1 3 dalis Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A

Διαβάστε περισσότερα

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 014 m. birželio 5 d. matematikos valstybinį

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS .5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui) ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

Kengūra Užduotys ir sprendimai. Senjoras

Kengūra Užduotys ir sprendimai. Senjoras Kengūra 2014 Užduotys ir sprendimai Senjoras KENGŪROS KONKURSO ORGANIZAVIMO KOMITETAS KENGŪRA 2014 TARPTAUTINIO MATEMATIKOS KONKURSO UŽDUOTYS IR SPRENDIMAI Autorius ir sudarytojas Aivaras Novikas Redaktorius

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA m. valstybinio brandos egzamino uþduotis

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA m. valstybinio brandos egzamino uþduotis LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINU CENTRAS MATEMATIKA 006 m. valstybinio brandos egzamino uþduotis Pagrindinë sesija 006 m. geguþës 17 d. Trukmë 3 val. Nacionalinis

Διαβάστε περισσότερα

K r i t i k i P u b l i s h i n g - d r a f t

K r i t i k i P u b l i s h i n g - d r a f t T ij = A Y i Y j /D ij A T ij i j Y i i Y j j D ij T ij = A Y α Y b i j /D c ij b c b c a LW a LC L P F Q W Q C a LW Q W a LC Q C L a LC Q C + a LW Q W L P F L/a LC L/a LW 1.000/2 = 500

Διαβάστε περισσότερα

! "#" "" $ "%& ' %$(%& % &'(!!")!*!&+ ,! %$( - .$'!"

! #  $ %& ' %$(%& % &'(!!)!*!&+ ,! %$( - .$'! ! "#" "" $ "%& ' %$(%&!"#$ % &'(!!")!*!&+,! %$( -.$'!" /01&$23& &4+ $$ /$ & & / ( #(&4&4!"#$ %40 &'(!"!!&+ 5,! %$( - &$ $$$".$'!" 4(02&$ 4 067 4 $$*&(089 - (0:;

Διαβάστε περισσότερα

EUROPOS CENTRINIS BANKAS

EUROPOS CENTRINIS BANKAS 2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo

Διαβάστε περισσότερα

04 Elektromagnetinės bangos

04 Elektromagnetinės bangos 04 Elektromagnetinės bangos 1 0.1. BANGINĖ ŠVIESOS PRIGIMTIS 3 Šiame skyriuje išvesime banginę lygtį iš elektromagnetinio lauko Maksvelo lygčių. Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios dažnis yra optiniame

Διαβάστε περισσότερα

!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).

!! #7 $39 % (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ). 1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3

Διαβάστε περισσότερα

Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje. V.Gineityt

Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje. V.Gineityt Pagrindiniai pasiekimai kokybin je molekulių elektronin s sandaros ir cheminių reakcijų teorijoje V.Gineityt Gamtos moksluose teorijoms keliami du pagrindiniai uždaviniai: paaiškinti stebimų objektų savybes

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΚΑΙ ΣΤΑ ΑΛΛΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΚΑΙ ΣΤΑ ΑΛΛΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Παράκτια Ωκεανογραφία

Παράκτια Ωκεανογραφία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διάλεξη 9 η : Παράκτια κυματογενή ρεύματα Θεοφάνης Β. Καραμπάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ITU-R P (2012/02)

ITU-R P (2012/02) ITU-R P.56- (0/0 P ITU-R P.56- ii.. (IPR (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC.ITU-R ttp://www.itu.int/itu-r/go/patents/en. (ttp://www.itu.int/publ/r-rec/en ( ( BO BR BS BT F M P RA RS S SA SF SM SNG TF V 0.ITU-R ITU 0..(ITU

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

-! () $M ' 1' /W /,9 /' 1 :c Q \/0,> Z 1/0 " 1! GDP * &'() =! P[\ 01, '!R W! :,Q (Sachs&Warner,1995) a' / Qbc,,, J L bc, [1] (Pomeranz,2000) R

-! () $M ' 1' /W /,9 /' 1 :c Q \/0,> Z 1/0  1! GDP * &'() =! P[\ 01, '!R W! :,Q (Sachs&Warner,1995) a' / Qbc,,, J L bc, [1] (Pomeranz,2000) R 18 5 2016 9 ( ) JournalofCapitalUniversityofEconomicsandBusines Vol 18,No 5 Sep 2016 DOI:10 13504/j cnki isn1008-2700 2016 05 006! F

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

TRANSPORTO PRIEMONIŲ DINAMIKA

TRANSPORTO PRIEMONIŲ DINAMIKA Marijonas Bogdevičius RANSPORO PRIEMONIŲ DINAMIKA Projekto kodas VP-.-ŠMM 7-K--3 Studijų programų atnaujinimas pagal ES reikalavimus, gerinant studijų kokybę ir taikant inovatyvius studijų metodus Vilnius

Διαβάστε περισσότερα

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n Z 6 D 3 G = {a, b, c,... } G a, b G a b = c c (a b) c = a (b c) e a e = e a = a a a 1 = a 1 a = e Q = {0, ±1, ±2,..., ±n,... } m, n m+n m + 0 = m m + ( m) = 0 Z N = {a n }, n = 1, 2... N N Z N = {1, ω,

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Sur les articles de Henri Poincaré SUR LA DYNAMIQUE. Le texte fondateur de la Relativité en langage scientiþque moderne. par Anatoly A.

Sur les articles de Henri Poincaré SUR LA DYNAMIQUE. Le texte fondateur de la Relativité en langage scientiþque moderne. par Anatoly A. Sur les articles de Henri Poincaré SUR LA DYNAMIQUE DE L ÉLECTRON Le texte fondateur de la Relativité en langage scientiþque moderne par Anatoly A. LOGUNOV Directeur de l'institut de Physique des Hautes

Διαβάστε περισσότερα

klasës (grupës) mokinio (-ës) (vardas ir pavardë) 2014 m. pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo užduotis

klasës (grupës) mokinio (-ës) (vardas ir pavardë) 2014 m. pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo užduotis LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS (miestas / rajonas, mokykla) klasës (grupës) mokinio (-ës) (vardas ir pavardë) 2014 m. pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2015 Διάρκεια: 3 ώρες

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2015 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 5 Διάρκεια: 3 ώρες A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν f ()

Διαβάστε περισσότερα

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία

Διαβάστε περισσότερα

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν η εξίσωση α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +... +α 1 x+α 0 = 0 με α ν,α ν-1,...,α 1,α 0 Ζ : έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α 0. έχει ρίζα το κλάσμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚEΦΑΛΑΙΟ 1. Πίνακες. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι κάθε γραµµή και στήλη ενός πίνακα A ορίζει µονοσήµαντα τη θέση κάθε στοιχείου A

ΚEΦΑΛΑΙΟ 1. Πίνακες. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι κάθε γραµµή και στήλη ενός πίνακα A ορίζει µονοσήµαντα τη θέση κάθε στοιχείου A ΚEΦΑΛΑΙΟ Πίνακες Εστω και είναι το σώµα των πραγµατικών και των µιγαδικών αριθµών αντιστοίχως Στο εξής όταν γράφουµε F θα εννοούµε είτε το είτε το Ορισµός Eστω F = ή και m, Κάθε ορθογώνια διάταξη m A F

Διαβάστε περισσότερα

!"#!"!"# $ "# '()!* '+!*, -"*!" $ "#. /01 023 43 56789:3 4 ;8< = 7 >/? 44= 7 @ 90A 98BB8: ;4B0C BD :0 E D:84F3 B8: ;4BG H ;8

Διαβάστε περισσότερα

AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA

AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Saulius LISAUSKAS AUTOMATINIO VALDYMO TEORIJA Projekto kodas VP1-.-ŠMM-7-K-1-47 VGTU Elektronikos fakulteto I pakopos studijų programų esminis atnaujinimas Vilnius Technika 1 VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS

Διαβάστε περισσότερα

OILGEAR TAIFENG. (ml/rev) (bar) (bar) (L/min) (rpm) (kw)

OILGEAR TAIFENG. (ml/rev) (bar) (bar) (L/min) (rpm) (kw) PVWW!"#$ PVWW!"#$%&'()*+!"#$% 12!"#$%&'()*!!"#$%&'(!"#$!"#$%&'()*+!"#$%!!"#!$%&'()*+!"#$%!"!"#$%&'!"#$%&'!"#!"#$%!" SE!"!"#$%&'!"#!"#$%&'!"#$%&'!"#$!"#$!"#$%&'!"#$%&'!"#$%&!"#$%&'!"!"#$%&!"#$%&!"!"#$%!"#$%!"#$%&'(!"#$%&'!!"#!"#!"#$%&!"#$%&'(

Διαβάστε περισσότερα

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1] 1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter

Διαβάστε περισσότερα

( A = A = 3 5 A 2 + B 2.

( A = A = 3 5 A 2 + B 2. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Χειμερινό Εξάμηνο 25 Ασκήσεις Για πίνακες A R m n και B R p q ορίζονται οι πίνακες AB και BA και ισχύει AB = BA Τι συμπεραίνετε για τα m, n, p, q; 2 Για A, B R n n : (α Δείξτε ότι (A

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen

PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen PDF hosted at the Radboud Repository of the Radboud University Nijmegen The following full text is a publisher's version. For additional information about this publication click this link. http://hdl.handle.net/2066/52779

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης Άσκηση.3 σελ.45 Εξάγονται δύο σφαίρες από την Α και τοποθετούνται στην Β. Υπάρχουν τρία δυνατά ενδεχόµενα: Ε : εξάγονται δύο

Διαβάστε περισσότερα

3Νο. ασκήσεις Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο. Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ( ) ( 0)

3Νο. ασκήσεις Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο. Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ( ) ( 0) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π Δ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) 3Νο ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 Να μελετήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Mesh Parameterization: Theory and Practice

Mesh Parameterization: Theory and Practice Mesh Parameterization: Theory and Practice Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer To cite this version: Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer. Mesh Parameterization: Theory and Practice. This document is

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI

V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi

Διαβάστε περισσότερα

'( )*(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( +

'( )*(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( + ! " # $ %&&' '( )*(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( + %( ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((('& %('(,,

Διαβάστε περισσότερα

JONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA

JONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA JONAS DUMČIUS (1905 1986) TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA 1975 metais rotaprintu spausdintą vadovėlį surinko klasikinės filologijos III kurso studentai Lina Girdvainytė Aistė Šuliokaitė Kristina

Διαβάστε περισσότερα

Monetary Policy Design in the Basic New Keynesian Model

Monetary Policy Design in the Basic New Keynesian Model Monetary Policy Design in the Basic New Keynesian Model Jordi Galí CREI, UPF and Barcelona GSE June 216 Jordi Galí (CREI, UPF and Barcelona GSE) Monetary Policy Design June 216 1 / 12 The Basic New Keynesian

Διαβάστε περισσότερα

1. Klasifikavimo su mokytoju metodai

1. Klasifikavimo su mokytoju metodai 1. Klasifikavimo su mokytoju metodai Klasifikacijos uždavinys yra atpažinimo uždavinys, kurio esmė pagal pateiktus objekto (vaizdo, garso, asmens, proceso) skaitinius duomenis priskirti ji kokiai nors

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

= γ. v = 2Fe(k) O(g) k[h. Cheminė kinetika ir pusiausvyra. Reakcijos greičio priklausomybė nuo temperatūros. t2 t

= γ. v = 2Fe(k) O(g) k[h. Cheminė kinetika ir pusiausvyra. Reakcijos greičio priklausomybė nuo temperatūros. t2 t Cheminė kineika ir pusiausyra Nagrinėja cheminių reakcijų greiį ir mechanizmą. Cheminių reakcijų meu kina reaguojančių iagų koncenracijos: c ų koncenracija, mol/l laikas, s c = Reakcijos greičio io ()

Διαβάστε περισσότερα

Turininga informatikos mokymosi medžiaga pradinukams ir vyresniems

Turininga informatikos mokymosi medžiaga pradinukams ir vyresniems Turininga informatikos mokymosi medžiaga pradinukams ir vyresniems Parašė Tim Bell, Ian H. Witten ir Mike Fellows Darbui klasėje pritaikė Robyn Adams ir Jane McKenzie Iliustravo Matt Powell 2015 m. atnaujino

Διαβάστε περισσότερα

(... )..!, ".. (! ) # - $ % % $ & % 2007

(... )..!, .. (! ) # - $ % % $ & % 2007 (! ), "! ( ) # $ % & % $ % 007 500 ' 67905:5394!33 : (! ) $, -, * +,'; ), -, *! ' - " #!, $ & % $ ( % %): /!, " ; - : - +', 007 5 ISBN 978-5-7596-0766-3 % % - $, $ &- % $ % %, * $ % - % % # $ $,, % % #-

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΝΟΛΑ. 1. Να εκφράσετε ως πράξεις μεταξύ των Α και Β, τα σύνολα που αντιστοιχούν στα χρωματισμένα μέρη των παρακάτω διαγραμμάτων Venn.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΝΟΛΑ. 1. Να εκφράσετε ως πράξεις μεταξύ των Α και Β, τα σύνολα που αντιστοιχούν στα χρωματισμένα μέρη των παρακάτω διαγραμμάτων Venn. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΝΟΛΑ 1 Να εκφράσετε ως πράξεις μεταξύ των Α και Β, τα σύνολα που αντιστοιχούν στα χρωματισμένα μέρη των παρακάτω διαγραμμάτων Venn 2 Δίνεται το παρακάτω διάγραμμα Venn Να παραστήσετε με

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

())*+,-./0-1+*)*2, *67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3*

())*+,-./0-1+*)*2, *67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3* ! " # $ $ %&&' % $ $! " # ())*+,-./0-1+*)*2,-3-4050+*67()(,01-+4(-8 9 0:,*2./0 30 ;+-7 3* *),+*< 7+)0 3* *),+-30 *5 35(2(),+-./0 30 *,0+ 3* (=24(-) 04(-() 18(4-3-) 3-2(>*+)(3-3* *3*+-830-+-2?< +(*2,-30+

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ "%&$ ##%&%'()) *..$ /. 0-1$ )$.'-

!#$ %&$ ##%&%'()) *..$ /. 0-1$ )$.'- !!" !"# "%& ##%&%',-... /. -1.'- -13-',,'- '-...4 %. -5"'-1.... /..'-1.....-"..'-1.. 78::8

Διαβάστε περισσότερα

KLASIKIN E MECHANIKA

KLASIKIN E MECHANIKA KLASIKIN E MECHANIKA Algirdas MATULIS Puslaidininkiu zikos institutas Vadoveliu serijos papildymas auk²tuju mokyklu tiksliuju mokslu specialybiu studentams Email: amatulis@takas.lt Mob.: +370 654 543 06

Διαβάστε περισσότερα

SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia

SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia SWOT 1 Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries ISIGInstitute of International Sociology Gorizia ! " # $ % ' ( )!$*! " "! "+ +, $,,-,,.-./,, -.0",#,, 12$,,- %

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 Κλασική Στατιστική Μηχανική 3 Μη Εκτατική Στατιστική Μηχανική 4 Αξιωματική Ταξινόμηση Εντροπικών Μορφών 5 Η Standard Απεικόνι

Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 Κλασική Στατιστική Μηχανική 3 Μη Εκτατική Στατιστική Μηχανική 4 Αξιωματική Ταξινόμηση Εντροπικών Μορφών 5 Η Standard Απεικόνι Στατιστική Μηχανική και Εντροπία Πολύπλοκων Συστημάτων Ευάγγελος Χ. Μητσοκάπας Αναστάσιος Μπούντης Τομέας Εφαρμοσμένης Ανάλυσης Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών 0 / 37 23 ο Θερινό Σχολείο - Συνέδριο,

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [2008-2009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για

Διαβάστε περισσότερα

( f( )) ( f( )) 0. f( ) f( ) 0 θέτουμε αντίστοιχα. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ. 2. Μορφή 0 με 0. Λύση: Λύση: 3. Μορφή Λύση: Βρίσκουμε,,

( f( )) ( f( )) 0. f( ) f( ) 0 θέτουμε αντίστοιχα. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ. 2. Μορφή 0 με 0. Λύση: Λύση: 3. Μορφή Λύση: Βρίσκουμε,, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ. Μορφή 0 με 0. Λύση: 0 ( ) 0 0 ή 0... Μορφή 0 με 0 Λύση: 0.. Μορφή 0 με 0 Λύση: Βρίσκουμε,, και τη διακρίνουσα 4 Αν 0 (ή, ετερόσημοι) η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες

Διαβάστε περισσότερα

u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1)

u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =g(x, y) Γ=δΩ ={0, 1} {0, 1} Ω Ω Ω h Ω h h ˆ Ω ˆ u v = fv Ω u = f in Ω v V H 1 (Ω) V V h V h ψ 1,ψ 2,...,ψ N, ˆ ˆ u v = Ω Ω fv v V ˆ ˆ u v = Ω ˆ ˆ u ψ i = Ω Ω Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θεώρημα Rolle Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β], παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και ισχύει ότι f(α) f(β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

959 Ν. 108/87. E.E., Παρ. I, Αρ. 2235,

959 Ν. 108/87. E.E., Παρ. I, Αρ. 2235, E.E., Παρ. I, Αρ. 5, 1.6.87 959 Ν. 108/87 πρί Ειδικύσς Σμπληρματικής Πιστώσς (Ταμίν Αναπτύξς) Νόμς (Αρ. 9) τ 1987 κδίδται μ δημσίση στην πίσημη φημρίδα της Κπριακής Δημκρατίας σύμφνα μ τ Άρθρ 5 τ Σντάγματς.

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Δοκοί σε Ελαστικές Στηρίξεις Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ10-2 Οι στηρίξεις κάποιων φορέων είναι δυνατό να μετακινηθούν υπό την επίδραση της εξωτερικής φόρτισης. Για παράδειγμα,

Διαβάστε περισσότερα

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r

P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r r s s s t t P t s st t t t t2 t s st t t rt t t tt s t t ä ör tt r t r 2ö r t ts t t t t t t st t t t s r s s s t är ä t t t 2ö r t ts rt t t 2 r äärä t r s Pr r t t s st ä r t str t st t tt2 t s s t st

Διαβάστε περισσότερα

w w u u w u = 1 w v = 0 u v = (w 1, w 2,..., w N ) a β k V β i,j = p(w j = 1 z i = 1) θ d Dir(a) Dir(a) z d,n multi(θ d ) V w d,n β zd,n p(θ,, a, β) = p(θ,, a, β) p( a, β) similarity = (A, B) = AB A

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Σ. ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ, ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

^'εεε. g3 t- 3 5 A C. s-sg" - Xu- eu. ρ\* ε Κ.Δ.Π. 168/ ξ * ξ S 2 2 ^ Λ Λ Λ Λ Λ <*» αο. >* <~* «^ a o. a. oa.> 3» B ~ 5a.

^'εεε. g3 t- 3 5 A C. s-sg - Xu- eu. ρ\* ε Κ.Δ.Π. 168/ ξ * ξ S 2 2 ^ Λ Λ Λ Λ Λ <*» αο. >* <~* «^ a o. a. oa.> 3» B ~ 5a. E.E. Παρ. IBI (Ι) 627 Κ.Δ.Π. I68/S4 Αρ. I960, 18 5.84 Αριθμός 168 ΠΕΡΙ ΠΛΕΔΙΑΣ 1 ΚΑΙ ΧΩΡΤΑΞΙΑΣ ΝΣ ('ΝΙ 90 ΤΥ 1972 ΚΑΙ 56 ΤΥ 1982) Διάταγμα διατήρησης σύμφωνα με τ άρθρ 8 l (jl) (Ασκώντας τις εξυσίες πυ

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS STATISTINĖ ANALIZĖ

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS STATISTINĖ ANALIZĖ LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS 2010 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 2010 m. birželio 8 d. valstybinį matematikos

Διαβάστε περισσότερα

! " #$% & '()()*+.,/0.

!  #$% & '()()*+.,/0. ! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 5: Κανονικοί Πίνακες Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Γραµµικη Αλγεβρα Ι Ακαδηµαϊκο Ετος 2011-2012 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml 21-2 - 2012

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

8. LENKIAMŲ PLOKŠTELIŲ ELEMENTAI

8. LENKIAMŲ PLOKŠTELIŲ ELEMENTAI 8. LENKIAMŲ PLOKŠELIŲ ELEMENAI 8.1. LENKIAMŲ PLOKŠELIŲ EORIJA Įtempimai: storį: paprastai operuojama įrąžomis įtempimų atstojamosiomis per plokštelės z τ z t τ z M t = zdz, M =...., M =.. t t = τzdz, =

Διαβάστε περισσότερα

Kompiuterinė lazerių fizika. Viktorija Pyragaitė

Kompiuterinė lazerių fizika. Viktorija Pyragaitė Kompiuterinė lazerių fizika Viktorija Pyragaitė VILNIAUS UNIVERSITETAS FIZIKOS FAKULTETAS Viktorija Pyragaitė KOMPIUTERINĖ LAZERIŲ FIZIKA Elektroninis leidinys Mokomoji knyga Vilnius 2013 Apsvarstė ir

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x 2 + 1 = 0 N = {1, 2, 3....}, Z Q a, b a, b N c, d c, d N a + b = c, a b = d. a a N 1 a = a 1 = a. < > P n P (n) P (1) n = 1 P (n) P (n + 1) n n + 1 P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΣ ΕΠΙΣΗΜΟΥ ΕΦΗΜΕΡΙΔΟΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ύττ* *Αρ. 870 της 23ης ΑΠΡΙΛΙΟΥ 1971 ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ

ΓΗΣ ΕΠΙΣΗΜΟΥ ΕΦΗΜΕΡΙΔΟΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ύττ* *Αρ. 870 της 23ης ΑΠΡΙΛΙΟΥ 1971 ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΝ ΓΗΣ ΕΠΙΣΗΜΥ ΕΦΗΜΕΡΙΔΣ ΤΗΣ ΔΗΜΚΡΑΤΙΑΣ ύττ* *Αρ. 87 της 2ης ΑΠΡΙΛΙΥ 1971 ΝΜΘΕΣΙΑ ΜΕΡΣ Ι Ό περί Τελνειακών Δασμών και Φόρν Καταναλώσες ('Επιβλή και Επιστρφή τύταιν) (Τρππιητικός) (Άρ. 2) Νόμς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης 1 Θεωρούμε τις συναρτήσεις f, g με f() = 3e + 10 + 1 και g() = 015 + 015 196 α) Να προσδιορίσετε το είδος μονοτονίας των f, g β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς Σελίδα από 8 Θέματα από τους μιγαδικούς Θέμα ο Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης K, με, A γ) Αν, Aμε,να βρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

a(z) = k 0 1 z k = k 0 2 k z k = k 0 z k = (1 + z) n. k

a(z) = k 0 1 z k = k 0 2 k z k = k 0 z k = (1 + z) n. k !" #$%% $&$'$ # %( $)%*&%' '+ &'&% ! " " # $ " " % " & ' # () *+ (, *,-.$ / " " " * $ 0 * " # " $ * $ 0 # % " & ', # ' * # " & #! " # %& *%& $ % & ' " ( z D log! ) * (% % (+, ) " " -. // 0 ', % 0 ', %

Διαβάστε περισσότερα

52 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 26 και Φιλολάου : Τηλ.:

52 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 26 και Φιλολάου : Τηλ.: 5 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ.: 107601470-107600179 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 01 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ 1 ο Α. i) Θεωρία, σχολικό

Διαβάστε περισσότερα