Trie מאפשר חיפוש, הכנסה, הוצאה, ומציאת מינימום (לקסיקוגרפי) של מחרוזות.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Trie מאפשר חיפוש, הכנסה, הוצאה, ומציאת מינימום (לקסיקוגרפי) של מחרוזות."

Transcript

1 מילון למחרוזות - Trie Lecture of Geiger & Itai s slide brochure מבני נתונים למחרוזות Trie מאפשר חיפוש, הכנסה, הוצאה, ומציאת מינימום (לקסיקוגרפי) של מחרוזות. המימוש באמצעות עץ. לכל צומת פנימי יש לכל היותר מספר ילדים כגודל האלף- בית + אחד. כל קשת מסומנת בתו. התו (שאינו שייך ל- ) מסמן סיום מחרוזת. אנו נתייחס למקרים בהם הגודל של קבוע. דוגמא: Trie עבור המחרוזות,,, כאשר תו סיום-המחרוזת הוא הקטן ביותר לקסיקוגרפית. הערה: בכל צומת מוחזק מערך באורך + של מצביעים לבנים. כל מחרוזת במבנה מגדירה מסלול מהשורש אל עלה. כל הפעולות מתבצעות ע"י מעקב לאורך המסלול המתאים. סיבוכיות המימוש: הזמן הנדרש לביצוען נקבע ע"י אורך המחרוזת ( ) (ולא ע"י מספרן של המחרוזות ). המקום: לינארי בסכום אורכי המחרוזות במבנה. cs, Technion 2 חומר קריאה לשיעור זה Algorithms on, Trees, and Sequences, Dan Gustfield Chapter 5, 7., 7., 7.7 cs, Technion מימוש חיפוש, הכנסה והוצאה מבנה צומת בTrie הגדרת צומת: חיפוש( ): נתחיל בשורש. 0. כל עוד : אם התו ה- במחרוזת הוא התו ה- בא"ב, נעקוב אחרי המצביע ה- במערך. אם המצביע הזה,NULL נחזיר "לא נמצא". אחרת, +. אם, > החזר "נמצא". הכנסה( ): בדומה לחיפוש, אבל אם ניתקל במצביע NULL במהלך החיפוש, נקצה צומת חדש ונדאג שהמצביע המתאים בצומת הנוכחי יצביע אליו, ונמשיך בחיפוש בצומת החדש. הוצאה( ): נחפש את המחרוזת ונשמור את הצומת האחרון בעל יותר מבחן אחד לאורך מסלול החיפוש ואת האות הבאה של. נמחק את תת העץ המתאים של. הצומת עבור הסרת המחרוזת #define SIGMA 26; typedef struct node { struct node[ SIGMA + ] *sons ; } NODE ; NODE *root ; cs, Technion cs, Technion

2 מיון מחרוזות באמצעות Trie מיון מחרוזות נאיבי קלט: מחרוזות,, שאורכן הכולל הוא פלט: הדפסת המחרוזות בסדר לקסיקוגרפי. ניתן להשתמש בעובדה שלמחרוזות יש מבנה - שרשרת תווים מעל אלף-בית מאורך קבוע - כדי למיינן מהר יותר מאשר ע"י השוואות של מחרוזות. נשתמש ב- Trie באופן הבא: = האלגוריתם. הכנס את.Trie ל-,,.2 עבור על ה- trie לפי סדר preorder וכתוב לפלט את המסלול לכל עלה. (המסלול נמצא במחסנית הרקורסיה). דוגמא: נתונות המחרוזות,,, כאשר תו סיום- מחרוזת הוא (הקטן ביותר לקסיקוגרפית). המחרוזות הממוינות הן.,, פתרון באמצעות מיון מבוסס השוואות: נניח לרגע (לשם פשטות) שאורך כל המחרוזות אחיד ושווה ל-./ השוואת שתי מחרוזות תיקח זמן (/).( ( = לפתרון באמצעות השוואות נדרשות.((/) log ) = ( log ) השוואות ולכן סה"כ נדרש זמן Θ( log ) נראה כעת פתרון בזמן.() cs, Technion 6 cs, Technion 5 דחיסת Trie ניתוח זמנים נסלק מהעץ צמתים בעלי בן אחד ע"י החלפת שרשרת שתסומן בתווית המקודדת את המחרוזת המתאימה. קשתות בקשת בודדת זמן הריצה:. הכנסת דורשת זמן לכן זמן הכנסת כל המחרוזות הוא ).() = (Σ סיור ה- preorder ב- Trie דורש זמן כמספר הצמתים ומספר זה הוא.() המחרוזות אורכי כסכום זמן דורשות הסיור במהלך המתבצעות ההדפסות.() = (Σ ) סה"כ זמן ריצת האלגוריתם:.() ייצוג אפשרי: כל צומת יחזיק מערך בגודל + Σ של לבניו ואת המחרוזות המתאימות לקשתות. מצביעים דוגמא: cs, Technion 8 cs, Technion 7

3 עץ סיומות Tree) (Suffix דחיסת Trie השפעה על מספר הצמתים עץ סיומות של מחרוזת הוא Trie שבו הוכנסו כל הסיומות של המחרוזת עם תו סיום. דוגמא: עץ סיומות עבור : = לעץ סיומות עשרות שימושים במסגרת אלגוריתמים הפועלים על מחרוזות. אנו נבחן שלושה שימושים (שימושים רבים נוספים מתוארים בספר של :(Gusfield מציאת תת מחרוזת בתוך מחרוזת נתונה (או בתוך רשימת מחרוזות נתונה). מציאת תת מחרוזת ארוכה ביותר המשותפת לשתי רשימות נתונות. מימוש אלגוריתם לדחיסת אינפורמציה compression).(ziv-lempel cs, Technion 0 יהא מספר הצמתים בעץ ו- מספר העלים. עקב הדחיסה, לכל אחד מ ( ) הצמתים הפנימיים יש לפחות שני בנים. טענה: לעץ בו לכל צומת פנימי לפחות 2 בנים, מספר הצמתים מקיים 2 הוכחה: שיקולי ספירת קשתות. כיוון שמדובר בעץ, ולפי התכונות הנ"ל, מתקיים: = Σ 2( ) ומכאן מתקיים.2 לכן לאחר דחיסת Trie מספר הצמתים לינארי במספר העלים (מספר המחרוזות) בTrie. החסכון יהיה משמעותי יותר בהמשך כאשר תוויות הקשתות יהיו מקודדות בצורה קומפקטית. cs, Technion 9 חיסכון הכרחי במקום אלגוריתם לבניית עץ סיומות ניזכר בעץ הסיומות עבור : = (, ) חיסכון במקום: Trie דחוס דורש מקום כסכום אורכי המחרוזות על הקשתות. עבור עץ סיומות מדובר ב- ) Θ( מקום. הראינו כיצד להקטין כיוון אך,() ל- הצמתים מספר את הזיכרון סך הקשתות על מחרוזות ששומרים דרישות את לשפר ניתן כיצד נשאר ).Ω( המקום? פתרון: נשמור העתק נפרד של המחרוזת וכל תווית תהיה זוג מצביעים המציינים את מיקום () תדרוש קשת כל. במחרוזת התווית מקום. סך המקום הנדרש הוא.() למעשה כל אלגוריתם ליניארי לבניית עצי סיומות חייב לייצג = את תוויות הקשתות בצורה לא-ישירה כיון שקיימות סדרות של מחרוזות באורך כך שסכום האורכים של תוויות עץ כתיבת זמן ולכן Θ() מ- גדול של הקשתות הסיומות ידרוש יותר מ-( Θ( זמן (תרגיל בית. רמז: הסתכלו והכלילו את המחרוזת ).(( (, ) cs, Technion 2 נניח לאורך ההרצאה שאורך המחרוזת הוא. אלגוריתם נאיבי לבניית עץ סיומות עבור : הכנס את המחרוזות ] [ ], [2 ],, [ ל- Trie דחוס את ה- Trie שנוצר. ניתוח זמנים: () = + ( ) + + = ( 2 ) קיימים מספר אלגוריתמים מסובכים בהרבה המאפשרים לבנות עץ סיומות בזמן () (כאשר גודל האלף-בית קבוע). אלגוריתם עם זמן ריצה זה מתואר למשל במאמר: Esco Ukkonen. On-line construction of suffix trees. Algorithmica, :29-60, 995 ובספר של.Gusfield אנו נשתמש באלגוריתם זה כ"קופסא שחורה". cs, Technion

4 מציאת מחרוזות קצרות בטקסט ארוך אינפורמציה נוספת בעץ סיומות הבעיה: נתונה מחרוזת מאורך הנקראת טקסט. לאחר זמן עיבוד ליניארי () של הטקסט, יש להיות מוכנים לקבל מחרוזת לא ידועה באורך ולמצוא מופע של בטקסט (המופע הראשון) או לקבוע שהמחרוזת אינה נמצאת בטקסט. שימו לב שכל פתרון העובר על הטקסט בזמן קבלת המחרוזת ללא עיבוד מוקדם של יאלץ לבצע לפחות Θ() פעולות. דוגמאות לשימושים:. הטקסט הוא האנציקלופדיה בריטניקה והמחרוזת היא מילה. 2. הטקסט הוא הגנום של אורגניזם כלשהו, כלומר מחרוזת ארוכה של האותיות {,},,, והמחרוזת היא סדרה של אותיות כאלה המקודדת גן אותו יש למצוא בגנום הנתון. הערה: כמובן שקיימות וריאציות לבעיה זו כגון מציאת כל המופעים של בטקסט הנתון, התאמה חלקית של לטקסט, או חיפוש בתוך אוסף טקסטים. הנחה: << כלומר המחרוזת המבוקשת קצרה יחסית לאורך הטקסט. cs, Technion נבחן שוב את עץ הסיומות עבור : = ע"י סיור postorder בעץ נוכל בזמן ליניארי () לחשב לכל צומת את המיקום הראשון של תת המחרוזת המיוצגת ע"י המסלול מהשורש ועד. נסמן מיקום ראשוני זה ע"י למשל: המחרוזת המיוצגת ע"י המסלול (,) מתחילה במקום השני ב- והמחרוזת המיוצגת ע"י המסלול (,) מתחילה במקום החמישי ב-. באופן כללי, עבור עלים מספרים אלה מתקבלים ע"י חיסור מספר התווים המופיעים על המסלול לצומת מהאורך הכללי ועוד אחד (6 = בדוגמא זו). בצמתים פנימיים יירשם המינימום של ערכי הילדים. למשל 2 בצומת, כלומר = 2. אמנם המיקום השמאלי ביותר של המחרוזת ב- הוא 2. cs, Technion דחיסת אינפורמציה אלגוריתם למציאת מחרוזות בטקסט הבעיה: טקסט מילולי (ואחר) המקודד בצורה מפורשת הוא לעיתים ארוך מהנחוץ שכן מילים וחלקי מילים חוזרים על עצמם לאורך הטקסט. המטרה: בהינתן מחרוזת, לייצר מחרוזת התופסת פחות מקום מ- והמכילה את אותה האינפורמציה. השימוש: העברה יעילה של קבצי אינפורמציה במדיום אלקטרוני כגון בדיסקטים, ברשתות תקשורת, וכדומה. למשל פקודות הדחיסה המקובלות winzip ו- compress במערכת Windows ובמערכת. Unix הרעיון: נעבור על המחרוזת הנתונה s משמאל לימין, בכל פעם שעוברים על תת מחרוזת z שכבר ראינו נחליף את z עם האינדקס והאורך של המופע השמאלי ביותר של z במחרוזת s. האלגוריתם המתבסס על רעיון זה נקרא Ziv-Lempel compression והוא מתואר במאמרים: Ziv, Lempel, IEEE Trans on Information Theory, 2:7-, 977. Ziv, Lempel, IEEE Trans on Information Theory, 2:50-68, 978. כמו כן מוכח במאמרים אלה שאסימפטוטית, זהו אלגוריתם דחיסה אופטימלי. cs, Technion 6 בנה בזמן () עץ סיומות עבור הטקסט. הוסף לכל צומת בעץ הסיומות את המספר. בהינתן מחרוזת, עקוב על המסלול מהשורש של עץ הסיומות לפי התווים שבמחרוזת. אם נמצאה המחרוזת, אזי מקום המחרוזת הוא כאשר הוא הצומת האחרון במסלול החיפוש של. הסיומות עץ את שוב ניבחן דוגמא: המחרוזת. = עבור (והרביעי) הראשון במקום נמצאת השני במקום נמצאת והמחרוזת (והחמישי) הערה: למציאת כל המופעים של בטקסט, האלגוריתם מוצא את לכל עלה בתת העץ ששורשו. זמן החיפוש הוא () כאשר הוא מספר המופעים של בטקסט. החסם נובע מכך שכפי שראינו, מספר הצמתים בתת עץ עם עלים קטן מ- 2. בדוגמא, עבור הצומת מתקבל =,. cs, Technion 5

5 הגדרות וסימונים דוגמאות לדחיסה הגדרה: לכל אינדקס במחרוזת [.],. נגדיר את תת המחרוזת להיות הרישא (Prefix) הארוכה ביותר של [ [.. ואשר מופיעה כתת מחרוזת בתוך )] (.[.. 7 = = המחרוזת הנתונה: דוגמא: = = (2,) (2,) (,) דוגמא I: המחרוזת הדחוסה: במקרה זה אין דחיסה כלל. זו תופעה נפוצה עבור מחרוזות קצרות. דוגמא :II המחרוזת הנתונה: המחרוזת הדחוסה: נסמן ב- את אורך המחרוזת. כאשר היא מחרוזת ריקה אז = 0. נסמן ב- את מיקום המחרוזת כאשר > 0. = = (,2) (,) (,8) (,6) 7 = = 7 = 2 בדוגמא : עבור חזרות של נקבל מחרוזת דחוסה באורך (.Θ(log cs, Technion 8 cs, Technion 7 מימוש יעיל של Ziv-Lempel האלגוריתם וניתוחו בנה עץ סיומות עבור המחרוזת בזמן.() חשב את לכל צמתי בזמן.() בכל איטרציה, כאשר האלגוריתם נדרש לחשב את ) ),, צעד על המסלול מהשורש של לפי התווים במחרוזת ] [.. כל עוד, + < כאשר אורך המסלול עד כה. כאשר החיפוש נעצר, לאחר תווים, המקום שווה ל- כאשר הוא הצומת האחרון על מסלול הצעידה...2. for (i=; i <= m; ) { Compute(s i,l i ) ; if L i > 0 {output(s i, L i ); i = i + L i }; else {output(s[i]) ; i = i + } } נתונה המחרוזת ].[ דוגמא: דחיסת = = (,2) פענוח מחרוזת דחוסה: עבור על המחרוזת משמאל לימין. במקרה של תו, העתק אותו ל-, ובמקרה של זוג ) ),, שכפל את התווים המתחילים במקום. cs, Technion 20 נקודת המפתח במימוש האלגוריתם הוא חישוב ) ), בכל איטרציה. נניח שניתן לממש פעולה זו בזמן ) ( (כפי שנראה), מה יהיה זמן הריצה של האלגוריתם? האלגוריתם קורא את המחרוזת משמאל לימין. האלגוריתם לא מחשב את ) ), עבור אינדקס שכבר נמצא באזור הדחוס. בכל איטרציה האלגוריתם דוחס תווים וקופץ קדימה תווים במחרוזת. לפיכך סכום האורכים שחושבו ע"י האלגוריתם קטן מ- (אין חפיפות), וזמן הריצה.() = = דוגמא: האורכים שחושבו : cs, Technion 9

6 עץ סיומות מוכלל מציאת תת מחרוזת ארוכה משותפת הבעיה: מצא תת מחרוזת ארוכה ביותר המשותפת לשתי מחרוזות נתונות, 2 בזמן ).( + עץ סיומות מוכלל הוא Trie שבו הוכנסו כל הסיומות. לכל מחרוזת עם תו סיום שונה {,.., } קבוצת של מחרוזות דוגמא: = superiocalifornialives 2 = sealiver פתרון לדוגמא: תת המחרוזת הארוכה ביותר המשותפת לשתי הנתונות היא.alive תרגיל: מצאו אלגוריתם יעיל ככל שתוכלו ללא שימוש בעצי סיומות. המחרוזות דוגמא: עץ סיומות מוכלל עבור.{ =, 2 = 2 } אלגוריתם נאיבי לבניה: נכניס את כל הסיומות אחת אחת ל- Trie בודד. זמן הריצה כאורך סכום כל הסיומות של כל המחרוזות (במקרה הגרוע בהרבה מסכום אורכי המחרוזות). גדול cs, Technion 22 cs, Technion 2 מציאת תת מחרוזת ארוכה משותפת בנית עץ סיומות מוכלל הרעיון: נבנה עץ סיומות מוכלל המכיל את הסיומות של שתי המחרוזות. נסמן עלה בתווית אם העלה מתאים לסיומת של ובתווית 2 אם העלה מתאים לסיומת של. 2 נסמן צומת פנימי ב- אם כל ילדיו מסומנים ב-, נסמנו ב- 2 אם כל ילדיו מסומנים ב- 2, ונסמנו ב- {,2} אם תוויות ילדיו מכילים גם וגם 2. סימון זה לוקח זמן ליניארי בגודל עץ הסיומות. דוגמא: עץ סיומות מוכלל עבור.{ =, 2 = 2 },2 2,2 2, שורת המחץ: תת המחרוזת הארוכה ביותר המשותפת היא זאת המיוצגת ע"י המסלול הארוך ביותר מהשורש אשר סימון כל הצמתים שלו הוא {,2}. לכן, ע"י סיור נוסף ניתן למצוא את המחרוזת המשותפת הארוכה ביותר. בדוגמא, המחרוזת המשותפת היא או. cs, Technion 2 אלגוריתם ליניארי : נבנה עץ סיומות עבור המחרוזת S = 2 2. נבצע סיור ונקצץ את כל תתי העצים מתחת לקשתות שהתווית שלהן 2. מסתיימת ב-.. ) = (Σ סיבוכיות זמן: דוגמא:.{ =, 2 = 2 } עץ סיומות עבור 2 נראה כך : תתי העצים המצויירים כמשולש מייצגים סיומות המכילות. סיומות אלה אינן שייכות לאף אחת מהמחרוזות המקוריות. לכן ניתן לגזום את המשולשים הנ"ל מהעץ. cs, Technion 2

7 מציאת תת מחרוזת ארוכה משותפת ל- מחרוזות הבעיה: מצא תת מחרוזת ארוכה ביותר המשותפת.( ) בזמן,,, ל- מחרוזות נתונות הרעיון כמו קודם: נבנה עץ סיומות מוכלל המכיל את הסיומות של המחרוזות. נסמן את הצמתים ונמצא את המסלול הארוך ביותר מהשורש אשר מסומן בכול אורכו ע"י },.{, דוגמא לשימוש: המחרוזות הנתונות הם הגנום של מספר אורגניזמים, והמחרוזת הארוכה ביותר המשותפת להם עוזרת למציאת התאמות בן הגנומים השונים. כמובן שבשימוש זה נצטרך להכניס מגבלות נוספות, כגון מיקום תת המחרוזת בכל גנום, התאמה חלקית לחלק מהגנומים, מחרוזות משותפות נוספות, וכו'. cs, Technion 26 cs, Technion 25

Algorithms on Strings, Trees, and Sequences, Dan Gustfield Chapter 5, 7.3, 7.4, 7.17

Algorithms on Strings, Trees, and Sequences, Dan Gustfield Chapter 5, 7.3, 7.4, 7.17 Lecture of Geiger & Iti s slide rochure www.cs.technion.c.il/~dng/courseds מבני נתו נים למח ר ו ז ו ת חומר קריאה לשיעור זה Algorithms on Strings, Trees, nd Sequences, Dn Gustfield Chpter 5, 7.3, 7.4, 7.7

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #11

מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #11 מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול # התאמת מחרוזות סימונים והגדרות: P[,,m] כך Σ * טקסט T )מערך של תווים( באורך T[,,n] n ותבנית P באורך m ש.m n התווים של P ו T נלקחים מאלפבית סופי Σ. לדוגמא: {a,b,,z},{,}=σ.

Διαβάστε περισσότερα

תורת הגרפים - סימונים

תורת הגרפים - סימונים תורת הגרפים - סימונים.n = V,m = E בהינתן גרף,G = V,E נסמן: בתוך סימוני ה O,o,Ω,ω,Θ נרשה לעצמנו אף להיפטר מהערך המוחלט.. E V,O V + E כלומר, O V + E נכתוב במקום אם כי בכל מקרה אחר נכתוב או קשת של גרף לא

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur

פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת

Διαβάστε περισσότερα

השאלות..h(k) = k mod m

השאלות..h(k) = k mod m מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות מתרגיל 5 השאלות 2. נתונה טבלת ערבול שבה התנגשויות נפתרות בשיטת.Open Addressing הכניסו לטבלה את המפתחות הבאים: 59 88, 17, 28, 15, 4, 31, 22, 10, (מימין לשמאל),

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים (234218) 1

מבני נתונים (234218) 1 מבני נתונים (234218) 1 חומר עזר לבחינה 13 בספטמבר 2016 שימו לב: מותר לצטט טענות המופיעות בדף זה ללא הוכחה. כל טענה אחרת, שאינה מופיעה באופן מפורש, יש לנמק באופן מלא. נימוקים מהצורה "בדומה לטענה שבחומר

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים

מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים (8..05). טענה אודות סדר גודל. log טענה: מתקיים Θ(log) (!) = הוכחה: ברור שמתקיים: 3 4... 4 4 4... 43 פעמים במילים אחרות:! נוציא לוגריתם משני האגפים: log(!) log( ) log(a b

Διαβάστε περισσότερα

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'

חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר

Διαβάστε περισσότερα

עצי 2-3 תזכורת: בנים. דוגמאות: Chapter 19: B trees ( ) Chapter 15: Augmenting data structures ( )

עצי 2-3 תזכורת: בנים. דוגמאות: Chapter 19: B trees ( ) Chapter 15: Augmenting data structures ( ) עצים מאוזנים Lecture 5 of Geiger & Itai s slide brochure www.cs.technion.ac.il/~dang/courseds תזכורת: משפחת עצים נקראת מאוזנת אם ( h. = (log עצי -3 ועצי דרגות עצי AVL הם עצים מאוזנים. עצי 3- מהווים דוגמא

Διαβάστε περισσότερα

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך

ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות

Διαβάστε περισσότερα

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם

שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא

Διαβάστε περισσότερα

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ

משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת

Διαβάστε περισσότερα

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;

(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p; מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות בנושאים () זמני ריצה של פונקציות רקורסיביות () מיונים השאלות פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ג על ידי הצבה חוזרת T() כאשר = T() = T( ) + log T() = T() כאשר =

Διαβάστε περισσότερα

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806

סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.

Διαβάστε περισσότερα

logn) = nlog. log(2n

logn) = nlog. log(2n תכנוןוניתוחאלגוריתמים סיכוםהתרגולים n log O( g( n)) = Ω( g( n)) = θ ( g( n)) = תרגול.3.04 סיבוכיות { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 f ( n) c g( n) } { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 c g( n) f ( n) } { f ( n)

Διαβάστε περισσότερα

Logic and Set Theory for Comp. Sci.

Logic and Set Theory for Comp. Sci. 234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =

Διαβάστε περισσότερα

מיונים א': מיון (Sorting) HeapSort. QuickSort תור עדיפויות / ערימה

מיונים א': מיון (Sorting) HeapSort. QuickSort תור עדיפויות / ערימה מיון (Sorting) void BubbleSort(int* A, int n){ for (i = ; i < n-; i++) for (j = n-; j >= i; j--) if ( a[j] > a[j+]) swap(&a[j], &a[j+]); מערך בן מספרים. קלט: מערך ובו המספרים מאוחסנים בסדר עולה (או יורד).

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון גירסה 1. 11.11.22 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון מסמך זה הינו הראשון בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר). ברצוני להודות תודה מיוחדת

Διαβάστε περισσότερα

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית

תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית אנליזה נומרית 0211 סתיו - תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית נרצה לפתור את מערכת המשוואות יהי פתרון מקורב של נגדיר את השארית: ואת השגיאה: שאלה 1: נתונה מערכת המשוואות הבאה: הערך את השגיאה היחסית

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד

פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשעד פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה

Διαβάστε περισσότερα

תרגול פעולות מומצאות 3

תרגול פעולות מומצאות 3 תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

' 2 סמ ליגרת ןורתפ םיפרגה תרותב םימתירוגלא דדצ 1 : הלאש ןורתפ רבסה תורעה

' 2 סמ ליגרת ןורתפ םיפרגה תרותב םימתירוגלא דדצ 1 : הלאש ןורתפ רבסה תורעה אלגוריתמים בתורת הגרפים פתרון תרגיל מס' 2 לשאלות והערות נא לפנות לאילן גרונאו (shrilan@cs.technion.ac.il) א) ב) ג) גרף דו-צדדי (bipartite) הינו גרף (E )G V, אשר קיימת חלוקה של צמתיו לשתי קבוצות U,W e =

Διαβάστε περισσότερα

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.

חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד. חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.

Διαβάστε περισσότερα

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m

[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות

Διαβάστε περισσότερα

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )

פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( ) פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e

Διαβάστε περισσότερα

כלליים זמן: S מחסנית, top(s) ראש המחסנית. (Depth First Search) For each unmarked DFS(v) / BFS(v) רקורסיבי. אלגוריתם :BFS

כלליים זמן: S מחסנית, top(s) ראש המחסנית. (Depth First Search) For each unmarked DFS(v) / BFS(v) רקורסיבי. אלגוריתם :BFS כלליים שיטות חיפוש בבגרפים שיטה 1: חיפוש לרוחב S (readth irst Search) זמן: ) Θ( V + הרעיון: שימוש בתור.O שיטה 2: חיפוש לעומק S (epth irst Search) Θ( V + ) יהי =(V,) גרף כלשהו, V הוא צומת התחלת החיפוש.

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות

הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול

Διαβάστε περισσότερα

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות

תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשעב זהויות טריגונומטריות תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשעו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים: לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1

Διαβάστε περισσότερα

Hash Tables (המשך) ערבול (Hashing)

Hash Tables (המשך) ערבול (Hashing) מילון עם מפתחות שלמים Lecture of Geiger & Itai s slide brochure www.cs.technion.ac.il/~dang/courseds טבלאות ערבול הפעולות הבסיסיות של מילון הן כזכור חיפוש, הכנסה, והוצאה. אם המפתחות מספרים שלמים בתחום

Διαβάστε περισσότερα

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל

סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יחל סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים 08a תרגול 8 14/2/2008 המשך ערמות ליאור שפירא

מבני נתונים 08a תרגול 8 14/2/2008 המשך ערמות ליאור שפירא מבני נתונים 08a תרגול 8 14/2/2008 המשך ערמות ליאור שפירא ערמות פיבונאצ'י Operation Linked List Binary Heap Binomial Heap Fibonacci Heap Relaxed Heap make-heap 1 1 1 1 1 is-empty 1 1 1 1 1 insert 1 log

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים / תרגיל #1

אלגוריתמים / תרגיל #1 1 אריאל סטולרמן אלגוריתמים / תרגיל #1 קבוצה 02 (1) טענה: אם בגרף לא מכוון וקשיר יש 2 צמתים מדרגה אי זוגית ושאר הצמתים מדרגה זוגית, זהו תנאי הכרחי ומספיק לקיום מסלול אויילר בגרף. הערות: הוכחה: התוספת כי

Διαβάστε περισσότερα

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות

תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע

Διαβάστε περισσότερα

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור

לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין

Διαβάστε περισσότερα

תוכן הפרק: ,best case, average case דוגמאות 1. זמן - נמדד באמצעות מס' פעולות סיבוכיות, דוגמאות, שיפור בפקטור קבוע האלגוריתם. וגודלם. איטרטיביים. לקלט.

תוכן הפרק: ,best case, average case דוגמאות 1. זמן - נמדד באמצעות מס' פעולות סיבוכיות, דוגמאות, שיפור בפקטור קבוע האלגוריתם. וגודלם. איטרטיביים. לקלט. פרק סיבוכיות פרק סיבוכיות המושג יעילות מהו? במדעי המחשב היעילות נמדדת בעזרת מדדי סיבוכיות, החשובים שבהם: של אלגוריתמים יעילותם תוכן הפרק: יעילות מהי (זיכרון וזמן, זמן ריצה T( של אלגוריתם מהו, מהם case,

Διαβάστε περισσότερα

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)

לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשעו (2016) לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור

Διαβάστε περισσότερα

דוגמה: יהי T עץ בינארי כפי שמתואר בציור הבא:

דוגמה: יהי T עץ בינארי כפי שמתואר בציור הבא: של שאלות מבחינות פתרונות.1 שאלהזוהופיעהבמבחןמועדג 01 דוגמה: יהי T עץ בינארי כפי שמתואר בציור הבא: הגדרות: עבור צומת בעץ בינארי T נסמן ב- T את תת העץ של T ששורשו. (תת העץ הזה כולל את ). נגדיר את תת העץ

Διαβάστε περισσότερα

אסימפטוטיים תוכנית הקורס עצי AVL עצי 2-3 עצי דרגות סיבוכיות משוערכת מיון מיון שימושים: גרפים איסוף אשפה

אסימפטוטיים תוכנית הקורס עצי AVL עצי 2-3 עצי דרגות סיבוכיות משוערכת מיון מיון שימושים: גרפים איסוף אשפה תוכנית הקורס cs, Technion 2..3.4 מבני נתונים בסיסיים וסימונים אסימפטוטיים מערכים ורשימות מקושרות עצים ועצי חיפוש עצי AVL עצי 2-3 עצי דרגות.5 רשימות דילוגים סיבוכיות משוערכת.6.7.8.9.0..3.4 מטרת הקורס: מבני

Διαβάστε περισσότερα

gcd 24,15 = 3 3 =

gcd 24,15 = 3 3 = מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =

Διαβάστε περισσότερα

Nir Adar גירסה 1.00 עמוד 1

Nir Adar    גירסה 1.00 עמוד 1 גירסה 1.00 מבני נתונים מסמך זה הורד מהאתר. אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש במידע המופיע במסמך, וכן לנכונות התוכן

Διαβάστε περισσότερα

ניהול תמיכה מערכות שלבים: DFfactor=a-1 DFt=an-1 DFeror=a(n-1) (סכום _ הנתונים ( (מספר _ חזרות ( (מספר _ רמות ( (סכום _ ריבועי _ כל _ הנתונים (

ניהול תמיכה מערכות שלבים: DFfactor=a-1 DFt=an-1 DFeror=a(n-1) (סכום _ הנתונים ( (מספר _ חזרות ( (מספר _ רמות ( (סכום _ ריבועי _ כל _ הנתונים ( תכנון ניסויים כאשר קיימת אישביעות רצון מהמצב הקיים (למשל כשלים חוזרים בבקרת תהליכים סטטיסטית) נחפש דרכים לשיפור/ייעול המערכת. ניתן לבצע ניסויים על גורם בודד, שני גורמים או יותר. ניסויים עם גורם בודד: נבצע

Διαβάστε περισσότερα

Practical Session #9 - Heap, Lempel-Ziv

Practical Session #9 - Heap, Lempel-Ziv Practical Session #9 - Heap, Lempel-Ziv Heap Heap Maximum- Heap Minimum- Heap Heap-Array A binary heap can be considered as a complete binary tree, (the last level is full from the left to a certain point).

Διαβάστε περισσότερα

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(

= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin( א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π

Διαβάστε περισσότερα

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)

יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p

Διαβάστε περισσότερα

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת

( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חחע ועל מכיוון שהיא מוגדרת עי. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חחע אז ועל פי הגדרת הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

השאלות ידי מצביעים לילדים.

השאלות ידי מצביעים לילדים. מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות מתרגיל 4 השאלות 1. כתבו פונקציה לא רקורסיבית שמדפיסה ב- Postorder את כל הנתונים המאוכסנים בעץ בינארי T. הפונקציה אינה צריכה להיות תלויה במימוש העץ T. הניחו שנתון

Διαβάστε περισσότερα

תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 שאלה 1 פתרון נתונות שתי בעיות. יש למצוא: אורך מסלול קצר ביותר המתחיל באחד מן הקודקודים s 1,..., s k ומסתיים ב t.

תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 שאלה 1 פתרון נתונות שתי בעיות. יש למצוא: אורך מסלול קצר ביותר המתחיל באחד מן הקודקודים s 1,..., s k ומסתיים ב t. תכנון אלגוריתמים 2016 עבודה 1 פתרון שאלה 1 נזכר כי בגרף (E G, =,V) עבור שני קודקודים d(u, (v,u, v הוא אורך מסלול קצר ביותר מ u ל v. אם אין מסלול מ u ל.d(u, v) =,v נתונות שתי בעיות. בעיה א' מופע: גרף מכוון

Διαβάστε περισσότερα

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים

צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #3 נושאים: תור קדימויות/ערימה, עצים

מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #3 נושאים: תור קדימויות/ערימה, עצים מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #3 נושאים: תור קדימויות/ערימה, עצים חזרה מבנה נתונים אמצעי לאחסון נתונים במחשב. יש הרבה סוגים שונים, וצריך להשתמש במבנה שהכי מתאים לבעיה שלנו מבחינת שימוש בנתונים הוספה, מחיקה

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים פתרון תרגיל 5

מודלים חישוביים פתרון תרגיל 5 מודלים חישוביים פתרון תרגיל 5 כתוב אוטומט דטרמיניסטי לשפות הבאות מעל הא"ב.Σ={,} א. *Σ. q, ב. q, ג. {ε}, q, q ד. } = 3 {w w mod, q, q,, ה. ''} {w w does not contin the sustring q 4 q 3 q q כתוב אוטומט דטרמיניסטי

Διαβάστε περισσότερα

מודלים חישוביים תרגולמס 5

מודלים חישוביים תרגולמס 5 מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6

אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,

Διαβάστε περισσότερα

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק

brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות

Διαβάστε περισσότερα

TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE סמסטר אביב תשס"ו מס' סטודנט:

TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE סמסטר אביב תשסו מס' סטודנט: TECHNION ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מבני נתונים 234218 1 מבחן מועד ב ' סמסטר אביב תשס"ו מרצה: אהוד ריבלין מתרגלים: איתן

Διαβάστε περισσότερα

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות

דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)

Διαβάστε περισσότερα

Nir Adar

Nir Adar גירסה 28.6.2003-1.00 רשימת דילוגים מסמך זה הורד מהאתר. אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש במידע המופיע במסמך, וכן לנכונות

Διαβάστε περισσότερα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשעד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר

Διαβάστε περισσότερα

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה

הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון

Διαβάστε περισσότερα

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R

שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A

Διαβάστε περισσότερα

. {e M: x e} מתקיים = 1 x X Y

. {e M: x e} מתקיים = 1 x X Y שימושי זרימה פרק 7.5-13 ב- Kleinberg/Tardos שידוך בגרף דו-צדדי עיבוד תמונות 1 בעיית השידוך באתר שידוכים רשומים m נשים ו- n גברים. תוכנת האתר מאתרת זוגות מתאימים. בהינתן האוסף של ההתאמות האפשריות, יש לשדך

Διαβάστε περισσότερα

פרק 13 רקורסיה רקורסיה רקורסיה רקורסיות פשוטות: חישוב עצרת. תמונת המחסנית ב-() factorial רקורסיות פשוטות: פיבונאצ'י

פרק 13 רקורסיה רקורסיה רקורסיה רקורסיות פשוטות: חישוב עצרת. תמונת המחסנית ב-() factorial רקורסיות פשוטות: פיבונאצ'י פרק 3 רקורסיה רקורסיה נכתב ע"י רן רובינשטיין עודכן ע"י איתי שרון רקורסיה הינה שיטה לתכנון אלגוריתמים, שבה הפתרון לקלט כלשהו מתקבל על ידי פתרון אותה הבעיה בדיוק על קלט פשוט יותר, והרחבת פתרון זה לאחר מכן

Διαβάστε περισσότερα

{ : Halts on every input}

{ : Halts on every input} אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים עצים שיעור 7

מבני נתונים עצים שיעור 7 בס ד מבני נתונים עצים שיעור 7 שי גולן כ ח בניסן, תשע ו 6 במאי 2016 תקציר בתרגול זה נתחיל לדון בעצים. נגדיר עצים כלליים ועצים בינאריים, ונציג את ההגדרות הבסיסיות בתחום. נתרגל הוכחת תכונות של עצים באמצעות

Διαβάστε περισσότερα

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.

קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.

Διαβάστε περισσότερα

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )

c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V ) הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה

Διαβάστε περισσότερα

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות

גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות 08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך

Διαβάστε περισσότερα

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5

מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון

Διαβάστε περισσότερα

תאריך הבחינה: שם המרצה: רפי כהן שם המתרגל: יסודות מבני נתונים שם הקורס:

תאריך הבחינה: שם המרצה: רפי כהן שם המתרגל: יסודות מבני נתונים שם הקורס: תאריך הבחינה:... נובה פנדינה שם המרצה: רפי כהן שם המתרגל: יסודות מבני נתונים שם הקורס:..00 מספר הקורס:. סמסטר: א' מועד: שנה: שלוש שעות משך הבחינה: ללא חומר עזר חומר עזר: ב' הנחיות חשובות: רצוי לפתור את

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים מבחן מועד א' סמסטר חורף תשס"ו

מבני נתונים מבחן מועד א' סמסטר חורף תשסו TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצים: רן אל-יניב, נאדר בשותי מבני נתונים 234218-1 מבחן מועד א' סמסטר חורף תשס"ו

Διαβάστε περισσότερα

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.

Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון. Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.

Διαβάστε περισσότερα

Regular Expressions (RE)

Regular Expressions (RE) Regular Expressions (RE) ביטויים רגולריים עד כה דנו במספר מודלים חישוביים להצגת (או ליצור) שפות רגולריות וראינו שכל המודלים האלה הם שקולים מבחינת כוח החישובי שלהם. בסעיף זה נראה עוד דרך להצגת (או ליצור)

Διαβάστε περισσότερα

רשימת בעיות בסיבוכיות

רשימת בעיות בסיבוכיות ב) ב) רשימת בעיות בסיבוכיות כל בעיה מופיעה במחלקה הגדולה ביותר שידוע בוודאות שהיא נמצאת בה, אלא אם כן מצוין אחרת. כמובן שבעיות ב- L נמצאות גם ב- וב- SACE למשל, אבל אם תכתבו את זה כתשובה במבחן לא תקבלו

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים מבחן מועד ב' סמסטר חורף תשס"ו

מבני נתונים מבחן מועד ב' סמסטר חורף תשסו TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצים: רן אל-יניב, נאדר בשותי מבני נתונים 234218-1 מבחן מועד ב' סמסטר חורף תשס"ו

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים

מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים חידה לחימום בסל מקש יש צמר. כדורי 00 שני שחקנים משחקים בתורות: כל שחקן, בתורו, צריך להוציא כמות כלשהי של כדורי צמר מהסל לפחות כדור אחד, אך לא יותר ממחצית מכמות כדורי הצמר שבסל. מי שלא יכול לעשות מהלך (מתי

Διαβάστε περισσότερα

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6

אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר 016 1. יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת:

Διαβάστε περισσότερα

מבני נתונים הגבלת אחריות פרק - 1 אלגוריתמי מיון ואנליזה אסימפטוטית. מיון בועות Sort Bubble מאת : סשה גולדשטיין,

מבני נתונים הגבלת אחריות פרק - 1 אלגוריתמי מיון ואנליזה אסימפטוטית. מיון בועות Sort Bubble מאת : סשה גולדשטיין, 009 מבני נתונים סיכום למבחן, יולי sashag@cs מאת : סשה גולדשטיין, 7:50,3.7.09 עדכון אחרון : בשעה הגבלת אחריות הסיכום להלן הוא האינטרפרטציה שלי של החומר, שממש לא חייבת להיות נכונה או מייצגת את זו של הסגל.

Διαβάστε περισσότερα

חידה לחימום. כתבו תכנית שהקלט שלה הוא מספר שלם n,

חידה לחימום. כתבו תכנית שהקלט שלה הוא מספר שלם n, חידה לחימום נתון פיגום משולש של מוטות המחברים קודקודים ויוצרים קומות של משולשים קטנים, כמודגם באיור הבא, בו מתואר פיגום משולש בן שתי קומות: משימתו של פועל העובד בפיגום היא להתקדם מן הקודקוד השמאלי התחתון

Διαβάστε περισσότερα

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה:

אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר עי החמישייה: 2 תרגול אוטומט סופי דטרמיניסטי אוטומטים ושפות פורמליות בר אילן תשעז 2017 עקיבא קליינרמן הגדרה אוטומט סופי דטרמיניסטי מוגדר ע"י החמישייה: (,, 0,, ) כאשר: א= "ב שפת הקלט = קבוצה סופית לא ריקה של מצבים מצב

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני גירסה 1.00 5.12.2002 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני מסמך זה הינו השני בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר). ברצוני להודות תודה מיוחדת

Διαβάστε περισσότερα

co ארזים 3 במרץ 2016

co ארזים 3 במרץ 2016 אלגברה לינארית 2 א co ארזים 3 במרץ 2016 ניזכר שהגדרנו ווקטורים וערכים עצמיים של מטריצות, והראינו כי זהו מקרה פרטי של ההגדרות עבור טרנספורמציות. לכן כל המשפטים והמסקנות שהוכחנו לגבי טרנספורמציות תקפים גם

Διαβάστε περισσότερα

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012

אינפי - 1 תרגול בינואר 2012 אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,

Διαβάστε περισσότερα

ניתוח סיבוכיות - פונקציות רקורסיביות פיתוח טלסקופי

ניתוח סיבוכיות - פונקציות רקורסיביות פיתוח טלסקופי ניתוח סיבוכיות - פונקציות רקורסיביות פיתוח טלסקופי ננסה להשתמש בכך שהפונקציה היא רקורסיבית על מנת לרשום גם עבור הסיבוכיות ביטוי רקורסיבי. factorial() 3 מתחילים מכתיבת ביטוי לא מפורש ל-( T( ביטוי רקורסיבי

Διαβάστε περισσότερα

תכנון דינאמי. , p p p והמטריצה המתקבלת היא בגודל

תכנון דינאמי. , p p p והמטריצה המתקבלת היא בגודל תכנון אלגוריתמים, אביב, תרגול מס' תכנון דינאמי תכנון דינאמי בתרגול זה נדון בבעיית הכפלת סדרת מטריצות (6..(CLR ראשית נראה דוגמא:. A, A, A, A נסמן את גודל המטריצות בסדרה ע"י סדרת גדלים כאשר, p 5 5 p היא

Διαβάστε περισσότερα

עץץץץ AVL. עץ AVL הוא עץ חיפוש בינארי שמקיים את התנאי הבא: לכל צומת x בעץ גורם האיזון של x הוא 1, 0, או 1-. הגדרה: במילים אחרות: לכל צומת x בעץ,

עץץץץ AVL. עץ AVL הוא עץ חיפוש בינארי שמקיים את התנאי הבא: לכל צומת x בעץ גורם האיזון של x הוא 1, 0, או 1-. הגדרה: במילים אחרות: לכל צומת x בעץ, עץץץץ AVL הגדרה: עץ AVL הוא עץ חיפוש בינארי שמקיים את התנאי הבא: לכל צומת x בעץ גורם האיזון של x הוא 1,, או 1-. h(t left(x) ) - h(t right(x) ) 1 במילים אחרות: לכל צומת x בעץ, בעץ AVL שומרים עבור כל צומת

Διαβάστε περισσότερα

תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת

תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת תרגול 3 ניתוח לשיעורין תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר 2011. ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת חסמי זמן ריצה נמוכים יותר מאשר חסמים המתקבלים כאשר

Διαβάστε περισσότερα

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר

אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר אוטומטים- תרגול 8 שפות חסרות הקשר דקדוק חסר הקשר דקדוק חסר הקשר הנו רביעיה > S

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק רביעי

אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק רביעי גירסה 00 232003 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק רביעי מסמך זה הינו הרביעי בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר) ברצוני להודות תודה מיוחדת

Διαβάστε περισσότερα

בחינה בסיבוכיות עמר ברקמן, ישי חביב מדבקית ברקוד

בחינה בסיבוכיות עמר ברקמן, ישי חביב מדבקית ברקוד בחינה בסיבוכיות עמר ברקמן, ישי חביב מדבקית ברקוד סמסטר: א' מועד: א' תאריך: יום ה' 0100004 שעה: 04:00 משך הבחינה: שלוש שעות חומר עזר: אין בבחינה שני פרקים בפרק הראשון 8 שאלות אמריקאיות ולכל אחת מהן מוצעות

Διαβάστε περισσότερα

מבחן מועד ב' בהצלחה! אנא קיראו היטב את ההוראות שלהלן: ודאו כי כל עמודי הבחינה נמצאים בידכם.

מבחן מועד ב' בהצלחה! אנא קיראו היטב את ההוראות שלהלן: ודאו כי כל עמודי הבחינה נמצאים בידכם. 7.8.2017 מבחן מועד ב' תאריך הבחינה: שמות המרצים: מר בועז ארד פרופ' עמוס ביימל מר יהונתן כהן דר' עדן כלמטץ' גב' מיכל שמש אנא קיראו היטב את ההוראות שלהלן: שם הקורס: תכנון אלגוריתמים מספר הקורס: 202-1-2041

Διαβάστε περισσότερα

חלק א' שאלה 3. a=3, b=2, k=0 3. T ( n) היותר H /m.

חלק א' שאלה 3. a=3, b=2, k=0 3. T ( n) היותר H /m. פתרון למבחן במבני נתונים, מועד א', קיץ 2005 חלק א' שאלה 1 א. רכיב הקשירות החזק של קודקוד x בגרף מכוון הינו אוסף כל הקודקודים y שמקימים שיש מסלול מ- x ל- y וכן מסלול מy ל- x. טעויות נפוצות שכחו לכתוב שזה

Διαβάστε περισσότερα

ביטויים רגולריים הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) הרצאה 5

ביטויים רגולריים הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) הרצאה 5 הפקולטה למדעי המחשב אוטומטים ושפות פורמליות (236353) ביטויים רגולריים הרצאה 5 המצגת מבוססת על ספרם של פרופ' נסים פרנסיז ופרופ' שמואל זקס, "אוטומטים ושפות פורמליות", האוניברסיטה הפתוחה, 1987. גרסה ראשונה

Διαβάστε περισσότερα

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.

פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה. בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית

Διαβάστε περισσότερα

אלגוריתמים 1, סמסטר אביב 2017

אלגוריתמים 1, סמסטר אביב 2017 BFS, DFS, Topological Sort תרגיל בית 1 מוסכמות והנחות להלן רשימת הנחות ומוסכמות אשר תקפות לכל השאלות, אלא אם כן נכתב אחרת במפורש בגוף השאלה. עליכם להוכיח נכונות ולנתח סיבוכיות עבור כל אלגוריתם מוצע. במידה

Διαβάστε περισσότερα

התפלגות χ: Analyze. Non parametric test

התפלגות χ: Analyze. Non parametric test מבחני חי בריבוע לבדיקת טיב התאמה דוגמא: זורקים קוביה 300 פעמים. להלן התוצאות שהתקבלו: 6 5 4 3 2 1 תוצאה 41 66 45 56 49 43 שכיחות 2 התפלגות χ: 0.15 התפלגות חי בריבוע עבור דרגות חופש שונות 0.12 0.09 0.06

Διαβάστε περισσότερα

אוניברסיטת בר אילן מבני נתונים תרגולים מרצה: פרופ' שמואל טומי קליין סמסטר ב', תש"ע

אוניברסיטת בר אילן מבני נתונים תרגולים מרצה: פרופ' שמואל טומי קליין סמסטר ב', תשע אוניברסיטת בר אילן מבני נתונים 89-120 תרגולים (חלקי) מרצה: פרופ' שמואל טומי קליין נכתב ונערך ע"י: גלעד אשרוב סמסטר ב', תש"ע הערות כלליות. המסמך מכיל סיכומי תרגולים שניתנו במהלך הסמסטר (סמסטר ב', תש"ע).

Διαβάστε περισσότερα

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ).

פרק 8: עצים. .(Tree) במשפטים הגדרה: גרף ללא מעגלים נקרא יער. דוגמה 8.1: תרגילים: הקודקודים 2 ו- 6 בדוגמה הוא ). מבוא לפרק: : עצים.(ree) עצים הם גרפים חסרי מעגלים. כך, כיוון פרק זה הוא מעין הפוך לשני הפרקים הקודמים. עץ יסומן לרב על ידי במשפטים 8.1-8.3 נפתח חלק מתכונותיו, ובהמשך נדון בהיבטים שונים של "עץ פורש" של

Διαβάστε περισσότερα

2 יח"ל ) השלמה ל - 5 יח"ל) (50 נקודות) מעבר חוקי, ו-'שקר' אחרת.

2 יחל ) השלמה ל - 5 יחל) (50 נקודות) מעבר חוקי, ו-'שקר' אחרת. 1 6 מאי, 2004 מועד הבחינה: 2 יח"ל ) השלמה ל - 5 יח"ל) פרק ראשון (50 נקודות) :1 Ï (מקור: שירלי רוזנברג כהן) נגדיר טיפוס נתונים חדש בשם תלת-מחסנית, כמבנה המכיל 3 מחסניות S3. S2, S1, נגדיר את הפעולות הבאות

Διαβάστε περισσότερα