άρα ο μετασχηματισμός Τ είναι κανονικός 1 1 (ε) : 2x - y + 5 = y - - x + 5 =

Transcript

1

2 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ ΜΑÏΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Σχολικό βιβλίο τεχνολογικής σελίδ 6 β Σχολικό βιβλίο τεχνολογικής σελίδ 67 γ Σχολικό βιβλίο τεχνολογικής σελίδ 68 Β Τ, Τ - Β Α κι Α Α Α Α - Α Α Α - -4, άρ ο μετσχημτισμός Τ είνι κνονικός y - -y β y - - y ε : - y 5 - y y 5 - y Άρ η ευθεί ε : - y είνι η εικόν της ε ως προς το μετσχημτισμό Τ ΘΕΜΑ ο Α 5 i 5 i - i - 5i i - i - i i i - i 4 9

3 Β β ρ - i - συνφ ρ π φ - β - 4 ημφ - ρ π π συν - iημ γ Σωστό το β Σχολικό βιβλίο τεχνολογικής σελίδ 4 δ 4 - i 4 - i -i - 4 Δ i - i - i Άρ τ ζητούμεν σημεί είνι τ σημεί της μεσοκθέτου του ευθυγράμμου τμήμτος ΑΒ, με Α, κι Β,, η διχοτόμος της γωνίς Oy, με εξίσωση y ΘΕΜΑ ο A im im im im β n β 5 - Β Γι ν είνι η συνάρτηση συνεχής στο 5, πρέπει im im 5 δηλδή β β β κι β Άρ - κι β Γ Γι - κι β, είνι n - 5, 5 im im n - 5, διότι im - 5 κι im n - 8 6, < < 5

4 ΘΕΜΑ 4 ο 8 n άρ 8 n - c Είνι άρ c Επομένως 8 n -, β , - H συγκέντρωσή του στον οργνισμό γίνετι μέγιστη ότν γ 8 8 n8-8 8 n9-6 8 n n n - >, διότι n > 8 n - 8 n - 8,4-9, - < Άρ τη χρονική στιγμή 8, υπάρχει κόμ επίδρση του φρμάκου στον οργνισμό, ενώ πριν τη χρονική στιγμή, η επίδρσή του στον οργνισμό έχει μηδενιστεί

5 Λύσεις Μθηµτικών Θετικής & ΤεχνΚτ/νσης Γ Λυκείου Θέμ ο: Α y Α Αφού η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη στο σηµείο,θ ισχύει: Τότε γι θ έχουµε: οπότε: Άρ: - lim lim - lim - [ ] - - lim lim - - lim [ ] δηλδή η είνι συνεχής στο - lim Β Η πρότση είνι λνθσµένη, φού η συνάρτηση: συν,, έχει σσ ηµ,, ενώ δεν είνι συνεχής στο β Γνωρίζουµε ότι, ν η είνι πργωγίσιµη σε σηµείο, θ είνι συνεχής σε υτό, άρ, ν η δεν είνι συνεχής στο, δεν είνι πργωγίσιµη στο κι η πρότση είνι λάθος γ Επειδή υπάρχει η δεύτερη πράγωγος της στο, υπάρχει κι η πράγωγος της στο, άρ η είνι συνεχής στο κι η πρότση είνι σωστή Εποµένως έχουµε: Λ, β Λ, γ Σ

6 Β 9, άρ 9 κι Εποµένως εξίσωση της εφπτοµένης είνι η: y 9 y 9 6 β συν, άρ π/ συνπ - κι π/ Εποµένως η εξίσωση της εφπτοµένης είνι η: y --π/ y - π γ Η συνάρτηση δεν είνι πργωγίσιµη στο, άρ δεν υπάρχει εφπτοµένη δ ' άρ '4 /4 κι 4 Εποµένως εξίσωση εφπτοµένης είνι η: y y 4 4 Συνεπώς έχουµε: β γ 5 δ

7 Θέμ ο: Είνι: W 9-5i 9-5i i 9 5i - i 8 i i 9 i 8 9i 9 i 6 i i 6 i i i - i 8 6i - 9i - 5 5i 9 i ρ 9 4 συνφ ρ ηµφ β ρ Επειδή είνι: συνφ κι ηµφ προκύπτει ότι φ 7π/4, Άρ: W συν 7π 4 7π iηµ 4

8 Επίσης: π - iηµ 4 π - συν 9-5i W 4 4π - iηµ 4 4π - συν συν-5π iηµ-5π συν- 5π - π iηµ- 5π - π συν-π iηµ-π W συνπ iηµπ β Έχουµε ότι:, W κι W άρ: - M W W M Από τη θεωρί γνωρίζουµε ότι ο πίνκς Μ είνι πίνκς του γρµµικού µετσχηµτισµού: «συµµετρί ως προς τον άξον, άρ σωστό είνι το Β - π συν π ηµ π ηµ π συν K γ Όµως: - M - οπότε: - X - X K M X K MX -

9 Επειδή η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη στο [, ], άρ θ είνι κι συνεχής στο [, ] Επίσης, επειδή είνι > γι κάθε,, θ είνι η γνησίως ύξουσ στο,, άρ το σύνολο τιµών της θ είνι το [, ] [, 4] Όµως, [, 4] κι, φού, τότε η τέµνετι πό την ευθεί y σε έν κριβώς σηµείο µε τετµηµένη, β H είνι γνησίως ύξουσ στο [,], άρ: < /5 < < /5 < < /5 < < 4/5 < Προσθέτοντς κτά µέλη έχουµε: < < < < Θέμ ο: Όµως,η είνι συνεχής στο [, ], οπότε υπάρχει,, τέτοιο ώστε: < γ Επειδή η συνάρτηση είνι συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιµη στο,, προκύπτει πό το θεώρηµ µέσης τιµής του διφορικού λογισµού ότι υπάρχει έν τουλάχιστον, τέτοιο ώστε: Εποµένως η εφπτοµένη της C στο Μ είνι πράλληλη στην ευθεί ε: y, φού λ ε Η είνι πργωγίσιµη στο [, ως πηλίκο πργωγίσιµων συνρτήσεων, µε:, β β β β β - β ' Θέμ 4ο:

10 Αφού σε 6 ώρες επιτυγχάνετι η µέγιστη τιµή 5 µονάδες, θ έχουµε: β β β β 6 5 β ± β ± 6 β ± 6 Αφού β >, η τιµή β -6 πορρίπτετι, άρ β 6 Εποµένως: 5 8, 6 6 β Αφού το φάρµκο έχει ποτελεσµτική δράση ότν η τιµή της συγκέντρωσης είνι τουλάχιστον ίση µε µονάδες, ψάχνουµε τις τιµές του, έτσι ώστε:, µε Τότε: Άρ το φάρµκο δρ ποτελεσµτικά πό ώρες έως ώρες

11 Μθηµτικά Θετικής & Τεχνολογικής Κτεύθυνσης Γ' Λυκείου Ζήτηµ ο Απάντηση: Α Θεωρί πράγρφος σχολικού βιβλίου Α Σωστό β Λάθος γ Λάθος δ Σωστό ε Σωστό Β ζ γ 4 δ 5 β Β άρ Ζήτηµ ο Απάντηση: Αφού συνεχής είνι: lim lim 9 β Γι > µε πργωγίσιµη ως πηλίκο πργωγίσιµων συνρτήσεων Έτσι: 4 4 κι φού: η εξίσωση της εφ/νης είνι: y y γ Επειδή γι [,] είνι: < 9

12 Έχουµε: Πρτήρηση E - d τµονάδες 9 7 Επειδή στην εκφώνηση του θέµτος δεν διευκρινίζετι ν στο ερώτηµ γ η τιµή του πρέπει ν ληφθεί ως -/9, πρτηρούµε ότι: i ν το ληφθεί ως -/9 τότε η τιµή του εµβδού είνι: 7 E τµονάδες 7 ii ν όµως δεν υπονοείτι κάτι τέτοιο τότε η λύση θ έχει ως εξής: ν τότε οπότε : 7 E a d a ν < τότε <, οπότε: 7 E a d a τµονάδες τµονάδες Ζήτηµ ο Απάντηση: Αφού πργωγίσιµη στο R, πργωγίζουµε την δοσµένη σχέση κι έχουµε: ' β ' γ ' 4 6, R ηλδή: Όµως: ' [ β γ] 4 6, R β γ > γι κάθε R φού: > κι 4β - γ 4β - γ < κι > γι κάθε R φού: 6-6 < κι > Οπότε πό την σχέση πίρνουµε: ' > γι κάθε R Εποµένως δεν υπάρχουν κρόττ

13 β Επειδή είνι ' > γι κάθε R, προκύπτει ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο R γ Είνι: β γ 6, R Θεωρούµε τη συνάρτηση: g 6, [,] Η g είνι συνεχής στο [,] κι g - < g 4 > Άρ, πό ΘBolano, υπάρχει έν τουλάχιστον,: g Γι η δοσµένη σχέση γράφετι: οπότε πό την σχέση είνι: β γ g [ β γ] Όµως: β γ > Γιτί: β 4γ β γ γ < Αυτό συµβίνει γιτί: β < γ οπότε γ >, άρ -γ < Άρ: β - γ - γ < Εποµένως, πό την σχέση προκύπτει ότι υπάρχει έν τουλάχιστον,: κι επειδή η είνι γνησίως ύξουσ στο,, προκύπτει ότι η λύση είνι µονδική στο, Ζήτηµ 4ο Απάντηση: Θέτουµε u κι διφορίζουµε ως προς Έτσι έχουµε d du ή d du Ακόµ γι έχουµε u κι έχουµε u Άρ: d d u u du

14 Επειδή η είνι συνεχής στο R, προκύπτει ότι η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη στο R Άρ: ' - u u du β Η συνάρτηση g είνι πργωγίσιµη στο R µε: a g γι κάθε R Εποµένως η g στθερή γ ' τρόπος Επειδή η συνάρτηση g είνι στθερή δηλδή g c γι κάθε R, θ είνι γι : g c Ακόµ: οπότε: g c Από την ii γι έχουµε Εποµένως: c Άρ: g κι λόγω της: g προκύπτει: γ β' τρόπος Από - κι επειδή γι κάθε R είνι: Άρ: Όµως: ή c, c R u udu

15 Έτσι: Οπότε: Άρ: c c δ Εποµένως: Έχουµε: οπότε: ηµ ηµ ηµ, R ηµ ηµ, ηµ R Όµως: οπότε: ή ηµ lim lim lim, R Σύµφων λοιπόν µε το κριτήριο πρεµβολής προκύπτει ότι: lim ηµ

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Θεωρί πόδειξη σελ 5 σχολ βιβλίου Β Θεωρί σελίδες 4-5 σχολ βιβλίου Β Λ β Λ γ Σ δ Σ ε Σ ΘΕΜΑ ο 8 8 i i 8 i i 8 i i i 4 i 6 i i 9 - i - 6 i i i - β ρ, Arg θ Γι ν έχουµε: i i 6 i - 6 i i Επειδή ο µιγδικός έχει µέτρο ρ κι πρωτεύον όρισµ θ, θ έχει την κόλουθη τριγωνοµετρική µορφή: συνθ i ηµθ ρ συνθ iηµθ Η τριγωνοµετρική µορφή του µιγδικού ριθµού i είνι: π π συν i ηµ Εποµένως ο µιγδικός ριθµός i γράφετι: π π συν i ηµ ηµθ π π ρ συν θ i ηµ θ π π ρ συν θ i ηµ θ [ ρ συνθ i ] γ Σύµφων µε το προηγούµενο ερώτηµ κι γι ρ, θ π έχουµε: συν π iηµ π, iέτσι ν Α η εικόν του στο µιγδικό επίπεδο, η εικόν Β του i προκύπτει πό στροφή της δινυσµτικής κτίνς Α του κτά π

17 Επειδή το τρίγωνο ΑΟΒ είνι ορθογώνιο στο Ο µε µήκη κάθετων πλευρών, θ έχει εµβδόν τετργωνικές µονάδες ΘΕΜΑ ο Επειδή η είνι συνάρτηση έχουµε ότι γι κάθε g g ή o g o g, R µε g g έπετι Επειδή όµως η o g είνι - στο R προκύπτει πό την ότι Έτσι δείξµε ότι:, R µε g g προκύπτει Άρ η g είνι - β Έχουµε: Επειδή η g είνι - στο R, προκύπτει ότι: g g Θεωρούµε την συνάρτηση: h -, R H h είνι πργωγίσιµη ως πολυωνυµική µε: h' H µονοτονί της h φίνετι στον πρκάτω πίνκ: ή ή

18 Η h στο διάστηµ [-, -] ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ Bolano, φού: Η h συνεχής στο [-, -] ως πολυωνυµική κι h- h- - - < Άρ υπάρχει έν τουλάχιστον, τέτοιο ώστε h Eπειδή η h στο -, -] είνι γνησίως ύξουσ η πρπάνω ρίζ είνι µονδική στο -, -] Έχουµε h κι h - Επειδή η h είνι συνεχής στο [, ] κι h h - - < προκύπτει ότι στο διάστηµ, η h έχει µι τουλάχιστον ρίζ Επειδή κόµ η h είνι γνησίως φθίνουσ στο [-, ], προκύπτει ότι η ρίζ υτή είνι µονδική στο [-, ] Έχουµε h - κι h Επειδή η h είνι συνεχής στο [, ] κι h h - - < προκύπτει ότι στο διάστηµ, η h έχει µι τουλάχιστον ρίζ Επειδή κόµ η h είνι γνησίως φθίνουσ στο [,, προκύπτει ότι η ρίζ υτή είνι µονδική στο [, Επειδή: -, - είνι <, είνι >, είνι > Έτσι η h έχει κριβώς δύο θετικές κι µί ρνητική ρίζ στο R

19 ΘΕΜΑ 4ο Θεωρούµε τη συνάρτηση φ h - g [, β] Η φ είνι συνεχής στο [, β] ως διφορά συνεχών συνρτήσεων Επειδή είνι h > g γι κάθε [,β] προκύπτει ότι Φ > γι κάθε [,β] Σύµφων τώρ µε το θεώρηµ σελίδ σχολ βιβλίου έχουµε: β d > a β φ ή - g β h d g d > β a β h d > ή d gd > a Άρ a βi Αφού η είνι πργωγίσιµη στο R έχουµε: ' Άρ ή - ή [ - ] ή, φού - γι κάθε R ' µε R βii Επειδή είνι η ζητούµενη νίσωση < < γι > γράφετι: < - < ή < < ' Η στο [,] ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ άρ υπάρχει έν τουλάχιστον ξ,: ' ξ Τότε όµως ρκεί ν δειχθεί < ξ < ή < ξ < ή a β a

20 < ξ <, µε < ξ < Έτσι ρκεί ν δειχθεί ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο [, ] Υπολογίζοντς την έχουµε: [ ] R γι κάθε ' ' ' > Άρ γνησίως ύξουσ στο R άρ κι στο [,] βiii Από βii είνι > > κι επειδή η είνι συνεχής ως πργωγίσιµη στο R άρ κι στο [,], θ είνι d E Οι συνρτήσεις,, είνι συνεχείς στο R, οπότε µε βάση το ερώτηµ πό < < είνι: [ ] < < < < d E 4 d d d 4 E E < < Έτσι 4 < E κι Ε < E < Οπότε τελικά 4 < E <

21 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o Θεωρί: Θεώρηµ σελ 7 σχολικού βιβλίου β Θεωρί: Η πάντηση βρίσκετι στη σελ 47 του σχολικού βιβλίου γ -Σ β-σ γ-σ δ-λ ε-λ ΘΕΜΑ o Είνι: w i 4 βi i βi 4 βi i β 4 β 4 β i Έτσι Rw - β 4 κι Imw β - 4 β Οι εικόνες του w στο µιγδικό επίπεδο είνι τ σηµεί Μ-β4, β-, όπου, β R Αφού νήκουν σε ευθεί µε εξίσωση y - είνι: β - - β 4-4β β - - β - Από την τελευτί συνάγετι ότι τ σηµεί Ν,β που είνι οι εικόνες του στο µιγδικό επίπεδο νήκουν στην ευθεί µε εξίσωση y - γ Από τις εικόνες των µιγδικών ριθµών, των οποίων οι εικόνες κινούντι στην ευθεί ε: y -, ελάχιστο µέτρο έχει εκείνος του οποίου η εικόν Κ είνι τέτοι ώστε ΟΚ κάθετη στην ε Έτσι: λ ΟΚ - κι ΟΚ: y - Λύνοντς το σύστηµ: y -, y - προκύπτει, y - ηλδή το σηµείο Κ έχει συντετγµένες,- Άρ ο µιγδικός µε το ελάχιστο µέτρο πό υτούς που κινούντι στην ευθεί µε εξίσωση y - είνι ο - i

22 ΘΕΜΑ ο Η συνάρτηση 5 είνι ορισµένη κι πργωγίσιµη φορές σε όλο το R µε: κι Επειδή είνι 5 4 > γι κάθε R, προκύπτει ότι η είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το R 6 εφόσον > γι κάθε R Εποµένως η είνι: κοίλη στο διάστηµ -, ] κι κυρτή στο διάστηµ [, Επειδή η συνάρτηση είνι γνησίως µονότονη στο R θ είνι - σε υτό κι συνεπώς η είνι ντιστρέψιµη στο R β Η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ στο R ερώτηµ Προκειµένου ν δείξουµε ότι γι κάθε R, ρκεί ν δείξουµε ότι: γι κάθε R Πράγµτι, θεωρούµε τη συνάρτηση g -- στο R, η οποί είνι πργωγίσιµη σ υτό µε g - Από την εξίσωση g έχουµε - Έχουµε: ελάχ g Εποµένως g g γι κάθε R ή -- γι κάθε R κι άρ: γι κάθε R γ Η εφπτοµένη της C στο σηµείο, έχει εξίσωση y- - ή y- - ή y που είνι η διχοτόµος της πρώτης κι τρίτης γωνίς των ξόνων Επειδή τώρ η είνι ντιστρέψιµη ερώτηµ προκύπτει ότι υπάρχει η - ή οποί λόγω πρότσης σελ 55 σχολ βιβλ έχει C - συµµετρική την C ως προς άξον συµµετρίς την ευθεί y δ Γι κάθε [,] είνι: κι επειδή η - είνι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ υτό *, θ είνι φού - ** Έτσι το εµβδόν του ζητουµένου χωρίου ισούτι µε: Θέτουµε - y y ιφορίζοντς την λµβάνουµε: dyd[] d κι E ydy

23 y 5 5 ***, άρ E 'd ' d 5 d 5 d d d τ µ Αιτιολογήσεις γι το ερώτηµ δ του ου θέµτος: * H - είνι συνεχής κι γνησίως µονότονη στο R, σύµφων µε την πρότση που λέει ότι ν η είνι συνεχής κι γνησίως µονότονη σε διάστηµ τότε υπάρχει η ντίστροφή της η οποί είνι επίσης συνεχής στο κι διτηρεί το ίδιο είδος µονοτονίς µε την Η πρότση υτή, όµως, δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο κι νφέρετι γι λόγους µθηµτικής πληρότητς Έτσι, η µη νφορά σε υτήν πό κάποιο µθητή δεν έχει βθµολογικές πώλειες ** Ισχύει ότι: - Πράγµτι γι έχουµε: - y - y y y 5 y y yy 4 y y *** Η εξίσωση 5 έχει µονδική λύση την γιτί η είνι - στο R κι εποµένως κάθε οριζόντι ευθεί, οπότε κι η y, τέµνει την C σε µονδικό σηµείο Η εξίσωση 5 έχει µονδική λύση την, γιτί 4, φού 4 > γι κάθε R ΘΕΜΑ 4ο Αφού η είνι συνεχής στο κλειστό διάστηµ µε άκρ γ, δ κι γ δ <, εφρµόζετι το θεώρηµ Bolano πό το οποίο συνάγετι ότι υπάρχει µί τουλάχιστον ρίζ που νήκει στο νοιχτό διάστηµ µε άκρ γ, δ ώστε β Χωρίς βλάβη της γενικότητς υποθέτουµε ότι γ < δ κι γ >, δ <, οπότε < γ < < δ <β i Στο διάστηµ [, γ] είνι:, γ >, άρ < γ κι επειδή είνι < γ συνάγετι ότι: γ > γ Όµως πό το θεώρηµ µέσης τιµής ΘΜΤ γι την στο διάστηµ [,γ], υπάρχει κ,γ γ ώστε κ κι λόγω της κ > γ ii Εργζόµενοι οµοίως, στο διάστηµ [γ, ] έχουµε: γ >, άρ γ > κι επειδή είνι γ < συνάγετι: γ γ <

24 Από το ΘΜΤ γι την στο διάστηµ [γ, ] έχουµε ότι υπάρχει κ γ, ώστε κι λόγω της είνι κ < κ γ γ iii Γι το διάστηµ [, δ] όµοι έχουµε ότι υπάρχει κ,δ ώστε δ κ < δ iv Γι το διάστηµ [δ,β] όµοι έχουµε ότι υπάρχει κ 4 δ,β ώστε β δ κ 4 > β δ v Είνι κ >, κ < άρ κ > κ κι επειδή κ < κ, είνι: κ κ κ κ < Όµως γι την εφρµόζετι το ΘΜΤ στο διάστηµ [κ,κ ], οπότε υπάρχει ξ κ,κ ώστε κ κ ξ κ κ < vi Είνι κ <, κ 4 >, άρ κ < κ 4 κι επειδή κ < κ 4 είνι κ κ 4 > κ κ 4 Όµως γι την εφρµόζετι το ΘΜΤ στο διάστηµ [κ,κ 4 ], οπότε υπάρχει ξ κ,κ 4 ώστε κ κ4 ξ > κ κ 4 είξµε έτσι ότι υπάρχουν ξ, ξ,β ώστε ξ < κι ξ > γ Από το β ερώτηµ µε βάση το θεώρηµ Bolano γι την στο κλειστό διάστηµ µε άκρ ξ, ξ προκύπτει ότι υπάρχει έν τουλάχιστον σηµείο ξ που νήκει στο νοικτό διάστηµ µε άκρ ξ, ξ ώστε ξ Το σηµείο ξ θ ήτν σηµείο κµπής της συνάρτησης εφόσον η άλλζε πρόσηµο εκτέρωθεν υτού Όµως κάτι τέτοιο δεν εξσφλίζετι πό τ δεδοµέν του θέµτος β τρόπος λύσης γι το θέµ 4β: Από το θεώρηµ µέγιστης-ελάχιστης τιµής γι την που είνι συνεχής στο [,β] εξσφλίζετι ότι υπάρχουν δύο σηµεί, [,β] µε < ώστε γι κάθε [,β] Εφόσον η πίρνει µί τουλάχιστον ρνητική τιµή κι µί τουλάχιστον θετική πράγµ που συνεπάγετι πό την δοσµένη σχέση γ δ <, η ελάχιστη τιµή θ είνι ρνητική, ενώ η µέγιστη τιµή θ είνι θετική Η είνι πργωγίσιµη στο,β άρ κι στ εσωτερικά σηµεί,, που επειδή είνι θέσεις κρόττων πό το θ Frma συνάγετι ότι Στο διάστηµ [, ] η δεν µπορεί ν είνι η στθερή µηδενική διότι τότε η θ ήτν στθερή κι άρ ή ma min άτοπο διότι υπάρχουν τ δοσµέν γ,δ γι τ οποί ισχύει πό υπόθεση γ δ < Συνεπώς υπάρχει σηµείο, ώστε > ή < Έστω πχ > Τότε

25 πό ΘΜΤ γι την στο [, ], υπάρχει ξ, ώστε: ξ > πό ΘΜΤ γι την στο [, ], υπάρχει ξ, ώστε: ξ < Αν υποθέτµε < θ προέκυπτε ξ <, ξ >

26 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Θεώρηµ Frma σελ 6 σχολ βιβλίου Β Ορισµός σελ σχολ βιβλίου Γ β γ δ ε Σ * Λ Λ Σ * Η πάντηση στο ερώτηµ Γ β µπορεί ν χρκτηρισθεί Σωστό µόνο εφ όσον η συνάρτηση είνι ορισµένη σε σύνολο της µορφής a,, Όπως είνι διτυπωµένη, σωστό είνι µόνο το ΘΕΜΑο β ντίστροφο ηλδή ν lim lim l lim l, φού γι την περίπτωση του ευθέως µπορεί ν θεωρηθούν ως σύνολ ορισµού της κι τ µεµονωµέν σύνολ a, ή, β Εποµένως πό υστηρή µθηµτική άποψη, η πάντηση είνι Λάθος Πρέπει > Άρ A, H είνι πργωγίσιµη στο διάστηµ, συνρτήσεων σ υτό µε ln ' ln ' ' ln ' ln ln ln Έχουµε: ' ln Οπότε:, A ή πορρίπτετι φού ln ln ως γινόµενο πργωγίσιµων Εποµένως η συνάρτηση είνι:

27 Γνησίως φθίνουσ στο, ], φού είνι συνεχής στο, ] κι ισχύει ότι < στο, Γνησίως ύξουσ στο [,, φού είνι συνεχής στο [, κι ισχύει ότι > στο, Άρ προυσιάζει ολικό ελάχιστο γι το ln β Η είνι κι η φορά πργωγίσιµη στο, ως γινόµενο δις πργωγίσιµων συνρτήσεων σε υτό µέ '' ln ' ln ln Έχουµε: '' ln ln ln Εποµένως η συνάρτηση είνι: κοίλη στο, ] κυρτή στο [, Άρ προυσιάζει σηµείο κµπής το Μ, γ Είνι: ln lim o 4 lim lim lim o o o 4 D L' Hospial lim ln lim o o

28 lim lim ln Επειδή η είνι γνησίως φθίνουσ κι συνεχής στο διάστηµ, ], είνι, ] [, Επειδή η είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής στο διάστηµ [, είνι [, [, Άρ το σύνολο τιµών της είνι, [, [, [, Έτσι, το τοπικό κρόττο πο το ερώτηµ, µπορεί ν χρκτηριστει κι ως ολικό ελάχιστο ΘΕΜΑ ο Αφού πργωγίσιµη στο R, τότε κι η g είνι πργωγίσιµη στο R ως γινόµενο πργωγίσιµων συνρτήσεων σε υτό Άρ η g είνι κι συνεχής στο R Έτσι η g είνι συνεχής στο, R κι πργωγίσιµη στο, R µε g' ' Επίσης είνι g g άρ g g Οπότε πό θεώρηµ Roll υπάρχει έν τουλάχιστον Όµως ξ άρ προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον έν β Αφού - είνι ξ -ξ Ι gd d d [ ] ' d [ ] 4 d [ ] ξ, ώστε ξ, ώστε 4 d [ ] [ 4 ] 4 ' d

29 [ ] [ 4 ] 4d [ ] [ 4 ] 4[ ] Άρ Ι 7-7 7, R 7 7 γ Είνι γι <, Ι 7 a a a 7 7 κι lim Άρ lim Ι 7 7 Έχουµε lim lim lim lim ΘΕΜΑ4ο Η συνάρτηση g γράφετι: g d Επειδή η είνι συνεχής στο R, η συνάρτηση φ d είνι πργωγίσιµη σ υτό Ακόµ, η συνάρτηση h είνι πργωγίσιµη στο R ως πολυωνυµική F d φ h είνι πργωγίσιµη στο R ως Έτσι η συνάρτηση σύνθεση των πργωγίσιµων συνρτήσεων h κι φ στο R, µε F' Ακόµ η συνάρτηση l είνι πργωγίσιµη στο R µε l' Εποµένως η συνάρτηση g είνι πργωγίσιµη στο R ως διφορά πργωγίσιµων συνρτήσεων µε g'

30 β Αφού g γι κάθε R κι g, η δοσµένη νισότητ γράφετι: g g γι κάθε R Έτσι όµως η g στο προυσιάζει ελάχιστο κι επειδή είνι πργωγίσιµη σε υτό συνεπάγετι πο θ Frma ότι g Όµως g κι επειδή βρίσκουµε ότι g Αφού g, έπετι γ Επειδή είνι, προκύπτει ότι _ R R δ Είνι a β i β β i ερωτήµτος γ έχουµε: a β Επειδή >β προκύπτει ότι οπότε R ή β β β <, οπότε β < < a β κι λόγω του Έτσι γι την συνάρτηση η οποί είνι συνεχής στο R άρ κι στο [,] είνι: > κι β<, οπότε < Συνεπώς, εφρµόζοντς το θεώρηµ Bolano γι την στο διάστηµ [,], συµπερίνουµε ότι υπάρχει a, τέτοιο ώστε β

31 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΘΕΜΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεώρηµ ενδιάµεσων τιµών Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι ορισµένη σε έν κλειστό διάστηµ [, β] Αν: η είνι συνεχής στο [, β] κι β τότε, γι κάθε ριθµό η µετξύ των κι β υπάρχει ένς, τουλάχιστον, β τέτοιος ώστε η Α Η ευθεί y λ β λέγετι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, ν lim [ λ β ] Β Λ, β Λ γ Σ δ Σ ε Λ στ Σ ΘΕΜΑ Από τη σχέση έχουµε: β Αρκεί * ν δειχθεί ότι: Όµως,, φού Άρ * Ισχύει ότι IR γιτί ν βi τότε βi άρ βi

32 Έτσι IR β γ ' τρόπος Είνι: β' τρόπος Είνι: Η τελευτί ισχύει προφνώς, άρ κι η ρχική ΘΕΜΑ H είνι πργωγίσιµη στο ως σύνθεση πργωγισίµων συνρτήσεων σ' υτό, µε λ λ λ λ λ, Είνι λ >, λ > γι κάθε, οπότε > γι κάθε Άρ γνησίως ύξουσ στο β Έστω, οι συντετγµένες του σηµείου Μ Τότε η εξίσωση της εφπτοµένης στο Μ είνι ε: λ y y λ λ Γι ν διέρχετι η ε πό την ρχή των ξόνων πρέπει κι ρκεί:

33 γ λ λ λ λ λ Έτσι η ε γίνετι: y λ y λ λ Οι συντετγµένες του Μ είνι: M, λ y ε B, M, λ ' O A, λ Το ζητούµενο εµβδόν όπως φίνετι πό το σχήµ ισούτι µε: OAMB OAM λ λ d y' λ λ λ λ λ λ λ λ λ δ Είνι Γι κάθε λ > είνι: ηµλ ηµλ ηµλ < λ λ λ Όµως lim lim, οπότε µε βάση το κριτήριο πρεµβολής είνι λ λ λ λ ηµλ ηµλ lim, ενώ > λ λ λ Έτσι lim κι φού > προκύπτει τελικά ότι λ ηµλ λ λ Eλ lim λ ηµλ λ Πρτήρηση: Γι την εύρεση του εµβδού του χωρίου Ε λ είνι δυντόν ν µη χρησιµοποιηθεί το σχήµ ως εξής: Γι την λ είνι λ λ κι λ λ > γι κάθε

34 Έτσι η είνι κυρτή στο οπότε η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της σε κάθε σηµείο της, βρίσκετι κάτω πό τη γρφική πράστση µε εξίρεση το σηµείο επφής Σχόλιο σελ 74 σχολικού βιβλίου Έτσι λ λ γι κάθε Η συνάρτηση g λ είνι συνεχής ως διφορά συνεχών συνρτήσεων στο, λ οπότε το ζητούµενο εµβδόν ισούτι µε: λ λ λ λ λ λ Ελ λd λd λ K λ ΘΕΜΑ 4 Από τη δοσµένη σχέση ή ή ή ή C, C γι κάθε έχουµε: Γι έχουµε: C η οποί λόγω του ότι γράφετι: C C C Οπότε: Άρ: ln β Θέτουµε u ιφορίζουµε την τελευτί κι βρίσκουµε du d Επιπλέον γι είνι u, ενώ γι είνι u Έτσι: d u du Εποµένως: u du

35 d u du lim lim ηµ ηµ Η είνι συνεχής στο, οπότε η u du u du είνι πργωγίσιµη στο µε Επειδή η u du είνι πργωγίσιµη στο θ είνι κι συνεχής σ' υτό u du u du Εποµένως: lim lim lim ηµ ηµ συν συν Η είνι πργωγίσιµη στο, άρ είνι κι συνεχής σ' υτό γ Είνι h 5 d 5 d 5 d 5 d Αν θεωρήσουµε τη συνάρτηση φ 5 η h γράφετι: h φd φd 5 d Η φ 5 είνι συνεχής στο, άρ η συνάρτηση κ φd είνι πργωγίσιµη στο µε κ φ 5, όπως επίσης είνι πργωγίσιµη κι η συνάρτηση κ φd ως σύνθεση των πργωγισίµων, κ, µε κ φ φ Εποµένως h κ κ φ φ ln ln ln ln ln ln ln Ακόµ η 7 6 g είνι πργωγίσιµη στο µε g Επειδή h g γι κάθε είνι h g c, c Όµως γι είνι h g, άρ c Εποµένως h g γι κάθε 6 6

36 5 δ Η εξίσωση d λόγω του ερωτήµτος γ γράφετι ισοδύνµ Θεωρούµε τη συνάρτηση P 8 7 7, [, ] Η P είνι συνεχής στο, άρ κι στο [, ] ως πολυωνυµική P 7 < κ' P > Εποµένως, σύµφων µε το θεώρηµ Bolano υπάρχει έν τουλάχιστον, τέτοιο ώστε P Επιπλέον η P είνι πργωγίσιµη στο ως πολυωνυµική, άρ κι στο [, ] µε P Είνι P > γι κάθε, οπότε η P είνι γνησίως ύξουσ στο, Άρ η P έχει κριβώς µί ρίζ στο,

37 ΘΕΜΑ ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 6 Α Θεωρί Σχολ βιβλίο σελ 5 Α Ορισµός Σχολ βιβλίο σελ 7 Β Λ β Σ γ Σ δ Λ ε Σ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο, Η είνι πργωγίσιµη στο [, µε ' > γι κάθε, Άρ γνησίως ύξουσ στο [, κι εποµένως είνι κι - β Αφού η είνι - υπάρχει η - ντίστροφη συνάρτηση της µε - : A R Αφού η είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής στο Α [, έπετι ότι A, lim, [ [ Τώρ ν y y - y - - Επειδή -, y -, έχουµε y, [,, y [, ή y, [,, y [, ή y y, y [, Τελικά, [,

38 γ i Έχουµε y y y y y y y y ή y y y y y y y y y ή y y Τ κοινά σηµεί των γρφικών πρστάσεων κι - µε την y είνι τ Α,, Β, ii Οι συνρτήσεις κι - είνι συνεχείς άρ κι η διφορά τους είνι συνεχής ] [ ] [ Πρ οκύπτει ή ή ηλδή τ κοινά τους σηµεί είνι τ Α,, Β, Επειδή - Επίσης είνι γι [,] Άρ - - γι [,] Οπότε το εµβδόν του ζητούµενου χωρίου είνι τµ d d E

39 ΘΕΜΑ ο i Από τη σχέση έχουµε ισοδύνµ Θ δείξουµε ότι Πράγµτι η λόγω της γράφετι ισοδύνµ: 4 4 Η τελευτί σχέση είνι ληθής λόγω της υπόθεσης, άρ κι η Με νάλογο τρόπο δείχνουµε ότι Από τις κι προκύπτει ότι Άρ ii Είνι: Άρ Οπότε 4 Τότε: R R β Επειδή προκύπτει ότι οι εικόνες των µιγδικών Γ, B, A βρίσκοντι σε κύκλο µε κέντρο Ο, κι κτίν

40 ρ Άρ ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είνι ο πρπάνω κύκλος Λόγω τώρ της σχέσης προκύπτει ότι οι κορυφές A, B, Γ ποτελούν κορυφές ισόπλευρου τριγώνου εγγεγρµµένου στον πρπάνω γεωµετρικό τόπο ΘΕΜΑ 4ο Πρέπει > κι Άρ A,, Η είνι πργωγίσιµη στο Α ως διφορά πργωγίσιµων συνρτήσεων, µε ' < γι κάθε A Άρ η είνι γνησίως φθίνουσ σε κάθε έν πό τ διστήµτ, κι, Επειδή τώρ lim, lim κι η συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο, είνι, R Επίσης επειδή lim, lim κι η συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο,, είνι, R Έτσι συνολικά το σύνολο τιµών της είνι,, R β Επειδή, R έπετι O, δηλδή υπάρχει, ωστε Η ρίζ υτή είνι µονδική στο,, φού η είνι γνησίως φθίνουσ κι άρ - Οµοίως επειδή, R έπετι O δηλδή υπάρχει, ώστε Η ρίζ υτή είνι επίσης µονδική στο,, φού η είνι γνησίως φθίνουσ κι άρ - Έτσι η έχει κριβώς ρίζες γ Η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφικής πράστσης της g ln στο σηµείο A,ln, > είνι: y ln a ε Η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφικής πράστσης της β B β,, β R είνι: y Οι ε, ε τυτίζοντι ν κι µόνο ν β β β β ln κι ln β Τότε η γράφετι: β β β β ε στο σηµείο

41 ln ln ln ln ln ln ln δ Από το 4γ προκύπτει ότι οι γρφικές πρστάσεις των g, h έχουν κοινή εφπτόµενη στ σηµεί τους Α, ln κι Ββ, β ντίστοιχ ν κι µόνον ν: β ln Επειδή η έχει δύο δικεκριµένες ρίζες, κι, προκύπτουν δύο εφπτόµενες οι ε : y ln ε : y ln Οι εφπτόµενες υτές είνι κριβώς δύο δικεκριµένες φού έχουν δύο δικεκριµένους συντελεστές διεύθυνσης, ντίστοιχ,,,

42 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Θεωρί, σελίδ 98 σχολ βιβλίου Α Θεωρί - Ορισµός, σελίδ 4 σχολ βιβλίου Α Θεωρί - Ορισµός, σελίδ 8 σχολ βιβλίου Β Λ β Λ γ Λ δ Σ ε Σ ΘΕΜΑ ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 i i i 4, Άρ i i i 4 Άρ η εικόν του µιγδικού νήκει στον κύκλο µε κέντρο Ο, κι κτίν ρ β Γι έχουµε: i i i i i Γι έχουµε: i i i i Αν Α, Β οι εικόνες των, ντίστοιχ, τότε η πόστσή τους είνι d A, B i i i i ν ν ν ν ii Είνι: ΘΕΜΑ ο -i - - H είνι πργωγίσιµη στο ως πολυωνυµική, µε Οπότε ή ν Από τον πίνκ µετβολών της προκύπτει ότι η έχει τοπικό µέγιστο στο, το συν θ > κι έχει τοπικό ελάχιστο στο, το ηµ θ

43 Επίσης είνι: 6 Οπότε Προκύπτει ότι η έχει σηµείο κµπής στο, το ηµ θ β i Επειδή, συν θ κι γνησίως ύξουσ κι lim > συνεχής στο, ], προκύπτει:, ], συν θ] Επειδή, ], υπάρχει ρ, ώστε ρ Η ρίζ ρ είνι κι µονδική στο, ], φού η είνι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ υτό ii Επειδή συν θ >, ηµ θ < κι γνησίως φθίνουσ κι συνεχής στο [, ] προκύπτει: [, ] [ ηµ θ, συν θ] Επειδή [, ], υπάρχει ρ, ώστε ρ Η ρίζ ρ είνι κι µονδική στο [, ], φού η είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ υτό iii Επειδή ηµ θ <, lim κι η είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής στο [, προκύπτει: [, [ ηµ θ, Επειδή [,, υπάρχει ρ, ώστε ρ Η ρίζ ρ είνι κι υτή µονδική στο [,, φού η είνι γνησίως ύξουσ Άρ η εξίσωση έχει κριβώς ρίζες στο γ Έχουµε Α, συν θ, Β, ηµ θ, Γ, ηµ θ Α ε φού: συν θ ηµ θ ηµ θ ηµ θ ηµ θ ηµ θ Β ε φού: ηµ θ ηµ θ ή ηµ θ ηµ θ

44 Γ ε φού: ηµ θ ηµ θ ή ηµ θ ηµ θ δ Βρίσκουµε τ κοινά σηµεί των C, ε: y ηµ θ ηµ θ ή ή Εποµένως το ζητούµενο εµβδόν Ε του χωρίου είνι: * E y d d - - -d -d τµ - * > γι, < γι, ΘΕΜΑ 4ο Αφού, g συνεχείς στο [, ] η F είνι πργωγίσιµη στο [, ] µε F g Όµως g > στο [, ] πό υπόθεση, ενώ φού γνησίως ύξουσ στο [, ] έχουµε: >, άρ > στο [, ] Συνεπώς g > στο [, ] κι εποµένως F > στο [, ] Οπότε F γνησίως ύξουσ στο [, ] Έτσι γι, ] είνι > F > F F> gd F > β Είνι: µε, ] Αφού γνησίως ύξουσ στο [, ] έχουµε οπότε γι κάθε, ] Ακόµη g > στο, ] άρ κι g [ ] γι κάθε, ] κι γι κάθε [, ] Η ισότητ ισχύει µόνο ότν Ακόµη η g [ ] συνεχής στο [, ] µε, ] Άρ g[-]d > µε, ] Εποµένως γι κάθε, ] έχουµε: gd gd > gd > gd G> F γ Είνι γι κάθε, ] κι γι κάθε [, ]: g > Επίσης g συνεχής στο [, ] άρ η G gd είνι πργωγίσιµη κι θετική γι κάθε, ]

45 F Έτσι µπορούµε ν θεωρήσουµε τη συνάρτηση H που ορίζετι G κι πργωγίζετι στο, ] µε F'G-FG' gg-fg H' G G g G F > στο, ] ιότι πό το ερώτηµ β είνι G G F> Άρ η συνάρτηση Η είνι γνησίως ύξουσ στο, ] κι εποµένως γι F F, ] έχουµε: Η H δηλδή G G δ Θεωρούµε τη συνάρτηση K g d gd ηµ d 5 γι κάθε, ] Αφού οι F, G πργωγίσιµες στο [, ] είνι κι συνεχείς σε υτό άρ: Συνεπώς: lim gd lim F F lim G G g d F lim G F' lim lim G' LH συνεχής στο [,] Η φ ηµ είνι συνεχής στο κι η είνι πργωγίσιµη στο άρ η ηµ d είνι πργωγίσιµη στο κι άρ είνι συνεχής στο 5 Άρ lim ηµ d ηµ d Ακόµη lim Συνεπώς ' ηµ d 4 4 ηµ d ηµ ηµ lim lim lim lim 5 LH ' gd ηµ d Εποµένως: lim K lim lim 5 gd

46 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 8 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Θεωρί Σελ 5 σχολ βιβλίου Α Θεωρί Σελ 9 σχολ βιβλίου Β Σωστό β Σωστό γ Λάθος δ Λάθος ε Σωστό ΘΕΜΑ ο Η ισότητ i 6, γράφετι ισοδύνµ: i Άρ ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγδικών ριθµών είνι ο κύκλος µε κέντρο την ρχή των ξόνων Ο, κτίν ρ κι εξίσωση c: y β Η δοσµένη σχέση γι τους µιγδικούς ριθµούς w περιγράφει τη µεσοκάθετο του τµήµτος Γ, όπου Γ, κι, Πιο νλυτικά ν w yi οι µιγδικοί ριθµοί που ικνοποιούν τη δοσµένη σχέση, έχουµε: w i w i yi i yi i y i y i y y y y 6 9 y 6y 9 4 4y 6 y 4 Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων Μw είνι τ σηµεί της ευθείς ε µε εξίσωση: y 4 γ Η ελάχιστη τιµή του w είνι η πόστση του σηµείου Ο πό την ευθεί ε: y 4, δηλδή: d O, ε

47 δ Σύµφων µε το πρκάτω σχήµ, όπου νπριστώντι γεωµετρικά οι γεωµετρικοί τόποι των εικόνων c, ε ντίστοιχ των µιγδικών ριθµών κι w βρίσκουµε ότι, η ελάχιστη τιµή του w είνι το µήκος του τµήµτος ΑΒ: AB OB OA ρ y c ε - A 4 - B -4 ΘΕΜΑ ο ln lim lim ln lim D l' Hospial ln lim lim lim Επίσης Συνεπώς συνεχής στο β Η είνι συνεχής στο, ως γινόµενο συνεχών κι συνεχής στο λόγω του Άρ η είνι συνεχής στο [, Γι > : ln ln ln ln ln

48 ln ln Έχουµε τον πρκάτω πίνκ µετβολών: - Στο, η είνι γνησίως φθίνουσ άρ:, lim,, Στο, η είνι γνησίως ύξουσ άρ:,, lim, Εποµένως: [,,,, γ a Επειδή >, γι κάθε, γι την εξίσωση a προκύπτει ο περιορισµός, Με τον περιορισµό υτό η εξίσωση γράφετι ισοδύνµ: a a ln ln ln ln a a, > Επειδή το σύνολο των τιµών της βρέθηκε, προκύπτουν οι περιπτώσεις: i Αν a, η είνι δύντη a

49 ii Αν a, η τιµή Έτσι η έχει την ρίζ είνι η ελάχιστη τιµή της την οποί πίρνει µόνον γι iii Αν a,, επειδή,, κι η είνι γνησίως φθίνουσ στο, προκύπτει ότι, η έχει κριβώς µί ρίζ στο, που είνι θετική Επίσης επειδή,, κι η είνι γνησίως ύξουσ στο, προκύπτει ότι η έχει κριβώς άλλη µί ρίζ στο, που είνι επίσης θετική iv Αν a η γίνετι ln πορρίπτετι ή ln Μί ρίζ θετική v Αν a, επειδή,,, ύξουσ στο είνι θετική κι η γνησίως,, προκύπτει ότι η έχει κριβώς µί ρίζ στο,, που δ Είνι > γι κάθε > Άρ γνησίως ύξουσ στο, Η ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο [, ], γι κάθε > Άρ υπάρχει ξ, : ξ ξ Όµως ξ γν ύξουσ < ξ < <

50 hu h u ΘΕΜΑ 4ο Το d είνι πργµτικός ριθµός Έτσι µπορούµε ν θέσουµε R k d Τότε 45 k κι άρ : [ ] d k d k k k k Από τις, προκύπτει ότι: k 46 k - 9 k Οπότε τελικά: β Έστω Έχουµε: h g h g h h g g h h ' ' lim ' ' lim u g u g u ' ' lim '' ' ' lim g u g u g u, φού ή g πό υπόθεση είνι δύο φορές πργωγίσιµη γ i Έχουµε: [ ] ' lim H DL lim ' h h g g h g h h g g h g h h h h g h g h h g h g h h ' ' lim ' ' lim h g h g g h g h ' ' ' ' lim [ ] ' ' ' ' ' ' ' ' lim g g h h g g h g h g h '' '' g g Οπότε g H g 6 γράφετι: c g g

51 4 Γι έχουµε: g c Οπότε g 5 4 Η g 5 τώρ γράφετι: g 5 Γι έχουµε: g c 5 Άρ g g c ii H g 5 ως πολυωνυµική, είνι πργωγίσιµη στο µε g 5 4 Όµως g 5 4 > γι κάθε, οπότε η g είνι γνησίως ύξουσ στο, άρ κι ' '

52 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΛ ΟΜΑ Α Β 9 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Θεωρί - Θεώρηµ σελίδ 5 σχολ βιβλίου Β Θεωρί - Ορισµός σελίδ σχολ βιβλίου Γ Σωστό β Σωστό γ Λάθος δ Λάθος ε Λάθος ΘΕΜΑ ο Α Έστω yi κι Μ, y η εικόν του Τότε yi λ λ i Άρ λ κι y λ Έτσι όµως y y ηλδή οι εικόνες των µιγδικών βρίσκοντι στην ευθεί ε : y β Ο µιγδικός µε το µικρότερο µέτρο έχει εικόν το σηµείο Μ γι το οποίο είνι ΟΜ ε y : ε y- O M - y Αφού ΟΜ ε λ λ ε λ λ OM OΜ OΜ Άρ η εξίσωση της ΟΜ είνι: y

53 Οι συντετγµένες του Μ σηµείου τοµής των ΟΜ, ε προκύπτουν πό τη λύση του συστήµτος των εξισώσεων y, y Εποµένως M : y y y y Άρ Μ, κι i Β Έστω w y i, µε, y R Η εξίσωση w w γράφετι y y i i y y i i y κι y κι y 4 ή κι y Άρ w 4 i ή w i ΘΕΜΑ ο Α Ισχύει ότι γι κάθε > ηλδή ln γι κάθε > Όµως, οπότε γι κάθε > Εποµένως η προυσιάζει στη θέση ολικό, άρ κι τοπικό ελάχιστο το Ακόµη η είνι πργωγίσιµη στο διάστηµ, ως διφορά πργωγίσιµων συνρτήσεων Άρ σύµφων µε το θεώρηµ Frma είνι Όµως a ln a, οπότε ln B Γι είνι ln Η είνι δύο φορές πργωγίσιµη στο διάστηµ, µε > γι κάθε, Άρ η είνι κυρτή κι β Αφού η είνι κυρτή στο, προκύπτει ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο,, µε προφνή ρίζ που είνι κι µονδική φού η είνι γνησίως ύξουσ Έτσι ν < < <, ενώ ν > > ηλδή η είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ, ] κι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ [, β γ γ Η δοσµένη εξίσωση ισοδύνµ γράφετι:

54 Θεωρούµε τη συνάρτηση g β γ, µε [, ] H g είνι συνεχής στο R ως πολυωνυµική άρ κι στο [, ] g β β β <, διότι ολικό ελάχιστο της κι β, g γ γ >, επίσης διότι ολικό ελάχιστο της κι γ *Πιο νλυτικά είνι β < διότι: Αν β, επειδή η είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ υτό ισχύει: < β < β > β < Αν β,, επειδή η είνι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ υτό ισχύει: < β > β Οµοίως προκύπτει γ > Άρ g g <, οπότε λόγω του θεωρήµτος Bolano υπάρχει, ώστε g β γ β Άρ η δοσµένη εξίσωση έχει µι τουλάχιστον ρίζ στο, *Πρτήρηση: Θέτοντς χάριν συντοµίς β κ > κι γ λ > θ µπορούσν ν δοθούν κι οι πρκάτω λύσεις: κ λ Η συνάρτηση h µε πεδίο ορισµού το, έχει όρι κι ντίστοιχ ότν κι ενώ ποδεικνύετι πολύ εύκολ ότι είνι κι γνησίως κ λ φθίνουσ στο,, διότι h < γι κάθε,, άρ έχει lim σύνολο τιµών το h, h, κι άρ το µηδέν περιέχετι στο σύνολο lim τιµών της δηλδή η h έχει τουλάχιστον µι ρίζ στο, Επίσης ενλλκτικά πό το ότι η h έχει όρι κι ντίστοιχ ότν κι, προκύπτει ότι υπάρχουν ριθµοί γ, δ ώστε < γ < δ < µε γ > κι δ < οπότε λόγω του θεωρήµτος Bolano στο διάστηµ γ, δ υπάρχει ρίζ της εξίσωσης h

55 β Αλγεβρική λύση: Θέτοντς, λ κ, προκύπτει λ κ κ λ κ λ κ λ λ κ λ κ Η τιµή υτή είνι ποδεκτή ως ρίζ της εξίσωσης φού < < λ κ λ κ λ κ λ κ λ κ λ κ κι είνι µάλιστ µονδική ρίζ ΘΕΜΑ 4 ο Η συνεχής στο [, ] άρ κι η είνι συνεχής στο [, ] Εποµένως η συνάρτηση H είνι πργωγίσιµη στο [, ], άρ είνι κι συνεχής Η συνάρτηση d είνι πργωγίσιµη στο [, ] φού η είνι συνεχής στο [, ] Άρ η G είνι συνεχής στο, ] ως διφορά συνεχών συνρτήσεων Εξετάζουµε τη συνέχει της συνάρτησης G στη θέση Είνι d lim H, διότι: ' ' d d DLH lim lim lim H lim είνι lim, φού η είνι συνεχής στο [, ], κι d d lim διότι η συνάρτηση είνι συνεχής, άρ η d πργωγίσιµη άρ κι συνεχής Επίσης 6lim 6lim G 6 6lim 6lim Οπότε lim G G

56 Άρ η συνάρτηση G είνι συνεχής κι στο Εποµένως η G είνι συνεχής στο [, ] β Στο διάστηµ, είνι: η συνάρτηση Η πργωγίσιµη φού η είνι συνεχής, µε Η η συνάρτηση πργωγίσιµη ως πολυωνυµική µε H Άρ κι η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη ως πηλίκο πργωγισίµων συνρτήσεων µε: H H H d d Επίσης στο ίδιο διάστηµ, φού η είνι συνεχής συνάρτηση θ είνι πργωγίσιµη κι η συνάρτηση d µε d Άρ η συνάρτηση G είνι πργωγίσιµη ως διφορά πργωγίσιµων συνρτήσεων µε: G d H, < < γ Η συνάρτηση G είνι συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιµη στο,, µε G πό το β ερώτηµ H Βρίσκουµε την τιµή της G στη θέση : G d Όµως d d d d d H d Έτσι λόγω της είνι d G d G Ισχύουν εποµένως γι τη συνάρτηση G οι προϋποθέσεις του θεωρήµτος Roll στο διάστηµ [, ], άρ υπάρχει έν τουλάχιστον, τέτοιο ώστε G H Όµως πό β ερώτηµ G Άρ είνι Η

57 δ Η συνάρτηση G είνι συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιµη στο, Άρ ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµτος µέσης τιµής Εποµένως υπάρχει έν τουλάχιστον ξ, : d a H H H a G a G G ξ ξ ξ ξ ξ d d ξ ξ d d *β τρόπος: Αρκεί ν δειχθεί ότι υπάρχει ρίζ στο,, µε, γι την εξίσωση: d d d d H H d a G d G Θεωρούµε τη συνάρτηση a G P d ρχική της d G, γι την οποί έχουµε : είνι συνεχής στο [, ως άθροισµ της συνεχούς G πό το ερώτηµ κι της πολυωνυµικής d β είνι πργωγίσιµη στο, ως άθροισµ της πργωγίσιµης G πό το β ερώτηµ κι της πολυωνυµικής, d µε d G P γ Ρ Ρ διότι Ρ G κι d d d a H H G P

58 Έτσι ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµτος Roll κι άρ υπάρχει ξ, ώστε P ξ P ξ G ξ d, δηλδή ποδείχθηκε ότι η εξίσωση έχει ρίζ ξ,

59 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 9 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρί, θεώρηµ, σελίδ 4 σχολικού βιβλίου Α Θεωρί, ορισµός, σελίδ 79 σχολικού βιβλίου Α Θεωρί, ορισµός, σελίδ 7 σχολικού βιβλίου Α4 β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ ΘΕΜΑ Β Β Είνι: i i Άρ i, i Β Είνι: i i 5 5 i i 5 5 i i 5 5 i i i i i i i i i i i i η λύση: Είνι: i [ i i ] i i i i i i i i Β Είνι w 4 i i i i Έστω w ψ i, τότε ψi 4 i 4 ψ i 4 ψ 4

60 Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του w είνι ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ 4, κι κτίν ρ Β4 Το w είνι η πόστση της εικόνς Μw πό την ρχή Ο,, δηλδή το µήκος ΟΜ Από τη Γεωµετρί όµως, γνωρίζουµε ότι ν η ευθεί ΟΚ τέµνει τον κύκλο στ σηµεί Α κι Β τότε ΟΑ ΟΜ ΟΒ που σηµίνει ότι η µέγιστη τιµή του w είνι το µήκος ΟΒ κι η ελάχιστη το µήκος ΟΑ Όµως ΟΑ ΟΚ ρ 5 κι ΟΒ ΟΚ ρ 5 7 O A K4,- B Mw Εποµένως, λόγω των, κι έχουµε w 7 η λύση: Γράφουµε : w w 4 i 4 i Οπότε σύµφων µε την τριγωνική νισότητ έχουµε: w 4 i 4 i w 4 i 4 i w 4 i 4 i ή 4 i w 4 i ή 5 w 5 Άρ w 7

61 ΘΕΜΑ Γ Γ Η είνι συνεχής κι πργωγίσιµη στο R, ως ποτέλεσµ πράξεων συνεχών κι πργωγίσιµων συνρτήσεων µε πράγωγο: Επειδή > κθώς κι R Άρ η είνι γνησίως ύξουσ στο R > γι κάθε R, είνι > γι κάθε Γ Η δοσµένη εξίσωση γράφετι ισοδύνµ: 4 ln ln 4 ln ln 4 ln ln 4 ln ln Επειδή η είνι γνησίως ύξουσ, θ είνι κι - Εποµένως πό την προκύπτει Άρ ή Γ Είνι Είνι ή, ενώ είνι >, κι <,, Έτσι η C έχει σηµεί κµπής στ σηµεί µε τετµηµένες, Η εφπτόµενη της C στο έχει εξίσωση ε : y y ln y ln Γι προκύπτει y ln

62 Η εφπτόµενη της C στο έχει εξίσωση ε : y y ln y ln Γι προκύπτει y ln Οι ε κι ε τέµνοντι στο σηµείο Μ, ln του άξον y y Γ4 d ln d d ln d d [ ln ] ln d d ln d 4 ΘΕΜΑ Η συνάρτηση ϕ είνι ορισµένη σε όλο το R φού γι κάθε R κι β συνεχής σε όλο το R, ως πηλίκο συνεχών Έτσι η συνάρτηση ϕ d είνι πργωγίσιµη στο R, µε ' ϕ, R Η g είνι συνεχής κι πργωγίσιµη στο R, ως ποτέλεσµ πράξεων συνεχών κι πργωγίσιµων συνρτήσεων µε πράγωγο: g Άρ η g είνι συνεχής στο R, R Είνι: d Λόγω του είνι g c, c R, γι κάθε R, άρ κάθε R Γι προκύπτει c 9 c, γι

63 Έτσι Αν θέσουµε h, έχουµε ότι η συνάρτηση h είνι συνεχής στο R κι h γι κάθε R, φού, R Άρ η h διτηρεί στθερό πρόσηµο στο R, δηλδή είνι ή h > γι κάθε R ή h < γι κάθε R Όµως h > άρ h >, R κι >, R Από την προκύπτει ότι 9 9 9, R 4 Έστω F d, R Είνι F d d, R c, c R κι F, R c Όµως 9 >, R ηλδή > γι κάθε R, άρ η είνι γνησίως ύξουσ στο R Προκύπτει έτσι: < < >, R Λόγω των, η F είνι γνησίως ύξουσ στο R Εποµένως: < F < F d< d η λύση: Η F d είνι µι ρχική της στο R κι η προς πόδειξη νισότητ a γράφετι F F F F F F < F F <

64 Από ΘΜΤ γι την F στ διστήµτ [, ] κι [, ] προκύπτει ότι υπάρχουν ντίστοιχ ξ, κι ξ, ώστε F F F ξ ξ F F κι F ξ ξ Έτσι ρκεί ν δειχθεί ξ < ξ µε ξ < ξ, ή ισοδύνµ ότι η είνι γνησίως ύξουσ Πράγµτι: >, γι κάθε R, δηλδή > γι κάθε R κι η γνησίως ύξουσ στο R

65 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρί θεώρ Frma σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρί ορισµός σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ ΘΕΜΑ Β B Έχουµε πό υπόθεση ότι: i i Όµως i i i Οπότε πό τις κι προκύπτει ότι: i i i i Αν yi η γράφετι: y i y Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των είνι κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ, κι κτίν ρ Β Από το ερώτηµ Β έχουµε: i Οπότε i i i i i i i Β Σύµφων µε την προηγούµενη ισότητ ο w γράφετι w i R i i i R Όµως πό τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των έχουµε ότι: Κι επειδή R προκύπτει ότι: R Οπότε: R Άρ w B4 Είνι: w i i i i i i

66 ΘΕΜΑ Γ Γ Η δοσµένη σχέση γράφετι: c, c R Γι προκύπτει: c κι λόγω των δεδοµένων ρχικών συνθηκών είνι c Η τελευτί σχέση έτσι γράφετι: * ln ln c Γι προκύπτει c Έτσι ln * Αν θέσουµε h, R, είνι: h, R h h > > > > h < < < < h h Έτσι η h έχει ολικό ελάχιστο στη θέση την τιµή h Γ Είνι ηλδή h >, γι κάθε R ln Λόγω της πρτήρησης * του ερωτήµτος Γ οι ρίζες κι το πρόσηµο, συνεπώς ο πίνκς µετβολών της εξρτάτι µόνον πό τις ρίζες κι το πρόσηµο του ριθµητού h Συνεπώς

67 > > < < Άρ η είνι: γνησίως φθίνουσ στο,], γνησίως ύξουσ στο [, κι προυσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση την τιµή ln ln Γ Είνι: Θέτουµε ϕ, R Είνι: φ φ φ > < φ < > Φ Φ - Προκύπτει ότι η φ είνι γνησίως ύξουσ στο, ], γνησίως φθίνουσ στο [, κι έχει ολικό µέγιστο φ > Βρίσκουµε τώρ τ όρι της φ στ, : limϕ lim lim lim lim lim lim Έτσι ϕ lim

68 Λόγω της συνέχεις κι της µονοτονίς της φ είνι ϕ ] ϕ ϕ ], lim,, [ ϕ ϕ ] ϕ, lim,, Πρτηρούµε ότι: ϕ,] άρ υπάρχει,] ώστε ϕ Εν τω µετξύ η φ είνι γνησίως ύξουσ, άρ εκτέρωθεν του λλάζει πρόσηµο ιότι µε < είνι φ < φ φ < Ενώ µε > > είνι φ > φ φ > Έτσι ισοδύνµ επειδή > γι κάθε R η έχει µί µόνο ρίζ στο,], εκτέρωθεν της οποίς λλάζει πρόσηµο Όµοι τώρ ϕ [, ] άρ υπάρχει [,, ώστε ϕ Εν τω µετξύ η φ είνι γνησίως φθίνουσ άρ εκτέρωθεν του λλάζει πρόσηµο ιότι µε < < είνι φ > φ φ > Ενώ µε > είνι φ < φ φ < Έτσι η έχει επίσης µί µόνο ρίζ στο [,, εκτέρωθεν της οποίς λλάζει πρόσηµο Άρ τελικά, η έχει κριβώς δύο σηµεί κµπής στις θέσεις, Γ4 Θέτουµε g ln συν συν, R π Ύπρξη : Η g είνι συνεχής ως διφορά συνεχών στο R, άρ κι στο, Είνι g συν < π π π π g συν π π π Όµως στο [,, άρ είνι > > > Έτσι g g π <, οπότε λόγω του Θ Bolano η g έχει µί ρίζ στο π διάστηµ,

69 Μονδικότητ: π Θ δείξουµε ότι η g είνι γνησίως ύξουσ στο,, οπότε η ρίζ θ είνι µονδική π Έστω,, µε < τότε < διότι στο [, συν π > συν διότι συν στο, Άρ συν< συν Έτσι όµως συν < συν, άρ g < g π Άρ g γνησίως ύξουσ στο, Πρτήρηση ος τρόπος γι τη µονοτονί: Η µονοτονί της g στο [, π/] µπορεί ν προκύψει κι ως εξής: g ηµ Όµως >, γι κάθε, άρ κι γι κάθε, π/, ενώ επίσης ηµ > γι κάθε, π/ Άρ g > γι κάθε, π/ κι εποµένως g γνησίως ύξουσ στο [, π/] ΘΕΜΑ Έχουµε ότι: d g Θέτουµε: u u Οπότε: d du Ακόµη γι έχουµε u κι γι έχουµε u Εποµένως: u u u du du du g u g u g u u u du du g u g u

70 Άρ u du g u Με νάλογο τρόπο προκύπτει ότι: u g du u Επειδή οι συνρτήσεις g u συµπερίνουµε ότι οι συνρτήσεις u u κι u είνι συνεχείς στο [, ] µε R u u du κι du g u u είνι πργωγίσιµες στο R, εποµένως κι οι συνρτήσεις κι g είνι πργωγίσιµες στο R κι g g g κι g οπότε άρ > g g g g g g g g g Από την τελευτί προκύπτει ότι: c g κι επειδή & g, θ είνι c Άρ g Επειδή είνι: Ερώτηµ Σύµφων µε γνωστό θεώρηµ συνέπει του ΘΜΤ έχουµε: c Όµως, οπότε c Άρ [ ]

71 Είνι Κι επειδή >, προκύπτει ότι ln ln lim lim lim lim lim D L ' Hospial * lim lim *: Θέτουµε y οπότε το lim y lim : y y 4 Είνι F > Άρ η F στο [,] Άρ γι θ είνι F F κι επειδή F, προκύπτει ότι F [,] Εποµένως [,], θ είνι: [ ] E F d F d F F d F d d d d d τµ

72 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 8 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρί, σελ 5, σχολικού βιβλίου Α Θεωρί, σελ 9, σχολικού βιβλίου Α Θεωρί, σελ 58, σχολικού βιβλίου Α4 Σ, β Σ, γ Λ, δ Λ, ε Λ ΘΕΜΑ Β Β τρόπος: Αν yi,, y R, η σχέση γράφετι yi yi 4 y y 4 y Άρ ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγδικών ριθµών στο επίπεδο είνι κύκλος µε κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ρ β τρόπος: Η σχέση γράφετι: Άρ ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των µιγδικών ριθµών στο επίπεδο είνι κύκλος µε κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ρ Β Έστω k, k Τότε β k Προσθέτοντς τις, β κτά µέλη έχουµε: Όµως, οπότε προκύπτει 4, φού k k k k Β w w w w w w w w ww w w ww w 5 w w 5w 44 6w 5 w w 44 Έστω w yi,, y R τότε η σχέση γίνετι:

73 6 y 5 yi yi 44 6 y 5 y yi y yi y y y y y y y 4 9y Άρ ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του w είνι η πρπάνω έλλειψη µε µήκος µεγάλου ηµιάξον a κι µήκος µικρού ηµιάξονβ Είνι όµως γνωστό µθ κτεύθυνσης Β Λυκείου, σελίδ 4 ότι γι οποιοδήποτε σηµείο Μ της έλλειψης ισχύει ότι β ΟΜ ή β ΟΜ Αν Α, Α, Β, Β οι κορυφές της έλλειψης, τότε: Α,, Α,, Β,, Β, Έτσι w OA OA' κι w OB OB ' ma min Β M w Α Α O - Β Πρτήρηση : Το πρπάνω σχήµ είνι επιβοηθητικό της κτνόησης πό τους µθητές κι δεν είνι πρίτητο γι τη λύση του ερωτήµτος Β4 Με βάση την τριγωνική νισότητ κι επειδή w w έχουµε: w w w w w w 4 Όµως λόγω του Β είνι w, άρ: w κι w 4 Τότε όµως η 4 γράφετι: w 4

74 Β M Λ Α Α O - - Β Η πρπάνω νίσωση είνι η λγεβρική έκφρση της ΛΜ, µε ΟΛ, ΟΜ w κι ΛΜ w η οποί προκύπτει πό το πρπάνω σχήµ Πρτήρηση : Το σχήµ κι εδώ δεν είνι πρίτητο Θ µπορούσε όµως πιθνώς κι µι τέτοι «γεωµετρική λύση», ν κι όχι τόσο υστηρή όσο η λγεβρική, ν γίνει κτά έν ποσοστό µονάδων βθµολογίς ποδεκτή νεξάρτητη λύση, κθόσον νδεικνύει κτνόηση της έννοις της µετρικής στο µιγδικό επίπεδο Πρτήρηση : Τ δύο πρώτ ερωτήµτ του δεύτερου θέµτος θ µπορούσν ν πντηθούν χρησιµοποιώντς την άσκηση Α9 του σχολ Βιβλίου σελ, γνωστή ως κνόν του πρλληλογράµµου φού πρώτ ποδειχθεί : Γι κάθε, Απόδειξη: C ισχύει ότι B γ τρόπος: γι κι έχουµε : 4 Άρ ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του είνι κύκλος µε κέντρο την ρχή των ξόνων Ο κι κτίν ρ Β β τρόπος: Από τον κνόν του πρλληλογράµµου έχουµε ότι

75 ΘΕΜΑ Γ Γ Η είνι συνεχής στο, ως ποτέλεσµ πράξεων µετξύ συνεχών συνρτήσεων κι πργωγίσιµη µε ' ln ln, Ότν, είνι < κι επειδή η συνάρτηση ln είνι γνησίως ύξουσ έχουµε ln < ln ln < Επίσης < κι > άρ < Έτσι ln < γι κάθε,, άρ η είνι γν φθίνουσ στο, ] Ότν, είνι > κι επειδή ln γνησίως ύξουσ είνι ln > ln ln > Επίσης είνι > γι κάθε,, οπότε ln > γι κάθε, ηλδή > γι κάθε, Έτσι όµως η είνι γνησίως ύξουσ στο [, Από τ προηγούµεν προκύπτει ο επόµενος πίνκς µετβλητών γι την : min - Επειδή γνησίως φθίνουσ στο, ] είνι,], lim Όµως lim lim [ ln ] Άρ,] [, Επίσης επειδή η είνι γνησίως ύξουσ στο [, είνι [,, lim Όµως lim lim [ ln ] Άρ [, [, Από, προκύπτει ότι το σύνολο τιµών της είνι το [, Πρτήρηση: Η µονοτονί της στ διστήµτ, ] κι [, µπορεί ν προκύψει κι πό το πρόσηµο της δεύτερης πργώγου: >, γι κάθε > Άρ η είνι γνησίως ύξουσ στο, κι επειδή η είνι µονδική ρίζ της Ακόµη, είνι:

76 < < < < άρ η είνι γν φθίνουσ στο, ] > > >, άρ η είνι γν ύξουσ στο [, Η προυσιάζει ολικό ελάχιστο στο το ln Γ Η εξίσωση επειδή η συνάρτηση y ln είνι γνησίως ύξουσ κι άρ γράφετι ισοδύνµ: ln ln ln ln Από το Γ ερώτηµ είνι:,] [, άρ υπάρχει, ] ώστε κι επειδή η είνι γνησίως φθίνουσ είνι κι, άρ η τιµή είνι µονδική στο διάστηµ,] [, ] [,, άρ υπάρχει [, ώστε κι β επειδή η είνι γνησίως ύξουσ είνι κι, άρ η τιµή είνι µονδική στο διάστηµ [, Από κι β προκύπτει ότι η δοσµένη εξίσωση έχει κριβώς θετικές ρίζες Γ Θεωρούµε τη συνάρτηση h µε, Η h είνι συνεχής στο [, ] ως ποτέλεσµ πράξεων συνεχών συνρτήσεων Η h είνι πργωγίσιµη στο, ως ποτέλεσµ πράξεων πργωγίσιµων h συνρτήσεων µε h h Άρ ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ Roll γι την h στο [, ], οπότε υπάρχει,, ώστε h B τρόπος Θεωρούµε τη συνάρτηση h µε > Η είνι συνεχής στο, ως γινόµενο συνεχών H είνι συνεχής στο, ως άθροισµ συνεχών Άρ η h είνι συνεχής στο, ως άθροισµ συνεχών Άρ η h είνι συνεχής στο [, ] Γ h <, φού πό το Γ γι, είνι < Γ h >, φού πό το Γ γι, είνι > ηλδή είνι h h < Από το Θεώρηµ Bolano θ υπάρχει έν τουλάχιστον, ώστε: h

77 Γ4 Είνι: g ln ln > γι κάθε, Άρ: Ε Ω ln d ln d ln d ln d ln d ln d [ ln ] d d [ ] τµ ΘΕΜΑ Θεωρούµε τη συνάρτηση G d,, d Η, όπου Η d H είνι συνεχής στο, άρ η Η είνι πργωγίσιµη στο στο, Επίσης η y είνι πργωγίσιµη στο, ως πολυωνυµική, άρ κι η Η είνι πργωγίσιµη ως σύνθεση πργωγίσιµων συνρτήσεων Επίσης πργωγίσιµη είνι κι η ως πολυωνυµική Έτσι η G είνι πργωγίσιµη ως άθροισµ πργωγίσιµων µε G, γι κάθε, Η δοσµένη σχέση d επειδή G γράφετι ισοδύνµ: d G G, γι κάθε, Η συνάρτηση G είνι συνεχής κι πργωγίσιµη στο, κι προυσιάζει τοπικό ελάχιστο γι που είνι εσωτερικό σηµείο του, Από το θεώρηµ Frma προκύπτει τότε ότι G Επειδή η συνεχής στο, κι γι κάθε,, η διτηρεί στθερό πρόσηµο στο, κι επειδή <, είνι <,, Έτσι κι πό τη δοσµένη σχέση προκύπτει ln ln d ln Γι τη συνάρτηση h d ισχύει h γι κάθε >, διότι ν υπήρχε ξ, ώστε hξ τότε θ ήτν ln ξ ξ Αυτό όµως είνι άτοπο επειδή γι τη συνάρτηση φ ln ισχύει ϕ < γι κάθε, σύµφων µε τη γνωστή εφρµογή στη σελ66 του σχολ βιβλίου λλά

78 µπορεί κι ν ποδειχθεί: ϕ οπότε όπως προκύπτει πό τον πίνκ µετβολών της φ είνι ϕ < γι κάθε, φ φ ma φ - ln * Η συνάρτηση είνι πργωγίσιµη ως πηλίκο ln d ln ln πργωγίσιµων συνρτήσεων, ενώ προκύπτει d Οι συνρτήσεις κι στ δύο µέλη είνι πργωγίσιµες οπότε: ln ln ln ln d, άρ ln Αν θέσουµε g έχουµε g g γι κάθε,, οπότε σύµφων µε την εφρµογή της σελίδς 5 του σχολικού βιβλίου είνι: g c, δηλδή ln c Γι προκύπτει c c c Άρ τελικά ln ln,, * Πρτήρηση: Από το σηµείο υτό θ µπορούσε ν κολουθηθεί κι η εξής πορεί: ln Γι την συνάρτηση h d έχουµε ότι είνι πργωγίσιµη στο, διότι η ln είνι συνεχής ως πηλίκο συνεχών Είνι h ln, οπότε πό ln την σχέση ln d προκύπτει ln h ln h h h,, Τότε όµως είνι h c Επειδή h προκύπτει c, άρ h

79 ηλδή ln ln,, Είνι: Άρ, lim ln, lim lim lim ln Τότε όµως lim Αν θέσουµε u έχουµε u < κι ηµ u u συν u lim ηµ lim ηµ u lim lim u u u u u u u συν u lim u u Η F είνι δύο φορές πργωγίσιµη στο, µε F κι F ln ln Επειδή ln κι >, γι κάθε > είνι F >, γι κάθε > Άρ η F είνι κυρτή στο, Η σχέση τώρ F F > F, > γράφετι: F F F F F F > F F, > >, > Από ΘΜΤ γι την F στ διστήµτ [, ] κι [, ] ντίστοιχ υπάρχουν F F F F ξ, κι ξ, ώστε F ξ κι F ξ, οπότε ρκεί ν δειχθεί ότι F ξ > F ξ µε < ξ < < ξ < Η τελευτί είνι ληθής διότι η F είνι κυρτή κι άρ η F γνησίως ύξουσ στο, 4 Θεωρούµε τη συνάρτηση h F Fβ Fβ, [β, β] Η F είνι συνεχής κι πργωγίσιµη στο, άρ κι η h hβ Fβ Fβ hβ Fβ Fβ Fβ Επειδή F < γι κάθε, η F είνι γνησίως φθίνουσ στο, Έτσι πό β < β έπετι: Fβ > Fβ Fβ Fβ > hβ > Λόγω τώρ του είνι hβ F β F β F β < Άρ h β h β <, οπότε λόγω του θεωρ Bolano προκύπτει ότι υπάρχει ξ β, β ώστε h ξ F β F β F ξ Η τιµή ξ είνι µονδική διότι η συνάρτηση h είνι γνησίως φθίνουσ κι άρ, φού h F <, γι κάθε,

80 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 7 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρί σελ 4, σχολικού βιβλίου Α Θεωρί σελ 47, σχολικού βιβλίου Α Θεωρί σελ, σχολικού βιβλίου Α4 Λ, β Σ, γ Σ, δ Λ, ε Σ ΘΕΜΑ B Β Η δοσµένη σχέση γράφετι: Αν y είνι y y y ή y Όµως y άρ Οπότε ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των είνι κύκλος µε κέντρο Κ, κι κτίν ρ β i β i Β Είνι κι, οπότε 4γ β Im Im 4γ β 4 Επειδή νήκει στον γεωµετρικό τόπο του ερωτήµτος Β είνι: β 4γ β β 4γ β β β β 4 γ β γ 4 4 Από τις σχέσεις κι προκύπτει β 4 κι γ 5 Β Έστω ν 4 Έχουµε Άρ ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν Λόγω της τριγωνικής νισότητς είνι ν ν ν ν ν ν ν

81 Από Β είνι,,, άρ ν ν ν ν ν ν Η τελευτί γράφετι ν ν ν 4 ν ν ν ν 4 ν Όµως Άρ ν< 4 4 ν 4 ν άρ είνι ν > φού ν 4 4 ν 4 ν ν < 4 που είνι άτοπο ΘΕΜΑ Γ Γ Γι η δοσµένη σχέση γράφετι: c Γι : c Έτσι Θέτουµε g, R Είνι g γι κάθε, g συνεχής στο άρ διτηρεί στθερό πρόσηµο Επειδή g > θ είνι g > γι κάθε, δηλδή > γι κάθε Άρ, R g g g Γ Είνι Άρ g g g g Πρέπει g > > >,, Τότε πό την προκύπτει: g g g g Θεωρούµε τη συνάρτηση ϕ, R Είνι ϕ Άρ έχουµε τον επόµενο πίνκ µετβολής:

82 -/ φ φ - - Προκύπτει τοπικό µέγιστο φ κι τοπικό ελάχιστο φ Επίσης προκύπτει ότι το σύνολο τιµών της φ γι [, είνι το [,, ενώ γι < είνι φ < Έτσι προκύπτει ότι υπάρχει µί τουλάχιστον ρίζ γι την φ στο, κι επειδή η φ είνι γνησίως ύξουσ σε υτό, προκύπτει ότι η ρίζ είνι µονδική Γ Θέτουµε π εφ, K d, π π /4 4 4 π Η Κ είνι συνεχής στο, 4, ενώ επειδή > γι κάθε θ είνι d>, δηλδή Κ > π /4 π π Επίσης είνι K εφ < 4 4 Έτσι όµως πό το θεώρηµ Bolano προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον έν π, 4 τέτοιο ώστε Κ ή π d εφ π /4 4 ΘΕΜΑ 5 h h 5 h h lim lim 5 h h h 5h h 5 6 διότι 5h u h h 5 h u u h 5 h 5 h u lim lim 5 5lim 5 h h u h h lim lim lim h h h h h u Άρ φού 5 h h lim 6 h h Γι < < < < Γι > > > Άρ η είνι στο,] κι στο [, µε άρ προυσιάζει ελάχιστο στο

83 Είνι g,, Λόγω του, φού στο η προυσιάζει ελάχιστο, είνι γι κάθε, Η ισότητ ισχύει µόνο γι, άρ > γι,, Έτσι > γι, κι >, άρ g' > γι κάθε, Άρ g γνησίως ύξουσ στο, Θεωρούµε τώρ την συνάρτηση ϕ g u du, R Είνι φ' g g Όµως < κι επειδή g γνησίως ύξουσ θ είνι g < g, άρ φ' >, άρ φ γνησίως ύξουσ στο 4 4 Η δοσµένη νίσωση γράφετι: ϕ8 5 > ϕ > 5 4 < 4 4 <,, Είνι g Γι την στο [, ] ισχύει το ΘΜΤ άρ υπάρχει έν τουλάχιστον ξ, : ξ ξ 'ξ ξ ξ Άρ g Είνι ξ < ξ < ξ > Επίσης γι > > Έτσι g'' > γι κάθε > άρ g κυρτή στο, Η δοσµένη εξίσωση γράφετι a> a a g a a g a g g a a a Η εξίσωση της εφπτοµένης γι την g στο είνι g a y g a g a a y g a a Αφού g κυρτή η γρφική της πράστση βρίσκετι πάνω πό την εφπτοµένη µε εξίρεση το σηµείο επφής ηλδή g y g g a a κι η ισότητ ισχύει µόνο γι Άρ η εξίσωση g g a a έχει µονδική λύση ϕ

84 Γενικό Λύκειο Νεστορίου Σχολικό έτος -4 Βοηθητικό Υλικό της Γ Λυκείου