ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές ή τις τιμές κάποιου άλλου μέτρου θέσης των δύο αυτών πληθυσμών. Σύμφωνα με όσα έχουμε δει μέχρι τώρα, η στατιστική διαδικασία που ενδείκνυται είναι ο έλεγχος στατιστικών υποθέσεων που θα αναφέρεται στις μέσες τιμές, ή κάποιες αναλογίες, των δύο υπό μελέτη πληθυσμών. Η μεθοδολογία αυτή αποτελεί μια επέκταση των όσων έχουμε δει μέχρι τώρα για ελέγχους υποθέσεων ενός πληθυσμού. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Συνοπτικά μπορούμε να πούμε τα εξής: Αν έχουμε δύο κανονικούς πληθυσμούς με παραμέτρους (μ Χ, σ ) και (μ, σ ) αντίστοιχα, οι υποθέσεις που ενδεχομένως ενδιαφερόμαστε να ελέγξουμε μπορεί να έχουν την παρακάτω μορφή, H 0 : μ μ (μ μ -μ 0) Η 1 : μ <μ (μ<0) Η 1 : μ μ (μ 0) Η 1 : μ >μ (μ>0) όπου μ μ - μ. Αυτές είναι οι δυνατές περιπτώσεις για ελέγχους απλών υποθέσεων. Για την περίπτωση συνθέτων υποθέσεων θα έχουμε τις περιπτώσεις, H 0 : μ μ (μ 0) H 0 : μ μ (μ 0) Η 1 : μ < μ (μ < 0) Η 1 : μ > μ (μ > 0) Η επιλογή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου συνδέεται με το κατά πόσον τα τυχαία δείγματα που θα χρησιμοποιηθούν είναι ανεξάρτητα ή οι παρατηρήσεις τους ενός συνδέονται με τις 409

2 παρατηρήσεις του άλλου. Όπως και στο πρόβλημα της σύγκρισης μέσων τιμών πληθυσμών μέσω διαστημάτων εμπιστοσύνης, κάνουμε διάκριση των δύο αυτών περιπτώσεων στην συνέχεια. Συγκεκριμένα, οι τέσσερις πρώτες ενότητες που ακολουθούν (Α, Β, Γ, Δ) βασίζονται στην χρησιμοποίηση ανεξαρτήτων δειγμάτων, ενώ η πέμπτη (Ε) ενότητα στην χρησιμοποίηση δειγμάτων που έχουν μια συγκεκριμένη μορφή εξάρτησης (οι παρατηρήσεις επιλέγονται κατά ζεύγη). Α. Περίπτωση Γνωστών Διακυμάνσεων (Ανεξάρτητα Δείγματα) Σύμφωνα με όσα έχουμε δει μέχρι τώρα, ως στατιστική συνάρτηση ελέγχου θα χρησιμοποιήσουμε στην περίπτωση αυτή είτε την συνάρτηση (που είναι η αμερόληπτη εκτιμήτρια της διαφοράς μ - μ ) είτε, ισοδύναμα, την αντίστοιχη τυποποιημένη συνάρτηση, ( μ μ ) Z σ n σ Κάτω από την μηδενική υπόθεση, η στατιστική συνάρτηση ελέγχου θα γίνει, Z0 σ n σ Έτσι, για τις διάφορες περιπτώσεις των εναλλακτικών υποθέσεων, όπως προκύπτει και από τα σχήματα που ακολουθούν, έχουμε H 0 : μ μ - μ 0 Η 1 : μ μ - μ < 0 Η 1 : μ μ - μ > 0 Η 1 : μ μ - μ 0 α α α/ α/ -Ζ 1-α Ζ 1-α -Ζ 1-α/ Ζ 1-α/ Συγκεκριμένα, 410

3 α) Αν Η 1 : μ μ - μ < 0, τότε απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση σε επίπεδο σημαντικότητας α αν Ζ 0 < -Ζ 1-α ή, ισοδύναμα, αν < Z1 α σ n σ β) Αν Η 1 : μ μ - μ > 0, τότε απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση σε επίπεδο σημαντικότητας α αν Ζ 0 > Ζ 1-α ή, ισοδύναμα, αν > Z1 α σ n σ γ) Αν Η 1 : μ μ - μ 0, τότε απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση σε επίπεδο σημαντικότητας α αν Ζ 0 < -Ζ 1-α ή Ζ 0 > Ζ 1-α ή, ισοδύναμα, αν < Z σ n σ ή > Z σ n σ 1 α/ 1 α/ Σημείωση 1: Η έννοια του παρατηρούμενου επιπέδου σημαντικότητας (της τιμής ) επεκτείνεται και στην περίπτωση αυτή με προφανή τρόπο. Σημείωση : Στην περίπτωση συνθέτων υποθέσεων [H 0 : μ μ (μ 0) ή H 0 : μ μ (μ 0)], οι έλεγχοι γίνονται με τον ίδιο τρόπο με την διαφορά ότι, όπως και στους ελέγχους που αναφέρονται σε έναν πληθυσμό που εξετάσαμε, ο ορισμός του α και της -τιμής αναφέρεται στο μέγιστο των πιθανοτήτων που ορίζουν τις έννοιες αυτές στις απλές υποθέσεις ως προς τις διάφορες τιμές του μ -μ κάτω από την μηδενική υπόθεση. Β. Περίπτωση Αγνώστων Ίσων Διακυμάνσεων ( σ σ ) (Ανεξάρτητα Δείγματα) Ακολουθώντας την διαδικασία που χρησιμοποιήσαμε στα διαστήματα εμπιστοσύνης, κάνουμε χρήση της σταθμισμένης εκτιμήτριας της διασποράς S. 411

4 Η στατιστική συνάρτηση ελέγχου θα είναι και πάλι η ισοδύναμα, η ( μ μ ) T S n S η οποία, κάτω από τη μηδενική υπόθεση, γίνεται T 0 S n S ή Έτσι, για τις τρεις μορφές εναλλακτικής υπόθεσης γράφουμε, όπως προκύπτει και από τα σχήματα που ακολουθούν, H 0 : μ μ - μ 0 Η 1 : μ μ - μ < 0 Η 1 : μ μ - μ > 0 α α -t n-, 1-α t n-, 1-α Η 1 : μ μ - μ 0 α / α / -t n-,1-α/ t n-, 1-α/ Για κάθε μία από τις περιπτώσεις αυτές έχουμε αντίστοιχα, 41

5 α) Αν Η 1 : μ μ - μ < 0, τότε απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση σε επίπεδο σημαντικότητας α αν T 0 < -t n-, 1-α ή, ισοδύναμα, αν < t n, 1 α S n S β) Αν Η 1 : μ μ - μ > 0, τότε απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση σε επίπεδο σημαντικότητας α αν T 0 > t n-, 1-α ή, ισοδύναμα, αν > t n,1 α S n S γ) Αν Η 1 : μ μ - μ 0, τότε απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση σε επίπεδο σημαντικότητας α αν T 0 < -t n-, 1-α/ ή T 0 > t n-, 1-α/ ή, ισοδύναμα, αν < t n, 1 α/ S n S ή > t n, 1 α/ S n S Σημείωση: Η προηγηθείσα συμπερασματολογία ισχύει έστω και αν οι υπό μελέτη πληθυσμοί δεν ακολουθούν την κανονική κατανομή με την προϋπόθεση ότι τα μεγέθη των δειγμάτων από τους δύο πληθυσμούς είναι αρκετά μεγάλα. Γ. Περίπτωση Αγνώστων Ανίσων Διακυμάνσεων ( σ σ ) Μεγάλα (Ανεξάρτητα) Δείγματα Όπως και στα διαστήματα εμπιστοσύνης, αν τα μεγέθη n και * των δειγμάτων είναι μεγάλα, χρησιμοποιούμε τις εκτιμήτριες S και * S των διακυμάνσεων σ και σ των δύο πληθυσμών (αντίστοιχα 413

6 τις S, S ) και αξιοποιούμε το γεγονός ότι, για μεγάλα δείγματα, η στατιστική συνάρτηση ελέγχου ( μ μ ) Z * * S n S ( μ μ ) S (n 1) S ( 1) ακολουθεί, σύμφωνα με το κεντρικό οριακό θεώρημα, κατά προσέγγιση την Ν(0,1) κατανομή και, επομένως, κάτω από την μηδενική υπόθεση, η στατιστική συνάρτηση ελέγχου θα είναι Z0 * * S n S S (n 1) S ( 1) Οι έλεγχοι γίνονται όπως και στην περίπτωση Α. Δ. Περίπτωση Αγνώστων Ανίσων Διακυμάνσεων ( σ σ ) Μικρά (Ανεξάρτητα) Δείγματα Όταν τα δεδομένα του προβλήματος δεν επιτρέπουν την υπόθεση της ισότητας των διακυμάνσεων των πληθυσμών ούτε είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν μεγάλα δείγματα, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε καμμία από τις μεθόδους που αναπτύξαμε προηγουμένως. Στην περίπτωση αυτή, αντιμετωπίζουμε το πρόβλημα που στη Στατιστική ονομάζεται πρόβλημα των Behrens-Fisher. Όπως είδαμε και στην ανάπτυξη της θεωρίας των διαστημάτων εμπιστοσύνης, στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιείται και πάλι η στατιστική συνάρτηση ( μ μ ) T S * n S * S (n 1) S ( μ μ ) ( 1) που, όμως στην περίπτωση αυτή, έχει βαθμούς ελευθερίας 414

7 * ( S n S ) ( S n ) ( S ) v n 1 1 Ο αριθμός ν είναι πάντοτε μικρότερος ή ίσος από το n-, από τον αριθμό δηλαδή των βαθμών ελευθερίας που χρησιμοποιούμε στην συνήθη στατιστική συνάρτηση t με την σταθμισμένη διασπορά. Προφανώς, όσο τα μεγέθη των δειγμάτων αυξάνουν το ν αυξάνει επίσης και η κατανομή t συγκλίνει προς την κανονική κατανομή, οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κατά προσέγγιση την μέθοδο που αναπτύξαμε προηγουμένως. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται πολλές φορές και προσέγγιση του Satterthwaitt. Επομένως, στην περίπτωση αυτή, ο κανόνας απόφασης διαμορφώνεται ως εξής: α) Αν Η 1 : μ μ - μ < 0, τότε απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση σε επίπεδο σημαντικότητας α αν T 0 < -t v, 1-α ή, ισοδύναμα, αν * < t v,1 α S n S β) Αν Η 1 : μ μ - μ > 0, τότε απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση σε επίπεδο σημαντικότητας α αν T 0 > t v, 1-α ή, ισοδύναμα, αν * > t v,1 α S n S γ) Αν Η 1 : μ μ - μ 0, τότε απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση σε επίπεδο σημαντικότητας α αν T 0 < -t v, 1-α/ ή T 0 > t v, 1-α/ ή, ισοδύναμα, αν * * < t S n S ή v,1 α * * > t v,1 α S n S όπου ν δίνεται από τον τύπο που προηγήθηκε. * * 415

8 Ε. Περίπτωση Παρατηρήσεων κατά Ζεύγη Στην περίπτωση αυτή, έχουμε n ζευγάρια παρατηρήσεων (Χ i, i ), i1,,,n, τις οποίες μεταχειριζόμαστε με τρόπο ίδιο με αυτόν που χρησιμοποιήσαμε στην περίπτωση που η σύγκριση των μέσων τιμών των δύο πληθυσμών έγινε μέσω της κατασκευής ενός διαστήματος εμπιστοσύνης. Θεωρώντας δηλαδή και πάλι τις διαφορές παρατηρήσεων D i i - i, i1,,,n, οδηγούμαστε σε ένα πρόβλημα n παρατηρήσεων D 1, D,, D n. Κατά συνέπεια, το πρόβλημα της σύγκρισης των μέσων των δύο πληθυσμών με τον έλεγχο της υπόθεσης Η 0 : μ x μ y γίνεται ισοδύναμο με το πρόβλημα ελέγχου υπόθεσης για την μέση τιμή ενός πληθυσμού με μέση τιμή μ D μ x -μ y. Συγκεκριμένα, η μηδενική υπόθεση γίνεται ισοδύναμη με την υπόθεση Η 0 : μ D 0, ο έλεγχος της οποίας μπορεί να γίνει, σύμφωνα με όσα αναπτύχθηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο, με βάση το δείγμα D 1, D,, D n και με την χρήση της ελεγχοσυνάρτησης D T0 ~ t * n-1 SD/ n όπου n D D /n και i 1 i S * D n i 1 (D i n 1 D) Σχηματική Παρουσίαση της Διαδικασίας Ελέγχου Υποθέσεων για την Διαφορά Μέσων Τιμών Κανονικών Πληθυσμών Η διαδικασία που ακολουθείται για τον έλεγχο υποθέσεων για την διαφορά μέσων τιμών κανονικών πληθυσμών και οι ενέργειες που πρέπει να γίνουν ανάλογα με το εάν χρησιμοποιούνται ανεξάρτητα δείγματα ή ζεύγη παρατηρήσεων, λαμβάνοντας υπόψη και την σχέση των διακυμάνσεων των δύο πληθυσμών, μπορεί να παρασταθεί σχηματικά με το παρακάτω διάγραμμα. 416

9 Έλεγχος της Υπόθεσης Η 0 : μ D μ x -μ y 0 (με την χρήση της -τιμής) ΑΡΧΗ -τιμή Ρ( Ζ 0 z 0 ) ελεγχοσυνάρτηση D T0 ~ t n-1 * S / n D OI ανεξάρτητα δείγματα -τιμή Ρ(Ζ 0 z 0 ) μ D <0 H 1 μ D 0 μ D >0 -τιμή Ρ(Ζ 0 z 0 ) ΝΑΙ διασπορές σ, σ γνωστές ΝΑΙ Z ελεγχοσυνάρτηση σ σ ( ) ~ Ν(0,1) n 0 ΟΧΙ * * σ S, σ S ισχύει σ σ σ ΟΧΙ ΝΑΙ μεγάλα δείγματα ΝΑΙ ελεγχοσυνάρτηση S S T0 ( ) ~ t ν n νn- S * (n 1)S ( 1)S n S σταθμισμένη διασπορά * T ΟΧΙ ελεγχοσυνάρτηση * * S S ( ) ~ t ν n 0 * * [ S /n S /] ν *4 *4 S /n S / n 1 1 -τιμή Ρ(Τ 0 t 0 ) μ D <0 H 1 μ D 0 μ D >0 -τιμή Ρ(T 0 t 0 ) -τιμή Ρ( T 0 t 0 ) 417

10 Μερικά Παραδείγματα Παράδειγμα 1ο: Μια εταιρεία ενδιαφέρεται να υιοθετήσει μια νέα πολιτική για τους πωλητές της σύμφωνα με την οποία κάθε πωλητής θα παίρνει κάθε μήνα ένα δώρο ανάλογα με τις πωλήσεις που θα πραγματοποιεί. Η διεύθυνση της εταιρείας, προκειμένου να διερευνήσει τις προσδοκίες των ανδρών και γυναικών που εργάζονται στην εταιρεία επιλέγει δύο τυχαία δείγματα από n 40 άνδρες και 40 γυναίκες από τους οποίους ζητεί να προβλέψουν τις πρόσθετες μηνιαίες αποδοχές που θα έχουν αν υιοθετηθεί το προτεινόμενο σχήμα. Τα δειγματικά δεδομένα έδωσαν τις εξής πληροφορίες: * x s 31 (για τους άνδρες) y 9745 s 569 (για τις γυναίκες) * Παρέχουν τα δεδομένα αυτά ενδείξεις ότι υπάρχει διαφορά στο μέσο αναμενόμενο πρόσθετο εισόδημα μεταξύ ανδρών και γυναικών πωλητών με την υιοθέτηση της νέας πολιτικής (α 0.05); Λύση: Ο κατάλληλος στατιστικός έλεγχος είναι, H 0 : μ Χ μ Υ H 1 : μ Χ μ Υ Δεδομένου ότι τα μεγέθη των δειγμάτων είναι μεγάλα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την κανονική προσέγγιση και να έχουμε ως τιμή της στατιστικής συνάρτησης κάτω από τη μηδενική υπόθεση την x y z0 * * s n s Δοθέντος ότι Ζ , με βάση τα στοιχεία των δειγμάτων, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η μηδενική υπόθεση θα πρέπει να απορριφθεί στο επίπεδο σημαντικότητας 5%. 418

11 Εάν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε την διαδικασία με την -τιμή, θα έχουμε ότι -τιμή P(Ζ 0.45 ή Ζ ) P(Ζ 0.45) Επομένως, η μηδενική υπόθεση θα απορρίπτεται για κάθε επίπεδο σημαντικότητας α μεγαλύτερο του Παράδειγμα ο: Στο παράδειγμα που έχουμε ήδη εξετάσει με την εταιρεία παρασκευής και συσκευασίας ενός προϊόντος, ας υποθέσουμε ότι η εταιρεία αυτή έχει δύο εργοστάσια σε δύο διαφορετικές τοποθεσίες και ενδιαφέρεται να ελέγξει αν υπάρχει διαφορά στην μέση ποσότητα του προϊόντος που περιέχουν οι συσκευασίες που προέρχονται από τα δύο εργοστάσια, έστω Α και Β. Τυχαία δειγματοληψία με την λήψη δύο ανεξαρτήτων δειγμάτων από τα δύο εργοστάσια δίνει τα αποτελέσματα που ακολουθούν. Εργοστάσιο Α x gr * s gr n 5 Εργοστάσιο Β y gr * s 14.0 gr 0 (έχουμε ήδη υποθέσει ότι το περιεχόμενο των συσκευασιών ακολουθεί την κανονική κατανομή. Υποθέτουμε επίσης ότι οι διασπορές του βάρους του περιεχομένου των συσκευασιών στα δύο εργοστάσια είναι ίσες) Η υπόθεση που θέλουμε να ελέγξουμε είναι η, H 0 : μ μ H 1 : μ μ Δίνεται ότι α Λύση: Σύμφωνα με τα στοιχεία που έχουμε, θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο των σταθμισμένων διασπορών. Επομένως, 419

12 s 4(16.71) 19(14.0) Επομένως, η τιμή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου κάτω από την μηδενική υπόθεση θα είναι, t / / Από τους πίνακες, έχουμε ότι, t 43, Επομένως, με βάση τα στοιχεία του δείγματος δεν απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση στο α 0.01 επίπεδο σημαντικότητας. Αν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε την προσέγγιση με την - τιμή, η πιθανότητα η στατιστική συνάρτηση ελέγχου κάτω από τη μηδενική υπόθεση να πάρει μια τιμή μικρότερη από το -0.7 με 43 βαθμούς ελευθερίας είναι, κατά προσέγγιση, σύμφωνα με τους πίνακες, μεταξύ 0.10 και 0.5. (Στην πραγματικότητα κάτι λιγότερο από 0.5 δοθέντος ότι εμβαδόν 0.5 αντιστοιχεί σε τιμή του t με 43 βαθμούς ελευθερίας ίση με ). Δοθέντος ότι έχουμε αμφίπλευρη εναλλακτική υπόθεση, η τιμή θα είναι μεταξύ 0.0 και Επειδή α 0.01 είναι μικρότερο από 0.0, η μηδενική υπόθεση δεν απορρίπτεται στο α Παράδειγμα 3ο: Έστω ότι ένας ερευνητής αγοράς ενδιαφέρεται να μελετήσει την επίδραση που έχει στις πωλήσεις ενός προϊόντος το μέρος στο οποίο το προϊόν αυτό τοποθετείται μέσα στο κατάστημα. Συγκεκριμένα, ενδιαφέρεται να εξετάσει αν υπάρχει διαφορά στις πωλήσεις αν το προϊόν αυτό τοποθετείται κοντά στην έξοδο ή σε ένα 40

13 άλλο μέρος του καταστήματος δίπλα σε άλλα παρόμοια προϊόντα. Για να εξετάσει το πρόβλημα αυτό, ο ερευνητής επιλέγει ένα τυχαίο δείγμα 13 καταστημάτων ιδίου μεγέθους από την συγκεκριμένη αλυσίδα καταστημάτων και σε 7 από αυτά τοποθετεί το προϊόν κοντά στην έξοδο ενώ στα υπόλοιπα 6, στο σημείο όπου έχει και άλλα παρόμοια προϊόντα. Τα αποτελέσματα των πωλήσεων, σε αριθμό πακέτων του προϊόντος που πωλούνται ανά εβδομάδα, δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί. Ε Β Δ Ο Μ Α Δ Ι Α Ι Ε Σ Π Ω Λ Η Σ Ε Ι Σ (σε αριθμό πακέτων) Τοποθέτηση στην έξοδο Χ x 11 * s 945 n 7 Τοποθέτηση στο εσωτερικό Υ y * s Λύση: Υποθέτουμε ότι οι πωλήσεις ανά εβδομάδα του προϊόντος αυτού ακολουθούν την κανονική κατανομή. Δοθέντος ότι δεν έχουμε κάποια ένδειξη ότι οι διακυμάνσεις των δύο πληθυσμών είναι ίσες, θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο των αγνώστων και ανίσων διακυμάνσεων. (Θα χρησιμοποιηθεί το α 0.05). Η τιμή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου κάτω από την μηδενική υπόθεση θα είναι, t / /

14 Οι βαθμοί ελευθερίας στην περίπτωση αυτή θα είναι, v ( 945 / / 6) ( 945 / 7) ( / 6) 6 5 Από τους πίνακες της κατανομής t έχουμε, t 6, Δοθέντος ότι η στατιστική συνάρτηση ελέγχου κάτω από την μηδενική υπόθεση βρίσκεται στην κρίσιμη περιοχή, απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση στο α Λύση με το πακέτο SPSS Ο έλεγχος υποθέσεων για την διαφορά μέσων τιμών κανονικών πληθυσμών με το στατιστικό πακέτο SPSS γίνεται ως εξής: Εισάγουμε τα δεδομένα και των δύο δειγμάτων σε κάποια μεταβλητή π.χ. VAR00001 Δημιουργούμε μια μεταβλητή (π.χ. VAR0000) η οποία δηλώνει τον πληθυσμό από τον οποίο προέρχεται η κάθε παρατήρηση. Για παράδειγμα, στις παρατηρήσεις από τον πρώτο πληθυσμό, η μεταβλητή αυτή παίρνει την τιμή 1 και, στις παρατηρήσεις από τον δεύτερο πληθυσμό, παίρνει την τιμή Από την επιλογή Statistics, επιλέγουμε Coare eans. Επιλέγουμε Indeendent sales T test Στο παράθυρο που εμφανίζεται, επιλέγουμε την μεταβλητή, τα δεδομένα, (VAR00001) και την τοποθετούμε στο πεδίο test variable(s) Στο πεδίο Grouing Variable, τοποθετούμε την μεταβλητή που αναφέρεται στον πληθυσμό από τον οποίο προέρχονται οι παρατηρήσεις (VAR0000). Πατάμε Define Grous και, στο παράθυρο που εμφανίζεται, γράφουμε την τιμή 1 στο πεδίο Grou 1 και την τιμή στο πεδίο Grou. 4

15 Στο πεδίο Test value, γράφουμε την τιμή για την οποία επιθυμούμε να ελέγξουμε αν ταυτίζεται με την μέση τιμή του πληθυσμού (δηλ. για το συγκεκριμένο παράδειγμα την τιμή 0.5) και πατάμε ΟΚ. Τα αποτελέσματα που δίνει το SPSS είναι τα ακόλουθα Grou Statistics DATA SAMPLE N Std. Std. Error Mean Deviation Mean Indeendent Sales Test Levene's Test for quality of Variance t-test for Equality of Means Sig. Mean Std. Error 95% Confidence Interval of the Difference F Sig. t df (-tailed) Difference Difference Lower Uer DATAEqual variances assued Equal variances not assued Στον πρώτο από τους δύο παραπάνω πίνακες, δίνονται τα μεγέθη των δειγμάτων από τους δύο πληθυσμούς (Ν), οι δύο δειγματικοί μέσοι (Mean), οι δύο δειγματικές τυπικές αποκλίσεις (Std. Deviation) και τα δύο τυπικά σφάλματα του μέσου (Std. Error Mean). Στον δεύτερο πίνακα, δίνονται αποτελέσματα για την περίπτωση που έχουμε υποθέσει ίσες διακυμάνσεις (Equal variances assued), καθώς και για την περίπτωση άνισων διακυμάνσεων (Equal variances not assued). Στην δεύτερη και στην τρίτη στήλη του πίνακα (Levene s Test for Equality of Variances), δίνεται η τιμή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου (F) και η -τιμή (Sig.) του ελέγχου του Levene για ισότητα διασπορών. Η μηδενική υπόθεση του ελέγχου αυτού είναι ότι οι διασπορές των δύο πληθυσμών είναι ίσες και, συνεπώς, στις περιπτώσεις που αυτή δεν απορρίπτεται (δηλ. στις περιπτώσεις που η -τιμή είναι μεγαλύτερη κάποιου επιπέδου σημαντικότητας π.χ. 0.05), μπορούμε να συμπεράνουμε ότι έχει νόημα η υπόθεση της ισότητας των διασπορών. 43

16 Επίσης, ο δεύτερος πίνακας δίνει (και για τις δύο περιπτώσεις) την τιμή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου (t), τους βαθμούς ελευθερίας (df), την -τιμή του αμφίπλευρου ελέγχου (Sig. (-tailed)), την διαφορά των μέσων των δύο δειγμάτων (Mean Difference), το τυπικό σφάλμα της διαφοράς των μέσων τιμών (Std. Error Difference) και ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την διαφορά των μέσων τιμών (95% Confidence Interval of the Difference). Λύση με το πακέτο Minitab Ο έλεγχος υποθέσεων για την διαφορά μέσων τιμών κανονικών πληθυσμών με το στατιστικό πακέτο Minitab γίνεται ως εξής: Στο παράθυρο Data, εισάγουμε τα δεδομένα από τον πρώτο πληθυσμό σε κάποια μεταβλητή π.χ. C1 και τα δεδομένα από τον δεύτερο πληθυσμό σε μια άλλη π.χ. C (Πρώτος τρόπος). Εναλλακτικά μπορούμε να εισαγάγουμε τις παρατηρήσεις και των δύο δειγμάτων σε μια μεταβλητή π.χ. C3 και τον πληθυσμό από τον οποίο προέρχεται η κάθε παρατήρηση σε μια άλλη π.χ. C4 (Δεύτερος τρόπος). Από την επιλογή Stat, επιλέγουμε Basic Statistics. Επιλέγουμε -Sale t Αν έχουμε γράψει τα δεδομένα σύμφωνα με τον πρώτο τρόπο, επιλέγουμε Sales in different coluns και στα πεδία First και Second επιλέγουμε τα ονόματα των δύο μεταβλητών που έχουμε δημιουργήσει (δηλ. C1 και C). Εναλλακτικά, αν έχουμε γράψει τα δεδομένα σύμφωνα με τον δεύτερο τρόπο, επιλέγουμε Sales in one colun. Στο πεδίο Sales, επιλέγουμε την μεταβλητή με τα δεδομένα (C3) και, στο πεδίο Subscrits, επιλέγουμε την μεταβλητή που δηλώνει τον πληθυσμό από τον οποίο προέρχεται η κάθε παρατήρηση. Στο πεδίο Alternative, δηλώνουμε την μορφή της εναλλακτικής υπόθεσης. Όταν αυτή είναι αμφίπλευρη (δηλ. μ 1 μ ), επιλέγουμε not equal. Αντίθετα, όταν είναι μονόπλευρη, επιλέγουμε είτε greater than είτε less than (ανάλογα με την μορφή της ανισότητας). Για το παράδειγμα μας, επιλέγουμε not equal. 44

17 Στο πεδίο confidence level, δεν χρειάζεται να αλλάξουμε την τιμή που δίνει το πακέτο, αφού αυτή χρησιμοποιείται αποκλειστικά για τον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης. Τέλος, στο πεδίο Assue equal variances, καθορίζουμε αν θα υποθέσουμε ισότητα των διασπορών. Επειδή στο παράδειγμα μας υποθέτουμε άνισες διασπορές, δεν θα επιλέξουμε το συγκεκριμένο πεδίο. Πατάμε ΟΚ Τα αποτελέσματα που δίνει το Minitab είναι τα ακόλουθα: TWO SAMPLE T FOR C1 VS C N MEAN STDEV SE MEAN C C PCT CI FOR MU C1 - MU C: ( 3, 60.6) TTEST MU C1 MU C (VS NE): T.71 P0.035 DF 6 Στην στήλη Ν, δίνεται ο αριθμός των παρατηρήσεων για τα δύο δείγματα, στην στήλη Mean, δίνονται οι δύο δειγματικοί μέσοι, στην στήλη Stdev, δίνονται οι δύο τυπικές αποκλίσεις και τέλος στην στήλη Se ean, δίνονται τα δύο τυπικά σφάλματα του μέσου. Στην συνέχεια, δίνεται ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την διαφορά των μέσων τιμών και στην τελευταία γραμμή, δίνεται η τιμή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου (Τ), η -τιμή του ελέγχου (P) και οι βαθμοί ελευθερίας (DF). Παράδειγμα 4o: Δύο εργοστάσια Α και Β παράγουν ένα συγκεκριμένο όμοιο υλικό. Από κάθε εργοστάσιο ένα δείγμα (5 τεμαχίων από το Α και 7 τεμαχίων από το Β) στέλνονται σε ένα δημόσιο χημικό εργαστήριο. Εκεί μετριέται η αντοχή των κομματιών και προκύπτουν τα ακόλουθα αποτελέσματα: Εργοστάσιο Α: 1,0 1,5 1,7 1,0, Εργοστάσιο Β: 0,3 1,1 1,4 1,1 0,8 0,4 0,8 45

18 Παρέχουν τα παραπάνω στατιστικά ισχυρές ενδείξεις ότι τα υλικά από τα δύο εργοστάσια διαφέρουν ως προς την αντοχή; (υποθέστε κανονικές κατανομές). Λύση με το πακέτο SPSS Εισάγουμε τα δεδομένα και τον δύο δειγμάτων σε μια μεταβλητή π.χ. var00001 Σε μια δεύτερη μεταβλητή, έστω var0000, εισάγουμε τις τιμές 1 και ανάλογα με το αν η αντίστοιχη παρατήρηση της μεταβλητής var00001 προέρχεται από το πρώτο ή το δεύτερο δείγμα Από την επιλογή Analyze επιλέγουμε Coare Means και στην συνέχεια Indeendent-Sales T test Στο παράθυρο που εμφανίζεται επιλέγουμε την μεταβλητή με τις παρατηρήσεις (var00001) και την μεταφέρουμε στο πεδίο Test Variable(s). Επίσης επιλέγουμε την μεταβλητή που προσδιορίζει το δείγμα από το οποίο προέρχεται η κάθε παρατήρηση (var0000) και την μεταφέρουμε στο πεδίο Grouing Variable Επιλέγουμε Define Grous και δίνουμε την τιμή 1 στο πεδίο Grou 1 και την τιμή στο πεδίο Grou και επιλέγουμε Continue Επιλέγουμε ΟΚ Τα αποτελέσματα που δίνει το πακέτο είναι τα ακόλουθα: Grou Statistics VAR00001 VAR0000 1,00,00 Std. Error N Mean Std. Deviation Mean 5 1,4800,5070,67 7 0,849,395,1494 Indeendent Sales Test VAR00001 Equal variances assued Equal variances not assued Levene's Test for Equality of Variances F Sig. t df Sig. (-tailed) t-test for Equality of Means Mean Difference 95% Confidence Interval of the Std. Error Difference Difference Lower Uer,309,590,455 10,034,6371,596,0588 1,155,347 7,308,050,6371,715,0006 1,737 46

19 Στον πρώτο από τους δύο πίνακες, δίνεται ο αριθμός των παρατηρήσεων κάθε δείγματος (Ν), καθώς και ο αριθμητικός μέσος (Mean), η τυπική απόκλιση (Std. Deviation) και το τυπικό σφάλμα εκτίμησης του μέσου (Std. Error Mean) για το κάθε δείγμα ξεχωριστά. Στις δύο πρώτες στήλες του δεύτερου πίνακα, δίνεται η τιμή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου και το παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας του ελέγχου του Levene για την ισότητα των διασπορών των πληθυσμών από τους οποίους προέρχονται τα δύο δείγματα. Στις υπόλοιπες στήλες του ίδιου πίνακα, δίνονται τα αποτελέσματα του ελέγχου για την ισότητα των μέσων τιμών των δύο πληθυσμών. Στην πρώτη γραμμή του πίνακα, δίνονται τα αποτελέσματα αν υποθέσουμε ότι οι διασπορές των δύο πληθυσμών είναι ίσες, ενώ, στην δεύτερη γραμμή, δίνονται τα αντίστοιχα αποτελέσματα χωρίς την υπόθεση της ισότητας των διασπορών. Στις επόμενες στήλες, δίνεται η τιμή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου (t), οι βαθμοί ελευθερίας (df), το παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας (Sig. -tailed), η διαφορά των δύο δειγματικών μέσων (Mean Difference), το τυπικό σφάλμα εκτίμησης της διαφοράς των μέσων δηλ. ο παρονομαστής της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου (Std. Error Difference). Στις δύο τελευταίες στήλες, δίνονται τα όρια του 95% διαστήματος εμπιστοσύνης για την διαφορά των μέσων. Λύση με το πακέτο Minitab Tα δεδομένα του παραδείγματος μπορούν να εισαχθούν στο πακέτο Minitab με δύο διαφορετικούς τρόπους. Συγκεκριμένα, μπορούν να εισαχθούν είτε σε δύο διαφορετικές στήλες (έστω C1 και C), είτε σε μια στήλη (έστω C3) δημιουργώντας όμως και μια στήλη (έστω C4) που προσδιορίζει το δείγμα από το οποίο προέρχεται η κάθε παρατήρηση. Στην συνέχεια, πρέπει να ακολουθηθεί η παρακάτω διαδικασία: Επιλέγουμε Stat, Basic Statistics και -Sale t. Aν όλα τα δεδομένα έχουν εισαχθεί σε μια στήλη, επιλέγουμε Sales in one colun και στην συνέχεια επιλέγουμε την στήλη C3 στο πεδίο Sales και την στήλη C4 στο πεδίο Subscrits. 47

20 Αντίθετα, αν τα δεδομένα έχουν εισαχθεί σε δύο διαφορετικές στήλες, επιλέγουμε Sales in different coluns. Στο πεδίο First, επιλέγουμε την στήλη C1 και στο πεδίο Second, την στήλη C. Στο πεδίο Alternative, δηλώνουμε την μορφή της εναλλακτικής υπόθεσης. Οι δυνατές επιλογές είναι φυσικά 3 (not equal, less than, greater than). Για το παράδειγμα μας, πρέπει να επιλέξουμε not equal. Στο πεδίο Confidence level, δηλώνουνε το επίπεδο εμπιστοσύνης, καθώς το πακέτο δίνει πάντοτε πέρα από τα αποτελέσματα για τον έλεγχο της υπόθεσης και το αντίστοιχο διάστημα εμπιστοσύνης. Αν υποθέσουμε ότι οι διασπορές είναι ίσες, τότε κάνουμε κλικ στο τετράγωνο δίπλα από την επιλογή Assue equal variances. Επιλέγουμε ΟΚ Στην περίπτωση που έχουμε υποθέσει ίσες διασπορές, το πακέτο δίνει τα ακόλουθα αποτελέσματα: Two Sale T-Test and Confidence Interval Two sale T for C1 C N Mean StDev SE Mean 1 5 1,480 0,507 0,3 7 0,843 0,395 0,15 95% CI for u (1) - u (): ( 0,06; 1,) T-Test u (1) u () (vs not ): T,45 P 0,034 DF 10 Both use Pooled StDev 0,443 Αντίθετα, αν δεν έχουμε δηλώσει ισότητα διασπορών το Minitab δίνει τα παρακάτω αποτελέσματα: Two Sale T-Test and Confidence Interval Two sale T for C1 C N Mean StDev SE Mean 1 5 1,480 0,507 0,3 7 0,843 0,395 0,15 95% CI for u (1) - u (): ( -0,01; 1,8) T-Test u (1) u () (vs not ): T,35 P 0,051 DF 7 48

21 Τα αποτελέσματα που δίνει το πακέτο αποτελούνται από τον μέσο (Mean), την τυπική απόκλιση (StDev) και το τυπικό σφάλμα εκτίμησης της μέσης τιμής (SE Mean) για τα δύο δείγματα, ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την διαφορά των δύο μέσων (95% CI for u (1) - u ()), την τιμή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου (Τ), το παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας (Ρ) και τους βαθμούς ελευθερίας (DF). Στην περίπτωση που έχουμε υποθέσει ισότητα διασπορών, το πακέτο δίνει και την τιμή της σταθμισμένης τυπικής απόκλισης (Pooled StDev). Παράδειγμα 5o: Ας υποθέσουμε ότι μας ενδιαφέρει να συγκρίνουμε δύο βαθμολογητές που χρησιμοποιούνται από το Υπουργείο Παιδείας για την διόρθωση γραπτών στις πανελλήνιες εξετάσεις. Μας ενδιαφέρει να δούμε αν οι βαθμολογίες των δύο αυτών βαθμολογητών διαφέρουν στατιστικά σημαντικά μεταξύ τους. Για τον λόγο αυτό, διαλέγουμε ένα τυχαίο δείγμα πέντε γραπτών που έχουν βαθμολογηθεί από τους δύο αυτούς καθηγητές. Οι βαθμολογίες των δύο βαθμολογητών για τα πέντε αυτά γραπτά εμφανίζονται στον πίνακα που ακολουθεί: Μαθητής Βαθμολογητής 1 Χ i Βαθμολογητής i Διαφορά (D i i - i ) Μέσοι Τυπικές Αποκλίσεις Είναι φανερό ότι ο σχεδιασμός που επιλέξαμε χρησιμοποιεί τις παρατηρήσεις κατά ζεύγη. Αυτό είναι λογικό αφού με τον σχεδιασμό αυτό αποκλείουμε άλλες διαφορές που θα ήταν δυνατόν να υπεισέλθουν στις βαθμολογίες των δύο καθηγητών, όπως π.χ. διαφορές στις γνώσεις των μαθητών που βαθμολογούνται. (Στο παράδειγμα αυτό, φαίνονται καθαρά τα πλεονεκτήματα που έχει η 49

22 επιλογή δειγμάτων κατά ζεύγη έναντι αυτής των ανεξαρτήτων δειγμάτων). Αν παρατηρήσουμε για λίγο τα δεδομένα, βλέπουμε ότι οι διαφορές βαθμολογιών των δύο καθηγητών δεν είναι ιδιαίτερα μεγάλες. Βλέπουμε, όμως, ότι οι βαθμολογίες του βαθμολογητή 1 στο συγκεκριμένο δείγμα είναι πάντοτε χαμηλότερες από τις αντίστοιχες βαθμολογίες του βαθμολογητή. Δοθέντος ότι μας ενδιαφέρει να διαπιστώσουμε αν υπάρχει διαφορά μεταξύ των δύο βαθμολογητών, θα πρέπει να ελέγξουμε την υπόθεση Η 0 : μ D μ Χ - μ Υ 0 Η 1 : μ D μ Χ - μ Υ 0 Οι τιμές της διαφοράς μ D μ Χ - μ Υ που παρατηρήθηκαν με βάση το δείγμα των πέντε γραπτών εμφανίζονται στην τελευταία στήλη του πίνακα (και είναι -3, -, -1, -3, -). Για το δείγμα αυτό των διαφορών, έχουμε ότι x y. και s * D Η τιμή t 0 της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου Τ 0 για την συγκεκριμένη περίπτωση είναι D.. t * s / n.837/ D Για την τιμή αυτή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου, η - τιμή βρίσκεται από τους πίνακες της κατανομής t να είναι -τιμή P( T ).004 Παρατηρούμε ότι η -τιμή του ελέγχου αυτού είναι εξαιρετικά χαμηλή (.004). Επομένως, ακόμη και σε επίπεδο σημαντικότητας 5, με βάση τις παρατηρήσεις του δείγματος αυτού η μηδενική υπόθεση θα πρέπει να απορριφθεί, γεγονός που μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά στον τρόπο βαθμολόγησης των βαθμολογητών. Λύση με το πακέτο SPSS Εισάγουμε τα δεδομένα του πρώτου δείγματος σε μια μεταβλητή (έστω var00001) και εκείνα του δεύτερου σε μια άλλη (έστω var0000) 430

23 Από την επιλογή Analyze, επιλέγουμε Coare Means και στην συνέχεια Paired-Sales T test Στο παράθυρο που εμφανίζεται, επιλέγουμε πρώτα την μεταβλητή var00001 και στην συνέχεια την var0000 έτσι ώστε να εμφανισθούν και οι δύο στο σημείο του παραθύρου που έχει τον τίτλο Current Selections. Πατάμε με το ποντίκι το βέλος που βρίσκεται στο κέντρο του παραθύρου έτσι ώστε να εμφανισθούν στο πεδίο Paired-Variables οι δύο μεταβλητές. Επιλέγουμε ΟΚ Τα αποτελέσματα που δίνει το πακέτο είναι τα ακόλουθα: Paired Sales Statistics Pair 1 VAR00001 VAR0000 Std. Error Mean N Std. Deviation Mean 89, ,3615 1, , ,033 1,3565 Paired Sales Correlations Pair 1 VAR00001 & VAR0000 N Correlation Sig. 5,971,006 Paired Sales Test Pair 1 VAR VAR0000 Mean Std. Deviation Paired Differences 95% Confidence Interval of the Difference Std. Error Mean Lower Uer -,000,8367,374-3,4-1,1611-5,880 4,004 t df Sig. (-taile d) Στον πρώτο από τους τρεις πίνακες, δίνονται ο μέσος (Mean), ο αριθμός των παρατηρήσεων (N), η τυπική απόκλιση (Std. Deviation) και το τυπικό σφάλμα εκτίμησης της μέσης τιμής (Std. Error Mean) και για τα δύο δείγματα. Στον δεύτερο πίνακα, δίνεται η τιμή του συντελεστή συσχέτισης (correlation) των δύο δειγμάτων και το παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας για τον έλεγχο του ότι η τιμή του συντελεστή συσχέτισης είναι ίση με μηδέν. 431

24 Στον τρίτο πίνακα, δίνεται ο μέσος των διαφορών των δύο δειγμάτων (Mean), η τυπική απόκλιση των διαφορών (Std. Deviation) και το τυπικό σφάλμα εκτίμησης της μέσης τιμής των διαφορών (Std. Error Mean). Επίσης δίνονται τα όρια του 95% διαστήματος εμπιστοσύνης για την διαφορά των μέσων (95% Confidence Interval of the Difference), η τιμή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου (t), οι βαθμοί ελευθερίας (df) και το παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας (Sig. -tailed) Λύση με το πακέτο Minitab Εισάγουμε τα δεδομένα του πρώτου δείγματος σε μια μεταβλητή (έστω C1) και εκείνα του δεύτερου σε μια άλλη (έστω C) Επιλέγουμε Stat, Basic Statistics και Paired t. Στο πεδίο First Sale, επιλέγουμε την στήλη C1 και στο πεδίο Second Sale την στήλη C. Επιλέγοντας otions, μπορούμε να δηλώσουμε το επίπεδο εμπιστοσύνης για το διάστημα εμπιστοσύνης που δίνει υποχρεωτικά το πακέτο (confidence level), την τιμή με την οποία θέλουμε να ελέγξουμε αν είναι ίση η διαφορά των δύο μέσων τιμών (Test ean) και την μορφή της εναλλακτικής υπόθεσης (Alternative). Για το παράδειγμα μας, πρέπει να επιλέξουμε not equal. Επιλέγουμε ΟΚ για να επιστρέψουμε στο παράθυρο Paired t Επιλέγουμε ΟΚ Το πακέτο δίνει τα παρακάτω αποτελέσματα: Paired T-Test and Confidence Interval Paired T for C1 - C N Mean StDev SE Mean C1 5 89,60 3,36 1,50 C 5 91,80 3,03 1,36 Difference 5 -,00 0,837 0,374 95% CI for ean difference: (-3,39; -1,161) T-Test of ean difference 0 (vs not 0): T-Value -5,88 P-Value 0,004 43

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ Α εξάμηνο 2010-2011 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ Ποιοτικές και Ποσοτικές μέθοδοι και προσεγγίσεις για την επιστημονική έρευνα users.sch.gr/abouras

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ A εξάμηνο 2009-2010 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Μεθοδολογία Έρευνας και Στατιστική ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Ποιοτικές και Ποσοτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 5 ο

Μενύχτα, Πιπερίγκου, Σαββάτης. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 5 ο Κατανομές Στατιστικών Συναρτήσεων Δύο ανεξάρτητα δείγματα από κανονική κατανομή Έστω Χ= ( Χ, Χ,..., Χ ) τ.δ. από Ν( µ, σ ) μεγέθους n και 1 n 1 1 Y = (Y, Y,..., Y ) τ.δ. από Ν( µ, σ ) 1 n 1 Χ Y ( µ µ )

Διαβάστε περισσότερα

Μαντζούνη, Πιπερίγκου, Χατζή. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 5 ο

Μαντζούνη, Πιπερίγκου, Χατζή. ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 5 ο Κατανομές Στατιστικών Συναρτήσεων Δύο δείγματα από κανονική κατανομή Έστω Χ= ( Χ, Χ,..., Χ ) τ.δ. από Ν( µ, σ ) μεγέθους n και 1 n 1 1 Y = (Y, Y,...,Y ) τ.δ. από Ν( µ, σ ) 1 n 1 Χ Y ( µ µ ) S σ Τ ( Χ,Y)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Δεδομένων

Εισαγωγή στην Ανάλυση Δεδομένων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΔΙΑΛΕΞΗ 09-10-2015 Εισαγωγή στην Ανάλυση Δεδομένων Βασικές έννοιες Αν. Καθ. Μαρί-Νοέλ Ντυκέν ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΔΙΑΛΕΞΗ 30-10-2015 1. Στατιστικοί παράμετροι - Διάστημα εμπιστοσύνης Υπολογισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Άσκηση 1 η Ένας παραγωγός σταφυλιών ισχυρίζεται ότι τα κιβώτια σταφυλιών που συσκευάζει

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 5 η : Επαγωγική Στατιστική ΙΙ Ανάλυση ποσοτικών δεδομένων. Δημήτριος Σταμοβλάσης Φιλοσοφίας Παιδαγωγικής

Ενότητα 5 η : Επαγωγική Στατιστική ΙΙ Ανάλυση ποσοτικών δεδομένων. Δημήτριος Σταμοβλάσης Φιλοσοφίας Παιδαγωγικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην Ανάλυση Ερευνητικών Δεδομένων στις Κοινωνικές Επιστήμες Με χρήση των λογισμικών IBM/SPSS και LISREL Ενότητα 5 η : Επαγωγική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 5. Στατιστική συµπερασµατολογία για ποσοτικές µεταβλητές: Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήµατα εµπιστοσύνης

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 5. Στατιστική συµπερασµατολογία για ποσοτικές µεταβλητές: Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήµατα εµπιστοσύνης ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 5. Στατιστική συµπερασµατολογία για ποσοτικές µεταβλητές: Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήµατα εµπιστοσύνης ιαστήµατα εµπιστοσύνης και έλεγχοι υποθέσεων για τη µέση τιµή Για µια ποσοτική µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

Παράδειγμα: Γούργουλης Βασίλειος, Επίκουρος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Έλεγχος ύπαρξης στατιστικά σημαντικών διαφορών μεταξύ περισσότερων από δύο ανεξάρτητων δειγμάτων, που διαχωρίζονται βάσει ενός ανεξάρτητου παράγοντα (Ανάλυση διακύμανσης για ανεξάρτητα δείγματα ως προς

Διαβάστε περισσότερα

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας

Κλωνάρης Στάθης. ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Κλωνάρης Στάθης ΠΜΣ: Οργάνωση & Διοίκηση Επιχειρήσεων Τροφίμων και Γεωργίας Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με τις τεχνικές εκτίμησης παραμέτρων για ένα πληθυσμό όπως: τον Μέσο µ και το ποσοστό p Θα συνεχίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τον έλεγχο της υπόθεσης της ισότητα δύο μέσων τιμών με εξαρτημένα δείγματα. Εξαρτημένα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Στις προηγούμενες ενότητες ασχοληθήκαμε με μεθόδους που οδηγούν σε εκτιμήτριες των τιμών μιας ή και περισσοτέρων αγνώστων παραμέτρων. Αυτό έγινε με την κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα : Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ένα άλλο πρόβλημα της Στατιστικής που έχει κυρίως (αλλά όχι μόνο) σχέση με τις παραμέτρους ενός πληθυσμού (τις παραμέτρους της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) .5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Ενότητα: Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Απόστολος Μπατσίδης Τμήμα: Μαθηματικών ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Αρχείο δεδομένων school.sav Στον πίνακα Descriptives, μας δίνονται για την Επίδοση ως προς τις πέντε διαφορετικές μεθόδους διδασκαλίας, το

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

1991 US Social Survey.sav

1991 US Social Survey.sav Παραδείγµατα στατιστικής συµπερασµατολογίας µε ένα δείγµα Στα παραδείγµατα χρησιµοποιείται απλό τυχαίο δείγµα µεγέθους 1 από το αρχείο δεδοµένων 1991 US Social Survey.sav Το δείγµα λαµβάνεται µε την διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Δείγμα (μεγάλο) από οποιαδήποτε κατανομή

Δείγμα (μεγάλο) από οποιαδήποτε κατανομή ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εργαστήριο 4ο Κατανομές Στατιστικών Συναρτήσεων Δείγμα από κανονική κατανομή Έστω Χ= Χ Χ Χ τ.δ. από Ν µσ τότε ( 1,,..., n) (, ) Τ Χ Χ Ν Τ Χ σ σ Χ Τ Χ n Χ S µ S µ 1( ) = (0,1), ( ) = ( n 1)

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 6 Σχέσεις μεταξύ μεταβλητών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. )

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Πίνακας Περιεχομένων Εργασία η... Θέμα ο :... Θέμα ο :... 4 Θέμα 3 ο :...

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Χ 2 test ανεξαρτησίας: σχέση 2 ποιοτικών μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων 7.. Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων Όπως ήδη αναφέρθηκε, μία ευρύτατα διαδεδομένη μέθοδος για την εκτίμηση των σταθερών α και β είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Η μέθοδος αυτή επιλέγει εκτιμήτριες

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγική Στατιστική. Εισαγωγή Βασικές έννοιες

Επαγωγική Στατιστική. Εισαγωγή Βασικές έννοιες Επαγωγική Στατιστική Εισαγωγή Βασικές έννοιες Επαγωγική Στατιστική Πως μπορούμε να συγκρίνουμε μεταβλητές μεταξύ τους? Διαφορά συγκρίνοντας το μέσο μιας μεταβλητής (λόγος ή διάστημα) στις ομάδες πχ. t-test

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με ανεξάρτητα δείγματα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με ανεξάρτητα δείγματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με ανεξάρτητα δείγματα Θέλοντας να εξετάσουμε τις μέσες τιμές δύο πληθυσμών πρέπει να διακρίνουμε κατά τα γνωστά από τη θεωρία δύο περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης Ν161_(262)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 06_01_Έλεγχος_Υποθέσεων Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Υπόθεση: "μπορεί ο αριθμητικός μέσος του δείγματος να είναι ίδιος με τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Ενότητα 3 Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Εκτός από τις μέσες τιμές, τυπικές αποκλίσεις κλπ, θέλουμε να βρούμε κατά πόσον αυτές οι παρατηρούμενες τάσεις εξαρτώνται από συγκεκριμένες συνθήκες ή προϋποθέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Ενότητα: Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με ανεξάρτητα δείγματα Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Απόστολος Μπατσίδης Τμήμα: Μαθηματικών ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανάλυση Διακύμανσης Η Ανάλυση Διακύμανσης είναι μία τεχνική που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ.

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ. ΣΤ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (ANALYSIS OF VARIANCE - ANOVA) ΣΤ 1. Ανάλυση ιασποράς κατά µία κατεύθυνση. Όπως έχουµε δει στη παράγραφο Β 2, όταν θέλουµε να ελέγξουµε, αν η µέση τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής διαφέρει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΒΑΣΙΖΟΜΕΝΟΙ ΣΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΑΠΟ ΔΥΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΒΑΣΙΖΟΜΕΝΟΙ ΣΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΑΠΟ ΔΥΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΒΑΣΙΖΟΜΕΝΟΙ ΣΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΑΠΟ ΔΥΟ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Οι έλεγχοι που εξετάζονται στο κεφάλαιο αυτό αποτελούν επεκτάσεις για την περίπτωση περισσοτέρων

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Κεφάλαιο 14. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης. Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Κεφάλαιο 14 Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 1 Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Παραµετρικό στατιστικό κριτήριο για τη µελέτη της επίδρασης µιας ανεξάρτητης µεταβλητής στην εξαρτηµένη Λογική παρόµοια

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test

Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου. One-Sample t-test 1 Σύγκριση μέσου όρου πληθυσμού με τιμή ελέγχου One-Sample t-test 2 Μια σύντομη αναδρομή Στα τέλη του 19 ου αιώνα μια μεγάλη αλλαγή για την επιστήμη ζυμώνονταν στην ζυθοποιία Guinness. Ο William Gosset

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13 Σύγκριση των Παραμέτρων Δύο Πληθυσμών

Κεφάλαιο 13 Σύγκριση των Παραμέτρων Δύο Πληθυσμών Κεφάλαιο 13 Σύγκριση των Παραμέτρων Δύο Πληθυσμών Σύγκριση Δύο Πληθυσμών Προηγούμενα εξετάσαμε τεχνικές για την εκτίμηση και τον έλεγχο παραμέτρων για έναν πληθυσμό. Θα συνεχίσουμε να εξετάζουμε αυτές

Διαβάστε περισσότερα

Το τυπικό σφάλμα του μέσου (standard error of mean) ενός δείγματος

Το τυπικό σφάλμα του μέσου (standard error of mean) ενός δείγματος Το σύμβολο μ απεικονίζει 92.4% το μέσο όρο του πληθυσμού 121 92.4% το μέσο όρο του δείγματος 8 6.1% το μέσο όρο της κατανομής t 0 0% το μέσο όρο της κανονικής κατανομής 2 1.5% Το σύμβολο X απεικονίζει

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Τι θέλουμε να συγκρίνουμε; Δύο δείγματα Μέση αρτηριακή πίεση σε δύο ομάδες Πιθανότητα θανάτου με δύο διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 2: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΜΥΛΩΝΑ ΔΙΟΝΥΣΙΑ ΕΠΟΠΤΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΔΡ. ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΚΑΡΙΩΤΗ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12. Σύγκριση μεταξύ δύο δειγμάτων: Το κριτήριο t

Κεφάλαιο 12. Σύγκριση μεταξύ δύο δειγμάτων: Το κριτήριο t Κεφάλαιο 12 Σύγκριση μεταξύ δύο δειγμάτων: Το κριτήριο t 1 Πώς δημιουργήθηκε W. S. Gosset (1908) Χημικός στη βιομηχανία Μπύρας Guiness Σύγκριση διαφόρων δειγμάτων μπύρας Δημοσίευση αποτελεσμάτων ως Student

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Ι. Οικονομόπουλος Δάσκαλος

Δημήτρης Ι. Οικονομόπουλος Δάσκαλος Eπιστημονικό Bήμα, τ. 10, - Ιανουάριος 2009 Επίδοση στο γυμνάσιο και εγκατάλειψη της εννιάχρονης υποχρεωτικής εκπαίδευσης για τους μαθητές που προέρχονται από ολιγοθέσια και πολυθέσια δημοτικά σχολεία

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 12. Εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 12. Εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΥ & Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγητών του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και την Στατιστική Συμπερασματολογία)

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων

Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων Ενότητα: Έλεγχος ότι η παράμετρος θέσης ενός πληθυσμού είναι ίση με δοθείσα γνωστή τιμή Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Απόστολος Μπατσίδης Τμήμα: Μαθηματικών ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

= p 20 1 p 18. 1 p Το σημείο στο οποίο μηδενίζεται η παραπάνω μερική παράγωγος είναι

= p 20 1 p 18. 1 p Το σημείο στο οποίο μηδενίζεται η παραπάνω μερική παράγωγος είναι Άσκηση 1 i) Σε κάθε παρατήρηση περιλαμβάνεται ένας έλεγχος (ο τελευταίος) κατά τον οποίο εμφανίστηκε το πρώτο ελαττωματικό της παραγωγικής διαδικασίας. Επομένως, ο αριθμός ελέγχων που έγιναν πριν εμφανιστεί

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 7 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

3.4.1 Ο Συντελεστής ρ του Spearman

3.4.1 Ο Συντελεστής ρ του Spearman 3.4. Ο Συντελεστής ρ του Spearma Έστω (, ), (, ),..., (, ) ένα δείγμα παρατηρήσεων πάνω στο τυχαίο διάνυσμα (, ). Έστω ( ) ο βαθμός ή η τάξη μεγέθους της μεταβλητής όταν αυτή συγκρίνεται με τις άλλες Χ

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα