8. Ανάλυση Διασποράς ως προς. δύο παράγοντες

Transcript

1 8. Ανάλυση Διασποράς ως προς δύο παράγοντες

2 Ανάλυση Διασποράς ως προς δύο παράγοντες Α, Β δύο παράγοντες κ: στάθμες (επίπεδα) του παράγοντα Α λ: στάθμες (επίπεδα) του παράγοντα Β κ λ : πειραματικές συνθήκες Ανάλυση Διασποράς ως προς δύο παράγοντες-το πλήρες παραγοντικό υπόδειγμα n παρατηρήσεις σε κάθε πειραματική συνθήκη συνολικός αριθμός παρατηρήσεων Ν=κ λ n Ανάλυση Διασποράς ως προς δύο παράγοντες - Τυχαιοποιημένα μπλοκ Μία παρατήρηση σε κάθε πειραματική συνθήκη συνολικός αριθμός παρατηρήσεων Ν=κ λ ΒΙΟ309-ANOVA -2 2

3 Επίπεδα του παράγοντα Α 1. Ανάλυση Διασποράς για δύο παράγοντες Το πλήρες παραγοντικό υπόδειγμα Επίπεδα του παράγοντα Β A 1 B n B n B n A n n 1 2 n 3

4 Στατιστικά ij ij i : η παρατήρηση του επιπέδου i του Α και του επιπέδου j του Β : η μέση τιμή του κελιού (i,j) : η μέση τιμή των λn παρατηρήσεων του επιπέδου i του Α j : η μέση τιμή των κn παρατηρήσεων του επιπέδου j του B : η συνολική μέση τιμή των Ν=κ λ n παρατηρήσεων ΒΙΟ309-ANOVA -2 4

5 Παράδειγμα Ο παρακάτω πίνακας περιέχει μετρήσεις της συγκέντρωσης ασβεστίου στο αίμα σε ένα πληθυσμό πουλιών. Θέλουμε να εξετάσουμε την επίδραση δύο παραγόντων, Α (φύλο: αρσενικό-θηλυκό) και Β (θεραπεία: χωρίς ορμόνη με ορμόνη), στη συγκέντρωσης ασβεστίου στο αίμα (εξαρτημένη μεταβλητή) Α \ Β χωρίς ορμόνη με ορμόνη θηλυκό 16,5 18,4 12,7 14,0 12,8 αρσενικό 14,5 11,0 10,8 14,3 10,0 39,1 26,2 21,3 35,8 40,2 32,0 23,8 28,8 25,0 29,3 2x2 παραγοντικό πείραμα 5

6 Το μοντέλο της ANOVA με δύο παράγοντες Το πλήρες παραγοντικό υπόδειγμα ij i j ( ), i 1,2,,, j 1,2,,, 1,2,, n ij ij μ : ο γενικός μέσος a i j : η επίδραση του επιπέδου i του παράγοντα Α στη διαμόρφωση των τιμών : η επίδραση του επιπέδου j του παράγοντα B στη διαμόρφωση των τιμών ( ) ij : η αλληλεπίδραση των επιπέδων i και j στη διαμόρφωση των ij τιμών ij ij ij : το σφάλμα κατά την εκτίμηση των ij ΒΙΟ309-ANOVA -2 6

7 Προϋποθέσεις 1. Το σύνολο των παρατηρήσεων καθενός από τους κλ συνδυασμούς των επιπέδων των δύο παραγόντων αποτελεί τυχαίο και ανεξάρτητο δείγμα 2. Κάθε ένας από του κλ πληθυσμούς είναι κανονικά κατανεμημένος 3. Όλοι οι πληθυσμοί έχουν την ίδια διασπορά ΒΙΟ309-ANOVA -2 7

8 Οι υποθέσεις που ελέγχονται Έλεγχος των αλληλεπιδράσεων των παραγόντων Α και Β H : ( a ) 0, i 1,2,,, j 1,2,, 0 AB ij H : ( a ) 0 για κάποια i,j 1AB ij Έλεγχος των επιδράσεων του παράγοντα Α H0A : ai 0, i 1,2,, H1A : a i 0 για κάποιο i Έλεγχος των επιδράσεων του παράγοντα Β H : 0, j 1,2,, 0 j H : 0 για κάποιο j 1B j ΒΙΟ309-ANOVA -2 8

9 Πηγές μεταβλητότητας (1) Συνολική μεταβλητότητα SST n i1 j1 1 ( ij ) 2, β.ε. N 1 Η συνολική μεταβλητότητα είναι ένα άθροισμα μεταβολών που οφείλεται στη δράση του παράγοντα Α (SSA) στη δράση του παράγοντα B (SSB) στην αλληλεπίδραση των παραγόντων Α και Β (SSAB) σε μη ελεγχόμενους παράγοντες (υπόλοιπη μεταβλητότητα ή σφάλμα) (SSE) SST=SSA+SSB+SSAB+SSE ΒΙΟ309-ANOVA -2 9

10 Πηγές μεταβλητότητας (2) SSA n i1 ( i ) 2, β.ε. 1 SSB n j1 ( j ) 2, β.ε. 1 SSAB n i1 j1 ( ij i j ) 2 β.ε. ( 1)( 1) SSE n i1 j1 1 ( ij ij ) 2 β.ε. ( n 1) ΒΙΟ309-ANOVA -2 10

11 Πίνακας ΑNOVA ( MODEL I ) Πηγή Μεταβλη- Άθροισμα τετραγώνων β.ε. Μέσο άθροισμα τετραγώνων Λόγος-F Κρίσιμο σημείο τότητας (SS) (ΜS) Παράγοντας Α SSA κ-1 SSA ΜSA 1 F A MSA F 1, ( n1); Παράγοντας Β SSB λ-1 SSB ΜSB 1 F B MSB F 1, ( n1); Αλληλεπίδραση ΑxB SSAB (κ-1)(λ-1) Σφάλμα SSE κλ(n-1) SSB ΜSΑB ( 1)( 1) SSE ΜSE ( n 1) F AB MSAB F ( 1)( 1), ( n1); 11

12 Έλεγχοι σημαντικότητας (1) Έλεγχος για τη σημαντικότητα της αλληλεπίδρασης Η0ΑΒ : Δεν υπάρχουν αλληλεπιδράσεις μεταξύ των παραγόντων Α και Β Η1ΑΒ : Υπάρχουν αλληλεπιδράσεις μεταξύ των δύο παραγόντων Στατιστικό: F AB MSAB Περιοχή απόρριψης της Η0 : F AB F( 1)( 1), ( n1); a (α : επίπεδο σημαντικότητας) ΒΙΟ309-ANOVA -2 12

13 Έλεγχοι σημαντικότητας (2) Έλεγχος για τη σημαντικότητα του παράγοντα Α Η0Α : ο παράγοντας Α δεν επιδρά Η1Α : ο παράγοντας Α επιδρά Στατιστικό: F A MSA Περιοχή απόρριψης της Η0 : F A F 1, ( n1); a Έλεγχος για τη σημαντικότητα του παράγοντα Β Η0Β : ο παράγοντας Β δεν επιδρά Η1Β : ο παράγοντας Β επιδρά Στατιστικό: F B MSB Περιοχή απόρριψης της Η0 : F B F 1, ( n1); a 13

14 Παράδειγμα Ο παρακάτω πίνακας περιέχει μετρήσεις της συγκέντρωσης ασβεστίου στο αίμα σε ένα πληθυσμό πουλιών. Θέλουμε να εξετάσουμε την επίδραση δύο παραγόντων, Α (φύλο: αρσενικό-θηλυκό) και Β (θεραπεία: χωρίς ορμόνη με ορμόνη), στη συγκέντρωσης ασβεστίου στο αίμα (εξαρτημένη μεταβλητή) Α \ Β χωρίς ορμόνη με ορμόνη θηλυκό 16,5 18,4 12,7 14,0 12,8 αρσενικό 14,5 11,0 10,8 14,3 10,0 39,1 26,2 21,3 35,8 40,2 32,0 23,8 28,8 25,0 29,3 2x2 παραγοντικό πείραμα 14

15 Παράδειγμα- Πίνακας ΑNOVA Πηγή Μεταβλητότητας Άθροισμα τετραγώνων (SS) β.ε. Μέσο άθροισμα τετραγώνων (ΜS) Λόγος-F Κρίσιμο σημείο Παράγοντας Α (φύλο) Παράγοντας Β (θεραπεία ορμόνης) Αλληλεπίδραση ΑxB 70, ,49 ΜSA 70, , ,49 ΜSB 1386,1130 4, ,49 ΜSΑB 4,9005 0,214 F A F B F AB 3,07 60,5 Σφάλμα 366, ΜSE 22,

16 Συγκέντρωση ασβεστίου Παράδειγμα Α \ Β θηλυκό (Α1) Αρσενικό (Α2) χωρίς ορμόνη (Β1) 14,88 ( ) 12,12 ( ) 13,50 ( ) με ορμόνη (Β2) 32,52 ( ) 25,78 ( ) 30,15 ( ) 1 23,70 ( ) 2 19,95 (*) Α1 Α2 Επίδραση του Α Β * * Β1 Β2

17 Υπολογισμός του λόγου F MODEL I MODEL II MODEL III Επιδράσεις A fixed A random A fixed B fixed B random B random Παράγοντας Α F A MSA F A MSA MSAB F A MSA MSAB Παράγοντας Β F B MSB F B MSB MSAB F B MSB Αλληλεπίδραση ΑxB F AB MSAB F AB MSAB F AB MSB 17

18 Επίπεδα του παράγοντα Α 2. Ανάλυση διασποράς με δύο παράγοντες Μία παρατήρηση σε κάθε πειραματική συνθήκη B1 Επίπεδα του παράγοντα Β B 2 B A A

19 2. Το μοντέλο της ANOVA με δύο παράγοντες Μία παρατήρηση σε κάθε πειραματική συνθήκη ij, i 1,2,,, j 1,2,, i j ij μ : ο γενικός μέσος a i j ij : η επίδραση του επιπέδου i του παράγοντα Α στη διαμόρφωση των τιμών : η επίδραση του επιπέδου j του παράγοντα B στη διαμόρφωση των τιμών ij ij : το σφάλμα κατά την εκτίμηση των ij ΒΙΟ309-ANOVA -2 19

20 Οι υποθέσεις που ελέγχονται Έλεγχος των επιδράσεων του παράγοντα Α H0A : ai 0, i 1,2,, H1A : a i 0 για κάποιο i Έλεγχος των επιδράσεων του παράγοντα Β H : 0, j 1,2,, 0 j H : 0 για κάποιο j 1B j ΒΙΟ309-ANOVA -2 20

21 Πίνακας ΑNOVA Πηγή Μεταβλη- τότητας Άθροισμα τετραγώνων (SS) β.ε. Μέσο άθροισμα τετραγώνων (ΜS) Λόγος-F Παράγοντας Α κ-1 2 SSA ( i ) i1 SSA ΜSA 1 F A MSA Παράγοντας Β λ-1 2 SSB ( ) Σφάλμα j 1 j SSE=SST-SSA-SSB (κ-1)(λ-1) SSB ΜSB 1 SSE ΜSE ( 1)( 1) F B MSB Συνολική SST i1 j1 ( ij ) 2 κλ-1 Μη σημαντική αλληλεπίδραση 21

22 Έλεγχοι σημαντικότητας Έλεγχος για τη σημαντικότητα του παράγοντα Α Η0Α : ο παράγοντας Α δεν επιδρά Η1Α : ο παράγοντας Α επιδρά Στατιστικό: F A MSA Περιοχή απόρριψης της Η0 : F A F 1,( 1)( 1); a Έλεγχος για τη σημαντικότητα του παράγοντα Β Η0Β : ο παράγοντας Β δεν επιδρά Η1Β : ο παράγοντας Β επιδρά Στατιστικό: F B MSB Περιοχή απόρριψης της Η0 : F B F 1,( 1)( 1); a 22

23 Τυχαιοποιημένα μπλοκ Randomized block design Η ανάλυση του σχεδιασμού με τυχαιοποιημένα μπλοκ βασίζεται στην ANOVA με δύο παράγοντες και μία παρατήρηση σε κάθε πειραματική συνθήκη. 23

24 Παράδειγμα- Τυχαιοποιημένα μπλοκ Επίδραση 4 τροφών στο βάρος των ινδικών χοιριδίων (guinea pigs). Σε ένα τέτοιο πειραματικό σχεδιασμό τα στοιχεία του κάθε block σχετίζονται μεταξύ τους (π.χ. τα 4 άτομα έχουν τους ίδιους γονείς). Τα άτομα σε κάθε block βρίσκονται στις ίδιες συνθήκες (φωτισμού, θερμοκρασίας, υγρασίας, κ.λ.π) εκτός της δίαιτας. Στα 4 άτομα του κάθε block τυχαία δίνεται μία δίαιτα. Δίαιτα Blocks ,0 5,3 4,9 8,8 2 9,9 5,7 7,6 8,9 3 8,5 4,7 5,5 8,1 4 5,1 3,5 2,8 3,3 5 10,3 7,7 8,4 9,1 24

25 Παράδειγμα - Πίνακας ΑNOVA H0: η μέση αύξηση του βάρους των ινδικών χοιριδίων είναι ίδια για όλες τις δίαιτες H1: η μέση αύξηση του βάρους των ινδικών χοιριδίων δεν είναι ίδια για όλες τις δίαιτες Πηγή Μεταβλη- Άθροισμα τετραγώνων β.ε. Μέσο άθροισμα τετραγώνων Λόγος-F Κρίσιμο σημείο τότητας (SS) (ΜS) Δίαιτα 27,43 3 ΜSA 9,14 F A 11,8 F 3,12;0,05 3,49 Μπλοκ 62,56 4 Σφάλμα 9,28 12 ΜSE 0,77 Συνολική 99,35 19 Η Η0 απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητα α=0,05. Η 4 δίαιτες επιδρούν διαφορετικά στην αύξηση του βάρους. 25