1. Tο φαινόµενο της επαγωγής σε µεταλλικό πλαίσιο-nόµος του Faraday

Transcript

1

2 1. Tο φαινόµενο της επαγωγής σε µεταλλικό πλαίσιο-nόµος του Faraday Θεωρούµε µεταλλικό πλαίσιο τυχαίου σχήµατος, του οποίου οι άκρες συνδέον ται µε αµπερόµετρο (α), ώστε να σχηµατίζεται κλειστό κύκλωµα. (σχήµα 1) Tο πλαίσιο βρίσκεται µέσα σε µαγνητικό πεδίο, ώστε η επιφάνεια του να διασχί ζεται από δυναµικές γραµµές του πεδίου, δηλαδή µέσα από την επιφάνειά του διέρχεται µαγνητική ροή. Aν µεταβάλλουµε τη µαγνητική ροή (λ.χ. µετακι νώντας το πλαίσιο, ή µεταβάλλοντας το µαγνητικό πεδίο), τότε θα διαπιστώσου µε ότι, όσο χρόνο διαρκεί η µεταβολή της ο δείκτης του αµπεροµέτρου εκτρέ πεται, δηλαδή στο κύκλωµα κυκλοφορεί ηλεκτρικό ρεύµα. Aυτό σηµαίνει ότι, στη διάρκεια που µεταβάλλεται η µαγνητική ροή µέσα από την επιφάνεια του πλαισίου δηµιουργείται κατά µήκος αυτού µια ηλεκτρεγερτική δύναµη, η οποία διακινεί το ρεύµα. Tο φαινόµενο αυτό, που για πρώτη φορά διαπιστώ θηκε πειραµατικά από τον M. Faraday, ονοµάζεται ηλεκτροµαγνητική επαγω Σχήµα 1 γή. Aν αφαιρέσουµε το αµπερόµετρο και εξακολουθήσουµε να µεταβάλλουµε τη µαγνητική ροή µέσα από την επιφάνεια του πλαισίου, πάλι θα αναπτύσσεται κατά µήκος του επαγωγική H.E.Δ., η οποία όµως τώρα δεν θα προκαλεί επαγω γικό ρεύµα, αφού το πλαίσιο αποτελεί ανοιχτό κύκλωµα. Aπό τα παραπάνω συµπεραίνουµε ότι, το κύριο φαινόµενο της ηλεκτροµαγνητικής επαγωγής εί ναι η δηµιουργία ηλεκτρεγερτικής δύναµης κατά µήκος µεταλλικού πλαισίου, όταν µεταβάλλεται η µαγνητική ροή που διασχίζει την επιφάνεια του, ενώ η κυκλοφορία επαγωγικού ρεύµατος αποτελεί δευτερογενές φαινόµενο, το οποίο εκδηλώνεται όταν το πλαίσιο αποτελεί κλειστό κύκλωµα. Aς υποθέσουµε τώρα ότι, µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt η µαγνητική ροή µέσα από την επιφάνεια του πλαισίου µεταβάλλεται κατά dφ. Tο πηλίκο dφ/dt, αναφέρεται

3 στη χρονική στιγµή t και ονοµάζεται ρυθµός ή ταχύτητα µεταβολής της µαγνη τικής ροής Φ, κατά τη στιγµή αυτή. O Faraday έδειξε πειραµατικά ότι, η τιµή της επαγωγικής H.E.Δ. στο πλαίσιο κατά τη χρονική στιγµή t είναι ίση µε d/dt, δηλαδή ισχύει η σχέση: E " = d dt (1) Όµως, η επαγωγική H.E.Δ. εκτός από την τιµή της χαρακτηρίζεται και από την πολικότητά της, η οποία έχει άµεση σχέση µε τη συµβατική φορά του επαγωγι κού ρεύµατος, που θα δηµιουργήσει στο πλαίσιο, όταν αυτό αποτελεί κλειστό κύκλωµα. Εξάλλου είναι πειραµατικά βεβαιωµένο ότι, η συµβατική φορά κάθε επαγωγικού ρεύµατος ακολουθεί τον λεγόµενο κανόνα του enz, συµφωνα µε τον οποίο: Tα επαγωγικά ρεύµατα έχουν τέτοια φόρα, ώστε µέσω των ηλεκτροµαγνητικών τους αποτελεσµάτων να αντιστέκονται στα αίτια δηµιουργίας τους. Αυτό σηµαίνει ότι ο κανόνας του enz αποτελεί ουσιώδες συστατικό του φαι νοµένου της ηλεκτροµαγνητικής επαγωγής και είναι απαραίτητο να ενσωµατω θεί σε µια σχέση που να εκφράζει µε ενιαίο τρόπο την τιµή και την πολικότητα κάθε επαγωγικής H.E.Δ. Η ιδέα να υποστηριχθεί µε µαθηµατικό τρόπο ο κανό νας του enz είχε ως κατάληξη να τροποποιηθεί η σχέση (1) και να λάβει την µορφή: E " = d dt (2) H σχέση (2) εκφράζει τον νόµο επαγωγής του Faraday, έχει δε πειραµατικό χαρακτήρα, διότι εν γένει δεν µπορεί να αποδειχθεί µε τη βοήθεια άλλων φυσι κών νόµων, που σηµαίνει ότι αποτελεί ανεξάρτητο φυσικό νόµο. Το αρνητικό πρόσηµο στην σχέση (2) οφείλεται σε συνδυασµό δύο γεγονότων: α) στην αυθαίρετη σύµβαση που κάνουµε για την επιλογή της φοράς του εµβα δικού διανύσµατος στα σηµεία της επιφάνειας S του πλαισίου, προκειµένου να εκφράσουµε την µεταβολή dφ της µαγνητικής ροής και β) στον κανόνα του enz, που εκφράζει την πολικότητα της επαγωγικής Η.Ε.Δ. Για να κατανοηθούν τα παραπάνω, ας εξετάσουµε την περίπτωση που το φαινό µενο της επαγωγής εµφανίζεται σε κυκλικό µεταλλικό πλαίσιο, όταν σ αυτό προσεγγίζει ένας µόνιµος µαγνήτης µε τον γεωµετρικό του άξονα κάθετο στο επίπεδο του πλαισίου και διερχόµενο από το κέντρο του (σχήµα 2). Επιλέγουµε αυθαίρετα το εµβαδικό διάνυσµα S του πλαισίου σύµφωνα µε τον κανόνα του δεξιού χεριού, δηλαδή του αποδίδουµε την φορά προς την οποία κατευθύνεται ο αντίχειρας του δεξιού χεριού, όταν τα υπόλοιπα δάκτυλα ενωµένα διαγρά φουν το περίγραµµα του πλαισίου, λογουχάρη αριστερόστροφα. Με βάση την επιλογή µας αυτή η µεταβολή dφ της µαγνητικής ροής µέσα από την επιφά νεια του πλαισίου, µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt θα είναι θετική διότι σε όλα τα σηµεία του πλαισίου το µέτρο της έντασης B του µαγνητικού πεδίου αυξάνεται στον χρόνο dt, η δε γωνία των διανυσµάτων B και S είναι οξεία. Σύµφωνα εποµένως µε την σχέση (2) η επαγώµενη στο πλαίσιο Η.Ε.Δ. θα

4 είναι αρνητική, που σηµαίνει ότι η ένταση Ι επ =Ε επ /R πλ του επαγωγικού ρεύµα τος την χρονική στιγµή t θα είναι αρνητική, δηλαδή η συµβατική του φορά είναι αντίθετη της αυθαίρετης φοράς διαγραφής του περιγράµµατος του πλαισί Σχήµα 2 ου. Το ερώτηµα που τίθεται είναι αν η φορά αυτή ανταποκρίνεται στον κανόνα του entz. Μια προσεχτική παρατήρηση µας πείθει ότι το επαγωγικο ρεύµα έχει µετατρέψει την χρονική στιγµή t το πλαίσιο σε µαγνητικό δίπολο, που οι δυναµικές γραµµές του µαγνητικού του πεδίου έχουν αντίθετη κατεύθυνση σε σχέση µε εκείνες του µαγνήτη, που σηµαίνει ότι το µαγνητικό πεδίο του επαγωγικού ρεύµατος αντιδρά στην αυξηση της µαγνητικής ροής µέσα από το πλαίσιο, που αποτελεί και την αιτία δηµιουργίας του επαγωγικού ρεύµατος. Παρατηρήσεις: i) Eάν µε τη βοήθεια του κανόνα του enz καθορίσουµε την πολικότητα της επαγωγικής H.E.Δ, τότε για τον υπολογισµό της τιµής της χρησιµοποιούµε τη σχέση (1), η οποία δεν εµπεριέχει τον κανόνα του enz. Aν όµως θέλουµε η πολικότητα της επαγωγικής H.E.Δ. να εκφράζεται µε µαθηµατικό τρόπο, τότε όλοι οι υπολογισµοί µας πρέπει να γίνονται µε βάση τη σχέση (2), η οποία εµπε ριέχει τον κανόνα του enz, σε συνδυασµό µε την αυθαίρετη επιλογή της φο ράς του εµβαδικού διανύσµατος. ii) Έστω ότι το πλαίσιο αποτελεί κλειστό κύκλωµα, συνολικής αντίστασης R ολ και ότι, η µαγνητική ροή µέσα από την επιφάνεια του µεταβάλλεται σε χρόνο t ολ κατά ΔΦ ολ. Tότε το ηλεκτρικό φορτίο (επαγωγικό φορτίο) q επ που θα περάσει µέσα από µιά οποιαδήποτε διατοµή του πλαισίου, µεταξύ των χρονικών στιγ µών t α και t β υπολογίζεται ως εξής: Διαµερίζουµε το χρόνο t β -t α σε στοιχειώδη χρονικά διαστήµατα dt 1, dt 2,...dt n υπολογίζουµε τα αντίστοιχα στοιχειώδη ηλεκ τρικά φορτία και τα αθροίζουµε, οπότε θα έχουµε: t " t " $ E q " = ( dq) = ( I " dt) = " dt' 1 & ) = ( E " dt) (3) % ( t t t " t R $ R $ Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε τη σχέση : t " t q " = t ( ) t ( ) 1 - d% R $ " dt dt $ 1 & = - ( d% ) = - &% $ (4) % R $ t ' t' R $

5 Όµως, το πηλίκο q επ. /(t β -t α ) εξ ορισµού αποτελεί τη µέση ένταση I" του επα γωγικού ρεύµατος για το χρόνο t β -t α., δηλαδή ισχύει: I" = q (4) " t - t " I" = - 1 %& $ & R % $ $ t - t ( (5) " ' Tο µέγεθος -ΔΦ ολ /(t β -t α ) ορίζεται ως µέση τιµή της επαγωγικής H.E.Δ. στο µεταλλικό πλαίσιο, για το χρονικό διάστηµα t β -t α και συµβολίζεται µε E" δη λαδή ισχύει: E" = - $ %& t - t " (6) Aπό τον παραπάνω ορισµό της µέσης επαγωγικής H.E.Δ. προκύπτει ότι, αυτή εκφράζει τη σταθερή εκείνη επαγωγική H.E.Δ. που προκαλεί στο πλαίσιο επα γωγικό ρεύµα σταθερής έντασης, τέτοιας ώστε, το επαγωγικό φορτίο που αντι στοιχεί στην ένταση αυτή και σε χρόνο t β -t α., να είναι ίσο µε το πραγµατικό επα γωγκό φορτίο που διέρχεται µέσα από µία οποιαδήποτε διατοµή του πλαισίου Σχήµα 3 στον χρόνο αυτό. Έτσι µε τη βοήθεια της E" µπορούµε να υπολογίσουµε το επαγωγικό φορτίο, χωρίς να είναι ανάγκη να γνωρίζουµε τον τρόπο µεταβολής της µαγνητικής ροής µέσα από την επιφάνεια του πλαισίου, αλλά µόνο τη συ νολική µεταβολή της ΔΦ ολ. Aν δεν µας ενδιαφέρει πολικότητα της E", αλλά µό νο η τιµή της, τότε µπορούµε αντί της σχέσεως (6), να χρησιµοποιούµε τη σχέ ση: E" = $ %& t - t " (7) η οποία δεν εµπεριέχει τον κανόνα του enz. iii) Eάν αντί ενός πλαισίου έχουµε n συνεχόµενα όµοια πλαίσια, που αποτε λούν ένα πηνίο και υπάρχει η ίδια µεταβολή µαγνητικής ροής σε όλα τα πλαί σια (σχήµα 3), τότε θα αναπτύσσεται κατά µήκος κάθε πλαισίου επαγωγική H.E.Δ. ίση µε -dφ/dt, όπου dφ/dt o κοινός ρυθµός µεταβολής της µαγνητικής ροής για όλα τα πλαίσια, κατά τη στιγµή που εξετάζουµε το πηνίο. Όµως τα n πλαίσια (σπείρες του πηνίου) αποτελούν ισάριθµες όµοιες γεννήτριες που συνδέονται κατά σειρά, οπότε η συνολική επαγωγική H.E.Δ. του πηνίου θα

6 είναι κάθε στιγµή ίση µε το άθροισµα των n επαγωγικών H.E.Δ. που δηµιουρ γούνται στις σπείρες του, δηλαδή θα ισχύει η σχέση: E " = -n d dt (8) H σχέση (8) αποτελεί τον νόµο της επαγωγής του Faraday για πηνίο, όταν από τις σπείρες του διέρχεται η ίδια µαγνητική ροή. 2. Mέτρηση της έντασης οµογενούς µαγνητικού πεδίου Θεωρούµε το οµογενές µαγνητικό πεδίο, που σχηµατίζεται µεταξύ των πόλων N και S του µαγνήτη του σχήµατος (4). Eισάγουµε στο πεδίο αυτό ένα κυκλικό πηνίο, έτσι ώστε ο γεωµετρικός του άξονας να είναι παράλληλος προς τις δυνα µικές γραµµές του πεδίου. και του οποίου οι άκρες συνδέοναι µε βαλλιστικό * γαλβανόµετρο (γ). Έστω Δt ο χρόνος που χρειάζεται για να εισχωρήσει µέσα στο πεδίο ολόκληρο το πηνίο και ΔΦ η αντίστοιχη µεταβολή της µαγνητικής ροής µέσα από κάθε σπείρα του. Στη διάρκεια του χρόνου Δt αναπτύσσσεται στις σπείρες του H.E.Δ. από επαγωγή, της οποίας η αντίστοιχη µέση τιµή είναι: Σχήµα 4 E" = n $ t = n $ - $ %& '() t E" = n BS - 0 t = n BS t (1) όπου n ο αριθµός των σπειρών του πηνίου, S το εµβαδόν κάθε σπείρας και B το µέτρο της έντασης του O.M.Π. του µαγνήτη. Όµως το πηνίο και το γαλβανόµε τρο αποτελούν κλειστό κύκλωµα, οπότε στη διάρκεια του χρόνου Δt κυκλοφο ρεί σ αυτό επαγωγικό ρεύµα, που η µέση του ένταση για το χρόνο Δt, δίνεται από τη σχέση: I" = (1) E " R " + R I" = nbs ( ) t R " + R $ I"t = nbs R " + R $ (2) όπου R π, R γ η ηλεκτρική αντίσταση του πηνίου και του γαλβανοµέτρου αντισ τοίχως. Aλλά το γινόµενο I" t αποτελεί το επαγωγικό φορτίο q επ που θα περά σει µέσα από το βαλλιστικό γαλβανόµετρο, δηλαδή αποτελεί την ένδειξη του γαλβανόµετρου, οπότε η σχέση (2) γράφεται: * Bαλλιστικό γαλβανόµετρο ονοµάζεται εκείνο το όργανο, που µπορεί να µετρά µικρές ποσότητες ηλεκτρικού φορτίου.

7 q " = nbs B = q (R + R ) " " R " + R ns (3) H σχέση (3) επιτρέπει την πειραµατική µέτρηση του µέτρου της έντασης του οµογενούς µαγνητικού πεδίου που εξετάζουµε. 3. Tο φαινόµενο της επαγωγής σε µεταλλικό αγωγό, που κινείται σε µαγνητικό πεδίο. Θεωρούµε ευθύγραµµο µεταλλικό αγωγό MN, µήκους, ο οποίος εκτελεί µε ταφορική κίνηση µε σταθερή ταχύτητα v, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στον αγωγό, το δε επίπεδο κίνησης του αγωγού είναι κάθετο στις δυναµικές γραµµές ενός οµογενούς µαγνητικού πεδίου (σχήµα 5). Eπειδή τα ελεύθερα* ηλεκτρόνια του αγωγού µετέχουν σ αυτή την κίνηση, δέχονται από το µαγνη τικό πεδίο δυνάµεις orentz f υπό την επίδραση των οποίων αποκτούν σχε τική κίνηση ως προς τον αγωγό κατά µήκος αυτού, µε φορά προς το άκρο του N, όπου δηµιουργείται περίσσεια ηλεκτρονίων, ενώ στο άλλο του άκρο M δηµι Σχήµα 5 ουργείται έλλειµµα ηλεκτρονίων. Έτσι κατά την κίνηση του αγωγού εµφανίζεται θετικό φορτίο στο άκρο του M και αρνητικό φορτίο στο άκρο του N, µε αποτέλεσµα τα φορτία αυτά να δηµιουργούν στον χώρο ηλεκτροστατι κό** πεδίο, του οποίου η ένταση E στο εσωτερικό του αγωγού έχει φορά από * Δυνάµεις orentz δέχονται και τα θετικά ιόντα του µεταλλικού πλέγµατος του αγωγού, οι οποίες όµως δεν µπορούν να προκαλέσουν σχετική κίνηση αυτών ως προς τον αγωγό, διότι οι δυνάµεις µεταλλικού δεσµού που τα συγκρατούν στο µεταλλικό πλέγµα είναι πολύ ισχυρές. ** Tο ηλεκτροστατικό αυτό πεδίο το αντιλαµβάνεται ένας παρατηρητής, που συµµε τέχει στην κίνηση του αγωγού. Για τον παρατηρητή αυτόν τα συσσωρευµένα θετικά και αρνητικά φορτία στις άκρες του αγωγού είναι ακίνητα.

8 το M προς το N. Tο ηλεκτροστατικό αυτό πεδίο εξασκεί στα ελεύθερα ηλεκτρό νια του αγωγού ηλεκτρικές δυνάµεις f ", οι οποίες αντιτίθενται στη σχετική τους κίνηση προς το άκρο N και έτσι µειώνεται ο ρυθµός συσσώρευσης ηλεκτρονίων στο άκρο αυτό. Kαθώς όµως όλο και περισσότερα ηλεκτρόνια συσσωρεύονται στο άκρο αυτό, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο εσωτερικό του αγωγού αυξάνεται µε φθίνοντα βέβαια ρυθµό, που σηµαίνει ότι αυξάνεται και το µέτρο της ηλεκτρικής δύναµης, όταν δε εξισωθεί µε το σταθερό µέτρο της δύναµης orentz θα σταµατήσει* η σχετική κίνησή τους προς το άκρο N του αγωγού, δηλαδή η ένταση του ηλεκτροστατικού πεδίου θα λάβει µια τελική σταθερή τιµή E 0. Tότε όµως θα ισχύει: f " = f q e E 0 = Bv q e E 0 = Bv (1) όπου q e το ηλεκτρικό φορτίο του ηλεκτρονίου και B το µέτρο της έντασης του οµογενούς µαγνητικού πεδίου. H αποκατάσταση σταθερής έντασης ηλεκτρικού πεδίου στο εσωτερικό του αγωγού, έχει σαν συνέπεια να δηµιουργηθεί µεταξύ των άκρων του M και N µια σταθερή διαφορά δυναµικού, που ονοµάζεται επαγωγική τάση και υπολογίζεται από τη σχέση: V M - V N = E 0 (1) V " = Bv (2) Έτσι ο αγωγός MN συµπεριφέρεται ως ηλεκτρική γεννήτρια, µε θετικό πόλο το άκρο M και αρνητικό πόλο το άκρο N, η οποία γεννήτρια έχει εσωτερική αντίσταση ίση µε την ηλεκτρική αντίσταση του αγωγού και ηλεκτρεγερτική δύναµη ίση µε Bv, αφού αυτή δεν τροφοδοτεί εξωτερικό κύκλωµα. H ηλεκτρε γερτική αυτή δύναµη αποτελεί την επαγωγική H.E.Δ. που δηµιουργείται κατά µήκος του αγωγού, υπολογίζεται δε από τη σχέση: E " = Bv (3) Παρατηρήσεις: i) H σχέση (3) ισχύει και στην περίπτωση που το µέτρο της ταχύτητας του µε ταλλικού αγωγού µεταβάλλεται µε το χρόνο. Tότε όµως αυτή θα παρέχει την στιγµιαία επαγωγική H.E.Δ. σε συνάρτηση µε τη στιγµιαία ταχύτητα του αγω γού. ii) Eάν ο αγωγός είναι ευθύγραµµος και εκτελεί µεταφορική κίνηση µε ταχύ τητα, που ο φορέας της σχηµατίζει γωνία µε τον αγωγό, το δε επίπεδο κίνησής του είναι κάθετο στις δυναµικές γραµµές ενός οµογενούς µαγνητικού πεδίου (σχήµα 6), τότε αναλύουµε την ταχύτητα v σε δύο ορθογώνιες συνιστώσες v και v, εκ των οποίων η v είναι παράλληλη προς τον αγωγό η δε v κάθετη σ αυτόν. Eξ αιτίας της v τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του αγωγού δέχονται από το µαγνητικό πεδίο δυνάµεις orentz, οι οποίες τα ωθούν σ ένα πλευρικό τοί χωµα του αγωγού, γεγονός που σηµαίνει ότι, η συνιστώσα v δεν εισφέρει * Aκριβέστερα τη στιγµή που θα εξισωθούν τα µέτρα των δυνάµεων f και f " τα ελεύθερα ηλεκτρόνια θα έχουν αποκτήσει µιά µέση σχετική ταχύτητα, η οποία όµως θα µηδενιστεί πολύ γρήγορα, λόγω των κρούσεων που θα επακολουθήσουν µε τα αµετάθετα θετικά ιόντα του αγωγού.

9 στην δηµιουργία επαγωγικής H.E.Δ. κατά µήκος του αγωγού. Aντίθετα η συνι στώσα v δηµιουργεί κατά µήκος του αγωγού H.E.Δ. µε την πολικότητα που φαίνεται στο σχήµα, της οποίας η τιµή υπολογίζεται από τη σχέση: E " = Bv iii) Eάν ο µεταλλικός αγωγός είναι ευθύγραµµος και εκτελεί µεταφορική κίνη ση µε ταχύτητα που ο φορέας της σχηµατίζει γωνία µε τον αγωγό, το δε επίπε δο κίνησής του είναι πλάγιο ως προς τις δυναµικές γραµµές ενός οµογενούς Σχήµα 6 Σχήµα 7 νούς µαγνητικού πεδίου, τότε αναλύουµε την ένταση του πεδίου σε δύο ορθο γώνιες συνιστώσες B και B, εκ των οποίων η B είναι κάθετη στο επίπεδο κίνησης του αγωγού η δε B παράλληλη προς το επίπεδο αυτό (σχήµα 7). Eξ αιτίας της συνιστώσας B τα ελεύθερα ηλεκτρόνια του κινούµενου αγωγού δέχονται δυνάµεις orentz που τα ωθούν σ ένα πλευρικό του τοίχωµα, που σηµαίνει ότι η συνιστώσα B δεν συµβάλλει στην δηµιουργία επαγωγικής H.E.Δ. κατά µήκος του αγωγου. Aντίθετα η συνιστώσα B δηµιουργεί κατά µήκος του αγωγού επαγωγική H.E.Δ. µε την πολικότητα του σχήµατος, της οποίας η τιµή υπολογίζεται από τη σχέση: E " = B v iv) Eάν οι άκρες M και N του κινούµενου µεταλλικού αγωγού εφάπτονται σε δύο παράλληλα µεταλλικά σύρµατα A 1 x και A 2 ψ, που οι άκρές τους A 1, A 2 συν δέονται µε αµπερόµετρο (α) (σχήµα 8), το ηλεκτροστατικό πεδίο που δηµιουρ γούν τα συσσωρευµένα στις άκρες του αγωγού ηλεκτρικά φορτία, εξασκούν στα ελεύθερα ηλεκτρόνια των συρµάτων ηλεκτρικές δυνάµεις και τότε συµβαί νουν τα εξής: Hλεκτρόνια εισέρχονται στον αγωγό από το άκρο του M, µε αποτέλεσµα να διαταράσσεται η ισορροπία φορτίων στο άκρο αυτό, δηλαδή µειώ νεται η ένταση του ηλεκτροστατικού πεδίου στο εσωτερικό του αγωγού και

10 υπερισχύει η δύναµη orentz f επί των ηλεκτρονίων, έναντι της ηλεκτρικής δύναµης f ". Έτσι αρχίζει ροή ηλεκτρονίων µέσα στον αγωγό από το άκρο M προς το άκρο N, ώστε να αποκατασταθεί η διαταραχθείσα ισορροπία φορτίων, όσα δε ηλεκτρόνια µπήκαν σε ορισµένο χρόνο από το άκρο M του αγωγού, τόσα βγήκαν από το άκρο του N στον ίδιο χρόνο, συνεχίζεται δε η ροή αυτή µέσα στα µεταλλικά σύρµατα. Mε τον τρόπο αυτό τα σύρµατα και ο κινούµενος µεταλλικός αγωγός διαρρέονται µε ηλεκτρικό ρεύµα (επαγωγικό ρεύµα), που η συµβατική του φορά είναι αντίθετη της φοράς κίνησης των ελευθέρων ηλεκτ ρονίων, δηλαδή παράγεται στο κλειστό κύκλωµα του αγωγού MN και των συρ µατων ηλεκτρική ενέργεια. Δηµιουργείται όµως το ερώτηµα, από ποιά µορφή ενέργειας προέρχεται η ηλεκτρική αυτή ενέργεια; H απάντηση στο ερώτηµα αυτό είναι η εξής; O µεταλλικός αγωγός MN δέχεται από το µαγνητικό πεδίο, Σχήµα 8 λόγω του επαγωγικού ρεύµατος δύναµη aplace F, αντίρροπη της ταχύτητας του v, οπότε για να εξασφαλιστεί η οµαλή µεταφορική ευθύγραµµη κίνησή του, πρέπει να εξασκείται σ αυτόν εξωτερική δύναµη F, ίσου µέτρου και αντίθετης φοράς προς την F. Mέσω του έργου της F προσφέρεται ενέργεια στον αγωγό MN, η οποία µέσω του έργου της F µετασχηµατίζεται σε ηλεκτ ρική ενέργεια και έτσι συντηρείται η ροή των ηλεκτρονίων κατά µήκος του κυκλώµατος. Mπορούµε λοιπόν να ισχυριστούµε ότι µέσω του φαινοµένου της επαγωγής σε κινούµενο µεταλλικό αγωγό, είναι δυνατή η µετατροπή του µηχανικού έργου σε ηλεκτρική ενέργεια. 4. O κανόνας του enz ως συνέπεια της αρχής διατήρησης της ενέργειας Όπως αναφέρθηκε προηγούµενα, ο κανόνας του enz καθορίζει τη συµβατική φορά του επαγωγικού ρεύµατος που προκύπτει σε κλειστό κύκλωµα, όταν µε ταβάλλεται η µαγνητική ροή που διασχίζει την επιφάνειά του, έχει δε την δια τύπωση: Kάθε επαγωγικό ρεύµα έχει τέτοια συµβατική φορά, ώστε µέσω των ηλεκτροµαγ νητικών του αποτελεσµάτων να αντιστέκεται στην αιτία που το δηµιουργεί. Θα δείξουµε µε παραδείγµατα ότι, ο κανόνας αυτός εκφράζει την αρχή διατή ρησης της ενέργειας για τα επαγωγικά φαινόµενα, δηλαδή προκύπτει ως αναγκαίο επακόλουθο της αρχής διατήρησης της ενέργειας κατά την εξέλιξη κάθε φαινοµένου ηλεκτροµαγνητικής επαγωγής.

11 Παράδειγµα 1ο Δύο µεταλλικά σύρµατα A 1 x και A 2 y είναι στερεωµένα πάνω σε οριζόντιο επίπεδο το ένα ακριβώς απέναντι από το άλλο και οι άκρες τους A 1, A 2 συνδέονται µε ένα ευαίσθητο αµπερόµετρο (α). Πάνω στα σύρµατα µπορεί να γλυστράει χωρίς τριβή ένας πρισµατικός αγωγός MN, όλο δε το σύ στηµα βρίσκεται µέσα σε κατακόρυφο οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης B (σχήµα 9). Aναγκάζουµε τον αγωγό να κινείται µε σταθερή ταχύτητα v προς τις άκρες x και ψ των συρµάτων, ωστε να παραµένει συνεχώς κάθετος σ' αυτά. Tότε θα αναπτύσσεται κατά µήκος του αγωγού επαγωγική H.E.Δ µε την πολι κότητα που φαίνεται στο σχήµα, η οποία θα δηµιουργεί στο κύκλωµα ΜA 2 A 1 NΜ ρεύµα επαγωγικό, του οποίου η συµβατική φορά ανταποκρίνεται στην πολικότητα της επαγωγικής H.E.Δ. Λόγω του ρεύµατος αυτού ο αγωγός Σχήµα 9 ΜΝ δέχεται από το µαγνητικό πεδίο δύναµη aplace F αντίρροπη της ταχύ τητας του, δηλαδή η δύναµη αυτή αντιστέκεται στην κίνηση του αγωγού που είναι και η αιτία δηµιουργίας του επαγωγικού ρεύµατος. Aυτό σηµαίνει ότι, η συµβατική φορά του επαγωγικού ρεύµατος είναι σε συµφωνία µε τον κανόνα του enz. Για να εξασφαλίζεται όµως η ισοταχής κίνηση του αγωγού MN πάνω στα σύρµατα χωρίς τριβή, πρέπει να ενεργεί σ αυτόν εξωτερική δύναµη F ίσου µέτρου και αντίθετης φοράς µε την F, µέσω του έργου της οποίας προσ φέρεται ενέργεια στον αγωγό. H ενέργεια αυτή, µέσω του έργου της δύναµης F µετασχηµατίζεται σε ηλεκτρική ενέργεια, η οποία ελευθερώνεται µε τη µορ φή θερµότητας joule στις αντιστάσεις του κυκλώµατος. Δηλαδή στη διάρκεια που κυκλοφορεί επαγωγικό ρεύµα στο κύκλωµα ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας. Aς υποθέσουµε τώρα, ότι κατά την εξέλιξη του φαινοµένου που περιγράψαµε πιό πάνω, δεν ισχύει ο κανόνας του enz, δηλαδή η φορά του επαγωγικού ρεύµατος δεν είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα αλλά η αντίθετη. Tότε η δύναµη aplace F θα ήταν οµόρροπη της ταχύτητας του αγωγού και αυτός δεν θα χρειάζεται πλέον εξωτερική δύναµη για να κινείται, αλλά η ίδια η F θα εξασφαλίζει την κίνησή του, όταν του δοθεί µια αρχική ώθηση και µά λιστα ο αγωγός θα επιταχύνεται, δηλαδή θα αυξάνεται η κινητική του ενέρ γεια. Tαυτόχρονα όµως στο κύκλωµα θα παράγεται και ηλεκτρική ενέργεια λόγω της κυκλοφορίας επαγωγικού ρεύµατος, που σηµαίνει ότι χωρίς να προσφέρεται ενέργεια στο κύκλωµα παράγεται σ αυτό ενέργεια (κινητική και ηλεκτρική) εκ του µηδενός. Aυτό όµως αποτελεί παραβίαση της αρχής διατήρη σης της ενέργειας, η οποία προέκυψε αφού δεχθήκαµε ότι δεν ισχύει ο κανό

12 νας του enz. Άρα ο κανόνας του enz ισχύει και αποτελεί συνέπεια της αρχής διατήρησης της ενέργειας. Παράδειγµα 2ο Ένα κυκλικό πηνίο στερεώνεται µε τον άξονά του οριζόντιο (σχήµα 10) οι δε άκρες του συνδέονται µε ευαίσθητο γαλβανόµετρο (γ). Πλησιά ζουµε προς το πηνίο µε σταθερή ταχύτητα v ένα ραβδόµορφο µαγνήτη, του οποίου ο γεωµετρικός άξονας συµπίπτει µε τον άξονα του πηνίου. Tότε θα δια Σχήµα 10 πιστώσουµε ότι, για να προσεγγίζει ο µαγνήτης το πηνίο µε σταθερή ταχύτητα χρειάζεται εξωτερική δύναµη F, οµόρροπη της ταχύτητας του. Aυτό εξηγείται ως εξής: Kατά την προσέγγιση του µαγνήτη αυξάνεται η µαγνητική ροή µέσα από τις σπείρες του πηνίου, µε αποτέλεσµα να δηµιουργείται σ αυτές επαγωγι κή H.E.Δ. που προκαλεί στο κλειστό κύκλωµα του πηνίου και του γαλβανοµέτ ρου ρεύµα επαγωγικό. Έτσι το πηνίο µετατρέπεται σε µαγνήτη µε βόρειο πόλο απέναντι από τον βόρειο πόλο N του κινούµενου µαγνήτη, οπότε εκδηλώνεται απωστική µαγνητική δύναµη πάνω σ αυτόν. Δηλαδή το επαγωγικό ρεύµα µέσω του µαγνητικού του πεδίου αντιδρά στην προσέγγιση του µαγνήτη, γεγονός που συµφωνεί µε τον κανόνα του enz. Eξάλλου, µέσω του έργου της εξωτερικής δύναµης F προσφέρεται ενέργεια στον µαγνήτη, η οποία µετατρέ πεται σε ηλεκτρική ενέργεια στο κύκλωµα, ένα µέρος της οποίας εµφανίζεται ως θερµότητα joule στις αντιστάσεις του, το δε υπόλοιπο ως ενέργεια µαγνη τικού πεδίου στο πηνίο. Άρα στη διάρκεια που προσεγγίζει ο µαγνήτης στο πηνίο ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας στο σύστηµα µαγνήτης-πηνίο. Aς υποθέσουµε τώρα ότι, κατά την εξέλιξη του φαινοµένου που περιγράψαµε πιό πάνω δεν ισχύει ο κανόνας του enz, δηλαδή η συµβατική φορά του επαγωγικού ρεύµατος στο πηνίο δεν είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, αλλά η αντίθετη. Tότε το άκρο του πηνίου που βρίσκεται απέναντι από τον βόρειο πόλο N του µαγνήτη θα αποτελούσε νότιο πόλο του πηνίου και θα προσήλκε τον µαγνήτη, οπότε αυτός δεν θα χρειαζόταν εξωτερική δύναµη για να προσεγγίζει το πηνίο. Δηλαδή ο µαγνήτης θα πλησίαζε το πηνίο επιταχυνό µενος υπό την επίδραση της ελκτικής µαγνητικής δύναµης και έτσι θα αυξανό ταν η κινητική του ενέργεια. Tαυτόχρονα όµως θα παραγόταν και ηλεκτρική ενέργεια στο κύκλωµα, δηλαδή θα συνέβαινε παραγωγή ενέργειας (κινητικής και ηλεκτρικής) εκ του µηδενός, πράγµα που αντιβαίνει στην αρχή διατήρησης της ενέργειας. Aλλά η αντίφαση αυτή προήλθε από το γεγονός ότι, δεχθήκαµε πως δεν ισχύει ο κανόνας του enz. Άρα ο κανόνας αυτός ισχύει και είναι συνέπεια της αρχής διατήρησης της ενέργειας. Aκολουθώντας ανάλογη λογική µπορούµε να δείξουµε ότι, σε κάθε περίπτωση που εµφανίζεται επαγωγικό ρεύµα ισχύει ο κανόνας του enz ως συνέπεια της αρχής διατήρησης της ενέρ γειας.

13 5. Aπόδειξη του νόµου του Faraday σε µεταλλικό πλαίσιο, που κινείται σε µαγνητικό πεδίο Θεωρούµε µεταλλικό πλαίσιο τυχαίου σχήµατος, το οποίο εκτελεί µεταφορική κίνηση σε επίπεδο, κάθετο στις δυναµικές γραµµές ενός οµογενούς µαγνητι κού πεδίου. Yποθέτουµε ότι το πλαίσιο κατά µία τυχαία χρονική στιγµή t έχει ταχύτητα v, η δε θέση του µέσα στο πεδίο είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα (11). Φανταζόµαστε τη στιγµή αυτή µια διαµέριση του τµήµατος A 1 MA 2 του πλαισίου που βρίσκεται µέσα στο πεδίο, σε στοιχειώδη τµήµατα d 1, d 2,...d n και ονοµάζουµε de 1, de 2,...dE n τις αντίστοιχες στοιχειώδεις επαγωγικές H.E.Δ. που αναπτύσσονται πάνω στα τµήµατα αυτα κατά τη θεωρούµενη χρονική στιγµή. Tότε η ολική επαγωγική H.E.Δ. επί του πλαισίου θα είναι: E επ =de 1 +de de n E " = (de) (1) A 1 MA 2 Σχήµα 11 Θεωρώντας το τυχαίο στοιχειώδες τµήµα d, η αντίστοιχη επαγωγική H.E.Δ. που δηµιουργείται πάνω σ αυτό δίνεται από τη σχέση: de=bv κ d=bvηµφd (2) όπου v η κάθετη στη διεύθυνση του d συνιστώσα της v και φ η γωνία που σχηµατίζει ο φορέας της v µε τον φορέα του d. Όµως το γινόµενο dηµφ απο τελεί το µήκος dz της προβολής του d στη διεύθυνση z, που είναι κάθετη στην v, οπότε η σχέση (2) γράφεται: de=bvdz (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) έxουµε: E " = (Bvdz) = Bv (dz) E επ =Bv(A 1 α 2 ) (4) A 1 MA 2 A 1 MA 2 όπου (A 1 α 2 ) το µήκος της προβολής του τµήµατος A 1 MA 2 του πλαισίου στη διεύθυνση z. Όµως ισχύει η σχέση (A 1 α 2 )=(A 1 A 2 )συνθ, όπου θ η γωνία µεταξύ των A 1 A 2 και z κατά τη χρονική στιγµή t που εξετάζουµε το πλαίσιο, οπότε η (4) γράφεται:

14 E επ =Bv(A 1 A 2 )συνθ (5) Eξάλλου, εάν dx είναι η µετατόπιση του πλαισίου µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, τότε θα ισχύει dx=vdt, oπότε η (5) γράφεται: E επ =B(A 1 A 2 )(dx/dt)συνθ (6) Όµως το γινόµενο dxσυνθ αποτελεί το ύψος του στοιχειώδους παραλληλογ ράµµου που διαγράφει η ευθεία A 1 A 2 στον χρόνο dt, οπότε το γινόµενο (A 1 A 2 )dxσυνθ αποτελεί τη στοιχειώδη αύξηση ds του εµβαδού του πλαισίου, που βρίσκεται µέσα στο πεδίο, στο χρόνο dt. Έτσι η σχέση (6) γράφεται: E " = B ds $ & E " dt % " = d dt (7) όπου dφ η στοιχειώδης αύξηση της µαγνητικής ροής µέσα από την επιφάνεια του πλαισίου, στο χρόνο dt. Παρατήρηση: Tο γεγονός ότι, αποδείξαµε τον νόµο του Faraday στην περίπτωση του κινού µενου µεταλλικού πλαισίου δεν σηµαίνει ότι, ο νόµος αυτός παύει να είναι θε µελιώδης. Στη γενική περίπτωση ο νόµος του Faraday δεν µπορεί να αποδει χτεί µε τη βοήθεια άλλων νόµων της Φυσικής. 6. O νόµος του Faraday για µεταλλικό αγωγό που κινείται σε µαγνητικό πεδίο Θεωρούµε µεταλλικό αγωγό τυχαίου σχήµατος, που εκτελεί τυχαία κίνηση (µεταφορική, περιστροφική, σύνθετη κίνηση) µέσα σ ένα οποιοδήποτε µαγνη τικό πεδίο (οµογενές ή ανοµοιογενές). Mπορούµε να ισχυριστούµε ότι, ένα στοιχειώδες τµήµα d του αγωγού διαγράφει µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, ένα στοιχειώδες παραλληλόγραµµο, που έχει εµβαδόν dv κ dt, όπου Σχήµα 12 v η κάθετη προς το στοιχείο d συνιστώσα της ταχύτητας του v κατά τη χρο νική στιγµή t. Mέσα από το στοιχειώδες αυτό εµβαδόν διέρχεται µαγνητική ροή: dφ=b κ dv κ dt dφ/dt=b κ dv κ (1)

15 όπου B η κάθετη προς το εµβαδόν αυτό συνιστώσα της έντασης του πεδίου, στο θεωρούµενο στοιχειώδες τµήµα. Όµως το γινόµενο B κ v κ d εκφράζει την στοιχειώδη επαγωγική H.E.Δ. που δηµιουργείται πάνω στο στοιχειώδες τµήµα d κατά τη χρονική στιγµή t, οπότε η αντίστοιχη συνολική επαγωγική H.E.Δ. που δηµιουργείται σε όλο το µήκος του αγωγού θα είναι ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα όλων των στοιχειωδών επαγωγικών H.E.Δ. που αντιστοιχούν στα στοιχειωδη τµήµατα, στα οποία διαµερίζεται ο αγωγός. Δηλαδή θα ισχύει: E " = $ ( B v d) (1) E " = ( d / dt) ( ) $ = $ d / dt (2) Aλλά το άθροισµα Σ(dφ) εκφράζει τη µαγνητική ροή dφ που διέρχεται µέσα από την επιφάνεια που διαγράφει ο αγωγός στον χρόνο dt, οπότε η σχέση (2) γράφεται: E " = d/dt (3) H σχέση (3) εκφράζει τον νόµο του Faraday για µεταλλικό αγωγό, που κινείται µέσα σε µαγνητικό πεδίο, ισχύει δε ανεξάρτητα από το σχήµα του αγωγού και τον τρόπο κίνησής του µέσα στο πεδίο. 7. Aυτεπαγωγή-Nόµος της αυτεπαγωγής Mία περίπτωση ηλεκτροµαγνητικής επαγωγής µε ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι εκείνη όπου, σ ένα κύκλωµα αναπτύσσεται H.E.Δ. εξ επαγωγής, όταν σ αυτό συµβαίνει χρονική µεταβολή της έντασης του ρεύµατος που το διαρρέει. Για να εξετάσουµε την περίπτωση αυτή θεωρούµε κυκλικό πηνίο, το οποίο τροφοδο τείται µέσω αντιστάτη µεταβλητής αντίστασης R, µε γεννήτρια συνεχούς ρεύµα Σχήµα 13 τος όπως φαίνεται στο σχήµα (13). Mεταβάλλοντας την R θα µεταβάλλεται η ένταση του ρεύµατος στο πηνίο µε αποτέλεσµα να µεταβάλλεται το µαγνητικό πεδίο στον χώρο γύρω από το πηνιο. Mε τον τρόπο αυτό θα µεταβάλλεται χρονικά η µαγνητική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια των σπειρών του πηνίου και σύµφωνα µε το νόµο της επαγωγής του Faraday θα δηµιουργείται στις σπείρες επαγωγική H.E.Δ., η οποία θα έχει ως γεννεσιουργό αιτία τη χρο νική µεταβολή της έντασης του ρεύµατος που διαρρέει το πηνίο. Tο φαινόµενο αυτό είναι γνωστό ως αυτεπαγωγή, η δε ηλεκτρεγερτική δύναµη που αναπτύσσεται, ονοµάζεται αυτεπαγωγική H.E.Δ. Aποδεικνύεται ότι η H.E.Δ.

16 από αυτεπαγωγή είναι ανάλογη της ταχύτητας µε την οποία µεταβάλλεται η ένταση I του ρεύµατος στο πηνίο. Έτσι, εάν di είναι η µεταβολή της έντασης I µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, τότε η αυτεπαγωγική H.E.Δ. κατά τη χρονική στιγµή t, θα είναι: E " = - ( di/dt) (1) O συντελεστής αναλογίας στη σχέση (1) καλείται συντελεστής αυτεπαγω γής του πηνίου και εξαρτάται από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του και από τη φύση του υλικού µέσου που το περιβάλλει. H σχέση αυτή εκφράζει το νόµο της αυτεπαγωγής, το δε πρόσηµο (-) που περιέχει αναφέρεται στο γεγονός ότι, κατά το φαινόµενο της αυτεπαγωγής ισχύει ο κανόνας του enz. Aπόδειξη της σχέσεως (1) Tη σχέση (1) θα την αποδείξουµε στην ειδική περίπτωση που το πηνίο είναι κυκλικό, βρίσκεται στον κενό χώρο και έχει µήκος α πολύ µεγαλύτερο σε σχέ ση µε την ακτίνα των σπειρών του (επίµηκες σωληνοειδές). Yποθέτουµε ότι, το πηνίο διαρρέεται µε ηλεκτρικό ρεύµα, του οποίου η ένταση µεταβάλλεται µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt από την τιµή I στην τιµή I+dI. Kατά τη στιγµή t η µαγνητική ροή Φ, που διέρχεται από κάθε σπείρα του πηνίου θα είναι: Φ=BS=µ 0 (n/α)si (2) όπου B το µέτρο της έντασης του µαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του πη νίου ίσο µε µ 0 ni/α, όπου n ο αριθµός των σπειρών του, S το εµβαδόν κάθε σπείρας και µ 0 η λεγόµενη απόλυτη µαγνητική διαπερατότητα του κενού. Aπό τη (2) προκύπτει ότι η µεταβολή dφ της µαγνητικής ροής Φ κατά το χρόνο dt είναι: " n% d = µ 0 $ ' S(dI d & dt = µ " n% " di% 0$ ' S( $ ' (3) & dt& H αυτεπαγωγική H.E.Δ. που θ αναπτυχθεί στο πηνίο κατά τη χρονική στιγµή t, είναι, σύµφωνα µε το νόµο του Faraday: E " = -n d$ $ & (3 ) " n 2 S% E " dt % " = µ 0 $ ' & ( " di% $ ' (4) dt& Aπό τη σχέση (4) συµπεραίνεται ότι, η H.E.Δ. εξ αυτεπαγωγής που εµφανί ζεται στο πηνίο κατά τη χρονική στιγµή t, είναι ανάλογη της ταχύτητας µεταβολής di/dt της έντασης I του ρεύµατος κατά τη στιγµή αυτή. O συντελεστής αναλογίας µ 0 µ(n 2 /α)s αποτελεί το συντελεστή αυτεπαγωγής του επιµήκους κυκλικού πηνίου, δηλαδή ισχύει: = µ 0 n 2 S/ (5)

17 8. Aποτελέσµατα της αυτεπαγωγής Tα αποτελέσµατα της αυτεπαγωγής εκδηλώνονται πολύ έντονα, σε κυκλώµατα µεγάλου συντελεστή αυτεπαγωγής (λ.χ. σε κυκλώµατα όπου υπάρχουν πηνία, τα οποία διαρρέονται µε ρεύµα που η έντασή του µεταβάλλεται ταχύτατα µε το χρόνο π.χ. εναλλασσόµενο ρεύµα υψηλής συχνότητας). Στη συνέχεια εξετά ζονται δύο περιπτώσεις αυτεπαγωγής, οι οποίες εµφανίζονται κατά την αποκα τάσταση και τη διακοπή του συνεχούς ρεύµατος σ ένα πηνίο, που τροφοδο τείται µε γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος. i)aποκατάσταση του συνεχούς ρεύµατος σε κύκλωµα σειράς R- Θεωρούµε ιδανικό πηνίο µε συντελεστή αυτεπαγωγής, το οποίο συνδέεται σε σειρά µε αντιστάτη ωµικής αντίστασης R, το δε σύστηµα τροφοδοτείται µέσω διακόπτη Δ, µε γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος αµελητέας εσωτερικής αντί στασης (r 0) και ηλεκτρεγερτικής δύναµης E (σχήµα 14). Όταν κλείσει ο διακό πτης η ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα αυξάνεται από την τιµή µηδέν στην τιµή E/R, που προβλέπει ο νόµος του Ohm για κλειστό κύκλωµα. Aυτή η αύξηση της έντασης του ρεύµατος δηµιουργεί στις σπείρες του πηνίου H.E.Δ. από αυτεπαγωγή, η οποία, σύµφωνα µε τον κανόνα του enz, έχει τέτοια πολι κότητα ώστε να αντιστέκεται στην αύξηση της έντασης του ρεύµατος, δηλαδή φρενάρει το ρεύµα της γεννήτριας, µε αποτέλεσµα η ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα να αυξάνεται βαθµιαία προς την τελική της τιµή E/R. Kαθώς αυξάνεται η ένταση του ρεύµατος η γεννήτρια παρέχει στο κύκλωµα ηλεκτρι κή ενέργεια, ένα µέρος της οποίας µετατρέπεται σε σε θερµότητα Joule στον αντιστατη και το υπόλοιπο αποθηκεύεται στο µαγνητικό πεδίο του πηνίου µε τη µορφή ενέργειας µαγνητικού πεδίου. Aπό όσα αναφέρθηκαν πιό πάνω προ κύπτει ότι, το πηνίο στη διάρκεια της αποκατάστασης του συνεχούς ρεύµατος Σχήµα 14 Σχήµα 15 συµπεριφέρεται στο κύκλωµα ως γεννήτρια* µε πολικότητα που καθορίζει ο κανόνας του enz, µε αµελητέα εσωτερική αντίσταση, αφού θεωρήθηκε ιδανι κό, η δε ηλεκτρεγερτική της δύναµη είναι ίση µε την αντίστοιχη τιµή (di/dt) της αυτεπαγωγικής H.E.Δ. στις σπείρες του πηνίου, όπου di/dt ο ρυθµός ή η τα χύτητα µεταβολής της έντασης του ρεύµατος κατά τη στιγµή που εξετάζουµε το κύκλωµα. Eφαρµόζοντας τη στιγµή αυτή στο κύκλωµα τον δεύτερο κανόνα του Kirchoff παίρνουµε τη σχέση: * H ισοδύναµη προς το πηνίο γεννήτρια είναι κατ αντίθεση συνδεδεµένη στο κύκ λωµα, δηλαδή δεν δίνει σ' αυτό ηλεκτρική ενέργεια, αλλα αντίθετα δεσµεύει ηλεκτ ρική ενέργεια από το κύκλωµα, δηλαδή είναι ένας ηλεκτρικός αποδέκτης.

18 E - E " = IR E - di $ & = " dt% IR di $ & = E - IR (1) " dt% Παρατηρούµε από την (1) ότι ο ρύθµος αυξησης di/dt της έντασης του ρεύµα τος µειώνεται χρονικά, διότι η ένταση I του ρεύµατος αυξάνεται και όταν αυτή λάβει την τελική τιµή E/R ο ρυθµός αυτός θα µηδενιστεί. Aπόδεικνύεται ότι η ενταση I αυξάνεται εκθετικά µε το χρόνο και καταλήγει ασυµτωτικά στην τιµή E/R, δηλαδη την τιµή αυτή θα την λάβει θεωρητικά σε άπειρο χρόνο. Στο σχή µα (15) φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης I=f(t), η οποία είναι µια ανερχόµενη εκθετική καµπύλη γραµµή που διέρχεται από την αρχή των αξό νων και πλησιάζει ασυµπτωτικά την ευθεία I=E/R ii) Διακοπή του συνεχούς ρεύµατος σε κύκλωµα σειράς R- Θεωρούµε το κύκλωµα του σχήµατος (16) και δεχόµαστε ότι, ο διακόπτης Δ µεταφέρεται από τη θέση α στη θέση β. Tότε η γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος τίθεται εκτός κυκλώµατος ενώ οι άκρες του πηνίου συνδέονται µέσω της αντίστασης R. Mε τον τρόπο αυτό η ένταση του ρεύµατος που κυκλοφορούσε στο πηνίο τείνει να µηδενιστεί, µε αποτέλεσµα να αναπτύσσεται στις σπείρες του αυτεπαγωγική H.E.Δ., η οποία σύµφωνα µε τον κανόνα του enz έχει τέτοια πολικότητα ώστε να αντιστέκεται στην µείωση της έντασης του ρεύµα τος, δηλαδή τείνει να διατηρήσει το ρεύµα. Έτσι η ένταση του ρεύµατος στο πηνίο δεν µηδενίζεται ακαριαία αλλά βαθµιαία. Στη διάρκεια που η ένταση του ρεύµατος µειώνεται, θα µειώνεται αντίστοιχα και η ενέργεια του µαγνητικού Σχήµα 16 Σχήµα 17 πεδίου του πηνίου, µετατρεπόµενη σε θερµότητα joule στην αντίσταση R. Mε βάση τα παραπάνω µπορούµε να ισχυριστούµε ότι, κατά την διακοπή του ρεύµατος το πηνίο συµπεριφέρεται στο κύκλωµα ως ηλεκτρική γεννήτρια της οποίας η πολικότητα καθορίζεται από τον κανόνα του enz (σχήµα16), έχει αµελητέα εσωτερική αντίσταση, αφού το πηνίο θεωρήθηκε ιδανικό, η δε ηλεκτ ρεγερτική της δύναµη είναι ίση µε di/dt όπου di/dt ο ρυθµός µεταβολής της έντασης του ρεύµατος κατά τη στιγµή που εξετάζουµε το κύκλωµα, µε di/dt<0. Eξάλλου κάθε στιγµή ισχύει στο κύκλωµα η σχέση: E " = IR - di $ & " dt% = IR di dt = - RI (1) Aπό την (3) προκύπτει ότι, κατά τη διακοπή του ρεύµατος στο κύκλωµα σειράς R- ο ρυθµός µεταβολής di/dt της έντασης του ρεύµατος µείώνεται κατ' απόλυτη τιµή, αφού η ένταση I µειώνεται και τελικά µηδενίζεται. Eξάλλου αποδεικνύεται ότι η ένταση I µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο από την αρχική της τιµή I 0 στην τιµή µηδέν, την οποία λαµβάνει οριακά σε άπειρο χρόνο. Στο

19 σχήµα (17) φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης I=f(t), η οποία είναι µιά κατερχόµενη εκθετική καµπύλη γραµµή που καταλήγει ασυµτωτικά στον άξονα των χρόνων. 9. Eνέργεια µαγνητικού πεδίου Στο προηγούµενο εδάφιο αναφέρθηκε ότι, κατά την αποκατάσταση του συνε χούς ρεύµατος σ ένα κύκλωµα σειράς R- το πηνίο συµπεριφέρεται στο κύκλωµα ως ηλεκτρική γεννήτρια, η οποία είναι µη ορθά συνδεδεµένη προς τη γεννήτρια που το τροφοδοτεί, δηλαδή η γεννήτρια αυτή δεν παρέχει ηλεκ τρική ενέργεια στο κύκλωµα, αλλά αντλεί ηλεκτρική ενέργεια από αυτό. H ενέργεια αυτή αποθηκεύεται στο χώρο που εκτείνεται το µαγνητικό πεδίο του πηνίου και χρησιµεύει για το σχηµατισµό του πεδίου αυτού, ονοµάζεται δε ενέργεια µαγνητικού πεδίου του πηνίου. H ενέργεια αυτή αποδίδεται στη Σχήµα 18 διάρκεια της διακοπής του ρεύµατος στο κύκλωµα, µετασχηµατιζοµένη σε άλλη µορφή ενεργείας (π.χ. θερµότητα). Θα αποδείξουµε ότι η ενέργεια W του µαγνητικού πεδίου ενός πηνίου, το οποίο διαρρέεται µε ηλεκτρικό ρεύµα έντα σης I, δίνεται από τη σχέση: W = I 2 /2 όπου ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου. Προς τούτο θεωρούµε το πηνίο κατά τη διάρκεια που αποκαθίσταται το ρεύµα σ αυτό και έστω I η ένταση του ρεύµατος κατά τη χρονική στιγµή t. Σε στοιχειώδη χρόνο dt µετά από τη στιγµή t, θα αποθηκευθεί στο εσωτερικό του πηνίου ηλεκτρική ενέρ γεια dw ίση προς E αυτ Idt, όπου E αυτ η αυτεπαγωγική H.E.Δ. στις σπείρες του πηνίου κατά τη χρονική στιγµή t. Eξάλλου, εάν di είναι η αύξηση της έντασης του ρεύµατος σε χρόνο dt, τότε κατά το νόµο της αυτεπαγωγής θα έχουµε E αυτ = ( di/dt), οπότε η dw γράφεται: dw = ( di/dt) Idt = IdI (1) Για να βρούµε τώρα την ολική ενέργεια W 0 που θα αποθηκευθεί στο πηνίο ως ενέργεια µαγνητικού πεδίου, από τη στιγµή t=0 µέχρι τη στιγµή που η ένταση του ρεύµατος λάβει την τιµή I 0, θεωρούµε τη συνάρτηση f(i)=i, της οποίας η γραφική παράσταση είναι η ευθεία γραµµή του σχήµατος (18). Tο γινόµενο Idt παριστάνει στο διάγραµµα αυτό το εµβαδόν ενός στοιχειώδους ορθογω νίου µε διαστάσεις I και di, το οποίο προσεγγίζεται µε το εµβαδόν του στοι

20 χειώδους σκιασµένου τραπεζίου, δηλαδή το εµβαδόν αυτό εκφράζει τη στοιχει ώδη ενέργεια dw. Eίναι κατανοητό ότι, η ολική ενέργεια W 0 θα εκφράζεται µε το εµβαδόν του τριγώνου OAt 0, το οποίο καλύπτει τα στοιχειώδη εµβαδά που αντιστοιχούν στις στοιχειώδεις ενέργειες που αποθηκεύονται στο µαγνητικό πεδίο του πηνίου κατά τα στοιχειώδη χρονικά διαστήµατα στα οποία διαµερί ζεται ο χρόνος t 0. Έτσι θα έχουµε τη σχέση: W 0 = µ"(oat 0 ) = I 0 I 0 /2 = I 0 2 /2 10. Aµοιβαία επαγωγή-nόµος της αµοιβαίας επαγωγής H αµοιβαία επαγωγή είναι ειδική µορφή ηλεκτροµαγνητικής επαγωγής, όπου σ ένα κύκλωµα εµφανίζεται επαγωγική, H.E.Δ. λόγω χρονικής µεταβολής της έντασης του ρεύµατος σ ένα άλλο γειτονικό κύκλωµα. Προς εξέταση του φαινόµενου τούτου θεωρούµε τους µεταλλικούς βρόχους (1) και (2) του σχήµα τος (19), οι οποίοι βρίσκονται µεταξύ τους σε σύζευξη, δηλαδή η σχετική τους Σχήµα 19 θέση είναι τέτοια, ώστε ένα µέρος της µαγνητικής ροής που παράγεται στο βρόχο (1), λόγω του ρευµατος που τον διαρρέει, να διέρχεται από την επιφάνεια του βρόχου (2), ο οποίος αποτελεί ανοικτο κύκλωµα. Eάν η ένταση I 1, του ρεύ µατος που διαρρέει το βρόχο (1) µεταβάλλεται χρονικά, τότε αντίστοιχη µετα βολή θα υφίσταται και η µαγνητική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια του βρόχου (2), µε αποτέλεσµα να αναπτύσσεται κατά µήκος αυτού ηλεκτρεγερτι κή δύναµη εξ επαγωγής, η οποία εξαρτάται από τον βαθµό σύζευξης των δύο βρόχων και από τον ρυθµό µεταβολής της έντασης I 1 του ρεύµατος που τον διαρρέει. Tο φαινόµενο τούτο είναι γνωστό ως αµοιβαία επαγωγή, η δε αναπτυσσόµενη ηλεκτρεγερτική δύναµη ονοµάζεται H.E.Δ. από αµοιβαία επαγωγή. Όπως θα δείξουµε πιο κάτω η ηλεκτρεγερτική αυτή δύναµη είναι ανάλογη της ταχύτητας di 1 /dt µε την οποία µεταβάλλεται η ένταση I 1. Έτσι, εάν di 1 είναι η µεταβολή της έντασης αυτής µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, τότε η H.E.Δ. από αµοιβαία επαγωγή κατά τη χρονική στιγµή t, θα είναι: E µ = -M( di 1 /dt ) (1) O συντελεστής αναλογίας M στη σχέση (1) ονοµάζεται συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής των βρόχων (1) και (2), εξαρτάται δε από τα γεωµετρικά χαρακτη

21 ριστικά τους, από τη σχετική τους θέση και από τη φύση του υλικού µέσου που τους περιβάλλει. H σχέση (1) εκφράζει το νόµο της αµοιβαίας επαγωγής, το δε πρόσηµο (-) που εµφανίζεται σ αυτή αντιστοιχεί στο γεγονός ότι, κατά το φαινόµενο της αµοιβαίας επαγωγής ισχύει ο κανόνας του enz. Για την από δειξη της σχέσεως (1) καλούµε Φ 1 την µαγνητική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια του βρόχου (1) κατά τη χρονική στιγµή t και Φ 2 την αντίστοιχη µαγνητική ροή που διασχίζει την επιφάνεια του βρόχου (2). Eύκολα φαίνεται ότι, ο λόγος Φ 2 /Φ 1 είναι µικρότερος ή ίσος της µονάδας και εξαρτάται από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά των δύο βρόχων, από τη σχετική τους θέση και από τη φύση του υλικού που περιβάλλει τους δύο αγωγούς. Eάν καλέσουµε K τον λόγο αυτό, θα έχουµε: Φ 2 =KΦ 1 dφ 2 =KdΦ 1 (2) όπου dφ 1, dφ 2 oι αντίστοιχες µεταβολές των µαγνητικών ροών Φ 1 και Φ 2 µετα ξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt. Aπό την (2) εύκολα προκύπτει ότι: - d 2 dt = -K d $ 1 & - d 2 " dt % dt di = -K 1 $ 1 & " dt % di E µ = -K 1 $ 1 & E " dt % µ = -M di $ 1 & " dt % όπου ετέθη M=K 1, ενώ 1 είναι ο συντελεστής αυτεπαγωγής του βρόχου (1). P.M. fysikos Δίνεται κυκλικό πηνίο, που κάθε σπείρα του έχει ακτίνα r και ηλεκτρική αντίσταση R 0. Oι άκρες του πηνίου συνδέ ονται µε γαλβανόµετρο αµελητέας αντίστασης και το ένα άκρο του πηνίου βρίσκεται κοντά στον βόρειο πόλο ενός µόνιµου ραβδόµορφου µαγνήτη, που δηµιουργεί στο εσωτερικό του πηνίου οµογενές µαγνη τικό πεδίο, µε τις δυναµικές του γραµµές παράλληλες προς τον άξονα του πηνίου. Στρέφουµε τοn µαγνήτη κατά και διαπιστώνουµε ότι από το γαλβανόµετρο διέρχεται ηλεκτρικό φορτίο Q. Nα βρεθεί το µέτρο της έντασης του µαγνητικού πεδίου του µαγνήτη, στο εσωτερι κό του πηνίου. ΛYΣH: Έστω Δt ο χρόνος περιστροφής του µαγνήτη και ΔΦ η αντίστοιχη µεταβολή της µαγνητικής ροής στις σπείρες του πηνίου. Tότε η µέση τιµή της επαγωγικής H.E.Δ. στις σπείρες του πηνίο, για το χρονικό διάστηµα Δt, θα δίνεται από τη σχέση:

22 E" = n $/t (1) όπου n ο αριθµός των σπειρών του πηνίου. Όµως ισχύει: ΔΦ = Φ τελ Φ αρχ = BSσυνπ* -BSσυν0 = -2BS όπου S το εµβαδόν κάθε σπείρας του πηνίου. Έτσι η σχέση (1) γράφεται: E" = n. -2BS t = 2nBS t = 2nB"r2 t (2) H αντίστοιχη µέση ένταση του επαγωγικού ρεύµατος στο κλειστό κύκλωµα του πηνίου και του γαλβανοµέτρου είναι: I" = (2) E " R " + R I" = 2nB"r 2 t(nr 0 + 0) I"t = 2B"r2 R 0 Q = 2Br2 R 0 B = QR 0 2r 2 P.M. fysikos Oµογενές µεταλλικό σύρµα έχει διαµορφωθεί σε δύο συνεπίπεδους κυκλικούς βρόχους ακτίνων r και 2r, όπως φαίνεται στο σχήµα (20), όπου η απόσταση των σηµείων M και N είναι πολύ µικρή. Tο σύστηµα βρίσκεται σε µαγνητικό πεδίο, του οποίου η ένταση αυξάνεται οµοιόµορφα στο χώρο εκ της τιµής µηδέν, µε σταθερό ρυθµό B *, οι δε δυναµικές του γραµµές είναι κάθετες στο επίπεδο των βρόχων. Nα βρείτε την ένταση και την συµβατική φορά του επαγωγικού ρεύµατος που παράγεται στους δύο βρόχους. Δίνεται η ανά µονάδα µήκους αντίσταση R * του σύρµατος. ΛYΣH: Eπειδή η ένταση του µαγνητικού πεδίου αυξάνεται, θα αυξάνεται και η µαγνητική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια κάθε βρόχου, µε αποτέλεσµα να δηµιουργείται κατά µήκος κάθε βρόχου επαγωγική H.E.Δ. Aυτό σηµαίνει ότι οι δύο βρόχοι συµπεριφέρονται ως ηλεκτρικές γεννήτριες, των οποίων οι πολικότητες ανταποκρίνονται στον κανόνα του enz και είναι αυτές που φαί νονται στο σχήµα (21) οι δε τιµές τους δίνονται από το νόµο της επαγωγής του Faraday, δηλαδή από τις σχέσεις: E 1 = d 1 dt = d(bs ) 1 db = S dt 1 dt ="r2 B * E 2 = d 2 dt = d(bs " 2) db = S dt 2 dt = 4"r2 B * $ (1) * Συµβατικά δεχόµαστε ότι, η θετική φορά της κάθετης στις σπείρες του πηνίου συµπίπτει µε τη φορά της έντασης B στο εσωτερικό του πηνίου, προτού περισ τραφεί ο µαγνήτης.

23 όπου η E 1 αντιστοιχεί στον αριστερό βρόχο ακτίνας r και η E 2 αντιστοιχεί στον δεξιό βρόχο ακτίνας 2r. Eξάλλου οι ισοδύναµες προς τους βρόχους ηλεκτρικές γεννήτριες έχουν εσωτερικές αντιστάσεις R 1 και R 2 που υπολογίζονται από τις σχέσεις: R 1 = 2rR * R 2 = 4rR * " (2) Σχήµα 20 Σχήµα 21 Eφαρµόζοντας στο ισοδύναµο κύκλωµα των βρόχων το δεύτερο κανόνα του Kirchoff παίρνουµε τη σχέση: E 1 + E 2 = I " (R 1 + R 2 ) I " = E + E 1 2 R 1 + R 2 (2 ) (1) I " = "r2 B * + 4"r 2 B * 2"rR * + 4"rR = 5rB* * 6R * P.M. fysikos Δύο µεταλλικά σύρµατα A 1 x 1 και A 2 x 2, αµελητέας ηλεκτρικής αντίστασης, στερεώνονται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, ώστε να είναι µεταξύ τους παράλληλα. Oι άκρες τους A 1, A 2 συνδέον ται µε µεταλλικό σύρµα ηλεκτρικής αντίστασης R, ενώ κατά µήκος των συρµάτων µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή µεταλλική ράβδος MN, µήκους και ηλεκτρικής αντίστασης R'. H ταχύτητα της ράβ δου έχει σταθερό µέτρο v και ο φορέας της είναι κάθετος στη ράβδο, όλο δε το σύστηµα βρίσκεται µέσα σε κατακόρυφο οµογενές µαγνητι κό πεδίο, του οποίου η ένταση έχει µέτρο B. Nα βρεθούν: i) η ηλεκτρική τάση στις άκρες της µεταλλικής ράβδου MN, ii) η αναγκαία εξωτερική δύναµη για την εξασφάλιση της οµαλής κί νησης της ράβδου και iii) η ηλεκτρική ενέργεια που παράγεται στο κύκλωµα σε χρόνο t. Nα συγκρίνετε την ενέργεια αυτή προς το αντίστοιχο έργο της εξωτε ρικής δύναµης.

24 ΛYΣH: i) Στη διάρκεια της κίνησης της µεταλλικής ράβδου MN δηµιουρ γείται κατά µήκος αυτής επαγωγική H.E.Δ. που η πολικότητα της φαίνεται στο σχήµα (22), η δε τιµή της είναι: E επ =Bv (1) Η Ε επ δηµιουργεί στο κύκλωµα MA 1 A 2 NM επαγωγικό ρεύµα, που η συµβατική του φορά ανταποκρίνεται στην πολικότητα της Ε επ και είναι συµβατή µε τον κανόνα του entz, η δε έντασή του δίνεται από τη σχέση: I " = E (1) " R o I " = Bv R + R' (2) Σχήµα 22 Όµως η ράβδος MN συµπεριφέρεται στο κύκλωµα ως ηλεκτρική γεννήτρια και εποµένως η τάση V M, N στις άκρες της θα δίνεται από τη σχέση: (1) V M,N = E " - I " R (2) V M,N = Bv - BvR' R + R' V M,N = BvR R + R' (3) ii) Λόγω του επαγωγικού ρεύµατος η µεταλλική ράβδος MN δέχεται δύναµη aplace F αντίρροπη της ταχύτητάς της, δηλαδή η F αντιστέκεται στην κίνησή της και εποµένως για να εξασφαλιστεί η ισοταχής κίνηση της ράβδου πρέπει να εξασκείται σ' αυτήν εξωτερική δύναµη F, αντίθετη της F. Έτσι θα ισχύει: (2) F=F F = BI " F = B2 2 v R + R' (4) iii) Eάν W F είναι το έργο της εξωτερικής δύναµης σε χρόνο t, στη διάρκεια του οποίου ο αγωγός µετατοπίζεται κατά x, θα ισχύει: (4) W F = Fx W F = B2 2 v 2 t R + R' (5) Eξάλλου κατά τον χρόνο t στο κύκλωµα παράγεται ηλεκτρική ενέργεια W ηλ για την οποία ισχύει η σχέση:

25 (1) W " = E $ I $ t (2) W " = B2 2 v 2 t R + R' (6) Aπό (5) και (6) προκύπτει: W " = W F (7) Παρατήρηση: Mε βάση τη σχέση (7) µπορούµε να ισχυριστούµε ότι, διά µέσου του φαινο µένου της ηλεκτροµαγνητικής επαγωγής συµβαίνει µετατροπή της µηχανικής ενέργειας σε ηλεκτρική ενέργεια. Συγκεκριµένα, µέσω του έργου της F µετα φέρεται µηχανική ενέργεια στην ράβδο MN, ενώ µέσου του έργου της F έχου µε µετατροπή της µηχανικής αυτής ενέργειας σε ηλεκρική ενέργεια, που τελι κά µετασχηµατίζεται σε θερµότητα joule στις αντιστάσεις R και R. P.M. fysikos Ένα µεταλλικό σύρµα αµελητέας ηλεκτρικής αντίστασης, έχει σχήµα αντεστραµµένου Π και στερεώνεται ώστε το επίπεδο του να είναι κατακόρυφο. Kατά µήκος των κατακόρυφων σκελών του σύρµατος µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές µιά µεταλ λική ράβδος MN, µήκους µάζας m και ηλεκτρικής αντίστασης R, όλο δε το σύστηµα βρίσκεται µέσα σε οµογενές µαγνητικό πεδίο, που η έντασή του έχει µέτρο B, οι δε δυναµικές του γραµµές είναι κάθε τες στο επίπεδο του σύρµατος. H ράβδος MN ωθείται εκ της ηρεµίας απότοµα προς τα κάτω και αφήνεται ελεύθερη, οπότε αυτή κινείται στη συνέχεια µε σταθερή ταχύτητα πάνω στα κατακόρυφα σκέλη του σύρµατος. Nα βρείτε την ενέργεια που προσφέρθηκε στη ράβδο κατά το βραχύ χρονικό διάστηµα της προς τα κάτω ωθήσεώς της. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: Στη διάρκεια του πολύ µικρού χρόνου, που η ράβδος MN ωθείται προς τα κάτω, προσφέρεται σ αυτή ενέργεια W 0 (π.χ. µέσω του έργου κατάλληλης δύναµης) η οποία µετασχηµατίζεται σε κινητική ενέργεια της ράβδου. Έτσι τη στιγµή που αφήνεται ελεύθερη έχει αποκτήσει ταχύτητα v, της οποίας το µέτρο ικανοποιεί τη σχέση: Σχήµα 23 W 0 = mv 2 /2 (1) Στη συνέχεια η ράβδος κινείται κατά µήκος των κατακόρυφων σκελών του σύρ µατος µε σταθερή ταχύτητα v µέσα στο οµογενές µαγνητικό πεδίο, οπότε ανα

26 πτύσσεται κατά µήκος της επαγωγική H.E.Δ. της οποίας η πολικότητα φαίνεται στο σχήµα (23), η δε τιµή της είναι: Eεπ = Bv (2) Aυτή δηµιουργεί στο κλειστό κύκλωµα NΓΔMN ρεύµα επαγωγικό, που η συµ βατική του φορά φαίνεται στο σχήµα, η δε έντασή του δίνεται από τη σχέση: I " = E " / R (2) I " = Bv/R (3) Λόγω του επαγωγικού ρεύµατος η ράβδος MN δέχεται από το µαγνητικό πεδίο δύναµη aplace F αντίρροπη της v, µε µέτρο: F = BI " (3) F = B 2 2 v/r (4) Eπειδή η ράβδος κινείται µε σταθερή ταχύτητα v, το βάρος της m g και η δύνα µη aplace F αλληλοεξουδετερώνονται, δηλαδή ισχύει η σχέση: mg = F (4) mg = B2 2 v R v = mgr B 2 2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (6) παίρνουµε: W 0 = m 2 mgr$ & " B 2 2 % 2 P.M. fysikos Δίνεται ένα κυκλικό πηνίο Π 1 µεγάλου µήκους, που ο αριθµός των σπειρών του ανά µονάδα µήκους είναι n *, κάθε δε σπείρα του έχει εµβαδόν S. Kοντά στο Π 1 φέρουµε ένα άλλο πηνίο Π 2, που αποτελείται από n 2 σπείρες. Προκαλώντας µιά µεταβολή της έντα σης του ρεύµατος πηνίο Π 1 διαπιστώνουµε ότι, η µεταβολή της µαγνη τικής ροής σε κάθε σπείρα του Π 2 αποτελεί τα 2/5 της αντίστοιχης µεταβολής της µαγνητικής ροής σε κάθε σπείρα του Π 1. Nα βρεθεί ο συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής των δύο πηνίων. Δίνεται η απόλυτη µαγνητική διαπερατότητα µ 0 του κενού. ΛYΣH: Δεχόµαστε ότι στο πηνίο Π 1 προκαλείται µιά µεταβολή ΔI της έντασης του ρεύµατος, που διαρκεί χρόνο Δt και ονοµάζουµε ΔΦ 2 την αντίστοιχη µεταβολή της µαγνητικής ροής στις σπείρες του πηνίου Π 2. Tότε κατά το χρόνο Δt στο πηνίο Π 2 θα δηµιουργείται ηλεκτρεγερτική δύναµη από αµοιβαία επαγωγή, που η αντίστοιχη µέση τιµή της είναι: Eµ = n 2 " 2 / "t " Eµ = M "I / "t n 2 " 2 t = M I t

27 M = n 2 " 2 I M = n 2 2" 1 5I = 2n 2 5 " 1 I (1) Σχήµα 24 όπου M ο συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής των δύο πηνίων και ΔΦ 1 η µετα βολή της µαγνητικής ροής στις σπείρες του πηνίου Π 1 σε χρόνο Δt. Όµως, εάν ΔB είναι η µεταβολή του µέτρου της έντασης του πεδίου στο εσωτερικό του σωληνοειδούς, που αντιστοιχεί στη µεταβολή ΔI, θα έχουµε : ΔΦ 1 = SΔB = Sµ 0 n * ΔI " 1 /t = µ 0 n * S (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε τη σχέση: M = 2µ 0 n n 2 S/5 P.M. fysikos Ένα πηνίο αποτελείται από n σπείρες, που κάθε µιά έχει ηλεκτρική αντίσταση R 0. Tο πηνίο τροφοδοτείται µε γεννήτ ρια συνεχούς ρεύµατος, που έχει ηλεκτρεγερτική δύναµη E και εσω τερική αντίσταση r. Όταν στο πηνίο αποκατασταθεί ρεύµα σταθερής έντασης, τότε από κάθε σπείρα του διέρχεται µαγνητική ροή Φ 0. Nα βρεθεί η ενέργεια του µαγνητικού πεδίου του πηνίου. ΛYΣH: Έστω I 0 η τελική ένταση ρεύµατος στο πηνίο και Δt ο χρόνος αποκατάστα σης της έντασης στην τιµή I 0. Στη διάρκεια του χρόνου Δt δηµιουργείται στις σπείρες του πηνίου αυτεπαγωγική ηλεκτρεγερτική δύναµη, που η αντίστοιχη µέ ση τιµή της, δίνεται από τις σχέσεις: E" = $I /$t = I 0-0 /$t = I 0 /$t (1) E" = n $ /$t = n 0-0 /$t = n 0 /$t (2) όπου o συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε: I 0 t = n" 0 t = n 0 I 0 (3)