Générateurs et groupes cycliques

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Générateurs et groupes cycliques"

Transcript

1 Γεννήτορες και κυκλικές οµάδες - Générateurs et groupes cycliques N. Lygeros Νοµίζω πως τώρα είµαστε αρκετά προετοιµασµένοι για να δούµε µερικά πράγµατα από το βιβλίο. Άρα το Η θα είναι η υποοµάδα. Οπότε η ιδέα είναι να ορίσουµε προς το παρόν αυτό: Η G Προσέξτε ότι αν το γράψω έτσι: Η G τότε το Η είναι µόνο υποσύνολο. Όταν έχω το G και το Η, µία προϋπόθεση για να είναι υποοµάδα, είναι να είναι πρώτα υποσύνολο. Οπότε γι αυτό βλέπετε: έστω Η ένα υποσύνολο µιας οµάδας. Αυτό είναι λάθος διατυπωµένο. εν µπορούµε να είµαστε ένα υποσύνολο µια οµάδας, εφόσον µία οµάδα αποτελείται από ένα σύνολο και µία πράξη. Μπορούµε να είµαστε υποσύνολο του συνόλου της οµάδας. ηλαδή είναι: Έστω Η Ø Η G όπου (G, ) οµάδα ( (α, β) є Η 2, αβ -1 єη) Η υποοµάδα της G Βάζουµε Η 2 επειδή το καθένα ανήκει. Για παράδειγµα αν θέλαµε να ορίσουµε το f(x,y)=y 2 +x θα βάζαµε (x,y) є R 2, δηλαδή ο δείκτης είναι όσες είναι οι µεταβλητές εφόσον δεν είναι ανεξάρτητες, γιατί εδώ κάνουµε πράξεις. Οπότε δεν µπορεί να υπάρχει το x ή το y µόνο του. Αλλιώς δεν έχει νόηµα η f(x,y). Τώρα αυτό που έχουµε παραπάνω, δεν είναι ακριβώς θεώρηµα. Το θεωρούµε θεώρηµα αλλά για τα στοιχεία της οµάδας είναι ο χαρακτηρισµός. ηλαδή είναι ένα θεώρηµα χαρακτηρισµού. ηλαδή αν έχουµε αυτό τότε αυτό χαρακτηρίζει την υποοµάδα. Γιατί σε ένα θεώρηµα κανονικό, το «Η υποοµάδα της G» ξέρουµε τι είναι. Εδώ δεν ξέρουµε τι είναι. Οπότε λέµε αν αυτό ισχύει, τότε αυτό το πράγµα που ισχύει το ονοµάζουµε έτσι. ηλαδή αν ήµασταν στην πληροφορική δεν θα χρησιµοποιούσαµε αυτό =, θα χρησιµοποιούσαµε αυτό :=. Ισότητα ορισµού. Το αντικείµενο που δεν γνωρίζω, το ονοµάζω έτσι. Είναι αυτό που λέµε συνεκδοχικά. Κανονικά, αυτό που ξέρετε εσείς είναι το υποσύνολο. Αλλά γιατί η υποοµάδα είναι βαριά έννοια; Είναι γιατί δεν είσαι απλώς υποσύνολο του συνόλου της οµάδας. Είναι ότι εσύ ο ίδιος είσαι υποοµάδα. Και αυτό µας λέει ότι αν αυτή είναι οµάδα, τότε έχει και το ουδέτερο στοιχείο. Άρα όταν εγώ κάνω το σχέδιο e G H ξέρω ήδη ότι το ουδέτερο στοιχείο είναι µέσα. 1

2 Όταν έχω ένα σύνολο, πόσα υποσύνολα έχουµε; Αν το σύνολο έχει ν στοιχεία, τότε θα παράγει 2 ν υποσύνολα. Για παράδειγµα, όταν έχω 3 στοιχεία, τότε µπορώ να πάρω x 1 Ø 1,2,3 x 2 {1}, {2}, {3} 1,2 1,3 2,3 x 3 {1,2}, {1,3}, {2,3} {1,2,3} Ø poset treillis (γαλ.) lattice (αγγλ.) Οπότε έχουµε αριστερά τα υποσύνολα και δεξιά σε poset έχουµε ενώσει µε γραµµές το πού µπαίνει το κάθε στοιχείο. Ας πούµε το 1 είναι στο 1,2 και το 1,2 στο 1,2,3 κλπ. Αυτό που κάναµε µοιάζει λίγο µε κύβο όπως µπορούµε να δούµε δεξιά. Αν το σκεφτείτε καλά, είναι εντυπωσιακό. ηλαδή αρχίσαµε µε µία τριάδα που δεν έχει καµία σχέση µε τίποτα, κοιτάζουµε όλα τα υποσύνολα, µετά κάνουµε το λεγόµενο poset και δίπλα κάνουµε το treillis το οποίο είναι ένα ειδικό poset, είναι ένα σύνολο µε µερική διάταξη το οποίο έχει την ιδιότητα ότι οποιαδήποτε δύο στοιχεία και να πάρεις, έχουν πάντοτε ένα στοιχείο από επάνω και ένα στοιχείο από κάτω. Και όπως το νιώθετε, είναι ένας πολύ εύκολος τρόπος για να παράγετε έναν υπερκύβο βάζοντας 4 στοιχεία. Άρα η άσκηση ήταν να πάρουµε ένα σύνολο και να βρούµε πόσα υποσύνολα έχει και βλέπουµε ότι έχει 2 ν. Τώρα το πρόβληµα είναι να πάρω µία οµάδα και να δούµε πόσες υποοµάδες έχει. Άρα παίρνω µία οµάδα τάξης ν και θέλω να βρω πόσες υποοµάδες έχω. Ας πούµε πως το 1,2,3 που είδαµε είναι οµάδα. Θα γράψω ότι το 1 είναι το ουδέτερο, εφόσον πρέπει ένα από τα τρία να είναι το ουδέτερο. Αυτά που βρήκαµε παραπάνω είναι όλες οι υποοµάδες εν δυνάµει που είναι σωστές ως υποσύνολα. Όχι ως υποοµάδες. Γιατί για παράδειγµα η {2,3} δεν µπορεί να είναι υποοµάδα εφόσον δεν περιέχει το ουδέτερο στοιχείο. Για τον ίδιο λόγο δεν µπορούν οι {2} και {3}. Βλέπουµε ότι εµείς πολύ πρακτικά και πολύ όπως θα έλεγε ο Βουγιουκλής χειρωνακτικά, βρίσκουµε µία ωραία έννοια που στο τέλος θα οδηγήσει στο θεώρηµα του Lagrange. Εδώ πήραµε µία οµάδα τάξης 3 και είδαµε πόσες υποοµάδες έχει. Όταν παίρνουµε όλα τα υποσύνολα, βλέπουµε ότι πρέπει να σβήσουµε µερικά. Γενικότερα για να έρθουµε και στο θεώρηµα λέµε πως για να εξετάσουµε αν είναι υποοµάδα, πρέπει να δούµε αν πάρουµε α και β -1, πρέπει να ανήκει στην Η. Άρα η {1} λειτουργεί, αλλά δεν τη µετράµε επειδή είναι η τετριµµένη, είναι µόνο το ουδέτερο. ηλαδή, ποια είναι τα χαρακτηριστικά της οµάδας; Έχει ένα ουδέτερο στοιχείο, πρέπει να έχει ένα συµµετρικό, η προσεταιριστικότητα, η πράξη είναι εσωτερική. Τώρα εγώ σας παίρνω µόνο ένα στοιχείο και σας λέω: είναι οµάδα; Μόνο µε τα στοιχεία που έχετε. Το θέµα είναι ότι είναι, αλλά τη λέµε τετριµµένη επειδή έχουµε το πρόβληµα ότι όταν έχετε µία ιδιότητα που δεν µπορείτε να την εφαρµόσετε, δεν µπορείς να πεις ότι δεν ισχύει. Πρέπει να µπορείς να την εφαρµόσεις για να πεις ότι δεν ισχύει. ιότι αν δεν εφαρµόζεται, ισχύει. Άρα µε την τετριµµένη τι λέµε; Λέµε ότι το να µπορείς να κάνεις µία εσωτερική πράξη, είναι αστείο. Αφού είσαι µόνος σου. Άρα αυτή δεν τη µετράµε σαν κανονική υποοµάδα, την θεωρούµε εκφυλισµένη. Απ ότι θυµάστε, είχαµε αποδείξει ότι όταν έχουµε 3 στοιχεία, έχουµε µόνο µία οµάδα. Άρα έχει µόνο έναν πίνακα. Και εκεί βλέπουµε ότι όπως το 1 είναι το ουδέτερο, άρα το 2 3=1, οπότε 3=2-1. Τώρα αν πάρουµε π.χ. το {1,2}, εφόσον βγάλαµε την τετριµµένη που είναι µόνο το 1 και την {1,2,3} που είναι όλη η οµάδα, µου λέει ότι αν 2

3 στο β -1 βάλω το 1 είµαι εντάξει, γιατί το 1-1 είναι το 1. Άρα δεν έχουµε πρόβληµα. Αν γράψω όµως ότι το β είναι το 2, τότε έχω =1 3=3 το οποίο δεν ανήκει στο υποσύνολο που πήρα. Προσέξτε ότι όπως θέλω να είναι υποοµάδα, άρα θα έχω την ίδια πράξη µε την οµάδα. Οπότε οι αντίστροφοι παραµένουν οι ίδιοι. Αλλιώς δεν θα είχαµε υποοµάδα αυτής της οµάδας, θα είχαµε µία άλλη οµάδα. Γιατί για παράδειγµα η Ζ 2 υπάρχει. Αλλά αν το κάνουµε όπως στη Ζ 2, βλέπουµε ότι δεν µπορεί να µπει µέσα εδώ ως υποοµάδα. Άρα στην ουσία βλέπουµε ότι η Ζ 3 δεν έχει υποοµάδα. Αυτό είναι πάρα πολύ. Για πρώτη φορά τουλάχιστον. Γι αυτό σας λέω, µην µπερδεύεστε µε τα υποσύνολα. Γιατί το σύνολο είναι εύκολο. Στο σύνολο παίρνεις ένα κοµµάτι και έχεις ήδη την έννοια του συνόλου. Αλλά στην οµάδα οι πράξεις µετράνε. Γιατί αν το πιο πάνω το κάνω µε το διάγραµµα του Cayley, όπου η δράση είναι το α, έχουµε: e a a 2 Τώρα εδώ τι µπορούµε να δούµε. Έχουµε όλα τα υποσύνολα. Έπειτα βλέπουµε πως σίγουρα δεν µπορούµε να πάρουµε αυτά που δεν έχουν το e. Για τα υπόλοιπα δεν ξέρουµε ακόµη κάτι. Είναι εν δυνάµει υποοµάδες. Τα πρώτα τα απορρίψαµε µε την έννοια του ουδέτερου. Τώρα θα δούµε µε βάση την ιδιότητα του αντίστροφου. Όταν θα ανακαλύψουµε τις κυκλικές οµάδες, θα δούµε ότι η τάξη της υποοµάδας θα πρέπει να διαιρεί την τάξη της οµάδας. Είναι όπως στο θεώρηµα του Lagrange. ηλαδή µε βάση αυτό, όπως εδώ βλέπουµε 3, ούτε καν να ψάξουµε. Το θεώρηµα του Lagrange είναι : Η τάξη µιας πεπερασµένης οµάδας διαιρείται µε την τάξη κάθε υποοµάδας της. Αυτό έχει ενδιαφέρον γιατί µπορείτε να το δείτε ανάποδα. Σας παρουσιάζω, ας πούµε, πέντε υποοµάδες που έχουν διαφορετικές τάξεις και εσείς ξέρετε ότι η οµάδα θα πρέπει να έχει το µικρότερο κοινό πολλαπλάσιο. Άρα θα σηµειώσετε όλοι το θεώρηµα του Lagrange και θα γράψετε ότι δεν το κάνουµε τώρα, αλλά είναι το όραµά µας. Ξέρουµε δηλαδή ότι πρέπει να πετύχουµε αυτό. Τώρα εδώ κανονικά θα έπρεπε να µου κάνετε µία παρατήρηση. Πότε γεννήθηκε ο Galois; -Το Και πότε πέθανε; -Το Ωραία. Και εδώ τι λέει δίπλα από τον Lagrange; Αυτό δεν σας παραξενεύει; Ότι υπάρχει το θεώρηµα του Lagrange ενώ δεν υπήρχε η θεωρία; ηλαδή τόσο καιρό µιλάµε για µία θεωρία που γεννήθηκε µε τον Galois, που δεν υπήρχε πριν, διαβάσαµε µέχρι και τη διαθήκη του, στη διαθήκη του ήταν όλα τα αποτελέσµατα και τώρα εγώ σας κάνω το µάθηµα και σας λέω όλα αυτά και ότι θέλουµε να φτάσουµε αργότερα στον Lagrange ο οποίος είναι πολύ πιο πριν. Αλλά πρόκειται για µαθηµατικά. Πραγµατικά. Αυτό που δεν βλέπουµε πολλές φορές είναι ότι κάτι έχει αποδειχθεί, αλλά έχει αποδειχθεί εν δυνάµει για κάτι που δεν έχει έρθει ακόµη. Το ξαναλέω, µε ένα παράδειγµα τώρα. Έχουµε το log και το ln. Άρα εµάς µας λένε ότι το πρώτο είναι ο 3

4 λογάριθµος και το δεύτερο ο νεπέριος λογάριθµος. Μετά λέµε για τον Neper και εµείς λέµε «α! είναι ο λογάριθµος του Neper». Καµία σχέση. Ο λογάριθµος του Neper είναι ο πρώτος! Γιατί ο Neper δεν γνώριζε τον λογάριθµο του Neper. -Σαν τις αβελιανές οµάδες. -Ναι. ηλαδή είναι κάτι που έκανε ο Neper εδώ, δυσκολεύτηκε πάρα πολύ και µετά ανακαλύψαµε ότι µία βάση, η βάση e=2.71 είναι καλύτερη από όλες τις άλλες βάσεις γιατί έχει µια παγκοσµιότητα. Οπότε είπαµε ότι όπως ο άνθρωπος αυτός ήταν που τα βρήκε, θα του δώσουµε το όνοµά του. Και όπως είπατε, είναι το ίδιο µε τον Abel. Εµείς έχουµε την έννοια της αβελιανής οµάδας η οποία είναι αντιµεταθετική, αλλά αν κοιτάξετε τα χειρόγραφα του Abel θα δείτε ότι δεν γράφει πουθενά αβελιανή. Γιατί δεν το ήξερε. Βέβαια δεν είναι ακριβώς αυτό που έχουµε εδώ. Γιατί εδώ το θεώρηµα του Lagrange δεν εφαρµόζεται κατευθείαν στις οµάδες. Αλλά εφαρµόζεται σε κάποιες δοµές. Ας πούµε η θεωρία των poset είναι του 20 ου αιώνα, η θεωρία συνόλων είναι και αυτή του 20 ου αιώνα. Άρα λέτε πώς το κάνανε αυτό πριν; Πάνω-κάτω µιλούσαν για αυτές τις έννοιες αλλά δεν τις είχαν θεµελιώσει. ηλαδή όταν εγώ σας έκανα πριν για το G και το Η και ότι είναι υποσύνολο κλπ. εσείς ξέρετε καθόλου από θεωρία συνόλων; Τα «στοιχεία» των Bourbaki είναι ένα µεγάλο ράφι βιβλιοθήκης αν τα βάλετε όλα τα βιβλία. Η θεωρία συνόλων είναι το πρώτο και είναι αρκετά χοντρό. Είναι δυνατόν την ώρα που εµείς κάνουµε αυτό εδώ και βάζουµε αυτό το σύµβολο να καταλαβαίνουµε ότι περιέχεται σε αυτό το βιβλίο; Όµως κάνουµε θεωρία συνόλων, χωρίς να ξέρουµε όλες τις επιπτώσεις. Και προσέξτε, εδώ είµαστε ήρεµα, είναι πεπερασµένες οι οµάδες. Άρα µπορούµε να τα µετρήσουµε. Γιατί µετά έχουµε το αξίωµα της επιλογής που θα σας πει ότι όταν η οµάδα είναι άπειρη, πάλι µπορείτε να βρείτε ένα σύστηµα για να την ξαναβάλετε στη σειρά. Ο άλλος βέβαια θα σας πει πως το σύστηµα πρέπει να είναι αναγκαστικά άπειρο. Ναι αλλά µπορείς να το κάνετε υπερ-άπειρο και να πηγαίνει πιο γρήγορα από το άλλο άπειρο. Ας πούµε το αξίωµα της επιλογής είναι να πηγαίνετε στο Έβερεστ, όλη τη διαδροµή κανονικά µε ορειβασία κλπ. και µετά έρχεται ο άλλος µε ελικόπτερο. Ε λες µετά ότι αυτό δεν πιάνεται. Βέβαια αν το πρόβληµα είναι απλώς να πατήσεις στην κορυφή, µε ό,τι και να έρθεις, έφτασες. Οπότε ο άλλος θα σου πει, όχι εγώ εννοούσα να ανέβεις µε τα πόδια. Μετά θα έρθει ο άλλος και θα πει µα οι πρώτοι ανέβηκαν µε µπουκάλες οξυγόνου, άρα δεν µετράει. Οπότε θα γίνει να ανέβεις µε τα πόδια χωρίς µπουκάλες οξυγόνου. Βέβαια τότε θα είναι να ανέβεις από οπουδήποτε. Γιατί συνήθως δεν ανεβαίνουν από τις βόρειες επειδή είναι πιο δύσκολες. Είναι µία ειδικά που δεν παίζεται. Άρα ξαναµπαίνουµε στο άλλο: ποιος θα ανέβει και από τη βόρεια; Έγινε και αυτό. Αλλά τι θέλω να πω, είναι το ίδιο µε τα µαθηµατικά. ηλαδή όταν λέµε πως µία εξίσωση δεν έχει λύση όταν είναι βαθµού πάνω από 4 ναι, αλλά µε τετραγωνικές ρίζες! Αν έχεις δικαίωµα να βάλεις άλλη συνάρτηση, µπορείς να τη λύσεις. Με τις αβελιανές συναρτήσεις. Άρα για να επανέλθουµε, όταν λέµε πως κάποιο πράγµα είναι το όραµά µας, αυτό δεν σηµαίνει πως αναγκαστικά δηµιουργήθηκε µετά και ήρθε ο φορµαλισµός. Και εδώ είναι κάτι άλλο που µπορεί να µας συγχύσει, ότι η απόδειξη του θεωρήµατος του Lagrange είναι τρεις γραµµές, για να µην πω δύο, που σχεδόν είναι µία. Γιατί, «έστω Η τυχούσα υποοµάδα της πεπερασµένης οµάδας (G, )» είναι απλώς ότι την ονοµάζουµε Η. Μετά, «κάθε συνσύνολο», αλλά εδώ δεν ξέρετε τι είναι το συνσύνολο, άρα ξαναπηγαίνουµε πίσω. Προσέξτε, το συνσύνολο δεν το ήξερε ούτε ο Galois. Συνεχίζουµε: «xh, xєg έχει το αυτό πλήθος στοιχείων µε την Η, διότι η απεικόνιση h xh είναι αµφιµονοσήµαντη». Εδώ δεν έχουµε ακόµα την έννοια της απεικόνισης, γιατί έρχεται στον 20 ο αιώνα. Εποµένως η γραµµή που είναι εδώ γραµµένη είναι όλη 20 ος! Επιπλέον «το θεώρηµα του Lagrange ονοµάζεται και πρώτο θεµελιώδες θεώρηµα». Εδώ λέτε, τι γίνεται. Μας έχουν κάνει µία απόδειξη µε τρεις 4

5 γραµµές, όπου υπάρχουν τρεις έννοιες που ήταν άγνωστες για αυτούς που το έκαναν και αυτό επιπλέον έγινε πριν γεννηθεί η θεωρία οµάδων. Θυµόµαστε πως αυτό είναι το όραµά µας και πάµε πίσω, στο προηγούµενο θεώρηµα. Παίρνουµε ότι το α=β, οπότε έχουµε αα -1 =e εξ ορισµού. Άρα αυτό ισχύει. Αυτό θέλει να πει απλώς ότι σας αναγκάζει να έχετε το ουδέτερο στοιχείο στην υποοµάδα. Επίσης, έστω ότι αєη και εφόσον e ανήκει στο Η, έχετε αναγκαστικά ότι eα -1 =α -1 το οποίο πρέπει να ανήκει στο Η. Τέλος παίρνουµε (α,β)єη 2 και έχουµε αβ -1 єη και τώρα προσέξτε, λέµε ότι θα πάρουµε το β -1 το οποίο το έχουµε αντικαταστήσει στο β και έτσι έχουµε α(β -1 ) -1 =αβєη δηλαδή η πράξη είναι κλειστή ως προς το Η. ηλαδή αυτό που κάνουµε είναι να ξαναβρίσκουµε τις ιδιότητες της οµάδας µέσα στο Η αναλόγως µε το ποιο βάζουµε στα α και β. Γι αυτό σας λέω ότι δεν είναι µόνο ένα θεώρηµα, είναι επιπλέον ένας χαρακτηρισµός. Οπότε για να σου δείξει ότι αυτό όντως χαρακτηρίζει, σου λέει: µπορώ να ξαναβρώ τις τρεις ιδιότητες της οµάδας; Αν δεν έκανα αυτή την επισήµανση, θα περιµένατε από το πρώτο µέρος να καταλήξω στο δεύτερο. Αλλά δεν κάνουµε αυτό. Λέµε ότι το πρώτο µέρος είναι τα τρία σηµεία και από τα τρία σηµεία ξέρω ότι έχω οµάδα. ηλαδή δεν µπορούµε να πάµε κατ ευθείαν στο Β εφόσον το ορίζω για πρώτη φορά. Άρα κατεβαίνουµε και αποδεικνύουµε ότι το Α ισοδυναµεί µε τα τρία σηµεία που χαρακτηρίζουν µία οµάδα και βλέπουµε ότι το διάγραµµα τελικά κλείνεται. Α Β 3σ οµ. Περνάµε λοιπόν στο δεύτερο θεώρηµα το Εδώ έχουµε πάλι την ίδια παρατήρηση για το Η Ø ένα υποσύνολο µιας οµάδας (G, ). Το Η είναι υποοµάδα της G, αν και µόνο αν έχουµε δύο ιδιότητες: i. Η Η Η, δηλαδή το Η είναι κλειστό ως προς την πράξη της G. ηλαδή ότι (α,β)єη 2, α βєη ii. Η -1 Η, δηλαδή το α -1 єη για κάθε αєη. Άρα για να τα γράψουµε και αλλιώς έχουµε: Η υποσύνολο Η Η Η Η -1 Η (το είναι το «και», το σύµβολο της τοµής) Πρέπει να προσέξετε ότι εδώ σας το γράφει και αναλυτικά, ενώ όταν γράφουµε µαθηµατικά δεν έχει από το δηλαδή και µετά. Εδώ το βάζει επειδή απλώς αυτό είναι το πλαίσιο. Τώρα στην απόδειξη βλέπουµε ότι αν έχουµε υποοµάδα τα (i) και (ii) είναι αυτονόητα. Το θέµα είναι το γιατί πάει και ανάποδα. Αν ισχύουν τα (i) και (ii), τότε αν το αєη τότε από την (ii) προκύπτει ότι α -1 єη και στη συνέχεια λόγω της (i) το αα -1 =eєη. Άρα το Η είναι υποοµάδα της G. ηλαδή αυτό που κάνουµε µοιάζει να είναι σχεδόν αυταπόδεικτο, δεν κάνουµε και πολλά. Το θέµα είναι ότι για να τα κάνουµε αυτά τα αυταπόδεικτα, χρειαζόµαστε όλη τη 5

6 θεωρία συνόλων για τη θεωρία οµάδων. ηλαδή από αυτά τα «αυταπόδεικτα», πώς πάµε στο θεώρηµα του Lagrange; Το θέµα είναι πως αυτό γίνεται µετά εκθετικά. ηλαδή λέµε και αυτό εννοείται, και αυτό σχεδόν εννοείται, αυτό δεν εννοείται καθόλου, αυτό ήταν αδιανόητο. ηλαδή, εσείς βλέπετε πουθενά σε αυτά που κάναµε την έννοια της διαιρετότητας; Θα δούµε ότι ο Lagrange τη χρησιµοποίησε αυτή την έννοια για κάτι άλλο, που θα το δούµε πολύ πιο εύκολα, είναι τα poset. Εκεί θα βάλουµε την έννοια της διαίρεσης εξ αρχής και θέλουµε να βρούµε ας πούµε τα υποσύνολα. Στη σελ. 19 αυτά που ονοµάζει δικτυωτά διαγράµµατα, τα οποία είναι κάτι πολύ σηµαντικό, στην πραγµατικότητα είναι αυτό που σας λέω τώρα, τα poset. Είναι σύνολα µερικής διάταξης, τα οποία µας δίνουν τη δοµή της οµάδας. ηλαδή είναι ακόµη πιο δοµικά, είναι πιο κάτω από την οµάδα. Εµείς δεν θα κάνουµε αυτή την άσκηση όπως την κάνει εδώ επειδή δεν έχουµε ακόµα όλα όσα χρειάζεται, αλλά θα την κάνουµε ακόµα πιο απλά και κανονικά θα νευριάσετε γιατί ενώ θα το κάνουµε πιο απλά θα βρούµε το ίδιο διάγραµµα. Το βιβλίο το γράφει έτσι γιατί στην πραγµατικότητα γράφει κάτι άλλο. Άρα, παίρνω το 12 και θέλω να µου πείτε όλους τους αριθµούς που διαιρούν το 12. 1, 2, 3, 4, 6, 12 Προσέξτε, τώρα είµαι στην πράξη της κανονικής διαίρεσης. Άρα θέλω να γράψω το poset της διαίρεσης του 12. ηλαδή όταν θα ζωγραφίζω, θα λέω ότι αυτός που είναι από κάτω, διαιρεί αυτόν που είναι από πάνω. Ας πούµε το 1. Το ένα τούς διαιρεί όλους. Μετά το 2. Το 2 πάει πιο πάνω και το βάζω πιο αριστερά γιατί ξέρω ότι δεν διαιρεί το 3. Το 3 θα είναι στο ίδιο επίπεδο µε το 2 επειδή το ένα δεν διαιρεί το άλλο. Τώρα πηγαίνω στο 4. Το 4 διαιρείται µε το 2, οπότε πάει από πάνω του. εν διαιρείται όµως µε το 3, οπότε δεν τα ενώνω. Το 6 διαιρείται και µε το 2 και µε το 3, αλλά όχι µε το 4. Τέλος έχω το 12 που µπαίνει επάνω Συµφωνούµε; εν κάναµε τίποτα, κάναµε απλώς τις διαιρέσεις. Το πρώτο βλέπετε ότι έχει πολλές γραµµές και µας ενοχλεί. Άρα θα κοιτάξουµε τις ουσιαστικές γραµµές και θα σβήσουµε τις γραµµές που είναι µεταβατικές. Άρα από το 1 πάω στο 2, από το 2 στο 4, οπότε από το 1 στο 4 δεν τη ζωγραφίζω γιατί υπονοείται. Ωστόσο βλέπουµε ότι το 2 διαιρεί το 6, το οποίο προκαλεί µια ασυµµετρία η οποία δεν φαίνεται ξεκάθαρα στο αρχικό σχήµα. Οπότε για το λόγο αυτό ζωγραφίζω το δίπλα, το οποίο είναι µε βάση το συµβολισµό του Helmud Hasse, ο οποίος είχε και αλληλογραφία µε τον Caratheodory για να µπορείτε να δείτε λίγο την περίοδο. Ποια είναι τα χαρακτηριστικά ενός διαγράµµατος του Hasse; Η σύµβαση του Hasse είναι ότι: Τα βελάκια είναι όλα προς τα πάνω. Για κάθε σηµείο υπάρχει ένα βελάκι που καταλήγει στον εαυτό του. εν βάζουµε τα µεταβατικά βελάκια. 6

7 Έχει πολύ πλάκα αυτό που λένε οι συµβάσεις, γιατί αυτό που λένε είναι αυτό που δεν κάνουµε. Ας πούµε όπως λέµε πως τα βελάκια είναι όλα προς τα πάνω, εµείς δεν βάζουµε καθόλου βελάκια. Ή ας πούµε το βελάκι που πάει στον εαυτό του δεν το ζωγραφίζω εφόσον υπάρχει για όλα τα σηµεία. Οπότε τα αυτοαναφορικά βελάκια δεν τα βάζουµε. Και τέλος παρατηρούµε ότι δεν βάζουµε τα µεταβατικά βελάκια. Γιατί όλα αυτά ξέρουµε ότι ισχύουν για όλους. Αυτή η τεχνική είναι η ίδια που χρησιµοποιούµε και στη φυσική όταν κάνουµε κβαντική θεωρία. Ας πούµε όταν έχετε ένα εξωτερικό γινόµενο και λέτε ότι ένα διάνυσµα είναι ορθογώνιο µε όλα τα άλλα, δηλαδή κάθετο στο επίπεδο των υπόλοιπων διανυσµάτων. Αυτό το ονοµάζω α και όλα τα άλλα x επειδή δεν τα ξέρω. Οπότε δείτε τι θα γράψω την πρώτη φορά. Ας πούµε πως θέλω να γράψω την ιδιότητα: (bracket) x <α,x>=0 Εµείς γράφουµε: <α=0 Σου λέει ότι εφόσον είναι ορθογώνιο µε οποιοδήποτε άλλο, δεν είναι ανάγκη να βάζεις το δεύτερο, υπονοείται ότι είναι το δεύτερο όταν δεν το βάζεις. Άρα όλο µαζί το λένε bracket και το <α είναι ο τελεστής bra και ο άλλος µετά θα είναι ο ket. Οπότε έχεις ή τον bra επειδή ο cket λειτουργεί παντού ή το αντίστροφο. Βέβαια έτσι φαίνεται απλό αλλά την πρώτη φορά που βλέπετε κβαντική θεωρία που είναι όλος ο συµβολισµός έτσι, λέτε «στάσου, τι εννοούµε εδώ;» και πρέπει να κάνεις πραγµατικά αποσυµπίεση από τον κάθε τύπο. Πάντως προσέξτε ότι µε τις συµβάσεις, ας πούµε µε τη σύµβαση του Hasse, δεν χάνουµε τίποτα. Ας πούµε η σύµβαση του Einstein σας λέει ότι αντί για: Μπορείς να γράψεις απλώς: Γιατί όπως ο Einstein στη θεωρία του έπρεπε να βάζει Σ συνεχώς, είπε ότι όταν θα βλέπετε ένα i θα υπονοεί ότι υπάρχει ένα Σ. βέβαια αυτό, αν δεν είσαι σε αυτό το πλαίσιο, δεν µπορείς να το κάνεις. ηλαδή αν προσπαθήσεις να κάνεις το ίδιο πράγµα στη θεωρία οµάδων δεν γίνεται, µε τίποτα. Παρακάτω βλέπουµε τις τοµές. Η τοµή είναι ένα υποσύνολο. Οπότε µας λέει ότι όταν έχω ένα σύνολο και µέσα του δύο υποσύνολα, κοιτάζω την τοµή. Άρα όταν έχω µία οµάδα G και δύο υποοµάδες Η 1 και Η 2, τότε και η τοµή τους θα είναι µία υποοµάδα. H 1 H 2 G Η τοµή των Η 1 και Η 2 θα είναι υποοµάδα της G. Αυτό που έχει ενδιαφέρον εδώ είναι ότι διατηρείται η δοµή. 7

8 Προς το παρόν προσέξτε ότι σε αυτά που µελετάµε δεν βάλαµε την έννοια πεπερασµένο. Στο θεώρηµα (σελ.13) είναι η πρώτη φορά που βλέπουµε ουσιαστικά τη λέξη «πεπερασµένο». Στο προηγούµενο είχαµε τη λέξη «ανν» που σηµαίνει αν και µόνο αν. Τώρα έχουµε το «αν», που σηµαίνει ότι ως συνθήκη είναι ικανή. Με το πεπερασµένο µπορείς να το καταφέρεις να είναι ικανή. Αλλιώς δεν γίνεται. Βλέπετε ότι εδώ για παράδειγµα χρησιµοποιούµε δείκτες, οι οποίοι θα πρέπει να είναι µετρήσιµοι. Άρα µέχρι τώρα αποδείξαµε ότι έχουµε δύο σηµεία για να έχουµε υποοµάδα, τα οποία είναι αναγκαία και ικανά και µετά βλέπουµε ότι ένα από τα δύο είναι ικανό και ξέρουµε να το αποδείξουµε όταν είναι πεπερασµένο (στη Σηµείωση αναφέρει πότε λειτουργεί για άπειρο). Στον ορισµό τώρα: Έστω S ένα υποσύνολο µίας οµάδας (G, ). Την τοµή όλων των υποοµάδων που περιέχουν το S την ονοµάζουµε υποοµάδα που γεννιέται από το S και τη συµβολίζουµε µε <S>. Τα στοιχεία αυτά τα ονοµάζουµε γεννήτορες. Ας πούµε στο παράδειγµα που χρησιµοποιήσαµε πιο πάνω έχουµε την παρουσίαση {e, α, α 2 } (το α 2 =β) όπου ο α είναι ο γεννήτορας της οµάδας. Οπότε έχουµε έναν άλλο ορισµό σύµφωνα µε τον οποίο κάθε οµάδα που γεννιέται από ένα µόνο στοιχείο, ονοµάζεται κυκλική, και το στοιχείο αυτό ονοµάζεται γεννήτορας. Για να δούµε ένα παράδειγµα, παίρνουµε την κυκλική οµάδα Ζ 4 µε τις κυκλικές οµάδες Ζ 2 : Ζ 4 Ζ 2 Ζ 2 κυκλική οµάδα τάξης 4 κυκλικές οµάδες τάξης 2 επειδή έχει ένα στοιχείο επειδή έχουν στοιχεία µε τάξης 4 µέγιστη τάξη 2 (π.χ. i: (π.χ. -1: i 0 =1 (-1) 0 = 1 i 1 =I (-1) 1 = -1 i 2 =-1 i 3 =-i) Ένα παράδειγµα για την τάξη 2 είναι να πάρουµε σαν στοιχείο το -1. Εάν κάνω (-1) (-1)=1, µετά αν κάνω1(-1)=-1 κ.ο.κ. Βλέπουµε ότι δεν ξεκολλάµε από αυτά τα δύο. Ενώ για τάξη 4 µπορούµε να πάρουµε το i όπου έχουµε ii=-1, i(-1)=-i, i(-i)=1, 1i=i κ.ο.κ. Αυτό συµβαίνει 8

9 γιατί όταν κοιτάζω τον τριγωνοµετρικό, βλέπω ότι στη µία περίπτωση χοροπηδάει σε δύο σηµεία και στην άλλη σε τέσσερα. Η τάξη της συνολικής οµάδας δεν καθορίζει την οµάδα, εκτός αν είναι πρώτος αριθµός. Άρα µε το 4 έχω δύο οµάδες εντελώς διαφορετικές, τη Ζ 4 και τη Ζ 2 Ζ 2. ενώ στη Ζ 3 δεν µπορώ να κάνω το ίδιο. Επίσης έχουµε το θεώρηµα (σελ. 14) το οποίο µας λέει ότι κάθε υποοµάδα µιας κυκλικής οµάδας, είναι κυκλική. Ένα παράδειγµα για κυκλική οµάδα που µπορούµε να δούµε είναι τα βραχιόλια µε πέρλες. Για παράδειγµα, υπάρχει ένα ωραίο πρόβληµα του Polya, όπου έχετε τρεις πέρλες, δύο λευκές και µία µαύρη. Πόσα διαφορετικά βραχιόλια έχετε; Στην αρχή λέτε µία µαύρη και δύο λευκές, µία λευκή - µία µαύρη - µία λευκή, δύο λευκές και µία µαύρη Όµως όπως το βραχιόλι είναι κυκλικό, µπορείς να τις γυρίσεις, οπότε στην ουσία είναι ένα. Με δύο λευκές και δύο µαύρες είναι αλλιώς. διαφορετική ίδιες... Ας πούµε εδώ βλέπουµε ότι ενώ η πρώτη και η τρίτη είναι ίδιες περιπτώσεις, η δεύτερη δεν µπορεί να προέλθει από αυτές. Αυτό είναι πραγµατικό πρόβληµα, το πώς µπορούµε να βάζουµε έτσι έναν αριθµό από πέρλες και χρώµατα και πώς γίνεται ή πόσα διαφορετικά βραχιόλια έχουµε κλπ. Αυτό το έχουµε λύσει. Στον Polya έχει µία ένδειξη για τη λύση. Αλλά αν σας ρωτήσω εσάς, θα δείτε ότι δεν ξέρετε να απαντήσετε. Ενώ τώρα έρχεται η θεωρία οµάδων και σας λέει: πόσα στοιχεία έχεις; Ποιοι είναι οι γεννήτορες; Πώς συνδυάζονται; Είναι κυκλική;... Και µετά βρίσκετε το αποτέλεσµα ακόµα και µε n. Άρα αυτό που θέλω να σας πω και εσάς σαν δάσκαλους, είναι πως µη µου πείτε πως δεν µπορείτε µε τα παιδιά να κάνετε κάτι µε βραχιόλια για παράδειγµα, δηλαδή ότι για να κάνετε µε παιδιά το τελευταίο παράδειγµα έχετε ανάγκη από όλο τον πίνακα για να καταλάβετε τι λέω. Τα παιδιά µπορούν να καταλάβουν αυτό που ονοµάζουµε εµείς «µετασχηµατισµό» ή ότι αυτό διατηρεί κάτι, οπότε και την έννοια του «αναλλοίωτου». Γιατί εµείς θα µελετήσουµε τα αναλλοίωτα. Γιατί γι αυτόν το λόγο είναι πολύ ισχυρή η θεωρία οµάδων: δεν σε ενδιαφέρει η πέρλα αν είναι µακριά ή όχι. Σε ενδιαφέρει σε σχέση µε το τι είναι δίπλα της. Άρα είναι τοπολογική έννοια. Το πρόβληµα που πρέπει ας πούµε να καταλάβει το παιδί είναι ότι δεν πρέπει να κόψει. Γιατί 9

10 αν κόψει τότε πάµε αλλού. Το έχουµε στην τοπολογία βέβαια και αυτό, λέγεται χειρουργία. Αλλά και εκεί έχετε µερικά πράγµατα που ακόµα και αν κόψετε, δεν µπορείτε να βρείτε τον άλλο. ηλαδή χρειάζεται πολλά κοψίµατα γιατί είναι δεµένο µε ένα τόσο δύσκολο τρόπο που ακόµα και µε ένα, δεν φτάνει για να φτάσετε στον άλλο. Όπως κάποια βραχιόλια που έχουν κάποιες γυναίκες µε περίεργο δέσιµο. Εκεί µπορούµε να µπούµε σε άλλο παράδειγµα, όπως ας πούµε οι κύκλοι των ολυµπιακών αγώνων. Εκεί δεν είναι κάθε κόψιµο ίδιο µε το άλλο. Ας πούµε αν κόψουµε έναν κρίκο, οι υπόλοιποι χωρίζουν; Ένα άλλο παράδειγµα, το οποίο µπορείτε να το βρείτε και στην ιστοσελίδα µου είναι: έχω τρία λαστιχάκια και πρέπει να τα συνδυάσω έτσι ώστε οποιοδήποτε και να κόψετε, να διαλύονται όλα. Αυτό µπορεί να γίνει φυσικά και µε περισσότερα λαστιχάκια. Βέβαια όταν προσθέτεις λαστιχάκι, δεν σε βοηθάει η ήδη υπάρχουσα δοµή. Είναι όπως µε τον κύβο Rubik, δεν µπορείς να πεις ότι φτιάχνεις τη µία πλευρά και µετά την κρατάς όπως είναι και συνεχίζεις για να φτιάξεις τις άλλες. Γιατί είναι σίγουρο πως θα χαλάσει στην πορεία. Βέβαια και εκεί υπάρχει ο αλγόριθµος που σε βοηθάει. 10

11 11

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

Η οµάδα των κουατέρνιων Νίκος Λυγερός Θεώρηµα Lagrange (η τάξη της υποοµάδας Η διαιρεί την τάξη της οµάδας G) Πόρισµα 1 Έστω Λήµµα Πόρισµα 2 Έστω άρα και δεύτερον από το Πόρισµα 1 άρα Είναι ενδιαφέρον,

Διαβάστε περισσότερα

4236) Μιγαδική προσέγγιση στη Θεωρία Οµάδων Ο Evariste Galois είναι ο δηµιουργός της Θεωρίας Οµάδων. Αν είχατε παρακολουθήσει το µάθηµα Ιστορία και Φιλοσοφία των Μαθηµατικών, θα σας βοηθούσε γιατί θα γνωρίζατε

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

«Το θέµα είναι που θα πάει; Τουλάχιστον µετά να πήγαινε Μαλανδρίνο, δεν ξέρω»

«Το θέµα είναι που θα πάει; Τουλάχιστον µετά να πήγαινε Μαλανδρίνο, δεν ξέρω» «Το θέµα είναι που θα πάει; Τουλάχιστον µετά να πήγαινε Μαλανδρίνο, δεν ξέρω» Στον αποµαγνητοφωνηµένο δάλογο που ακολουθεί συνοµιλεί συγγενής του Γ. Ρουπακιά (Α) µε τον (Β) - Οπου Α η καλούσα - Οπου Β

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικός συµβολισµός και συµβολή του Galois Symbolisme mathématique et contribution de Galois. Ν. Λυγερός

Μαθηµατικός συµβολισµός και συµβολή του Galois Symbolisme mathématique et contribution de Galois. Ν. Λυγερός Symbolisme mathématique et contribution de Galois Ν. Λυγερός Τα µαθηµατικά δεν είναι µόνο τύποι. Στο προηγούµενο µάθηµα, έγραφα το ολοκλήρωµα:. Αυτό σας φαίνεται πολύ συµπυκνωµένο. Μέχρι το 19 ο αιώνα

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 1 1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΚ ΕΚΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πολλαπλάσια του α : Είναι οι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον α µε όλους τους φυσικούς. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορική προσέγγιση της θεωρίας του Galois. Approche historique de la théorie de Galois. Θα ασχοληθούµε µε τη Θεωρία Οµάδων. Όµως, το να ασχοληθούµε απλώς και µόνο τυπικά µε τη Θεωρία Οµάδων δεν αρκεί.

Διαβάστε περισσότερα

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1)

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) «Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) Πρόσωπα: Μαθητές ασκάλα Κύριος Τροχαιάκης (αστυνοµικός της τροχαίας) Παιδιά ΣΚΗΝΗ 1 (στην τάξη) Χτυπά κουδούνι και µπαίνει µέσα

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο εύτερης Ευκαιρίας Αλεξανδρούπολης. Σχολικό Έτος 2006 2007. Σενάριο : Αγιοργιωτάκης Ιωάννης Μαθηµατικός

Σχολείο εύτερης Ευκαιρίας Αλεξανδρούπολης. Σχολικό Έτος 2006 2007. Σενάριο : Αγιοργιωτάκης Ιωάννης Μαθηµατικός Σχολείο εύτερης Ευκαιρίας Αλεξανδρούπολης Σχολικό Έτος 2006 2007 Σενάριο : Αγιοργιωτάκης Ιωάννης Μαθηµατικός Τρίτη 10 Οκτωβρίου στο Σ Ε Αλεξανδρούπολης. 2 η Ώρα : Μαθηµατικά στο Β2. ΙΣΜΑΗΛ : Λεµονιά, θέλω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΥΠΕΡΚΥΒΟ

ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΥΠΕΡΚΥΒΟ ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΥΠΕΡΚΥΒΟ Αφού διαβάσαµε την Επιπεδοχώρα, φτάσαµε µε τη µέθοδο της Αναλογίας στον χώρο των τεσσάρων διαστάσεων. Το πρώτο αντικείµενο αυτού του παράξενου κόσµου ήταν ο Υπερκύβος. Τα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

«Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;»

«Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;» «Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;» Οπου (Α) ο καλούµενος - χρήστης της υπ' αριθ. 698... (µέλος της Χ.Α.) Οπου (Β) ο καλών Ηµεροµηνία: 20/09/2013 Εναρξη: 22:12':00''

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΓΙΑΝΝΗΣ ΓΥΜΝΑΖΕΤΑΙ (Κωµικό σκετς)

Ο ΓΙΑΝΝΗΣ ΓΥΜΝΑΖΕΤΑΙ (Κωµικό σκετς) 1 Ο ΓΙΑΝΝΗΣ ΓΥΜΝΑΖΕΤΑΙ (Κωµικό σκετς) ΠΑΙΖΟΥΝ ΛΟΧΑΓΟΣ ΛΟΧΙΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΣ (στρατιώτες) Σήµερα θα πάµε µαζί να κάνουµε ασκήσεις και θεωρία. Για κάντε γραµµή. Αρχίζω. Προσέξτε. Πρώτα πρώτα ν ακούτε

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ:

ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: ΙΕ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΛΕΜΕΣΟΥ (Κ.Α.) ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ: 2007-2008 Τάξη: Γ 3 Όνομα: Η μύτη μου είναι μεγάλη. Όχι μόνο μεγάλη, είναι και στραβή. Τα παιδιά στο νηπιαγωγείο με λένε Μυτόγκα. Μα η δασκάλα τα μαλώνει: Δεν

Διαβάστε περισσότερα

κάνουμε τι; Γιατί άμα είναι να είμαστε απλώς ενωμένοι, αυτό λέγεται παρέα. Εγώ προτιμώ να παράγουμε ένα Έργο και να δούμε.

κάνουμε τι; Γιατί άμα είναι να είμαστε απλώς ενωμένοι, αυτό λέγεται παρέα. Εγώ προτιμώ να παράγουμε ένα Έργο και να δούμε. Εισήγηση του Ν. Λυγερού στη 2η Παγκόσμια Συνδιάσκεψη Ποντιακής Νεολαίας "Οι προκλήσεις του 21ου αιώνα, η ποντιακή νεολαία και ο ρόλος της στο οικουμενικό περιβάλλον". Συνεδριακό Κέντρο Ιωάννης Βελλίδης

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΙΑΤΑΞΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΙΑΤΑΞΗΣ 2 η ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟΥ ΠΟE- ΟΤΑ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 29 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2008 ΘΕΜΑΤΑ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΙΑΤΑΞΗΣ 1. Ενηµέρωση. 2. Εκλογή Αναπληρωτή Προέδρου. 3. Κλιµάκωση των απεργιακών κινητοποιήσεων. Ν. Α ΑΜΟΠΟΥΛΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΑΣΕΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ Insert, Update, Delete, Ένωση πινάκων Γιώργος Μαρκοµανώλης Περιεχόµενα Group By... 1 Having...1 Οrder By... 2 Εντολή Insert...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί 1 Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες 1. Ο χάρτης δείχνει

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010

Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Νίκος Μαζαράκης Αθήνα 2010 Οι χάρτες των 850 Hpa είναι ένα από τα βασικά προγνωστικά επίπεδα για τη παράµετρο της θερµοκρασίας. Την πίεση των 850 Hpa τη συναντάµε στην ατµόσφαιρα σε ένα µέσο ύψος περί

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί πρέπει να κάνω εμβόλια;

Γιατί πρέπει να κάνω εμβόλια; Για τους μικρούς μας φίλους Γιατί πρέπει να κάνω εμβόλια; Σε ύ Είµαι το µικρόβιο. Μου αρέσει να κάνω τα µικρά παιδιά να αρρωσταίνουν. Εγώ και η οικογένειά µου βρισκόµαστε παντού στο περιβάλλον που ζεις,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

«Ο Αϊούλαχλης και ο αετός»

«Ο Αϊούλαχλης και ο αετός» ΠΑΡΑΜΥΘΙ #25 «Ο Αϊούλαχλης και ο αετός» (Φλώρινα - Μακεδονία Καύκασος) Διαγωνισμός παραδοσιακού παραμυθιού ebooks4greeks.gr ΠΑΡΑΜΥΘΙ #25 Ψηφίστε το παραμύθι που σας άρεσε περισσότερο εδώ μέχρι 30/09/2011

Διαβάστε περισσότερα

Συνέντευξη του Ν. Λυγερού στην εκπομπή «Καλή σας ημέρα» ΡΙΚ 1, 03/11/2014

Συνέντευξη του Ν. Λυγερού στην εκπομπή «Καλή σας ημέρα» ΡΙΚ 1, 03/11/2014 Συνέντευξη του Ν. Λυγερού στην εκπομπή «Καλή σας ημέρα» ΡΙΚ 1, 03/11/2014 Δημοσιογράφος: -Μπορούν να συνυπάρξουν η θρησκεία και η επιστήμη; Ν.Λυγερός: -Πρώτα απ όλα συνυπάρχουν εδώ και αιώνες, και κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΤΡΙΚΟ 2 ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΚΟΥΖΙΝΑ

ΘΕΑΤΡΙΚΟ 2 ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΚΟΥΖΙΝΑ ΘΕΑΤΡΙΚΟ 2 ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΚΟΥΖΙΝΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΚΟΥΖΙΝΑ ΕΓΓΟΝΟΣ: Παππού, γιατί προτιμάς να βάζεις κανέλα και όχι κύμινο στα σουτζουκάκια; ΠΑΠΠΟΥΣ: Το κύμινο είναι κομματάκι δυνατό. Κάνει τους ανθρώπους να κλείνονται

Διαβάστε περισσότερα

ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Ορολογία 17 - Η αρχή του περιστερώνα

ιαδικαστικά θέµατα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Ορολογία 17 - Η αρχή του περιστερώνα HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/04/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/21/2015

Διαβάστε περισσότερα

Το ταξίδι στην 11η διάσταση

Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το κείμενο αυτό δεν αντιπροσωπεύει το πώς παρουσιάζονται οι 11 διστάσεις βάση της θεωρίας των υπερχορδών! Είναι περισσότερο «τροφή για σκέψη» παρά επιστημονική άποψη. Οι σκέψεις

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 31 3. Άσκηση 3 Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου 3.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η µέτρηση της κατανοµής του ηλεκτρικού πεδίου Ε, µπροστά

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Α. Σηµεία γενικότερου προβληµατισµού

Α. Σηµεία γενικότερου προβληµατισµού Εξαναγκασµένος αρµονικός ταλαντωτής χωρίς απόσβεση Το καλοκαίρι που πέρασε, η «περιπέτεια» της φθίνουσας κλόνισε την πίστη µου στην αυθεντία των πανεπιστηµιακών µας βιβλίων. Σοκαρίστηκα διαπιστώνοντας

Διαβάστε περισσότερα

Το τέλος -ένας µονόλογος-

Το τέλος -ένας µονόλογος- Το τέλος -ένας µονόλογος- Γυναίκα µόνη, όµορφη, τριακονταετής. Καθιστή, µετά όρθια, πάντα µόνη. Χώρος κλειστός, ελάχιστα φωτεινός, παλιά ωραίος. Η ατµόσφαιρα έχει κάτι το πένθιµο. Το πρόσωπο κάτι το µόνιµο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007 1 / 15 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έρευνα υποστηριζόµενη από τη Γενική ιεύθυνση Εκπαίδευσης και Πολιτισµού της Ε.Ε., στο πλαίσιο του προγράµµατος Σωκράτης «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή Μια από τις εργασίες που µπορούµε να κάνουµε µε τον υπολογιστή είναι και η ζωγραφική. Για να γίνει όµως αυτό πρέπει ο υπολογιστής να είναι εφοδιασµένος µε το κατάλληλο πρόγραµµα.

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια

Κλάσµατα ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο. Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 Ο Κλάσµατα Πεινάσαµε; Τι λέτε; Να παραγγείλουµε καµιά πίτσα; Ήρθε κιόλας η παραγγελία! Λαχταριστή πίτσα κοµµένη σε 8 ίσα κοµµάτια Όπως φαίνεται όµως ο Σάκης έφαγε 1 κοµµάτι από τα 8 Το κοµµάτι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

1 / 13 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 5 ης ηµοτικού. Μάρτιος 2007

1 / 13 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 5 ης ηµοτικού. Μάρτιος 2007 1 / 13 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έρευνα υποστηριζόµενη από τη Γενική ιεύθυνση Εκπαίδευσης και Πολιτισµού της Ε.Ε., στο πλαίσιο του προγράµµατος Σωκράτης «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός πως να πιάνεις σωστά το μπουζούκι για να μαθεις να παιζεις γρηγορα σε μικρότερο διαστημα βήμα-βήμα και να έχεις σωστο και ωραιο ηχο!!!

Οδηγός πως να πιάνεις σωστά το μπουζούκι για να μαθεις να παιζεις γρηγορα σε μικρότερο διαστημα βήμα-βήμα και να έχεις σωστο και ωραιο ηχο!!! Οδηγός πως να πιάνεις σωστά το μπουζούκι για να μαθεις να παιζεις γρηγορα σε μικρότερο διαστημα βήμα-βήμα και να έχεις σωστο και ωραιο ηχο!!! Με αυτή τη μικρή αναφορά θα μάθεις πώς να παίζεις γρήγορα σε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Δεύτερη διδακτική πρόταση Έλεγχος επίδοσης στο σχολείο. 1 φωτοτυπία ανά μαθητή με τον έλεγχο παραγωγή προφορικού λόγου, παραγωγή γραπτού λόγου

Δεύτερη διδακτική πρόταση Έλεγχος επίδοσης στο σχολείο. 1 φωτοτυπία ανά μαθητή με τον έλεγχο παραγωγή προφορικού λόγου, παραγωγή γραπτού λόγου Κατανόηση προφορικού λόγου Επίπεδο B Δεύτερη διδακτική πρόταση Έλεγχος επίδοσης στο σχολείο Ενδεικτική διάρκεια: Ομάδα-στόχος: Διδακτικός στόχος: Στρατηγικές: Υλικό: Ενσωμάτωση δραστηριοτήτων: 1 διδακτική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

17.Γ. ΠΡΟΣΤΧΑ ΑΝΕΚΔΟΣΑ ΜΕ ΣΟΝ ΣΟΣΟ 4 - ΧΑΣΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΤ ΜΑΡΙΑ

17.Γ. ΠΡΟΣΤΧΑ ΑΝΕΚΔΟΣΑ ΜΕ ΣΟΝ ΣΟΣΟ 4 - ΧΑΣΖΗΑΛΕΞΑΝΔΡΟΤ ΜΑΡΙΑ το Δημοτικό η δασκάλα λέει στους μαθητές της: -Παιδιά, ελάτε να κάνουμε ένα τεστ εξυπνάδας! Ριχάρδο, πες μου ποιο είναι αυτό το ζωάκι: Περπατά στα κεραμίδια, έχει μουστάκι, κάνει νιάου και αλλά έχει και

Διαβάστε περισσότερα