Générateurs et groupes cycliques

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Générateurs et groupes cycliques"

Transcript

1 Γεννήτορες και κυκλικές οµάδες - Générateurs et groupes cycliques N. Lygeros Νοµίζω πως τώρα είµαστε αρκετά προετοιµασµένοι για να δούµε µερικά πράγµατα από το βιβλίο. Άρα το Η θα είναι η υποοµάδα. Οπότε η ιδέα είναι να ορίσουµε προς το παρόν αυτό: Η G Προσέξτε ότι αν το γράψω έτσι: Η G τότε το Η είναι µόνο υποσύνολο. Όταν έχω το G και το Η, µία προϋπόθεση για να είναι υποοµάδα, είναι να είναι πρώτα υποσύνολο. Οπότε γι αυτό βλέπετε: έστω Η ένα υποσύνολο µιας οµάδας. Αυτό είναι λάθος διατυπωµένο. εν µπορούµε να είµαστε ένα υποσύνολο µια οµάδας, εφόσον µία οµάδα αποτελείται από ένα σύνολο και µία πράξη. Μπορούµε να είµαστε υποσύνολο του συνόλου της οµάδας. ηλαδή είναι: Έστω Η Ø Η G όπου (G, ) οµάδα ( (α, β) є Η 2, αβ -1 єη) Η υποοµάδα της G Βάζουµε Η 2 επειδή το καθένα ανήκει. Για παράδειγµα αν θέλαµε να ορίσουµε το f(x,y)=y 2 +x θα βάζαµε (x,y) є R 2, δηλαδή ο δείκτης είναι όσες είναι οι µεταβλητές εφόσον δεν είναι ανεξάρτητες, γιατί εδώ κάνουµε πράξεις. Οπότε δεν µπορεί να υπάρχει το x ή το y µόνο του. Αλλιώς δεν έχει νόηµα η f(x,y). Τώρα αυτό που έχουµε παραπάνω, δεν είναι ακριβώς θεώρηµα. Το θεωρούµε θεώρηµα αλλά για τα στοιχεία της οµάδας είναι ο χαρακτηρισµός. ηλαδή είναι ένα θεώρηµα χαρακτηρισµού. ηλαδή αν έχουµε αυτό τότε αυτό χαρακτηρίζει την υποοµάδα. Γιατί σε ένα θεώρηµα κανονικό, το «Η υποοµάδα της G» ξέρουµε τι είναι. Εδώ δεν ξέρουµε τι είναι. Οπότε λέµε αν αυτό ισχύει, τότε αυτό το πράγµα που ισχύει το ονοµάζουµε έτσι. ηλαδή αν ήµασταν στην πληροφορική δεν θα χρησιµοποιούσαµε αυτό =, θα χρησιµοποιούσαµε αυτό :=. Ισότητα ορισµού. Το αντικείµενο που δεν γνωρίζω, το ονοµάζω έτσι. Είναι αυτό που λέµε συνεκδοχικά. Κανονικά, αυτό που ξέρετε εσείς είναι το υποσύνολο. Αλλά γιατί η υποοµάδα είναι βαριά έννοια; Είναι γιατί δεν είσαι απλώς υποσύνολο του συνόλου της οµάδας. Είναι ότι εσύ ο ίδιος είσαι υποοµάδα. Και αυτό µας λέει ότι αν αυτή είναι οµάδα, τότε έχει και το ουδέτερο στοιχείο. Άρα όταν εγώ κάνω το σχέδιο e G H ξέρω ήδη ότι το ουδέτερο στοιχείο είναι µέσα. 1

2 Όταν έχω ένα σύνολο, πόσα υποσύνολα έχουµε; Αν το σύνολο έχει ν στοιχεία, τότε θα παράγει 2 ν υποσύνολα. Για παράδειγµα, όταν έχω 3 στοιχεία, τότε µπορώ να πάρω x 1 Ø 1,2,3 x 2 {1}, {2}, {3} 1,2 1,3 2,3 x 3 {1,2}, {1,3}, {2,3} {1,2,3} Ø poset treillis (γαλ.) lattice (αγγλ.) Οπότε έχουµε αριστερά τα υποσύνολα και δεξιά σε poset έχουµε ενώσει µε γραµµές το πού µπαίνει το κάθε στοιχείο. Ας πούµε το 1 είναι στο 1,2 και το 1,2 στο 1,2,3 κλπ. Αυτό που κάναµε µοιάζει λίγο µε κύβο όπως µπορούµε να δούµε δεξιά. Αν το σκεφτείτε καλά, είναι εντυπωσιακό. ηλαδή αρχίσαµε µε µία τριάδα που δεν έχει καµία σχέση µε τίποτα, κοιτάζουµε όλα τα υποσύνολα, µετά κάνουµε το λεγόµενο poset και δίπλα κάνουµε το treillis το οποίο είναι ένα ειδικό poset, είναι ένα σύνολο µε µερική διάταξη το οποίο έχει την ιδιότητα ότι οποιαδήποτε δύο στοιχεία και να πάρεις, έχουν πάντοτε ένα στοιχείο από επάνω και ένα στοιχείο από κάτω. Και όπως το νιώθετε, είναι ένας πολύ εύκολος τρόπος για να παράγετε έναν υπερκύβο βάζοντας 4 στοιχεία. Άρα η άσκηση ήταν να πάρουµε ένα σύνολο και να βρούµε πόσα υποσύνολα έχει και βλέπουµε ότι έχει 2 ν. Τώρα το πρόβληµα είναι να πάρω µία οµάδα και να δούµε πόσες υποοµάδες έχει. Άρα παίρνω µία οµάδα τάξης ν και θέλω να βρω πόσες υποοµάδες έχω. Ας πούµε πως το 1,2,3 που είδαµε είναι οµάδα. Θα γράψω ότι το 1 είναι το ουδέτερο, εφόσον πρέπει ένα από τα τρία να είναι το ουδέτερο. Αυτά που βρήκαµε παραπάνω είναι όλες οι υποοµάδες εν δυνάµει που είναι σωστές ως υποσύνολα. Όχι ως υποοµάδες. Γιατί για παράδειγµα η {2,3} δεν µπορεί να είναι υποοµάδα εφόσον δεν περιέχει το ουδέτερο στοιχείο. Για τον ίδιο λόγο δεν µπορούν οι {2} και {3}. Βλέπουµε ότι εµείς πολύ πρακτικά και πολύ όπως θα έλεγε ο Βουγιουκλής χειρωνακτικά, βρίσκουµε µία ωραία έννοια που στο τέλος θα οδηγήσει στο θεώρηµα του Lagrange. Εδώ πήραµε µία οµάδα τάξης 3 και είδαµε πόσες υποοµάδες έχει. Όταν παίρνουµε όλα τα υποσύνολα, βλέπουµε ότι πρέπει να σβήσουµε µερικά. Γενικότερα για να έρθουµε και στο θεώρηµα λέµε πως για να εξετάσουµε αν είναι υποοµάδα, πρέπει να δούµε αν πάρουµε α και β -1, πρέπει να ανήκει στην Η. Άρα η {1} λειτουργεί, αλλά δεν τη µετράµε επειδή είναι η τετριµµένη, είναι µόνο το ουδέτερο. ηλαδή, ποια είναι τα χαρακτηριστικά της οµάδας; Έχει ένα ουδέτερο στοιχείο, πρέπει να έχει ένα συµµετρικό, η προσεταιριστικότητα, η πράξη είναι εσωτερική. Τώρα εγώ σας παίρνω µόνο ένα στοιχείο και σας λέω: είναι οµάδα; Μόνο µε τα στοιχεία που έχετε. Το θέµα είναι ότι είναι, αλλά τη λέµε τετριµµένη επειδή έχουµε το πρόβληµα ότι όταν έχετε µία ιδιότητα που δεν µπορείτε να την εφαρµόσετε, δεν µπορείς να πεις ότι δεν ισχύει. Πρέπει να µπορείς να την εφαρµόσεις για να πεις ότι δεν ισχύει. ιότι αν δεν εφαρµόζεται, ισχύει. Άρα µε την τετριµµένη τι λέµε; Λέµε ότι το να µπορείς να κάνεις µία εσωτερική πράξη, είναι αστείο. Αφού είσαι µόνος σου. Άρα αυτή δεν τη µετράµε σαν κανονική υποοµάδα, την θεωρούµε εκφυλισµένη. Απ ότι θυµάστε, είχαµε αποδείξει ότι όταν έχουµε 3 στοιχεία, έχουµε µόνο µία οµάδα. Άρα έχει µόνο έναν πίνακα. Και εκεί βλέπουµε ότι όπως το 1 είναι το ουδέτερο, άρα το 2 3=1, οπότε 3=2-1. Τώρα αν πάρουµε π.χ. το {1,2}, εφόσον βγάλαµε την τετριµµένη που είναι µόνο το 1 και την {1,2,3} που είναι όλη η οµάδα, µου λέει ότι αν 2

3 στο β -1 βάλω το 1 είµαι εντάξει, γιατί το 1-1 είναι το 1. Άρα δεν έχουµε πρόβληµα. Αν γράψω όµως ότι το β είναι το 2, τότε έχω =1 3=3 το οποίο δεν ανήκει στο υποσύνολο που πήρα. Προσέξτε ότι όπως θέλω να είναι υποοµάδα, άρα θα έχω την ίδια πράξη µε την οµάδα. Οπότε οι αντίστροφοι παραµένουν οι ίδιοι. Αλλιώς δεν θα είχαµε υποοµάδα αυτής της οµάδας, θα είχαµε µία άλλη οµάδα. Γιατί για παράδειγµα η Ζ 2 υπάρχει. Αλλά αν το κάνουµε όπως στη Ζ 2, βλέπουµε ότι δεν µπορεί να µπει µέσα εδώ ως υποοµάδα. Άρα στην ουσία βλέπουµε ότι η Ζ 3 δεν έχει υποοµάδα. Αυτό είναι πάρα πολύ. Για πρώτη φορά τουλάχιστον. Γι αυτό σας λέω, µην µπερδεύεστε µε τα υποσύνολα. Γιατί το σύνολο είναι εύκολο. Στο σύνολο παίρνεις ένα κοµµάτι και έχεις ήδη την έννοια του συνόλου. Αλλά στην οµάδα οι πράξεις µετράνε. Γιατί αν το πιο πάνω το κάνω µε το διάγραµµα του Cayley, όπου η δράση είναι το α, έχουµε: e a a 2 Τώρα εδώ τι µπορούµε να δούµε. Έχουµε όλα τα υποσύνολα. Έπειτα βλέπουµε πως σίγουρα δεν µπορούµε να πάρουµε αυτά που δεν έχουν το e. Για τα υπόλοιπα δεν ξέρουµε ακόµη κάτι. Είναι εν δυνάµει υποοµάδες. Τα πρώτα τα απορρίψαµε µε την έννοια του ουδέτερου. Τώρα θα δούµε µε βάση την ιδιότητα του αντίστροφου. Όταν θα ανακαλύψουµε τις κυκλικές οµάδες, θα δούµε ότι η τάξη της υποοµάδας θα πρέπει να διαιρεί την τάξη της οµάδας. Είναι όπως στο θεώρηµα του Lagrange. ηλαδή µε βάση αυτό, όπως εδώ βλέπουµε 3, ούτε καν να ψάξουµε. Το θεώρηµα του Lagrange είναι : Η τάξη µιας πεπερασµένης οµάδας διαιρείται µε την τάξη κάθε υποοµάδας της. Αυτό έχει ενδιαφέρον γιατί µπορείτε να το δείτε ανάποδα. Σας παρουσιάζω, ας πούµε, πέντε υποοµάδες που έχουν διαφορετικές τάξεις και εσείς ξέρετε ότι η οµάδα θα πρέπει να έχει το µικρότερο κοινό πολλαπλάσιο. Άρα θα σηµειώσετε όλοι το θεώρηµα του Lagrange και θα γράψετε ότι δεν το κάνουµε τώρα, αλλά είναι το όραµά µας. Ξέρουµε δηλαδή ότι πρέπει να πετύχουµε αυτό. Τώρα εδώ κανονικά θα έπρεπε να µου κάνετε µία παρατήρηση. Πότε γεννήθηκε ο Galois; -Το Και πότε πέθανε; -Το Ωραία. Και εδώ τι λέει δίπλα από τον Lagrange; Αυτό δεν σας παραξενεύει; Ότι υπάρχει το θεώρηµα του Lagrange ενώ δεν υπήρχε η θεωρία; ηλαδή τόσο καιρό µιλάµε για µία θεωρία που γεννήθηκε µε τον Galois, που δεν υπήρχε πριν, διαβάσαµε µέχρι και τη διαθήκη του, στη διαθήκη του ήταν όλα τα αποτελέσµατα και τώρα εγώ σας κάνω το µάθηµα και σας λέω όλα αυτά και ότι θέλουµε να φτάσουµε αργότερα στον Lagrange ο οποίος είναι πολύ πιο πριν. Αλλά πρόκειται για µαθηµατικά. Πραγµατικά. Αυτό που δεν βλέπουµε πολλές φορές είναι ότι κάτι έχει αποδειχθεί, αλλά έχει αποδειχθεί εν δυνάµει για κάτι που δεν έχει έρθει ακόµη. Το ξαναλέω, µε ένα παράδειγµα τώρα. Έχουµε το log και το ln. Άρα εµάς µας λένε ότι το πρώτο είναι ο 3

4 λογάριθµος και το δεύτερο ο νεπέριος λογάριθµος. Μετά λέµε για τον Neper και εµείς λέµε «α! είναι ο λογάριθµος του Neper». Καµία σχέση. Ο λογάριθµος του Neper είναι ο πρώτος! Γιατί ο Neper δεν γνώριζε τον λογάριθµο του Neper. -Σαν τις αβελιανές οµάδες. -Ναι. ηλαδή είναι κάτι που έκανε ο Neper εδώ, δυσκολεύτηκε πάρα πολύ και µετά ανακαλύψαµε ότι µία βάση, η βάση e=2.71 είναι καλύτερη από όλες τις άλλες βάσεις γιατί έχει µια παγκοσµιότητα. Οπότε είπαµε ότι όπως ο άνθρωπος αυτός ήταν που τα βρήκε, θα του δώσουµε το όνοµά του. Και όπως είπατε, είναι το ίδιο µε τον Abel. Εµείς έχουµε την έννοια της αβελιανής οµάδας η οποία είναι αντιµεταθετική, αλλά αν κοιτάξετε τα χειρόγραφα του Abel θα δείτε ότι δεν γράφει πουθενά αβελιανή. Γιατί δεν το ήξερε. Βέβαια δεν είναι ακριβώς αυτό που έχουµε εδώ. Γιατί εδώ το θεώρηµα του Lagrange δεν εφαρµόζεται κατευθείαν στις οµάδες. Αλλά εφαρµόζεται σε κάποιες δοµές. Ας πούµε η θεωρία των poset είναι του 20 ου αιώνα, η θεωρία συνόλων είναι και αυτή του 20 ου αιώνα. Άρα λέτε πώς το κάνανε αυτό πριν; Πάνω-κάτω µιλούσαν για αυτές τις έννοιες αλλά δεν τις είχαν θεµελιώσει. ηλαδή όταν εγώ σας έκανα πριν για το G και το Η και ότι είναι υποσύνολο κλπ. εσείς ξέρετε καθόλου από θεωρία συνόλων; Τα «στοιχεία» των Bourbaki είναι ένα µεγάλο ράφι βιβλιοθήκης αν τα βάλετε όλα τα βιβλία. Η θεωρία συνόλων είναι το πρώτο και είναι αρκετά χοντρό. Είναι δυνατόν την ώρα που εµείς κάνουµε αυτό εδώ και βάζουµε αυτό το σύµβολο να καταλαβαίνουµε ότι περιέχεται σε αυτό το βιβλίο; Όµως κάνουµε θεωρία συνόλων, χωρίς να ξέρουµε όλες τις επιπτώσεις. Και προσέξτε, εδώ είµαστε ήρεµα, είναι πεπερασµένες οι οµάδες. Άρα µπορούµε να τα µετρήσουµε. Γιατί µετά έχουµε το αξίωµα της επιλογής που θα σας πει ότι όταν η οµάδα είναι άπειρη, πάλι µπορείτε να βρείτε ένα σύστηµα για να την ξαναβάλετε στη σειρά. Ο άλλος βέβαια θα σας πει πως το σύστηµα πρέπει να είναι αναγκαστικά άπειρο. Ναι αλλά µπορείς να το κάνετε υπερ-άπειρο και να πηγαίνει πιο γρήγορα από το άλλο άπειρο. Ας πούµε το αξίωµα της επιλογής είναι να πηγαίνετε στο Έβερεστ, όλη τη διαδροµή κανονικά µε ορειβασία κλπ. και µετά έρχεται ο άλλος µε ελικόπτερο. Ε λες µετά ότι αυτό δεν πιάνεται. Βέβαια αν το πρόβληµα είναι απλώς να πατήσεις στην κορυφή, µε ό,τι και να έρθεις, έφτασες. Οπότε ο άλλος θα σου πει, όχι εγώ εννοούσα να ανέβεις µε τα πόδια. Μετά θα έρθει ο άλλος και θα πει µα οι πρώτοι ανέβηκαν µε µπουκάλες οξυγόνου, άρα δεν µετράει. Οπότε θα γίνει να ανέβεις µε τα πόδια χωρίς µπουκάλες οξυγόνου. Βέβαια τότε θα είναι να ανέβεις από οπουδήποτε. Γιατί συνήθως δεν ανεβαίνουν από τις βόρειες επειδή είναι πιο δύσκολες. Είναι µία ειδικά που δεν παίζεται. Άρα ξαναµπαίνουµε στο άλλο: ποιος θα ανέβει και από τη βόρεια; Έγινε και αυτό. Αλλά τι θέλω να πω, είναι το ίδιο µε τα µαθηµατικά. ηλαδή όταν λέµε πως µία εξίσωση δεν έχει λύση όταν είναι βαθµού πάνω από 4 ναι, αλλά µε τετραγωνικές ρίζες! Αν έχεις δικαίωµα να βάλεις άλλη συνάρτηση, µπορείς να τη λύσεις. Με τις αβελιανές συναρτήσεις. Άρα για να επανέλθουµε, όταν λέµε πως κάποιο πράγµα είναι το όραµά µας, αυτό δεν σηµαίνει πως αναγκαστικά δηµιουργήθηκε µετά και ήρθε ο φορµαλισµός. Και εδώ είναι κάτι άλλο που µπορεί να µας συγχύσει, ότι η απόδειξη του θεωρήµατος του Lagrange είναι τρεις γραµµές, για να µην πω δύο, που σχεδόν είναι µία. Γιατί, «έστω Η τυχούσα υποοµάδα της πεπερασµένης οµάδας (G, )» είναι απλώς ότι την ονοµάζουµε Η. Μετά, «κάθε συνσύνολο», αλλά εδώ δεν ξέρετε τι είναι το συνσύνολο, άρα ξαναπηγαίνουµε πίσω. Προσέξτε, το συνσύνολο δεν το ήξερε ούτε ο Galois. Συνεχίζουµε: «xh, xєg έχει το αυτό πλήθος στοιχείων µε την Η, διότι η απεικόνιση h xh είναι αµφιµονοσήµαντη». Εδώ δεν έχουµε ακόµα την έννοια της απεικόνισης, γιατί έρχεται στον 20 ο αιώνα. Εποµένως η γραµµή που είναι εδώ γραµµένη είναι όλη 20 ος! Επιπλέον «το θεώρηµα του Lagrange ονοµάζεται και πρώτο θεµελιώδες θεώρηµα». Εδώ λέτε, τι γίνεται. Μας έχουν κάνει µία απόδειξη µε τρεις 4

5 γραµµές, όπου υπάρχουν τρεις έννοιες που ήταν άγνωστες για αυτούς που το έκαναν και αυτό επιπλέον έγινε πριν γεννηθεί η θεωρία οµάδων. Θυµόµαστε πως αυτό είναι το όραµά µας και πάµε πίσω, στο προηγούµενο θεώρηµα. Παίρνουµε ότι το α=β, οπότε έχουµε αα -1 =e εξ ορισµού. Άρα αυτό ισχύει. Αυτό θέλει να πει απλώς ότι σας αναγκάζει να έχετε το ουδέτερο στοιχείο στην υποοµάδα. Επίσης, έστω ότι αєη και εφόσον e ανήκει στο Η, έχετε αναγκαστικά ότι eα -1 =α -1 το οποίο πρέπει να ανήκει στο Η. Τέλος παίρνουµε (α,β)єη 2 και έχουµε αβ -1 єη και τώρα προσέξτε, λέµε ότι θα πάρουµε το β -1 το οποίο το έχουµε αντικαταστήσει στο β και έτσι έχουµε α(β -1 ) -1 =αβєη δηλαδή η πράξη είναι κλειστή ως προς το Η. ηλαδή αυτό που κάνουµε είναι να ξαναβρίσκουµε τις ιδιότητες της οµάδας µέσα στο Η αναλόγως µε το ποιο βάζουµε στα α και β. Γι αυτό σας λέω ότι δεν είναι µόνο ένα θεώρηµα, είναι επιπλέον ένας χαρακτηρισµός. Οπότε για να σου δείξει ότι αυτό όντως χαρακτηρίζει, σου λέει: µπορώ να ξαναβρώ τις τρεις ιδιότητες της οµάδας; Αν δεν έκανα αυτή την επισήµανση, θα περιµένατε από το πρώτο µέρος να καταλήξω στο δεύτερο. Αλλά δεν κάνουµε αυτό. Λέµε ότι το πρώτο µέρος είναι τα τρία σηµεία και από τα τρία σηµεία ξέρω ότι έχω οµάδα. ηλαδή δεν µπορούµε να πάµε κατ ευθείαν στο Β εφόσον το ορίζω για πρώτη φορά. Άρα κατεβαίνουµε και αποδεικνύουµε ότι το Α ισοδυναµεί µε τα τρία σηµεία που χαρακτηρίζουν µία οµάδα και βλέπουµε ότι το διάγραµµα τελικά κλείνεται. Α Β 3σ οµ. Περνάµε λοιπόν στο δεύτερο θεώρηµα το Εδώ έχουµε πάλι την ίδια παρατήρηση για το Η Ø ένα υποσύνολο µιας οµάδας (G, ). Το Η είναι υποοµάδα της G, αν και µόνο αν έχουµε δύο ιδιότητες: i. Η Η Η, δηλαδή το Η είναι κλειστό ως προς την πράξη της G. ηλαδή ότι (α,β)єη 2, α βєη ii. Η -1 Η, δηλαδή το α -1 єη για κάθε αєη. Άρα για να τα γράψουµε και αλλιώς έχουµε: Η υποσύνολο Η Η Η Η -1 Η (το είναι το «και», το σύµβολο της τοµής) Πρέπει να προσέξετε ότι εδώ σας το γράφει και αναλυτικά, ενώ όταν γράφουµε µαθηµατικά δεν έχει από το δηλαδή και µετά. Εδώ το βάζει επειδή απλώς αυτό είναι το πλαίσιο. Τώρα στην απόδειξη βλέπουµε ότι αν έχουµε υποοµάδα τα (i) και (ii) είναι αυτονόητα. Το θέµα είναι το γιατί πάει και ανάποδα. Αν ισχύουν τα (i) και (ii), τότε αν το αєη τότε από την (ii) προκύπτει ότι α -1 єη και στη συνέχεια λόγω της (i) το αα -1 =eєη. Άρα το Η είναι υποοµάδα της G. ηλαδή αυτό που κάνουµε µοιάζει να είναι σχεδόν αυταπόδεικτο, δεν κάνουµε και πολλά. Το θέµα είναι ότι για να τα κάνουµε αυτά τα αυταπόδεικτα, χρειαζόµαστε όλη τη 5

6 θεωρία συνόλων για τη θεωρία οµάδων. ηλαδή από αυτά τα «αυταπόδεικτα», πώς πάµε στο θεώρηµα του Lagrange; Το θέµα είναι πως αυτό γίνεται µετά εκθετικά. ηλαδή λέµε και αυτό εννοείται, και αυτό σχεδόν εννοείται, αυτό δεν εννοείται καθόλου, αυτό ήταν αδιανόητο. ηλαδή, εσείς βλέπετε πουθενά σε αυτά που κάναµε την έννοια της διαιρετότητας; Θα δούµε ότι ο Lagrange τη χρησιµοποίησε αυτή την έννοια για κάτι άλλο, που θα το δούµε πολύ πιο εύκολα, είναι τα poset. Εκεί θα βάλουµε την έννοια της διαίρεσης εξ αρχής και θέλουµε να βρούµε ας πούµε τα υποσύνολα. Στη σελ. 19 αυτά που ονοµάζει δικτυωτά διαγράµµατα, τα οποία είναι κάτι πολύ σηµαντικό, στην πραγµατικότητα είναι αυτό που σας λέω τώρα, τα poset. Είναι σύνολα µερικής διάταξης, τα οποία µας δίνουν τη δοµή της οµάδας. ηλαδή είναι ακόµη πιο δοµικά, είναι πιο κάτω από την οµάδα. Εµείς δεν θα κάνουµε αυτή την άσκηση όπως την κάνει εδώ επειδή δεν έχουµε ακόµα όλα όσα χρειάζεται, αλλά θα την κάνουµε ακόµα πιο απλά και κανονικά θα νευριάσετε γιατί ενώ θα το κάνουµε πιο απλά θα βρούµε το ίδιο διάγραµµα. Το βιβλίο το γράφει έτσι γιατί στην πραγµατικότητα γράφει κάτι άλλο. Άρα, παίρνω το 12 και θέλω να µου πείτε όλους τους αριθµούς που διαιρούν το 12. 1, 2, 3, 4, 6, 12 Προσέξτε, τώρα είµαι στην πράξη της κανονικής διαίρεσης. Άρα θέλω να γράψω το poset της διαίρεσης του 12. ηλαδή όταν θα ζωγραφίζω, θα λέω ότι αυτός που είναι από κάτω, διαιρεί αυτόν που είναι από πάνω. Ας πούµε το 1. Το ένα τούς διαιρεί όλους. Μετά το 2. Το 2 πάει πιο πάνω και το βάζω πιο αριστερά γιατί ξέρω ότι δεν διαιρεί το 3. Το 3 θα είναι στο ίδιο επίπεδο µε το 2 επειδή το ένα δεν διαιρεί το άλλο. Τώρα πηγαίνω στο 4. Το 4 διαιρείται µε το 2, οπότε πάει από πάνω του. εν διαιρείται όµως µε το 3, οπότε δεν τα ενώνω. Το 6 διαιρείται και µε το 2 και µε το 3, αλλά όχι µε το 4. Τέλος έχω το 12 που µπαίνει επάνω Συµφωνούµε; εν κάναµε τίποτα, κάναµε απλώς τις διαιρέσεις. Το πρώτο βλέπετε ότι έχει πολλές γραµµές και µας ενοχλεί. Άρα θα κοιτάξουµε τις ουσιαστικές γραµµές και θα σβήσουµε τις γραµµές που είναι µεταβατικές. Άρα από το 1 πάω στο 2, από το 2 στο 4, οπότε από το 1 στο 4 δεν τη ζωγραφίζω γιατί υπονοείται. Ωστόσο βλέπουµε ότι το 2 διαιρεί το 6, το οποίο προκαλεί µια ασυµµετρία η οποία δεν φαίνεται ξεκάθαρα στο αρχικό σχήµα. Οπότε για το λόγο αυτό ζωγραφίζω το δίπλα, το οποίο είναι µε βάση το συµβολισµό του Helmud Hasse, ο οποίος είχε και αλληλογραφία µε τον Caratheodory για να µπορείτε να δείτε λίγο την περίοδο. Ποια είναι τα χαρακτηριστικά ενός διαγράµµατος του Hasse; Η σύµβαση του Hasse είναι ότι: Τα βελάκια είναι όλα προς τα πάνω. Για κάθε σηµείο υπάρχει ένα βελάκι που καταλήγει στον εαυτό του. εν βάζουµε τα µεταβατικά βελάκια. 6

7 Έχει πολύ πλάκα αυτό που λένε οι συµβάσεις, γιατί αυτό που λένε είναι αυτό που δεν κάνουµε. Ας πούµε όπως λέµε πως τα βελάκια είναι όλα προς τα πάνω, εµείς δεν βάζουµε καθόλου βελάκια. Ή ας πούµε το βελάκι που πάει στον εαυτό του δεν το ζωγραφίζω εφόσον υπάρχει για όλα τα σηµεία. Οπότε τα αυτοαναφορικά βελάκια δεν τα βάζουµε. Και τέλος παρατηρούµε ότι δεν βάζουµε τα µεταβατικά βελάκια. Γιατί όλα αυτά ξέρουµε ότι ισχύουν για όλους. Αυτή η τεχνική είναι η ίδια που χρησιµοποιούµε και στη φυσική όταν κάνουµε κβαντική θεωρία. Ας πούµε όταν έχετε ένα εξωτερικό γινόµενο και λέτε ότι ένα διάνυσµα είναι ορθογώνιο µε όλα τα άλλα, δηλαδή κάθετο στο επίπεδο των υπόλοιπων διανυσµάτων. Αυτό το ονοµάζω α και όλα τα άλλα x επειδή δεν τα ξέρω. Οπότε δείτε τι θα γράψω την πρώτη φορά. Ας πούµε πως θέλω να γράψω την ιδιότητα: (bracket) x <α,x>=0 Εµείς γράφουµε: <α=0 Σου λέει ότι εφόσον είναι ορθογώνιο µε οποιοδήποτε άλλο, δεν είναι ανάγκη να βάζεις το δεύτερο, υπονοείται ότι είναι το δεύτερο όταν δεν το βάζεις. Άρα όλο µαζί το λένε bracket και το <α είναι ο τελεστής bra και ο άλλος µετά θα είναι ο ket. Οπότε έχεις ή τον bra επειδή ο cket λειτουργεί παντού ή το αντίστροφο. Βέβαια έτσι φαίνεται απλό αλλά την πρώτη φορά που βλέπετε κβαντική θεωρία που είναι όλος ο συµβολισµός έτσι, λέτε «στάσου, τι εννοούµε εδώ;» και πρέπει να κάνεις πραγµατικά αποσυµπίεση από τον κάθε τύπο. Πάντως προσέξτε ότι µε τις συµβάσεις, ας πούµε µε τη σύµβαση του Hasse, δεν χάνουµε τίποτα. Ας πούµε η σύµβαση του Einstein σας λέει ότι αντί για: Μπορείς να γράψεις απλώς: Γιατί όπως ο Einstein στη θεωρία του έπρεπε να βάζει Σ συνεχώς, είπε ότι όταν θα βλέπετε ένα i θα υπονοεί ότι υπάρχει ένα Σ. βέβαια αυτό, αν δεν είσαι σε αυτό το πλαίσιο, δεν µπορείς να το κάνεις. ηλαδή αν προσπαθήσεις να κάνεις το ίδιο πράγµα στη θεωρία οµάδων δεν γίνεται, µε τίποτα. Παρακάτω βλέπουµε τις τοµές. Η τοµή είναι ένα υποσύνολο. Οπότε µας λέει ότι όταν έχω ένα σύνολο και µέσα του δύο υποσύνολα, κοιτάζω την τοµή. Άρα όταν έχω µία οµάδα G και δύο υποοµάδες Η 1 και Η 2, τότε και η τοµή τους θα είναι µία υποοµάδα. H 1 H 2 G Η τοµή των Η 1 και Η 2 θα είναι υποοµάδα της G. Αυτό που έχει ενδιαφέρον εδώ είναι ότι διατηρείται η δοµή. 7

8 Προς το παρόν προσέξτε ότι σε αυτά που µελετάµε δεν βάλαµε την έννοια πεπερασµένο. Στο θεώρηµα (σελ.13) είναι η πρώτη φορά που βλέπουµε ουσιαστικά τη λέξη «πεπερασµένο». Στο προηγούµενο είχαµε τη λέξη «ανν» που σηµαίνει αν και µόνο αν. Τώρα έχουµε το «αν», που σηµαίνει ότι ως συνθήκη είναι ικανή. Με το πεπερασµένο µπορείς να το καταφέρεις να είναι ικανή. Αλλιώς δεν γίνεται. Βλέπετε ότι εδώ για παράδειγµα χρησιµοποιούµε δείκτες, οι οποίοι θα πρέπει να είναι µετρήσιµοι. Άρα µέχρι τώρα αποδείξαµε ότι έχουµε δύο σηµεία για να έχουµε υποοµάδα, τα οποία είναι αναγκαία και ικανά και µετά βλέπουµε ότι ένα από τα δύο είναι ικανό και ξέρουµε να το αποδείξουµε όταν είναι πεπερασµένο (στη Σηµείωση αναφέρει πότε λειτουργεί για άπειρο). Στον ορισµό τώρα: Έστω S ένα υποσύνολο µίας οµάδας (G, ). Την τοµή όλων των υποοµάδων που περιέχουν το S την ονοµάζουµε υποοµάδα που γεννιέται από το S και τη συµβολίζουµε µε <S>. Τα στοιχεία αυτά τα ονοµάζουµε γεννήτορες. Ας πούµε στο παράδειγµα που χρησιµοποιήσαµε πιο πάνω έχουµε την παρουσίαση {e, α, α 2 } (το α 2 =β) όπου ο α είναι ο γεννήτορας της οµάδας. Οπότε έχουµε έναν άλλο ορισµό σύµφωνα µε τον οποίο κάθε οµάδα που γεννιέται από ένα µόνο στοιχείο, ονοµάζεται κυκλική, και το στοιχείο αυτό ονοµάζεται γεννήτορας. Για να δούµε ένα παράδειγµα, παίρνουµε την κυκλική οµάδα Ζ 4 µε τις κυκλικές οµάδες Ζ 2 : Ζ 4 Ζ 2 Ζ 2 κυκλική οµάδα τάξης 4 κυκλικές οµάδες τάξης 2 επειδή έχει ένα στοιχείο επειδή έχουν στοιχεία µε τάξης 4 µέγιστη τάξη 2 (π.χ. i: (π.χ. -1: i 0 =1 (-1) 0 = 1 i 1 =I (-1) 1 = -1 i 2 =-1 i 3 =-i) Ένα παράδειγµα για την τάξη 2 είναι να πάρουµε σαν στοιχείο το -1. Εάν κάνω (-1) (-1)=1, µετά αν κάνω1(-1)=-1 κ.ο.κ. Βλέπουµε ότι δεν ξεκολλάµε από αυτά τα δύο. Ενώ για τάξη 4 µπορούµε να πάρουµε το i όπου έχουµε ii=-1, i(-1)=-i, i(-i)=1, 1i=i κ.ο.κ. Αυτό συµβαίνει 8

9 γιατί όταν κοιτάζω τον τριγωνοµετρικό, βλέπω ότι στη µία περίπτωση χοροπηδάει σε δύο σηµεία και στην άλλη σε τέσσερα. Η τάξη της συνολικής οµάδας δεν καθορίζει την οµάδα, εκτός αν είναι πρώτος αριθµός. Άρα µε το 4 έχω δύο οµάδες εντελώς διαφορετικές, τη Ζ 4 και τη Ζ 2 Ζ 2. ενώ στη Ζ 3 δεν µπορώ να κάνω το ίδιο. Επίσης έχουµε το θεώρηµα (σελ. 14) το οποίο µας λέει ότι κάθε υποοµάδα µιας κυκλικής οµάδας, είναι κυκλική. Ένα παράδειγµα για κυκλική οµάδα που µπορούµε να δούµε είναι τα βραχιόλια µε πέρλες. Για παράδειγµα, υπάρχει ένα ωραίο πρόβληµα του Polya, όπου έχετε τρεις πέρλες, δύο λευκές και µία µαύρη. Πόσα διαφορετικά βραχιόλια έχετε; Στην αρχή λέτε µία µαύρη και δύο λευκές, µία λευκή - µία µαύρη - µία λευκή, δύο λευκές και µία µαύρη Όµως όπως το βραχιόλι είναι κυκλικό, µπορείς να τις γυρίσεις, οπότε στην ουσία είναι ένα. Με δύο λευκές και δύο µαύρες είναι αλλιώς. διαφορετική ίδιες... Ας πούµε εδώ βλέπουµε ότι ενώ η πρώτη και η τρίτη είναι ίδιες περιπτώσεις, η δεύτερη δεν µπορεί να προέλθει από αυτές. Αυτό είναι πραγµατικό πρόβληµα, το πώς µπορούµε να βάζουµε έτσι έναν αριθµό από πέρλες και χρώµατα και πώς γίνεται ή πόσα διαφορετικά βραχιόλια έχουµε κλπ. Αυτό το έχουµε λύσει. Στον Polya έχει µία ένδειξη για τη λύση. Αλλά αν σας ρωτήσω εσάς, θα δείτε ότι δεν ξέρετε να απαντήσετε. Ενώ τώρα έρχεται η θεωρία οµάδων και σας λέει: πόσα στοιχεία έχεις; Ποιοι είναι οι γεννήτορες; Πώς συνδυάζονται; Είναι κυκλική;... Και µετά βρίσκετε το αποτέλεσµα ακόµα και µε n. Άρα αυτό που θέλω να σας πω και εσάς σαν δάσκαλους, είναι πως µη µου πείτε πως δεν µπορείτε µε τα παιδιά να κάνετε κάτι µε βραχιόλια για παράδειγµα, δηλαδή ότι για να κάνετε µε παιδιά το τελευταίο παράδειγµα έχετε ανάγκη από όλο τον πίνακα για να καταλάβετε τι λέω. Τα παιδιά µπορούν να καταλάβουν αυτό που ονοµάζουµε εµείς «µετασχηµατισµό» ή ότι αυτό διατηρεί κάτι, οπότε και την έννοια του «αναλλοίωτου». Γιατί εµείς θα µελετήσουµε τα αναλλοίωτα. Γιατί γι αυτόν το λόγο είναι πολύ ισχυρή η θεωρία οµάδων: δεν σε ενδιαφέρει η πέρλα αν είναι µακριά ή όχι. Σε ενδιαφέρει σε σχέση µε το τι είναι δίπλα της. Άρα είναι τοπολογική έννοια. Το πρόβληµα που πρέπει ας πούµε να καταλάβει το παιδί είναι ότι δεν πρέπει να κόψει. Γιατί 9

10 αν κόψει τότε πάµε αλλού. Το έχουµε στην τοπολογία βέβαια και αυτό, λέγεται χειρουργία. Αλλά και εκεί έχετε µερικά πράγµατα που ακόµα και αν κόψετε, δεν µπορείτε να βρείτε τον άλλο. ηλαδή χρειάζεται πολλά κοψίµατα γιατί είναι δεµένο µε ένα τόσο δύσκολο τρόπο που ακόµα και µε ένα, δεν φτάνει για να φτάσετε στον άλλο. Όπως κάποια βραχιόλια που έχουν κάποιες γυναίκες µε περίεργο δέσιµο. Εκεί µπορούµε να µπούµε σε άλλο παράδειγµα, όπως ας πούµε οι κύκλοι των ολυµπιακών αγώνων. Εκεί δεν είναι κάθε κόψιµο ίδιο µε το άλλο. Ας πούµε αν κόψουµε έναν κρίκο, οι υπόλοιποι χωρίζουν; Ένα άλλο παράδειγµα, το οποίο µπορείτε να το βρείτε και στην ιστοσελίδα µου είναι: έχω τρία λαστιχάκια και πρέπει να τα συνδυάσω έτσι ώστε οποιοδήποτε και να κόψετε, να διαλύονται όλα. Αυτό µπορεί να γίνει φυσικά και µε περισσότερα λαστιχάκια. Βέβαια όταν προσθέτεις λαστιχάκι, δεν σε βοηθάει η ήδη υπάρχουσα δοµή. Είναι όπως µε τον κύβο Rubik, δεν µπορείς να πεις ότι φτιάχνεις τη µία πλευρά και µετά την κρατάς όπως είναι και συνεχίζεις για να φτιάξεις τις άλλες. Γιατί είναι σίγουρο πως θα χαλάσει στην πορεία. Βέβαια και εκεί υπάρχει ο αλγόριθµος που σε βοηθάει. 10

11 11

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

Η οµάδα των κουατέρνιων Νίκος Λυγερός Θεώρηµα Lagrange (η τάξη της υποοµάδας Η διαιρεί την τάξη της οµάδας G) Πόρισµα 1 Έστω Λήµµα Πόρισµα 2 Έστω άρα και δεύτερον από το Πόρισµα 1 άρα Είναι ενδιαφέρον,

Διαβάστε περισσότερα

4236) Μιγαδική προσέγγιση στη Θεωρία Οµάδων Ο Evariste Galois είναι ο δηµιουργός της Θεωρίας Οµάδων. Αν είχατε παρακολουθήσει το µάθηµα Ιστορία και Φιλοσοφία των Μαθηµατικών, θα σας βοηθούσε γιατί θα γνωρίζατε

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

«Το θέµα είναι που θα πάει; Τουλάχιστον µετά να πήγαινε Μαλανδρίνο, δεν ξέρω»

«Το θέµα είναι που θα πάει; Τουλάχιστον µετά να πήγαινε Μαλανδρίνο, δεν ξέρω» «Το θέµα είναι που θα πάει; Τουλάχιστον µετά να πήγαινε Μαλανδρίνο, δεν ξέρω» Στον αποµαγνητοφωνηµένο δάλογο που ακολουθεί συνοµιλεί συγγενής του Γ. Ρουπακιά (Α) µε τον (Β) - Οπου Α η καλούσα - Οπου Β

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν Επαναληπτικές δοµές Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρµόζεται όπου µία ακολουθία εντολών εφαρµόζεται σε ένα σύνολο περιπτώσεων που έχουν κάτι κοινό. Όταν ψάχνουµε θέση για να παρκάρουµε κοντά

Διαβάστε περισσότερα

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ Kεφάλαιο 11 Θα επαναλάβουµε αυτά που είχαµε πει την προηγούµενη φορά. Παραστατικά αν έχουµε το εξής παίγνιο όπου οι δύο παίχτες παίρνουν ταυτόχρονα τις αποφάσεις τους αφού αποφασίσει ο Ι, θα δούµε πόσα

Διαβάστε περισσότερα

ΝΗΦΟΣ: Ένα λεπτό µόνο, να ξεµουδιάσω. Χαίροµαι που σε βλέπω. Μέρες τώρα θέλω κάτι να σου πω.

ΝΗΦΟΣ: Ένα λεπτό µόνο, να ξεµουδιάσω. Χαίροµαι που σε βλέπω. Μέρες τώρα θέλω κάτι να σου πω. Νήφο. Πεταλία; Εγώ, ναι. Σήκω. Δεν ξέρω αν µπορώ. Μπορείς. Είµαι κουρασµένος. Ήρθε η ώρα, όµως. Τα χέρια µου έχουν αίµατα. Τα πόδια µου είναι σαν κάποιου άλλου. Δεν έχουµε πολύ χρόνο. Ένα λεπτό µόνο, να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικός συµβολισµός και συµβολή του Galois Symbolisme mathématique et contribution de Galois. Ν. Λυγερός

Μαθηµατικός συµβολισµός και συµβολή του Galois Symbolisme mathématique et contribution de Galois. Ν. Λυγερός Symbolisme mathématique et contribution de Galois Ν. Λυγερός Τα µαθηµατικά δεν είναι µόνο τύποι. Στο προηγούµενο µάθηµα, έγραφα το ολοκλήρωµα:. Αυτό σας φαίνεται πολύ συµπυκνωµένο. Μέχρι το 19 ο αιώνα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/04/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/7/2017

Διαβάστε περισσότερα

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Κωστόπουλος ηµήτριος Μ.Π.Λ.Α. TAPE COMPRESSION (θεώρηµα 2.3 Παπαδηµητρίου)

Κωστόπουλος ηµήτριος Μ.Π.Λ.Α. TAPE COMPRESSION (θεώρηµα 2.3 Παπαδηµητρίου) Κωστόπουλος ηµήτριος Μ.Π.Λ.Α. TAPE COMPRESSION (θεώρηµα 2.3 Παπαδηµητρίου) Εισαγωγή. Αυτό το φυλλάδιο έχει στόχο να δώσει ένα ανάλογο αποτέλεσµα µε αυτό του linear speedup θεωρήµατος, εάν έχουµε µία µηχανή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές διατάξεις. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μερικές διατάξεις, παράδειγµα. ιαγράµµατα Hasse: Αναπαράσταση σχέσεων µερικής διάταξης

Μερικές διατάξεις. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μερικές διατάξεις, παράδειγµα. ιαγράµµατα Hasse: Αναπαράσταση σχέσεων µερικής διάταξης HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/04/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/7/2017

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p.

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p. Κεφάλαιο 9 Οµάδες συγκεκριµένης τάξης Στο κεφάλαιο αυτό ϑα εφαρµόσουµε τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κεφάλαια για να περιγράψουµε οµάδες τάξης pq, όπου p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

«Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;»

«Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;» «Πούλα τα όσο θες... πούλα ας πούµε το καλάµι από 200 ευρώ, 100. Κατάλαβες;» Οπου (Α) ο καλούµενος - χρήστης της υπ' αριθ. 698... (µέλος της Χ.Α.) Οπου (Β) ο καλών Ηµεροµηνία: 20/09/2013 Εναρξη: 22:12':00''

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο. Μάντεψε το µυστικό κανόνα µου. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο. Μάντεψε το µυστικό κανόνα µου. Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ο Κριτήρια διαιρετότητας Μάντεψε το µυστικό κανόνα µου Στο κεφάλαιο αυτό, θα προσπαθήσουµε να επιτύχουµε τους εξής στόχους: 1. Να µάθεις να ξεχωρίζεις ποιοι αριθµοί διαιρούνται µε το 2, το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0)

Κεφάλαιο 5 R (2, 3) R (3, 0) Κεφάλαιο 5 Θα ξεκινήσουµε το κεφάλαιο αυτό βλέποντας ένα ακόµη παράδειγµα αναφορικά µε την ισορροπία που προκύπτει από την οπισθογενή επαγωγή (backwards induction) και την ισορροπία κατά Nash στην στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά για Πληροφορική

Μαθηµατικά για Πληροφορική Μαθηµατικά για Πληροφορική 1ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 2/10/08 2/10/08 1 / 1 Γενικό πλάνο 1 Σχετικά µε το µάθηµα 2 Υποθεσεις -

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Αποστολάτου 6 Μαϊου 2001 Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών Θεωρούµε ότι 6 ίσες µάζες συνδέονται µε ταυτόσηµα

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

παραδειγματα επεισοδίων

παραδειγματα επεισοδίων παραδειγματα επεισοδίων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΟΗΜΑ Οι μαθητές ερμηνεύουν τα δρώμενα στην τάξη: ως προς το νόημα εννοιών και διαδικασιών ως προς τη φύση και την αξία αυτών στο μάθημα των μαθηματικών Καλδρυμίδου,

Διαβάστε περισσότερα

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΥΠΕΡΚΥΒΟ

ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΥΠΕΡΚΥΒΟ ΑΝΑΖΗΤΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΥΠΕΡΚΥΒΟ Αφού διαβάσαµε την Επιπεδοχώρα, φτάσαµε µε τη µέθοδο της Αναλογίας στον χώρο των τεσσάρων διαστάσεων. Το πρώτο αντικείµενο αυτού του παράξενου κόσµου ήταν ο Υπερκύβος. Τα παιδιά

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για την κατασκευή του αρχείου «Ταυτότητα (α+β) 2» 1. Αποκρύπτουµε τους άξονες και το παράθυρο άλγεβρας: Παράθυρο προβολή

Οδηγίες για την κατασκευή του αρχείου «Ταυτότητα (α+β) 2» 1. Αποκρύπτουµε τους άξονες και το παράθυρο άλγεβρας: Παράθυρο προβολή Οδηγίες για την κατασκευή του αρχείου «Ταυτότητα (α+β) 2» 1. Αποκρύπτουµε τους άξονες και το παράθυρο άλγεβρας: Παράθυρο προβολή απο-επιλέγουµε άξονες και άλγεβρα 2. Από το εργαλείο κατασκευής πολυγώνων

Διαβάστε περισσότερα

Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Σύνοψη Ιδιοτήτων

Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Σύνοψη Ιδιοτήτων Προηγούµενο: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f() είναι O( g() ) αν υπάρχουν σταθερές C και 0, τέτοιες ώστε: f() C g() για κάθε 0

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 18/02/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/18/2016

Διαβάστε περισσότερα

Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το Α' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη Σμπώκου

Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το Α' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη Σμπώκου Λήστευαν το δημόσιο χρήμα - Το Α' Μέρος με τους αποκαλυπτικούς διαλόγους Άκη Σμπώκου - Έλα - πέρασες μια φορά ε; Σε είδα σε μια στιγμή αλλά δεν ήμουν βέβαιος, δεν με είδες; - πέρασα με το αμάξι και έκανα

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 1 1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΚ ΕΚΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πολλαπλάσια του α : Είναι οι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον α µε όλους τους φυσικούς. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1)

«Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) «Οδική ασφάλεια... για κλάµατα!» (Θεατρικό γραµµένο από τα παιδιά της Β 1) Πρόσωπα: Μαθητές ασκάλα Κύριος Τροχαιάκης (αστυνοµικός της τροχαίας) Παιδιά ΣΚΗΝΗ 1 (στην τάξη) Χτυπά κουδούνι και µπαίνει µέσα

Διαβάστε περισσότερα

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

. Κουζούδης 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 1 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ποια είναι η χρήση των παραγώγων στην Φυσική και τι ακριβώς είναι; Ένα παράδειγµα θα µας διαφωτίσει. Έστω ότι ένα αυτοκίνητο βρίσκεται την χρονική στιγµή t = 0 s στο σηµείο x = 0 m και κινείται

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση 44 ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση F : U R R. Για εµάς φυσικά µια τέτοια συνάρτηση θα θεωρείται ότι είναι τουλάχιστον συνεχής και συνήθως C και βέβαια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο εύτερης Ευκαιρίας Αλεξανδρούπολης. Σχολικό Έτος 2006 2007. Σενάριο : Αγιοργιωτάκης Ιωάννης Μαθηµατικός

Σχολείο εύτερης Ευκαιρίας Αλεξανδρούπολης. Σχολικό Έτος 2006 2007. Σενάριο : Αγιοργιωτάκης Ιωάννης Μαθηµατικός Σχολείο εύτερης Ευκαιρίας Αλεξανδρούπολης Σχολικό Έτος 2006 2007 Σενάριο : Αγιοργιωτάκης Ιωάννης Μαθηµατικός Τρίτη 10 Οκτωβρίου στο Σ Ε Αλεξανδρούπολης. 2 η Ώρα : Μαθηµατικά στο Β2. ΙΣΜΑΗΛ : Λεµονιά, θέλω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορική προσέγγιση της θεωρίας του Galois. Approche historique de la théorie de Galois. Θα ασχοληθούµε µε τη Θεωρία Οµάδων. Όµως, το να ασχοληθούµε απλώς και µόνο τυπικά µε τη Θεωρία Οµάδων δεν αρκεί.

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

ο ΣΤΑΤΙΚΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ

ο ΣΤΑΤΙΚΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ο ΣΤΑΤΙΚΟΣ ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ η ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΓΕΓΟΝΟΤΑ και ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ οι ΙΔΕΕΣ και οι ΕΝΝΟΙΕΣ ηλεκτρικό φορτίο και ηλεκτρικό φορτίο στο µεταξύ κάποιος τον αναγκάζει να µε πλησιάζει κι όσο µε πλησιάζει τόσο περισσότερο

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα