ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ και ΧΑΟΣ. Ioannis E. Antoniou

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ και ΧΑΟΣ. Ioannis E. Antoniou"

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ και ΧΑΟΣ 2. MΗNYMATA ως Χρονοσειρες. Αναλογικα και Ψηφιακα Μηνυματα. Δειγματοληψια Ioannis E. Antoniou Mathematics Department Aristotle University 54124,Thessaloniki,Greece

2 Mηνυματα και Γλωσσα Επικοινωνιας Μετατροπη Ψηφιακου σε Αναλογικο Σημα Μετατροπη Αναλογικου σε Ψηφιακο Σημα Δειγματοληψια

3 MHNYMATA και ΓΛΩΣΣΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Επικοινωνια είναι η ανταλλαγη Μηνυματων Τα Μηνυματα είναι χρονοσειρες συμβολων σ από το συνολο Σ Σε διακριτο χρονο ακολουθιες ψ: T Σ: t ψ t, T Z (digital signals) Σε συνεχη χρονο συναρτησεις ψ: T Σ: t ψ(t), T R (analog signals) T = o Xρονος = το διαταγμενο συνολο καταγραφων του Χρονου Ο χρονος μπορει να είναι συνεχης, t, η διακριτος t=nτ, n, τ η μοναδα χρονου = ο στοιχειωδης χρονος = το χρονον (chronon). Τα Μηνυματα είναι στοιχεια του συνολου Σ T των απεικονισεων με πεδιο ορισμου το χρονο T (δεικτες χρονου) και πεδιο τιμων τα συμβολα από το Σ Το συμβολο Σ T περιλαμβανει ολες τις κλασεις Μηνυματων

4 Παραδειγματα Μηνυματων - Συμβολων Μηνυμα Μετρηση Θερμοκρασιας, Πιεσης, Ηλεκτρικου Ρευματος Τηλεγραφημα του 1902 Συμβολα Ρητοι Αριθμοι., _, ΚΕΝΟ Δυαδικο 0,1 Ηχος, Moυσικη Νοτες, Υψη, Διαρκειες Εικονα, Video, Aκολουθια Pixels Κειμενο βιβλιου Εmails, Περιεχομενο Iστοσελιδων Προγραμμα Ενταση (Red, Green, Blue) ASKII χαρακτηρες τα Συμβολα μιας Γλωσσας Προγραμματισμου Πχ. ΜathML DNA Tα 4 Νουκλεοτιδια Α,G,C,T Πρωτεινες Τα 20 Αμινοξεα Α,C,D,E,F,G,H,I, K, L,M,N,P,Q, R,S,T,V,W,Y Παιγνιο με Ζαρια 1,2,3,4,5,6 Βιβλιοθηκη της Βαβελ 22 letters, comma, period, space Βοrges J. L Ficciones, Grove Press 1962

5 The 20 Amino Acids directly encoded by the universal genetic code NAME ΟΝΟΜΑ Abbreviation Symbol Produced by Organism Alanine αλανινη ALA A Non Essential Arginine αργινινη ARG R Conditional Asparagine Ασπαραγινη ΑSN N Non Essential Aspartic acid ασπαρτικο οξυ ASP D Non Essential Cysteine Κυστεινη CYS C Conditional Glutamin acid γλουταμικο οξυ GLU E Non Essential Glutamine γλουταμινη GLN Q Conditional Glycine Γλυκινη GLY G Conditional Histidine ιστιδινη HIS H Essential Isoleucine ισολευκινη ILE I Essential Leucine Λευκινη LEU L Essential Lysine Λυσινη LYS K Essential Methionine μεθειονινη MET M Essential Phenylalanine φαινυλαλανινη PHE F Essential Proline προλινη PRO P Conditional Serine σερινη SER S Conditional Threonine θρεονινη THR T Essential Tryptophan τρυπτοφανη TRP W Essential Tyrosine τυροσινη TYR Y Conditional Valine βαλινη VAL V Essential

6 Ορισμος Μηνυμα μηκους m είναι κάθε πεπερασμενη ακολουθια (ψ) = (ψ t+1, ψ t+2,..., ψ t+m ), ορων που λαμβανονται από n Συμβολα Σ={σ 1, σ 2,... σ n }, ψ t Σ (ψ) Σ m Σ F Xωροι Μηνυματων: Σ m = οι πεπερασμενες ακολουθιες συμβολων από το Σ με m ορους Σ m = οι πεπερασμενες ακολουθιες συμβολων από το Σ με το πολυ m ορους Σ F = οι πεπερασμενες ακολουθιες συμβολων από το Σ Σ N = οι μονοπλευρες (unilateral) ακολουθιες συμβολων από το Σ Σ Z = οι αμφιπλευρες (bilateral) ακολουθιες συμβολων από το Σ

7 Kαθε m-αδα (ψ t+1, ψ t+2,..., ψ t+m ) ειναι ενα διαταγμενο δειγμα μεγεθους m, εκ των n συμβολων {σ 1, σ 2,... σ n }, οπου καθε συμβολο μπορει να επαναλαμβανεται. Ισοδυναμα: (ψ t+1, ψ t+2,..., ψ t+m ) ειναι Επαναληπτικη Διαταξη (σ k1, σ k2,..., σ km ) των n συμβολων {σ 1, σ 2,... σ n } ανα m Το πληθος των μηνυματων μηκους m είναι Το πληθος των Επαναληπτικων Διαταξεων n Στοιχειων ανα m: Υ m = n m

8 Ορισμος Η Κλασση Σ F των πεπερασμενων ακολουθιων συμβολων από το Σ Σ F = Σ * = m N Kleene Closure {A} Σ m To συνολο Σ * εχει απειρο πληθος στοιχειων, ενώ καθε στοιχειο του εχει πεπερασμενο μηκος Παραδειγμα Σ = {0, 1}, Σ* = {ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, 010, 011, }.

9 Ορισμος Γλωσσα με Αλφαβητο Σ (L, Σ, G) 1) Σ={σ 1, σ 2,... σ n } το συνολο συμβολων, ψηφιων, γραμματων της Γλωσσας 2) G = η Γραμματικη της Γλωσσας = οι κανονες συνταξης λεξεων-προτασεων που οριζουν ποιες λεξεις (ακολουθιες συμβολων) είναι συντακτικα αποδεκτες (syntactically admissible,valid) 3) L Σ F L(Σ) ένα συνολο μηνυματων = λεξεων με συμβολα από το Σ. Τα δυνατα κειμενα, η «Γραμματεια» της Γλωσσας

10 Παραδειγμα: Η Βιβλιοθηκη της Βαβελ που περιεχει τα βιβλια που γραφτηκαν και θα γραφτουν «the Library is total and that its shelves register all the possible combinations of the twenty-odd orthographical symbols (a number which, though extremely vast, is not infinite): Everything: the minutely detailed history of the future, the archangels' autobiographies, the faithful catalogues of the Library, thousands and thousands of false catalogues, the demonstration of the fallacy of those catalogues, the demonstration of the fallacy of the true catalogue, the Gnostic gospel of Basilides, the commentary on that gospel, the commentary on the commentary on that gospel, the true story of your death, the translation of every book in all languages, the interpolations of every book in all books.» Βοrges J. L Ficciones, Grove Press 1962 The Babel Library has x books the alphabet has 25 symbols. Each book has 410 pages, with 40 lines of 80 characters on each page. Number of symbols in a Book: = Bloch W. G.2008, The Unimaginable Mathematics of Borges Library Of Babel, Oxford University Press The Library of Congress has 3 x 10 7 Books Number of Orthographically correct Books written in English: = Number of English Words: Number of Words per line (including comma, period, space): 30 Number of Words per Book: 410 x 30 x 40 =

11 Symbols Grammar = Rules for Syntax Syntax = message (φραση) construction Μessages, Φρασεις, Logical Forms, Σχηματα Λογου Axioms Inference Rules = Transformation Rules Semantics, Meaning Language Formal System Logic = Logical System Gerber A., Van der Merwe A.,Barnard A. 2008, A Functional Semantic Web architecture, European Semantic Web Conference, ESWC 08, Tenerife

12 ΣΧΟΛΙΑ Συντακτικα Φιλτρα, πχ Ορθογραφος Microsoft Word Η συντακτικη επεξεργασια μεσω της Γραμματικης είναι αναγκαια για την Νοηματοδοτηση (Meaning) των Μηνυματων-κειμενων, αλλα δεν επαρκει Νοηματικη Επεξεργασια (Semantic Processing) Σημασιολογικα Φιλτρα (Semantic Filters) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Λογικη, Υπολογιστες, Προγραμματισμος, Διαδικτυο Γλωσσολογια Βιολογια Μουσικη

13 References Ginsburg Σ. 1975, Algebraic and automata theoretic properties of formal languages, North-Holland Harrison Μ. 1978, Introduction to Formal Language Theory, Addison-Wesley. Hopcroft J. and Ullman J. 1979, Introduction to Automata Theory, Languages and Computation, Addison-Wesley Publishing, Reading Massachusetts Rozenberg G., Salomaa A. 1997, Handbook of Formal Languages: Volumes I-III, Springer

14 Digital to Analog Conversion = Curve fitting = Smoothing = finding a curve which has the best fit to a series of data points and possibly other constraints includes interpolation (exact fit) regression analysis (approximate fit) extrapolation Interpolation = Παρεμβολη Reconstruction of a function from discrete samples Representation of a function in terms of discrete samples Given the points (y 1, t 1 ), (y 2, t 2 ),, (y N, t N ) Find an Interpolation function f within a specific Class A of functions : y n = f(t n ), n=1,2,,n Regression = Παλινδρομιση Construct a function within a specific Class A of functions with minimal distance from discrete samples Least Squares Regression = Least Squares Fit: the Distance is the L 2 distance Extrapolation is the extension of f (constructed by Interpolation or by Regression) for t > t N

15 Regression, Interpolation, Function Basis of A Extrapolation are called Polynomial Polynomials Rational Fractions of Polynomials Trigonometric Periodic Functions Fourier Analysis Exponential Exponentials Smoothing = Εξομαλυνση A C r is a Class of Smooth functions Wavelet Wavelets Wavelet Analysis

16 Analog to Digital Conversion Sampling = Δειγματοληψια The conversion of Continuous Functions (Signals) to Numerical Sequences (Time Series)

17 Both DAC (Interpolation) and ADC (Sampling) are based on Function Expansion Formulas Harmonic Analysis Ηarmonic Analysis Function Expansion Formulas f(t)= f ν u ν ( ν t) u ν οrthonormal basis of Functions in some HS of real functions on some interval (a,b) f ν = <f, u ν > = (a,b) dt w(t) f(t) u ν (t) w(t)dt = dν(t) the measure on (a,b) L 2 ([a,b), w) the Hilbert Space of square integrable Functions on [a,b) with respect to the measure w(t)dt = dν(t)

18 Approximations of functions with Function Expansion Formulas Ν f [N] (t) = f ν u ν (t) ν=1 Approximation Error: ε Ν = f f [N] (t) Ν f [N] (t) = f ν u ν (t) ν= N Expansions Taylor Expansion Weierstrass Theorem Fourier Series Special Function Expansions Wavelet Expansions

19 Taylor Expansion f(t+x)= f(x)= ν=0 ν=0 1 ν! f(ν) (t)x ν 1 ν! f(ν) (0)x ν Weierstrass Theorem every continuous function defined on a closed interval [a,b] can be uniformly approximated as closely as desired by a polynomial function. Polynomials are among the simplest functions, Computers directly evaluate polynomials Polynomial interpolation. v r = x r is a basis (non-orthonormal) of the Hilbert Space L 2 ([a,b), w(t)dt) generalization to several real variables

20 Fourier Series of the T-Periodic Real Function f (Temporal), T>0 Theorem Riesz-Fisher 1907 f is square integrable lim N f f [N] 2 = lim N dt with f [N] (t) = +N n= N C n e inωt, C n = dt T 0 T f(t) f [N] (t) 2 = 0 T 0 T e inωt f(t) Proof Dym H., McKean Η.1972, Fourier Series and Integrals, Academic Press, New York Dunford, N.,Schwartz, J.T. 1958, Linear operators, Part I, Wiley, New York (IV I3) Corollary u n = e inωt, n Z οrthonormal basis of L 2 (0,T), ω = 2π Τ = the Cyclic Frequency

21 Fourier Transform: L 2 (0,T) l 2 (Z) : f f n = < e inωt, f > Scalar Product of L 2 (0,T): < f, g > = dt T 0 T f (t)g(t) Scalar Product of l 2 (Z): < (f n ), (g n ) > l 2 (Z) = n= f n g n Exponential Expansion Formula for real periodic functions f with period T>0: with + f(t) = C n e inωt T 0 n= C n = < e inωt, f > = dt e inωt f(t) = the n-fourier Amplitude of f, n Z T 0 C 0 =< 1, f > = dt T T f(t) = the Average Value of f over the Period T

22 Definition Trigonometric Series Expansion for real periodic functions f with period T: + f(t) = [α n cos(nωt) + β n sin(nωt)] n=0 The Fourier Coefficients are T 0 α 0 = dt T f(t) T α n = 2 T dt 0 β n = 2 T dt 0 T f(t) cos(nωt), n = 1,2, f(t) si n(nωt), n = 1,2, Aσκηση: {0.1} Δειξτε τους τυπους των συντελεστων Fourier με την παραδοχη ότι ισχυει η ιδιοτητα εναλλαγης Ολοκληρωματος που εχει η Ομοιομορφη συγκλιση Σειρων Συναρτησεων: Τ dt 0 + [α n cos (nωt) + β n sin (nωt)] n=0 + Τ = dt n=0 0 [α n cos (nωt) + β n sin (nωt)]

23 Σχεση Τριγωνομετρικης Εκθετικης Σειρας Fourier α 0 = C 0 α n = 2ReC n, n=1,2, β n = 2ImC n, n=1,2, C n = 1 2 (α n + i β n ), n=1,2, C n =(C n )* = 1 2 (α n i β n ), n=1,2, Proof f(t) = + C n e inωt 1 = C 0 + C n e inωt + + C n e inωt + == C 0 + C n e +inωt + C n e inωt n= n= n=1 n=1 + n=1 ] f real (C n )* = C n : f(t) = C n=1 2Re[C n e inωt ] = C 0 + [α n cosωt + β n sin ωt

24 EXAMPLES Aσκηση: Υπολογιστε το Αναπτυγμα Fourier {0.1} Aσκηση: Υπολογιστε το Αναπτυγμα Fourier {0.1}

25 f(x) = 4 sin(2n 1)x π 2n 1 n=1 Aσκηση: Υπολογιστε το Αναπτυγμα Fourier {0.1} f(x) = θ( x) [2νπ, 2νπ + 2π), ν Z = sin (2n 1)x π 2n 1 Aσκηση: Υπολογιστε το Αναπτυγμα Fourier {0.1} n=1

26 f(x) = π sin n 2π Τ x n n=1 Aσκηση: Υπολογιστε το Αναπτυγμα Fourier {0.1} f(x) = e x (2ν 1)π, (2ν + 1)π, ν Z = 2sinh(π) π ( 1)n 1 + n 2 cos (nx) sin(nx) n=1 Aσκηση: Υπολογιστε το Αναπτυγμα Fourier {0.1}

27 Theorem The Fourier Transform is Unitary < f, g > = < (f n ), (g n ) > l 2 (Z) T dt T 0 f (t)g(t) = f n g n n= Αποδειξη Aσκηση 0.1 Σχεση Διαφορισιμοτητας και Προσεγγισης Fourier Aσκηση: {1} Υπολογιστε τα Αναπτυγματα Fourier σε καποιο διαστημα [0, Τ] f [5] (t) = 5 [α n (f) cos (nωt) + β n (f) sin (nωt) n=0 5 g [5] (t) = [α n (g) cos (nωt) + β n (g) sin (nωt) n=0 των 5 πρωτων ορων μιας λειας συναρτησης f και μιας μη λειας συναρτησης g με 2 ακμες Συγκρινατε τις 2 προσεγγισεις f [5] (t) και g [5] (t) με τις f(t) και g(t) αντιστοιχα.

28 Power of the Periodic function The Norm Square Parseval's Formula T f 2 = dt T 0 f(t) 2 = f n 2 n=

29 Theorem Τhe Fourier basis is an orthonormal basis of eigenfunctions of the differentiation operators Self-Adjoint Differentiation: i d dx e iωt = ωe iωt Laplace Operator: d2 dx 2 e iωt = ω 2 e iωt Early ideas about the Trigonometric Series Expansion of Periodic Functions go back to Pythagoras Solutions of Wave Equation of Strings 2 ψ = t 2 c2 2 ψ x2 as Trigonometric Series Expansions were obtained by J.R. D Alembert 1747 and D. Bernoulli 1853 Solutions of the Heat Equation ψ 2 as Trigonometric Series Expansions were obtained by J.B. Fourier Fourier J.B. 1822, Theorie Analytique de la Chaleur, Didot, Paris. English translation by Freeman E. 1955, Dover, New York. = β 2 ψ t x The notions of Convergence and the classes of functions that can be represented as Trigonometric Series were clarified later Dym H., McKean Η.1972, Fourier Series and Integrals, Academic Press, New York

30 Special Function Expansions Orthonormal bases on spaces of integrable functions solutions of differential equations integrals of elementary functions Sturm-Liouville Equation Second order Linear Eigenvalue Equation: SL[ψ]=λψ a(x) d2 ψ dψ + b(x) dx2 dx = λψ Οι ιδιοσυναρτησεις (Eιδικες Συναρτησεις) αποτελουν oρθοκανονικη βαση στους Χωρους L 2 [(α,β),w] {Tαξινομιση Ειδικων Συναρτησεων. Θεωρημα Rodriguez} Dennery P., Krzywicki A. 1969, Mathematics for Physicists, Harper, New York Miller 1968, Lie Theory and Special Functions, Academic Press, New York Wawrzynczyk Α. 1984, Group Representations and Special Functions, D.Reidel Publishing Company, Dordrecht

31 Oι 3 βασικες Ειδικες Συναρτησεις ως βασεις ιδιοσυναρτησεων Τελεστων Sturm-Liouville Interval Sturm-Liouville Equation (, ) Hermite Equation [0, ) Laguerre Equation a(x) d2 y dy + b(x) dx2 dx = λy Eigenfunctions Basis Weight in the Scalar Product w(x) d2 y dy + 2x dx2 dx = 2n y Hermite Polynomials e x2 x d2 y dy + [ γ + x 1] dx2 dx = λy Laguerre Functions e x [ 1,1] Legendre Equation [ (1 x 2 )] d2 y dy + [2x] dx2 dx = n(n + 1)y Legendre Polynomials 1

32 Κατασκευη βασεων σε Xωρους Συναρτησεων επι οιουδηποτε διαστηματος (α,β) Μετασχηματισμοι Von Neumann Definition Von Neumann Transforms of Functions on (t 1, t 2 ) to functions on (x 1, x 2 ) are the Unitary Transformations of square Integrable functions supported on (t 1, t 2 ) to square Integrable functions supported on (x 1, x 2 ) V: L 2 (t 1, t 2 ) L 2 (x 1, x 2 ) : f Vf with f (t) (Vf)(x): < Vf, Vg > = < f, g > dx (Vf) (x)(vg)(x) x 2 x 1 t 2 = dt f t 1 (t)g(t) Misra B., Speiser D.,Targonski G. 1961, Integral Operators in the Theory of Scattering, Helv. Phys. Acta 36, Von Neumann J. 1935, Charakterisierung des Spektrums eines Integraloperators, Actualites Scientifiques et Industrielles No. 229

33 VN Transforms Example 1: V: L 2 (-, ) L 2 (0, ) : f Vf with f (t) (Vf)(x) = 1 x f(lnx) V -1 : L 2 (0, ) L 2 (-, ) : f V -1 f with f (t) (V -1 f)(x) = e x 2f(e x ) Aσκηση: Δειξτε ότι ο Μετασχηματισμος V είναι Unitary {0.5} VN Transforms Example 2: V: L 2 (0, ) L 2 1 (0, 1) : f Vf with f (t) (Vf)(x) = f x 1 x 1 x V -1 : L 2 (0, 1) L 2 (0, ) : f V -1 f with f (t) (V -1 1 f)(x) = f x 1+x 1+x Aσκηση: Δειξτε ότι ο Μετασχηματισμος V είναι Unitary {0.5} VN Transforms Example 3: V: L 2 [0,T) L 2 [a,b) : f Vf : with f (t) Vf(x)= T b a f x a b a T V -1 : L 2 [a,b) L 2 [0,T) : f Vf : Vf(t)= b a T f b a T t + a Aσκηση: Δειξτε ότι ο Μετασχηματισμος V είναι Unitary {0.5}

34 Wavelet Expansions Wavelets are functions ψ(x) whose translations and dilations ψ β,α βψ(βx α) provide bases for expansion of integrable functions Μultiresolution Analysis

35 Haar Wavelet Στις Αρχες του 20 ου αιωνα πιστευαν πως ολες οι ορθοκανονικες βασεις συναρτησεων ειναι ιδιοσυναρτησεις Διαφορικων Τελεστων ως λειες συναρτησεις Υπαρχουν Μη Διαφορισιμες βασεις συναρτησεων? Ηaar Wavelets Haar A. 1910, Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, Mathematische Annalen 69 no. 3, ψ(x) = 1, 0 x < 1 2 1, 1 2 x < 1 0, otherwise

36 ψ ν α = ψ(2 ν x α), ν, α Integers Antoniou I., Gustafson K. 1998, Haar s Wavelets and Differential Equations, J. Diff. Equations Antoniou I., Gustafson K. 1999, Wavelets and Stochastic Processes, Math.and Computers in Simulation 49, Antoniou I., Gustafson K. 2000, The Time Operator of Wavelets, Chaos, Solitons and Fractals 11, Antoniou I., Suchanecki Z. 2000, Non-uniform Time Operator, Chaos and Wavelets on the Interval, Chaos, Solitons and Fractals 11, Walter G. 1994, Wavelets and other Orthogonal Systems With Applications, CRC, Boca Raton Frazier M. 1999, An Introduction to Wavelets Through Linear Algebra, Springer, New York Jorgensen P. 2006, Analysis and Probability Wavelets, Signals, Fractals, Springer, New York Fractals, Generalized Functions, Chaos

37 Shannon Wavelet Shannon Interpolation Formula If a function f(t) contains no frequencies higher than W hertz, f(t) = 1 2π dω F(ω)eiωt = 1 2π 2πW dω F(ω)eiωt 2πW the Fourier Amplitudes F(ω) vanish outside [ πw, πw]: F(ω) = 0, for ω > πw Then it is completely determined by giving its ordinates at a series of points spaced 1/(2W) seconds apart. f(t) = + f n sin π(2wt n) n= = + f(nt) sin π T n = + 2W π(2wt n) n= f(nt) u π t n (t) T n n= where: f n = f n = f(nt) the samples 2W t T = 1 2W the sampling period u n (t) = sin π t T n π t T n = sinc π t n the Shannon Wavelet T

38 sinc(x) = sinx x = the sinus cardinalis function

39 Shannon C. 1949, Communication in the presence of Noise, Proc. Institute of Radio Engineers 37, Reprint as classic paper in: Proc. IEEE, Vol. 86, No. 2, (Feb 1998) Jerri A. 1977, "The Shannon sampling theorem: its various extensions and applications: A tutorial review" Proc. IEEE 65, pp Higgins J. 1985, "Five short stories about the Cardinal Series" Bull. Amer. Math. Soc. 12, pp Marks II R. 1991, Introduction to Shannon Sampling and Interpolation Theory, Springer, New York. Higgins J. 1996, Sampling Theory in Fourier and Signal Analysis Foundations, Clarendon Press, Oxford, New York Smale S., Zhou D.-X. 2004, Shannon Sampling and Function Reconstruction from Point Values, Bulletin AMS 41 (3), Pages Aσκηση: {0.8} Παραδειγμα Δειγματοληψιας Shannon

40 Theorem 1) {sinc(t k), k inz } is an orthonormal basis of bandlimited real functions with highest frequency π 2) sinλx λx, solutions of the Differential Equation: Aποδειξη: Aσκηση {0.1}

ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΕΚΦΡΑΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΕΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ

ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΕΚΦΡΑΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΕΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΜΙΝΟΠΕΤΡΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΦΥΣΙΚΟΣ - Ρ/Η ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΣΕΦΕ 2 ου ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΑΜΑΤΟΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΤΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΕΚΦΡΑΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΕΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1

Main source: Discrete-time systems and computer control by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 A Brief History of Sampling Research 1915 - Edmund Taylor Whittaker (1873-1956) devised a

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Οι δομικοί λίθοι

Κεφάλαιο 1. Οι δομικοί λίθοι Κεφάλαιο 1 Οι δομικοί λίθοι Κεφάλαιο 1 Οι Δομικοί Λίθοι των Πρωτεϊνών Εικόνα 1.1 Η αμινοξική αλληλουχία μιας πρωτεϊνικής πολυπεπτιδικής αλυσίδας ονομάζεται πρωτοταγής δομή. Διαφορετικές περιοχές της αλληλουχίας

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

BIOXHMEIA, TOMOΣ I ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΜΟΡΙΑΚΩΝ ΔΟΜΩΝ

BIOXHMEIA, TOMOΣ I ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΜΟΡΙΑΚΩΝ ΔΟΜΩΝ BIOXHMEIA, TOMOΣ I ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΜΟΡΙΑΚΩΝ ΔΟΜΩΝ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΜΟΡΙΑΚΩΝ ΔΟΜΩΝ ΜΟΡΙΑΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 1: ΧΩΡΟΠΛΗΡΩΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (SPACE-FILLING) 1: ΧΩΡΟΠΛΗΡΩΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (SPACE-FILLING)

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

BIOXHMEIA, TOMOΣ I ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΜΟΡΙΑΚΩΝ ΔΟΜΩΝ

BIOXHMEIA, TOMOΣ I ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΜΟΡΙΑΚΩΝ ΔΟΜΩΝ BIOXHMEIA, TOMOΣ I ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΜΟΡΙΑΚΩΝ ΔΟΜΩΝ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΜΟΡΙΑΚΩΝ ΔΟΜΩΝ ΜΟΡΙΑΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 1: ΧΩΡΟΠΛΗΡΩΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (SPACE-FILLING) 1: ΧΩΡΟΠΛΗΡΩΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (SPACE-FILLING)

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations

Διαβάστε περισσότερα

4 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Γ ε ν ε τ ι κ ή

4 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Γ ε ν ε τ ι κ ή 4 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Γ ε ν ε τ ι κ ή 1. Κύκλος της ζωής του κυττάρου 3ο Γελ. Ηλιούπολης επιμέλεια: Αργύρης Γιάννης 2 2. Μοριακή Γενετική i). Ροή της γενετικής πληροφορίας DNA RNA πρωτεΐνες νουκλεΐκά οξέα ή πρωτεΐνες

Διαβάστε περισσότερα

Elements of Information Theory

Elements of Information Theory Elements of Information Theory Model of Digital Communications System A Logarithmic Measure for Information Mutual Information Units of Information Self-Information News... Example Information Measure

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

MAΘΗΜΑ 4 ο AMINOΞΕΑ-ΠΕΠΤΙ ΙΑ-ΠΡΩΤΕΪΝΕΣ

MAΘΗΜΑ 4 ο AMINOΞΕΑ-ΠΕΠΤΙ ΙΑ-ΠΡΩΤΕΪΝΕΣ MAΘΗΜΑ 4 ο AMIΞΕΑ-ΠΕΠΤΙ ΙΑ-ΠΡΩΤΕΪΝΕΣ Αλανίνη (Αla) Αλανυλοσερίνη (Αla-Ser) Αλβουµίνη ρα. Κουκουλίτσα Αικατερίνη Χηµικός Εργαστηριακός Συνεργάτης Τ.Ε.Ι Αθήνας ckoukoul@teiath.gr AMIΞΕΑ 2 λειτουργικές οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions

The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions Theo p. / The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions Walter Gautschi wxg@cs.purdue.edu Purdue University Theo p. 2/ Theodorus of ca. 46 399 B.C. Theo p. 3/ spiral of Theodorus 6

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS Gerard t Hooft Stefan Nobbenhuis Institute for Theoretical Physics Utrecht University, Leuvenlaan 4 3584 CC Utrecht, the Netherlands and Spinoza Institute Postbox 8.195

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΟΡΙΑΚΗΣ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΓΕΝΕΤΙΚΗΣ ΓΟΝΙ ΙΑΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΚΑΙ ΣΗΜΑΤΟ ΟΤΗΣΗ

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΟΡΙΑΚΗΣ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΓΕΝΕΤΙΚΗΣ ΓΟΝΙ ΙΑΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΚΑΙ ΣΗΜΑΤΟ ΟΤΗΣΗ ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΟΡΙΑΚΗΣ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΓΕΝΕΤΙΚΗΣ ΓΟΝΙ ΙΑΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΚΑΙ ΣΗΜΑΤΟ ΟΤΗΣΗ ρ. Α. ΓΑΛΑΝΗΣ agalanis@mbg.duth.gr Figure 6.1 The Biology of Cancer ( Garland Science 2007) Figure

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής

Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής Ενότητα 1η: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος Στυλιανού Ιωάννης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών CS578- Speech Signal Processing Lecture 1: Discrete-Time

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη. Γνωστικό αντικείµενο: Ειδικοί διδακτικοί στόχοι

Τάξη. Γνωστικό αντικείµενο: Ειδικοί διδακτικοί στόχοι Αµινοξέα και πεπτίδια Τάξη Μάθηµα Γνωστικό αντικείµενο: ιδακτική ενότητα Απαιτούµενος χρόνος Χηµεία,Βιοχηµεία. Αµινοξέα και πεπτίδια 2 διδακτικές ώρες Ειδικοί διδακτικοί στόχοι Οι διδακτικοί στόχοι αυτών

Διαβάστε περισσότερα

g-selberg integrals MV Conjecture An A 2 Selberg integral Summary Long Live the King Ole Warnaar Department of Mathematics Long Live the King

g-selberg integrals MV Conjecture An A 2 Selberg integral Summary Long Live the King Ole Warnaar Department of Mathematics Long Live the King Ole Warnaar Department of Mathematics g-selberg integrals The Selberg integral corresponds to the following k-dimensional generalisation of the beta integral: D Here and k t α 1 i (1 t i ) β 1 1 i

Διαβάστε περισσότερα

Introduction to Time Series Analysis. Lecture 16.

Introduction to Time Series Analysis. Lecture 16. Introduction to Time Series Analysis. Lecture 16. 1. Review: Spectral density 2. Examples 3. Spectral distribution function. 4. Autocovariance generating function and spectral density. 1 Review: Spectral

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometric Formula Sheet

Trigonometric Formula Sheet Trigonometric Formula Sheet Definition of the Trig Functions Right Triangle Definition Assume that: 0 < θ < or 0 < θ < 90 Unit Circle Definition Assume θ can be any angle. y x, y hypotenuse opposite θ

Διαβάστε περισσότερα

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics Contents 1. Markov set-chain 2. Model of bonus-malus system 3. Example 4. Conclusions

Διαβάστε περισσότερα

Οι πρωτεΐνες δομούνται από ένα σύνολο αμινοξέων. 1/10/2015 Δ.Δ. Λεωνίδας

Οι πρωτεΐνες δομούνται από ένα σύνολο αμινοξέων. 1/10/2015 Δ.Δ. Λεωνίδας αμινοξέα Οι πρωτεΐνες δομούνται από ένα σύνολο αμινοξέων Λυσίνη CORN Ισομερές L Ισομερές D R = πλευρική αλυσίδα (side chain) Τα περισσότερα αμινοξέα είναι ασύμμετρα Όλα τα αμινοξέα που βρίσκονται στις

Διαβάστε περισσότερα

Homework 8 Model Solution Section

Homework 8 Model Solution Section MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx

Διαβάστε περισσότερα

CRASH COURSE IN PRECALCULUS

CRASH COURSE IN PRECALCULUS CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter

Διαβάστε περισσότερα

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής

Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους

Διαβάστε περισσότερα

Second Order RLC Filters

Second Order RLC Filters ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2009. HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems

Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2009. HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems Πανεπιστήμιο Κρήτης, Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άνοιξη 2009 HΥ463 - Συστήματα Ανάκτησης Πληροφοριών Information Retrieval (IR) Systems Στατιστικά Κειμένου Text Statistics Γιάννης Τζίτζικας άλ ιάλεξη :

Διαβάστε περισσότερα

TMA4115 Matematikk 3

TMA4115 Matematikk 3 TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011

ΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011 Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

Section 9.2 Polar Equations and Graphs

Section 9.2 Polar Equations and Graphs 180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΕΝΑ ΦΛΟΚΑ Επίκουρος Καθηγήτρια Τµήµα Φυσικής, Τοµέας Φυσικής Περιβάλλοντος- Μετεωρολογίας ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Πληθυσµός Σύνολο ατόµων ή αντικειµένων στα οποία αναφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

Advanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response

Advanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response Write your name here Surname Other names Edexcel GE entre Number andidate Number Greek dvanced Subsidiary Unit 1: Understanding and Written Response Thursday 16 May 2013 Morning Time: 2 hours 45 minutes

Διαβάστε περισσότερα

1 ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΒΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ (ΤΡΟΦΙΜΑ-ΒΙΟΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ) Περιεχόµενο - Σκοπός του Μαθήµατος 6 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Ο ΗΓΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Το µάθηµα Επιστήµη και Μηχανική Βιολογικών

Διαβάστε περισσότερα

Partial Trace and Partial Transpose

Partial Trace and Partial Transpose Partial Trace and Partial Transpose by José Luis Gómez-Muñoz http://homepage.cem.itesm.mx/lgomez/quantum/ jose.luis.gomez@itesm.mx This document is based on suggestions by Anirban Das Introduction This

Διαβάστε περισσότερα

2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p)

2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p) Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Andreas Strömbergsson Prov i matematik Funktionalanalys Kurs: F3B, F4Sy, NVP 2005-03-08 Skrivtid: 9 14 Tillåtna hjälpmedel: Manuella skrivdon, Kreyszigs bok

Διαβάστε περισσότερα

Approximations to Piecewise Continuous Functions

Approximations to Piecewise Continuous Functions Approximations to Piecewise Continuous Functions Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Josef BETTEN RWTH Aachen University Templergraben 55 D-52056 A a c h e n, Germany betten@mmw.rwth-aachen.de Abstract This worsheet

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα ΙΙ

Σήματα και Συστήματα ΙΙ Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 3: Διακριτός και Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (DTF & FFT) Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k!

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k! Bessel functions The Bessel function J ν (z of the first kind of order ν is defined by J ν (z ( (z/ν ν Γ(ν + F ν + ; z 4 ( k k ( Γ(ν + k + k! For ν this is a solution of the Bessel differential equation

Διαβάστε περισσότερα

Durbin-Levinson recursive method

Durbin-Levinson recursive method Durbin-Levinson recursive method A recursive method for computing ϕ n is useful because it avoids inverting large matrices; when new data are acquired, one can update predictions, instead of starting again

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Ήχος. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 04-1

Ήχος. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 04-1 Ήχος Χαρακτηριστικά του ήχου Ψηφιοποίηση με μετασχηματισμό Ψηφιοποίηση με δειγματοληψία Κβαντοποίηση δειγμάτων Παλμοκωδική διαμόρφωση Συμβολική αναπαράσταση μουσικής Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές

Διαβάστε περισσότερα

COOH R 2. H α-αμινοξύ 2

COOH R 2. H α-αμινοξύ 2 7 Χαρακτηριστικές χημικές αντιδράσεις των πρωτεϊνών Στόχος της άσκησης: Κατανόηση της χημικής σύστασης των πρωτεϊνών. Η εξοικείωση με σημαντικές ιδιότητες των πρωτεϊνών και αμινοξέων: παρουσία των ιοντικών

Διαβάστε περισσότερα

Thin Film Chip Resistors

Thin Film Chip Resistors FEATURES PRECISE TOLERANCE AND TEMPERATURE COEFFICIENT EIA STANDARD CASE SIZES (0201 ~ 2512) LOW NOISE, THIN FILM (NiCr) CONSTRUCTION REFLOW SOLDERABLE (Pb FREE TERMINATION FINISH) Type Size EIA PowerRating

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο. Αντιγραφή, έκφραση και ρύθμιση της γενετικής πληροφορίας

Κεφάλαιο 2ο. Αντιγραφή, έκφραση και ρύθμιση της γενετικής πληροφορίας Κεφάλαιο 2ο Αντιγραφή, έκφραση και ρύθμιση της γενετικής πληροφορίας 1. Το DNA αυτοδιπλασιάζεται 3ο ε.λ. Ηλιούπολης επιμέλεια: Αργύρης Γιάννης 3 Ο μηχανισμός της αντιγραφής του DNA Ο μηχανισμός αυτοδιπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x

Διαβάστε περισσότερα

Calculating the propagation delay of coaxial cable

Calculating the propagation delay of coaxial cable Your source for quality GNSS Networking Solutions and Design Services! Page 1 of 5 Calculating the propagation delay of coaxial cable The delay of a cable or velocity factor is determined by the dielectric

Διαβάστε περισσότερα

Μορφοποίηση υπό όρους : Μορφή > Μορφοποίηση υπό όρους/γραμμές δεδομένων/μορφοποίηση μόο των κελιών που περιέχουν/

Μορφοποίηση υπό όρους : Μορφή > Μορφοποίηση υπό όρους/γραμμές δεδομένων/μορφοποίηση μόο των κελιών που περιέχουν/ Μορφοποίηση υπό όρους : Μορφή > Μορφοποίηση υπό όρους/γραμμές δεδομένων/μορφοποίηση μόο των κελιών που περιέχουν/ Συνάρτηση round() Περιγραφή Η συνάρτηση ROUND στρογγυλοποιεί έναν αριθμό στον δεδομένο

Διαβάστε περισσότερα

Jordan Form of a Square Matrix

Jordan Form of a Square Matrix Jordan Form of a Square Matrix Josh Engwer Texas Tech University josh.engwer@ttu.edu June 3 KEY CONCEPTS & DEFINITIONS: R Set of all real numbers C Set of all complex numbers = {a + bi : a b R and i =

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία Δρ. Στέλιος Τιμοθέου ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΣ ΣΗΜΕΡΑ Αναλογικά και ψηφιακά συστήματα Μετατροπή

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2)

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2) Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών NP-Completeness (2) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 12 22 32 11 13 21

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικά & Ψηφιακά Κυκλώματα ιαφάνειες Μαθήματος ρ. Μηχ. Μαραβελάκης Εμ.

Αναλογικά & Ψηφιακά Κυκλώματα ιαφάνειες Μαθήματος ρ. Μηχ. Μαραβελάκης Εμ. Αναλογικά & Ψηφιακά Κυκλώματα ιαφάνειες Μαθήματος ρ. Μηχ. Μαραβελάκης Εμ. 1 Εισαγωγή Αναλογικό σήμα (analog signal): συνεχής συνάρτηση στην οποία η ανεξάρτητη μεταβλητή και η εξαρτημένη μεταβλητή (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/2006 ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 11/3/26 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι το 1 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ο μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Προ- & μετα-αγωνιςτικό γεφμα Για ακλθτι βάρουσ 75kg. Μαρία Χολζβα, τελειόφοιτθ τμιματοσ Επιςτιμθσ Διαιτολογίασ & Διατροφισ Χαροκοπείου Πανεπιςτθμίου

Προ- & μετα-αγωνιςτικό γεφμα Για ακλθτι βάρουσ 75kg. Μαρία Χολζβα, τελειόφοιτθ τμιματοσ Επιςτιμθσ Διαιτολογίασ & Διατροφισ Χαροκοπείου Πανεπιςτθμίου Προ- & μετα-αγωνιςτικό γεφμα Για ακλθτι βάρουσ 75kg Μαρία Χολζβα, τελειόφοιτθ τμιματοσ Επιςτιμθσ Διαιτολογίασ & Διατροφισ Χαροκοπείου Πανεπιςτθμίου Προ-αγωνιςτικό γεφμα: ςυςτάςεισ 3-4 ϊρεσ πριν Υδατάνκρακεσ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις πρωτεΐνες Δομή πρωτεϊνών Ταξινόμηση βάσει δομής Βάσεις με δομές πρωτεϊνών Ευθυγράμμιση δομών Πρόβλεψη 2D δομής Πρόβλεψη 3D δομής

Εισαγωγή στις πρωτεΐνες Δομή πρωτεϊνών Ταξινόμηση βάσει δομής Βάσεις με δομές πρωτεϊνών Ευθυγράμμιση δομών Πρόβλεψη 2D δομής Πρόβλεψη 3D δομής Εισαγωγή στις πρωτεΐνες Δομή πρωτεϊνών Ταξινόμηση βάσει δομής Βάσεις με δομές πρωτεϊνών Ευθυγράμμιση δομών Πρόβλεψη 2D δομής Πρόβλεψη 3D δομής Τι είναι η πρωτεΐνη Τι εννοούμε με δομή πρωτεϊνών Οικογένειες

Διαβάστε περισσότερα

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 We know that KA = A If A is n th Order 3AB =3 3 A. B = 27 1 3 = 81 3 2. If A= 2 1 0 0 2 1 then

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.2 Graphs of Polar Equations

Section 8.2 Graphs of Polar Equations Section 8. Graphs of Polar Equations Graphing Polar Equations The graph of a polar equation r = f(θ), or more generally F(r,θ) = 0, consists of all points P that have at least one polar representation

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

Ήχος και φωνή. Τεχνολογία Πολυµέσων 04-1

Ήχος και φωνή. Τεχνολογία Πολυµέσων 04-1 Ήχος και φωνή Φύση του ήχου Ψηφιοποίηση µε µετασχηµατισµό Ψηφιοποίηση µε δειγµατοληψία Παλµοκωδική διαµόρφωση Αναπαράσταση µουσικής Ανάλυση και σύνθεση φωνής Μετάδοση φωνής Τεχνολογία Πολυµέσων 4-1 Φύση

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3. Δειγματοληψία και Ανακατασκευή Σημάτων. Δειγματοληψία και Ανακατασκευή Σημάτων. (Κεφ & 4.6,4.8)

Διάλεξη 3. Δειγματοληψία και Ανακατασκευή Σημάτων. Δειγματοληψία και Ανακατασκευή Σημάτων. (Κεφ & 4.6,4.8) University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 3 Δειγματοληψία και Ανακατασκευή (Κεφ. 4.0-4.3 & 4.6,4.8) Περιοδική δειγματοληψία (periodic sampling) Περίοδος (sampling period) T Συχνότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΜΣ «ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ «ΕΥΦΥΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΑΝΘΡΩΠΟΥ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΜΣ «ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ «ΕΥΦΥΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΑΝΘΡΩΠΟΥ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΜΣ «ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ «ΕΥΦΥΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΑΝΘΡΩΠΟΥ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΤΟΥ ΕΥΘΥΜΙΟΥ ΘΕΜΕΛΗ ΤΙΤΛΟΣ Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα στο Πεδίο της Συχνότητας

Σήματα και Συστήματα στο Πεδίο της Συχνότητας Σήματα και Συστήματα στο Πεδίο της Συχνότητας Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι (22Y411) ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΔΙΑΛΕΞΗ 1 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Ανάλυση & Σύνθεση Συχνοτήτων Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι (22Y411) ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

(1) Describe the process by which mercury atoms become excited in a fluorescent tube (3)

(1) Describe the process by which mercury atoms become excited in a fluorescent tube (3) Q1. (a) A fluorescent tube is filled with mercury vapour at low pressure. In order to emit electromagnetic radiation the mercury atoms must first be excited. (i) What is meant by an excited atom? (1) (ii)

Διαβάστε περισσότερα

High order interpolation function for surface contact problem

High order interpolation function for surface contact problem 3 016 5 Journal of East China Normal University Natural Science No 3 May 016 : 1000-564101603-0009-1 1 1 1 00444; E- 00030 : Lagrange Lobatto Matlab : ; Lagrange; : O41 : A DOI: 103969/jissn1000-56410160300

Διαβάστε περισσότερα

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8  questions or comments to Dan Fetter 1 Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IV Εισαγωγή στα δυναμικά συστήματα Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2 and compare to M.

( ) 2 and compare to M. Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ y t x Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΔΙΑΛΕΞΗ 2 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 ΤΥΠΟΙ ΣΗΜΑΤΩΝ Analog: Continuous Time & Continuous Amplitude Sampled: Discrete Time & Continuous

Διαβάστε περισσότερα

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11 Potential Dividers 46 minutes 46 marks Page 1 of 11 Q1. In the circuit shown in the figure below, the battery, of negligible internal resistance, has an emf of 30 V. The pd across the lamp is 6.0 V and

Διαβάστε περισσότερα

2. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν.

2. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν. Experiental Copetition: 14 July 011 Proble Page 1 of. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν. Ένα μικρό σωματίδιο μάζας (μπάλα) βρίσκεται σε σταθερή απόσταση z από το πάνω μέρος ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER - Discrete Fourier Transform - DFT -

ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER - Discrete Fourier Transform - DFT - ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER - Discrete Fourier Transform - DFT - Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΙ (22Y603) ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΔΙΑΛΕΞΗ 1 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Διαφορετικοί Τύποι Μετασχηµατισµού Fourier Α. ΣΚΟΔΡΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Démographie spatiale/spatial Demography

Démographie spatiale/spatial Demography ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Démographie spatiale/spatial Demography Session 1: Introduction to spatial demography Basic concepts Michail Agorastakis Department of Planning & Regional Development Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΕΙΝΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΡΟΦΗ

ΠΡΩΤΕΙΝΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΠΡΩΤΕΙΝΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΡΟΦΗ Σεπτέμβριος 2015 Αντωνία Ματάλα Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Τι είναι οι πρωτεΐνες Βασικά σημεία Οργανικά μεγαλομόρια που αποτελούνται από αμινοξέα (περιέχουν C, H, O & Ν) Απαραίτητες

Διαβάστε περισσότερα

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω 0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης VISCOUSLY DAMPED 1-DOF SYSTEM Μονοβάθμια Συστήματα με Ιξώδη Απόσβεση Equation of Motion (Εξίσωση Κίνησης): Complete

Διαβάστε περισσότερα

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008 Tridiagonal matrices Gérard MEURANT October, 2008 1 Similarity 2 Cholesy factorizations 3 Eigenvalues 4 Inverse Similarity Let α 1 ω 1 β 1 α 2 ω 2 T =......... β 2 α 1 ω 1 β 1 α and β i ω i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume BULETINUL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A REPUBLICII MOLDOVA. MATEMATICA Numbers 2(72) 3(73), 2013, Pages 80 89 ISSN 1024 7696 On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume I.S.Gutsul Abstract. In

Διαβάστε περισσότερα

Wavelet based matrix compression for boundary integral equations on complex geometries

Wavelet based matrix compression for boundary integral equations on complex geometries 1 Wavelet based matrix compression for boundary integral equations on complex geometries Ulf Kähler Chemnitz University of Technology Workshop on Fast Boundary Element Methods in Industrial Applications

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ FOURIER

ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ FOURIER ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ FOURIER έκδοση DΥΝI-FAN_2016b

Διαβάστε περισσότερα

Σύστημα ψηφιακής επεξεργασίας ακουστικών σημάτων με χρήση προγραμματιζόμενων διατάξεων πυλών. Πτυχιακή Εργασία. Φοιτητής: ΤΣΟΥΛΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

Σύστημα ψηφιακής επεξεργασίας ακουστικών σημάτων με χρήση προγραμματιζόμενων διατάξεων πυλών. Πτυχιακή Εργασία. Φοιτητής: ΤΣΟΥΛΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Σύστημα ψηφιακής επεξεργασίας ακουστικών σημάτων με χρήση προγραμματιζόμενων διατάξεων πυλών. Πτυχιακή Εργασία Φοιτητής:

Διαβάστε περισσότερα

Formula for Success a Mathematics Resource

Formula for Success a Mathematics Resource A C A D E M I C S K I L L S C E N T R E ( A S C ) Formula for Success a Mathematics Resource P e t e r b o r o u g h O s h a w a Contents Section 1: Formulas and Quick Reference Guide 1. Formulas From

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Χειµερινό Εξάµηνο ΔΙΑΛΕΞΗ 3: Αλγοριθµική Ελαχιστοποίηση (Quine-McCluskey, tabular method)

ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Χειµερινό Εξάµηνο ΔΙΑΛΕΞΗ 3: Αλγοριθµική Ελαχιστοποίηση (Quine-McCluskey, tabular method) ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ΔΙΑΛΕΞΗ 3: Αλγοριθµική Ελαχιστοποίηση (Quine-McCluskey, tabular method) ΧΑΡΗΣ ΘΕΟΧΑΡΙΔΗΣ Επίκουρος Καθηγητής, ΗΜΜΥ (ttheocharides@ucy.ac.cy)

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Διδάσκων: Γεώργιος Μήτσης, Λέκτορας, Τμήμα ΗΜΜΥ Γραφείο: 401 Πράσινο Άλσος Ώρες γραφείου: Οποτεδήποτε (κατόπιν επικοινωνίας) Ηλ. Ταχ.: : gmitsis@ucy.ac.cy Ιωάννης Τζιώρτζης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΠΡΥ 017 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Διαλέξεις 8 και 9 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΠΡΥ 017 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Διαλέξεις 8 και 9 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΠΡΥ 7 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Διαλέξεις 8 και 9 ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Δρ. Ηλίας Κυριακίδης ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΣ ΣΗΜΕΡΑ Αναλογικά

Διαβάστε περισσότερα

K.K. Delibasis Univ. of Thessaly, Dept. of Computer Science and Biomedical Informatics, Lamia, Greece

K.K. Delibasis Univ. of Thessaly, Dept. of Computer Science and Biomedical Informatics, Lamia, Greece Μέθοδοι αριθμητικής παραγώγισης με κεντρικές πεπερασμένες διαφορές K.K. Delibasis Univ. of Thessaly, Dept. of Computer Science and Biomedical Informatics, Lamia, Greece kdelibasis@gmail.com Εισαγωγή Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 3 5.6: Μέση Τιμή, Συναρτήσεις Συσχέτισης (Correlation) & Συνδιασποράς (Covariance)

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Forecasting ARMA processes

6.3 Forecasting ARMA processes 122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear

Διαβάστε περισσότερα